Trigonometri

  • 19,143 views
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • mksh ini sangat membantu
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
19,143
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
380
Comments
1
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. A. Perhitungan pada Segitiga Siku-Siku Perhitungan pada segitiga siku-siku berarti menentukan unsur-unsur (sudut,sisi) yang tidak diketahui pada segitiga siku-siku tersebut. Agar perhitungan tersebut dapat dilakukan, maka haruslah diketahui dua sisinya atau salah satu sisi dan sudutnya. Contoh Soal: 1. Seorang anggota Pramuka berdiri 15 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh tegak lurus, seperti ditunjukkan pada gambar. Jika sudut elevasi ke puncak pohon adalah 60o, berapakah 60o tinggi pohon tersebut? Jawab: Tinggi pohon dapat Anda hitung dengan menggunakan perbandingan tangen Tan 60o = Sehingga Jadi, tinggi pohon itu m. 2. Seseorang berjalan lurus dijalan yang datar kearah cerobong asap. Dari lokasi A, ujung cerobong itu terlihat dengan sudut elevasi 30o. kemudian, ia berjalan lurus lagi sejauh 20 m ke lokasi B. Dari lokasi B, cerobong asap terlihat dengan sudut elevasi 60o. Jjika tinggi orang itu 1,6 m, tentukan tinggi cerobong asap tersebut? T ? A1 30o B1 60o E 1,6 A 20 B D
  • 2. Jawab:i) Sebelumnya, Anda harus dapat menjelaskan karakteristik masalah tersebut. Karena data yang diketahui adalah sisi di depan dan sisi di dekat sudut sehingga masalah yang dihadapi berkaitan dengan tangen tersebut.ii) Selanjutnya, tentukan besaran-besaran yang akan dirancang sebagai variabel. Dapat ditentukan variabel-variabel antara lain sudut A1, sudut B1, jarak TE, jarak A1E, jarak B1E, dan jarak ED.iii) Rumuskanlah model matematika untuk masalah tersebut. Perhatikan B1ET (siku-siku di E) (*) Perhatikan (**) Langkah selanjutnya adalah menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut. Samakan TE pada (*) dan (**) sehingga diperoleh Substitusikan ke dalam (**) sehingga diperolehiv) Tafsirkan solusi yang anda peroleh. Tinggi cerobong adalah jarak TE ditambah jarak ED, yang merupakan tinggi orang tersebut. Sehingga, tinggi cerobong
  • 3. TD = TE TD = 10 + 1,6 TD = 17,3 + 1,6 = 18,9 m 3. Sebuah bidang miring dengan panjang 1,6 m digunakan untuk memasukkan barang ke dalam pesawat terbang. Jika bidang miringnya membentuk sudut 23o terhadap tanah, berapa panjang dasar bidang miring? Jawab: i. Diketahui sudut A, hipotenusa, dan sisi di dekat A. Oleh Karena itu, Anda dapat menggunakan perbandingan kosinus. ii. A = 23o, hipotenusa = 1,6 m dan . iii. iv. v. Jadi, panjang dasar bidang miring adalah 1,4728 m.B. Membuktikan Identitas Trigonometri Pada bagian terdahulu, Anda telah mengenal persamaan trigonometri berikut. Persaman-persamaan ini berlaku bagi semua nilai peubah (variabel) A. Oleh karena itu, persamaan ini disebut identitas trigonometri. Dalam bagian ini, akan dibuktikan beberapa identitas trigonometri dengan menggunakan kedelapan identitas dasar. Untuk memudahkan dalam membuktikan identitas trigonometri, perlu diberikan penuntunnya, seperti berikut. 1. Identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan dua cara. a. Cara 1 Jika ruas kiri persamaan lebih kompleks, persamaan ruas kiri tersebut yang diselesaikan sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas
  • 4. kanan. Sebaliknya, jika ruas kanan persamaan lebih kompleks, persamaan tersebut yang diselesaikan sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas kiri. b. Cara 2 Penyelesaian ruas kiri dan kanan persamaan dilakukan secara terpisah sehingga diperoleh suatu bentuk yang sama.2. Penyederhanaan persamaan dicari peluangnya dengan cara memfaktorkan, menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan, faktor kuadrat suatu binomial, atau menciptakan suatu faktor yang sama pada pembilang dan penyebut suatu pecahan.3. Carilah peluang untuk menggunakan kedelapan identitas dasar. Lalu, catatlah perbandingan trigonometri yang ada dalam pernyataan akhir yang diinginkan.4. Jika petunjuk tidak menolong, ubahlah semua pernyatan ke dalam bentuk sinus dan kosinus.Contoh SoalJawab:Persamaan ruas kiri diubah menjadi bentuk ruas kanan.
  • 5. Latihan Soal1. Seorang sopir telah mengendarai mobil sepanjang 200 m pada suatu jalan raya mendaki. Jalan tersebut membentuk sudut 30o terhadap horizontal. Berapakah ketinggian sopir pada jarak tersebut?2. Dua jalan lurus berpotongan, membentuk sudut 75o. Sebuah mobil yang menempuh salah satu jalan berada 1.000 m dari titik persimpangan. Tentukan jarak terpendek yang harus ditempuh mobil itu jika ingin menuju ke jalan lainnya?3. Heti mengamati puncak pohon dari dua tempat yang berbeda. Ketika Heti berada di A, ia mengamati puncak pohon dengan sudut elevasi 60o. Ketika berada di B, ia mengamati puncak pohon tersebut dengan sudut elavasi 30o. Jika tinggi Heti = 1,5 m, berapakah tinggi pohon tesebut?4. Sudut elevasi dari kaki ke puncak gunung memiliki ukuran 60o. Diketahui sebuah lift ski dari kaki ke puncak unung memiliki panjang 600 meter. a. Berapa tinggi gunung tersebut? b. Jika pemandangan ini muncul pada sebuah televisi, dan panjang lift ski pada layar adalah 15 cm, tentukan sudut elevasi yang akan muncul pada layar televisi? c. Tentukan tinggi gunung pada layar?5. h P S Seorang pengintai pada suatu balon yang tingginya h (dari permukaan datar) melihat parit pertahanan P dengan sudut terhadap garis mendatar dan melihat senapan S dengan sudut terhadap garis mendatar. Tentukan jarak
  • 6. senapan mesin S dengan parit pertahanan P (nyatakan dalam h dan perbandingan trigonometri untuk sudut dan )! 6. Buktikan identitas trigonometri berikut! a. b. c. d. 7. Jika , buktikan bahwa , kemudian tentukan nilai sec A, tan A, dan sin A dalam k!C. Fungsi dan Persamaan Trigonometri  Grafik fungsi Trigonometri Grafik y = sin x untuk Fungsi y = sin x Mempunyai harga maksimum, yaitu M Mempunyai harga m inimum, yaitu y = -1 atau Memotong sumbu X di x = k.180o, k Merupakan fungsi periodik dengan periode 360o Grafik y = cos x untuk Fungsi y = cos x Mempunyai harga maksimum, yaitu y = 1 atau Mempunyai harga minimum, yaitu y = -1 atau Memotong sumbu X di x = 90o k.180o, k Merupakan fungsi periodik dengan periode 360o
  • 7. Grafik y = tan x untuk Fungsi y = tan x Mempunyai range (jelajah) yaitu Memotong sumbu X di x = k.180o, k Merupakan fungsi yang periodik dengan periode 180oContoh SoalJika F(x) = 5 sin + 2 mempunyai maksimum dan minimum maka nilai ab ? Jawab: Maka Penyelesaian Persamaan Trigonometri a. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α, untuk atau Dengan mengingat rumus sin (180° - α) = sin α dan sin (α + k. 360°) = sin α, maka diperoleh: Jika sin x = sin α atau sin x = sin A , maka atau atau (x dan A satuannya rad) b. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α, untuk atau
  • 8. Dengan mengingat rumus cos (− α) = cos α dan cos (α + k. 360°) = cos α, diperoleh: Jika cos x = cos α atau cos x = cos A, maka atau atau (x dan A satuannya rad) c. Menyelesaikan persamaan tan x = tan α, untuk atau Dengan mengingat rumus tan (180° + α) = tan α dan tan (α + k. 360°) = tan α, maka diperoleh: Jika tan x = tan α atau tan x = tan A, maka (x dan A satuannya rad)Contoh Soal1. Jika x memenuhi 2 sin2x – 7 sin x + 3 = 0 dan , maka cos x = Jawab: 2 sin2x – 7 sin x + 3 = 0 dan (2 sin x – 1)(sin x – 3) = 0 2 sin x – 1 = 0 (tidak memenuhi) 2 sin x = 1 sin x = x=2. Tentukan HP dari Jawab:
  • 9. Jadi, HP = {Latihan soal1. Jika f(x) = 2 sin2x, maka fungsi f memenuhi selang?2. Jika , maka a + b?3. Fungsi , mempunyai nilai maksimum a dititik a + b?4. Tentukan semua peubah x dalam selang atau yang memenuhi persamaan berikut a. 2 sin x cos x = cos x b. 3 tan2x – 2 tan x = 0 c. 2 sin3x = sin 2x5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan untuk
  • 10. D. Aturan Sinus Untuk segitiga sebarang ABC yang sisi-sisinya a, b, san c serta panjang jari-jari lingkaran luarnya r, s berlaku hubungan berikut. Atau A r O C B r A Contoh Soal 1. Masalah disini persis sama seperti Contoh soal 2 hanya dalam contoh ini tinggi cerobong asap ditentukan menggunakan aturan sinus. T ? A1 30o B1 60o E 1,6 A 20 B D Jawab: (i) Masalah dapat dikategorikan dalam dua tahap, yaitu penentuan panjang BT, kemudian menggunakan panjang BT untuk mencari panjang TE dan TD. Penentuan panjang BT dapat digunakan aturan sinus. Menghitung TE dapat menggunakan perbandingan sinus dalam . (ii) Variabel-variabel yang akan digunakan antara lain dan TD. T
  • 11. (iii)Rumuskan model matematika untuk masalah tersebut …………………(1) ………(2) ………………………(3) ………………………….(4) ………………………(5) (iv)Tentukan solusi dari model matematika tersebut (1) (2) (3) (4) (5) meter (6) Jadi, tinggi cerobong asap itu adalah 18,9 meter danau2. B 125,4o d C 135 42,5o Sebuah danau akan diukur panjangnya (lihat gambar). Untuk itu, ditetapkan suatu garis acuan AB yang sebidang dengan permukaan danau dan panjangnya 135 m. diperoleh besar sudut A dan B adalah 42,5o dan 125,4o. Berapa panjang danau tersebut? Jawab:
  • 12. Terlebih dahulu dicari besar sudut C dalam C sebagai berikut. utara 12 A 8 B A 96 A km Selanjutnya, panjang danau dapat dihitung dengan menggunakan aturan sinus. Jadi, panjang danau itu adalah 435,1 meter.E. Aturan Kosinus Misalkan ABC suatu segitiga sebarang maka berlaku hubungan berikut B c a A C Contoh soal b 1. Sebuah kapal berlayar ke timur sejauh 96 km, kemudian berbelok dengan arah 075o. setelah menempuh 128 km pada arah ini, berapa jauh kapal tersebut dari titik berangkatnya semula? Jawab: Sketsa perjalanan kapal tersebut diilustrasikan seperti pada gambar. Sebelum menentukan panjang AC dengan aturan kosinus, terlebih dahulu harus dicari besar sudut B dengan cara berikut. h
  • 13. Dengan menggunakan aturan kosinus pada diperoleh = 222,12 km Jadi, jarak kapal dari titik berangkatnya semula adalah 222,12 km.2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari masing-masing 2, 5, dan 8 satuan panjang bersinggungan satu sama lain (lihat gambar). Tentukan besar ketiga sudut yang dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan pusat- pusat lingkaran tersebut? C Jawab: Perhatikan pada gambar tersebut. A B Panjang tiap sisi ABC adalah Besar salah satu sudut, misalnya sudut A dapat ditentukan dengan aturan kosinus sebagai berikut.
  • 14. Selanjutnya, sudut B dan C dapat dihitung dengan aturan sinus 0,989F. Luas Segitiga Luas suatu segitiga sebarang sama dengan setengah dari hasil kali dua sisi dengan sinus sudut apitnya. Untuk sebarang, rumus umum segitiga ini dapat dinyatakan oleh persamaan berikut. B c r a A b C
  • 15. Contoh soal1. Pada bidang empat beraturan ABCD dengan panjang sisi a, jika M adalah A tentukan nilai luas a titik tengah BC dan a D a B M C a Jawab:
  • 16. 2. Tentukan luas segienam beraturan jika jari-jari lingkaran luarnya adalah 4 cm. Jawab: Segienam beraturan identik dengan 6 buah segitiga beraturan (segitiga samasisi). Luar segitiga dapat dihitung dengan rumus umum luas segitiga karena dua segitiga dan sudut apitnya diketahui. cm3. cm3.Latihan soal1. Poros engkol sebuah mesin memiliki panjang 5 cm dan batang penghubung AB memiliki panjang 21 cm. tentukan ukuran jika ukuran adala 5o? A 21 m 5 cm o 5 C B
  • 17. 2. Untuk mengukur sebuah gunung, seorang pengamat menggunakan skema, seperti pada gambar berikut. Kaki gunung 600 m B A Dia mula-mula berada di A dan mengamati gunung dengan sudut elevasi 45o. dia berjalan menjauhi gunung dan berhenti di B yang berjarak 600 meter dari A. di B, dia sekali lagi mengamati gunung dengan sudut elevasi 37o. jika kaki gunung berada 1.800 m di atas permukaan laut, berapa tinggi gunung diatas permukaan laut?3. Sebuah perahu sedang berlayar ke timur (sejajar dengan garis pantai) dengan kelajuan 21 km/jam. Pada suatu saat tertentu, arah perahu ke menara mercusuar adalah 118o dan 20 menit, kemudian arahnya adalah 124o (perhatikan gambar) U 118o 124o B T B d S Menara mercusuar Garis pantai 260 m Tentukan jarak perahu, d, dari garis pantai, jika 69,2o 65,2o menara mercusuar terletak pada garis pantai? h4. Sebuah jembatan panjangnya 260 m. Suatu titik pada permukaan air tepat berada di bawah jembatan. Jika titik itu dipandang dari ujung jembatan,
  • 18. memberikan sudut depresi seperti ditunjukan pada gambar. Berapakah tinggi jembatan dari permukaa air?5. Garis bagi sudut A dalam segitiga ABC memotong sisi si seberangnya di titik D, seperti ditunjukana pada gambar. Jika BD = x dan CD = y, gunakanlah atura sinusdalam kedua segitiga untuk menunjukkan bahwa A ! c b x y B D C6. Sebuah segitiga samasisi terdapat dalam sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Tentukan keliling segitiga tersebut?7. Sebuah Derek ditunjukkan pada gambar berikut. C 10 m A B 1,5 m Hitunglah panjang BC?8. Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran yang berjari-jari 10 cm, 5 cm, dan x cm. Tentukan x!9. Dalam a. Tunjukkan bahwa ! b. AD adalah salah satu garis tinggi, yaitu garis yang ditarik A tegak lurus terhadap BC. Jika AD= , tentukan x!10. Nilai 1 1 2
  • 19. 11. Tentukan luas sebuah heptagon yang titik-titik sudutnya terletak pada suatu lingkaran yang berjari-jari 20 cm!12. Diketahui jari-jari lingkaran luar segitiga PQR adalah . Jika , tentukan panjang PQ!13. Di dalam suatu lingkaran dibuat suatu segitiga samasisi, seperti ditunjukkan pada gambar. a. Tentukan nilai perbandingan antara luas yang diarsir dan luas lingkaran! b. Jika luas lingkaran = 600 dm2, tentukan luas segitiga!14. Dua sisi sebuah segitiga adalah 8 m dan 7 m dan luasnya m2. Dengan menggunakan Rumus Heron, tentukanlah panjang sisi yang ketiga!15. adalah suatu segitiga samakaki dengan AB = AC = 1, dan sudut BAC = a. dengan menentukan luas segitiga dalam dua cara tunjukkan bahwa sin 2 a = 2 sin a cos a. untuk nilai a berapakah pertanyaan tersebut berlaku!