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Presentacion Licera I - PUCV

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Ecología de los números reales en la enseñanza secundaria y en la formación del profesorado.

Ecología de los números reales en la enseñanza secundaria y en la formación del profesorado.

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  • 1. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ciencias - Instituto de Matemática Doctorado en Didáctica de la Matemática Ecología de los números reales Ecología de los números reales en la enseñanza secundaria y en la en la enseñanza secundaria y en la formación del profesorado formación del profesoradoTesista: Rosa Mabel LiceraDirectores: Josep Gascón (Universitat Autònoma de Barcelona) Marianna Bosch (Universitat Ramon Llull)Tutora: Astrid Morales
  • 2. Asumimos como marco teórico metodológico la TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO (TAD) Organización de la presentación:Problemática docente inicialLas tres dimensiones consideradas en nuestroproblema de investigación: - Epistemológica - Económica-institucional - Ecológica.Objetivo General 2
  • 3. Problemática docente inicial Problemática docente inicial7º identificación de π con 3,14
  • 4. Momento de transición entre dos etapas de la enseñanza secundaria (alrededor del noveno o décimo año de estudios):Etapa de las matemáticas Etapa de las matemáticas elementales (ME) avanzadas (MA)•Propuesta de sistematización del trabajo matemático alrededor delsistema de los números reales (Acuerdo general respecto a que elestudio de los números reales sea el punto de partida para acceder anuevos saberes).•Tema de estudio problemático para la mayoría de los profesores - El estatus de número de los irracionales es cuestionado - No se reconocen razones de ser para R - No puede establecerse una clara relación entre este conjunto y los otros conjuntos numéricos.(Scaglia 2000, Romero 1997, Artigue 1998, Robinet 1986, Margolinas 1985, 4 entre otros)
  • 5. Las actividades en torno a los reales no remiten a las prácticas habituales con números ni se organizan como una respuesta adecuada a situaciones problemáticas (¿Se suman las expresiones decimales no periódicas, cómo? ¿Cómo se comparan?). Este saber aparece “aportado por la cultura (matemática)” lo que impide cuestionar su validez, obligando al alumno -y al profesor- a aceptar lo instituido. Problemática docente: ¿Qué tengo que enseñar a mis alumnos de números reales y cómo debo hacerlo? En particular, ¿Para qué se necesita la explicitación de los números irracionales, dónde se necesitan? ¿Qué aporta al irracionales, trabajo matemático su consideración? 5
  • 6. Dimensiones de un problemaDimensiones de un problema didáctico didáctico (Gascón, 2011) (Gascón, 2011) -- Epistemológica Epistemológica -- Económica Económica -- Ecológica Ecológica 6
  • 7. Dimensión epistemológica del problema Dimensión epistemológica del problema didáctico didáctico En la formulación de todo problema didáctico el investigador asume,aunque sea implícitamente, una interpretación del ámbito matemático que está en juego. Desde la TAD se impone como principio metodológico básico, laexplicitación de dicha interpretación, lo que se constituye en el Modelo Epistemológico de Referencia (MER) relativo a la actividad matemática involucrada en el problema a abordar. (Bosch y Gascón, 2007) ¿Cuál es la amplitud del ámbito M más adecuada para plantear el problema didáctico relativo a la enseñanza de los números reales? 7
  • 8. Para dar respuesta a esta cuestión nos basamos en:•El modelo epistemológico general de la matemática quepropone la TAD que da cuenta tanto de las razones deser como del proceso de construcción y uso de lossaberes matemáticos en términos de praxeologías.•El modelo propuesto por BAUJAMA (2000) en torno alproblema de la medida de las magnitudes continuas.•Un estudio histórico epistemológico del saber númeroreal en el ámbito científico (Licera 2008).•La infraestructura matemática propuesta por Lebesgue(1975) que da cuenta de la ampliación del camponumérico más allá de los naturales. 8
  • 9. El ámbito matemático en el que situamos el problema didáctico encuestión abarca el problema de la medida de magnitudes continuas. Postulamos que los números reales forman parte de un modelo matemático que propone respuestas a dicho problema. (posición avalada por distintas investigaciones en el ámbito de la TAD, (posición avalada por distintas investigaciones en el ámbito de la TAD, Bronner, 1997; Bahujama 2000; Chevallard & Bosch, 2001; Sierra, 2006). Bronner, 1997; Bahujama 2000; Chevallard & Bosch, 2001; Sierra, 2006). Nuestro MER tiene por pretensión completar el propuesto por BAHUJAMA, 2000, desde la resignificación de “la actividad de medir” (relegada –en las instituciones escolares- casi exclusivamente a laaplicación de fórmulas de cálculo) y donde la razón de ser del nuevo sistema numérico tenga que ver con el desarrollo de técnicas potentes, fiables y económicas que resuelvan problemas relativos a las cantidades de magnitud continua. 9
  • 10. Dimensión económico-institucional Dimensión económico-institucional Abarca cuestiones problemáticas relativas a las praxeologíasmatemáticas y didácticas vigentes en los espacios institucionales involucrados en el problema de investigación. En particular nos preguntamos: ¿Cómo se consideran, describen e interpretan los números ¿Cómo se consideran, describen e interpretan los númerosreales en la escuela secundaria, en particular en la etapa MA? Esreales en la escuela secundaria, en particular en la etapa MA? Es decir, ¿cuál es el modelo epistemológico dominante de los decir, ¿cuál es el modelo epistemológico dominante de los números reales en esta etapa? números reales en esta etapa?¿En qué forma incide el modelo epistemológico dominante de los¿En qué forma incide el modelo epistemológico dominante de los números reales sobre la forma de organizar su estudio? ¿Qué números reales sobre la forma de organizar su estudio? ¿Qué tipo de actividades matemáticas aparecen efectivamente? ¿Qué tipo de actividades matemáticas aparecen efectivamente? ¿Qué tipo de actividades matemáticas -propias de los conjuntos tipo de actividades matemáticas -propias de los conjuntos numéricos (comparación, adición, multiplicación…)- no numéricos (comparación, adición, multiplicación…)- no aparecen? ¿Qué fenómenos didácticos se evidencian? aparecen? ¿Qué fenómenos didácticos se evidencian? 10
  • 11. Análisis praxeológico del campo numérico en el que se sustenta la práctica matemática correspondientes a MAMaterial empírico: libros de texto, de actual circulación, los diseños curricularescorrespondientes y entrevistas a profesores. Observamos la presencia persistente de fragilidades e inconsistencias en la actividad matemática que involucra la manipulación de números irracionales. A pesar que “se dice” que se trabaja con números reales la mayoría de las tareas (desarrolladas a modo de ejemplo o propuestas para el alumno) involucran solo números racionales. Cuando se trata con números irracionales –porque no se los puede evitar- se evidencia la ausencia de técnicas y tecnologías pertinentes, eficaces. Se adoptan las siguientes actitudes: 1) Se identifican con una aproximación racional desde un uso abusivo del signo “=”. 2) Se explicita que se dará una aproximación pero la cota de error se da en forma totalmente arbitraria. 3) Quedan indicados en términos de operaciones. Como las tareas no van más allá de calcular, no se hace nada con los resultados, este asunto es 11 totalmente irrelevante.
  • 12. En general se evidencia:Ausencia de cuestiones problemáticas que se constituyan en Razones deSer de la ampliación del campo numérico más allá de los racionales.Atomización de las tareas propuestas al interior del modelo numérico, tareasestereotipadas.Rigidez en las técnicas de comparación y cálculo, técnicas de corto alcance.Monumentalismo, mostración de contenidos cristalizados, presencia deelementos tecnológico-teóricos decorativos. Estos hechos aparecen como “síntomas” de un fenómeno didáctico- matemático latente. Esbozo provisional: El SEM en la escuela secundaria evita el tratamiento de la problemática que provoca el uso de los números irracionales. 12
  • 13. Dimensión ecológica del problema de investigaciónDimensión ecológica del problema de investigaciónNos preguntamos sobre la factibilidad de una organización didáctica quesupere el fenómeno descrito. Desde nuestro MER dicha organización deberíaarticular de manera funcional la actividad matemática en torno a la medida demagnitudes continuas y la ampliación progresiva del campo numérico. Estamos considerando la dimensión ecológica del problema, que Berta Barquero (2009) describe en los siguientes términos: …la TAD se pregunta cuáles son las condiciones quepermiten, facilitan o favorecen que determinadas actividadesmatemáticas y didácticas puedan desarrollarse (existir, tener lugar, o “vivir”) en un determinado entorno institucional (la escuela primaria, la escuela secundaria, la universidad, unentorno profesional determinado o la sociedad en general) y cuáles son las restricciones que dificultan, entorpecen o incluso impiden la puesta en práctica de estas actividades. 13
  • 14. Desde la TAD se sitúa el origen de dichas restricciones en las instituciones ,en el tipo de conexiones (o falta de ellas) entre todos los niveles de la escala de codeterminación didáctica (Chevallard 2001, 2005). En este marco nos preguntamos: ¿En qué niveles surgen las restricciones que dificultan o impiden que las praxeologías matemáticas escolares en torno a los números reales incluyan elementos tecnológico- teóricos capaces de producir y justificar técnicas quepromuevan un uso funcional de los números reales? ¿Cuáles son esos elementos? 14
  • 15. Algunas hipótesis respecto al modelo epistemológico didáctico dominante en el SEM ensecundaria relativo al sistema de los números reales:Relación estrictamente “formal” (esto es, no de manera funcional) delsistema de los números reales con otras áreas de la matemática escolar.En particular, los reales no se vinculan al problema de la medida demagnitudes formando parte de organizaciones matemáticas que denrespuesta a alguna cuestión planteada en este ámbito.Predominio de una interpretación de los números reales muyinfluenciada por su caracterización axiomática. Esta situación no escasual, responde a un punto de vista dominante en la institución escolarque tiende a adoptar como modelo epistemológico de los saberes aestudiar –en forma implícita, naturalizada y por lo tanto incuestionable- elvigente en el ámbito científico, donde las cuestiones que han idoconstituyéndose en razones de ser del origen y desarrollo de los saberesse han ido “olvidando”.Ausencia en Secundaria de una tecnología mínima para dar sentido,construir, modificar, interpretar, justificar, relacionar, cuestionar técnicasen torno a la práctica matemática efectiva con números reales. 15
  • 16. El fenómeno de evitación planteado y la caracterización de las restricciones institucionales que lo producen se constituyen en un problema importante en SEM y consecuentemente se traduce en un problema de la profesión docente: ¿Puede vivir en alguna institución un conocimiento con carácter “funcional” de los números reales?¿En qué sentido sería funcional una praxeología relativa a los números reales? Si es así, ¿Qué tareas y técnicas se requieren para el trabajo con los irracionales? ¿Qué tecnología mínima se requiere para describir, justificar, interpretar, esta práctica matemática? En particular, ¿Hasta qué punto sería posible que viviese en secundariauna forma de entender los números reales alternativa a la dominante que permitiese una actividad matemática que no provoque el conjunto de hechos indeseables descritos? ¿Qué argumentos juegan a favor o en contra de la presencia de los 16 irracionales en la enseñanza secundaria?
  • 17. La formación matemática clásica (profesorado) no da respuestas matemáticas a este problema profesional. Lo que se hace habitualmente es extraer de la matemática sabia las OM presentes en la formación de profesores. En este trabajo nos proponemos un camino distinto: Objetivo general: Objetivo general: Construir, experimentar y evaluar una praxeología Construir, experimentar y evaluar una praxeología matemática para la enseñanza (en la formación matemática para la enseñanza (en la formación inicial del profesorado de matemáticas) que tome inicial del profesorado de matemáticas) que tome como cuestión inicial el problema profesional como cuestión inicial el problema profesional planteado. planteado. Esto implica que dicha construcción permita delinearcaracterísticas de una praxeología a enseñar para el ámbito de la escuela media que supere el fenómeno planteado.17
  • 18. Tanto la praxeología para la enseñanza como la praxeología a enseñar se piensan desde la noción de Recorrido de Estudio e Investigación (REI) (Chevallard, 2004 y2005) que plantea una epistemología escolar centrada en el cuestionamiento del mundo en contra del punto de vista monumentalista. La nueva epistemología escolar representada por los REI pone en primerplano la búsqueda de las razones de ser de las organizaciones matemáticas estudiadas. Resaltamos que los REI como herramienta teórica y metodológica ya haempezado a dar sus frutos, como lo muestran los trabajos de tesis doctorales de Rodríguez (2005), Sierra (2006), Barquero (2009) y Ruiz-Munzón (2010). 18
  • 19. En este momento estamos revisando y completando los estudios realizados correspondientes a las dos primeras dimensiones planteadas.También estamos avanzando en la delimitación del REI para la formación del Profesorado en Matemática. Gracias!!!
  • 20. Referencias bibliográficasBarquero, B. (2009). Ecología de la modelización matemática en la enseñanza universitaria de lasmatemáticas, Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.BAHUJAMA (2000): Análisis didáctico del artículo “El peso de un recipiente. Estudio de losproblemas de la medición en CM” en el marco de la Teoría Antropológica; XIV Jornadas del SI-IDM, Cangas do Morrazo.Bosch, M., Fonseca, C. & Gascón, J. (2004). Incompletitud de las Organizaciones MatemáticasLocales en las instituciones escolares. Recherches en Didactique des Mathématiques, 24(2-3),205-250.Bronner, A. (1997). Etude didactique des nombres réels, idécimalité et racine carrée. Tesisdoctoral. Université J. Fourier, Grenoble.Chevallard, Y. (1985/1991). La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné (2.ªedición) Grenoble: La Pensée Sauvage.Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: Perspectives apportées par uneapproche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12 (1), 73-112.Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique dudidactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2), 221-266.Chevallard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelleépistémologie scolaire. Journées de didactique comparée 2004 (Lyon, 3-4 mai 2004).http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=45Chevallard, Y. (2005). La place des mathématiques vivantes dans l’éducation secondaire :transposition didactique et nouvelle épistémologie scolaire. En : Ducourtioux, C. & Hennequin, P.-L.(Éds.) La place des mathématiques vivantes dans l’enseignement secondaire. Publications del’APMEP Nº 168 (pp. 239-263). Paris : APMEP. 20
  • 21. Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre laenseñanza y el aprendizaje, Barcelona: ICE UB/Horsori.Gascón, J. & Bosch, M. (2007). La miseria del “generalismo pedagógico” ante el problema de laformación del profesorado. En Ruiz-Higueras, L., Estepa, A. & García, F. J. (Eds.) Sociedad,Escuela y Matemáticas. Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (pp. 201-240).Jaén: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Jaén.Gascón, J. (2011). Las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico. El ccaso delálgebra elemental. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. 14 (2):203-231.Lebesgue, H. (1975). La mesure des grandeurs, Libraire scentifique et technique. Paris.Licera, Rosa Mabel (2008). La construcción del número real y el problema de la medida demagnitudes continuas en la enseñanza media. Análisis epistemológico y didáctico, Tesis deMaestría. Universidad Nacional de Río Cuarto.Margolinas, C. (1985). Estudios en didáctica de las matemáticas, un balance sobre losconocimientos de los números después de la clase de 4ª, el número en todos sus estados.Robinet, J. (1986). Les reels: quels modèles en ont les élèves? Cahier de didactique desmathematiques, 21.Romero Albadalejo, (1997). La introducción del número real en enseñanza secundaria: unaxperiencia de investigación-acción, Tesis doctoral. Colección MATHEMA, Editorial Comares.Granada.Ruiz-Munzón, N. (2010). La introducción del álgebra elemental y su desarrollo hacia lamodelización funcional, Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.Scaglia, S. (2000): Dos conflictos al representar números reales en la recta (Tesis doctoral)Universidad de Granada.Sierra, T. (2006). Lo Matemático en el diseño y análisis de Organizaciones Didácticas. LosSistemas de Numeración y la Medida de Magnitudes Continuas, Tesis Doctoral. Universidad 21Complutense de Madrid.

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