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    2 estimación 2 estimación Document Transcript

    • UNIDAD2 EstimaciónOBJETIVO EDUCACIONAL Al término de esta unidad el alumno: Aplicará los fundamentos de la teoría de estimación en problemas que requieran el cálculo del tamaño de la muestra, con los diferentes intervalos de confianza de la media, proporción y varianza. Determinará el tamaño de la muestra representativa.IntroducciónLa teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos con los cuales se puedenrealizar generalizaciones acerca de una población. La tendencia actual es distinguir entre elmétodo clásico para estimar un parámetro poblacional, por medio del cual las inferencias sebasan en la información obtenida de una muestra aleatoria seleccionada de la población, y elmétodo bayesiano, el cual utiliza el conocimiento subjetivo previo acerca de la distribución deprobabilidad con los parámetros desconocidos, junto con la información proporcionada por losdatos muestrales. La inferencia estadística puede dividirse en dos áreas principales: estimacióny pruebas de hipótesis.Necesidad de la EstimaciónLas fábricas a menudo deben evaluar las características de desempeño de un producto tomandoen cuenta aspectos como la resistencia promedio, el peso o el tiempo de vida. Las grandestiendas de departamentos deben predecir la demanda de diversos artículos. Así, la estimacióncomprende: la valoración de inventarios, la estimación de costos de proyectos, la evaluación denuevas fuentes energéticas, la predicción del desempeño en el trabajo y la estimación detiempos estándar de tareas asignadas. 13
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________Características de un buen estimador. Propiedades de los Estimadores Un estimador es una regla que establece cómo calcular una estimación basada en las mediciones contenidas en una muestra. Estimador Insesgado. Un estadístico es un estimador insesgado del parámetro, sí E ( ˆ ) Eficiencia Relativa. Si se consideran todos los estimadores insesgados posibles de algún parámetro , aquel con la varianza más pequeña es el estimador más eficiente. Estimador Consistente. El estimador insesgado ˆ para es un estimador consistente de si limn E( ˆ ) y límn V ( ˆ ) 0 Estimador suficiente. Sea X 1 , X 2 ,  , X n una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad con un parámetro desconocido . Se dice que el estadístico U g( X 1 , X 2 , X n ) es suficiente para sí la distribución condicional de X 1 , X 2 ,  , X n dado U no depende de .2.1 Estimación de mediasIntervalo de confianza para , conociendo . Si x es la media de una muestra aleatoria de 2tamaño n de una población con varianza conocida , el intervalo de confianza del (1 ) 100%para es x z / 2 x z / 2 n ndonde z /2 es el valor de z a la derecha del cual se tiene un área de /2Teorema 2.1 Sí se utiliza x como una estimación de , se puede tener una confianza del (1 )100% de que el error no excederá de E z /2 / nTeorema 2.2 Sí se utiliza x como una estimación de , se puede tener una confianza del (1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el 2 tamaño de la muestra es n z /2 /E 14 José Armando Rodríguez Romo
    • _____________________________________________________________________________________ EstimaciónIntervalo de confianza para , con desconocida ( n 30 ). Si x y s son la media y ladesviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con 2varianza desconocida , el intervalo de confianza del (1 )100% para es s s x z / 2 x z / 2 n ndonde z /2 es el valor de z a la derecha del cual se tiene un área de /2Intervalo de confianza para , con desconocida ( n < 30 ). Si x y s son la media y ladesviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con 2varianza desconocida , el intervalo de confianza del (1 )100% para es s s x t / 2 ,v x t / 2 ,v n ndonde t /2,v es el valor de t con v = n – 1 grados de libertad, a la derecha del cual se tiene unárea de /2Ejemplo 1 Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de una marca de pintura látex: 3.4 2.5 4.8 2.9 3.6 2.8 3.3 5.6 3.7 2.8 4.4 4.0 5.2 3.0 4.8Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal,encuentre un intervalo de confianza del 99% para el tiempo promedio de secado de esta marcade pintura látex.Solución n xi i 1 3.4 2.5 4.8  4.8La media muestral de los datos es x 3.7867 n 15 n n 2 2 x i xi i 1 i 1 228.28 (56.8 ) 2y su desviación estándar s 0.9709 n 1 14 José Armando Rodríguez Romo 15
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________De la Tabla T.3 del apéndice encontramos el valor de t 0.995 , 14 2.98 , entonces un intervalo deconfianza del 99% para la media está dado por s s x t / 2 ,v x t / 2 ,v n n 0.9709 0.9709 3.7867 2.98 3.7867 2.98 15 15que se reduce a 3.0396 4.5337 EJERCICIOS 2.11. Un fabricante produce focos que tienen un b) ¿Qué se puede afirmar con un 98% de promedio de vida con distribución confianza acerca del posible tamaño aproximadamente normal y una desviación del error si se estima que la estatura estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 promedio de todos los estudiantes es focos tiene una vida promedio de 780 174.5 centímetros? horas, encuentre un intervalo de confianza 4. Una muestra aleatoria de 100 propietarios del 96% para la media poblacional de todos de automóvil indica que, en el estado de los focos que produce esta empresa. Virginia, un automóvil recorre un2. Una máquina de refrescos está ajustada de promedio de 23500 kilómetros por año tal manera que la cantidad de líquido con una desviación estándar de 3900 despachada se distribuye kilómetros. aproximadamente en forma normal con a) Determine un intervalo de confianza del una desviación estándar igual que 0.15 99% para la cantidad promedio de decilitros. Encuentre un intervalo de kilómetros que un automóvil recorre confianza del 95% para la media de todos anualmente en Virginia. los refrescos que sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un b) ¿Qué se puede afirmar con una contenido promedio de 2.25 decilitros. confianza del 99% respecto al posible tamaño del error si se estima que la3. Las estaturas de una muestra aleatoria de cantidad promedio de kilómetros 50 estudiantes mostraron una medía de recorridos por los propietarios de 174.5 centímetros y una desviación vehículos en Virginia es de 23500 estándar de 6.9 centímetros. kilómetros al año? a) Determine un intervalo de confianza del 5. ¿Qué tan grande se requiere que sea una 98% para la estatura promedio de muestra en el ejercicio 1 si se desea tener todos los estudiantes. una confianza del 96% de que la media 16 José Armando Rodríguez Romo
    • _____________________________________________________________________________________ Estimación muestral esté dentro de las 10 horas del gramos. Suponiendo que los contenidos de promedio real? azúcar están distribuidos normalmente, determine un intervalo de confianza del 95%6. ¿Qué tan grande se requiere que sea una para el contenido promedio de azúcar de muestra en el ejercicio 2 si se desea tener porciones sencillas de dicho cereal. una confianza del 95% de que la media muestral estará dentro de 0.09 decilitros 10. Una máquina produce piezas metálicas de del promedio real? forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99,7. Un experto en eficiencia desea determinar 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre el tiempo promedio que toma el hacer tres un intervalo de confianza del 99% para el perforaciones en una cierta pieza metálica. diámetro promedio de piezas de esta máquina, ¿Qué tan grande se requiere que sea la si supone una distribución aproximadamente muestra si se necesita una confianza del normal. 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos del promedio real? 11. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una Asuma que, por estudios previos se sabe marca determinada tiene un contenido que = 40 segundos. promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos.8. Un investigador de la Universidad UCLA afirma Determine un intervalo del 99% de que el ciclo de vida de los ratones puede confianza para el contenido promedio real prolongarse hasta en 25% cuando las calorías de nicotina de esta marca de cigarros en en su alimentación se reducen particular, asumiendo que la distribución aproximadamente un 40% desde el momento de los contenidos de nicotina son en que se les desteta. Las dietas con aproximadamente normales. restricciones son enriquecidas a niveles normales con vitaminas y proteínas. 12. Se toma una muestra aleatoria de 12 Suponiendo que, por estudios previos, se sabe agujas de tejer en un estudio de la dureza que = 5.8 meses, ¿cuántos ratones deben Rockwell de la cabeza las agujas. Se incluirse en la muestra si se desea tener una realizan las mediciones de la dureza para confianza del 99% de que el ciclo promedio de cada una de las 12 piezas, de lo que se vida de la muestra estará dentro de los 2 meses obtiene un valor promedio de 48.50 con del promedio poblacional para todos los ra- una desviación estándar de 1.5. tones sujetos a esta dieta reducida? Suponiendo que las mediciones están normalmente distribuidas, determine un9. El consumo regular de cereales preendulzados intervalo de confianza del 90% para la contribuye a la caída de los dientes, dureza Rockwell promedio. enfermedades del corazón y otros procesos degenerativos de acuerdo con estudios del Dr. 13. Una muestra aleatoria de 12 alumnas W. H. Bowen del National Institutes of Health graduadas de una escuela secretarial (Instituto Nacional de Salud) y el. Dr. J. Yudbcn. mecanografío un promedio de 79.3 profesor de nutrici6n y dietética en la palabras por minuto con una desviación Universidad de Londres. En una muestra alea- estándar de 7.8 palabras por minuto. toria de 20 porciones sencillas de un cereal el Suponiendo una distribución normal para contenido promedio de azúcar fue de 11.3 la cantidad de palabras mecanografiadas gramos con una desviación estándar de 2.45 por minuto, encuentre un intervalo de José Armando Rodríguez Romo 17
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________ confianza del 95% para el número 15. Se registraron las siguientes mediciones promedio de palabras mecanografiadas del tiempo de secado, en horas, de una por todas las graduadas de esta escuela. marca de pintura látex:14. Una muestra aleatoria de 25 cigarros de 3.4 2.5 4.8 2.9 3.6 una marca determinada tiene un 2.8 3.3 5.6 3.7 2.8 contenido promedio de nicotina de 1.3 4.4 4.0 5.2 3.0 4.8 miligramos y una desviación estándar de Suponiendo que las mediciones 0.17 miligramos. Encuentre los límites de representan una muestra aleatoria de una confianza del 95% para el contenido población normal, encuentre los límites de promedio contenidos de nicotina para esta confianza del 99% para la media marca de cigarros, suponiendo que las poblacional de los tiempos de secado. mediciones están normalmente distribuidas.2.2 Estimación proporciones, P, (muestras grandes). Si ˆ p x / n , es la proporción de éxitos ˆen una muestra aleatoria de tamaño n, y q 1 ˆ , un intervalo de confianza aproximado del p(1 ) 100% para el parámetro binomial P es: ˆq pˆ ˆq pˆ ˆ z p /2 P ˆ z p /2 n ndonde z /2 es el valor de z a la derecha del cual se tiene un área de /2Teorema 2.3 Sí se utiliza ˆ como una estimación de P, se puede tener una confianza del p (1 )100% de que el error E no excederá de z /2 ˆ q / n. pˆTeorema 2.4 Sí se utiliza ˆ p como una estimación de P, se puede tener una confianza del (1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el tamaño de la muestra es 2 2 z 1 z n / 2 ˆˆ pq si no se tiene ˆ entonces p nmax / 2 E 4 EEjemplo 2 En una muestra aleatoria de de n 500 familias que tienen televisores en la ciudadde Hamilton, Canadá, se encuentra que x 340 están suscritas a HBO. a) Encuentre unintervalo de confianza del 95% para la proporción real de familias en esta ciudad que están 18 José Armando Rodríguez Romo
    • ________________________________________________________________________ Estimación de Parámetrossuscritas a HBO; b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si queremos tener el 95%de confianza de que nuestra estimación de P esté dentro de 0.02?Solucióna) Dado que se tienen una muestras aleatorias grande ( n 500 ), de una población grande, utilizaremos el caso 4; con x ˆ 340 , p 340 y 1 0.95 . 500 ˆq pˆ ˆq pˆ4) Intervalo de confianza para P (muestras grandes). ˆ p z /2 P ˆ p z /2 n nSustituyendo los valores de las muestras y el valor de z /2 1.96 obtenido de la Tabla 1 delapéndice para un área a la izquierda de 0.9750 (0.68)(0.32) (0.68)(0.32) 0.68 1.96 P 0.68 1.96 500 500encontramos 0.64 P 0.72b) Tratando las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimación ˆ p 340 0.68 , y E 0.02 Entonces, por el teorema 2.4 500 2 2 z 1 z Teorema 2.4 n / 2 ˆˆ pq si no se tiene ˆ entonces p nmax / 2 E 4 E Sustituyendo 2 1.96 n (0.68)(0.32) 2090 Familias 0.02 19 José Armando Rodríguez Romo
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________ EJERCICIOS 2.21.a) Se selecciona una muestra aleatoria de experimentales se realiza con el nuevo 200 votantes y se encuentra que 114 sistema y 34 de ellos tienen éxito. respaldan un convenio de anexión. a) Determine un intervalo de confianza de Encuentre el intervalo de confianza del 95% para P. 96% para la fracción de la población de b) ¿Consideraría usted que el nuevo votantes que favorece el convenio. sistema es mejor? b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza 6. Un especialista en genética está de 96% acerca de la posible magnitud interesado en la proporción de hombres del error si se estima que la fracción de africanos que presentan un desorden votantes que favorecen el convenio de sanguíneo leve. En una muestra aleatoria anexión es 0.57? de 100 de ellos. se encontró que 242.a) Se selecciona una muestra aleatoria de presentaban dicho desorden. 500 fumadores de cigarro y se a) Calcule un intervalo de confianza de 99% encuentra que 86 de ellos prefieren la para la proporción de hombres marca X. Encuentre el intervalo de africanos que tienen este desorden confianza de 90% para la fracción de la sanguíneo. población de fumadores que prefieren la marca X. b) ¿Qué se puede afirmar con una b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% acerca de la posible confianza de 90% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la magnitud del error si se estima que la proporción de personas con este fracción de fumadores que prefieren la desorden sanguíneo es 0.24? marca X es 0.1721? 7.a) De acuerdo con un informe que se3. En una muestra aleatoria de 1000 casas en publicó en el Roanoke Times & Wor/d. una determinada ciudad, se encuentra News, el 20 de agosto de 1981, que 228 de ellas tiene calefacción de aproximadamente 2/3 de los 1600 adul- petróleo. Encuentre el intervalo de tos investigados por teléfono dijeron que confianza de 99% para la proporción de piensan que el programa espacial es una hogares en esta ciudad que tiene este tipo buena inversión del país. Encuentre un de calefacción. intervalo de confianza del 95% para la4. Calcule un intervalo de confianza del 98% proporción de adultos en los Estados para la proporción de artículos Unidos que piensa que el programa defectuosos en un proceso cuando se espacial es Una buena inversión para el encuentra que en una muestra de tamaño país. 100, ocho tienen fallas. b) ¿Qué se puede afirmar con una5. Se está considerando un nuevo sistema de confianza del 95% acerca de la posible lanzamiento de cohetes para el magnitud del error si se estima que la despliegue de cohetes pequeños de corto proporción de estos adultos que alcance. El sistema actual tiene una P = consideran al programa espacial como 0.8 como probabilidad de un lanzamiento una buena inversión es 2/3? exitoso. Una muestra de 40 lanzamientos 8. El artículo de periódico al que se hizo 20 José Armando Rodríguez Romo
    • ________________________________________________________________________ Estimación de Parámetros referencia en el ejercicio 7, 32% de los estará dentro del 1% del porcentaje real 1600 adultos interrogados dijeron que el 13. De acuerdo con el doctor Memory Elvin- programa espacial de los Estados Unidos Lewis, jefe del departamento de debe hacer hincapié en la exploración microbiología de la Washington científica. ¿Qué tan grande se requiere University School Dental Medicine en San que sea la muestra de adultos si se desea Luis, un par de tasas diarias de té, tener una confianza de 95% de que el proporciona suficiente flúor para evitar la porcentaje estimado estará dentro del caída de los dientes. A las personas a las 2% del porcentaje real? que no les gusta el té y viven en áreas9. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en carentes de flúor deben pedir a las el ejercicio 1 si se desea obtener una autoridades locales que consideren la confianza de 96% de que la proporción posibilidad de tratar sus aguas con flúor. muestral estará dentro del 0.02 de la ¿Qué tan grande debe ser una muestra fracción real de la población de votantes? para estimar el porcentaje de ciudadanos10. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en un cierto pueblo que están a favor de en el ejercicio 3 si se desea tener una que sus aguas se traten con flúor si se confianza del 99% de que la proporción desea tener una confianza de al menos muestral estará dentro del 0.05 de la 99% de que la estimación estará dentro proporción real de hogares en esta ciudad del 1 % del porcentaje real? que utilizan calefacción de petróleo? 14. Se realiza un estudio para estimar la11. ¿Qué tan grande debe ser una muestra proporción de residentes en una ciudad y en el ejercicio 4 si se desea tener una en sus suburbios que están a favor de la confianza del 98% de que la proporción construcción de una planta de energía muestral estará dentro del 0.05 de la nuclear. ¿Qué tan grande debe ser una proporción real de partes defectuosas? muestra si se requiere una confianza al12. Se realiza un estudio para estimar el menos del 95% de que la estimación porcentaje de ciudadanos de un pueblo estará dentro del 0.04 de la proporción que están a favor de que su agua se trate real de residentes de esta ciudad y sus con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una suburbios que están a favor de la muestra si se desea tener una confianza al construcción de la planta de energía menos del 95% de que la estimación nuclear? José Armando Rodríguez Romo 21
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________ 22.3 Estimación de varianzas, . Si es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n deuna población normal, un intervalo de confianza del (1 )100% para es: ( n 1 )s 2 2 ( n 1 )s 2 2 2 1 / 2 ,v / 2 ,v 2 2 2donde 1 / 2, v y / 2, v son valores de con v = n – 1 grados de libertad, conáreas de 1 /2 y / 2 , respectivamente, a la izquierda.Ejemplo 3. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran, en promedio, 3 años con una variancia de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de 2 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años determine un intervalo de confianza del 95% para e 2 indique si es válida la afirmación del fabricante de que 1 . Suponga que la población de las duraciones de las baterías se distribuye aproximadamente en forma normal.Solución n xi i 1 1.9 2.4 3.0 4.2La media muestral de los datos es x 3.000 n 15 2 n n 2 x i xi i 1 i 1 228.28 ( 15 )2y su desviación estándar s 0.902774 n 1 4 2 2De la Tabla T.2 del apéndice encontramos el valor de 0.025 , 4 0.484 y 0.975 , 4 11.14 , 2entonces un intervalo de confianza del 95% para la varianza, está dado por ( n 1 )s 2 2 ( n 1 )s 2 2 2 1 / 2 ,v / 2 ,v ( 5 1 )( 0.902774 )2 2 ( 5 1 )( 0.902774 )2 11.14 0.484que se reduce a 2 0.29255 6.72972 0.540882 2.59417 22 José Armando Rodríguez Romo
    • _____________________________________________________________________________________ EstimaciónDeterminación del tamaño de muestra i. Basado en la media de la PoblaciónTeorema 3.2 Sí se utiliza x como una estimación de , se puede tener una confianza del(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el tamaño de la 2muestra es n z /2 /E ii. Basado en la proporción de la PoblaciónTeorema 3.4 Sí se utiliza ˆ p como una estimación de P, se puede tener una confianza del(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el tamaño de lamuestra es 2 2 z 1 z n / 2 ˆˆ pq si no se tiene ˆ entonces p nmax / 2 E 4 E iii. Basado en la diferencia entre las medias de la PoblaciónTeorema 3.5 Sí se utiliza x como una estimación de , se puede tener una confianza del(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el tamaño de la 2 z / 2 2 2muestra es n ( 1 2 ) E José Armando Rodríguez Romo 23
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________EJERCICIOS 3.81. Un fabricante de baterías para automóvil centímetros. Encuentre un intervalo de asegura que sus baterías duran, en confianza del 99% para el diámetro prome- promedio, 3 años con una variancia de 1 dio de piezas de esta máquina, si supone año. Si 5 de estas baterías tienen una distribución aproximadamente duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años normal. Determine un intervalo de determine un intervalo de confianza del confianza del 99% para 2. 95% para 2 e indique si es válida la 4. Una muestra aleatoria de 10 barras de afirmación del fabricante de que 2 1 . chocolate de cierta clase tiene, en Suponga que la población de las promedio, 230 calorías con una desviación duraciones de las baterías se distribuye estándar de 15 calorías. Determine un aproximadamente en forma normal. intervalo de confianza del 99%. Suponga2. Se obtiene una muestra aleatoria de 20 que la distribución de las calorías es estudiantes con una media de x 72 y normal. una variancia de s 2 16 en un examen 5. Se toma una muestra de 12 agujas de tejer de ubicación de matemáticas. Suponga en un estudio de prueba de dureza por el que las calificaciones tienen una método de Rockwell para cada una de las distribución normal y determine un 12, lo que dio un valor promedio de 48.50 intervalo de confianza del 98% para 2 . con una desviación estándar de 1.5. Suponga que las mediciones se distribuyen3. Una máquina produce piezas metálicas de de forma normal. Determine un intervalo forma cilíndrica. Se toma una muestra de de confianza del 90% para . piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 24 José Armando Rodríguez Romo
    • _____________________________________________________________________________________ Estimación Formulario de Estimación1) Intervalo de confianza para , conociendo . x z / 2 x z / 2 n n s s2) Intervalo de confianza para , desconocida ( n 30 ). x z / 2 x z / 2 n n s s3) Intervalo de confianza para , desconocida ( n < 30 ). x t /2 x t /2 n n 2 24) Intervalos de Confianza para la Diferencia de Dos Medias, y 1- 2; conociendo 1 2 . 2 2 2 2 1 2 1 2 ( x1 x2 ) z /2 1 2 ( x1 x2 ) z /2 n1 n2 n1 n2 2 25) Intervalo de confianza para 1- 2; 1 y 2 desconocidas (n1 y n2 30) 2 2 2 2 s1 s2 s1 s2 ( x1 x2 ) z / 2 1 2 ( x1 x2 ) z / 2 n1 n2 n1 n2 2 26) Intervalo de confianza para 1- 2; 1 2 pero desconocidas (n1 y n2 < 30) 1 1 1 1 ( x1 x2 ) t / 2 ,v sp 1 2 ( x1 x2 ) t / 2 ,v sp n1 n2 n1 n2donde sp es la estimación común de la desviación estándar poblacional dada por 2 2 ( n1 1 )s1 ( n2 1 )s2 sp ; y v n1 n2 2 gl n1 n2 2 2 27) Intervalo de confianza para 1- 2; 1 2 y desconocidas (n1 y n2 < 30). 2 2 2 2 s1 s2 s1 s2 ( x1 x2 ) t / 2 ,v 1 2 ( x1 x2 ) t / 2 ,v n1 n2 n1 n2 José Armando Rodríguez Romo 25
    • SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________ 2 2 2 s1 / n1 s2 / n2 donde t /2, v es el valor de t con v ( s1 / n1 )2 /( n1 2 1) ( s2 / n2 )2 /( n2 2 1)8) Intervalo de confianza para observaciones pareadas ( D = 1 - 2). sd sd d t / 2 ,v 1 2 d t / 2 ,v n n ˆˆ pq ˆˆ pq9) Intervalo de confianza para P (muestras grandes). ˆ p z /2 P ˆ p z /2 n n10) Intervalo de confianza para P1 P2 (muestras grandes). ˆ ˆ p1q1 ˆ ˆ p2 q2 ˆ ˆ p1q1 ˆ ˆ p2 q2 ˆ ( p1 ˆ p2 ) z / 2 P1 P2 ˆ ( p1 ˆ p2 ) z / 2 n1 n2 n1 n2 2 ( n 1 )s 2 2 ( n 1 )s 211) Intervalo de confianza para . 2 2 1 / 2 ,v / 2 ,v 2 2 2 s1 1 s112) Intervalo de confianza para 2 1 / 2 2 2 1 fvv2, 1 / 2 s2 fvv1, 1 / 2 2 2 2 s2 1 2Determinación del tamaño de muestra 2 z /213) Basado en la media de la Población n E14) Basado en la proporción de la Población 2 2 z 1 z /2 a) n / 2 ˆˆ pq si no se tiene ˆ entonces b) nmax p E 4 E 2 z / 2 2 215) Basado en la diferencia entre las medias de la Población n ( 1 2 ) E 26 José Armando Rodríguez Romo