Your SlideShare is downloading. ×
0
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Tv 12
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Tv 12

1,326

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,326
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. 352 - Katedra automatizační techniky a řízeníTechnické výpočty Ing. David Fojtík, Ph.D. A922, kl. 4193
  • 2. Numerické metody a jejich přesnost
  • 3. Numerické úlohy a metody• V praxi je celá řada matematických úloh, které nelze řešit analyticky nebo analytické řešení je velice složité, časově a ekonomicky náročné. Pokud nevyžadujeme naprosto přesné výsledky, ale postačují nám přibližné zatížené určitou chybou, můžeme tyto úlohy převést na numerické.• Numerická metoda je algoritmus řešení numerické úlohy.• Numerické metody využívají postupy, kdy při procesu řešení matematické úlohy lze dojít k přibližnému řešení s využitím pouze aritmetických a logických operací.• Nepřesnost (též chyba, odchylka), která vzniká při numerickém řešení, se udává pouze jako odhad chyby - přesné řešení neznáme.• Numerickou matematiku lze charakterizovat jako část matematiky, zabývající se řešením a zpracováním matematických úloh a modelů pomocí výpočetní techniky. Tato část matematiky realizuje přechod od čistě teoretické matematiky k praktickým výsledkům.
  • 4. Numerické řešení1Realita – reálný systém 1 Matematický model 1 Diskrétní (numerická) úloha 1 Numerická metoda 1 Numerické řešení• Diskretizace je proces při němž spojitý (kontinuální) problém nahradíme vhodným diskrétním (konečným množstvím hodnot) problémem. 1,5 1,5 1 1 0,5 0,5 0 sin(x) 0 sin(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 -0,5 -0,5 -1 -1 -1,5 -1,5
  • 5. Nepřesnost – druhy chyb• Chyba modelu - je odchylkou modelu od originálu a někdy ji nelze ani odhadnout• Chyba dat - je odchylka naměřených dat od skutečných hodnot. Jejich vliv lze odhadnout na základě znalosti chyby měřidla.• Chyba metody - je odchylka pribliţného rešení od přesného řešení matematického problému. Dále ji dělíme na: 1. Chybu aproximace - odchylka přibliţného řešení od přesného řešení diskrétního problému, 2. Diskretizační chybu - je důsledkem nahrazení spojitého problému diskrétním, 3. Zaokrouhlovací chyba - je chyba, která vzniká v důsledku reprezentace reálných čísel v počítači, tedy v důsledku aproximace reálného čísla přibliţnou hodnotou. Zaokrouhlovací chyby jsou často obtíţně kvantifikovatelné.
  • 6. Zaokrouhlovací chyba • Vzniká v důsledku reprezentace reálných čísel v počítači… • Jaký je součet čísel: 20 -5,5 -14,3 -0,2 ? 10 ,625 1 MS Excel: 20 … 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 … -5,5 -14,3 +3 + - 127 + 3 = 130 1 -0,2 Proč? -7,21645E-16 … 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 … Reálné datové typy 1 0,25 + 0,0625 + 0,015625 • Single 4 byte, přesnost 7 cifer, ±3.402823E38 ÷01000001001010100000000000000000 ±1.401298E-45 • Double 8 byte, přesnostS E = 130 M = 0,328125 15, ±1.79769313486231E308 ÷ ±4.94065645841247E-324(-1)S · 2E-127 · 1,M = 23 · 1,328125 = 10,625 • Currency 8 byte, přesnost 15.4, ±922,337,203,685,477.5808Strojové epsilon - popisuje přesnost proměnných reálných typů v počítači. Je udávánojako nejmenší kladné číslo, které po přičtení k jedničce dává výsledek různý od jedné.
  • 7. Aproximace
  • 8. Aproximace• Aproximace je numerická metoda náhrady složité/neznámé funkce za jednodušší (například polynomem), nebo nalezení rovnice funkce zadané pouze tabulkovými hodnotami. Tabulkové hodnoty představují buď přesné hodnoty funkce nebo hodnoty zatížené chybami (získané např. měřením).• Metody: • Interpolace - Aproximace interpolací • Regrese - Aproximace metodou nejmenších čtverců• Příklady použití: • Identifikace matematického modelu systému ze známých diskrétních hodnot. • Analýza a odhad vývoje průběhu dat (např. vývoj akcií) • Tvorba hladkých přechodů mezi body v grafu, při kreslení spline křivek. • Dopočet drah pohybů mechatronických prvků (např. ramen robotů, obráběcích nástrojů atd.) • Částečná eliminace chyb naměřených dat apod.
  • 9. Interpolace• Interpolace je aproximace funkce jinou funkcí, která v daných bodech x0, x1, …, xn (celkového počtu n+1) nabývá předepsaných hodnot f(x0), f(x1), …, f(xn) případně předepsaných hodnot derivací f ( x) 1 f’(x0), f’(x1), …, f’(xn). 1 x2• Metody interpolace: Lagrangeova interpolace 1. Lagrangeova interpolace Náhrada polynomem P nevýše n stupně 2. Hermiteova interpolace Náhrada polynomem stupně 2n + 1 3. Interpolace pomocí splinů f ( x) 1 1 x2 Hermiteova interpolace
  • 10. Interpolace pomocí splinů• Lineární interpolační spline • Propojení bodů úsečkou (polynomem 1. stupně) Body Lineární spline Kubický spline 5 • Pro kaţdou dvojici bodů je samostatná aproximační rovnice f(x) = ax+b 4• Kubický spline 3 • Propojení bodů hladkou f(x) křivkou (polynomem 3. stupně) 2 • Pro kaţdou dvojici bodů je samostatný aproximační 1 polynom f(x) = ax3+bx2+cx+d • Plynulý přechod mezi dvěma 0 sousedními polynomy f(x) a 0 1 2 3 4 5 s(x) je zajištěn tak, ţe se ve x společném bodě i první a druhé derivace musí rovnat s’(xi) = f’(xi) , s’’(xi) = f’’(xi) .
  • 11. Aproximace metodou nejmenších čtverců – regrese• V případě, že jsou funkční hodnoty získány experimentálně, např. jako výsledky měření, je interpolace nevhodná. Výsledky jsou totiž zatíženy chybami měření, které se do polynomu přenesou.• Aproximace metodou nejmenších čtverců je numerická metoda nalezení parametrů zvoleného typu funkce ze zadaných tabulkových hodnot x0y0, x1y1, …, xnyn tak, aby součet čtverců vzdáleností f(x0), f(x1), …, f(xn) od y0, y1, …, yn byl minimální.• Metody: 1. Lineární regrese Lineární regrese Proložení přímkou y = ax+b 2. Polynomická regrese Proložení polynomem vyššího stupně 2, 3, .. 6. Jedná se o speciální případ lin. regrese. 3. Další metody nelineární regrese.
  • 12. Aproximace metodou nejmenších čtverců v MS Excelu• V grafu zvolíme řadu dat.• Pravým tlačítkem vyvoláme kontextovou nabídku.• Zvolíme „Přidat spojnici trendu“• Zvolíme typ regrese• Pro výpočet regresního polynomu prvního stupně – lineární regrese proložení přímkou, je možné použít funkce LINTREND a LINLEGRESE.
  • 13. Algoritmus lineární regrese Začátek Lineární regrese 2100 Načtení Body(1..n,1..2) 1900 sumX = 0 1700 sumY = 0 sumXX = 0 sumXY = 0 N = PocetBodu y = Ax+B y 1500 f(x)= Ax+B i = 1..N 1300 sumX = sumX + body(i, 1) sumY = sumY + Body(i, 2) 1100 sumXX = sumXX + Body(i, 1) * Body(i, 1) sumXY = sumXY + Body(i, 1) * Body(i, 2) 900 6600 6700 6800 i x A = (N * sumXY - sumX * sumY) / (N * sumXX - sumX * sumX) B = (sumXX * sumY - sumX * sumXY) / (N * sumXX - sumX * sumX) Tisk y = Ax +B Konec
  • 14. Numerické řešeníalgebraických rovnic
  • 15. Numerické řešení nelineárních rovnic• Řešením nelineární rovnice f(x) = 0 lze provádět metodami: • Metoda půlení intervalu • Metoda regula falsi • Newtonova metoda, Metoda tečen • Iterační metoda• Postup 1. Separace kořenů - nalezení intervalů <x1,x2>, ve kterých se nacházejí kořeny rovnice. 2. Zvolení přesnosti řešení Ɛ, maximální vzdálenost intervalu Ɛ > |xk-xk-1| 3. Výpočet kořene zvolenou metodou.
  • 16. Separace kořenů rovnic• Jsou-li znaménka hodnot spojité funkce f(x) v koncových bodech intervalu <x1, x2> různá, tj. f(x1).f(x2) < 0, pak uvnitř tohoto intervalu leží alespoň jeden kořen rovnice f(x). Tento kořen bude zřejmě jediný, existuje-li v intervalu <x1, x2> derivace f´(x), která v tomto intervalu nemění znaménko.
  • 17. Algoritmus metody půlení intervalu
  • 18. Algoritmus regula falsi, metoda sečen
  • 19. Newtonova metoda, metoda tečen
  • 20. Řešení algebraických rovnic v MS ExceluNačtení doplňku Řešitel• Nabídka : Soubor/Možnosti/Doplňky• Zvolit „ Doplňky aplikace Excel“• Tlačítko „Přejít…“• Zvolit položku Řešitel.• Spuštění: Záložka „Data“, tlačítko „Řešitel“
  • 21. ??? kontrolní otázky ???• Co je a jak vzniká zaokrouhlovací chyba?• Co je strojové epsilon?• Na kolik cifer je přesný datového typu Double?• Jaký je rozdíl mezi Interpolací a Regresí polynomem?• Jak v MS Excelu vytvořit Interpolaci spline?• Jak v MS Ecelu vytvořit lineární regresi?• Jak přidat doplněk řešitel do prostředí MS Excelu?• Jakým způsobem v MS Excelu lze vyřešit algebraickou rovnici?
  • 22. 352 - Katedra automatizační techniky a řízení Ing. David Fojtík, Ph.D. A922, kl. 4193Použité zdrojeKUČERA, R. Numerické metody skriptum VŠB-TU OstravaČERNÁ D. Interpolace skriptum Technické univerzity v LiberciFAJMON, B. RUŢICKOVÁ, I. Matematika 3 skriptum VUT v Brněhttp://suave_skola.varak.net/programky/OT%201/Algoritmizace/

×