Makalah Determinan UPB
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Makalah Determinan UPB

on

  • 9,017 views

rundutboys@gmail.com

rundutboys@gmail.com

Statistics

Views

Total Views
9,017
Views on SlideShare
9,007
Embed Views
10

Actions

Likes
5
Downloads
289
Comments
0

2 Embeds 10

http://www.slashdocs.com 7
http://www.docseek.net 3

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Makalah Determinan UPB Makalah Determinan UPB Document Transcript

  • TUGAS MANDIRI DETERMINAN Mata Kuliah: Aljabar LinierNama Mahasiswa : Parningotan PanggabeanNPM : 110210225Kode Kelas : 112-TI005-M1Dosen : Neni Marlina br.Purba,S.pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2012
  • KATA PENGANTAR Puji Syukur penulis senantiasa panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esayang telah melimpahkan rahmat-NYA sehingga penulis dapat menyusun makalahini dengan judul “Determinan”. Penulis sangat bersyukur sekali karena dapatmenyelesaikan makalah ini guna memenuhi sebagian persyaratan untukmemperoleh nilai tugas mandiri Aljabar Linier pada Fakultas Teknik InformatikaUniversitas Putera Batam. Makalah ini membahas tentang bagaimana langkah-langkah meghitungsuatu determinan dengan menggunakan beberapa operasi hitung pada AljabarLinier sehingga dapat membantu para pembaca khususnya mahasiswa untukmengetahui cara menghitung suatu determinan dengan benar. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,untuk itukritik dan saran yang sifatnya membangun sangat saya harapkan dan di harapakansebagai umpan balik yang positif demi perbaikan di masa mendatang.Harapansaya semoga Makalah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuankhusunya di bidang ilmu Aljabar Linier secara khusus di dalam memberikan cara-cara menghitung suatu determinan dengan mudah. Akhir kata,penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pihakyang membutuhkan. Batam, Mei 2012 Penulis
  • DAFTAR ISIKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . iiBAB I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B. Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1BAB II ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1DETERMINAN 1. Menghitung determinan dengan perkalian elementer . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer . . . . . . . . . . . 6 3. Sifat-sifat determinan suatu matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8 4. Menghitung determinan dengan Expansi kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Penyelesaian SPL dengan aturan cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12BAB III PENUTUP B. KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 14 A. SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 14DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15
  • BAB I PENDAHULUANA. Latar belakang Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasanitulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapatkita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pastimenggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini denganmaksud membantu pemahaman mahasiswa agar mereka tidak menilai Matematikaadalah sesuatu yang buruk.Secara khusus dalam ilmu pengetahuan Aljabar Linear.B. Tujuan Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi Tugas Mandirimata kuliah Aljabar Linear, yang diberikan oleh dosen saya Ibu Neni Marlina.Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang saya harapkanbermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.
  • BAB II ISI DETERMINANDeterminan : Produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikianhingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda,kemudian hasilnya dijumlahkan.A = a11 a12 det (A) = a11 a22 – a12 – a21 a21 a22A. Fungsi DeterminanDefinisiSuatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunanbilangan bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan.Contoh:Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n!permutasi.Sub Bahasan Determinan 1. Menghitung determinan dengan perkalian elementer 2. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer 3. Sifat-sifat determinan suatu matriks 4. Menghitung determinan dengan expansi kofaktor 5. Penyelesaian SPL dengan aturan cramer1. Menghitung Determinan dengan Perkalian Elementer Pada bagian ini kita akan membahas tentang determinan dan caramencarinya.Determinan merupakan nilai yang paling penting dalam perhitungan
  • matriks.Definisi-definisi maupun teorema yang penting yang berhubungan denganpencarian matriks.Definisi 1.Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif {1,2,3, . . . .,n} adalahsusunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan tertentu “tanpamenghilangkan” “tanpa mengurangi” bilangan bulat tersebut. Contoh 1. Permutasi dari {1,2} adalan (1,2) dan (2,1). Permutasi dari {1,2,3} adalah (1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3),(1,3,2),dan (3,2,1).Dari definisi permutasi,apabila ada 4 bagian,maka banyaknya permutasi adalah 24buah.Hal ini dapat di hitung dari rumus n.Dapat dilihat untuk n = 2,maka ada 2 permutasi.Untuk n = 3,maka ada 6 = 3.2.1permutasi.Untuk n = 4,maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi. Contoh 2. Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut : a. (6,5,3,1,4,2) b. (2,4,1,3) c. (1,2,3,4) Penyelesaian : Jumlah inversi/pembalik : 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + = 12 Jumlah inversi/pembalik : 1 + +2 + 0 =3 Tidak ada inversi/pembalik dalam permutasi iniDefinisi 2.Dalam permutasi,di katakan terjadi sebuah inversi apabila sebuah bilangan bulatyang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih kecil. Contoh : Kita akan menghitung inversi dalam dalam permutasi (2,4,1,3).caranyasebuah berikut :Banyak nya bilangan bulat lebih kecil daripada j 1 = 2 dan mengikuti (yaitu j3 =1),dapat di lihat pada permutasi (2,4,1,3).Dalam permutasi tersebut j1 = 2 , j2 = 4,j3 = 1, dan j4 = 3.
  • Banyak nya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j2 = 4 dan mengikutinya,adadua ( yaitu j3 = 1 dan j4 = 3).Banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j3 = 1 dan mengikutinyaadalah nol.Sehingga banyaknya inversi dalam permutasi ini adalah 1 + 2 + 0 = 3Definisi 3.Sebuah permutasi di namakan permutasi genap jika banyaknya inversi dalampermutasi tersebut genap.Sebaliknya sebuah permutasi di namakan permutasiganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil. Contoh : Permutasi (2,4,1,3) adalah permutasi ganjil karena banyaknya inversidalam permutasi tersebut ganjil.sementara itu ,permutasi (1,2,3,4,5,6) adalahpermutasi genap. Contoh .Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari{1,2,3} sebagai genap atau ganjilPermutasi Jumlah Inversi klasifikasi (1,2,3) 0 Genap (1,3,2) 1 Ganjil (2,1,3) 1 Ganjil (2,3,1) 2 Genap (3,1,2) 2 Genap (3,2,1) 3 Ganjil4. DefinisiHasil perkalian elementer matriks A yang berukuran n x n adalah hasil perkalianelemen-elemen tersebut berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama. Contoh : Hasil perkalian elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43a14.
  • a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44Sementara itu ,a11,a12,a23,a34 adalah bukan hasil perkalian elementer sebab bentuka11,a12,a23,a34 mempunnyai elemen pada baris yang sama,yaitu elemen a11 dan a12terletak pada baris yang sama.Cara mencari seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks A yang berukuran nx n adalah sebagai berikut. 1. Tulislah bentuk a1.,a2.,a3.,....,an. 2. Tanda dalam bentuk tersebut di ganti dengan seluruh permutasi (j1,j2,j3,....jn) maka tentulah di dapat n. Hasil perkalian elementer. Contoh : a11 a12 a13 Dipunyai matriks a = a21 a22 a23 a31 a32 a33maka kita tuliskan a1.,a2.,a3. Dan permutasi-permutasi dari n = 3 adalah :(1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2)(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)Hasil perkalian elemennya adalah :(1,2,3) a11 a22 a33(2,1,3) a12 a21 a33Definisi 5.Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalianelementer (a1.,a2.,...an) yang di kalikan dengan + 1 jika permutasi nya genap dandikalikan dengan – 1 jika permutasinya ganjil. Contoh :Untuk matrisk A yang berukuran 3 x 3,maka hasil perkalian bertanda dari a11 a23 a32 adalah – a11 a23 a32 (karena permutasi yang bersesuaian adalah (1,3,2) yangmerupakan permutasi ganjil.
  • Definisi 6.A adalah matriks bujur sangkar.Determinan matriks A yang di simbolkan det (A)dapat di definisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertandadari matriks A.Definisi di atas apabila di notasikan akan berbentuk : Det(A) = ∑ ± a1j1 a2j2 a3j3 . . .an jn (j1j2jn) Contoh :Hasil untuk pencarian determinan akan di jabarkan dalam bagian berikut ini :Untuk n = 2 A = A11A12permutasi A21 a22 invers hasil perkalian elementerbertanda (1,2) 0 a11 a22 (2,1) 1 -a12 a21Jadi,det (A) = a11 a22 – a12 a212. Menghitung Determinan dengan Operasi Baris ElementerDeterminan suatu matriks dapat di hitung dengan menggunakan operasi bariselementer yang telah di perkenalkan pada bab sebelumnya .Perhitungandeterminan suatu matriks dapat di lakukan dengan mudah apabila kita mengenalsifat-sifat atau teorema yang berhubungan dengan determinan.Teorema-teorema yang berhubungan denga determinan adalah sebagai berikut :Teorema 1.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan memuat sebuah baris(kolom) yang elemenya semua nol,maka det(A) = 0. Contoh : 1 2 1 -1 det 3 -1 2 0 =0 0 0 0 0 -1 -1 2 1
  • Teorema 2.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan terdapat 2 baris (kolom)yang sama maka,det A = 0. Contoh : 1 -2 3 4 det -2 2 4 4 =0 1 1 -1 2 1 -2 3 4Teorema 3.Jika A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n x n,maka det(A)adalah hasil dari perkalian elemen-elemen di agonal utama,yaitu det (A) = a11 a22 a33 ...ann.Contoh : 1 0 0 0 01 1 -1 2 -1 -1 0 0 00 3 2 -2 = (1)(2)(-3)(2) = - 12 det -3 2 -1 0 00 0 -3 1 2 3 -1 2 00 0 0 2 7 6 4 2 1= (1)(-1)(-1)(2)(1) =2Teorema 4.Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A yang sebuahbaris/kolomnya di kalikan dengan konstanta k,maka det A1) = kdet(A). Contoh : 1 1 1 Bila A 2 -1 2 ,maka kita dapat menghitung det(B) 1 -2 2
  • 1 1 1 Untuk B 4 -2 4 1 -2 -4Jelas di hitung bahwa det (A) = 15,maka det (B) = 30 (sebab matriks B di perolehdari A dengan baris ke dua dari matriks A di kalikan 2).Teorema 5.Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B ( bila dua baris matriks Bdi pertukarkan letak tempatnya,maka det(B1) = -det (B). Contoh : Coba tunjukkan dengan perkalian elementer bertandaapakah benar : 1 -2 -4 1 1 1 det 2 -1 2 = -det 2 -1 2 = 15 1 1 1 1 -2 -4Teorema 6.Jika C1 adalah matriks yang di hasilkan bila sebuah kelipatan suatu konstanta k ≠0 dari 1 baris (kolom) matriks C yang di tambahkan ke baris atau (kolom) yanglain,maka det (C1) = det (C). Contoh : 1 1 1 1 1 1 det 0 -3 0 = det 2 -1 2 = 15 1 -2 -4 1 -2 -4Sebab matriks di atas di hasilkan dari matriks A dengan operasi baris elementeryang ke tiga,yaitu R2 R2 + (2) R1 atau perkalian konstanta (2) terhadap baris satuyang di tambahkan ke baris 2.
  • Dan akhirnya dari teorema 1 sampai dengan teorema 6,kita akan dapatmenghitung determinan matriks dengan lebih cepat secara manual.3. Sifat-Sifat Determinan Suatu Matriks Pada bagian berikut ini akan di bahas beberapa sifat determinan sebagailanjutan dari ke enam sifat determinan yang telah di berikan pada bagiansebelumnya. Teorema 1. Bila A adalah matriks yang berukuran n x n,maka : Det (AT) = det (A) Contoh : Elemen matriks ini menggunakan perkalian elementer bertanda 1 2 3 1 -1 2 det -1 0 -1 dan det 2 0 1 2 1 -2 3 -1 -2Teorema 2.Misalkan A,A1 dan A2 adalah matriks yang berukuran n x n yang berbeda didalam sebuah baris/kolom saja (katankanlah baris/kolom b) dan baris/kolom bdari A2 di peroleh dari penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian di dalambaris/kolom b dari matriks A dan matriks A1,maka :Det (A2) = det (A) + det (A1)Contoh : 2 1 3 2 1 3 21 3 A= 1 1 4 A1= 1 -1 -3 A2= 2 01 2 1 1 2 1 1 2 1 1Teorema 3.Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran n x n,maka det(AB) =det (A) + det (B).Contoh : 1 3 1 -1 3 1 A= -1 1 0 B= -1 0 0 0 -1 1 1 -1 2
  • Teorema 4.Sebuah matriks A yang berukuran n x n merupakan matriks invertilbe jika danhanya jika det (A) ≠ 0.Teorema 5.Jika A merupakan matriks invertible,maka det (A-1) = 1 det (A)Teorema 6.Diberikan E adalah matriks elementer yang berukuran n x n. a) Jika E di hasilkan dari pertukaran 2 baris In,maka det (E) = -1. b) Jika E di hasilkan dari mengalikan satu baris In dengan konstanta k,maka det (E) = k. c) Jika E di hasilkan dari penambahan k kali baris kepada baris yang lain dari In,maka det (E) = 1. 4. Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Nilai determinan suatu matriks dapat juga di hitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor sebeelum kita menghitung determinan suatu matriks.Namun sebelum itu,perhatikan terlebih dahulu beberapa definisi dan istilah-istilah yang berhubungan dengan kosep perhitungan tersebut. Definisi 1. Bila A adalah sebuah matriks bujur sangkar,maka minor elemen aij (disimbolkan dengan Mij) di definisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke –i dan kolom ke –j di coret dari A. Nilai (-1)i+j di tuls sebagai Cij dan dinamakan kofaktor elemen aij. Jadi,Cij = (-1)i+j Mij. Contoh : 121 Diberikan A -13 -3 ,maka 2-21
  • 1 2 1 M32 = det -1 3 -3 = det 1 1 = (1)(-3)-(1)(-1) = -3 += -2 2 2 1 -1 -3Dan C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2Jadi, C32 = 2 dan M32 = -2.Contoh lain :Hitunglah determinan matriks A berikut ini : 1 2 1A= 1 2 3 3 1 1Dengan menggunakan ekspansi kofaktor baris 1 ekspansi kofaktor baris 2.Jawab :Perhitungan determinan dengan ekspansi kofaktor baris 1 adalah sebagai berikut :Det(A) = (1) 2 3 -2 1 3 +1 1 2 1 1 3 1 3 1= (-2)(-8) + 2(-2) -1(2) = 16-4-2 =10Definisi 2. (Matriks Kofaktor)Jika A adalah sembarang matriks n x n dan Cik adalah kofaktor dari aij,makamatriks dengan bentuk : C11 C12 .... C1n C21 C22 ....C2n . . . Cn1 Cn2 CnnDinamakan matriks kofaktor dari matriks A.Reduksi BarisDeterminan sebuah matriks dapat di hitung dengan mereduksi matriksmenggunakan operasi baris elementer sehingga matriks berada pada bentuk eselonbaris.
  • Defenisi 3.Matriks adjoin A di simbolkan dengan Ajd(A) adalah transpose dari matrikskofaktor A.Definisi 5.Jika A adalah matriks yang berukuran n x n dan A adalah matriks yanginvertibel,maka : A-1 = 1 adj(A) det(A)Denga kata lain kita dapat mencari A-1 dengan menggunakan det (A) dan adj (A).Contoh 1. 3 1 -4Tentukan A-1,bila A = 6 9 -2 Dengan menggunakan Adj (A). 1 2 1Jawab : 3 1 -4 maka 6 9 -21 2 1Sedangkan apabila di hitung,maka di dapat det (A) = 43 sehingga : 13 -9 34 13/43 -9/43 34/43 A-1=1/43 -8 7 -18 = -8/43 7/43 -18/43 Contoh 2. 3 -5 21 3/43 -5/43 21/43A= a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
  • Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C325. Penyelesaian SPL dengan Aturan CramerKita dapar menggunakan konsep determinan untuk mendapatkan penyelesaian SPL.caranya adalah dengan menggunakan aturan Cramer.Aturan Cramer :Bila Ax = B adalah SPL yang terdiri dari n persaman linier dengan n variabel yang tidak di ketahui dan det (A) ≠ 0,maka SP; tersebut mempunyai penyelesaian tunggal dan penyelesaiaanya adalah : x1 = det (A1) x2 = det (A2) x3 = det (An) det (A) det(A) det(A)Dengan matriks Aj,j = 1,2,4,. . . .,n adalah matriks yang di peroleh dengan mengganti elemen kolom j dari matriks A dengan matriks : b1 b2 B= b3 bnContoh : Dipunyai SPL x + y -2z =1SPL ini bersesuaian dengan SPL bentuk A x =B 2x – y + z = 2 x -2y – 4z = -4 1 1 -2 x1 1Dengan A = 2 -1 1 x = x2 dan B = 2 1 -2 -4 x3 -4 1 1 -2Det (A) = det 2 -1 1 =21 ;det(A1) = det 2 -2 1 = 26 1 -2 -4 -4 -2 -4 1 1 1 1 1 1
  • Det (A2)=det 2 2 1 =25 ;det(A3)=det 2 -4 2 = 15 1 -4 -4 1 -2 -4Jadi dengan menggunakan aturan Cramer di dapat :x = det(A1) = 26 y = det(A2) = 25 z = det(A3) = 15 det(A) 21 det(A) 21 det(A) 21
  • BAB III PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran yang diambil dari keseluruhan isidari makalah ini yang telah di teliti dan di pelajari untuk di ambil kesimpulan dansaran.A. Kesimpulan Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatubilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.Determinan memilikipenyelesaian, yaitu himpunan angka yang akan memenuhi suatu determinanmatriks.Ada beberapa macam penyelesaian determinan di antaranya denganEkspansi Kofaktor,Adjoin,Matirks segi tiga,metode cramer dan metode –metodelainnya,dan yang paling sering di gunakan yaitu dengan Ekspansi KofaktorB. Saran Dalam menyusun makalah ini,penulis menyadari sepenuhnya bahwa isimakalah ini belumlah sempurna dan masih kurang baik mengenai materi maupuncara penulisannya.Oleh karena itu,penulis sangat mengharapkan kritik dan saranyang sifatnya membangun dari pihak lain yang dapat menyempurnakan makalahberikutnya.Dan alangkah baiknya juga apabila kita terus mengembangkanberbagai makalah-makalah tentang Ilmu Pengetahuan Aljabar Linier di tengah-tengah masyarakat luas secara khusus dalam mahasiswa agar lebih mengertibagaimana langkah-langkah yang lebih mudah dalam memecahkan suatu masalahdalam suatu determinan pada Ilmu Aljabar Linier.
  • DAFTAR PUSTAKABuku :Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2Sumber Lain :www.wikipedia.comwww.google.co.id