CICATA-IPN                   SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN           Programa de Doctorado Didáctica de la Matemática        ...
1.-LA PROBLEMÁTICA QUE SUBYACE A NUESTRA INVESTIGACIÓN(Lo que se reporta desde la investigación en la enseñanza y aprendiz...
PRIMER MOMENTODESDE UN ANÁLISIS HISTÓRICO EPISTEMOLÓGICO               (Dorier, 2000)                                     ...
La axiomatización del álgebra lineal, hacia 1930, desde la concepcióndel concepto espacio vectorial, demandó un alto nivel...
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UN EJEMPLO QUE GRAFICA EL LENTO PROCESO DE LA  FORMALIZACIÓN DE LAS IDEAS MATEMÁTICAS                                     ...
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REFORMA CURRICULAR:EL CASO DEL ÁLGEBRA LINEAL EN E.E.U.U.                                         12
David Lay                                     .-Lidera reforma curricular en la enseñanza    GRUPO                        ...
SEGUNDO MOMENTOUNA MIRADA A LOS ELEMENTOS DE LA TEORÍA APOE                                           14
NOS PERMITE                           .-IDENTIFICAR DIFICULTADES DE TIPO COGNITIVO, POR PARTE DE                          ...
UN CICLO A CONSIDERAR (Construcción mental)                                           (Asiala, et al. 1996)Operación menta...
EXPLICITACIÓN DEL CICLO DESDE LA IDEA DE COMBINACIÓN                        LINEAL                                        ...
“Una acción consiste en una transformación de un objeto que es percibida por el individuocomo externa y se realiza como un...
“Cuando una acción, o una serie de acciones, se repite y el individuo reflexiona   sobre ella, puede interiorizarse en un ...
“Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso como untodo, realiza las transformaciones (ya...
“Con respecto al esquema, se puede decir que un esquema para un concepto en matemáticas es una colección coherente de acci...
“Con respecto al esquema, se puede decir que un esquema para un concepto enmatemáticas es una colección coherente de accio...
CICLO DE INVESTIGACIÓN DE APOE                                 23
Descomposición Genética (D.G.)                                             .-Sobre la base de antecedentes                ...
HACIA UNA PROPUESTA DIDÁCTICA:          CICLO ACE                                 25
Descomposición Genética                       Análisis                                          .-Acciones                ...
PROPUESTA DIDÁCTICA                      27
TERCER MOMENTOHACIA UNA DESCOMPOSICÓN GENÉTICA DE LOS ESPACIOS               VECTORIALES R2 Y R3                          ...
Lo geométrico y algebraico                                                              Ejes coordenados, subconjuntos, Cu...
Lo geométrico y algebraico                                                        Ejes coordenados, subconjuntos, Cuerpo d...
UN DESPLIEGUE DE CONCEPTOS ASOCIADOS AL ESPACIO          VECTORIAL R2 y el CARTESIANO R2                                  ...
Despliegue de Ideas      R R                                   Asociadas  Producto Cartesiano                             ...
R2 cartesiano y R2 vectorial                                           2x y 1                                             ...
Lo geométrico y algebraico                                                              Ejes coordenados, subconjuntos, Cu...
Lo geométrico y algebraico                                                              Ejes coordenados, subconjuntos, Cu...
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BIBLIOGRAFÍAAndreoli, D. (2009). Análisis de los obstáculos en la construcción del concepto de Dependencia Lineal de vecto...
Parraguez, M. (2009). Evolución Cognitiva del Concepto Espacio Vectorial. Tesis de doctorado no publicada. Centro de Inves...
UN SALUDO DESDE CHILE A NOMBRE DEL EQUIPO DE DOCTORADO                    MUCHAS GRACIAS                                  ...
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AVANCE DE INVESTIGACIÓN: CONSTRUCCIÓN COGNITIVA DE LOS CONCEPTOS ESPACIO VECTORIAL R2 Y R3 Y SU RESPECTIVO TRÁNSITO, DESDE LA TEORÍA APOE

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Presentacion Rodríguez A. - PUCV

  1. 1. CICATA-IPN SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN Programa de Doctorado Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso AVANCE DE INVESTIGACIÓN:CONSTRUCCIÓN COGNITIVA DE LOS CONCEPTOS ESPACIO VECTORIAL R2 Y R3 Y SU RESPECTIVO TRÁNSITO, DESDE LA TEORÍA APOEEstudiante: M. Alejandro Rodríguez Jara miguel.rodriguez.j@mail.ucv.clDra. Marcela Parraguez González marcela.parraguez@ucv.clDra. María Trigueros Gaisman 1
  2. 2. 1.-LA PROBLEMÁTICA QUE SUBYACE A NUESTRA INVESTIGACIÓN(Lo que se reporta desde la investigación en la enseñanza y aprendizaje delálgebra lineal) 2.-SOBRE EL MARCO TÉORICO QUE SUSTENTA NUESTRA INVESTIGACIÓN (La teoría APOE, desde la necesidad de abordar la construcción de conceptos matemáticos desde la matemática misma) 3.-UN AVANCE EN EL DISEÑO DE NUESTRA INVESTIGACIÓN (Algunos elementos, algebraicos y geométricos, que hemos posicionado desde el marco teórico declarado, la teoría APOE) 2
  3. 3. PRIMER MOMENTODESDE UN ANÁLISIS HISTÓRICO EPISTEMOLÓGICO (Dorier, 2000) 3
  4. 4. La axiomatización del álgebra lineal, hacia 1930, desde la concepcióndel concepto espacio vectorial, demandó un alto nivel de abstracción(Dorier, 2000; Dorier, et al. 2001) Un nuevo estatus a una variedad de conceptos dispersos en el desarrollo de la matemática, a la luz del concepto de vector. Babilonios Sistema de Estudiosos de la Mecánica Ecuaciones lineales (Fines del siglo XVII) A.C. D.C. 1650 300 200 0 1700 1800 1900 Papiro Rhind Chinos Grassmann, Hamilton y Cayleysacerdote egipcio Ahmés Dinastía Han las nociones de vector (Ecuaciones lineales) Método Fan-Chen y de espacio Vectorial (Eliminación Gaussiana) (axiomatización y unificación) 4
  5. 5. EL concepto espacio vectorial, desde un punto de vistaepistemológico, más que ayudar a resolver nuevos problemas es vistocomo un concepto unificador, generalizador y formalizador; al igualque el concepto de límite. (Dorier, 2000; Artigue, 2003) Se pone de manifiesto La “unificación” en matemática .-Algebrización de la geometría (Descartes y Fermat en el siglo XVIII) .-Unificación de las geometrías (Programa Erlangen, Felix Klein 1879) 5
  6. 6. UN EJEMPLO QUE GRAFICA EL LENTO PROCESO DE LA FORMALIZACIÓN DE LAS IDEAS MATEMÁTICAS 6
  7. 7. Desde el propio relato de Euler Sistema de ecuaciones de 2x2un “accidente” que se detalla 3x 2 y 5 3x 2 y 5 6 x 4 y 10 0 0 La dependencia Se describe las posibilidades “Inclusiva” Euler (1750) para el caso de 3x3 (La primera ecuación (La primera ecuación Múltiplo de la segunda) en las otras dos) La dependencia desde x 2 y 3z 2 x 2 y 3z 2 Cramer (1750) 3x 6 y 9 y 6 2x y 9 y 6 Caracterizado por A 0 2x 4y 6z 4 3x 3y 12z 8 ¡¡Como un siglo!! .-Lo descrito no se sitúa desde un concepto “englobador” La dependencia lineal .-Se avanza en la idea de rango Frobenious (1875)“El enfoque de Frobenius permite que un sistema sea visto como un elemento de unabase de sistemas equivalentes con el mismo conjunto de soluciones: un paso fundamentalhacia la representación de los sub-espacios por medio de ecuaciones ” (Dorier, 1990) 7
  8. 8. “ENSEÑANZA Y APENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL”INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: CUATRO ÉNFASIS A CONSIDERAR 8
  9. 9. Efectos de la reforma de las matemáticas modernasen los años 60’ Un aspecto visible de la unificación El método axiomático y fuerte incidencia de la teoría La convergencia de variados conceptos de conjuntos en los currículos universitarios. en torno a la idea de vector Diagnóstico Dificultades Registros y lenguajes (1987-1994) (1995-2000) Robert-Robinet-Rogalski Hillel - Pavlopoulou- Alves-Dias Hay un problema con, y el uso del Reportan sobre los registros de formalismo, si bien se entiende aspectos representación y la conversión a generales, se evidencia problemas en la éstos. Un aspecto que debe estar interpretación de los conceptos generales presente en la enseñanza y los textos en contextos más específicos (geométrico y disponibles.. sistemas de ecuaciones lineales) Aparece el obstáculo del formalismo 9
  10. 10. La abstracción desde niveles Una necesidad desde la enseñanza progresivos de descontextualización Modelos de enseñanza en función Desde un pensamiento práctico a un Los aspectos descritos anteriormente pensamiento teóricomodo de pensar en la comprensión del La enseñanza del álgebra lineal álgebra lineal (2000) (2000) Hillel - Sierpinska- Harel HarelSus investigaciones apuntan a estimular Propone, dados los antecedentes de lasuna forma de pensamiento. Se habla de investigaciones, tres principios para laun pensamiento práctico y un enseñanza del álgebra lineal. Lapensamiento teórico, hay una investigación aporta resultados enimposibilidad de transitar y articular que relación a que las dificultades quese manifiesta por una rigidez al pensar manifiestan los estudiantes se pueden(mecanización) explicar sobre la violación de estos principios. 10
  11. 11. Ejemplo de pregunta, utilizada en una investigación con la intención de ver si los estudiantes utilizan el concepto de independencia lineal en contextos más formales (Robert y Robinet, 1989)Sean u, v y w tres vectores en R3. Si cualquier par de ellos no soncolineales, ¿son linealmente independientes?La mayoría de los estudiantes encuestados respondió que sí, lo que pone demanifiesto dificultades en relación al concepto independencia lineal de vectores. 11
  12. 12. REFORMA CURRICULAR:EL CASO DEL ÁLGEBRA LINEAL EN E.E.U.U. 12
  13. 13. David Lay .-Lidera reforma curricular en la enseñanza GRUPO del álgebra lineal en E.E.U.U. (1990) LACSG .-Énfasis a las aplicaciones, el cálculo matricial y el desarrollo de los espacios vectoriales RnHay un cambio de foco GRUPO RUMEC Dubinsky Teoría APOE (APOS): Acción-Proceso-Objeto-Esquema “El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo o reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizando en esquemas con el fin de manejar las situaciones” (Dubinsky, 1996) (Inspirada en teoría genética de Piaget, destacando los conceptos de : esquemas y abstracción reflexiva) 13
  14. 14. SEGUNDO MOMENTOUNA MIRADA A LOS ELEMENTOS DE LA TEORÍA APOE 14
  15. 15. NOS PERMITE .-IDENTIFICAR DIFICULTADES DE TIPO COGNITIVO, POR PARTE DE LOS ESTUDIANTES, EN EL APRENDIZAJE DE CONCEPTOS TEORÍA MATEMÁTICOS. APOE .-EXPLICAR LAS DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES Al ADQUIRIR CONCEPTOS, DESDE LA MATEMÁTICA MISMA. .-DISEÑAR Y DOCUMENTAR “RUTAS” PARA LA CONSTRUCCIÓN Se caracteriza COGNITIIVA DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS . POR TRABAJAR CON POR PROMOVER EL DESARROLLOCONCEPTOS MATEMÁTICOS DE CONSTRUCCIONES MENTALES (PUNTO DE PARTIDA) DESDE MECANISMOS DE ABSTRACCIÓN COMPONENTE COMPONENTE EPISTEMOLÓGICO COGNITIVO (implícito) (explícito) 15
  16. 16. UN CICLO A CONSIDERAR (Construcción mental) (Asiala, et al. 1996)Operación mental o físicarepetible que trasforma un Construcción mental productoobjeto (es algorítmica y con de la interiorización de una acciónestímulos externos) . Interiorización La cual obedece a estímulos internos . ACCIÓN OBJETO PROCESOS Coordinación ReversiónConstrucción mental queda cuenta de un procesocomo una transformación Encapsulación ESQUEMAglobal. Desencapsulación Organización de acciones, procesos, Objetos y otros esquemas. (Niveles de un esquema: Intra- Inter- Trans) 16
  17. 17. EXPLICITACIÓN DEL CICLO DESDE LA IDEA DE COMBINACIÓN LINEAL 17
  18. 18. “Una acción consiste en una transformación de un objeto que es percibida por el individuocomo externa y se realiza como una reacción a sugerencias que proporcionan detalles de lospasos por seguir (Asiala et al., 1996). Cabe recalcar que la construcción de acciones viene aser crucial al inicio de la construcción de un concepto”. (Trigueros, 2008) Multiplicar un vector específico de R2 por un escalar y Representarlo geométricamente Combinación linealDibujar geométricamenteun vector específico de R2 (Acción) Adicionar dos vectores específicos de R2y representar la adición geométricamente 18
  19. 19. “Cuando una acción, o una serie de acciones, se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede interiorizarse en un proceso (Asiala et al., 1996). Así, el individuo puede pensar en un concepto en términos generales y sin necesidad de hacer cálculos explícitos”. (Trigueros, 2008) Descomponer aditivamenteEscribir un vector un vector de R2 en otros dos y a su vezde R2 en relación a escalares estos en función de escalares, desde lay otros vectores, desde el uso Igualdad de dos vectoresde un sistema de COMBINACIÓNecuaciones LINEAL DE R2 (proceso) Se piensa en combinar aditivamente múltiplos de vectores de R2 , desde interiorización Desde la clausura de la adición Acción Proceso Coordinación reversión procesos 19
  20. 20. “Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso como untodo, realiza las transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobreél y puede construir de hecho esas transformaciones, entonces ha encapsulado esteproceso en un objeto (Asiala et al., 1996)”. (Trigueros, 2008) Replicar el álgebra de vectores de R2 a la combinaciones lineales de vectores desde la clausura y los axiomas. COMBINACIÓN LINEAL EN R2 (como objeto) interiorización encapsulación Acción Proceso Objeto reversión desencapsulación Coordinación procesos 20
  21. 21. “Con respecto al esquema, se puede decir que un esquema para un concepto en matemáticas es una colección coherente de acciones, procesos y objetos y otros esquemas relacionados entre sí, consciente o inconscientemente en la mente de un individuo, que se pueden utilizar en una situación problemática que tiene relación con ese concepto matemático (Trigueros, 2005). La coherencia se refiere a que el estudiante puede decidir si alguna situación matemática puede trabajarse utilizando el esquema”. (Trigueros, 2008) COMBINACIÓN LINEAL EN R2 (como esquema).-Conjunto linealmente dependientes.-Conjunto linealmente independiente .-Coordenadas.-Conjunto generador .-Homotecia.-Base .-Dilataciones.-Combinación lineal con operaciones .-Geometría afínno usuales .-Conjunto solución de una ecuación diferencial.-Matriz cambio de base.- Combinación lineal en Espacio Vectorialesisomorfos a Rn Nivel Intra – Inter - Trans 21
  22. 22. “Con respecto al esquema, se puede decir que un esquema para un concepto enmatemáticas es una colección coherente de acciones, procesos y objetos y otrosesquemas relacionados entre sí, consciente o inconscientemente en la mente de unindividuo, que se pueden utilizar en una situación problemática que tiene relación con eseconcepto matemático (Trigueros, 2005). La coherencia se refiere a que el estudiantepuede decidir si alguna situación matemática puede trabajarse utilizando el esquema”.(Trigueros, 2008) COMBINACIÓN LINEAL EN R2 (como esquema) interiorización encapsulación Esquema Acción Proceso Objeto tematización desencapsulación reversión Coordinación procesos Nivel Intra – Inter - Trans 22
  23. 23. CICLO DE INVESTIGACIÓN DE APOE 23
  24. 24. Descomposición Genética (D.G.) .-Sobre la base de antecedentes (Investigaciones previas) Ajuste a la Descomposición Análisis .-Entrevistas a profesores Teórico Informantes (expertos) genética .-Concepciones del investigador Análisis y Diseño de verificación instrumentos de datos .-Protocolo de entrevista a informantes.-Aplicación de entrevistas .-Diseño de preguntas para las entrevista.-Analizar evidencia con los estudiantes(Grabaciones y registros escritos) 24
  25. 25. HACIA UNA PROPUESTA DIDÁCTICA: CICLO ACE 25
  26. 26. Descomposición Genética Análisis .-Acciones Teórico .-Procesos Esquemas .-ObjetosObservación, Aná Diseño delisis y verificación instrumentos e de datos implementación de enseñanza Ciclo de enseñanza Ciclo ACE .-Actividades .-Discusión Clase .-Ejercicios 26
  27. 27. PROPUESTA DIDÁCTICA 27
  28. 28. TERCER MOMENTOHACIA UNA DESCOMPOSICÓN GENÉTICA DE LOS ESPACIOS VECTORIALES R2 Y R3 28
  29. 29. Lo geométrico y algebraico Ejes coordenados, subconjuntos, Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas, distancNúmeros Reales (objeto) ia,… (esquema) (R2, +, •) Plano cartesiano Espacio Vectorial (Objeto R2) (Objeto) concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R operaciones usuales y no Usuales (esquema) Ejes coordenados, subconjuntos, puntos, relaciones, planos, rectas,… (R3, +, •) Espacio Espacio Vectorial Espacio Afín cartesiano (Objeto) (Objeto R3) R3 ( x, y , z ) / x R y R z R 29
  30. 30. Lo geométrico y algebraico Ejes coordenados, subconjuntos, Cuerpo de los Axiomas Articular puntos, rectas, relacionesNúmeros Reales (objeto) (esquema) (R2, +, •) Plano cartesiano R2 Espacio Vectorial (Objeto) (Objeto) concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R operaciones usuales y no Usuales (esquema) 30
  31. 31. UN DESPLIEGUE DE CONCEPTOS ASOCIADOS AL ESPACIO VECTORIAL R2 y el CARTESIANO R2 31
  32. 32. Despliegue de Ideas R R Asociadas Producto Cartesiano 2 Par ordenado R Espacio Vectorial (a, b) : {{a},{a, b}} Segmento dirigidoConjunto solución de una ecuación lineal a1 x1 a2 x2 b Vector Dependencia y independencia Geometría afín lineal Geometría Vectorial Conjunto solución de un sistema Simultaneo de ecuaciones lineales 2 a11 x1 ... a1n xn b1 R Plano Cartesiano ... ... ... Ecuación Matricial Geometría analítica am1 x1 ... amn xn bm Am n Xn 1 Bm 1 32
  33. 33. R2 cartesiano y R2 vectorial 2x y 1 Geometría analítica 3x y 2 Intersección de rectasComo sub-espacios vectorialesque contienen a los Vectoresortogonales asociados al líneas rectas afinessistema de ecuaciones.La intersección de los sub-espacios es el sub-espaciogenerado por el (2,1) ( x, y ) 0Vector nulo. (3,1) ( x, y ) 0 2x y 0 3x y 0 Producto interno Hay una traslación paralela Desde el sistema de ecuaciones inicial Intersección de sub-espaciosS1 ( x, y) R2 / y 2x ( x, y) R2 /(x, 2x (1, 2) S1 S2 (0,0) 2 2S2 ( x, y) R / y 3x ( x, y) R /(x, 3x (1, 3) 33
  34. 34. Lo geométrico y algebraico Ejes coordenados, subconjuntos, Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas,Números Reales (objeto) distancia,… (esquema) (R2, +, •) Plano cartesiano Espacio Vectorial (Objeto R2) (Objeto) concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R operaciones usuales y no Usuales (esquema) Ejes coordenados, subconjuntos, puntos, relaciones, planos, rectas,… Espacio cartesiano (Objeto R3) R3 ( x, y , z ) / x R y R z R 34
  35. 35. Lo geométrico y algebraico Ejes coordenados, subconjuntos, Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas, distancNúmeros Reales (objeto) ia,… (esquema) (R2, +, •) Plano cartesiano Espacio Vectorial (Objeto R2) (Objeto) concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R operaciones usuales y no Usuales (esquema) Ejes coordenados, subconjuntos, puntos, relaciones, planos, rectas,… (R3, +, •) Espacio Espacio Vectorial Espacio Afín cartesiano (Objeto) (Objeto R3) R3 ( x, y , z ) / x R y R z R 35
  36. 36. Lo geométrico y algebraico Ejes coordenados, subconjuntos, Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas, distancNúmeros Reales (objeto) ia,… (esquema) (R2, +, •) Plano cartesiano Espacio Vectorial (Objeto R2) (Objeto) concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R operaciones usuales y no Usuales (esquema) Ejes coordenados, subconjuntos, puntos, relaciones, planos, rectas,… (R3, +, •) Espacio Espacio Vectorial Espacio Afín cartesiano (Objeto) (Objeto R3) R3 ( x, y , z ) / x R y R z R 36
  37. 37. BIBLIOGRAFÍAAndreoli, D. (2009). Análisis de los obstáculos en la construcción del concepto de Dependencia Lineal de vectores en alumnos de primer añode la universidad. Tesis de maestría no publicada. CICATA- IPN, México. Asiala, M., Brown, A., Devries, D.J., Dubinsky, E., Mathews, D. y Thomas, K. (1996). A framework for research and curriculum developmentin undergraduate mathematics education. In J. Kaput, A.H. Schoenfeld, E. Dubinsky (Ed.s) Research in collegiate mathematics education (2).1-32. Dorier, J. L. (1995a). A general outline of the genesis of vector space theory. HistoriaMathematica, 22(3), 227-261. Dorier, J. L. (1995b). Meta level in the teaching of unifying and generalizing concepts in mathematics. EducationalStudies inMathematics, 29(2), 175-197. Dorier, J. L. (1997) (ed.). L’enseignement de l’Algèbre Linéaire en Question. Grenoble: La penséeeSauvage editions. Dorier, J. L. (2000). Epistemological analysis of the genesis of the theory of vector spaces, in Dorier (ed.): On the Teaching of LinearAlgebra, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 3-81. Dorier, J. L. Sierpinska A. (2001). Research into the teaching and learning of linear algebra. In Derek Holton (Ed.), The teaching and Learningof Mathematics at University Level: An ICMI Study. Kluwer Academic Publisher. Printed in Netherlands. pp. 255-273. Dorier, J. y Sierpinska, A. (2002). The Teaching and Learning of Mathematics at University Level New ICMI Study Series, 2002, Volume7, Section 3, 255-273 Dubinsky, E. (1996). Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática universitaria. EducaciónMatemática. 8(3), 25 – 41. Harel, G. (1987). Variations and linear algebra contents presentations. For the learning of mathematics (7), 29-32.Harel, G. (1989a). Applying the principle of multiple embodiments in teaching linear algebra: aspects of familiarity and mode ofrepresentation. School Science and mathematics, 89, 49-57. Harel, G. (1989b). Teaching in learning linear algebra; difficulties and an alternative approach to visualizing concepts and processes. Focuson Learning Problems in Mathematics, 11(1-2), 139-148. Harel, G. (1990). Using geometric models and vector arithmetic to teach highschool students basic notions in linear algebra. InternationalJournal of Mathematics Education, Science and Technology, 21(3), 387-392. Kú, D., Trigueros, A. y Oktaç, A. (2008). Comprensión del concepto de base de un espacio vectorial desde el punto de vista de la teoríaAPOE. Educación Matemática 20 (2), 65- 89. Luzardo, D y Peña, A. (2006). Historia del álgebra lineal hasta los albores del siglo XX. Divulgaciones matemáticas. 14 (2), 150-173 Maturana, I., Parraguez, M, (2011). Los modos de pensamiento en que el concepto de dimensión finita de un espacio vectorial real escomprendido por estudiantes universitarios. XIII ConferenciaInteramericana de Educación Matemática CIAEM. Recife-Brasil. 37
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  39. 39. UN SALUDO DESDE CHILE A NOMBRE DEL EQUIPO DE DOCTORADO MUCHAS GRACIAS LOTA, CIUDAD MINERA; CUNA DEL ESCRITOR BALDOMERO LILLO Instituto de matemática Valparaíso

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