Apost 3  numeros racionais - irracionais
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Apost 3  numeros racionais - irracionais Apost 3 numeros racionais - irracionais Document Transcript

  • N´ meros racionais e irracionais u Carlos E. N. Bahiano Instituto de Matem´tica a Universidade Federal da Bahia - UFBa 40.210-170 Salvador, Bahia, Brasil
  • Sobre o autor: Carlos Eduardo Nogueira Bahiano ´ doutor em Matem´tica e a e ´pela Universidade Estadual de Campinas. Sua ´rea de pesquisa ´ Algebra aComutativa. Professor na Universidade Federal da Bahia, divide o seu tempoentre as atividades de pesquisa e as atividades acadˆmicas na Gradua¸ao e na e c˜P´s-gradua¸ao em Matem´tica da UFBA. Na juventude, na cidade de Ilh´us, o c˜ a esua cidade natal, lecionou matem´tica para alunos no ensino fundamental e am´dio do Instituto Municipal de Educa¸ao. e c˜
  • Conte´do u1 Senso comum 1 1.1 Arist´teles e o senso comum: no¸ao de igualdade . . . . . . . . o c˜ 1 1.2 Os matem´ticos e a no¸ao de objetos equivalentes . . . . . . . a c˜ 32 O que ´ uma raz˜o? e a 7 2.1 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 N´ meros racionais u 15 3.1 O que ´ um n´ mero racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 15 3.1.1 Representando n´ meros racionais com numerador e de- u nominador relativamente primos . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2 Ordenando os racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Opera¸oes aritm´ticas com n´ meros racionais . . . . . . . . . . c˜ e u 23 3.2.1 Soma e produto de n´ meros racionais . . . . . . . . . . u 23 3.2.2 Subtraindo n´ meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . u 30 3.2.3 Divis˜o de n´ meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . a u 30 3.3 Representa¸ao decimal para n´ meros racionais . . . . . . . . . c˜ u 34 3.3.1 Fra¸oes decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 37 3.4 N´ meros racionais e Propor¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . u c˜ 40 3.4.1 Divis˜o em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . a 42 3.4.2 Regra de trˆs simples e composta . . . . . . . . . . . . . e 474 N´ meros irracionais u 51 4.1 Quanto mede isto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 O que ´ um n´ mero irracional? . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 53 4.3 Aritm´tica dos N´ meros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . e u 54 iii
  • iv ´ CONTEUDO 4.3.1 Representando o produto de irracionais . . . . . . . . . √ 54 4.3.2 Qual o inverso de √ . . √. . . . . . . . . . . . . . . . 2? . 55 4.3.3 Qual o produto de 2 por 3? . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.4 Aproximando um n´ mero irracional por um n´ mero racional 63 u √ u 4.3.5 Calculando aproxima¸oes para b . . . . . . . . . . . . c˜ 64 4.3.6 Nosso amigo Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.7 Irracional t˜o pequeno ou t˜o grande quanto se queira . a a 67 4.3.8 Irracionais alg´bricos e transcendentes . . . . . . . . . . e 685 Fra¸oes cont´ c˜ ınuas 69 5.1 Fra¸oes cont´ c˜ ınuas e n´ meros racionais . . . . . . . . . . . . . . u 69 5.2 Fra¸oes cont´ c˜ ınuas e n´ meros irracionais . . . . . . . . . . . . . u 79A Problemas interessantes 85 A.1 O problema dos 35 camelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.2 H´rcules e a tartaruga . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.3 Jo˜o e Maria . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.4 O π dos eg´ıpcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.5 Aproximando a raiz quadrada √ de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.6 Aproximando a 3 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.7 Divis˜o de fra¸oes . . . . . . a c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B Para saber mais 89 B.1 Livro recomendado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B.2 Artigos recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B.3 Respostas de exerc´ ıcios selecionados do Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . 90Referˆncias Bibliogr´ficas e a 93
  • Lista de Figuras 2.1 Raz˜o entre as ´reas ABC e ABCD ´ 1 . . . . . . . . . . a a e 2 . . 8 2.2 Raz˜o entre comprimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . 9 2.3 Qual a raz˜o entre a ´rea do c´ a a ırculo e a ´rea do quadrado? a . . 10 2.4 A ´rea branca no interior do c´ a ırculo corresponde a 2 cm2 . . . 11 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 A ´rea do c´ a ırculo de raio 1 cm ´ igual a π. . . . . . . . . . . e . . 11 2.7 A artimanha de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 AC PR 2.8 Teorema de Thales BC = QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Papiro de Ahmes 1700 AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Posi¸ao√ c˜ relativa na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 AE AC = 2√22 ´ racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18 3.4 ABC ´ congruente a CP E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 19 3.5 A ´rea escura representa 2 da ´rea de ABCD e em EF GH a 3 a representa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 20 3.6 A ´rea escura em ABCD representa 10 e em EF GH representa a 15 12 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7 Representa¸ao de n´ meros racionais na reta . . . . . . . . . . . c˜ u 23 3.8 Os quadrados ABCD e EF GH tˆm 24 retˆngulos de mesma ´rea. e a a 24 3.9 A ´rea dos retˆngulos escuros, juntos, representa uma fra¸ao a a c˜ igual a 19 do quadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 3.11 A ´rea escura representa 16 da ´rea do quadrado . . . . . . . . a a 27 1 3.12 A ´rea escura representa 4 da ´rea do quadrado . . . . . . . . a a 27 3.13 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . a a c˜ 4 28 3.14 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . a a c˜ 28 v
  • vi LISTA DE FIGURAS 3.15 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 28 3.16 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 29 3.17 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 29 3.18 Os segmentos em negrito correspondem ` fra¸ao . . . . . a c˜ . . . . . 29 3.19 A ´rea em negrito corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 30 3.20 Divis˜o em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . a . . . . . 43 3.21 AP = 1 , P C = 1 , AD = 2, 4 e DB = 3, 6. . . . . 3 2 . . . . . 45 3.22 Paralelep´ ıpedo de largura x, comprimento y e altura z. . . . . . 47 4.1 Representa¸ao de n´ meros racionais na reta . . . . . . . . . . . c˜ u 51 4.2 AB = AD = BC = 1, AE √ BF = x , x2 = 2 , e P Q√ QR = x. = = 52 4.3 Representa¸ao na reta de 2 e seu oposto aditivo − 2. . . . . c˜ 53 4.4 Representa¸ao na reta da soma de irracionais. . . . . . . . . . . c˜ 55 1 4.5 Representa¸ao do inverso de x : OP = OA = 1 e OI = x . . . c˜ 56 1 4.6 Representa¸ao na reta de 2 c˜ √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.7 Representa¸ao do produto de n´ meros reais: OA = 1, OB = y, c˜ u OC = x e OP = xy. . . √ . . √. . . . . . . . . . . . . . . . . . √ . . 57 4.8 Representa¸ao de 2 × 3 = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 58 4.9 A ´rea cinza representa π da ´rea do quadrado . . . . . . . . . a 4 a 59
  • Caros Professores e Alunos,O presente texto ´ uma introdu¸ao ao conjunto dos n´ meros reais. Escrever e c˜ uum texto sobre n´ meros reais para uma turma t˜o heterogˆnea foi um desafio u a ea´rduo e gratificante. A dificuldade central em falar sobre n´meros reais, para ualunos no ensino fundamental e m´dio, reside basicamente na impossibilidade ede apresentar um no¸ao, ou defini¸ao, que utilize as constru¸oes mentais que a c˜ c˜ c˜tenra idade permite. Desta forma, recomendamos, tanto ao professor quanto aoaluno, a associa¸ao dos n´ meros reais positivos com comprimento de segmentos c˜ ude retas iniciando em um ponto O e terminando ` direita do mesmo. a A id´ia de que cada segmento tem um comprimento ´ facilmente aceita e e √pelos alunos. O uso de r´gua e compasso pode auxiliar a constru¸ao de 2 e c˜e de outros n´ meros irracionais mas, lembre-se que nossa vis˜o n˜o ´ muito u a a eexata. Os exerc´ ıcios sobre divis˜o proporcional podem, e devem, tamb´m ser a etrabalhados utilizando o Teorema de Thales. Assumimos que a no¸ao de fra¸ao j´ ´ de conhecimento do aluno. Caso seja c˜ c˜ a enecess´rio, o aluno pode, e deve, rever o livro utilizado na 4a e 5a s´ries. a e Ao final deste curso, recomendamos que os alunos revejam e refa¸am os cexerc´ ıcios dos livros de Matem´tica que eles utilizaram na sua escola. a O autor gostaria de ouvir de vocˆs cr´ e ıticas e sugest˜es para a melhoria do otexto. Finalmente, agradecemos ao professor Samuel Jurkiewicz pelo texto uti-lizado no cap´ ıtulo sobre fra¸oes cont´ c˜ ınuas e pelos problemas interessantes in-clusos no apˆndice, e, ` professora Maria Lucia Villela por sua colabora¸ao e a c˜como revisora. Divirtam-se, Carlos E. N. Bahiano
  • Cap´ ıtulo 1Senso comum1.1 Arist´teles e o senso comum: no¸˜o de igual- o ca dade Acredita-se que os primeiros fil´sofos surgiram nas colˆnias gregas de Jˆnia o o oe Magna Gr´cia no s´culo VI antes de Cristo. A Filosofia caracterizava-se, e eat´ ent˜o, por ser uma busca organizada e racional de explica¸oes para os e a c˜fenˆmenos naturais e quest˜es que desafiavam a mente humana. Existiam ba- o osicamente dois tipos de problemas: o primeiro tipo compreendia a necessidadede entender a natureza humana, sua origem e raz˜o de sua existˆncia; o se- a egundo grupo compreendia a necessidade de entender os fenˆmenos naturais, a oexistˆncia de padr˜es matem´ticos e sua utiliza¸ao para compreender, prever e e o a c˜resolver problemas cotidianos relativos ` constru¸ao, com´rcio, m´ sica e outros. a c˜ e uNeste momento, entendia-se que o estabelecimento de uma resposta aceita portodos como verdadeira solucionava o problema em quest˜o, este era o chamado a“Senso comum.” Do ponto de vista matem´tico o uso da express˜o senso comum tem seu a aprimeiro registro no Livro I dos Elementos de Euclides. Euclides de Alexan-dria (360A.C-265 A.C) ´ o mais conhecido autor matem´tico da antiguidade, e aescreveu “Stoichia”(Os elementos) uma obra composta por treze livros quereuniam o conhecimento matem´tico de seus predecessores, sendo cinco sobre ageometria plana, trˆs sobre n´ meros, um sobre propor¸oes, um sobre grandezas e u c˜incomensur´veis e os trˆs ultimos sobre geometria no espa¸o. No livro I, apare- a e ´ c 1
  • 2 CAP´ ITULO 1. SENSO COMUMcem as seguintes afirma¸oes: c˜ 1. Objetos que s˜o iguais a uma mesma coisa tamb´m s˜o iguais entre si. a e a 2. Se iguais forem somados a iguais, ent˜o os resultados s˜o iguais. a a 3. Se iguais forem subtra´ ıdos a dois valores iguais, ent˜o os resultados s˜o a a iguais. 4. Coisas que coincidem umas com as outras s˜o iguais entre si. a 5. O todo ´ maior que a parte. e Estas afirma¸oes, que ele classificou como senso comum, foram aceitas como c˜verdadeiras e, de certa forma, s˜o os princ´ a ıpios b´sicos para entender o que as˜o e para que servem os n´ meros, assim como, para resolver problemas ou a uequa¸oes envolvendo n´ meros. Podemos entender o uso destes princ´ c˜ u ıpios, quechamaremos de princ´pios do senso comum, estudando os exemplos a seguir. ıExemplo 1.1. J´lia tem 8 anos. Se somarmos 3 a idade que Paulo tem, u ´encontramos como resultado o dobro da idade de J´lia. Qual a idade de Paulo? u O dobro de 8 ´ 16, aplicando o primeiro princ´ e ıpio do senso comum, a idadede Paulo mais 3 ´ igual 16. Ou seja, a idade de Paulo mais 3 ´ igual a (13 + e e3). Aplicando o terceiro princ´ ıpio do senso comum, subtraindo 3, descobrimosa idade de Paulo. Paulo tem 13 anos.Exemplo 1.2. O triplo de idade de Paulo somado ao dobro da idade de Anaresulta em 10. Subtrair a idade de Ana do dobro da idade de Paulo, resulta em2. Qual a idade de Paulo? Se representarmos por x a idade de Paulo e por y a idade de Ana, podemosescrever o problema da seguinte forma: 3x + 2y = 10 e 2x − y = 2Ora, aplicando os princ´ ıpios do senso comum, como 2x−y = 2, ent˜o (2x−y)+ ay = 2 + y. Ou seja, 2x = 2 + y. Portanto, 2x − 2 = y. Por outro lado, devemoster 3x + 2y = 10. Substituindo y por 2x − 2 devemos ter 3x + 2(2x − 2) = 10.Ou seja, 3x + 4x − 4 = 10. Aplicando novamente os princ´ıpios do senso comuma´ equa¸ao 7x − 4 = 10, obtemos que 7x = 14 e portanto x = 2. Logo, como x c˜representa a idade de Paulo, Paulo tem 2 anos.
  • ´ ¸˜1.2. OS MATEMATICOS E A NOCAO DE OBJETOS EQUIVALENTES 3 Quando resolvemos problemas matem´ticos sempre utilizamos os princ´pios a ıdo senso comum, pois ao resolvermos um problema matem´tico estamos sem- apre comparando “coisas”. Por exemplo, comparamos ´reas, comparamos re- asultados de opera¸oes matem´ticas como soma, subtra¸˜o e divis˜o, al´m de c˜ a ca a eoutros objetos matem´ticos que conhecemos ao longo da nossa vida estudantil. aSe numa compara¸ao aplicamos os princ´pios do senso comum e obtemos um c˜ ıresultado falso, ent˜o os objetos comparados n˜o s˜o iguais. a a aExemplo 1.3. A professora perguntou a um aluno qual o resultado da ex-press˜o 5 + (35 ÷ 5). O aluno respondeu erradamente que o resultado era 8. aVamos provar que a resposta est´ errada. a A afirma¸ao do aluno foi que 5 + (35 ÷ 5) = 8. Se isto fosse verdade, sub- c˜traindo 5 em cada lado da igualdade, dever´ ıamos ter 35 ÷ 5 = 3. Mas todomundo sabe que 35 dividido por 5 ´ igual a 7 e 7 n˜o ´ igual a 3. Logo, a e a eresposta do aluno est´ errada. De fato, a resposta correta ´ 12. a eExerc´ıcio 1.4. Use os princ´pios do senso comum para descobrir o valor de ıx em cada uma das seguintes equa¸oes: c˜ 1. Se x + 2 = 5 quanto vale x? 2. Se 2x − 3 = 11 quanto vale x? 3. Se 2x − 3 = x + 7 quanto vale x? 4. Se x − 3 = 11 − x quanto vale x? 5. Se x ÷ 2 = 10 quanto vale x?1.2 Os matem´ticos e a no¸˜o de objetos equi- a ca valentes Na se¸ao anterior vimos que, para resolver um problema matem´tico, n´s c˜ a ousamos regras que antigamente eram chamadas de princ´ ıpios do senso comum.Hoje os matem´ticos deram um novo formato a estes princ´ a ıpios, reduzindo-ospara apenas trˆs e denominado-os de princ´ e ıpios de equivalˆncia. e 1. Todo objeto ´ igual a si pr´prio. e o
  • 4 CAP´ ITULO 1. SENSO COMUM 2. Se o objeto A ´ igual ao objeto B, ent˜o B ´ igual a A. e a e 3. Se o objeto A ´ igual ao objeto B e o objeto B ´ igual ao objeto C, ent˜o e e a o objeto A ´ igual ao objeto C eO primeiro princ´ ıpio ´ chamado de “reflexividade”, o segundo ´ chamado de e e“simetria” e o ultimo ´ a “transitividade”. Qualquer no¸ao de igualdade ou ´ e c˜equivalˆncia deve obedecer a estes trˆs princ´ e e ıpios. A raz˜o para utilizar estes aprinc´ ıpios, em lugar dos princ´pios do senso comum , ´ que hoje a Matem´tica ı e aest´ muito mais sofisticada e precisamos comparar outros objetos matem´ticos, a aal´m de n´ meros e ´reas. e u a De fato, a no¸ao de equivalˆncia ´ a ferramenta b´sica para a constru¸ao dos c˜ e e a c˜n´ meros, mas isto ´ uma hist´ria para ser contada mais tarde. Por enquanto u e opodemos nos contentar em entender que os n´ meros podem ser representados ude v´rias formas, que a no¸ao do que chamamos de n´ mero evoluiu de acordo a c˜ ucom as necessidades humanas, que existem regras para fazer opera¸oes com os c˜n´ meros e para compar´-los. Por exemplo, todas as express˜es a seguir s˜o u a o aiguais a 4. 12 8 4 63 1 √ 2 + 2, 3 + 1, 5 − 1, , + , − , 16, 22 , log10 104 3 3 3 15 5Podemos ainda representar os n´ meros usando tipos diferentes de escrita ou de unota¸ao. Por exemplo, o n´ mero 4 pode ser escrito nas seguintes formas: c˜ u IV em algarismo romano, 4 em algarismo ´ ındu-ar´bico. aCada civiliza¸ao pode possuir uma forma de representar os n´ meros, mas as c˜ uopera¸oes matem´ticas de soma, multiplica¸ao, divis˜o, exponencia¸ao, assim c˜ a c˜ a c˜como a resolu¸ao de equa¸oes num´ricas, sempre obedecem aos princ´ c˜ c˜ e ıpios deequivalˆncia ou, equivalentemente, a no¸ao de igualdade matem´tica. e c˜ a Para entender porque a no¸ao de n´ meros evoluiu com as necessidades hu- c˜ umanas, basta observar que no seu estado primitivo o homem apenas precisavados n´ meros naturais. Por exemplo, para saber se todos os filhos estavam upresentes, quantas “ovelhas” tinham, quantos soldados inimigos a tribo con-corrente tinha, etc. . . . Certamente, com o desenvolvimento da capacidade defazer com´rcio (troca) veio junto a necessidade de exprimir a falta ou d´bito e, e eneste momento, precisaram da no¸ao de n´ meros inteiros. Com a necessidade c˜ ude construir edifica¸oes veio a necessidade de comparar coisas, que podem ser c˜particionadas (divididas) em quantidades que n˜o poderiam ser quantificadas a
  • ´ ¸˜1.2. OS MATEMATICOS E A NOCAO DE OBJETOS EQUIVALENTES 5apenas com n´ meros inteiros, como por exemplo ´rea de terra, distˆncia entre u a adois pontos, justificando a “cria¸ao”dos n´ meros racionais e irracionais. c˜ u Outras necessidades humanas, quer sejam simplesmente a necessidade deexercer sua racionalidade atrav´s do pensamento matem´tico, ou necessidades e atecnol´gicas, nos levaram ´ amplia¸ao das no¸oes de n´ mero, de suas opera¸oes o a c˜ c˜ u c˜aritm´ticas e de suas representa¸oes. Ao longo da sua vida acadˆmica o aluno e c˜ econhecer´, sequencialmente, os seguintes conjuntos num´ricos: conjunto dos a en´ meros Naturais (representado por N), conjunto dos n´ meros Inteiros (repre- u usentado por Z), conjunto dos n´ meros Racionais (representado por Q) e Irra- ucionais (representado por I), conjunto dos n´ meros Reais (representado por R), uconjunto dos n´ meros Complexos (representado por C), conjunto dos n´ meros u u℘-´dicos (representado por Z(℘) ) e outros. Neste texto, estudaremos os n´ meros a uracionais e irracionais.
  • 6 CAP´ ITULO 1. SENSO COMUM
  • Cap´ ıtulo 2O que ´ uma raz˜o? e a Uma raz˜o ´ uma compara¸ao quantitativa entre dois objetos matem´ticos. a e c˜ aPodemos comparar informa¸oes num´ricas de naturezas diversas, por meio da c˜ eraz˜o entre elas. a • Podemos comparar informa¸oes num´ricas sobre dois conjuntos. Por ex- c˜ e emplo, podemos calcular a raz˜o entre a quantidade de alunos e a quanti- a dade de professores existentes numa escola ou, em outras palavras, quan- tos alunos existem para cada professor dispon´ıvel. • Podemos comparar o custo de um servi¸o e o n´ mero de pessoas aten- c u didas. Por exemplo, podemos calcular a raz˜o entre os gastos de uma a escola e o seu n´ mero de alunos. u • Podemos comparar informa¸ao num´rica sobre ´reas, volumes e, ou com- c˜ e a primentos. Por exemplo, a raz˜o entre a ´rea de um retˆngulo e o com- a a a primento da sua base ´ igual a altura do retˆngulo. A raz˜o entre a ´rea e a a a de um triˆngulo e a ´rea do paralelogramo, determinado por ele, ´ igual a a e a 0.5. • Podemos comparar o valor de uma distˆncia percorrida por um atleta e a o tempo gasto para percorrˆ-la. Neste caso, a raz˜o ´ a velocidade do e a e atleta e a informa¸ao, que a raz˜o fornece, ´ a id´ia de quanto tempo o c˜ a e e atleta gastou em cada parte do percurso. 7
  • 8 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO? A D B C 1 Figura 2.1: Raz˜o entre as ´reas ABC e ABCD ´ a a e 2 • Podemos comparar o peso de uma pessoa e o quadrado da sua altura em metros. Neste caso, a raz˜o ´ conhecida como ´ a e Indice de massa corporal, peso em Kg IM C = . Altura ao quadrado O IMC ´ usado para determinar se uma pessoa est´ acima ou abaixo do e a peso normal. A tabela abaixo ´ uma classifica¸ao usada pela Organiza¸ao e c˜ c˜ Mundial de Sa´ de: u Categoria IMC Abaixo do peso menor que 18,5 Peso normal entre 18,5 e 24,9 Sobrepeso entre 25 e 29,9 Obesidadede acima de 30 • Podemos comparar a ´rea de um c´ a ırculo com o quadrado do seu raio. Neste caso, a raz˜o ´ igual a π. Veja a figura 2.6 a e • Podemos comparar o pre¸o de um saco de bombons com a quantidade de c bombons existentes no saco. Neste caso, a raz˜o fornece o pre¸o de cada a c bombom. • Podemos concluir que uma raz˜o expressa uma rela¸ao entre dois n´ meros a c˜ u e que esta rela¸ao cont´m, de certa forma, informa¸oes sobre os objetos c˜ e c˜ associados aos n´ meros. Por exemplo, se 10 garrafas idˆnticas, comple- u e tamente cheias, contˆm 9 litros de suco, ent˜o a raz˜o entre o volume, e a a 9 ℓ, e o n´ mero de garrafas, nos informa a capacidade de cada garrafa. O u e 9 volume de cada garrafa ´ 10 ℓ = 900 mℓ.
  • 9 A seguir, exemplificamos dois tipos de raz˜o que tˆm como resultado o a eobjeto de estudo deste curso. No primeiro exemplo, 2.1, a raz˜o descrita ´ um a en´ mero racional e no segundo exemplo, 2.2, a raz˜o ´ o n´ mero irracional π. u a e uExemplo 2.1. Considere os cinco segmentos de reta A, B, C, D e E, descritosna figura abaixo, cujos comprimentos est˜o indicados em metros. a 2, 25 m 2m 1m 0, 75 m 0, 5 m 0, 25 m 0 A B C D E Figura 2.2: Raz˜o entre comprimentos a Podemos nos perguntar quantos segmentos de mesmo comprimento que osegmento A s˜o necess´rios para construir o segmento E, colando-os um ap´s a a oo outro. Neste caso, vemos que s˜o necess´rios 9 segmentos. De fato, o seg- a amento C pode ser constru´do com 4 segmentos iguais a A, o segmento D pode ıser contru´do com 8 segmentos iguais a A e, finalmente, o segmento E pode ıser constru´do com 9 segmentos iguais a A. Portanto, a raz˜o entre os com- ı aprimentos dos segmentos E e A ´ igual a 9. e Por outro lado, comparando os segmentos E e D, percebemos que, paraconstruir E, ser˜o necess´rios dois segmentos iguais a C e mais um segmento a aigual ao segmento A, enquanto para D ser˜o necess´rios 8 segmentos iguais a a aA. Conseq¨entemente, a raz˜o ´ igual a 9 ÷ 8, ou seja, 1, 125. u a e No exemplo acima, vimos que comparando o segmento E com o segmentoD, conclu´ ımos que poder´ ıamos construir o segmento E, usando um segmento
  • 10 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?igual a D e mais um segmento correspondente ao segmento D dividido em 8partes iguais, ou seja, dividindo o segmento de um metro em um n´ mero finito ude partes de comprimentos iguais, 4 partes neste caso. Podemos construir ossegmentos, citados no exemplo acima, colando um n´ mero finito de segmentos uiguais a A. Entretanto, nem toda raz˜o pode ser expressa como divis˜o de dois a an´ meros inteiros, como mostra o exemplo a seguir. uExemplo 2.2. Considere o c´rculo de raio igual a 1 cm e o quadrado de lado ıigual a 1 cm. Figura 2.3: Qual a raz˜o entre a ´rea do c´ a a ırculo e a ´rea do quadrado? a Vamos estimar qual a raz˜o entre a area do c´rculo e a area do quadrado. a ´ ı ´ Vamos chamar de π a ´rea do c´ a ırculo em cm2 . Sabemos que a ´rea do aquadrado de lado igual a 1 cm ´ 1cm2 . Podemos facilmente ver, na figura eabaixo, que a ´rea do c´ a ırculo ´ menor do que 4 vezes a ´rea de quatro quadrados e ade lado 1 cm. Dividindo cada quadrado em 4 e depois em 16 quadradinhos congruentes,temos: que a ´rea branca no interior do c´ a ırculo corresponde a 2 cm2 , e, anal-isando a ´rea externa ao c´ a ırculo, vemos que do lado de fora do c´ ırculo a ´rea ´ a emaior do que 0, 5 cm2 . Logo, conclu´ ımos que 2 < π < 3, 5.
  • 11 ırculo corresponde a 2 cm2 Figura 2.4: A ´rea branca no interior do c´ a Para prosseguir nossa an´lise, observe- amos que o c´ ırculo ´ formado por quatro fig- euras de mesma ´rea, logo basta que analise- amos uma destas figuras e depois multi-pliquemos o resultado por 4. Figura 2.5: Dividindo os lados do quadrado em partes cada vez menores, vamos observarque a ´rea do c´ a ırculo ´ maior do que 3,1 e menor do que 3,2 e, al´m disto, a ´rea e e ado c´ ırculo nunca vai ser inteiramente preenchida apenas com quadradinhos. Figura 2.6: A ´rea do c´ a ırculo de raio 1 cm ´ igual a π. e O que significa dizer que nunca expressaremos a raz˜o entre a ´rea do c´ a a ırculoe a ´rea do quadrado de forma an´loga ao feito para os segmentos do exemplo a a
  • 12 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?anterior, isto ´, como divis˜o de dois n´ meros inteiros. De fato, esta raz˜o ´ e a u a eigual a π cujo valor aproximado, com cinco casas decimais, ´ 3, 14159. eObserva¸˜o 1. Embora o exemplo anterior tenha sido feito com raz˜o entre ca aareas, existem infinitos exemplos de raz˜es, entre comprimentos de segmentos,´ oque jamais poder˜o ser expressos como raz˜o entre dois n´meros inteiros. Veja a a uexemplo 4.2.2.1 Teorema de Thales A no¸ao de raz˜o fornece um dos mais belos teoremas da geometria plana: c˜ aTeorema de Thales. Thales de Mileto nasceu na regi˜o hoje conhecida como aTurquia, na cidade de Milletus, em 610 AC. Al´m de matem´tico, Thales foi e ao que hoje chamar´ ıamos de engenheiro. Thales ficou conhecido por mediras pirˆmides do Egito, comparando a raz˜o entre a sua altura e sua sombra a acom a raz˜o entre o comprimento das sombras das pirˆmides. Em verdade, a aThales resolveu uma propor¸ao em que a altura era uma inc´gnita (valor a ser c˜ oencontrado), para isto, ele multiplicou a raz˜o entre sua altura e sua sombra apelo comprimento da sombra da pirˆmide e assim, determinou o comprimento ada pirˆmide. a Figura 2.7: A artimanha de Thales
  • 2.1. TEOREMA DE THALES 13Teorema 2.3 (Teorema de Thales). Se duas retas s˜o transversais a atrˆs retas paralelas, ent˜o a raz˜o entre dois segmentos quaisquer, e a adeterminados por uma delas, ´ igual ` raz˜o entre os segmentos e a acorrespondentes determinados pela outra. Isto ´, se A, B, C e P, Q, R es˜o os pontos de interse¸ao, respectivamente, entre as retas tranversais e as a c˜retas paralelas, ent˜o a AB PQ AC PR AC PR = = = . BC QR BC QR AB PQ A P B Q C R AC PR Figura 2.8: Teorema de Thales BC = QR .
  • 14 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?
  • Cap´ ıtulo 3N´meros racionais u3.1 O que ´ um n´ mero racional e u Na se¸ao anterior, dissemos que a no¸ao intuitiva de n´mero modificou- c˜ c˜ use ao longo do tempo para atender, entre outras necessidades humanas, asnecessidades matem´ticas de cada ´poca. Vejamos as quest˜es a seguir. a e oQuest˜o 3.1. a 1. Qual o n´ mero que devemos “somar”a 3 para obter, como resultado da u soma, o n´ mero 2? u 2. Qual o n´ mero que devemos “multiplicar”por 2 para obter, como resul- u tado do produto, o n´ mero 3? u 3. Qual o n´ mero cujo quadrado ´ 2? u e 4. Quanto mede o per´ ımetro de um c´ ırculo de raio 1? 5. Existe algum n´ mero x tal que 10x = 2? u 6. Existe algum n´ mero cujo quadrado ´ -1? u eCada quest˜o acima nos leva ` necessidade de amplia¸ao do que foi chamado a a c˜de n´ mero em cada ´poca. u e A primeira quest˜o n˜o tem como solu¸ao um n´ mero natural. De fato, a a c˜ usomar dois n´ meros naturais sempre fornece como resultado um n´ mero maior u u 15
  • 16 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISou igual aos dois n´ meros naturais que foram somados (lembre-se que N = u{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}). Portanto, para responder corretamente aquest˜o 1, precisamos de considerar os n´ meros inteiros negativos. Diophantus a ude Alexandria, que viveu no s´culo II, em seu livro “Aritmetika”, denominou eos n´ meros inteiros negativos de n´mero absurdo ou imposs´vel, denomina¸ao u u ı c˜que persistiu at´ o s´culo XVI, quando finalmente passaram a ser chamados de e en´ meros negativos, e somente no s´culo XIX foram agregados ao conjunto dos u en´ meros naturais para formar o conjunto dos n´ meros inteiros: u u Z = {. . . , −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}. Durante todo este tempo, cerca de dois mil anos, os matem´ticos trabalha- aram com uma no¸ao intuitiva de n´ meros inteiros negativos: “um n´mero ´ c˜ u u echamado de n´mero inteiro negativo se podemos som´-lo a um n´mero natural u a upara obter zero como resultado da soma.” A quest˜o 2 nos leva ao conceito de n´ meros racionais positivos. Intuiti- a uvamente, um n´ mero racional permite expressar a divis˜o ou parti¸ao de um u a c˜objeto, matem´tico ou n˜o, em quantidades que n˜o poderiam ser quantifi- a a acadas apenas com n´ meros inteiros. Por exemplo, quanto mede cada parte de uuma corda de 2 m que foi dividida em 3 partes iguais? Ou em outras palavras,quanto ´ 2 dividido por 3 ? e Os n´ meros racionais positivos us˜o conhecidos desde a antiguida- ade. O papiro de Ahmes, datado de1700AC, ilustra v´rios problemas en- avolvendo fra¸oes de n´ meros natu- c˜ urais. Ap´s a aceita¸ao dos n´ meros o c˜ uinteiros negativos os matem´ticos atamb´m passaram a considerar fra¸oes e c˜de um n´ mero negativo. u As quest˜es 3, 4 e 5, por sua vez, onos levam ao conceito de n´ mero ir- uracional. Alguns n´ meros irracionais √ ucomo 2 e π e a constante ´urea ϕaj´ eram conhecidos desde a antigu- aidade. Outros, como log 2, s˜o mais arecentes. Figura 3.1: Papiro de Ahmes 1700 AC
  • ´ ´3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL 17 Finalmente, a quest˜o 6 nos leva ao conceito de n´ mero complexo. a u Do ponto de vista matem´tico, a defini¸ao de n´ mero s´ foi formalizada a c˜ u opor volta de 1922, como conseq¨ˆncia dos trabalhos de George Cantor (1872), ueRichard Dedekind (1888), Ernest Zermelo (1908) e Adolf Fraenkel (1922). De um modo geral, podemos dizer que um n´ mero x ´ um n´ mero u e uracional se podemos multiplic´-lo por algum n´ mero natural n˜o- a u anulo e obter como resultado um n´ mero inteiro. Ou seja, um n´ mero u u a a u c˜ 2racional expressa a raz˜o ou divis˜o entre dois n´ meros inteiros. A nota¸ao 3representa o n´ mero racional que multiplicado por 3 resulta em 2. De forma uan´loga, a nota¸ao −2 representa o n´ mero racional que multiplicado por 3 a c˜ 3 uresulta em -2. Desta forma, os n´ meros a seguir s˜o exemplos de n´ meros racionais: u a u −3 3 −3 1 −0, 2 , , 0, , , , 0, 25 , 0, 825. 15 15 4 5Observe que −0, 2 × 10 = −2, que 0, 25 × 4 = 1. Logo, −0, 2 = −2 , assim como, 10 1 330, 25 ´ igual a 4 . De forma an´loga, 0, 825 × 40 = 33, logo 0, 825 = 40 . e aDefini¸˜o 3.2. Um n´mero racional ´ todo e qualquer n´mero que puder ser ca u e uescrito na forma x , em que x e y s˜o n´meros inteiros, com y diferente de y a uzero. O conjunto dos n´meros racionais ´ usualmente representado por Q. u e O valor x ´ chamado de numerador e o valor y ´ chamado de denomi- e enador. Por exemplo em 2 , o numerador ´ igual a 2 e o denominador ´ igual a 3 e e3. Uma forma de compreender o conjunto Q ´ lembrar que: o conjunto dos en´ meros inteiros ´ formado pelos n´ meros naturais (incluindo o zero) e os seus u e uopostos aditivos (os inteiros negativos). De forma an´loga, o conjunto dos an´ meros racionais ´ composto pelas fra¸oes de n´ meros naturais e seus opostos u e c˜ uaditivos. Al´m disto, os n´ meros racionais positivos, raz˜o entre dois inteiros e u apositivos, admitem uma interpreta¸ao como comprimento de segmentos de reta c˜medidos a partir de um ponto fixo, representado pelo zero. Enquanto os seusopostos aditivos, os racionais negativos, s˜o representados por um ponto em aposi¸ao sim´trica em rela¸ao ao zero. c˜ e c˜Quando dois n´ meros racionais s˜o iguais? u a Sabemos que ´ um n´ mero racional todo n´ mero que multiplicado por um e u un´ mero inteiro, diferente de zero, resulta em um n´ mero inteiro. Esta ca- u u
  • 18 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS −2 3 3 15 −2 −1 −3 0 2 1 2 15 3 Figura 3.2: Posi¸ao relativa na reta c˜racteriza¸ao de n´ meros racionais nos traz algumas quest˜es interessantes. Por c˜ u oexemplo, como determinar se dois n´ meros racionais s˜o iguais, uma vez que u aeles podem ter diferentes representa¸oes? Para ilustrar esta quest˜o considere c˜ aa quest˜o abaixo. aQuest˜o 3.3. Na figura a seguir, os triˆngulos ABC e ADE s˜o triˆngulos a a a aretˆngulos, nos quais AB = BC = 1, AD = DE = 2 e BC||DE. Qual a raz˜o a aentre os comprimentos de AE e AC? E C A B D √ AE 2 2 Figura 3.3: AC = √ 2 ´ racional. e Resposta: Como ABC e ADE s˜o triˆngulos semelhantes (veja 2.3), facil- a a ımos que AE = 2. Por outro lado, desde a antiguidade, os seresmente conclu´ AChumanos sabem calcular os comprimentos de AE e AC (Teorema de Pit´goras: √ a(AE)2 = (AD)2 + (DE)2 ). √ fato, o comprimento de AB ´ 2 e o compri- De emento de AE ´ √ dobro, 2 2. Logo, a raz˜o tamb´m pode ser expressa por √ e o a e2 2 √ . Portanto, 2 2 = 2 = 2 . √ 2 2 1Observa¸˜o 2. Para os alunos que n˜o sabem o conceito de semelhan¸a, basta ca a cobservar que o ponto de interse¸ao do segmento DE com a reta paralela ao c˜segmento AD e que passa pelo ponto C determina um ponto P , tal que ABCe CP E s˜o congruentes. a
  • ´ ´3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL 19 E C P A B D Figura 3.4: ABC ´ congruente a CP E. e Logo, o comprimento de AC ´ igual ao comprimento de CE. eO que esta quest˜o nos ensina? a Esta quest˜o nos ensina que a raz˜o entre dois n´ meros pode resultar em a a uum n´ mero racional, mesmo que estes n´ meros n˜o sejam inteiros. u u aComo saber se uma raz˜o ´ um n´ mero racional? a e u Para responder a esta pergunta, precisamos entender a propriedade funda-mental da igualdade entre raz˜es: “Duas raz˜es a e d , com b e d diferentes o o b cde zero, s˜o iguais se, e somente se, a × d = b × c.” Logo, uma raz˜o a , a a bentre dois n´ meros, ´ um n´ mero racional se, e somente se, existem inteiros c u e ue √ com d diferente de zero, tais que a × d = b × c. No exemplo 3.3, tem-se d,2 2 √ √ √ = 2 , pois 2 2 × 1 = 2 × 2. 2 1 Em particular, temos a seguinte regra para igualdade de n´ meros racionais. uPropriedade 3.4 (Igualdade de n´ meros racionais). u Dois n´ meros racionais a e d s˜o iguais se, e somente se, u b c a a × d = b × c.Exemplo 3.5. 2 −2 1. Os n´ meros racionais u 3 e −3 s˜o iguais pois, 2 × (−3) = 3 × (−2). a
  • 20 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS −3 3 2. Os n´ meros racionais u 5 e −5 s˜o iguais pois, (−3) × (−5) = 3 × 5. aUma conseq¨ˆncia da propriedade acima ´ dada a seguir. ue ePropriedade 3.6. Todo n´ mero racional pode ser representado na uforma a em que b ´ um n´ mero natural diferente de zero. b e u De fato, a propriedade acima nos diz que se b ´ um n´ mero natural n˜o-nulo, e u a a aent˜o −b = −a , pois a × (−b) = (−a) × b. Veja os exemplos em 3.5. bComo comparar dois n´ meros racionais? u Certamente, a compara¸ao entre dois n´ meros racionais ´ f´cil de ser feita c˜ u e aquando os dois n´ meros tˆm um mesmo denominador positivo. Vejamos o u eexemplo a seguir.Exemplo 3.7. Vamos comparar os racionais 2 e 4 . Podemos representar as 3 5raz˜es 3 e 4 , por meio das figuras a seguir, nas quais ABCD e EF GH s˜o o 2 5 aquadrados de mesma area. ´ B C F G H A D E 2Figura 3.5: A ´rea escura representa a 3 da ´rea de ABCD e em EF GH repre- asenta 4 . 5 Se dividirmos a area de ABCD em trˆs partes iguais e depois redividirmos ´ ecada parte em 5 partes iguais, a area de ABCD ser´ ent˜o dividida em 15 ´ a apartes iguais, e os dois ter¸os da area de ABCD corresponder˜o a 10 destas c ´ anovas partes. Da mesma forma, se dividirmos a area de EF GH em cinco ´partes iguais e depois redividirmos cada parte em 3 partes iguais, a area de ´
  • ´ ´3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL 21EF GH ser´ ent˜o dividida em 15 partes iguais, e os quatro quintos da area de a a ´EF GH corresponder˜o a 12 destas novas partes. a C D F G B A E H 10Figura 3.6: A ´rea escura em ABCD representa a 15 e em EF GH representa1215 . Portanto, temos 3 = 10 e 4 = 15 . Portanto, a fra¸ao 4 representa uma 2 15 5 12 c˜ 5 2 4parte maior do que a fra¸ao 3 , e portanto o n´mero racional 5 ´ maior do que c˜ u e 2o n´mero racional 3 . u Logo, para comparar dois n´ meros racionais, basta reduzi-los a um mesmo udenominador. Pois, dois n´ meros racionais que possuem o mesmo de- unominador s˜o iguais se, e somente se, os numeradores s˜o iguais. a aAl´m disto, se dois n´ meros racionais possuem um mesmo denominador (pos- e uitivo), o maior entre eles ser´ aquele que possuir o maior numerador. Por aexemplo, 3 ´ maior do que 5 e 3 ´ maior do que −5 . Pois, 2 = 15 , 3 = 15 e 2 e 3 5 e 8 3 10 5 9 8 −24−5 = 15 . Por outro lado, 10 ´ maior do que 9 e 9 ´ maior do que −24. e eComo reduzir dois n´ meros racionais a um mesmo denominador ? u De um modo geral, dados dois n´ meros racionais a e d temos a = a × d u b c b b ×d c c×be = b × d . Logo, sempre ´ poss´ reescrever dois n´ meros racionais usando d e ıvel uum mesmo denominador. Neste caso, o denominador, a ser obtido, ser´ um am´ ltiplo comum dos dois denominadores. Observe que como b e d s˜o diferentes u ade zero, ent˜o o M M C(b, d) ´ o menor n´ mero natural diferente de zero que a e u´ m´ ltiplo de b e de d, logo sempre ´ poss´e u e ıvel multiplicar o numerador e o
  • 22 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISdenominador de a e, analogamente, de d , por n´ meros inteiros, de forma que b c uo denominador das duas raz˜es seja M M C(b, d). oExemplo 3.8. Para reduzir os n´meros racionais 5 e 8 a um mesmo denomi- u 6 3nador, observamos que M M C(6, 8) = 24. Por sua vez, 24 : 6 = 4 e 24 : 8 = 3.Logo, 6 = 5 × 4 = 24 e 5 = 8 × 3 = 15 . 5 6×4 20 8 5×3 243.1.1 Representando n´meros racionais com numerador u e denominador relativamente primos Todo n´ mero racional a pode ser escrito na forma x em que u b yM DC(x, y) = 1. De fato, se d = M DC(a, b), ent˜o existem inteiros x e y tais que a = x × d ae b = y × d e M DC(x, y) = 1. Logo, a = x×d = x . b y×d y 6 90Exemplo 3.9. Vamos escrever os racionais 12 , 35 e −20 com numeradores e 60denominadores relativamente primos. Temos M DC(6, 12) = 6, M DC(90, 35) =5 e M DC(−20, 60) = 20. Logo,6 1×6 1 90 18 × 5 18 −20 −1 × 20 −1 = = = = = =12 2×6 2 35 7×5 7 60 3 × 20 33.1.2 Ordenando os racionais Todo n´ mero inteiro ´ um n´ mero racional. De fato, se n ´ um n´ mero u e u e unatural ent˜o podemos escrevˆ-lo na forma de raz˜o n . Sendo assim, para a e a 1comparar dois n´ meros racionais precisamos de uma no¸ao de compara¸ao que u c˜ c˜coincida com a compara¸ao de inteiros. Desta forma, todo n´ mero racional c˜ unegativo, aquele que pode ser expresso na forma a com numerador negativo be denominador positivo, deve ser menor do que zero e menor do que qualquern´ mero racional positivo, aquele com numerador e denominador positivos. u Mais ainda, a um n´ mero racional positivo a corresponde uma distˆncia, u b amedida entre o ponto que representa o zero e o ponto que representa a , en- bquanto que, ao seu oposto aditivo −a corresponde o ponto em posi¸ao sim´trica b c˜ ecom respeito ao zero, conforme representado na figura abaixo. Desta forma, se ordenamos os racionais positivos tamb´m ordenaremos, eautomaticamente, os racionais negativos. A propriedade a seguir nos permitecomparar os n´ meros racionais, respeitando a no¸ao de maior ou menor dos u c˜n´ meros inteiros. u
  • ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 23 4 1 4 −3 −2 3 −3 − 5 −2 −1 − 2 0 1 2 1 5 2 5 2 3 2 3 4 2 Figura 3.7: Representa¸ao de n´ meros racionais na reta c˜ uPropriedade 3.10 (Ordenando os n´ meros racionais). Se os n´ meros u u b cracionais a e d tˆm denominadores positivos, ent˜o o n´ mero racional e a ua cb ´ maior do que o n´ mero racional d se, e somente se, a × d ´ maior e u edo que c × b. A regra acima pode ser escrita usando o s´ ımbolo “ >” (lˆ-se “maior do eque”). a c b > d se, e somente se, a × d > c × b. Utilizando a regra acima, sempre poderemos ordenar os n´ meros racionais, uescrevendo-os em ordem crescente ou decrescente.Exerc´ ıcio 3.11. Coloque os n´meros racionais abaixo em ordem crescente. u −1 −2 2 3 87 11 100 −10 . 5 3 4 7 2 23 3 43.2 Opera¸˜es aritm´ticas com n´ meros racionais co e u3.2.1 Soma e produto de n´meros racionais u A soma e o produto dos n´ meros racionais s˜o definidos como a seguir. u aDefini¸˜o 3.12 (Soma de n´ meros racionais). Dados dois n´meros racionais ca u ua cb e d temos: a c (a×d) + (b×c) b + d = b×dPropriedade 3.13. A soma de n´meros racionais tem as seguintes propriedades: u
  • 24 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS a c c a 1. b + d = d + b (Comutatividade) 2. ( a + d ) + b c x y = a b + (d + x) c y (Associatividade) 3. Para cada n´ mero racional a , existe um n´ mero racional d , tal que a + u b u c b c d = 0. De fato, temos a + −a = 0 = 0. Neste caso, dizemos que −a ´ o oposto b b b b e aditivo de a e escrevemos − a em lugar de −a . b b bO que significa somar dois n´ meros racionais? u Para entender o que significa somar dois n´ meros racionais, vamos conside- urar o caso da soma de dois n´ meros racionais positivos. u Nas duas figuras a seguir os quadrados ABCD e EF GH s˜o congruentes, a 3 1a parte escura representa, respectivamente, 2 e 8 das ´reas dos quadrados aABCD e EF GH. B C F G A D E HFigura 3.8: Os quadrados ABCD e EF GH tˆm 24 retˆngulos de mesma ´rea. e a a Se juntarmos a parte que representa 2 com a parte que representa 1 (lembre- 3 8 2se que 3 = 16 e 8 = 24 ), obteremos 19 partes de um quadrado que foi dividido 24 1 3em 24 partes iguais. Logo, a raz˜o entre a ´rea da uni˜o das partes escuras das duas figuras e a a a aa a 24 16 3 19´rea do quadrado, ser´ igual a 19 , ou seja, 24 + 24 = 24 . Deste exemplo, percebemos que para somar n´ meros racionais com um umesmo denominador basta somar os numeradores e manter o denominador.De um modo geral, dados dois n´ meros racionais a e d temos a = a × d e u b c b b ×dc c×b a×d+c×bd = b × d . Portanto, a soma ´ igual a e b×d .
  • ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 25 B C A DFigura 3.9: A ´rea dos retˆngulos escuros, juntos, representa uma fra¸ao igual a a c˜a 19 do quadrado. 24 3 2Quanto ´ e 4 de 5? 2 Na figura 3.10, a ´rea do retˆngulo AEHD corresponde a a a 5 da ´rea do aretˆngulo a ABCD. Se dividirmos B Co retˆngulo aABCD, horizon-talmente, em 5partes iguais edepois dividimos, E Hverticalmente, cada E Hparte em 4 partesiguais, o retˆngulo aABCD ser´ divi- adido em 20 partes A D A Diguais e a ´reaado retˆngulo AEHD a Figura 3.10:ser´ dividida em 8 partes iguais. a Desta forma, 3 da parte es- 4cura corresponde a 6 partes de um total de 20 partes da unidade, 3 6veja a figura 3.10. Logo, 4 da parte escura ´ igual a 20 . e
  • 26 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISReduzindo a fra¸ao, temos que: c˜ 6 3×2 3 = = 20 4×5 10 De uma forma geral, calcular uma fra¸ao a de uma fra¸ao d corresponde ` c˜ b c˜ c a a×cfra¸ao b×d . Esta interpreta¸ao se estende para os n´ meros racionais. c˜ c˜ uDefini¸˜o 3.14 (Produto de n´ meros racionais). Dados dois n´meros ca u uracionais a e d temos: b c a c a×c b × d = b×dPropriedade 3.15. O produto de n´meros racionais tem as seguintes pro- upriedades: a c c a 1. b × d = d × b (Comutatividade) b c 2. ( a × d ) × x y = a b × (d × x) c y (Associatividade) 3. ( a × d ) × b c x y = a×c×x b×d×y 4. Para cada n´ mero racional a , com a = 0, existe um n´ mero racional d , u b u c a c tal que b × d = 1. 1 De fato, temos a × a = a × b = 1 = 1. Neste caso, dizemos que a ´ o b b a×b b e a inverso de b . a 5. b × (d + x) = (a × c y b c d) + (a × b x y) (Distributividade) A forma mais f´cil de entender o que s˜o e para que servem os n´ meros a a uracionais ´ observar o que representam os n´ meros racionais positivos. Cada e un´ mero racional positivo representa uma fra¸ao racional, isto ´, a express˜o da u c˜ e arela¸ao entre partes de um todo e uma unidade, em que a unidade, a parte e o c˜todo s˜o divididos em partes menores de mesmo tamanho. aExemplo 3.16. Na figura 3.11 o quadrado foi dividido em 16 quadrados demesmo tamanho. A parte escura corresponde a 4 quadrados de um total de 16 quadradosiguais. Portanto, a raz˜o entre a area escura e a area total do quadrado ´ igual a ´ ´ e 4a 16 . Ora, quatro partes iguais em um total de 16 partes iguais correspondema um quarto do total.
  • ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 27 4 Figura 3.11: A area escura representa ´ 16 da ´rea do quadrado a 1 Figura 3.12: A area escura representa ´ 4 da ´rea do quadrado a Ou seja, se a unidade fosse divida em quatro partes iguais, a area escura ´corresponderia a uma parte do total de quatro partes iguais. Desta forma, o u 4 c˜ 4n´mero racional 1 expressa a mesma rela¸ao que 16 . Neste caso, foi muito f´cil expressar o quanto a parte escura representa ado todo. Qualquer pessoa entende rapidamente quando algu´m diz que comeu emetade, ou um ter¸o, ou um quarto de uma barra de chocolate, pois todos cn´s imaginamos a barra de chocolate dividida em peda¸os menores e de igual o ctamanho. Al´m disto, todos entendem que metade da barra de chocolate ´ e emenor que a barra inteira.Exemplo 3.17. Jo˜ozinho ganhou duas barras, idˆnticas, de chocolates. Cada a ebarra estava dividida em 4 quadrados iguais. Jo˜ozinho comeu uma barra in- ateira e a metade da outra barra. Vamos representar cada barra de chocolate porum quadrado em que a area escura corresponde a parte que Jo˜ozinho comeu. ´ ` aQual a fra¸ao que expressa a rela¸ao entre o quanto Jo˜ozinho comeu e o c˜ c˜ atamanho da barra de chocolate? Ora, cada barra foi dividida em 4 quadrados iguais. Jo˜ozinho comeu 6 aquadrados. Cada quadrado corresponde a um quarto da barra, logo Jo˜ozinho acomeu 6 quartos de uma barra. Neste caso, a unidade ´ uma barra e o “ e 6todo”corresponde as duas barras. O n´mero racional 4 expressa a raz˜o entre ` u aa parte escura e a unidade.
  • 28 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS 6 Figura 3.13: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao a a c˜ 4 Observemos que a parte escura ´ igual a trˆs vezes a metade de uma barra, e e u 2 c˜ 6portanto o n´mero racional 3 expressa a mesma rela¸ao que 4 .Exerc´ ıcio 3.18. Em cada caso, escreva a fra¸ao racional que representa a c˜rela¸ao entre a parte escura e a unidade. c˜ 1. No exerc´ a seguir, cada retˆngulo representa a unidade e cada unidade ıcio a foi dividida em partes de mesmo tamanho. A qual fra¸ao do retˆngulo, c˜ a corresponde a ´rea escura em cada figura? a Figura 3.14: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . a a c˜ Figura 3.15: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . a a c˜
  • ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 29 Figura 3.16: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . a a c˜ Figura 3.17: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . a a c˜Exerc´ıcio 3.19. Considerando a unidade indicada, escreva a fra¸ao racional c˜que representa a rela¸ao entre a parte em negrito e a unidade. c˜ 1. O segmento AB representa a unidade. A qual fra¸ao correspondem juntos c˜ os segmentos em negrito? A B 0 1 2 4 6 10 Figura 3.18: Os segmentos em negrito correspondem ` fra¸˜o . . . . a ca 2. O disco representa a unidade. A qual fra¸ao corresponde a ´rea escura? c˜ a
  • 30 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS Figura 3.19: A ´rea em negrito corresponde ` fra¸ao . . . . a a c˜Exerc´ ıcio 3.20. Fa¸a um desenho que expresse a rela¸ao indicada pelos seguintes c c˜n´meros racionais: u 3 8 4 5 16 , , , , 5 4 5 4 33.2.2 Subtraindo n´meros racionais u A subtra¸ao de n´ meros racionais ´ definida a seguir: c˜ u e a c (a × d) − (b × c) − = b d b×d a c a Em verdade, a subtra¸ao c˜ b − d corresponde ` soma de a b com o oposto decd. Ou seja, a c a −c − = + . b d b d3.2.3 Divis˜o de n´meros racionais a u Quando dividimos 6 por 3 sabemos que o resultado ´ igual a 2 pois 2 × 3 = e6. De forma an´loga, dividir o n´ mero racional 5 pelo n´ mero racional 2 , a u 4 u 3 2 4corresponde a procurar o n´ mero racional x tal que 3 × x = 5 . Desta forma, o u y yresultado da divis˜o de 4 pelo n´ mero racional 3 ´ igual a 6 . Pois, 2 × 6 = 5 . a 5 u 2 e 5 3 5 4De um modo geral, temos: c x a c×x a × = se, e somente se, = . d y b d×y bPor outro lado,
  • ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 31 c×x a = se, e somente se, (c × x) × b = (d × y) × a, d×y bou seja, x a×d x × (b × c) = y × (a × d), isto ´, e = . y b×c a Portanto, para dividir um n´ mero racional u b por um n´ mero racional n˜o- u anulo d , basta multiplicar b por d . c a c A divis˜o de um n´ mero racional a por outro n´ mero racional a u b u c d,diferente de zero, ´ definida a seguir: e a c a d ÷ = × b d b c a ´ E comum o uso da nota¸ao c˜ b para indicar a divis˜o de a a c por d . c b dQuest˜o 3.21. a 2 1. Qual o n´ mero racional que devemos multiplicar por u 3 para obtermos 4 como resultado o n´ mero racional 5 ? u 3 2. Qual o n´ mero racional que devemos multiplicar por u 7 para obtermos como resultado o n´ mero racional −9 ? u 5 3 3. Qual o n´ mero racional que devemos multiplicar por u 5 para obtermos 3 como resultado o n´ mero racional 1 ? u ´ 4. E verdade que todo n´ mero inteiro pode ser escrito como um n´mero u u racional? 6 5. Qual o menor inteiro positivo que devemos multiplicar por 4 para obter- mos como resultado um n´ mero inteiro positivo? u 6. Podemos afirmar que para cada fra¸ao a , diferente da fra¸ao nula, existe c˜ b c˜ um menor inteiro positivo x tal que a × x ´ um n´ mero inteiro? b 1 e uExerc´ ıcio 3.22. Calcule o resultado das seguintes express˜es: o 1 1 1. 3 − 4
  • 32 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS 2. ( 1 + 8 ) − 4 3 2 3 1 3. 4 + (3 − 3) 8 2 1 3 5 4. 3 − 8 − 7 3 5. 4 × (6 + 3) 8 1 4 6 3 1 6. ( 3 × 8 ) + ( 4 × 3 ) 3 7. 4 × (6 − 3) 8 1 −2 8 8. 6 − 48 1 1 9. 1 − 4 −5 13 10. 13 × 12 1 11. 4 − (2 + 1 ) 3 −7 −3 12. 12 × 8 1 −5 13. 3 × 8 1 14. 3 − (1 × 8) 4 3 2 3 2 15. 3 − 4 − 5 0 5 16. 1 − 8 2 5 17. 3 ÷ 4 3 1 18. 5 ÷ 10Observa¸˜o 3. As opera¸oes de soma, produto, subtra¸ao e divis˜o de n´meros ca c˜ c˜ a uracionais obedecem as mesmas regras de precendˆncia de sinais que as opera¸oes ` e c˜com n´meros inteiros. Numa express˜o sem parˆnteses, primeiro realizamos o u a eproduto ou a divis˜o e, por fim, a soma ou multiplica¸ao. Esta ordem de a c˜opera¸ao s´ ´ alterada pelo uso dos parˆnteses, neste caso, primeiro deve-se c˜ o e ecalcular as opera¸oes indicadas entre os parˆnteses. c˜ e
  • ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 33 1 Assim, o resultado da express˜o a 3 ÷ 3 + 3 − 1 × 3 ´ calculado como abaixo. 4 5 4 2 e 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 ÷ + − × = ÷ + − × 3 4 5 4 2 3 4 5 4 2 1 4 3 3 = × + − 3 3 5 8 4 3 3 = + − 9 5 8 160 216 135 = + − 360 360 360 160 216 −135 = + + 360 360 360 160 + 216 − 135 = 360 241 = 360 1 Enquanto o resultado da express˜o a 3 ÷ ( 3 + 5 ) − ( 4 × 3 ) ´ dado a seguir: 4 3 1 2 e 1 3 3 1 3 1 15 12 3 ÷ + − × = ÷ + − 3 4 5 4 2 3 20 20 8 1 27 3 = ÷ − 3 20 8 1 27 3 = ÷ − 3 20 8 1 20 3 = × − 3 27 8 20 3 = − 81 8 160 − 243 = 648 −83 = 648
  • 34 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISExerc´ıcio 3.23. Coloque os parˆnteses nas express˜es abaixo para indicar a e oordem em que as opera¸oes devem ser executadas. c˜ 1 2 2 4 1 1. 3 − 3 × 5 − 5 ÷ 2 1 2 2 4 1 2. 3 − 3 ÷ 5 − 5 ÷ 2 1 2 2 4 1 3. 3 × 3 ÷ 5 + 5 ÷ 2 1 4. 3 ÷ (2 − 5) ÷ 3 2 1 5 +2− 4 5 ÷ 1 2Exerc´ ıcio 3.24. Calcule o resultado das express˜es indicadas abaixo: o 1 2 2 4 1 1. 3 − 3 × 5 − 5 ÷ 2 1 2 2 4 1 2. 3 − 3 ÷ 5 − 5 ÷ 2 1 2 2 4 1 3. 3 × 3 ÷ 5 + 5 ÷ 2 1 4. 3 ÷ (2 − 5) ÷ 3 2 1 5 +2− 4 5 ÷ 1 2 1 2 5. 3 − 3 ÷5 1 2 6. 5 + 3 × (1 + 3) 2 13.3 Representa¸˜o decimal para n´ meros racionais ca u De acordo com o significado de n´ mero racional, vimos que um n´ mero ´ u u eracional se, e somente se, podemos multiplic´-lo por algum n´ mero natural n˜o- a u anulo e obter como resultado um n´ mero inteiro. Desta forma, podemos pensar uos n´ meros racionais como resultado da divis˜o de dois n´meros inteiros. Por u a u 8 1exemplo, 1 = 0, 125 enquanto que 100 = 0, 01. Como ficaria a representa¸ao c˜ 1decimal de 3 ? Observe que 0, 3 × 3 = 0, 9 , 0, 33 × 3 = 0, 99 , 0, 3333333333 × 3 = 0, 9999999999e que quanto mais casas decimais usamos, o produto por 3 fica cada vez maispr´ximo de 1. Mas se usamos um n´ mero finito de casas decimais iguais a o u3, o resultado do produto por 3 nunca ser´ igual a 1. Sendo assim, ´ im- a e 1poss´ representar 3 usando um n´ mero finito de casas decimais. Neste caso, ıvel u
  • ¸˜ ´3.3. REPRESENTACAO DECIMAL PARA NUMEROS RACIONAIS 35dizemos que o n´ mero racional 1 ´ representado por uma d´ u 3 e ızima peri´dica sim- oples 0, 33333 . . ., isto ´, um n´ mero cujas casas decimais, a partir de um certo e uponto, constituem-se da repeti¸ao infinita de um unico algarismo. Quando as c˜ ´casas decimais de um n´ mero se repetirem indefinidamente numa seq¨ˆncia de u uedois ou mais algarismos, dizemos que o n´ mero ´ uma d´ u e ızima peri´dica com- oposta. Por exemplo, 40 ÷ 33 = 1, 212121 . . . repete infinitamente a seq¨ˆncia uede algarismos 21 a partir da prim eira casa decimal. Observe que multipli-cando os n´ meros 1, 21 , 1, 2121 , 1, 212121 , 1, 21212121 e 1, 2121212121 upor 33 obtemos, respectivamente, os n´ meros 39, 93, 39, 9993, 39, 999993, u39, 99999993 e 39, 9999999993, que est˜o cada vez mais pr´ximos de 40. De a oforma an´loga, a divis˜o de 2102 por 900 nos fornece 2102÷900 = 2, 335555 . . . . a a Para indicar que uma seq¨ˆncia de algarismos se repete infinitamente, us- ueamos uma barra sobre ela. Desta forma, a nota¸ao 0, 3 representa a repeti¸ao c˜ c˜infinita do n´ mero 3 a partir da primeira casa decimal, enquanto que 1, 21 urepresenta a repeti¸ao infinita de 21 ap´s a primeira casa decimal. De forma c˜ oan´loga, 2, 335 representa a repeti¸ao infinita do algarismo 5 a partir da terceira a c˜casa decimal. De acordo com a nota¸ao acima, temos que 1 = 0, 3 , 40 = 1, 21 e c˜ 3 332102 900 = 2, 335. De acordo com a no¸ao de n´ meros racionais, percebe-se que c˜ utodo n´ mero racional tem uma express˜o decimal. Esta express˜o pode ter u a aum n´ mero finito de casas decimais ou ser uma d´ u ızima peri´dica simples ou ocomposta. Para ser mais preciso, observando que um n´ mero racional, com um un´ mero finito de casas decimais n˜o-nulas, corresponde a uma d´ u a ızima peri´dica oque consiste da repeti¸ao do algarismo zero, ent˜o todo n´ mero racional ´ uma c˜ a u ed´ızima. Por exemplo, temos 1 = 10 = 0, 5 = 0, 50 = 100 = 1000 = 0, 500 = 2 5 50 500· · · = 0, 50 . Qual a pergunta natural a ser feita aqui? Pense um pouco...Quest˜o 3.25. Toda d´zima peri´dica corresponde a um n´mero racional? a ı o u A resposta ´ sim. A seguir apresentamos um artif´ e ıcio para encontrar on´ mero racional que corresponde a uma d´ u ızima. 1. Primeiro verificamos qual a seq¨ˆncia de algarismos que se repete infini- ue tamente. 2. Contamos quantos algarismos tem na seq¨ˆncia que se repete. ue 3. Chamamos a d´ ızima de x. 4. Multiplicamos por 10 at´ que a seq¨ˆncia que se repete comece, imedia- e ue tamente, ap´s a v´ o ırgula. Chamemos este valor de ax.
  • 36 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS 5. Multiplicamos x por um m´ ltiplo de 10 que desloque a v´ u ırgula para a segunda seq¨ˆncia de algarismos. Chamemos este valor de cx. ue 6. O valor cx − ax ´ um n´ mero inteiro. Chamemos este n´ mero de n. e u u n 7. Temos cx − ax = n. Logo, x = c−a . (Observe que a < c.)Vamos aplicar a t´cnica acima para a d´ e ızima 1, 32 Temos: x = 1, 32 = 1, 3222222 . . . 10x = 13, 2 = 13, 22222222222 . . . 100x = 132, 2 = 132, 222222222 . . . 90x = 132, 222222222 . . . − 13, 22222222222 . . . 90x = 132 − 13 = 119 119 x = 90Exerc´ ıcio 3.26. 1. Encontre os n´meros racionais que representam as seguintes d´zimas peri´dicas: u ı o (a) 1, 2542 (b) 0, 32 (c) −0, 32 (d) 2, 15 (e) 3, 132 (f ) −1, 12 (g) 0, 13532 (h) 0, 250 (i) 0, 8250 (j) 2, 9 (k) 0, 9 2. Verifique que se n ´ um n´mero natural, ent˜o n, 9 = n + 1. e u a
  • ¸˜ ´3.3. REPRESENTACAO DECIMAL PARA NUMEROS RACIONAIS 37 3. Encontre o resultado das express˜es abaixo e escreva o resultado como o uma d´zima peri´dica. ı o (a) 3 ÷ 6 (b) 1 − 3, 3 (c) 0, 32 × 10 1 (d) 0, 9 − 5 2 (e) 0, 45 × 3 (f ) 2, 13 ÷ 1, 313.3.1 Fra¸˜es decimais co Uma fra¸ao decimal ´ uma n´ mero racional positivo, cujo denominador ´ c˜ e u euma potˆncia de 10. Todo n´ mero racional pode ser escrito como soma de um e un´ mero inteiro mais a soma de um certo n´ mero de fra¸oes decimais. Veja os u u c˜exemplos a seguir: 2 5 1, 25 = 1 + + 10 100 3 5 6 0, 356 = 0 + + + 10 100 1000 1 1 1 5, 010010001 = 5 + 2 + 5 + 9 10 10 10 7 5 −1, 25 = −2 + + 10 102 O n´ mero de fra¸oes decimais necess´rias para expressar um n´ mero racional u c˜ a ucomo n´ mero decimal pode ser finito, como nos casos acima, mas tamb´m pode u eser infinito, como nos exemplos abaixo: 3 3 3 3 3 1, 3 = 1+ + + + 4 + 5 + ··· 10 102 103 10 10 2 1 5 5 53, 215 = 3+ + + + 4 + 5 + ··· 10 102 103 10 10 3 2 3 2 3 2 3 2 1, 32 = 1+ + + + 4 + 5 + 6 + · · · + n + n+1 + · · · , 10 102 103 10 10 10 10 10 onde n ´ ´ e ımpar.
  • 38 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISMas afinal, o que ´ um n´ mero decimal? e uDefini¸˜o 3.27. Um n´mero decimal ´ todo n´mero que pode ser expresso ca u e ucomo soma de um n´mero inteiro mais uma certa quantidade de fra¸oes deci- u c˜mais. A quantidade de fra¸oes decimais na express˜o de um n´mero decimal c˜ a upode ser finita ou infinita. Assim como, os numeradores destas fra¸oes deci- c˜mais podem repetir, periodicamente, um grupo de algarismos, a partir de umacerta casa decimal (d´zima peri´dica), ou podem jamais repetir, periodicamente, ı oqualquer seq¨ˆncia finita de algarismos. Em geral, um n´mero decimal tem a ue uforma: α1 α2 α3 αnb+ + + +· · ·+ n +· · · , em que b ∈ Z e α1 , α2 , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. 10 102 103 10 α1 α αO valor b ´ dito ser a parte inteira do n´mero decimal e e u 10 + 1022 + 103 + · · · + 3αn10n + · · · , a parte decimal. Um n´ mero decimal b + α1 + 102 + 1033 + · · ·+ 10n + · · · ´ dito negativo, u 10 α 2 α α n ese b < 0. Se um n´ mero decimal, diferente de zero, n˜o ´ negativo, u a eent˜o dizemos que ele ´ positivo. Por exemplo: a e • Os n´ meros racionais negativos tamb´m s˜o n´ meros decimais negativos. u e a u 5 8 7 • O n´ mero −2 + u 10 + 100 + 103 + · · · ´ um n´ mero decimal negativo. e u • Os n´ meros decimais com parte inteira igual a zero e com alguma parcela u α (fra¸ao decimal) 10n diferente de zero s˜o n´ meros decimais positivos. c˜ n a u • Todo n´ mero decimal com parte inteira maior ou igual a 1 ´ um n´ mero u e u decimal positivo.Observa¸˜o 4. Para escrever − 1 em sua forma decimal, observe que ca 5 −1 5 =45 − 1. Logo, a forma decimal de −1 ´ −1 mais a forma decimal de 4 . 5 e 5 1 4 8 − = −1 + = (−1) + 0, 8 = −1 + 5 5 10Exerc´ ıcio 3.28. Baseando-se nos exemplos acima, expresse os n´meros racionais ua seguir em sua forma decimal 1 1. 8 3 2. 105
  • ¸˜ ´3.3. REPRESENTACAO DECIMAL PARA NUMEROS RACIONAIS 39 −1 3. 8 235 4. 100 −2 5. 3 2 6. (−1) × (1, 3) (Dica: converta em fra¸ao e lembre-se que −2 + c˜ 3 = − 4 .) 3Exerc´ıcio 3.29. Para cada n´mero racional a seguir, determine em sua repre- usenta¸ao decimal o cent´simo e o 501o (quintocent´simo primeiro) algarismo c˜ e eap´s a v´rgula. o ı 1 1. 8 2. 0, 123 −1 3. 8 4. (−1) × (1, 3) 5. 0, 12345 6. 0, 12135Exerc´ ıcio 3.30. a c a+c c 1. Mostre que se b e d s˜o inteiros positivos e a b = d ent˜o a b+d = d. 1 + 2 + 3 + 4 +···+1000 2. Qual o valor decimal da raz˜o a 5+10+15+20+···+5000 ? 2+4+6+···+34 3. Qual o valor da raz˜o a 3+6+9+···+51 ? a c x a+c+x 4. Mostre que se b, d e y s˜o inteiros positivos e a b = d = y ent˜o a b+d+y = x. y b a+b 5. Se a, b, c s˜o trˆs inteiros positivos distintos tais que a e a−c = c = a , qual b o valor de a ?b 6. Mostre que se x, y s˜o n´ meros naturais, tais que 0 < x < y, ent˜o existe a u a 1 1 um unico natural n ≥ 1 tal que n+1 < x ≤ n . ´ y x 1 nx−y 7. Mostre que para todo n´ mero natural n ≥ 1 tem-se que u y = n + ny . 1 x 1 8. Mostre que se n > 2 e n ≤ y < n−1 ent˜o: a
  • 40 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS nx−y (a) ny ´ uma fra¸ao pr´pria. e c˜ o x 1 1 (b) y − n < n. 2 4 9. Escreva as fra¸oes c˜ 5 e 3 como soma de fra¸oes distintas com numeradores c˜ iguais a 1. 1 1 1 10. Encontre os n´ meros naturais n˜o-nulos x, y, z, tais que u a x + y + z = 1. 11. Desafio!! Todo n´ mero racional positivo pode ser escrito como soma de uma certa u quantidade de fra¸oes distintas, com numeradores iguais a 1. Verdadeiro c˜ ou falso?3.4 N´ meros racionais e Propor¸˜o u ca Uma das mais belas, antigas e naturais no¸oes matem´ticas ´ a no¸ao de c˜ a e c˜propor¸ao. Com base nesta no¸ao o homem construiu os mais belos monumen- c˜ c˜tos da hist´ria da civiliza¸ao humana, assim como a m´ sica e as mais belas o c˜ upinturas j´ feitas pelos artistas. A seguir definiremos o que ´ uma propor¸ao e a e c˜faremos v´rios exemplos de aplica¸ao desta no¸ao. a c˜ c˜Defini¸˜o 3.31. Uma propor¸ao ´ a ocorrˆncia de uma igualdade entre duas ca c˜ e eraz˜es. Neste caso, dizemos que as duas raz˜es s˜o proporcionais. o o a A express˜o 2 = 6 ´ uma propor¸ao e as raz˜es 2 e 4 s˜o raz˜es propor- a 3 4 e c˜ o 3 6 a o c˜ b c acionais. Para indicar que duas fra¸oes a e d s˜o proporcionais, n´s usamos a onota¸ao a ÷ d . c˜ b cQuest˜o 3.32. Paulo e seu irm˜o Jo˜o ganharam um pacote de biscoito com a a a42 biscoitos. Juntos decidiram comer os biscoitos durante o recreio. A cadabiscoito que Paulo comia, Jo˜o comia dois. Quantos biscoitos cada um deles acomeu? Resposta: Vamos resolver o problema de duas maneiras: Com e sem aatribui¸ao de inc´gnitas para a resolu¸ao do problema. c˜ o c˜ (a) Primeira Forma: Se a cada biscoito que Paulo come, Jo˜o come 2, a ent˜o a quantidade total de biscoitos comidos pelos dois corresponder´ a a ao triplo da quantidade de biscoitos comida por Paulo. Logo, o total
  • 3.4. ´ ¸˜ NUMEROS RACIONAIS E PROPORCAO 41 de biscoitos ser´ igual a trˆs vezes o que Paulo comeu. Portanto, Paulo a e comeu 42 do pacote de biscoitos. Isto ´, Paulo comeu 14 biscoitos. Con- 3 e seq¨ entemente, Jo˜o comeu 28 biscoitos. u a (b) Segunda Forma: Chamemos de x e y, respectivamente, a quantidade que Paulo e Jo˜o comeram. A raz˜o entre o que Paulo comeu e Jo˜o a a a 1 comeu deve ser igual a 2 . Logo devemos ter: x+y = 42 x+y = 42 x 1 ou, equivalentemente, y = 2 2x = y Substituindo o valor de y na primeira igualdade (lembre-se dos princ´ ıpios do senso comum!), devemos ter x + 2x = 42. Ou seja, 3x = 42 e por- tanto x = 14 e y = 28.Quest˜o 3.33. Como dividir 44 bolas entre duas pessoas de forma que a raz˜o a aformada pelas quantidades de bolas que elas receberam seja igual a 4 ? 7 Resposta: Chamemos de x e y, respectivamente, a quantidade que cadapessoa recebeu. Devemos ter: x+y = 44 x+y = 44 x 4 ou, equivalentemente, y = 7 7x = 4yMultiplicando a primeira equa¸ao por 4, devemos ter c˜ 4x + 4y = 176 (∗) 7x = 4ySubstituindo 4y por 7x, na equa¸ao (∗), teremos 4x + 7x = 176. Ou seja, c˜11x = 176. Portanto, x = 176 = 16 e y = 44 − 16 = 28. 11Quest˜o 3.34. Franklim e T´ssio compraram juntos um pacote de bombons por a aR$ 22, 00. T´ssio contribuiu com R$ 12, 00 e Franklim com R$ 10, 00. Os dois avenderam os bombons e conseguiram um total de R$ 55, 00. Divida o valor davenda de forma que a quantidade recebida por cada um deles seja diretamenteproporcional ao que investiram, isto ´, quem investiu mais, ganha mais. eQuest˜o 3.35. As irm˜es Dayse e Mirella foram juntas a uma lanchonete e a acompraram juntas uma por¸ao de 10 past´is por 12 reais. Mirella comeu sete c˜ epast´is e Dayse comeu 3. Divida o total a pagar de forma que cada irm˜ pague e aum total diretamente proporcional ao que consumiu, isto ´, quem comeu mais, epaga mais.
  • 42 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS Resposta: Ora, como a por¸ao de 10 past´is custa 12 reais, ent˜o cada c˜ e apastel custa R$ 1, 20. Logo, numa divis˜o diretamente proporcional ao que cada auma consumiu, Mirella deve pagar R$ 8, 40 e Dayse deve pagar R$ 3, 60. Vejamos outra forma de encontrar quanto cada uma deve pagar. Chamemosde x e y, respectivamente, a quantidade que Mirella e Dayse devem pagar.Devemos ter: x+y = 12 x+y = 12 x y ou, equivalentemente, 7 = 3 3x = 7yMultiplicando a primeira equa¸ao por 3, devemos ter c˜ 3x + 3y = 36 (∗) 3x = 7ySubstituindo 3x por 7y, na equa¸ao (∗), teremos 7y + 3y = 36. Ou seja, 10y = c˜36. Portanto, y = 36 = 3, 60 e x = 12 − 3, 60 = 8, 40. 103.4.1 Divis˜o em partes proporcionais a As quest˜es apresentadas acima s˜o exemplos de divis˜o de um valor em o a apartes diretamente proporcionais a uma lista de valores dados. Esta divis˜o atamb´m pode ser feita em valores inversamente proporcionais a uma lista de evalores dados.Defini¸˜o 3.36 (Raz˜es diretamente ou inversamente proporcionais). ca oDuas raz˜es a e x s˜o ditas diretamente proporcionais se ocorre a propor¸ao o b y a c˜a xb = y . Elas ser˜o ditas inversamente proporcionais se ocorrer a propor¸ao a c˜a yb = x. A divis˜o de um valor em partes diretamente proporcionais, ou inversamente aproporcionais, a uma lista de valores ´ uma aplica¸ao do Teorema de Thales e c˜(veja teorema 2.3). Para dividir um segmento de 24 cm em partes diretamenteproporcionais a 2, 4, e 6, utilizando o Teorema de Thales, procedemos daseguinte maneira: • Construa um triˆngulo ABC tal que AB = 24 e AC = 2 + 4 + 6 = 12. a • Marque no segmento AC pontos P, Q tais que AP = 2, P Q = 4, e QC = 6.
  • 3.4. ´ ¸˜ NUMEROS RACIONAIS E PROPORCAO 43 • Trace pelos pontos P e Q retas paralelas ao segmento BC. Determinando, respectivamente, os pontos M e N • De acordo com o Teorema de Thales, temos que: 24 12 12 24 12 12 24 12 12 = = = = = = AM AP 2 MN PQ 4 NB QC 6 Logo, resolvendo as propor¸oes, temos : AM = 4 cm, M N = 8 cm e c˜ N B = 12 cm. C Q P A B M N Figura 3.20: Divis˜o em partes proporcionais aObserva¸˜o 5. O Teorema de Thales permite fazer a divis˜o de um valor ca aα em partes diretamente proporcionais a uma lista com dois ou mais valo-res p, q, r, s, . . .. Para isto, consideramos a soma σ dos valores p, q, r, s, . . . etra¸amos o triˆngulo ABC, tal que AB = α e AC = σ. A seguir, marcamos no c asegmento AC os pontos P, Q, R, S . . . tais que AP = p , P Q = q , QR = r , . . . eprocedemos tra¸ando, por estes pontos, retas paralelas ao segmento BC e deter- cminando P ′ , Q′ , R′ , S ′ . . ., suas respectivas interse¸oes com o segmento AB. De c˜forma an´loga ao que foi feito acima, resolvemos as propor¸oes correspondentes a c˜para encontrar a divis˜o procurada. a α σ σ α σ σ = = = = ... AP ′ AP p P ′ Q′ PQ q
  • 44 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISObserva¸˜o 6. Para dividir um valor em partes inversamente proporcionais, cautilizando o Teorema de Thales, basta dividi-lo em partes diretamente propor-cionais aos inversos dos valores. Por exemplo, se queremos dividir 20 em partesinversamente proporcionais a 2 e 3, basta dividi-lo em partes diretamente pro-porcionais a 1 e 1 . 2 3Quest˜o 3.37. Como dividir 20 em duas partes diretamente proporcionais a a3 e 2? Resposta: Queremos encontrar valores x e y tais que x + y = 20 e x 3 = y. 2 3Ou, de forma equivalente, tais que x + y = 20 e x = 2 . y Devemos ter x + y = 20 2x = 3yMultiplicando x + y = 20 por 2, temos 2x + 2y = 40. Substituindo 2x por 3y,devemos ter 3y + 2y = 40. Ou seja, 5y = 40. Logo, y = 8 e x = 12.Quest˜o 3.38. Como dividir 30 em duas partes inversamente proporcionais a a3 e 2? Resposta: Queremos encontrar valores x e y tais que x + y = 30 e x 2 = y. 3 2Ou, de forma equivalente, tais que x + y = 30 e x = 3 . Devemos ter y x+y = 30 3x = 2yMultiplicando x + y = 30 por 3, temos 3x + 3y = 90. Substituindo 3x por 2ydevemos ter 2y + 3y = 90. Ou seja, 5y = 90. Logo, y = 18 e x = 12. Observe que, de fato, 12 = 2 . 18 3Quest˜o 3.39. Como dividir 6 em duas partes inversamente proporcionais a a3 e 2, usando o Teorema de Thales? Resposta: Basta dividir em partes diretamente proporcionais a 1 e 1 . 3 2Desta forma, consideremos um triˆngulo ABC, tal que AB = 6 e AC = 3 + 1 = a 1 256. Seja P o ponto do segmento AC, tal que AP = 1 e P C = 1 . Seja D o 3 2ponto do segmento AB, tal que P D||BC. Temos 5 5 6 6 5 6 6 5 = 1 = = 1 = AD 3 2 DB 2 3
  • 3.4. ´ ¸˜ NUMEROS RACIONAIS E PROPORCAO 45 C P A D B 1 1 Figura 3.21: AP = 3 , PC = 2 , AD = 2, 4 e DB = 3, 6. Resolvendo as propor¸oes, temos: AD = 2, 4 e DB = 3, 6. Logo, as partes c˜procuradas s˜o 2, 4 e 3, 6. aExerc´ ıcio 3.40. Use o Teorema de Thales para responder as seguintes quest˜es. ` o 1. Divida 20 em partes diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e 5. 2. Divida 15 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. 2Quest˜o 3.41. Como dividir 23 em duas partes, tais que a 5 de uma parte 3corresponda a 4 da outra? Resposta: Queremos encontrar valores x e y, tais que x+y = 23 e x × 2 =5y × 4 . Ou, equivalentemente, valores x e y, tais que x + y = 23 e x = 5 × 4 . 3 y 2 3 Devemos ter x + y = 23 8x = 15yMultiplicando x + y = 23 por 8, temos 8x + 8y = 184. Substituindo 8x por 15y,devemos ter 15y + 3y = 184. Ou seja, 23y = 184. Logo, y = 8 e x = 15. A quest˜o 3.41 nos leva ` seguinte defini¸ao. a a c˜Defini¸˜o 3.42 (Raz˜es diretamente e inversamente proporcionais). ca oUma raz˜o x ´ dita ser diretamente proporcional a a e inversamente propor- a y e b ccional a d se ocorre a propor¸ao x = a × d . Neste caso, dizemos que x e y c˜ y b cs˜o diretamente proporcionais a a e b e inversamente proporcionais aa c e d.
  • 46 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISExerc´ ıcio 3.43. 1. Divida 20 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4 e 5. 2. Divida 15 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. 3. Um carro percorre 140 km com um litro de gasolina. Quantos quilometros conseguir´ percorrer com 9 litros. a 4. Uma pousada oferece um desconto de 10% para pessoas que fiquem hospedadas por 3 ou mais dias. Se a di´ria custa R$ 75, 00, qual o total a obtido em desconto, por quem fica 4 dias? 5. Uma m´quina de fazer gelo consegue produzir 32 kg em 6 horas, quantas a horas ser˜o precisas para produzir 800 kg. a 6. Um produtor de tomate afirma que a cada 2 kg produzidos, 200 g es- tragam durante o transporte. O supermercado, para o qual ele fornece, paga R$1,80 por quilograma, pagando apenas pelo tomate n˜o estragado. a Se o produtor recebeu R$ 3600, 00 quantos quilos de tomate ele enviou para o supermercado? 7. Um agricultor gasta 10 kg de sementes para semear uma ´rea de 2800 m2 . a Mantendo a mesma propor¸ao, quantos m2 poder´ semear com 12 kg? c˜ aO que ´ uma grandeza? e Uma grandeza ´ um valor ou medida associada a um objeto matem´tico. e aS˜o exemplos de grandezas: comprimento, altura, ´rea, volume, custo, pre¸o, a a cvelocidade, tempo, quantidade, capacidade de armazenamento de informa¸ao c˜(byte,MB, GB). Duas grandezas podem ser dependentes uma da outra. Porexemplo, a velocidade com que um carro percorre uma distˆncia d depende do atempo que o carro levou para percorrˆ-la, assim como, o tempo a ser gasto edepende da velocidade e da distˆncia. Se fixarmos uma distˆncia, sabemos a aque quanto maior for a velocidade do carro, menor ser´ o tempo preciso para apercorrˆ-la. Neste caso, as grandezas velocidade e tempo s˜o grandezas in- e aversamente proporcionais: o aumento do valor de uma acarreta na redu¸ao c˜do valor da outra. Por outro lado, se fixamos o valor de um dos lados de umretˆngulo, a ´rea depende da altura e quanto maior for a altura, maior ser´ ´rea a a aa
  • 3.4. ´ ¸˜ NUMEROS RACIONAIS E PROPORCAO 47do retˆngulo obtido. Neste caso, ´rea e altura s˜o grandezas diretamentes a a aproporcionais: o aumento do valor de uma, acarreta o aumento do valor daoutra.3.4.2 Regra de trˆs simples e composta e Considere um paralelep´ıpedo de largura x, comprimento y e altura z. Sabe-mos que o volume do paralelep´ ıpedo ´ igual ` ´rea da base vezes a altura. Logo, e aao volume depende das dimens˜es x, y e z. Vamos escrever ϑ(P ) = f (x, y, z) opara expressar esta dependˆncia (lˆ-se: ϑ(P ) ´ fun¸˜o de x, y e z). Se fixar- e e e camos duas das dimens˜es, percebemos que o volume ´ diretamente proporcional o ea cada uma das dimens˜es. o z y x Figura 3.22: Paralelep´ ıpedo de largura x, comprimento y e altura z. Vejamos outro exemplo: a velocidade de um autom´vel depende da distˆncia o ae do tempo. Vamos escrever ϑ = f (d, t) para expressar esta dependˆncia. Se efixarmos a distˆncia, quanto maior for o tempo, menor ser´ a velocidade de- a asenvolvida pelo autom´vel. Se fixarmos o tempo, quanto maior for a distˆncia, o amaior ser´ a velocidade. Nosso interesse ´ calcular a express˜o da fun¸ao que a e a c˜relaciona grandezas direta e inversamente proporcionais.Defini¸˜o 3.44. Sejam x, a, b grandezas dependentes e seja f (a, b) a fun¸ao ca c˜que expressa a dependˆncia de x com respeito as demais grandezas. Dize- e `mos que x ´ diretamente proporcional a grandeza a (respectivamente b) se e `
  • 48 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISao fixarmos b temos x = a × f (1, b) (respectivamente, ao fixarmos a temosx = b × f (a, 1)). Dizemos que x ´ inversamente proporcional a grandeza a e ` 1(respectivamente b) se ao fixarmos b temos x = a × f (1, b) (respectivamente,ao fixarmos a temos x = 1 × f (a, 1)). b A Defini¸ao para o caso com mais uma ou mais grandeza ´ an´loga. c˜ e aObserva¸˜o 7. As nota¸oes f (a, 1) e f (1, b) denotam, respectivamente, a ca c˜rela¸ao obtida quando b = 1 e quando a = 1. c˜ Uma fun¸ao pode ser diretamente proporcional a uma das vari´veis e in- c˜ aversamente proporcional ` outra. Quando a dependˆncia de x em fun¸ao das a e c˜outras grandezas ´ diretamente ou inversamente proporcional, ent˜o a fun¸ao e a c˜que expressa esta rela¸ao fica completamente determinada se conhecemos o c˜valor que assume quando as outras grandezas tˆm valor conhecido. e De fato, se x = f (a, b) e x ´ diretamente proporcional a a e inversamente eproporcional a b, ent˜o temos x = a × f (1, 1). Note que f (1, 1) representa o a bvalor obtido quando a = b = 1.Exemplo 3.45. Uma torneira semi-aberta tem uma vaz˜o de 6 litros d’´gua a apor hora. Quantos litros esta torneira ir´ deixar vazar, se permanecer semi- aaberta durante 10 horas? Resposta: Todos n´s sabemos resolver este problema. Mas vejamos como oele pode ser entendido usando as defini¸oes acima. A quantidade de ´gua que c˜ avaza depende do tempo que a torneira fica aberta. Seja q a quantidade e t otempo. Temos q = f (t).Como a vaz˜o ´ diretamente proporcional ao tempo, devemos ter q = t × f (1). a eComo em uma hora vazam 6 litros, temos f (1) = 6. Logo, q = 6 × t.Portanto, para t = 10 teremos q = 60 litros.Exemplo 3.46. Vejamos como podemos calcular a f´rmula para o volume de oum paralelep´pedo. Temos ϑ(P ) = f (x, y, z). Como o volume ´ diretamente ı eproporcional a x y e z temos: ϑ(P ) = x × y × z × f (1, 1, 1).
  • 3.4. ´ ¸˜ NUMEROS RACIONAIS E PROPORCAO 49Como um paralelep´pedo, de lados iguais a 1, tem volume igual a uma unidade, ıtemos f (1, 1, 1) = 1. Logo, ϑ(P ) = x × y × z.Exemplo 3.47. 10 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem um murode 100 m2 em 8 dias. Em quantos dias estes 10 homens construir˜o um muro ade 200 m2 , se trabalharem 8 horas por dia no mesmo ritmo? Resposta: A quantidade d de dias depende da quantidade p de homens,da ´rea a do muro e das horas h trabalhadas por dia. Logo, podemos escrever a d = f (p, h, a).Sabemos que 8 = f (10, 6, 100). Por outro lado, d ´ inversamente proporcional ea p, pois quanto mais homens trabalharem, menor ser´ a quantidade de dias anecess´rios para construir o mesmo muro. A grandeza d ´ inversamente propor- a ecional ao n´ mero de horas trabalhadas, pois quanto mais horas trabalharem, umenor a quantidade de dias necess´rios para construir o mesmo muro, e d ´ a ediretamente proporcional ` ´rea do muro. Logo, aa 1 1 d= × × a × f (1, 1, 1). p h Portanto, para p = 10, h = 6, a = 100 e d = 8 temos: 1 1 8= × × 100 × f (1, 1, 1). 10 6 24 Logo, f (1, 1, 1) = 5 . Conseq¨ entemente, temos u 1 1 24 d= × ×a× . p h 5Em particular, para p = 10, h = 8 e a = 200 temos: 1 1 24 d= × × 200 × = 12. 10 8 5 O n´ mero de dias necess´rios ser´ igual a 12. u a aExerc´ıcio 3.48. Para cada caso a seguir, encontre a fun¸ao que expressa a c˜dependˆncia entre as grandezas e responda o que for pedido. e
  • 50 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS 1. Se 10 kg de feij˜o custam R$ 2, 20, quanto custar˜o 13 kg? a a 2. Uma quantia de R$20.000,00 foi emprestada a uma taxa de 5% ao mˆs. Se e os juros pagos no final do empr´stimo foram R$1.800,00, quantos meses e durou o empr´stimo? e 3. Dez robˆs idˆnticos, trabalhando 10 horas por dia, durante 30 dias, con- o e seguem produzir 3000 pe¸as de carro. Quantas pe¸as ser˜o produzidas c c a por 15 robˆs, iguais aos 10 primeiros, se trabalharem 12 horas por dia, o durante 32 dias, mantendo a mesma velocidade de produ¸ao? c˜ 4. Uma empresa distribui, igualmente entre seus funcion´rios, um certo per- a centual do seu lucro anual . Em 2005, se fosse distribuido 15% do lucro entre os 1000 funcion´rios, cada funcion´rio receberia R$ 900, 00. Quanto a a receberia cada funcion´rio, se a empresa distribu´ 12% do mesmo lucro a ısse anual e o n´ mero de funcion´rios aumentasse para 1200? u a
  • Cap´ ıtulo 4N´meros irracionais u No cap´ıtulo anterior, vimos que cada d´ ızima corresponde a um n´ mero uracional e vice-versa, todo n´ mero racional ´ uma d´ u e ızima (simples ou peri´dica). oAl´m disto, ´ poss´ representar, ordenadamente, os n´ meros racionais como e e ıvel upontos de uma reta. Mais ainda, a um n´ mero racional positivo a corresponde u ba distˆncia medida entre o ponto que representa o zero e o ponto que representa aa −ab . Enquanto que, ao seu oposto aditivo, b corresponde o ponto em posi¸ao c˜sim´trica com respeito ao zero, conforme representado na figura abaixo: e 4 1 4 −3 −2 3 −3 −5 −2 −1 − 2 0 1 2 1 5 2 5 2 3 2 3 4 2 Figura 4.1: Representa¸ao de n´ meros racionais na reta c˜ u Surge ent˜o a seguinte pergunta. aQuest˜o 4.1. O comprimento de um segmento de reta ´ sempre um n´mero a e uracional? 51
  • 52 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS ˜ Resposta: NAO! O comprimento de um segmento n˜o ´ sempre um a en´ mero racional. Existem segmentos cujos comprimentos n˜o podem ser ex- u apressos como um n´ mero racional. Vejamos o exemplo a seguir. u4.1 Quanto mede isto?Exemplo 4.2. Considere o retˆngulo ACF D e os pontos B e E, tais que aAB = AD = BC = 1, BE||AD e AE = BF = x. Os triˆngulos ADE, ABE, aBCF e BEF s˜o triˆngulos retˆngulos congruentes. a a a R x D E F M Q S x x x A B C PFigura 4.2: AB = AD = BC = 1, AE = BF = x , x2 = 2 , e P Q = QR = x. Podemos construir um quadrado P QRS, cujas diagonais se intersectam noponto M, de forma que os triˆngulos retˆngulos a a ADE, ABE, BCF, BEF, P M Q, P M S, QM R, e SM Rs˜o congruentes e, al´m disto, P Q = QR = x. a e Por outro lado, o retˆngulo ACF D tem area 2 e o quadrado P QRS tem a ´area x2 . Logo, o quadrado do comprimento do segmento AE ´ igual a 2. Como´ e √n˜o existe n´mero racional cujo quadrado ´ 2, conclu´mos que x = 2 n˜o ´ a u e ı a eum n´ mero racional. u √Propriedade 4.3 ( 2 n˜o ´ racional). Se p e q s˜o n´meros naturais dife- a e a urentes de zero ent˜o ( p )2 = 2. a q
  • ´ ´4.2. O QUE E UM NUMERO IRRACIONAL? 53Demonstra¸˜o. De fato, como todo n´ mero racional n˜o-nulo pode ser escrito ca u ana forma p , com M DC(p, q) = 1, podemos supor que M DC(p, q) = 1. q Suponha que p × p = 2. Neste caso, dever´ q q ıamos ter p2 = 2q 2 . Como 2´ um n´ mero primo, isto nos levaria a concluir que p ´ um m´ ltiplo de 2.e u e uAssim, poder´ ıamos escrever p = 2x, para algum x natural e diferente de zero.Portanto, ter´ ıamos p2 = 4x2 = 2q 2 . Ou seja, q 2 = 2x2 e, conseq¨ entemente, q useria um m´ ltiplo de 2. O que nos leva a um absurdo, pois isto significa que uexistiria um n´ mero natural y, tal que 2y = M DC(p, q) = 1. Logo, se p e q s˜o u an´ meros naturais diferentes de zero, ent˜o ( p )2 = 2. u a q4.2 O que ´ um n´ mero irracional? e u Um n´ mero irracional ´ um n´ mero decimal u e u α1 α2 α3 αn a+ + 2 + 3 + ···+ n + ··· (veja defini¸ao 3.27) c˜ 10 10 10 10que n˜o ´ uma d´ a e ızima peri´dica. Ou seja, um n´ mero decimal que n˜o o u apode ser escrito como uma fra¸ao x em que x ´ um n´ mero inteiro e y um c˜ y e un´ mero natural. uDefini¸˜o 4.4. O conjunto dos n´meros reais ´ o conjunto formado por todos ca u eos n´meros decimais. Ou seja, ´ o conjunto dos n´meros que correspondem a u e ucomprimentos de segmentos de reta, dos seus opostos aditivos e do zero. Umn´mero real pode ser racional ou irracional. u Um n´ mero irracional que corresponde ao comprimento de um segmento de ureta, iniciando no ponto zero, ´ dito ser um irracional positivo. O seu oposto eaditivo corresponde ao ponto da reta obtido de forma que o zero seja o pontom´dio do segmento, e ´ dito ser um irracional negativo. De forma an´loga, e e adefinimos o que ´ um n´ mero racional positivo e o que ´ um n´mero racional e u e unegativo. √ √ − 2 −1 2 −3 −13 0 1 13 3 2 10 10 2 √ √ Figura 4.3: Representa¸ao na reta de c˜ 2 e seu oposto aditivo − 2.
  • 54 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS √ No exemplo 4.2, vimos que 2 corresponde ao comprimento de um segmento √ √de reta e n˜o ´ um n´ mero racional. De fato, 2 ´ um n´ mero irracional. 2 a e u e un˜o ´ uma d´ a e ızima peri´dica, pois n˜o ´ racional, e seu valor aproximado, com o a e30 casas decimais, ´ 1.4142135623730950488016887242097. e Outro exemplo de n´ mero irracional ´ o n´ mero π. O n´ mero irracional π u e u ucorresponde ` metade do comprimento de uma circunferˆncia de raio igual a 1. a eUm valor, aproximado para π, ´ e3, 141592653897932384626433. √ Os n´ meros n p (raiz n-´sima de um n´ mero primo p) tamb´m s˜o irra- u e u e a √ √ √ √ 3 4 6cionais: 2, 5, 5, 3, entre outros.4.3 Aritm´tica dos N´ meros irracionais e u Vimos que a soma e produto de n´ meros racionais sempre resulta em um un´ mero racional. Tal propriedade n˜o ´ verdadeira para n´ meros irracionais. u √ √ a e u√ √Por√ exemplo, 2 e 1 − 2 s˜o n´ meros irracionais, mas 2 × 2 = 2 e √ a u1 − 2 + 2 = 1 s˜o n´ meros racionais. A soma e produto de dois n´ meros de- a u ucimais ainda ´ um n´ mero decimal, de forma que podemos somar e multiplicar e un´ meros irracionais. Podemos entender o que significa somar dois n´ meros u ureais, apelando para a representa¸ao na reta e usando a no¸ao de transla¸ao, c˜ c˜ c˜como a seguir.Defini¸˜o 4.5 (Soma de n´ meros reais). Sejam ω e ϑ n´meros reais. ca u uSejam OW e OV os segmentos de reta determinados, respectivamente, por ωe ϑ. 1. Se ω e ϑ s˜o ambos positivos, ent˜o a soma ω + ϑ corresponde ao ponto a a S a direita de W, tal que W S = OV . ` 2. Se ambos s˜o negativos, ent˜o a soma ω + ϑ ´ o sim´trico da soma dos a a e e opostos aditivos de ω e ϑ. 3. Se um deles ´ negativo, digamos ω < 0, e o outro ´ positivo, ent˜o a soma e e a ω + ϑ corresponde ao ponto S a esquerda de V, tal que SV = OW `4.3.1 Representando o produto de irracionais A soma e produto de n´ meros reais tˆm as mesmas propriedades que a u esoma e produto dos n´ meros racionais (veja propriedades 3.13 e 3.15). A u
  • ´ ´ 4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 55 √ √ √ √ √ √ √ √− 2− 3 − 2 2− 3 3 2+ 3 √ √ √ √ − 3 0 3− 2 2 Figura 4.4: Representa¸ao na reta da soma de irracionais. c˜ representa¸ao do produto de dois n´ meros reais pode ser feita utilizando o c˜ u Teorema de Thales. Em particular, podemos utiliz´-lo tamb´m para determinar a e o inverso de um n´ mero real. Ilustraremos no exemplo 4.6 como determinar o u inverso de um n´ mero real positivo, assim como, o produto de dois n´ meros u u reais positivos, no exemplo 4.7. (Para os casos envolvendo n´ meros negativos, u podemos considerar o oposto de cada n´ mero negativo e aplicar o m´todo, u e obtendo assim o oposto do inverso ou do produto). √ 4.3.2 Qual o inverso de 2? De um modo geral, para encontrar o inverso de um n´ mero real positivo x, u procedemos da seguinte forma: • Tra¸amos uma reta ℓ e marcamos o ponto O, correspondente ao zero, e c depois os pontos A e B correspondentes, respectivamente, a 1 e x. • Tra¸amos, pelo ponto O, uma reta s perpendicular ` reta ℓ e marcamos c a o ponto P correspondente a 1. • Tra¸amos o segmento P B e a reta paralela a P B que passa por A e c marcamos o ponto de interse¸ao com s. Chamemos este ponto de I. c˜ • Temos que OI ´ o inverso de x. e 1 Observa¸˜o 8. Observe que se 0 < x < 1, ent˜o 1 < ca a x, enquanto que, 1 se 1 < x, ent˜o 0 < x < 1. a
  • 56 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS s s I P P I 1 x 0 A B ℓ 0 x A ℓ 1 Figura 4.5: Representa¸ao do inverso de x : c˜ OP = OA = 1 e OI = x . √ √Exemplo 4.6. Sabemos, pela propriedade de raz˜o, que o inverso de 2 ´ 22 . a e √A figura 4.6 mostra a representa¸ao na reta do inverso de 2, obtido como c˜descrito no par´grafo acima. a s √ 1 2 2 0 √ 1 2 ℓ 1 Figura 4.6: Representa¸ao na reta de c˜ √ . 2 De forma an´loga ao que foi feito para representar o inverso de um n´ mero a ureal, podemos representar na reta o produto de dois n´ meros reais positivos. u √ √4.3.3 Qual o produto de 2 por 3? De um modo geral, para encontrar o produto de dois n´ meros reais positivos ux e y, procedemos da seguinte forma:
  • ´ ´4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 57 • Tra¸amos uma reta ℓ e marcamos o ponto O, correspondente ao zero, e c depois os pontos A e B correspondentes, respectivamente, a 1 e y. • Tra¸amos, pelo ponto O, uma reta s perpendicular ` reta ℓ e marcamos c a o ponto C correspondente a x. • Tra¸amos o segmento CA e a reta paralela a CA que passa por y e c marcamos o ponto de interse¸ao com s. Chamemos este ponto de P. c˜ • Temos que OP ´ o produto de x por y. e s P C x 1 y 0 AB ℓFigura 4.7: Representa¸ao do produto de n´ meros reais: OA = 1, OB = y, c˜ uOC = x e OP = xy.
  • 58 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS √ √Exemplo 4.7. Sabemos que 2 e 3 s˜o os n´meros reais positivos cujos a u √ √quadrados s˜o, respectivamente, 2 e 3. Desta forma ( √ × 3)2 = 2 × 3 = 6. √ a√ √ 2Logo, 2 × 3 = 6. Na figura 4.8 representamos 6, utilizando a mesmanota¸ao do m´todo descrito acima, onde: c˜ e √ √ √ OA = 1, OB = 2, OC = 3 e OP = 6. s √ 6 √ 3 0 √ 1 2 ℓ √ √ √ Figura 4.8: Representa¸ao de 2 × 3 = 6. c˜Existem fra¸oes de irracionais? c˜ Resposta: Sim. Podemos construir fra¸oes cujos numeradores e os deno- c˜minadores s˜o n´ meros irracionais. A necessidade de considerar fra¸oes desta a u c˜natureza surge naturalmente com a necessidade de comparar n´ meros reais. uExemplo 4.8. Na figura 4.9, a raz˜o entre a area do c´rculo e a area do a ´ ı ´quadrado ´ igual a π . e 4 De fato, suponha que o c´rculo tenha raio de comprimento r. Neste caso, os ılados do quadrado tˆm comprimento 2r. A area de um c´rculo de raio r ´ igual e ´ ı ea πr2 e a area do quadrado ser´ 4r2 . Logo, a raz˜o (divis˜o) entre os n´meros ´ a a a u 2reais πr2 e 4r2 ´ igual a πr2 = π . e 4r 4 De um modo geral, se ϑ ´ um n´ mero real positivo, entendemos uma raz˜o e u aωϑ entre os n´ meros reais ω e ϑ, como sendo o n´ mero real que multiplicado por u uϑ resulta em ω. As regras para soma, produto, subtra¸ao, divis˜o e compara¸ao c˜ a c˜de fra¸oes de n´ meros reais s˜o iguais `s regras para n´ meros racionais. c˜ u a a u
  • ´ ´4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 59 π Figura 4.9: A area cinza representa ´ 4 da ´rea do quadrado aExerc´ıcio 4.9. Encontre para cada raz˜o abaixo, uma raz˜o equivalente que a atenha como denominador um n´mero natural positivo. u √ 1. √3 2 2. √ −1√ 2− 3 1 3. √ 3 2Quantos irracionais existem ? Existem infinitos n´ meros irracionais. Para ser mais exato, se r ´ um u en´ mero racional e ω ´ irracional, ent˜o r + ω ´ irracional. u e a ePropriedade 4.10. Se r ´ um n´mero racional e ω ´ irracional, ent˜o r + ω e u e a´ irracional.eDemonstra¸˜o. Suponha que r = a seja racional e que ω + r fosse racional. ca bDigamos ω + a = x em que x ´ um n´ mero racional. Neste caso, n´s ter´ b y y e u o ıamosω = x − a . Uma vez que a subtra¸ao de n´ meros racionais ´ um n´ mero y b c˜ u e uracional, ω = x − a , nos levaria a concluir que ω ´ racional. Um absurdo! y b eLogo, se r ´ um n´ mero racional e ω ´ irracional, ent˜o r + ω ´ irracional. e u e a e Uma conseq¨ˆncia da propriedade acima, ´ que podemos construir uma ue einfinidade de n´ meros irracionais. Para isto basta ,por exemplo, considerar as √ usomas n + 2 com n ∈ N. √ √ √ √ √ 2 , 1 + 2, 2 + 2, 3 + 2, . . . , n + 2, . . .Exemplo 4.11 (Para N2 e N3). O logaritmo de 2 na base 10 ´ um n´mero e uirracional.
  • 60 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS De fato, se log 2 fosse racional, ter´amos log 2 = a , em que a ∈ Z e b ∈ ı b aN−{0}. Desta forma, ter´amos 2 = 10 b . Elevando ambos os lados da igualdade ıa b ter´amos: 2b = 10a = 2a 5a . Como b ´ um n´mero natural, diferente de zero, ı e u2b ´ um n´mero natural maior que 1. Por outro lado, a igualdade 2b = 2a 5a e unos diz que 5 divide 2b . Um absurdo, pois os divisores de 2b s˜o potˆncias de a e2. Logo, log 2 n˜o pode ser racional (lembre-se que log 2 ´ um n´mero real) e a e uportanto ´ irracional. e ıcio 4.12. Mostre que os seguintes n´meros reais s˜o irracionais.Exerc´ u a √ 1. 3 √ 2. 5 √ √ 3. 6 (Dica: Veja a demonstra¸˜o de que 2 n˜o ca a ´ racional.) e 4. log 3 (Dica: Veja a demonstra¸˜o de que log 2 ca n˜o ´ racional.) a e 5. log 21 6. log 5 Podemos construir outros exemplos de n´ meros irracionais por meio da uradicia¸ao de n´ meros naturais. c˜ uDefini¸˜o 4.13 (Radicia¸˜o). Dados um n´mero natural n e um racional ca ca uab , a raiz n-´sima de a ´ o n´mero real n˜o-negativo y, tal que y n = x. Neste e b e u acaso, escrevemos n a em lugar de y. b A raiz n-´sima de um racional pode ser um n´ mero racional, mas tamb´m e u epode ser irracional. Por exemplo, temos que: √ 1. 3 8 = 2 pois 23 = 8. √ √ √ √ 1 2 2 2 ( 2)2 2 1 2. 2 = 2 pois 2 × 2 = 22 = 4 = 2. √4 3. 5 n˜o ´ um n´ mero racional. a e u √ √ 4 De fato, se 5 fosse racional, dever´ ıamos ter ( 4 5) = a em que M DC(a, b) = b 4 1. Portanto, 5 = ( a )4 = a4 . Ou seja, 5b4 = a4 e, conseq¨ entemente, como b b u
  • ´ ´4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 61 5 ´ n´ mero primo e a4 e b4 s˜o n´ meros inteiros, temos que 5 divide a4 e e u a u portanto divide a. Logo, existe um inteiro u tal que a = 5u. Substituindo a4 por (5u)4 , teremos 54 u4 = 5b4 . Dividindo por 5, teremos 53 u4 = b4 e portanto, pelo mesmo racioc´ ınio, 5 divide b. O que los leva a concluir que M DC(a, b) ´ um m´ ltiplo inteiro de 5. Um absurdo pois, M DC(a, b) = 1. e uExerc´ıcio 4.14. Mostre que os n´meros abaixo s˜o irracionais: u a √3 1. 2 √ 2. 5 2 √ A estrat´gia utilizada acima, para mostrar que 4 5 ´ irracional, pode ser e egeneralizada se respondermos ` seguinte quest˜o. a aQuest˜o 4.15. Dado um n´mero racional n˜o-nulo a , em sua forma irre- a u a bdut´vel, e um natural positivo n, quais s˜o os racionais x, tais que xn = a ? ı a b Resposta: A express˜o xn = a ´ equivalente ` express˜o bxn = a. Suponha a b e a a c ıvel d satisfa¸a ` condi¸ao. Teremos:que um racional irredut´ c a c˜ c n a = d b cn a = dn b bcn = adn Logo, temos que c divide adn e d divide bcn . Uma vez que M DC(c, d) =1 temos, obrigatoriamente, que M DC(c, dn ) = M DC(cn , d) = 1. Portantoconclu´ımos que c divide a e d divide b. Ou seja, se existirem n´ meros racionais, utais que xn = a , ent˜o devem ser fra¸oes cujos numeradores s˜o divisores b a c˜ ainteiros de a e os denominadores s˜o divisores inteiros de b. aExemplo 4.16. Vejamos os casos a seguir. 5 1. N˜o existem n´meros racionais x ∈ Q, tais que x2 = 5. De fato, 5 = 1 , a u os divisores inteiros de 5 s˜o {−5, −1, 1, 5} e os divisores inteiros de 1 a s˜o {−1, 1}. De acordo com a quest˜o 4.15, os candidatos a satisfazerem a a a condi¸ao s˜o { −5 , −1 , 1 , 5 } e nenhum deles satisfaz a condi¸ao x2 = 5. c˜ a 1 1 1 1 c˜ Logo, n˜o existem n´meros √ √a u racionais x ∈ Q, tais que x2 = 5. (conclus˜o: a como ( 5)2 = 5 temos que 5 ´ irracional.) e
  • 62 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS √ 2. 6 ´ irracional. De fato, n˜o existem racionais x tais que x2 = 6. Pois, e a os divisores inteiros de 6 s˜o {−6, −3, −2, 1, 2, 3, 6} e nenhum deles satis- a √ √ faz a condi¸ao x2 = 6. Conclu´mos que 6 ´ irracional, pois ( 6)2 = 6. c˜ ı e √ √ √ √ 3. 2 + 3 √ irracional. De fato, se 2 + 3 fosse racional, digamos √ ´ e r = 2 + 3 ent˜o, elevando ao quadrado, ter´amos a ı √ √ √ √ √ √ √ r2 = ( 2 + 3)2 = ( 2)2 + 2 2 3 + ( 3)2 = 2 + 2 6 + 3 Portanto, √ r2 − 5 = 2 6 ou seja, r2 − 5 √ ˆ = 6. EPA!!!! 2 a 2 ( a )2 −5 Se r = for racional (a ∈ Z e b ∈ N − {0}) , ent˜o r 2 = b 2 b a −5 = a2 −5b2 √ ´ um n´mero racional. Logo, n˜o pode ser igual a 6. Portanto, e u a √2b2 √ 2 + 3 n˜o ´ racional. a eExerc´ ıcio 4.17. Mostre que os n´meros reais a seguir s˜o irracionais: u a √ 1. 15 √ √ 2. 3 + 5 1 3. √ 5Exerc´ıcio 4.18. Seja ω um n´mero irracional e seja r um n´mero racional u un˜o-nulo. Mostre que os n´meros a seguir s˜o irracionais: a u a 1. r × ω ω 2. r 3. −ω 1 4. ω
  • ´ ´4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 634.3.4 Aproximando um n´mero irracional por um n´mero u u racional Dado um n´ mero irracional ω e um n´ mero natural n ≥ 1, sempre podemos u uencontrar um n´ mero racional x , tal que u y x 1 0<ω− < n. y 10 De fato, temos α1 α2 α3 αnω = a+ + + +· · ·+ n +· · · , em que a ∈ Z e α1 , α2 , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} 10 102 103 10Considere x α1 α2 α3 αn =a+ + 2 + 3 + ··· + n. y 10 10 10 10Neste caso, temos x αn+1 αn+2 αn+3 αn+r 1 ω− = n+1 + n+2 + n+3 + · · · + n+r + · · · < n . y 10 10 10 10 10 αn+1 αn+2 αn+3 αn+rpois, multiplicando 10n+1 + 10n+2 + 10n+3 + ···+ 10n+r + · · · por 10n , temos αn+1 αn+2 αn+3 αn+r 1 + 2 + 3 + ···+ + · · · = 0, αn+1 αn+2 αn+3 . . . < 1 10 10 10 10rObserva¸˜o 9. De forma an´loga ao que foi feito acima, dado um n´mero ca a uirracional ω e um n´mero natural n ≥ 1, sempre podemos encontrar um n´mero u u cracional d , tal que c 1 0< −ω < n . d 10 c α1 α2 α3 1+αn+1Para isto, basta observar que d = a+ 10 + 102 + 103 + ··· + 10n+1 > ω. Defato, c αn+2 αn+3 αn+r 10n+1 × ω − = −1 + + + · · · + r−1 > −1. d 101 102 10 c 1 1Logo, d −ω < 10n+1 < 10n .
  • 64 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS √Exemplo 4.19. Sabendo-se que uma aproxima¸ao para c˜ 2 com 9 casas deci-mais corretas ´ dada por 1.414213562 temos: e √ 14 1 2− 10 < 10 √ 141 1 2− 100 < 102 √ 1414 1 2− 1000 < 103 √ 14142 1 2− 10000 < 104 √ 141421 1 2− 10000 < 105 15 √ 1 10 − 2 < 10 142 √ 1 100 − 2 < 102 1415 √ 1 1000 − 2 < 103 14143 √ 1 10000 − 2 < 104 141422 √ 1 100000 − 2 < 105 √4.3.5 Calculando aproxima¸˜es para co b √ No exemplo 4.19 afirmamos que uma aproxima¸ao para 2 com 9 casas c˜decimais corretas ´ dada por 1.414213562. Se queremos uma aproxima¸ao com e c˜poucas casas decimais corretas (duas ou trˆs!), podemos encontr´-la da seguinte e aforma: • Identificamos o maior inteiro positivo cujo quadrado ´ menor ou igual a e dois. Neste caso, 1. • Como 12 < 2, testamos o n´ mero decimal 1, 1. Neste caso, temos (1 + u 1 2 10 ) = 12 + 10 + 100 = 121 = 1, 21. 2 1 100 • Como 1, 21 < 2, podemos aumentar o valor da primeira casa decimal e testamos 1, 2. Neste caso, temos (1, 2)2 = 1, 44. • Para 1, 5 j´ obtivemos que (1, 5)2 = 2, 25 e este valor ´ maior que dois. a √ e Sendo assim, temos que 1, 4 < 2 < 1, 5. Logo, a aproxima¸ao deve ter c˜ a primeira casa decimal igual a 4.
  • ´ ´4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 65 • Passamos ent˜o para a segunda casa decimal e repetimos o processo: a (1, 41)2 √ 1, 9881 e (1, 42)2 = 2, 0164. Neste caso, obtemos = 1, 41 < 2 < 1, 42. • Podemos repetir o processo at´ obter a aproxima¸ao com o n´ mero de e c˜ u casas decimais corretas desejadas.Como podemos encontrar uma aproxima¸ao melhor sem ter que fazer tantas c˜contas? (sem o uso de calculadora!!!!) Vamos analisar o caso geral: Se x ´ um n´ mero real maior que zero e n ´ um n´ mero racional positivo e u e uque est´ “pr´ximo”de x (escreve-se n ≈ x ), ent˜o x + n est´ “pr´ximo”de 2n. a o a a oLogo, multiplicando por x − n conclu´ ımos que: x2 − n2 = (x + n)(x − n) ≈ 2n(x − n). Dividindo por 2n, obtemos que x2 − n2 + n ≈ x. 2n O argumento acima nos permite calcular ra´ aproximadas. Por exemplo, √ ızespara calcular uma aproxima¸ao para 2 procedemos da seguinte forma. Subs- c˜ √ √ √ 2 2tituindo, x por 2 e n por 1, temos que: 2 ≈ ( 2)2 −1 + 1 = 3 . Desta forma, √ 2obtemos uma segunda aproxima¸ao para 2. c˜ Repetindo o argumento, usando n = 3 obtemos: 2 √ 2 √ ( 2) − ( 3 )2 2 3 9 2 − (4) 3 −1 1 3 17 2≈ 3 + = + = × + = . 2× 2 2 3 2 4 3 2 12 17 Observe que 12 = 1.416. 17 Repetindo novamente com a nova aproxima¸ao, isto ´, fazendo n = 12 c˜ etemos √√ ( 2)2 − ( 17 )2 17 12 577 4 1 4 2 64 2≈ 17 + = = 1+ + + + + . 2 × 12 12 408 10 100 1000 10000 4080000 577 Se quiser uma aproxima¸ao ainda melhor, repita o passo com n = c˜ 408 .Exerc´ıcio 4.20. Encontre uma aproxima¸ao para os irracionais abaixo, usando c˜ 2 −n2a express˜o x 2n + n ≈ x: a
  • 66 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS √ 1. 3 √ 2. 5 √ 3. 6 √ 7 4. 24.3.6 Nosso amigo Dedekind Muito embora os matem´ticos j´ utilizassem a no¸ao de n´ meros inteiros e a a c˜ uracionais desde a antiguidade (200 AC) e a existˆncia dos n´meros irracionais e ufosse naturalmente sugerida pela geometria, como vimos no exemplo 4.2, foisomente por volta de 1888 que o alem˜o Julius Wilhelm Richard Dedekind for- amalizou a no¸ao de n´ meros inteiros, n´ meros racionais e n´ meros irracionais. c˜ u u u Dedekind nasceu em 6 de outubro de 1831, na cidade de Braunschweig efaleceu, na sua cidade natal, em 12 de fevereiro de 1916. Dedekind era o maisnovo dos quatro filhos de Julius Levin Ulrich Dedekind, professor de Direito, quenasceu em Braunschweig (Brunswick) em 6 de outubro de 1831. Dos sete at´ os edezesseis anos, Dedekind estudou no gin´sio de sua cidade e n˜o demonstrava a aqualquer evidˆncia de seu gˆnio matem´tico. Gostava inicialmente de Qu´ e e a ımicae F´ısica, passando a interessar-se por Matem´tica por volta dos dezessete anos. aIngressou na Universidade de G¨ttingen em 1850 com a idade de dezenove anos. oRecebeu o t´ ıtulo de doutor em Matem´tica em 1852, aos 21 anos de idade. Em a1872 conheceu o matem´tico George Cantor, que lhe apresentou o trabalho asobre a constru¸ao dos n´ meros reais. Influenciado por Cantor, Dedekind es- c˜ ucreveu em 1888 o livro “ O que s˜o e para que servem os n´ meros”, no a uqual apresenta a constru¸ao formal dos n´ meros inteiros, dos racionais e dos c˜ un´ meros irracionais. Alguns anos mais tarde, George Cantor apresentou outra uconstru¸ao do conjunto dos n´ meros reais (uni˜o do conjunto dos n´ meros c˜ u a uracionais com o conjunto dos n´ meros irracionais). Neste trabalho ele mostra uque um segmento de reta tem como comprimento um n´ mero racional ou um un´ mero irracional e, al´m disto, mostra que entre dois n´ meros reais dis- u e utintos, sempre existe um n´ mero racional. u
  • ´ ´4.3. ARITMETICA DOS NUMEROS IRRACIONAIS 674.3.7 Irracional t˜o pequeno ou t˜o grande quanto se a a queira Vimos anteriormente que, fixando um ponto de referˆncia sobre uma reta e(ponto zero), a cada n´ mero real positivo ω podemos fazer corresponder um uponto P sobre a reta, de forma que a distˆncia ao ponto zero seja exatamente ao valor do n´ mero ω. Al´m disto, vimos que para cada n´ mero natural n o u √ e un´ mero n + 2 ´ irracional. Desta forma, quanto maior for o valor de n, mais u e √distante do zero estar´ o ponto que representa n + 2. Portanto, podemos aconcluir que existem n´ meros irracionais t˜o grandes quanto se queira. Por u aoutro lado, resta saber se podem existir n´ meros irracionais, cuja representa¸ao u c˜na reta seja um segmento t˜o pequeno quanto se queira. a 1Quest˜o 4.21. Existe um n´mero irracional positivo menor que 105 ? Ou a uainda, se n for um n´mero natural diferente de zero, existe algum irracional u 1positivo menor do que 10n ?. Resposta: Sim. Existe uma infinidade de n´ meros irracionais positivos u √t˜o pequenos quanto se queira. Sabemos que √2 = 22 e que multiplicar um a 1n´ mero racional por um irracional sempre resulta em um n´ mero irracional. u √ √ u 1Logo, 10n × 22 = 2 × 10n ´ irracional. Vamos mostrar que este n´ mero irracional 2 e u 1 √ √ 2´ menor do que 10n . Como 2 < 2 temos que 2 < 1. Logo, a representa¸aoe c˜ √ 2decimal de 2 tem a forma a seguir: √ 2 α1 α2 αm =0+ + + ···+ m + ··· , em que α1 , α2 , . . . ∈ {0, 1, ..., 9}. 2 10 102 10 1Multiplicando por 10n temos: √ 2 α1 α2 αm 1 = 0 + n+1 + n+2 + · · · + m+n + · · · < n . 2 × 10n 10 10 10 10 √ c˜ 1Ou seja, a fra¸ao correspondente a 10n do segmento cujo comprimento ´ 22 e´ menor do que a correspondente fra¸ao da unidade. De um modo geral, see c˜ ωω ´ um irracional positivo, o n´ mero 10n tamb´m ´ um n´ mero irracional e e u e e u nsua distˆncia ao ponto zero ´ 10 vezes menor do que ω. Portanto, podemos a econcluir que existe uma infinidade de n´ meros irracionais t˜o pequenos quanto u a ωse queira pois, quanto maior o valor de n menor ser´ o n´ mero 10n . a u
  • 68 CAP´ ITULO 4. ´ NUMEROS IRRACIONAIS4.3.8 Irracionais alg´bricos e transcendentes e Um n´ mero real x ´ dito um n´ mero alg´brico, se existe um n´ mero natural u e u e un e n n´ meros racionais a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , tais que xn + an−1 xn−1 + · · · + ua2 x2 + a1 x + a0 = 0. Se b ∈ N ´ um n´ mero natural que n˜o ´ um quadrado perfeito, ent˜o os e √u a e an´ meros da forma b s˜o n´ meros irracionais alg´bricos. Em geral, pode-se u a u emostrar que se b ´ um n´ mero natural maior do que zero, os n´ meros e u ureais x que satisfazem ` condi¸˜o xn = b ou s˜o n´ meros inteiros ou a ca a us˜o irracionais. aQuest˜o 4.22. Como descobrir se um n´mero real ´ alg´brico? a u e e Resposta: Provar que um n´ mero real ´ um n´ mero alg´brico pode ser ex- u e u etremamente simples ou extremamente complicado. Por exemplo, todo n´ mero u cracional ´ um n´ mero alg´brico. De fato, se x = d ent˜o considerando n = 1 e e u e a ca0 = − d temos que x+a0 = 0. Por outro lado, podemos precisar de argumentosmais sofisticados para provar que um n´ mero irracional ´ alg´brico. u e e √ √Exemplo 4.23. 2 + 3 ´ um irracional alg´brico. e √ √ e De fato, escrevamos x = √ + 3. Elevando ao quadrado temos, x2 = √ 2 22 + 2 6 + 3. Isto ´, x 2 = 6. Elevando novamente ao quadrado, temos e −5 2 x2 −5 2 = 6. Ou seja, x4 − 10x2 + 25 = 24. Portanto, x4 − 10x2 + 1 = 0. Logo, √ √conclu´mos que 2 + 3 ´ alg´brico. ı e eExerc´ıcio 4.24. Mostre que os n´meros a seguir s˜o alg´bricos: u a e √ 1. 1 + 2 √ 2. 3 3 4 √ √ 3. 3 − 5 1 4. √ 2 √ √ 1+ 5 1+ 5 5. 2 O irracional 2 ´ a constante ´urea e a Um n´ mero real que n˜o ´ alg´brico ´ dito ser um n´ mero real transcen- u a e e e udente. S˜o exemplos de n´ meros transcendentes : π e seus m´ ltiplos racionais. a u u 1 Outro exemplo ´ a constante de Liouville α = e 10 1 + 102 + 106 + 1024 + 101 + 1 1 120 1· · · + 10n! + · · ·
  • Cap´ ıtulo 5Fra¸˜es cont´ co ınuas Um tema interessante ligado aos n´ meros racionais e irracionais ´ o das u efra¸oes cont´ c˜ ınuas. Vamos come¸ar pelos n´ meros racionais. c u5.1 Fra¸˜es cont´ co ınuas e n´ meros racionais u 1. Simplifique as express˜es: o (a) (Resolvido) 1 1+ =2 1 (b) (Resolvido) 1 1 3 1+ =1+ = 1 2 2 1+ 1 (c) (Resolvido - Usando o item anterior) 1 1 2 5 1+ =1+ 3 =1+ = 1 2 3 3 1+ 1 1+ 1 Agora vocˆ: e 69
  • 70 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS (d) (Usando o item anterior) 1 1+ = 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 (e) (Usando o item anterior) 1 1+ = 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 2. Vocˆ consegue perceber a regra de forma¸ao das fra¸oes do item anterior? e c˜ c˜ Uma pista: procure o material complementar de divisibilidade, logo no princ´ ıpio. 3. Simplifique as express˜es o (a) 1 1+ = 2 (b) 1 1+ = 1 2+ 3 (c) 1 1+ = 1 2+ 1 3+ 4
  • 5.1. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS RACIONAIS 71 4. Essas fra¸oes s˜o chamadas fra¸oes cont´ c˜ a c˜ ınuas e temos uma forma com- pacta de simbolizar: (a) 1 1+ = [1, 2] 2 (b) 1 1+ = [1, 2, 3] 1 2+ 3 (c) 1 1+ = [1, 2, 3, 4] 1 2+ 1 3+ 4 (d) 1 [1, 1, 1, 1, 1] = 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 5. Construa a fra¸ao cont´ c˜ ınua e simplifique: (a) [1, 3, 2] = (b) [1, 3] = (c) [1, 4, 2, 3] = (d) [1, 4, 2] = (e) [1, 4] = 6. Vamos agora fazer o caminho inverso. Como transformar uma fra¸ao c˜ irredut´ numa fra¸ao cont´ ıvel c˜ ınua?
  • 72 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS (a) (Exemplo) 17 2 1 1 =3+ =3+ =3+ 5 5 5 1 2+ 2 2 Bem, agora a ultima fra¸ao tem denominador 1 e j´ temos nossa ´ c˜ a fra¸ao cont´ c˜ ınua. 17 1 =3+ = [3, 2, 2] 5 1 2+ 2 (b) (Outro exemplo) 38 7 1 1 1 =1+ =1+ =1+ =1+ = 31 31 31 3 1 4+ 4+ 7 7 7 3 1 1 1+ =1+ = [1, 4, 2, 3] 1 1 4+ 7 4+ 3 1 2+ 3 Observe que paramos quando obtivemos uma fra¸ao com denomi- c˜ nador 1. Experimente vocˆ: e 15 (c) 11 = 27 (d) 22 = 26 (e) 19 = 7. Por motivos que veremos depois, n˜o gostar´ a ıamos que nossa seq¨ˆncia ue terminasse pelo n´ mero 1. Isso pode ser remediado. u Mostre que: (a) [1, 4, 2, 1] = [1, 4, 3]
  • 5.1. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS RACIONAIS 73 Solu¸ao: c˜ 1 1 [1, 4, 2, 1] = 1 + =1+ = [1, 4, 3] 1 1 4+ 4+ 1 3 2+ 1 (b) [1, 3, 5, 1] = [1, 3, 6] (c) [1, 2, 2, 1] = [1, 2, 3] (d) [1, 1, 1, 1, 1, 1] = [1, 1, 1, 1, 2] 8. Volte ao item 6. Se vocˆ prestou aten¸ao no que fazia, reparou que as e c˜ opera¸oes s˜o equivalentes ao Algoritmo de Euclides da primeira apostila. c˜ a N˜o ´ de admirar que sempre cheguemos numa fra¸ao de denominador 1. a e c˜ Vejamos no exemplo do item 6(a). (a) Compare 17 2 1 1 =3+ =3+ = 3+ = [3, 2, 2] 5 5 5 1 2+ 2 2 com Quociente 3 2 17 5 2 Resto 2 1 A seq¨ˆncia [3, 2, 2] aparece naturalmente, pois as opera¸oes feitas ue c˜ foram exatamente as mesmas do Algoritmo de Euclides. (b) Compare 38 7 1 1 1 =1+ =1+ =1+ =1+ = 31 31 31 3 1 4+ 4+ 7 7 7 3
  • 74 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS 1 1 1+ =1+ = [1, 4, 2, 3] 1 1 4+ 7 4+ 3 1 2+ 3 com Quociente 1 4 2 38 31 7 3 Resto 7 3 1 Verifique agora para os outros itens: 15 (c) 11 = 27 (d) 22 = 26 (e) 19 = ´ 9. Otimo! Podemos fazer o caminho inverso do Algoritmo de Euclides e nos pouparemos das contas delicadas com fra¸oes. Vejamos: c˜ (a) 1 [1, 4, 3, 2, 2] = 1 + 1 4+ 1 3+ 1 2+ 2 Isso poderia ser bem chato! Mas agora podemos reconstruir o Al- goritmo de Euclides correspondente. Lembre-se que s˜o fra¸oes ir- a c˜ redut´ıveis, logo o ultimo resto (que ´ o mdc entre o numerador e o ´ e denominador) ´ sempre 1. Vejamos: e 1 4 3 2 2 1 2×2+1=5 1 4 3 2 5 2 1
  • 5.1. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS RACIONAIS 75 3 × 5 + 2 = 17 1 4 3 2 17 5 2 1 4 × 17 + 5 = 73 1 4 3 2 73 17 5 2 1 1 × 73 + 17 = 90 1 4 3 2 90 73 17 5 2 1 A fra¸ao procurada ´: c˜ e 1 90 [1, 4, 3, 2, 2] = 1 + = 1 73 4+ 1 3+ 1 2+ 2 (b) Um exemplo mais simples: 1 [1, 3, 2, 5] = 1 + 1 3+ 1 2+ 5 Usando nosso m´todo: e 1 3 2 5 1 1 3 2 11 5 1 1 3 2 38 11 5 1
  • 76 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS 1 3 2 49 38 11 5 1 1 49 [1, 3, 2, 5] = 1 + = 1 38 3+ 1 2+ 5 Agora vocˆs. e Qual a fra¸ao reduzida que corresponde a: c˜ (c) [1, 2, 3, 2] (d) [1, 4, 3, 7] (e) [1, 1, 1, 2] ¸˜ 10. ATENCAO: Se a representa¸ao terminar em 1, usamos o exerc´ 7. c˜ ıcio (a) Exemplo: [1, 1, 1, 1, 1, 1] = [1, 1, 1, 1, 2] 1 1 1 1 13 8 5 3 2 1 13 [1, 1, 1, 1, 1, 1] = [1, 1, 1, 1, 2] = 8 Agora vocˆs: e (b) [2, 1, 3, 1] = (c) [1, 1, 2, 1] = (d) [4, 5, 1, 1] = 11. Observe que podemos usar o Algoritmo de Euclides para produzir a fra¸ao c˜ cont´ ınua. Nosso trabalho ficou decididamente mais f´cil. a 17 (a) Construir a fra¸ao cont´ c˜ ınua correspondente a 5 . Quociente 3 2 17 5 2 Resto 2 1
  • 5.1. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS RACIONAIS 77 O que nos d´: a 17 1 =3+ = [3, 2, 2] 5 1 2+ 2 Agora vocˆs. Construir a fra¸a˜ cont´ e c o ınua correspondente a: 42 (b) 17 = 18 (c) 7 = 12 (d) 5 = 55 (e) 34 = 12. Vamos usar uma propriedade interessante das fra¸oes cont´ c˜ ınuas para re- solver equa¸oes diofantinas (vide material complementar de divisibilida- c˜ de). (a) Exemplo: Vamos comparar [1, 3, 2] com [1, 3]. 9 [1, 3, 2] = 7 4 [1, 3] = 3 Lembre-se que para comparar as fra¸oes ter´ c˜ ıamos de igualar os de- nominadores, etc . . . . Mas tamb´m, podemos compar´-las multipli- e a cando o numerador de uma pelo denominador de outra. 3 × 9 = 27 e 4 × 7 = 28 A diferen¸a ´ 1. Lembre-se que uma das etapas da resolu¸ao de c e c˜ equa¸oes diofantinas exigia que se encontrasse uma maneira de ”pro- c˜ duzir”o valor 1, a partir de dois n´ meros primos entre si. Bem, est´ u a feito; para produzir o n´ mero 1, a partir de 7 e 9, fazemos: u 3×9−4×7 = 1 Ser´ coincidˆncia? a e
  • 78 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS (b) Comparemos [1, 3, 2, 5] com [1, 3, 2] 9 [1, 3, 2] = 7 49 [1, 3, 2, 5] = 38 49 × 7 − 38 × 9 = 1 Funciona! N˜o provaremos esse fato, que ´ uma conseq¨ˆncia dos a e ue algoritmos que estamos utilizando. Mas vocˆ pode testar. e A seguir, alguns exemplos, mas vocˆ pode inventar os seus. e Compare: (c) [1, 2] com [1, 2, 4] (d) [1, 2, 4] com [1, 2, 4, 5] (e) [1, 2, 4] com [1, 2, 4, 3] (f) [1, 2, 4] com [1, 2, 4, 2] 13. Encontre dois n´ meros inteiros a e b tais que u a · 25 + b · 17 = 1 Observe que isso s´ ser´ poss´ pois o mdc(17, 25) = 1. o a ıvel 25 17 1 2 25 17 8 8 1 O que nos d´: a 25 1 = [1, 2, 8] = 1 + 17 1 2+ 8
  • 5.2. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS IRRACIONAIS 79 3 Basta agora calcular: [1, 2] = 2 . Pronto: 3 × 17 = 51 e 2 × 25 = 502 a = −2 e b = 3. Dados x e y encontre n´ meros inteiros a e b tais que a · x + b · y = 1 u (a) x = 6 e y = 35 (b) x = 13 e y = 8 (c) x = 55 e y = 21 (d) x = 34 e y = 13 5.2 Fra¸˜es cont´ co ınuas e n´ meros irracionais u Vamos agora tentar expressar n´ meros irracionais como fra¸oes cont´ u c˜ ınuas. J´ sabemos que isso n˜o ser´ poss´ de forma finita usando s´ n´ meros a a a ıvel o u racionais. Teremos que recorrer a fra¸oes cont´ c˜ ınuas de representa¸ao c˜ infinita. √ 1 (a) Mostre que 2=1+ √ 1+ 2 Solu¸ao: Observe que: c˜ √ √ √ 1 √ 1 ( 2 − 1)( 2 + 1) = 1 ⇔ 2 − 1 = √ ⇔ 2=1+ √ 2+1 1+ 2 (b) Mostre que √ 1 2=1+ 1 2+ √ 1+ 2 √ Sugest˜o: Use o item anterior e substitua 2 do lado direito por a 1 1+ √ . 1+ 2
  • 80 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS (c) Mostre que √ 1 2=1+ 1 2+ 1 2+ √ 1+ 2 14. Pela lei de forma¸ao desta fra¸ao cont´ c˜ c˜ ınua,√ percebemos que, desprezando a ultima fra¸ao, podemos ir aproximando 2 por ´ c˜ 3 [1, 2] = 2 7 [1, 2, 2] = 5 17 [1, 2, 2, 2] = 12 29 [1, 2, 2, 2, 2] = 17 Construa as fra¸oes e, usando uma m´quina de calcular, verifique que c˜ a √ efetivamente vamos nos aproximando de 2. 15. N˜o ´ sempre simples encontrar a representa¸ao em forma de fra¸ao a e c˜ c˜ cont´ınua de um numero irracional. Mas todos os chamados n´merosu alg´bricos, isto ´, que s˜o solu¸ao de uma equa¸ao polinomial de coefi- e e a c˜ c˜ cientes racionais, tˆm uma representa¸ao peri´dica como fun¸ao cont´ e c˜ o c˜ ınua infinita. Podemos usar a nota¸ao: c˜ √ 2 = [1, 2, 2, . . .] = [1, ¯ 2] O leitor interessado pode encontrar um m´todo geral no artigo ”Um pro- e cesso finito para a raiz quadrada”de Jos´ Paulo Q. Carneiro na Revista e do Professor de Matem´tica, n´ mero 34, p´gina 36. a u a Um fato interessante ´ que os n´ meros que n˜o s˜o quadrados perfeitos e u a a (isto ´, n˜o s˜o quadrados de n´ meros inteiros) n˜o tˆm representa¸ao e a a u a e c˜ decimal finita, nem podem ser representados por uma fra¸ao. Mas, em se c˜ tratando de fra¸oes cont´ c˜ ınuas, isso ´ sempre poss´ e ıvel, embora possa ser por vezes um pouco complicado.
  • 5.2. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS IRRACIONAIS 81 Exemplos: √ 2 = [1, 2, 2, 2, . . .] = [1, 2] √ 3 = [1, 1, 2, 1, 2, . . .] = [1, 1, 2] √ 5 = [2, 4, 4, 4, . . .] = [2, 4] √ 6 = [2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .] = [2, 2, 4] √ 7 = [2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, . . .] = [2, 1, 1, 1, 4] √ 8 = [2, 1, 4, 1, 4, . . .] = [2, 1, 4] √ 10 = [3, 6, 6, 6, . . .] = [3, 6] √ 31 = [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10, . . .] = [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10] Aparentemente, alguns s˜o mais simples do que outros. a No caso dos quadrados perfeitos +1, a representa¸ao ´ bem mais sim- √ c˜ e plificada. √a vimos o exemplo de 2 = [1, 2, 2, 2, . . .] = [1, 2]. Vamos J´ examinar 5. √ 1 16. Mostre que 5=2+ √ . 2+ 5 Solu¸ao: Observe que: c˜ √ √ √ 1 √ 1 ( 5 − 2)( 5 + 2) = 1 ⇔ 5 − 2 = √ ⇔ 5=2+ √ . 5+2 2+ 5 √ Deixamos ao leitor prosseguir da mesma forma como fizemos com 2. De forma an´loga, chegamos ao resultado: a √ 5 = [2, 4, 4, 4, . . .] = [2, 4]. √ 1 17. Mostre que c2 + 1 = c + √ . c + c2 + 1 Sugest˜o: Adapte o item anterior com c no lugar do 2 e c2 + 1 no lugar a do 5. Chegue ` conclus˜o que: a a √ c2 + 1 = [c, 2 · c, 2 · c, 2 · c, . . .] = [c, 2 · c]. Encontre a representa¸ao de c˜ √ (a) 17 =
  • 82 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS √ (b) 50 = √ (c) 626 = √ (d) 190097 = √ (e) 101 = √ 18. Podemos aproximar 3 por [1, 1] = 2 [1, 1, 2] = [1, 1, 2, 1] = [1, 1, 2, 1, 2] = [1, 1, 2, 1, 2, 1] = Construa as fra¸oes e, usando uma m´quina de calcular, verifique que c˜ a √ efetivamente vamos nos aproximando de 2. 19. Voltando ao in´ ıcio. Nossa primeira atividade foi calcular os valores de: 1 [1, 1] = 1 + =2 1 1 1 3 [1, 1, 1] = 1 + =1+ = 1 2 2 1+ 1 1 1 2 5 [1, 1, 1, 1] = 1 + =1+ 3 =1+ = 1 2 3 3 1+ 1 1+ 1 1 8 [1, 1, 1, 1, 1] = 1 + = 1 5 1+ 1 1+ 1 1+ 1
  • 5.2. FRACOES CONT´ ¸˜ ´ INUAS E NUMEROS IRRACIONAIS 83 1 13 [1, 1, 1, 1, 1, 1] = 1 + = 1 8 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 A esta altura vocˆ deveria ter desconfiado. As fra¸oes expressam as e c˜ rela¸oes entre n´ meros consecutivos da s´rie de Fibonacci: c˜ u e 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . Podemos escrever os n´ meros apresentados sob a forma peri´dica: u o [1, 1, 1, 1, . . .] = [1, 1]. Mas que n´ mero est´ sendo aproximado por esta s´rie? u a e √ Tentemos usar a mesma id´ia que usamos para 2: e 1 x=1+ x 1 x=1+ 1 1+ x 1 x=1+ 1 1+ 1 1+ x Essas equa¸oes mostram que a substitui¸ao de x, a partir da primeira c˜ c˜ equa¸ao, resulta na seq¨ˆncia peri´dica: c˜ ue o x = [1, 1, 1, 1, . . .]
  • 84 CAP´ ITULO 5. FRACOES CONT´ ¸˜ INUAS Usando a primeira equa¸ao obtemos: c˜ 1 x=1+ ⇔ x2 − x − 1 = 0 x √ A raiz positiva ´ 1+2 5 , que ´ um dos n´ meros mais estudados da e e u Matem´tica. Este ´ o n´ mero ϕ, a raz˜o ´urea. a e u a a Mostramos (sem demonstrar) assim que a raz˜o entre membros sucessivos a da s´rie de Fibonacci aproxima-se da raz˜o ´urea. e a a 20. Apenas como informa¸ao, ´ sabido que todos os n´ meros admitem uma c˜ e u representa¸ao por fra¸oes cont´ c˜ c˜ ınuas, mas nem sempre elas ser˜o peri´dicas. a o Dois exemplos s˜o o n´ mero π e o n´ mero e. a u u π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, . . . e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, . . .].
  • Apˆndice A eProblemas interessantesA.1 O problema dos 35 camelos Este problema aparece no livro ”O Homem que calculava”de Malba Tahan,mas certamente j´ existia antes disso. O livro acompanha as aventuras matem´ticas a ade Beremiz Samir e um amigo (o narrador). Em certo epis´dio, eles encontram 3 irm˜os que disputam uma heran¸a de o a c35 camelos. O pai havia deixado um testamento, especificando que: o filho maisvelho deveria receber a metade dos camelos, o filho do meio deveria receber umter¸o dos camelos e o ca¸ula faria jus a um nono dos camelos. c c A discuss˜o estava acesa, pois n˜o havia meio de se entenderem. O mais a avelho deveria receber 17 camelos e meio! O filho do meio deveria receber 11camelos e mais 2/3 de camelo! E o mais novo receberia 3 camelos e mais 8/9 decamelo . . . . Enfim, todos percebiam que n˜o dava certo, mas ningu´m queria a eabrir m˜o da sua ”parte”de camelo. a A surpreendente solu¸ao de Beremiz ´ oferecer um camelo aos herdeiros! c˜ eCom isso, o n´ mero de camelos passa a ser 36, que ´ m´ ltiplo de 2, de 3 e de u e u9. O mais velho ficar´ com 18 camelos, o do meio com 12 camelos e o ca¸ula a ccom 4. Mas o melhor ´ que, depois da divis˜o, sobram 2 camelos! O camelo ofe- e arecido por Beremiz ´ recuperado e ele ainda ganha um, como pagamento pela esua solu¸ao. c˜ Pergunta: Como ´ poss´ que todos saiam ganhando mais do que ganha- e ıvelriam antes? 85
  • 86 ˆ APENDICE A. PROBLEMAS INTERESSANTESA.2 H´rcules e a tartaruga e H´rcules era um grande atleta da Gr´cia antiga. Um dia encontrou uma e etartaruga, que descansava embaixo de uma ´rvore a 100 metros de onde ele se aencontrava. H´rcules gritou: ”Boa tarde, tartaruga, como vai?”. Mas a tartaruga n˜o e arespondeu. H´rcules pensou: ”Deve ser surda”. Ele se aproximou, cautelosamente, ecaminhando 50 metros, a metade do caminho. E gritou outra vez: ”Boa tarde,tartaruga, como vai?”. Mas a tartaruga, nada. J´ um pouco aborrecido, H´rcules caminhou mais 25 metros, a metade do a ecaminho restante. E a tartaruga, nem te ligo. H´rcules continuou se aproxi- emando, sempre andando metade do caminho. • Pergunta 1: Depois de quantas etapas H´rcules alcan¸ar´ a tartaruga? e c a • Pergunta 2: Depois de quantas etapas H´rcules estar´ a menos de 10 e a metros da tartaruga? • Pergunta 3: Depois de quantas etapas H´rcules estar´ a menos de 1 metro e a da tartaruga? • Pergunta 4: Por que a tartaruga n˜o respondeu? aA.3 Jo˜o e Maria a Jo˜o e Maria moram a 27 km de distˆncia um do outro. Eles querem a ase encontrar mas fizeram uma combina¸ao esquisita. Eles v˜o caminhando c˜ apor etapas. Em cada etapa eles andam 1/3 do caminho restante. Assim, naprimeira etapa eles andam 9 km cada um, ficando a 9 km de distˆncia. Na asegunda etapa . . . bem, vocˆs j´ entenderam. e a • Pergunta 1: Depois de quantas etapas eles se encontram? • Pergunta 2: Depois de quantas etapas eles estar˜o a menos de 270 metros? a • Pergunta 3: Depois de quantas etapas eles estar˜o a menos de 27 metros? a • Pergunta 4: Por que nos livros de Matem´tica as pessoas fazem com- a bina¸oes t˜o estranhas? c˜ a
  • A.4. O π DOS EG´ IPCIOS 87A.4 O π dos eg´ ıpcios Os eg´ ıpcios utilizavam a fra¸ao 22/7 como aproxima¸ao de π. c˜ c˜ • Pergunta 1: Vocˆ acha que ´ uma boa aproxima¸ao? e e c˜ • Pergunta 2: Como vocˆ avaliaria o erro produzido por esta aproxima¸ao? e c˜A.5 Aproximando a raiz quadrada de 2 √ Um aproxima¸ao decimal de c˜ 2 ´ 1, 41421356 mas, em geral, n˜o necessi- e atamos de tanta precis˜o. a √ • Pergunta 1: Que fra¸ao vocˆ utilizaria para aproximar c˜ e 2, usando nu- merador e denominador com um algarismo? • Pergunta 2: Como vocˆ avaliaria o erro produzido por esta aproxima¸ao? e c˜ √ 3A.6 Aproximando a 9 √ 3 • Pergunta 1: Que fra¸ao vocˆ utilizaria para aproximar c˜ e 9, usando nu- merador e denominador com trˆs algarismos? e • Pergunta 2: Como vocˆ avaliaria o erro produzido por esta aproxima¸ao? e c˜A.7 Divis˜o de fra¸˜es a co Uma opera¸ao que gera sempre alguma dificuldade ´ a divis˜o de fra¸oes. c˜ e a c˜Em que situa¸oes ela ´ encontrada? Vejamos alguns exemplos. c˜ e • Um trabalhador constr´i 1/2 km de estrada por dia. A estrada dever´ o a ter 1 e 3/4 km. Em quantos dias o trabalhador construir´ a estrada? a • Um agricultor trabalha 1 e 3/4 alqueires de terra em 1/2 mˆs. Quanta e terra ele trabalhar´ em 1 mˆs? a e • Tenho uma pe¸a de 1 e 3/4 m e quero fazer aventais, usando 1/2 m para c cada um. Quanto aventais posso produzir?
  • 88 ˆ APENDICE A. PROBLEMAS INTERESSANTES Todas estas hist´rias levam ` mesma opera¸ao: o a c˜ 3 1 1 ÷ 4 2 No problema dos aventais obter´ ıamos: 3 1 7 1 7 2 7 1 ÷ = ÷ = × = = 3, 5 4 2 4 2 4 1 2 Claro que n˜o fabricarei 1/2 avental! A resposta ser´ inteira: 3 aventais. a a 1. Invente um problema que leve ` opera¸ao: a c˜ 1 5 2 ÷ 3 6 2. Transformando o divisor na unidade - outra maneira de executar a divis˜o a seria: 3 1 7 1 1 ÷ = ÷ 4 2 4 2 2 Multiplicando as duas fra¸oes por c˜ 1 (o inverso de 1 ): 2 14 2 14 7 ÷ = ÷1= 4 2 4 2 Deu certo. Foi coincidˆncia ou vai funcionar sempre? e 3. Experimente o m´todo acima com: e 3 2 2 ÷ 5 7 ca c˜ cObserva¸˜o 10. A nota¸ao a d , comumente chamada de n´mero misto, ´ uma u e cforma simplificada para escrever a soma a + d ou, equivalentemente, a fra¸ao c˜ad+c d . Assim, 4 4 15 + 4 19 3 =3+ = = . 5 5 5 5
  • Apˆndice B ePara saber maisB.1 Livro recomendado N´ meros - Uma introdu¸ao ` Matem´tica; Millies, Cesar Polcino e Coelho, u c˜ a aSonia Pitta, EDUSP, 2000.B.2 Artigos recomendados Para saber mais vocˆ pode consultar os artigos da Revista do Professor de eMatem´tica, editada pela SBM - o n´ mero da revista onde o artigo pode ser a uencontrado est´ assinalado. a Sobre crit´rios de divisibilidade – Carmem M. G. Taboas – N.06 e Sobre o processo de divis˜o de inteiros – Jaime M. Cardoso – N.08 a Restos, congruˆncia e divisibilidade – Luiz R. Dante – N.10 e Outros crit´rios de divisibilidade – M´rio G. P. Guedes – N.12 e a Um m´todo para o c´lculo do mdc e do mmc – Roberto R. Paterlini – N.13 e a A prova dos noves – Fl´vio W. Rodrigues – N.14 a 89
  • 90 ˆ APENDICE B. PARA SABER MAIS Divisores, m´ ltiplos e decomposi¸ao em fatores primos – Paulo Argolo – N.20 u c˜ Congruˆncia, divisibilidade e adivinha¸oes – Benedito T. V. Freire – N.22 e c˜ Uma interpreta¸ao geom´trica do mdc – Zelci C. de Oliveira – N.29 c˜ e A escolha do goleiro e o resto de uma divis˜o – Cl´udio Arconcher – N.30 a a Dispositivo pr´tico para expressar o MDC de dois n´ meros como combina¸ao a u c˜ linear deles – Jos´ P. Q. Carneiro – N.37 e 2 × 3 = 0? – Cristina Ochoviet – N.41 Divisibilidade por 7 – Arnaldo Umbelino Jr. – N.43 A prova dos onze – Eric C.B. Guedes – N.44 Os primos esquecidos – Chico Nery e Cl´udio Possani – N.47 a Uma demonstra¸ao de Euclides – Arthur Almeida – N.49 c˜ Um exemplo de situa¸ao problema: O problema do bilhar – Marcelo Cˆmara c˜ a dos Santos – N.50 Um resultado recente: um algoritmo r´pido para detectar n´meros primos – a u Ricardo Bianconi – N.50B.3 Respostas de exerc´ ıcios selecionados do Cap´ ıtulo 33.26 3. Converta todas as d´ızimas em fra¸ao e depois realize as opera¸oes c˜ c˜ aritm´ticas indicadas. e 1 1 2 53.28 1. 8 =0+ 10 + 100 + 1000 2. J´ est´ na forma decimal. a a 8 7 5 3. −1 + 10 + 100 + 1000 (lembre-se que − 8 = −1 + 7 ). 1 8 3 5 4. 2 + 10 + 100 3 3 3 5. −1 + 10 + 100 + 1000 + ··· 6 6 6 6. −2 + 10 + 100 + 1000 + ···
  • B.3. RESPOSTAS DE EXERC´ ICIOS SELECIONADOS DO CAP´ ITULO 3913.29 1. Tanto o cent´simo quanto o quintocent´simo primeiro s˜o iguais a e e a zero. 2. O cent´simo ´ 1 e o quintocent´simo primeiro ´ 3. e e e e 3. Tanto o cent´simo quanto o quintocent´simo primeiro s˜o iguais a e e a zero. 4. Tanto o cent´simo quanto o quintocent´simo primeiro s˜o iguais a e e a 6. 5. O cent´simo ´ 5 e o quintocent´simo primeiro ´ 1. e e e e 6. O cent´simo ´ 3 e o quintocent´simo primeiro ´ 5. e e e e3.30 1. Temos ad = bc e (a + c) × d = ad + dc. Logo, (a + c) × d = ad + dc = bc + dc = (b + d) × c. 1 n 2. Para todo natural n, diferente de zero, temos 5 = 5n . Logo, usando o item anterior, temos que a resposta ´ 1 . e 5 e 2 3. De forma an´loga ao anterior, temos que a resposta ´ 3 . a a+c c 4. Temos b+d = d = x . Logo, y x y = a+c+x b+d+y . a b+(a+b)+a 2a+2b 5. Temos b = (a−c)+c+b = a+b = 2. 6. Lembre-se que dados dois naturais positivos x < y, existe um unico ´ natural n tal que nx ≤ y < (n + 1)x. Logo, dividindo por x e 1 1 tomando os inversos, temos: n+1 < x ≤ n . y 1 nx−y 7. Reduza n e ny a um mesmo denominador ny e depois some as fra¸oes. c˜ 1 1 1 8. Observe que 0 < n−1 − n = n(n−1) < 1. Logo, pelo item anterior, x 1 0 ≤ y − n < 1, ou seja, 0 ≤ nx − y < ny. 2 1 3×2−5 1 1 4 1 9. Use os itens 6 e 7. Temos 5 = 3 + 15 = 3 + 15 e 3 = 3 +1 = 1 1 1 3 + 2 + 4. 1 1 1 10. Suponha 0 < z ≤ y ≤ x. Neste caso, x ≤ y ≤ z . Como a soma dos trˆs ´ igual a 1, o maior deles deve ser maior ou igual a 1 . Ou seja, e e 3 1 1 z ≥ 3 . Logo, z ∈ {1, 2, 3}. Vamos analisar os trˆs casos: e • z n˜o pode ser 1, pois isto exigiria que x ou y fosse negativo. a
  • 92 ˆ APENDICE B. PARA SABER MAIS a 1 1 1 • Se z = 2 ent˜o x + y = 2 e assim o maior deles ser´ maior ou a 1 1 1 igual a 4 . Logo, y ≥ 4 ou seja y ∈ {1, 2, 3, 4}. Verificando estes c˜ 1 1 valores com a equa¸ao x + y = 1 , vemos que os valores poss´ 2 ıveis s˜o y = 3 e x = 6 ou y = 4 e x = 4. Logo, podemos ter z = 2, a y = 3 e x = 6 ou z = 2, y = 4 e x = 4. • Se z = 3 ent˜o x + y = 3 . Assim, y ≥ 6 = 1 , ou seja, y ∈ a 1 1 2 1 2 3 c˜ 1 {1, 2, 3}. Verificando estes valores com a equa¸ao x + y = 2 , 1 3 vemos que os valores poss´ ıveis s˜o y = 2 e x = 6 ou y = 3 e a x = 3. Logo, podemos ter z = 3, y = 2 e x = 6 ou z = 3, y = 3 e x = 3. Logo, a resposta ´: z = 2, y = 3 e x = 6 ou z = 2, e y = 4 e x = 4. ou z = 3, y = 2 e x = 6 ou z = 3, y = 3 e x = 3. 11. Verdadeiro. Veja a resposta na revista Eureka02 no site abaixo: http://www.obm.org.br/eureka/eureka2.pdf
  • Bibliografia[1] Carvalho, Paulo C. P., & outros, A Matem´tica do Ensino M´dio, Cole¸ao a e c˜ do Professor de Matem´tica, Vol 1, SBM, 2001. a[2] Niven, Ivan, N´meros racionais e irracionais, Cole¸ao Fundamentos da u c˜ Matem´tica Elementar, SBM, 1984. a 93