1.
LABORATOIRE
DE
L'ACCÉLÉRATEUR
LINÉAIRE
IN2P3-‐CNRS
et
Université
PARIS-‐SUD
Centre
Scientifique
d'Orsay
-‐
Bât
200
-‐
B.P.
34
91898
ORSAY
Cedex
(France)
Tél.
:
+33
1
64
46
84
30
Fax
:
+33
1
64
46
85
00
Secr.
+33
1
64
46
83
12
Web
LAL
:
http://www.lal.in2p3.fr
DEPARTEMENT ACCELERATEURS
Orsay, mardi 31 août 2010
MEMO
TECHNIQUE
:
COMPTE
RENDU
:
DIVERS
: X
N°
NOTE
DPT
A
: 2010-005
N°
NOTE
R&D
Acc
:
2010-003
____________
Conception
de
l’Injecteur
et
des
Diagnostics
du
Faisceau
pour
le
projet
SuperB
______________
P. Hermes
______________
Diffusion : Chercheurs et Ingénieurs DPT ACC
2. Conception de l’Injecteur et des
Diagnostics du Faisceau pour le projet
SuperB
Rapport de Stage de L3
Effectu´e
Sous la Direction de Alessandro Variola
Laboratoire de l’Acc´el´erateur Lin´eaire
Universit´e Paris Sud XI
Orsay
Pascal Dominik Hermes
Juillet 2010
6. 1
1 Introduction
Le projet SuperB est un acc´el´erateur asym´etrique d’´electrons (e−) et positrons (e+) qui
sera r´ealis´e `a Frascati en Italie, destin´e `a la production de m´esons B. L’avantage de cette
machine sera la grande luminosit´e de 1036cm−2 s−1 [1], 50 `a 100 fois plus grande que celle
des meilleures machines actuelles, notamment PEP-II et KEKB( [2],[3]). Le grand nombre
de m´esons B obtenus par les collisions, va permettre d’´etudier la violation de la sym´etrie
mati`ere-antimati`ere et la physique associ´ee.
Le Service d’´Etude et R´ealisation des Acc´el´erateurs (SERA) du laboratoire de
l’acc´el´erateur lin´eaire, situ´ee `a Orsay, est impliqu´e dans plusieurs grands projets interna-
tionaux et nationaux, parmi lesquelles SuperB. Dans ce rapport, on propose la structure
principale de l’injecteur, qui acc´el`ere les ´electrons et les positrons jusqu’`a l’´energie de col-
lision d’environ 11 GeV. Les dimensions transversales des faisceaux vont ˆetre limit´ees par
une structure p´eriodique de quadrupˆoles. La structure propos´ee va ˆetre ´evalu´ee `a partir
de trois simulations. Deux simulations r´ealis´ees sous conditions diff´erentes avec le logiciel
TRANSPORT vont permettre de tester la structure p´eriodique propos´ee. Une simulation
de la trajectoire de plusieurs particules grˆace au code Parmela permettra de visualiser la
distribution des particules dans l’espace des phases longitudinal. Avant leur injection dans
l’acc´el´erateur, les deux faisceaux doivent ˆetre adapt´es aux propri´et´es de la machine. Pour
r´ealiser ceci, on construit une ligne d’adaptation pour chaque type de particules, en utili-
sant le code TRANSPORT. La qualit´e du faisceau va ˆetre ´evalu´ee `a partir de la dispersion
en ´energie et des ´emittances transversales. On cr´ee et optimise les sections de mesure et
on effectue ensuite une simulation de la mesure en utilisant TRANSPORT (mesure de
l’´emittance) et TURTLE (mesure de la dispersion en ´energie).
2 Fondements Th´eoriques
2.1 Coordonn´ees en Physique des Acc´el´erateurs
Dans chaque acc´el´erateur de particules, il y a une trajectoire id´eale qui est d´etermin´ee par
le design de la machine. Pour un acc´el´erateur lin´eaire, cette trajectoire est une droite, qui
passe par le centre des ´el´ements (un ´el´ement de l’optique est par exemple un quadrupˆole ou
un espace de glissement). La particule qui se d´eplace exactement le long de la trajectoire
id´eale s’appelle particule de r´ef´erence et sa position longitudinale, exprim´ee en coordonn´ees
du laboratoire, est not´ee s. Dans l’espace des phases, chaque particule est d´ecrite par six
coordonn´ees, indiquant la position et impulsion dans chaque direction de l’espace. En vue
de faciliter les calculs, on utilise un syst`eme de coordonn´ees dont le centre se d´eplace comme
7. 2 2 FONDEMENTS TH´EORIQUES
la particule de r´ef´erence. Chaque particule est d´ecrite par son d´ecalage et son impulsion
relative, par rapport `a la particule de r´ef´erence. Le syst`eme (x, y, s) est cart´esien, o`u s est
la direction de mouvement et x et y les deux directions transversales. Dans les directions
transversales, chaque particule est d´ecrite par le vecteur r = (x, x , y, y )T
, o`u x = dx
ds et
y = dy
ds . Les grandeurs x et y sont exprim´ees en mm, x et y en mrad.
Consid´erons une particule d´ecrite dans la direction horizontale par x(0) = (x(0), x (0))T
sur la position s = 0. Apr`es le passage dans un ´el´ement de longueur l, le vecteur de la
particule sera x(l). Au premier ordre, la transformation entre s = 0 et s = l peut ˆetre
approxim´ee par une matrice 2 × 2, R(l), appel´ee matrice de transfert, d’o`u le vecteur x(l)
est obtenu par le produit x(l) = R(l) x(0). Pour une direction particuli`ere, on ´ecrit de
mani`ere g´en´erale : R =
S C
S C
. S’il y a plusieurs ´el´ements i = 1, ..., n, de longueurs
respectives li = l1, ..., ln et avec des matrices de transfert Ri = R1, ..., Rn, la transformation
totale pour le passage de l’´el´ement 1 jusqu’`a n, sera le produit des matrices de transfert
de chaque ´el´ement : Rtot ( n
i=1 li) = Rn(ln) · Rn−1(ln−1) · · · R2(l2) · R1(l1).
2.2 ´El´ements de conduction des particules
2.2.1 Espace de Glissement
Une section de d´erive de longueur L n’a aucune influence sur x , car aucune force ne va
d´evier la particule. Seul la position x change 1. Apr`es une section de d´erive de longueur L
elle sera x(L) = x(0) + L · x . La matrice de transfert est alors RD =
1 L
0 1
.
2.2.2 Le Dipˆole
Un dipˆole cr´ee un champ magn´etique uniforme dans une direction perpendiculaire `a la
direction du mouvement des particules. La force de Lorentz induite par le champ agit
sur toutes les particules charg´ees, la trajectoire des particules `a l’int´erieur du dipˆole sera
circulaire. Si la charge de toutes les particules est la mˆeme, la force va ˆetre dirig´ee dans
la mˆeme direction et son intensit´e ne va d´ependre que de l’´energie E de la particule. Le
rayon de courbure ρ de la trajectoire est alors aussi une fonction de E. Un dipˆole courb´e
est caract´eris´e par le rayon ρ0 de la trajectoire de la particule de r´ef´erence et son angle
de courbure α. Si le champ est orient´e dans la direction y et les particules se d´eplacent
1. Bien sˆur aussi la position y. Aux chapitres 2.2.1, 2.3.1 et 2.3.2 seulement le cas x est discut´e. Tous
les r´esultats seront ´egalement valables pour la direction y.
8. 2.2 ´El´ements de conduction des particules 3
suivant s, la matrice de transfert pour la direction x est [4] : RDi =
cos α ρ0 sin α
− sin α
ρ0
cos α
.
2.2.3 Le Quadrupˆole
Consid´erons le quadrupˆole illustr´e par la Figure 1 et des e− d’´energie E se d´epla¸cant
perpendiculairement au plan. Pour la particule centrale, la force totale sera nulle car les
champs magn´etiques s’annulent. Sa trajectoire ne sera donc pas
Figure 1 – Section
d’un quadrupˆole.
chang´ee. Les autres particules vont ˆetre soumises `a la force de Lo-
rentz, dont la composante horizontale va ˆetre dirig´ee vers le centre
quand x = 0 et celle verticale dirig´ee vers l’ext´erieur quand y = 0.
L’effet sera l’inverse quand le champ est invers´e. La force ainsi que
la variation de x induite par le quadrupˆole, est en premi`ere ap-
proximation une fonction lin´eaire de x. En cons´equence, on peut
d´efinir une distance focale f pour le quadrupˆole, qui est n´egative
pour la direction divergente et positive pour celle convergente. Elle
est reli´ee `a la puissance k du quadrupˆole [5] d’apr`es 1/f = ±|k| l,
avec k = e g
p , o`u e est la charge des particules, p leur impulsion, g le gradient magn´etique du
quadrupˆole 2 et l sa longueur effective 3. Si |f| l, on peut appliquer le mod`ele de la len-
tille mince et utiliser la matrice de transfert d´ej`a connue en optique [4] : RQ =
1 0
±1
f 1
.
Le champ est cr´e´e par un noyau de fer entour´e par une bobine, le gradient peut alors ˆetre
ajust´e par le r´eglage du courant circulant dans la bobine.
2.2.4 Le Triplet
Le triplet est un ´el´ement agissant focalisant ou d´efocalisant dans les deux directions trans-
versales [6]. Il est consist´e de trois quadrupˆoles ´equidistants d’une distance d, o`u la distance
focale du quadrupˆole central, fi, est reli´ee avec celles des quadrupˆoles lat´eraux fe, par
fi ≈ −1
2 fe. Le produit des matrices de transfert des constituants et la comparaison du
r´esultat avec la matrice de transfert d’une lentille mince, montre que la distance focale
d’un triplet (`a partir du centre du triplet) est donn´ee par [7] :
ftrip =
|fe|3
2 d (|fe| ± d)
, (1)
o`u le signe au d´enominateur est positif dans la direction pour laquelle la configuration est
d´efocalisant-focalisant-d´efocalisant et n´egatif dans la configuration inverse. Le triplet agit
alors focalisant dans x et y, si (fe > d).
2. C’est le rapport entre le champ sur le pˆole et le rayon d’ouverture. Son unit´e est T.m−1
3. La longueur effective est la longueur du quadrupˆole ’vue’ par les particules. Elle est toujours plus
grande que la longueur g´eom´etrique. La diff´erence ∆L = Leff − Lgeo est dˆu au fait qu’il y a toujours
un champ magn´etique `a l’ext´erieur du quadrupˆole. En cons´equence, la longueur effective d’un espace de
glissement voisin est de ∆L plus petite que sa longueur geom´etrique.
9. 4 2 FONDEMENTS TH´EORIQUES
2.2.5 La Section Acc´el´eratrice Type SLAC
L’acc´el´eration des particules utilise des structures qui cr´eent des champs ´electriques,
donc la force acc´el´eratrice est une force de Lorentz. Pour SuperB on utilise la structure
SLAC [1], d´evelopp´ee au Stanford National Laboratory aux ´Etats-Unis. La structure prin-
cipale est montr´ee sur la Figure 11. De mani`ere simplifi´ee elle consiste en un tube avec des
disques `a l’int´erieur (cavit´es). La distance entre deux disques vaut d = 3.5 cm. Une onde
´electromagn´etique progressive d’une fr´equence de 2855.17 MHz (λ = 10.5 cm) provoque
la cr´eation d’un champ ´electrique qui acc´el`ere les particules, avec la vitesse de phase vp
de l’onde progressive. Les disques sont utilis´ees pour ´eviter que vp soit plus grande que c,
ce qui est le cas dans un guide d’ondes cylindrique [8]. Avec les disques on aura vp ≈ c,
ce qui correspond bien `a la vitesse des e+ et e− dans les r´egimes d’´energie consid´er´es ici.
Pour avoir une acc´el´eration (id´eale), la phase de l’onde doit ˆetre bien adapt´ee `a la position
de la particule de r´ef´erence. La longueur totale de la section (tank) est de 304.8 cm et la
longueur totale des cavit´es acc´el´erantes dans un tank de 294 cm (28 λ). Comme la distance
3 d correspond `a un d´ecalage de phase de 2 π, on dit qu’on travaille dans le mode 2 π
3 .
2.3 Faisceau de Particules - Dynamique Transverse
2.3.1 Espace des Phases et ´Emittance
L’ensemble du faisceau pr´esente une distribution des positions et vitesses qui a la forme
d’une ellipse quand on les repr´esente dans le plan (x, x ). Cette ellipse peut ˆetre d´ecrite
par la relation xT σ−1 x = 1, o`u x = (x, x )T et
σ =
σ11 σ12
σ12 σ22
↔ σ−1
=
1
|detσ|
σ22 −σ12
−σ12 σ11
(2)
est une matrice 2 × 2, sym´etrique, o`u σ11 est reli´e `a la taille du faisceau xmax par xmax =
√
σ11, la composante σ22 avec la taille en direction x , xmax =
√
σ22 et σ12 est un param`etre
de couplage entre σ11 et σ22. En developpant xT σ−1 x = 1, on obtient la relation
σ11 x2 − 2 σ12 x x + σ22 x 2 = detσ = 2, o`u repr´esente la surface de l’ellipse appel´ee
l’´emittance et exprim´ee en unit´es π m rad. Un faisceau de bonne qualit´e a des dimensions
petites et diverge peu, alors l’int´egrale A = dx dx est petite. Cette int´egrale repr´esente
l’aire de l’ellipse, donc l’´emittance, qui est alors un param`etre de qualit´e du faisceau. On
peut montrer qu’elle reste constante pendant la transformation du faisceau par la matrice
R, si toutes les forces agissant sur le faisceau sont conservatives (Th´eor`eme de Liouville).
En r´ealit´e dans l’espace des phases, la densit´e des particules δ(x) n’est pas uniforme, elle
peut plutˆot ˆetre approxim´ee par une fonction gaussienne. Par cons´equence, on d´efinit xmax
10. 2.4 La Structure FODO 5
comme l’intervalle de σx, l’´ecart-type de δ(x) dans la direction x. Les ellipses de phase
sont aussi transform´ees par les ´el´ements de l’optique. La transformation d’une ellipse σ(0),
par la matrice de transfert R(s), est donn´ee par [7] :
σ(s) = R(s) · σ(0) · RT
(s) . (3)
L’ellipse du faisceau est alors une fonction de s. La fonction xmax(s) = σ11(s) est appel´ee
enveloppe du faisceau. Si xmax est consid´er´e comme σx, on dit qu’il s’agit de l’enveloppe
RMS (root-mean-square). Du fait de sa grande importance, on donne explicitement σ11(s) :
σ11(s) = S2
σ11(0) + 2 S C σ21(0) + C2
σ22(0) . (4)
2.3.2 Param`etres de Twiss
On d´efinit les param`etres de Twiss αx, βx, γx avec la relation
σ =
σ11 σ12
σ12 σ22
= x
βx −αx
−αx γx
. (5)
Ils sont des fonctions de s : αx(s), βx(s), γx(s) et leur transformation par une matrice R
conservative est d´etermin´ee par l’´equation 3. Les param`etres de Twiss, sont reli´ees entre
eux par les relations suivantes : αx(s) = −1
2
dβx
ds , γx(s) = 1+α2
x(s)
β(s) . Si le faisceau est conduit
par une structure p´eriodique, on peut ´ecrire pour la matrice de transfert M(s) = M(s+L),
o`u L est la longueur d’une p´eriode. Dans ce cas elle peut s’exprimer sous la forme :
M = cos µ
1 0
0 1
+ sin µ
αx βx
−γx −αx
. (6)
C’est la matrice de Twiss, o`u µ est l’avance de phase par p´eriode d’une particule au bord
de l’ellipse de phases et αx, βx et γx sont appel´ees fonctions bˆetatron. Nous insistons sur
le fait que les fonctions bˆetatron sont des param`etres de la machine, car la matrice de
transfert M ne d´epend que de la machine. L’avance de phase reste constante, et de ce fait
les fonctions bˆetatron sont des fonctions p´eriodiques avec la mˆeme longueur de p´eriode que
M. `A l’entr´ee d’une structure p´eriodique, les param`etres de Twiss doivent ˆetre adapt´es
aux fonctions bˆetatron propres de la machine [4].
2.4 La Structure FODO
La structure FODO consiste en une alternance d’un quadrupˆole focalisant avec la vergence
1
f , et un autre de la vergence −1
f , distants d’une longueur L. Pour d´eterminer les valeurs
11. 6 3 STRUCTURE PRINCIPALE ET ENJEUX DE SUPERB
propres des param`etres de Twiss et de µ, on calcule la matrice de transfert pour une p´eriode
et on la compare avec la matrice de Twiss. Quand la matrice R d´ecrit la transformation
du milieu d’un quadrupˆole focalisant pour les e+ suivant la direction x, jusqu’au milieu
du prochain quadrupˆole du mˆeme type, on trouve comme conditions initiales n´ecessaires :
cos µ = 1 −
L2
2 f2
, β =
2 L 1 + sin µ
2
sin µ
, α = 0 . (7)
Les valeurs propres au milieu d’une lentille d´efocalisante sont :
cos µ = 1 −
L2
2 f2
, β =
2 L 1 − sin µ
2
sin µ
, α = 0. (8)
Comme α = 0, les fonctions β sont alors minimales au milieu de la lentille d´efocalisante
et maximale au milieu de celle focalisante.
3 Structure Principale et Enjeux de SuperB
3.1 Structure Principale
Figure 2 – Structure simplifi´ee de SuperB, comme envisag´ee pour l’instant. Dessin d’apr`es
la proposition de [9].
Selon toutes pr´evisions, l’acc´el´erateur SuperB va ˆetre construit suivant le sch´ema donn´e par
la Figure 2 [9]. Un premier acc´el´erateur lin´eaire acc´el`ere des positrons jusqu’`a une ´energie
de 1 GeV qui sont ensuite inject´es dans un anneau de stockage. En mˆeme temps, on acc´el`ere
des e− jusqu’`a une ´energie de 0.2 GeV. Un compresseur de paquets r´eduit la longueur des
paquets de e+. Les deux faisceaux sont ensuite r´eunis par un dipˆole de combinaison et
finalement acc´el´er´es jusqu’`a l’´energie souhait´ee dans l’acc´el´erateur principale (a), appell´ee
12. 3.2 L’Injecteur - Acc´el´eration et Confinement des Particules - (a) 7
injecteur. Arriv´es `a la bonne ´energie, les faisceaux sont inject´es dans leur anneau respectif
et enfin on provoque leur collision au centre d’un d´etecteur. Ce rapport d´ecrit la conception
et simulation de cinq parties de SuperB ((a)-(e)). Dans ce qui suit, on explique bri`evement
le probl`eme, les conditions `a remplir et les param`etres `a optimiser.
3.2 L’Injecteur - Acc´el´eration et Confinement des Particules - (a)
`A l’int´erieur de l’injecteur, le faisceau sera confin´e grˆace `a une structure FODO qui limite
son enveloppe dans les deux directions transversales. Plusieures conditions sont `a remplir
par la structure d’acc´el´eration :
1. elle doit permettre de conduire et acc´el´erer des ´electrons `a 0.2 GeV et des positrons
`a 1.0 GeV en mˆeme temps ;
2. l’enveloppe du faisceau doit rester petite par rapport `a la dimension de la chambre
`a vide ;
3. l’espacement entre deux quadrupˆoles doit ˆetre assez grand pour placer deux sections
acc´el´eratrices de type SLAC ;
4. l’espacement doit permettre d’utiliser la mˆeme phase pour chaque section
acc´el´eratrice.
Le logiciel PBO-Lab (voir Ch.6) permet de simuler la structure FODO et d’´evaluer les
param`etres calcul´es. Pour compenser l’effet de l’acc´el´eration, les gradients des quadrupˆoles
doivent ˆetre ajust´es. Une simulation grˆace au PBO-Lab, prenant en compte l’acc´el´eration,
montrera si l’ajustement des quadrupˆoles est appropri´e. Finalement, on utilise Parmela
pour suivre la trajectoire des particules et v´erifier les propri´et´es du faisceau dans l’espace
longitudinale.
3.3 Adaptation des Faisceaux - (b) & (c)
Pour qu’il soit possible d’utiliser la structure p´eriodique calcul´ee, il est n´ecessaire que
les propri´et´es des faisceaux `a l’entr´ee de la section acc´el´eratrice soient adapt´ees `a celles
de injecteur. L’ajustement est r´ealis´e par un r´eseau de quadrupˆoles pour chaque type de
particules. En connaissant les propri´et´es du faisceau `a la sortie du dipˆole de combinaison
et les valeurs propres pour les param`etres de Twiss de la section acc´el´eratrice, la structure
est ajust´ee grˆace au logiciel TRANSPORT.
13. 8 4 R´ESULTATS
3.4 Mesure de l’Emittance Transversale - (d)
Avant son injection dans l’acc´el´erateur, l’´emittance est mesur´ee pour ´evaluer la qualit´e du
faisceau. En effet, la seule composante de la matrice σ qui peut ˆetre mesur´ee directement
est σ11 parce qu’elle est le carr´e de la taille. La mesure de σ22 ou du facteur de couplage
σ12 n’est pas si facile `a r´ealiser. Pour cela on mesure σ11(E) apr`es trois ´elements de
focalisation, diff´erents et connus. Avec les donn´ees, les trois valeurs de σ(0) peuvent ˆetre
calcul´ees. En sachant que l’´element de focalisation utilis´e est un triplet, on con¸coit et
optimise la section de mesure de l’´emittance. Pour la structure propos´ee, on effectue la
simulation d’un faisceau poss´edant une ´emittance connue grˆace `a PBO-Lab et on calcule
l’´emittance `a partir des donn´ees.
3.5 Mesure de la Dispersion en ´Energie - (e)
Dans l’anneau de stockage, les positrons sont maintenus sur la trajectoire circulaire grˆace
`a plusieurs dipˆoles. A cause des propri´et´es dispersives d’un dipˆole, il faut connaˆıtre la
dispersion en ´energie avant l’injection, pour ˆetre capable d’´evaluer si le faisceau est adapt´e
`a l’anneau. Pour cela, on installe `a la position (e) une section de mesure de la dispersion en
´energie. Grˆace `a un dipˆole, on construit un syst`eme qui d´evie le faisceau dans une direction
transversale, en fonction de l’´energie E. Le profil du faisceau est ensuite enregistr´e sur un
´ecran. La structure sera optimis´ee pour avoir une r´esolution maximale sur l’´ecran.
4 R´esultats
4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal
4.1.1 Conditions pour le Transport par la mˆeme Structure
Le transport d’un faisceau de 0.2 GeV et d’un de 1.0 GeV par la mˆeme structure FODO
n´ecessite plusieurs conditions. Comme les gradients magn´etiques des quadrupˆoles sont les
mˆemes pour les deux types de particules, la longueur focale pour 1000 MeV, f1000, et
celle pour 200 MeV, f200, ne sont pas ind´ependantes, mais coupl´ees. La distance focale
est proportionnelle `a l’impulsion p, qui est environ E/c pour des particules relativistes. Il
est alors l´egitime de supposer que les distances focales sont coupl´ees par f1000 ≈ 5 f200.
L’avance de phase des e− devient alors cos µ200 = 1 − 25 L2
2 f1000
, et `a partir de la relation
cos µ200 > −1, on trouve f1000 > 5
2 L. Le r´esultat de cette relation est qu’il est possible de
transporter les deux faisceaux par la mˆeme structure, seulement si le gradient magn´etique
des quadrupˆoles est tel que la distance focale pour les positrons soit plus grande que 5
2 L.
14. 4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 9
On obtient les valeurs permises de l’avance de phase `a 1 GeV : 0 < µ1000 < 23◦. Dans cet
intervalle, on calcule les param`etres de Twiss propres, pour chaque µ entier. La somme
des valeurs de la fonction β pour chaque faisceau et chaque direction, montre que la plus
petite taille pour les deux faisceaux est obtenue, si on applique µ1000 = 20◦.
4.1.2 Calcul de la Longueur d’une P´eriode
Figure 3 – Espacements propos´es pour la moiti´e d’une p´eriode. Toutes les mesures sont
en cm.
Pour la structure FODO, on propose l’utilisation d’un Quadrupole Octagon de l’entreprise
RadiaBeam Technologies [10] avec une longueur LQ = 8.6 cm. La longueur effective vaut
Leff = 10.2 cm, le rayon d’ouverture ra = 2.55 cm et le gradient maximal gmax = 9 T/m.
Pour pouvoir appliquer la mˆeme phase sur chaque cavit´e, la distance entre la sortie d’une
cavit´e et l’entr´ee d’une autre, doit ˆetre un multiple de la longueur d’onde λ. En vue
de diminuer les coˆuts, la longueur totale doit ˆetre la plus courte possible mais pour des
raisons techniques, il faut au moins avoir une distance d’environ 30 cm entre un tank et
un quadrupˆole ou entre deux tanks. Quand on choisit une distance de 42 cm = 4 λ entre la
cavit´e de sortie d’une section et la cavit´e d’entr´ee de la suivante, l’espace de glissement entre
les deux tanks aura une longueur de 31.2 cm. S’il y a en plus un quadrupˆole entre les deux,
on choisit 84 cm = 8 λ. En utilisant deux espaces de glissement de mˆeme longueur autour
du quadrupˆole, on trouve 32.3 cm pour l’espace de glissement entre tank et quadrupˆole.
La longueur totale L entre deux quadrupˆoles est alors L = 714 cm. Un sch´ema sur les
distances propos´ees est donn´ee `a la Figure 3.
4.1.3 Param`etres Propres de la Structure FODO et Ajustement des Gradients
magn´etiques
Consid´erons la moiti´e d’une p´eriode de la structure FODO, comportant deux tanks, qui
acc´el`erent les particules au totale de ∆E. Au premier quadrupˆole avec le gradient g1, les
particules poss`edent l’´energie E. En arrivant au deuxi`eme quadrupˆole les particules ont
une ´energie de E + ∆E. Nous avons vu au chapitre 2.4 que l’avance de phase par p´eriode
15. 10 4 R´ESULTATS
ainsi que les param`etres de Twiss propres de la structure ne d´ependent que de la distance
L et de la distance focale f des quadrupˆoles. Pour garder le mˆeme µ malgr´e l’acc´el´eration,
il faut modifier soit L, soit g2, gradient du deuxi`eme quadrupˆole. On choisit d’ajuster g2
pour avoir la mˆeme distance focale. Comme f est une fonction lin´eaire de E, le gradient
g2 n´ecessaire sera : g2 ≈ g1 1 + ∆E
E , et en toute g´en´eralit´e pour le n-i`eme quadrupˆole
gn ≈ g1 1 + n
∆E
E
. (9)
A priori, il semble ´evident d’utiliser µ1000 = 20, parce que pour cette avance de phase,
les faisceaux ont des dimensions minimales. Le gradient `a 1.0 GeV est environ 1.6 T/m
pour le quadrupˆole choisi. Dans ce cas, on ne peut plus utiliser ce type de quadrupˆole
`a partir d’une ´energie de 5.625 GeV, parce que le gradient n´ecessaire d´epasse les 9 T/m
admissibles.
En utilisant un gradient de 1.3 T/m `a 1.0 GeV, on aura 8.7 T/m `a 6.7 GeV. Cela correspond
`a une distance focale de |f1000| = 25.169 m et avec la longueur L, on obtient une avance
de phase par p´eriode de µ1000 = 16.309◦. Au centre d’un quadrupˆole focalisant, dans la
direction x et d´efocalisant pour y, les param`etres de Twiss propres pour les positrons sont
αx = 0 βx = 58.064 m , (10)
αy = 0 βy = 43.638 m . (11)
Avec le gradient g = 1.3 T/m, la distance focale `a 0.2 GeV est |f200| = 5.044 m, correspon-
dant `a µ200 = 90.108◦. En tenant compte de la charge inverse, les param`etres de Twiss
propres sur la mˆeme position sont :
αx = 0 βx = 4.173 m , (12)
αy = 0 βy = 24.387 m . (13)
Le champ acc´el´erateur maximal dans les sections SLAC est |Emax| = 14.75 MV/m [11],
le gain d’´energie par tank est alors ∆ET = 43.265 MeV. Entre deux quadrupˆoles, l’´energie
augmente de ∆E = 86.53 MeV. En consid´erant cet acc´el´eration et une ´energie initiale de
1 GeV, on calcule les gradients n´ecessaires pour les quadrupˆoles, d’apr`es l’´equation (9). Ils
sont donn´es par les Tableaux 5 et 6.
4.1.4 Structure Propos´ee & Simulation
La structure finale d’une moiti´e de p´eriode est d´ecrite au Tableau 4 en Annexe. Trois
simulations diff´erentes donneront la possibilit´e d’´evaluer la qualit´e de la structure propos´ee.
16. 4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 11
Pour v´erifier que la structure FODO convient avec les param`etres de Twiss calcul´es, on
effectue une premi`ere simulation en utilisant TRANSPORT. Sous l’environnement PBO-
Lab, on construit la structure, avec des quadrupˆoles de la longueur effective 10.2 cm,
poss´edant un gradient de ±1.3 T/m et une section de glissement de 703.8 cm entre les
quadrupˆoles. Le d´ebut de la simulation est situ´e au milieu d’un quadrupˆole focalisant
pour les positrons suivant la direction x, on peut alors appliquer les param`etres de Twiss
calcul´es au chapitre pr´ec´edent pour les deux ´energies. Le logiciel calcule l’´evolution des
param`etres de Twiss et une sortie graphique est donn´ee. La longueur totale de la structure
simul´ee est 450 m, qui correspond `a un gain d’´energie de 5.7 GeV, elle repr´esente alors la
totalit´e de l’acc´el´erateur (mˆeme plus pour les e−). Les sorties graphiques des fonctions
βx et βy pour les deux ´energies sont
Figure 4 – Fonctions bˆetatron en direction x et
y de la structure FODO pour les e+ `a 1 GeV (en
haut) et les e− `a 0.2 GeV (en bas).
donn´ees sur la Figure 4. Pour les e−, on
trouve deux courbes bien p´eriodiques.
Les courbes p´eriodiques pour les po-
sitrons poss`edent quelques oscillations
de plus, qui d´ecalent la courbe en direc-
tion de l’axe β. L’amplitude de cette
oscillation suppl´ementaire est petite
(moins de 3% du maximum de βx), et
donc n´egligeable, le but de la structure
p´eriodique ´etant d’obtenir un faisceau
de dimensions beaucoup plus petites
que celles du syst`eme d’acc´el´eration.
Cette condition est remplie (avec une
´emittance de l’ordre de 10−9 π m rad on
aura un xmax de l’ordre d’un dixi`eme
de mm), la structure FODO propos´ee est alors appropri´ee pour le transport des deux types
de faisceaux.
La repr´esentation de la distribution des particules dans l’espace des phases longitudinal,
apr`es quelques sections acc´el´erantes permettra d’estimer, si les longueurs d´etermin´es pour
les espaces de glissement permettent l’utilisation de la mˆeme phase pour tous les tanks.
Il est consid´er´e que les particules constituantes le faisceau poss`edent une dispersion en
´energie de ∆E
E et en phase (par rapport `a la fr´equence de 2855.17 MHz) de ∆ϕ. Avec le
code Parmela (voir Chapitre 7), on simule la structure propos´ee avec les gradients cal-
cul´es pour 13
2 p´eriodes du FODO (26 tanks) pour le faisceau de positrons. La simulation
commence au milieu du quadrupˆole focalisant dans la direction x et utilise alors pour les
17. 12 4 R´ESULTATS
param`etres de Twiss initiales les valeurs calcul´ees au chapitre pr´ec´edent. On choisit de
simuler 1000 particules avec une dispersion en phase de ∆φ = 10◦ et une dispersion en
´energie ∆E
E = 1 %. La phase d’entr´ee de l’onde progressive dans les tanks est 0◦. Tous
les d´etails sur l’utilisation du code sont expliqu´es en Annexe B. La Figure 5 donne la
repr´esentation graphique de l’´energie en fonction de la phase pour les 1000 particules,
apr`es les 26 tanks. L’axe horizontal repr´esente la diff´erence de phase ϕ−ϕr de la particule
de r´ef´erence, l’ordonn´ee donne la diff´erence d’´energie E − Er. La forme de la distribution
des particules (courb´e) confirme que le gain d’´energie pour les
particules avec ϕ = ϕr est plus petit que celui de
Figure 5 – Distribution pour
l’´energie en fonction de la phase
la particule de r´ef´erence. Comme la distribution des
particules est bien sym´etrique autour de ϕ = ϕr,
on peut en d´eduire que la particule de r´ef´erence est
acc´el´er´ee sur le maximum de l’onde progressive (si-
nuso¨ıdale) dans chaque tank. Les distances choisis
sont alors correctes, et la mˆeme phase peut ˆetre ap-
pliqu´ee sur tous les tanks. Comme les positrons sont
acc´el´er´es au maximum de l’onde progressive, les e−
doivent ˆetre acc´el´er´es par un minimum de l’onde. Il
sera alors n´ecessaire d’avoir une distance de π entre
un paquet d’´electrons et un de positrons.
Une derni`ere simulation grˆace `a TRANSPORT a ´et´e r´ealis´ee pour estimer l’´evolution des
enveloppes du faisceau en tenant compte de l’acc´el´eration. Comme le code ne tient pas
compte de l’acc´el´eration des particules pour calculer la distance focale d’un quadrupˆole,
il a ´et´e n´ecessaire de simuler le faisceau ´etape par ´etape. La simulation commence au
milieu du quadrupˆole focalisant en x pour les e+, avec un faisceau ayant les param`etres de
Twiss calcul´ees au chapitre pr´ec´edent, et elle s’arrˆete `a l’entr´ee du deuxi`eme quadrupˆole.
En utilisant PBO-Lab on obtient alors les param`etres de Twiss `a cette position. Ils sont
enregistr´es et connaissant la nouvelle ´energie, on effectue une deuxi`eme simulation qui
commence `a l’entr´ee du deuxi`eme quadrupˆole en tenant compte de la nouvelle ´energie et des
nouveaux param`etres de Twiss. Grˆace au logiciel qtiplot [12], les valeurs de βx pour les e+
et e− sont trac´ees en fonction de la position. Le r´esultat est illustr´e sur la Figure 6. Pour les
e+, l’´evolution de βx est bien p´eriodique, le faisceau est confin´e, les gradients magn´etiques
choisis suivent alors l’effet du changement de la distance focale dˆu de l’acc´el´eration. En
ce qui concerne le faisceau de e−, on observe une ´evolution divergente. Elle est dˆue au
fait que les gradients magn´etiques ont ´et´e ajust´es pour une ´energie initiale de 1 GeV.
Comme l’´equation (9) d´epend de l’´energie, les gradients calcul´es `a une ´energie donn´ee
18. 4.2 Adaptation des Faisceaux 13
βx(m)
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Longueur L (m)
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
ExtractiondesÉlectrons
ExtractiondesPositrons
Électrons
Positrons
Figure 6 – Fonction βx du faisceau de positrons (rouge) et d’´electrons (noir). R´esultat de
la simulation effectu´e grˆace au code TRANSPORT en tenant compte de l’acc´el´eration.
seront pas adapt´es pour des ´energies diff´erentes. N´eanmoins la structure est convenable
pour le transport des particules, en effet l’objectif est la limitation des enveloppes des
faisceaux pendant l’acc´el´eration. La valeur maximale de βx du faisceau des e− vaut 55.6 m,
plus petit que la valeur maximale pour des e+ (58.064 m).
Pour plusieurs raisons, il est avantageux d’ajuster les gradients pour le faisceau de e+ :
• comme les param`etres β `a l’entr´ee de la structure sont plus petites pour les e−, les
valeurs `a la sortie d’une structure pas adapt´ee le seront aussi ;
• l’´emittance d’un faisceau d’´electrons est en g´en´eral plus petite que celle d’un faisceau
de positrons. Pour la mˆeme fonction β, l’enveloppe d’un faisceau de e− sera alors plus
petite que pour des e+ ;
• la section acc´el´eratrice est plus courte pour les e−, le faisceau peut alors moins diverger ;
• comme le gradient est une fonction lin´eaire de E−1, les gradients n´ecessaires pour un
faisceau initial moins ´energ´etique, sont beaucoup plus grandes.
4.2 Adaptation des Faisceaux
4.2.1 Adaptation du Faisceau de Positrons
Apr`es le compresseur de paquets, le faisceau des e+ aura les propri´et´es suivantes [13],[14] :
αx = 0.470238 βx = 11.811487 m x = 6.6 · 10−9
π m rad , (14)
αy = 0.522727 βy = 16.145031 m y = 3.6 · 10−9
π m rad . (15)
L’ajustement des param`etres de Twiss aux propri´et´es de la structure FODO est r´ealis´e
grˆace `a plusieurs quadrupˆoles. En utilisant le logiciel TRANSPORT on d´etermine les
19. 14 4 R´ESULTATS
gradients et des longueurs de glissements n´ecessaires. Le dernier quadrupˆole de la section
d’adaptation sera le premier quadrupˆole de la structure FODO, d’une longueur effective
de 5.1 cm et un gradient de 1.3 T/m. Il est utilis´e parce qu’on part avec les valeurs propres
des param`etres de Twiss au milieu du premier quadrupˆole de la structure FODO. Les
contraintes `a remplir sur cette position sont : αx = 0 = αy, βx = 58.064 m et βy =
43.638 m. Pour les param`etres initiaux on utilise les valeurs `a la sortie du compresseur des
paquets et les mˆemes quadrupˆoles que pour la structure FODO. En g´en´eral, il y a une
infinit´e de solutions, mais on veut que la longueur totale soit aussi petite que possible et
que le gradient dans les quadrupˆoles soit le plus faible possible. La structure trouv´ee est
d´ecrite dans le Tableau 1. La trajectoire des faisceaux est illustr´e `a la Figure 12.
Table 1 – Structure propos´ee pour l’adaptation du faisceau des positrons.Toutes les lon-
gueurs sont les longueurs effectives. La longueur totale est 17.3 m.
´Element D Q D Q D Q D Q D Q
Leff(cm) 40 10.2 660 10.2 410 10.2 530 10.2 44.14 5.1
g(T/m) - 3.2404 - 4.7104 - -5.9977 - 3.3027 - 1.3
4.2.2 Adaptation du Faisceau d’´Electrons
Le principe de l’adaptation est le mˆeme que pour les positrons. Dans ce cas, les param`etres
initiaux, ne sont pas encore connus, on choisit : αx = −αy = 0.5 et βx = βy = 14 m `a une
´energie de 0.2 GeV. Les contraintes au milieu du premier quadrupˆole sont : αx = αy = 0,
βx = 4.173 m et βy = 24.387 m. Comme expliqu´e au Chapitre 6, PBO-Lab ne peut pas
calculer avec des particules charg´ees n´egativement. La structure est alors simul´ee pour les
positrons et on inverse les gradients. Pendant l’ajustement il faut consid´erer le gradient
pour le premier quadrupˆole de la structure FODO comme g = −1.3 T/m. La structure
finale pour l’adaptation du faisceau d’´electrons est donn´ee par la Table 2 et la Figure 15.
Table 2 – Structure pour l’adaptation du faisceau d’´electrons. Longueur totale : 642.5 cm.
´Element D Q D Q D Q D Q
Leff (cm) 40 10.2 356.8 10.2 170 10.2 40 5.1
g (T/m) - -0.8799 - 1.6396 - -1.8717 - 1.3
20. 4.3 Mesure de l’´Emittance 15
4.3 Mesure de l’´Emittance
4.3.1 Principe de la Mesure
Consid´erons un triplet suivi par un espace de glissement avec la matrice de transfert totale
R(s) et un faisceau d´ecrit par la matrice σ(0) `a l’entr´ee du triplet 4. D’apr`es l’´equation 3,
la grandeur σ11, et donc la taille du faisceau dans une direction particuli`ere sur la position
s, d´epend de σ(0) et de R(s). En changeant la puissance du triplet, R(s) et σ11(s) vont
changer. Comme σ(0) est constitu´e de trois composantes et l’´emittance est donn´ee par
det σ(0), on est capable de d´eterminer l’´emittance en mesurant σ11(s) pour au moins
trois valeurs diff´erentes du triplet. La taille du faisceau peut ˆetre mesur´ee sur un ´ecran
qui ne fait pas partie de nos consid´erations. Comme l’´emittance est conserv´ee d’apr`es le
th´eor`eme de Liouville, l’´emittance mesur´e `a l’entr´ee du triplet sera la mˆeme que celle apr`es
le compresseur des paquets. Le triplet focalise dans les deux directions transversales. Si
la distance focale f du triplet, donn´e par (1), est beaucoup plus grande que l’´epaisseur
du triplet, il peut alors ˆetre d´ecrit par la matrice de transfert d’une lentille mince. La
multiplication des deux matrices (lentille du distance focale f et espace de glissement de
longueur L), donne S = 1 − L
f et C = L. D’apr`es l’´equation (3), la composante σ11(s)
sera :
σ11(s) = 1 −
L
f
2
σ11(0) + 2 L 1 −
L
f
σ12(0) + L2
σ22(0) . (16)
L’ensemble des carr´es de la taille mesur´ee xmax (RMS), en fonction de 1 − L
f est alors
une parabole. En mesurant la taille au moins trois fois, on est capable de d´eterminer σ(0),
par ajustement d’une courbe parabolique.
4.3.2 R´ealisation, Optimisation & Simulation
Pour la section de mesure de l’´emittance, on propose l’utilisation des quadrupˆoles du type
Diamond Quadrupole de l’entreprise RadiaBeam. Ce type de quadrupˆole a une longueur
effective de Leff = 17.5 cm, une rayon d’ouverture ra = 2.3 cm et un gradient maximal de
gmax = 10T/m.
Au d´ebut on cherche un syst`eme permettant de faire diverger le faisceau, pour avoir des
enveloppes grandes au niveau de l’´ecran. Pour cela, on installe deux quadrupˆoles avec un
gradient de g = 10 T/m, distants de 30 cm, suivi par un espace de glissement de 12.5 m.
La simulation avec PBO-Lab (voir Figure 17) montre que le faisceau est bien divergeant
4. Comme on consid`ere le triplet comme une lentille mince, σ(0) `a l’entr´ee sera la valeur au centre du
triplet, en n´egligeant les quadrupˆoles.
21. 16 4 R´ESULTATS
en arrivant au triplet. Comme d´ej`a expliqu´e, la distance focale du quadrupˆole central doit
ˆetre environ la moiti´e de celle des quadrupˆoles lat´eraux. Il y a deux possibilit´es pour le
r´ealiser : soit on utilise le mˆeme type de quadrupˆole et on ajuste les courants tels que
gint ≈ −2 gext, dans ce cas, on peut utiliser les quadrupˆoles lat´eraux jusqu’`a 5 T/m. Soit
on utilise un quadrupˆole central avec une longueur effective qui est le double de celle des
quadrupˆoles lat´eraux. Les gradients sont environ les mˆemes. Ici, les quadrupˆoles peuvent
ˆetre utilis´es entre 0 et 10 T/m, on peut alors travailler dans un r´egime de distances fo-
cales plus courtes par rapport `a l’autre option. Afin de diminuer la longueur de l’espace
de glissement apr`es le triplet, on choisit la deuxi`eme possibilit´e. Le triplet consiste alors
en deux quadrupˆoles lat´eraux du longueur effective 17.5 cm et d’un quadrupˆole central de
longueur 35 cm, qui doit ˆetre fabriqu´e sur commande. La distance entre le dernier qua-
drupˆole du triplet et l’´ecran est de 12 m. En vue de mesurer l’´emittance dans les deux
directions avec la mˆeme plage de courant, on essaie d’ajuster le rapport entre les gradients
des quadrupˆoles lat´eraux gext et du quadrupˆole central, gint, tel que les enveloppes sont
minimales au niveau de l’´ecran. L’adaptation est r´ealis´e grˆace au logiciel TRANSPORT
et les contraintes choisisses sont αx(e) = αy(e) = 0 au niveau de l’´ecran et que les deux
gradients lat´eraux sont les mˆemes : gex1 = gex2. D’apr`es l’ajustement, le rapport n´ecessaire
pour remplir ces conditions est r = gext/gint = −1.0277. On trouve le gradient n´ecessaire
des quadrupˆoles lat´eraux, pour avoir des enveloppes minimales, gext = −0.88842 T/m.
L’approximation de la lentille mince et les calculs pour le triplet ne sont pas affect´es par
le fait que les gradients diff`erent de 2.8%.
Pendant une mesure, le gradient dans les quadrupˆoles est chang´e, avec le rapport r
constant. La structure compl`ete pour la section de mesure de l’´emittance est repr´esent´ee
par le Tableau 3. Grˆace au logiciel PBO-Lab, une simulation de la mesure est r´ealis´ee. Pour
Table 3 – Structure propos´ee pour la mesure de l’´emittance. La longueur totale est 27.65 m
´Element D Q D Q D Q D Q D Q D
Leff (cm) 30 17.5 30 17.5 1350 17.5 25 35 25 17.5 1200
g (T/m) - 10 - 10 - gext - gext
r - gext -
les ´emittances transversales, on choisit les mˆemes valeurs qu’`a la sortie du compresseur des
paquets : x = 6.6·10−9 π m rad et y = 3.6·10−9 π m rad. Le logiciel donne les param`etres
de Twiss sur l’´ecran. Les carr´es de la taille du faisceau sont obtenus par la multiplica-
tion de βx ou βy par l’´emittance respective. En r´ealit´e la taille du faisceau est bien sˆur
mesur´ee directement. Les gradients ´etant choisis, la distance focale f des quadrupˆoles et,
22. 4.3 Mesure de l’´Emittance 17
d’apr`es l’´equation (1), ´egalement la distance focale du triplet ftrip sont connues. La taille
du faisceau est d´etermin´e pour 18 gradients entre −10 T/m et −5.5 T/m. Grˆace au logiciel
qtiplot on repr´esente les valeurs pour x2
max et y2
max en fonction de 1 − L
ftrip
sur la Figure
7. L’ensemble des points obtenus pour une direction particuli`ere prend la forme d’une
parabole. Le d´ecalage des deux courbes vient du fait que la distance focale du triplet est
diff´erente pour les deux directions (voir Ch.2.2.4). L’ajustement parabolique est effectu´e
par le logiciel qtiplot, en utilisant la m´ethode des moindres carr´ees et une fonction
σ11(m2
)
-2e-06
0
2e-06
4e-06
6e-06
8e-06
1e-05
1.2e-05
-2e-06
0
2e-06
4e-06
6e-06
8e-06
1e-05
1.2e-05
1-L/f (sans unité)
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
σ11,x
σ11,y
Ajustement Parabolique (x)
Ajustement Parabolique (y)
Figure 7 – Valueurs de x2
max et y2
max trouv´ees pour la mesure de l’emittance, avec les
paraboles ajust´ees.
x2
max = a 1 − L
ftrip
2
+ b 1 − L
ftrip
+ c. Les courbes obtenues sont ´egalement trac´ees
sur la Figure 7. En sachant que a = σ11(0) , b = 2 L σ12(0) et finalement c = L2 σ22(0),
on trouve l’emittance par = π σ11(0) σ22(0) − σ12(0)2. Avec les courbes obtenues, on
retrouve les valeurs de l’´emittance :
x = 6.6 · 10−9
π m rad , y = 3.6 · 10−9
π m rad . (17)
Pour les valeurs trouv´ees, on ne donne aucune incertitude, parce que les valeurs de x2
max
et y2
max ne sont pas des r´esultats d’une mesure.
23. 18 4 R´ESULTATS
4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie
La dispersion en ´energie peut ˆetre mesur´ee grˆace `a un dipˆole magn´etique. Comme d´ej`a
expliqu´e au chapitre 2.2.2, la force agissant sur une particule est d´ecrite par l’´equation de
Lorentz, d’o`u l’on conclut que la force augmente avec l’´energie de la particule. A priori il
suffit alors d’utiliser un dipˆole de rayon ρ0 et d’angle α, suivi par espace de glissement de
longueur L et un ´ecran qui mesure la distribution des particules dans la direction de la force
(ici x). Comme le faisceau poss`ede d´ej`a une distribution de particules dans la direction
x, la densit´e de particules ρtot(x) sur l’´ecran, va ˆetre la convolution ρtot(x) = ρβ ∗ ρDi (x)
entre la densit´e ρβ(x) (´ecart type σβ) par le faisceau et ρDi(x), la densit´e provoqu´e par
le dipˆole (´ecart type σDi). Les deux distributions sont des fonctions gaussiennes 5, donc
leur convolution l’est aussi. Sa largeur a mi-hauteur sera σtot = σ2
β + σ2
Di [15]. Comme
σβ est proportionnelle `a βx, on essaie alors de diminuer βx au niveau de l’´ecran, pour
augmenter la pr´ecision des mesures. A partir de l’´equation (3), on obtient la valeur de
σ11(E) en fonction de la matrice de transfert : Rtot = RD´erive ·RDipole et de σ(D) `a l’entr´ee
du dipˆole :
σ11(E) = σ11(D) cos α −
L sin α
ρ0
2
+ σ22(D) (L cos α + ρ0 sin α)2
+ r , (18)
o`u r repr´esente les termes ne d´ependant que de σ12(D). Les composantes de σ sont reli´ees
aux param`etres de Twiss par l’´emittance , dans l’´equation (18) on peut alors remplacer
σ11 par β et σ22 par 1+α2
β . La d´eriv´ee de σ11(E) par rapport `a σ11(D) donne, en consid´erant
dα(D)
dβ(D) = 0, la valeur n´ecessaire de β(D) pour avoir un minimum de β(E) :
βmin(D) =
L cos α + ρ0 sin α
cos α − L sin α
ρ0
, (19)
ou bien pour la longueur de glissement quand on veut appliquer une fonction β sp´ecifique :
L =
β cos α − ρ0 sin α
cos α + β sin α
ρ0
. (20)
On choisit pour le dipˆole un champ magn´etique B = 0.5 T et une longueur de la trajectoire
centrale lc = 1 m, qui correspond `a un angle de α = 8.58◦. Pour des raisons techniques,
la longueur de l’espace de glissement apr`es le quadrupˆole doit avoir une valeur minimale
de 1m. D’apr`es l’´equation (20), la fonction β correspondant `a une longueur de 1m est
βx = 2.045m.
En utilisant les param`etres de Twiss comme au chapitre 4.2.1 6 on simule la structure
5. La distribution des ´energies est une gaussienne, alors ρDi l’est aussi.
6. Les param`etres r´eelles `a l’entr´ee de l’anneau de stockage ne sont pas connus, dans tout cas, ils peuvent
ˆetre modifi´es par une structure appropri´ee, pour obtenir les param`etres souhait´es.
24. 4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie 19
Figure 8 – Distribution des particules en di-
rection x sur l’´ecran, pour ∆E
E = 1.5%. Avec
l’ajustement gaussien.
Figure 9 – FWHM mesur´e pour des dis-
persions d’´energie entre 0.5% et 9%, avec
l’ajustement lin´eaire
espace-quadrupˆole-espace avant le dipˆole, avec un Octagon Quadrupole comme pour la
structure FODO. Les contraintes `a remplir sont αx = 0 et βx = 2.1 m, o`u la premier
contrainte correspond au fait qu’on veut avoir un enveloppe minimale `a l’entr´ee du dipˆole
et la valeur de βx a ´et´e choisi parce qu’elle remplit la condition βx > 2.054. Les simulations
montrent que cette valeur est facile `a obtenir avec un seul dipˆole. Les variables d’adaptation
on choisis, sont la longueur l2 entre quadrupˆole et dipˆole ainsi que le gradient magn´etique
g du quadrupˆole. La longueur du premier espace de glissement reste constante `a 0.308 m.
Grˆace `a TRANSPORT, on obtient g = 4.7974 T/m et l2 = 4.398 m. Finalement, l’´equation
(20) donne la valeur l3 = 1.043 m. La totalit´e de la section de mesure est repr´esent´ee sur
la Figure 16. La distribution d’´energie `a l’entr´ee de la structure ´etant une gaussienne,
la distribution des particules suivant la direction x sur l’´ecran le sera aussi. Avec 1000
particules initiales, on obtient `a l’aide du logiciel TURTLE, le nombre des particules
mesur´es sur l’´ecran en fonction de x. La Figure 8 donne une telle distribution pour une
dispersion de l’´energie de 1.5 % avec son ajustement gaussienne calcul´e grˆace `a qtiplot.
´Evidemment, cette distribution va avoir une largeur `a mi-hauteur FWHM (full width at
half maximum) plus grande pour une dispersion en ´energie plus grande. Plusieurs valeurs
de ∆E
E entre entre 0% et 9%, sont repr´esent´ees sur la Figure 9 en fonction des valeurs
mesur´es de FWHM, avec un approximation lin´eaire.
25. 20 5 R´ESUM´E, CONCLUSIONS & PERSPECTIVES
5 R´esum´e, Conclusions & Perspectives
Les calculs au Chapitre 4.1.1 ont d´efinit les conditions `a remplir par une ligne de trans-
port pour deux faisceaux d’´energies 1.0 GeV et 0.2 GeV. A partir des conditions pour
l’espacement des sections acc´el´eratrices, une longueur totale pour la distance entre deux
quadrupˆoles constituantes une structure FODO, a pu ˆetre ´etablit. Apr`es d’avoir choisi
une distance focale f1000 qui remplit ces conditions et qui ne n´ecessite pas une valeur
sup´erieure au gradient maximale de 9 T/m, on a pu simuler la ligne de transport et
d’acc´el´eration. Grˆace au logiciel TRANSPORT, il a ´et´e possible de v´erifier que la struc-
ture FODO et le r´eglage des gradients sont appropri´es `a l’acc´el´eration et au confinement
des deux types de faisceau, mˆeme si les gradients ne sont pas ajust´ees pour le faisceau
de e−. Une simulation du faisceau des e+ grˆace `a Parmela, jusqu’`a une ´energie finale de
2.2 GeV, a montr´e que les distances ´etablˆıtes au Chapitre 4.1.2 permettent d’utiliser la
mˆeme phase pour chaque section. L’utilisation de TRANSPORT a donn´e la possibilit´e
de d´eterminer aussi les deux structures d’ajustement pour adapter les faisceaux aux pro-
pri´et´es de la structure FODO. Une optimisation des structures propos´ees, pourrait ˆetre
r´ealis´ee par l’outil compl´ementaire NPSOL de PBO-Lab. Il permet de d´efinir plusieurs
contraintes suppl´ementaires, par exemple que la longueur totale soit minimale [16]. Pour
ce qui concerne les lignes de diagnostics, on a pu optimiser la structure grˆace `a TRANS-
PORT. La simulation du triplet par PBO-Lab a montr´e que la distribution des valeurs de
σ11 pour la mesure de l’´emittance, est parabolique et que la courbe d’ajustement redonne
les bonnes valeurs de l’´emittance. Ceci confirme que la configuration propos´ee, permet la
mesure de l’´emittance suivant les directions x et y dans le mˆeme intervalle de gradients.
Pour le calcul de l’´emittance `a partir des donn´ees, il existe aussi une m´ethode utilisant la
matrice de transfert num´erique [17]. Comme ils existent plusieurs logiciels pour le calcul
automatique de la matrice de transfert, il sera avantageux de d´eterminer l’´emittance en
utilisant les deux m´ethodes et comparer les r´esultats obtenues.
En utilisant un dipˆole, une section de mesure de la dispersion en ´energie a ´et´e construite.
La pr´ecision des mesures a ´et´e optimis´ee, en utilisant un quadrupˆole avant le dipˆole et en
ajustant l’espace entre dipˆole et ´ecran. Le logiciel TURTLE a permis de simuler la distri-
bution des particules sur l’´ecran. Ainsi on a ´et´e capable d´eterminer la valeur de FWHM
pour 14 valeurs de ∆E
E diff´erentes entre 0% et 9% avec une courbe ajust´ee. En r´ealit´e une
telle courbe d’´etalonnage va permettre d’attribuer une valeur de FWHM `a une dispersion
en ´energie.
Toutes les consid´erations dans ce rapport sont au premier ordre. Une prochaine ´etape sera
le calcul au deuxi`eme ordre et des erreurs d’alignement associ´ees.
26. 21
6 Annexe A : PBO-Lab, Simulation et Ajustement
6.1 Le Logiciel
PBO-Lab (The Particle Beam Optics Laboratory) est une interface graphique pour Mi-
crosoft Windows, afin de simplifier l’utilisation des codes TRANSPORT, TURTLE et
TRACE-3D. La structure `a simuler ou `a ajuster est construite `a l’aide d’icˆones, qui
d´efinissent des ´el´ements, et qui sont positionn´ees dans l’ordre souhait´e. Chaque ´el´ement
peut ˆetre modifi´e pour avoir les propri´et´es voulues. Le logiciel n’accepte pas de charge
n´egative, il faut alors effectuer toutes les simulations avec des positrons. En n’utilisant
que des quadrupˆoles et espaces de glissement, la simulation analogue pour les e− peut ˆetre
r´ealis´ee avec un faisceau de e+ et les gradients invers´es.
6.2 Simulation
Apr`es la cr´eation d’une ligne de transport et la d´efinition des param`etres initiaux comme
les param`etres de Twiss et l’´energie, on est capable de visualiser l’´evolution du faisceau,
et d’obtenir les valeurs des param`etres de Twiss en une position souhait´ee. TRANSPORT
d´etermine les valeurs des param`etres de Twiss par un calcul matriciel. En utilisant l’icˆone
’FINAL’, le mode de sortie pour TURTLE peut ˆetre d´efini. Ce logiciel suit la trajectoire
d’un nombre donn´e de particules. La distribution g´eom´etrique des particules dans les deux
directions transversales peut ˆetre visualis´ee. L’´echelle peut ˆetre ajust´ee suivant les besoins
de l’utilisateur.
6.3 Adaptation avec TRANSPORT
Souvent on veut ajuster une ligne de transport, pour transformer les param`etres du fais-
ceau aux valeurs d´efinis. Cela est r´ealis´e en cr´eant la structure `a ajuster (par exemple 4
quadrupˆoles et 5 espaces de glissement) suivit de l’icˆone ’FINAL’, contenant les contraintes
`a remplir. Sur les icˆones des ´el´ements, les param`etres `a ajuster sont choisis. Finale-
ment TRANSPORT calcule les valeurs n´ecessaires pour les variables afin de remplir les
contraintes. A priori, il y a une infinit´e de solutions pour chaque syst`eme.
27. 22 7 ANNEXE B : SIMULATION AVEC PARMELA
7 Annexe B : Simulation avec Parmela
7.1 Description du Logiciel
Le code Parmela (Phase and radial motion in electron linacs) a ´et´e cr´e´e `a Los Alamos
National Laboratory aux ´Etats Unis. Contrairement `a TRANSPORT qui fait un calcul ma-
triciel, Parmela transporte un nuage de particules. Les valeurs calcul´ees sont enregistr´ees
pour chaque position, et peuvent ˆetre retir´ees num´eriquement, ou visualis´ees sous forme
de graphiques. La structure `a simuler est entr´ee par des mots clefs, suivit de param`etres
d´efinissant l’´el´ement respectif. Un tel ensemble est appel´e ’carte’ pour la suite [11]. La
carte pour un quadrupˆole de longueur effective 10.2 cm, de rayon d’ouverture ra = 2.55 cm
et un gradient de 1 T/m est par exemple :
quad 10.2 2.55 1 100.
o`u le ’1’ sur la troisi`eme position est un param`etre logique pour la sortie. Pour ’1’, les
propri´et´es du faisceau `a la fin du quadrupˆoles seront affich´ees, pour ’0’, ils le seront pas
[11]. Il y a trois cartes d´efinissants les param`etres globaux et initiaux : la premi`ere est la
carte
run 1 2 2855.17 0. 1000. 1
elle d´efinit le format de sortie 2, la fr´equence globale 2855.17 (en MHz), la position longi-
tudinale initiale de la particule de r´ef´erence 0. et finalement l’´energie initiale de la particule
de r´ef´erence 1000. (en MeV). Les propri´et´es initiaux du faisceau sont d´efinis par :
input 6 / 999 / 0. 3382.5275 2.08E-06 / 0. 4804.1248 1.14E-06 / 11. 10.
Le premier param`etre d´efinit la mani`ere dont les propri´et´es du faisceau sont acquises.
Comme on choisit 6 le faisceau sera caract´eris´ee par le nombre de particules simul´ees 999
(plus la particule de r´ef´erence) en deuxi`eme position, les param`etres de l’´ellipse αx et βx
(troisi`eme et quatri`eme position) ou bien αy et βy (sixi`eme et septi`eme position), o`u α est
sans unit´e et β en cm. Les ´emittances en cm rad sont donn´ees aux positions cinq et huit,
finalement la dispersion en phase (11.) et en ´energie (10.). La phase initiale des ondes `a
haute fr´equence pour l’acc´el´eration est d´etermin´e par WT0 sur la carte [11]
START WT0=0. DWT=10. NSTEPS=500000 NSC=0 NOUT=0
Enfin, le code cr´e´e s’ex´ecute apr`es la carte ’start’ et les r´esultats sont enregistr´es dans
plusieurs fichiers de sortie. Grˆace au logiciel SIMPLE qui fait partie de l’installation de
Parmela, on peut visualiser par exemple l’´energie en fonction de la phase des particules [18].
28. 7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB 23
7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB
Comme pour les simulations avec PBO-Lab, la simulation commence avec un quadrupˆole
focalisant pour les e+ suivant la direction x, de longueur 5.1 cm. Cela permet l’utilisation
des param`etres de Twiss calcul´es pour le centre d’un tel quadrupˆole de longueur 10.2 cm
(voir Ch.4.1.3 ). Un code pour les sections acc´el´eratrices du type SLAC est disponible dans
[11] :
CELL /L=3.499 /APER=0.95466 /IOUT=1 /phi0=30.29 /E0=9.366 /NC=1
/DWT=1. /SYM=1 /CFREQ=2855.986 /CTYPE=1 /BZ=0. /NFC=14 /COS=1
0.1704634E+01,0.3405747E+00,-0.1342430E+00,-0.3698516E-01,
0.1405716E-01,0.3110588E-02,-0.3895104E-03,-0.4738850E-04,
0.2688355E-05,0.3202221E-07,0.9270728E-08,0.6640441E-07,
-0.9901883E-07,-0.7171031E-07
trwave 1.7495 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1 -5 5 .6667 86 0
0 0 0 0 0
trwave 3.499 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1
trwave 3.499 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1
2nd - 84th
trwave 3.499 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1
trwave 1.7495 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1
o`u 2nd-84th repr´esente 83 cartes identiques du type ’trwave’. Comme d’habitude, les
trois premiers param`etres donnent la longueur de l’´el´ement, le rayon d’ouverture et le
param`etre de sortie. Le param`etre suivant est la phase, qui doit ˆetre la mˆeme pour chaque
carte ’trwave’ et 90◦ de plus pour la carte ’CELL’ qui sert `a l’initialisation des param`etres
du champ ´electrique de haute fr´equence. Il est important de modifier le sixi`eme param`etre
qui est la valeur de num´erotage, indiquant chaque tank. Pour notre simulation, on modifie
les longueurs pour avoir une longueur de 3.5 cm par cavit´e, et la fr´equence `a 2855.17 MHz
(λ = 10.5 cm). L’ensemble du code pour la section acc´el´eratrice, repr´esente une section de
longueur 297.5 cm, car la longueur de la carte ’CELL’ compte aussi. En cons´equence, il
faut diminuer la longueur de l’espace de glissement avant une cavit´e de 3.5 cm pour garder
la mˆeme longueur totale.
Finalement le fichier d’entr´ee pour la simulation de la moiti´e d’une p´eriode (sans titre) :
30. 25
8 Annexe C : Figures
Figure 10 – Structure des lentilles minces, focalisantes et d´efocalisantes en distance L
(FODO). La structure provoque une oscillation p´eriodique de l’enveloppe du faisceau, si
les propri´et´es initiales du faisceau sont appropri´ees.
Figure 11 – Structure SLAC. La longueur d’un tank est de 304.8 cm, la longueur totale
des cavit´es acc´el´eratrices de 294 cm. Le zoom montre le champ ´electrique acc´el´erant en un
instant donn´e.
31. 26 8 ANNEXE C : FIGURES
Figure 12 – Image obtenu par PBO-Lab pour la simulation des propri´et´es transversales
du faisceau de positrons dans l’acc´el´erateur ind´ependamment de l’acc´el´eration. La courbe
rouge repr´esente l’enveloppe dans la direction x, la courbe bleue celle dans la direction y.
Figure 13 – Simulation des propri´et´es transversales du faisceau d’´electrons dans
l’acc´el´erateur ind´ependamment de l’acc´el´eration. La courbe rouge repr´esente l’enveloppe
dans la direction x, la courbe bleue celle dans la direction y.
Figure 14 – Enveloppes du faisceau de positrons, pendant l’adaptation, suivant x en rouge
et suivant y en bleue.
Figure 15 – Enveloppe du faisceau de positrons, pendant l’adaptation pour les ´electrons,
suivant x en bleue et suivant y en rouge.
32. 27
Figure 16 – Structure propos´ee de la section de mesure de la dispersion en ´energie. Toutes
les longueurs sont les longueurs geom´etriques.
Figure 17 – Structure pour la mesure de l’´emittance, en appliquant un gradient
magn´etique de gext = −0.888417 T/m. Les courbes rouge et bleue repr´esentent l’enveloppe
dans les directions x et y respectivement.
9 Annexe D : Tableaux
Table 4 – Structure propos´ee pour l’acc´el´erateur. En n´egligeant le dernier quadrupˆole, la
structure donn´ee correspond `a la moiti´e d’une p´eriode.
Element Quad D´erive Tank D´erive Tank D´erive Quad
L (cm) 8.6 32.3 304.8 31.2 304.8 32.3 8.6
f (m) 25.17 - - - - - -25.17
35. 30 R´EF´ERENCES
R´ef´erences
[1] INFN, editor. SuperB - A High Luminosity Heavy Flavour Factory, Mars 2007.
INFN/AE - 07/2, SLAC-R-856, LAL 07-15.
[2] EPAC 2006,. Doubling the PEP-II Luminosity in Simulations, 2006. MOPLS048.
[3] KEKB breaks luminosity record. CERN Courrier, Juin 2009.
[4] Frank Hinterberger. Physik der Teilchenbeschleuniger und Ionenoptik. Springer-
Verlag, Berlin, 2ˆeme edition, 2008.
[5] S. Turner, editor. CERN Accelerator Physics Course Vol. I. Organisation Europ´eenne
pour la Recherche Nucl´eaire, Janvier 1994.
[6] A.P. Banford. The Transport Of Charged Particle Beams. Taylor & Francis, 1966.
[7] Alessandro Variola. Utilisation du rayonnement optique pour l’´etude des ca-
ract´eristiques spatiotemporelles d’un faisceau d’´electrons. Application `a TTF. PhD
thesis, Universit´e Paris Sud, Janvier 1998.
[8] R.B. Neal, editor. The Stanford Two-Mile-Accelerator. W.A. Benjamin, Inc., New
York, 1968.
[9] M. Biagini, R. Boni, S. Guiducci, F. Poirier, M. Preuer, and A. Variola. New SuperB
Layout Scheme. -.
[10] RadiaBeam Technologies. Magnet portfolio. http ://www.radiabeam.com.
[11] Bernard Mouton. The PARMELA Program - Version 5.03 of Orsay Implementation.
Technical report, Laboratoire de l’acc´el´erateur lin´eaire, Avril 2010.
[12] http ://soft.proindependent.com/qtiplot.html.
[13] Dates de Antoine Chance.
[14] Dates de Susanna Guiducci.
[15] V. Blobel and E. Lohrmann. Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse.
Teubner Verlag, Stuttgart, 1ˆere edition, 1998.
[16] G.H. Gillespie, B.W. Hill, and J.M. Moore. Solving Complex Beamline Fitting and
Optimization Problems with the Particle Beam Optics Lab (PBO-Lab), 2000. Pro-
ceedings of EPAC 2000.
36. R´EF´ERENCES 31
[17] Helmut Wiedemann. Particle Accelerator Physics Vol. 1. Springer-Verlag, Berlin,
1999.
[18] James H. Billen. Parmela. Los Alamos National Laboratory, D´ecembre 2005. LA-
UR-96-1835.
