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Patrick Deglon PhD Thesis - Bhabha Scattering at L3 experiment at CERN
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Patrick Deglon PhD Thesis - Bhabha Scattering at L3 experiment at CERN

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  • 1. UNIVERSITE DE GENEVE Département de Physique Nucléaire et Corpusculaire FACULTE DES SCIENCES Professeur Pierre Extermann Etude de la diffusion Bhabha avec le détecteur L3 au LEP THESE présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Genève pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences, mention Physique par Patrick Déglon de Curtilles (Vaud) GENÈVE 2002
  • 2. 3 Remarques pour les jurés Le présent document se trouve sur AFS à l’adresse : /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/these.pdf Une version PDF des références se trouvent dans le répertoire AFS : /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Bibliography Les calculs Mathematica se trouvent dans les fichiers : /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/bhabha.nb /afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/size.nb
  • 3. Table des matières Chapitre I. La nature de l’univers 7 1. Histoire de la physique des particules 7 2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard 8 Chapitre II. La diffusion Bhabha 17 1. Section efficace de Born 18 2. Corrections radiatives virtuelles 22 3. Radiations dans l’état initial ou final 27 4. Monte Carlo BHWIDE 29 Chapitre III. Le détecteur 35 1. Le complexe d’accélérateurs du CERN 35 2. L’expérience L3 37 3. Calibration du BGO 48 Chapitre IV. La méthode d’analyse 57 1. Données et Simulations 57 2. Sélection 58 3. Échantillons de données 73 4. Ajustement de la simulation 73 5. Sections efficaces 74 6. Erreurs systématiques 81 Chapitre V. Les résultats et leurs interprétations 85 1. Section efficace dans le barrel 85 2. Asymétrie 86 3. Section efficace différentielle 87 4. Interprétation dans le cadre du Modèle Standard 89 5. Interprétation en terme de nouveaux modèles 93 Conclusion 103 Annexe A : Section efficace 105 Annexe B : Asymétrie 113 5
  • 4. 6 . TABLE DES MATIÈRES Annexe C : Section efficace différentielle 127 Annexe D : Calculs Mathematica 143 1. Initialisation du système 143 2. Diagrammes de Feynman 143 3. Amplitudes invariantes carrées 144 4. Changement de variables et forme finale 145 Table des figures 149 Liste des tableaux 153 Bibliographie 155
  • 5. CHAPITRE I La nature de l’univers La curiosité est sans nul doute le trait de caractère qui a le plus fait évoluer l’être humain. A la recherche de nourriture, l’homme a agrandi son territoire. A la recherche de nouvelles richesses, il a exploré la terre entière. De nos jours, l’humanité continue l’exploration de son environnement. Tourné d’un coté vers l’infiniment grand où des télescopes scrutent les confins de l’univers pour découvrir d’où nous venons, et de l’autre, vers l’infiniment petit, nous, les physiciens des particules, “cassons” la matière pour découvrir les briques fondamentales de l’univers. 1. Histoire de la physique des particules Les origines de la physique des particules sont assez anciennes. Les phi- losophes grecs ont inventé au Ve siècle avant J.C. le concept d’a-tomos (en français atome), qui signifie insécable. Ce concept stipule que le monde qui nous entoure est constitué de briques fondamentales insécables, que l’on ne peut casser en deux. Si on brise un caillou en morceaux de plus en plus petits, on arrive à des grains de sable. La question est de savoir si l’on peut continuer indéfiniment à briser des morceaux de caillou de plus en plus petits, ou si l’on va tomber sur l’une des briques fondamentales et insécables de l’univers. Comme il était impossible de vérifier ce concept de manière expérimentale, il est tombé dans l’oubli pour faire place à la théorie des quatre éléments d’Empédocle : l’air, l’eau, la terre et le feu. La nature était basée uniquement sur 4 éléments. Au cours des siècles, l’alchimie, puis la chimie, ont remplacé cette théo- rie pour tenir compte de la découverte de nouveaux alliages et éléments chi- miques. En 1869, le chimiste russe Dimitri Mendeleïev a inventé un tableau qui a permis de classer tous les éléments chimiques en les regroupant par propriété chimique et en les ordonnant par masse atomique. En 1897 Thompson découvre l’électron et en 1912 Rutherford découvre le noyau. Rutherford conçoit un modèle de l’atome qui ressemble au système planétaire : des électrons chargés négativement tournent autour d’un noyau 7
  • 6. 8 I. LA NATURE DE L’UNIVERS central dont on découvrira par la suite qu’il est composé de nucléons chargés positivement (les protons) et sans charge (les neutrons). L’apparition des premiers détecteurs dans le milieu du XXe siècle a permis d’accélérer la course à l’infiniment petit. Ces détecteurs qui sont capables de détecter une particule ou même un quanta d’énergie vont permettre d’étudier les rayons cosmiques qui viennent de la stratosphère. Les rayons cosmiques sont des jets de particules provenant de l’impact d’une particule très énergé- tique sur l’atmosphère. Avec l’apparition des accélérateurs l’homme a été capable de créer ces par- ticules en laboratoire. La technologie avançant, des particules de plus en plus massives ont pu être créées. En 1967, Gell-Mann se rend compte que l’on peut classer ces particules par groupes de caractéristiques. Ce classement semble venir d’une théorie plus profonde. Il invente la notion de quark, générateur d’un groupe bien particu- lier. Chaque élément de ce groupe est composé de deux ou trois quarks. Étant donné des caractéristiques bien définies pour les quarks, chaque élément de ce groupe a pu être identifié à une des particules hadroniques observées. A la même époque, les expériences de diffusions profondes sur des protons ont mis en évidence la présence de sous-particules que l’on a appelé partons. Il a suffit de peu de temps pour associer à ces “partons” expérimentaux les “quarks” théoriques. Pour décrire cette physique, où la mécanique quantique rejoint la rela- tivité restreinte, il a été nécessaire de développer la théorie quantique des champs. Dans le cadre de cette théorie, un modèle que nous appelons le Mo- dèle Standard permet une relative bonne description de cette physique. Mal- heureusement, ce modèle ne nous donne pas la liste des particules existantes, ni leur masse. Il faut encore une part de phénoménologie pour pouvoir décrire la nature. Nous allons maintenant nous attarder sur ce modèle pour décrire ses dif- férentes morceaux. 2. Théorie quantique des champs et le Modèle Standard Lorsqu’un système physique évolue, le passage d’un état à l’autre se fait en suivant le principe de moindre action. C’est-à-dire que de tous les moyens pour passer d’un état à l’autre, la nature semble choisir le moyen qui minimise l’action du transfert. L’action peut s’écrire de la forme suivante : S = dt L x(t), ˙x(t),t (1.1)
  • 7. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 9 avec L le Lagrangien qui dépend des variables du système (pour un cas clas- sique : les positions x et les vitesses ˙x au temps t). La minimisation de l’action implique l’équation d’Euler-Lagrange : ∂L ∂x − d dt ∂L ∂˙x = 0 (1.2) La résolution de cette équation pour toutes les variables du système per- met d’obtenir les équations différentielles du mouvement et ainsi de connaître son évolution dans le temps. Dans un monde quantique, une particule n’est plus un point x, mais un champ φ(x) (dans l’espace-temps x) que l’on peut identifier à l’amplitude de probabilité de la trouver en ce point. Le Lagrangien devient donc local et on peut identifier le Lagrangien classique à : L = d3 xL φ(x),∂µφ(x) (1.3) Le Lagrangien L ne dépend plus des positions et des vitesses dans l’espace- temps, mais de la valeur du champ et de ses dérivées en tout point de l’espace- temps. Ainsi, l’action devient symétrique dans toutes les dimensions de l’espace- temps : S = d4 xL φ,∂µφ (1.4) A ce jour, la meilleur description de la physique des particules est le Mo- dèle Standard (MS). Il s’agit essentiellement du Lagrangien qui, dans le cadre de la théorique quantique des champs, permet toutes nos prédictions. Ce La- grangien étant complexe, nous allons le construire étape par étape. 2.1. Les fermions. Dans la nature, la matière semble être composée uni- quement de fermions. Les fermions les plus élémentaires (les briques de la matière) sont des particules de spin 1/2 qui sont décrites par le Lagrangien : L = 1 2 ψ iγµ ∂µ −m ψ (1.5) avec ψ le champ du fermion, ψ le champ de l’anti-fermion, γµ les matrices 4x4 de Dirac et m la masse du fermion. La liste (phénoménologique) des fermions est donnée dans le tableau 1. On constate de belles symétries : matière et anti-matière, trois générations de particules, 2 leptons et 2 quarks par génération, une différence de charge de ±1 entre les leptons et les quarks d’une même génération, etc. La seule asy- métrie semble concerner la masse des particules, bien que la masse augmente avec les générations. La question de la masse est encore l’une des dernières grandes énigmes du MS. Pourquoi les particules ont de la masse ? Comment
  • 8. 10 I. LA NATURE DE L’UNIVERS Charge électrique −1 +1 0 0 +2/3 −2/3 −1/3 +1/3 1re génération e− e+ νe νe u u d d 511 keV < 15 eV 1.5−5 MeV 3−9 MeV 2e génération µ− µ+ νµ νµ c c s s 105.7 MeV < 170 keV 1.1−1.4 GeV 60−170 MeV 3e génération τ− τ+ ντ ντ t t b b 1.77 GeV < 18 MeV 169−179 GeV 4.1−4.4 GeV TAB. 1 – Liste et caractéristiques des fermions Dans ce tableau, sont présents tous les fermions élémentaires connus. Les symétries sont frap- pantes : trois générations identiques, si ce n’est une augmentation de la masse avec les généra- tions, chaque particule a son antiparticule, 2 leptons et 2 quarks dans chaque générations, une différence de 1 dans la charge entre les 2 leptons ou les 2 quarks dans la même génération. est régie la hiérarchie des masses des différentes générations ? La question est ouverte. Nous obtenons comme premier morceau pour notre Lagrangien du MS : Lfermions = ∑ f 1 2 ψf iγµ ∂µ −m ψf (1.6) avec la somme sur tous les fermions f. 2.2. Invariance de jauge locale et les bosons. Supposons que l’on veuille autoriser une invariance de jauge locale à notre système, c’est-à-dire que le Lagrangien soit invariant sous le changement : ψ → eigA αA(x)TA ψ, (1.7) avec TA les matrices génératrices du groupe d’invariance, αA(x) des para- mètres locaux du groupe et gA d’autres paramètres, qui eux sont constants, que l’on appellera charges par la suite. L’indice A permet d’avoir plusieurs générateurs TA. Pour permettre ces invariances, il convient de modifier le Lagrangien de la manière suivante : L = 1 2 ψ iγµ ∂µ −m−igA AA µ TA ψ (1.8) avec AA µ un champ qui satisfait lors de sa transformation de jauge locale : AA µ (x) → AA µ (x)+∂µαA (x) (1.9) Ainsi on peut changer la phase d’un fermion dans différents points de l’espace-temps par l’adjonction dans le système de nouveaux champs AA µ dont leur transformation provient d’un potentiel αA qui effectue ces changements.
  • 9. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 11 Ce champ correspond à ce que l’on appelle un boson de jauge, dont le spin est entier et qui est régi par le Lagrangien : Lbosons = FµνFµν (1.10) avec Fµν = ∂µAν −∂νAµ. Cela revient à dire, que les changements d’état des fermions correspondent à des interactions de ceux-ci avec des bosons. Ces interactions au niveau quantique correspondent aux forces dans notre monde macroscopique. Par exemple, les forces électriques et magnétiques que l’on rencontre dans la vie de tous les jours ne sont rien d’autres que des échanges de bosons (des pho- tons) entre des fermions (les électrons et les protons des atomes). Une manière élégante d’introduire ces nouveaux termes dans le Lagran- gien (1.6) est de les introduire dans la définition de la dérivée Dµ. On parle alors de dérivées covariantes : Dµ = ∂µ −igA AµTA (1.11) Notre Lagrangien fermionique du MS devient Lfermions = ∑ f 1 2 ψf iγµ Dµ −m ψf (1.12) Chaque invariance de jauge locale donne lieu à une série de bosons qui correspondent à une force dans la nature. La liste des invariances, de leurs bosons et leur force est donnée dans le tableau 2. Force Générateurs Symétrie Bosons Électromagnétique TA = Y 2 U(1) photon Faible TA = 1 2σA A = 1,2,3 SU(2)L Z, W± Forte TA = 1 2λA A = 1,...,8 SU(3)C 8 gluons TAB. 2 – Invariances du MS Ce tableau résume les symétries de jauge donnant lieu aux 3 forces du MS. Dans le cas de l’électromagnétisme, la symétrie du Lagrangien dans le changement de phase donne lieu au groupe U(1) dont le générateur est associé au photon. La force faible provient de la symétrie SU(2)L, dont les trois générateurs σA (matrices 2 × 2 de Pauli) donnent lieu aux trois bosons faibles Z,W+ et W−. La force forte provient de la symétrie SU(3)C, dont les 8 générateurs λA (matrices 3×3 de Gell-Mann) vont donner lieu aux 8 gluons.
  • 10. 12 I. LA NATURE DE L’UNIVERS 2.3. Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam - GWS. La force électro- magnétique (U(1)) et la force faible (SU(2)L) sont les descendants d’une même force : la force électrofaible (U(1)Y ⊗SU(2)L). Il en reste des traces sous la forme d’un mélange des particules. En effet, les médiateurs de la force électrofaible sont : U(1)Y Bµ SU(2)L W1 µ , W2 µ et W3 µ L’univers, en refroidissant, a séparé en deux la force électrofaible, laissant la composition suivante au moment du gèle : Aµ = cosθW Bµ +sinθW W3 µ Zµ = sinθW Bµ −cosθW W3 µ W± µ = 1 √ 2 W1 µ iW2 µ (1.13) Il reste malgré tout un petit détails gênant. En effet, le Lagrangien (1.10) ne peut pas contenir de terme de masse 1 2m2AµAµ. En effet, ce terme briserait l’invariance de jauge locale ! Cela ne nous gêne pas dans le cas de la force électromagnétique car le photon est (jusqu’à preuve du contraire) sans masse. Malheureusement, les masses des bosons de la force faible sont loin d’être nulles. En effet, la mesure de leur masse est actuellement1 : mZ = 91.1876±0.0021 GeV mW = 80.422±0.047 GeV Il faut donc trouver un moyen d’introduire les termes de masse des bosons de jauge dans le Lagrangien sans briser l’invariance de jauge : Lmasse = 1 2 m2 ZZµZµ + 1 2 m2 WW± µ W±µ (1.14) Ce problème peut être résolu grâce au mécanisme de Higgs. 2.4. Le mécanisme de Higgs. Le mécanisme de Higgs permet de garder l’invariance de jauge locale tout en autorisant les bosons à avoir une masse. Pour ce faire, il est nécessaire d’introduire deux nouveaux champs complexes (qu’on appelle champs de Higgs) sous la forme d’un doublet : Φ = φ1 φ2 . (1.15) Ces champs étant des scalaires sont décrits par le Lagrangien : LHiggs = (Dµ Φ)† DµΦ −V Φ† Φ (1.16) 1The Review of Particle Physics, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15,1 2000.
  • 11. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 13 avec : Dµ = ∂µ −igTaWa µ −ig Y 2 Bµ la dérivée covariante, et V Φ† Φ = −µ2 Φ† Φ+ λ 2 Φ† Φ 2 le potentiel de Higgs. (1.17) Dans ces équations, µ2 et λ sont deux paramètres libres (avec la contrainte que λ > 0), et a est l’indice des 3 bosons de l’interaction faible. Pour la partie U(1)Y , nous avons la constante de couplage g , le générateur de l’invariance de jauge Y 2 et Bµ le champ de jauge. Pour la partie SU(2)L, nous avons la constante de couplage g, le générateur de l’invariance de jauge Ta et Wa µ les champs de jauge. Le potentiel de Higgs V Φ†Φ est symétrique au point correspondant à des bosons de masse nulle. En choisissant les paramètres µ > 0 et λ > 0 (tous les deux réels) (voir figure 1), ce potentiel a un minimum à : |Φ0|2 = µ2 λ ≡ v2 2 . (1.18) Φ2 Φ1 V(   ΦΦ+ ) FIG. 1 – Potentiel de Higgs Ce graphique représente la forme du potentiel de Higgs Φ. Il est symétrique autour du point (0,0), mais les points d’équilibre se trouvent dans le creux de la fonction. Le point de chute de la nature semble avoir été Φ = ( v√ 2 ,0). Ce point permet de donner une masse aux bosons Z et W±, tout en laissant le photon sans masse. Dès lors, un état stable, qui est un état où le potentiel est minimum, brise spontanément la symétrie. Toute la question maintenant est de savoir quelle position du minimum a choisi la nature. En admettant que la nature ait choisi
  • 12. 14 I. LA NATURE DE L’UNIVERS le point Φ0 = 1√ 2 v 0 (figure 1), l’interaction des champs de Higgs avec les bosons de jauge deviennent : −igTaWa µ Φ0 −ig Y 2 BµΦ0 2 = 1 8 v2 g2 W1 µ 2 + W2 µ 2 + 1 8 v2 W3 µ Bµ g2 −gg −gg g 2 W3 µ Bµ (1.19) En identifiant l’équation (1.19) avec les termes de masse de l’équation (1.14), on trouve : W± µ = 1 √ 2 W1 µ iW2 µ Zµ = gW3 µ −g Bµ g 2 +g2 Aµ = g W3 µ −gBµ g 2 +g2 (1.20) avec les masses : mA = 0 mW = gv 2 mZ = v 2 g 2 +g2 (1.21) En identifiant les équations (1.13) aux équations (1.20), il vient la relation suivante : cosθW = mW mZ (1.22) Cette construction permet une masse nulle pour le photon, mais s’il s’avé- rait que le photon ait une masse non nulle, un autre choix de paramètres pour le doublet de Higgs Φ0 permettrait de donner une masse au photon. On notera que le boson de Higgs n’a pas encore été découvert, même si des indications laissent à penser qu’il est possible que quelques Higgs aillent été produits au LEP, mais pas en nombre suffisant pour une découverte. Les recherches au LEP donnent comme limite pour sa masse2 à 95% de niveau de confiance (N.C.) : 114.1 GeV < mH < 214 GeV (1.23) Ainsi, si le mécanisme de Higgs représente bien la façon dont la nature a doté les bosons W et Z d’une masse, la découverte (attendue) du boson de Higgs devrait se faire au Tevatron ou au LHC. 2La limite inférieure est le résultat de la combinaison des recherches directes des 4 expé- riences LEP. La limite supérieure provient du fit électrofaible LEPEWW Note 2001-01
  • 13. 2. THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET LE MODÈLE STANDARD 15 Le Lagrangien final contient encore quelques termes, mais ces termes ne concernant pas le sujet de cette thèse, la discutions sur le Lagrangien s’arrê- tera là. Au final, nous obtenons pour notre Lagrangien : LMS = ∑ f 1 2 ψf iγµ Dµ −m ψf − 1 4 FA µνFµνA − 1 4 Wa µνWµνa − 1 4 BµνBµν +(Dµ Φ)† DµΦ −V Φ† Φ (1.24)
  • 14. CHAPITRE II La diffusion Bhabha La diffusion élastique e+e− → e+e−(γ)est appelée diffusion Bhabha, d’après le physicien Indien Homi Bhabha qui fut le premier théoricien à se pencher sur la question. FIG. 2 – Photo de Homi J. Bhabha Homi J. Bhabha (1909-1966) a développé les premiers programmes de recherche nucléaire en Inde et a participé à des expériences sur les rayons cosmiques. Il a été le premier à effectuer les calculs théoriques sur la diffusion électron-positron. Cette diffusion peut paraître extrêmement simple, et ceci pour deux rai- sons. La première est qu’à très faible énergie, cette diffusion ne fait appel qu’à un électron, un anti-électron et un photon. L’électrodynamique quan- tique (QED) suffit à elle seule pour décrire cette diffusion. Les équations sont sans complexité majeure, et les prédictions peuvent être calculées avec une très grande précision. La deuxième raison est que les particules sortant de 17
  • 15. 18 II. LA DIFFUSION BHABHA cette diffusion sont très facilement identifiables. Les électrons déposent toute leur énergie dans les calorimètres électromagnétiques et, étant chargés, ils laissent une trace dans les trajectographes internes. Ainsi, une très bonne mesure de leur énergie, de leur quantité de mouvement et de leurs angles de diffusion est possible. Ainsi, ces signaux étant très distincts, il est difficile de confondre les électrons avec d’autres particules. Nous verrons ainsi que l’ef- ficacité de la sélection à grand angle est de ∼ 98% pour un bruit de fond de ∼ 4%. Néanmoins, les choses se compliquent dès que l’on rentre dans les détails. Tout d’abord, à plus haute énergie, l’échange d’un boson Z devient un canal de plus en plus important. Ceci rend les équations tout de suite plus com- plexes. Ensuite, certaines constantes de la théorie évoluent avec l’énergie, ce qui rend les prédictions plus difficiles. De plus, le nombre élevé d’événements que nous observons au LEP nous permet une analyse fine (1% d’erreur sta- tistique), ce qui contraste avec l’estimation de la précision de notre meilleur Monte Carlo BHWIDE qui est de 2%. Et enfin, comme cette réaction est d’une très petite multiplicité (il n’y guère que deux électrons et éventuellement un petit nombre de photons sortant de la diffusion), nous sommes très sensibles aux éventuelles problèmes du détecteur. En effet, il suffit qu’un des électrons ait été émis dans une région morte du détecteur, et c’est tout l’événement qui est perdu. Ce dernier effet rend l’analyse un peu plus compliquée, mais le revers de la médaille est que cela nous permet de tester une grande partie du détecteur : c’est un outil de recherche de calibration fantastique. Cette diffusion de la théorie électrofaible permet aussi de rechercher des indices sur la présence d’effets physiques non décrits par le Modèle Standard. On peut chercher par exemple la présence de dimensions supérieures ou une taille de l’électron. Dans les paragraphes qui suivent, nous allons nous attacher à décrire la diffusion Bhabha d’un point de vue théorique en calculant sa section efficace différentielle. 1. Section efficace de Born Au niveau d’arbre, quatre processus sont possibles : l’échange d’un photon dans la voie s (γs) et dans la voie t (γt), l’échange d’un boson Z dans la voie s (Zs) et la voie t (Zt). La figure 3 montre ces quatre diagrammes.
  • 16. 1. SECTION EFFICACE DE BORN 19 e + e − e + e − γs e + e − e + e − γt   e + e − e + e − Zs e + e − e + e − Zt   FIG. 3 – Diagramme de Feynman au niveau d’arbre pour la diffusion Bhabha Ces diagrammes de Feynman représentent les quatre processus au niveau d’arbre possible pour la diffusion e+e− → e+e−. Il peut y avoir un échange de photon dans la voie s (γs) ou dans la voie t (γt). De même un boson Z peut être échangé dans ces deux voies (Zs, Zt). Chaque objet dans ces diagrammes correspond à un terme mathématique. La notation variant d’un auteur à l’autre, je préfère donner la liste des termes que j’ai utilisé pour les calculs : électron entrant p u(p) électron sortant p u(p) positron entrant p v(p) positron sortant p v(p) γ p µ ν −igµ,ν p2 Z p µ µ −i p2−m2 Z+iΓZ mZ gµ,ν − pµ pν m2 Z γµ i √ 4παγµ Zµ −i √ 4παZ γµ rV −γ5 u, u, v et v sont des spineurs de Dirac. p est un quadri-vecteur d’énergie- impulsion. gµ,ν est le tenseur de la métrique. mZ est la masse du boson Z, et ΓZ sa largeur. Les γµ sont les matrices de Dirac. α est la constante de couplage électrofaible.
  • 17. 20 II. LA DIFFUSION BHABHA Pour alléger les notations, j’ai utilisé la définition du vertex Ze+e− avec la constante rV . Les deux manières classiques de définir ce vertex sont : Vertex Ze+ e− = i √ 4παγµ gV −gAγ5 = i √ 4πα 2 sinθW cosθW γµ cV −cAγ5 (2.1) avec cV = −1 2 + 2sin2 θW et cA = −1 2, gA,V = cA,V /2 sinθW cosθW , les constantes du courant vectoriel (V) et axial (A) du boson Z. θW est l’angle de mélange électrofaible. La notation utilisée est obtenue en posant : rV = cV cA = gV gA = 1−4sin2 θW αZ = α 16 sin2 θW cos2 θW (2.2) Grâce à ces règles, les amplitudes M de ces quatre diagrammes de Feyn- man se traduisent sous forme d’équations : M γs = i 4πα s v(p2 )γµ u(p1 ) u(p3 )γµ v(p4 ) M γt = −i 4πα t v(p2 )γµ v(p4 ) u(p3 )γµ u(p1 ) M Zs = i 4παZ s−m2 Z +iΓZ mZ v(p2 )γµ rV −γ5 u(p1 ) gµ,ν − p1 µ + p2 µ p1 ν + p2 ν m2 Z u(p3 )γν rV −γ5 v(p4 ) M Zt = −i 4παZ t −m2 Z +iΓZ mZ v(p2 )γµ rV −γ5 v(p4 ) gµ,ν − p2 µ − p4 µ p2 ν − p4 ν m2 Z u(p3 )γν rV −γ5 u(p1 ) (2.3) où p1 est le quadri-vecteur d’énergie-impulsion de l’électron entrant, p2 ce- lui du positron entrant, p3 celui de l’électron sortant et p4 celui du positron sortant. Les variables de Mandelstam correspondantes sont : s = p1 + p2 2 t = p1 − p3 2 u = p1 − p4 2 (2.4) √ s se trouve ainsi être l’énergie dans le centre de masse. Au LEP, où l’élec- tron et le positron ont la même énergie, le centre de masse de la collision se
  • 18. 1. SECTION EFFICACE DE BORN 21 trouve au repos par rapport au détecteur, et ainsi, en négligeant la masse de l’électron, nous avons : s = (2Ebeam)2 (2.5) En posant l’axe Z du système de coordonnée selon l’axe du faisceau (le coté positif coïncidant avec la direction de l’électron entrant), et en prenant θ comme l’angle polaire de diffusion de l’électron sortant, nous avons : t = −s 1−cosθ 2 u = −s 1+cosθ 2 (2.6) Pour simplifier les équations, nous allons garder les variables t et u, mais nous devons garder en tête qu’à chaque instant nous pouvons revenir à des équations en s et cosθ uniquement. L’amplitude invariante totale est : M = M γs + M γt + M Zs + M Zt (2.7) La section efficace différentielle en dΩ = d cosθdφ est dσ dΩ = M 2 64π2 s = 1 64π2 s 1 4 M M ∗ (2.8) où M 2 est l’amplitude invariante carrée moyennée sur les spins des parti- cules entrantes. Ainsi, la section efficace différentielle est composée de dix termes, corres- pondant à toutes les paires possibles des quatre canaux de diffusion (γs, γt, Zs et Zt). Par exemple : dσ dΩ γsγt = 1 256π2 s M γs M ∗ γt + M γt M ∗ γs (2.9) J’ai effectué les calculs pour obtenir les carrés des amplitudes invariantes et les termes de la section efficace différentielle avec le programme Mathematica[1] et le paquet HIP[2]. Un exemple de ces calculs se trouvent dans l’annexe à la page 143. Les termes où seul le photon intervient donnent : dσ dΩ γsγs = α2 2s t2 +u2 s2 (2.10) dσ dΩ γtγt = α2 2s s2 +u2 t2 (2.11) dσ dΩ γsγt = α2 s u2 st (2.12)
  • 19. 22 II. LA DIFFUSION BHABHA Les termes où seul le boson Z intervient donnent : dσ dΩ ZsZs = α2 2s 1−r2 V 2 t2 + 1+6r2 V +r4 V u2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 (2.13) dσ dΩ ZtZt = α2 2s 1−r2 V 2 s2 + 1+6r2 V +r4 V u2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.14) dσ dΩ ZsZt = α2 s Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z t −m2 Z 1+6r2 V +r4 V u2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.15) Les termes d’interférences entre le photon et le boson Z donnent : dσ dΩ γsZs = α2 s s−m2 Z s 1+r2 V u2 + 1−r2 V t2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 (2.16) dσ dΩ γsZt = α2 s t −m2 Z s 1+r2 V u2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.17) dσ dΩ γtZs = α2 s s−m2 Z t 1+r2 V u2 Γ2 Z m2 Z + s−m2 Z 2 (2.18) dσ dΩ γtZt = α2 s t −m2 Z t 1+r2 V u2 − 1−r2 V s2 Γ2 Z m2 Z + t −m2 Z 2 (2.19) Pour obtenir la section efficace complète, nous devons encore tenir compte des corrections radiatives. 2. Corrections radiatives virtuelles La section efficace de Born est une première approximation. Néanmoins, des corrections virtuelles (figure 4) importantes peuvent encore être traitées de façon simple en étant englobées dans les constantes contenues dans la section efficace de Born. Après la redéfinition de ces constantes, on obtient la section efficace de Born améliorée. e + e − e + e − f + f − a) e + e − e + e − γ,Z b) e + e − e + e − Z,W Z,W c) FIG. 4 – Corrections du propagateur et du vertex Ces diagrammes de Feynman représentent trois types de corrections radiatives virtuelles : les corrections du propagateur (a), les corrections du vertex (b), et les corrections de boîte (c).
  • 20. 2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 23 2.1. Correction du propagateur photonique. A transfert d’impulsion nulle, la constante de structure fine α(0) est l’une des mesures les plus pré- cises en physique : α−1 (0) = 137.03599976(50) (2.20) Lorsque le transfert d’impulsion q augmente, le photon peut fluctuer en une paire virtuelle de particules chargées, comme le montre la figure 4a. A petit transfert d’impulsion, seule une fluctuation en une paire d’électrons est possible, mais lorsque q augmente, des fluctuations en de nouvelles particules sont possibles. Les corrections de la section efficace peuvent être absorbées dans la constante α qui devient une fonction de q2 : α(q2 ) = α(0) 1−∆α(q2) (2.21) On parle alors de “running constant”, que nous nommerons constante à évolution. L’effet de ces fluctuations donne lieu à ce que l’on appelle la pola- risation du vide. En effet, de manière classique, α peut être relié à la charge de l’électron (ge = √ 4πα). C’est ainsi qu’une variation de α correspond à une variation de la charge effective de l’électron. Un peu comme si le vide se pola- risait pour modifier le champ électromagnétique produit par cette charge. La correction ∆α peut être séparée en un terme leptonique et un terme hadronique : ∆α(q2 ) = ∆αl(q2 )+∆αh(q2 ) (2.22) La partie leptonique peut être calculée de manière perturbative[3] : ∆αl(q2 ) = α 3π ∑ l=e,µ,τ ln q2 m2 l −5/3 ∆αl(q2 = m2 Z) ∼= 0.03142 (2.23) La partie hadronique est plus difficile à obtenir à cause de la présence d’effets non-perturbatifs de la force forte. Néanmoins, elle peut être obtenue par une relation de dispersion en utilisant la réaction e+e− → hadrons(γ). Dans la région où q2 > 9 GeV2 , on peut approximer la correction par[4] : ∆αh(q2 ) = A+B ln 1+C q2 (2.24) avec A = 0.00165, B = 0.003 et C = 1.0 GeV−1 . On remarque que dans les deux cas, la correction dépend de q2 . Ainsi, que se soit dans le canal s, où q2 = s > 0, ou le canal t, où q2 = t < 0, la correction de ne dépendra que d’une variable positive (s ou |t|). La table 3 donne des valeurs de α−1(s) et ∆α(s) pour des énergies dans le centre de masse significatives. La figure 5 montre la valeur de α−1 en fonction de |q2|.
  • 21. 24 II. LA DIFFUSION BHABHA s = q2 (91.187 GeV)2 (189 GeV)2 (198 GeV)2 (210 GeV)2 ∆α(s) (%) 6.00 6.77 6.82 6.88 α−1(s) 128.81 127.75 127.69 127.60 TAB. 3 – Variation de la constante de structure fine α(q2). Ce tableau donne les valeurs de la variation ∆α ainsi que les valeurs de α−1 pour quelques √ s significatives. On peut observer un effet de l’ordre de 6% pour les énergies du LEP. Néanmoins, la variation ∆α sur la gamme d’énergie sur laquelle se base cette thèse n’est pas très grande. On passe de ∆α = 6.77% à ∆α = 6.88%. C’est pour cela que nous allons utiliser une autre approche qui consiste à utiliser aussi la voie t. En effet, comme t = − s 2 (1−cosθ), en prenant q2 = t nous pouvons accéder à une plus grande gamme de transfert d’impulsion q. 2.2. Correction du propagateur du boson Z. Le même effet peut se produire sur le boson Z. Néanmoins, il est important de noter que l’échelle d’énergie du processus dans le cas du photon est la masse de l’électron. Les énergies de collision au LEP étant beaucoup plus grandes que la masse de l’électron nous pouvons nous attendre à un effet significatif. Dans le cas du boson Z, l’échelle est sa propre masse. Or, comme l’énergie de collision est du même ordre de grandeur que la masse du boson Z, l’effet devient négligeable. Les calculs de renormalisation donnent[3, 5] : αZ = GF m2 Z 8 √ 2π ρ(q) ∼= ρ(q) 366.47 (2.25) avec GF la constante de Fermi, et ρ(q) un paramètre provenant de la renor- malisation où[5] : ρ(q) = 1+∆ρ(q) ∆ρ(q) ∼= 3GF 8π2 √ 2 m2 t ∼= 0.0100 (2.26) Ainsi, comme pour les transferts d’impulsion typique au LEP, ρ est une constante, il s’en suit que αZ est aussi une constante. Et donc, nous admet- trons qu’au LEP : αZ(q) ≡ αZ (2.27) 2.3. Correction du vertex. Une autre correction virtuelle provient du cas où un photon virtuel est échangé entre l’électron et le positron (figure 4b). Toutes ces corrections sont prises en compte lors des calculs de renorma- lisation. Elles donnent lieu à de nouvelles définitions de certaines constantes
  • 22. 2. CORRECTIONS RADIATIVES VIRTUELLES 25 électrofaibles[5] : ΓZ → ΓZ(s) = s m2 Z ΓZ rV → rV = 1−4 sin2 θW sin2 θW → sin2 θW = sin2 θW +cos2 θW ∆ρ (2.28) Ces calculs montrent que seule la largeur de la résonance du boson Z est fonction de √ s. En tenant compte de ces changements, nous obtenons l’approximation de la section efficace de Born améliorée (IB pour Improve Born approximation). Notons que dans cette approximation, la largeur du boson Z dans son propa- gateur de la voie t a été mise à zéro. L’effet de cette largeur est négligeable dans ce canal, et cela simplifie sensiblement les équations. La forme de la section efficace que nous utiliserons pour l’analyse est : dσIB dΩ γsγs = 1 4s α(s)2 1+cos2 θ dσIB dΩ γtγt = 1 2s α(t)2 (1+cosθ)2 +4 (1−cosθ)2 dσIB dΩ γsγt = −1 2s α(s)α(t) (1+cosθ)2 1−cosθ dσIB dΩ ZsZs = 1 4 sα2 Z s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z 1+rV 2 2 1+cos2 θ +8rV 2 cosθ dσIB dΩ ZtZt = 1 8 sα2 Z t −m2 Z 2 1+rV 2 2 +4rV 2 (1+cosθ)2 +4 1−rV 2 2 dσIB dΩ ZsZt = 1 4 s s−m2 Z α2 Z s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z t −m2 Z 1+rV 2 2 +4rV 2 (1+cosθ)2 dσIB dΩ γsZs = 1 2 s−m2 Z α(s)αZ s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z rV 2 1+cos2 θ +2cosθ dσIB dΩ γsZt = 1 4 α(s)αZ t −m2 Z 1+rV 2 (1+cosθ)2 dσIB dΩ γtZs = −1 2 s−m2 Z α(t)αZ s−m2 Z 2 + s2 m2 Z Γ2 Z 1+rV 2 (1+cosθ)2 1−cosθ dσIB dΩ γtZt = −1 2 α(t)αZ t −m2 Z 1 1−cosθ 1+rV 2 (1+cosθ)2 −4 1−rV 2 (2.29)
  • 23. 26 II. LA DIFFUSION BHABHA Cette forme est compatible avec l’article[3], mise à part un carré man- quant dans l’expression de dσIB dΩ ZsZs qui provient apparemment d’une coquille dans l’article. Il est important de noter qu’à part quelques modifications esthé- tiques, tous les calculs ont été effectués automatiquement par Mathematica. 124 126 128 130 132 134 136 138 1 10 10 2 10 3   q 1/α(q) GeV α-1 (q=0) = 137.0 α-1 (q=mZ) = 128.8 FIG. 5 – Le variation de la constante de couplage électrofaible Sur ce graphique, nous pouvons voir l’évolution de la constante de couplage électromagnétique α−1. La figure 6 nous montre la section efficace de Born améliorée intégrée entre 44◦ < θ < 136◦ en fonction de √ s. La ligne pointillée représente les termes où seul intervient l’échange d’un photon. Elle correspond à une décroissance en 1 s . Lorsque l’on y ajoute les termes dû à l’échange d’un boson Z seul, on obtient la ligne traitillée. On observe clairement le pôle du boson Z à √ s = mZ. Finalement lorsque l’on rajoute les termes d’interférence entre le photon et le Z, on obtient la ligne continue. L’interférence destructive réduit sensible- ment la section efficace à √ s > mZ. La zone ombrée correspond aux énergies sur lesquelles se base ce travail. La figure 7 donne le rapport entre la section efficace provenant de l’in- terférence γ/Z et la section efficace de Born. Sa forme à √ s = mZ provoque le déplacement du pôle. Cet effet est uniquement important pour les analyses à √ s ∼ mZ. Néanmoins, nous observons que l’effet de l’interférence se poursuit pour √ s > mZ. 2.4. Correction faible. Les diagrammes de boîtes électrofaibles tels que celui de la figure 4c peuvent donner lieu à des corrections importantes. Né- anmoins, dans le cas de la diffusion Bhabha, leur comportement n’étant pas
  • 24. 3. RADIATIONS DANS L’ÉTAT INITIAL OU FINAL 27 10 2 10 3   40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 √ ¡ s σ(pb) γ ¢ γ ¢ +Z γ ¢ +Z+γ ¢ /Z £ FIG. 6 – Section Efficace de Born en fonction de √ s Ce graphique illustre les sections efficaces au niveau d’arbre en fonction de √ s pour la région angulaire 44◦ ≤ θ ≤ 136◦. La ligne pointillée correspond à la somme des termes de la section efficace où le photon est échangé. On observe une décroissance en 1/s. La ligne traitillée cor- respond à l’addition des termes dûs à l’échange d’un boson Z. La résonance due au boson Z apparaît à √ s = mZ. La ligne continue correspond à la somme de tous les termes. La région ombrée représente le domaine d’énergies qui a été analysé dans cette thèse. résonant, ces corrections contribuent pour moins de 0.2% à la section efficace. Ces corrections sont prises en compte dans les Monte Carlo. 3. Radiations dans l’état initial ou final Les diagrammes de Feynman de la figure 8 représentent les corrections ra- diatives à l’ordre le plus bas : les radiations dans l’état initial et les radiations dans l’état final. L’émission de photons par une particule chargée est inversement propor- tionnelle à sa masse au carré. C’est pourquoi l’électron est particulièrement concerné par cet effet. Les photons rayonnés sont essentiellement émis le long de la trajectoire de l’électron. Dans le cas de la radiation dans l’état final, le seul changement concerne l’énergie et l’angle des électrons sortants. On ne s’attend pas à de grands chan- gements, car les électrons et les photons rayonnés sont émis à grand angle et peuvent être détectés facilement. Dans le cas de radiation dans l’état initial, cela pose plus de problèmes. En effet, le photon étant essentiellement émis le long de l’axe du faisceau, il ne peut pas être observé. Il sera donc perdu pour l’analyse. De plus, la
  • 25. 28 II. LA DIFFUSION BHABHA -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 60 80 100 120 140 160 180 200 220 √   s σγ/Z ¡ / σtot FIG. 7 – Interférence entre l’échange d’un photon et d’un boson Z. Ce graphique montre le rapport entre la somme des termes venant de l’interférence γ/Z et la somme de tous les termes en fonction de √ s. Sa forme à la masse du Z donne lieu à un déplacement du pic de la résonance. Au-delà de mZ, on observe une diminution de l’ordre de 40%. qui se poursuit pour de grandes valeurs de √ s. e + e − e + e − γ q 2 =s , a) e + e − e + e − γq 2 =s b) FIG. 8 – Corrections radiatives dans l’état initial ou final Ces diagrammes de Feynman représentent la radiation dans l’état initial (a) et dans l’état final (b). collision effective a lieu à une énergie √ s ≤ √ s. La section efficace finale est donc une convolution de la fonction de radiation avec la section efficace sans rayonnement initial à toutes les énergies inférieures[6] : σ(s) = σ0(s) (1−zmax)βe (1+δe)+ zmax zmin σ0(zs)G(z)dz (2.30) avec G(z) le radiateur provenant du rayonnement, les variables z = s s , zmin et zmax les limites cinématiques pour une radiation de photon, et les fonctions βe
  • 26. 4. MONTE CARLO BHWIDE 29 et δe : βe = 2α π ln s me −1 δe = 3βe 4 + 2α π π2 6 − 1 4 (2.31) Une approximation du radiateur G(z) donne[6] : G(z) = βe 1 1−z 1+βe ln(1−z) 1+δe − 1+z 2 (2.32) 10 -1 1 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z G(z) FIG. 9 – Radiateur G(z) à √ s = 198 GeV On observe que cette distribution est piquée à z → 1. Comme z = s /s, z ∼ 1 correspond aux cas où peu d’énergie a été rayonnée, laissant le système quasiment dans l’état où il était avant la radiation. Pour des énergies √ s > mZ cela donne un effet intéressant que l’on appelle “retour au Z”. La section efficace σ0(s ) ayant un pôle à mZ, ce pôle contribue de manière relativement importante à la section efficace totale. La figure 10 montre l’effet du retour au Z tel qu’il est estimé par le Monte Carlo Bhabha BHWIDE. On observe clairement un gibbosité à une acolinéa- rité1 ξ ∼ 70◦ et une énergie √ s = mZ. 4. Monte Carlo BHWIDE Pour l’analyse, nous avons besoin d’estimer la distribution angulaire des événements Bhabha diffusés. Pour cela, nous utilisons un Monte Carlo qui génère des événements et calcule la section efficace correspondant à tous ces événements. Le Monte Carlo utilisé est BHWIDE 1.03[7]. Voici ses caractéristiques données par l’un de ses auteurs[8] : 1L’acolinéarité est l’angle entre l’électron et le positron sortants.
  • 27. 30 II. LA DIFFUSION BHABHA 1 10 10 2 10 3 10 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 ξ Nombred’événements (o ) 1 10 10 2 10 3 10 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 √s’ Nombred’événements (GeV) FIG. 10 – Retour au Z Ces histogrammes remplis par une simulation Monte Carlo BHWIDE à √ s = 189 GeV montrent la distribution de l’acolinéarité ξ et de l’énergie effective √ s . On observe clairement une augmentation du signal à √ s = mZ et à ξ ∼ 75◦ due à l’effet du “retour au Z”. BHWIDE is based on the YFS exclusive exponentiation proce- dure2 , where all the IR singularities are summed-up to infinite order and cancelled out properly in the so-called YFS form factor. The remaining non-IR residuals, β (l) n , corresponding to the emis- sion of n-real photons, are calculated perturbatively up to a given order l, where l ≥ n, and (l − n) is a number of loops in the β (l) n calculation. In BHWIDE an arbitrary number n of real photons with non-zero pT are generated according to the YFS MC method of Ref3 . The non-IR residuals β (l) n are calculated up to O(α), i.e. β (1) 0 and β (1) 1 corresponding to zero-real (one-loop) and one-real (zero-loop) photons, respectively, are included. In β (1) 0 we imple- mented two libraries of the O(α) virtual EW corrections : (1) the 2D.R.Yennie, S.Frautschi and H.Suura, Ann. Phys. (NY) 13 (1961) 379. 3S.Jadach, E.Richter-Was, B.F.L. Ward and Z.Was, Comput. Phys. Commun. 70 (1992) 305.
  • 28. 4. MONTE CARLO BHWIDE 31 older one of Ref4 , which is not up to date but can be useful for some tests, and (2) the more recent one of Ref5 . When the genuine weak corrections are switched off (or numerically negligible) they are equivalent. In β (1) 0 we implemented two independent matrix elements for single-hard-photon radiation : (1) our calculation6 in terms of helicity amplitudes, and (2) the formula of CALKUL7 for the squared matrix element. We have checked that the above two representations agree numerically up to at least 6 digits on anevent-by-event basis. This constitutes a very important techni- cal cross-check of the implementation of the hard-photon matrix element in BHWIDE. The MC algorithm of BHWIDE is based on the algorithm of the program BHLUMI for SABH8 with a few important modifi- cations : (1) QED interferences between the electron and positron lines ("up-down" interferences) had to be reintroduced as they are important in LABH9 ; (2) the full YFS form factor for the 2 → 2 process, including all s−, t− and u−channels, was implemented ; (3) the exact O(α) matrix element for the full BHABHA process was included. The multiphoton radiation is generated at the low- level MC stage as for the t−channel process, while the s−channel as well as all interferences are reintroduced through appropriate MC weights. This means that the program is more efficient when the t−channel contribution is dominant, as e.g. at LEP2 ener- gies ;however, it proved to work well also at the Z peak. On notera que BHWIDE est capable de simuler un nombre arbitraire de photons radiatifs, que la renormalisation du processus est effectuée par une procédure d’exponentiation YFS exclusive, que les termes β (l) n responsables de la radiation de n photons sont calculés à l’ordre O(α), et que le terme β (1) 0 contient aussi des corrections virtuelles électrofaibles à l’ordre O(α). 4.1. Fonction de radiation. Pour finir ce chapitre, nous allons comparer la prédiction de BHWIDE à la formule analytique de la section efficace de Born améliorée. La différence provient de la radiation dans l’état initial et 4M.Böhm, A.Denner and W.Hollik, Nucl. Phys. B304 (1988) 687 5W.Beenakker et al., Nucl. Phys. B349 (1991) 323. 6S.Jadach, W.Placzek and B.F.L. Ward, Phys. Lett. B390 (1997) 298. 7F.A.Berends et al., Nucl. Phys. B206 (1982) 61. 8Small Angle BHabha scattering 9Large Angle BHabha scattering
  • 29. 32 II. LA DIFFUSION BHABHA final. En effet, nous avons : dσ d cosθ e+ e− → e+ e− (γ) = Frad · dσ d cosθ e+ e− → e+ e− (2.33) Dans le Monte Carlo BHWIDE, les événements sont générés avec radia- tion, et donc les deux électrons ne se trouvent plus (ou presque plus) dos- à-dos. Pour extraire la fonction de radiation, il convient alors de considérer un échantillon d’événements sélectionnés au moyen de l’acolinéarité ξ entre l’électron et le positron. 1 10 10 2 10 3 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 cosθ dσ/dcos   θ(pb) ξ < 10o ξ < 25o ξ < 120o IB √ ¡ s = 189 GeV 10o < θ < 170o a) 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 cosθ dσ(BHWIDE)/dσ(IB) ξ < 10o ξ < 25o ξ < 120ob) ¢ FIG. 11 – Comparaison BHWIDE et Born améliorée La prédiction de la section efficace différentielle de Born améliorée à √ s = 189 GeV est comparée à la prédiction du Monte Carlo BHWIDE pour trois coupures en acolinéarité : 120◦ (triangle), 25◦ (carré) et 10◦ (point). On passe clairement d’un rapport > 1 pour ξ < 120◦ à un rapport < 1 pour ξ < 10◦. Sur la figure 11a) se trouve la section efficace différentielle pour trois échantillons (ξ < 120◦, ξ < 25◦et ξ < 10◦), ainsi que pour la section efficace de Born améliorée. Sur la figure 11b) se trouve le rapport des sections efficaces des trois échantillons et la section efficace de Born améliorée. On observe clai- rement que pour obtenir la section efficace avec radiation où ξ < 120◦, il faut augmenter la section efficace de Born améliorée de l’ordre de +40%. Pour une
  • 30. 4. MONTE CARLO BHWIDE 33 section efficace où ξ < 120◦, cette correction est de l’ordre de −10%. Dans le cas de l’échantillon où ξ < 25◦, la correction est légèrement négative, sauf pour les grandes valeurs de cosθ. Pour l’interprétation des résultats au chapitre VI, nous aurons besoin de la fonction de radiation à ξ < 25◦. Pour l’extraire, nous allons utiliser les pré- dictions BHWIDE et la section efficace de Born améliorée : Frad (cosθ) = dσBHWIDE d cosθ (cosθ) dσIB d cosθ (cosθ) (2.34) Pour estimer cette fonction, des Monte Carlo simulés à 14 énergies √ s allant de 186.6 GeV à 208.6 GeV ont été utilisés. La figure 12 donne pour chaque bin en cosθ la moyenne et son erreur standard des 14 rapports de sections efficaces. 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 cos   θ dσ[e + e - →e + e - (γ)]/dσ[e + e - →e + e - ] σBHWIDE / σIB Fonction de rayonement FIG. 12 – Fonction de radiation à ξ < 25◦. Rapport de la section efficace différentielle prédite par le Monte Carlo BHWIDE et la section efficace différentielle de Born améliorée. Ce rapport mesure ce que nous allons appeler la fonc- tion de radiation. En ajustant un polynôme du 3e ordre à ces mesures, nous pouvons estimer la fonction de radiation : Frad (cosθ) = a1 +a2 cosθ+a3 cos2 θ+a4 cos3 θ (2.35) avec a1=0.933, a2=0.040, a3=0.094 et a4= -0.030. On remarque que nous n’avons pas retenu une dépendance en √ s. Nous verrons par la suite que cette dépen- dance semble être négligeable par rapport aux erreurs statistiques des Monte Carlo. En effet, sur la figure 13, même sans cette dépendance, nous obtenons
  • 31. 34 II. LA DIFFUSION BHABHA une compatibilité statistique. Ceci peut être expliqué par le fait que nous al- lons travailler sur des énergies √ s relativement proches. L’erreur systématique attribuée à cette fonction est l’erreur statistique des Monte Carlo utilisés pour extraire cette fonction. Cette erreur peut elle aussi être ajustée par un polynôme de 3e ordre avec les constantes b1=0.034, b2=- 0.041, b3=-0.0042 et b4=0.011. Finalement, nous obtenons la prédiction analytique IB−rad que nous uti- liserons pour l’interprétation des résultats : dσIB−rad d cosθ (s,cosθ) = Frad(cosθ)· dσIB d cosθ (s,cosθ) (2.36) Nous pouvons tester la validité de cette prédiction en la comparant à des Monte Carlo BHWIDE qui n’ont pas servi à extraire la fonction de radiation. La figure 13 donne la distribution des pulls : pull = dσIB−rad d cosθ − dσBHWIDE d cosθ δ2 BHWIDE +δ2 IB−rad (2.37) On observe que la prédiction est compatible dans les marges d’erreur statis- tiques des Monte Carlo. Le χ2 vaut 503 pour 450 degré de liberté en prenant l’erreur statistique des Monte Carlo seulement et 470 en prenant l’erreur to- tale (statistique des Monte Carlo et erreur systématique de la fonction de radiation). 0 5 10 15 20 25 30 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 53.14 / 51 Constant 16.63 1.106 Mean -0.6979E-02 0.5077E-01 Sigma 0.9652 0.4601E-01 pull FIG. 13 – Test de compatibilité entre BHWIDE et IB-rad Distribution des pulls entre la prédiction BHWIDE et la fonction IB-rad qui est le produit de la section efficace différentielle de Born améliorée et la fonction de radiation. On observe une bonne compatibilité statistique.
  • 32. CHAPITRE III Le détecteur L’expérience L3 se trouve sur le collisioneur LEP au CERN près de Ge- nève. Le LEP est un accélérateur circulaire de 26.7 km de circonférence. Le programme de physique du LEP a été divisé en deux phases : LEP I (1989- 1995) et LEP II (1996-2000). Durant LEP I, des balayages en énergie de collision autour de la masse du boson Z ont permis d’étudier de façon très approfondie cette particule. Dès 1995, les améliorations du LEP ont permis d’obtenir chaque année des énergies de collision de plus en plus énergétiques allant jusqu’à 210 GeV. Ce record a été enregistré dans les dernières secondes du LEP à 8h00 le jeudi 2 novembre 2000. Les priorités du programme LEP II ont été l’étude du boson W et la chasse au boson de Higgs. La première section de ce chapitre décrit le complexe d’accélérateurs du CERN ainsi que le collisioneur LEP. Dans la deuxième section, tous les détecteurs de l’expérience L3 sont dé- crits. 1. Le complexe d’accélérateurs du CERN Un avantage du CERN par rapport à d’éventuels nouveaux sites d’expé- riences a toujours été la possibilité d’utiliser ses anciens accélérateurs au pro- fit des nouveaux. En effet, l’accélération des particules peut être comparée à celle d’une voiture. De même qu’il est impossible de démarrer une voiture en cinquième vitesse, il est impossible l’accélérer des particules au repos avec le LEP. C’est pourquoi il est nécessaire d’avoir un complexe d’accélérateurs imbriqués les uns dans les autres. Les électrons du LEP ont passé parmi de nombreux accélérateurs. Tout d’abord un canon éjecte des électrons d’un filament chauffé. Ceux-ci sont alors accélérés linéairement par le LIL (Linear Injector for LEP) jusqu’à une énergie de 200 MeV. Les électrons peuvent soit être accélérés jusqu’à 600 MeV, puis envoyés dans l’EPA (Electron-Positron Accumulator), soit sur une cible de tungstène. Cette collision va produire des paires e+e−. Les e+ sont ac- célérés jusqu’à 600 MeV, puis envoyés dans l’EPA. Lorsqu’il y a suffisamment 35
  • 33. 36 III. LE DÉTECTEUR FIG. 14 – Complexe d’accélérateurs au CERN Ce schéma représente une partie du complexe d’accélérateurs du CERN. On peut y voir le LIL qui produit des électrons et des positrons de 600 MeV, l’accumulateur EPA qui sert de "salle d’attente" aux électrons avant leur grand voyage. Lorsque le LEP est vide, on accélère les faisceaux d’abords jusqu’à 3.5 GeV dans le PS, puis jusqu’à 20 GeV dans le SPS et enfin dans le LEP jusqu’à leur énergie voulue. d’électrons et de positrons dans l’accumulateur, les paquets sont envoyés à l’accélérateur suivant, le PS. Le PS (Proton Synchrotron) est de loin le plus vieil accélérateur toujours en service du CERN, bien qu’il ne doit plus rester beaucoup de pièces d’origine. Il a été construit en 1959 et sa circonférence est de 630 m. Cette accélérateur polyvalent permet d’accélérer non seulement des électrons, mais aussi des protons et des ions. Le PS accélère les électrons et les positrons à une énergie de 3.5 GeV. Cette énergie correspond à peu près à la limite où toute la puissance des cavi- tés accélératrices RF (Radio Frequence1 ) sert à compenser le bremsstrahlung (radiation de freinage) qui apparaît dès que l’on modifie la trajectoire d’une 1Le terme Radio Frequence vient du faite que pour accélérer des particules en utilisant des plaques espacées de quelques centimètres, il faut utiliser une onde électromagnétique dont la fréquence sur trouve dans la bande des fréquences radio.
  • 34. 2. L’EXPÉRIENCE L3 37 particule chargée. L’énergie perdue par un électron est : W = 8.85×10−5 E4 ρ MeV par tour (3.1) où E est l’énergie de l’électron en GeV et ρ le rayon de courbure de l’accéléra- teur en kilomètre. Ainsi, à 3.5 GeV, les électrons perdent 132 keV par tour, et toute (ou presque) la puissance RF utile du PS sert à compenser cette perte d’énergie. Pour doubler l’énergie des électrons, il faut soit utiliser 8 fois plus de puis- sance électrique, soit, en gardant la même puissance, doubler le rayon de l’ac- célérateur. Ainsi, lorsque l’on s’approche de cette limite technique au PS, les faisceaux sont envoyés dans le SPS. Le SPS (Super Proton Synchrotron) a été construit en 1976. Il a une cir- conférence de 6.9 km. Cet accélérateur a permis la découverte des bosons de gauge Z et W en 1983. Le SPS peut accélérer les électrons jusqu’à une énergie de 22 GeV. A cette énergie là, les électrons peuvent enfin entrer dans le LEP. Le LEP est a été construit dans le but spécifique d’accélérer des électrons et des positrons. Il mesure 26 659 m. Les faisceaux doivent voyager dans un tube à vide, car tout gaz diminuerait leur intensité. L’utilisation de pompes à sublimation de titane et de 20 km de ruban de getter permettent de pousser le vide jusqu’à 10−12 Torr, soit près de 10 fois meilleur que le vide qu’il y a entre la Terre et la Lune (10−11 Torr). Les opérations du LEP ont commencé en 1989. Des cavités accélératrices supracondutrices installées à partir de 1996 ont permis de fournir 3 500 MV de tension accélératrice par tour et d’atteindre une énergie de faisceau de 105 GeV à la fin du programme. Chaque faisceau est composé de quatre pa- quets et correspond à un courant d’environ 6.5 mA. La luminosité instantanée maximale a été de l’ordre de 100×1030 cm−2s−1. Quatre expériences se trouvent sur le LEP : ALEPH, DELPHI, OPAL et L3. Nous allons maintenant décrire l’expérience L3, sur laquelle se base cette thèse. 2. L’expérience L3 2.1. L’aimant. Une des particularités de l’expérience L3 est d’avoir un ai- mant externe qui plonge tous ses sous-détecteurs dans un champ magnétique relativement uniforme, parallèle aux faisceaux, de 0.5 T, soit près de 2’000 fois le champ magnétique terrestre moyen. L’aimant a la forme d’un cylindre octogonale couché et mesure 11.9 m de long pour un diamètre de 13.6 m. Son
  • 35. 38 III. LE DÉTECTEUR diamètre interne est de 5.9 m. L’aimant est composé de 168 spires d’alumi- nium pesant 1’120 tonnes. Le retour du flux magnétique est assuré grâce à 5’600 tonnes de fer. Le tout est soutenu par une structure en acier de 1’100 tonnes. Chaque extrémité de l’aimant est fermée par 2 portes de 340 tonnes. La figure 15 nous montre une coupe de l’aimant à l’intérieur de la caverne. La puissance électrique dissipée dans l’aimant est de 4 MW. FIG. 15 – Coupe de l’expérience dans sa caverne A cette échelle, on observe essentiellement l’aimant et les chambres à fils du détecteur de muons. 2.2. Les calorimètres. On mesure l’énergie des particules provenant de la collision e+e− en les arrêtant complètement dans des calorimètres. Une partie de l’énergie perdue par ces particules donne lieu à des effets physiques directement observables, ce qui permet une mesure de leur énergie. Un calori- mètre électromagnétique (le BGO) permet de mesure l’énergie des particules électromagnétiques, alors qu’un calorimètre hadronique (le HCAL) mesure l’énergie des hadrons. La granulation de la mesure de l’énergie permet aussi une mesure de la position du dépôt d’énergie et ainsi la mesure de la direction de la particule en supposant que celle-ci vienne du point d’interaction e+e−. 2.2.1. Le calorimètre électromagnétique - BGO. Ce détecteur est constitué d’un barrel (tonneau) et de deux endcaps (bouchons). Il est composé de 10’734
  • 36. 2. L’EXPÉRIENCE L3 39 DétecteurCouverturePolaireRésolution Énergie/ImpulsionAngleAzimutalAnglePolaire SMD+TEC25◦−155◦(90.6%)δpT pT =1.5%0.6mrad3.4mrad 10.5◦−36.7◦(9.1%), BGO42.3◦−137.7◦(74.0%),δE E=10%√ E 3.6mrad3.8mrad 143.3◦−169.5◦(9.1%) HCAL5.5◦−174.5◦(99.5%)δE E=55%√ E +5%44mrad MUCH36◦−144◦(80.9%)δpT pT =2%- TAB.4–ParamètresdesdétecteursdeL3 Cetableaurésumelesparamètresimportantspourl’analyse.Ils’agitdesrégionsangulaires etdelarésolutiondesmesuresdel’énergieoudelaquantitédemouvementetdesangles.
  • 37. 40 III. LE DÉTECTEUR Hadron Calorimeter Barrel Hadron Calorimeter Endcaps Luminosity Monitor FTC BGO BGO SMD HC1 HC3 HC2 Z chamber TEC Active lead rings SLUM   RB24 FIG. 16 – Détecteur internes de L3 Ce deuxième schéma du détecteur montre mieux les détecteurs internes. On y trouve le calori- mètre hadronique (HCAL) et électromagnétique (BGO), les composantes du traceur (le SMD, la TEC et les chambres Z de la TEC) et les détecteurs de mesure de la luminosité (SLUM et LUMI) Photodiode To ADC Xenon lamp fibers BGO crystal Carbon fiber wall (0.2 mm) 2cm 3cm 24 cm FIG. 17 – Un cristal du BGO On observe les deux photodiodes qui collectent la lumière émise dans le cristal, ainsi que les fibres optiques qui amènent la lumière de calibration du système Xénon. cristaux de germanate de bismuth (Bi4Ge3O12, d’où son nom de BGO). Le bar- rel compte à lui seul 7’680 cristaux. L’avantage de ce matériau est qu’il consti- tue à la fois un milieu dense pour la formation de la gerbe électromagnétique (une avalanche d’électrons et de photons) et un scintillateur qui transforme une partie de l’énergie de cette gerbe en lumière qui peut être observée.
  • 38. 2. L’EXPÉRIENCE L3 41 D’une densité élevée (7.13 g/cm3), il possède une courte longueur de radia- tion (1.12 cm) par rapport à la longueur des cristaux (24 cm). La longueur d’in- teraction nucléaire étant de 22 cm, les hadrons le traversent sans peine. Il est donc nécessaire de prévoir un deuxième calorimètre pour mesurer leur éner- gie. Le BGO a un temps de réponse court (300 ns), mais malheureusement il supporte mal les variations de température (1.55% de lumière en moins par ◦C en plus). Afin de minimiser les corrections à appliquer aux données pour compenser cet effet, le BGO a été doté d’un système de refroidissement qui le stabilise à ± 0.2◦C. Au vu de l’espace réduit disponible et du champ magnétique ambiant de 0.5 T, l’utilisation de photodiodes a été choisie pour collecter la lumière pro- venant des cristaux de BGO comme le montre la figure 17. Chaque cristal est équipé de 2 photodiodes qui ont une efficacité quantique de 70%. Les photons peuvent être détectés lorsqu’ils produisent une paire électron-trou. 1 MeV dé- posé dans le BGO correspond à un signal électrique d’environ 0.2 fC (environ 1200 électron). Ce signal est immédiatement amplifié à la sortie des photo- diodes par un préamplificateur. Le signal est ensuite sorti du détecteur pour être à nouveau amplifié et converti en valeurs numériques par des ADC (Ana- log to Digital Convertisor). Ceux-ci ont été conçus pour pouvoir convertir des signaux sur une grande gamme dynamique (de 1 MeV à plus de 100 GeV). Ceci est rendu possible grâce à 6 comparateurs prenant chacun en charge une gamme d’énergie. Nominalement, le calorimètre devait couvrir la plage angulaire 12◦< θ < 168◦. La chambre centrale étant plus longue qu’initialement prévu lorsque les endcaps ont été construits, ceux-ci ont dû être installés en retrait par rap- port au barrel. Il en résulte un espace de 5◦ entre le barrel et chaque endcap comme le montre la figure 18. En définitive, le barrel couvre la région angu- laire 42.3◦< θ < 137.7◦, et les endcaps les régions angulaires 10.5◦< θ < 36.7◦ et 143.3◦< θ < 169.5◦. Ainsi, 92.1% de l’angle solide est couvert par le BGO. La résolution en énergie du BGO est de δE E = 10% √ E (3.2) La résolution angulaire est de 3.8 mrad pour la mesure de l’angle polaire et 3.6 mrad pour la mesure azimutale. Les méthodes de calibration en énergie des cristaux est décrite dans la section 3 de ce chapitre. 2.2.2. Le calorimètre hadronique - HCAL. Le calorimètre hadronique est lui aussi constitué d’un barrel et des deux endcaps. Le HCAL couvre la région
  • 39. 42 III. LE DÉTECTEUR FIG. 18 – Espacement entre le barrel et les endcaps du BGO Sur schéma se trouvent le barrel du BGO et un de ses bouchons (endcap). Des contraintes tech- niques ont rendu nécessaire le déplacement des bouchons de quelques centimètres. Il en résulte un trou de 5◦ et un déplacement du point de focalisation des axes directeurs des cristaux. angulaire 5.5◦< θ < 174.5◦, soit 99.5% de l’angle solide. Un échantillonnage très fin de plaques d’absorbeur en uranium appauvri intercalées entre des chambres à fils proportionnelles permet la création de gerbes hadroniques et la mesure de leur énergie. La résolution en énergie pour des hadrons isolés est de : δE E = 55% √ E ⊕5% (3.3) La segmentation du calorimètre permet une mesure de l’axe des jets avec une résolution angulaire d’environ 2.5◦. Grâce aux 6 longueurs d’absorption nucléaire de tous les détecteurs in- ternes, seuls les neutrinos et les muons peuvent sortir du calorimètre hadro- nique. Les muons n’auront perdu qu’au maximum 2.5 GeV en passant les détecteurs internes. 2.3. Les détecteurs à traces. Les détecteurs à traces permettent de me- surer les points de passage des particules chargées. En reliant ces points de passage, on obtient la trajectoire des particules. Cette trajectoire nous per- met de calculer les angles d’émission des particules. Dans un champ magné- tique, les particules chargées ont une trajectoire incurvée. Ainsi, en mesurant la courbure de cette trajectoire, nous obtenons une mesure du produit de la charge et de la quantité de mouvement. Comme nous n’allons considérer que des charges ± 1, le signe de la courbure, c’est-à-dire son orientation, nous
  • 40. 2. L’EXPÉRIENCE L3 43 8235   5425 4010 2530 BGO TEC ø 35 ¡ RFQ ¢ Coil£ Magnet Yoke¤ Muon Chambers ¥ Muon Filter Hadron Calorimeter 14 180 mm Luminosity Monitor e ¦ - e ¦ +§ TEC IP 45° 29° L3 Inner Tracking System FTC Z Chamber SMD Support SMD Active Region Proposed SMD View of the SMD location in the L3 Experiment now with 5 cm beam pipe FIG. 19 – Coupes des détecteurs à traces de L3 Ces deux schémas représentent le système de traceurs : les chambres à muon et le traceur interne qui est composé du SMD et de la TEC. Le détecteur perpendiculaire FTC n’a servi que pour le système de triggers. donne directement le signe de la charge. On peut obtenir la quantité de mou- vement transverse pT en connaissant le champ magnétique B du détecteur et la courbure ρ de la trajectoire : pT [GeV/c] = 0.3B|ρ| [Tm] (3.4) Les particules de charge nulle n’ionisant pas les gaz, elles donnent aucun signal dans les détecteurs à trace.
  • 41. 44 III. LE DÉTECTEUR Un détecteur au silicium et une chambre à gaz à expansion temporelle au centre du détecteur permettent ces mesures pour toutes les particules char- gées. Des chambres à muons externes permettent aussi ces mesures pour les muons. 2.3.1. Le détecteur de vertex au silicium - SMD. Ce détecteur n’a été opé- rationnel qu’à partir de 1994. Ce type de détecteur a révolutionné la physique des particules en permettant de mesurer des positions avec une résolution d’une dizaine de microns. Le SMD est constitué de deux couches de douze échelles à microstrip. La surface total de ce détecteur est d’environ 0.2 m2. La couche interne à double faces donne une mesure dans le plan perpendiculaire au faisceau. La couche externe est tourné de 2◦ par rapport à l’axe du faisceau pour permettre une mesure stéréoscopique de la coordonnée Z. La résolution sur la mesure d’un point de passage est de 7 µm en R-φ et 15 µm en Z. En extrapolant ces points de passage, on peut obtenir la distance d’approche la plus courte (DCA), c’est-à-dire le point le plus proche du point d’interaction. La résolution sur le DCA varie de 25 à 40 µm. Le SMD n’est jamais utilisé seul pour mesurer la trajectoire d’une trace, mais toujours en conjonction avec une trace TEC. FIG. 20 – Coupe représentant la TEC les chambres Z Ce schéma représente la TEC sur le plan transverse au faisceaux d’électrons. La croix + repré- sente le point d’interaction. Le trait partant de ce point représente le passage d’une particule chargée. Son passage va ioniser le gaz de la TEC, et ces charges vont dériver vers les anodes. On peut voir que les modules intérieurs sont légèrement décalés par rapport aux modules ex- térieurs. Ceci permet de lever l’ambiguïté droite-gauche lors de la reconstruction.
  • 42. 2. L’EXPÉRIENCE L3 45 2.3.2. La chambre à expansion temporelle - TEC. La chambre centrale est une chambre à dérive basée sur le principe de l’expansion temporelle de l’io- nisation induite dans le gaz par les particules chargées qui la traverse. Le gaz est un mélange à 80% de gaz carbonique (CO2) et à 20% d’isobuthane (C4H10). Le gaz est maintenu à une pression de 2 atm, ce qui empêche les molécules d’oxygène de l’air d’entrer dans la TEC. En effet, les molécules d’oxygène em- pêchent une bonne dérivée des charges en les absorbant. Après la décharge, d’isobuthane permet une bonne dissipation de l’énergie restante grâce à ses nombreux axes de rotation. La TEC est constitué d’une partie interne et d’une partie externe, voir fi- gure 20. La partie interne est composé de 12 secteurs. Chaque secteur contient 8 fils d’anodes pour ces mesures. La partie externe est composée de 24 sec- teurs à 54 fils d’anodes chacun. Les fils sont tendus parallèlement à l’axe du faisceau. La longueur sensible de ce détecteur est de 982 mm. Le temps de dérive des charges jusqu’à aux fils d’anode (6 µm/ns) permet l’extrapolation de la position médiane (appelé hit) de l’ionisation du gaz à la “hauteur” de chaque fil, conséquence du passage d’une particule. Vu la géomé- trie du détecteur, pour chaque hit, une ambiguïté gauche/droite est présente. Pour lever cette ambiguïté, l’information d’un autre détecteur est nécessaire (essentiellement le SMD et la partie interne de la TEC comme le montre la figure 20). Certains fils, dits de division de charges (2 fils dans chaque secteur interne et 9 dans chaque secteur externe), sont lus de chaque côté du détecteur. Ainsi, la comparaison des deux signaux permet la mesure de la coordonnée Z. En outre, 2 chambres proportionnelles cylindriques entourent la TEC. Ces cham- bres, dites Z, permettent de mesurer la coordonnée Z avec une résolution de 320 µm. La résolution en r−φ est de 58 µm pour la partie intérieur et de 49 µm pour la partie extérieur. La plage angulaire de la TEC s’étend de 25◦ à 155◦, soit 90.6% de l’angle solide. La résolution en quantité de mouvement des traces reconstruites par le SMD et la TEC est de : δp p = 1.5% (3.5) A grand angle, la résolution de la mesure des angles est : Angle polaire (θ) 3.4 mrad Angle azimutal (φ) 0.6 mrad
  • 43. 46 III. LE DÉTECTEUR 2.3.3. Les chambres à muons - MUCH. La quantité de mouvement, les angles de production, et la charge des muons sont mesurés grâce aux cham- bres à muons. Ce détecteur est formé de deux grandes roues octogonales de 86 tonnes et de deux endcaps encastrés dans les portes de l’aimant. Trois plans de chambres à dérive permettent de mesurer la courbure des trajectoires dans le plan r −φ normal à l’axe des faisceaux avec une résolution de : δp p = 2% (3.6) Des chambres supplémentaires permettent de mesurer la troisième coor- donnée z avec une résolution de 500 µm. Les chambres à muons couvre la région angulaire 36◦< θ < 144◦, soit 80.9% de l’angle solide. 2.4. Les scintillateurs. 30 scintillateurs plastiques sont placés entre le HCAL et le BGO. Leur couverture en angle polaire est de 34◦< θ < 146◦, soit 82.9% de l’angle solide. Ce système permet la mesure du temps de vol des particules avec une résolution temporelle de : δt = 460 ps (3.7) Ce détecteur sert essentiellement à rejeter les muons cosmiques. En effet, la différence de temps entre deux scintillateurs pour un muon cosmique qui passe près du point d’interaction est de 5.8 ns, alors que pour une paire de muons provenant de l’annihilation e+e− la différence est nulle. 2.5. La mesure de la luminosité - LUMI. Pour la mesure d’une section efficace, il est très important de connaître la luminosité des faisceaux. Pour estimer cette luminosité, il faut considérer un canal physique bien compris d’un point de vue théorique et qui donne un nombre important d’événements. Le canal Bhabha qui correspond à ces deux critères a été choisi. En effet, à bas angle polaire, la section efficace est largement dominée par l’échange d’un photon dans la voie t dont le terme au premier ordre est proportionnel à (1−cosθ)−2 . Pour estimer l’efficacité du système, deux chaînes de mesures séparées sont utilisées : un calorimètre électromagnétique et un détecteur au silicium. Chaque calorimètre électromagnétique est finement segmenté en 304 cris- taux de BGO sur 8 anneaux. Il couvre la région polaire 24.9 mrad < θ < 69.9 mrad ainsi que la région polaire symétrique opposée à la normale du faisceau, soit 0.2% de l’angle solide.
  • 44. 2. L’EXPÉRIENCE L3 47 2.6. Système de déclenchement. Le système de déclenchement (trig- ger) est le système qui décide s’il faut ou non enregistrer un événement. Comme il y a plus de 44’000 croisements de faisceaux par seconde au centre du détecteur L3, non seulement il était impossible à l’époque de la construc- tion d’enregistrer l’état du détecteur après chaque croisement, mais encore, dans la quasi totalité des croisements, aucune collision n’a eu lieu. C’est pour- quoi un ensemble de triggers décide à partir de règles simples si le croisement qui vient d’avoir lieu est un événement physique qui mérite d’être enregistré ou un bruit de fond qu’il faut rejeter. Pour éliminer de la meilleur façon les divers bruits de fond et minimiser le temps mort du détecteur, trois niveaux de triggers de complexités croissantes sont utilisés. 2.6.1. Niveau 1. Le niveau 1 est le niveau le plus bas. Il doit fournir une réponse en moins de 22 ns, temps après lequel deux nouveaux paquets se croisent dans le détecteur. Des règles simples, faisant appel à des informa- tions élémentaires qui peuvent être rapidement extraits du détecteur, sont utilisées pour tester si un événement intéressant vient d’avoir lieu ou non. Le niveau 1 sert essentiellement à détecter un signal énergétique dans le détecteur. Ce sera le travail des niveaux supérieurs de voir s’il s’agit d’un bruit de fond. Si la réponse du niveau 1 est négative, toutes les lectures du détecteur sont stoppées et un reset global est effectué, ce qui permet à l’électronique d’être prêt pour le prochain croisement. Le taux de déclenchement du niveau 1 est de l’ordre de 15 à 20 Hz, soit une réduction de près d’un facteur 3000 de la fréquence de croisements de faisceau (44 kHz). La combinaison des réponses de chaque trigger est effectué par un OU logique. Ainsi, l’estimation des efficacités des triggers peut être obtenue en prenant le rapport entre le nombre d’événements sélectionnés par le trigger à tester et un trigger témoin par rapport au nombre d’événements sélectionnés par le trigger témoin : εA = N(A⊗B) N(B) (3.8) avec A le trigger à tester, B un trigger témoin, N le nombre d’événements et εA l’efficacité du trigger A. 2.6.2. Niveau 2. Le niveau 1 a permis essentiellement d’éliminer les évé- nements vides, c’est-à-dire les croisements où aucune particule n’a été diffusée ou produite à grand angle, dans le détecteur. Le niveau 1 a donc flashé chaque fois que quelque chose c’est produit dans le détecteur. Malheureusement, il ne s’agit pas toujours d’un événement physique intéressant, il s’agit parfois de processus physiques non voulus : fission d’un noyau d’uranium dans le HCAL,
  • 45. 48 III. LE DÉTECTEUR muon cosmique, Natel ou tube néon non éteint à proximité du détecteur, ra- diation de freinage du faisceau, etc. Le niveau 2 va donc permettre de vérifier si l’événement provient bien d’une collision e+e−. Comme le détecteur a eu le temps de la prise de décision du niveau 1 pour lire plus d’information, le niveau 2 peut se baser sur des objets plus élaborés. Le temps de décision est d’environ 500 µs. Un cas spécial apparaît lorsque plus d’un trigger du niveau 1 a été déclen- ché. On admet que la probabilité qu’un bruit de fond déclenche deux triggers du niveau 1 simultanément est suffisamment faible pour être négligée. C’est ainsi, que si un événement a été déclenché par plus d’un trigger du niveau 1, on court-circuite le niveau 2 et on gagne ainsi un précieux temps de calcul. Pour permettre l’estimation de l’efficacité du déclenchement du niveau 2, 1 événement rejeté sur 20 est conservé (pre-scaling). Le taux de déclenchement du niveau 2 est de l’ordre de 10 à 15 Hz, soit une réduction de 70% à 80% par rapport au niveau 1. 2.6.3. Niveau 3. Malheureusement, 10 Hz est encore trop élevé, et des événements de bruit de fonds sont encore présents. Le niveau 3 ayant eu le temps qu’ont pris les décision des niveaux 1 et 2, il peut se baser sur les don- nées digitales complètes du détecteur. Il fait appel à plusieurs algorithmes d’analyse. Comme pour le niveau 2, les événements avec plus d’un déclenche- ment au niveau 1 sont acceptés automatiquement. La combinaison de tous les algorithmes résulte à un taux de déclenchement de 3 à 6 Hz, soit une réduc- tion de 40% à 60% par rapport au niveau 2. Comme pour le niveau 2, un pre-scaling de 1/20 est appliqué. Si la décision du niveau 3 est positive, l’événement est transféré vers la ferme d’analyse qui enregistre l’information sur disque dur pour être analysé et sur bandes magnétiques pour être sauvegardé. La taille moyenne d’un évé- nements est de 50 kb. 3. Calibration du BGO Une partie de mon travail a consisté à utiliser le système Xénon pour ca- librer les cristaux du BGO et monitorer chaque cristal, jour par jour, pour établir une liste des cristaux morts, et dans le cas d’un accident grave où le faisceau abîmerait une partie du BGO, de pouvoir fournir des constantes de corrections. 3.1. Le système Xénon. Un système de lampes au Xénon et de fibres op- tiques permet d’envoyer dans les cristaux de BGO de la lumière comparable à celle produite par un électron de 1.5 GeV à 35 GeV. Nous pouvons simuler
  • 46. 3. CALIBRATION DU BGO 49 ce domaine d’énergie, c’est-à-dire ce domaine d’intensités lumineuses, grâce à un système de filtre. Nous pouvons ainsi monitorer l’efficacité de collection de lumière produite dans le cristal et le gain de la chaîne électronique d’acquisi- tion. La figure 21 montre le schéma du système. FIG. 21 – Schéma du système Xénon Une lampe au Xénon produit un flash de lumière qui est conduit par des fibres optiques vers les cristaux de BGO, des photomultiplicateurs (PM) de référence et vers des photodiodes (PD) de référence. Les impulsions lumineuses sont produites par un ensemble de 16 lampes pour le barrel et de 16 lampes pour les endcaps. De chaque lampe part un en- semble de fibres optiques primaires, qui est subdivisé au niveau du détecteur en fibres secondaires qui illuminent tous les cristaux. Des fibres supplémen- taires remontent au système d’acquisition pour servir de références. En effet, la lumière Xénon permet de monitorer la stabilité des cristaux, mais pour cela il faut être sûr de la stabilité des lampes. C’est pourquoi cette production de lumière est testée à son tour par un ensemble de photomultiplicateurs (PM) 2 La stabilité des PM est à son tour monitorée par des sources radioactives d’américium (241Am). Heureusement, la physique de cette désintégration est d’une parfaite stabilité en énergie (4.43 MeV) et nous n’avons donc nul besoin de monitorer la stabilité de l’énergie des photons émis par l’américium. 2J’entends par PM, l’ensemble du système PM et le cristal scintillant qui est monté sur le PM.
  • 47. 50 III. LE DÉTECTEUR Tout le système d’acquisition est contrôlé par un PC Amiga 2000 qui, notons-le, aura tenu jusqu’à la fin de l’expérience. Cet Amiga est probable- ment le seul à voir été en fonction jusqu’en l’an 2000. Tous les jours, entre deux prises de données, un run Xénon a été effectué par le shifter BGO. Ce run consiste à flasher 10 fois chaque lampe et ainsi nous avons 10 mesures quotidiennes pour chaque cristal. Dead Crystals Evolution 40 50 60 70 80 90 20 40 60 80 100 120 140 160 Xenon Run Number NumberofDeadCrystals All BGO Barrel Only FIG. 22 – Nombre de cristaux défini comme morts par le système Xénon Nombre de cristaux mort dans le barrel seulement et dans tout le BGO en fonction du numéro du run Xénon. Les prises de données étant quotidiennes, ce graphique représente l’évolution du nombre de cristaux morts durant l’année 2000. Le taux de cristaux mort que ce soit dans le barrel ou les endcaps est d’environ 0.7%. 3.2. Cristaux morts. Ces mesures permettent d’établir une première liste de cristaux morts. La figure 22 montre le nombre de cristaux morts pour le barrel et pour le BGO entier pour chaque run. On observe que dans le BGO 80 cristaux sont morts en moyenne. La liste des cristaux morts est complétée par une analyse off-line de l’occupation de chaque cristal par des jets hadroniques. En effet, cette physique nous donne une irradiation azimutale uniforme et in- tense, ce qui permet en observant le nombre d’événements par cristal de voir ceux qui réagissent mal.
  • 48. 3. CALIBRATION DU BGO 51 3.3. Calibration. La calibration des cristaux se fait en joignant le moni- toring on-line du Xénon avec l’analyse off-line des Bhabha colinéaires, c’est- à-dire sans importante radiation initial ou final. Ainsi, l’énergie des électrons est, par conservation, celle du faisceau, et en observant la réponse du détec- teur, ceci permet la calibration des cristaux. La face avant des cristaux mesure environ 2 cm sur 2 cm, alors que seule- ment 90% de la gerbe électromagnétique produite par un électron est contenu dans un cercle de rayon RM = 2.4 cm. Pour estimer l’énergie réel déposée dans le BGO, nous allons considérer les mesures de l’énergie déposée dans le cristal central3 (S1), et dans un carré de 3x3 cristaux (S9). Des pertes d’énergie peuvent apparaître : le support du BGO en carbone absorbe une partie de la gerbe et si l’énergie est importante la gerbe peut même se propager au-delà des 24 cm du BGO. Ainsi, les variables brutes S1 et S9 sous-estiment l’énergie déposée. Cette perte dépend du point d’impact de la particule dans le cristal central. En effet, on peut s’attendre à ce qu’une particule qui touche un cristal en plein centre dépose plus d’énergie dans le BGO qu’une particule qui le touche entre deux cristaux. Pour mesurer ce point d’impact, nous allons nous placer dans un système de référence angulaire se rapportant au cristal central : x = (φ−φ0) r0 sinθ0 y = (θ−θ0) r0 (3.9) avec (r0, θ0,φ0) la position central de la face avant du cristal, et (θ,φ) la position angulaire du centre de masse de la gerbe électromagnétique. La correction n’a pas besoin d’être bi-dimentionnelle. En effet, ce qui compte dans la perte d’énergie est la “proximité d’un bord”. Nous pourrions considérer la distance d : d = xk +yk 1 k (3.10) avec k > 0. Mais il est intéressant de noter qu’une variable plus facile à ex- traire des données permet aussi de déterminer la proximité d’un bord : S1/S9. Cette variable a aussi l’avantage de ne pas nécessiter une base de données de la position de chaque cristal. La figure 23 montre la distribution de cette va- riable en fonction de x pour les cas où |y| < 3 mm. Vu la simplicité d’extraction de cette variable et sa très bonne bijection avec le point d’impact, nous allons 3Le cristal central est le cristal qui a été touché de plein fouet par la particule. C’est dans ce cristal que la déposition d’énergie est la plus importante.
  • 49. 52 III. LE DÉTECTEUR l’utiliser pour la correction de la perte d’énergie. Il est vrai que l’on introduit une ambiguïté “gauche/droite”, mais la symétrie du BGO nous le permet. FIG. 23 – S1 S9 en fonction du point d’impact x. Corrélation entre le point d’entrée dans le cristal et la variable S1/S9. Ces événements ont une coordonnée |y| < 3 mm. Cette variable décrit "la proximité d’un bord." Tout comme pour la calibration, cette correction est obtenue grâce à des événements Bhabha colinéaires. Une acolinéarité provient nécessairement de la radiation d’un ou plusieurs photons durs, d’où une perte d’énergie pour les électrons. Malheureusement, le fait que les deux électrons soient colinéaire n’est pas une preuve de l’absence de radiation. En effet, il existe des cas rares de configurations cinématiques où les quantités de mouvement de deux pho- tons ou plus s’annulent et laissent les électrons colinéaires. La figure 24 mon- tre l’acolinéarité en fonction l’énergie brute moyenne des deux électrons nor- malisée par l’énergie du faisceau. On observe clairement une perte d’énergie en fonction de l’acolinéarité pour certains événements. Pour mesurer la cor- rection, nous n’allons utiliser que les événements dont l’acolinéarité est plus petite que 1◦. La mesure de S9 Ebeam en fonction de S1 S9 nous permet d’extraire la correction voulue. La figure 25 nous montre que nous pouvons approximer cette dépen- dance de façon linéaire : S9 Ebeam = β+α· S1 S9 (3.11)
  • 50. 3. CALIBRATION DU BGO 53 FIG. 24 – Acolinéarité entre les électrons. Relation entre l’acolinéarité des deux électrons et la somme de leur énergie brute. A cause des radiations initiales ou finales, une partie de l’énergie peut être prise par les photons. Comme nous voulons comprendre la perte d’énergie dans le BGO, il faut tenir compte de cette effet. On observe que cette effet peut être réduit en imposant une acolinéarité inférieure à 1◦. L’énergie corrigée Scor 9 est donc Scor 9 = S9 β+α· S1 S9 (3.12) avec à priori un jeu d’α et et β pour chaque cristal. Nous ne pouvons pas directement utiliser la fonction (3.11) sur les distri- butions pour extraire ces paramètres, car il faut tenir compte de la fonction de résolution du détecteur et de la fonction de la radiation restante des photons. Ces deux fonctions peuvent être approximées par la fonction Crystal Ball line shape4 : f(Em) =    H ·exp −(Et−Em)2 2σ2 si Em > Et −aσ H · n a n · exp −a2 2 (Et−Em σ +n a −a) n si Em < Et −aσ (3.13) avec Et = β+α· S1 S9 (3.14) 4Cette fonction a été développée par l’expérience Crystal Ball pour correspondre à la réponde de cristaux de NaI.
  • 51. 54 III. LE DÉTECTEUR FIG. 25 – Fonction de correction Corrélation entre l’énergie normalisée mesurée dans le BGO (S9/Ebeam) et la “mesure de proxi- mité d’un bord” S1/S9. On observe une dépendance linéaire convoluée par la fonction de réso- lution et la fonction de radiation. Et est l’espérance de l’énergie normalisée (par l’énergie du faisceau) de la par- ticule, Em est la mesure de l’énergie normalisée et a est le nombre de σ en dessous de Et où nous passons d’un mode Gaussien avec la résolution du dé- tecteur σ à un mode radiatif décrit par la variable n. Cette fonction décrit ad- mirablement bien la réponse en énergie du BGO, comme le montre la figure 26. Il est important de noter que bien que nous soyons en unité d’énergie nor- malisée, Et ne vaut pas 1, à cause de pertes d’énergie dans le détecteur. Ainsi, cette analyse permet non seulement d’obtenir la perte relative d’énergie en fonction du point d’impact, mais aussi la perte absolue du détecteur.
  • 52. 3. CALIBRATION DU BGO 55 EBGO/E   beam ¡ - Données 1 10 10 2 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 47.44 / 77 H 479.5 12.61 Et ¢ 0.9977 0.3408E-03 σ 0.1021E-01 0.4219E-03 n 1.949 0.1088 a 0.9101 0.6372E-01 EBGO/E   beam ¡ - Monte Carlo 1 10 10 2 10 3 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 81.51 / 82 H 1187. 21.53 Et ¢ 0.9995 0.2788E-03 σ 0.1097E-01 0.9032E-03 n 2.886 0.2227 a 0.7936 0.1092 FIG. 26 – Énergie déposée dans le BGO et la fonction Crystal Ball line shape L’énergie déposée dans le BGO normalisée par l’énergie du faisceau est comparée pour les données et le Monte Carlo à √ s = 196 GeV dans le barrel. Un fit de la fonction Crystal Ball line shape montre que la résolution dans les deux cas est compatible et vaut environ 1%. L’offset de 2o/oo est comparable à l’erreur sur l’énergie du faisceau qui est de 3o/oo.
  • 53. CHAPITRE IV La méthode d’analyse 1. Données et Simulations Le travail de cette thèse porte sur les données accumulées par l’expérience L3 de 1998 à 2000, ce qui correspond à des énergies dans le centre de masse allant de 189 GeV à 210 GeV. Les plages d’énergie considérées et leur lumino- sité sont données dans le tableau 5. A chaque plage d’énergie, un ensemble complet de simulations du signal et du bruit de fond a été nécessaires. Ainsi, pas moins de 13 simulations de canaux de physiques différents pour 8 points d’énergie ont été nécessaire. Ceci a demandé une grande rigueur de “book keeping”. Heureusement, un système de scripts semi-automatiques a grandement simplifié le travail, ce qui peut être apprécié en regardant la complexité de certains tableaux donnés dans l’annexe. Énergie Inférieure Supérieure L (GeV) (GeV) (GeV) (pb−1) 188.6 188.0 189.5 156.40 191.6 190.0 192.5 29.7 195.6 195.0 196.5 83.7 199.5 198.5 200.5 83.5 201.8 201.0 203.5 39.1 205.2 203.5 205.8 75.9 206.7 205.8 207.4 130.4 208.2 207.4 210.0 8.7 TAB. 5 – Plages d’énergie et luminosité correspondante 57
  • 54. 58 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE 2. Sélection Comparé à d’autres canaux, la diffusion Bhabha est aisée à sélectionner. En effet, un nombre réduit de coupures permet de sélectionner la quasi to- talité des événements Bhabha (environ 98% à grand angle1 ), en ne laissant passer que peu de bruit de fond (environ 4% à grand angle). Dans la description de cette analyse, un électron (en italique) désignera une particule chargée donnant un signal électromagnétique dans le BGO. Il pourra désigner soit un électron, soit un positron. Ainsi, par exemple, la dif- fusion Bhabha produit deux électrons, bien qu’il s’agisse en fait d’une paire électron-positron. Pour optimiser cette sélection, il faut tenir compte de son efficacité, du bruit de fond et des erreurs systématiques. Ces trois grandeurs sont dépen- dantes du jeu de coupures, ainsi que de la région angulaire considérée. L’efficacité est la fraction d’événements sélectionnés par rapport au nombre total d’événements : ε = N(Bhabha|Bhabha) N(−|Bhabha) (4.1) avec N(X|Y), le nombre d’événements générés du type ’Y’ et sélectionnés comme étant du type ’X’. Le ’−’ indique “tous les canaux”, c’est-à-dire signal et bruit de fond. Le bruit de fond est la fraction d’événements provenant du bruit de fond sélectionnés comme des Bhabha par rapport au nombre total d’événements sélectionnés : bf = N(Bhabha|Bruit de fond) N(Bhabha|−) (4.2) A la place du bruit de fond, nous pourrions considérer la pureté du signal, π, qui se trouve être 1 − bf. En effet, il s’agit de la fraction d’événements sé- lectionnés comme des Bhabha et étant réellement des Bhabha par rapport au nombre total d’événements sélectionnés comme des Bhabha. Pour optimiser la sélection sur deux critères (une grande efficacité et un petit bruit de fond), il faut définir la fonction à optimiser. Nous allons maxi- miser la qualité Q, le produit géométrique de l’efficacité et de la pureté : Q = √ επ = ε(1−bf) (4.3) On voit en effet qu’en maximisant Q l’efficacité est maximisée et que le bruit de fond est minimisé. 1c’est-à-dire où l’électron et le position ont été produit entre 44◦et 136◦
  • 55. 2. SÉLECTION 59 Il est important de noter que le jeu de coupures ne doit pas seulement maximiser la qualité Q, mais il doit aussi minimiser l’erreur totale qui com- prend l’erreur statistique et les erreurs systématiques. Certaines erreurs sys- tématiques dépendent de la sélection. Pour estimer ces erreurs, nous allons les estimer grâce à la méthode de la variation des coupures de sélection. 2.1. Variation des coupures de sélection. Lors d’une sélection, les cou- pures sont très arbitraires. Rien n’empêche d’appliquer une coupure un peu plus ou un peu moins sévèrement. C’est pourquoi il faut s’assurer qu’une va- riation du jeu de coupure ne modifie pas la mesure finale plus que ne le per- mettent les fluctuations statistiques provenant du changement de sélection. Pour mieux comprendre ce principe, nous allons considérer des mesures m, obtenues par des coupures c sur la variable x. La coupure choisie c0 donne N0 événements dont la mesure est m0. Une autre coupure, disons plus lâche, ci donne Ni événements et une nouvelle mesure mi. m0 et mi sont deux esti- mateurs de la même observable. Ils sont corrélés, car l’échantillon donnant lieu à la mesure mi est composé de l’échantillon de m0 et de Ni − N0 événe- ments supplémentaires. Si la coupure ci avait été plus sévère que la coupure c0, nous aurions eu N0 −Ni événement supplémentaire pour la mesure m0. La démonstration étant la même, nous allons rester dans le cas où Ni > N0. Ainsi, le passage de la coupure c0 à ci a induit Ni −N0 événements supplémentaires. L’erreur statistique du passage de m0 à mi n’est pas triviale. En effet, nous ne sommes intéressés que par l’erreur venant de la variation statistique de la mesure m et pas de son erreur statistique totale. Considérons le cas où Ni = N0 + A. C’est-à-dire, après avoir fait la mesure m0, nous ajoutons A événements. Quels sont les écarts statistiques maximaux permis pour rester à une variation d’un écart type (1σ) ? En pondérant, les deux mesures extrêmes permises valent : mi = N0 N0 +A m0 + A N0 +A m0 ± m0 √ A = m0 N0 +A± √ A N0 +A = m0 1± √ A N0 +A (4.4) Ainsi, toute mesure mi comprise dans l’intervalle m0 1− √ A N0+A ;m0 1+ √ A N0+A peut être expliquée par une fluctuation statistique à moins d’un écart type.
  • 56. 60 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE La fluctuation statistique permise à 1σ est donc : δ(mi) m0 = √ A N0 +A (4.5) En particulier, nous obtenons : δ(mi) m0 = 0 si A = 0 δ(mi) m0 = 1 √ A si A >> 0 (4.6) Ce qui correspond à ce que l’on pouvait s’attendre dans les limites sans événements additionnels et d’un nombre infini d’événements additionnels. La procédure pour estimer l’erreur systématique due à une variation de coupures est : (1) Définir le domaine sur lequel nous faisons varier la coupure c (ce qui restera toujours assez arbitraire). (2) Calculer tous les mi m0 et δ(mi) (3) Trouver la coupure cj qui maximise : mj m0 −1 δ(mj) (4) Calculer l’équilibre à 1σ pour la valeur de l’erreur systématique s : mj m0 −1 δ2(mj)+s2 = 1 (4.7) L’erreur systématique s augmente l’erreur statistique due aux fluctua- tions de telle sorte que la variation des mesures m reste compatible à 1σ. Ainsi, lorsque les erreurs statistiques sont grandes et que la variation simu- lation/donnée est petite, l’erreur systématique est négligeable. Comme la probabilité d’une fluctuation statistique au delà de 1σ est de 1 3, nous pouvons augmenter le 1 de la partie droite de l’équation (4.7) à 2, ou plus. Ceci aura pour effet de diminuer l’erreur systématique et aussi de réduire le risque d’attribuer une erreur systématique à une fluctuation statistique. L’avantage d’une telle méthode est la relative objectivité de l’estimation de l’erreur systématique pour toutes les coupures. En effet, l’usage veut que les erreurs systématiques soient établies en jugeant au nez la variation des mi m0 avec les erreurs δ(mi). Ainsi, une coupure peut souffrir d’une plus forte estimation qu’une autre coupure. La méthode décrite ci-dessus, bien qu’encore imparfaite, permet à chaque coupure d’être traité de façon égale.
  • 57. 2. SÉLECTION 61 2.2. Cinématique. Dans les processus e+e− → X, le système le plus sim- ple que l’on peut avoir pour X est un système à 2 corps. En effet, il n’existe pas de particule stable qui puisse être crée au repos par deux électrons. Ainsi, pour tous les canaux au LEP, aucune particule ne peut avoir une énergie su- périeure à Ebeam, l’énergie du faisceau. On s’attend ainsi, pour les événements Bhabha, à voir deux électrons très énergétiques. A cause des radiations, les électrons peuvent perdre une partie de leur énergie en émettant des photons. De plus, des imperfections au niveau du dé- tecteur (essentiellement au bord des cristaux de BGO) peuvent entraîner une détérioration importante du signal. Pour diminuer l’impact de ces problèmes, nous allons introduire une coupure asymétrique sur les énergies des deux électrons. Nous allons considérer l’énergie de l’électron le plus énergétique, E1, ainsi que l’énergie de l’autre électron, E2. Ainsi, nous pouvons conserver des événements où l’un des deux électrons a perdu une grande partie de son énergie, par exemple dans le support du BGO. Comme il s’agit d’électron, la quasi totalité de leur énergie sera dépo- sée dans le calorimètre électromagnétique. Malheureusement, la production de deux photons (e+e− → γγ), ainsi que la diffusion Compton (eγ(e) → eγ(e)) peuvent elles aussi laisser une énergie Ebeam dans le BGO. Il convient alors de vérifier que nous avons bien deux particules chargées ayant laissé une trace dans la TEC. En résumé, la sélection Bhabha revient à : – trouver au moins 2 signaux électromagnétique dans le BGO, – que le plus énergétique (E1) soit “assez” énergétique, – que le 2e plus énergétique (E2) soit “raisonnablement” énergétique, – et que la TEC ait enregistré un signal au passage des deux électrons. La quantification du “assez” et “raisonnable” est décrit dans les paragraphes suivants. Lorsque l’on regarde des électrons dans différentes régions angulaires, le rapport du signal par rapport au bruit de fond et la géométrie du détecteur font que la sélection optimal Bhabha doit être différente. En effet, le canal t de la diffusion Bhabha fait qu’à bas angle, il ne reste presque plus de bruit de fond. Heureusement, car à bas angle, la TEC n’a plus suffisamment de fils pour différencier un électron d’un photon. 2.3. Bruit de fond. Il existe quelques canaux physiques qui peuvent en- core détériorer la pureté de la sélection. Le tableau 6 donne les nombres d’évé- nements attendus pour 3 énergies représentatives.
  • 58. 62 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE Ebeam 189 GeV 196 GeV 206 GeV Générateur Monte-Carlo L(pb−1) 156.4 83.7 130.4 e+e− → τ+τ−(γ) 126.0 60.0 86.2 KORALZ 4.04 e+e− → W+W− 17.5 9.7 14.7 KORALW 1.513 e+e− → hadrons(γ) 8.2 4.8 4.7 PYTHIA 5.722 e+e− → Ze+e− 5.8 3.3 4.7 PYTHIA 5.722 e+e− → (e+e−)e+e− 8.0 2.6 2.8 DIAG36 2.06/01 e+e− → eγ(e) 3.3 1.1 2.1 TEEGG 7.1/00 e+e− → ZZ 1.6 1.0 1.6 PYTHIA 5.722 e+e− → (e+e−)τ+τ− 1.4 0.5 0.7 DIAG36 2.06/01 e+e− → γγ(γ) 0.5 0.2 0.4 GGG 2.03/01 e+e− → µ+µ−(γ) 0.1 - 0.3 KORALZ 4.04 e+e− → (e+e−)µ+µ− 1.8 0.1 - DIAG36 2.06/01 e+e− → (e+e−)qq - - - DIAG36 2.06/01 e+e− → e+e−(γ) 3795.6 1856.9 2470.4 BHWIDE 1.03/01 TAB. 6 – Nombre attendu d’événements pour quelques énergies Nombre attendu d’événements de tous les canaux de physiques considérés. Sont aussi présentés les différents générateurs de physique ainsi que leur version utilisée en 2001. Le bruit de fond le plus important est la production d’une paire de τ (e+e− → τ+τ−(γ)). En effet, dans le cas où les τ se désintègrent en électrons, il est presque impossible de différencier l’événement d’une vraie diffusion Bhabha. Comme ces événements τ sont obligatoirement accompagnés de neutrino qui emportent une partie de l’énergie et de la quantité de mouvement, ces événe- ments sont acoplanaires et de plus faible énergie que les Bhabha. Le deuxième canal le plus important est la production d’une paire de boson W. Lorsque un W se désintègre en électron, W → eν, ils peuvent ressembler à des Bhabha radiatifs. Le reste des canaux est donné à titre indicatif. On en tient compte dans les mesures, mais ils n’ont pas l’importance des deux premiers canaux. 2.4. Sélection dans le barrel. A grand angle (θ > 44◦), dans le barrel, la sélection des événements se fait en demandant que l’électron le plus énergé- tique ait au moins 50% de l’énergie du faisceau, que le 2e électron ait au moins 20 GeV, que les deux électrons aient touché au moins 20% des fils possibles de la TEC. Le tableau 7 reprend toutes ces coupures. Les figures 27 et 28 montrent l’effet des coupures. Les graphiques étant lo- garithmiques, on remarque qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Il est
  • 59. 2. SÉLECTION 63 “Barrel” “Endcap” θ ∈ [44◦;136◦] ∈ [12◦;44◦[∪]136◦;168◦] E1/Ebeam ≥ 50 % ≥ 40 % E2 ≥ 20 GeV ≥ 10 GeV Rhits ≥ 20 % ≥ 20 %∗ TAB. 7 – Coupures pour l’analyse Coupures pour l’analyse dans le Barrel et dans le Barrel et Endcaps. ∗La coupure sur le rapport Rhits n’est effectuée que lorsque l’angle polaire se situe entre 20◦ et 160◦. intéressant de noter que sont cumulées sur ces graphiques toutes les données à partir de √ s > 189 GeV, ainsi que leurs simulations. Le fait que les simula- tions représentent bien les données sur toutes ces énergies est remarquable. 2.5. Sélection dans les Endcaps. Penchons nous maintenant sur l’ana- lyse des Bhabha en dessous de 44◦. La contribution du canal t de la diffusion fait en sorte que la pureté du signal augmente à plus bas angle. En effet, le si- gnal augmente en (1−cosθ)−2 pour θ → 0, alors que le bruit de fond reste plus ou moins constant. Ainsi, le rapport signal sur bruit de fonds étant changé, on peut s’attendre à ce que le jeu de coupures optimales soit différent à celui utilisé dans le Barrel. Ainsi, si l’on veut optimiser la sélection, il convient de modifier les cou- pures. La sélection des événements se fait en demandant que l’électron le plus énergétique ait au moins 40% de l’énergie du faisceau, que le 2e électron ait au moins 10 GeV, que les deux électrons aillent touché au moins 20% des fils possible de la TEC s’ils ont été produits au-dessus de 20◦. Le tableau 7 reprend toutes ces coupures. Les figures 29 et 30 montrent pour chaque variable l’effet des coupures. Il s’agit de graphiques en N − 1, c’est la distribution des événements où toutes les coupures ont été effectuées, sauf celle que l’on utilise dans la distribution. Les graphiques étant logarithmique, on remarque qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Lorsque l’on travaille avec les endcaps, un soin tout particulier doit être apporté au traitement du trou entre le barrel et chaque endcap. Bien qu’un détecteur ait été ajouter, le spacal, son utilisation n’a pas été envisagée. En effet, l’utilisation oblige de définir 5 zones d’analyse : barrel, espace entre le barrel et le spacal, spacal, espace entre le spacal et le endcap et enfin le endcap. En n’utilisant pas le spacal, on tombe sur 3 zones seulement.
  • 60. 64 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E1/E   beam ¡ ≥ 0.5 1 10 10 2 10 3 10 4 Nombred’événements 44 o < θ1,2 < 136 o ξ < 120 o a) E1/E   beam ¡ ≥ 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E1/E   beam ¡ ≥ 0.5 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 E1/E ¢ beam X/X0 Systématique = 8.4 ‰ 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E2   ≥ 20 GeV 1 10 10 2 10 3 Nombred’événements 44 o < θ1,2 < 136 o ξ < 120 o b) E2   ≥ 20 GeV 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E2   ≥ 20 GeV 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 20 40 60 80 100 E2 ¡ X/X0 (GeV) ¢ Systématique = 9.2 ‰ FIG. 27 – Coupure de sélection sur E1/Ebeam et sur E2 Ces graphiques sont composés de tous les événements qui ont déjà passé toutes les autres cou- pures (graphique en N − 1). Il est important de noter que ces graphiques sont sous formes logarithmiques et qu’il ne reste presque plus de bruit de fond. Toutes les données, ainsi que les Monte-Carlo s’y rattachant, à partir de √ s ≥ 189 GeV sont représentés. Tous ces graphiques sont en fonction de la variable de coupure considérée. La distribution des événements sont donnés dans les deux graphiques du haut. Les points représentent les données, l’histogramme ombré tous les bruits de fond, et l’histogramme vide le signal. Les deux graphiques du milieu représentent la qualité Q = √ επ de la sélection. Et enfin les deux graphiques du bas repré- sentent la dépendance de la section efficace. La zone ombrée représente l’erreur systématique associée telle qu’expliqué dans le texte. a) L’énergie E1, doit être déjà supérieure à 20 GeV, car la coupure E2 a déjà été appliquée. On voit qu’une coupure E1/Ebeam > 0.5 rejette encore presque la moitié du bruit de fond restant, sans trop toucher au signal. b) Une coupure à E2 > 20 GeV, permet de garder un maximum d’événements Bhabha, tout en rejetant un maximum de bruit de fond. Cette coupure permet de rejeter surtout des canaux phy- siques où une particule peut, presque par accident, avoir plus de 50% de l’énergie du faisceau (et donc passer la coupure sur E1/Ebeam), mais où le reste des particules ont une énergie faible par rapport à l’énergie du faisceau. C’est le cas par exemple de la physique à deux photons.
  • 61. 2. SÉLECTION 65 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV R ≥ 0.2 1 10 10 2 10 3 10 4 Nombred’événements 44 o < θ1,2 < 136 o ξ < 120 o a) R ≥ 0.2 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité R ≥ 0.2 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rhits X/X0 Systématique = 9.6 ‰ FIG. 28 – Coupure de sélection sur le nombre de hits Cette figure contient les même informations que la figure 27. a) Comme nous recherchons des électrons, il est bon qu’ils laissent une trace dans la TEC. Toute coupure entre 0.05 et 0.6 donne la même qualité Q de sélection, mais pour des raisons d’erreur systématique, une coupure à 0.2 est suffisamment loin de la bosse à 0. et du début du signal à 0.6. Ainsi, en plaçant la coupure à 0.2, nous nous plaçons dans une région stable et sans dépendance à quelques variations de la TEC (fils morts ou malades, haute tension absente pendant une période de temps, etc.).
  • 62. 66 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE Le traitement de cette espace est simple : on rejette tout événement où l’un des deux électrons est diffusé dans les régions polaires 35.6◦-44◦et 136◦- 144.4◦. Deux autres trous apparaissent dans les endcaps. Ils permettent d’insérer le canon RFQ qui permet de calibrer le BGO. Leur traitement est identique, et on rejette tout événement où l’un des deux électrons a été émis dans les régions : sinθ < 0.6 ET |cosφ| < 0.25881952 . Bien que cette méthode peut paraître brutale, elle a le grand avantage de facilité l’estimation de la perte d’efficacité, car elle est basée uniquement sur des considérations géométriques. 2Arccos 0.2588195 = 75◦
  • 63. 2. SÉLECTION 67 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E1/E   beam ¡ ≥ 0.4 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 Nombred’événements 12 o < θ1,2 < 168 o ξ < 120 o a) E1/E   beam ¡ ≥ 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E1/E   beam ¡ ≥ 0.4 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 E1/E ¢ beam X/X0 Systématique = 13.2 ‰ 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E2   ≥ 10 GeV 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 Nombred’événements 12 o < θ1,2 < 168 o ξ < 120 o b) E2   ≥ 10 GeV 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E2   ≥ 10 GeV 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 20 40 60 80 100 E2 ¡ X/X0 (GeV) ¢ Systématique = 22.4 ‰ FIG. 29 – Coupure de sélection sur E1/Ebeam et sur E2 Ces graphiques représentent la même information que ceux sur la figure 27, si ce n’est qu’ils concernent tous les événements produits entre 12◦ et 168◦. On observe que le jeu de coupure choisi optimise bien la sélection, en laissant un minimum d’erreur systématique. Il est à no- ter que la mauvaise simulation des radiations initiales de BHWIDE donne une importante dépendance aux variations des coupures.
  • 64. 68 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV R ≥ 0.2 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 Nombred’événements 12 o < θ1,2 < 168 o ξ < 120 o a) R ≥ 0.2 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité R ≥ 0.2 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rhits X/X0 Systématique = 6.5 ‰ FIG. 30 – Coupure de sélection sur le nombre de hits Ces graphiques représentent la même information que ceux sur la figure 27, si ce n’est qu’ils concernent tous les événements produits entre 12◦ et 168◦. On observe que le jeu de coupure choisi optimise bien la sélection, en laissant un minimum d’erreurs systématiques.
  • 65. 2. SÉLECTION 69 2.6. Efficacité des triggers. Comme nous l’avons déjà vu, l’acquisition de données passe par trois niveau de triggers. Essentiellement, pour les Bha- bha, nous avons besoin des triggers suivants : – Trigger TEC (Niveau 1) – Trigger Énergie (Niveau 1) – Trigger Niveau 2 – Trigger Niveau 3 Il est évident que l’angle de production des Bhabha introduit une variation dans l’efficacité des triggers. En particularité, à bas angle, le trigger TEC ne peut plus marcher, car il n’y a plus suffisamment de fils touchés. L’efficacité des triggers du niveau 1 est obtenue en prenant l’équation (3.8). Ceux du niveau 2 et 3 sont obtenus par un calcul statistique en considérant le pre-scaling 1/20. Le tableau A11 donne les efficacités des triggers et l’efficacité globale obtenues en sélectionnant des événements Bhabha détectés entre 12◦ et 168◦. Le tableau A12 donne ces efficacités pour des Bhabha détectés entre 20◦ et 160◦. Et finalement, nous avons le tableau A13 pour le barrel entre 44◦et 136◦. Globalement, bien que le trigger TEC fasse défaut en dessous d’environ 30◦ voir figure 31, le trigger en énergie fonctionnant très bien, nous obtenons une inefficacité de trigger globale, pour toutes les années, de 1.0% à partir de 12◦, de 0.4% à partir de 20◦ et négligeable (moins d’un pour mille) à partir de 44◦. Les inefficacités du trigger étant dépendantes des périodes de prise de don- nées, l’efficacité correspondant à chaque énergie sera prise en compte lors du calcul des sections efficaces. 2.7. Inefficacité du détecteur. L’utilisation d’un Monte-Carlo pour si- muler le signal permet d’estimer l’efficacité de la sélection, mais aussi celle du détecteur (acceptance et problèmes au cours de la prise de données3 ). Un souci constant dans la prise de données est de connaître à chaque ins- tant l’état de fonctionnement de chaque système. En particulier, pour les Bha- bha, si les 24 secteurs de la TEC et les 10’734 cristaux de BGO fonctionnent correctement. On entend par secteur et cristal toute la chaîne de prise de don- nées, mais en particulier les tensions électriques des instruments de mesures, qui sont responsables de la majorité des problèmes lors de la prise de données. Pour la TEC, une base de données contient pour chaque run l’état de chaque secteur. Ainsi, lors de la simulation réaliste du détecteur, le fonction- nement de chaque fils peut être simulé. 3partie du détecteur morte, condition des triggers, etc.
  • 66. 70 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE Efficacité du TEC trigger 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 θmin εTEC (o ) √   s = 192 GeV FIG. 31 – Efficacité du trigger TEC en fonction de l’angle θmin Ce graphique montre la chute de l’efficacité du trigger TEC. En effet, le trigger requière un certain nombre de hits pour affirmer la présence d’une particule, et ce nombre de fils correspond à environ 27◦. Le fait que l’efficacité soit non nulle en dessous de 27◦est dû au trigger TEC interne. Pour le BGO, un monitoring on-line de chaque cristal par des impulsions de lumière Xénon et une analyse off-line de l’occupation de chaque cristal par des jets hadroniques permettent de trouver les cristaux morts. La simulation doit donc tenir compte de l’état de chaque cristal au cours du temps. Ces deux méthodes ne permet de trouver que les cristaux morts qui ne donnent pas une réponse en énergie suffisante que se soit à un stimulus de lumière Xénon (∼35 GeV) ou le stimulus de la radiation hadronique (∼12 GeV). Sachant qu’il existe 6 comparateurs de gamme d’énergies différentes, il se peut que ces deux méthodes ne détectent pas la mauvaise réponse de “cristaux malades” sous le stimulus d’électrons de plus de 100 GeV. Il se peut aussi qu’ils donnent une réponse qui satisfait la sélection hadronique, mais qui fluctue dans le temps ce qui a pour effet de ne pas toujours passer la sélection Bhabha. Dès lors, comme ce phénomène n’est pas pris en compte lors de la simulation, une inefficacité supplémentaire apparaît dans les don- nées. Or, comme pour la voir il faut beaucoup d’événements Bhabha, on ne peut l’étudier que dans les endcaps. La figure 32 montre la distribution azi- mutal (φ) pour des événements sélectionnés entre θ > 12◦ et θ <15◦. Chaque bin correspond à un cristal. Cette distribution devrait être uniforme. Les bins
  • 67. 2. SÉLECTION 71 0 50 100 150 200 250 300 0 1 2 3 4 5 6 φ Nombred’événements (rad) √   s = 189 GeV 14.8o < θ < 16.3o Donnée Simulation 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 1 2 3 4 5 6 φ Nombred’événements (rad) 11.8 o < θ < 13.3 o 0 500 1000 1500 2000 2500 0 1 2 3 4 5 6 φ Nombred’événements (rad) 14.8 o < θ < 16.3 o 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 1 2 3 4 5 6 φ Nombred’événements (rad) 13.3 o < θ < 14.8 o 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 0 1 2 3 4 5 6 φ Nombred’événements (rad) 16.3 o < θ < 17.8 o FIG. 32 – Distribution azimutal d’événements et cristaux malades Ce graphique est très important pour une mesure de la section efficace dans les endcaps. En effet, il montre une mauvaise simulation de certains cristaux du BGO. On le voit à φ ∼ 2.8 rad où il n’y presque plus de donnés alors que la simulation est constante. Certains cristaux malades ou morts, comme ceux à φ ∼ π 2 sont simulés avec plus ou moins de réussite. Le problème vient du fait que l’état des cristaux est testé par le système Xénon (qui simule un électron à 35 GeV, et une analyse de l’occupation des cristaux par des événements hadroniques (dont l’énergie moyenne est de 12 GeV). Il est ainsi possible que certains cristaux réagissent bien à ces énergies moyennes, mais qu’ils réagissent mal à des électrons très énergétiques. La solution a été de détecter ces régions malades par des méthodes de compatibilité statistique (zone foncée et lignes).
  • 68. 72 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE X Y RB 24 X RB 26 FIG. 33 – Cristaux tués dans l’analyse Ces deux graphiques montrent les deux endcaps RB24 et RB26. Les cristaux ombrés sont tués dans l’analyse pour toutes les années. à zéro sont les cristaux morts (ou le trou RFQ dans le BGO), mais les fluc- tuations statistiques de certains cristaux ne suffisent pas à expliquer la dif- férence entre les données et la simulation. C’est pourquoi, une recherche de ces régions malades a été faite en considérant toutes les années (mises en- semble pour augmenter la statistique). Si un cristal a un dysfonctionnement une année, il est vraisemblable de supposer qu’il puisse avoir à nouveau un fonctionnement étrange l’année suivante. La figure 33 montre les cristaux qui ont été tués. De plus, les cristaux se trouvant au bord du BGO sont difficiles à simuler. En effet, la mesure de l’énergie qui est la somme des 9 cristaux est difficile à estimer, car il manque des cristaux. C’est pourquoi ces cristaux n’ont jamais été calibrés. Ainsi donc, leur simulation est impossible.
  • 69. 4. AJUSTEMENT DE LA SIMULATION 73 3. Échantillons de données Comme nous l’avons déjà vu, la radiation initiale de photons réduit l’éner- gie de collision des deux électrons. C’est pourquoi, si un nouveau phénomène de physique devait apparaître, il apparaîtra à une haute énergie de collision, et pas par exemple dans des événements radiatifs, voir “retour au Z”, où nous avons déjà pris beaucoup de données sans trouver la trace de nouvelles phy- siques. Pour définir si un événement est radiatif ou non, nous allons regarder son acolinéarité. L’avantage d’utiliser l’acolinéarité au lieu de l’énergie effective de la col- lision √ s est que pour l’acolinéarité il suffit de mesurer 4 angles, alors que pour √ s il faut mesurer au minimum 4 angles et 2 énergies. C’est pourquoi, la mesure de l’acolinéarité ξ est plus précise. Si l’acolinéarité est petite (ξ < 25◦), la collision a eu lieu à haute énergie, et il appartiendra à l’échantillon dit de “haute énergie”. L’échantillon “inclusif”, qui contient l’échantillon de haute énergie, corres- pond au cas où ξ <120◦, ce qui est vrai dans la quasi totalité des cas. 4. Ajustement de la simulation Un grand soin doit être apporté à la simulation des différentes résolu- tions du détecteur. D’autant plus que la simulation d’une résolution est à sens unique : il est toujours possible a posteriori de l’augmenter en ajouter un bruit, mais il est très difficile et dangereux de diminuer une résolution surestimée. C’est pourquoi les simulations de la collaborations sous-estiment toujours légèrement la réalité. Pour chaque analyse, il est nécessaire de me- surer la résolution et d’appliquer un smearing (fonction d’étalement), c’est-à- dire d’ajouter une variable aléatoire gaussienne de tel sorte que la résolution finale simulée corresponde à celle du détecteur. En particulier, si pour une variable on mesure une résolution σD pour les données et une résolution inférieur σMC pour les Monte-Carlo, il convient d’ajouter dans la simulation une variable aléatoire : M → M +X · σ2 D −σ2 MC (4.8) avec X une variable aléatoire gaussienne normale (µ = 0 et σ = 1). Il arrive parfois qu’un système ne soit pas gaussien et que la résolution à ajouter σ2 D −σ2 MC est surestimée ou sous-estimée. Il suffit alors d’itérer la
  • 70. 74 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE procédure en multipliant par un facteur η < 1 : M1 = M0 +X ·η σ2 D −σ2 M0 M2 = M0 +X ·η σ2 D −σ2 M1 ... (4.9) Il arrive aussi parfois que la valeur moyenne d’une mesure n’est pas la même dans les données que dans les Monte-Carlo. Il est alors nécessaire d’appliquer aux événements simulés un scaling (facteur de d’échelle) différent pour les données et les Monte-Carlo. Cela revient à appliquer une calibration finale au détecteur. Il est intéressant de noter que ces méthodes souffrent d’une approche biai- sée. En effet, l’échantillon sur lequel on applique le smearing ou le scaling est le même que celui à partir duquel nous obtenons la valeur du smearing ou du scaling. Ceci est vrai, et il convient de voir si ces ajustements de la simulation changent les mesures finales de sections efficaces. Or il se trouve que ces ajus- tements sont d’ordres purement esthétique. En effet, ils ne changent en rien l’efficacité et le bruit de fond. La seul variable de sélection sensible aux effets de smearing et scaling est la détermination de la charge que nous verrons dans quelques paragraphes. C’est pourquoi la simulation de cette variable ne sera utilisée dans l’analyse qu’à titre esthétique. La figure 34 montre des exemples de smearing pour les simulations cor- respondant aux données prises à √ s =196 GeV. 5. Sections efficaces Dans un processus de collision, pour un canal i donné, le nombre d’événe- ments produit est : Ni = σi L (4.10) avec L la luminosité (“caractéristique du faisceau”) et σi la section efficace (“caractéristique du processus”). Il convient de différentier la luminosité instantanée et intégrée. Dans le premier cas, Ni est le taux d’événements produit par unité de temps. Le deu- xième cas est obtenu en intégrant l’équation sur une durée de temps donnée, en générale la durée de la prise de données à une énergie donnée. La lumi- nosité intégrée est mesurée en picobarn inverse ( pb−1 ) ou nanobarn inverse (1000 nb−1 = 1 pb−1 ). Le nombre d’événements Ni est le nombre total d’événements qui ont été produits dans le détecteur. A cause des temps morts, des inefficacité du dé- tecteur et de l’inefficacité de la sélection, un nombre plus petit d’événements
  • 71. 5. SECTIONS EFFICACES 75 Barrel 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 EBGO/E   beam ¡ Data Raw RDVN Smeared RDVN σ = 4.0 ‰ Endcap 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 EBGO/E   beam ¡ Data Raw RDVN Smeared RDVN σ = 4.2 ‰ Barrel 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -4 -2 0 2 4 Ebeam   /qp ¡ Data Raw RDVN Smeared RDVN σ = 30 % scaling = 1.08 Barrel 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 -4 -2 0 2 4 ∆φ (mrad) Data Raw RDVN Smeared RDVN σ = 24 % scaling = 1.09 FIG. 34 – Principaux smearing Sur ces graphiques on peut voir l’effet du smearing et du scaling sur les principales quantités mesurées : énergie dans le BGO, courbure dans la TEC et mesure de la différence azimutal. Les points représentent les données, les histogrammes vides la meilleur simulation (format RDVN de L3) et les histogrammes ombrés ce que l’on obtient avec un smearing obtenu par un étude précise de la réponse du détecteur aux événements Bhabha. est observé et sélectionné. Ce nombre est légèrement rehaussé à cause de la présence de bruit de fond. Ainsi, pour obtenir la section efficace σ, il faut corriger le nombre d’événe- ments sélectionnés Ndata de la manière suivante : σ = Ndata (1−bf) εtrig εL (4.11) avec bf la quantité de bruit de fond, εtrig l’efficacité du trigger, ε l’efficacité de la sélection, L la luminosité intégrée. Plusieurs mesures peuvent être faites à partir de la section efficace : la section efficace totale, la section efficace différentielle et l’asymétrie avant- arrière. 5.1. Section efficace. La section efficace est le résultat simple de la for- mule (4.11) en considérant une région angulaire donnée. On aura par exemple la section efficace entre 44◦ et 136◦. Ndata est obtenu en comptant simplement
  • 72. 76 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE tous les événements dans cette région. bf, ε etεtrig sont estimés globalement pour la région considérée. 5.2. Section efficace différentielle. Une autre mesure est la section efficace différentielle. Il s’agit de la variation de la section efficace en fonc- tion d’un ou plusieurs paramètres physiques du processus. Nous allons nous concentré sur la variation sur le cosinus de l’angle de l’électron, du positron ou d’une “moyenne” des deux : cos ˙θ ≡ sin(θp −θe) sinθe +sinθp = cos θe+(π−θp) 2 cos θe−(π−θp) 2 ∼= cos θe +(π−θp) 2 (4.12) Pour faire cette mesure il faut déterminer lequel des deux électrons détec- tés est l’électron et lequel est le positron. Ceci demande une détermination de la charge, sujet qui sera traité dans le paragraphe suivant. Mais avant, nous pouvons voir que sans la détermination de la charge, nous pouvons quand même avoir une mesure de la section efficace différentielle en considérant cos ˙θ . En effet, cette mesure ne dépend pas de la détermination de la charge. On obtient la section efficace différentielle en divisant le nombre d’événe- ments contenu dans des intervalles en cos ˙θ par la luminosité et une estima- tion de l’efficacité et du bruit de fond pour chaque bin. 5.3. Détermination de la charge. La détermination de la charge des électrons dans l’événement nous permet d’obtenir la section efficace différen- tielle en fonction de cos ˙θ et non plus de sa valeur absolue. Pour déterminer la charge, il faut mesure la courbure des trajectoires dans la TEC. En effet, une particule chargée a une trajectoire hélicoïdale dans un champ magnétique. Le sens de l’hélice donne la charge. Nous allons désormais considérer la projection de la trajectoire sur le plan perpendiculaire au champ magnétique (plan X-Y ou R-φ). L’hélice se projette donc en un cercle, dont le rayon est l’inverse de sa courbure ρ. Le signe attribué au sens de l’hélice et ainsi à la courbure est choisi pour correspondre au signe de la charge de la particule : l’espérance de la courbure des électrons est négative, alors que celle des positrons est positive. La méthode traditionnelle est de mesurer la différence de la courbure de chaque trace. Comme l’espérance du signe de la courbure est opposé pour les deux électrons, la différence des deux courbure, ∆ρ, est une variable dont le poids statistique est plus fort. La figure 35 montre la distribution de la variable ∆ρ pour des Bhabha dans le barrel.
  • 73. 5. SECTIONS EFFICACES 77 Ainsi, un événement peut être soit du type (+−), c’est-à-dire que la par- ticule la plus énergétique est un positron (+) et la 2e plus énergétique un électron (−), soit du type (−+), l’électron est plus énergétique que le positron. Une méthode supplémentaire a été utilisée qui ajuste une ligne droite sur le premier et dernier tiers des hits dans la TEC. L’angle azimutal obtenu est appelé φlin. En prenant la différence ∆φ des φlin des deux électrons, on obtient une autre mesure de la charge de l’événement. La figure 35 montre la distri- bution de cette variable. On remarque que cette méthode donne une meilleure résolution que la méthode traditionnelle ∆ρ. Il est important de remarquer que la variable ∆φ et l’acoplanarité ζ mesure à peu près la même grandeur. La seule différence est un petit offset due à la courbure des électrons. Ainsi, à grande acoplanarité, la variable ∆φ ne dis- crimine plus la charge, car sa valeur est déplacée de ±ζ. Il faut donc, pour rétablir la détermination de la charge, soustraire l’acoplanarité, mais cela implique deux fois plus d’angles à mesurer et ainsi une détérioration de la résolution de ∆φ qui implique une augmentation de la confusion de charge. La figure 37 montre la variable ∆φ en fonction de ζ. Nous allons déterminer une confusion de charge uniquement pour les événements à petite acoplana- rité (ζ < 0.4◦). Cette coupure supplémentaire introduira une baisse d’efficacité de l’ordre de 10% qui sera estimée par les Monte Carlo. Une efficacité différente sera estimée pour les deux échantillons. En effet, il est vraisemblable de penser que l’efficacité d’événements dos-à-dos peut être différente de celle d’événements radiatifs à forte acoplanarité. La figure 36 montre que bien que ∆ρ et ∆φ mesurent la même observable, ils ne sont pas totalement corrélés. C’est pourquoi il est intéressant de combi- ner ces deux variables. Pour le faire correctement, il faut d’abord les norma- liser par leur résolution. On obtient alors les variables normalisées ∆ρ et ∆φ : ∆ρ = ∆ρ σ(∆ρ) ∆φ = ∆φ σ(∆φ) (4.13) Considérons ensuite, pour un événement donné, la distance d1, en deux dimensions, qui le sépare de la moyenne des événements (+−) et la distance d2 qui le sépare de la moyenne des événements (−+). Nous définissons P : P = d1 d1 +d2 (4.14) P prend une valeur entre 0 et 1. Ainsi, si d1 est plus petit que d2 (et donc P < 1 2), l’événement est attribué au type (+−), sinon il est attribué au type
  • 74. 78 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE (−+). La figure 38 donne la distribution de cette variable P pour des Bhabha dans le barrel. Il s’agit maintenant de déterminer la confusion de charge, c’est-à-dire la probabilité d’attribuer le mauvais signe à l’électron. La méthode retenue pour estimer cette confusion de charge consiste à étudier la forme de la queue de la distribution P39. La fonction phénoménologique utilisée pour ajuster les distributions est : f(+−) (P) = Pc1 (1−P)c2 +c3 (1−P)c4 +c5 f(−+) (P) = (1−P)c1 Pc2 +c3 Pc4 +c5 f(P) = c6 f(+−) (P)+(1−c6) f(−+) (P) (4.15) avec ci les 6 paramètres à ajuster. Le paramètre c6 permet de décrire des cas asymétriques. Ceci peut arriver lorsque l’énergie mesurée d’un côté du détecteur est sensiblement supérieure à celle mesurée de l’autre côté. En effet, comme le canal t est dominant dans la diffusion Bhabha, l’électron à une plus grande probabilité d’être diffusé du coté θ < π 2 . Ainsi, si la calibration d’un des deux demi-barrels est légèrement surestimée, il peut arriver par exemple que l’électron aille une probabilité légèrement plus grande d’être la particule la plus énergétique. A priori cet effet peut paraître négligeable, mais il a pu être observé au long de l’analyse. Néanmoins, les cas asymétriques sont intéressants, car ils font mieux ap- paraître la queue de la distribution. C’est pourquoi nous allons forcer cette asymétrie en prenant en compte la variable P : P =    P si θ1 ≤ π 2 , 1−P si θ1 > π 2 , (4.16) avec θ1 l’angle de production de l’électron le plus énergétique, permet de facili- ter l’ajustement de la queue de la distribution. En effet, comme la distribution P est aussi fortement asymétrique, la queue de la distribution devient plus fa- cile à extraire, car elle est plus visible. La figure 39 montre la distribution des variables P et P pour une simulation Bhabha à 196 GeV. On voit que l’ajuste- ment sur la variable P sous-estime légèrement la confusion de charge4 , alors de l’ajustement sur P donne une confusion de charge plus proche de la vraie confusion de charge, telle que nous pouvons l’estimer par d’autres méthodes plus précises : confusion de charge de muons au pic du Z ou par Monte-Carlo. 4L’intégrale sur P de 0 à 0.5
  • 75. 5. SECTIONS EFFICACES 79 Ces méthodes ne peuvent servir qu’à valider la méthode, et non à détermi- ner la confusion de charge. En effet, dans le cas des muons, nous obtenons la confusion de charge à 45 GeV, et dans le cas des Monte-Carlo la confusion de charge simulée. Or, la vraie confusion de charge du détecteur à près de 100 GeV peut être différente. La méthode décrite ne sert qu’à estimer cette vraie confusion de charge. Lorsque que pour un événement, le signe de la charge a été mal déter- miner, cela signifie que le signe de cos ˙θ est faux. Ainsi, chaque bin i de la distribution en cos ˙θ contient la composition suivante : ni = (1−cc) n0 i +ccn0 −i n−i = ccn0 i +(1−cc) n0 −i (4.17) avec −i le bin de −cos ˙θ, nj le nombre d’événements dans le bin j, n0 j le nombre d’événements réels qui auraient dus être dans le bin j sans confusion de charge, et cc la confusion de charge. Notons que n0 ne représente pas le nombre d’événements générés, car il faut encore tenir compte de l’efficacité dans chaque bin. Le bruit de fond a déjà été soustrait. Une inversion de l’équation (4.17) donne : n0 i = 1−cc 1−2cc ni − cc 1−2cc n−i n0 −i = cc 1−2cc ni − 1−cc 1−2cc n−i (4.18) C’est de cette manière que nous allons corriger la distribution d’événe- ments en fonction de cos ˙θ. La méthode pour obtenir la confusion de charge peut être soit appliquée à tous les événements (confusion de charge globale cc), soit appliquée bin par bin (confusion de charge locale cci). 5.4. Asymétrie. Grâce à la mesure de la section efficace différentielle, nous pouvons déterminer l’asymétrie avant-arrière de la section efficace : AFB = c 0 dσ d cosθd cosθ− 0 −c dσ d cosθd cosθ c −c dσ d cosθd cosθ = NF −NB NF +NB (4.19) avec NF le nombre d’événements où l’électron émis vers l’avant (θ0 < θe < π 2 ) et NB le nombre d’événements où l’électron est émis vers l’arrière (π 2 < θe < π − θ0). Cette asymétrie est mesurée dans la région angulaire −c ≤ cosθ ≤ c, avec c = cosθ0. Il est important de noter que la détermination de charge dépend beaucoup de la qualité de la mesure des traces dans la TEC. C’est pourquoi, il est né- cessaire de durcir la sélection.
  • 76. 80 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE Rhits ≥ 70% 0.5◦< φloc < 7◦ |θ− π 2 | > 1 mrad pour √ s = 196 GeV et 200 GeV : φ /∈ [37.5◦;52.5◦] |ζ| ≤ 0.4◦ TAB. 8 – Sélection additionnelle pour la détermination de la charge Il faut que chaque électron ait laissé un signal dans au moins 70% des fils géométriquement possibles. Ceci assure que le nombre de mesures spatiales soit suffisant pour une bonne estimation de la courbure. Ensuite, nous reje- tons les événements où un électron a trop approché une des anodes ou des cathodes de la TEC. Chaque module de la TEC couvre 15◦. Ainsi, tous les 7.5◦ nous avons soit une anode, soit une cathode. Nous utilisons la variable φloc = mod (φ,7.5◦). Ainsi, un événement qui possède un φloc inférieur à 0.5◦ ou supérieur 7◦ est éliminé. Lorsque le code L3 n’arrive pas à déterminer l’angle polaire d’une trace, il le met artificiellement à 90◦. Ainsi lorsqu’un angle de la TEC est numériquement à 90◦, nous ne pouvons pas savoir si c’est vrai. C’est pourquoi nous rejetons un tel événement. Lors de la prise de données en 1999, des fils de quelques secteurs de la TEC ont été abîmés par des accidents de faisceau. Nous avons dû réduire la haute tension de ces fils. Ce changement de condition a rendu l’utilisation de ces secteurs très périlleuse. C’est pour- quoi, nous ne considérerons pas les événements pris à ces énergies lorsqu’un électron a été émis dans ces régions azimutales. Et enfin, nous ne considére- rons pas les événements où la somme ou la différence des distances d1 et d2 est trop grande. Le tableau 8 résume toutes ces coupures. Étant donné que la sélection pour déterminer la charge est plus stricte que pour la section efficace, il est possible d’estimer une partie de l’efficacité avec les données elles-mêmes. En effet, l’efficacité du passage de l’échantillon servant à la section efficace à celui de l’asymétrie peut être mesuré par les données : εsel I = NMC sel I NMC gen εsel II = Ndata sel II Ndata sel I ε = εsel I ·εsel II (4.20)
  • 77. 6. ERREURS SYSTÉMATIQUES 81 6. Erreurs systématiques Les erreurs systématiques ne sont jamais faciles à estimer. Nous allons tout d’abord nous pencher sur l’erreur systématique due à la luminosité avant de finir ce chapitre par une liste d’autres erreurs systématiques dont allons tenir compte. 6.1. Luminosité. Nous avons vu que pour calculer une section efficace, nous avons besoin de la luminosité des faisceaux. Pour l’estimer, nous utili- sons la diffusion Bhabha à petit angle[9]. Une coupure sévère sur le volume fiduciel, θ ∈ [34 mrad ;54 mrad] et |90◦−φ| > 11.25◦, |270◦−φ| >11.25◦, est im- posée sur les coordonnées du cluster le plus énergétique d’un côté. Le cluster le plus énergétique du côté opposé doit être contenu dans un volume fiduciel moins strict, θ ∈ [32 mrad ;65 mrad] et |90◦−φ| > 3.75◦, |270◦−φ| >3.75◦. Cette méthode a l’avantage de réduire l’effet des incertitudes théoriques. Les erreurs systématiques expérimentales proviennent de la sélection (0.10%) et de la géométrie du détecteur (0.05%). La statistique des Monte-Carlo pro- cure une erreur systématique de 0.07%. De plus, une erreur systématique de 0.12%[10] est attribuée au générateur BHLUMI. Ainsi, au final, l’erreur systématique sur la luminosité vaut 0.18%. 6.2. Autres sources d’erreurs systématiques. En plus de l’erreur sys- tématique sur la variation des coupures de sélection et de l’erreur systéma- tique sur la luminosité, nous devons aussi tenir compte de l’erreur provenant de l’estimation des autres paramètres. D’une part, l’efficacité et le taux de bruit de fonds ont été estimés avec un nombre fini d’événements Monte Carlo. Ainsi, une fluctuation statistique possible sur le nombre d’événements sélectionnés provoque une incertitude sur ces valeurs. Nous allons donc utiliser l’erreur statistique des Monte Carlo comme erreur systématique sur ces mesures. D’autre part, dans la détermination de la charge, nous obtenons aussi la confusion de charge à partir d’un nombre fini d’événements. L’erreur sta- tistique sur le nombre d’événements induit une erreur systématique sur la confusion de charge, ce qui se répercutera sur l’asymétrie.
  • 78. 82 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE 0 5 10 15 20 25 30 35 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 ∆ρ Nombred’événements 0 10 20 30 40 50 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ∆φ Nombred’événements (mrad) FIG. 35 – Différence ∆φ des angles azimutaux des deux électrons Sur ce graphique nous pouvons voir une séparation des événements +− par rapport aux événe- ments −+ dans les variables ∆ρ (graphique du haut) et ∆φ (graphique du bas). Nous pouvons observer un meilleur pouvoir de séparation de la variable ∆φ.
  • 79. 6. ERREURS SYSTÉMATIQUES 83 d2 d1 − + −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 ∆φ (mrad) ∆ρ + − FIG. 36 – Corrélation des variables ∆φ et ∆ρ Ce graphique nous montre la corrélation des variable ∆ρ et ∆φ. Une bonne séparation semble possible. FIG. 37 – ∆φ en fonction de l’acoplanarité Cette figure nous montre la dépendance de la mesure ∆φ par rapport à l’acoplanarité. En effet, lorsque l’acoplanarité devient importante, la valeur de ∆φ devient importante aussi. Il conviendrait de corriger cette dépendance, mais comme ceci détériore la résolution de ∆φ, il est préférable de ne pas tenir compte des quelques événements à acoplanarité ζ > 0.4◦.
  • 80. 84 IV. LA MÉTHODE D’ANALYSE 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Détermination de la charge (P) Nombred’événements FIG. 38 – Détermination de la charge (P) Ce graphique représente la distribution de la variable P qui optimise la détermination de la charge. 0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P Nombred’événements 0 25 50 75 100 125 150 175 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P Nombred’événements 1 10 10 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 P Nombred’événements Cas symmétrique Cas asymmétrique FIG. 39 – Ajustement de la fonction f(x) Ces graphiques montrent les différentes étapes du fit qui permet la détermination de la confu- sion de la charge.
  • 81. CHAPITRE V Les résultats et leurs interprétations 1. Section efficace dans le barrel La section efficace dans le barrel 44◦ ≤ θ1,2 ≤ 136◦ a été mesurée aux éner- gies 189 GeV ≥ √ s ≥ 210 GeV. Les mesures correspondent à l’espace de confi- guration : 44◦ ≥ θ1,2 ≥ 136◦ ξ < 120◦ pour l’échantillon inclusif ξ < 25◦ pour l’échantillon haute énergie (5.1) 10 15 20 25 30 190 195 200 205 210 √   s σ (GeV) (pb) ξ < 120 o (χ ¡ 2 /d.o.f = 8.6 / 8) ¢ ξ < 25 o (χ ¡ 2 /d.o.f = 8.6 / 8) ¢ 44 o < θ < 136 o FIG. 40 – Section efficace 44◦ ≤ θ1,2 ≤ 136◦. Mesures et prédictions de la section efficace pour l’échantillon inclusif (points et ligne conti- nue), et l’échantillon haute énergie (triangles et ligne traitillée) en fonction de l’énergie √ s. La figure 40 montre la dépendance en √ s des mesures de la section efficace pour les deux échantillons. Les tableaux A9 et A10 (pp. 106-107) dans l’annexe donnent les détails numériques de l’analyse. Les mesures sont compatibles avec les prédictions, et pour les deux échan- tillons le χ2 vaut 8.6 pour 8 degrés de liberté. 85
  • 82. 86 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS Ces mesures terminent l’analyse de la section efficace Bhabha dans le bar- rel entreprise par l’expérience L3 depuis 1989[11, 12]. 2. Asymétrie Dans le même espace de configuration, nous pouvons mesurer l’asymétrie avant-arrière en mesurant cos ˙θ. Ceci requiert une bonne détermination de la charge et donc une sélection plus stricte sur la qualité des traces dans la TEC. Heureusement, comme nous l’avons vu, la mesure de cette baisse d’efficacité peut être obtenue par les données elles-mêmes. Les figures B54 à B54 aux pages 122-122 montrent les sections efficaces différentielles à partir desquelles nous pouvons mesurer l’asymétrie. Les ta- bleaux B14 à B21 aux pages 114-121 donnent tous les détails numériques de ces mesures. La figure 41 montre la mesure de l’asymétrie pour les deux échantillons en fonction de √ s. Les mesures sont compatibles avec les prédictions, car le χ2 vaut, pour 8 degrés de liberté, 6.9 pour l’échantillon inclusif et 5.3 pour l’échantillon haute énergie. Tout comme pour la section efficace, ces mesures terminent l’analyse de l’asymétrie avant-arrière des Bhabha dans le barrel entreprise par l’expé- rience L3 depuis 1989[11, 12]. 0.7 0.8 0.9 190 195 200 205 210 √   s AFB (GeV) ξ < 120o (χ ¡ 2 /d.of. = 6.9 / 8) ¢ ξ < 25o (χ ¡ 2 /d.of. = 5.3 / 8) ¢ 44o < θ < 136o FIG. 41 – Asymétrie avant-arrière 44◦ ≤ θ1,2 ≤ 136◦. Ce graphique montre les mesures de l’asymétrie AFB pour l’échantillon haute énergie (ligne traitillée et triangles) et inclusif (ligne continue et points).
  • 83. 3. SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE 87 3. Section efficace différentielle L’analyse de la section efficace différentielle correspond à l’espace de confi- guration : 12◦ ≥θ1,2 ≥ 168◦ cos ˙θ ≤ 0.9 ξ < 25◦ (5.2) Les tableaux C22 à C29 (pp. 128-135) de l’annexe donnent les détails nu- mériques de l’analyse. Les figures C58 et C59 (pp. 139-140) donnent les 8 distributions angulaires correspondant à chaque bin d’énergie analysé. Les distributions semblent être en accord avec leur prédiction, mais nous pouvons vérifier cette compatibilité en mesurant les pulls de ces 801 mesures : pull = σ−σ0 δ(σ) (5.3) avec σ la mesure de la section efficace différentielle, σ0 la prédiction pour cette mesure et δ(σ) l’erreur sur cette mesure. Nous considérerons le cas où δ(σ) est l’erreur statistique et le cas où δ(σ) est la somme quadratique de l’erreur statistique et de l’erreur systématique. Les erreurs systématiques se trouvent dans les tableaux C30 à C32 (pp. 136-138). Le tableau C33 (p. 141) donne les erreurs systématiques totales pour chaque bin. Nous admettons que les erreurs systématiques sont les mêmes pour toutes les énergies √ s. Les erreurs systématiques à √ s = 192 GeV et 208 GeV sont supérieures à la moyenne en raison de la petite statistique accumulée à ces deux énergies. L’utilisation de la notation abrégée de l’équation (5.3) permet de simplifier les équations, mais il est important de noter qu’il s’agit de sections efficaces différentielles dσ d|cos ˙θ| . La figure 42 donne l’histogramme de tous les pulls en considérant l’erreur statistique seulement et l’erreur totale (statistique et systématique). On ob- serve que la moyenne mesurée est compatible dans les marges d’erreur avec 0 et l’écart standard avec 1. On remarque que l’erreur systématique rend la compatibilité meilleure, ce qui est un indice que nous la maîtrisons bien. Bien que nous utilisions chaque mesure pour toutes les interprétations physiques à la fin de ce chapitre, il est intéressant de combiner toutes les énergies pour visualiser de façon simple la dépendance angulaire de la section efficace différentielle. 110 bins en cos ˙θ pour 8 énergies √ s
  • 84. 88 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS Pour combiner ces mesures, qui ont une dépendance en √ s, nous allons utiliser une formule modifiée de la moyenne pondérée : σ = ∑i wi σi K( √ si) ∑i wi (5.4) avec wi = 1 δ2 (σi) K2( √ si) , K( √ si) = σ0( √ s ) σ0( √ si) , √ s = ∑i Li √ s ∑i Li (5.5) où σi est la valeur mesurée de la section efficace à √ si, δ(σi) l’erreur statistique de cette mesure, σ0(X) la prédiction théorique à X = √ s, wi le poids statistique de la mesure à √ si et Li la luminosité accumulée à √ si. L’énergie moyenne dans le centre de masse √ s est 198.01 GeV. L’erreur standard de la moyenne σ est : δ( σ ) = 1 ∑i wi (5.6) K permet de compenser la dépendance en √ s de la section efficace. Ce facteur est obtenu en prenant la section efficace de Born améliorée multipliée par la fonction de radiation (2.34). La figure 43 montre toutes les mesures en fonction de √ s regroupées par tranche de cos ˙θ . Les cercles ouverts sont toutes nos mesures et les points noirs sont les moyennes pondérées. La ligne continue correspond à la fonction dσIB−rad d|cosθ| (2.36), et la ligne traitillée à la fonction dσIB d|cosθ|(2.29). Dans le dernier bin en cos ˙θ , on observe que la prédiction semble surestimer les mesures. Ceci 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 UDFLW OVFLW 0.000 0.000 17.07 / 20 Constant 5.891 0.8092 Mean -0.2760E-01 0.1219 Sigma 1.085 0.8727E-01 (   σ ¡ -σ ¡ 0 ¢ )/ £ δσ Statistique 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 UDFLW OVFLW 0.000 0.000 23.20 / 21 Constant 6.174 0.8472 Mean -0.2754E-01 0.1162 Sigma 1.035 0.8279E-01 (   σ ¡ -σ ¡ 0 ¢ )/( £ δσ⊕s ¤ σ ¡ ) £ Statistique ⊕ Systématique FIG. 42 – Test statistique de cohérence des mesures La distribution des pulls en considérant uniquement l’erreur statistique (histogramme de gauche) et l’erreur totale (histogramme de droite) montre que la moyenne est compatible avec 0 et que l’écart-type est compatible avec 1. Ceci nous autorise à penser que les erreurs systéma- tiques semblent bien maîtrisées.
  • 85. 4. INTERPRÉTATION DANS LE CADRE DU MODÈLE STANDARD 89 peut provenir de plusieurs causes : fluctuation statistique, mauvaise simula- tion de la radiation à bas angle de BHWIDE, nouveau processus de physique commençant à se faire sentir, problème dans l’estimation de l’efficacité ou du bruit de fond, etc. Notons que pour BHWIDE, l’erreur statistique de la simu- lation a déjà été prise en compte comme erreur systématique de la fonction de radiation. Étant dans l’impossibilité de “corriger” ce problème, nous allons garder les mesures et les prédictions telles quelles. La combinaison obtenue est donnée sur la figure 44. Le graphique du haut montre les sections efficaces différentielles mesurées et leur prédiction dσIB−rad d cosθ ( √ s = 198 GeV), alors que le graphique du bas montre le rapport R entre celles-ci : R(|cos ˙θ|) = dσ d|cos ˙θ| dσ d|cosθ| IB−rad (5.7) On observe que l’accord est très bon, comme nous pouvions déjà le voir sur l’histogramme des pulls figure 42. 4. Interprétation dans le cadre du Modèle Standard 4.1. Running α. Nous allons maintenant tester l’évolution de la constante de couplage électrofaible α en extrayant un paramètre théorique de nos me- sures de la section efficace différentielle. Il est important de bien définir le cadre théorique, car l’extraction dépend fortement de celui-ci. Nous utilise- rons la prédiction dσIB−rad d|cosθ| (2.36). Nous avons vu que cette approximation est compatible à la prédiction BHWIDE dans les marges d’erreur statistique de nos simulations Monte-Carlo. Nous allons modifier l’évolution de la constante de couplage α : α(q2 ) = α(0) 1−∆α(q2) (2.21) de la manière suivante : αC(q2 ,C) = α(0) 1−C ·∆α(q2) (5.8) avec C le paramètre libre à extraire des données. α(0) et ∆α(q2) gardent leur définition originale. On remarque que C = 1 correspond au MS et C = 0 au cas sans évolution. Ainsi, à chaque mesure à une énergie √ s et une tranche de cos ˙θ correspond une prédiction théorique : dσC( √ s,cosθ,C) d cosθ = Frad(cosθ)· dσIB( √ s,cosθ,C) d cosθ (5.9) avec Frad(cosθ) la fonction de radiation et dσIB( √ s,cosθ,C) d cosθ la section efficace diffé- rentielle modifiée pour tenir en compte la nouvelle évolution de αC.
  • 86. 90 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS 0 10 dσ/d  cosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.052 0 10 dσ/d   cosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.138 0 10 dσ/d   cosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.227 0 10 20 dσ/d   cosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.317 20 30 dσ/d   cosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.407 20 40 dσ/d   cosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.497 25 50 75 dσ/dcosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.588 50 100 dσ/dcosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.678 190 195 200 205 210 √ ¡ s ¢ (GeV) £ 200 400 dσ/dcosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.77 190 195 200 205 210 √ ¡ s ¢ (GeV) £ 400 600 800 dσ/dcosθ(pb) 〈cosθ〉 = 0.862 FIG. 43 – Section efficace différentielle en fonction de √ s pour chaque tranche de cos ˙θ . Sur ce graphique, nous pouvons voir les mesures des sections efficaces différentielles en fonc- tion de l’énergie √ s pour chaque tranche de cos ˙θ (cercle ouvert). Les moyennes pondérées de ces mesures sont montrées par des points. La ligne traitillée correspond à la section efficace de Born améliorée dσIB d cosθ . La ligne continue correspond à cette section efficace corrigée par la fonction de radiation.
  • 87. 4. INTERPRÉTATION DANS LE CADRE DU MODÈLE STANDARD 91 1 10 10 2 10 3 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   〈dσ/dcosθ〉(pb) 〈√ ¡ s〉 = 198 GeV 0.9   0.925   0.95   0.975   1 1.025 1.05 1.075 1.1 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   cos ¢ θ Data/MC FIG. 44 – Section efficace différentielle combinée à s . Le graphique du haut donne la combinaison des sections efficaces différentielles pour les don- nées (points) et dσIB−rad d|cosθ| (ligne). Le graphique du bas correspond au rapport R(|cos ˙θ|) de ces deux section efficaces. On remarquera que la fonction de radiation n’est pas redéfinie en terme de C, car la virtualité des photons est nulle. En effet, comme le rayonnement de photons réels se passe à q2 = 0 GeV, ce processus n’est pas un processus sensible à l’évolution de α. Pour extraire le paramètre C à partir de nos 80 mesures σ en |cos ˙θ| : σ ≡ dσ( √ s,cos ˙θ) d|cos ˙θ| = dσ( √ s,cos ˙θ) d cos ˙θ + dσ( √ s,−cos ˙θ) d cos ˙θ (5.10) et de nos prédictions : σIB−rad(C) ≡ dσ( √ s,cosθ,C) d|cosθ| = Frad(cosθ)· dσIB( √ s,cosθ,C) d cosθ + Frad(−cosθ)· dσIB( √ s,−cosθ,C) d cosθ (5.11) nous allons considérer la vraisemblance normalisée L : L(C) = L(C) L(C)dC (5.12)
  • 88. 92 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS 0.85   0.9   0.95   1 1.05 1.1 1.15 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   cos ¡ θ Données/MS Données C=1 (MS) C=0.7 a) 0.7   0.75   0.8   0.85   0.9   0.95   1 1.05 1.1 C L C = 0.94 ± 0.041 ± 0.023 (68% N.C.) b) FIG. 45 – Extraction du paramètre C La figure a), qui est donnée à titre indicatif, montre le rapport R (point) entre les moyennes des sections efficaces différentielles et leur prédiction. La ligne continue correspond au cas C = 1, c’est-à-dire l’évolution du MS. Le cas C = 0.7 (ligne traitillée) est aussi donné. L’extraction du paramètre C est effectuée sur les 80 mesures par l’étude de la vraisemblance L sur le graphique b). La zone ombrée correspond à un écart-type. avec la vraisemblance : L(C) = ∏ i 1 2πδ2(σ) exp − (σ−σ0(C))2 2δ2(σ) (5.13) où δ(σ) est l’erreur totale sur la mesure σ. A titre indicatif, nous allons étudier l’effet du paramètre C sur le rapport R (5.7). Prenons le cas où la nature aurait choisit une valeur différente de 1, par exemple C = C. L’espérance de R sera alors : R = σ σ0(C = 1) = σ σ0(C = 1) = σ0(C = C) σ0(C = 1) (5.14) Le graphique 45a) montre les mesures R, ainsi que la fonction σ0(C) σ0(C=1) pour C = 1 (MS) et C = 0.7. Le graphique 45b) qui donne la vraisemblance L en fonction de C permet d’extraire le paramètre C : C = 0.940±0.041±0.023 (5.15) Cette mesure est compatible à 1.3σ avec le MS (C = 1). L’hypothèse d’aucun running (C = 0) peut être exclu à 20σ.
  • 89. 5. INTERPRÉTATION EN TERME DE NOUVEAUX MODÈLES 93 A titre de comparaison, la dernière mesure de L3 se basant sur la section efficace à √ s = 189 GeV est[13] : C = 0.97±0.12(stat.)±0.10(sys.)±0.29(theo.) (5.16) En prenant notre mesure du paramètre C, l’équation (5.8) et la valeur α (2.20) nous obtenons l’estimation : α−1 (m2 Z) = 129.31±0.34±0.20 (5.17) qui est compatible avec la prédiction [14] : α−1 th (m2 Z) = 128.978±0.027 (5.18) Nous pouvons aussi extraire ∆αh(m2 Z) à partir de notre mesure C · ∆α(m2 Z) et de ∆αl(m2 Z) (2.23) : ∆αh(m2 Z) = 0.0249±0.0023±0.0011 (5.19) Ce qui est compatible avec la prédiction[14] : ∆α (5) h (m2 Z) = 0.02738±0.00020 (5.20) 5. Interprétation en terme de nouveaux modèles Nous allons maintenant tester certains modèles de nouvelles physiques. Ces modèles donnent des prédictions P modifiant la section efficace différen- tielle soit par un facteur R, soit par un terme additionnel D : P(X) ≡ dσ d cosθ = dσ d cosθ MS ·R(cosθ,X) P(X) ≡ dσ d cosθ = dσ d cosθ MS +D(cosθ,X) (5.21) avec X un paramètre du modèle. Nous allons donc utiliser la mesure R(|cos ˙θ|) (5.7) et la mesure D(|cos ˙θ|) : D(|cos ˙θ|) = dσ d|cos ˙θ| − dσ d|cosθ| IB−rad (5.22) Ces modèles vont les modifier de la façon suivante : R |cos ˙θ| = κR |cos ˙θ| +(1−κ) R −|cos ˙θ| D |cos ˙θ| = D |cos ˙θ| +D −|cos ˙θ| (5.23) avec κ = dσ(cosθ) d cosθ IB−rad dσ(cosθ) d cosθ IB−rad + dσ(−cosθ) d cosθ IB−rad Si aucun effet significatif ne peut être observé, nous pouvons poser une limite sur les paramètres des modèles. La méthode consiste à affirmer que la
  • 90. 94 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS vraisemblance est proportionnelle à la fonction de distribution de la variable X. Ainsi, par exemple pour X > 0, nous pouvons poser la limite à 95% de confiance X95 : X95 0 L(X)dX = 0.95 ∞ 0 L(X)dX (5.24) avec la vraisemblance : L(X) = ∏ i 1 2πδx2 i exp − (xi −Pi(X))2 2δx2 i (5.25) où xi sont les points mesurés, δxi leur erreur (supposée Gaussienne) et Pi(X) leur prédiction pour le paramètre X. Dans les différents modèles, la forme du paramètre X est assez arbitraire. Par exemple, dans le cas d’une théorie où apparaît une échelle de masse MS, nous pouvons prendre comme paramètre X : MS, 1/MS, 1/M2 S, etc. En prenant MS, la fonction L(X) n’est pas normalisable. C’est pourquoi, on préférera une forme inverse. Bien que les limites calculées avec les différentes formes de X soient numériques différentes, l’ordre de grandeur est toujours le même. La forme choisie est celle qui apparaît dans la théorie. 5.1. Taille de l’électron. En supposant que l’électron ait une structure, les vertex de l’interaction d’un électron avec un photon ou un Z sont modifiés de la façon suivante[15] : Vertex γe+ e− = i √ 4πα F(q)γµ +i κ 2me σµρ qρ Vertex Ze+ e− = −i 4παZ rV F(q)γµ +i κ 2me rV σµρ qρ −F(q)γµ γ5 (5.26) avec κ le moment magnétique anormal de l’électron en unité du magnéton de Bohr, σµρ = i 2 (γµγρ −γργµ) et F(q2) le facteur de forme de cette structure où q est le quadri-vecteur énergie-impulsion du boson. Lorsque la structure de l’électron ρ(r) a une symétrie sphérique, le facteur de forme correspondant vaut2 [16] : F(q) = ρ(x)eiq·x d3 x = 1+ 1 6 q2 r2 +... (5.27) avec R2 = r2 le rayon électromagnétique carré moyen de l’électron. Par abus de langage, on nomme R le rayon de l’électron, même si on obtient en prenant 2dans la limite où la longueur d’onde correspondant à q est “grande” par rapport à la structure
  • 91. 5. INTERPRÉTATION EN TERME DE NOUVEAUX MODÈLES 95 le cas où ρ(r) est constant jusqu’à un rayon classique R0 (une boule de rayon R0) : R = R0 √ 2 (5.28) Selon Brodsky et Drell[17], dans des systèmes complexes, l’amplitude du couplage du dipôle magnétique anormal devrait être de l’ordre de la taille du système, de sorte que κ devrait être proportionnel à me. Dans des théories de symétrie chirale, étant donné que l’interaction avec un dipôle change la chiralité, κ devrait être proportionnel à m2 e. Ainsi, deux cas de figure s’offrent à nous : une dépendance linéaire à la masse ou une dépendance quadratique à la masse. On peut définir κ en fonc- tion R de telle sorte que[15] : κ 2me = 1 2 η1 R pour une dépendance linéaire κ 2me = 1 2 me (η2 R)2 pour une dépendance quadratique (5.29) En posant K = κ 2me , nous pouvons calculer les nouveaux termes de la section efficace en tenant compte des nouveaux vertex(5.26) : dσ dΩ ij = dσ dΩ 0 ij ·Tij (5.30) avec Tij les facteurs de corrections et i, j = γs, γt, Zs et Zt. Les facteurs de correc- tions ont été calculés avec Mathematica et sont donnés dans la figure 46. Un exemple de calculs est donné dans l’annexe à la page 143. On observe, pour K = 0 (qui est une bonne approximation pour le cas quadratique), une dépen- dance uniquement en terme du facteur de forme F(q2), avec q2=s ou t suivant les canaux. Par exemple : lim K→0 Tγsγt = F(s)2 F(t)2 (5.31) Sur la figure 47, on voit l’effet sur la section efficace différentielle d’un rayon R = 5×10−19 m. Pour mesurer des limites, nous allons poser η1 = 1 = η2. Ainsi, on trouve les limites à 95% de niveau de confiance : R < 6.23×10−19 m pour une dépendance linéaire R < 2.30×10−19 m pour une dépendance quadratique (5.33) La bosse sur la figure 47 indique que les données ont une préférence pour un jeu de paramètre {R,K} non nul. Il est alors intéressant de découpler ces
  • 92. 96 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS Tγsγs= c2K4s2+21−c2K2sF(s)2 +1+c2F(s)4 1+c2 Tγtγt= (1−c)2 (3+c)2 K4s2+321−c2K2sF(t)2 +8(5+c(2+c))F(t)4 8(5+c(2+c)) TZsZs= rV4 c2K4s2+2rV2 1+rV2 1−c2K2sF(s)2 +8rV2 c+1+rV22 1+c2F(s)4 8rV2 c+1+rV22 (1+c2) TZtZt= rV4 (1−c)2 (3+c)2 K4s2+32rV2 1+rV2 1−c2K2sF(t)2 +85+2c+c2+rV4 (5+c(2+c))+2rV2 (−1+3c(2+c))F(t)4 85+2c+c2+rV4 (5+c(2+c))+2rV2 (−1+3c(2+c)) Tγsγt= (−1+c)(3+c)K2scK2s−(−1+c)F(s)2 +4−2cK2s+(1+c)2 F(s)2 F(t)2 4(1+c)2 TγsZs= rV2 c2K4s2+2rV2 1−c2K2sF(s)2 +2c+rV2 1+c2F(s)4 2c+rV2 (1+c2) TγsZt= cK2srV2 (−1+c)(3+c)K2s−8−1+rV2 F(t)2 +F(s)2 −rV2 (1−c)2 (3+c)K2s+41+rV2 (1+c)2 F(t)2 41+rV2 (1+c)2 TγtZs= rV2 cK2s(−1+c)(3+c)K2s−8F(t)2 +F(s)2 1−rV2 (1−c)2 (3+c)K2s+41+rV2 (1+c)2 F(t)2 41+rV2 (1+c)2 TγtZt= rV2 (1−c)2 (3+c)2 K4s2+32rV2 1−c2K2sF(t)2 +8−3+5rV2 +1+rV2 c(2+c)F(t)4 8−3+5rV2 +1+rV2 c(2+c) TZsZt= rV2 cK2srV2 (−1+c)(3+c)K2s+81−rV2 F(t)2 +F(s)2 rV2 1−rV2 (1−c)2 (3+c)K2s+41+6rV2 +rV4 (1+c)2 F(t)2 41+6rV2 +rV4 (1+c)2 (5.32) FIG.46–FacteursTij Facteursdecorrectionauxtermesdelasectionefficacepourtenircomptedelastructuredes électrons
  • 93. 5. INTERPRÉTATION EN TERME DE NOUVEAUX MODÈLES 97 0.85   0.9   0.95   1 1.05 1.1 1.15 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   |cosθ| Données/MS Données MS R = 5 × 10 -19 m a) 0   1 2 3 ¡ 4 5 ¢ 6 7 8 £ 9 ¤ 10 R L ( ¥ × 10 -19 m) R < 6.23 × 10 -19 m (95% N.C.) b) Dépendance linéaire 0.85   0.9   0.95   1 1.05 1.1 1.15 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   |cosθ| Données/MS Données MS R = 5 × 10 -19 m c) 0   0.5   1 1.5 2 2.5 3 ¡ 3.5 ¡ 4 4.5 5 ¢ R L ( £ × 10 -19 m) R < 2.3 × 10 -19 m (95% N.C.) d) Dépendance quadratique FIG. 47 – Limite sur le rayon de l’électron Les graphiques a) et c) montrent la mesure R(|cos ˙θ|), la prédiction du MS et la prédiction pour un rayon de l’électron R = 5 × 10−19 m. Les graphiques b) et d) montrent la vraisemblance L pour différentes valeurs de R. Les graphiques a) et b) traitent le scénario d’une dépendance linéaire, les graphiques c) et d) d’une dépendance quadratique. La zone ombrée correspond à la limite à 95% de niveau de confiance. variables et de trouver le jeu qui correspond le mieux aux données. En utili- sant les routines MINUIT[18], on trouve : R = [4.80±1.21±0.52]×10−19 m = [2.43±0.61±0.27] TeV−1 K = [1.27±0.32±0.12] TeV−1 (5.34) La figure 48 montre ce que donne la prédiction théorique pour ce jeu de paramètres. Ainsi, l’hypothèse d’une dépendance linéaire avec η1 = 1 semble être pré- férée. Mais, il est important d’interpréter ces nombres de façon correcte. En effet, le χ2 pour le MS vaut 84.7 pour 80 degrés de liberté. La probabilité asso- ciée à ce χ2, qui est la probabilité d’obtenir un χ2 plus mauvais en faisant une nouvelle expérience, est de 33.8%. Le χ2 de l’ajustement vaut 83.5 pour 78 de- grés de liberté, car deux degrés de liberté ont été perdus par l’utilisation des deux paramètres de l’ajustement. La probabilité associée à ce χ2 vaut 31.4%. La différence de probabilité n’est pas suffisante pour clamer qu’un scénario est meilleur que l’autre, et ainsi le MS avec un électron ponctuel semble tout aussi probable que cette théorie avec les paramètres ajustés. La dernière mesure publiée par L3, qui se base uniquement sur les don- nées prises à √ s=183 et 189 GeV et dans laquelle seul le scénario d’une dé- pendance quadratique a été considéré, vaut[19] : R < 3.1×10−19 m (95%N.C.) (5.35)
  • 94. 98 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS 0.85   0.9   0.95   1 1.05 1.1 1.15 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   |cosθ| Données/MS Données MS R = 4.8 × 10 -19 m et K = 1.27 TeV -1 (χ ¡ 2 /ndl = 83.5 / 78) ¢ FIG. 48 – Ajustement de la structure de l’électron aux données Ce graphique montre la mesure R(|cos ˙θ|) (points) et la prédiction du MS (ligne). Un ajustement des variables R et K permet d’obtenir la prédiction représentée par la ligne traitillée. Si les contributions non-standard du moment magnétique ge −2 sont pro- portionnelles à la masse[17] : g(e)exp −g(e)th ∼ me R, (5.36) la limite sur le rayon de l’électron peut être descendue à 2×10−22 m avec les mesures actuelles[20] : 1 2 g e− exp = 1.001159652200(40) 1 2 g e− th = 1.001159652459(135) (5.37) Dans le cas quadratique, une limite moins stricte est posée à 9×10−18 m. Ainsi, comme cette limite pour le cas linéaire est en parfait désaccord avec le jeu de paramètre (5.34), nous sommes tenter de préférer, a posteriori, le scénario d’un électron ponctuel. 5.2. Corde dans la gravitation quantique. Dans les deux derniers pa- ragraphes de ce chapitre, nous allons interpréter nos mesures dans le cadre de deux théories qui englobent la physique quantique et la relativité générale. En effet, la théorie quantique des champs permet de décrire les processus phy- siques qui donnent lieu à la force électromagnétique, à la force faible et à la force forte, mais elle ne permet pas de décrire la gravité. La théorie des cordes gravitationnelles ou une théorie de Low Scale Gravity permettent de décrire ces quatre forces dans un même cadre.
  • 95. 5. INTERPRÉTATION EN TERME DE NOUVEAUX MODÈLES 99 La théorique quantique des cordes gravitationnelles prévoit une modifica- tion de la section efficace différentielle[21, 22] : dσ d cosθ = dσ d cosθ MS Γ(1− s M2 S )Γ(1− t M2 S ) Γ(1− s M2 S − t M2 S ) 2 (5.38) avec MS l’échelle d’énergie de ce modèle et Γ la fonction Gamma. 0.85   0.9   0.95   1 1.05 1.1 1.15 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   |cosθ| Données/MS Données MS MS ¡ = 500 GeV a) 0   1 2 3 ¢ 4 5 £ 6 MS ¤ -2 L (TeV ¥ -2 ) ¦ MS ¡ > 595 GeV (95% N.C.) b) FIG. 49 – Limite sur l’échelle de masse de la théorie quantique des cordes gravitationnelles Le graphique du haute montre la mesure R(|cos ˙θ|) et la prédiction pour une échelle MS = 500 GeV. Le graphique du bas montre la vraisemblance L pour différentes valeurs de MS. La zone ombrée correspond à la limite à 95% de niveau de confiance. La figure 49 montre la prédiction pour une échelle MS = 500 GeV. La limite à 95% de confiance vaut : MS > 595 GeV (5.39) La dernière limite publiée par L3 est[19] : MS > 490 GeV (5.40) Comme attendu, l’augmentation de la statistique permet de poser une li- mite plus forte. 5.3. Low Scale Gravity. Des théories récentes de LSG prédisent le cou- plage d’un hypothétique graviton aux fermions du MS. Ainsi, il serait possible de créer un graviton par l’annihilation e+e−. Ce graviton se propagerait dans
  • 96. 100 V. LES RÉSULTATS ET LEURS INTERPRÉTATIONS Notre monde en 4 dimensions dimension supérieure graviton − e+ e+ − e e FIG. 50 – Diagramme du couplage d’un graviton aux particules du MS. une dimension supérieure pour revenir dans notre monde à quatre dimen- sions et y produire une paire de fermions. La figure 50 schématise ce proces- sus. La modification de la section efficace des événements Bhabha est[23, 24] : dσ d|cosθ| = dσ d|cosθ| MS − αλ 2sM4 S · F1(s,t)+ v2 eF2(s,t)+a2 eF3(s,t) s−m2 Z + v2 eF2(t,s)+a2 eF3(t,s) t −m2 Z + λ2 16πsM8 S F4(s,t) (5.41) où les fonctions Fi de s et t sont : F1(s,t) = 9 s3 /t +t3 /s +23(s2 +t2 )+30st F2(s,t) = 5s3 +10s2 t +18st2 +9t3 F3(s,t) = 5s3 +15s2 t +12st2 +t3 F4(s,t) = 41(s4 +t4 )+124st(s2 +t2 )+148s2 t2 (5.42) avec MS l’échelle du processus et λ posé arbitrairement à ±1. La figure 51 montre les prédictions et les données. Les limites à 95% N.C. valent : MS > 1.20 TeV λ = +1 MS > 1.01 TeV λ = −1 (5.43) Les dernières limites publiées par L3 valent[25] : MS > 0.98 TeV λ = +1 MS > 0.84 TeV λ = −1 (5.44)
  • 97. 5. INTERPRÉTATION EN TERME DE NOUVEAUX MODÈLES 101 La figure 51 semble indiquer que les données ont une préférence pour λ = −1 et MS = 1296+290 −216 GeV. Ceci est loin d’être suffisant pour clamer une dé- couverte à 5σ, car cela ne représente qu’une mesure à 68% de confiance (1σ). Tout comme pour le cas de la taille de l’électron, les données ne permettent pas de donner une préférence à cette théorie plutôt qu’au MS. -15 -10 -5 0   5 ¡ 10 15 0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   |cosθ| D-MS(pb) Données MS MS ¢ = 1.2 TeV (λ=+1) MS ¢ = 1.2 TeV (λ=-1) a) 0   0.5   1 1.5 2 MS £ -2 L (TeV ¤ -2 ) ¥ MS ¢ > 1.2 TeV (95% N.C.) λ=+1 b) 0   0.5   1 1.5 2 MS £ -4 L (TeV ¤ -4 ) ¥ MS ¢ > 1.01 TeV (95% N.C.) λ=-1 c) FIG. 51 – Limite sur l’échelle de masse de la théorie LSG. Le graphique du haut montre la mesure D(|cos ˙θ|) et la prédiction pour une échelle MS = 1.2 TeV pour λ = ±1. Les graphiques du bas montrent la vraisemblance L en fonction de MS. La zone ombrée correspond à la limite à 95% de niveau de confiance.
  • 98. Conclusion Ce travail de thèse a permis d’étudier de façon détaillée la diffusion Bha- bha e+e− → e+e−(γ) à des énergies dans le centre de masse √ s allant de 189 GeV à 210 GeV. Les résultats de cette thèse sont des mesures précises qui per- mettent de vérifier les prédictions du Modèle Standard, mais aussi de tester de nouveaux modèles. La section efficace et l’asymétrie avant-arrière ont été mesurées dans le barrel (44◦ ≤ θ ≤ 136◦) pour deux échantillons : ξ <25◦ et ξ <120◦. Les mesures sont compatibles avec les prédictions du Modèle Standard. Pour la première fois dans la collaboration L3, une section efficace diffé- rentielle a été mesurée dans la plage cos ˙θ < 0.9. Les mesures sont statisti- quement compatibles avec les prédictions du Modèle Standard. Cette mesure de la section efficace différentielle permet d’extraire le pa- ramètre C décrivant une variation de l’évolution de la constante de couplage électrofaible α. La mesure de C vaut : C = 0.927±0.041±0.029 Cette mesure est compatible à 1.3σ avec le MS (C = 1). L’hypothèse d’aucun running (C = 0) peut être exclu à 20σ. La mesure de la section efficace différentielle permet aussi de tester cer- tains modèles au-delà du MS. L’étude des prédictions de ces nouveaux modèles permet de fixer des limites à 95% de niveau de confiance. Dans le cadre de la gravitation quantique, la théorie des cordes modifie la section efficace différentielle. Aucun effet ne peut être mis en évidence. La limite sur l’échelle MS de cette théorie est fixée à : MS > 595 GeV Certains modèles prédisent l’existence de gravitons, particules responsables de la force gravitationnelle. Ces gravitons pourraient se coupler aux fermions. Dans le cadre d’un modèle de Low Scale Gravity, aucun effet significatif n’a été observé. Les limites sur l’échelle de cette théorie valent : MS > 1.20 TeV λ = +1 MS > 1.01 TeV λ = −1 103
  • 99. 104 V. CONCLUSION L’électron est considéré comme ponctuel dans le Modèle Standard. Dans l’hypothèse d’une structure, une mesure de son rayon peut être effectuée. Les limite sur son rayon pour deux hypothèses de structure valent : R < 6.23×10−19 m pour une dépendance linéaire R < 2.30×10−19 m pour une dépendance quadratique Le LEP ayant achevé son programme, la diffusion Bhabha à de plus hautes énergies ne pourra se faire que dans les futurs collisionneurs e+e−. L’aug- mentation de l’énergie de collision permettra-t-elle d’observer la structure des électrons, et d’ouvrir ainsi une porte sur une nouvelle physique sub-quantique ?
  • 100. Annexe A : Section efficace – Détails numériques A9-A10 (pp.106-A10) – Systématiques A52-A53 (pp.108-A53) – Efficacité des triggers A11-A13 (pp.110-A13) 105
  • 101. 106 V. ANNEXE A : SECTION EFFICACE √ sNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)L(pb−1 )σ(pb)σ0(pb)Pull 188.65402839413.9698.0100.0156.4025.23±0.40±0.4024.680.98 191.606596604.3896.7100.027.4623.73±0.92±0.3723.78−0.06 195.54189819244.0297.3100.082.7222.64±0.52±0.3622.96−0.49 199.54177418154.3795.799.982.6421.47±0.51±0.3421.96−0.81 201.758577954.4397.0100.036.9722.83±0.78±0.3621.211.90 204.91148214144.1696.8100.066.9121.94±0.57±0.3520.931.51 206.47257125694.2597.599.9122.6920.59±0.41±0.3220.570.05 208.011441554.3496.999.97.9018.01±1.50±0.2819.45−0.95 TAB.A9–Sectionefficace189GeV≤ √ s≤210GeVàξ<120◦.
  • 102. 107 √ sNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)L(pb−1 )σ(pb)σ0(pb)Pull 188.65375337043.3498.6100.0156.4023.53±0.38±0.1723.220.74 191.606246223.997.3−27.4622.46±0.90±0.1622.410.05 195.54178118093.4397.7100.082.7221.27±0.50±0.1521.61−0.65 199.54166717243.8196.4100.082.6420.13±0.49±0.1420.82−1.34 201.758117553.897.6−36.9721.63±0.76±0.1520.151.90 204.91137913353.5997.5100.066.9120.37±0.55±0.1419.741.12 206.47241824253.7498.0100.0122.6919.36±0.39±0.1419.41−0.13 208.011371483.6897.7100.07.9017.10±1.46±0.1218.48−0.94 TAB.A10–Sectionefficace189GeV≤ √ s≤210GeVàξ<25◦. Le−danslacolonneεtrigsignifiequ’iln’yapaseutd’événementquipuissepermettred’estimer laprésenced’uneinefficacité.Le100.0signifiequ’ilyaeuaumoinsunévénementprovenant d’uneinefficacité,maisl’arrondidonne100.0.
  • 103. 108 V. ANNEXE A : SECTION EFFICACE 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E1/E   beam ¡ ≥ 0.5 1 10 10 2 10 3 10 4 Nombred’événements 44 o < θ1,2 < 136 o ξ < 25 o a) E1/E   beam ¡ ≥ 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E1/E   beam ¡ ≥ 0.5 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 E1/E ¢ beam X/X0 Systématique = 1.1 ‰ 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E2   ≥ 20 GeV 1 10 10 2 10 3 Nombred’événements 44 o < θ1,2 < 136 o ξ < 25 o b) E2   ≥ 20 GeV 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E2   ≥ 20 GeV 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 20 40 60 80 100 E2 ¡ X/X0 (GeV) ¢ Systématique = 5.3 ‰ 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV R ≥ 0.2 1 10 10 2 10 3 10 4 Nombred’événements 44 o < θ1,2 < 136 o ξ < 25 o a) R ≥ 0.2 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité R ≥ 0.2 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rhits X/X0 Systématique = 4.4 ‰ FIG. A52 – Graphique N −1 pour la section efficace 44◦ < θ < 136◦ à ξ < 25◦.
  • 104. 109 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E1/E   beam ¡ ≥ 0.4 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 Nombred’événements 12 o < θ1,2 < 168 o ξ < 25 o a) E1/E   beam ¡ ≥ 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E1/E   beam ¡ ≥ 0.4 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 E1/E ¢ beam X/X0 Systématique = 7.7 ‰ 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV E2   ≥ 10 GeV 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 Nombred’événements 12 o < θ1,2 < 168 o ξ < 25 o b) E2   ≥ 10 GeV 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité E2   ≥ 10 GeV 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 20 40 60 80 100 E2 ¡ X/X0 (GeV) ¢ Systématique = 14.1 ‰ 189 GeV ≤ √s ≤ 210 GeV R ≥ 0.2 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 Nombred’événements 12 o < θ1,2 < 168 o ξ < 25 o a) R ≥ 0.2 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Qualité R ≥ 0.2 0.96 0.98 1 1.02 1.04 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rhits X/X0 Systématique = 7 ‰ FIG. A53 – Graphique N −1 pour la section efficace 12◦ < θ < 168◦ à ξ < 25◦.
  • 105. 110 V. ANNEXE A : SECTION EFFICACE Trigger TEC Trigger Énergie Niveau 2 Niveau 3 Efficacité Globale 189 GeV 12.9±0.1 99.9±0.0 99.5±0.0 100±0.0 99.4±0.1 192 GeV 11.7±0.3 100±0.0 98.0±0.1 100±0.0 98.0±0.3 196 GeV 12.0±0.2 99.8±0.1 99.4±0.0 100±0.0 99.3±0.1 200 GeV 11.8±0.2 99.9±0.0 99.5±0.0 100±0.0 99.5±0.1 202 GeV 11.6±0.3 99.8±0.1 99.5±0.1 100±0.0 99.3±0.2 205 GeV 13.0±0.2 99.7±0.1 99.5±0.0 100±0.0 99.3±0.1 206 GeV 12.8±0.1 98.0±0.2 99.6±0.0 100±0.0 97.9±0.2 208 GeV 12.3±0.6 99.3±0.4 98.8±0.2 100±0.0 98.2±0.7 Tous 12.4±0.1 99.5±0 99.4±0.0 100±0.0 99.0±0.1 TAB. A11 – Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 12◦. Trigger TEC Trigger Énergie Niveau 2 Niveau 3 Efficacité Global 189 GeV 48.5±0.3 99.8±0.0 99.9±0.0 100±0.0 99.8±0.0 192 GeV 46.9±0.7 100±0.0 97.9±0.2 100±0.0 97.9±0.3 196 GeV 46.0±0.4 99.9±0.0 99.9±0.0 100±0.0 99.8±0.1 200 GeV 43.8±0.4 99.9±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0 202 GeV 46.2±0.7 99.9±0.1 100±0.0 100±0.0 99.9±0.1 205 GeV 48.9±0.5 99.8±0.1 100±0.0 100±0.0 99.9±0.0 206 GeV 48.3±0.4 97.9±0.2 100±0.0 100±0.0 98.9±0.1 208 GeV 44.5±1.5 99.2±0.4 100±0.0 100±0.0 99.6±0.3 Tous 47.2±0.2 99.5±0.0 99.9±0.0 100±0.0 99.6±0.0 TAB. A12 – Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 20◦.
  • 106. 111 Trigger TEC Trigger Énergie Niveau 2 Niveau 3 Efficacité Global 189 GeV 98.0±0.2 99.7±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0 192 GeV 98.8±0.4 100±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0 196 GeV 98.4±0.3 100±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0 200 GeV 89.7±0.7 99.9±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0 202 GeV 98.1±0.5 100±0.0 100±0.0 100±0.0 100±0.0 205 GeV 97.3±0.4 99.8±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0 206 GeV 98.0±0.3 98±0.3 100±0.0 100±0.0 100±0.0 208 GeV 97.9±1.2 99.3±0.7 100±0.0 100±0.0 100±0.0 Tous 96.9±0.1 99.5±0.1 100±0.0 100±0.0 100±0.0 TAB. A13 – Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 44◦.
  • 107. Annexe B : Asymétrie – Détails numériques B14-B21 (pp.114-B21) – Graphiques B54-B57 (pp.122-B57) 113
  • 108. 114 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 55 53 3.1 77.9±1.8 4.5±0.9 0.884±0.702±0.821 (−0.63;−0.54) 54 66 1.1 75.2±2.3 5.2±0.9 2.398±0.738±0.508 (−0.54;−0.45) 41 19 4.5 73.4±3.0 5.2±0.9 2.147±0.635±0.315 (−0.45;−0.36) 47 46 1.8 75.8±3.4 8.4±2.0 2.680±0.709±0.461 (−0.36;−0.27) 41 43 2.9 72.1±4.1 8.4±2.0 2.919±0.685±0.280 (−0.27;−0.18) 57 52 4.3 67.1±4.5 8.9±2.6 5.151±0.855±0.223 (−0.18;−0.09) 56 51 3.6 64.3±4.9 8.9±2.6 5.657±0.888±0.108 (−0.09;0.00) 67 55 3.6 61.2±5.0 8.9±2.6 7.333±1.020±0.059 (0.00;0.09) 80 59 3.0 61.2±5.0 8.9±2.6 9.171±1.120±0.059 (0.09;0.18) 81 88 2.1 64.3±4.9 8.9±2.6 9.055±1.081±0.108 (0.18;0.27) 111 120 1.8 67.1±4.5 8.9±2.6 12.161±1.216±0.223 (0.27;0.36) 142 156 1.4 72.1±4.1 8.4±2.0 14.799±1.277±0.280 (0.36;0.45) 223 218 1.6 75.8±3.4 8.4±2.0 22.216±1.518±0.461 (0.45;0.54) 331 310 0.7 73.4±3.0 5.2±0.9 33.466±1.852±0.315 (0.54;0.63) 534 510 0.4 75.2±2.3 5.2±0.9 52.882±2.302±0.508 (0.63;0.72) 932 841 0.4 77.9±1.8 4.5±0.9 88.689±2.913±0.821 L = 156.40 pb−1 √ s = 188.65 GeV AFB = 0.785±0.012±0.016 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 55 53 3.1 78.0±1.8 4.5±0.9 0.883±0.701±0.820 (−0.63;−0.54) 53 64 1.1 75.9±2.3 5.2±0.9 2.277±0.725±0.504 (−0.54;−0.45) 40 18 4.2 74.7±3.0 5.2±0.9 2.057±0.618±0.304 (−0.45;−0.36) 46 46 1.7 77.1±3.4 8.4±2.0 2.663±0.690±0.420 (−0.36;−0.27) 38 42 3.0 76.8±4.1 8.4±2.0 2.508±0.619±0.253 (−0.27;−0.18) 49 45 4.7 73.3±4.6 8.9±2.6 3.956±0.724±0.204 (−0.18;−0.09) 43 43 3.5 67.2±5.4 8.9±2.6 4.170±0.747±0.079 (−0.09;0.00) 53 48 3.3 72.4±5.4 8.9±2.6 4.869±0.770±0.057 (0.00;0.09) 68 54 2.4 72.4±5.4 8.9±2.6 6.674±0.878±0.057 (0.09;0.18) 62 78 2.1 67.2±5.4 8.9±2.6 6.635±0.906±0.079 (0.18;0.27) 103 109 1.8 73.3±4.6 8.9±2.6 10.375±1.073±0.204 (0.27;0.36) 135 152 1.3 76.8±4.1 8.4±2.0 13.235±1.170±0.253 (0.36;0.45) 208 207 1.1 77.1±3.4 8.4±2.0 20.462±1.449±0.420 (0.45;0.54) 325 305 0.7 74.7±3.0 5.2±0.9 32.274±1.802±0.304 (0.54;0.63) 534 510 0.4 75.9±2.3 5.2±0.9 52.409±2.281±0.504 (0.63;0.72) 932 841 0.4 78.0±1.8 4.5±0.9 88.595±2.910±0.820 L = 156.40 pb−1 √ s = 188.65 GeV AFB = 0.816±0.012±0.015 TAB. B14 – Asymétrie √ s = 189 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 109. 115 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 8 10 3.6 70.5±3.1 4.5±0.9 0.398±1.679±0.831 (−0.63;−0.54) 9 10 0.7 75.2±3.8 5.2±0.9 2.102±1.726±0.519 (−0.54;−0.45) 6 7 4.0 71.4±4.9 5.2±0.9 1.731±1.431±0.294 (−0.45;−0.36) 8 7 4.1 74.1±5.1 8.4±2.0 2.533±1.667±0.463 (−0.36;−0.27) 9 6 1.7 72.5±5.4 8.4±2.0 3.809±1.838±0.315 (−0.27;−0.18) 5 7 1.7 65.9±8.2 8.9±2.6 2.318±1.517±0.251 (−0.18;−0.09) 4 11 2.4 54.9±9.9 8.9±2.6 2.414±1.613±0.167 (−0.09;0.00) 9 9 4.5 65.7±6.2 8.9±2.6 4.948±1.969±0.123 (0.00;0.09) 14 10 1.8 65.7±6.2 8.9±2.6 8.801±2.512±0.123 (0.09;0.18) 10 13 2.5 54.9±9.9 8.9±2.6 7.655±2.524±0.167 (0.18;0.27) 16 20 3.3 65.9±8.2 8.9±2.6 10.198±2.635±0.251 (0.27;0.36) 29 21 0.9 72.5±5.4 8.4±2.0 17.178±3.287±0.315 (0.36;0.45) 38 40 1.2 74.1±5.1 8.4±2.0 22.165±3.668±0.463 (0.45;0.54) 52 56 0.2 71.4±4.9 5.2±0.9 30.933±4.317±0.294 (0.54;0.63) 95 85 0.2 75.2±3.8 5.2±0.9 53.744±5.544±0.519 (0.63;0.72) 151 144 1.6 70.5±3.1 4.5±0.9 89.348±7.289±0.831 L = 27.46 pb−1 √ s = 191.60 GeV AFB = 0.844±0.026±0.008 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 8 10 3.6 70.7±3.2 4.5±0.9 0.397±1.673±0.828 (−0.63;−0.54) 9 10 0.7 76.0±3.8 5.2±0.9 2.079±1.708±0.514 (−0.54;−0.45) 6 6 4.4 73.7±5.0 5.2±0.9 1.728±1.380±0.272 (−0.45;−0.36) 8 6 4.2 77.5±5.2 8.4±2.0 2.489±1.590±0.423 (−0.36;−0.27) 7 5 1.9 76.2±5.9 8.4±2.0 2.623±1.541±0.285 (−0.27;−0.18) 5 7 1.6 73.2±8.3 8.9±2.6 2.138±1.366±0.209 (−0.18;−0.09) 3 8 2.3 56.0±12.3 8.9±2.6 1.814±1.371±0.110 (−0.09;0.00) 6 8 3.6 73.1±7.2 8.9±2.6 2.721±1.464±0.172 (0.00;0.09) 14 8 1.4 73.1±7.2 8.9±2.6 8.113±2.265±0.172 (0.09;0.18) 7 11 2.0 56.0±12.3 8.9±2.6 5.265±2.081±0.110 (0.18;0.27) 15 18 2.1 73.2±8.3 8.9±2.6 8.694±2.324±0.209 (0.27;0.36) 26 20 0.8 76.2±5.9 8.4±2.0 14.707±2.960±0.285 (0.36;0.45) 37 40 2.1 77.5±5.2 8.4±2.0 20.424±3.427±0.423 (0.45;0.54) 50 55 0.2 73.7±5.0 5.2±0.9 28.822±4.103±0.272 (0.54;0.63) 95 85 0.2 76.0±3.8 5.2±0.9 53.172±5.485±0.514 (0.63;0.72) 151 144 1.6 70.7±3.2 4.5±0.9 89.010±7.262±0.828 L = 27.46 pb−1 √ s = 191.60 GeV AFB = 0.869±0.025±0.025 TAB. B15 – Asymétrie √ s = 192 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 110. 116 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 36 28 2.5 75.2±1.9 4.5±0.9 2.815±1.111±0.711 (−0.63;−0.54) 23 29 3.9 72.3±2.6 5.2±0.9 1.717±0.922±0.457 (−0.54;−0.45) 26 19 0.9 68.7±3.2 5.2±0.9 3.525±1.055±0.289 (−0.45;−0.36) 23 20 4.3 68.2±4.0 8.4±2.0 2.909±1.014±0.398 (−0.36;−0.27) 26 24 2.1 66.0±4.4 8.4±2.0 4.289±1.131±0.248 (−0.27;−0.18) 25 16 7.5 67.5±4.9 8.9±2.6 4.032±1.031±0.205 (−0.18;−0.09) 19 27 2.1 67.5±4.9 8.9±2.6 3.066±0.952±0.228 (−0.09;0.00) 26 31 2.3 65.2±5.4 8.9±2.6 5.200±1.143±0.012 (0.00;0.09) 28 34 3.8 65.2±5.4 8.9±2.6 5.586±1.168±0.012 (0.09;0.18) 50 45 3.5 67.5±4.9 8.9±2.6 10.234±1.507±0.228 (0.18;0.27) 50 51 0.4 67.5±4.9 8.9±2.6 10.481±1.556±0.205 (0.27;0.36) 69 63 0.7 66.0±4.4 8.4±2.0 14.825±1.851±0.248 (0.36;0.45) 94 107 0.8 68.2±4.0 8.4±2.0 19.804±2.090±0.398 (0.45;0.54) 159 158 1.0 68.7±3.2 5.2±0.9 32.259±2.582±0.289 (0.54;0.63) 242 266 0.3 72.3±2.6 5.2±0.9 47.205±3.050±0.457 (0.63;0.72) 428 447 1.2 75.2±1.9 4.5±0.9 78.932±3.831±0.711 L = 82.72 pb−1 √ s = 195.54 GeV AFB = 0.777±0.018±0.030 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 36 28 2.5 75.4±1.9 4.5±0.9 2.809±1.108±0.710 (−0.63;−0.54) 23 29 3.9 72.8±2.6 5.2±0.9 1.717±0.916±0.452 (−0.54;−0.45) 26 19 1.0 70.0±3.2 5.2±0.9 3.512±1.035±0.274 (−0.45;−0.36) 23 19 2.7 70.6±4.1 8.4±2.0 2.972±0.995±0.360 (−0.36;−0.27) 26 23 2.2 72.2±4.5 8.4±2.0 3.976±1.033±0.210 (−0.27;−0.18) 23 14 8.0 71.9±5.0 8.9±2.6 3.442±0.923±0.183 (−0.18;−0.09) 13 24 3.3 73.0±5.5 8.9±2.6 1.706±0.722±0.218 (−0.09;0.00) 22 28 1.3 74.7±5.9 8.9±2.6 3.839±0.927±0.023 (0.00;0.09) 26 29 4.0 74.7±5.9 8.9±2.6 4.549±0.979±0.023 (0.09;0.18) 44 39 2.0 73.0±5.5 8.9±2.6 8.539±1.327±0.218 (0.18;0.27) 47 49 1.0 71.9±5.0 8.9±2.6 9.202±1.407±0.183 (0.27;0.36) 66 59 1.1 72.2±4.5 8.4±2.0 12.882±1.647±0.210 (0.36;0.45) 90 101 1.0 70.6±4.1 8.4±2.0 18.243±1.971±0.360 (0.45;0.54) 154 154 0.8 70.0±3.2 5.2±0.9 30.753±2.502±0.274 (0.54;0.63) 241 266 0.3 72.8±2.6 5.2±0.9 46.704±3.024±0.452 (0.63;0.72) 428 447 1.2 75.4±1.9 4.5±0.9 78.756±3.822±0.710 L = 82.72 pb−1 √ s = 195.54 GeV AFB = 0.795±0.018±0.011 TAB. B16 – Asymétrie √ s = 196 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 111. 117 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 30 35 2.8 73.8±1.9 4.5±0.9 1.873±1.034±0.710 (−0.63;−0.54) 24 21 7.4 70.1±2.6 5.2±0.9 1.916±0.937±0.449 (−0.54;−0.45) 22 22 3.5 75.8±3.1 5.2±0.9 2.595±0.859±0.225 (−0.45;−0.36) 16 21 6.3 66.7±4.1 8.4±2.0 1.539±0.853±0.414 (−0.36;−0.27) 20 19 2.5 71.1±4.3 8.4±2.0 2.864±0.920±0.229 (−0.27;−0.18) 17 20 3.5 64.7±4.9 8.9±2.6 2.653±0.929±0.271 (−0.18;−0.09) 20 19 4.2 63.1±5.3 8.9±2.6 3.781±1.019±0.108 (−0.09;0.00) 26 28 6.7 56.8±5.6 8.9±2.6 5.631±1.255±0.040 (0.00;0.09) 30 29 4.6 56.8±5.6 8.9±2.6 6.886±1.376±0.040 (0.09;0.18) 33 38 2.2 63.1±5.3 8.9±2.6 7.173±1.329±0.108 (0.18;0.27) 51 51 1.8 64.7±4.9 8.9±2.6 11.160±1.617±0.271 (0.27;0.36) 63 67 1.2 71.1±4.3 8.4±2.0 12.582±1.634±0.229 (0.36;0.45) 88 99 0.7 66.7±4.1 8.4±2.0 19.080±2.068±0.414 (0.45;0.54) 135 163 0.9 75.8±3.1 5.2±0.9 24.921±2.164±0.225 (0.54;0.63) 233 256 1.0 70.1±2.6 5.2±0.9 46.607±3.070±0.449 (0.63;0.72) 414 402 1.4 73.8±1.9 4.5±0.9 77.795±3.837±0.710 L = 82.64 pb−1 √ s = 199.54 GeV AFB = 0.800±0.018±0.069 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 30 35 2.8 74.0±1.9 4.5±0.9 1.869±1.032±0.708 (−0.63;−0.54) 24 21 7.4 70.8±2.6 5.2±0.9 1.897±0.928±0.445 (−0.54;−0.45) 22 21 3.6 78.8±3.1 5.2±0.9 2.512±0.825±0.212 (−0.45;−0.36) 16 20 6.6 71.0±4.2 8.4±2.0 1.498±0.799±0.372 (−0.36;−0.27) 20 18 4.2 75.4±4.5 8.4±2.0 2.743±0.852±0.188 (−0.27;−0.18) 17 19 3.2 69.5±5.1 8.9±2.6 2.542±0.867±0.230 (−0.18;−0.09) 19 16 4.0 74.9±5.7 8.9±2.6 3.094±0.838±0.064 (−0.09;0.00) 21 23 5.8 65.8±6.4 8.9±2.6 3.908±0.983±0.047 (0.00;0.09) 27 24 4.6 65.8±6.4 8.9±2.6 5.394±1.126±0.047 (0.09;0.18) 28 34 1.9 74.9±5.7 8.9±2.6 5.109±1.035±0.064 (0.18;0.27) 48 48 1.8 69.5±5.1 8.9±2.6 9.761±1.461±0.230 (0.27;0.36) 57 64 1.1 75.4±4.5 8.4±2.0 10.726±1.469±0.188 (0.36;0.45) 85 96 1.0 71.0±4.2 8.4±2.0 17.270±1.906±0.372 (0.45;0.54) 133 159 0.9 78.8±3.1 5.2±0.9 23.600±2.065±0.212 (0.54;0.63) 233 256 1.0 70.8±2.6 5.2±0.9 46.153±3.040±0.445 (0.63;0.72) 414 402 1.4 74.0±1.9 4.5±0.9 77.593±3.827±0.708 L = 82.64 pb−1 √ s = 199.54 GeV AFB = 0.814±0.018±0.066 TAB. B17 – Asymétrie √ s = 200 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 112. 118 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 19 12 2.4 69.7±3.0 4.5±0.9 4.992±1.944±0.619 (−0.63;−0.54) 13 11 3.3 65.2±3.8 5.2±0.9 3.359±1.723±0.466 (−0.54;−0.45) 10 10 3.4 70.5±4.1 5.2±0.9 2.297±1.397±0.349 (−0.45;−0.36) 4 7 3.6 68.6±5.2 8.4±2.0 −0.382±0.982±0.579 (−0.36;−0.27) 12 8 2.8 58.9±6.6 8.4±2.0 5.299±1.910±0.183 (−0.27;−0.18) 11 8 0.6 63.7±7.5 8.9±2.6 4.809±1.734±0.123 (−0.18;−0.09) 11 9 4.6 64.1±7.1 8.9±2.6 4.459±1.658±0.165 (−0.09;0.00) 13 10 4.8 68.4±6.3 8.9±2.6 5.060±1.686±0.138 (0.00;0.09) 21 16 2.5 68.4±6.3 8.9±2.6 9.384±2.182±0.138 (0.09;0.18) 20 15 2.1 64.1±7.1 8.9±2.6 9.640±2.280±0.165 (0.18;0.27) 18 21 1.8 63.7±7.5 8.9±2.6 8.679±2.183±0.123 (0.27;0.36) 25 27 2.8 58.9±6.6 8.4±2.0 13.053±2.737±0.183 (0.36;0.45) 51 38 1.1 68.6±5.2 8.4±2.0 24.163±3.409±0.579 (0.45;0.54) 83 60 0.7 70.5±4.1 5.2±0.9 36.990±4.087±0.349 (0.54;0.63) 103 101 0.4 65.2±3.8 5.2±0.9 49.733±4.935±0.466 (0.63;0.72) 160 171 1.0 69.7±3.0 4.5±0.9 71.251±5.665±0.619 L = 36.97 pb−1 √ s = 201.75 GeV AFB = 0.763±0.029±0.028 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 19 12 2.4 69.9±3.0 4.5±0.9 4.981±1.940±0.618 (−0.63;−0.54) 13 11 3.3 66.1±3.8 5.2±0.9 3.313±1.699±0.460 (−0.54;−0.45) 10 10 3.5 71.6±4.2 5.2±0.9 2.306±1.373±0.334 (−0.45;−0.36) 4 6 3.8 70.5±5.5 8.4±2.0 −0.246±0.951±0.527 (−0.36;−0.27) 10 7 3.0 63.7±7.2 8.4±2.0 4.007±1.608±0.158 (−0.27;−0.18) 9 6 0.8 67.8±8.0 8.9±2.6 3.537±1.475±0.151 (−0.18;−0.09) 8 8 3.1 70.0±8.2 8.9±2.6 2.873±1.318±0.163 (−0.09;0.00) 10 8 5.0 74.7±7.2 8.9±2.6 3.425±1.351±0.142 (0.00;0.09) 19 13 2.1 74.7±7.2 8.9±2.6 7.876±1.906±0.142 (0.09;0.18) 18 13 2.3 70.0±8.2 8.9±2.6 8.005±1.975±0.163 (0.18;0.27) 18 20 1.6 67.8±8.0 8.9±2.6 8.269±2.054±0.151 (0.27;0.36) 22 26 2.2 63.7±7.2 8.4±2.0 10.715±2.388±0.158 (0.36;0.45) 48 36 1.1 70.5±5.5 8.4±2.0 22.123±3.218±0.527 (0.45;0.54) 81 59 0.7 71.6±4.2 5.2±0.9 35.500±3.972±0.334 (0.54;0.63) 103 101 0.4 66.1±3.8 5.2±0.9 49.042±4.866±0.460 (0.63;0.72) 160 171 1.0 69.9±3.0 4.5±0.9 71.097±5.653±0.618 L = 36.97 pb−1 √ s = 201.75 GeV AFB = 0.796±0.027±0.037 TAB. B18 – Asymétrie √ s = 202 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 113. 119 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 31 24 3.2 71.9±2.2 4.5±0.9 3.732±1.322±0.660 (−0.63;−0.54) 18 20 1.8 67.3±3.0 5.2±0.9 2.111±1.104±0.430 (−0.54;−0.45) 11 14 1.7 64.3±3.7 5.2±0.9 1.201±0.906±0.305 (−0.45;−0.36) 15 14 0.5 67.1±4.3 8.4±2.0 2.310±1.070±0.386 (−0.36;−0.27) 12 12 6.6 64.1±5.0 8.4±2.0 1.691±0.943±0.338 (−0.27;−0.18) 19 16 2.3 60.9±5.6 8.9±2.6 4.695±1.296±0.131 (−0.18;−0.09) 19 17 6.8 53.2±5.9 8.9±2.6 5.166±1.416±0.130 (−0.09;0.00) 20 21 1.5 59.6±5.8 8.9±2.6 5.338±1.366±0.052 (0.00;0.09) 25 24 1.9 59.6±5.8 8.9±2.6 6.973±1.519±0.052 (0.09;0.18) 29 24 1.9 53.2±5.9 8.9±2.6 9.236±1.831±0.130 (0.18;0.27) 32 36 3.1 60.9±5.6 8.9±2.6 8.818±1.660±0.131 (0.27;0.36) 58 51 1.4 64.1±5.0 8.4±2.0 16.013±2.143±0.338 (0.36;0.45) 71 71 1.5 67.1±4.3 8.4±2.0 18.678±2.263±0.386 (0.45;0.54) 117 105 1.0 64.3±3.7 5.2±0.9 31.505±2.928±0.305 (0.54;0.63) 174 174 0.6 67.3±3.0 5.2±0.9 44.902±3.424±0.430 (0.63;0.72) 313 280 1.6 71.9±2.2 4.5±0.9 74.393±4.225±0.660 L = 66.91 pb−1 √ s = 204.91 GeV AFB = 0.778±0.022±0.025 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 31 24 3.2 72.2±2.2 4.5±0.9 3.714±1.316±0.657 (−0.63;−0.54) 18 20 1.8 68.0±3.0 5.2±0.9 2.090±1.093±0.426 (−0.54;−0.45) 11 13 1.8 65.2±3.7 5.2±0.9 1.228±0.892±0.292 (−0.45;−0.36) 13 14 0.5 71.4±4.4 8.4±2.0 1.709±0.939±0.363 (−0.36;−0.27) 10 11 6.8 65.8±5.3 8.4±2.0 1.230±0.841±0.314 (−0.27;−0.18) 18 15 1.9 65.3±6.2 8.9±2.6 4.283±1.180±0.074 (−0.18;−0.09) 19 15 5.1 59.8±6.4 8.9±2.6 4.784±1.281±0.080 (−0.09;0.00) 12 18 1.5 67.5±6.9 8.9±2.6 2.652±0.939±0.093 (0.00;0.09) 22 20 2.0 67.5±6.9 8.9±2.6 5.568±1.257±0.093 (0.09;0.18) 26 22 2.1 59.8±6.4 8.9±2.6 7.283±1.539±0.080 (0.18;0.27) 26 35 3.2 65.3±6.2 8.9±2.6 6.606±1.395±0.074 (0.27;0.36) 54 47 1.5 65.8±5.3 8.4±2.0 14.554±2.015±0.314 (0.36;0.45) 69 69 1.5 71.4±4.4 8.4±2.0 17.099±2.097±0.363 (0.45;0.54) 114 104 1.1 65.2±3.7 5.2±0.9 30.247±2.848±0.292 (0.54;0.63) 174 174 0.6 68.0±3.0 5.2±0.9 44.457±3.390±0.426 (0.63;0.72) 313 280 1.6 72.2±2.2 4.5±0.9 74.033±4.204±0.657 L = 66.91 pb−1 √ s = 204.91 GeV AFB = 0.804±0.021±0.032 TAB. B19 – Asymétrie √ s = 205 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 114. 120 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 31 43 1.5 68.8±2.2 4.5±0.9 0.784±0.772±0.667 (−0.63;−0.54) 32 36 1.9 70.2±2.7 5.2±0.9 1.976±0.769±0.397 (−0.54;−0.45) 26 27 1.7 66.2±3.4 5.2±0.9 2.081±0.735±0.271 (−0.45;−0.36) 33 30 0.4 66.3±4.0 8.4±2.0 2.881±0.876±0.448 (−0.36;−0.27) 36 26 5.5 63.7±4.6 8.4±2.0 4.031±0.899±0.225 (−0.27;−0.18) 24 22 3.1 63.2±5.4 8.9±2.6 2.744±0.762±0.210 (−0.18;−0.09) 27 26 6.8 63.6±6.0 8.9±2.6 3.307±0.770±0.099 (−0.09;0.00) 33 26 2.3 53.4±6.1 8.9±2.6 5.400±1.061±0.025 (0.00;0.09) 37 34 2.5 53.4±6.1 8.9±2.6 6.191±1.120±0.025 (0.09;0.18) 44 43 2.0 63.6±6.0 8.9±2.6 6.420±1.029±0.099 (0.18;0.27) 63 73 2.9 63.2±5.4 8.9±2.6 9.347±1.225±0.210 (0.27;0.36) 91 108 1.2 63.7±4.6 8.4±2.0 13.591±1.479±0.225 (0.36;0.45) 151 123 1.6 66.3±4.0 8.4±2.0 21.887±1.820±0.448 (0.45;0.54) 205 194 1.4 66.2±3.4 5.2±0.9 29.046±2.043±0.271 (0.54;0.63) 308 323 0.8 70.2±2.7 5.2±0.9 41.467±2.377±0.397 (0.63;0.72) 531 509 1.4 68.8±2.2 4.5±0.9 72.145±3.140±0.667 L = 122.69 pb−1 √ s = 206.47 GeV AFB = 0.792±0.016±0.020 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 31 43 1.5 69.1±2.2 4.5±0.9 0.782±0.770±0.665 (−0.63;−0.54) 32 36 1.9 70.8±2.7 5.2±0.9 1.956±0.764±0.395 (−0.54;−0.45) 25 27 1.7 67.5±3.5 5.2±0.9 1.928±0.707±0.263 (−0.45;−0.36) 31 28 0.5 70.4±4.0 8.4±2.0 2.521±0.800±0.404 (−0.36;−0.27) 34 25 5.9 66.4±4.7 8.4±2.0 3.648±0.835±0.201 (−0.27;−0.18) 22 21 2.5 68.8±5.7 8.9±2.6 2.384±0.675±0.158 (−0.18;−0.09) 24 23 4.6 69.7±6.4 8.9±2.6 2.747±0.678±0.082 (−0.09;0.00) 29 23 2.1 57.0±6.7 8.9±2.6 4.496±0.933±0.006 (0.00;0.09) 30 32 2.3 57.0±6.7 8.9±2.6 4.673±0.946±0.006 (0.09;0.18) 40 38 2.2 69.7±6.4 8.9±2.6 5.309±0.893±0.082 (0.18;0.27) 54 70 2.9 68.8±5.7 8.9±2.6 7.346±1.043±0.158 (0.27;0.36) 85 101 1.3 66.4±4.7 8.4±2.0 12.166±1.370±0.201 (0.36;0.45) 144 119 1.6 70.4±4.0 8.4±2.0 19.654±1.673±0.404 (0.45;0.54) 201 189 1.1 67.5±3.5 5.2±0.9 28.064±1.994±0.263 (0.54;0.63) 308 321 0.6 70.8±2.7 5.2±0.9 41.260±2.365±0.395 (0.63;0.72) 531 509 1.4 69.1±2.2 4.5±0.9 71.928±3.130±0.665 L = 122.69 pb−1 √ s = 206.47 GeV AFB = 0.806±0.016±0.006 TAB. B20 – Asymétrie √ s = 206 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 115. 121 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 2 2 1.5 78.2±4.6 4.5±0.9 0.272±2.686±0.674 (−0.63;−0.54) 4 2 1.9 60.2±9.2 5.2±0.9 8.076±4.876±0.209 (−0.54;−0.45) 1 1 1.7 59.0±10.0 5.2±0.9 0.828±2.527±0.290 (−0.45;−0.36) 1 1 0.4 57.8±10.6 8.4±2.0 −0.006±2.789±0.679 (−0.36;−0.27) 3 1 5.5 47.3±16.8 8.4±2.0 8.991±5.372±0.156 (−0.27;−0.18) 1 1 3.1 59.4±19.4 8.9±2.6 2.044±2.564±0.089 (−0.18;−0.09) 2 1 6.8 53.1±15.3 8.9±2.6 4.629±3.898±0.111 (−0.09;0.00) 2 1 2.3 74.8±3.8 8.9±2.6 3.874±2.886±0.071 (0.00;0.09) 1 2 2.5 74.8±3.8 8.9±2.6 1.635±2.051±0.071 (0.09;0.18) 3 2 2.0 53.1±15.3 8.9±2.6 8.099±4.998±0.111 (0.18;0.27) 2 4 2.9 59.4±19.4 8.9±2.6 4.844±3.609±0.089 (0.27;0.36) 1 6 1.2 47.3±16.8 8.4±2.0 2.381±3.275±0.156 (0.36;0.45) 11 7 1.6 57.8±10.6 8.4±2.0 28.781±8.755±0.679 (0.45;0.54) 12 12 1.4 59.0±10.0 5.2±0.9 29.704±8.616±0.290 (0.54;0.63) 12 20 0.8 60.2±9.2 5.2±0.9 28.898±8.502±0.209 (0.63;0.72) 39 32 1.4 78.2±4.6 4.5±0.9 72.427±11.626±0.674 L = 7.90 pb−1 √ s = 208.01 GeV AFB = 0.721±0.076±0.023 Bin Ndata Nattendu bf (%) ε (%) c.c. (%) dσ d cosθ ( pb) (−0.72;−0.63) 2 2 1.5 78.5±4.7 4.5±0.9 0.271±2.678±0.672 (−0.63;−0.54) 4 2 1.9 60.7±9.3 5.2±0.9 8.013±4.840±0.209 (−0.54;−0.45) 1 1 1.7 63.5±10.0 5.2±0.9 0.764±2.350±0.271 (−0.45;−0.36) 1 1 0.5 59.2±11.4 8.4±2.0 0.232±2.710±0.596 (−0.36;−0.27) 3 1 5.9 48.4±17.2 8.4±2.0 8.741±5.223±0.151 (−0.27;−0.18) 1 1 2.5 57.9±25.4 8.9±2.6 2.368±2.634±0.000 (−0.18;−0.09) 1 1 4.6 55.2±18.3 8.9±2.6 1.887±2.733±0.195 (−0.09;0.00) 1 1 2.1 81.1±3.8 8.9±2.6 1.697±1.889±0.000 (0.00;0.09) 1 2 2.3 81.1±3.8 8.9±2.6 1.693±1.885±0.000 (0.09;0.18) 3 2 2.2 55.2±18.3 8.9±2.6 8.021±4.789±0.195 (0.18;0.27) 1 4 2.9 57.9±25.4 8.9±2.6 2.357±2.624±0.000 (0.27;0.36) 1 6 1.3 48.4±17.2 8.4±2.0 2.324±3.193±0.151 (0.36;0.45) 10 7 1.6 59.2±11.4 8.4±2.0 25.490±8.140±0.596 (0.45;0.54) 12 12 1.1 63.5±10.0 5.2±0.9 27.725±8.041±0.271 (0.54;0.63) 12 20 0.6 60.7±9.3 5.2±0.9 28.755±8.459±0.209 (0.63;0.72) 39 32 1.4 78.5±4.7 4.5±0.9 72.209±11.591±0.672 L = 7.90 pb−1 √ s = 208.01 GeV AFB = 0.751±0.073±0.022 TAB. B21 – Asymétrie √ s = 208 GeV. ξ < 120◦ : tableau du haut, ξ < 25◦ : tableau du bas
  • 116. 122 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE 189 GeV 0 20 40 60 80 100 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.785 ± 0.012 ± 0.016 0 2 4 6 8 10 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 14.5 / 12 ¢ 192 GeV 0 20 40 60 80 100 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.844 ± 0.026 ± 0.008 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 8.7 / 12 ¢ 196 GeV 0 20 40 60 80 100 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.777 ± 0.018 ± 0.03 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 12.3 / 12 ¢ 200 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.8 ± 0.018 ± 0.069 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 12.4 / 12 ¢ FIG. B54 – Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 189 GeV à 200 GeV à ξ < 120◦
  • 117. 123 202 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.763 ± 0.029 ± 0.028 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 16.6 / 12 ¢ 204 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.778 ± 0.022 ± 0.025 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 7 / 12 ¢ 206 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.792 ± 0.016 ± 0.02 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 9 / 12 ¢ 208 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.721 ± 0.076 ± 0.023 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 26.7 / 12 ¢ FIG. B55 – Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 202 GeV à 208 GeV à ξ < 120◦
  • 118. 124 V. ANNEXE B : ASYMÉTRIE 189 GeV 0 20 40 60 80 100 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.816 ± 0.012 ± 0.015 -2 0 2 4 6 8 10 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 18 / 12 ¢ 192 GeV 0 20 40 60 80 100 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.869 ± 0.025 ± 0.025 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 10.6 / 12 ¢ 196 GeV 0 20 40 60 80 100 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.795 ± 0.018 ± 0.011 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 15.5 / 12 ¢ 200 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.814 ± 0.018 ± 0.066 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 15.6 / 12 ¢ FIG. B56 – Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 189 GeV à 200 GeV à ξ < 120◦
  • 119. 125 202 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.796 ± 0.027 ± 0.037 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 14.6 / 12 ¢ 204 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.804 ± 0.021 ± 0.032 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 9 / 12 ¢ 206 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.806 ± 0.016 ± 0.006 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 10.2 / 12 ¢ 208 GeV 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ dσ/dcosθ ⋅ (pb) Data Theorie Asymetrie = 0.751 ± 0.073 ± 0.022 -15 -10 -5 0 5 10 15 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 cos   θ ⋅ Donnee-Theorie(pb) Data Theorie χ ¡ 2 /d.o.f. = 28.4 / 12 ¢ FIG. B57 – Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 202 GeV à 208 GeV à ξ < 120◦
  • 120. Annexe C : Section efficace différentielle – Détails numériques C22-C29 (pp.128-C29) – Systématiques C30-C33 (pp.136-C33) – Graphiques C58-C59 (pp.139-C59) 127
  • 121. 128 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.052194152.98.698.2−12.8±0.9±0.310.42.6 0.09−0.180.138163185.86.898.6−10.9±0.9±0.211.3−0.5 0.18−0.270.227209220.56.3100.0−13.9±1.0±0.113.40.5 0.27−0.360.317241264.15.499.5−16.3±1.0±0.117.1−0.8 0.36−0.450.407364334.64.399.6−24.8±1.3±0.223.70.9 0.45−0.540.497503467.23.499.5−34.7±1.5±0.535.3−0.4 0.54−0.630.588810792.42.296.9−58.1±2.0±1.457.70.2 0.63−0.720.67812761157.01.280.4100.0111.5±3.1±3.0105.81.8 0.72−0.810.770157160.72.34.8−226.2±18.1±20.1232.2−0.3 0.81−0.900.86276527800.31.972.7−732.9±8.4±7.2735.9−0.4 L=156.396pb−1 dσ=111.8±1.8±1.9111.90.0 TAB.C22–Analyseà √ s=189GeV Le−danslacolonneεtrigsignifiequ’iln’yapaseutd’événementquipuissepermettred’estimer laprésenced’uneinefficacité.Le100.0signifiequ’ilyaeuaumoinsunévénementprovenant d’uneinefficacité,maisl’arrondidonne100.0.
  • 122. 129 BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.0522426.06.797.6−9.3±1.9±0.210.1−0.4 0.09−0.180.1382627.86.796.4−10.2±2.0±0.211.0−0.4 0.18−0.270.2273036.05.899.4−11.5±2.1±0.113.0−0.7 0.27−0.360.3173739.16.497.9−14.3±2.4±0.216.6−1.0 0.36−0.450.4076062.34.798.0−23.6±3.0±0.322.90.2 0.45−0.540.4977886.73.698.4−30.9±3.5±0.434.2−0.9 0.54−0.630.588151132.52.597.4−61.2±5.0±1.455.91.1 0.63−0.720.678220203.41.380.3−109.4±7.4±2.9102.60.9 0.72−0.810.7702427.93.05.0−188.8±38.5±16.0225.1−0.9 0.81−0.900.86213061309.91.973.0100.0710.4±19.7±6.9713.5−0.2 L=27.459pb−1 dσ=105.3±4.0±1.6108.4−0.7 TAB.C23–Analyseà √ s=192GeV
  • 123. 130 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.0526981.88.099.1−8.6±1.0±0.29.6−1.0 0.09−0.180.1388293.37.397.1−10.5±1.2±0.210.50.0 0.18−0.270.2279494.86.298.9−12.0±1.2±0.112.4−0.3 0.27−0.360.317138113.64.997.7−18.0±1.5±0.215.91.4 0.36−0.450.407159166.64.698.7−20.6±1.6±0.221.9−0.8 0.45−0.540.497247249.33.499.0−32.4±2.1±0.432.8−0.2 0.54−0.630.588379391.42.397.4−51.1±2.6±1.253.6−1.0 0.63−0.720.678617612.01.082.5−99.5±4.0±2.598.50.3 0.72−0.810.7707777.42.74.9−203.8±23.2±14.0216.2−0.5 0.81−0.900.86237593790.71.972.7−681.1±11.1±6.0685.1−0.4 L=82.715pb−1 dσ=102.4±2.4±1.4104.1−0.6 TAB.C24–Analyseà √ s=196GeV
  • 124. 131 BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.0528372.310.996.3−10.3±1.1±0.29.21.0 0.09−0.180.1387875.89.796.8−9.8±1.1±0.210.0−0.2 0.18−0.270.2279397.05.397.0−12.2±1.3±0.211.90.3 0.27−0.360.317111115.45.795.7−14.7±1.4±0.215.2−0.4 0.36−0.450.407154166.45.098.2−20.0±1.6±0.221.0−0.6 0.45−0.540.497211238.13.897.3−28.0±1.9±0.431.5−1.8 0.54−0.630.588355376.82.194.6−49.4±2.6±1.151.5−0.8 0.63−0.720.678588575.30.979.2100.098.9±4.1±2.594.61.1 0.72−0.810.7707464.35.24.1−232.7±27.1±16.9207.70.9 0.81−0.900.86235743554.62.171.4−659.2±11.0±5.8658.40.1 L=82.640pb−1 dσ=102.2±2.7±1.6100.00.7 TAB.C25–Analyseà √ s=200GeV
  • 125. 132 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.0524036.38.6100.0−11.0±1.7±0.29.01.1 0.09−0.180.1384033.88.699.4−11.1±1.7±0.29.80.7 0.18−0.270.2274241.46.399.0−11.9±1.8±0.111.60.2 0.27−0.360.3175153.55.997.1−14.8±2.1±0.214.90.0 0.36−0.450.4077370.04.698.6−21.2±2.5±0.220.60.2 0.45−0.540.497126104.83.798.0−37.2±3.3±0.530.91.9 0.54−0.630.588185168.02.297.9−55.5±4.1±1.350.51.2 0.63−0.720.678255260.01.182.9−91.4±5.7±2.392.7−0.2 0.72−0.810.7704031.93.34.6−250.3±39.6±19.7203.71.2 0.81−0.900.86215001616.02.172.7−607.2±15.7±5.6645.7−2.5 L=36.971pb−1 dσ=100.1±3.9±1.998.00.5 TAB.C26–Analyseà √ s=202GeV
  • 126. 133 BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.0525460.36.596.3−8.7±1.2±0.28.8−0.1 0.09−0.180.1388459.09.398.0−12.9±1.4±0.29.62.3 0.18−0.270.2277877.05.999.1100.012.3±1.4±0.111.40.7 0.27−0.360.31710391.56.898.7−16.2±1.6±0.214.61.0 0.36−0.450.407124126.14.199.0−20.0±1.8±0.220.2−0.1 0.45−0.540.497193175.33.497.5−31.8±2.3±0.530.20.7 0.54−0.630.588286282.92.596.6−47.9±2.8±1.149.5−0.5 0.63−0.720.678461441.81.381.2100.093.1±4.3±2.390.90.5 0.72−0.810.7707356.82.74.7−248.7±29.1±15.9199.71.7 0.81−0.900.86227812793.72.072.5100.0624.4±11.8±5.4633.3−0.7 L=66.908pb−1 dσ=100.4±2.9±1.596.11.3 TAB.C27–Analyseà √ s=205GeV
  • 127. 134 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.05210789.38.099.1100.09.0±0.9±0.28.60.4 0.09−0.180.13810599.89.798.3−8.7±0.9±0.29.4−0.8 0.18−0.270.227119131.66.397.599.910.4±0.9±0.211.2−0.8 0.27−0.360.317194187.66.198.399.916.8±1.2±0.214.32.1 0.36−0.450.407261217.24.397.8100.023.1±1.4±0.319.82.3 0.45−0.540.497330319.63.698.0100.029.4±1.6±0.429.7−0.1 0.54−0.630.588495518.92.598.3100.044.5±2.0±1.048.5−2.0 0.63−0.720.678813782.91.280.8100.090.1±3.2±2.489.20.3 0.72−0.810.77093105.51.94.999.9168.1±17.4±14.7195.9−1.6 0.81−0.900.86248425057.31.872.199.3600.9±8.6±5.9621.2−2.4 L=122.691pb−1 dσ=90.1±1.8±1.494.3−1.8 TAB.C28–Analyseà √ s=206GeV
  • 128. 135 BincosθNdataNattendubf(%)ε(%)εtrig(%)dσ dcosθ(pb)BHWIDEPull 0.00−0.090.05235.88.099.1−3.9±2.3±0.18.5−2.0 0.09−0.180.13886.49.798.3−10.3±3.7±0.29.20.3 0.18−0.270.22748.56.397.5−5.4±2.7±0.110.9−2.0 0.27−0.360.3171012.16.198.3−13.4±4.3±0.214.0−0.1 0.36−0.450.4071714.04.397.8−23.4±5.7±0.319.40.7 0.45−0.540.4971920.63.698.0−26.3±6.0±0.429.1−0.5 0.54−0.630.5882733.42.598.3−37.6±7.2±0.947.6−1.4 0.63−0.720.6784950.41.280.8−84.3±12.0±2.387.5−0.3 0.72−0.810.770106.81.94.9−280.4±88.7±24.5192.21.0 0.81−0.900.862290325.61.872.199.6557.6±32.7±5.5609.5−1.6 L=7.900pb−1 dσ=93.8±8.7±2.392.50.1 TAB.C29–Analyseà √ s=208GeV
  • 129. 136 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE Colonne189GeV192GeV196GeV200GeV202GeV204GeV206GeV208GeVTous 11.937.411.019.318.026.41.869.910.2 27.117.616.74.837.734.120.960.711.7 317.67.811.310.453.025.218.513.04.1 41.437.610.89.224.49.85.136.84.2 51.46.78.08.11.72.14.212.44.2 63.326.20.28.98.80.68.17.51.3 73.22.40.54.55.11.92.421.81.3 83.36.72.00.06.12.11.010.30.5 90.88.056.55.339.617.319.62.521.6 100.01.40.40.71.80.20.13.10.2 TAB.C30–ErreurssystématiquessurlacoupureE1/Ebeam.
  • 130. 137 Colonne189GeV192GeV196GeV200GeV202GeV204GeV206GeV208GeVTous 114.631.043.62.230.30.917.2125.213.5 29.786.75.810.839.324.711.3137.77.5 377.10.13.816.250.121.17.215.85.8 454.319.81.65.221.87.13.528.56.6 582.915.91.23.919.05.83.885.22.7 62.48.311.95.34.63.013.413.411.0 721.58.58.05.215.91.51.518.821.3 852.81.60.36.71.11.04.57.623.0 90.44.29.714.520.910.82.533.81.8 1050.40.43.72.60.80.23.12.56.6 TAB.C31–ErreurssystématiquessurlacoupureE2.
  • 131. 138 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE Colonne189GeV192GeV196GeV200GeV202GeV204GeV206GeV208GeVTous 16.30.02.94.20.038.710.010.08.3 20.20.20.00.41.51.41.53.10.6 30.51.50.00.01.42.62.72.70.2 40.30.00.00.21.92.30.04.10.4 50.60.00.57.60.118.80.00.06.9 60.81.31.40.60.511.94.20.03.7 71.90.50.50.07.414.40.50.85.0 83.20.01.12.40.20.51.21.40.2 90.60.00.00.00.00.00.00.05.7 101.814.20.611.10.21.50.81.23.9 TAB.C32–ErreurssystématiquessurlacoupureRhits.
  • 132. 139 189 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 111.8 ± 1.84 pb -1 σBHWIDE ¡ = 112.37 pb -1 Pull = -0.3 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE 192 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 105.27 ± 4.01 pb -1 σBHWIDE ¡ = 108.17 pb -1 Pull = -0.71 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE 196 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 102.38 ± 2.38 pb -1 σBHWIDE ¡ = 103.59 pb -1 Pull = -0.5 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE 200 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 102.18 ± 2.68 pb -1 σBHWIDE ¡ = 99.98 pb -1 Pull = 0.82 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE FIG. C58 – Section efficace en fonction de |cos ˙θ| pour √ s = 189 GeV à 200 GeV
  • 133. 140 V. ANNEXE C : SECTION EFFICACE DIFFÉRENTIELLE 202 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 100.06 ± 3.92 pb -1 σBHWIDE ¡ = 99.03 pb -1 Pull = 0.26 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE 204 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 100.43 ± 2.89 pb -1 σBHWIDE ¡ = 94.96 pb -1 Pull = 1.89 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE 206 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 90.1 ± 1.8 pb -1 σBHWIDE ¡ = 93.59 pb -1 Pull = -1.93 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE 208 GeV 10 10 2 10 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  dσ/dcosθ ⋅ (pb) σ = 93.85 ± 8.65 pb -1 σBHWIDE ¡ = 93.59 pb -1 Pull = 0.03 cosθ ⋅  < 0.9 12° < θ1,2 < 168° ξ < 25° 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos   θ ⋅  Données/Théorie(pb) BHWIDE FIG. C59 – Section efficace en fonction de |cos ˙θ| pour √ s = 202 GeV à 208 GeV
  • 134. 141 Colonne189GeV192GeV196GeV200GeV202GeV204GeV206GeV208GeVTous 116.148.645.119.935.246.820.0143.818.8 212.088.517.711.954.542.123.8150.514.0 379.17.912.019.372.932.920.020.67.2 454.342.510.910.632.712.46.246.87.8 582.917.38.111.819.119.85.686.18.5 64.227.512.010.39.912.316.215.411.7 721.88.98.16.918.314.62.928.821.9 853.06.92.37.16.22.44.712.923.0 91.19.057.315.444.820.419.833.922.4 1050.514.33.711.52.01.53.24.27.7 TAB.C33–Erreurssystématiquestotales.
  • 135. Annexe D : Calculs Mathematica Voici une explication des calculs Mathematica qui permettent d’obtenir les sections efficaces de la diffusion Bhabha, ainsi que les facteurs de corrections Tij. 1. Initialisation du système On commence par charger les routines HIP et on prépare les quadri-vecteurs, ainsi que les indices. <</afs/cern.ch/user/d/deglon/public/These/Mathematica/HIP/work.m SetMandelstam[{p1,p2,p3,p4},{0,0,0,0},s,t,u] PrepareIndex[mu,nu,rho] 2. Diagrammes de Feynman On définit les vertex et le propagateur dans leur forme souhaitée. Sigma[mu_,nu_]:= I/2 (DiracGamma[mu]**DiracGamma[nu]-DiracGamma[nu]**DiracGamma[mu]) VertexG[q_,mu_]:= 2I Sqrt[Alpha Pi](DiracGamma[mu]F[DotProduct[q,q]]+ I K Contract[Sigma[mu,rho] q[rho],rho]) VertexZ[q_, mu_]:= -I 2 Sqrt[ AlphaZ Pi] (F[DotProduct[q,q]]rV DiracGamma[mu]+ I K rV Contract[Sigma[mu,rho] q[rho],rho] - F[DotProduct[q,q]]DiracGamma[mu]**DiracGamma5) PropagatorZ[q_,mu_, nu_]:=(-I(G[mu,nu]-(q[mu]q[nu])/M^2)) /(DotProduct[q,q]-M^2+I L M) On prépare aussi quelques variables et fonctions réelles. F/:Conjugate[F[x_]]=F[x]; rV/:Conjugate[rV]=rV; AlphaZ/:Conjugate[AlphaZ]=AlphaZ; M/:Conjugate[M]=M; 143
  • 136. 144 V. ANNEXE D : CALCULS MATHEMATICA L/:Conjugate[L]=L; K/:Conjugate[K]=K; Enfin, on définit les quatre amplitudes, puis on contracte quelques indices pour simplifier les notations. Ma0=SpinorVbar[p2]**VertexG[p1+p2,mu]**SpinorU[p1]* Propagator[{Photon,p1+p2,mu,nu}]* SpinorUbar[p3]**VertexG[p1+p2,nu]**SpinorV[p4]; Mb0=-SpinorUbar[p3]**VertexG[p1-p3,mu]**SpinorU[p1]* Propagator[{Photon,p1-p3,mu,nu}]* SpinorVbar[p2]**VertexG[p1-p3,nu]**SpinorV[p4]; Mc0=SpinorVbar[p2]**VertexZ[p1+p2,mu]**SpinorU[p1]*PropagatorZ[p1+p2,mu,nu]* SpinorUbar[p3]**VertexZ[p1+p2,nu]**SpinorV[p4]; Md0=-SpinorUbar[p3]**VertexZ[p1-p3,mu]**SpinorU[p1]*PropagatorZ[p1-p3,mu,nu]* SpinorVbar[p2]**VertexZ[p1-p3,nu]**SpinorV[p4]; mySimplify0[v_]:= FullSimplify[Contract[ExpandAll[NonCommutativeExpand[v]],{nu,mu}]]; Ma=mySimplify0[Ma0]; Mb=mySimplify0[Mb0]; Mc=mySimplify0[Mc0]; Md=mySimplify0[Md0]; 3. Amplitudes invariantes carrées On multiplie toutes les paires d’amplitudes, puis on effectue quelques sim- plifications. mySimplify1[v_]:=Contract[AbsSquared[v], {mu,nu,Conjugate[mu],Conjugate[nu]}]/4 Masq=mySimplify1[Ma]; Mbsq=mySimplify1[Mb]; Mcsq=mySimplify1[Mc]; Mdsq=mySimplify1[Md]; Mabsq=mySimplify1[Ma+Mb]; Macsq=mySimplify1[Ma+Mc]; Madsq=mySimplify1[Ma+Md]; Mbcsq=mySimplify1[Mb+Mc]; Mbdsq=mySimplify1[Mb+Md]; Mcdsq=mySimplify1[Mc+Md];
  • 137. 4. CHANGEMENT DE VARIABLES ET FORME FINALE 145 MatAA=FullSimplify[Masq] MatAB=FullSimplify[Mabsq-Masq-Mbsq] MatAC=FullSimplify[Macsq-Masq-Mcsq] MatAD=FullSimplify[Madsq-Masq-Mdsq] MatBB=FullSimplify[Mbsq] MatBC=FullSimplify[Mbcsq-Mbsq-Mcsq] MatBD=FullSimplify[Mbdsq-Mbsq-Mdsq] MatCC=FullSimplify[Mcsq] MatCD=FullSimplify[Mcdsq-Mcsq-Mdsq] MatDD=FullSimplify[Mdsq] Enfin, on définit les amplitudes invariantes carrées dans le cadre du MS (K = 0) et (F = 1). Rule3={K->0,F[t]->1,F[s]->1}; MatAA0=MatAA/.Rule3; MatBB0=MatBB/.Rule3; MatCC0=MatCC/.Rule3; MatDD0=MatDD/.Rule3; MatAB0=MatAB/.Rule3; MatAC0=MatAC/.Rule3; MatAD0=MatAD/.Rule3; MatBC0=MatBC/.Rule3; MatBD0=MatBD/.Rule3; MatCD0=MatCD/.Rule3; 4. Changement de variables et forme finale On passe des variables de Mandelstam aux variables s et cosθ. Quelques simplifications sont effectuées pour obtenir une forme finale traditionnelle en (1−cosθ)2 , (1+cosθ)2 , etc. Rule2={t-> -s(1-c)/2 ,u-> -s(1+c)/2,Eps[p1,p2,p3,p4]->0}; simplify2[v_]:=Module[{var,list,depth,list2,imin,poly}, var={ {(1-c)^2,(1+c)^2,(1-c^2),(1+c^2)}, {(1+c)^2,(1-c)^2,(1+c^2),(1-c^2)}, {(1-c^2),(1+c^2),(1-c)^2,(1+c)^2}, {(1+c^2),(1-c^2),(1+c)^2,(1-c)^2} };
  • 138. 146 V. ANNEXE D : CALCULS MATHEMATICA f[l_]:=PolynomialReduce[v,l]; g[l_]:=Position[l,c]; list=Map[f,var]; depth=Last/@Dimensions/@g/@Last/@list; min=Min[depth]; poly=0; Do[ If[min[Equal]Last[Dimensions[g[Last[list[[i]]]]]], imin=i, ] ,{i,Dimensions[depth][[1]]}]; list2=var[[imin]] list[[imin]][[1]]; poly=list2[[1]]+list2[[2]]+list2[[3]]+list2[[4]]+list[[imin]][[2]]; FullSimplify[poly,ExcludedForms->var[[1]]] ]; mySimplify2[v_]:=Module[{t1,t2}, t1=simplify2[Numerator[v]]; t2=simplify2[Denominator[v]]; t1/t2 ]; simplex2[v_]:=mySimplify2[ FullSimplify[ v/.(M^2-t)-> ZZZ/.F[t]->YYY/.Rule2 ]]/.ZZZ-> (M^2-t)/.YYY->F[t]; txtA="g(s)";txtB="g(t)"; txtC="Z(s)";txtD="Z(t)"; fAA=FullSimplify[simplex2[MatAA/MatAA0]]; Print[txtA,txtA,"=",fAA] fBB=FullSimplify[simplex2[MatBB/MatBB0]]; Print[txtB,txtB,"=",fBB] fCC=FullSimplify[simplex2[MatCC/MatCC0]]; Print[txtC,txtC,"=",fCC] fDD=FullSimplify[simplex2[MatDD/MatDD0]]; Print[txtD,txtD,"=",fDD] fAB=FullSimplify[simplex2[MatAB/MatAB0]]; Print[txtA,txtB,"=",fAB] fAC=FullSimplify[simplex2[MatAC/MatAC0]]; Print[txtA,txtC,"=",fAC] fAD=FullSimplify[simplex2[MatAD/MatAD0]]; Print[txtA,txtD,"=",fAD] fBC=FullSimplify[simplex2[MatBC/MatBC0]]; Print[txtB,txtC,"=",fBC] fBD=FullSimplify[simplex2[MatBD/MatBD0]]; Print[txtB,txtD,"=",fBD] fCD=FullSimplify[simplex2[MatCD/MatCD0]]; Print[txtC,txtD,"=",fCD] On exporte les résultats dans un fichier LaTeX et dans un fichier Fortran. Rule3:={M->"mZ",L-> "lZ", Alpha-> "alpha",
  • 139. 4. CHANGEMENT DE VARIABLES ET FORME FINALE 147 AlphaZ-> "alphaZ",rV->"rV"} txt:="EuScript{T}_{" stm=OpenWrite["math_sizcor.tex",FormatType->TeXForm] Write[stm,txt,txtA ,txtA, "}&=",fAA/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtB ,txtB, "}&=",fBB/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtC ,txtC, "}&=",fCC/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtD ,txtD, "}&=",fDD/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtA ,txtB, "}&=",fAB/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtA ,txtC, "}&=",fAC/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtA ,txtD, "}&=",fAD/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtB ,txtC, "}&=",fBC/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtB ,txtD, "}&=",fBD/.Rule3,""] Write[stm,txt,txtC ,txtD, "}&=",fCD/.Rule3] Close[stm] stm=OpenWrite["math_sizcor.f",FormatType->FortranForm, PageWidth -> 60] Write[stm,txtA ,txtA, "=",fAA] Write[stm,txtB ,txtB, "=",fBB] Write[stm,txtC ,txtC, "=",fCC] Write[stm,txtD ,txtD, "=",fDD] Write[stm,txtA ,txtB, "=",fAB] Write[stm,txtA ,txtC, "=",fAC] Write[stm,txtA ,txtD, "=",fAD] Write[stm,txtB ,txtC, "=",fBC] Write[stm,txtB ,txtD, "=",fBD] Write[stm,txtC ,txtD, "=",fCD] Close[stm]
  • 140. Table des figures 1 Potentiel de Higgs 13 2 Photo de Homi J. Bhabha 17 3 Diagramme de Feynman au niveau d’arbre pour la diffusion Bhabha 19 4 Corrections du propagateur et du vertex 22 5 Le variation de la constante de couplage électrofaible 26 6 Section Efficace de Born en fonction de √ s 27 7 Interférence entre l’échange d’un photon et d’un boson Z. 28 8 Corrections radiatives dans l’état initial ou final 28 9 Radiateur G(z) à √ s = 198 GeV 29 10 Retour au Z 30 11 Comparaison BHWIDE et Born améliorée 32 12 Fonction de radiation à ξ < 25◦. 33 13 Test de compatibilité entre BHWIDE et IB-rad 34 14 Complexe d’accélérateurs au CERN 36 15 Coupe de l’expérience dans sa caverne 38 16 Détecteur internes de L3 40 17 Un cristal du BGO 40 18 Espacement entre le barrel et les endcaps du BGO 42 19 Coupes des détecteurs à traces de L3 43 20 Coupe représentant la TEC les chambres Z 44 21 Schéma du système Xénon 49 22 Nombre de cristaux défini comme morts par le système Xénon 50 23 S1 S9 en fonction du point d’impact x. 52 24 Acolinéarité entre les électrons. 53 25 Fonction de correction 54 149
  • 141. 150 V. TABLE DES FIGURES 26 Énergie déposée dans le BGO et la fonction Crystal Ball line shape 55 27 Coupure de sélection sur E1/Ebeam et sur E2 64 28 Coupure de sélection sur le nombre de hits 65 29 Coupure de sélection sur E1/Ebeam et sur E2 67 30 Coupure de sélection sur le nombre de hits 68 31 Efficacité du trigger TEC en fonction de l’angle θmin 70 32 Distribution azimutal d’événements et cristaux malades 71 33 Cristaux tués dans l’analyse 72 34 Principaux smearing 75 35 Différence ∆φ des angles azimutaux des deux électrons 82 36 Corrélation des variables ∆φ et ∆ρ 83 37 ∆φ en fonction de l’acoplanarité 83 38 Détermination de la charge (P) 84 39 Ajustement de la fonction f(x) 84 40 Section efficace 44◦ ≤ θ1,2 ≤ 136◦. 85 41 Asymétrie avant-arrière 44◦ ≤ θ1,2 ≤ 136◦. 86 42 Test statistique de cohérence des mesures 88 43 Section efficace différentielle en fonction de √ s pour chaque tranche de cos ˙θ . 90 44 Section efficace différentielle combinée à s . 91 45 Extraction du paramètre C 92 46 Facteurs Tij 96 47 Limite sur le rayon de l’électron 97 48 Ajustement de la structure de l’électron aux données 98 49 Limite sur l’échelle de masse de la théorie quantique des cordes gravitationnelles 99 50 Diagramme du couplage d’un graviton aux particules du MS. 100 51 Limite sur l’échelle de masse de la théorie LSG. 101 A52 Graphique N − 1 pour la section efficace 44◦ < θ < 136◦ à ξ < 25◦. 108
  • 142. 151 A53 Graphique N − 1 pour la section efficace 12◦ < θ < 168◦ à ξ < 25◦. 109 B54 Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 189 GeV à 200 GeV à ξ < 120◦ 122 B55 Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 202 GeV à 208 GeV à ξ < 120◦ 123 B56 Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 189 GeV à 200 GeV à ξ < 120◦ 124 B57 Section efficace en fonction de cos ˙θ pour √ s = 202 GeV à 208 GeV à ξ < 120◦ 125 C58 Section efficace en fonction de |cos ˙θ| pour √ s = 189 GeV à 200 GeV 139 C59 Section efficace en fonction de |cos ˙θ| pour √ s = 202 GeV à 208 GeV 140
  • 143. Liste des tableaux 1 Liste et caractéristiques des fermions 10 2 Invariances du MS 11 3 Variation de la constante de structure fine α(q2). 24 4 Paramètres des détecteurs de L3 39 5 Plages d’énergie et luminosité correspondante 57 6 Nombre attendu d’événements pour quelques énergies 62 7 Coupures pour l’analyse 63 8 Sélection additionnelle pour la détermination de la charge 80 A9 Section efficace 189 GeV ≤ √ s ≤ 210 GeV à ξ < 120◦. 106 A10 Section efficace 189 GeV ≤ √ s ≤ 210 GeV à ξ < 25◦. 107 A11 Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 12◦.110 A12 Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 20◦.110 A13 Efficacité des triggers pour tous les Bhabha à partir de 44◦.111 B14 Asymétrie √ s = 189 GeV. 114 B15 Asymétrie √ s = 192 GeV. 115 B16 Asymétrie √ s = 196 GeV. 116 B17 Asymétrie √ s = 200 GeV. 117 B18 Asymétrie √ s = 202 GeV. 118 B19 Asymétrie √ s = 205 GeV. 119 B20 Asymétrie √ s = 206 GeV. 120 B21 Asymétrie √ s = 208 GeV. 121 C22 Analyse à √ s = 189 GeV 128 C23 Analyse à √ s = 192 GeV 129 C24 Analyse à √ s = 196 GeV 130 C25 Analyse à √ s = 200 GeV 131 C26 Analyse à √ s = 202 GeV 132 153
  • 144. 154 V. LISTE DES TABLEAUX C27 Analyse à √ s = 205 GeV 133 C28 Analyse à √ s = 206 GeV 134 C29 Analyse à √ s = 208 GeV 135 C30 Erreurs systématiques sur la coupure E1/Ebeam. 136 C31 Erreurs systématiques sur la coupure E2. 137 C32 Erreurs systématiques sur la coupure Rhits. 138 C33 Erreurs systématiques totales. 141
  • 145. Bibliographie [1] W. Research, Mathematica. http ://www.wolfram.com, 4.1 ed. [2] A. Hsieh and E. Yehudai, “HIP : Symbolic high-energy physics calculations,” Comput. Phys. 6 (1992) 253–261. [3] VENUS Collaboration, T. Arima et al., “Precise measurement of Bhabha scattering at a center-of- mass energy of 57.77 GeV,” Phys. Rev. D55 (1997) 19–39. [4] H. Burkhardt et al., “Uncertainties in hadronic contribution to the QED vacuum polarization,” Z.Phys. C43 (1989) 497. [5] M. Consoli, W. Hollik, and F. Jegerlehner, “Electroweak radiative corrections for Z physics,” Tech. Rep. CERN 89-08, CERN, 1989. Presented at Workshop on Z Physics at LEP. [6] J. Field, Test of the Standard Electroweak Model at LEP. Troisième Cycle de la Physique en Suisse Romande, 1994. [7] S. Jadach, W. Placzek, and B. F. L. Ward, “BHWIDE 1.00 : O(α) YFS exponentiated Monte Carlo for Bhabha scattering at wide angles for LEP1/SLC and LEP2,” Phys. Lett. B390 (1997) 298–308, hep-ph/9608412. [8] W. Placzek, S. Jadach, M. Melles, B. F. L. Ward, and S. A. Yost, “Precision calculation of Bhabha scattering at LEP,” hep-ph/9903381. [9] I. C. Brock et al., “Luminosity measurement in the L3 detector at LEP,” Nucl. Instrum. Meth. A381 (1996) 236–266. [10] B. F. L. Ward, S. Jadach, M. Melles, and S. A. Yost, “New results on the theoretical precision of the LEP/SLC luminosity,” Phys. Lett. B450 (1999) 262–266, hep-ph/9811245. [11] L3 Collaboration, M. Acciarri et al., “Measurements of cross sections and forward-backward asymmetries at the Z resonance and determination of electroweak parameters,” Eur. Phys. J. C16 (2000) 1–40, hep-ex/0002046. [12] L3 Collaboration, M. Acciarri et al., “Measurement of hadron and lepton-pair production at 130 GeV < √ s < 189 GeV at LEP,” Phys. Lett. B479 (2000) 101–117, hep-ex/0002034. [13] L3 Collaboration, M. Acciarri et al., “Measurement of the running of the fine-structure constant,” Phys. Lett. B476 (2000) 40–48, hep-ex/0002035. [14] A. D. Martin, J. Outhwaite, and M. G. Ryskin, “A new determination of the QED coupling α(m2 z ) lets the Higgs off the hook,” Phys. Lett. B492 (2000) 69–73, hep-ph/0008078. [15] G. Kopp, D. Schaile, M. Spira, and P. M. Zerwas, “Bounds on radii and magnetic dipole moments of quarks and leptons from LEP, SLC and HERA,” Z. Phys. C65 (1995) 545–550, hep-ph/9409457. [16] F. Halzen et A. Martin, Quarks & Leptons : An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons Inc., 1984. [17] S. J. Brodsky and S. D. Drell, “The anomalous magnetic moment and limits on fermion substructure,” Phys. Rev. D22 (1980) 2236. [18] F. James and M. Roos, “’MINUIT’ a system for function minimization and analysis of the parameter errors and correlations,” Comput. Phys. Commun. 10 (1975) 343–367. 155
  • 146. 156 V. BIBLIOGRAPHIE [19] L3 Collaboration, M. Acciarri et al., “Search for manifestations of new physics in fermion pair production at LEP,” Phys. Lett. B489 (2000) 81–92, hep-ex/0005028. [20] R. S. Van Dyck, P. B. Schwinberg, and H. G. Dehmelt, “Electron magnetic moment from geonium spectra : Early experiments and background concepts,” Phys. Rev. D34 (1986) 722–736. [21] E. Accomando, I. Antoniadis, and K. Benakli, “Looking for TeV-scale strings and extra-dimensions,” Nucl. Phys. B579 (2000) 3–16, hep-ph/9912287. [22] S. Cullen, M. Perelstein, and M. E. Peskin, “TeV strings and collider probes of large extra dimensions,” Phys. Rev. D62 (2000) 055012, hep-ph/0001166. [23] G. F. Giudice, R. Rattazzi, and J. D. Wells, “Quantum gravity and extra dimensions at high-energy colliders,” Nucl. Phys. B544 (1999) 3–38, hep-ph/9811291. [24] T. G. Rizzo, “More and more indirect signals for extra dimensions at more and more colliders,” Phys. Rev. D59 (1999) 115010, hep-ph/9901209. [25] L3 Collaboration, M. Acciarri et al., “Search for extra dimensions in boson and fermion pair production in e+ e- interactions at LEP,” Phys. Lett. B470 (1999) 281–288, hep-ex/9910056.

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