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  • Derivadas. Teoremas 2º BachilleratoPresentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
  • Esquema
  • Tasa de variación media en un intervaloPara una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: f(b) – f(a) Tm f[a, b] = b–a La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente. Pendiente positiva Pendiente negativa
  • Tasa de variación media en un intervalo: ejemploLa evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en Españaentre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, dondex representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el númerode afiliados expresado en millones. El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999 es: f(19) – f(0) 19 = 0,1241 Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000 personas por año.
  • Tasa de variación instantáneaLa tasa de variación instantánea TVI(x) o ti(x) , en un punto, es el límite de las tasasde variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez máspequeños: f ( x +h) − f ( x ) TVI (x) = ti(x) = lim h→0 h
  • Derivada de una función en un puntoDef: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite. f(p+h) – f(p) lim h h→o Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es f(p+h) – f(p) f (p) = lim h→ h o
  • Interpretación geométrica de la derivada Al hacer que h → 0, ocurrirá que • p + h tiende (se acerca) a p • Q recorre la curva acercándose a P • La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente • La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente f ( p + h) − f ( p ) lim = f ′( p ) h →0 hSi la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .
  • Ecuación de la recta tangente Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m: y – b = m (x – a) t αtf(a) Entonces: • Pendiente de la tangente: mt = f (a) αt • Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f (a) (x – a) a
  • Ecuación de la recta normalEcuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m: y – f(p) = m (x – p) Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f (p) Ecuación de la recta tangente: y – f(p) = f (p) (x – a) Pendiente de la normal: mn = –1/f (p) Ecuación de la normal: y – f(p) = [–1/f (p)] (x – a)
  • Derivadas laterales La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si f ( x + h) − f ( x ) existe, dado por f (a –) = lim− h→ − 0 hLa derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, f ( x + h) − f ( x ) dado por f (a+ ) = lim* h →0+ hUna función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha ypor la izquierda y las derivadas laterales coinciden. f (a+) = tg α > 0 f (a–) = tg β < 0 β Por ser f (a+) ≠ f (a–), f(x) no es α derivable en el punto a. a
  • Teorema Una función derivable en un punto es continua en dicho punto. Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = ⋅h h  f ( a + h) − f ( a )  lim ( f (a + h) − f (a) ) = lim  ⋅h h →0 h →0  h  f ( a + h) − f ( a ) = lim ⋅ lim hf ( x) es derivable en x = a h →0 h h →0 = f ′(a ) ⋅ 0 = 0 lim f (a + h) = f (a) f ( x) es continua en x = a h →0
  • Relación continuidad y derivabilidadHay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto f(a + h) – f(a) h f(0+) = lim h = lim h = 1 = tgα h → 0+ h → 0+ f(a + h) – f(a) –h f(0–) = lim h = lim h = –1= tg β h → 0– h → 0– Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto.
  • Función derivada Se llama función derivada de una función f(x) a la función f (x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3: f(3 + h) – f(3) (3 + h)2 – 32 h (h + 6) f (3) = lim = lim = lim =6 h h h h→ 0 h→ 0 h→ 0• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: f(2 + h) – f(2) (2 + h)2 – 22 h (h + 4) f (2) = lim = lim = lim = 4 h h h h→ 0 h→ 0 h→ 0 Para obtener la derivada en x f(x + h) – f(x) (x + h)2 – x2 h (h + 2x) f (x) = lim = lim = lim = 2x h h h h→ 0 h→ 0 h→ 0Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f (x) = 2x
  • Consecuencias de la definición de derivada• La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada.Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x) h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x)Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante unatraslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a lastres funciones son paralelas.
  • Derivadas de operaciones con funcionesSean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real.Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x. • Además se tiene: (cf)(x) = cf (x) (f + g) (x) = f (x) + g(x) (f – g) (x) = f (x) – g(x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g(x) f f ( x)·g ( x) − f ( x)·g ( x)   ( x) = g   g 2 ( x)
  • Demostración de la regla de derivación del cociente f f ( x)·g ( x) − f ( x)·g ( x)Enunciado: La derivada de un cociente   ( x) = g   g 2 ( x) f f  f ( x + h)   f ( x )    ( x + h) −   ( x ) g g   g ( x + h)  −  g ( x )    f     = lim    =  ( x) = limg  h→ 0 h h→ 0 h f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h) f ( x + h) g ( x ) − f ( x)·g ( x) + f ( x)·g ( x) − f ( x) g ( x + h) g ( x ) g ( x + h) g ( x ) g ( x + h)= lim = lim = h→ 0 h h→ 0 h 1  f ( x + h) g ( x) − f ( x)·g ( x) f ( x)·g ( x) − f ( x) g ( x + h) = lim  lim + lim = h→ 0 g ( x ) g ( x + h)  h → 0 h h→ 0 h  1  f ( x + h) − f ( x) g ( x ) − g ( x + h) = lim  lim · g ( x) + lim f ( x) = h→ 0 g ( x ) g ( x + h)  h → 0 h h→ 0 h  f ( x)·g ( x) − f ( x)·g ( x)= g 2 ( x)
  • Derivada de una función compuesta: regla de la cadena Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).Ejemplo:La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2 f g R R R x 2x–1 = t t2 = (2x–1)2 x (2x–1)2 h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x) Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es: (gºf)(a) = g(f(a)) . f (a) Ejemplo: Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 ⇒ ⇒ (gºf)(x) = g(f(x)) . f (x) = 2(2x – 1) . (2x – 1) = 2(2x – 1) . 2
  • Regla de la cadena: DemostraciónEnunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x)es: f ‘(g(x)) · g’(x) [ f ( g ( x))] = lim f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) = h→0 h  f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x)  lim · = h → 0  g ( x + h) − g ( x) h    f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x ) = lim ·lim = h→0 g ( x + h) − g ( x ) h→0 h f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x ) = lim ·lim = g ( x + h )→ g ( x ) g ( x + h) − g ( x ) h→0 h f ( g ( x))·g ( x)
  • Derivada de la función inversa• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x.• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Y (f(x), x) Sea f una función definida en un inter- • valo abierto D en el que admite fun- ción inversa siendo f derivable. Enton- f –1(x) • (x, f(x)) ces se tiene que, para todo punto x el dominio de f-1 en–1 que f-1 es deri- d el f(x) X vable y en el que f (f (x)) ≠ 0 la deri- –1 vada de f viene dada por: 1 ( f −1 ) ( x) = f ( f −1 ( x))
  • Tabla de derivadas de las funciones elementales Función Derivada Función Derivadaf(x) = c (constante) f (x) = 0 f(x) = sen x f (x) = cos xf(x) = x n f (x) = n x n – 1 f(x) = cos x f (x) =– sen x 1f(x) = e x f (x) = e x f(x) = tan x f (x) = Cos 2 x x x 1f(x) = a (a > 0) f (x) = a ln a f(x) = arcsen x f (x) = 2 1–x 1 –1f(x) = ln x f (x) = f(x) = arccos x f (x) = x 1–x 2 1 1f(x) = logax, (a > 0) f (x) = f(x) = arctan x f (x) = x ln a 1+x2
  • Obtención de la derivada de la función logaritmo neperianoVamos a calcular la derivada de ln( x ) a partir de la función exponencial Sean f ( x) = e x y g ( x) = ln( x).1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.2. Derivada función recíproca 1 −1 (f ) ′( x) = 1 f ′( f ( x)) −1 . } g ′( x) = ln x e La derivada de ln( x) es 1 x
  • Demostración de la derivada de la función senoVamos a calcular la derivada de sen( x)Usando la definición de derivada:  h h 2 ⋅ cos  x +  ⋅ sen   sen(x + h) − sen(x) lim  2 2(sen(x))′= lim = h →0 h h→ 0 h   h  h    h   cos x + ·sen    sen    2  2  =  h  2  == lim limcos x + · h→  h  h→  h  0 0  2  2   2      Como  h lim cos  x +  = cos( x) h →0  2 La derivada de sen (x) es h sen    2  =1 Cos (x) lim h →0 h 2
  • Obtención de la derivada de la función arcoseno Vamos a calcular la derivada de arcsen( x) Sean f ( x) = sen( x) y g ( x) = arcsen( x). 1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x. 2. Derivada función recíproca 1 } g ′( x) = −1 (f ) ′( x) = 1 . cos(arcsen( x)) f ′( f ( x)) −1 La derivada es: Como: 1 1 − x2cos(arcsen x) = 1 − ( sen (arcsen x) ) = 1 − x 2 2
  • Obtención de la derivada de la función arco tangenteVamos a calcular la derivada de arctg( x)Sean f ( x) = tg( x) y g ( x) = arctg( x). }1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.2. Derivada función recíproca 1 g ′( x) = 1 1 + tg 2 (arctg( x)) −1 (f ) ′( x) = . f ′( f ( x)) −1 La derivada es: Como: 1 tg (arctg x) = x 1 + x2
  • Diferencial de una función El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h Tangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f (a) = tg atf(a + h) • ∆y = f(a + h) – f(a) at f (a) . dx f(a) Para valores de h = ∆x = dx pequeños • ∆x = dx ∆y ≈ f (a) . ∆x Por tanto: ∆y ≈ dy = f (a) . dx h = ∆x Y para un x cualquiera: a a+h dy = f (x) . dx
  • Una aproximación geométrica al concepto de diferencial • Supongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementará en: ∆f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2 • Si h es muy pequeño, h2 es mucho más pequeño. • Entonces: 2xh = 2x dx es el diferencial de la función f(x) = x2 y se ve que ∆f ≈ 2x dx = f (x) dx El error que se comete al aproximar el incremento por la diferencial es h2.
  • Máximos y mínimos relativosUna función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe unintervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo xperteneciente al intervalo. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto 1 5 en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese • m(3, -1) mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3). • La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5).
  • Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica) Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f (c) = 0 f (c) = 0 f (c) = 0 f (c) = 0 Si A es máximo, la tangente Si A es mínimo, la tangenteSi la función es constante en x = c es horizontal. Su en x = c es horizontal. Su entonces f (c) = 0 pendiente es 0 pendiente es 0
  • Teorema de Rolle. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. • Es derivable en su interior (a, b). • f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal. f (c) = 0 f (c) = 0 f (c) = 0 f(a) = f(b) f(a) = f(b) f(a) = f(b) a c b c a b a c b
  • Teorema de Rolle: DemostraciónSi una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Esderivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b).Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.• Demostración:• f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M.∀ ∃ x1 ∈ [a,b] ∋ f(x1)=M. ∃ x2 ∈ [a,b] ∋ f(x2)=m.• Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f(x) = 0• Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2) ≤ f(x) por lo que f presenta un mínimo relativo en x2. (1)• f es derivable por hipótesis. (2)• De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos relativos f(x2)=0 como queríamos demostrar
  • Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua [a, b]. • Es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que: f (b) − f ( a ) f(b) – f(a) = (b – a) · f (c). Es decir: f’( c) = b −a• Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).• Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en dicho punto. f(b) – f(a) Pendiente de AB: b–a • f(b) – f(a) f (c) = f (c) = • b–a c y c son los puntos c c que verifican el teorema
  • Teorema del valor medio o de Lagrange: DemostraciónSi una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) · f (c).• Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R.• g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas. g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.• Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a) f (a ) − f (b)• h= => por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g(c) = 0 b−a• Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h y por tanto: f (b) − f (a ) f (c ) = − h = b−a
  • Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que: f (b) − f ( a ) f (c ) = si g(b) ≠ g(a) y g (c) ≠ 0 g (b) − g ( a ) g (c )Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x)• 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].• 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).• 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f (b) − f (a ) f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a) k= g ( a) − g (b)De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h(c) = 0.• h(x)=f(x)+kg(x) h(c)=f(c)+kg(c)=0 f(c)/g(c) = -k f (b) − f ( a ) f (c ) = g (b) − g ( a ) g (c )
  • Consecuencias del teorema del valor medio (I)Expresión del valor de una función en el entorno de x = a Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces: f(a + h) = f(a) + h · f (a + θh) con θ ∈ (0, 1). • Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en [a, b]: • f(a) = f(b) + (b – a) . f (c) con c ∈ (a, b). • Si b = a + h, entonces c = a + θh con θ ∈ (0, 1). c a + θh a+h
  • Consecuencias del teorema del valor medio (II)Caracterización de las funciones constantes Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo. • f(x) es derivable en (a, b). • f(x) tiene derivada nula en (a, b). En consecuencia: f(x) = k en (a, b). • Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable). • No es constante en (a, b). (x) ={ 0 f′ 0 si x∈ a , c ) ( si x∈ c ,b ) (
  • Consecuencias del teorema del valor medio (III)Relación entre funciones con igual derivadaSi dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervaloabierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. • En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada. • Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la otra trasladándola paralelamente al eje OY.
  • Regla de LHôpital (I) 0Indeterminación del tipo 0 Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u. x→u x→u f ( x) f ( x) Entonces, si existe lim También existe (puede ser finito o infinito). lim x→ a g ( x) x→ a g ( x) f ( x) f ( x) se verifica que: lim lim = x→a x→ a g ( x) g ( x) Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}.Una aproximación geométrica al teorema: f(C) CA CA f (a) = ≈ = g(C) CB CB g (a)
  • Regla de LHôpital (II) Indeterminación del tipo: ∞ ∞Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = x→u x→u ∞ y que g(x)≠0 en un entorno de u. f ( x) f ( x)Entonces, si existe lim También existe (puede ser finito o infinito). lim x→ a g ( x) x→ a g ( x) f ( x) f ( x) se verifica que: lim lim = x→a x→ a g ( x) g ( x) Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}
  • Regla de LHôpital (III)Salvando indeterminaciones del tipo . 0 •∞Supongamos que hemos de calcular: lim [f (x).g(x)] x→ u ↓ ↓ Indeterminación del tipo 0 ·∞ Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞ f ( x) g ( x) lim[ f ( x)·g ( x)] = lim = lim x →u x →u 1 x →u 1 g ( x) f ( x) 0 ∞ es es 0 ∞ Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}
  • Regla de LHôpital (IV) Salvando indeterminaciones del tipo 1∞, ∞0, 00 Supongamos que hemos de calcular: lim [f(x)g(x)] x→ u ∞ Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 ó ∞ 0 ó 0 0. A = lim [f(x)g(x)] Tomando neperianos: L A = L(lim [f(x)g(x)]). x→u x→u De donde: L A = lim L [f (x)g(x)], por ser la función logaritmo continua x→ u Y por las propiedades de los logaritmos L A =lim [g(x) . L f(x)] x→uEste límite es indeterminado 0 .∞ y se puede calcular por LHôpital. Sea M su valor Tendremos: L A = M⇒ A = eM. Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}
  • Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I) ex–x–1 ex–1 ex 1 1.– lim x = lim x x = lim x x= 2e + xe 2 x(e –1) e –1 + xe x→ 0 x→ 0 x→ 0 0 0 Indet LHôpital Indet LHôpital 0 0 x 1 x sen cos x 2 2 2 2.– lim [sen . ctg x] = lim tg x = lim 1+tg2x = 1 2 x→ 0 x→ 0 x→ 0 2 0 Indet 0.∞ Indet LHôpital 0 r r  rerx – r r2erx r23.– lim   4x – 2x(erx + 1) = lim 4xerx + 4x = lim 4erx + 4xrerx + 4 = 8    x→0 x→ 0 x→ 0 r>0 0 LHôpital Indet Indet ∞ –∞ 0
  • Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II)    1  1  1      Lx 1/x4.- lim x x-1 = A⇒= L  (x  LA lim x–1) = lim   x–1  = lim L x   = lim =1    x→ 1+ x–1 x→+ 1 1+ x→  1+ x→  x→ 1+ 1 Indet 1∞ Indet 0 LHôpital 0 Si LA = 1 ⇒ A = e1 = e  1 x   1  x   1 x 5.- lim   = A ⇒ = L   x lim   x  = LA lim = L sen    x sen   sen    x→ 0+  0+ x→ 0+  x→ Indet ∞0 – L sen x ctg x x2 2x 1 + tg2x 0 = lim = lim = lim tg x = lim = x→ 1/x 0+ 1/x2 x 0+ x→ 0+ x→+ 0 → ∞ 0 Indet Indet LHôpital ∞ LHôpital 0 Si LA = 0 ⇒ A = e0 = 1
  • Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo Y Yf(x+h) f(x) f(x+h) f(x) h h [ ] X [ ] X x x+h b x x+h a a b Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0
  • Derivadas y curvatura: concavidad Y Y α1 α2 α2 α1 [ ] X X [ ] a x1 x2 b a x1 x2 b tg α1 < tg α2 ⇒ f (x1) < f (x2)Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f es creciente ⇒ su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava
  • Derivadas y curvatura: convexidad Y Y a2 a1 a1 a2 [ ] X X [ ] a x1 x2 b b a x1 x2 tg a1 > tg a2 ⇒ f (x1) > f (x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f es decreciente ⇒ su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa
  • Puntos de inflexiónSon los puntos en los que la función cambia de curvatura Y f" < 0 P(a, f(a)) f" > 0 X f"(a) = 0