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Guía de Algebra 8°                                     Primer Periodo
Pensamiento numérico sistemas de numeración.
         Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.
         Utilizar la notación científica para representar cantidades y medidas.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
         Analiza los procesos infinitos que subyacen en notaciones decimales.




            LOS NÚMEROS EN DIFERENTES
                    CULTURAS
Sistema de numeración griego.
Uno los primeros sistemas de numeración que apareció fue del griego, que se desarrolló
hacia el año 600 antes de Cristo (A.C). Era un sistema de base decimal que usaba los
símbolos que se muestran en la imagen para representar a cantidades. Se necesitaban tantos
símbolos como fuera necesario, según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5,10 y 100 las
                                                           letras correspondientes a la
                                                           inicial de la palabra cinco
                                                           (penta), 10 (deka) y mil (khiloi).
                                                           Por este motivo, se llama este
                                                           sistema acrofónico.


                                                                                Sistema de Numeración
                                                                                Chino.
                                                                                La forma clásica de escritura de
                                                                  los números en china se empezó a usar desde
                                                                  el 1500 A.C; aproximadamente. Era un
                                                                  sistema decimal estricto que usa las unidades
                                                                  y las distintas potencias de 10. Utiliza los
                                                                  ideogramas de la figura.




                                                                                                           1
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Guía de Algebra 8°                                Primer Periodo




Sistema de numeración Babilónico.
                                                            Entre las muchas civilizaciones
                                                            que florecieron en antigua
                                                            Mesopotamia. Se desarrollaron
                                                            distintos     sistemas       de
                                                            numeración. En 1555 A.C se
                                                            inventó un sistema de base
                                                            diez, aditivo hasta él 60 y
                                                            posicional    para     números
                                                            superiores.

Para la unidad, se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se
ponían tantos como fuera preciso hasta llegar al 10, que tenía su propio signo.



                                                            Sistema de numeración
                                                            Maya.
                                                          Los mayas idearon sistema de
                                                          base 20 con el cinco como base
                                                          auxiliar.   La     unidad   se
                                                          representaba con un punto.
                                                          Dos, tres y cuatro puntos
                                                          servían para el 2, 3 y 4,
respectivamente. Es cinco era una raya horizontal, a la que se añadía: necesarios para
representar 6,7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas. De la misma forma se continuaba
hasta el 20, con 4 rayas.



Los Egipcios crearon un sistema de numeración de base 10 que permite representar
números, desde el uno hasta millones. Su origen data de principios del tercer milenio a. C. y
permitía además describir pequeñas cantidades en forma de fracciones.

A continuación podemos ver los signos jeroglíficos que se utilizaban representar los
números egipcios.




                                                                                        2
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Guía de Algebra 8°                               Primer Periodo
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         1              10         100         1.000 10.000     100.000
                                                                                infinito



                                                                   o



                                                                            Hombre
                 asa o         cuerda        Flor de
  trazo vertical                                               Renacuajo arrodillado con
                 herradura     enrollada     loto con Dedo
  (bastoncito)                                                 o rana.      las manos
                 invertida     (espiral)     tallo.
                                                                            levantadas
Los otros números se escribían con la repetición del signo, el número de veces necesario.
Se podían escribir de izquierda a derecha o de izquierda a derecha, pero siempre de arriba a
abajo. Un ejemplo del número 4622 sería:




Según el Papiro Boulaq 18, existe también un signo para expresar el cero: el símbolo nfr




                                                                                       3
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Guía de Algebra 8°                                   Primer Periodo

               NÚMEROS IRRACIONALES
                             Se llama números irracionales (I) a aquellos de infinitas cifras
                             decimales no periódicos; es decir no existe un bloque de cifras que se
                             repita indefinidamente.

                             El concepto de número se ha ampliado hasta entender como un
                             número toma magnitud al calcular el cociente de dos números
                             enteros, se encontró que existen magnitudes que al calcular su
                             cociente no se obtiene un número decimal finito ni periódico. Estas
magnitudes se saldrían del concepto de número.

Los antiguos griegos encontraron que la diagonal de un cuadrado y la longitud del lado, son
magnitudes que no se pueden expresar como la razón de dos números enteros. Este
descubrimiento sorprendió tanto la mente de los matemáticos de la época que llamaron a estas
magnitudes inconmensurables y al número que las determinaba “numero irracional” es decir por
fuera de la razón.




                                                                 1 metro




                                       1 metro


Números Irracionales Famosos
                            Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de
                            un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los
                            primeros son estos:

                            3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)




                                                                                             4
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Guía de Algebra 8°                                    Primer Periodo

                            El número e (el número de Euler) es otro número irracional
                            famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin
                            encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

                            2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)


                            La razón de oro (números áureo) es un número irracional
                            que fue utilizada por los artistas del renacimiento para
                            describir las proporciones en el cuerpo humano. Sus
                            primeros dígitos son:

                            1.61803398874989484820... (y más...)


                            Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son
                            irracionales. Ejemplos:

                            √3 1.7320508075688772935274463415059 (etc)
                            √99 9.9498743710661995473447982100121 (etc)

                            Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son
                            irracionales.



Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales
intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su
lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los
números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de
Hipaso no existían e Hipaso continuaba con su trabajo, entonces alguna vez que navegaron en el
mar ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!




                                     EJERCICIOS




                                                                                               5
Prof. Oscar L. Escobar V.
Guía de Algebra 8°                                 Primer Periodo




                              Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
loscatetos
Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes   y , y la medida de la hipotenusa es , se
establece que:

(1)




                                                                                            6
Prof. Oscar L. Escobar V.
Guía de Algebra 8°                            Primer Periodo
                                                            Em pleo d el t eor em a de P it ág oras

                 C ono cien do lo s lado s de un t riá ngulo , ave ri gua r si e s re c tán gulo




               Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser
    igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

               Determinar si el triángulo es rectángulo.




C o noc iend o los d os ca t etos ca lc u lar la h ipo t en usa




               Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente.
    ¿Cuánto mide la hipotenusa?




                 C ono cien do la hi pote nu sa y un cate to, cal cul ar e l ot ro c ate to




                                                                                                              7
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Guía de Algebra 8°                           Primer Periodo

         La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m.
  ¿Cuánto mide otro cateto?




      Ejer cicios




         Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la
  escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?




         Hallar el área del triángulo equilátero:




                                                                                      8
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Guía de Algebra 8°                                     Primer Periodo




        Hallar la diagonal del cuadrado:




        Hallar la diagonal del rectángulo:




        Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:




                                                          P = 8 + 6 + 12 + 6 .32 = 32 .32 cm




                                                                                               9
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Guía de Algebra 8°                             Primer Periodo




         El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m
  respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.




          LOS NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA




Guia para representar los irracionales en la recta numérica:

    1. Se marcan en la recta numérica los puntos que corresponden a los números enteros.
    2. Con estos segmentos se toman como guía se determinan los números irracionales.



                                                                                           10
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Guía de Algebra 8°                                 Primer Periodo
       3. Poniendo el compás en el vértice de la hipotenusa con la recta vertical y con origen cero se
          obtiene el valor de irracional.


                                             EJERCICIO1
Resuelva los siguientes ejercicios uno en el cuaderno y el otro en el block (uno y uno)




1
    Soluciones 8° Editorial Futuro pag. 14 - 15

                                                                                                 11
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Números irracionales

  • 1. Guía de Algebra 8° Primer Periodo Pensamiento numérico sistemas de numeración. Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos. Utilizar la notación científica para representar cantidades y medidas. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Analiza los procesos infinitos que subyacen en notaciones decimales. LOS NÚMEROS EN DIFERENTES CULTURAS Sistema de numeración griego. Uno los primeros sistemas de numeración que apareció fue del griego, que se desarrolló hacia el año 600 antes de Cristo (A.C). Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos que se muestran en la imagen para representar a cantidades. Se necesitaban tantos símbolos como fuera necesario, según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5,10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (penta), 10 (deka) y mil (khiloi). Por este motivo, se llama este sistema acrofónico. Sistema de Numeración Chino. La forma clásica de escritura de los números en china se empezó a usar desde el 1500 A.C; aproximadamente. Era un sistema decimal estricto que usa las unidades y las distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura. 1 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 2. Guía de Algebra 8° Primer Periodo Sistema de numeración Babilónico. Entre las muchas civilizaciones que florecieron en antigua Mesopotamia. Se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En 1555 A.C se inventó un sistema de base diez, aditivo hasta él 60 y posicional para números superiores. Para la unidad, se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar al 10, que tenía su propio signo. Sistema de numeración Maya. Los mayas idearon sistema de base 20 con el cinco como base auxiliar. La unidad se representaba con un punto. Dos, tres y cuatro puntos servían para el 2, 3 y 4, respectivamente. Es cinco era una raya horizontal, a la que se añadía: necesarios para representar 6,7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas. De la misma forma se continuaba hasta el 20, con 4 rayas. Los Egipcios crearon un sistema de numeración de base 10 que permite representar números, desde el uno hasta millones. Su origen data de principios del tercer milenio a. C. y permitía además describir pequeñas cantidades en forma de fracciones. A continuación podemos ver los signos jeroglíficos que se utilizaban representar los números egipcios. 2 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 3. Guía de Algebra 8° Primer Periodo 1 millón, o 1 10 100 1.000 10.000 100.000 infinito o Hombre asa o cuerda Flor de trazo vertical Renacuajo arrodillado con herradura enrollada loto con Dedo (bastoncito) o rana. las manos invertida (espiral) tallo. levantadas Los otros números se escribían con la repetición del signo, el número de veces necesario. Se podían escribir de izquierda a derecha o de izquierda a derecha, pero siempre de arriba a abajo. Un ejemplo del número 4622 sería: Según el Papiro Boulaq 18, existe también un signo para expresar el cero: el símbolo nfr 3 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 4. Guía de Algebra 8° Primer Periodo NÚMEROS IRRACIONALES Se llama números irracionales (I) a aquellos de infinitas cifras decimales no periódicos; es decir no existe un bloque de cifras que se repita indefinidamente. El concepto de número se ha ampliado hasta entender como un número toma magnitud al calcular el cociente de dos números enteros, se encontró que existen magnitudes que al calcular su cociente no se obtiene un número decimal finito ni periódico. Estas magnitudes se saldrían del concepto de número. Los antiguos griegos encontraron que la diagonal de un cuadrado y la longitud del lado, son magnitudes que no se pueden expresar como la razón de dos números enteros. Este descubrimiento sorprendió tanto la mente de los matemáticos de la época que llamaron a estas magnitudes inconmensurables y al número que las determinaba “numero irracional” es decir por fuera de la razón. 1 metro 1 metro Números Irracionales Famosos Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...) 4 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 5. Guía de Algebra 8° Primer Periodo El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...) La razón de oro (números áureo) es un número irracional que fue utilizada por los artistas del renacimiento para describir las proporciones en el cuerpo humano. Sus primeros dígitos son: 1.61803398874989484820... (y más...) Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 1.7320508075688772935274463415059 (etc) √99 9.9498743710661995473447982100121 (etc) Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales. Historia de los números irracionales Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían e Hipaso continuaba con su trabajo, entonces alguna vez que navegaron en el mar ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó! EJERCICIOS 5 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 6. Guía de Algebra 8° Primer Periodo Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos Pitágoras de Samos Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que: (1) 6 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 7. Guía de Algebra 8° Primer Periodo Em pleo d el t eor em a de P it ág oras C ono cien do lo s lado s de un t riá ngulo , ave ri gua r si e s re c tán gulo Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores. Determinar si el triángulo es rectángulo. C o noc iend o los d os ca t etos ca lc u lar la h ipo t en usa Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa? C ono cien do la hi pote nu sa y un cate to, cal cul ar e l ot ro c ate to 7 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 8. Guía de Algebra 8° Primer Periodo La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto? Ejer cicios Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? Hallar el área del triángulo equilátero: 8 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 9. Guía de Algebra 8° Primer Periodo Hallar la diagonal del cuadrado: Hallar la diagonal del rectángulo: Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo: P = 8 + 6 + 12 + 6 .32 = 32 .32 cm 9 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 10. Guía de Algebra 8° Primer Periodo El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área. LOS NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA Guia para representar los irracionales en la recta numérica: 1. Se marcan en la recta numérica los puntos que corresponden a los números enteros. 2. Con estos segmentos se toman como guía se determinan los números irracionales. 10 Prof. Oscar L. Escobar V.
  • 11. Guía de Algebra 8° Primer Periodo 3. Poniendo el compás en el vértice de la hipotenusa con la recta vertical y con origen cero se obtiene el valor de irracional. EJERCICIO1 Resuelva los siguientes ejercicios uno en el cuaderno y el otro en el block (uno y uno) 1 Soluciones 8° Editorial Futuro pag. 14 - 15 11 Prof. Oscar L. Escobar V.