Este documento trata sobre distribuciones conjuntas de variables aleatorias. Explica conceptos como densidades conjuntas, independencia, esperanza, covarianza y correlación para variables discretas y continuas. También cubre densidades condicionales y curvas de regresión.

1.
Universidad Técnica Particular de Loja
ESCUELA DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
CAPÍTULO 5
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS
Trabajo presentado por:
Paulina E. Pizarro C.
2009 – 04 ‐ 27

2. INTRODUCCIÓN:
Se han estudiado ya las variables aleatorias discretas y continuas, pero, ¿qué sucede cuando dentro de un
problema se tienen dos variables que deben ser utilizadas simultáneamente? Puede sucede, por ejemplo,
que necesitamos saber cuál es la probabilidad de que se descargue una canción del internet al primer
intento, esto depende del servidor o puede que teniendo un servidor específico dependa del tamaño del
archivo. Para casos como el mencionado es necesario el estudio de variables aleatorias bidimensionales o
bivariadas.
DENSIDADES CONJUNTAS E INDEPENDENCIA:
La definición de las variables aleatorias bidimensionales es una extensión natural de la definición de
densidad de una sola variable aleatoria.
,
Igual que en el caso de una única variable, la función conjunta , asigna probabilidades diferentes
de 0 a un número finito de combinaciones. Las probabilidades distintas de 0 deben sumar 1.
, 0
, 1
Ejemplo:
La siguiente tabla contiene los valores de PX,Y (x, y) para dos variables discretas X y Y.
x y 1 2 3
-1 0.10 0.10 0.00
0 0.10 0.20 0.10
1 0.00 0.05 0.05
2 0.10 0.15 0.05
• Tenemos una función de probabilidad?
• Calcular E(X), E(Y), Var(X), Var(Y) y E(XY)
Solución:
• E[X] = (−1)(0.2) + 0(0.4) + 1(0.1) + 2(0.3) = 0.5
• E[Y ] = 1.9
• V ar [X] = (−1)2(0.2) + 02(0.4) + 12(0.1) + 22(0.3) − 0.52 = 1.25
• V ar [Y ] = 0.49
• E[XY ] = (−1)(1)(0.1)+(−1)(2)(0.1)+1(2)(0.05)+. . . (2)(3)(0.05) = 1.05
• E[X + Y ] = (−1 + 1)(0.1) + (−1 + 2)(0.1) + (0 + 1)(0.1) + (0 + 2)(0.2) +
(0+3)(0.1)+(1+2)(0.05)+(1+3)(0.05)+(2+1)(0.1)+(2+2)(0.15)+
(2 + 3)(0.05) = 2.6
• V ar [XY ] = E[X2Y 2] − E2[XY ] = 5.75 − 1.052 = 4.65
Distribuciones Marginales Discretas:
Una densidad marginal de una variable X se calcula sumando todos los valores de Y y viceversa. Se las

3. denomina densidades marginales porque se las calcula por separado pero relacionando las variables
aleatorias.
∑ , ∑ ,
Distribuciones Marginales Continuas:
La definición de densidad conjunta continua es una extensión de las condiciones que debe cumplir la
densidad, precisamente, de las variables a las que se hace referencia.
, 0 ; x y y Є a los reales no negativos
, 1; La integral de las densidades debe
ser 1.
, ;
Para definir la densidad marginal de una variable aleatoria continua se toma como base la a la densidad
marginal en el caso de las variables discretas, es decir se sustituye la suma por la integración.
,
,
Independencia:
Recordando el concepto de independencia se dice que esta es la condición de actuar de forma autónoma,
es decir, sin que haya intervenciones de otros factores ni relación alguna con otros objetos; la
independencia hace referencia a dos eventos que no influyan entre sí. En el caso de variables
bidimensionales también existe independencia, para explicarlo mejor, supongamos que X y Y son variables
discretas y A1 es el evento tal que y A2 el evento , así, si X y Y son eventos que
instintivamente se puede saber que son independientes entonces se deduce que A1 y A2 son eventos
independientes.
PA B , sustituyendo :
ó ,
De acuerdo a esto, la densidad conjunta puede expresarse como el producto de las densidades marginales
de cada variable, si X y Y son independientes.
ESPERANZA Y COVARUANZA:
Al valor esperado o media se la considera como “la medida de localización de los datos” y en el caso de las
variables aleatorias bidimensionales se las define tomando como base y extendiendo la definición del
valor esperado en variables discretas y continuas.

4.
A con
ndición de que:
,
A condición de que:
Cuanddo las variable
es son discretas el valor pro
omedio de cada variable po
or separado p
puede calcular
rse de la
siguie
ente manera:
do las variable
Cuand es son continuas es aplica el mismo razo
onamiento, pero como siem
mpre se reem
mplaza la
suma por la integra
ación.
, ,
Ejemplo:
xamen consist en 2 parte Sea X = pu
Un ex te es: untaje obteni en la prim
ido mera parte Rx = {0, 5, 10} y, Y =
x
puntaaje obtenido een la segunda parte Ry = {0,
, 5, 10}
Con fu
unción de pro obabilidad con
njunta dada enn la tabla de a a continuación
n mostrada:
x
0 5 10
0 0.1 0.5 0.15
0 0.3
y 5 0.5 0.1 0.05
0 0.2
10
1 0.1 0.15 0.25
0 0.5
0.25 0.3 0.45
0
1. ¿CCuál es el valor esperado de
el puntaje en la primera parte?
2. ¿CCuál es el prom
medio total?

5. Covarianza:
Una medida del grado en que dos variables aleatorias se mueven en la misma dirección o en direcciones
opuestas la una respecto a la otra. En otras palabras, si dos variables aleatorias generalmente se mueven
en la misma dirección, se dirá que tienen una covarianza positiva. Si tienden a moverse en direcciones
opuestas, se dirá que tienen una covarianza negativa. La covarianza se mide como el valor que se espera
de los productos de las desviaciones de dos variables aleatorias respecto a sus correspondientes medias.
Una varianza es un caso especial de covarianza.
Dicho de otra manera La covarianza existe para determinar el grado de asociación o relación entre X e Y.
Así, si las variable X y Y tienen media y . La covarianza de X y Y tienen la siguiente notación:
,
Y la fórmula para realizar el cálculo de la covarianza es:
,
Se debe recalcar que si las variables bidimensionales son independientes entre sí, el valor de la covarianza
será igual a 0.
CORRELACIÓN:
Dentro del tema de correlación se necesita estudiar el coeficiente de correlación de Pearson que es una
medida que describe el grado de asociación o relación de 2 variables aleatorias, y se la denota como:
,
La correlación debe cumplir algunas propiedades que son:
1. El coeficiente de correlación es una cantidad adimensional.
2. si 0 no están relacionados.
El coeficiente de correlación es una medida que está siempre entre –1 y 1 1 1
“Si X y Y tienen coeficiente de correlación . En entonces | | 1 sí y sólo sí para los
números reales 0”.
DENSIDADES CONDICIONALES Y REGRESIÓN:
“La densidad condicional de X, dada Y=y, denotada con | , es una función que permite calcular la
probabilidad de que X tenga valores específicos, pero esto siempre y cuando se tenga conocimiento de del
valor de la variable aleatoria Y. Si las variables (X,Y) son variables discretas conjuntas , supongamos que A1
es el evento X=x, y A2 es el evento Y=y ” Nos basamos en la ley básica de probabilidad condicional, en la
que reemplazamos las variables discretas con densidad conjunta, se lo denota de la siguiente forma:
PA B PX Y XY ,
P A|B , reemplazando se tiene: P X x |Y y
PA PY

6. Los papeles entre X y Y pueden invertirse, es decir que se puede calcularse:
‐ La densidad condicional de X, dada Y=y.
fXY x,y
| fy y
fy(y) > 0
‐ La densidad condicional de Y, dada X=x.
fXY x,y
| fx x
fx(x) > 0
Curvas de Regresión:
La regresión es una forma de predecir los valores de una variable en función de los de otra y también sirve
para predecir el grado de precisión que tendrán estas predicciones.
Dentro de la regresión se estudia la curva de regresión de una variable aleatoria bidimensional (X,Y), que
es la curva que se obtiene representando la medias( ) condicionadas. Se obtendrá una verdadera curva si
la variable corresponde a una de tipo continua, y si esta variables corresponde al tipo discreta se obtendrá
una sucesión de puntos.
TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES:
Si se tiene una variable aleatoria continua , cuya densidad se conoce, se estudia la forma de calcular la
densidad de la variable aleatoria Y, que es función de X. Entonces primeramente se debe presentar la
notación de jacobianos.
Suponga que se trabaja en el plano xy y que u y v son variable, cada una a su vez una función de x y y.
simbólicamente tendríamos:
, y ,
Esas dos ecuaciones definen una transformación T de alguna región del plano xy al plano uv. Supongamos
que g1 y g2 tienen derivadas parciales continuas respecto de x y y. El jacobiano de T se denota como Jt y
está dado por el determinante siguiente:
Aquí g1 y g2 definen una transformación uno a uno.
RECOMENDACIONES:
• Se debe tener cuidado cuando se lea literatura científica, para no confundir términos.
• Se debe tener en cuenta que cuando se trata de variables discretas se utiliza la sumatoria,
mientras que cuando se trata de variables aleatorias continuas se aplica la integración.

7. • El saber las definiciones y las características de cada uno de los términos estudiados en este
capítulo es importante para su comprensión y esto se puede decir para todo el tema de
probabilidad y estadística.
CONCLUSIONES:
• Las densidades de variables conjuntas resultan de una ampliación de las definiciones de las
densidades variables unidimensionales.
BIBLIOGRAFÍA:
• SHELDON M. ROSS, Introducción a la Estadística, SEGUNDA EDICION, 2005: Editorial Reverté.
• J. SUSAN MILTON, JESSE C. ARNOLD, Probabilidad y Estadística (con aplicaciones para ingenierías
y ciencias computacionales), CUARTA EDICION, 2003: Companía McGraw‐Hill.
• Enciclopedia Autodidacta Océano, Volumen II, EDICION 1989; Ediciones Océano.
• Wikipedia (Enciclopedia libre)
• localhost/I:/estadística/covarianza.htm
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