普遍性であそんでみた。

ap = πp とします Y B G×Y π a p

Y B G×Y π a A f p f があるとします

Y B G×Y π a A f p X q g p,f のプルバックがあるとします

Y B G×Y π a A f p X q g G×X Ｇ × Ｘがあるとします

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g G×g があります

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π 射影 π があります

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q q でつなぎます

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q この射を考えます。 ap=πp だから

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q こうなります。Ｇ × Ｙの普遍性から

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q π こうなります。下四角は可換だから

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q π こうなります。 πq は同じ射だから

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q こうなります。つまり

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q ここが可換になります。プルバックの普遍性から

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q b 射 b が唯一つ存在して

Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g X π q b ここが可換になります

レイアウトを整理しました Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b

ここはプルバックでした Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b

ここもプルバックです Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b (http://d.hatena.ne.jp/oto-oto-oto/20120206/pb)

従ってここもプルバック Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b (http://ncatlab.org/nlab/show/pullback#Pasting)

π q = bq ,π p = ap だからこうしてよい Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b

確か、ここはプルバックでした Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b

ここもプルバックでした Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b

従ってここもプルバックになっている ! Y B G×Y π a A f p X q g G×X G×g π b (http://ncatlab.org/nlab/show/pullback#Pasting)

by Oto Oto-san on Feb 10, 2012