• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Cara menggambar graf sederhana matematika diskrit
 

Cara menggambar graf sederhana matematika diskrit

on

  • 7,684 views

 

Statistics

Views

Total Views
7,684
Views on SlideShare
7,684
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
134
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Cara menggambar graf sederhana matematika diskrit Cara menggambar graf sederhana matematika diskrit Document Transcript

    • 1 BAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Masalah Dalam suatu model matematika, berbagai masalah atau situasi kehidupan sehari-hari biasanya didefinisikan kemudian dinyatakan dalam suatu sistem yang bersifat matematis. Salah satu contoh representasi keadaan nyata (riil) yag banyak diketahui dapat kita jumpai dalam geometri datar, program linier maupun trigonometri. Graf merupakan contoh lain dari representasi keadaan nyata yang banyak sekali manfaatnya. Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang menghubungkan objek-objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah. Garis berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan diantara objek-objek. Urutan objek-objek akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya, garis
    • 2 tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antara objek yang tidak mementingkan urutan. Karena begitu pentingnya aplikasi graf dalam kehidupan sehari-hari dan pada perkembangan komputer maka pemahaman teori graf mutlak untuk dipahami dewasa ini supaya kita tidak hanya terjebak dalam penguasaan kulit tanpa pengertian akan isinya. Terkadang dalam menggambar graf sederhana biasanya kita akan mengalami kesulitan dalam menentukan urutan gambar yang belum digambar. Oleh karena itu, dalam seminar matematika ini penulis akan khusus mengkaji dasar teori graf hingga penyelesaian graf sederhana menggunakan cara yang lebih efektif yang ditemukan penulis sendiri sehingga gambar graf akan tersusun secara sistematis dan jauh dari kesulitan dalam menentukan gambar graf yang belum digambar pada banyak graf-graf sederhana yang terbentuk dari beberapa titik dan beberapa garis.1.2 Rumusan Masalah 1.2.1 Apakah yang dimaksud dengan graf ? 1.2.2 Apakah dasar-dasar teori graf ? 1.2.3 Bagaimana cara efektif untuk menyelesaikan graf sederhana dalam mata kuliah matematika diskrit ?
    • 31.3 Tujuan Dari latar belakang dan rumusan masalah yang telah terurai, maka tujuan yang ingin dicapai dalam seminar makalah ini adalah: 1.3.1 Anggota seminar dapat memahami pengertian graf. 1.3.2 Anggota seminar dapat memahami dasar-dasar teori graf. 1.3.3 Anggota seminar dapat memahami dan menggunakan cara efektif untuk menyelesaikan graf sederhana dalam mata kuliah matematika diskrit.1.4 Manfaat 1.4.1 Manfaat Praktis Hasil seminar ini diharapkan dapat bermanfaat bagi mahasiswa, guru dan pemerhati pendidikan khususnya di bidang matematika. a. Bagi mahasiswa Hasil penelitian ini diharapkan dapat meningkatkan kemampuan berpikir mahasiswa dan penentuan sikap ataupun karakter yang tepat dalam upaya meningkatkan prestasi belajar mahasiswa. b. Bagi guru dan pemerhati pendidikan Menambah masukan tentang alternatif dalam menyelesaikan graf sederhana sehingga dapat memberikan sumbangan nyata bagi peningkatan prestasi belajar matematika mahasiswa selanjutnya.
    • 41.4.2 Manfaat Teoretis Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam bidang pendidikan dan memperkaya teori pendidikan khususnya dalam bidang matematika.
    • 5 BAB II PEMBAHASAN2.1 Landasan Teori2.1.1 Pengertian Graf Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang menghubungkan objek- objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah. Garis berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan diantara objek-objek. Urutan objek-objek akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya, garis tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antara objek yang tidak mementingkan urutan.
    • 62.1.2 Dasar-dasar teori Graf Definisi 2.1.2 Sebuah graf adalah suatu himpunan V yang tidak kosong, yang memenuhi sifat tidak refleksi dan simetris dari suatu relasi pada V. Suatu graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik-titik yang tak kosong dan himpunan garis-garis. Oleh karena relasi R pada V simetris, maka untuk setiap pasangan terurut (u,v) ϵ R dinotasikan dengan E. Sebagai contoh, sebuah graf G dapat didefinisikan dengan himpunan V = {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan relasi R = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4), ( v3,v1) ( v3,v2), ( v4,v2) ,( v4,v3) } Dalam hal ini E = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4) } = (e1, e2 ,e3 ,e4 ) Dalam sebuah graf G, V merupakan himpunan titik dan setiap elemen V disebut titik (vertex) yang disimbolkan dengan V(G). banyaknya titik dalam G disebut orde dari G. sedangkan E disebut sisi (Edge) yang
    • 7disimbolkan dengan E(G). Banyaknya sisi dalam G disebut dengan ukurandari G.Dengan demikian |V| = orde dari G dan |E| = ukuran dari G.Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebutdisebut dengan titik ujung.Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik disebut dengan loop.Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut degangaris pararel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjecent) jika ada garisyang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yangberhubungan dengannya disebut titik terasing (isolating point).Jika graf G didefinisikan dalam bentuk sebuah himpunan titik V dan suaturelasi R pada V, maka (u,v) ϵ R dan (v,u) juga elemen R.Dengan demikian {(u,v),(v,u)} adalah sebuah sisi dari G.Untuk memudahkan penulisan, sebuah sisi cukup dinyatakan dalam notasiuv atau vu saja. Dengan demikian graf G dalam contoh diatas dapatdijadikan sebagai himpunan V= {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan E = {( v1,v3), (v2,v3),( v2,v4), ( v3,v4) } sehingga orde dan ukurannya adalah 4. Himpunan V x V dimungkinkan berupa himpunan kosong, karenarelasi R pada V memenuhi sifat tidak refleksif dan antisimetris.
    • 8 Hal ini berakibat bahwa himpunan sisi dari suatu graf bisa berupa himpuan kosong atau dengan kata lain sebuah graf mungkin tidak mempunyai sisi. Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak memiliki garis) disebut dengan graf kosong. Dalam graf tak berarah (undirected graph) yaitu graf yang semua garisnya tidak berarah, garis e dengan titik ujung ( u,v) menyatakan suatu garis dari titik u ke titik v. Dengan diketahuinya graf, maka himpunan garis, titik, serta titik-titik ujungnya adalah tunggal. Akan tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dengan diketahui himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya, maka dapat dibentuk graf yang berbeda. Perbedaan graf tersebut terletak pada panjang garis, kelengkungan dan posisi titik yang berbeda antara graf yang satu dengan yang lainnya. Akan tetapi, visualisasi perbedaan panjang garis, kelengkungan dan posisi titik tidak berpengaruh, maka graf-graf tersebut merupakan graf yang sama meskipun secara visual tampak berbeda.2.1.3 Derajat (Degree)
    • 9 Sebelumnya sudah diperkenalkan dua bilangan yang berkenaandengan orde dan ukuran sebuah graf. Selanjutnya kita akan membicarakansejumlah bilangan yang berkaitan dengan suatu graf G. Misalkan v adalahsebuah titik dari G. banyaknya sisi dari G yang berujung di v disebutdengan derajat dari v yang disimbolkan dengan deg Gv atau deg v ataud(v).Definisi 2.1.3 : Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajattitik v (deg v) adalah jumlah garis yag berhubunngan dengan titik v dangaris suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajatsemua titik dari G.Teorema 2.1.3.1 : Misalkan G adalah sebuah graf. Jumlah derajat total psuatu graf adalah genap atau ∑ deg v i =1 i = 2qTeorema 2.1.3.2 : Jika k adalah banyaknya titik ganjil dari suatu graf,maka k genap atau jumlah titik yang berderajat ganjil dalam suatu grafadalah genap. Misalkan R adalah jumlah derajat semua titik yang berderajatgenap, S adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil dan Tadalah derajat total graf G.
    • 10 Jika R=deg v1 + deg v2 + ... + deg vk S= deg u1 + deg u2 + ... + deg un Maka T = R + S, dimana T adalah bilangan genap. Dari relasi T = R + S berarti S = T - R. Oleh karena T dan R bilangan –bilangan genap, maka S = deg u1 + deg u2 + ... + deg uk merupakan bilangan genap. Padahal menurut asumsi deg u1 + deg u2 + ... + deg uk masing-masing adalah bilangan ganjil. Jadi S berupa bilangan genap jika merupakan jumlahan uk buah bilangan ganjil. Hal ini bisa terjadi apabila banyaknya uk atau k adalah genap.2.1.4 Graf Sederhana ( Simple Graph ) Definisi 2.1.4 : graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki loop atau pun garis pararel. Contoh 2.1.4.1 : Gambarlah semua graf yang dapat dibentuk dari 3 titik {a,b,c} dan 2 garis. Penyelesaian :
    • 11Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah 3!titik. Oleh karena ada 3 buah titik, maka 3 C 2 = = 3 buah garis (3 − 2)!2!yang mungkin dibuat, yaitu garis-garis yang titik ujungnya (a,b) , (a,c) dan(b,c). Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya. 3!Jadi ada 3 C 2 = = 3 buah graf yang mungkin dibentuk. (3 − 2)!2!Graf –graf tersebut dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut ini. a a a b c b c b c Gambar 2.1Jika tiap titik dari suatu graf G memiliki derajat yang sama misalnya n,maka graf G adalah graf regular denngan derajat n (graf lengkap) atausering disebut dengan n-reguler. Sebuah graf lengkap orde p adalah(p-1) – regular dan dinotasikan dengan Kp.
    • 122.1.5 Cara Efektif Menyelesaikan Graf Sederhana Contoh 2.1.5 : Gambarlah graf yang dapat dibentuk dari 5 buah titik dan 3 buah garis. Penyelesaian : Langkah 1 ; Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah 5! titik. Oleh karena ada 5 buah titik, maka 5 C 2 = = 10 buah garis (5 − 2)!2! yang mungkin dibuat. Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya. 10! Jadi ada 10 C3 = =120 buah graf yang mungkin dibentuk. (10 − 3)!3! Langkah 2 ; Kita misalkan titik-titik yang ada dinamakan titik {a,b,c,d,e}. Sehingga didapat 10 garis yang titik ujungnya {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de} Misalkan, {ab=1, ac=2, ad=3, ae=4, bc=5, bd=6, be=7, cd=8, ce=9, de=10} Sehingga dapat dibuat tabel atau diagram sebagai berikut :
    • 13
    • 14Sehingga gambar graf yang terbentuk dari tabel adalah sebagai berikut : a 1. Graf 123 : b e c d a 2. Graf 124 : b e c d a 3. Graf 125 : b e c dDan seterusnya hingga 120 gambar graf.Soal Latihan : 1. Buatlah semua graf yang terbentuk dari 4 buah titik dan 3 buah garis !
    • 15 BAB III PENUTUP3.1. Kesimpulan Dengan penyelesaian graf menggunakan cara efektif seperti diatas, maka diharapkan pembaca akan lebih mudah dalam menggambar graf yang terbentuk. Terutama dalam pembuatan graf dalam jumlah besar seperti pada contoh 2.1.5 dengan jumlah graf sebanyak 120 buah.3.2. Saran Diharapkan kepada pembaca agar mempelajari materi di berbagai sumber atau referensi mengingat cakupan materi yang disajikan dalam makalah ini masih sangat terbatas. Diharapkan kepada pembaca agar memperhatikan seminar sebaik mungkin, karena jika hanya berdasarkan makalah, pemahaman mengenai isi materi belum optimal.
    • 16 DAFTAR PUSTAKAJong Jek Siang. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer .Yogyakarta:AndiEka Mahendra I Wayan.2010 .Diktat Mata Kuliah Matematika Diskrit. Denpasar
    • 17
    • 17
    • 17