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Apontamentos de matematica1
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Apontamentos de matematica1

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  • 1. Apontamentos de o. uk Análise rs .c Matemática in ee ng lle (ISEL 2007/2008) .a w : // ww h ttpMasterZdran, 1/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 2. Nota:.....................................................................................................................................................31- Primitivas.........................................................................................................................................4 1.1 Primitivas Imediatas (quase imediatas): ....................................................................................4 1.2 Primitivas Polinómios:...............................................................................................................4 1.3 Expressão geral de todas as primitivas de F(x):.........................................................................4 1.4 Primitivação de Funções Polinomiais:.......................................................................................5 1.5 Primitivação de Funções Racionais: ..........................................................................................5 1.6 Primitivação de Funções Racionais: ..........................................................................................5 1.7 Primitivação por Partes: .............................................................................................................6 1.8 Primitivação por Substituição: ...................................................................................................6 1.9 Sugestão de Resolução de Primitivas (Prof. Luís Lopes): .........................................................62- Integrais ...........................................................................................................................................8 2.1 Regra de Barrow: .......................................................................................................................8 2.2 Integrais impróprios: ..................................................................................................................8 2.2.1 Integrais impróprios de 1ª Espécie:.....................................................................................8 2.2.2 Integrais impróprios de 2ª Espécie:.....................................................................................8 2.2.3 Integrais impróprios de 1ª e 2ª Espécie:..............................................................................8 2.3 Cálculo da Área:.........................................................................................................................8 uk 2.4 Cálculo do Volume:....................................................................................................................9 2.5 Cálculo do Comprimento:..........................................................................................................9 .c o. 2.6 Integral Indefinido: ....................................................................................................................93- Campos Escalares ............................................................................................................................9 rs 3.1 Resolução de FRVR: ..................................................................................................................9 3.2 Continuidade e Limites: .............................................................................................................9 in ee 3.3 Obter o Limite:...........................................................................................................................9 3.4 Prolongamento por Continuidade: ...........................................................................................10 le ng al w w. p: // w h ttMasterZdran, 2/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 3. Nota:Estes apontamentos não pretendem de forma nenhuma substituir as sebentas ou recursos existentes,pretende somente simplificar/clarificar algumas questões.Sugiro e aconselho que analisem as demonstrações dos teoremas e vejam exercícios resolvidoscomo forma de compreender a síntese aqui descrita. o. uk rs .c in ee le ng al w w. p: // w h ttMasterZdran, 3/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 4. 1- Primitivas1.1 Primitivas Imediatas (quase imediatas):AKA: Integrais Passos para calcular primitivas: Escolher uma entrada na tabela de Primitivas. Identificar o u. “Trabalhar” com o u. Multiplicar por u’ (pela sua derivada) 1 Multiplicar por (pelo inverso da derivada) u Multiplicar pelo que falta da expressão. O Resultado deve ser semelhante:   ∫ (v * u ) = ∫ u * u* 1 * v  u  uk 1 • Se * v for constante então o cálculo da primitiva está pronto e deve ser aplicada a sua o. u Primitiva. Trick Or Treat: Na escolha do u, escolher o que parecer mais “complicado”. rs .c ee Lista dos candidatos: e u , ln (u) , in ng arctg(u) ,tg(u) , le cos( u ), sen ( u ), • arccos( u ), arcsen ( u ), al arg sh ( u ), arg ch (), sh ( u ), ch ( u ), w w. // w sec( u ), cos ec ( u ) tt p: h1.2 Primitivas Polinómios:  u b+1  a * (u ) = a * u * b • ∫  b + 1  Nota: u=polinómio; a e b são constantes.    • ∫ (u + v ) = ∫ u + ∫ v1.3 Expressão geral de todas as primitivas de F(x): • Determinar a primitiva da função • Determinar o Domínio da Primitiva • “Transformar” a primitiva da função numa função por ramos. Cada ramo corresponde a uma parte do Domínio.MasterZdran, 4/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 5. • Acrescentar uma constante Kn a cada ramo, de forma a identificar as constantes. • Recolher indicações do enunciado, que permitam obter os valores de K.1.4 Primitivação de Funções Polinomiais: • Resolve-se como primitivas imediatas1.5 Primitivação de Funções Racionais:  Constante  ∫  Polimónio de 1º Grau     1 • Resolve-se como ∫  K *   u  Constante  ∫  (Polinómio de 1º Grau )n      ∫ (K * u ) , com n ≠ −1 −n • Resolve-se como   Constante  ∫  (Polinómio de 2º Grau sem Zeros Reais)   o. uk .c   • Verificar que o polinómio não em zeros reais. rs ee  1  • Resolver como ∫  2  1 + u  in ng  Polinómio de 1º Grau  ∫  (Polinómio de 2º Grau sem Zeros Reais)    le   • al Verificar que o polinómio não tem zeros reais • • • w w. Separar em somas/diferenças e quocientes (caso seja possível) Factorizar/Simplificar o mais possível // w Fazer as primitivas em separado 1  1  p: • Resolver como ∫   ou ∫  2  u 1 + u  h tt1.6 Primitivação de Funções Racionais: • Se o numerador for de grau superior ao denominador, aplicar divisão de polinómios.* • Factorizar o mais possível o denominador • Decompor fracção em soma de fracções simples.  ax + b  A B  (x − c )( x + d )  = ( x − c ) + ( x + d )     A( x + d ) + B( x − c) = ax + b após desenvolvimento :  Parte Real = Parte Real  Parte Variável =Parte VariávelMasterZdran, 5/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 6. Usando o método de Cramer para obter os valores: 1 1  a  d =  − c  b    a 1 b − c   = E; 1 1 d − c   1 a d b   =F 1 1 d − c    ax + b   E F  ∫  ( x − c)( x + d )  = ∫  ( x − c) + ( x + d )          Trick Or Treat: Se tivermos tantos zeros como funções, substitui-se o x pelos zeros de cada factor da função no sistema de equações. Na decomposição de fracções simples: o. uk • Cada factor do tipo (ax + b ) dá origem a n termos: .c n A + B + ... + Z rs ee (ax + b ) (ax + b ) 1 2 (ax + b )n ( ) Cada factor do tipo (ax + b ) dá origem a n termos: in 2 n • ( A1 x + B1 (ax + b )2 1 A x + B2 + 2 ) ( (ax + b )2 2 A x + Bn + ... + n ) (ax + b )2(n ) le ng al1.7 Primitivação por Partes: w w. (/ w ∫ ( ) ∫ ( ) :∫/∫ ( ) ) • v.w = v *w− v * w h ttp1.8 Primitivação por Substituição: ∫ (v( ) ) = ∫  (v( ) )* dt   dx  • x t  1.9 Sugestão de Resolução de Primitivas (Prof. Luís Lopes): • F(x) é imediatamente primitivável? Sim. Aplicar a Primitiva Não. • F(x) é racional? Sim. Usar o procedimento descrito.MasterZdran, 6/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 7. Não. • F(x) é o produto de uma funções polinomial por o Ln, arctg, arcsen, arccos, argsh, argch? Sim. Usar Primitivação por partes, usando o polinómio como v’ ( ∫ (v ) ) Não. • F(x) é apenas função de: o Exponenciais de polinómios de 1º Grau? Primitivação por substituição ( e x = t ) o Funções trigonometrias de polinómio de primeiro grau? Substituir:  polinomio  tg  =t  2  Trick Or Treat: α  2tg   sen(α ) = 2 α  1 + tg 2   2 α  1 − tg   o. uk cos(α ) = 2 α  1 − tg 2   rs .c 2 in ee ng o X e de raízes de um polinómio do primeiro grau? Substituir esse ( polinomio ) = t M , M = minimo multiplo comum al le o F(x) é o produto de a função u ( x ) por u ( x ) ? w. Substituir u ( x ) =t w p: // w h ttMasterZdran, 7/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 8. 2- Integrais2.1 Regra de Barrow: ∫ F( )dx = ∫ [F( ) ] = ∫ [F( ) ]− ∫ [F( ) ] b b • x x x =b x=a a a b a • Se a〉 b : ∫ F( )dx = −∫ F( )dx a x b x2.2 Integrais impróprios:2.2.1 Integrais impróprios de 1ª Espécie: • Se F( x ) tende para o infinito, ou se um dos pontos não pertence ao domínio: b b  o ∫ F( x ) dx = Lim ∫ F( x )  x→a   uk a c 2.2.2 Integrais impróprios de 2ª Espécie: • .c o. rs Se um dos pontos tende para infinito: ee +∞ (F( )dx ) = Lim  ∫ F( ) dx  b o ∫     in x x x → +∞ a a 2.2.3 Integrais impróprios de 1ª e 2ª Espécie: le ng • Misturando os casos anteriores com os mesmos pressupostos: .al ) ∫w ) +∞ +∞ b  d  ∫ (F( )dx ) = ∫ (F( ) dx ( F( x ) dx = Lim ∫ (F( x ) dx ) + Lim  ∫ (F( x ) dx ) b + o x x w x→a  c  x →+∞  b   // w a a b p:Nota: • • h tt Integral Impróprio misto é convergente se todos os integrais forem finitos Casos contrários são divergentes2.3 Cálculo da Área: • F( x ) é a função superior do gráfico esboçado • G( x ) é a função inferior do gráfico esboçado A = ∫ (F( x ) − G( x ) )fx b aMasterZdran, 8/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 9. 2.4 Cálculo do Volume: • F( x ) é a função superior do gráfico esboçado • G( x ) é a função inferior do gráfico esboçadoV= 2 2 [ * ∫ (F( x ) ) − (G( x ) ) dx Ang.Rotação b 2 ] a2.5 Cálculo do Comprimento: • F( x ) é a função do gráfico esboçado C = ∫  1 + (F ( x ) ) dx 2    2.6 Integral Indefinido: • Teorema Fundamental do Cálculo Integral: uk b o Y( x ) = ∫ F(t )dt , definido num intervalo I. o a F(t ) é integrável em I, e Y é continua em I. .c o. rs ∫ F( )dt = ∫ (F( ) ) + K , x=a obtém-se o K ee x in t x a • Derivada de uma Função Integral le ng al u  o  ∫ (F(t ) )dt = F(u ) * u  w. a  w3- Campos Escalares p: // w3.1 Resolução de FRVR: o Determinar o Domínio h tt o Esboçar o gráfico considerando as restrições3.2 Continuidade e Limites: o Lim ( x , y )→(a ,b ) (F( ) ) = F( x, y a ,b )3.3 Obter o Limite: São necessários vários (4) passos para verificar se existe ou não o limite.MasterZdran, 9/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  • 10. 1. Limite iterado: • Lim F = Lim Lim F( x , y )    ( x , y )→(a ,b ) ( x , y ) x → a  y →b  • Lim F ( x , y )→(a ,b ) ( x , y ) y →b ( = Lim Lim F( x , y ) x→a ) • Se ambos os limites forem iguais, existe um candidato a limite. 2. Limite Direccionais: • Lim F = Lim(F( x −a ,b+m*( x −a )) ) ( x , y )→(a ,b ) ( x , y ) x→a • Se o limite for igual ao anterior, existe um candidato a limite. 3. Substituindo y por valores de x: • Lim F → Lim(F( x ) )  ( x , y )→( a ,b ) ( x , y ) y=x x →a • Se o limite for igual ao anterior, existe um candidato a limite. uk 4. Pela definição: o. • Lim F(a+ r*cos(ο ),b+ r*sen(ο ) ) − L = 0 r →0 • Substitui-se na função: x = a + r * cos(ο ) rs .c ee • Substitui-se na função: y = a + r * sen(ο ) • L é o valor do candidato a limite in • ng Se o resultado deste limite for 0 (zero) então o limite da função é o valor de L, o candidato le al w.3.4 Prolongamento por Continuidade:  F( x , y ) =  : // ww F(x,y) (x,Lim F(x,y) ,(x,y)∈D , (x, y) = (a, b) ttp  y)→(a,b) hSe não existir um limite finito, o ponto é considerado ponto de descontinuidade.MasterZdran, 10/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0

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