• Save
Tv 13
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Tv 13

on

  • 732 views

 

Statistics

Views

Total Views
732
Views on SlideShare
426
Embed Views
306

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

2 Embeds 306

http://vyuka.fs.vsb.cz 265
http://lms.vsb.cz 41

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Tv 13 Tv 13 Presentation Transcript

    • 352 - Katedra automatizační techniky a řízeníTechnické výpočty Ing. David Fojtík, Ph.D. A922, kl. 4193
    • Princip numerické derivace a integrace• Numerická integrace a derivace se používá v případě, když požadovaná funkce je zadaná pouze tabulkou bodů xi,f(xi), i=1..n (nejčastěji změřených) nebo, pro kterou je analytické řešení příliš složité, časově a ekonomicky náročné.• Základní principem numerické derivace a integrace je nahrazení funkce interpolačním polynomem, popřípadě jinou aproximací, který lze snadno derivovat či integrovat.• Řešení je přibližné, zatížené chybami: Modelu, Dat, Aproximací, Diskretizací a Zaokrouhlovací chybou.• V případě funkcí, jejichž hodnoty byly získány např. experimentálně a jsou zatíženy nezanedbatelnými chybami, se doporučuje nejprve tyto hodnoty metodou nejmenších čtverců „vyrovnat a potom teprve funkci derivovat.
    • Numerická derivace
    • Derivace a její význam y dy• Derivace funkce f v bodě x, f’(x) představuje míru lim f ( x) změny funkce f(x) v bodě x, kterou lze vyjádřit x 0 x dx jako podíl změny Δy/ Δx. Pro nekonečně malé Δx f ( x h) f ( x) f ( x) lim je pak tento podíl vyjádřen derivací dy/dx. h 0 h• Derivací funkce s(t) podle t, popisující dráhu kde t je čas získáme funkci rychlosti v(t). Díky tomu můţeme v kaţdém čase t přesně určit rychlost tělesa.• Derivací funkce v(t) podle t, popisující rychlost tělesa kde t je čas získáme funkci zrychlení a(t). Díky tomu můţeme v kaţdém čase t přesně určit zrychlení tělesa.• Síla se F se spočte F = m·a (hmotnost krát zrychlení). Známe-li průběh zrychlení (funkci a(t)) můţeme pro jakýkoliv čas určit působící sílu F(t) = m·a(t). Respektive stačí znát funkci dráhy s(t) kde F(t) = m·s’’(t).• Při chemické reakci dvou a více látek, kdy funkcí c(t) označíme koncentraci některé látky v čase t pak derivací získáme rychlost chemické reakce t.• Hledání lokálních extrémů (lokální minimum a maximu), analýza chování funkcí (rostoucí, klesající) atd.
    • Geometrický význam derivace• Derivace funkce f v bodě x, f’(x) geometricky představuje směrnici tečny ke křivce průběhu funkce f(x) v bodě x. 1 y 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 x 0 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2 -0.3 f(x) = x³ -0.4 Ax+B = f(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f(-0,5) ·x] -0.5 Ax+B = f(0,3) ·x + [f(0,3)- f(0,3) ·x] -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1
    • . Numerická derivace ze dvou bodů • Dosazení do rovnice derivace f ( x h) f ( x) f ( x) lim h 0 h reálné h>0, pak dostaneme přibliţnou hodnotu derivace v bodě x jejíţ přesnost je závislá na velikosti h. f ( x h) f ( x) f ( x) d ( x, h ) h • Odtud dostaneme základní vzorec pro výpočet numerické derivace v bodě xi: f ( xi ) f ( xi 1 ) f ( xi ) xi xi 1 • alternativou výpočtu je vztah: f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) xi 1 xi
    • Geometrický význam numerické derivace ze dvou bodů a její chyba • Numerická derivace funkce f v bodě xi, f’(xi) geometricky představuje směrnici spojnice bodů funkce f(xi-1) a f(x) nebo f(x) a f(xi+1) 1 y 0.9 0.8 0.7 -0.6 -0.5 -0.4 0.6 0.5 0.4 f ( xi 1 ) f ( xi ) 0.3 -0.1f ( xi ) 0.2 xi 1 xi 0.1 x y 0-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2 -0.3 f(x) = x³ f(x) = x³ -0.4 Ax+B = f(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f(-0,5) ·x] Ax+B = f(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f(-0,5) ·x] -0.5 Ax+B = f(0,3) ·x + [f(0,3)- f(0,3) ·x] Ax+B = p(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p(-0,5) ·x] -0.6 f(x) x p(x) -0.2 -0.7 Ax+B = p(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p(-0,5) ·x] -0.8 Ax+B = p(0,3) ·x + [f(0,3)- p(0,3) ·x] -0.9 -1
    • . Numerická derivace ze tří bodů • Jiný vzorec lze také odvodit proloţíme-li trojici bodů yi-1 =f(x-h), yi = f(x), yi+1 = f(x+h) interpolačním polynomem p(x)=ax2+bx+c, jehoţ koeficienty lze určit ze tří rovnic. (stačí určit a,b) pi a xi2 b xi c 2 pi 1 a xi h b xi h c 2 pi 1 a xi h b xi h c • Derivací polynomu získáme tvar p’(x)=2ax+b (rovnice přímky). Pak po dosazení koeficientů a,b z výše určených rovnic získáme vzorec pro numerickou derivaci. f ( xi 1 ) f ( xi 1 ) f ( xi ) p ( xi ) xi 1 xi 1
    • Geometrický význam numerické derivace ze tří bodů a její chyba• Numerická derivace funkce f v bodě xi, f’(xi) geometricky představuje směrnici sečny procházející sousedními body f(xi-1) a f(xi+1). 1 y 0.9 0.8 -0.6 -0.5 -0.4 0.7 0.6 f ( xi 1 ) f ( xi 1 ) 0.5 f ( xi ) p ( xi ) 0.4 xi 1 xi 1 -0.1 0.3 0.2 0.1 y 0 x-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2 -0.3 f(x) = x³ -0.4 Ax+B = f(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f(-0,5) ·x] f(x) = x³ -0.5 Ax+B = f(0,3) ·x + [f(0,3)- f(0,3) ·x] Ax+B = f(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f(-0,5) ·x] -0.6 f(x) Ax+B = p(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p(-0,5) ·x] -0.7 p(x) Sečna x -0.8 Ax+B = p(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p(-0,5) ·x] -0.2 -0.9 Ax+B = p(0,3) ·x + [f(0,3)- p(0,3) ·x] -1
    • Problém volby velikosti kroku na přesnost řešení• Z analytického pohledu řešení se jeví, ţe zmenšováním kroku h lze dosáhnout při numerickém derivování libovolné přesnosti. Bohuţel se však ukazuje, ţe pří příliš malém h můţe velmi narůst vliv zaokrouhlovací chyby. Pro malé h muţe být f(x0) ≈ f(x1) a tedy v čitateli zlomku odčítáme dvě sobe velmi blízká čísla, výsledek pak navíc opět dělíme malým číslem. To jsou operace vzhledem k zaokrouhlovací chybě velmi riskantní. Naopak, při velkém kroku h nelze očekávat velkou přesnost vzhledem k chybě metody. Proto je potřeba volit kompromis.
    • Numerická Integrace
    • Integrace a její význam• Neurčitý integrál realizuje výpočet primitivní funkce k funkci f(x) reverzní operace k derivaci – realizuje se pouze symbolicky. f ( x) dx f ( x) • Výpočet rovnice rychlosti v(t) se znalosti rovnice zrychlení a(t) • Výpočet rovnice dráhy s(t) se znalosti rovnice rychlosti v(t) atd.• Určitý integrál funkce jedné Plocha pod křivkou v intervalu <a,b> proměnné f(x) v intervalu <a,b> f(x) = 3x³ + 2x² - x +2 představuje velikost plochy pod 2.5 křivkou v tomto intervalu. Takzvaná kvadratura. 2 y dy lim f ( x) b x 0 x dx S f ( x) d ( x) 1.5 y a• Určitý integrál funkce dvou 1 b proměnných f(x,y) ohraničené S f ( x) d ( x) vztahy (intervaly <ax,bx> a <ay,by>) 0.5 a představuje velikost objemu pod plochou f(x,y) v daném ohraničení. 0 Takzvaná kubatura. a b x
    • Numerická Integrace• Numerická integrace slouţí pouze k vyčíslení Určitých integrálů zadaných rovnicí nebo tabulkami hodnot. b S f ( x) d ( x) V f ( x, y) d ( x)d ( y) a b• Integrál se vypočítá přibliţně n pomocí součtu součinů vah I( f ) f ( x) d ( x) wi f ( xi ) wi s funkčními hodnotami f(xi) a i 0• Například potřebujeme průběţně měřit bezkontaktně objem hmoty na pásovém dopravníku. Vyuţijeme laserový skener, který opakovaně naměří sadu bodů jednoho řezů (osa x), pohybujícího se pásu (osa y). Objem hmoty je rozdíl objemů pod plochou materiálu sníţen od objemu pod plochou pásu. 2 1 x a2,2 a1,2 a2,1 a1,1 ax,2 ax,1 Vc = Vb α - Va α 2,2 Pa2 Pax Pa1 b2 1,2 b1 2,1 1,1 Pb l l
    • Metody numerické IntegraceAlgoritmy jsou založeny na rozdělení intervalu <a,b> sadupodintervalů, které se aproximují polynomem jehožintegraci snadno vyčíslíme (známe analytické řešení).Integrál je pak roven součtu těchto dílčích integrálů.• Newton-Cotesovy vzorce podintervaly se aproximují polynomy o řádu:  n=0 Obdélníková metoda,  n=1 Lichoběžníková metoda,  n =2 Simpsonova metoda (Simpsonovo 1/3 pravidlo),  n =3 Simpsonova metoda (Simpsonovo 3/8 pravidlo),
    • Lichoběžníková metoda• Interval <a, b> je rozdělen na n stejných segmentů (odměřených bodů v tabulce). Funkční body jsou aproximované přímkou čímž plocha pod křivkou má tvar lichoběžníku která se vypočte: x2 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) (b a ) f ( x) d ( x) p ( x) d ( x) ( x2 x1 ) x1 x1 2 2 n Celkový integrálu funkce na intervalu <a, b> je pak dáno součtemb n n 1 (b a) f ( xi ) f ( xi 1 ) (b a) f (a) f (b) f ( x) d ( x) f ( xi )a n i 0 2 n 2 i 1• Tzv. složené lichoběžníkové pravidlo
    • AlgoritmusLichoběžníkové metodyb n 1 (b a) f (a) f (b) f ( x) d ( x) f ( xi )a n 2 i 1
    • Simpsonovo 1/3 pravidlo• Interval <a, b> je rozdělen na n stejných segmentů (odměřených bodů v tabulce). Funkční body jsou aproximované polynomem 2. řádu p(x) = ax2 + bx + c. Plocha pod křivkou je pak dána vztahem: x2 x2 (b a ) x x f ( x) d ( x) p ( x) d ( x) f ( x1 ) 4 f ( 1 2 ) f ( x2 ) x1 x1 3n 2• Máme-li však pouze tabulkové body, kdy nelze vyčíslit f[(x1+x2)/2] je vzorec následující x3 x3 (b a) f ( x) d ( x) p ( x) d ( x) f ( x1 ) 4 f ( x2 ) f ( x3 ) x1 x1 3n• Celkový integrálu funkce na intervalu <a, b> je pak dáno součtem – tzv. složené Simpsonovo pravidlo b n 1 n 1 (b a) f ( x) d ( x) f (a) f (b) 4 f ( xi ) 2 f ( xi ) a 3n i 1, 3, 5 i 2, 4, 6
    • ??? kontrolní otázky ???• Kdy se používá numerická derivace?• Jaký je geometrický význam derivace v bodě xi• Jak lze zvýšit přesnost numerické derivace a existují nějaké limity přesnosti?• Jakou numerickou metodou lze vyřešit neurčitý integrál (primitivní funkci)?• Jaký je geometrický význam určitého integrálu?• Jaký je princip numerické integrace?• Jaký je rozdíl mezi lichoběžníkovým a Simpsnovým pravidlem?
    • 352 - Katedra automatizační techniky a řízení Ing. David Fojtík, Ph.D. A922, kl. 4193Použité zdrojeKUČERA, R. Numerické metody skriptum VŠB-TU OstravaFAJMON, B. RUŢICKOVÁ, I. Matematika 3 skriptum VUT v Brněhttp://suave_skola.varak.net/programky/OT%201/Algoritmizace/