Triangulo retangulo 0001

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Triangulo retangulo 0001

  1. 1. COLÉGIO UNIVERSO UNO TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTriângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A eseus elementos são:a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.Relações métricasPara um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seuselementos:- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ahipotenusa.b² = a.n c² = a.m- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.b.c = a.h- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.h² = m.n- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.a² = b² + c²Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.Exemplo:Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  2. 2. a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4Determine os valores literais indicados nas figuras:a)13² = 12² + x² 5.12 = 13.y169 = 144 + x² y = 60/13x² = 25x=5b) Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  3. 3. c)d) Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  4. 4. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.Determine x nas figuras.a) Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  5. 5. O triângulo ABC é eqüilátero.b)O triângulo ABC é eqüilátero.c) Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  6. 6. Determine a diagonal de um quadrado de lado l. Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  7. 7. Razões trigonométricasConsidere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.senÊ = e/a senÔ = o/a- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/o tgÔ = o/eObserve: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90ºExemplo:senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8 Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  8. 8. cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....Ângulos notáveisPodemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis,são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar essesvalores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM,obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razõestrigonométricas ao triângulo AMC temos:Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonaldivide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.No triângulo ABD, temos: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  9. 9. Observação: sen45° = cos45°Resumindo temos a tabela:Exercícios resolvidos:1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10m e cos α = 3/5Solução: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  10. 10. 2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.Solução:3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  11. 11. a) A medida do lado do triângulob) A área do triângulo4) Calcule x indicado na figuraSolução: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  12. 12. Solução: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  13. 13. 6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede umângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?Solução: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  14. 14. 7) Na figura indicada calcule AB.Solução: Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  15. 15. 8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e aárea do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?A2 = A1 + A3100 = 36 + A2A2 = 100 – 36 = 64cm²9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de umtriângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo. Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  16. 16. 10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual àmetade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule arepresentação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura dotriângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d. Prof. Edigley Alexandre www.edigleyalexandre.blogspot.com
  17. 17. Prof. Edigley Alexandrewww.edigleyalexandre.blogspot.com

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