Tema: Análisis   de Funciones   1. FUNCIONES. LÍMITES.
Funciones: dominio                                         y recorrido• Una función real f es una ley que asigna a cada va...
Función real de                               variable real:                                 ejemplo ILa fórmula f(x)=x re...
Función real de variable real: ejemplo II                            f(x)                                              • (...
Límite de una función en un punto:                  de la definición intuitiva a la definición formalSea f(x) = (x3 + 2x) ...
Límite de una función                           en un punto: definición                                      formalSean a ...
Límites                                     laterales                                       de una                        ...
Propiedades de los límites de funcionesSean f ( x ) y g ( x ) dos funciones tales que              lim f ( x) = p y lim g ...
Límites                                              infinitos                                               de una       ...
Límites laterales                                  infinitos en un                                       puntoEn la medida...
Límites finitos en el infinito    Se dice que el número L es el límite de f(x) cuando tiende hacia infin ito (menos       ...
Límites infinitos en el                                   infinitoEn la medida en que x se hace muy grande, con valores po...
Comportamiento en el infinito: no existe límiteCuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas...
Cálculo de límites   Límites simplesCuando las funciones verifican → f(x) = f(a) se pueden obtener directamente loslí ites...
Límites de operaciones de funciones                      cuando alguno es infinito Para el cálculo de operaciones entre fu...
Indeterminaciones: tiposCuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sinconocerlas, decim...
Cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L ≠ 0En estos casos el límite si existe es +∞ o –∞ dependiendo del signo de la...
Cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0                  P(x)                 0Cuando el lim          es indeterminado sien...
Cálculo de indeterminaciones: tipo 0 . ∞Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para            ...
Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞/∞                P(x)                  ∞Cuando el lim        es indeterminado ∞siendo...
Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞ – ∞En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, ...
Cálculo de indeterminaciones: tipos ∞ 0, 00Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos yexpresa...
Cálculo de indeterminaciones: tipo 1∞Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión...
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Funciones limites

  1. 1. Tema: Análisis de Funciones 1. FUNCIONES. LÍMITES.
  2. 2. Funciones: dominio y recorrido• Una función real f es una ley que asigna a cada valor x de un conjunto un único elemento de otro o del mismo conjunto. Se nombra y = f(x). • La x se llama variable independiente. • La y se llama variable dependiente.• El dominio de una función D(f), es conjunto en el que se define la función. Cuando no se define explícitamente se entiende que el dominio es el mayor posible de entre los valores que puede tomar la variable independiente.• El recorrido de una función R(f), es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente de la función. • En el ejemplo la función h(x) tiene de dominio Dom(h) = (0, ∞) • El recorrido es (0, ∞)
  3. 3. Función real de variable real: ejemplo ILa fórmula f(x)=x relaciona dos variables reales 2 f(x) = x2 R R Dominio Recorrido f(2) = 4 •2 •4 • 2,3 f(2,3) = 5,29 • 5,29 •5 f(5) = 25 • 25 Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones: • Todo elemento de D ha de tener imagen. • Esta imagen ha de ser única.
  4. 4. Función real de variable real: ejemplo II f(x) • (x, f(x)) Recorrido x –1 1 DominioVariable independiente Ley de asociación Variable dependiente x f y = f(x) Dominio Recorrido f(x) = 1 – x2 D = [–1, 1] f([–1, 1]) = [0, 1]
  5. 5. Límite de una función en un punto: de la definición intuitiva a la definición formalSea f(x) = (x3 + 2x) / x . Su dominio es D(f) = R – {0}. Sus valores en las proximidades de x = 0 x -2 -1 -0,1 -0,01 0 0,01 0,1 1 2f(x) 6 3 2,01 2,0001 no existe 2,0001 2,01 3 6Definición intuitiva: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para valores de xpróximos a 0 los correspondientes valores de f(x) se aproximan a 2.Objeción: esos valores de f(x) también están cada vez más próximos a 1 y no decimos que el límite sea1  hay que depurar esa definición.Vemos que para valores próximos a x = 0, f(x) llega a estar a distancias de 2 tan pequeñas como sequiera (a 0,01, a 0,0001, etc). Eso no ocurre con el valor 1 pues los valores de f(x) se mantienen adistancias de él mayores de una unidad.2ª Definición: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para valores de xpróximos a 0 los correspondientes valores de f(x) están tan próximos como queramos a 2.Objeción: imaginemos que exigimos que f(x) esté a 0,01 del 2 y que tal requisito se logra para un valorde x cercano al 0, pero sólo para ése, no para los demás. No diríamos entonces que el limite sea 2hay que depurar esa definición.Definición precisa: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para cualquierdistancia ε, tan pequeña como queramos, hay una distancia δ tal que: para cualquier valorde x que esté a una distancia de 0 menor que δ, su imagen f(x) está a una distancia de 2menor que ε.
  6. 6. Límite de una función en un punto: definición formalSean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a sipara todo número real ε > 0 existe otro número real δ > 0, tal que si 0 < |x – a | < δ ⇒ |f(x) – L | < ε Para cada ε > 0 Hay un δ > 0 0 < |x – a | < δ |f(x) – L | < ε La condición 0 < | x – a | < δ prohibe que x tome el valor a. No es necesario que la función esté definida en a. Si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser único.
  7. 7. Límites laterales de una funciónEl límite por la derecha de una función f(x) en x = a es L cuando al tomar valores de x quese aproximan hacia a, siendo a < x, a partir de algún valor de x, todos los valores de f(x)que se obtienen llegan a estar tan próximos como queramos de L (idem, límite por la iizquierda). lim + f(x) = L (lim – f(x )= L ). x→ a x→a• Una función tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites laterales y ambos son iguales. Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como la siguiente. Se observa que: • + Ent(x) lim =3 x→ 3 • – Ent(x) lim =2 3 x→ 3 Como los límites laterales no coinciden la función no tiene límite cuando x→3.
  8. 8. Propiedades de los límites de funcionesSean f ( x ) y g ( x ) dos funciones tales que lim f ( x) = p y lim g ( x) = .q x →a x →a1. lim( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x) = p ± q. x→a x→a x→a2. Si k es un número real, lim( kf ( x) ) = k lim( f ( x) ) = kp. x→a x→a3. lim( f ( x) ⋅ g ( x) ) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = p ⋅ q. x→a x→a x →a  f ( x)  lim f ( x) p4. Si q no es cero, lim g ( x)  = lim g ( x) = q .  x →a x→a   x →a5. Si p q es un número real, lim( f ( x) ) x →a g ( x) ( ) = lim f ( x) x→a x→a lim g ( x ) = pq.
  9. 9. Límites infinitos de una función: definición • Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es infinito , si el valor de la fun ción f(x) se hace tan grande como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a pero distintos de a. Se designa lim f(x) = ∞. → x a • Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es menos infinito , si la función f(x) toma valores negativos tan grandes como se quiera en valor a b soluto, siempre que se tomen valores x suficientemente próximos al número a perodistintos de a. Se designa lim f(x) = – ∞. → x aEjemplo: observando la gráfica de la 1función f(x) = se ve que: |x| 1 |x| ∞• lim = x→0+ 1 ⇔ lim |x| ∞ = 1 x→ 0 |x| ∞• lim = x→0–
  10. 10. Límites laterales infinitos en un puntoEn la medida en que x se acerca a 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x? x 1 0,1 0,01 0,01 →0+ f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 →+∞ x+1 lim +x = +∞ x→0 x+1 De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que: lim – x = –∞ x→0
  11. 11. Límites finitos en el infinito Se dice que el número L es el límite de f(x) cuando tiende hacia infin ito (menos x infinito) , si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera sie pre que m se tomen va lores x suficientemente grandes (en valor absoluto). Se den ota lim f(x) = L (x → – ∞f(x) = L). x →∞ limEjemplo: En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién seacerca f(x) = (x+1) / x? x 10 102 103 104 →+∞ f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 →1 x+1 lim =1 x→+∞ x
  12. 12. Límites infinitos en el infinitoEn la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acercaf(x) = x2? x 10 102 103 104 → +∞ f(x) = x2 102 104 106 108 → +∞ lim x2 = + ∞ x→+∞ El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para valores muy grandes de x, los correspondientes valores que toma la función f(x) son cada vez más grandes (tanto como queramos). Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
  13. 13. Comportamiento en el infinito: no existe límiteCuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estasfunciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.Ambos límites no existen.
  14. 14. Cálculo de límites Límites simplesCuando las funciones verifican → f(x) = f(a) se pueden obtener directamente loslí ites, lim m x apor el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por elvalor de a hacia el que tiende. Ejemplos   2 x3 + x – 1 lim x – 100 + x2 – 1  = –100 + 1 = – 99  x→0  2 2 . 3 (x – 2x + 1)  3 (1 –2 1+1)  2x3 – 2x + 1  2 . 13–2 . 1 + 1 lim  3 x –x + 1   = 3 1 –1+1   = 10 = 1 x→1   –2x2 + 3 –2 . 32 + 3 15 lim x3 – 2x + 5 = 3 = – 16 x→3 3 – 2 .3 + 5
  15. 15. Límites de operaciones de funciones cuando alguno es infinito Para el cálculo de operaciones entre funciones cuando L o M son infinitos, basta tener en cuenta la siguientes reglas: Si L = M = ∞ se tiene: ∞+∞=∞ ∞.∞=∞ ∞∞ = ∞ ∞-∞ = 0 Si L es un número cualquiera: L±∞=±∞ L . ∞ = ∞ si L > 0 L . ∞ = – ∞ si L < 0 L/±∞=0 ∞L= ∞ si L > 0 ∞L= 0 si L< 0Es importante recordar que estas reglas no definen operaciones entrenúmeros, ya que el infinito no es un número; las expresiones anterioresdeben ser interpretadas en términos de límites de funciones.
  16. 16. Indeterminaciones: tiposCuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sinconocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando los teoremas anteriorespodemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ningún teorema quenos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado. lim f(x) = 2 lim f(x) = 0 x →a x →a lim g(x) = 3 lim g(x) = 0 x →a x →a f(x) 2 f(x) Entonces lim = No es posible obtener lim . Para x →a g(x) 3 x →a g(x) poder salvar la indeterminación hemos de conocer f y g.Este resultado no depende de las funciones f Este límite depende de las funciones f y g. El y g. El límite es determinado. límite es indeterminado. L ∞ Tipos de ≠ 0 0/L 0 ∞ 0.∞ ∞–∞ ∞0 00 1 indeterminaciones 0 ∞
  17. 17. Cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L ≠ 0En estos casos el límite si existe es +∞ o –∞ dependiendo del signo de la funcióna izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable. 1 • lim =–∞ –x – 2 x→ 2 1 ⇒x – 2 no existe lim 1 x→ 2 • lim =+∞ +x – 2 x→ 2 1 • lim 2=+∞ – (x – 2) x→ 2 1 ⇒ (x – 2)2 = + ∞ lim 1 x→ 2 • lim 2=+∞ + (x – 2) x→ 2
  18. 18. Cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0 P(x) 0Cuando el lim es indeterminado siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e- x →a Q(x) 0mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos porx – a. –18 + 21x – 8x2 + x3 (x – 3)2(x – 2) (x – 3)(x – 2) 0• lim 2 x –9 = lim (x – 3)(x + 3) = lim (x + 3) = 6 = 0 x →3 x →3 x →3 0 Indet 0 –18 + 33 x – 20 x2 + 4 x3 (x – 2)(2x – 3)2 –1 • lim 9 – 12 x + 4 x2 = lim (2x – 3)2 = lim (x – 2) = 2 3 3 3 → x 2 → x 2 x→2 0 Indet 0
  19. 19. Cálculo de indeterminaciones: tipo 0 . ∞Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para 0 ∞obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo 0o∞ Recordando que lim xp e–x = 0 x →∞ • lim 3 –x lim 2 –x lim –x lim (x3 + 5x2 + 7x)e–x = x→∞ x e + 5 x→∞ x e + 7 x→∞ xe = x →∞ Indet 0. ∞ = 0+5.0+7.0=0 ln x lim Recordando que X →∞ x = 0 . ln x lim – ln y =0 • lim +x ln x = lim + 1 = y →∞ y x→0 x →0 Indet 0. ∞ x 1/x = y
  20. 20. Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞/∞ P(x) ∞Cuando el lim es indeterminado ∞siendo P(x) y Q(x) polinomios, x →∞ Q(x)podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia másalta de x que aparezca en ambos. 3 5 –2 + x2 – x3 –2x3 + 3x – 5 –2 lim –x3 – 2x + 5 = lim 2 5 = –1 = 2 x →∞ x →∞ ∞ –1 – x2 + x3 Indet ∞ En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación. ln (ln x) ln y lim lim =0 x →∞ ln x = y →∞ y ∞ Indet ∞ ln x = y
  21. 21. Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞ – ∞En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, laexpresión antes de tomar el límite.Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi- plicar y dividir por la expresión conjugada. lim (x3 – x2 ) =lim x(x – 1) = ∞ . ∞ = ∞ 2 x →∞ x→∞ Indet ∞ – ∞ 2 2 [ x2 + 1 – x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1] lim [ x + 1 – x – 1] = lim = x→∞ x →∞ [ x2 + 1+ x2 – 1] Indet ∞ – ∞ (x2 + 1) – (x2 – 1) lim 2 2 = lim 2 2 = 2 2 = ∞= 0 x →∞ [ x + 1 + x – 1] x →∞ x + 1 + x – 1
  22. 22. Cálculo de indeterminaciones: tipos ∞ 0, 00Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos yexpresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo». x ln (x ) x ln x x lim + x = lim +e = lim +e = e0 = 1 x →0 x→0 x→0 0 Indet 0 1 ln x 1 lim (x ) = lim e ln x x x x →+∞ = lim e x = e0 = 1 →+∞ x x →+∞ Indet ( +∞ ) 0
  23. 23. Cálculo de indeterminaciones: tipo 1∞Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión ade e como límite, combinada con un cambio de variable. x 2 x 2      1 2x  1    1  lim 1 + =lim  1+ x   = 1+    2   →∞    lim  x =e 1 x →∞ x  x x →∞  =y 2x + x4 2Indet 1∞ 4  1   4 1 1 2x + x (2x + x ) 2 4 4 = lim 1 + 1   4 x 2 x2 2 4 x2 2 lim (1 + 2x + x ) lim 1 + = → = x→0 x 0 1  x→0    2x + x  2 4  2x2 + x4  Indet 1∞ 4 (2x2 + x4 ) lim x2 lim (8 + 4x2 )  1  y  x→0  1  y x→0 = lim 1 + y   = lim 1 +   =e 8 y →∞    y →∞  y 

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