Matematicas i   grado en econom - desconocido
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  • 1. 1. Matrices y Vectores Matem´ticas I a Grado en Econom´ ıa Curso 2010-2011 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o 1.2 Determinante y rango de matrices 1.3 Matriz inversa 1.4 Definici´n y operaciones con vectores o 1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales UniversidaddeValladolid Departamento de Economía Aplicada 1. Matrices y vectores 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Definici´n de matriz o 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Definici´n de matriz o Definici´n o Definiciones Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo orden son iguales si los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales, es decir, si aij = bij para cada lugar ij. Se llama matriz de orden m × n a un conjunto de m × n elementos, dispuestos en m filas y n columnas. Se llama elemento de lugar (i, j) o ij de una matriz A al elemento que est´ situado en la intersecci´n de la fila i-´sima y la columna j-´sima. a o e e Denotando por aij a este elemento,  a11 a12  a21 a22  A= . . . .  . . Observaci´n o la matriz se representa por  · · · a1n · · · a2n   .  = (aij ) . .. . . .  am1 am2 · · · Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1. Matrices y vectores Matem´ticas I a El concepto de matriz se define de forma general tomando sus elementos en un conjunto cualquiera. Sin embargo, a lo largo de este curso nos limitaremos a usar matrices de n´meros reales. u Notaci´n o amn El conjunto formado por todas las matrices de orden m × n con elementos en R se denota por Mm×n (R) o simplemente Mm×n . 2010-2011 3 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 4 / 32
  • 2. 1. Matrices y vectores 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o 1. Matrices y vectores Tipos de matrices Tipos de matrices Definiciones 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Definiciones 1 Una matriz A de orden m × n se dice que es cuadrada si m = n. Nos referiremos a las matrices cuadradas de orden n × n como matrices de orden n y escribiremos A ∈ Mn (R). 1 Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada A = (aij ) de orden n al conjunto de los elementos que tienen iguales sus sub´ ındices de ordenaci´n, es decir, a11 , a22 , . . . , ann . o 2 Una matriz A de orden m × n se dice que es rectangular si m = n. Cuando m = 1 se dice que A es una matriz fila, y si n = 1 que A es una matriz columna. 2 Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si todos los elementos situados por debajo de su diagonal principal son nulos. Cuando todos los elementos situados por encima de su diagonal principal son nulos se denomina triangular inferior. 3 Se denomina matriz nula de orden m × n y se denota por Om×n , O u (0) a aquella cuyos elementos son todos iguales a 0 ∈ R. 3 Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si los elementos no diagonales son nulos. Si adem´s los elementos diagonales son iguales a entre s´ se denomina matriz escalar. ı 4 Se llama matriz identidad de orden n y se denota por In o I a la matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1 ∈ R. 4 Dada una matriz A ∈ Mm×n (R), una submatriz de A es una matriz obtenida a partir de A eliminando una o varias filas y/o una o varias columnas. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 5 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 6 / 32 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Operaciones con matrices Operaciones con matrices Suma de matrices Producto de un escalar por una matriz Definici´n o Definici´n o Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo orden m × n, se llama suma de A y B a la matriz A + B = (aij + bij ) de orden m × n. Dadas una matriz A = (aij ) de orden m × n y un escalar λ ∈ R, se llama producto del escalar λ por A a la matriz λA = (λaij ) de orden m × n. Propiedades Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C del mismo orden m × n se verifica Propiedades Para cualesquiera que sean las matrices A y B del mismo orden m × n y para cualesquiera escalares λ, µ ∈ R, se verifica 1 Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C. 1 λ(A + B) = λA + λB. 2 Conmutativa: A + B = B + A. 2 (λ + µ)A = λA + µA. 3 La matriz nula es el elemento neutro. 3 λ(µA) = (λµ)A. 4 Dada A = (aij ), la matriz −A = (−aij ) es su elemento opuesto. 4 1A = A. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 7 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 8 / 32
  • 3. 1. Matrices y vectores 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o 1. Matrices y vectores 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Operaciones con matrices Operaciones con matrices Producto de matrices Producto de matrices. Propiedades 1 Definici´n o Dadas las matrices A = (aij ) de orden m × n y B = (bij ) de orden n × p, se llama producto de A por B a la matriz A · B o AB de orden m × p cuyo elemento de lugar ij es 2 3 n ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj = Asociativa: A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R) y ∀C ∈ Mp×q (R). NO conmutativa. Siempre que los ´rdenes de las matrices permitan realizar las o operaciones se verifica aik bkj . A(B + C) = AB + AC y (B + C)D = BD + CD. k=1 4 Ejemplo 5  1 -1 2 2 3 0  2 5  1 1 = 3 2 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1·2−1·1+2·3 8 7 13 Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 6 9 / 32 λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R) y ∀λ ∈ R. Puede ser AB = (0) sin ser A = (0) o B = (0). Dada A ∈ Mm×n (R), se verifica A · In = Im · A = A. La matriz identidad es el elemento neutro para el producto en el conjunto Mn (R). Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1.1 Definici´n y operaciones con matrices. Tipos de matriz o Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 10 / 32 1.2 Determinante y rango de matrices Operaciones con matrices Determinante de una matriz cuadrada Trasposici´n de matrices o Definici´n o Definiciones 1 Dada una matriz A ∈ Mm×n (R), se llama traspuesta de A a la matriz At cuyo elemento de lugar ij es el elemento de lugar ji de A. 2 Una matriz A ∈ Mn×n (R) es sim´trica si coincide con su traspuesta e (A = At ) y es antisim´trica si coincide con la opuesta de su e traspuesta (A = −At ). Propiedades 1 (A + B)t = At + B t , ∀A, B ∈ Mm×n (R). 3 (λA)t = λAt , ∀A ∈ Mm×n (R) y ∀λ ∈ R. 4 (AC)t = C t At , ∀A ∈ Mm×n (R) y ∀C ∈ Mn×p (R) Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a det a11 a12 a21 a22 = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 . Definici´n o La expresi´n del determinante de una matriz de orden 3 se conoce como o regla de Sarrus y es la siguiente: (At )t = A, ∀A ∈ Mm×n (R). 2 El determinante de una matriz de orden 2 es el n´mero real obtenido de la u siguiente forma: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 2010-2011 11 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − −a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . Matem´ticas I a 2010-2011 12 / 32
  • 4. 1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices 1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices Desarrollo por los elementos de una fila o columna Desarrollo por los elementos de una fila o columna Nota Para calcular el determinante de matrices cuadradas de orden superior a 3 necesitamos introducir algunos conceptos previos. Nota 1 Definici´n o El valor del determinante de una matriz cuadrada A coincide con la suma de los productos de los elementos de una fila, o columna, por sus respectivos adjuntos. n Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (R), el menor complementario del elemento aij es el determinante de la matriz de orden n − 1, que resulta de eliminar en la matriz A, la fila i-´sima y la columna j-´sima. Se denota e e por Mij . Definici´n o El adjunto del elemento aij es el producto del menor complementario de aij por (−1)i+j . Se denota por Aij . Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 13 / 32 2 3 4 5 6 7 2 akj Akj La forma de escritura del determinante que aparece en la nota anterior se conoce como desarrollo del determinante por los elementos de esa fila, o columna. Definici´n o Dada una matriz cuadrada A, el n´mero real obtenido mediante u desarrollos sucesivos por los elementos de una fila o columna se denomina determinante de A y se denota por det(A) o |A|. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 14 / 32 1.2 Determinante y rango de matrices Propiedades de los determinantes Si una matriz cuadrada tiene una fila, o columna, cuyos elementos son todos cero, entonces su determinante es cero. Si se intercambian dos filas, o columnas, de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, su determinante vale cero. El determinante del producto de matrices cuadradas, es el producto de los determinantes, es decir, |AB| = |A||B|. El determinante de la suma NO es la suma de los determinantes. Matem´ticas I a columna j : |A| = k=1 1. Matrices y vectores det(A) = det(At ), para cada matriz cuadrada A. Si todos los elementos de una fila, o columna, est´n multiplicados por a un escalar, ´ste puede salir multiplicando al determinante. Por tanto, e se verifica |α · A| = αn · |A|, si A ∈ Mn×n (R). Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa n aik Aik k=1 1.2 Determinante y rango de matrices Propiedades de los determinantes 1 fila i : |A| = 2010-2011 15 / 32 1 Dada una matriz A = (aij ) de orden m × n con filas F1 , F2 , . . . , Fm , se llama combinaci´n lineal de las filas i1 , . . . , is a la fila o λ1 Fi1 + λ2 Fi2 + · · · + λs Fis de elementos λ1 ai1 1 + λ2 ai2 1 + · · · + λs ais 1 ... λ1 ai1 n + λ2 ai2 n + · · · + λs ais n con λ1 , λ2 , . . . , λs ∈ R. Si a una fila, o columna, de una matriz cuadrada, se le suma una combinaci´n lineal de las otras, el valor de su determinante no var´ o ıa. 2 Si en una matriz cuadrada, una fila, o columna, es combinaci´n lineal o de las otras, su determinante es cero. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 16 / 32
  • 5. 1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices 1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices Rango de una matriz Rango de una matriz Definici´n o C´lculo del rango de una matriz como el orden del mayor menor no a nulo El procedimiento para calcular el rango de una matriz hallando el mayor menor no nulo es el siguiente: Dada una matriz A de orden m × n, se llama menor de orden p de A al determinante de una submatriz cuadrada de orden p de A. 1 El rango de una matriz A de orden m × n es el orden del mayor menor no nulo de A. Se denota rg(A). Se elige un elemento no nulo. Si no existe, la matriz es la matriz nula y su rango es 0. 2 Se busca una submatriz de orden 2 que contenga el elemento anterior y cuyo determinante sea no nulo. Si no existe el rango es 1. 3 Definici´n o Se busca una submatriz de orden 3 que contenga (que orle) la submatriz anterior y cuyo determinante sea no nulo. Si no existe el rango es 2. 4 Y as´ sucesivamente hasta que no sea posible encontrar una submatriz ı que orle la del paso anterior con determinante no nulo. En ese caso, el rango de la matriz corresponde al del ultimo menor no nulo hallado. ´ Teorema Sea A ∈ Mm×n (R). Considerando las filas de A como vectores de Rn y sus columnas como vectores de Rm , el rango de A coincide con el m´ximo a n´mero de vectores fila linealmente independientes, y con el m´ximo u a n´mero de vectores columna linealmente independientes. u Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 17 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1.2 Determinante y rango de matrices Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores Rango de una matriz 2010-2011 18 / 32 1.2 Determinante y rango de matrices Operaciones y matrices elementales Propiedades 1 El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta. Definici´n o 2 El rango no var´ si a una fila o columna se le suma una combinaci´n ıa o lineal del resto. Se llaman operaciones elementales en una matriz a las siguientes: 1 Permutar dos filas, o columnas. 3 El rango de una matriz no var´ si se suprime una fila que es ıa combinaci´n lineal de las otras. o 2 Multiplicar por un escalar α ∈ R no nulo, los elementos de una fila, o columna. 4 El rango de una matriz no var´ si una fila se multiplica por un escalar ıa no nulo. 3 Sumar a una fila, o columna, otra multiplicada por un escalar. 5 El rango de una matriz no var´ si se permutan dos filas entre s´ ıa ı. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 19 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 20 / 32
  • 6. 1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices 1. Matrices y vectores Matrices escalonadas y rango Algoritmo de eliminaci´n gaussiana o Definici´n o Una matriz se dice que est´ en forma escalonada si el n´mero de ceros a u anteriores al primer elemento no nulo de cada fila, aumenta en cada fila. Nota El rango de una matriz escalonada coincide con el n´mero de filas con u alg´n elemento no nulo. u Ejemplo La matriz 3 2  0 1   0 0 0 0 Algoritmo de eliminaci´n gaussiana o 1  1 0 −1 2 0 −1 2 3   2 0 1 0  0 0 0 0 3 4 es una matriz escalonada y su rango es 3. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Nota Toda matriz se puede transformar en una matriz en forma escalonada mediante operaciones elementales. Una forma de hacerlo es mediante el algoritmo de eliminaci´n gaussiana. o Adem´s, teniendo en cuenta que las operaciones elementales no modifican a el rango de una matriz, este procedimiento nos permite hallar el rango de la matriz de partida. 2  Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices 2010-2011 21 / 32 Permutar filas y/o columnas de modo que el elemento de lugar (1, 1) sea no nulo (si esto no es posible tenemos la matriz nula). Hacer ceros los elementos de la primera columna debajo de ´ste, e sumando m´ltiplos adecuados de la primera fila a las restantes. u Repetir el proceso con el elemento de lugar (2, 2), haciendo cero los elementos de la segunda columna debajo del de lugar (2, 2). Continuar con los elementos de lugar (i, i) con i > 2 mientras existan elementos no nulos en las filas inferiores a la i. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1.3 Matriz inversa Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 22 / 32 1.3 Matriz inversa Inversa de una matriz cuadrada C´lculo de la inversa a Definiciones Definici´n o Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz formada por los adjuntos de los elementos de A. Se denota por Adj(A). 1 2 Se dice que una matriz cuadrada es regular o inversible si posee elemento inverso para el producto. A su elemento inverso se le denomina matriz inversa de la de partida. La matriz inversa de la matriz A se denota por A−1 . Una matriz cuadrada es ortogonal si es inversible y su inversa coincide con su traspuesta (A−1 = At ). Propiedades de la matriz inversa 1 La inversa de una matriz cuadrada, si existe es unica. ´ −1 )−1 = A. 2 Si A es una matriz cuadrada inversible, (A 3 Si A y B son matrices cuadradas inversibles, (A · B)−1 = B −1 · A−1 . 4 Si A y B son matrices cuadradas tales que AB = I, entonces son inversibles y se verifica A−1 = B y B −1 = A. 5 Si A es una matriz cuadrada e inversible se tiene (A−1 )t = (At )−1 . Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 23 / 32 Teorema Una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y s´lo si |A| = 0. o 1 Adj(A)t . Adem´s, si es inversible, su inversa es A−1 = a |A| C´lculo de la inversa de una matriz mediante operaciones a elementales Dada una matriz cuadrada A, si mediante operaciones elementales aplicadas a las filas y s´lo a las filas (o a las columnas, pero s´lo a las o o columnas), se obtiene la matriz identidad, entonces la matriz es inversible. Adem´s su inversa es la matriz resultante de aplicar a la identidad las a operaciones elementales aplicadas a la matriz A. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 24 / 32
  • 7. 1. Matrices y vectores 1.4 Definici´n y operaciones con vectores o 1. Matrices y vectores Vectores 1.4 Definici´n y operaciones con vectores o Operaciones con vectores Suma de vectores Definici´n o Definiciones 1 Un vector de Rn es una n-upla de n´meros reales. u Los vectores se suelen denotar con letras min´sculas y con una flecha u o una raya encima, x = (x1 , x2 , . . . , xn ). ¯ 2 Los n´meros x1 , x2 , . . . , xn que definen el vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) u ¯ se llaman componentes o coordenadas del vector x. ¯ 3 El n´mero n se llama orden o dimensi´n de x = (x1 , x2 , . . . , xn ). u o ¯ Dados dos vectores x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) del mismo ¯ ¯ orden, se llama suma de x e y al vector ¯ ¯ x + y = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ). Propiedades Para cualesquiera que sean los vectores x, y y z del mismo orden se verifica ¯ ¯ ¯ 1 2 3 4 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 25 / 32 Asociativa: x + (¯ + z ) = (¯ + y ) + z . ¯ y ¯ x ¯ ¯ Conmutativa: x + y = y + x. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (0, 0, . . . , 0) es el elemento neutro. El vector nulo 0 Dado x = (x1 , x2 , . . . , xn ), el vector −¯ = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ) es ¯ x su elemento opuesto. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1.4 Definici´n y operaciones con vectores o Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 26 / 32 1.4 Definici´n y operaciones con vectores o El espacio vectorial Rn Operaciones con vectores Producto de un escalar por un vector Definici´n o Nota Dados un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y un escalar λ ∈ R, se llama ¯ producto del escalar λ por x al vector ¯ El conjunto junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicaci´n o por un escalar es un espacio vectorial. λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ). Al hablar del espacio vectorial Rn , estamos empleando un concepto m´s a amplio que no vamos a introducir formalmente. De hecho, el conjunto de matrices de orden m × n con las operaciones suma de matrices y multiplicaci´n por un escalar (obs´rvense las propiedades que verifican las o e operaciones en uno y otro caso) tambi´n es un espacio vectorial. e Propiedades Para cualesquiera que sean los vectores x y y del mismo orden y para ¯ ¯ cualesquiera escalares λ, µ ∈ R, se verifica 1 λ(¯ + y ) = λ¯ + λ¯. x ¯ x y 2 (λ + µ)¯ = λ¯ + µ¯. x x x 3 λ(µ¯) = (λµ)¯. x x 4 1¯ = x. x ¯ Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 27 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 28 / 32
  • 8. 1. Matrices y vectores 1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales Combinaciones lineales 1. Matrices y vectores 1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales Dependencia e independencia lineales Definici´n o Dados los vectores u1 , u2 , . . . , um de Rn , se dice que un vector v de Rn es ¯ ¯ ¯ ¯ combinaci´n lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , um , si existen escalares o ¯ ¯ ¯ λ1 , λ2 , . . . , λm en R tales que Definiciones 1 Los vectores u1 , u2 , . . . , um de Rn son linealmente dependientes si ¯ ¯ ¯ uno de ellos es combinaci´n lineal del resto, o equivalentemente si o existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λm en R, no todos nulos, tales que v = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um . 0 ¯ ¯ ¯ Los escalares λ1 , λ2 , . . . , λm son los coeficientes de la combinaci´n lineal. o 2 Propiedad Un sistema ligado es un conjunto de vectores linealmente dependientes. El vector nulo es combinaci´n lineal de cualquier conjunto de vectores. o Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 29 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa 1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales Dependencia e independencia lineales Matem´ticas I a 1. Matrices y vectores 2010-2011 30 / 32 1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales Dependencia e independencia lineales Propiedades 1 Definiciones Un conjunto de vectores de Rn que contiene al ¯ es ligado. 0 2 1 2 Los vectores u1 , u2 , . . . , um son linealmente independientes si no son ¯ ¯ ¯ linealmente dependientes. En este caso, ninguno de ellos se puede escribir como combinaci´n o lineal del resto y la unica forma posible de escribir el vector nulo como ´ combinaci´n lineal de esos vectores, es con todos los coeficientes o nulos, es decir, si ¯ = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um , con 0 ¯ ¯ ¯ λ1 , . . . , λm ∈ R, entonces λ1 = · · · = λm = 0. Matem´ticas I a 3 Si el conjunto de vectores {¯1 , u2 , . . . , um } es un sistema ligado, u ¯ ¯ entonces {¯1 , u2 , . . . , um , um+1 , . . . , uq } es un sistema ligado. u ¯ ¯ ¯ ¯ Teorema Sea A ∈ Mm×n (IR). Considerando las filas de A como vectores de IRn y sus columnas como vectores de IRm , el rango de A coincide con el m´ximo n´mero de vectores fila linealmente independientes, y con el a u m´ximo n´mero de vectores columna linealmente independientes. a u Un sistema libre es un conjunto de vectores linealmente independientes. Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Si el conjunto de vectores {¯1 , u2 , . . . , um , . . . , xp } es un sistema u ¯ ¯ ¯ libre, entonces {¯1 , u2 , . . . , um } es un sistema libre. u ¯ ¯ 2010-2011 31 / 32 Dep. Econom´ Aplicada (UVA) ıa Matem´ticas I a 2010-2011 32 / 32