Circuitos logicos

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Circuitos logicos

  1. 1. INDICE: 1. SISTEMAS ANALOGICOS Y DIGITALES. 1.1 DEFINICIONES Circuito lógico es aquel que maneja la información en forma de "1" y "0", dos niveles lógicos de voltaje fijos. "1" nivel alto o "high" y "0" nivel bajo o "low”. Los circuitos lógicos están compuestos por elementos digitales como la compuerta AND (Y), compuerta OR (O), compuerta NOT (NO). y combinaciones poco o muy complejas de los circuitos antes mencionados. Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos digitales como los compuertas, entre otros. La electrónica moderna usa electrónica digital para realizar muchas funciones. Aunque los circuitos electrónicos podrían parecer muy complejos, en realidad se construyen de un número muy grande de circuitos muy simples. En un circuito lógico digital se transmite información binaria (ceros y unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo con la combinación de bloques de circuitos simples. Los circuitos electrónicos se pueden dividir en dos amplias categorías: digitales y analógicos. La electrónica digital utiliza magnitudes con valores discretos, mientras que la electrónica analógica emplea magnitudes con valores continuos. Combinación de dispositivos que está diseñado para manejar tanto cantidades físicas como información digital, siempre y cuando solo tomen valores discretos. Estos dispositivos pueden ser mecánicos, electrónicos, magnéticos o neumáticos. Los sistemas analógicos tiene dispositivos que manipulan cantidades físicas, en este tipo de sistemas las cantidades varían en intervalos continuos de valores por ejemplo los teléfonos de disco equipos de reproducción de audio magnéticos, disquete. 1.2 CARACTERISTICAS  Reproducibilidad de resultados. Dado el mismo conjunto de entradas (tanto en valor como en serie de tiempo), cualquier circuito digital que hubiera sido diseñado en la forma adecuada, siempre producirá exactamente los mismos resultados.  Facilidad de diseño.  Flexibilidad y funcionalidad. Una vez que un problema se ha reducido a su forma digital, podrá resolverse utilizando un conjunto de pasos lógicos en el espacio y el tiempo.  Programabilidad. Una gran parte del diseño digital se lleva a cabo en la actualidad al escribir programas, también, en los lenguajes de descripción de lenguaje de descripción de Hardware (HDLs, por sus siglas en inglés),
  2. 2.  Velocidad. Los transistores individuales en los circuitos integrados más rápidos pueden conmutarse en menos de 10 picosegundos, un dispositivo completo y complejo construido a partir de estos transistores puede examinar sus entradas y producir una salida en menos de 2 nanosegundos.  Economía. Los circuitos digitales pueden proporcionar mucha funcionalidad en un espacio pequeño.  Avance tecnológico constante 1.3 DIFERENCIAS Sistema Analógico Se dice que un sistema es analógico cuando las magnitudes de la señal se representan mediante variables continuas, esto es análogas a las magnitudes que dan lugar a la generación de esta señal. Un sistema analógico contiene dispositivos que manipulan cantidades físicas representadas en forma analógica. En un sistema de este tipo, las cantidades varían sobre un intervalo continuo de valores. Así, una magnitud analógica es aquella que toma valores continuos Sistema Digital Un sistema digital es cualquier dispositivo destinado a la generación, transmisión, procesamiento o almacenamiento de señales digitales. También un sistema digital es una combinación de dispositivos diseñado para manipular cantidades físicas o información que estén representadas en forma digital; es decir, que sólo puedan tomar valores discretos. La mayoría de las veces estos dispositivos son electrónicos, pero también pueden ser mecánicos, magnéticos o neumáticos. Para el análisis y la síntesis de sistemas digitales binarios se utiliza como herramienta el álgebra de Boole. 1.4 EJEMPLOS Fotografías. La mayoría de las cámaras todavía hacen uso de películas que tienen un recubrimiento de haluros de plata para grabar imágenes. Sin embargo, el incremento en la densidad de los microcircuitos o "chips" de memoria digital ha permitido el desarrollo de cámaras digitales que graban una imagen como una matriz de 640 x 480, o incluso arreglos más extensos de pixeles donde cada pixel almacena las intensidades de sus componentes de color rojo, verde y azul de 8 bits cada uno. Esta gran cantidad de datos, alrededor de siete millones de bits en este ejemplo puede ser procesada y comprimida en un formato denominado JPEG y reducirse a un tamaño tan pequeño como el equivalente al 5% del tamaño original de almacenamiento dependiendo de la cantidad de detalle de la imagen. De este modo las cámaras digitales dependen tanto del almacenamiento como del procesamiento digital.
  3. 3. Grabaciones de video. Un disco versátil digital de múltiples usos (DVD por las siglas de digital versatile disc) almacena video en un formato digital altamente comprimido denominado MPEG-2. Este estándar codifica una pequeña fracción de los cuadros individuales de video en un formato comprimido semejante al JPEG y codifica cada uno de los otros cuadros como la diferencia entre éste y el anterior. La capacidad de un DVD de una sola capa y un solo lado es de aproximadamente 35 mil millones de bits suficiente para grabar casi 2 horas de video de alta calidad y un disco de doble capa y doble lado tiene cuatro veces esta capacidad. Grabaciones de audio. Alguna vez se fabricaron exclusivamente mediante la impresión de formas de onda analógicas sobre cinta magnética o un acetato (LP), las grabaciones de audio utilizan en la actualidad de manera ordinaria discos compactos digitales (CD. Compact Discs). Un CD almacena la música como una serie de números de 16 bits que corresponden a muestras de la forma de onda analógica original se realiza una muestra por canal estereofónico cada 22.7 microsegundos. Una grabación en CD a toda su capacidad (73 minutos) contiene hasta seis mil millones de bits de información. Carburadores de automóviles. Alguna vez controlados estrictamente por conexiones mecánicas (incluyendo dispositivos mecánicos "analógicos" inteligentes que monitorean la temperatura, presión. etc.), en la actualidad los motores de los automóviles están controlados por microprocesadores integrados. Diversos sensores electrónicos y electromecánicos convierten las condiciones de la máquina en números que el microprocesador puede examinar para determinar cómo controlar el flujo de gasolina y oxígeno hacia el motor. La salida del microprocesador es una serie de números variante en el tiempo que activa a transductores electromecánicos que a su vez controlan la máquina. El sistema telefónico. Comenzó hace un siglo con micrófonos y receptores analógicos que se conectaban en los extremos de un par de alambres de cobre (o, ¿era una cuerda?). Incluso en la actualidad en la mayor parte de los hogares todavía se emplean teléfonos analógicos los cuales transmiten señales analógicas hacia la oficina central (CO) de la compañía telefónica. No obstante en la mayoría de las oficinas centrales estas señales analógicas se convierten a un formato digital antes que sean enviadas a sus destinos, ya sea que se encuentren en la misma oficina central o en cualquier punto del planeta. Durante muchos años los sistemas telefónicos de conmutación privados (PBX. private branch exchanges) que se utilizan en los negocios han transportado el formato digital todo el camino hacia los escritorios. En la actualidad muchos negocios, oficinas centrales y los proveedores tradicionales de servicios telefónicos están cambiando a sistemas integrados que combinan la voz digital con el tráfico digital de datos sobre una sola red de Protocolo de Internet IP (por las siglas en inglés de Protocolo de Internet). Semáforos. Para controlar los semáforos se utilizaban temporizadores electromecánicos que habilitaban la luz verde para cada una de las direcciones de circulación durante un intervalo predeterminado de tiempo. Posteriormente se utilizaron relevadores en módulos controladores que podían activar los semáforos de acuerdo con el patrón del tráfico detectado mediante sensores que se incrustan en el pavimento. Los controladores de hoy en día hacen uso de microprocesadores y pueden controlar los semáforos de modo que maximicen el flujo vehicular, o como sucede en algunas ciudades de California, sean un motivo de frustración para los automovilistas en un sinnúmero de creativas maneras.
  4. 4. 2. SISTEMAS DE NUMERACION. 2.1 DIFERENTES SISTEMAS Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se diferencian entre si por su base. Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el hexadecimal de base 16. El diseño de todo sistema digital responde a operaciones con números discretos y por ello necesita utilizar los sistemas de numeración y sus códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario debido a su sencillez. Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente ecuación polinómica: Siendo b la base del sistema de numeración. Se cumplirá que b>1; ai es un número perteneciente al sistema que cumple la siguiente condición: 0 ≤ ai <b. El sistema decimal El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas"). El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así: <math>347 = 3 cdot 100 + 4 cdot 10 + 7 cdot 1 = 3 cdot 10^2 + 4 cdot 10^1 + 7 cdot 10^0</math> Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas. El sistema binario ...... 1 1 0 0 2 3 1 21     bababababaN nnn
  5. 5. Es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0). El sistema octal El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. A veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus). Podría tener el significado de número nuevo. Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc. Cuenta hecha en octal: 0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,21,..... Se puede observar que en este sistema numérico no existen los números: 8 y 9 Para pasar del un sistema binario al octal se utiliza el siguiente método:  Se divide el número binario en grupos de 3 empezando por la derecha. Si al final queda un grupo de 2 o 1 dígitos, se completa el grupo de 3 con ceros (0) al lado izquierdo.  Se convierte cada grupo en su equivalente en el Sistema octal y se reemplaza. Ejemplo: 101101112 pasarlo a octal Número en binario convertido a grupos de 3 010 110 111 Equivalente en base 8 2 6 7 Resultado: 101101112 = 2678
  6. 6. El sistema hexadecimal Este sistema utiliza letras para representar cantidades arriba del 9 Estas son:  A=10  B=11  C=12  D=13  E=14  F=15 El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse como Que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte. En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente: Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0,A16 = 3×162 + E×161 + 0×160 + A×16-1 = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15. 2.2 TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A BINARIO Para cambiar un número decimal a número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el cociente y el residuo. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente
  7. 7. entre dos. Se vuelve a escribir el cociente y el residuo. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea uno. Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el residuo. Para obtener el número binario, una vez llegados al 1 indivisible, se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación analizaremos dos ejemplos de números decimales transformados al sistema binario: NÚMERO DECIMAL 26 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO NÚMERO DECIMAL 8 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO Recordemos que se comienza a contar desde el cociente 1 hasta el primer residuo que nos resultó. Sin embargo, existe otra manera de hacerlo y es dividir el cociente 1 entre 2, escribimos 0 como cociente, posteriormente multiplicamos 2 por 0 (que es cero) y ese resultado se lo restamos al último residuo que teníamos (que será 1) y tendremos como residuo 1. De esta forma comenzaremos la cuenta para obtener el valor binario desde el último residuo obtenido (que es siempre 1, excepto en el caso del número 0) hasta el primero. Podemos utilizar cualquiera de los dos métodos y ambos son correctos y presentan el último resultado, tal como veremos en los ejemplos a continuación. Ahora veremos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al sistema binario:
  8. 8. TRANSFORMACIÓN DE BINARIO A DECIMAL Para cambiar un número binario a número decimal se multiplica cada dígito binario por la potencia y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos , donde es la base y es el exponente. Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El exponente nos indica la posición del dígito. A continuación se transformará el número binario 11010 a decimal: Para la transformación de binarios a decimales estaremos siempre utilizando potencias a las cuales será elevado el número 2. El siguiente listado nos presenta progresivamente las primeras 20 potencias con base 2: LISTA DE POTENCIACIÓN DEL 1 AL 20 CON BASE 2
  9. 9. Binario a octal Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:  Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.  Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111 Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7  La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha. Ejemplos:
  10. 10. Octal a binario Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo: 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111. Binario a hexadecimal Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:  Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.  Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
  11. 11. Número en hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F  La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de izquierda a derecha. Ejemplos: 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso: 1010 = A 1011 = B 1 entonces agregue 0001 = 1 Agrupe de izquierda a derecha: 1BA 11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso: 0101 = 5 1111 = F 110 entonces agregue 0110 = 6 Agrupe de izquierda a derecha: 6F5 Conversión de decimal a octal: En este caso basta usar el mismo método de conversión con los números binarios. Pero en vez de hacer divisiones sucesivas por 2 hay que efectuarlas por 8. Nótese que el divisor corresponde a la base del sistema al cual se va a convertir. Lo mismo sucede con las multiplicaciones sucesivas, necesarias para convertir números fraccionarios. Ejemplo 1: Convertir 24510 245 / 8 = 30 y resta 5 (dígito mas próximo al punto octal) 30 / 8 = 3 y resta 6 (dígito a la izquierda del 5 obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el 3 queda como dígito de mayor peso a la izquierda del 6 obtenido arriba. Resultado: 24510 = 3658 Ejemplo 2: Convertir 17510 175 / 8 = 21 y resta 7 (dígito mas próximo al punto octal) 21 / 8 = 2 y resta 5 (dígito a la izquierda del 7 obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el 2 queda como dígito de mayor peso a la izquierda del 7 obtenido arriba. Resultado: 17510 = 2578 Ejemplo 3: Convertir 0.43210 0.432 x 8 = 3.456 (dígito mas próximo al punto octal) 0.456 x 8 = 3.648 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba)
  12. 12. 0.648 x 8 = 5.184 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba) 0.184 x 8 = 1.472 (dígito a la derecha del 5 obtenido arriba) Resultado: 0.43210 = 0.33518 OBS.: Note que la conversión no fue exacta. Conversión de hexadecimal a decimal Los números hexadecimal son convertidos a su equivalente decimal multiplicando el peso de cada posición por el equivalente decimal del dígito de cada posición y sumando los productos. Entonces: 12116 = 1 x 162 + 2 x 161 + 1 x 160 1 x 256 + 2 x 16 + 1 x 1 256 + 32 + 1 28910 A1C16 A x 162 + 1 x 161 + C x 160 10 x 256 + 1 x 16 + 12 x 1 2560 + 16 + 12 258810 Conversión de decimal a hexadecimal: Se puede realizar empleando dos procesos: Divisiones sucesivas por 16, cuando el número es entero, o multiplicaciones sucesivas por 16, cuando el número es fraccionario. Siguiendo los mismos lineamientos empleados con los otros sistemas numéricos. Ejemplo 1: 65010 650 / 16 = 40 y resta 10 = A (dígito mas próximo al punto hexadecimal) 40 / 16 = 2 y resta 8 (dígito a la izquierda del anterior) No se puede continuar dividiendo, por lo que el 2 queda como símbolo mas significativo a la izquierda del anterior. Resultado 65010 = 28A16 Ejemplo 2: 258810 2588 / 16 = 161 y resta 12 = C (dígito más próximo al punto hexadecimal) 161 / 16 = 10 y resta 1 (Dígito siguiente a la izquierda del obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el diez (la A) queda como símbolo más significativo a la izquierda del obtenido arriba Resultado 258810 = A1C16 Ejemplo 3: 0.64210 0.642 x 16 = 10.272 (dígito más próximo al punto hexadecimal) 1010=A16 0.272 x 16 = 4.352 (dígito siguiente a la derecha del anterior) 0.352 x 16 = 5.632 (dígito siguiente a la derecha del anterior) 0.632 x 16 = 10.112 (Dígito siguiente a la derecha del anterior) 1010=A16 Resultado 0.64210 = 0.A45A16 2.3 RELACION ENTRE BASES 2,8,16 EJEMPLOS: (347) base 8 a base 2 Primero realizamos la comparación:
  13. 13. 2 exp 0, 2 exp 1, 2 exp 2…… Y según su resultado ponemos los números que lo formen Siendo 7 = 2 exp 0 + 2 exp 1 + 2 exp 2 4 = 2 exp 2 3 = 2 exp 0 + 2 exp 1 Entonces: 011 100 111 en binario por sus posiciones en el orden de exponentes. Cada tres posiciones por tope del 7 que es el mayor numero de la base 8 30AB a binario Procedemos exactamente igual solo que esta vez por ser base 16 en lugar de tomar solo 3 posiciones tomamos 4. 0011 0000 1010 1011 2.4 OPERACIONES Suma de números Binarios Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:  0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  1 + 0 = 1  1 + 1 = 10 Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). Resta de números binarios
  14. 14. El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:  0 - 0 = 0  1 - 0 = 1  1 - 1 = 0  0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo. La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario: En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia. Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos: Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal. Producto de números binarios
  15. 15. El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo de Booth. División de números binarios La división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 2.5 CODIGOS BINARIOS Un código binario es cualquier código formado por dos símbolos que pueden ser combinados para codificar información. Por lo general, los dos símbolos empleados son el 0 y el 1. Sin embargo, podría usarse cualquier par de símbolos. A cada uno de los dígitos (dígitos binarios) que forman las combinaciones del código se los denomina bits.
  16. 16. La importancia de los códigos binarios se pone de manifiesto en su mayor exponente en informática y telecomunicaciones, donde son usados para codificar, tratar y transmitir la información. Además, al plantearse los problemas de la transmisión de la información, surgen nuevos códigos binarios que no sólo permiten codificar la información, sino también conocer si la transmisión de los datos se ha producido correctamente e incluso, en ocasiones, corregir posibles errores. 2.6 NUMERICOS Son utilizados para representar números. Códigos Numéricos Los códigos numéricos sirven para representar números con fines de procesamiento y almacenamiento. Los números de punto fijo y de punto flotante son ejemplos de estos códigos. Números de punto fijo. Se utilizan para representar tantos enteros con signo como fracciones con signo. En ambos casos se usan los mismos sistemas de magnitud y signos de complemento a dos o de complemento a uno para representar los valores con signo. Los enteros de punto fijo tienen un punto binario implícito a la derecha del bit menos significativo; las fracciones de punto fijo tienen un punto binario implícito entre el bit de signo y el bit más significativo. Ejemplo 1. Dar dos posibles interpretaciones del número de punto fijo de ocho bits 01101010 usando el sistema de complemento a dos. Como el bit de signo es 0, el número representa el entero positivo 1101010, o bien la fracción positiva 0.1101010. Ejemplo 2. Dar dos posibles interpretaciones del número de punto fijo de 8 bits 11101010, usando el sistema de complemento a dos. 2.7 ALFANUMERICOS Cuando el dato que se quiere manejar es una letra se hace necesario el expresar este elemento discreto de una forma binaria y para ello se usa algún código binario alfanumérico. Así expresamos las letras del alfabeto y algunos símbolos necesarios como la coma, el punto, etc. Por ejemplo el código ASCII (por American Standard Code for Information Interchange) que es un código de 7 bits que se usa para expresar las letras mayúsculas, minúsculas y los símbolos más usados. Este código es aún usado actualmente por las computadoras y es por ello que es éste el que menciono. Por supuesto existen otros como el código interno (de 6 bits) y el código EBCDIC (Extended BCD Interchange Code de 8 bits), sólo que el ASCII es, por así decirlo, más
  17. 17. usado. Al ser el código ASCII un código de 7 bits, en implementaciones digitales se suele usar el 8avo bit (que completa 1 byte) como bit de paridad. En las tablas ASCII usadas en las computadoras la letra A es siempre mostrado con el número binario correspondiente al decimal 65 (100 0001), la B con el 66 (100 0010) y así sucesivamente hasta llegar a la Z con el 90 (101 1010). Los caracteres que representan símbolos, letras minúsculas y números, estos últimos empezando por el decimal 48 con el caracter 0, también tienen su sitio dentro de la tabla ASCII. Lo importante de resaltar aquí es que la mayoría de los elementos discretos a los que estamos acostumbrados tienen una forma de ser expresados en el mundo binario a través de un Código Binario. CÓDIGOS DECIMALES Entre los códigos binarios tenemos algunos que se usan para representar dígitos decimales. Las formas para representar los números decimales con códigos binarios es muy variada y depende de la lógica que se use. El más usado de todos estos códigos es el BCD (por sus siglas en inglés de “Binary Coded Decimal” o “decimal codificado en binario”). En este caso se usa una relación directa para expresar los dígitos decimales. ¿Qué quiero decir con directa? Pues bien, que al convertir el número binario a decimal obtendrás el dígito decimal en cuestión. Por ejemplo para expresar el (0)10 usamos 0000, para el (5)10 0101 y para el (9)10 1001 (más adelante mostraré una tabla con todas las combinaciones). La forma de calcular el número binario para representar el dígito decimal viene dada por la fórmula explicada en el tema anterior pero para realizar un cálculo rápido recuerden que la carga del primer dígito binario representa 8, la del segundo 4, la del tercero 2 y la del cuarto y último representa 1. Por supuesto que en BCD no existen 1100, 1010, etc ya que éstas no muestran ningún dígito decimal. Otro ejemplo: para representar el dígito decimal 6 en código BCD sería: 0110 ya que: 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 6 Un código decimal que se ha usado en algunos computadores viejos es el código de “exceso a 3”. Este último es un código sin carga, cuya asignación se obtiene del correspondiente valor en BCD una vez se haya sumado 3. Ejemplo (0)10 = 0011, (9)10 = 1100, etc. También es posible asignar cargas negativas a un código decimal, como por ejemplo en el código 8, 4, -2, -1. En este caso la combinación de bits 0110 se interpreta como el dígito decimal 2, ya que como se ve: 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x (-2) + 0 x (-1)=2 Del libro “Lógica digital y diseño de computadores” de M. Morris Mano: “Los números se representan en computadores digitales en binario o decimal a través de un código binario. Cuando se estén especificando los datos, el usuario gusta dar los datos en forma decimal. Las maneras decimales recibidas se almacenan internamente en el computador por medio del código decimal. Cada dígito decimal requiere por lo menos cuatro elementos de almacenamiento binario. Los números decimales se convierten a binarios cuando las operaciones aritméticas se hacen internamente con números representados en binario. Es posible también realizar operaciones aritméticas directamente en decimal
  18. 18. con todos los números ya dejados en forma codificada. Por ejemplo, el número decimal 395, cuando se convierte a binario es igual a 110001011 y consiste en nueve dígitos binarios. El mismo número representado alternamente en código BCD, ocupa cuatro bits para cada dígito decimal para un total de 12 bits: 001110010101” ... esto último por 0011 1001 0101. A continuación veamos una tabla que resume los modos de presentar información en binario en los distintos”códigos decimales” vistos DÍGITO DECIMAL BCD EXCESO A 3 84-2-1 0 0000 0011 0000 1 0001 0100 0111 2 0010 0101 0110 3 0011 0110 0101 4 0100 0111 0100 5 0101 1000 1011 6 0110 1001 1010 7 0111 1010 1001 8 1000 1011 1000 9 1001 1100 1111 CÓDIGO REFLEJADO O CODIGO GRAY Tenemos también el “código reflejado” o “código gray”. El Código Gray es un caso particular de código binario. Consiste en una ordenación de 2n números binarios de tal forma que cada número sólo tenga un dígito binario distinto a su predecesor. Esta técnica de codificación se originó cuando los circuitos lógicos digitales se realizaban con válvulas de vacío y dispositivos electromecánicos. Los contadores necesitaban potencias muy elevadas a la entrada y generaban picos de ruido cuando varios bits cambiaban simultáneamente. El uso de código Gray garantizó que en cualquier transición variaría tan sólo un bit. En la actualidad, el código Gray se sigue empleando para el diseño de cualquier circuito electrónico combinacional mediante el uso de un Mapa de Karnaugh, ya que el principio de diseño de buscar transiciones más simples y rápidas entre estados sigue vigente, a pesar de que los problemas de ruido y potencia se hayan reducido.” En el tema anterior comentamos que los sistemas digitales pueden ser usados sólo para procesar datos discretos pero que existen diversas señales que son continuas (como el sonido) y que para llevar esas señales a un medio discreto necesitaríamos de un convertidor analógico a digital. El código gray también puede ser usado en los casos que requerimos procesar la información proveniente de un medio continuo o analógico
  19. 19. ya que el cambio que presenta dicha señal será reflejado de forma continua en el entorno digital alterando tan sólo un bit entre los estados. El cálculo del código gray de un número puede realizarse de forma sencilla haciendo una XOR del número a convertir con él mismo pero desplazado un bit hacia la derecha y descartando el bit menos significativo del resultado. A continuación una tabla en la que se muestran los números binarios del 0 al (15)10 y sus respectivos bits de paridad par, paridad impar y código gray. Número decimal Número binario Bit de paridad impar Bit de paridad par Código gray 0 0000 1 0 0000 1 0001 0 1 0001 2 0010 0 1 0011 3 0011 1 0 0010 4 0100 0 1 0110 5 0101 1 0 0111 6 0110 1 0 0101 7 0111 0 1 0100 8 1000 0 1 1100 9 1001 1 0 1101 10 1010 1 0 1111 11 1011 0 1 1110 12 1100 1 0 1010 13 1101 0 1 1011 14 1110 0 1 1001 15 1111 1 0 1000 NOTA: Obsérvese que los cambios continuos en código gray son representados con el cambio de un solo bit a la vez. 3. ALGEBRA DE BOOLE. 3.1 POSTULADOS El Álgebra de Boole de forma análoga a cualquier otro sistema matemático deductivo puede ser definida por un conjunto de elementos, operadores y postulados. Del libro
  20. 20. “Lógica Digital y Diseño de Computadores” de M. Morris Mano: “Un conjunto de elementos es una colección de objetos que tienen una propiedad común. Si 'S' es un conjunto y 'x' y 'y' son objetos ciertos, entonces “x € S” denota que x es un miembro del conjunto S y “y ₡ S” denota que “y” no es un elemento de S. Aquí existen muchos términos así que iremos explicando a medida que vayamos avanzando. Antes que nada mencionemos al Operador Binario. OJO, no confunda, este operador NO tiene nada que ver con los números binarios en si. Se conoce como Operador Binario a cualquier “operador” que es usado para realizar una “operación” entre dos elementos. Sabemos que algunos de los postulados más conocidos del Álgebra son: Ley Asociativa. Esta ley dice que siendo * un operador binario, se dice que un conjunto cumple con la ley asociativa si: (x*y)*z = x*(y*z) para todo x, y, z miembros del conjunto. Ley Conmutativa. Esta ley dice que siendo * un operador binario, se dice que un conjunto cumple con la ley conmutativa si: x*y = y*x para todo x, y miembros del conjunto. Ley Distributiva. Esta ley dice que siendo * y • operadores binarios, se dice que un conjunto cumple con la ley distributiva si: z*(x•y) = (z*x)•(z*y) para todo x, y, z miembros del conjunto. Elemento de identidad. Se dice que un conjunto tiene elemento de identidad con respecto a la operación binaria * si, siendo e la identidad, se cumple que: e*x = x*e = x para todo 'x' miembro del conjunto. O sea, en el álgebra de los números reales, el número 0 es elemento de identidad con respecto al operador binario + (suma) y 1 es el elemento de identidad con respecto al operador binario x (multiplicación). El Álgebra de Boole es una sistema algebraico para el tratamiento de las relaciones lógicas (como la usada en los sistemas digitales). Está definida para un conjunto de elementos junto con sus operadores binarios '+' y '•' de tal forma que satisfagan los siguientes postulados:
  21. 21. 1. Posee un elemento de identidad con respecto al operador + y éste es el 0 : A + 0 = 0 + A = A. Posee un elemento de identidad con respecto al operador • y éste es el 1: A • 1 = 1 • A = A 2. Es conmutativo con respecto a + ya que: A + B = B + A Es conmutativo con respecto a • ya que: A • B = B • A 3. • es distributivo sobre + ya que: A • (B + C) = (A•B)+(A•C) + es distributivo sobre • ya que: A + (B • C) = (A+B)•(A+C) 4. Para cada elemento x que pertenece a un conjunto, existe también en ese mismo conjunto un elemento x' llamado complemento de x tal que: (a) x + x' = 1 y (b) x • x' = 0. Por último también debe satisfacer la existencia en el conjunto de al menos dos elementos x, y tal que x≠y... lo que está claro. Además, el álgebra de Boole también cumple con la ley asociativa pero no es un postulado como tal ya que éste puede ser demostrado a través de los mencionados. OJO: '+' y '•' son los símbolos usados para expresar las operaciones binarias posibles en el álgebra de Boole y, aunque se escogieron porque tienen mucha semejanza con los usados en el álgebra de los números reales para la suma y la multiplicación, NO son exactamente iguales y ésto se hace absolutamente obvio en la segunda propiedad distributiva del postulado 3. 3.2 TEOREMAS A continuación presento información recopilada de la Wikipedia. Por cierto que a los puntos siguientes sólo agregaría lo que acabo de mencionar al finalizar el punto anterior y las operaciones posibles con la identidad. (que luego se ven en la tabla en dualidad). Cito: Leyes fundamentales 1. El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único. 2. Ley de idempotencia: A + A = A y A • A = A 3. Ley de involución: (A')' = A 4. Ley conmutativa: A + B = B + A y A • B = B • A 5. Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C y A • (B • C) = (A • B) • C 6. Ley distributiva: A + B • C = (A + B) • (A + C) y A • (B + C) = A • B + A • C 7. Ley de absorción: A + A • B = A y A • (A + B) = A 8. Ley de De Morgan: (A + B)' = A' • B' y (A • B)' = A' + B'
  22. 22. Entonces, para resumir y concluir este apartado se podría decir que todos los postulados se resumen en: 1. (a) x + 0 = x ; (b) x • 1 = x 2. (a) x + x' = 1 ; (b) x • x' = 0 3. (a) x + y = y + x ; (b) x•y = y•x (conmutativo) 4. (a) x • (y + z) = xy + xz ; (b) x + (y • z) = (x + y) • (x + z) (distributivo) y que de ellos pueden obtenerse (y probarse a través de demostraciones matemáticas) los 6 teoremas: 1. (a) x + x = x ; (b) x • x = x 2. (a) x + 1 = 1 ; (b) x • 0 = 0 3. (x')' = x (involución) 4. (a) x + (y + z) = (x + y) + z ; (b) x • (yz) = (xy) • z (asociativo) 5. (a) (x + y)' = x'•y' ; (b) (xy)' = x' + y' (de Morgan) 6. (a) x + xy = x ; (b) x(x + y) = x (de absorción) Entiéndase que, igualmente a lo que estamos acostumbrados, xy es equivalente a decir x•y. Si quieren, también pueden comprobar lo anteriormente dicho realizando la tabla de la verdad de los distintos casos. Si por curiosidad desean ver como demostrar los teoremas a través de los postulados pueden revisar el libro “Lógica Digital y Diseño de Computadoras” de M. Morris Mano en sus páginas 42 y 43. Prioridad del operador: La prioridad del operador al momento de evaluar una operación viene dado por: Primero lo que está dentro de paréntesis, segundo se realiza el operador NOT ( ' ), tercero el operador AND ( • ) y por último el operador OR ( + ). Para más información del álgebra de Boole puede visitar este vínculo o este otro , ambas en la Wikipedia. Puede también encontrar información interesante de éste y muchos otros temas relacionados aquí. 3.3 VARIABLES LOGICAS Son variables que se encuentran en dos estados como verdadero o como falso. Pueden ser: Una letra del alfabeto, Tomar los valores de cero o uno y No tienen significado numérico. Ejemplo: A, B, C, X, Y, ….
  23. 23. 3.4 FUNCIONES LOGICAS También conocidas como funciones Booleanas, no son más que expresiones formadas por variables binarias (o sea, que sólo pueden ser cero o uno), los operadores lógicos OR, AND y NOT como también los paréntesis y el signo de igual. El orden en el que se realizan las operaciones viene dada por la prioridad del operador que comentamos al final del apartado anterior. Suponga lo siguiente: usted tiene un bombillo en su casa. Éste contiene dos interruptores. Entendiendo que la posición del interruptor en encendido se interpreta como un cierto o “1” y que el bombillo encendido también se entiende por un cierto o “1”, si usted quiere que el bombillo se encienda si y sólo si ambos interruptores están en la posición de encendido, usted podría definir una función lógica del problema de la siguiente forma: F = xy donde F es una función de Boole cuyo resultado sólo puede ser '1' (encendido) ó '0' (apagado) y que muestra el estado del bombillo para las dos variables binarias 'x' y 'y' que serían los interruptores. Si creamos la tabla de la verdad de esta función tenemos que: X Y F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 y esto es precisamente lo que queríamos obtener. El bombillo se encenderá si ambos interruptores están encendidos. Veamos otro ejemplo. F1 = xyz' Esto es una función de Boole representada por una expresión algebraica. Ésta la podemos representar también por medio de la tabla de la verdad. X Y Z F1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
  24. 24. 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Se ve que F1 será 1 si x = 1, y = 1, z = 0 (z' = 1). Las tablas de la verdad de las funciones de Boole contendrán siempre 2n combinaciones de unos y ceros de las n variables incluida en la función y una columna que mostrará para que combinación el resultado es uno o cero. En el caso anterior teníamos 3 variables or lo que necesitamos 8 combinaciones (23). Consideremos ahora los siguientes dos casos: F2 = x + y'z y F3 = x'y'z + x'yz + xy' El la siguiente tabla de la verdad se muestran para que casos las funciones F2 y F3 se hacen uno. X Y Z F2 F3 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 Ok, pero existen varias expresiones algebraicas capaces de obtener el mismo resultado con las mismas variables. ¿Qué quiere decir esto? Que yo puedo tener dos funciones de Boole con las mismas variables pero organizadas de otra forma (incluso puede contener menos variables) tal que el resultado de ambas funciones de Boole sea el mismo. De hecho ésta es una de las aplicaciones más importantes que se pueden obtener del álgebra de Boole y consiste en reducir o “simplificar” una función. De esta forma forma podríamos realizar el diseño de nuestro circuito lógico de una forma más compacto y con el uso de menos compuertas. Fíjese en el siguiente ejemplo: F4 = xy' + x'z
  25. 25. Si realiza la tabla de la verdad de esta función observará que el resultado es el mismo que para la función F3. F4 será uno o cero para la misma combinación de X, Y y Z que hacen uno o cero la función F3. Como ya se mencionó, las funciones lógicas pueden resumirse, hacerse más sencillas. De esta forma al realizar el circuito se usarán menos compuertas. Lás formas de simplificar dichas funciones es tema de los próximos temas. Una función lógica puede ser transformada de una expresión algebraica a un diagrama compuesto por compuertas lógicas AND, OR y NOT. Por ahora veamos algunos conceptos básicos de las compuertas lógicas (que es el punto a seguir) y al finalizarlo les mostraré como se expresa una función lógica en un diagrama de bloque formado por compuertas. 3.5 SIMPLIFICACION DE FUNCIONES MEDIANTE BOOLE. Ejemplos: F(A,B,C) = ABC+A ~B+AB ~C = (ABC+AB ~C) + A ~B = AB (C+ ~C) + A ~B = AB(1) + A ~B = AB + A ~B = A(1) = A F(A,B,C,D) = A ~B ~C + A ~B ~CD + ~CA = (A ~B ~C + A ~B ~CD) + ~CA = A ~B ~C (1+D) + ~ CA = A ~B ~C(1) + A ~C = A ~B ~C + A ~C = A ~C (B + 1) = A ~C (1) = A ~C 4. OPERADORES LOGICOS Y COMPUERTAS. 4.1 OPERADORES Los circuitos cuyos componentes realizan operaciones análogas a las que indican los operadores lógicos se llaman "circuitos lógicos" o "circuitos digitales". Los operadores lógicos básicos son "Y", "O" y "N", los cuales se representan respectivamente con los símbolos: , y . Por eso, los componentes que realizan operaciones análogas se llaman "componentes básicos" [*]. Los componentes que resultan de la combinación de dos o más componentes básicos se llaman "componentes combinados" [**]. Todos los componentes arrojan una señal de salida, pero pueden recibir una o dos señales de entrada. En general, se los llama "compuertas" (en inglés, gates) [***]. Las compuertas se construyen con resistores, transistores, diodos, etc., conectados de manera que se obtengan ciertas salidas cuando las entradas adoptan determinados valores. Los circuitos integrados actuales tienen miles de compuertas lógicas.
  26. 26. 4.2 AND Conjunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "y" q. p q V V V F F V F F V F F F 4.3 OR Disyunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "O" q. p q V V V F F V F F V V V F 4.4 NOT Negación. Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de p, la cual se simboliza así: O también: no es cierto que p p V F
  27. 27. F V 4.5 OREX Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta XOR Entrada A Entrada B Salida A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). 4.6 COMPUERTAS Y SUS TABLAS 4.7 AND AND La compuerta AND o Y lógica es una de las compuertas más simples dentro de la Electrónica Digital. Su representación es la que se muestra en las siguientes figuras. La primera es la representación de una compuerta AND de 2 entradas y la segunda de una compuerta AND de 3 entradas. La compuerta Y lógica más conocida tiene dos entradas A y B, aunque puede tener muchas más (A,B,C, etc.) y sólo tiene una salida X. La compuerta AND de 2 entradas tiene la siguiente tabla de verdad.
  28. 28. Se puede ver claramente que la salida X solamente es "1" (1 lógico, nivel alto) cuando la entrada A como la entrada B están en "1". En otras palabras... La salida X es igual a 1 cuando la entrada A y la entrada B son 1 Esta situación se representa en álgebra booleana como:X = A*B o X = AB. Una compuerta AND de 3 entradas se puede implementar con interruptores, como se muestra en el siguiente diagrama. La tabla de verdad se muestra al lado derecho donde: A = Abierto y C = Cerrado. Una compuerta AND puede tener muchas entradas. Una compuerta AND de múltiples entradas puede ser creada conectando compuertas simples en serie. El problema de poner compuertas en cascada, es que el tiempo de propagación de la señal desde la entrada hasta la salida, aumenta. Si se necesita una compuerta AND de 3 entradas y no una hay disponible, es fácil crearla con dos compuertas AND de 2 entradas en serie o cascada como se muestra en el siguiente diagrama. Se observa que la tabla de verdad correspondiente es similar a la mostrada anteriormente, donde se ultilizan interruptores.
  29. 29. Se puede deducir que el tiempo de propagación de la señal de la entrada C es menor que los de las entradas A y B (Estas últimas deben propagarse por dos compuertas mientras que la entrada C se propaga sólo por una compuerta) De igual manera, se puede implementar compuertas AND de 4 o más entradas 4.8 OR La compuerta lógica "OR" o compuerta "O" La compuerta O lógica o compuerta OR es una de las compuertas mas simples dentro de la Electrónica Digital. La salida X de esta compuerta será "1" cuando la entrada "A" o la entrada "B" este en "1". O expresándolo en otras palabras: En una compuerta OR, la salida será "1", cuando en cualquiera de sus entradas haya un "1". La representación de la compuerta "OR" de 2 entradas y tabla de verdad se muestran a continuación: A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Y se representa con la siguiente función booleana: X = A+B o X = B+A
  30. 30. Esta misma compuerta se puede implementar con interruptores como se muestra en la figura de la derecha, en donde se puede ver que: cerrando el interruptor A "O" el interruptor B se encenderá la luz "1" = cerrado , "0" = abierto, "1" = luz encendida En las siguientes figuras se muestran la representación de la compuerta "OR" de tres entradas con su tabla de verdad y la implementación con interruptores Representación de una compuerta OR de 3 entradas con su tabla de verdad Compuerta "OR" de 3 entradas implementada con interruptores La lámpara incandescente se iluminará cuando cualquiera de los interruptores (A o B o C) se cierre. Se puede ver que cuando cualquiera de ellos esté cerrado la lámpara estará alimentada y se encenderá. A B C X 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
  31. 31. La función booleana es X = A + B + C 4.9 OREX OREX Puerta OR-exclusiva (XOR) Símbolo de la función lógica O-exclusiva. a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado La puerta lógica O-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es: |- Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta XOR Entrada A Entrada B Salida A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas escribiríamos: a (b c) o bien (a b) c. Su tabla de verdad sería:
  32. 32. XOR de tres entradas Entrada A Entrada B Entrada C Salida A B C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 4.10 INVERSOR Compuerta NOT El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa. 4.11 NAND La compuerta NAND con tecnología RTL se implementa con una resistencia y un transistor para cada una de las entradas de esta compuerta como se muestra en la figura.
  33. 33. En este caso (y tomando en cuenta que la tensión colector – emisor de un transistor saturado es de aproximadamente 0.3 voltios), la tensión de salida en nivel bajo sería de 0.6 voltios. Hay que recordar que si este nivel de tensión (0.6 voltios) va ha servir de entrada a otro circuito RTL, faltaría muy poco para que esta señal ("0" lógico) haga conducir el transistor de entrada (0.7 voltios en la unión base-emisor) de la siguiente compuerta, interpretándose erróneamente esta entrada como un "1" lógico. La situación anterior se presenta con una compuerta de 2 entradas. Si se implementara una compuerta con 3 entradas, la salida "0" lógico sería de 0.9 voltios y no se podría interpretar como nivel bajo por la compuerta que sigue (problema, pues pondría en conducción el transistor cuando no debería hacerlo). Este es uno de los problemas con las compuertas RTL y se hace más notorio con el aumento de la frecuencia de operación. Otra opción sería utilizar las compuertas NOR y NOT y el teorema DeMorgan para implementar una compuerta AND y NAND 4.12 NOR Si se desea implementar una compuerta NOR con tecnología RTL (Resistor Transistor Logic) , el diagrama sería como se muestra en el siguiente gráfico. En este caso cada entrada tiene una resistencia de 470 ohmios y un transistor. Al final todos los colectores de los transistores se conectan en punto común y comparten una sola resistencia de 640 ohmios. Si se desea obtener una compuerta OR, se colocaría a la salida de esta compuerta un inversor como el que se mostró en el primer diagrama 4.13 NOREX Es una combinación entre el or exclusivo y un inversor TABLA: A B NOREX 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  34. 34. 4.14 EJERCICIOS CON COMPUERTAS, FUNCIONES Y TABALAS Sabiendo ésto, veamos ahora como se representarían algunas de las funciones de las que hablamos antes pero diagramadas con las compuertas. En particular veremos las funciones F = xyz' y F4 = xy' + x'z. En ese orden: y el otro sería: Esto es todo por este tema. Para el próximo hablaremos de Simplificación de funciones por algebra de Boole. Tabla de la verdad. Formas canónicas. 5. CIRCUITOS. 5.1 PROTOBOARD Y CHIPS DE COMPUERTAS 5.2 PRACTICA PARA VERIFICACION DE COMPUERTAS 5.3 DISEÑO DE UNA FUNCION LOGICA QUE TENGA MINIMO 3 VARIABLES QUE REPRESENTE IGUAL NUMERO DE “0” S Y “1” S Y QUE TENGA MINIMO 2 TIPOS DE COMPUERTAS DE CADA TIPO. 5.4 IMPLEMENTACION Y DEMOSTRACION DEL DISEÑO 6. MAXTERMS Y MINTERMS. 6.1 SOP (SUMA DE PRODUCTOS) Es una expresión expresada en minterms.
  35. 35. F(X,Y,Z) = ~X~YZ+~X~YZ+XYZ+X~YZ+~X~YZ = m3+m0+m7+m5+m1 6.2 POS (PRODUCTOS DE SUMAS) F(X,Y,Z) = (X+Y+Z) (~X+Y+Z) (~X+ ~Y+Z) = M1+M2+M4+M6 6.3 EJEMPLOS Y EJERCICIOS 7. MAPAS DE KARNAUGH. 7.1 DEFINICION Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método. 7.2 TIPOS Esto dependerá del numero de variables que se tenga, pudiendo ser de dos, tres, cuatro, … 7.3 MANERA DE USO Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables. Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1". Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.
  36. 36. F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh. Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B, C)) La primera fila corresponde a A = 0 La segunda fila corresponde a A = 1 La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0) La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1) La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1) La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0) En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh. Para proceder con la simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2). Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo, mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de "1"s en cada grupo Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas entre los grupos). La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh. - Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar) - Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar) Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B
  37. 37. 7.4 APLICACIÓN DE LOS MAPAS – K EN SIMPLIFICACIONDE FUNCIONES LOGICAS. Ejemplo: Una tabla de verdad como la de la, izquierda da la siguiente función booleana: F = A B C + A B C + A B C + A B C Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = "1" Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno. Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos. La función simplificada es: F = A B + A C + B C Grupo en azul: AB, grupo marrón:AC, grupo verde:BC 7.5 EJERCICIOS a. Enunciado: Diseñar un circuito lógico que permita convertir un número binario en gray usando 3 bits. b. Hacer un diagrama de bloques del circuito c. Tabla de valores d. Determinar las funciones de las salidas (Min terms)
  38. 38. e. Simplificación de funciones f. Diagrama de compuertas del circuito g. Implementación y armaje del circuito 8. CIRCUITO LOGICO PRACTICO 8.1 DISEÑO E IMPLEMENTACION DE UN CONVERSOR BINARIO. 9. BIBLIOGRAFIA: http://www.templobinario.com/index.php?mdl=la&ida=45# http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal http://electronred.iespana.es/sist_numera.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Base_16 http://www.unicrom.com/Tut_compuertaand.asp
  39. 39. http://www.unicrom.com/Tut_compuertaor.asp http://es.wikipedia.org/wiki/Compuertas_l%C3%B3gicas http://www.monografias.com/trabajos27/analogico-y-digital/analogico-y-digital.shtml http://www.monografias.com/trabajos34/numeracion-software/numeracion-software.shtml
  40. 40. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA INDOAMERICA TRABAJO DE CIRCUITOS LOGICOS REALIZADO POR: JAIRO POZO 2008 - 2009
  41. 41. INDICE: SISTEMAS ANALOGICOS Y DIGITALES. DEFINICIONES CARACTERISTICAS DIFERENCIAS EJEMPLOS SISTEMAS DE NUMERACION. DIFERENTES SISTEMAS TRANSFORMACIONES RELACION ENTRE BASES 2,8,16 OPERACIONES CODIGOS BINARIOS NUMERICOS ALFANUMERICOS ALGEBRA DE BOOLE. POSTULADOS TEOREMAS VARIABLES LOGICAS FUNCIONES LOGICAS SIMPLIFICACION DE FUNCIONES MEDIANTE BOOLE. OPERADORES LOGICOS Y COMPUERTAS. OPERADORES AND OR NOT OREX COMPUERTAS Y SUS TABLAS AND
  42. 42. OR OREX INVERSOR NAND NOR NOREX EJERCICIOS CON COMPUERTAS, FUNCIONES Y TABALAS CIRCUITOS. PROTOBOARD Y CHIPS DE COMPUERTAS PRACTICA PARA VERIFICACION DE COMPUERTAS DISEÑO DE UNA FUNCION LOGICA QUE TENGA MINIMO 3 VARIABLES QUE REPRESENTE IGUAL NUMERO DE “0” S Y “1” S Y QUE TENGA MINIMO 2 TIPOS DE COMPUERTAS DE CADA TIPO. IMPLEMENTACION Y DEMOSTRACION DEL DISEÑO MAXTERMS Y MINTERMS. SOP (SUMA DE PRODUCTOS) POS (PRODUCTOS DE SUMAS) EJEMPLOS Y EJERCICIOS MAPAS DE KARNAUGH. DEFINICION TIPOS MANERA DE USO APLICACIÓN DE LOS MAPAS – K EN SIMPLIFICACIONDE FUNCIONES LOGICAS. EJERCICIOS CIRCUITO LOGICO PRACTICO DISEÑO E IMPLEMENTACION DE UN CONVERSOR BINARIO. BIBLIOGRAFIA:

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