Triangulo retangulo 004

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Triangulo retangulo 004

  1. 1. GeometriaCongruˆ ncia e Semelhan¸ a e c Samuel Jurkiewicz
  2. 2. Sum´ rio a 0.1 ¸˜ Convencoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 fatos b´ sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 21 Congruˆ ncia e 5 1.1 igualdade e congruˆ ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5 1.2 Congruˆ ncia de triˆ ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 8 ¸˜ ´ 1.3 Aplicacoes - Propriedades dos quadrilateros . . . . . . . . . . . 162 Semelhan¸ a c 19 ¸˜ ¸˜ 2.1 Semelhanca, projecao e proporcao . . . . . . . . . . . ¸ . . . . . . 19 a ¸ ´ 2.2 Raz˜ o de semelhanca, numeros racionais e irracionais . . . . . . 23 ¸˜ 2.3 Paralelismo e proporcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ¸˜ 2.4 Projecoes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Semelhanca de triˆ ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . ¸ a . . . . . . 35 ¸˜ 2.6 Aplicacoes e exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . . 36 ¸˜ 2.7 Relacoes m´ tricas no triˆ ngulo retˆ ngulo . . . . . . . e a a . . . . . . 39 a ¸ a ´ 2.8 Pent´ gonos, semelhanca e raz˜ o aurea . . . . . . . . . . . . . . . 42A Para saber mais 44 i
  3. 3. Conven¸ oes e fatos b´ sicos c˜ a0.1 Conven¸ oes c˜ ¸˜Ao longo desta apostila usaremos algumas convencoes. ˆ • Angulos podem ser simbolizados por letras ma´usculas, designando o ı seu centro: A, B. ¨ • Em caso de necessidade podem ser tamb´ m simbolizados pela sequencia e de pontos que o caracterizam, com um acento circunflexo abrangente: ABC. • Segmentos ser˜ o simbolizados pelas letras designando seus pontos ex- a tremos com um traco em cima: AB. ¸ • Retas ser˜ o simbolizadas por letras designando pontos a ela pertencentes a ←→ com uma dupla seta em cima: AB. • Semi-retas ser˜ o simbolizadas por letras designando o ponto extremo e a outro ponto a ela pertencentes com uma seta em cima, indo do primeiro −−→ para o segundo: AB. • Triˆ ngulos ser˜ o simbolizados por a a ABC. ´ Veremos adiante que e importante que n˜ o facamos confus˜ o entre os a ¸ aˆangulos e suas medidas; ou entre os segmentos e suas medidas. ˆ • A medida do angulo A ou ABC ser´ indicada por ∠A ou ∠ABC. a • A medida do segmento AB ser´ indicada por [AB]. a ´ ¸˜A distˆ ncia entre dois pontos e uma nocao bastante intuitiva. Mas precisare- amos tamb´ m da distˆ ncia entre umponto e uma reta. e a ← → a ´ • A distˆ ncia de um ponto A a uma reta XY e a menor entre as distˆ ncias a ˜ entre o ponto A e um dos pontos da reta. Se A nao estiver sobre a reta ←→ ´ ´ esseo ponto P (que e unico) determina com A a reta AP perpendicular a ` ←→ reta XY . 1
  4. 4. ´SUMARIO 20.2 fatos b´ sicos a0.2.1 ˆ Angulos opostos pelo v´ rtice e ˆDuas retas r e s que se intersectam num ponto P produzem 4 angulos. Oaˆ a a e ˆangulos n˜ o adjacentes s˜ o chamados opostos pelo v´ rtice. Dois angulos opos-tos pelo v´ rtice tem a mesma medida. Na figura 0.2.1, α = β. e ˆ ˆ s r β α ˆ Figura 0.2.1 Angulos opostos pelo v´ rtice e0.2.2 Paralelas cortadas por uma reta transversal ˆDuas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t produzem angulos dedois tipos: • De medida igual ´ ´ • Suplementares , isto e, sua soma e igual a 180o a ˆ ˆ b r ˆ d c ˆ e ˆ ˆ f s ˆ h g ˆ t Figura 0.2.2 Paralelas cortadas por uma transversal ´ ˆ ¸˜ E comum nomear os pares de angulos segundo sua disposicao relativa (ficaao leitor determinar emm qual dos dois casos os pares se enquadram): • Colaterais internos: d + e = c + f = 180o . • Colaterais externos: a + e = b + f = 180o . • Alternos internos: c = e; d = f . • Alternos externos: a = g; b = h. • Correspondentes: a = e; b = f ; c = g; d = h.
  5. 5. ´SUMARIO 3 a ˆ Teorema: A soma dˆ s medidas dos angulos internos de um triˆ ngulo qual- a ´quer e 180o . ˆ Demonstra¸ ao: (Veja figura a figura 0.2.2) Seja o triangulo ABC. Pelo c˜ponto C passamos uma paralela ao lado AB. Temos a = d (ˆ ngulos alternos a ˜internos); c = e (ˆ ngulos alternos internos). Entao d + b + e = a + b + c = 180o , ao que completa a demonstracao. ¸˜ X B Y a ˆ c ˆ ˆ b A ˆ e ˆ C d Figura: 0.2.2 A soma dos angulos de um triˆ ngulo ˆ a0.2.3 Classifica¸ ao de triˆ ngulos c˜ aClassificamos triˆ ngulos segundo a medida dos seus lados e a medida dos seus aˆangulos. Quanto aos lados um triˆ ngulo pode ser: a • Equil´ tero: Todos os lados com mesma medida; a ´ • Isosceles: Pelo menos dois lados com mesma medida; • Escaleno: Todos os 3 lados podem ter medidas diferentes. ´Aten¸ ao! - E importante saber tirar o maior proveito dos resultados obtidos. c˜ ˆPor exemplo, se provarmos alguma propriedade porque o tri angulo tem dois ´lados de mesma medida, isso valera tamb´ m para o triˆ ngulo equil´ tero. e a a ˆ ¸˜ Quanto aos angulos um triˆ ngulo pode ser (essa classificacao utiliza o fato a ˆ ´de que a soma dos angulos internos de um triˆ ngulo e 180o ): a ˆ • Acutˆ ngulo: Todos os angulos menores que 90o ; a ˆ • Retˆ ngulo: Um angulo igual a 90o . a ˆ • Obtusˆ ngulo: Um angulo maior que 90o . a ` ˆ Tente classificar os triˆ ngulos abaixo quanto a medida dos angulos e quanto a`a medida dos lados.
  6. 6. ´SUMARIO 40.2.4 Linhas not´ veis do triˆ ngulo a aA cada v´ rtice/ˆ ngulo de um triˆ ngulo associamos trˆ s retas especiais: e a a e ´ • Altura - O segmento de reta que passa pelo v´ rtice e e perpendicular ao e ˆ lado oposto a ele. Tamb´ m usamos a palavra “altura” para designar a e medida da distˆ ncia do v´ rtice ao lado oposto. a e ˆ ˆ • Bissetriz - A reta que divide o angulo em dois angulos iguais. • Mediana - O segmento de reta que liga o v´ rtice ao ponto m´ dio do lado e e oposto. Altura Bissetriz Mediana
  7. 7. Cap´tulo 1 ıCongruˆ ncia e1.1 igualdade e congruˆ ncia e´ ´E comum dizermos que “uma coisa e igual a outra” querendo dizer que elas ˜tem as mesmas caracter´sticas. Na maior parte das vezes isso nao gera con- ıfus˜ o. a Mas em Matem´ tica a palavra “igual” tem um significado mais restrito. a ´ ´Quando escrevemos “A = B (A e igual a B)” queremos dizer que “A e a mesmacoisa que B”. ¸˜ Bem, isso nos traz algumas complicacoes. Na figura 1.1, por exemplo,vemos 2 triˆ ngulos cujos lados correspondentes tˆ m a mesma medida. Em a e ¸˜uma situacao qualquer dir´amos que eles s˜ o “iguais”; em Matem´ tica n˜ o ı a a a ˜ apodemosfazer isso, pois eles nao s˜ o o mesmo triˆ ngulo. a Figura 1.1: Dois triˆ ngulos congruentes a ˆ Neste caso, usamos uma palavra especial. Diremos que os tri angulos s˜ o acongruentes. ˜ Infelizmente nossos problemas ainda nao acabaram. Quando dizemos que ´“duas figuras s˜ o congruentes”?. Uma primeira tentativa e dizer que a figu- ara X e a figura Y s˜ o congruentes quando podemos “deslizar” X sobre Y de a ´ ´modo que elas se superponham. Em Matematica esse deslizamento e feito por ¸˜ ¸˜ ´uma operacao de “transformar X em Y por transla¸ ao”. Uma translac ao e feita c˜ ¸˜em uma determinada direcao, acompanhando uma reta, ou melhor um conjun- ˆ ´to de retas paralelas. Veja a figura 1.1. Cada ponto do triangulo e transportadoa uma mesma distˆ ncia. a 5
  8. 8. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 6 ¸˜ Figura: 1.1 Translacao de um triˆ ngulo a e a a ¸˜A nossa id´ ia parece boa, mas ainda n˜ o d´ conta de todas as situacoes. Veja ¸˜ ¨e ¸˜a figura 1.2. N˜ o h´ translacao ou mesmo sequˆ ncia de translacoes que facam a a ¸um triˆ ngulo se superpor ao outro. a Figura 1.2: Como superpor os triˆ ngulos? a ¸˜ Na figura 1.3 vemos que uma rotacao em volta de um determinado cen- ˆtro consegue fazer um triˆ ngulo se superpor ao outro. Note que as distancias a ˆ ¸˜ao centro s˜ o diferentes, mas o angulo de rotacao tem a mesma medida. Es- a ¸˜ ´ ¸˜ ¸˜sa transformacao e chamada de “rotacao” e depende da determinacao de um ˆcentro e de um angulo. ¸˜ Figura 1.3: Rotacao de um triˆ ngulo a ´ ¸˜ Um fato importante e que as rotacoes podem ser usadas para produzir ¸˜ ¸˜ ¸˜translacoes. A figura 1.4 mostra uma rotacao de X sobre T e uma outra rotacao ¸˜de T sobre Y , produzindo uma translacao dX sobre Y . ¸˜Exerc´cio: Como posso determinar os centros de rotacao que produzem ı ¸˜ ¸˜uma determinada translacao? Verifique que h´ uma infinidade de solucoes. a ¸˜ ¸˜At´ agora observamos que podemos precisar de translac oes e/ou rotacoes e ´ ¸˜para sobrepor figuras congruentes. Na verdade so precisamos das rotacoes, ¸˜uma vez que elas podem produzir translacoes. Ser´ que isso basta? a
  9. 9. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 7 X T Y ¸˜ Figura 1.4: Duas rotacoes produzem uma translacao ¸ a ´ Na verdade ainda h´ um ultimo obst´ culo a ser transposto: veja a figura a ¸˜ ¸˜1.5. Elas n˜ o podem ser supepostas por translacao nem por rotacao. a X Y ¸˜Figura 1.5: Duas figuras que n˜ o podemser superpostas por translacao ou a ¸˜rotacao ˜ Aqui vamos fazer uma pequena digressao: se estas figuras fossem pecas fi- ¸ ı ´nas de madeira poder´amos pegar uma delas e virar. Isso so foi poss´vel porque ı a ˜ ´as figuras est˜ o no plano (duas dimensoes) e nos vivemos no espaco (trˆ s di- ¸ e ˜mensoes). Mas ent˜ o usamos um “truque”! a ˜ Vamos explicar melhor; nossas maos esquerda e direita s˜ o (mais ou menos) a ˆcongruentes. Mas n˜ o conseguimos sobrepo-las por meio de translacao ou a ¸˜ ¸˜rotacao (pare e pense!) E n˜ o podemos “virar” uma das m˜ os usando a . . . 4a a a ¸˜dimens˜ o. Felizmente podemos fazer estas transformacoes sem sair do plano a(ou da 3a dimens˜ o, no caso das m˜ os). a a ´ O que faremos e usar um “espelhamento” que atende pelo nome de sime- c˜ ´tria em rela¸ ao a uma reta ou simetria axial. E como se coloc´ ssemos uma areta/espelho entre as duas figuras de modo que cada ponto de uma figura est a ´ ` ´colocado a mesma distˆ ncia do ponto a ser sobreposto so que do outro lado da areta. Veja a figura 1.6. X Y Figura 1.6: Simetria axial ´ ¸˜ Observemos agora que a simetria axial e uma transformacao muito ¸˜poderosa. Ela pode produzir qualquer rotacao. Veja o exemplo na 1.7 Exerc´cio: Como posso determinar as retas (eixos de simetria) que pro- ı ¸˜duzem uma determinada rotacao? Verifique que h´ uma infinidade de a
  10. 10. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 8 T X Y ¸˜ Figura 1.7: Duas simetrias axiais formam uma rotacao ¸˜solucoes. Exerc´cio: Como posso determinar as retas (eixos de simetria) que pro- ı ¸˜duzem uma determinada translacao? Verifique que h´ uma infinidade de a ¸˜solucoes. ¸˜ ¸˜ ˜ Translacao, rotacao, simetria axial, nossos problemas estao no fim. Melhor ´ainda, podemos contar apenas com as simetrias axiais, j a que elas podem pro- ¸˜ ¸˜duzir as translacoes e as rotacoes. Finalmente podemos definir: Defini¸ ao: Duas figuras planas s˜ o congruentes qundo uma puder se so- c˜ a ¨ebrepor a outra por uma sequˆ ncia finita de simetrias axiais. O s´mbolo que usaremos para congruˆ ncia ser´ ∼. ı e a= ´ Exerc´cio: Quantas simetrias axiais preciso usar, no maximo, para sobrepor ıduas figuras congruentes? ı ¸˜ Exerc´cio: Que transformacoes vocˆ usaria para sobrepor os pares de figu- eras? a) b) c) d)1.2 Congruˆ ncia de triˆ ngulos e a1.2.1 O caso LLL ˆAt´ agora tratamos a Geometria com relativa informalidade. A congru encia epode parecer simples mas demonstrar rigorosamente que dois c´rculos de mes- ı
  11. 11. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 9mo raio s˜ o congruentes pode ser uma dor de cabeca. Optamos por comecar a ¸ ¸o estudo de congruˆ ncia pelos triˆ ngulos pois s˜ o as figuras geom´ tricas mais e a a e ˆsimples, depois dos segmentos e dos angulos. a ´ ˜ N˜ o e dif´cil aceitar que dois segmentos com a mesma medida sao con- ı ´gruentes - afinal “poder sobrepor” dois segmentos e basicamente a definicao ¸˜ ˆde “ter a mesma medida”. Da mesma forma dois angulos de mesma medidaser˜ o sempre congruentes. a Um triˆ ngulo ser´ congruente a outro se puder ser superposto a outro por a a ¸˜ ¸˜translacao, rotacao ou simetria axial. Aceitaremos como um fato (postulado) ˆque para isso basta que a medida dos lados e angulos correspondentes sejaigual. ´ Na verdade precisamos menos que isso. Quem ja tentou construir a a a ´triˆ ngulos com 3 varetas j´ percebeu que o triˆ ngulo formado e sempre con- ´ ´gruente. Isso parece obvio mas lembre que ao construir quadrilateros com 4 ˜varetas o resultado pode variar, podemos fabricar figuras n ao congruentes (ve-ja a figura 1.8). Figura 1.8: Dois quadril´ teros n˜ o congruentes com lados congruentes a a Ent˜ o aceitaremos como fato (postulado) que: aCaso LLL: Seja dois triˆ ngulos ABC e A B C . Se os lados corres- a a ˆpondentes dos triˆ ngulos forem congruentes, os triangulos s˜ o congruentes. a ´ Embora a Geometria trate de objetos abstratos - linhas, retas, pontos - e ´sempre util desenhar e fazer esquemas que nos dˆ em uma id´ ia do que estamos e efalando. Para isso precisaremos de: • R´ gua graduada - normalmente de 30 cm, graduada em cent´metros. e ı • Compasso - com uma ponta “seca” (uma ponta de metal) e uma ponta que desenha (grafite ou l´ pis). a • L´ pis bem apontado. a • Borracha • Papel Exerc´cio: Construa ABC com lados medindo 8 cm,6 cm e 4 cm. ı O procedimento est´ ilustrado na figura 1.9. Com a r´ gua tracamos um a e ¸segmento [AB] = 8 cm e marcamos os pontos X e Y tais que [AX] = 6 cm e[BY ] = 4 cm. Desenhamos o c´rculo com centro (ponta sˆ ca) em A e raio [AX](abertura ı edo compasso). N˜ o precisa tracar o c´rculo todo, basta um arco; todos os pontos a ¸ ı a `deste arco est˜ o a distˆ ncia de 6 cm de A. Desenhamos o arco com centro em a ˜B e com raio [BY ]; todos os pontos deste arco estao a 4 cm de B. A intercess˜ o a ´dos dois arcos e o pont C.
  12. 12. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 10 BA Y X B A Y X B A Y X B ¸˜ Figura 1.9: Construcao LLL ˆ Se duas pessoas construirem um triangulo com os lados com estas medidas, a a ¸˜esses triˆ ngulos ser˜ o congruentes. Note-se que essa construcao faz aparecersimultˆ neamente dois triˆ ngulos congruentes, que tem simetria axial (figura a a ←→ ´1.10). O eixo de simetria e a reta AB. C A Y X B C’ ¸˜ Figura 1.10: Construcao de dois triˆ ngulos congruentes a1.2.2 Uma aplica¸ ao do caso LLL - Transporte de angulos c˜ ˆ ˆ ˆDigamos que quero transportar o angulo A de modo a obter um angulo com − −→centro em A e apoiado na semi-reta AB (veja figura 1.11). A B A’ B’ ˆ Figura 1.11: Transporte de angulo Basta fabricar um triˆ ngulo com as mesmas medidas de lados; a con- agruˆ ncia dos lados garante a congruˆ ncia dos triˆ ngulos que por sua vez e e a ˆgarante a congruˆ ncia dos angulos (figura 1.12). e
  13. 13. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 11 A B A’ B’ ˆ Figura 1.12: Transporte de angulo1.2.3 O caso LAL ˜Usando o caso LLL podemos provar (mas nao faremos) que: Caso LAL: Seja dois triˆ ngulos ABC e A B C . Se [AB] = [A B ], a[AC] = [A C ] e [∠A] = [∠A ] ent˜ o ABC ∼ A B C . a =1.2.4 Aplica¸ ao - Constru¸ ao da mediatriz de um segmento c˜ c˜Problema: Dado um segmento AB, encontrar o ponto C tal que [AC] =[CB].Passar por este ponto uma reta perpendicular ao segmento AB. ¸˜ Vamos acompanhar a construcao com a figura 1.13. 1. Abrir o compasso em uma abertura qualquer maior do que a metade de ´ [AB]. Tracar arcos com centro em A e B. O encontro destes arcos e o ¸ ponto D 2. Abrir o compasso em uma abertura qualquer maior do que a metade de [AB](pode ser de medida diferente do passo anterior. Tracar arcos com ¸ ´ centro em A e B. O encontro destes arcos e o ponto D 3. Tracar os triˆ ngulos ¸ a ACB e AC B (Vamos precisar deles daqui a pouco). ←→ − ¸ a ´ 4. Tracar a reta CC . Esta linha ser´ a mediatriz e C e o ponto procurado. ¸˜ Como podemos saber que nossa construcao funciona? Vamos fazer isso emforma de exerc´cio. ı 1. Mostre que ´ ADD e congruente a BDD .(Sugest˜ o: Use LLL). a ˆ 2. Conclua que os angulos ADD e BDD s˜ o congruentes. (Que caso deve a ser usado?). 3. Mostre que ADC ∼ BDC.(Note que no item anterior mostramos que = ADC e BDC s˜ o congruentes). a ˆ ´ 4. Mostre que os angulos ADC e BDC s˜ o retos. Logo a mediatriz e per- a pendicular ao segmento AB. 5. Marque um ponto P qualquer sobre a reta DD , a mediatriz. Mostre que P AX ∼ P BX e logo [P A] = [P B]. =
  14. 14. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 12 D C A B ‘’ D’ Figura 1.13: Tracado da mediatriz ¸ ˜ 6. Conclua que todos os pontos da mediatriz sao equidistantes de A e de B, ´ a ` isto e, est˜ o a mesma distˆ ncia de A e de B. Em particular [AC] = [CB]. a ←→ − 7. Um ponto que n˜ o esteja sobre a reta DD pode ser equidistante de A e a de B? ´ Importante: A mediatriz do segmento AB e o lugar geom´ trico dos pontos eequidistantes de A e de B. Isto quer dizer que: ←→ − • Todos os pontos de DD s˜ o equidistantes de A e de B e a ←→ − ´ • Nenhum ponto fora de DD e equidistantes de A e de B.1.2.5 Exerc´cios ı ¸˜ 1. (figura 1.14) Numa floresta temos trˆ s postos de observacao(A, B e C) e ´ para prevenir incˆ ndios. Queremos instalar uma antena de radio que e ` esteja a mesma distˆ ncia dos trˆ s postos. a e • Onde instalar a antena? ¸˜ • O problema ter´ sempre solucao? a • E se tiv´ ssemos mais postos (4, 5, . . .)? e 2. (figura 1.15) Dado um triˆ ngulo ABC passar uma c´rcunferˆ ncia por a ı e e ˆ A, B e C (chama-se de circunferˆ ncia circunscrita ao triangulo - tamb´ m e diz-se que o triˆ ngulo est´ inscrito na circunferˆ ncia). Observe os dois a a e casos apresentados. Em que eles diferem? Haveria um 3o caso? [XB] 3. Dado um segmento AB encontre o ponto X tal que [AX] = 4 .
  15. 15. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 13 A C B Figura 1.14: Problema dos trˆ s pontos e AA B B C C Figura 1.15: Problema da circunferˆ ncia circunscrita e
  16. 16. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 14 3×[XB] 4. Dado um segmento AB encontre o ponto X tal que [AX] = 16 . ←→ ` 5. Construir uma reta perpendicular a reta AB passando pelo ponto P , fora dela. ←→ ` 6. Construir uma reta perpendicular a reta AB passando pelo ponto P per- tencente a ela.1.2.6 O caso ALA - Constru¸ ao da bissetriz de um angulo c˜ ˆCaso LAL: Seja dois triˆ ngulos ABC e A B C . Se [AB] = [A B ],[∠A] = a ∼[∠A ] e [∠B] = [∠B ] ent˜ o ABC = A B C . aA mediatriz divide um segmento ao meio. Agora gostr´amos de dividir um ı ´angulo ao meio. A reta que procuramos e chamada bissetriz.ˆ ←→ ˆ Problema: Dado um angulo AOB, encontrar uma reta OC tal que ∠AOC =∠COB ¸˜ Vamos acompanhar a construcao com a figura 1.16. 1. Abrir o compasso em uma abertura qualquer . Tracar um arco com centro ¸ −→ −→− em O. Esse arco marca sobre as semi-retas OA e OB os pontos X e Y . 2. Abrir o compasso em uma abertura qualquer (pode ser de medida difer- ente do passo anterior). Tracar arcos com centro em X e Y .O encontro ¸ ´ destes arcos e o ponto C ←→ 3. Tracar a reta OC Esta linha ser´ a bissetriz. ¸ a 4. Tracar os triˆ ngulos ¸ a OXC e OY C (Vamos precisar deles daqui a pouco) A X O C Y B ¸˜ Figura 1.16: Construcao da bissetriz ¸˜ Como podemos saber que nossa construcao funciona? Vamos fazer isso emforma de exerc´cio. ı
  17. 17. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 15 1. Mostre que OXC ∼ = OY C (Use o caso LLL). ←→ 2. Conclua que ∠XOC ∼ ∠Y OC. A reta OC divide o angulo AOB ao meio = ˆ ´ e e de fato a bissetriz. Vamos agora usar o caso ALA para deduzir uma outra propriedade das bissetrizes. ´ 3. Escolha um ponto qualquer P da bissetriz e trace uma perpendicular at e ←→ a reta OA determinando o ponto Q. ← → ´ 4. Do mesmo ponto P da bissetriz trace uma perpendicular at e a reta OB determinando o ponto R. 5. Mostre que os triˆ ngulos a OP Q e e ˆ OP R tem os trˆ s angulos com a mesma medida. 6. Use o caso ALA para mostrar que OP Q ∼ = OP R. ←→ ´ 7. Conclua que qualquer ponto da bissetriz e equidistante das retas OA e ←→ ˜ ´ OB.(Note que isso vale para toda a bissetriz e nao so para a semi-reta − −→ OC). ←→ ← → 8. Algum ponto fora da bissetriz pode ser equidistante das retas OA e OB? A Q O P R B Figura 1.17: Propriedades da bissetriz ˆ ˆ ´ Resumindo: A bissetriz de um angulo divide esse angulo ao meio e e o ˆlugar geom´ trico dos pontos equidistantes dos lados desse angulo. e1.2.7 O caso ALAoEsse caso j´ foi sugerido na subssess˜ o anterior. Como a soma das medidas a a ˆ ´dos angulos internos de um triˆ ngulo e sempre 180o , podemos reescrever o acaso ALA como:
  18. 18. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 16 Caso LAL: Seja dois triˆ ngulos ABC e A B C . Se [AB] = [A B ],[∠A] = a[∠A ] e [∠C] = [∠C ] ent˜ o ABC ∼ A B C . a =1.3 Aplica¸ oes - Propriedades dos quadril´ teros c˜ a ´Importante: Trataremos apenas de quadrilateros cujos lados n˜ o se cruzam e a ˆconvexos (nenhum angulo interno maior do que 180o ). 1. Mostre que num quadril´ tero convexo a soma das medidas dos angulos a ˆ ´ ´ internos e 360o . Isso e verdade para quadril´ teros n˜ o convexos? a a 1.3.1 Paralelogramos c˜ ´ Defini¸ ao: Um paralelogramo e um quadril´ tero simples que tem os la- a dos opostos paralelos dois a dois. Figura 1.18: Dois parlelogramos ˆ 2. Mostre que a diagonal divide um paralelogramo em dois tri angulos con- gruentes. ˜ 3. Conclua que os lados paralelos de um paralelogramo saocongruentes. ˆ ˜ 4. Mostre que dois angulos opostos de um paralelogramo sao congruentes. ˆ ˜ 5. Mostre que dois angulos sucessivos de um paralelogramo sao suple- mentares. 6. Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. ´ 7. Verdadeiro ou Falso? (Prove ou dˆ um contra-exemplo) Um quadrilatero e ´ em que as diagonais se cortam ao meio e um paralelogramo. 8. Verdadeiro ou Falso? (Prove ou dˆ um contra-exemplo) Um paralelogra- e mo tem diagonais de 3 cm e 5 cm. Um outro paralelogramo tem diagonais com as mesmas medidas. Eles s˜ o congruentes? a 9. Verdadeiro ou Falso? (Prove ou dˆ um contra-exemplo) Um paralelogra- e mo tem lados de 3 cm e 5 cm. Um outro paralelogramo tem lados com as mesmas medidas. Eles s˜ o congruentes? a ´ Nestes dois ultimos itens vocˆ pode pensar em como seria construir e ´ ´ um paralelogramo usando varetas. Sera que so as diagonais asseguram rigidez? e os lados?
  19. 19. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 17 10. Como construir um paralelogramo sabendo que um dos lados mede 10 cm, utro mede 7 cm e uma das diagonais mede 8 cm? ˆ 11. Num paralelogramo as diagonais se cruzam em angulo reto. Mostre que, ˜ nesse caso os lados do paralelogramo sao iguais. As diagonais s˜ o iguais? a 1.3.2 Losangos c˜ a ´ Defini¸ ao: Um quadril´ tero que tem os quatro lados congruentes e um losango. ´ 12. Mostre que todo losango tem os lados paralelos dois a dois, isto e todo ´ losango e um paralelogramo. ˆ 13. Mostre que num losango as diagonais se cortam em angulo reto. ˜ ˆ 14. Mostre que num losango as diagonais sao bissetrizes dos angulos inter- nos. ´ 15. Mostre que num triˆ ngulo isosceles a altura, a mediana e a bissetriz (cor- a e a ˜ respondentes ao v´ rtice da intercess˜ o dos dois lados congruentes) sao a ˆ mesma reta.(Sugest˜ o: “cole” dois exemplares do triangulo para formar a um losango). ´ 16. E poss´vel construir um losango com 5 cm de lado e uma diagonal de 10 ı cm? 1.3.3 Retˆ ngulos a 17. Mostre que umparalelogramo que tem 2 diagonais congruentes tem os ˆ quatro angulos internos congruentes e medindo 90o . ˆ ´ Defini¸ ao: Um quadril´ tero que tem os quatro angulos congruentes e um c˜ a retˆ ngulo. a 18. Mostre que num retˆ ngulo as diagonais s˜ o congruentes e se cortam ao a a meio. ´ 19. Verdadeiro ou Falso? (Prove ou dˆ um contra-exemplo) Um quadrilatero e ´ em que as diagonais s˜ o congruentes e um paralelogramo? a a ˆ 20. Nm quadril´ tero as diagonais se cortam ao meio , em angulo reto e s˜ o a ´ congruentes. Que quadril´ tero e esse? a 1.3.4 variedades a ı ´ 21. Construa quadril´ teros com as caracter´sticas abaixo, ou diga se e im- poss´vel constru´-los, justificando. Se for poss´vel construir mais do que ı ı ı a a ¸˜ um quadril´ tero (n˜ o congruente) com as especificacoes dadas, explique porque. Os lados ser˜ o sempre AB, BC, CD e AD. As diagonais serao a ˜ AC e BD.
  20. 20. ´ ˆCAPITULO 1. CONGRUENCIA 18 ´ (a) [AB] = 7 cm; [BC] = 3 cm; [AC] = 5 cm; ABCD e um paralelogra- mo. ´ (b) [AC] = 8 cm; [BD] = 6 cm; [AB] = 6 cm; ABCD e um losango. (c) [AC] = 8 cm; [BD] = 8 cm; ∠BAD = 90o ; ABCD qualquer. (d) [AC] = 8 cm; [BD] = 8 cm; ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90o ; ABCD qualquer. ´ (e) [AB] = 8 cm; [AC] = 6 cm; ABCD e um losango. a ´ 22. Mostre que, dado um retˆ ngulo ABCD e poss´vel sempre passar uma ı circunferˆ ncia passando por A, B, C e D. Onde fica o centro do c´rculo? e ı a a ´ 23. Mostre que se um losango n˜ o for um quadrado ent˜ o e imposs´vel pas- ı sar uma circunferˆ ncia pelos seus v´ rtices. e e 24. ˆ (a) Seja um pent´ gono regular (5 angulos congruentes e 5 lados congru- a entes). Mostre que podemos passar uma circunferˆ ncia pos todos os e seus v´ rices. e (b) Mostre que os triˆ ngulos formados pelo centro da circunferˆ ncia cir- a e cunscrita (tamb´ m chamado centro do pent´ gono) e pelos lados s˜ o e a a ´ todos congruentes e isosceles. ˆ (c) Calcule a medida dos angulos desses triangulos. ˆ (d) Calcule a medida do angulo interno do pent´ gono. a ˆ (e) Calcule a medida do angulo interno do dec´ gono (10 lados). a ˆ (f) Calcule a medida do angulo interno do ene´ gono (9 lados). a ´ ˆ (g) Deduza uma formula para o angulo interno de um pol´gono regular ı de n lados. a a ı ˆ 25. Mostre que se um quadril´ tero est´ inscrito num c´rculo, seus angulos opostos somam 180o . ((Sugest˜ o: Trace os raios do c´rculo que ligam o a ı centro aos v´ rtices do quadril´ tero. Que tipo de triˆ ngulos s˜ o forma- e a a a dos?)
  21. 21. Cap´tulo 2 ıSemelhan¸ a c2.1 Semelhan¸ a, proje¸ ao e propor¸ ao c c˜ c˜Vimos que a congruˆ ncia (no plano) pode ser interpretada como a e ¸˜superposicao de figuras, o que pode ser feito atrav´ s de transformacoes co- e ¸˜ ¸˜ ¸˜ ¸˜mo: translacao (deslizamento segundo uma direcao), rotacao (em torno de um ˆ ˜ ¸˜ponto e segundo um angulo) e simetria axial (reflexao em relacao a uma reta). ¸˜ Nenhuma dessas transformcoes altera as medidas, elas apenas transferem a ¸˜as distˆ ncias. Outras transformacoes s˜ o, entretanto, t˜ o corriqueiras quanto a aestas, mas quase n˜ o nos damos conta. Pense, por exemplo, em um pequeno aretrato, desses que encontramos na cateira de identidade. Ele tem poucos ˜ ´ ´ `cent´metros mas nossa primeira impressao e que ele e “igual” a pessoa. Bem, ı ´ a ´igual e que ele n˜ o e. E nem mesmo congruente, pois as medidas nao foram ˜ ´preservadas. E uma imagem menor, que guarda as propor¸ oes da pessoa. c˜ ˜ A mesma coisa acontece com uma imagem de televisao. O gal˜ (ou a mocin- aha) aparece com 10 cm de altura quando na verdade tem quase 2 m. E no en-tanto n˜ o temos a menor dificuldade em reconhecˆ -lo. Se cruzarmos com ele a e ´na rua saberemos que e ele (ou ela) sem nunca nos termos encontrado antes. Pode acontecer de termos uma imagem muito maior. O mesmo ator pode ´aparecer num anuncio, num enorme cartaz de rua (outdoor). Nesse caso orosto do gal˜ o aparece com 4 m e convenhamos que ningu´ m tem um rosto a edesse tamanho...Mas mesmo assim conseguimos reconhec e-lo. ˆ Se formos pensar em Geometria e Desenho Geom´ trico, de que e ¸˜transformacao estamos falando? Na figura 2.1 vemos que a figura A foi proje- ¸˜ ´tada sobre a figura B a partir de um ponto P . Mas que transformac ao e essa? y x O A B Figura 2.1: Duas figuras semelhantes 19
  22. 22. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 20 ¸˜ A operacao que fizemos foi a seguinte: 1. Escolhemos um ponto qualquer X na figura A. 2. Medimos a distˆ ncia [OX] a ←→ 3. Marcamos um ponto Y que esteja sobre a reta P X tal que a distˆ ncia [OY ] a ´ seja o dobro de [OX], isto e [OY ] = 2.[OX] 4. Repetimos esse processo com todos os pontos da figura A. Observe que: • A qualquer segmento da figura A corresponde um segmento da figura B com o dobro da medida do segmento original. ˜ • Os segmentos correspondentes nas figuras A e B sao paralelos. ˜As figuras n˜ o s˜ o iguais e nem mesmo congruentes. Diremos que sao figuras a asemelhantes. Escolhemos um centro de proje¸ ao (no caso o ponto O, mas poder´amos c˜ ı ¸˜escolher um outro ponto qualquer) e um valor de proporc ao (no nosso caso ¸˜ ´2). Este valor de proporcao e chamado de raz˜ o de propor¸ ao ou raz˜ o de a c˜ a c ¸˜semelhan¸ a. A escolha da figura original, do centro de projec ao e da raz˜ o de a ¸˜ ´proporcao determinam completamente a figura que e obtida. Podemos reunir ¸˜ ¸˜essas observacoes numa definicao.Defini¸ ao : Dada uma figura A, se utilisamos o procedimento descrito c˜acima, dizemos que a figura B foi obtida por proje¸ ao da figura A a partir do c˜centro de proje¸ ao O segundo a raz˜ o de propor¸ ao [OY ]/[OX]. c˜ a c˜Observa¸ ao: Figuras obtidas por proje¸ ao s˜ o tamb´ m chamadas de c˜ c˜ a ehomot´ ticas. Esse termo e encontrado na maioria dos livros escolares. e ´ ´ ¸˜Podemos usar outro numero como raz˜ o de proporcao? A resposta e a ´ a 5 ¸˜sim. Por exemplo se us´ ssemos o valor 2 nossa proporcao ficaria como nafigura 2.2 √ c ˜ o: √ ´√ Observa¸ a5 Poder´amos usar qualquer numero real, com excess˜ o do 0: ı a ´ 2, π, 3 7 + 2. Entretanto, trabalhar com numeros irracionais gera dificul- ˜dades quando vamos desenhar. Neste texto usaremos razoes de semelhanca ¸ a ¸˜racionais a n˜ o ser em alguns exemplos em que a construcao n˜ o seja ex-a ´cessivamente complexa. Preferimos enfim nos concentrar nas id eias b´ sicas: a ¸˜ ¸˜semelhanca, proporcao, projecao e homotetia. ¸ Porque a raz˜ o de semelhanca n˜ o pode ser 0 ? Note que a projecao que a ¸ a ¸˜ ˜vimos na figura 2.1 foi da figura A sobre a figura B com razao de semelhanca ¸ ˜ 22 mas bem poderia ser da figura b sobre a figura A com razao 1 . Se us´ ssemosa a ı ¸˜a raz˜ o 0, n˜ o poder´amos inverter a operacao (0 n˜ o tem inverso para a a a ¸˜ ¸˜multiplicacao). Isso seria inconveniente e na verdade uma projec ao de raz˜ o 0 a ´transformaria toda a figura original num unico ponto (o centro de projecao). ¸˜ ´ Podemos escolher um numero negativo como raz˜ o ? At´ agora tratamos a ea distˆ ncia sem nos preocupar com o sentido. Estamos tratando [AB] como a ¸˜ ¸˜se fosse igual a [BA]. No caso da projecao teremos que fazer a distincao entre
  23. 23. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 21 Figura 2.2: Duas figuras homot´ ticas com raz˜ o 2,5 e a ¸˜o ponto de partida (o centro de projecao) e o ponto de chegada. Se escolher-mos, por exemplo a raz˜ o −2, para cada ponto X da figura original medimos a ← →a distˆ ncia [P X], marcamos um ponto Y que esteja na mesma reta P X tal que a ´a distˆ ncia [P Y ] seja o dobro de [P X], isto e [P Y ] = 2.[P X]. Desta vez, entre- atanto, maracaremos o ponto Y do outro lado de P (ou mais tecnicamente, demodo que P fique entre X e Y . Veja a figura 2.3 ´ ` O que aconteceu ? Na figura 2.3 a figura B e proporcional a figura A mas a ¸ ¸˜est´ de cabeca para baixo, ou melhor, a figura A sofreu uma projec ao seguida ¸˜de uma rotacao de 180o . Observe, outra vez, que: • A qualquer segmento da figura A corresponde um segmento da figura B com o dobro da medida do segmento original. ˜ • Os segmentos correspondentes nas figuras A e B sao paralelos. Poder´amos obter o mesmo efeito fazendo, sucessivamente, uma projec ao ı ¸˜ ¸˜ ´ ¸˜de raz˜ o 2 e uma rotacao de 180o . Isto e, uma projecao usando a raz˜ o −1 a a ¸˜corresponde a uma rotacao de 180o . Estamos prontos para definir semlhanca. ¸Defini¸ ao (semelhan¸ a): A e B s˜ o ditas semelhantes se podemos obter de c˜ c a ¸˜ ¸˜A uma figura congruente a B por projecao. A raz˜ o de proporcao usada na a ¸˜projecao ser´ chamada raz˜ o de semelhan¸ a. a a c ¸˜ O centro de projecao pode estar no interior da figura, como mostra a figura2.4. ¸˜ A seguir v´ rias situacoes de figuras semelhantes. a
  24. 24. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 22 ¸˜ Figura 2.3: Projecao com raz˜ o negativa a O ¸˜ Figura 2.4: Uma projecao com centro no interior da figura Figura 2.5: Pares de figuras semelhantes
  25. 25. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 23 Exerc´cios: ı 1. Qual a raz˜ o de semelhanca (aproximadamente) entre um retrato 3 × 4 a ¸ (retrto de carteira de identidade) e o rosto de uma pessoa? 2. Pegue um mapa (ou a planta de uma casa) qualquer. Existe uma es- cala que nos d´ uma raz˜ o de semelhanca entre as distˆ ncias no mapa a a ¸ a e a distˆ ncia verdadeira. Se cada cent´metro no mapa corresponde a 3 a ı ˆ ˜ quilometros no mapa, qual a escala ( razao de semelhanca)? ¸ ˜ 3. Encontre um carrinho de brinquedo. Qual a razao de semelhanca (pode ¸ ser aproximada) entre o carrinho e um carro de verdade?2.2 Raz˜ o de semelhan¸ a, numeros racionais e irra- a c ´ cionais a ¸ ´ ¸˜A raz˜ o de semelhanca, como vimos, e a proporcao entre as distˆ ncias corres- a ¸˜pondentes em uma figura e em outra. Quando falamos de proporc ao e raz˜ o, a c˜ ´pensamos logo nas fra¸ oes. De fato, a propria palavra racional vem de raz˜ o; a ´os numeros racionais s˜ o aqueles que podem ser expressos como uma razao a ˜ ´ 2 212 e ´entre numeros inteiros: 3 , 3 , 312 . Mas sabemos tamb´ m que existem numeros 5 √ √ √irracionais - n˜ o podem ser escritos nesta forma: 2, π, 3 7 + 5 2. Embora n˜ o a a ˜sejam racionais nada impede que sejam usados como raz ao de semelhanca. √ ¸ Por ˜exemplo na figura 2.6 os quadrados tem uma razao de semelhanca√ ¸ igual a 2.De fato, sabemos que a diagonal de um quadrado de lado x mede 2x. √ Figura 2.6: Dois quadrados com raz˜ o de semelhanca a ¸ 2 ¸˜ ´ A maneira habitual para expressar igualdade entre proporc oes e a igual- ¸˜dade de fracoes: 2 4 = 3 6 ¸˜ ´ ´que quer dizer “a proporcao entre 2 e 3 e a mesma que entre 4 e 6”. E comumdizermos “2 est´ para 3 como 4 est´ para 6”. A ferramenta mais usada para a a
  26. 26. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 24 ¸˜ ´“conferir” as proporcoes e a multiplica¸ ao cruzada. c˜ 2 4 = ⇔2×6=3×4 3 6 15 25 = ⇔ 15 × 15 = 9 × 25 9 15Exerc´cios de recorda¸ ao: ı c˜ 1. Calcule o valor de x: (a) 42 36 = 35 x (b) 25 x = x 9 (c) x+1 x = 3 4 (d) x 4.x = 3 12 (e) x 15.y = //, //y = 0 3 5.y 2. Seja a c = b d Mostre que a+b c+d = b d (Sugest˜ o: some 1 a cada lado da igualdade) a 3. Seja a c = =k b d Mostre que a c a+c = = =k b d b+d ¸˜ ¸˜ (Sugest˜ o: Calcule a em funcao de b e k; calcule c em funcao de d e k) a
  27. 27. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 252.3 Paralelismo e propor¸ ao c˜ ¸˜ ´Como as proporcoes aparecem na Geometria? e o que vamos ver agora. ¸˜Lembraremos, sem demonstracao alguns fatos da Geometria. Teorema de Tales:(figura 2.7) Se trˆ s restas paralelas r, s e t s˜ o cortadas e a ˜por duas transversais m e n, determinando os pontos A, B, C, D, E e F . Ent ao: [AB] [DE] = [BC] [EF ] A D r B E s C F t m n Figura 2.7: Teorema de Tales c˜ e a a ¸˜ Observa¸ ao : Tamb´ m s˜ o v´ lidas as proporcoes: [AC] [DF ] [AB] [BC] = e = [AB] [DE] [DE] [EF ] ¸˜ e ´ a A relacao tamb´ m e v´ lida quando as transversais se cruzam (figura 2.8): A =D r D A r B E s B=E s C F t t C F m n m n Figura 2.8: Outras formas do Teorema de Tales ´ e ´ Um fato menos assinalado e que a rec´proca tamb´ m e verdadeira: se as ı ¸˜proporcoes se verificam, as retas m e n s˜ o paralelas figura 2.9). Como 10×12 = a8 × 15 podemos afirmar que r, s e t s˜ o paralelas. a Este teorema mostra um meio natural de representar geometricamente as ¸˜ ˜ ´proporcoes (pelo menos quando as razoes forem um numero racional). Paraisso precisaremos saber construir retas paralelas. Problema : Dada uma reta r construir uma reta s paralela a r passando peloponto P exterior a r.
  28. 28. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 26 r 15 12 s 10 8 t m n Figura 2.9: Rec´proca do Teorema de Tales ı ¸ ¸ `Comecamos tracando a reta s, perpendicular a reta r e passando pelo ponto P ¸˜ a. Essa construcao j´ apareceu no cap´tulo 1 (figura 2.10). ı ¸˜ Figura 2.10: Construcao da perpendicular ` Depois constru´mos uma reta t, perpendicular a reta s e passando pelo ı ¸˜ponto P . Essa construcao tamb´ m j´ conhecemos(figura 2.11). e aObserva¸ ao: Se duas retas s˜ o paralelas todos os pontos de uma das re- c˜ a a `tas est˜ o a mesma distˆ ncia da outra. Isso nos permite falar de distˆ ncia entre a aduas retas paralelas.Problema : Dada uma reta r construir uma reta s paralela a r a umadistˆ ncia [AB] dada. Sugest˜ o: Construa duas perpendiculares (figura 2.12). a a
  29. 29. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 27 ¸˜ Figura 2.11: Construcao da segunda perpendicular A r B Figura 2.12:
  30. 30. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 28Os esquadros 30o − 60o − 90o e 45o − 45o − 90oAl´ m da r´ gua e compasso, usaremos dois instrumentos importantes: os es- e e a a ˆquadros. Eles s˜ o triˆ ngulos com angulos de 30o − 60o − 90o e 45o − 45o − 90orespectivamente (figura 2.13). ¸˜ ´ ´ Uma primeira observacao e o fato de que encontramos esquadros de varios ˆ ´tamanhos, mas os angulos garantem que s˜ o sempre semelhantes. E porque a ˜ ´a finalidade principale dos esquadros nao e medir (embora alguns venham ¸˜ ˆcom graduacao) mas transferir retas paralelas e produzir os principais angulos,30o − 45o − 60o e 90o .60 o 45 o 90 o 30o 90 o 45 o Figura 2.13: 30o − 60o − 90o e 45o − 45o − 90o . ˆ ˜ a Mas porque esses angulos s˜ o especiais ? Primeiramente porque sao f´ ceis ade construir e de encontrar (figura 2.14) : ˆ • 90o → angulo formado por duas retas perpendiculares. ˆ ´ ˆ • 45o → metade do angulo reto (usamos a bissetriz de 90o ) e e o angulo da diagonal do quadrado com seu lado. ˆ • 60o → angulo do triˆ ngulo equil´ tero. a a ˆ ˆ • 30o → metade do angulo de 60o e angulo formado pela altura mediana e bissetriz do triˆ ngulo equil´ tero. a a ˆ Como s˜ o usados os esquadros ? Os angulos retos nos ajudam a transportar a `paralelas. Exemplo: Tracar a reta s paralela a reta r passando pelo ponto P . ¸ ¸˜ A figura 2.15 mostra a disposicao dos esquadros que permite transferir a ¸˜direcao e tracar a paralela com facilidade. ¸ Aten¸ ao : Nada substitui a pr´ tica! Experimente usar os esquadros. Vocˆ c˜ a e ´ ´ver´ que e simples e util. a Aplica¸ ao : Dividir o segmento AB em 5 segmentos congruentes. c˜ ¸˜ Solucao: Tracamos um segmento auxiliar AP e marcamos com o compasso ¸5 segmentos congruentes (figura 2.16).Os pontos recebem o nome de M 1 , M2 ,M3 , M 4 e M 5 . Ligamos M 5 ao ponto B. Usamos o deslizamento de esquadros para tracar ¸ ←→− `paralelas a reta M5 A, passando pelos pontos M4 , M3 , M2 e M1 . Assim deter-minamos os pontos T1 , T2 , T3 , T4 e T5 (figura 2.17).
  31. 31. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 29 30 o 90 o 45 o 60 o ˆ Figura 2.14: Os angulos mais frequentes Figura 2.15: Transferindo paralelas com esquadros B A M1 M2 M3 M4 M5 P ¸˜ Figura 2.16: Construcao de reta auxiliar
  32. 32. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 30 Pelo teorema de Tales estes pontos dividem o segmento AB em 5 segmentoscongruentes. T4 B T3 T2 A T1 M1 M2 M3 M4 M5 P Figura 2.17: Divis˜ o em 5 segmentos congruentes a [AC] Exerc´cio: Dado um segmento AB encontrar o ponto C tal que ı [CB] = 4. 3 ¸˜(Sugest˜ o: adapte a solucao do exemplo anterior). a ˆAplica¸ ao : Mostrar que as medianas de um triangulo qualquer se cor- c˜tam em um ponto que dista 3 da distˆ ncia do v´ rtice ao ponto m´ dio do lado 2 a e eoposto. Demonstra¸ ao: Sejam o triˆ ngulo e as medianas AM e BN (figura 2.18). c˜ a Figura 2.18: Duas medianas do ABC Marcamos os pontos m´ dios de BM e de M C, M 1 e M 2. Tracamos parale- e ¸las a AM passando por B, M 1, M , M 2 e C (figura 2.19). ←→ − Considere o triˆ ngulo AM C; a reta AM1 , paralela a AM passando por M 1 a
  33. 33. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 31 ¸˜ Figura 2.19: Construcao das paralelasdivide o lado AC em dois segmentos congruentes; isso quer dizer que a reta a ←→− ´reta AM1 passa pelo ponto m´ dio de AC, isto e, pelo ponto N . Olhando agora e BP MC 3 ´para o triˆ ngulo N BM1 constatamos que P N = BM = 1 . Isso e exatamente o a ¸˜quer´amos mostrar(podemos fazer o mesmo procedimento em relac ao a todos ıos tres lados). Corol´ rio : As trˆ s medianas de um triˆ ngulo se encontram em um mesmo a e a ´ponto. Este ponto e chamado baricentro do triˆ ngulo. a c˜ ˆ Aplica¸ ao : A bissetriz de um angulo de um triˆ ngulo divide o lado oposto a ˆ ˆao angulo em segmentos proporcionais aos lados adjacentes ao angulo. ¸˜ Demonstracao: (Sugest˜ o). Na figura 2.20, queremos mostrar que: a x y = v w ←→ ` Encontre o ponto Q que marca o encontro da paralela a reta P C passandopor A e o prolongamento do segmento BC. Examine a figura 2.21 e conclua ˆ ´que os angulos marcados s˜ o todos congruentes. O resto e com voce... a2.4 Proje¸ oes proporcionais c˜ ¸˜Podemos usar as ferramentas que construimos at´ agora para fazer projecoes ede figuras formadas por segmentos de retas, por exemplo pol´gonos. ı
  34. 34. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 32 Figura 2.20: Teorema da bissetriz ¸˜ ¸˜ Figura 2.21: Construcao para demonstracao do teorema da bissetriz
  35. 35. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 33 ˜Problema (ver figura 2.23): Projetar a figura F com centro O e razao desemelhanca 7 . ¸ 3 ¸˜ Figura 2.22: Projecao de pol´gono ı A primeira providˆ ncia ser´ projetar o ponto A; j´ sabemos subdividir o e a asegmento OA em 3 segmentos congruente. Basta prolongar esse segmento e,usando o compasso, marcar A de modo que OA = 3 (figura 2.23). OA 7 ¸˜ Figura 2.23: Projecao de A Felizmente, n˜ o teremos tanto trabalho para projetar os outros pontos. Co- amo sabemos que os segmentos s˜ o projetados paralelamente, podemos usar os a ←→esquadros para encontrar B no encontro de OB e da paralela a AB que passapor A (figura 2.24). Continuamos at´ projetar todos os v´ rtices (figura 2.24). e eExerc´cios: ı ¸ ¸˜ 1. Desenhe uma figura feita de segmentos e faca uma projec ao com raz˜ o a positiva. ¸˜ 2. Idem, com raz˜ o de projecao negativo. a
  36. 36. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 34 ¸˜ Figura 2.24: Projecao de B ¸˜ Figura 2.25: Projecao do pol´gono ı
  37. 37. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 35 3. Quantos pontos precisamos para projetar um c´rculo ? Far´ diferenca se ı a ¸ ¸˜ o centro de projecao estiver no centro do c´rculo ? ı2.5 Semelhan¸ a de triˆ ngulos c a a ´Produzir figuras semelhantes n˜ o e dif´cil, como acabamos de ver; basta fazer ı ¸˜ ˜uma projecao qualquer. Mas como saber se duas figuras sao semelhantes. Este´ ¸˜e um problema importante, de larga aplicacao. E o comeco em geometria e ¸ ´ ˆsempre pelas figuras maos simples, os triangulos. a a ¸˜ Segmentos s˜ o sempre semelhantes; j´ sabemos que a projecao de segmen-tos produz segmentos paralelos aos segmentos originais. Isso faz com que osˆangulos de um triˆ ngulo, quando projetados, sejam sempre congruentes. A a ¸˜ ¸˜ ˆtranslacao, a rotacao e a simetria central n˜ o alteram os angulos. Isso pode ser areunido no seguinte teorema.Teorema: Dois triˆ ngulos s˜ o semelhantes se e so se seus angulos s˜ o a a ´ ˆ acongruentes (Caso AAA).Denotaremos dois triˆ ngulos a ABC e DEF semelhantes por ABC ∼ ˆ DEF . Os angulos aparecem em ordem de correspondˆ ncia, eisto e A ∼ D, B ∼ E e C ∼ F . ´ = = = ´ Este e um caso que n˜ o ocorria na congruˆ ncia, angulo-ˆ ngulo-ˆ ngulo. a e ˆ a a ˆMelhor ainda, como os angulos de um triˆ ngulo somam sempre 180o basta a ˆmostrar que dois angulos s˜ o congruentes. aExerc´cios ı 1. Tome um triˆ ngulo ABC qualquer. Trace uma paralela ao lado AB que a corte os lados AC e BC nos pontos D e E. Mostre que ABC ∼ ADE (figura 2.26). A D E B C Figura 2.26: Triˆ ngulos semelhantes produzidos por uma paralela a ˆ 2. Exemplo: Tome um triˆ ngulo ABC com [A] = 90o . Trace um segmento a perpendicular ao lado BC no onto D e que corte o lados AC no ponto E. Ent˜ o ABC ∼ ADE (figura 2.27). a Outros casos de semelhanca n˜ o s˜ o t˜ o f´ ceis de constatar. ¸ a a a a
  38. 38. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 36 B D A E C Figura 2.27: ˆ • LAL - Quando dois triˆ ngulos tem um angulo congruente e os lados que a o formam s˜ o proporcionais os triˆ ngulos s˜ o semelhantes. a a a ˜ • LLL - Quando dois triˆ ngulos tem os lados proporcionais eles sao semel- a hantes. (figura 2.28) 2 4 6 3 Caso LAL 12 4 6 6 9 8 Caso LLL Figura 2.28: Casos LAL e LLL Embora esses dois casos sejam imortantes a maneira mais frequente de ˆ ´demonstrar a semelhanca de dois triangulos e mostrando a congruˆ ncia dos ¸ eˆ ´ ´angulos. O motivo e que e mais f´ cil mostrar congruˆ ncia do que proporcional- a eidade.2.6 Aplica¸ oes e exerc´cios c˜ ı 1. Queremos calcular a distˆ ncia at´ a casa de meu vizinho mas h´ um rio a e a no meio(figura 2.29).Como se faz ? a ¸ ` Construimos 2 triˆ ngulos tracando uma perpendicular a reta que liga nossas casas. Os triˆ ngulos s˜ o semelhantes. (porque?). a a
  39. 39. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 37 Figura 2.29: b a y x Figura 2.30: Pela semelhanca dos triˆ ngulos temos que: ¸ a a b = x+y y Como a, x e b podem ser medidos (na verdade foram construidos), podemos calcular y e a distˆ ncia x + y (figura 2.30). a Por exemplo, se a = 30, b = 18 e x = 16. Basta fazer as contas e encontrar ´ y = 24. A distˆ ncia entre as casas e 16 + 24 = 40 metros. a ¸˜ ´ Observacao: Usamos perpendicular por ser mais facil e tamb´ m porque e mais tarde a semelhanca ser´ a base da trigonometria, que funciona mel- ¸ a a a ˆ hor com triˆ ngulos retˆ ngulos. Mas qualquer dupla de triangulos semel- hantes funcionaria igualmente. 2. Em determinado momento do dia, um edif´cio lanca uma sombra de 15 ı ¸ metros. Neste mesmo momento uma vareta de 1 metro lanca uma som- ¸ ˜ ´ bra de 50 cent´metros. Supondo que os raios de sol sao paralelos (o que e ı quase verdade), qual a altura do edif´cio? (figura 2.31) ı ¸ ´ ´ 3. Uma praca e retangular de 12 metros por 15 metros e e cruzada por dois caminhos. Um percorre uma diagonal, outro sai de um dos cantos at e o´ ˆ ponto m´ dio do outro lado de 15 metros. Qual a distancia desse canto ao e ponto de encontro dos dois caminhos? (figura 2.32) 4. Dois edif´cios medindo 15 metros e 10 metros. Eles ligam um cabo do ı topo de cada edif´cio at´ o p´ do outro. Para sustentar um cabo, deve ı e e ser colocado um poste para sustentar os cabos no ponto onde se cruzam. Que altura deve ter o poste?(figura 2.33) Sugest˜ o: a
  40. 40. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 38 1m 15 m 50 cm Figura 2.31: Figura 2.32: Problema da praca ¸ 15 metros 10 metros x z y Figura 2.33:
  41. 41. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 39 (a) Mostre que x y x z = e = 15 z+y 10 z+y (b) Calcule: x x + . 10 15 (c) Calcule o valor de x. Observe que n˜ o necessitamos saber a distˆ ncia entre os dois edif´cios. a a ı 5. Mostre que, no exerc´cio antrior, se as alturas dos edif´cios s˜ o m e n e a ı ı a ´ ¸˜ altura do poste e k , vale a relacao 1 1 1 = + k m n 6. Num quadrado ligamos os v´ rtices aos pontos m´ dios do lado oposto, e e como na figura 2.34.Qual a raz˜ o de semelhanca entre o lado do quadra- a ¸ ˜ do original e o lado do quadrado interno formado pelas linhas? Sugest ao: (a) Mostre que x y = 2. 1 (b) Mostre que um triˆ ngulo e um trap´ zio podems ser combinados a e para formar um quadrado congruente com o quadrado interno. x y Figura 2.34: Qual a raz˜ o de semelhanca? a ¸2.7 Rela¸ oes m´ tricas no triˆ ngulo retˆ ngulo c˜ e a a a a a ˆ ´Triˆ ngulos retˆ ngulos s˜ o sempre especiais. O angulo reto e bastante im-portante, pois se apresenta com enorme frequencia em tudo que os homensfazem e tamb´ m porque representa a gravidade, a maneira como os objetos e a ı ´s˜ o atra´dos para a Terra. A Terra e redonda, certo. Mas nos limites das nossas ¸˜construcoes, tudo acontece como se estiv´ ssemos num plano, e construir uma e ˆ ´parede em angulo reto com o solo e a melhor maneira de torn´ -la resistente a a ` ¸˜acao da gravidade. Bem, mas tratemos do triˆ ngulo. Trabalharemos com um triangulo a ˆ a ˆretˆ ngulo ABC, com A = 90o . O maior lado (a hipotenusa) ter´ sua me- a ´dida notada por a. A medida dos catetos sera [AB] = c e [AC] = b. Tracaremos ¸a altura que parte do v´ rtice A e encontra a hipotenusa no ponto D. A medida e ˜desta altura ser´ [AD] = h e os segmentos determinados por D terao medidas a[BD] = n e [DC] = m. (figura 2.35)
  42. 42. ´CAPITULO 2. SEMELHANCA ¸ 40 Figura 2.35: Triˆ ngulo retˆ ngulo a a 1. (a) Mostre que ABC ∼ DBA. (b) Mostre que a b c = = c h n (c) Conclua que a.h = b.c e c2 = a.n 2. (a) Mostre que ABC ∼ DAC. (b) Mostre que a b c = = b m h (c) Conclua que a.h = b.c (outra vez) e b2 = a.m 3. (a) Mostre que BDA ∼ ADC. (b) Mostre que b m h = = c h n (c) Conclua que h2 = m.n 4. Teorema de Pit´ goras a J´ sabemos que: a b2 = a.m e c2 = a.n Somando membro a membro a.m + a.n = b2 + c2 ⇔ a.(m + n) = b2 + c2 ⇔ a.a = b2 + c2 ⇔ a2 = b2 + c2 ´ Esse e o famoso teorema de Pit´ goras. a

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