Na oficina foi abordado o uso do aplicativo Geogebra como ferramenta auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de objetos matemáticos:"transformações Lineares Planas". Obtenha a apostila sobre o assunto em meu blog: www.odilthom.com

1. 18 DE OUTUBRO DE 2015
TEMA OFICINA: SOFTWARE GEOGEBRA
OFICINA 5: “TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS EM UM AMBIENTE DE
GEOMETRIA DINÂMICA”.
Prof.: Odilthom ES Arrebola (ARREBOLA, O.E.S)
Lic. em Mat. , Mestre em Edu. Mat.
<pós-graduado – formação de profs. p/E.S.>
arrebolas@uol.com.br
http://odilthom.blogspot.com.br/

2. GEOGEBRA E AS TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
 LOCAL: FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CAMPUS MARQUÊS DE PARANAGUÁ
 APOIO
Organização dos Estados Iberoamericanos – OEI
Institutos Ibero-americano de IBERTIC e IBERCIENCIA - Espanha
Federação Ibero-americana de Sociedades de Educação Matemática - FISEM
Instituto GeoGebra de Andalucía (Espanha)
Instituto GeoGebra de São Paulo (Brasil)
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
Equipe Técnica de apoio: DTI – PUC/SP - suporte@pucsp.br

3. PROPOSTA DA OFICINA
RESUMO:
 PALAVRAS CHAVES:
 GEOGEBRA - ENSINO E APRENDIZAGEM - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
PLANAS.
META:
 DISCUTIR > utilização do software no ensino da matemática.
OBJETIVOS
 Compreender as práticas relacionadas à matemática
 Reconhecer os programas computacionais como uma ferramenta natural > motivar
a discussão qualitativa e integradora de ensino e aprendizagem dos objetos
matemáticos.
 Analisar > possíveis implicações do uso desse programa e suas possibilidades.

4. O TEMA DO EVENTO
TEMA :
 GEOGEBRA
MOTIVAÇÃO:
FAVORECER:
 1.a construção ou produção do objeto em estudo.
 2.a descoberta de como desenvolver o conhecimento .

5. A OFICINA
CONSTRUÇÃO
JUSTIFICATIVA: 1.TECNOLOGIA 2.TEORIA3.OBJETO DE ESTUDO
COMPOSTA DE DUAS PARTES
 PRIMEIRA PARTE
 APRESENTAÇÃO
1. A TECNOLOGIA.
2. A TEORIA: REFERENCIAL TEÓRICO.
3. O OBJETO DE ESTUDO:TRANSFORMAÇÕES LINEARES.
4. EXERCÍCIO MOTIVADOR
 SEGUNDA PARTE
 ATIVIDADE PRÁTICA:
Listas de exercícios com aplicação do software Geogebra.

6. 1. A TECNOLOGIA
A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS INFORMÁTICAS NO PROCESSO DE
ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
 Uso da tecnologia no ambiente de sala de aula para o ensino da
Matemática traz:
 1. Ao professor, a possibilidade de desenvolver contínuas construções de
seu saber pedagógico e tecnológico;
 2. Ao aluno, oportunidades de atitudes e ações, possibilitando-lhe a
construção e reconstrução de conhecimentos, despertando-lhe o desejo de
aprender e participar do processo de aprendizagem.
 Geogebra: criado para ser utilizado em ambiente de sala de aula.
 Análise da utilização: consequências – benefícios (?)

7. 2. A TEORIA
A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS:
 O que é Semiótica?
 Representar um objeto? E uma representação?
 Registro?
DUVAL (1993, 1995, 2003, 2011) - BARROS(2011) - KARRER (2006) –
ARREBOLA (2013)
SEMIÓTICA > BARROS (2011): Ciência ligada a signos e símbolos que tem a
função de comunicação.
REPRESENTAR UM OBJETO > Criar uma cópia ou produzir alguma expressão que lembre o
objeto. Ato de representar > REPRESENTAÇÃO.
REGISTRO > Conjunto de signos ou sinais ou sons >utilizados na representação > evocar um
objeto presente ou ausente.

8. 2. A TEORIA
HISTÓRIA:
 Em 1910, a semiótica torna disciplina.
 OBRA: “Cours de linguistique génèrale”
 PESQUISADORES: ao filósofo, lógico e linguístico suíço SAUSSURE (Henri
Louis Ferdinand de ) e ao matemático, filósofo e lógico americano
PIERCE(Charles Sanders).
 ARTIGOS(2): do matemático, filósofo e lógico alemão FREGE(Friedrich
Ludwig Gottob).
A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS:
 CRIADOR: Psicólogo francês Raymond DUVAL (1993, 1995, 2003, 2011).
 TENTATIVA: Explicar > Processo cognitivo do aprendizado – aspectos da
Semiótica e da Psicologia Cognitiva.

9. 2. TEORIA
DUVAL (1993, 1995, 2003, 2011)BARROS(2011)
 Como surgiu a noção de representação semiótica?
 Problema de modelização da linguagem.
 Como é feita a apreensão ou produção de uma representação
semiótica de um objeto?
 REPRESENTAÇÕES:
 1. EXTERNA > indivíduo =>SEMIÓSIS e
 2. INTERNA > indivíduo => NOÉSIS (conceitualização).

10. FIGURAS ILUSTRATIVAS DA TEORIA DOS REGISTROS DE
REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
( UNIBAN - ANHANGUERA – ARREBOLA, 2013.)
 Como entender a diferença
entre tratamento e conversão?
 Quantos são e quais são os
tipos de registro

11. 3. OBJETO DE ESTUDO
 TÓPICO DA ÁLGEBRA LINEAR : T.L.
 O que são transformações lineares (T.L.)?
Funções: domínios e imagens são espaços vetoriais.
Preservam: Operações - adição de vetores e multiplicação de um vetor por um
escalar.
 Uso: Representação gráfica do Geogebra - apresentar as ilustrações dessas
transformações.
 Qual o motivo da escolha desse tópico?
Porque as TL modelam vários tipos de movimentos tanto no plano, quanto no espaço.
 MATEMÁTICA: comunicação  representações.
 Objetos: conceitos, propriedades, estruturas e relações  escritos, símbolos,
desenhos, gráficos e notações.

12. SINOPSE DO OBJETO MATEMÁTICO e REGISTROS
 CONTEÚDO: Transformações Lineares no Plano e no Espaço.
 MATERIAL DA ATIVIDADE: questões selecionadas e retiradas das referências
bibliográficas.
 REGISTROS: ALGÉBRICOS GRÁFICOS (KARRER (2006))
 OBJETIVO: Avaliar se os participantes da oficina são capazes de compreender
como se reconhece a matriz de Transformação Linear partindo do efeito
geométrico.
 SITUAÇÃO:
 1. Envolve a conversão de registros.
 2. Efeito geométrico e sua Descrição.
 3. Avaliação no plano e no espaço : o que ocorre com a imagem do objeto de
estudo.

13. O SOFTWARE GEOGEBRA
 APRESENTAÇÃO
 O SOFTWARE GEOGEBRA:
 Software livre, portátil, fácil de manipular, idealizado e desenvolvido por Markus
Hohenwarter – Universidade de Salsburg. Projeto foi iniciado em 2001.
 SIGNIFICADO:
Geogebra é um programa com união de um sistema de geometria dinâmica e de um
sistema de computação algébrica, i.e., DGS – Dynamic Geometry System e CAS –
Computer Algebric System.
 FINALIDADE:
Para ser utilizado em ambiente de sala de aula.

14. O GEOGEBRA E AS TRANSFORMAÇÕES LINEARES
NO PLANO - R² NO ESPAÇO - R³

15. O GEOGEBRA E EXERCÍCIO MOTIVADOR
ASPECTOS GERAIS
• BARRA DE MENUS
• As funções de seus elementos.
• BARRAS DE FERRAMENTAS
• 12 botões ou ícones – bloco de
ferramentas
FIGURA ILUSTRATIVA
 EXERCÍCIO MOTIVADOR
 Retirado do livro “Introdução à Álgebra
Linear” de autoria de João Pitombeira
de Carvalho, c.2, p.52, n.2.2.40:
 Se , ache
a imagem de C por um prolongamento
paralelo ao eixo “Oy”.

16. RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.
 ESPAÇO VETORIAL REAL
I. COMBINAÇÃO LINEAR
II. LINEARMENTE
DEPENDENTE E
LINEARMENTE
INDEPENDENTE
III. BASES E DIMENSÃO

17. RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.
C.L., BASE E DIMENSÃO L.D. OU L.I.
FIGURA ILUSTRATIVA FIGURA ILUSTRATIVA

18. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
.
 TRANSFORMAÇÕES:
Definição: Uma transformação linear de R2 em R2, ou simplesmente
um operador linear em R2, é uma função T: R2 → R2 da forma:
T(x, y) = (a1. x + b1. y , a2. x + b2. y) ou
1. DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO OU INVERSÃO
2. CISALHAMENTO: i. Na direção do eixo dos x
ii. Na direção do eixo dos y
3. REFLEXÃO: i. Na em torno do eixo dos x
ii. Na direção do eixo dos y
iii. Em torno da origem
4. ROTAÇÃO

19. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
MATRIZ CANÔNICA
TRANSFORMAÇÕES LINEARES: T(x, y) = (a1. x + b1. y , a2. x + b2. y)
Determine a lei algébrica T(x, y) que transforma o quadrado azul de vértice
(0,0), (1, 0), (1,1) e (0,1) no quadrado vermelho.” KARRER (2006)
Quadrado unitário Paralelogramo

20. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
.
 ATIVIDADE PRÁTICA: FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO
GEOGEBRA
Tempo de duração: aproximadamente 30min.
Todos com a folha contendo a atividade 1. Com o aplicativo aberto
iniciaremos nossa incursão sobre o uso do Geogebra.
 Transformações especiais usadas em aplicações práticas e
numéricas.
 No plano: R2
GeoGebra (2).lnk

21. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
ATIVIDADE PRÁTICA: FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO
GEOGEBRA
Tempo de duração: aproximadamente 30min
Objetivo geral:
A atividade visa dar uma visão geral do uso do software Geogebra
aos participantes da oficina, propiciando-lhes em um primeiro contato
a manipulação das ferramentas que esse aplicativo oferece.
AF1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02-adaptação)
Esboce os seguintes pontos a seguir, depois como vetores
com ponto inicial na origem.
a. A = (1, 0)
b. B = (0, 1)
c. C = (1, 2)
d. D = (3, 6)
e. E = (–4, –3)
f. F = (5, –3)
O que observaram?
AF2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a
reflexão do vetor (–1, 2) em torno:
a. Do eixo x
b. Do eixo y
c. Da reta y = x
AF3. Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a
projeção ortogonal de (2, –5) sobre :
a. O eixo x
b. O eixo y
AF4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a
imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de:
a. Ө = 30º
b. Ө = 45º
c. Ө =–60º
d. Ө = 90º
AF5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação)
Seja L uma transformação linear tal
definida por :
Represente-a geometricamente em coordenadas
cartesianas, em seguida, encontre sua matriz canônica e a
imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o
que se observa?

22. FIGURAS ILUSTRATIVAS DAATIVIDADE PRÁTICA:
FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO GEOGEBRA
AF1 AF2

23. FIGURAS ILUSTRATIVAS DAATIVIDADE PRÁTICA:
FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO GEOGEBRA
AF5 AF5- A mesma TL vista como
polígono

24. ATIVIDADE PRÁTICA COM APLICATIVO GEOGEBRA
T,. L. E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES
SEMIÓTICAS
A1. A projeção ortogonal do IR2 : T: IR2 ______ IR2
É linear? Verifique.
Faça sua representação geométrica.
A2. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.212 c.4 ex.03 item d)
A transformação do IR2 definida pela seguinte lei:
T: IR2 ______ IR2
T(x, y) = (x+ 1, y)
É linear? Verifique.
A3. Descreva em palavras o efeito geométrico sobre o
vetor v = (x, y) = (1, 2) ao multiplicá-lo pela matriz A.
e. Usando o Geogebra, faças a representação figural
(desenho) e a gráfica (registro cartesiano)
f. Observe a representação da figura em coordenadas
cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico:
A4. (Lay, 2007, p.69 c.1 ex.19) Seja T: IR2 __ IR2 uma
transformada linear que leva :
Use o fato de que T é linear para determinar as imagens
por T de 2u, 3v e 2u+3v.
A5. Encontre a matriz canônica da transformação linear
T: IR2 ___ IR2 dada por:
w1 = 3x1 + 5x2
w2 = 4x1 – x2
E em seguida calcule T (- 1, 2).
A6. (Kolman&Hill, 2006, p.130 c.2 ex.2 - adaptação) Seja R
o retângulo com vértices (1,1), (1,4), (3,1) e (3,4). Seja f o
cisalhamento na direção x com k = 3. Encontre e esboce a
imagem de R. O mesmo cisalhamento na direção y.
1 0 1 0 1 0 1 0
a. A ; b. A c. A ; d. A
0 1 0 0 0
;
1 0 1
       
                  
1 2 3 1
u v
5 0 1 4
e
       
                 

25. ATIVIDADE PRÁTICA COM APLICATIVO GEOGEBRA
A7. (Kolman&Hill, 2006, p.130 c.2 ex4 - adaptação) A transformação matricial:
f: IR2 ___ IR2 definida por f(v) = Av, onde:
e k um número real. Seja R o retângulo da atividade anterior, movas “k” e observe o que acontece.
A8. (Kolman&Hill, 2006, p.130 c.2 ex14 - adaptação) Represente por Q quadrado unitário. Determine duas
maneiras diferentes de usar as transformações matriciais definidas sobre Q para obter a imagem dada.
k 0
0 k
A=
 
 
 

26. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
TRANSFORMADAS LINEARES GEOMÉTRICAS
DO IR²
Preencham a Tabela a seguir conforme o
modelo usando o ambiente lápis&papel:

27. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
E REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
TRANSFORMADAS LINEARES GEOMÉTRICAS
DO IR²
Preencham a Tabela a seguir conforme o
modelo usando o ambiente lápis&papel:
Observem a Figura 2, vejam que a
transformação aplicar a circunferência
produziu a elipse como imagem. De posse
aos conhecimentos até aqui adquiridos, usem
o ambiente “papel&lápis” a fim de preencher a
tabela respectiva à figura em questão, ou
seja, traduzir os registros de representações
semióticas. Apliquem animação aos fatores
“a” e “b”, ou ora a “a”, ou ora a “b”, e vejam o
que acontece.

28. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
.
 ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações 8ª. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
 ARAÚJO, L.C.L. & NÓBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemática com o geogebra. São Paulo: Editora
Exato, 2010.
 ARREBOLA, O.E.S. Uma sequencia didática sobre transformações lineares em um ambiente de
geometria dinâmica. Apresentação de mestrado. Universidade Bandeirante Anhanguera de São Paulo,
São Paulo, 2013.
 ARREBOLA, O.E.S. GeoGebra – Um Software Educativo Útil como ferramenta auxiliar ao Ensino da
Matemática em diversos níveis. Apresentação em slide no HTPC numa escola pública. Casqueiro,
Cubatão, 2010.
 BARROS, L.G.X. Uma Introdução Ingênua à Teoria dos Registros de Representações Semióticas.
Revista Ceciliana, Ano 22, nº 32, p.33–41. Santos, 2011.
 BARROS, L. G. X. ; KARRER, M. Inovações no Processo de Ensino-Aprendizagem de Geometria
Analítica e Álgebra Linear. Sinergia (CEFETSP). Vol. 12 p. 259-266, 2011. ISSN: 1677-499X.
 BARROS, L. G. X. ; KARRER, M. A Integração de Ambientes Computacionais com os Registros de
Representações Semióticas nos Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática. Revista Seleção
Documental. Nº 23, 2011. ISSN: 1809-0648.
 CARVALHO, J. P. Introdução à Álgebra Linear. Série do IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada.
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.
.

29. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
.
 DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em
Matemática. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação
semiótica. Campinas: Papirus. p. 11-33, 2003.
 DUVAL, R. Ver e Ensinar a Matemática de outra forma – Entrar no modo matemático de pensar: os
registros de representações semióticas. São Paulo: Proem Editora, 2011.
 GEOGEBRA – página com exemplos interativos, disponível em
<http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/ind. Acesso em abril de 2008.
 KARRER, M. Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: Um estudo sobre as transformações lineares
na perspectiva dos registros de representação semiótica. Tese de
doutorado. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006.
 KOLMAN, B. & HILL, D.R. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações, 8ª Ed. Rio de Janeiro. Editora
LTC. 2006.
 LAY, D. C. Álgebra Linear e Aplicações, 2ª. Ed. São Paulo. Editora LTC. 1999.
 MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. 7ª.
Ed. Campinas, São Paulo: Papirus, 2010.
 STEINBRUCH, A. Álgebra Linear, 2ª. ed. São Paulo. Makron Books. 2000