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SISTEMAS DE ECUACIONES
 

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Documento que desarrolla el contenido de Sistema De Ecuaciones y los diferentes métodos empleados para la solución de Sistemas De Ecuaciones 2x2 y Sistemas De Ecuaciones 3x3, además de su ...

Documento que desarrolla el contenido de Sistema De Ecuaciones y los diferentes métodos empleados para la solución de Sistemas De Ecuaciones 2x2 y Sistemas De Ecuaciones 3x3, además de su aplicación en la resolución de problemas.

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    SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Document Transcript

    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONESUna ecuación lineal con dos incógnitas x y y es una expresión de la forma ax + by = c , dondea , b , c ∈ R y a y b son diferentes de cero.Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones de la forma ( x , y ) y sugráfica determina una recta.Ejemplos.1) La ecuación lineal 2 x + 4 y = 20 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (− 2, 6 ) , (0, 5) ,(8,1) y (12, − 1)2) La ecuación lineal 3 x − y = −15 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (5, 0 ) , (− 2, 9 ) ,(1,18) y (− 3, 6)Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que poseen incógnitas. Para indicar que variasecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas x y y , también llamado ecuaciones simultáneasde dos por dos es de la forma: a11 x + a12 y = b1   a21 x + a22 y = b2 donde a11 , a12 , a 21 , a 22 son coeficientes reales y b1 , b2 son términos independientes. En cada una delas ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero.Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surgen del planteamiento de unproblema, generalmente no tienen la forma estándar, sin embargo, debe obtenerse.Resolver un sistema de este tipo es encontrar los pares de números x y y que satisfacen ambasecuaciones, si existen. Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectasP(x , y ) .En un sistema de dos ecuaciones lineales:• Si las dos rectas que se cruzan en un punto, éste representa la solución del sistema. En este caso el sistema es compatible determinado.• Si las dos rectas coinciden en todos sus puntos, tiene infinitas soluciones. En este caso el sistema es compatible indeterminado.• Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto común. En este caso el sistema es incompatible y no tiene solución. 1
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaMÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOSINCÓGNITASExisten cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones:• Igualación• Suma y resta (eliminación)• Sustitución• Determinantes• GráficoMÉTODO DE IGUALACIÓNEl método de igualación consiste en realizar los siguientes pasos:• Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.• Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuación lineal para la otra incógnita.• Se resuelve la ecuación lineal.• Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de la otra.• Se realiza la comprobación.Ejemplos.Aplicando el método de igualación, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 4 x − 2 y = 101)  3x + 5 y = 14 Solución. 10 + 2 y 5 + yDe la primera ecuación se despeja x: x = = 4 2 14 − 5 yde la segunda ecuación también se despeja x : x = 3 5 + y 14 − 5 yse igualan estas dos últimas ecuaciones: = 2 3resolviendo para y :3(5 + y ) = 2(14 − 5 y )15 + 3 y = 28 − 10 y3 y + 10 y = 28 − 15 1313 y = 13 ⇒ y = = 1 13sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita: 5 +1 6 x= = =3 2 2 4(3) − 2(1) = 12 − 2 = 10Por lo tanto: x = 3 y y = 1 . Comprobación:  3(3) + 5(1) = 9 + 5 = 14  2
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 9 x − 3 y = 18 2)  2 x + 8 y = −48Solución. 18 + 3 y 6 + yDe la primera ecuación se despeja x: x = = 9 3 − 48 − 8 yde la segunda ecuación también se despeja x : x = = −24 − 4 y 2 6+ yse igualan estas dos últimas ecuaciones: = −24 − 4 y 3resolviendo para y : 2(6 + y ) = 3(− 24 − 4 y ) ⇒ 12 + 2 y = −72 − 12 y ⇒ 2 y + 12 y = −72 − 12 − 8414 y = − − 84 ⇒ y = = −6 14sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita: 6 + (− 6 ) 0 x= = =0 3 3 9(0 ) − 3(− 6) = 0 + 18 = 18 Por lo tanto: x = 0 y y = −6 . Comprobación:  2(0) + 8(− 6) = 0 − 48 = −48 4x + 1 2 y − 5  x− =  9 3 3)  3 y + 2 x + 18  y− = 7 10  Solución.La primera ecuación, se multiplica por 9 :  4x +1  2y − 5  9 x −  = 9  ⇒ 9 x − 4 x − 1 = 6 y − 15 ⇒ 5 x − 6 y = −14  9   3 la segunda ecuación, se multiplica por 70 :  3y + 2   x + 18  70 y −  = 70  ⇒ 70 y − 30 y − 20 = 7 x + 126 ⇒ − 7 x + 40 y = 146  7   10  5 x − 6 y = −14 el sistema se convierte a su forma estándar:  − 7 x + 40 y = 146 − 14 − 5 xde la primera ecuación se despeja y : y = −6 146 + 7 xde la segunda ecuación también se despeja y : y = 40 − 14 − 5 x 146 + 7 xse igualan estas dos últimas ecuaciones: = −6 40resolviendo para x : 40(− 14 − 5 x ) = −6(146 + 7 x ) ⇒ − 560 − 200 x = −876 − 42 x ⇒ − 200 x + 42 x = −876 + 560 3
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa − 316− 158 x = −316 ⇒ x= =2 − 158sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita: 146 + 7(2) 146 + 14 160 y= = = =4 40 40 40 4(2) + 1 8 +1 9Por lo tanto: x = 2 y y = 4 . Comprobación: 2− = 2− = 2 − = 2 −1 = 1 9 9 92(4) − 5 8 − 5 3 = = =1 3 3 31≡1 3(4) + 2 12 + 2 144− = 4− = 4− = 4−2 = 2 7 7 72 + 18 2 + 18 20 = = =2 10 10 102≡2MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN)El método de suma y resta, también llamado de eliminación consiste en efectuar el procedimiento siguiente:• Se multiplica cada ecuación por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos.• Se suman ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuación en términos solamente de la otra variable.• Se resuelve la ecuación lineal.• Se despeja la otra variable de cualquiera de las ecuaciones del sistema.• Se sustituye el valor obtenido en la expresión despejada para obtener el valor de la otra.• Se realiza la comprobación.Ejemplos.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación: 4x − 2 y = 2 1)  − 5 x + 4 y = −13Solución. 8x − 4 y = 4  Se multiplica la primera ecuación por 2 y se suma a la segunda: − 5 x + 4 y = −13  3x = −9 −9 x= = −3 3de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido: 2 − 4x y= = −1 + 2 x = −1 + 2(− 3) = −1 − 6 = −7 −2 4(− 3) − 2(− 7 ) = − 12 + 14 = 2 Por lo tanto: x = −3 y y = −7 . Comprobación:  − 5(− 3) + 4(− 7 ) = 15 − 28 = −13 4
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa − 8 x + 14 y = − 202)  − 5 x + 7 y = −16 Solución. − 8 x + 14 y = −20  Se multiplica la segunda ecuación por − 2 y se suma a la primera: 10 x − 14 y = 32  2x = 12 12x= =6 2de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido: − 20 + 8 x − 10 + 4 x − 10 + 4(6 ) − 10 + 24 14 y= = = = = =2 14 7 7 7 7 − 8(6) + 14(2) = − 48 + 28 = −20Por lo tanto: x = 6 y y = 2 . Comprobación:  − 5(6) + 7(2) = −30 + 14 = −16  5 x − 9 y = 1393)  15 x + 2 y = 98 Solución. − 15 x + 27 y = −417  Se multiplica la primera ecuación por − 3 y se suma a la segunda: 15 x + 2 y = 98  29 y = −319 − 319 y= = −11 29de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido: 139 + 9 y 139 + 9(− 11) 139 − 99 40 x= = = = =8 5 5 5 5 5(8) − 9(− 11) = 40 + 99 = 139 Por lo tanto: x = 8 y y = −11 . Comprobación:  15(8) + 2(− 11) = 120 − 22 = 98MÉTODO DE SUSTITUCIÓNEl método de sustitución consiste en efectuar los siguientes pasos:• Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones.• Sustituir la expresión despejada en la otra ecuación.• Se resuelve la ecuación lineal, generalmente fraccionaria.• Se sustituye este valor en la expresión despeja a fin de obtener el valor de la otra.• Se realiza la comprobación.Ejemplos.Mediante el método de sustitución, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 9 x + 7 y = −17 1)  4 x + 2 y = −12 5
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaSolución. − 17 − 7 yDe la primera ecuación se despeja x: x = 9  − 17 − 7 y se sustituye en la segunda ecuación: 4  + 2 y = −12  9    − 17 − 7 y  multiplicando por 9 : 9 4  + 2 y  = 9(− 12) ⇒ 4(− 17 − 7 y ) + 18 y = −108   9  − 68 − 28 y + 18 y = −108 ⇒ − 28 y + 18 y = −108 + 68 ⇒ − 10 y = −40 − 40 y= =4 − 10 − 17 − 7 y − 17 − 7(4) − 17 − 28 − 45sustituyendo en la ecuación despejada: x = = = = = −5 9 9 9 9 9(− 5) + 7(4) = −45 + 28 = −17Por lo tanto: x = −5 y y = 4 . Comprobación:  4(− 5) + 2(4) = −20 + 8 = −12  − 2x + 3 y = 9 2)  7 x − 9 y = −31Solución. 9 − 3yDe la primera ecuación se despeja x: x = −2  9 − 3y se sustituye en la segunda ecuación: 7  − 9 y = −31  −2    9 − 3y  multiplicando por − 2 : (− 2 )7  − 9 y  = (− 2)(− 31) ⇒ 7(9 − 3 y ) + 18 y = 62   −2  63 − 21 y + 18 y = 62 ⇒ − 21 y + 18 y = 62 − 63 ⇒ − 3 y = −1 −1 1 y= = −3 3 1 9 − 3  9 − 3y  3  = 9 − 1 = 8 = −4sustituyendo en la ecuación despejada: x = = −2 −2 −2 −2 1  − 2(− 4 ) + 3  = 8 + 1 = 9  1 3 Por lo tanto: x = −4 y y = . Comprobación:  3 1 7(− 4 ) − 9  = −28 − 3 = −31 3   10 x + 4 y = −343)  − 5 x + 2 y = 13 Solución. − 34 − 4 y − 17 − 2 yDe la primera ecuación se despeja x: x = = 10 5 6
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa  − 17 − 2 y se sustituye en la segunda ecuación: − 5  + 2 y = 13  5 simplificando: − (− 17 − 2 y ) + 2 y = 13 ⇒ 17 + 2 y + 2 y = 13 ⇒ 2 y + 2 y = 13 − 17 ⇒ 4 y = −4 −4 y= = −1 4 − 34 − 4 y − 34 − 4(− 1) − 34 + 4 − 30sustituyendo en la ecuación despejada: x = = = = = −3 10 10 10 10Por lo tanto: x = −3 y y = −1 . 10(− 3) + 4(− 1) = −30 − 4 = −34  − 5(− 3) + 2(− 1) = 15 − 2 = 13 Comprobación:MÉTODO DE DETERMINANTES  a11 a12 Dado un arreglo de números de la forma: a a22  , su determinante:  21  a11 a12 a21 a22denotado por ∆ , es el resultado de la operación: a11 a 22 − a 21 a12 y representa el producto de númerosque conforman su diagonal principal (la que se dirige hacia abajo) menos el producto de números queconforman su diagonal secundaria (la que se dirige hacia arriba).Ejemplos.Calcular los siguientes determinantes: 5 21) = 5(4) − 3(2) = 20 − 6 = 14 3 4 − 2 −52) = −2(6) − 1(− 5) = −12 + 5 = −7 1 6 −9 73) = (− 9)(− 1) − (− 4)(7 ) = 9 + 28 = 37 − 4 −1 2 = (10 ) − (− 3)(0 ) = 4 + 0 = 44) 5 0 2 − 3 10 5Dado un sistema de la forma: a11 x + a12 y = b1   a21 x + a22 y = b2 • El determinante del Sistema ∆ es el determinante del arreglo formado por los coeficientes de las incógnitas. 7
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa• El determinante de la incógnita ∆x es el que se obtiene sustituyendo en el arreglo del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita x por la columna de los términos independientes.• El determinante de la incógnita ∆y es el que se obtiene sustituyendo en el arreglo del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita y por la columna de los términos independientes.La Regla de Cramer establece que dado un sistema de ecuaciones lineales cuyos términosindependientes no son cero, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de laincógnita por el determinante del sistema. Esto es: b1 a12 ∆x b2 a 22 x= = ∆ a11 a12 a 21 a22 a11 b1 ∆y a 21 b2 y= = ∆ a11 a12 a21 a22En este método solo interesan los coeficientes numéricos incluyendo su signo y, en ambos casos, eldenominador es el mismo.Ejemplos.Por medio de determinantes, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 2 x − 3 y = 12 1)  − 4 x + 5 y = −14Solución. 12 − 3 − 14 5 12(5) − (− 14 )(− 3) 60 − 42 18 x= = = = = −9 2 −3 2(5) − (− 4 )(− 3) 10 − 12 − 2 −4 5 2 12 − 4 − 14 2(− 14 ) − (− 4 )(12 ) − 28 + 48 20 y= = = = = −10 2 −3 2(5) − (− 4 )(− 3) 10 − 12 −2 −4 5 2(− 9) − 3(− 10) = −18 + 30 = 12 x = −9 y y = −10 . Comprobación:  − 4(− 9 ) + 5(− 10) = 36 − 50 = −14Por lo tanto: − 3 x + 2 y = −92)  4 x − 5 y = 26 Solución. 8
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa −9 2 26 − 5 − 9(− 5) − 26(2 ) 45 − 52 − 7 x= = = = = −1 −3 2 (− 3)(− 5) − 4(2) 15 − 8 7 4 −5 −3 −9 4 26 (− 3)(26 ) − 4(− 9 ) − 78 + 36 − 42 y= = = = = −6 −3 2 (− 3)(− 5) − 4(2) 15 − 8 7 4 −5 − 3(− 1) + 2(− 6) = 3 − 12 = −9  x = −1 y y = −6 . Comprobación:  4(− 1) − 5(− 6) = −4 + 30 = 26Por lo tanto: 6x + 4 y = 7 3)  − 9 x + 16 y = 17Solución. 7 4 17 16 7(16 ) − 17(4 ) 112 − 68 44 1 x= = = = = 6 4 (6 )(16 ) − (− 9 )(4 ) 96 + 36 132 3 − 9 16 6 7 − 9 17 6(17 ) − (− 9)(7 ) 102 + 63 165 5 y= = = = = 6 4 (6 )(16 ) − (− 9 )(4 ) 96 + 36 132 4 − 9 16 1  5  6  + 4  = 2 + 5 = 7  1 5  3  4 Por lo tanto: x = y y = . Comprobación:  3 4 1 5 − 9  + 16  = −3 + 20 = 17  3 4   5x − 3 y = 8 4)  10 x − 6 y = 14Solución. 8 −3 14 −6 8(− 6 ) − 14(− 3) − 48 + 42 − 6 x= = = = 5 − 3 (5)(− 6 ) − 10(− 3) − 30 + 30 0 10 −6 9
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 5 8 10 14 5(14 ) − 10(8) 70 − 80 − 10 y= = = = 5 − 3 (5)(− 6 ) − 10(− 3) − 30 + 30 0 10 − 6Al no existir división por cero, el sistema es incompatible.MÉTODO GRÁFICOComo ya se mencionó, cada ecuación lineal de un sistema representa una recta. Esto implica que larepresentación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectasy recuérdese que:• Si se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema.• Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado y sus soluciones son todos los puntos de la recta.• Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible.Para fines de graficación conviene despejar de ambas ecuaciones la variable y . Se puede elaborar unatabla de valores o se ubican los puntos en que cruzan a los ejes coordenados para cada recta, se trazany se analiza su comportamiento.Ejemplos.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método gráfico: x+ 2y = 5 1)  3x − 6 y = −9Solución yPara la primera ecuación: 2 x + 4 y = 10 5 5Si x = 0 ⇒ 2y = 5 ⇒ = 2.5 y= 4 2 3 10Si y = 0 ⇒ 2 x = 10 ⇒ x = =5 2 2 1la recta pasa por los puntos (0 , 2.5 ) y (5, 0 ) x -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5Para la segunda ecuación: −9 -2 x = 0 ⇒ − 6 y = −9 ⇒ = 1.5 y= 3x − 6 y = −9 -3Si −6 −9Si y = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = = −3 3la recta pasa por los puntos (0 ,1.5) y (− 3, 0 )graficando se obtiene que la solución es el punto de intersección ( x , y ) , es decir (1, 2 ) 2(1) + 4(2) = 2 + 8 = 10   3(1) − 6(2) = 3 − 12 = −9comprobación: 10
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 6 x + 14 y = 9 2)  3x + 2 y = −3 ySoluciónPara la primera ecuación: 2 9Si x = 0 ⇒ 14 y = 9 ⇒ y = ≈ 0.6428 14 1 9 3Si y = 0 ⇒ 6 x = 9 ⇒ x = = = 1.5 6 2la recta pasa por los puntos (0 , 0.6428 ) y (1.5, 0 ) -3 -2 -1 1 2 3 xPara la segunda ecuación: -1 6 x + 14 y = 9 −3Si x = 0 ⇒ 2 y = −3 ⇒ y = = −1.5 -2 2 3 x + 2 y = −3 −3Si y = 0 ⇒ 3 x = −3 ⇒ x = = −1 3la recta pasa por los puntos (0 , − 1.5 ) y (− 1, 0 )graficando se obtiene que la solución es el punto de intersección ( x , y ) , es decir (− 2 , 1.5 ) 6(− 2) + 14(1.5) = −12 + 21 = 9  3(− 2) + 2(1.5) = −6 + 3 = −3 comprobación: 3x + 3 y = 6 3)  5 x − 10 y = 10 ySoluciónPara la primera ecuación: 2 6Si x = 0 ⇒ 3y = 6 ⇒ =2 y= 1 3 6Si y = 0 ⇒ 3 x = 6 ⇒ x = = 2 3 xla recta pasa por los puntos (0, 2 ) y (2, 0 ) -3 -2 -1 1 2 3 -1Para la segunda ecuación: 10 5 x − 10 y = 10Si x = 0 ⇒ − 10 y = 10 ⇒ y= = −1 -2 3x + 3 y = 6 − 10 10Si y = 0 ⇒ 5 x = 10 ⇒ =2 x= 5la recta pasa por los puntos (0 , − 1) y (2, 0 )graficando se obtiene que la solución es el punto de intersección ( x , y ) , es decir (2, 0 ) 3(2) + 3(0 ) = 6 + 0 = 6   5(2 ) − 10(0) = 10 − 0 = 10comprobación: 11
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaPROBLEMAS CON SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITASMuchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Setrata de un tema fundamental para todas las disciplinas que utilizan las matemáticas de una manera uotra. En muchos problemas existe dependencia entre las diferentes magnitudes o variables queintervienen, y a menudo, se expresa en forma de ecuación lineal.Dentro del proceso de resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales, se pueden definircinco etapas:• Leer el problema• Definir las incógnitas principales de forma precisa• Traducción matemática del problema para plantearlo• Resolución• Interpretación de las soluciones para contrastar la adecuación de las soluciones obtenidas.Ejemplos.1) En una granja, se tienen cien animales entre puercos y gallinas. Si en total suman 240 patas,¿cuántos animales tengo de cada clase?Solución.x es el número de puercos y es el número de gallinascomo cada puerco tiene cuatro patas y cada gallina dos, el sistema está dado por: x + y = 100  x + y = 100   ⇒ 4 x + 2 y = 240 2 x + y = 120resolviendo por eliminación, se multiplica la primera ecuación por − 2 y se suma a la segunda: − 2 x − 2 y = −200   2 x + y = 120  − y = −80 − 80 y= = 80 −1de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido:x = 100 − y = 100 − 80 = 20Por lo tanto, hay 20 puercos y 80 gallinas. 20 + 80 = 100   4(20) + 2(80) = 80 + 160 = 240Comprobación:2) Una cuerda mide doce metros y se corta en dos partes de tal manera que una es dos metros másgrande que la otra. ¿Cuales son las nuevas medidas de las cuerdas?Solución.x es la longitud del pedazo más grande y es la longitud del pedazo más pequeño x + y = 12  x= y+2 ordenando: 12
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa x + y = 12  x− y =2 resolviendo por eliminación, se suma la primera ecuación a la segunda: x + y = 12   x− y =2  2x = 14 14 x= =7 2de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido: y = 12 − x ⇒ y = 12 − 7 = 5Por lo tanto, los pedazos miden 7 y 5 metros. 7 + 5 = 12Comprobación:  7−5 = 2 3) Seis Kg. de piñones y cinco Kg. de nueces costaron 2,270 pesos y cinco Kg. de piñones y cuatro denueces costaron 1,880 pesos. Hallar el precio de un kilogramo de piñones y uno de nueces.Solución.x es el precio en pesos de un Kg. de piñones y es el precio en pesos de un Kg. de nueces6 x + 5 y = 2,270 5 x + 4 y = 1,880 resolviendo por determinantes: 2 ,270 5 1,880 4 2 ,270(4 ) − 1,880(5) 9 ,080 − 9 ,400 − 320 x= = = = = 320 6 5 6(4 ) − 5(5) 24 − 25 −1 5 4 6 2 ,270 5 1,880 6(1,880 ) − 5(2 ,270) 11,280 − 11,350 − 70y= = = = = 70 6 5 6(4) − 5(5) 24 − 25 −1 5 4Por lo tanto, un Kg. de piñones vale 320 pesos y uno de nueces vale 70 pesos. 6(320) + 5(70) = 1,920 + 350 = 2,270  5(320) + 4(70) = 1,600 + 280 = 1,880 Comprobación:4) Paola tiene 27 años más que su hija Andrea. Dentro de 8 años, la edad de Paola doblará a la deAndrea. ¿Cuántos años tiene cada una?Solución.x es la edad de Paola y es la edad de Andrea x = y + 27   x + 8 = 2( y + 8) 13
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosasimplificando: x − y = 27  x − y = 27  ⇒  x + 8 = 2 y + 16 x − 2 y = 8resolviendo por eliminación, se multiplica la primera ecuación por − 1 y se suma a la segunda: − x + y = −27   x − 2y = 8  − y = −19 − 19 y= = 19 −1de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido:x = 27 + y = 27 + 19 = 46 46 años y Andrea tiene 19 años.Por lo tanto, Paola tiene 46 − 19 = 27   46 − 2(19) = 46 − 38 = 8Comprobación:5) La diferencia de dos números es 14 , y la cuarta parte de su suma es 13 . Hallar los números.Solución.x es el número mayor y es el número menor x − y = 14   1 (x + y ) = 13  4 simplificando: x − y = 14  x − y = 14   ⇒  x + y = 4(13) x + y = 52resolviendo por eliminación, se suma la primera ecuación a la segunda: x − y = 14   x + y = 52  2x = 66 66 x= = 33 2de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido:− y = 14 − x ⇒ y = −14 + x = −14 + 33 = 19Por lo tanto, los números son 33 y 19 . 33 − 19 = 14 Comprobación:  33 + 19 = 52 16) Si a los dos términos de una fracción se añade 3 , el valor de la fracción es , y si a los dos términos 2 1se resta 1 , el valor de la fracción es . Hallar la fracción. 3Solución. 14
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa x es el numerador y es el denominador x es la fracción buscada. y x + 3 1 = y + 3 2   x −1 1  = y −1 3   2( x + 3) = 1( y + 3) 2 x + 6 = y + 3 2 x − y = −3  ⇒  ⇒  3( x − 1) = 1( y − 1) simplificando: 3x − 3 = y − 1  3x − y = 2  −3+ yresolviendo por igualación, de la primera ecuación se despeja x : x = 2 2+ yde la segunda ecuación también se despeja x : x = 3 −3+ y 2+ yse igualan estas dos últimas ecuaciones: = 2 3resolviendo para y :3(− 3 + y ) = 2(2 + y ) − 9 + 3y = 4 + 2 y3y − 2 y = 4 + 9 y = 13sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita: − 3 + 13 10 x= = =5 2 2 5Por lo tanto, la fracción es 13 5+3 8 1 = = 13 + 3 16 2  Comprobación:  5 −1 4 1  = = 13 − 1 12 3  7) El precio del boleto para un concierto es de 225 pesos para público en general, y 150 pesos paraestudiantes. La taquilla recaudó 77,775 pesos por la venta de 450 boletos. ¿Cuántos boletos de cadatipo se vendieron?Solución. x es el número de boletos vendidos a público en general y es el número de boletos vendidos a estudiantes x + y = 450  225 x + 150 y = 77 ,775resolviendo por eliminación, se multiplica la primera ecuación por − 225 y se suma a la segunda: 15
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa− 225 x − 225 y = −101,250  225 x + 150 y = 77 ,775  − 75 y = −23,475 − 23,475 y= = 313 − 75de la primera ecuación se despeja la otra incógnita y se sustituye el valor obtenido:x = 450 − y = 450 − 313 = 137Por lo tanto, se vendieron 137 boletos a público en general y 313 a estudiantes. 137 + 313 = 450 Comprobación:  225(137 ) + 150(313) = 30 ,825 + 46 ,950 = 77 ,7758) Una llave A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otra llave B. Abiertas simultáneamente,llenan el depósito en dos horas. ¿Cuánto tarda cada una por separado?Solución. 1 x son las horas que tarda la llave A en llenar el depósito, así que en una hora llena del depósito x 1 y son las horas que tarda la llave B en llenar el depósito, así que en una hora llena del depósito y 1Las dos llaves tardan dos horas en llenar el depósito, así que en una hora llenan del depósito 2 1 1 1 + =  x y 2x = 2y  sustituyendo la segunda ecuación en la primera se tiene: 1 1 1 + = 2y y 2 2y :multiplicando por  1 1 12 y +  = 2 y  ⇒ 1 + 2 = y ⇒  2y y  y =3    2sustituyendo en la segunda ecuación: x = 2(3) = 6Por lo tanto, la llave A llena el depósito en 6 horas y la llave B lo hace en 3 horas. 1 1 3+ 6 9 1 + = = = Comprobación: 6 3 18 18 2 2(3) = 6  9) Un bote que navega por un río recorre 15 kilómetros en hora y media a favor de la corriente y 12kilómetros en dos horas contra la corriente. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidaddel río.Solución.x es la velocidad en Km. por hora del bote en agua tranquila y es la velocidad en Km. por hora del ríox + y es la velocidad del bote a favor de la corrientex − y es la velocidad del bote contra la corriente 16
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa dis tan cia dis tan ciavelocidad = ⇒ tiempo = tiempo velocidad 15  = 1.5 x+ y   12 =2  x− y   15 = 1.5 x + 1.5 y  1.5 x + 1.5 y = 15simplificando:  ⇒  12 = 2 x − 2 y  2 x − 2 y = 12 resolviendo por determinantes: 15 1.5 12 − 2 15(− 2 ) − 12(1.5) − 30 − 18 − 48 x= = = = =8 1.5 1.5 1.5(− 2 ) − 2(1.5) −3−3 −6 2 −2 1.5 15 2 12 1.5(12 ) − 2(15) 18 − 30 − 12 y= = = = =2 1.5 1.5 1.5(− 2) − 2(1.5) − 3 − 3 − 6 2 −2 Km KmPor lo tanto, la velocidad del bote en agua tranquila es de 8 y la velocidad del río es de 2 . hr hr 1.5(8) + 1.5(2 ) = 12 + 3 = 15  2(8) − 2(2) = 16 − 4 = 12 Comprobación:MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES Y TRESINCÓGNITASUn sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas x , y y z , también llamado ecuaciones simultáneasde tres por tres es de la forma: a11 x + a12 y + a13 z = b1   a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2  a31 x + a32 y + a33 z = b3  donde a11 , ⋯ , a33 son coeficientes reales y b1 , b2 , b3 son términos independientes. Resolver unsistema de este tipo es encontrar la terna de números x , y y z que satisfacen las tres ecuaciones, siexisten.Aquí se expondrán dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones:• Reducción (método de eliminación de Gauss)• Determinantes (Regla de Cramer) 17
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaMÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSSEl método reducción para la resolución de sistemas lineales es una generalización del método deeliminación expuesto en el subtema VIII.2.2 y es aplicable a sistemas lineales de cualquier tamaño. Enesencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformacioneselementales a fin de obtener un sistema escalonado (un sistema es escalonado cuando cada ecuacióntiene una incógnita menos que la anterior), más fácil de resolver.La idea del método es muy simple: ir reduciendo en cada paso el problema a un problema que tiene unaecuación menos y una incógnita menos. Este método es mejor conocido como método de eliminación de 1Gauss .El procedimiento es el siguiente:1. Tomando como base el signo de una de las incógnitas de una ecuación, se procura que en las otrasdos ecuaciones esa incógnita tenga la misma magnitud y signo contrario, para que al sumarlas miembroa miembro se elimine dicha incógnita, dando lugar a que en todas las ecuaciones desaparezca, exceptoen una.2. Se procura que otra de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en cualquiera de las dos ecuacionesreducidas para que, al sumarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a unaecuación con sólo la tercera incógnita, misma que se despeja.3. Con un valor conocido, se sustituye en la ecuación reducida para obtener el valor de otra incógnita através de un despeje.4. Con los valores de dos incógnitas se sustituye en la ecuación que no fue reducida, y mediante undespeje se obtiene el valor faltante.Ejemplo.Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de eliminación de Gauss. 2 x + 3 y − 5 z = −13  1) 4 x + 5 y − 2 z = 3  − 6 x − 2 y − 3 z = −12 Solución.La primera ecuación se multiplica por − 2 y se suma a la segunda. La primera ecuación se multiplica por3 y se suma a la tercera:2 x + 3 y − 5 z = −13  − y + 8 z = 29  7 y − 18 z = −51  la segunda ecuación se multiplica por 7 y se suma a la tercera:2 x + 3 y − 5 z = −13  − y + 8 z = 29  38 z = 152  152de la tercera ecuación se despeja z : z = =4 381 El nombre es un reconocimiento al matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien desarrolló el método. 18
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosase sustituye este valor en la segunda ecuación y se despeja y : −3− y + 8(4) = 29 ⇒ − y + 32 = 29 ⇒ − y = 29 − 32 = −3 ⇒ y= =3 −1estos valores, se sustituyen en la primera ecuación y se despeja x: −22 x + 3(3) − 5(4) = −13 ⇒ 2 x + 9 − 20 = −13 ⇒ 2 x = −13 − 9 + 20 = −2 ⇒ x= = −1 2Por lo tanto la solución del sistema es: x = −1, y = 3, z = 4 2(− 1) + 3(3) − 5(4 ) = −2 + 9 − 20 = −13  Comprobación: 4(− 1) + 5(3) − 2(4 ) = −4 + 15 − 8 = 3  − 6(− 1) − 2(3) − 3(4 ) = 6 − 6 − 12 = −12  x + 2y − z = 6 2) 2 x + 2 y − z = 1  − x − y + 2 z = 1Solución.La primera ecuación se multiplica por − 2 y se suma a la segunda. La primera ecuación se multiplica por1 y se suma a la tercera: x + 2y − z = 6   − 2 y + z = −11 y+z =7  la tercera ecuación se multiplica por 2 y se suma a la segunda: x + 2 y − z = 6  3z = 3  y+ z =7  3de la segunda ecuación se despeja z : z = =1 3se sustituye este valor en la tercera ecuación y se despeja y : y +1 = 7 ⇒ y = 7 −1 = 6estos valores, se sustituyen en la primera ecuación y se despeja x: x + 2(6 ) − 1 = 6 ⇒ x + 12 − 1 = 6 ⇒ x = 6 − 12 + 1 = −5Por lo tanto la solución del sistema es: x = −5, y = 6 , z = 1 − 5 + 2(6 ) − 1 = −5 + 12 − 1 = 6  Comprobación: 2(− 5) + 2(6 ) − 1 = −10 + 12 − 1 = 1 − (− 5) − (6 ) + 2(1) = 5 − 6 + 2 = 1   3 x − 2 y − 4 z = 20  3) 12 x + 3 y + 5 z = 9  − 9 x − y − 2 z = −11Solución. 19
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaLa primera ecuación se multiplica por − 4 y se suma a la segunda. La primera ecuación se multiplica por3 y se suma a la tercera:3 x − 2 y − 4 z = 20   11 y + 21z = −71 − 7 y − 14 z = 49  la tercera ecuación se divide por 7 :3 x − 2 y − 4 z = 20  11 y + 21z = −71  − y − 2z = 7  la tercera ecuación se multiplica por 11 y se suma a la segunda:3 x − 2 y − 4 z = 20   −z=6  − y − 2z = 7   6de la segunda ecuación se despeja z : z = = −6 −1se sustituye este valor en la tercera ecuación y se despeja y : −5− y − 2(− 6 ) = 7 ⇒ − y + 12 = 7 ⇒ − y = 7 − 12 = −5 ⇒ y= =5 −1estos valores, se sustituyen en la primera ecuación y se despeja x:3x − 2(5) − 4(− 6) = 20 ⇒ 3 x − 10 + 24 = 20 ⇒ 3 x = 20 + 10 − 24 = 6 ⇒ 6 x= =2 3Por lo tanto la solución del sistema es: x = 2 , y = 5, z = −6 3(2 ) − 2(5) − 4(− 6 ) = 6 − 10 + 24 = 20  Comprobación: 12(2 ) + 3(5 ) + 5(− 6 ) = 24 + 15 − 30 = 9  − 9(2 ) − 5 − 2(− 6 ) = −18 − 5 + 12 = −11 MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)  a11 a12 a13  Dado un arreglo de números de la forma: a 21 a 22 a23  , su determinante:    a31  a32 a33   a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33denotado por ∆ , es el resultado de la operación: a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a31a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21a12 20
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaSi al determinante se le agregan los dos primeros renglones y se efectúan los productos que indican lasflechas se tiene que: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23el determinante puede obtenerse calculando la diferencia de la suma de productos en la dirección hacia abajomenos la suma de productos en la dirección hacia arriba. Es decir, representa el producto de números queconforman su diagonal principal (la que se dirige hacia abajo) y sus dos paralelas menos el producto denúmeros que conforman su diagonal secundaria (la que se dirige hacia arriba) y sus dos paralelas.Ejemplos.Aplicando la fórmula, calcular los siguientes determinantes: 5 3 −21) 4 −1 9 = 5(− 1)(7 ) + 4(6)(− 2 ) + 8(3)(9 ) − 8(− 1)(− 2 ) − 6(9 )(5) − 7(4 )(3) 8 6 7 = −35 − 48 + 216 − 16 − 270 − 84 = −237 7 −2 82) − 5 3 4 = 7(3)(− 1) + (− 5)(6 )(8) + 1(− 2 )(4 ) − 1(3)(8) − 6(4 )(7 ) − (− 1)(− 5)(− 2 ) 1 6 −1 = −21 − 240 − 8 − 24 − 168 + 10 = −451 9 4 −33) − 2 − 1 8 = 9(− 1)(2 ) + (− 2 )(5)(− 3) + 9(4 )(8 ) − 9(− 1)(− 3) − 5(8)(9 ) − 2(− 2 )(4 ) 9 5 2 = −18 + 30 + 288 − 27 − 360 + 16 = −71 1 5 6 2 2  5  7   7  1  5 = (2)(− 8) + 10(0)(6) + 4   − 4(2)(6) − 0   − (− 8)(10)  7 14) 10 2 2 2  2  2   2  2   2 4 0 −8 = −8 + 0 + 35 − 48 − 0 + 200 = 179Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de la forma: 21
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa a11 x + a12 y + a13 z = b1   a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2  a31 x + a32 y + a33 z = b3  • El determinante del Sistema ∆ es el determinante del arreglo formado por los coeficientes de las incógnitas.• El determinante de cualquier incógnita es el que se obtiene sustituyendo en el arreglo del sistema la columna de los coeficientes de esa incógnita por la columna de los términos independientes.La Regla de Cramer establece que dado un sistema de ecuaciones lineales cuyos términosindependientes no son cero, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de laincógnita por el determinante del sistema. Esto es: b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 b2 a22 a23 a21 b2 a23 a21 a22 b2 ∆x b3 a32 a33 ∆y a b a33 ∆z a a32 b3 x= = ; y= = 31 3 ; z= = 31 ∆ a11 a12 a13 ∆ a11 a12 a13 ∆ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 Cuando el determinante ∆ es cero, entonces el sistema es incompatible.Ejemplo.Obtener la solución de los siguientes sistemas aplicando la Regla de Cramer: 3 x − 5 y − 6 z = 17  1) 4 x + 3 y + 8 z = −22  2 x + 6 y − 7 z = 42 Solución. 3 −5 −6∆= 4 3 8 = 3(3)(− 7 ) + 4(6)(− 6) + 2(− 5)(8) − 2(3)(− 6) − 6(8)(3) − (− 7 )(4)(− 5) 2 6 −7 = − 63 − 144 − 80 + 36 − 144 − 140 = − 535 17 − 5 − 6∆x = − 22 3 8 = 17(3)(− 7 ) + (− 22)(6)(− 6) + 42(− 5)(8) − 42(3)(− 6) − 6(8)(17 ) − (− 7 )(− 22 )(− 5) 42 6 −7 = −357 + 792 − 1,680 + 756 − 816 + 770 = −535 ∆x − 535 x= = =1 ∆ − 535 3 17 − 6∆y = 4 − 22 8 = 3(− 22)(− 7 ) + 4(42)(− 6) + 2(17 )(8) − 2(− 22)(− 6) − 42(8)(3) − (− 7 )(4)(17 ) 2 42 −7 = 462 − 1,008 + 272 − 264 − 1,008 + 476 = −1,070 22
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ∆y − 1,070 y= = =2 ∆ − 535 3 − 5 17∆z = 4 3 − 22 = 3(3)(42 ) + 4(6)(17 ) + 2(− 5)(− 22) − 2(3)(17 ) − 6(− 22)(3) − (42)(4)(− 5) 2 6 42 = 378 + 408 + 220 − 102 + 396 + 840 = 2 ,140 ∆z 2 ,140 z= = = −4 ∆ − 535Por lo tanto la solución del sistema es: x = 1, y = 2 , z = −4 3(1) − 5(2 ) − 6(− 4 ) = 3 − 10 + 24 = 17  Comprobación: 4(1) + 3(2 ) + 8(− 4 ) = 4 + 6 − 32 = −22  2(1) + 6(2 ) − 7(− 4 ) = 2 + 12 + 28 = 42   6x + 7 y + 2z = 1  2) 4x + y + 4z = 5  − 5 x + 8 y − 9 z = −9  Solución. 6 7 2∆= 4 1 4 = 6(1)(− 9) + 4(8)(2) + (− 5)(7 )(4) − (− 5)(1)(2) − 8(4)(6) − (− 9)(4)(7 ) −5 8 −9 = −54 + 64 − 140 + 10 − 192 + 252 = −60 1 7 2∆x = 5 1 4 = 1(1)(− 9) + 5(8)(2) + (− 9)(7 )(4) − (− 9)(1)(2) − 8(4)(1) − (− 9)(5)(7 ) −9 8 −9 = −9 + 80 − 252 + 18 − 32 + 315 = 120 ∆x 120x= = = −2 ∆ − 60 6 1 2∆y = 4 5 4 = 6(5)(− 9) + 4(− 9)(2) + (− 5)(1)(4) − (− 5)(5)(2) − (− 9)(4)(6) − (− 9)(4)(1) −5 −9 −9 = −270 − 72 − 20 + 50 + 216 + 36 = −60 ∆y − 60y= = =1 ∆ − 60 6 7 1∆z = 4 1 5 = 6(1)(− 9) + 4(8)(1) + (− 5)(7 )(5) − (− 5)(1)(1) − 8(5)(6) − (− 9)(4)(7 ) −5 8 −9 = −54 + 32 − 175 + 5 − 240 + 252 = −180 ∆z − 180 z= = =3 ∆ − 60 23
    • Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Sistemas de ecuaciones Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaPor lo tanto la solución del sistema es: x = −2 , y = 1, z = 3 6(− 2 ) + 7(1) + 2(3) = −12 + 7 + 6 = 1  Comprobación: 4(− 2 ) + 1 + 4(3) = −8 + 1 + 12 = 5  − 5(− 2 ) + 8(1) − 9(3) = 10 + 8 − 27 = −9  − 2 x + 3 y + 5 z = −23 3) 3 x + 8 y − 2 z = 68  x − 2 y − 6 z = 20  Solución. −2 3 5∆= 3 8 − 2 = (− 2)(8)(− 6) + 3(− 2)(5) + (1)(3)(− 2) − (1)(8)(5) − (− 2)(− 2)(− 2) − (− 6)(3)(3) 1 −2 −6 = 96 − 30 − 6 − 40 + 8 + 54 = 82 − 23 3 5∆x = 68 8 − 2 = (− 23)(8)(− 6) + 68(− 2)(5) + (20)(3)(− 2) − (20)(8)(5) − (− 2)(− 2)(− 23) − (− 6)(68)(3) 20 − 2 − 6 = 1,104 − 680 − 120 − 800 + 92 + 1,224 = 820 ∆x 820 x= = = 10 ∆ 82 − 2 − 23 5∆y = 3 68 − 2 = (− 2)(68)(− 6) + 3(20)(5) + (1)(− 23)(− 2) − (1)(68)(5) − (20)(− 2)(− 2) − (− 6)(3)(− 23) 1 20 −6 = 816 + 300 + 46 − 340 − 80 − 414 = 328 ∆y 328 y= = =4 ∆ 82 − 2 3 − 23∆z = 3 8 68 = (− 2)(8)(20) + 3(− 2)(− 23) + (1)(3)(68) − (1)(8)(− 23) − (− 2)(68)(− 2) − (20 )(3)(3) 1 −2 20 = −320 + 138 + 204 + 184 − 272 − 180 = −246 ∆z − 246 z= = = −3 ∆ 82Por lo tanto la solución del sistema es: x = 10 , y = 4 , z = −3 − 2(10 ) + 3(4 ) + 5(− 3) = −20 + 12 − 15 = −23 Comprobación: 3(10 ) + 8(4 ) − 2(− 3) = 30 + 32 + 6 = 68  10 − 2(4) − 6(− 3) = 10 − 8 + 18 = 20   24