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  • 1. Matrices y Determinantes 2º Bachillerato
  • 2. Concepto de matriz. Igualdad de matrice Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. 2ª columna  a11 a12 a13 ...... a1n     a21 a22 a23 ...... a2n  3ª fila  a31 a32 a33 ...... a3n  = (a ) ij  .. .. .. .. ..     am1 am2 am3 ...... amn  Dimensión de la matriz m×nDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos queocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.
  • 3. Matriz: EjemploJuan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente: 1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel. 2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel. 3. Elena compró un bocadillo y un refresco. Estos datos se pueden  2 1 1  agrupar en una matriz    1 1 1   1 1 0  
  • 4. Expresión matricial: ejemplo 2 x + 5 y − 3z =1 El sistema   x - 4y + z = 2  2 5 –3   Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = 1 –4 1    2 5 –3 1   Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =   1 –4 1 –2     x      2 5 –3    1Tiene la siguiente expresión matricial: y =  1 –4 1         – 2   z 
  • 5. Clasificación de matrices: Elementos• Matriz nula: es una matriz en la que todos los • Matriz unidad o identidad: es una matrizelementos son nulos. escalar, cuya diagonal principal es 1.  0 0 0 0 0 1 0 0       O =  0 0 0 O = 0 0 I3 =  0 1 0   0 0 0 0 0 0 0 1       3× 3 3 ×2• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en • Matriz triangular superior: es una matrizla que todos los elementos no pertenecientes a donde todos los elementos por debajo de lala diagonal principal son nulos. diagonal son ceros.  2 0 0 1 3 6     D =  0 − 3 0 T =  0 − 2 3  0 0 1  0 0 4     • Matriz escalar: es una matriz diagonal • Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos de ella son iguales. donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.  2 0 0   1 0 0 A =  0 2 0   T = 3 − 2 0  0 0 2   3 5 4  
  • 6. Clasificación de matrices: Forma• Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 ) • Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que: aij = a ji 2   Matriz columna: A =  4  1 2 4 •   6 2 3 5     4 5 -1   1 3 5  • Matriz antisimétrica: es una matriz   cuadrada que verifica que:• Matriz cuadrada:A=  2 4 6   1 1 1  Diagonal  0 2 -4  secundaria Diagonal   principal -2 0 3     4 -3 0 
  • 7. Suma de matricesPara sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman loscorrespondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)  a11 a12 a13 a14   b11 b12 b13 b14     A + B = (a ) + (b ) =  a21 a22 a23 a24 ij ij  +  b21 b22 b23 b24  =  a31 a32 a33 a34   b31 b32 b33 b34   a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14    =  a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 = (a + b ) ij ij  a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34 
  • 8. Propiedades de la adición de matrices Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C• Conmutativa: A+B=B+A• Elemento neutro: A + O = O + A = A donde O es la matriz nula. • Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = O La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
  • 9. Producto de un número por una matrizPara multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de loselementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij)  a11 a12 a13   ka11 ka12 ka13     ka ka ka k . A = k . (aij) = k·  a21 a22 a23  =  21 22 23  = (kaij)  a31 a32 a33   ka31 ka32 ka33 
  • 10. Propiedades suma y producto por un número Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA• Elemento neutro: 1·A=A• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
  • 11. Producto de matricesEl producto de la matriz  a11 a12 a13 ...... a1n  a a22 a23 ...... a2n   a21 a32 a33 ...... a3n  A = (a ij) =  31   .. .. .. .. ..   am1 am2 am3 ...... amn por la matriz  b11 b12 b13 ...... b1p     b 21 b 22 b 23 ...... b 2 p  B = (b ij) =  b 31 b 32 b 33 ...... b 3p     .. .. .. .. ..  b bn2 bn3 ...... b np   n1 es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1. b1j + ai2. b2j + ... + ain. bnj
  • 12. Ejemplo: producto de matrices  2 1 –1  1 2 01. El producto de A=   3 –2 0   por la matriz B =  1 0 –3  multiplicando cada fila  0 1 –2  de A por cada columna de B.   1 2 0     2 1 –1     3 3 –1  A·B =   .  1 0 –3  =    3 –2 0   1 6 6   0 1 –2 2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto? (aij)2,3 . (bij)3,3 = (cij) 2, 3 producto posible
  • 13. ¿Cuándo es posible el producto de matrices? filas (aij)m,n . (bij)n,p = (cij)m,p Posible columnasEl producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnasde una matriz con el número de filas de la otra matriz.
  • 14. Propiedades del producto de matrices (I) I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr. A . (B . C) = (A . B) . CII. Elemento neutro. Si A es una matriz mxn, y 1 0 0 ...... 0  1 0 0 ...... 0   0 1 0 ...... 0   0 1 0 ...... 0  Im = 0  0 1 ...... 0  e In =  0 0 1 ...... 0   .. .. .. .. ..   .. .. .. .. ..   0 0 0 ...... 1   0 0 0 ...... 1  las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene: I m · A = A · In = AIII. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr. A . (B + C) = A . B + A . CIV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp. (A + B) . C = A . C + B . C
  • 15. Propiedades del producto de matrices (II) I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado. II. Si A . B = O entonces no siempre ocurre que A = O ó B = O.   0 2  .  0 –3   0 0       Ejemplo: Aunque  = 0 0   0 0   0 0  ninguno de los factores que      forman el producto es la matriz nula.III. Si A . C = B . C y C ≠ O, entonces no necesariamente A = B.IV. (A + B)2 ≠ A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.V. (A – B)2 ≠ A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.VI. A2 – B2 ≠ (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
  • 16. Potencia de una matrizSi A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como enel caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplicala matriz por sí misma. n veces An = A . A . ........... . AEjemplo: 1 1  1 1 1 1  1 2  A = 0 1  A2 = A ⋅A =     0 1 0 1  = 0 1           1 1 1 2  1 3  1 1  1 3  1 4 A = A ⋅A =  3 2 0 1 0 1  = 0 1      A4 = A ⋅A ⋅A ⋅A = A ⋅A3 =  0 1  ⋅ 0 1  = 0 1                  1 1 1 n −1  1 n  An = A A = A ⋅An-1 =     0 1 0 1  = 0 1      n-veces     
  • 17. Matriz traspuestaLa traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y serepresenta por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.   1 4  1 2 3    t   Ejemplo: Si A =   entonces A =  2 5  4 5 6    3 6 Propiedades: I. Para la matriz A, (At)t = A II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At V. Si A es una matriz simétrica, At = A
  • 18. Inversa de una matrizSi A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendola matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.  2 –1    -1    x y Ejemplo: Dada A = 1 1  para obtener A =  z t  se ha de cumplir       2 –1   x y   1 0   .         =   1 1  z t 0 1Y de aquí se deduce que: 2x –z =1 x = 1/3      2x – z 2y – t  1 0  x +z =0 y = 1/3   x+z y+t   = 0 1 ⇔     2y –t=0 ⇔ z = –1/3 y +t=1 t = 2/3  1 1  -1  3 3  Por tanto A = – 1 2  3 3 
  • 19. Propiedades de la matriz inversa I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1II. Si A es una matriz inversible y k ≠ 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = AIV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1
  • 20. Combinación lineal entre filas y columnasEn una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnaspor C1, C2, ... , Cn.  a11 a12 a13 ...... a1n   F1  a a22 a23 ...... a2n  F   a21 a32 a33 ...... a3n   F2  A = 31   = (C1, C2, C3, ... , Cn) =  3   .. .. .. .. ..  ......   am1 am2 am3 ...... amn   Fm Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de laforma:k1 . F1 + k2 . F2 + k3 . F3 + ... + km . Fm siendo k1, k2, ... , km números reales.Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresiónde la forma: k1 . C1 + k2 . C2 + k3 . C3 + ... + kn . Cn siendo k1, k2, ... , kn númerosreales.
  • 21. Dependencia lineal entre filas y columnas• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas.• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente independientes.  2 0 –1 1  Ejemplo: En la matriz A =  1 3 1 0  la tercera fila es combinación lineal de la primera y la 4 6 1 1 segunda ya que: F3 = F1 + 2F2  1 2 4En cambio:En la matriz B =   3 –1 5  dos filas son linealmente independientes porque ninguna las de ellas es igual a una constante por la otra.
  • 22. Rango de una matriz• El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente independientes.• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente independientes.• Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la matriz y se representa rg A. Operaciones que no modifican el rango de una matriz• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.• Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.• Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas).
  • 23. Ejemplos rango de una matriz escalonada  2 0 –1 1   2 0 − 1 1    La matriz A = 0 1 1 0 tiene rango 3. La matriz A =  0 0 1 0  tiene rango 3.   0 0 0 1   0 0 1 1    2 0 − 1 1  0 2 1 1     La matriz A =  0 1 1 0  tiene rango 2. La matriz A =  0 0 2 0  tiene rango 2.     0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 1    La matriz A =  0 0 0 0  tiene rango 1.   0 0 0 0
  • 24. Cálculo del rango de una matriz  a11 a12 a13 ...... a1n  a a22 a23 ...... a2n   a21 a32 a33 ...... a3n  A=  31   .. .. .. .. ..   am1 a m2 am3 ...... amn a) Si es necesario, reordenar filas para que a11 ≠ 0 (si esto no fuera posible, aplicar todo el razonamiento a a12).b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11 y sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la m- ésima.c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii.d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.
  • 25. Cálculo del rango de una matrizAplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada queindica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de lamatriz. * * * * *  * * * * *  * * * * *  * * * * * * * * * *   * * * * * 0 * * * *    0 * * * *    * * * * *     * * * * *  0 0 * * *    0 0 * * *    0 * * * * 0 0 0 * *  Rango 4 Rango 3 Rango 2 Rango 1
  • 26. Condición para que una matriz sea inversible   2 –1  Para estudiar si A =   4 –2  es inversible:    2 –1 1 0  • Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:    4 –2 0 1   1 1   1 –2 • Dividiendo la primera fila por 2:  2 0   4 –2 0 1   1 1   1 –• Restando a la segunda fila la primera por 4:  2 2 0   0 0 –2 1  A no es inversible • Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión de la matriz A. • Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si rg A = n. • De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente independientes.
  • 27. Determinante de segundo ordenDada una matriz cuadrada de segundo orden: a a  11 12 A=a a   21 22 se llama determinante de A al número real: a11 a 12 det (A)=|A|= =a – a21 a22 11 22 21 12 a a a 3 2 Ejemplo: 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
  • 28. Determinante de orden 3 Definición: Dada una matriz cuadrada de orden 3  a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23   a31 a32 a33  Se llama determinante de A, det (A) o |A|, al número real siguiente:a11 a12 a13a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.a31 a32 a33
  • 29. Regla de SarrusLa regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en laexpresión del determinante de orden 3 y sus signos.
  • 30. Aplicaciones a la regla de Sarrus    3 5 1    El determinante de la matriz A =  4 –2 –1  es    2 –3 –4 det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] = 24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
  • 31. Determinante de cualquier orden El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos: det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna 2 –1 1 2 –1 1 2 2 1 2 1 6 1 0 2+1 2+2 3 –1 3 +Por ejemplo : 3 –1 –1 3 = 1 · (–1) –1 –1 3 + 6 · (–1) –1 0 1 2 0 1 2 –1 0 1 –3 5 2 –1 2 2 –1 1 2+3 + 1 · (–1) 3 –1 3 + 0 · (–1)2+4 3 –1 –1 = 2 –1 1 2 –1 0 –1 –1 = 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34
  • 32. Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos de una fila o columna• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.  a11 a12 a13    El determinante de una matriz A =  a21 a22 a23  es igual a la suma de los elementos  a31 a32 a33  de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos: det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna
  • 33. Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3 Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3a a a 11 12 13 a a a a a aa a a 21 22 23 = a11. (-1)1+1 22 23 +a . (-1)2+1 12 13 +a . (-1)3+1 12 13 a a 21 a a 31 a aa a a 32 33 32 33 22 23 31 32 33 Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3 a a a 11 12 13 a a a a a a a a a 12 13 .(-1)3+2 11 13 .(-1)3+3 11 12 21 22 23 = a31.(-1)3+1 a a +a 32 a a +a 33 a a a a a 22 23 21 23 21 22 31 32 33
  • 34. Cálculo inmediato de determinantes (I)I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.Ejemplos: –1 4 –1    • El determinante de una matriz A =  3 2 3  es igual a cero porque la tercera y  2 5 2 primera columnas son iguales.  2 4 –1    • El determinante de una matriz A =  1 –2 3  es igual a cero porque la tercera fila  3 –6 9  es igual a la segunda multiplicada por 3.II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero. Ejemplo: –1 0 –1   El determinante de una matriz A =  3 0 3 es igual a cero porque la segunda columna 2 0 2 es nula.
  • 35. Cálculo inmediato de determinantes (II)III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero. Ejemplo: 2 4 0    El determinante de una matriz A =  1 3 –1  es igual a cero porque la tercera columna es 3 1 5  igual al doble de la primera menos la segunda.IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.Ejemplo: –1 0 –1   El determinante de la matriz A =  0 2 3  es igual –4. 0 0 2 
  • 36. Cálculo inmediato de determinantes (III)V. El determinante de la matriz unidad es 1 Ejemplos: 1 0 0   • El determinante de la matriz I3 =  0 1 0  es igual a 1. 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 • El determinante de la matriz I5 =  0 0 1 0 0  es igual a 1. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
  • 37. Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número. Ejemplo: 2 3 2 3 2 3 4 20 = . . =4 1 5 4 1 4 5II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signos. Ejemplo: 1 –4 –4 1 2 5 = – 5 2
  • 38. Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía. 2 3 –1Ejemplo: Si en A = 1 5 2 sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más 4 13 4 la segunda multiplicada por – 2, obtenemos: 2 3 –1 B= 1 5 2 4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2) y se cumple que ambos determinantes son iguales: A =B
  • 39. Operaciones con matrices (I)I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas. Ejemplo:  2 0  4 1 • Sean A =   y B =  . Se tiene que |A| = – 2 y |B| = 5.  1 –1  3 2 .  8 2 . . . • Como A B =   y | A B | = – 10 se observa que | A B | = |A| |B|  1 –1 II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1. Ejemplo: 3 0  1/3 0  • Sea A =   ; entonces A–1 =   1 1  –1/3 1  • Como | A | = 3 y | A–1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1
  • 40. Operaciones con matrices (II)III. Al trasponer una matriz su determinante no varía. Ejemplo:  2 0 –2  2 1 3  • Sea A =  1 1 3  . Entonces A =  0 1 0  t 3 0 2  –2 3 2  • Se cumple que | A | = | At |VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número. Ejemplo: 2 0 – 2 4 0 – 4 2 0 – 2     3   Se cumple que: 2  1 1 3  =  2 2 6  = 2  1 1 3 3 0 2  6 0 4  3 0 2 
  • 41. Operaciones con matrices (III)  a11 a12 + b12 a13 V. Si A =  a21 a22 + b22 a23  se cumple que:  a31 a32 + b32 a33  a11 a12 + b12 a13 a11 a12 a13 a11 b12 a13 a21 a22 + b22 a23 = a21 a22 a23 + a21 b22 a23 a31 a32 + b32 a33 a31 a32 a33 a31 b32 a33 Ejemplo: 2 3 –1    • Sea A = 1 5 2 . Entonces se cumple que | A | = 7   4 13 4 • Y se tiene que:  2 3 –1   1+1 3 –1   1 3 –1   1 3 –1           1 5 2=  3 – 2 5 2  =  3 5 2  + – 2 5 2  = (-70) + 77  4 13 4   1 + 3 13 4   1 13 4   3 13 4 
  • 42. Determinantes y rango de una matriz• Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.• El rango de una matriz coincide con el orden del determinante de mayor orden distinto de cero.Ejemplo: 1 2 5    • Las columnas de la matriz A =  2 1 4 son linealmente dependientes ya que | A | = 0.  3 –1 1  • La relación de dependencia es: la 3ª columna es igual a la 1ª más el doble de la 2ª.
  • 43. Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) ≥ 1. • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de En caso contrario rang(A) = 1 orden dos es distinto de cero rang(A) ≥ 2. • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3. • Si el determinante de alguna matriz cuadrada En caso contrario rang(A) = 2 de orden tres es distinto de cero rang(A) ≥ 3. • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4. En caso contrario rang(A) = 3 • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A) ≥ 4. Y así hasta que no sea posible continuar
  • 44. Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ¹ 0.• Dada la matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.  2 -2 2    Ejemplo: Dada la matriz (A) =  2 1 0 , su adjunta sería:  3 -2 2   1 0 2 0 2 1   –2 2 – 3 2 3 –2   –2   2 –4 –7  2 2 2 2 –2   adj (A)=  – –2 2 3 2 – 3 –2  =  0 –2 –2     –2 4 6   –2 2 2 2 – 2 0 2 –2   1 0 2 1 
  • 45. Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II) –1 Se cumple que si | A | ≠0 entonces la matriz inversa A es igual a: –1 1 t 1 t A = | A | adj(A ) = | A | [adj(A)]  2 –2 2   Ejemplo: Dada la matriz A =  2 1 0  , pretendemos encontrar su inversa:  3 –2 2  La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 ≠ 0  2 –4 –7  Ya hemos visto que: adj (A) =  0 –2 –2   –2 4 6   2 0 –2  t   Entonces: [adj (A)] =  –4 –2 4   –7 –2 6   2 0 –2   –1 0 1  –1 1 t 1     Por lo tanto: A = | A | [adj (A)] = –2  –4 –2 4  =  2 1 –2   –7 –2 6   7/2 1 –3 
  • 46. Cálculo de determinantes por el método de Gaus • El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos. • El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos. desarrollo por 1ª desarrollo por 1ª columna columna 3 5 –26 0 –1 1 3 –1 1 3 –1 1 3 1 2 –11 1 2 –1 1 .Ejemplo: . 0 3 3 = 2 4 15 = 0 0 3 3 = –1 0 3 3 = –1 1 8 0 0 9 3 3 7 53 0 1 8 0 • 2ª fila por (–3) + 1ª fila • 1ª fila por 1 + 3ª fila • 2ª fila por (–2) + 3ª fila • 2ª fila por (–3) + 4ª fila 3 3 = (–1) (–1) 9 3 = –18 .