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Guia 2 expresiones algebraicas2013
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Guia 2 expresiones algebraicas2013

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GUÍA EXPRESIONES ALGEBRAICAS PERIODO 2

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  • 1. INSTITUCION EDUCATIVA OCTAVIO CALDERON MEJIAÁREA: MATEMATICAS GRADO: OCTAVOTEMA:UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICASGuía Nº 2 ¿Qué es el algebra y Cómo se opera en este nuevo mundo matemático?PROFESOR: JERSON ANDRES PARRA CARDONATIEMPO:Fecha de Iniciación: Fecha de finalización:Logro • Realiza operaciones básicas con polinomios algebraicos utilizando laspropiedades o las reglas correspondientes para cada operación.Indicadores delogro• Reconoce una expresión algebraica, identificando sus términossemejantes y reduciéndola al máximo.• realiza correctamente operaciones básicas entre polinomios; utilizandolas propiedades en cada operación.• resuelve y aplica los productos notables en problemas y ejerciciosRecomendación Para usted es de suma importancia formarse un hábito de estudio eficiente,pues esto le significará el éxito en la internalización del conocimiento adquiridoy le brindará la posibilidad de estudiar y rendir académicamente de formatranquila.Estudiar no significa "aprender de memoria" algún tópico específico, pues lamemoria es frágil y con toda seguridad que pasado el período académicoolvidará lo que según usted "estudió".Usted no debe conformarse con "estudiar" para una prueba o certamen. Elestudiante no debe "estudiar" para una nota, es mas no debe estudiar para quelo vean. Usted debe realmente preocuparse de estudiar para aprender, puesasí estará manejando la información y las herramientas que utilizará despuésen grados superiores y posteriormente en su desarrollo profesional.Con esta recomendación pretendo entregar una orientación sobre cómoestudiar en forma eficiente, reconociendo que no existe una norma general,sino que cada persona debe adecuar su propio hábito de estudio. Además,entrega algunos consejos de cómo preparar y rendir en la sustentación de laguía en forma adecuada.Los siete puntos siguientes resumen las técnicas más importantes a tener encuenta en el desarrollo de la guía:1. Dónde estudiar 2. Revise el texto completo. 3. Lea buscando las ideasprincipales. 4. Cuestiónese a medida que lea.5. Tome notas o apuntes (subraye sólo si el texto es suyo).
  • 2. A. Actividades Básicas1° CUANTO SABEMOSLa potenciación es una forma abreviada de escribir la multiplicación de factoresiguales. La operación inversa a esta es la radicación. Para abreviar la escritura, seescribe el factor que se repite (base) y en la parte superior derecha del mismo se coloca¿el número de veces que se multiplica (exponente).Propiedades de la potenciaciónOPERACIONES INVERSASPOTENCIACIÓN RADICACIÓNPropiedadesPropiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo2° APRENDAMOS COSAS NUEVAS.El lenguaje algebraicoEn lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de al–khwarizmi,al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje algebraico consta principalmentede las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función delenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar lasdiferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo:si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra aindique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la mismamanera que a significa un número cualquiera de la numeración.También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamientode problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.
  • 3. The algebraic language In algebraic language is born in the Moslem civilization in theperiod of to - khwarizmi, who is considered to be the father of the algebra. The algebraiclanguage consists principally of the letters of alphabet and some Greek words. Theprincipal function of algebraic language is to structure a language that helps to generalizethe different operations that develop inside the arithmetic, for example: if we want to addtwo numbers any it is enough to say a + b; where the letter to indicates that it is a numberany of the numeration that we know, b in the same way as to a number means any of thenumeration.Operaciones con Lenguaje ÁlgebraicoAqui se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunesque involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquierrazonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamenteen estas definiciones: un número cualquierase puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:a = un número cualquierab = un número cualquierac = un número cualquiera... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto. la suma de dos números cualesquieraa+b = la suma de dos números cualesquierax+y = la suma de dos números cualesquiera la resta de dos números cualesquieraa-b = la resta de dos números cualesquieraab = el producto de dos números cualesquiera el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos númeroscualesquiera)a/b= el cociente de dos números cualesquiera la semisuma de dos números cualesquiera
  • 4. (a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera el semiproducto de dos números cualesquiera(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquieraTÉRMINO ALGEBRAICO: es una expresión algebraica que consta de uno o de variossímbolos, no separados entre sí por los operadores aditivos + o - . ejemplos, sontérminos: a; 2x; 3ab; - 5mn; etc. En un término se distinguen los siguienteselementos: SIGNO: S ( +, -) COEFICIENTE: parte numérica. PN PARTE LITERAL: es la variable o variables de la expresión, (las letras) EXPONENTE DE LA PARTE LITERAL: EPLGRADO DE UN TÉRMINO: puede ser de dos clases: ABSOLUTO Y RELATIVO.GRADO ABSOLUTO: es la suma de los exponentes de la parte literal.GRADO RELATIVO: es el exponente que tiene cada letra en el término.CLASES DE TÉRMINOS:Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo con el número de términos quetengan.MONOMIO: es una expresión algebraica que consta de un solo término, como: ax, -25mn, 4/5Y. Cuando un monomio no tiene coeficiente numérico es 1 si no lleva signo yes -1 si delante lleva el signo menos.BINOMIO: es un polinomio que consta de dos términos, como: a + b; 5x - 12yTRINOMIO: es un polinomio que consta de tres términos, como: 3mn + 2xy - 3yPOLINOMIO: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: a +b + c; 8mn + 6mnx - 5/7 mxy.GRADO DE UN POLINOMIO EN UNA VARIABLE: es el exponente mayor de la variable.De ejemplos:GRADO DE UN POLINOMIO EN DOS O MAS VARIABLES: es la mayor suma de losexponentes de las variables en cada término. De ejemplos:SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ILa suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando orestando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse envertical y en horizontal o en fila.Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios: P(x) = 7x2– 5x4+3x – 15 yQ(x) = 5x3– 7 + 9x2– 6x
  • 5. • En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen unosobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términossemejantes:P(x) = –5x4+ 0x3+ 7x2+ 3x – 15Q(x) = 5x3+ 9x2– 6x – 7________________________________–5x4+ 5x3+ 16x2– 3x – 22• En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, enorden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de laoperación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes:P(x) + Q(x) = (–5x4+ 0x3+ 7x2+ 3x – 15) + (5x3+ 9x2– 6x – 7) == –5x4+ 5x3+ 16x2– 3x – 22P(x) – Q(x) = (–5x4+ 0x3+ 7x2+ 3x – 15) – (5x3+ 9x2– 6x – 7) == –5x4– 5x3– 2x2+ 8x – 8VALOR NUMÉRICOPara hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se remplaza cada variable porel valor que se le haya asignado y luego se efectúan las operaciones indicadas.223 45bcabcba −+ si 3=a , 2=b y 2−=cEn forma análoga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables enprimer lugar:2232232)2(4)2(2352345−⋅−−⋅⋅⋅+⋅=−+bcabcbaLuego realizamos las operaciones correspondientes1046054444602272)2(4)2(23523 223−=−−+=⋅−−+⋅=−⋅−−⋅⋅⋅+⋅Multiplicación de expresiones algebraicas
  • 6. Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la mássimple de ella: a saber, la multiplicación de monomio por monomio. Estase realiza multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parteliteral, aplicando las propiedades de las potencias. Por ejemplo,multipliquemos los monomios:(i) 6324222415.)5)(3()5()3( yxyyxxyxxy −=−=⋅−(ii)433323241324321324321cbacabbbcabcabcba ==⋅⋅(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 435632 ppppp =−⋅⋅⋅− −Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad dela distributividad de la multiplicación con respecto a la adición, esto es:acbcabaacabcba )()( +=+=+=+Algunos ejemplos de multiplicación de monomio por binomio son lossiguientes:(i) En el rectángulo de la figura, determinar su área.Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de su largo por suancho, entonces tenemos:Ärea rectángulo es ( ) .15535535 2322baaabaaaabaa +=⋅+⋅=+⋅=Para multiplicar un binomio por un binomio, también utilizamos lapropiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a laadición. Esto es:bdbcadacdcba +++=+⋅+ )()(Por ejemplo:a5aba 32+
  • 7. ( ) 223333)3( yyxxyxyyxyyxxxyxyx −−+=⋅−⋅−⋅+⋅=+⋅−Luego, reduciendo términos semejantes, nos queda: 2223 yxyx −−3° AFIANCEMOS LO APRENDIDOEL LENGUAJE ALGEBRAICO1. Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:a) El doble de un número. b) El cuadrado de un númeromenos tres.c) La suma de dos números. d) La diferencia de loscuadrados de dos números.e) La mitad de un número. f) El cuádruplo de un número.g) La suma de un número y su cuadrado. h) El doble de un número menoscinco.i) La tercera parte de un número. j) El cuadrado de la suma de dosnúmeros.k) El doble de la suma de tres números. l) El triple de la raíz cuadrada deun número.m) La suma de tres números consecutivos. n) Una cuarta parte de la suma dedos números.ñ) Un número aumentado en cinco unidades. o) El doble de un número menosel triple de otro.p) Las tres cuartas partes de un número. q) El cubo de la diferencia de dosnúmeros.Realiza las siguientes operaciones:a) (8x2– 2x + 1) – (3x2+ 5x – 8) =b) (2x3– 3x2+ 5x – 1) – (x2+ 1 – 3x) =c) (7x4– 5x5+ 4x2–7) + (x3– 3x2– 5 + x) – (–3x4+ 5 – 8x + 2x3) =
  • 8. =++−−++−++++− 232234323232326112316741xxxxxxxxxd)e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =f) (xy2–3x2– y2+ x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2– y2– 5x2) =B. Actividades de Practica. Dados los polinomios P(x) = –7x4+ 6x2+ 6x + 5, Q(x) = –2x2+ 2 + 3x5y R(x) = x3–x5+3x2, calcula:a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x)b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x)c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS1. Realiza las siguientes operaciones:a) (8x2– 2x + 1) – (3x2+ 5x – 8) =b) (2x3– 3x2+ 5x – 1) – (x2+ 1 – 3x) =c) (7x4– 5x5+ 4x2–7) + (x3– 3x2– 5 + x) – (–3x4+ 5 – 8x + 2x3) =Ejercicios propuestos:Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes:(i) ( ) ( ) ( )1102325 +−−−−−− pppp(ii) ( ) ( )zxyzyx −−−−+(iii) ( ) ( ){ } mmnnmnm 4353 +−−−+−−(iv) ( ) ( )[ ]xyxxxyx −−−−−− 536253(v) ( ){ } xxxxxx ++−−+− 23322(vi) ( )[ ]{ }baabbaabbaab 22222223 −−+−−−(vii)−−+−+−−4543472238541aaaa(viii) ( ) ( )[ ] zzzz 221536 −−−++−−−
  • 9. C. APLIQUEMOS LO APRENDIDOMultiplicar las siguientes expresiones algebraicas y reducir términossemejantes si es posible.(i) ( ) ( ) ( )3221452,0 xyyxxy ⋅⋅ −−−(iv) Determina las áreas de las figuras siguientes:a)b)(v) ( )( )12947 −+ pp(vi) ( ) ( )4242 22+−⋅++ aaaa(vii) −+−⋅ −−−− 21122316383443nmnmmnmn(x) ( ) ( )11 2323+++⋅−−− xxxxxx(xi) ( ) ( )yyyy +−⋅− 22234x3x522y24yxx −2x4
  • 10. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante:a)b)c)d)e)D. PARA SABER MASReforcemos lo aprendido Taller 1: Expresiones Algebraicas.A) Traduce a lenguaje algebraico:1. El triple de un número.2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que lecorresponde:1) La suma de los cuadrados de dos números2) El espacio recorrido por un móvil es igual a suvelocidad por el tiempo que está en movimiento3) El área del circulo de radio x (x +y)2= x2+ y2+ 2xy4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y5E = v .t5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a lasuma de sus cuadrados más el doble de su producto x2+ y2
  • 11. 6) Media aritmética de tres números πx2C) Para cada uno de los siguientes polinomios determine:a. Gradob. Número de términosc. Ordenar en forma descendenteA = 2x3+ 4x5- 7x2- 1B = 5x2- 6x + 3x4+ 9x3C= 8x + 5 - 2x2+ 3x4- x5D= 8x3- 4x4- 6x + 5D) Usando los polinomios del punto anterior determine :a. A + Bb. 2A + 3Bc. -3C + Dd. 2B - 3A + 4CA*BC*DE) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetroF) Realizar las siguientes operaciones algebraicas y simplificar al máximo.3(x3–5x +7) – (2x3+6x2+11x+4)2x (4x2–6x +2) +3 (5x2–3x-4)- 14 x2( ) ( )[ ]xyxxxyx −−−−−− 5362531. PROFUNDICEMOSx2y3yy4x3x
  • 12. Productos notables: Productos notables es el nombre que recibenaquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede serescrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertasreglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchasmultiplicaciones habituales.Binomio al cuadradoBinomio de suma al cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) esigual es igual al cuadrado del primer término, más el dobleproducto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.(a + b)2= a2+ 2 · a · b + b2(x + 3)2= x 2+ 2 · x ·3 + 3 2= x 2+ 6 x + 9Binomio de resta al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) esigual es igual al cuadrado del primer término, menos el dobleproducto del primero por el segundo, más el cuadradosegundo.(a − b)2= a2− 2 · a · b + b2(2x − 3)2= (2x)2− 2 · 2x · 3 + 3 2= 4x2− 12 x + 9Producto de dos binomios que tienen un término común(x + a) (x + b) = x2+ ( a + b) x + ab(x + 2) (x + 3) == x2+ (2 + 3)x + 2 · 3 == x2+ 5x + 6Suma por diferencia: Una suma por diferencia es igual a diferenciade cuadrados.(a + b) · (a − b) = a2− b2(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2− 52= 4x2− 25
  • 13. Binomio al cubo: Binomio de suma al cuboUn binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, másel triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple delprimero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.(a + b)3= a3+ 3 · a2· b + 3 · a · b2+ b3(x + 3)3= x 3+ 3 · x2· 3 + 3 · x· 32+ 33= x 3+ 9x2+ 27x + 27Binomio de resta al cubo: Un binomio al cubo (resta) es igual al cubodel primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo,más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubodel segundo.(a − b)3= a3− 3 · a2· b + 3 · a · b2− b3(2x - 3)3= (2x)3- 3 · (2x)2·3 + 3 · 2x· 32- 33== 8x 3- 36 x2+ 54 x - 27Trinomio al cuadrado: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadradodel primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado deltercero, más el doble del primero por el segundo, más el dobledel primero por el tercero, más el doble del segundo por eltercero.(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c(x2− x + 1)2== (x2)2+ (−x)2+ 12+2 · x2· (−x) + 2 x2· 1 + 2 · (−x) · 1 == x4+ x2+ 1 − 2x3+ 2x2− 2x == x4− 2x3+ 3x2− 2x + 1Suma de cubos: a3+ b3= (a + b) · (a2− ab + b2)8x3+ 27 = (2x + 3) (4x2- 6x + 9)Diferencia de cubos: a3− b3= (a − b) · (a2+ ab + b2)8x3− 27 = (2x − 3) (4x2+ 6x + 9).
  • 14. Ahora practica realizando el anexo sobre productos notablesaplicándolo a areas y volúmenes.E. AUTOCONSTRUCCION DEL CONOCIMIENTO.Ahora con tus compañeros e instrucción del docente realiza un algebra geométrica,con el fin de materializar las operaciones algebraicas trabajadas durante esteperiodo. Juega, aprende y desarrolla tu pensamiento espacial con esta divertidaforma de sumar áreas. Desarrolla estas fichas con material reciclable, dale unamano al planeta. Por el uso racional del, tiempo, espacio y recursos.BIBLIOGRAFÍA: CARO E. Victor y otros. MATEMATICA 3 ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA. Pime, Editores. Medellín pp256. URIBE C, Julio Alberto y otro. MATEMATICA EXPERIMENTAL. 8°. UROS EDITORES. Pp 455. BALDOR, Aurelio. ALGEBRA ELEMENTAL. PUBLICACIONES CULTURAL, México 1992. JIMENEZ R, Nelson. y otros. NUEVO PENSAMIENTO MATEMATICO 8°. Libros y libros, Bogotá. 2004. LOZANO, ALVAREZ y otros. MATEMAICAS 8. SIGMA. VICENS VIVES. Educación básica secundaria octavogrado.327 p.http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegosdelogica/enunciados.htmlhttp://www.sectormatematica.cl/educbasica.htmEn los recursos para la construcción de material didáctico se pueden utilizar: cajas dehuevos, cartón, botellas pet, etc.AUTOCONTROL DE PROGRESO INDIVIDUALNombre______________________________________________ Grado_______Heteroevaluación40%Coevaluación 30 % Autoevaluación 30%Def/tiva.Recup/ciónFecha1.21.21.31.4Promedioo%1.21.2.1.2.1.2.Promedio%1.21.2.1.2.1.2.Promedio%4.0Actividad4.04.04.0Valoración
  • 15. ____________________________________Firma acudiente

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