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Derivadas de Funções Logarítmicas e Exponenciais
Agora obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as
relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa.
Derivadas de Funções Logarítmicas
O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado diferenciando ,
onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto
contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite
Usando a definição de derivada, obtemos(com x em vez de v como variável).
Assim,
Mas a partir da fórmula , temos = 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como
No caso especial onde b = e, temos = 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se
1/2

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Assim, entre todas as possíveis bases, a base b = e produz a fórmula mais simples da derivada para
. Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre todos os logaritmos
no cálculo.
Exemplo 1:
Ache
Solução. A partir de
Quando possível as propriedades dos logaritmos devem ser usadas para converter produtos, quocientes e
expoentes em somas, em diferenças e em múltiplos de constantes, antes de diferenciar uma função
envolvendo logaritmos.
Exemplo 2:
2/2