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Funções Logarítmica e Exponencial – Domínio e Imagem das Inversas

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Funções Logarítmica e Exponencial – Domínio e Imagem das Inversas

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    Funções Logarítmica e Exponencial – Domínio e Imagem das Inversas Funções Logarítmica e Exponencial – Domínio e Imagem das Inversas Document Transcript

    • www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Funções Logarítmica e Exponencial – Domínio e Imagem das Inversas A equação seguinte (f(x)) = x para todo x no domínio de f f( (x)) = x para todo x no domínio de implica em certas relações entre os domínios e as imagens de f e . Por exemplo, na primeira equação a quantidade f (x) é uma entrada de , assim pontos nas imagens de f estão no domínio de ; e na segunda equação, a quantidade (x)é uma entrada de f, sendo que pontos na imagem de estão no domínio de f. Tudo isso sugere as seguintes relações: domínio de = imagem de f imagem de = domínio de f Uma vez que f e g satisfazem duas condições: • g(f(x)) = x para todo x no domínio de f • f(g(y)) = y para todo y no domínio de g concluímos que elas são inversas. Assim temos o seguinte resultado. Se uma equação y = f (x) pode ser resolvida para x como uma função de y, então f tem uma inversa e a equação resultante é x = (y) 1/2
    • www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Método para Encontrar as Inversas Exemplo Ache a inversa de f (x) = Solução. Podemos achar uma fórmula para (y) resolvendo a equação y = para x como uma função de y. Os cálculos são: da qual tem-se que Até aqui, fomos bem-sucedidos em obter uma fórmula para ; contudo não estamos realmente completos, uma vez que não há nenhuma garantia de que o domínio natural associado é o domínio completo para . Para determinar se isto é o que acontece, examinaremos a imagem de y = f (x) = . A imagem consiste de todos os y no intervalo , assim este intervalo é também o domínio de (y); logo a inversa de f é dada pela fórmula OBSERVAÇÃO. Quando uma fórmula para for obtida resolvendo-se a equação y = f(x) para x como uma função de y, a fórmula resultante tem y como a variável independente. Se for preferível ter x como a variável independente para , então há duas formas: você pode resolver y = f(x) para x com uma função de y, e então substituir y por x na fórmula final para , ou então você pode trocar x e y na equação original e resolver a equação x = f(y) para y em termos de x. Neste caso a equação final será y = (x). 2/2