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La teoría APOE.           14
La teoría APOE.                      Visión de                Parraguez – TriguerosLa Teoría APOE fue creada por Ed Dubins...
APOE asume el concepto de abstracción reflexiva de Piaget,el cual originalmente propone describir el desarrollo delpensami...
Dubinsky utiliza la idea abstracción reflexiva, dada por Piaget,para describir cómo un individuo logra ciertas construccio...
El propósito central de Dubinsky con esta teoría es entendercómo las matemáticas se aprenden, bajo el supuesto que lasnoci...
Una acción es cualquier transformación física o mental de unobjeto para obtener otro objeto, cuando el sujeto reflexionaso...
La noción de esquema se adopta e interpreta como unacolección más o menos coherente de objetos y procesos yotros esquemas....
La descomposición genética Una forma de entender la construcción del conocimiento matemático enel aula es a través del mod...
Elementos matemáticos involucrados en     las diversas interpretaciones                            22
f : Dom ⊆ ¡ → Codom ⊆ ¡             Función                                        x       → y = f ( x)                   ...
Co-lineal   linealmente                         dependienteGeométrica                         α v1 + β v2 = v             ...
Base ordenada            coordenadas   Combinación                            linealMatricial     Teorema del             ...
• La descomposición genética en proceso de la      interpretación matricial del concepto             Transformación Lineal...
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Gracias…  29
Referencias BibliográficasDorier, J.-L.; Harel, G.;Hillel, J.; Robinet, J. Robert, A.; Sierpinska, A. etal. (1997). L’Ense...
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Presentacion Maturana I - PUCV

  1. 1. Transformaciones LinealesUna mirada desde la teoría APOE Programa de Doctorado Didáctica de la Matemática PUCV Trabajo realizado por I. Maturana Dirigido por la Dra. M. Parraguez 1
  2. 2. Valparaíso- Chile 2
  3. 3. Nos proponemos investigar las construcciones mentales quelos estudiantes universitarios ponen en juego para laconstrucción y o reconstrucción del concepto transformaciónlineal; reconoceremos en el concepto componentes de origengeométrico, funcional y matricial, entendiendo cada uno deestas componentes como diferentes interpretaciones de unamisma definición. 3
  4. 4. 4
  5. 5. Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Lafunción T: V  W se llama Transformación Lineal de Ven W si las dos propiedades siguientes son verdaderas paratodo u y v en V y para cualquier escalar c en K. T (u+v)= T (u) + T (v) T (cu)= c T (u) Introducción al Álgebra Lineal, Larson & Edwars. 2004 5
  6. 6. La definición anterior proponemos entenderla como una síntesis matemática de la linealidad, que captura en su forma mas simple, a un tipo especifico de transformaciones de figuras geométricas; por otra parte esta síntesis con carácter funcional evoluciona convergiendo a las matrices, por lo que pensamos es apropiado documentar un enfoque globalizador del concepto. 6
  7. 7. Analizaremos el concepto de transformación lineal considerando tres formas en que éste se presenta, donde cada una de ellas será descompuesta en sus elementos fundamentales y articulados por el concepto matemático de combinación lineal. 7
  8. 8. 8
  9. 9. De esta forma nuestro estudio propondrá, y basándose en lametodología propia de la teoría APOE, una descomposicióngenética, DG, del concepto transformación lineal queincorpore tres interpretaciones del concepto: geométrica –funcional – matricial. 9
  10. 10. En la mayoría de los cursos de matemáticas a niveluniversitario para carreras como: ingeniería, licenciaturas yalgunas pedagogías, es incorporada el álgebra lineal dentro desus planes y programas, uno de sus conceptos fundamentaleses el de Transformación Lineal. Dicho concepto entre otros no logra ser aplicado en forma adecuada en cursos posteriores, por ejemplo de ecuaciones diferenciales. 10
  11. 11. Dorier y su equipo hablan acerca del obstáculo del formalismo. Estos autores concluyen que: “para la mayoría de los estudiantes, el álgebra lineal no es más que un catálogo de nociones muy abstractas que nunca pueden ellos imaginarse” (Dorier, Robert, Robinet, y Rogalski, 1997, p. 116). 11
  12. 12. Así también, se ha reportado que el discurso matemáticoescolar del álgebra lineal privilegia el tratamiento algorítmicoa través de las llamadas técnicas de resolución, en desmedrode la comprensión conceptual de nociones básicas (Dorier & Sierpinska, 2001; Sierpinska et al., 2002). Otras investigaciones apuntan a las dificultades que los estudiantes tienen cuando están aprendiendo el concepto de espacio vectorial, y a la concepción esquema en sus tres niveles Intra, Inter y Trans, del concepto espacio vectorial (Parraguez & Oktaç, 2010) . 12
  13. 13. Sostenemos como hipótesis de investigación que elaprendizaje (la construcción) del concepto transformaciónlineal se alcanza de forma más profunda, si se transita entre lopráctico y lo teórico, considerando a la componentegeométrica como una forma de visualización de latransformación lineal, de modo que el estudiante tenga laoportunidad de recurrir primero a su conocimiento ingenuo, noformal, de graficación y luego, en un ambiente más conocido,preocuparse de la buena definición de la interpretaciónfuncional de trasformación lineal, para poder alcanzar deforma eficaz a la interpretación matricial de la transformaciónlineal, la cual constituye su forma más eficiente depresentación. 13
  14. 14. La teoría APOE. 14
  15. 15. La teoría APOE. Visión de Parraguez – TriguerosLa Teoría APOE fue creada por Ed Dubinsky en 1991 a partirde la epistemología genética de Piaget.El origen de la epistemología genética se encuentra bajo laconcepción que todo conocimiento está siempre en devenir, esdecir, pasa de un estado de menor conocimiento a otro máscompleto. 15
  16. 16. APOE asume el concepto de abstracción reflexiva de Piaget,el cual originalmente propone describir el desarrollo delpensamiento lógico infantil, pero en la teoría APOE seextienden los alcances de la abstracción reflexiva paracomprender el desarrollo del pensamiento matemáticoavanzado. 16
  17. 17. Dubinsky utiliza la idea abstracción reflexiva, dada por Piaget,para describir cómo un individuo logra ciertas construccionesmentales sobre un concepto matemático determinado, bajo lahipótesis que“el conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones matemáticas problemáticas en un contexto social, y construyendo acciones, procesos y objetos y organizándolos en esquemas con el fin de manejar las situaciones y resolver los problemas” (Dubinsky & McDonald, 2001, p. 276). 17
  18. 18. El propósito central de Dubinsky con esta teoría es entendercómo las matemáticas se aprenden, bajo el supuesto que lasnociones claves que construyen el conocimiento están, las de "acción, objetos, procesos y esquemas“ (APOE). 18
  19. 19. Una acción es cualquier transformación física o mental de unobjeto para obtener otro objeto, cuando el sujeto reflexionasobre una acción, él puede comenzar a establecer un controlconsciente sobre ésta.Entonces la acción es interiorizada y ésta se convierte en unproceso. Se define un objeto a partir de la encapsulación deuno o varios procesos. Un objeto puede ser des encapsuladopara obtener un proceso del cual surgió. 19
  20. 20. La noción de esquema se adopta e interpreta como unacolección más o menos coherente de objetos y procesos yotros esquemas.Los esquemas son las construcciones más complejas quepodemos determinar de un fragmento de conocimientomatemático, al mismo tiempo, son estructuras inacabadas queevolucionan.Una característica fundamental de los esquemas es sucoherencia, que alude a la capacidad del individuo paraestablecer si un esquema le permite solucionar un problemaparticular. 20
  21. 21. La descomposición genética Una forma de entender la construcción del conocimiento matemático enel aula es a través del modelo APOE (Asiala et al., 1996) que consideradistintas maneras de conocer los conceptos matemáticos a través deacciones, procesos, objetos y esquemas; y diferentes mecanismos deconstrucción de éstos: asimilación, encapsulación, coordinación,generalización, interiorización y reversión.Las distintas relaciones entre las dos componentes del modelo (concepciones o formas de conocer y mecanismos de construcción) se organizan en un mapa viable que llamamos descomposición genética de un concepto. 21
  22. 22. Elementos matemáticos involucrados en las diversas interpretaciones 22
  23. 23. f : Dom ⊆ ¡ → Codom ⊆ ¡ Función x → y = f ( x) ∀x ∈ Dom, ∃y ∈ Codom, talque y = f ( x )Funcional ( V , + ) grupo abeliano Espacio vectorial ¡ es cuerpo, cumplen con real, finito ∀α , β ∈ ¡ , ∀v1 ∈V (α + β )v1 = α v1 + β v1 dimensional ∀α ∈ ¡ , ∀v1, v2 ∈V α (v1 + v2 ) = α v1 + α v2 ∀α , β ∈ ¡ , ∀v1 ∈V αβ (v1 ) = ( αβ ) v1 ∀v1 ∈V 1(v1 ) = v1 23
  24. 24. Co-lineal linealmente dependienteGeométrica α v1 + β v2 = v α , β ∈ ¡ v1, v2 , v ∈ V No linealmente independiente co-lineal 24
  25. 25. Base ordenada coordenadas Combinación linealMatricial Teorema del cambio de base Teorema fundamental del álgebra lineal 25
  26. 26. • La descomposición genética en proceso de la interpretación matricial del concepto Transformación Lineal 26
  27. 27. 27
  28. 28. 28
  29. 29. Gracias… 29
  30. 30. Referencias BibliográficasDorier, J.-L.; Harel, G.;Hillel, J.; Robinet, J. Robert, A.; Sierpinska, A. etal. (1997). L’Enseignament de l’Algèbre Linéaire en Question (pp. 105-147), Grenoble: La Pensée Sauvage Éditions Larson, R.;Eduards, B.(2004). Introducción al Algebra Lineal.( pp. 355-396) Limusa Noviera Editores.Parraguez, M. (2009).Evolución Cognitiva del Concepto de EspacioVectorial. Tesis de doctorado, CICATA-IPN, D.F., México.Parraguez, M. Trigueros, M. (2012).Apuntes sobre la teoría APOE PUCV,CICATA-IPN, D.F., Chile-México.Trigueros, M., Oktac, A. (2010). ¿Cómo se Aprenden los Conceptos delAlgebra Lineal?Trigueros, M., Oktac, A. (2010). ¿Cómo se Aprenden los Conceptos delAlgebra Lineal? relme20.Uzuriaga, V.; Martinez, A. (2010). Lecciones de Algebra Lineal. Libro detrabajo para estudiantes y guía didáctica para docentes.(pp. 95-100).Pereira- Risaralda. Colombia. Williamson,R.;Crowell, R.; Trotter, H.(1973). Cálculo de FuncionesVectoriales (pp 24-33), Editorial Prentice/Hall International 30

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