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Triangulo retangulo  003
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Triangulo retangulo 003

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  • 1. COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO2º Ano de Formação Geral – MatemáticaProfessor Alfredo CoelhoTrigonometria_2CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Círculo, ou circunferência trigonométrica é o círculo ou circunferência de raio igual a 1, (uma unidade).QUADRANTES Tomando-se, sobre o círculo trigonométrico, os eixos e , perpendiculares entre si no ponto (orígem dos eixos coordenados), sendo o eixo das abscissa e o eixo das ordenadas, o círculo fica dividido em quatro partes chamadas de QUADRANTES de medidas iguais a ou . A medida que um ponto, partindo do ponto A, se desloca sobre a circunferência, no sentido anti-horário, o ângulocentral aumenta gerando os quadrantes, de tal modo que: • I Quadrante de A até B perfazendo o intervalo a ou . • II Quadrante de B até C perfazendo o intervalo de a ou . • III Quadrante de C até D igual ao intervalo de a ou . • IV Quadrante de D até A ou seja o intervalo de a ou .ARCOS OU ÂNGULOS CONGRUENTES:Arcos congruentes são arcos/ângulos em que a diferença entre eles é igual a um múltiplode . Acrescentamos, também, que arcos congruentes são arcos que têm amesma extremidade. Demonstração para o ângulo deNúmero de voltas positivo, sentido anti-horário. Número de voltas negativo, sentido horário.EXPRESSÃO:Para representar todos os arcos/ângulos congruentes fazemos uso da expressão, jácomprovada na tabela acima. , em graus ou em radianos.
  • 2. Notas sobre a expressão: 1. Valores: • O valor de é chamado de Primeira Determinação Positiva; • O valor de é igual ao Número de Voltas, a partir da primeira determinação. • A primeira determinação positiva equivale a , para cada outro valor de , este indica uma determinação, seja ela positiva ( ), ou negativa ( ). 2. Correlação: A expressão ou são semelhantes a queexpressa o Dividendo numa divisão, onde: • é o dividendo, corresponde ao nosso ; • é o resto da divisão, corresponde ao nosso ; • é o quociente, o nosso ; • é o divisor, no nosso caso fixo e igual a ou a Podemos indicar a divisão pelo algoritmo para em graus ou para em radianos.Exercícios Resolvidos:Exercício Resolvido – 13. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltasnos casos: (a) , (b) Solução: (a) Aplicando o algoritmo da divisão temos: dividido por tem quociente igual a e resto . Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positiva . (b) Procedendo como no caso anterior: temos por tem quociente igual a e resto igual . Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positivaExercício Resolvido – 14. Encontre a primeira determinação positiva e o número devoltas nos casos: (a) e (b) .Solução: (a) Fazendo pela soma de frações temos: ou seja: .Temos Resposta: Número de volta e Primeira determinação positiva (b) Fazendo pela soma de frações temos: . De onde temos: Respostas: Números de voltas e Primeira Determinação Positiva 2
  • 3. Exercício Resolvido – 15. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltasnos casos: (a) , (b)Solução: (a) Aplicando o algoritmo da divisão temos: dividido por tem quociente igual a e resto , mas não é positivo, para tanto devemos somar resultando positivos. Para que não haja desequilíbrio aumentamos mais uma volta negativa , totalizando voltas. Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positiva . (b) Procedendo como no caso anterior: temos por tem quociente igual a e resto igual valor negativo. Somando e acrescentando mais uma volta negativa temos: Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positivaExercício Resolvido – 16. Encontre a primeira determinação positiva e o número devoltas nos casos: (a) e (b) .Solução: (a) Fazendo deste modo temos: de onde: . Temos . Como primeira determinação está negativa devemos somar e acrescentar mais uma volta negativa. . O que dá a expressão final Resposta: Número de volta e Primeira determinação positiva (b) Fazendo de onde temos: . Onde . Como primeira determinação está negativa devemos somar e acrescentar mais uma volta negativa. . Gerando a expressão Respostas: Números de voltas e Primeira Determinação PositivaExercícios Propostos:Exercício Proposto – 22. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltasnos casos: (a) , (b)Exercício Proposto – 23. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltasnos casos: (a) , (b)Exercício Proposto – 24. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltasnos casos: (a) (b)Exercício Proposto – 25. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltasnos casos: (a) (b)Exercício Proposto – 26. Sendo o arco calcule a 5ª determinação positiva e a 7ªnegativa 3
  • 4. Exercício Proposto – 27. Encontre a 6ª determinação positiva e a 4ª negativa de .FUNÇÕES:Marcando-se o arco de ângulo central igual a sobre a circunferência. Projetando oponto B sobre o eixo dos encontramos o ponto B1. Em seguida projetamos o ponto Bsobre o eixo dos encontrando o ponto B2. Deste modo determinamos o triângulo BÔB2,retângulo em B2, de catetos (oposto ao ângulo ) e (adjacente ao ângulo ) e hipotenusa (igual a 1). OBSERVAÇÃO: O cateto Funções seno, cosseno e tangente: Voltando às definições temos: 1. 2. 3.Podemos concluir que o eixo dos “x” é o eixo dos cosenos e o eixo dos “y” é o eixo dossenos.FUNÇÃO SENO:Tomando-se um arco de ângulo central igual a , é sempre possível associar-se umvalor no eixo , maior que –1 e menor que 1 chamado de seno do ângulo . ou O gráfico da função seno é chamado de SENÓIDE. Na nossa representação utilizamos na parte positiva o intervalo e na parte negativa o intervalo .Conforme foi visto nas determinações positivas e negativas o arco pode crescerindefinidamente, a cada volta, para valores positivos ou valores negativos, segundo asexpressões: ou . Cada volta (repetição dasenóide) representa um período de valor ou .PROPRIEDADES DA FUNÇÃO SENO: 1. Domínio: o domínio é o Conjunto dos Números Reais . 4
  • 5. 2. Contradomínio: 3. Sinal: positivo (+) para arco do 1º e 2º Quadrante e negativo (–) para arcos do 3º e 4º Quadrante. 4. Variação: a função seno é crescente no 1º e 4º Quadrante e decrescente no 2º e 3º Quadrante. 5. Período: já vimos que a função é periódica de período igual a ou .FUNÇÃO COSSENO:Tomando-se um arco de ângulo central igual a , é sempre possível associar-se umvalor no eixo , maior que –1 e menor que 1 chamado de cosseno do ângulo . ou Como acontece com o seno, o gráfico da função cosseno também se repete em períodos de ou .PROPRIEDADES DA FUNÇÃO COSSENO: 1. Domínio: o domínio é o Conjunto dos Números Reais . 2. Contradomínio: 3. Sinal: positivo (+) para arco do 1º e 4º Quadrante e negativo (–) para arcos do 2º e 3º Quadrante. 4. Variação: a função seno é crescente no 3º e 4º Quadrante e decrescente no 1º e 2º Quadrante. 5. Período: Como já foi visto o período de é igual a ou .FUNÇÃO TANGENTE:Tomando-se um arco de ângulo central igual a , é possível associar-se um valorprojetado no eixo , entre mais infinito e menos infinito chamado de tangente do ângulo . ou Não acontece com a função tangente o que acontece com as funções seno e cosseno, o gráfico da função tangente se repete emperíodos de ou , sendo que a função tangente não é definida para congruentes de 5
  • 6. ou .PROPRIEDADES DA FUNÇÃO TANGENTE: 1. Domínio: é o conjunto dos números reais diferentes de ( ). 2. Contradomínio: é o conjunto dos números reais . 3. Sinal: positivo (+) no 1º e 3º quadrante e, negativo (-) no 2º e 4º quadrante. 4. Variação: a função tangente é crescente em todos os quadrantes. 5. Período: a função tangente é periódica de período igual a .Exercícios Resolvidos:Exercício Resolvido 17. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da função no intervalo .Solução: Com os dados da tabela construímos o gráfico. 0 0 2 Nota-se que o valor 2 não 1 3 interferiu no período, permanecendo os . 0 2 Ou seja, tanto faz a função -1 1 como , o período é o 0 2 mesmo.Exercício Resolvido 18. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da funçãono intervalo .Solução: Neste caso observamos que o período encontrado é 0 0 0 metade do período da 1 função . Ovalor das ordenadas continuaram 0 os mesmos: 0, 1, 0, -1 e 0. -1 0Exercício Resolvido 19. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da funçãono intervalo .Solução: Pela representação gráfica observamos que foi representado apenas 0 0 0 metade do períodoa parte positiva. A parte negativa, o intervalo 1 . Deste modo o período será de , ou seja, . OBSERVAÇÃO EM RELAÇÃO AO PERÍOD: 0 Dada a função o cálculo do período é dado por apenas , o único valor que influi no cálculo éo coeficiente de . Quanto maior o valor de , menor será o período. 6
  • 7. Exercício Resolvido 20. Construir a tabela, e o gráfico da função no intervalo e depois verifique o período.Solução: O gráfico inverteu devido ao sinal negativo (-) ante 0 1 0 do cosseno de x e subiu uma unidade. O período é o mesmo de , período igual a . 0Exercício Resolvido 21. Construir a tabela, e o gráfico da função no intervalo e depois verifique o período.Solução: O gráfico sofre um 0 1 0 deslocamento de uma unidade para baixo devido ao (–1). O período é o mesmo de , período igual a . 0Exercício Resolvido 22. Construir a tabela, e o gráfico da função no intervalo e depois verifique o período.Solução: O gráfico sofre um deslocamento de duas 0 1 unidades para baixo devido ao (–2). E o período é reduzido para metade do período de , portanto o período ida função é gual a .Exercício Resolvido 23. Construir a tabela, e o gráfico da função no intervalo e depois verifique o período.Solução: O gráfico tem a forma 0 1 alterada devido ao coeficiente, dobrando o valor de . Quanto ao período permanece o mesmo de . OBSERVAÇÃO:Com o período de ocorre o mesmo que em Sendopodemos usar a mesma expressão para o cálculo para calcular o período. 7
  • 8. Exercício Resolvido 24. Construir a tabela, e o gráfico correspondente da função nointervalo e depois verifique o período.Solução: O gráfico tem a sua 0 0 forma ligeiramente alterada devido ao vaor do coeficiente, (2) dobrando o valor do ângulo e reduzndo o valor do período de . O período da função tangente do dobro do ângulo é igual a metade do período da função tangente do ângulo.Exercício Resolvido 25. Calcular o domínio da função .Solução:CondiçãoResposta:Exercício Resolvido 26. Calcular o período da função .Solução:Aplicando a fórmula vem . Nem sempre podemos usar a fórmuladiretamente por isso, recomenda-se o seguinte cálculo: , onde é o extremosuperior do período e o extremo inferior. eFazendo de onde temos Resposta:Exercício Resolvido 27. Calcular o período da função .Solução: Reposta:Exercícios Propostos:Exercício Proposto – 28. Calcular o domínio de .Exercício Proposto – 29. Calcular o domínio de .Exercício Proposto – 30. Calcular o domínio de .Exercício Proposto – 31. Calcular o período da função .Exercício Proposto – 32. Calcular o período da função ·.Exercício Proposto – 33. Construir a tabela e o gráfico da função .Exercício Proposto – 34. Faça o gráfico e dê o período da função .Exercício Proposto – 35. Encontre o gráfico e o período da função . 8
  • 9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:Tomando-se os pontos A, B e C nos eixos coordenados e do círculo trigonométrico, mais o ponto T, temos os segmentos ·, e , aos quais definimos como secante, cossecante e cotangente do ângulo x, ou seja: • inversa do . • inversa do . • inversa do . Do exposto acima concluímos que: , eFUNÇÃO SECANTE:A secante do ângulo x por definição é igual a medida de segmento . Ou seja . ou Tabela de Variação Pela tabela 0 concluímos que a função não é definida para valores de e não existe imagem entre os valores de maiores que – 1e menores que 1. Logo o Domínio é , a Imagem é .Quanto ao sinal é positiva (+) no 1º e 4º quadrante e negativa (-) no 2º e 3ºquadrante. O período é dado por .FUNÇÃO COSSECANTE:A função cossecante do ângulo x por definição é igual a medida de segmento .Ou seja . ou Tabela de Variação Pela tabela concluímos que a função não é definida para valores de e não existe imagem entre os valores de maiores que – 1 e menores que 1. Logo o Domínio é , 9
  • 10. a Imagem é . Quanto ao sinal é positiva (+) no 1º e 2ºquadrante e negativa (-) no 3º e 4º quadrante. O período é dado por .FUNÇÃO COTANGENTEA função cotangente do ângulo x por definição é igual a medida de segmento .Ou seja . ou Tabela de Variação Pela tabela concluímos que a função não é definida para valores de e a imagem está definida para qualquer valor de .Logo o domínio é e a imagem é . Quanto ao sinal a função épositiva (+) no 1º e 3º quadrante e negativa (-) no 2º e 4º quadrante.. O período é dado por .Exercícios Resolvidos:Exercício Resolvido – 28. Dada calcule cosseno, seno, tangente, cossecante ecotangente do ânguloSolução: De onde temosAplicando a 1ª Relação fundamental , , . . Respostas: , e .Exercícios Propostos:Exercício Proposto – 36. Calcular a sabendo que a .Exercício Proposto – 37. Calcular a sabendo que a .Exercício Proposto – 38. Calcular a sabendo que a .Exercício Proposto – 39. Construir o gráfico de função no intervalo .Respostas dos Exercícios Propostos.Exercício Proposto – 22 (a) e (b) eExercício Proposto – 23 (a) e (b) eExercício Proposto – 24 (a) e (b) eExercício Proposto – 25 (a) e (b) e 10
  • 11. Exercício Proposto – 26 eExercício Proposto – 27 e .Exercício Proposto – 28Exercício Proposto – 29Exercício Proposto – 30Exercício Proposto – 31Exercício Proposto – 32Exercício Proposto – 33Exercício Proposto – 34 PeríodoExercício Proposto – 35 PeríodoExercício Proposto – 36Exercício Proposto – 37Exercício Proposto – 38Exercício Proposto – 39 11