Ensayo5 Pepizarro

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Algo de estadística

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  • 1.   Universidad Técnica Particular de Loja    ESCUELA DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES  ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD              CAPÍTULO 5  DISTRIBUCIONES CONJUNTAS                  Trabajo presentado por:    Paulina E. Pizarro C.        2009 – 04 ‐ 27 
  • 2.   INTRODUCCIÓN:     Se han estudiado ya las variables aleatorias discretas y continuas, pero, ¿qué sucede cuando dentro de un  problema se tienen dos variables que deben ser utilizadas simultáneamente? Puede sucede, por ejemplo,  que  necesitamos  saber  cuál  es  la  probabilidad  de  que  se  descargue  una  canción  del  internet  al  primer  intento, esto depende del servidor o puede que teniendo un servidor específico dependa del tamaño del  archivo. Para casos como el mencionado es necesario el estudio de variables aleatorias bidimensionales o  bivariadas.         DENSIDADES CONJUNTAS E INDEPENDENCIA:    La  definición  de  las  variables  aleatorias  bidimensionales  es  una  extensión  natural  de  la  definición  de  densidad de una sola variable aleatoria.    ,     Igual que en el caso de una única variable, la función conjunta  , asigna probabilidades diferentes  de 0 a un número finito de combinaciones. Las probabilidades distintas de 0 deben sumar 1.    , 0 , 1  Ejemplo: La siguiente tabla contiene los valores de PX,Y (x, y) para dos variables discretas X y Y. x y 1 2 3 -1 0.10 0.10 0.00 0 0.10 0.20 0.10 1 0.00 0.05 0.05 2 0.10 0.15 0.05 • Tenemos una función de probabilidad? • Calcular E(X), E(Y), Var(X), Var(Y) y E(XY) Solución: • E[X] = (−1)(0.2) + 0(0.4) + 1(0.1) + 2(0.3) = 0.5 • E[Y ] = 1.9 • V ar [X] = (−1)2(0.2) + 02(0.4) + 12(0.1) + 22(0.3) − 0.52 = 1.25 • V ar [Y ] = 0.49 • E[XY ] = (−1)(1)(0.1)+(−1)(2)(0.1)+1(2)(0.05)+. . . (2)(3)(0.05) = 1.05 • E[X + Y ] = (−1 + 1)(0.1) + (−1 + 2)(0.1) + (0 + 1)(0.1) + (0 + 2)(0.2) + (0+3)(0.1)+(1+2)(0.05)+(1+3)(0.05)+(2+1)(0.1)+(2+2)(0.15)+ (2 + 3)(0.05) = 2.6 • V ar [XY ] = E[X2Y 2] − E2[XY ] = 5.75 − 1.052 = 4.65       Distribuciones Marginales Discretas:    Una  densidad  marginal  de  una  variable  X  se  calcula  sumando  todos  los  valores  de  Y  y  viceversa.  Se  las 
  • 3. denomina  densidades  marginales  porque  se  las  calcula  por  separado  pero  relacionando  las  variables  aleatorias.    ∑ ,   ∑ ,         Distribuciones Marginales Continuas:    La  definición  de  densidad  conjunta  continua  es  una  extensión  de  las  condiciones  que  debe  cumplir  la  densidad, precisamente, de las variables a las que se hace referencia.       , 0 ;  x y y Є a los reales no negativos  , 1;  La integral de las densidades debe  ser 1.  , ;          Para definir la densidad marginal de una variable aleatoria continua se toma como base la a la densidad  marginal en el caso de las variables discretas, es decir se sustituye la suma por la integración.    ,   ,           Independencia:    Recordando el concepto de independencia se dice que esta es la condición de actuar de forma autónoma,  es  decir,  sin  que  haya  intervenciones  de  otros  factores  ni  relación  alguna  con  otros  objetos;  la  independencia  hace  referencia  a  dos  eventos  que  no  influyan  entre  sí.    En  el  caso  de  variables  bidimensionales también existe independencia, para explicarlo mejor, supongamos que X y Y son variables  discretas  y  A1  es  el  evento  tal  que    y  A2  el  evento  ,  así,  si  X  y  Y  son  eventos  que  instintivamente  se  puede  saber  que  son  independientes  entonces  se  deduce  que  A1  y  A2  son  eventos  independientes.    PA B , sustituyendo :   ó   ,       De acuerdo a esto, la densidad conjunta puede expresarse como el producto de las densidades marginales  de cada variable, si  X y Y son independientes.        ESPERANZA Y COVARUANZA:    Al valor esperado o media se la considera como “la medida de localización de los datos” y en el caso de las  variables  aleatorias  bidimensionales  se  las  define  tomando  como  base  y  extendiendo  la  definición  del  valor esperado en variables discretas y continuas.   
  • 4.      A con ndición de que:      ,  A condición de que:          Cuanddo las variable es son discretas el valor pro omedio de cada variable po or separado p puede calcular rse de la  siguie ente manera:            do las variable Cuand es son continuas es aplica  el mismo razo onamiento, pero como siem mpre se reem mplaza la  suma por la integra ación.    ,   ,       Ejemplo:    xamen  consist en  2  parte Sea  X  =  pu Un  ex te  es:  untaje  obteni en  la  prim ido  mera  parte  Rx =  {0,  5,  10}  y,      Y  =  x  puntaaje obtenido een la segunda parte Ry = {0, , 5, 10}  Con fu unción de pro obabilidad con njunta dada enn la tabla de a a continuación n mostrada:       x     0 5 10     0 0.1 0.5 0.15 0 0.3    y  5 0.5 0.1 0.05 0 0.2      10 1 0.1 0.15 0.25 0 0.5    0.25 0.3 0.45 0     1. ¿CCuál es el valor esperado de el puntaje en la primera parte?         2. ¿CCuál es el prom medio total?       
  • 5.   Covarianza:    Una medida del grado en que dos variables aleatorias se mueven en la misma dirección o en direcciones  opuestas la una respecto a la otra. En otras palabras, si dos variables aleatorias generalmente se mueven  en  la  misma  dirección,  se  dirá  que  tienen  una  covarianza  positiva.  Si  tienden  a  moverse  en  direcciones  opuestas, se dirá que tienen una covarianza negativa. La covarianza se mide como el valor que se espera  de los productos de las desviaciones de dos variables aleatorias respecto a sus correspondientes medias.  Una varianza es un caso especial de covarianza.    Dicho de otra manera La covarianza existe para determinar el grado de asociación o relación entre X e Y.    Así, si las variable X y Y tienen media   y  . La covarianza de X y Y tienen la siguiente notación:    ,     Y la fórmula para realizar el cálculo de la covarianza es:    ,     Se debe recalcar que si las variables bidimensionales son independientes entre sí, el valor de la covarianza  será igual a 0.        CORRELACIÓN:  Dentro del tema de correlación se necesita estudiar el coeficiente de correlación de Pearson que es una  medida que describe el grado de asociación o relación de 2 variables aleatorias, y se la denota como:  ,     La correlación debe cumplir algunas propiedades que son:  1. El coeficiente de correlación es una cantidad adimensional.         2.       si  0  no están relacionados.    El coeficiente de correlación es una medida que está siempre entre –1 y 1  1 1  “Si X y Y tienen coeficiente de correlación  . En entonces | | 1 sí y sólo sí   para los  números reales   0”.        DENSIDADES CONDICIONALES Y REGRESIÓN:    “La  densidad  condicional  de  X,  dada  Y=y,  denotada  con  | ,  es  una  función  que  permite  calcular  la  probabilidad de que X tenga valores específicos, pero esto siempre y cuando se tenga conocimiento de del  valor de la variable aleatoria Y. Si las variables (X,Y) son variables discretas conjuntas , supongamos que A1  es el evento X=x, y A2 es el evento Y=y ” Nos basamos en la ley básica de probabilidad condicional, en la  que reemplazamos las variables discretas con densidad conjunta, se lo denota de la siguiente forma:      PA B PX Y XY , P A|B ,  reemplazando se tiene:  P X x |Y y   PA PY
  • 6. Los papeles entre X y Y pueden invertirse, es decir que se puede calcularse:  ‐ La densidad condicional de X, dada Y=y.  fXY x,y | fy y          fy(y) > 0    ‐ La densidad condicional de Y, dada X=x.      fXY x,y | fx x       fx(x) > 0          Curvas de Regresión:    La regresión es una forma de predecir los valores de una variable en función de los de otra y también sirve  para predecir el grado de precisión que tendrán estas predicciones.    Dentro de la regresión se estudia la curva de regresión de una variable aleatoria bidimensional (X,Y), que  es la curva que se obtiene representando la medias( ) condicionadas. Se obtendrá una verdadera curva si  la variable corresponde a una de tipo continua, y si esta variables corresponde al tipo discreta se obtendrá  una sucesión de puntos.        TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES:    Si se tiene una variable aleatoria continua , cuya densidad se conoce, se estudia la forma de calcular la  densidad  de  la  variable  aleatoria  Y,  que  es  función  de  X.  Entonces  primeramente  se  debe  presentar  la  notación de jacobianos.  Suponga que se trabaja en el plano xy y que u y v son variable, cada una a su vez una función de x y y.  simbólicamente tendríamos:  ,       y       ,     Esas dos ecuaciones definen una transformación T de alguna región del plano xy al plano uv. Supongamos  que g1 y g2 tienen derivadas parciales continuas respecto de x y y. El jacobiano de T se denota como Jt y  está dado por el determinante siguiente:    Aquí g1 y g2 definen una transformación uno a uno.    RECOMENDACIONES:  • Se debe tener cuidado cuando se lea literatura científica, para no confundir términos.    • Se  debe  tener  en  cuenta  que  cuando  se  trata  de  variables  discretas  se  utiliza  la  sumatoria,  mientras que cuando se trata de variables aleatorias continuas se aplica la integración.   
  • 7. • El  saber  las  definiciones  y  las  características  de  cada  uno  de  los  términos  estudiados  en  este  capítulo  es  importante  para  su  comprensión  y  esto  se  puede  decir  para  todo  el  tema  de  probabilidad y estadística.    CONCLUSIONES:  • Las  densidades  de  variables  conjuntas  resultan  de  una  ampliación  de  las  definiciones  de  las  densidades variables unidimensionales.  BIBLIOGRAFÍA:  • SHELDON M. ROSS, Introducción a la Estadística, SEGUNDA EDICION, 2005: Editorial Reverté.  • J. SUSAN MILTON, JESSE C. ARNOLD, Probabilidad y Estadística (con aplicaciones para ingenierías  y ciencias computacionales), CUARTA EDICION, 2003: Companía McGraw‐Hill.    • Enciclopedia Autodidacta Océano, Volumen II, EDICION 1989; Ediciones Océano.  • Wikipedia (Enciclopedia libre)  • localhost/I:/estadística/covarianza.htm                                                   t