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La théorie non symétrique de la gravitation (2015)

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  • 1. ═════════════ LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION ═════════════ MAURICE R. TREMBLAY
  • 2. ii Contenu
  • 3. Contenu iii LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans l’Astrophysique Contemporaine
  • 4. iv Contenu
  • 5. Contenu v LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans l’Astrophysique Contemporaine MAURICE R. TREMBLAY
  • 6. vi Contenu 2008, 2015, Maurice R. Tremblay Tremblay, Maurice R. (Maurice Rémi), 1966 – La théorie non symétrique de la gravitation et ses implications dans l’astrophysique contemporaine
  • 7. Contenu vii À PIERRE ALLARD À MON PÈRE RÉMI TREMBLAY ET À TOUS MES PARENTS ET AMIS SANS EUX, RIEN AURAIT ÉTÉ POSSIBLE
  • 8. viii Contenu
  • 9. Contenu ix Contenu Les sections indiquées d’un astérisque sont considérées optionnelles et peuvent être omises lors de la première lecture. PRÉFACE xiv NOTATION xviii Vitesse de la Lumière Indices Vecteurs et 1-formes Dérivées Métrique L’Élément de Longueur ds2 Élément de Longueur de Minkowski Élément de Longueur de Schwarzschild Connexions Courbure et autres Tenseurs Reliés Densités 1 INTRODUCTION 1 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 1 Repère Inertiel Deuxième Loi du Mouvement de Newton Transformations de Galilée Invariance de la Loi de Newton Relativité Newtonienne Équations de Maxwell Équations d’Ondes Homogènes Non-Invariance de l’Équation du Télégraphe Explications Proposées avant 1905 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein 6 Reformulation des Lois de la Physique Postulats de la Relativité Restreinte Transformations de Lorentz-Einstein Conséquences de la Relativité Restreinte Transformations Généralisées des Coordonnées dans l’Espace-temps 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 8 Nouvelle Théorie de la Gravitation Principe d’Équivalence d’Einstein Principe de Mach Structure de l’Espace-temps Action Gravitationnelle Totale Principe de Moindre Action Équations du Champ d’Einstein Équation de Déviation Géodésique Équations du Champ Gravitationnel d’Einstein dans le Vide Solution de Schwarzschild 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 18 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat 21 Appendice A Les Équations de Maxwell 23 Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 27 Appendice C Règles du Calcul des Résidus/Variations 32 Bibliographie 33 2 CONCEPTS MATHÉMATIQUES DE BASE 35 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 35 Définitions, Ensembles et Topologie Representation par Carte Structure de Variété Espaces Tangentiels Variété Dérivable Courbes Paramétrisées Vecteurs Tangentiels Champs Vectoriels Formes d’Ordre Un Produit Externe Tenseurs Dérivée Externe Dérivée de Lie Espace de Riemann Espace-temps Dérivée Covariante et la Connexion Affine Géodésique Tenseur de Courbure Tenseur de Riemann-Christoffel Tenseur de Ricci Courbure Riemannienne Scalaire Identités de Bianchi Tenseur d’Einstein Calcul du Tenseur de Riemann 2.2 Dérivation Covariante et Transport Parallèle 50 2.3 Courbure de l’Espace-temps Non Riemannien 51 ix
  • 10. x Contenu 2.4 Métrique Non Symétrique 52 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 56 2.6 Tétrades Hyperboliques Complexes et la Symétrie Locale GL(4) 58 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-temps* 60 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures* 65 2.9 L’Action dans le Langage des Vierbeins 68 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes* 69 Appendice Formes au Premier et au Second Ordre 70 Bibliographie 72 3 LES ÉQUATIONS DU CHAMP 73 3.1 L’Action et la Densité Lagrangienne 73 3.2 Les Équations du Champ dans le Vide 74 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles 76 3.4 Les Identités de Bianchi et les Lois de Conservation 79 3.5 La Source S µ 80 3.6 La Source T µν 81 3.7 L’Approximation Linéaire 84 3.8 Les Ondes Planes 90 3.9 Les Propriétés Fantômes 91 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-plan de la TGE 93 3.11 Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique 96 3.12 Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy* 97 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 99 Appendice A Dérivation de Γ λ µν = W λ µν + δ λ µ Wν 103 Appendice B Développement de g[µν ] 104 Bibliographie 105 4 LES SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DU CHAMP 107 4.1 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Extérieure 107 4.2 Le Théorème de Birkhoff 113 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell* 114 4.4 La Solution à Symétrie Sphérique Extérieure Dépendante du Temps 123 4.5 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure 127 4.6 La Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps 137 4.7 La Solution Cosmologique à Symétrie Plane* 150 Cas i : γ = 1 Cas ii : 0 ≤γ < 1 Pour γ = 0 Pour γ = 1/3 Pour l 2 ≠ 0 et σ 2 ≠0 Pour l 2 = 0 et σ 2 = 0 Cas 1ii γ = 1 Cas 1iii: γ = 1/3 Pour σ 2 = 0 Cas 2i: γ = 0 Cas 2ii: γ = 1 Cas 2iii: γ = 1/3 Pour l2 = 0 Cas 3i: γ = 0 Cas 3ii: γ = 1 Cas 3iii: γ = 1/3 Pour Bo = 1 (bo = 0), l 2 = 0 et σ 2 = 0 Cas 4i: γ = 0 Cas 4ii: γ = 1 Cas 4iii: γ = 1/3 Appendice Solutions Générales 163 Bibliographie 173 5 LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 175 5.1 La Particule d’Essai 175 5.2 L’Approximation Post Newtonienne* 180 5.3 Le Complexe Énergie-Contrainte* 182 5.4 Les Équations du Mouvement d’un Corps Massif 184 5.5 L’Effet Nördverdt* 187 3 2
  • 11. Contenu xi 5.6 Les Particules d’Essais avec Moment Angulaire de Rotation* 196 5.7 Le Problème à Trois Corps 198 Appendice Formalisme Post Newtonien 201 Bibliographie 203 6 LE DÉPLACEMENT DES PARTICULES D’ESSAIS 205 6.1 Le Déplacement d’une Particule d’Essai dans un Champ Statique à Symétrie Sphérique 205 6.2 Le Déplacement d’une Particule d’Essai Massive 208 6.3 Le Mouvement Gyroscopique 210 6.4 Le Potentiel Gravitationnel 215 6.5 La Précession de la Périhélie d’une Particule d’Essai 216 6.6 Le Déplacement du Périastre 220 6.7 La Déviation des Rayons Lumineux 222 6.8 Le Décalage vers le Rouge et le Décalage de Doppler 223 6.9 Le Temps Propre d’une Horloge 225 6.10 Les Effets Retardés des Signaux Radars 226 6.11 Les Coordonnées d’Extension Maximale* 227 6.12 L’Effondrement Gravitationnel et les Trous Noirs* 229 Cas i: Photons (E = 0) Cas ii: Particules (E = 1) sans charge TNG (lp = 0, K = 0) Cas iii: Particules (E = 1) avec charge TNG (lp ≠ 0, K ≠ 0) 6.13 Trous de Vers* 234 6.14 Résumé 240 Appendice Calcul de l’Intégrale (6.11.11) 244 Bibliographie 245 7 LA VIOLATION DU PRINCIPE D’ÉQUIVALENCE 247 7.1 Introduction 247 7.2 Violation du Principe d’Équivalence Faible dans les Théories Non Symétriques de la Gravitation 248 7.3 L’Invariance Locale de Lorentz 250 7.4 Anisotropie Spatiale 253 7.5 Polarisation de la Vitesse de la Lumière 255 7.6 La Différence de Phase* 258 Appendice Le Formalisme THεεεεµµµµ 259 8 UN MODÈLE POUR LE COURANT CONSERVÉ DU NOMBRE FERMIONIQUE 261 8.1 Introduction 261 8.2 Le Courant Conservé du Nombre Fermionique 262 9 LES SOLUTIONS INTÉRIEURES DES NAINES BLANCHES ET DES ÉTOILES À NEUTRONS DANS LA TNG 267 9.1 Les Solutions Intérieures 267 9.2 L’Équation d’État 269 9.3 Les Conditions de Stabilité 269 9.4 Les Solutions pour les Naines Blanches 270 9.5 Les Solution pour les Étoiles à Neutrons 275
  • 12. xii Contenu 10 EXPÉRIENCES BINAIRES 283 10.1 Calculs Stellaires et Limites sur 283 10.2 Le Pulsar PSR 1913+16 285 10.3 Les Binaires Non Dégénérées 288 10.4 La Binaire DI Herculis 288 10.5 La Binaire AS Cam 290 10.6 Explication du Déplacement du Périastre Anormalement Faible Pour DI Herculis et AS Cam 291 10.7 Autres Systèmes Binaires 292 10.8 La Binaire 4U 1820-30 293 10.9 Le Pulsar SN 1987 A 295 10.10 Conclusions 295 10.11 Résumé 297 Appendice La Radiation Gravitationnelle Dipolaire 299 11 EXPÉRIENCES LIMITÉES AU SYSTÈME SOLAIRE 305 11.1 Moment Quadripolaire du Soleil 305 11.2 Précession de la Périhélie de Mercure 306 11.3 Effet Nördverdt 308 11.4 Déviation des Rayons Lumineux près du Soleil 308 11.5 Délai Maximum des Signaux Radars 313 11.6 Valeur Pour et Contraintes du Modèle 314 11.7 Conclusions 318 11.8 Résumé 320 Appendice Les Ondes Gravitationnelles dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 322 12 EXPÉRIENCES TERRESTRES 329 12.1 Expérience de Pound-Rebka 329 12.2 Différence en Accélération 330 12.3 Fermions dans un Champ Gravitationnel 332 12.4 Gyroscope en Orbite 334 13 COSMOLOGIE 337 13.1 Introduction 337 13.2 Modèle Cosmologique Non Uniforme et Non Singulier 340 13.3 Les Cas Pour et Contre le Modèle Standard de la Cosmologie 344 13.4 Les Incertitudes Observationnelles 345 14 EFFONDREMENT GRAVITATIONNEL 347 14.1 Introduction 347 14.2 L’Effondrement Gravitationnel dans la TNG 347 14.3 Les Explosions de Supernovae 348 15 CONCLUSIONS 351 16 VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES 353 16.1 Introduction 353 16.2 Jupiter 354 16.3 Saturne 357 16.4 Gyroscopes 360 fi 2 2 c f
  • 13. Contenu xiii 16.5 Orbite Lunaire 361 16.6 Déviation Gravitationnelle de la Lumière par le Soleil 363 16.7 Horloges Atomiques 364 16.8 Mesure de la Polarisation d’un Pulsar 366 16.9 Lignes Spectrales du Soleil 370 16.10 Conclusions 373 17 PROBLÈMES ASSOCIÉS À LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION 377 18 FORMULATION NON SINGULIÈRE 379 18.1 Introduction 379 18.2 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Non Singulière 381 18.3 Développement Approximatif 383 18.4 Calculs Numériques 384 18.5 La Courbure Non Singulière et la Singularité des Coordonnées 386 18.6 Conclusions 387 19 FORMULATION NON SINGULIÈRE DE LA THÉORIE TNG-MAXWELL AVEC SOURCES 389 19.1 Développement Approximatif de la Solution Statique Non Singulière 389 19.2 Les Quantités Physiques Non Singulières et la Singularité des Coordonnées 392 19.3 Conclusion 395 20 LA THÉORIE MASSIVE ET NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION 397 20.1 Introduction 397 20.2 Les Équations du Champ de la Théorie Massive et Non Symétrique de la Gravitation 398 20.3 L’Approximation Linéaire 398 20.4 Développement des Équations du Champ autour d’un Arrière-plan Courbe 402 20.5 Théorème de Birkhoff 404 20.6 Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la TMNG 405 20.7 Conclusions 406 21 CONCLUSIONS GÉNÉRALES 407 Appendice Théorie Non Symétrique de Kaluza-Klein 413 RÉFÉRENCES 421 BIOGRAPHIE DE JOHN W. MOFFAT 439
  • 14. Préface Ce travail comprend une revue complète et systématique de la théorie non symétrique de la gravitation de John W. Moffat. Aucun ouvrage n’a réussi jusqu’à présent de mettre en forme près de 1000 publications scientifiques entourant l’effort soutenue aux théories non symétriques pendant la deuxième partie du 20e siècle (le but subsiste encore dans l’espérance qu’un jour l’édifice d’une nouvelle théorie de la gravitation verra le jour où celle-ci sera davantage généralisée et possiblement non symétrique). Elle est fondée sur les développements que nous ont procurés la relativité générale d’Einstein en 1914. Son origine est dans un Albert Einstein mécontent que la relativité générale et la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) annoncée en 1916 ne peuvent expliquer l’origine du phénomène électromagnétique. Pour offrir une nature plus générale au champ gravitationnel, Einstein proposa la Théorie du Champ Unifiée (TCU) en 1949. Même en date de sa mort en 1955, Einstein n’obtînt jamais des équations de la TCU, surtout dans la limite d’un champ faible – dépourvue même de gravitation, une solution qui constituerait les équations de Maxwell décrivant une onde électromagnétique. Cependant, en 1979, John W. Moffat proposa de considérer le champ non symétrique de la TCU comme étant un champ purement gravitationnel et proposa la Théorie Non symétrique de la Gravitation (TNG) – une nouvelle théorie (non symétrique) de la gravitation. La TNG qui découle de cette nouvelle interprétation du champ gravitationnel est basée sur le postulat de base que la géométrie de l’espace-temps est déterminée par une structure de champ gravitationnelle non riemannienne. Cette géométrie généralisée est définie dans les quatre dimensions d’espace-temps par un élément de longueur (longueur d’arc ou intervalle), ds, qui servira à définir les distances et le mouvement des géodésiques. Il correspond en quelque sorte au Théorème de Pythagore, représenté par la relation algébrique a2 + b2 = c2 (datant de 500 av. J.C.), explicitant le rapport mathématique 3:4:5 entre la somme de chaque carré des deux côtés adjacents (a et b) de l’angle droit (θ = 90°) et de l’hypoténuse (c) d’un triangle rectangle associé au plan Euclidien. Mathématiquement, l’élément de longueur infinitésimal (i.e., ds2 ) est le carré de l’intervalle entre deux coordonnées (e.g., xµ = [x0 , x1 , x2 , x3 ]) par rapport à une origine quelconque (O ) et il est défini par le produit de chacune des seize composantes de la métrique* de l’espace-temps, gµν , avec le produit des différentielles des coordonnées, dxµ et dxν , entre elles. Conséquemment, on a ds2 ≡ Σµν gµν dxµ dxν . En plus de nous permettre de définir les distances, la métrique non symétrique (i.e., g ) a la propriété d’être invariante d’un système de coordonnées à l’autre et elle représente comment les échelles varient d’un point à l’autre dans l’espace-temps. * La métrique g (xµ ) est une fonction des coordonnées xµ = [x0 , x1 , x2 , x3 ] et elle est représentée géométriquement par une relation tensorielle (g ≡ ⊕ ) qui correspond à la somme matricielle des composantes de la métrique symétrique de la relativité générale, ≡ g(µν )d xµ ⊗dxν où g(µν ) = ½ (gµν + gνµ ), et des composantes antisymétriques du nouveau secteur de la théorie non symétrique de la gravitation, ≡ g[µν ]d xµ ∧dxν où g[µν ] = ½ (gµν − gνµ ). g g ~ g g ~ xiv
  • 15. Préface xv La TNG est basée sur trois objets géométriques: les composantes de la métrique non symétrique (i.e., gµν) et deux connexions non symétriques (i.e., Γρ µν et Wλ µν). La variation des composantes (i.e., gµν ) de la métrique (g ) est considérée dans la représentation de la courbure et de la torsion du champ gravitationnel non symétrique (i.e., Wµ = Σλ Wλ [µλ]).* Il en découle alors qu’en plus de la courbure de l’espace-temps familière à la théorie de la gravitation d’Einstein (ou relativité générale), il y a aussi la présence d’une torsion du champ gravitationnelle par la voie des composantes de la partie antisymétrique de la connexion (i.e., W λ µν ). On peut visualiser sommairement la géométrie d’un tel champ gravitationnel non symétrique arbitraire par une analogie à la toile érigée par une araignée où la toile représente un système de coordonnées polaires dont les créneaux sont tordus par les contraintes élastiques (e.g., dues par exemple à la courbure provoquée par la masse linéaire de la toile et à la torsion asymétrique créée par les différentes tensions présentent dans les filaments tissés). Alors, dans la TNG, la masse et la charge générées déforment et tordent l’espace-temps (via la courbure et la torsion, respectivement.) La théorie est basée sur une formulation lagrangienne et on obtient des équations non linéaires du champ, des lois de conservation et des équations du mouvement pour plusieurs situations d’intérêt. La TNG mène aussi à des prédictions expérimentales intéressantes que nous explorerons en profondeur car la TNG possède plusieurs solutions à ses équations du champ dont une solution statique à symétrie sphérique possédant un nouveau paramètre (i.e., l²) une charge proposée qui correspond au nombre conservé de particules d’un corps et qui possède les dimensions de [longueur]². On applique cette solution à plusieurs scénarios dont celui du système solaire. Lorsque la charge du nombre conservé de particules d’un corps est nulle (i.e., l² = 0), l’élément de longueur se réduit à la solution familière de Schwarzschild. De plus, la solution à symétrie sphérique dépendante du temps intérieure non symétrique est appliquée aux naines blanches et aux étoiles à neutrons qui comporte un autre paramètre (i.e., s, lié à l2 ). Il existe aussi des solutions à la théorie combinée TNG-Maxwell, une solution à symétrie sphérique non symétrique dépendante du temps extérieur d’une source de champ gravitationnel, et quelques solutions d’ordres cosmologiques correspondants à des situations isotropes ou inhomogènes. La TNG est en accord avec toutes les données observationnelles lorsque les paramètres internes de la théorie sont proprement ajustés et peut même expliquer quelques différences observationnelles qui ne peuvent être expliquées par la relativité générale dans des situations où les champs gravitationnels sont intenses – un secteur qui offre davantage de possibilités que les solutions présentement disponible par la voie de la relativité générale. Par exemple, la TNG est aussi en accord avec les mesures de temps du pulsar PSR 1913+16 et procure une explication pour le déplacement du périastre anormalement faible pour les systèmes binaires tels DI Herculis et AS Cam où on trouve que l’hypothèse des cosmions peut jouer un rôle significatif dans un arrangement convenable avec les données procurant ainsi, de la part de la TNG, un lien significatif entre les données astronomiques et l’existence de la matière noire et possiblement une quatrième génération (ou famille) de particules. Une fois que les données de la précession de la périhélie de Mercure ont été convenablement arrangées, il suit que les prédictions faites par la TNG pour les autres vérifications du système solaire sont toutes en accord avec les observations, incluant même le cas où le coefficient du moment quadripolaire du Soleil serait élevé. Ceci inclus la déviation de la lumière près du Soleil, les données sur le délai temporel, les données sur le décalage vers le rouge et l’Effet Nördverdt où, dans la TNG, le rapport mG /mI est unitaire jusqu’au premier ordre dans l’approximation post newtonienne confirmant * Les composantes de la connexion symétrique Γ λ µν (xµ ) sont données par la relation Γ λ µν = ½Σλ [gρλ (gνλ,µ + gµλ,ν − gµν,λ )] où on représente la dérivation par rapport aux composantes x0 , x1 , x2 , et x3 des coordonnées xλ , soit gµν,λ ≡ dgµν /dxλ . Les composantes Γ ρ µν et W λ µν sont reliées entre elles par la relation : Γ λ µν = W λ µν + ⅔δ λ µ Wν où δ λ µ = 1 lorsque λ = µ et δ λ µ = 0, autrement (i.e., lorsque λ ≠ µ ). Finalement, on défini la trace Wν = Σρ [W ρ [ν ρ ] ] ≡ ½Σρ [W ρ ν ρ − W ρ ρν ].
  • 16. xvi Préface que la masse inertielle mI et la masse gravitationnelle mG représentent une seule et même chose. Dans la limite du champ faible, seulement la radiation quadripolaire résulte et il n’y a pas de pôles fantômes ou de tachyons. La bonne limite newtonienne est aussi obtenue. La TNG prédit aussi qu’au plus bas ordre en approximation le spin de la partie symétrique (i.e., h(µν )) est JP = 2+ comme dans la relativité générale (le graviton) tandis que le spin de la partie antisymétrique (i.e., h[µν ]) est JP = 0+ correspondant à une nouvelle particule, le skewon. Cette particule d’antisymétricité gravitationnelle n’a toutefois jamais été observée. Du point de vue théorique, la généralité et l’attrait esthétique de la TNG comme théorie de l’espace- temps mérite davantage d’étude (e.g., « Scalar-Tensor-Vector Gravity Theory » aussi proposée par Moffat* qui suggère maintenant une théorie covariant du genre scalaire-tenseur-vecteur de la gravité où on permet à la constante gravitationnelle G, un couplage au champ vectoriel ω et une masse du champ vectoriel µ qui varient tous avec l’espace et le temps). Citons par exemple le couplage de la métrique non symétrique à la courbure de l’arrière-plan de la relativité générale. Dans une étude préliminaire, il a été découvert qu’effectivement un terme de couplage entre la courbure de l’arrière-plan de la relativité générale et le développement au premier ordre de la métrique (i.e., × [µν ] ) rend la TNG inconsistante. Ce terme est manifestement non invariant sous une transformation ε résiduelle ce qui implique que les modes longitudinaux (d’apparence fantôme) demeurent couplés dans la TNG. De façon correspondante, Wν ne réussit pas à se découpler parce que l’équation de Maxwell qu’elle obéit possède une source dépendante de la courbure de sorte qu’il est impossible de retirer Wν par un choix approprié de conditions initiales, ce qui implique que les modes dangereux ne se découplent pas, même dans la théorie du vide. Cette situation est davantage embêtante dans la version de la TNG qui considère le couplage avec la matière : des termes additionnels agissent comme des sources localisées d’ondes Wν retardées. Pour remédier à ces problèmes fondamentaux, de nouvelles formulations de la TNG ont été étudiées. Dans la Théorie Massive et Non symétrique de la Gravitation (TMNG), on incorpore trivialement un terme comportant une masse au lagrangien. En effet, cette nouvelle orientation vient de l’étude d’un nouveau secteur de la TNG et l’ensemble des solutions donne un comportement régulier aux quantités physiques tel de décalage vers le rouge et la densité d’énergie. Il n’existe donc pas d’horizon événementiel de trous noirs et aucune singularité de l’espace-temps dans cette nouvelle formulation du champ gravitationnel. Le développement qui suit est considéré consistant et débute par une introduction qui suggère l’importance de la nature humaine de critiquer les théories établies lorsque celles-ci manquent à expliquer les concepts davantage fondamentaux. En ce sens, on débute par expliciter la deuxième loi de Newton qui sert à décrire la dynamique du mouvement qui est invariante sous une transformation de coordonnées. On montre ensuite que les transformations de Galilée laisse la loi de Newton invariante mais cependant, elle laisse aussi des termes additionnels lorsqu’on les applique aux équations de la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell suggérant ainsi que le résultat d’expériences de nature électromagnétique conduite dans un repère en mouvement rectiligne uniforme ( ) ne correspondront pas aux résultats obtenus dans un repère au repos ( S ). On argument ensuite que seules les postulats et les équations de transformation de la relativité restreinte d’Einstein réussissent à expliquer le résultat négatif de l’expérience interférométrique de Michelson-Morley et où la constance de la vitesse de la lumière a été confirmée. Ensuite, on ajoute au principe de la relativité restreinte la nécessité du principe d’équivalence pour formuler la base de la relativité générale, laquelle stipule qu’on ne peut distinguer localement un mouvement de chute libre * http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0506021.pdf (2005). 0 R 1 g S
  • 17. Préface xvii (sans rotation) dans un champ gravitationnel d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel. Puis finalement, on argumente que la relativité générale est elle aussi qu’une première étape vers une théorie finale de la gravitation tout en se dissociant toutefois de la considération d’un champ gravitationnel entièrement symétrique en postulant une métrique non symétrique du champ gravitationnel et un continuum purement gravitationnel en la partie antisymétrique de la métrique. On explore ensuite l’ensemble des fondements et on explicite rigoureusement la formulation de la théorie non symétrique de la gravitation de Moffat, et finalement, on étudie ses implications dans l’astrophysique contemporaine. Maurice R. TREMBLAY Embrun, Ontario, Canada Janvier, 2015
  • 18. Notation En règle générale, tous les symboles sont expliqués dans le texte. On identifie seulement les conventions courantes auxquelles l’on obéira tout au long de l’ouvrage. Vitesse de la Lumière* La vitesse de la lumière est une constante et se propage approximativement par c ~ 300,000,000 mètres par seconde (on exprime un tel ordre de grandeur par 3×108 m/s en notation scientifique). Dans le vide (vacuum), elle est précisément égale à c = 299,792,458 m/s ou 1,079,252,848.8 km/h, ou bien même trente centimètres (un pied) par nanoseconde (10−9 s). Elle a comme origine les équations de Maxwell qui décrivent l’unification des effets électriques aux phénomènes magnétiques, desquels on déduit l’existence d’une onde électromagnétique qui se propage d’elle-même et qui se déplace au travers l’espace avec une vitesse constante c = oo1 µε = 299,792,458 m/s. La particule élémentaire qui constitue une onde lumineuse est le photon – un quanta d’énergie électromagnétique. L’intensité de la radiation électromagnétique émise par un corps noir (un absorbeur parfait, aussi connue comme une cavité rayonnante) dépend de la fréquence de la radiation (e.g., la couleur de la lumière) et de la température du corps selon une distribution de Planck.† On reconnaît l’origine de la définition de la lumière dans l’électromagnétisme de James Maxwell de la fin du 19e siècle, le champ généré par le déplacement électrique D représente comment le champ électrique E influence l’organisation des charges électriques dans un milieu donné, incluant la migration de charges et la réorientation des * Les trois dimensions de la lumière (i.e., ou toute autre radiation électromagnétique) sont l’intensité I ∝ |A2 | (où A est l’amplitude de l’onde électromagnétique), qui est reliée à la perception humaine par la brillance apparente de la lumière, la fréquence f (où λ est la longueur d’onde liée à cette dernière par la relation λ = c / f ), perçue par les humains comme la couleur de la lumière, et la polarisation ε µ (p), une fonction de la quantité de mouvement de l’onde électromagnétique et laquelle les humains ne perçoivent que faiblement sous des conditions normales. † Des trois couleurs primaires, le vert est le plus lumineux, suivi du rouge, puis du bleu. La luminance lumineuse est l'intensité lumineuse d'une source lumineuse dans une direction donnée, divisée par l'aire apparente de cette source dans cette même direction – l’unité de luminance lumineuse est le watt par mètre carré et par stéradian – W/m²/sr) en unités MKS (Mètre, Kilomètre, Seconde). La luminance énergétique monochromatique Lλ est un flux énergétique (i.e., la puissance ou la luminosité ∴ [W]) par unité de surface (A ∴ [m2 ] ), par unité d’angle solide (dΩ ∴[sr] ) et par unité de longueur d’onde (λ ∴[m] ) ; elle s’exprime en W/m2 /sr/m. La loi de Planck définit donc la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique Distribution Lλ ∝Τ de Planck :         − = 1e 21 2 5 Tkhc hc L λλ λ λ λ . [W/m2 /sr/m] où cλ = c / nλ est la vitesse du rayonnement électromagnétique dans le milieu où se propage le rayonnement, l’indice de réfraction du milieu, nλ (pour la longueur d’onde quelconque λ ), la vitesse de la lumière dans le vide (c = 299,792,458 m/s), la constante de Planck (h = 6.62617×10−34 J·s), la constante de Boltzmann (k = 1.38066×10−23 J/Κ) et T est la température de la surface du corps noir (en degrés kelvins [Κ = °C + 273.15]). xviii
  • 19. Notation xix dipôles électriques, et sa relation à la permittivité est donnée par la relation D = εo E où la permittivité du vide εo = 8.8541878176×10−12 F/m [C2 /N·m2 ] est un scalaire si le milieu est isotrope tandis que la perméabilité du vide µ o = 4π ×10−7 N/A [kg·m/C2 ] (π ≡ 3.141692…) provient de la relation vectorielle B = µo H entre la densité du flux magnétique (l’induction magnétique) B provoquée par l’intensité magnétique H. Indices Les indices latins de bas de cage i, j, k, etc. couvrent généralement les trois coordonnées spatiales 1, 2, 3, ou x, y, z. Les indices grecs α, β, ..., µ, ν, etc. couvrent généralement les quatre coordonnées de l’espace-temps 0, 1, 2, 3, ou ct, x, y, z, ou t, x, y, z, si c = 1. Les indices latins de haut de cage M, N, etc. couvrent généralement les coordonnées des dimensions supérieures 1, 2, 3, 4, ..., n = dim(Vn), ou µ, 5, 6, 7, etc., et où dim(Vn) est la dimension de la variété Vn. Parfois, la coordonnée temporelle t est identifiée à µ = 4. Les indices répétés sont sommés à moins d’avis contraire (Convention d’Einstein). Vecteurs et 1-formes Les vecteurs cartésiens sont indiqués par un caractère-type gras : r = r , et où indique un vecteur unitaire dans la direction du vecteur r. Les quadrivecteurs sont indiqués par un caractère-type Impact italique : v = v µ eµ, où {eµ } est un ensemble de bases générales. Les formes d’ordre un (1-formes) sont indiqués par un caractère-type grec gras et italique : σσσσ = σµ ωωωω µ , où {ωωωω µ } est un ensemble de bases duales à l’ensemble {eµ }. Dérivées En utilisant le concept de dérivée ∂µ ≡ ∂/∂x µ = [∂/∂x0 ,∂/∂x1 ,∂/∂x2 ,∂/∂x3 ] et du gradient ∇ = ∂/∂x1 +∂/∂x2 +∂/∂x3 , ∂µ ≡[∂/∂x0 ,∇∇∇∇ ], on considère la variation et l’orientation d’une coordon- née xµ de façon infinitésimale. Une virgule précédant l’indice de dérivation : f,µ = ∂ f ⁄ ∂xµ = ∂µ f . La permutation cyclique est indiquée par les accolades : V{[µν ],λ} ≡ V[µν ],λ + V[νλ ],µ + V[λµ ],ν . La dérivée directionnelle d’une fonction le long d’un quadrivecteur v quelconque est généralement exprimée de la façon suivante : ∇∇∇∇v f . La dérivée covariante est généralement exprimée comme : ∇∇∇∇u ou par un point- virgule u µ ;ν lorsqu’on utilise les composantes. Il faut cependant savoir par rapport à quelle connexion on effectue la dérivation covariante. La dérivée externe est identifiée par d. Métrique Par convention, les composantes de la métrique de Minkowski, ηµν, dans un système de coordonnées inertiel possède les éléments diagonaux suivants : ηµν = diag(+1,−1,−1,−1). On défini le d’Alembertien de la façon suivante : ≡ Σµν [ηµν (∂/∂xµ )(∂/∂xν )] = Σµ [∂µ ∂µ ] = ∂2 /∂(ct)2 − ∇∇∇∇2 . La métrique non symétrique est identifiée par g ≡ ⊕ ou bien, en composantes, gµν = g(µν ) + g[µν ]. La symétrie et l’antisymétrie sont identifiées par les parenthèses et les crochets carrés : V(µν ) = (Vµν + Vνµ ) et V[µν ] = (Vµν − Vνµ ), respectivement. Un tenseur tel g ≡ ⊕ représente la somme algébrique d’un tenseur d’ordre-2, ≡ g(µν )d xµ ⊗dx ν , et d’un 2-forme, ≡ g[µν ]d xµ ∧dx ν , où dxµ représente la différentielle des coordonnées xµ . En effet, tout tenseur est représenté par un caractère-type Impact italique v . On abaisse et élève les composantes de la métrique selon la relation : Σρ [g ρρρρµ gρρρρν] = Σρ [g µρρρρ gνρρρρ] = δ µ ν où l’ordre des indices est important. rˆ rˆ g g ~ 2 1 2 1 g g ~ g g ~
  • 20. xx Notation Élément de Longueur ds2 La distance infinitésimale ds entre deux coordonnées d’espace-temps quelconque xµ = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] et x v ν = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] est méticuleusement représentée par la combinaison linéaire quadratique des produits des variations suivante : ds2 = g00 dx0 dx0 + g01 dx0 dx1 + g02 dx0 dx2 + g03 dx0 dx3 + g10 dx1 dx0 + g11 dx1 dx1 + g12 dx1 dx2 + g13 dx1 dx3 + g20dx2 dx0 + g21 dx2 dx1 + g22 dx2 dx2 + g23 dx2 dx3 + g30 dx3 dx0 + g31 dx3 dx1 + g32 dx3 dx2 + g33 dx3 dx3 . En introduisant une première somme sur les coordonnées x v ν = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ], on obtient en premier lieu : ds2 = Σν (g0ν dx0 dxν ) + Σν (g1ν dx1 dxν ) + Σν (g2ν dx2 dxν ) + Σν (g3ν dx3 dxν ) et puis en introduisant une seconde somme sur les coordonnées xµ = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ], on exprime ds2 = Σµ [Σν (gµν dxµ dxν )] = Σµν gµν dxµ dxν . Les sommes Σµν souscrites aux indices µ et ν sont sommées de 0 à 3. On obtient finalement un élément de longueur ds2 ≡ gµν dxµ dxν , où gµν = g(µν ) + g[µν ] (la somme des composantes symétrique, gµν = gνµ , et antisymétrique, gµν = −gνµ , respectivement). Élément de Longueur de Minkowski Dans un plan orienté quelconque situé dans un espace plat E (Euclidien) à D = 4 dimensions (correspondant par exemple à un continuum d’espace-temps) décrit par la distance parcourue par la lumière pendant un temps t à une vitesse c dans un système de coordonnées cartésiennes* x, y, et z et qu’on a l’élément de longueur de Minkowski : ds2 = Σρσ ηρσ dxρ dxσ =ηtt d(ct)d(ct) +ηxx dxdx +ηyy dydy +ηzz dzdz = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2 si les composantes diagonales de la matrice 4 × 4 représentant les 16 composantes de la métrique ηρσ sont définies comme : ηtt = +1, ηxx = ηyy = ηzz = −1 ou bien : ηρσ = diag(+1,−1,−1,−1) ou encore (+,−,−,−), par convention dans ce travail. Cette dernière est mieux représentée par la relation : ds2 = c2 dt2 − dr2 (où r = rrˆ est le vecteur position où |rˆ | = 1 m ou bien rˆ = iˆ + jˆ + kˆ où |iˆ | = | jˆ | = |kˆ | = 1 m en assumant un système d’unités MKS pour représenter les distances mesurée et parcourues). Dans un autre système géométrique tel une hypersphère de réalité H, les composantes symétriques g(µν ) de la métrique non symétrique gµν sont reliés à la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski ηρσ par g(µν ) = Σρσ [ηρσ (dxρ /dxµ )(dxσ /dxν )]. On peut utiliser l’élément de longueur dans E en définissant un système de coordonnées sphériques xµ = (ct,r,θ ,ϕ ) donné par x = rsinθ cosϕ , y = rsinθ sinϕ , et z = rcosθ utilisé pour décrire convertir les coordonnées xµ = (ct,x,y,z) du système d’origine de sorte que le nouveau système soit décrit par le temps t, le rayon |r| = r =(x2 + y2 + z2 )1/2 , l’angle du zénith θ = tg−1 (y/x), et l’angle de l’azimut ϕ = cos−1 [z/(x2 + y2 + z2 )1/2 ], respectivement. On obtient ds2 ≡ Σµν g(µν ) dxµ dxν = g(tt) c2 dt dt + g(rr) drdr + g(θθ) dθ dθ + g(ϕϕ) dϕ dϕ = c2 dt2 − dr2 − r2 dθ 2 − r2 sin2 θ dϕ 2 si les composantes diagonales de la métrique sont définies comme : g(tt) = +1, g(rr) = −1, g(θθ) = −r2 , g(ϕϕ) = −r2 sin2 θ ou bien g(µν ) = diag(+1,−1,−r2 ,−r2 sin2 θ) ou encore (+,−,−,−). Cette dernière est mieux représentée par ds2 = c2 dt 2 − dr2 − r2 (dθ 2 − sin2 θ dϕ 2 ). Élément de Longueur de Schwarzschild Dans la relativité générale à 4-dimensions, la visualisation devient davantage compliquée car une solution aux équations du champ d’Einstein a été proposée par Karl Schwarzschild en 1916 et qui définie l’élément de longueur (D = 4) par ds2 ≡ (1−2GmG/c2 r)c2 dt2 −(1−2GmG/c2 r)−1 dr2 − r2 (dθ2 −sin2 θ dϕ 2 ) ≡ C(r)c2 dt2 −A(r)dr2 −B(r)dΩ2 avec dΩ 2 = dθ 2 − sin2 θ dϕ 2 . Schwarzschild a considéré deux fonctions quelconque de la position r, µ (r) et ν (r), et les a misent en fonctions * Les coordonnées du quadri-vecteur position xρ = [ct,x,y,z] contiennent le temps t et les composantes d’un vecteur positionné dans un système cartésien quelconque qui correspond à l’ensemble {x0 ,x1 ,x2 ,x3 }, nonobstant la constante c qui agit essentiellement en guise de pondération des signaux émis entre deux événement situés à une distance ds2 l’une de l’autre dans l’espace-temps.
  • 21. Notation xxi exponentielles, eµ (r) et eν (r) , représentent des fonctions définies par x a ex où ex = exp(x) ≡∑ +∞ =0 )!( n n nx avec la factorielle donnée par n! = ∏ + = n i i1 = 1 × 2 × 3 × ... × (n−1) × n. Il obtînt que g(tt) = C (r) = e µ (r) , g(rr) = A(r) = e −ν (r) , g(θθ ) = B(r) = r2 , et g(ϕϕ ) = B(r) sin2 θ = r2 sin2 θ , où exp[µ (r)] = exp[ν (r)] = 1 − RS / r. Par après, on a défini l’horizon événementiel d’un trou noir par le rayon de Schwarzschild, RS = 2GmG/c2 , où mG est la masse gravitationnelle qui est présente dans le continuum d’espace-temps. * Connexions Le symbole de Christoffel usuel de la Théorie de la Gravitation d’Einstein est défini par : = −[µν,λ ]. Les composantes de la connexion symétrique sont données par : Γ λ µν = = ½Σσ [gλσ (gνσ,µ + gµσ,ν − gµν,σ )], où Γ λ µν = Γ λ νµ (symétrie) et gµν,σ = dgµν /dxσ . Les composantes de la connexion non symétrique sont données par : W λ µν , où W λ µν ≠ W λ νµ . Les composantes de la connexion généralisée (en présence de sources) sont données par : Λλ µν, où Λλ µν ≠ Λλ νµ . Les composantes de la métrique obéissent à la condition de compatibilité des composantes de la métrique suivante : gµν,σ − gρν Γ ρ µσ − gµρ Γ ρ νσ = 0. Les composantes des connexions Γ λ µν et W λ µν sont reliées par la relation: Γ λ µν = W λ µν + ⅔δ λ µ Wν (transformation projective) où Wµ = Σλ [W λ [µλ ]] est un multiplicateur de Lagrange (la trace de Wλ [µν ]). Courbure et autres Tenseurs Reliés Les composantes du tenseur de Riemann sont représentées par : R λ µνρ (Γ ), R λ µνρ (W ), ou R λ µνρ (Λ), selon qu’elles dépendent de la connexion Γ λ µν , W λ µν, ou Λλ µν , respectivement. Il en est de même pour toute quantité représentée de la sorte. Un point sur une quantité indique généralement la dérivation par rapport au temps. Les quantités suivantes: µν , µν , etc. représentent des quantités d’ordre zéro en approximation (l’arrière-plan de la TGE), de premier ordre en approximation, etc., respectivement. Les composantes du tenseur de Ricci sont représentées par : Rµν . Le scalaire de courbure est dénoté par : R = Σµ [R µ µ ]. Les composantes du tenseur d’Einstein sont données par : Gµν = Rµν − ½gµν R . * La masse de la Terre, mG = M⊕ [qui par convention est exprimée soit en gramme (g – selon le système Impérial aux États- Unis) ou en kilogramme (kg – selon le système Métrique ou MKS) provoque le champ gravitationnel que l’humain ressent sur la surface de la Terre. Cette force gravitationnelle est causée par l’accélération constante que l’humain ressent due à la gravité, causée par la déformation que la masse M⊕ impose à l’espace-temps qui l’entoure, soit g ∼10 mètres par seconde, par seconde (g = 9.810 m/s2 ) car avec M⊕ représentant la masse de la Terre (5.9742×1024 kg) et R⊕ représentant le rayon équatorial de la Terre (6,378,100 m). On peut calculer cette accélération en utilisant la relation g = (GM⊕)/R⊕ 2 obtenue à partir de la loi de la gravitation d’Isaac Newton datant de la fin du 17e siècle). G est la constante de la gravitation universelle de Newton (6.6742±0.0010×10−8 cm3 /s2 /g, ou bien en MKS, G = GN = 6.6762×10−11 N·m2 /kg2 ). Le Newton [N] représente la notion de force gravitationnelle ressentit, W (e.g., son propre poids w = |W|) selon la seconde loi de Newton de la dynamique classique (e.g., l’équation Fg =W = mI g = −−−−mI gkˆ , où mI est la masse inertielle au repos, et kˆ est un vecteur unitaire qui représente l’échelle de l’étalon de mesure et l’orientation du repère de référence S par rapport à un système de coordonnées cartésiennes orthogonales de référence [ iˆ , jˆ ,kˆ ]). Le signe ‘−’ indique que la force gravitationnelle W (poids d’un humain) est orienté vers le centre de la Terre. Lorsque son propre poids est nul (W = 0), on atteint l’état où l’ensemble des forces gravitationnelles et inertielles auxquelles son corps est soumis possède une résultante et un moment résultant nuls. L’apesanteur est donc le phénomène ressenti en l’absence de gravité.       λ µν       λ µν 0 R 1 g
  • 22. xxii Notation Densités Les densités (quantités invariantes) sont représentées par un caractère-type Fractur gras : XXXX = X où g = det |gµν | où |…| représente la valeur absolue qui est définie selon l’algèbre |± x | = |± x | = x. g−
  • 23. 1 Introduction 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell Le principe de base de la théorie de Newton est que tout repère S est inertiel lorsqu’il est au repos par rapport au repère fixe des étoiles distantes. On défini r comme le vecteur position (avec r = rrˆ où rˆ = iˆ + jˆ + kˆ dans un système de coordonnées cartésiennes) à partir de l’origine O. Maintenant, tout autre repère est aussi inertiel lorsqu’il se déplace à vitesse constante (i.e., aucune accélération : a = |a | = | [ ]t t ∆∆ →∆ v 0 lim | = |dv/dt | = 0), d’où v est le vecteur vélocité (avec la vitesse donnée par v = |v | = | [ ]t t ∆∆ →∆ r 0 lim | = |d r/d t| = a t) et p = mv est la quantité de mouvement.* Donc, selon Newton (inspiré des travaux préalables de Galilée) : 1. Si deux événements sont simultanés dans le repère inertiel S, ils sont simultanés dans tous les repères inertiels † ; 2. Le temps est universel, i.e., t = . La seconde loi du mouvement de Newton est donnée par a rrvvp F m dt d m dt d dt d m dt d m dt md dt d ==      ==== 2 2 )( (1.1.1) où F est la résultante de toutes les forces qui agissent dans le système, m est la masse de l’objet, a est l’accélération vectorielle, d/dt est la dérivée par rapport au temps universel t (tandis que d2 /dt2 est la deuxième). La Figure 1.1.1 montre que les repères S et sont reliés par les transformations de Galilée (1.1.2) tt = (1.1.3) * Dans D = 4, on utilise le quadri-vecteur quantité de mouvement Pµ = [p0 , p] = [E/c, p] = [+ 2 o 2 )( cm+p , p] = [γmoc, γ v] où mo est la masse au repos dans le repère , E = γmoc2 = mc2 = 22 o 2 )()( cmc +p est l’énergie totale (avec la masse relativiste m = γ mo), p = γmov est la quantité de mouvement relativiste (vecteur) (avec p = [px, py, pz] ou bien p = [pr, pθ, pϕ]), et 2 11 βτγ −== ddt est un facteur de correction relativiste appelé gamma relativiste, et la rapidité β = |v|/c = v/c où v est la vitesse observée dans le repère de référence S dans lequel t est mesurée et τ est le temps propre du repère en mouvement rectiligne uniforme v par rapport au repère S. Pµ obéit la relation p • p = Pµ Pµ = −E2 + p2 = −m2 (avec Pµ = gµν Pν ). Puisque les photons n’ont point de masse (ils sont néanmoins décris d’une longueur d’onde λ et d’une fréquence f reliées par l’équation. λ f = c, où c est la vitesse de la lumière dans le vide), on utilise une quantité de mouvement p = hκκκκ ((((où h = 2π h = 6.2617×10-34 Joule-seconde et κκκκ est le vecteur d’onde relié à la longueur d’onde par la relation κ = |κκκκ| = 2π /λ ) et une énergie par quanta E = hω = hf de fréquence angulaire ω = dθ /dt = 2π f, on a κ = κµ = [κ 0, κκκκ] = [E/c, κκκκ] = [κ, κκκκ] et où le produit scalaire κ ⋅ x donne κµ xµ ≡ κκκκ • r −E t , une relation utile pour définir l’amplitude d’une onde électromagnétique A(r,t) = Ao(r,t)Re[exp (κ r – ω t )] = sin(ω t – κ r). Ne pas confondre la quantité de mouvement p avec l’impulsion I = ∫F dt = ∫( d p / d t ) dt = ∫dp = ∆p (la variation de la quantité de mouvement) car la force F est donnée par la variation de p par rapport au temps universel t : F = dp/ dt. † On a observé que la distance qui nous sépare du Soleil est si grande que sa lumière nous parvient 8 minutes après avoir était émise – il faut 8 minutes aux photons émis par l’astre Sol pour arriver sur Terre S ⊕. Selon la théorie de Newton, l’astre Sol émet sa lumière qui est instantanément reçue sur la planète Terre S ⊕. S S t S tvrr += S S S S 1
  • 24. 2 1 Introduction Figure 1.1.1: Le premier repère S est inertiel. Le second repère se déplace de façon uniforme avec une vitesse v par rapport au repère S. r = v t est le déplacement du repère dans un temps t. Les transformations données par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3) laissent la loi de Newton donnée par l’Éq. (1.1.1) invariante. Ceci suggère que les lois de Newton sont valables dans le premier repère S, elles le sont aussi dans le second repère : les deux repères sont inertiels. Alors, selon le modèle de Newton, le temps est une quantité universelle et chaque repère inertiel indique le même temps. La simultanéité des événements existe pour tous les repères inertiels. Les lois de Newton sont aussi invariantes pour : 1. une transformation orthogonale O i j (θ )* (1.1.4) (1.1.5) 2. une rotation O i j (θ ) et une translation a i du repère de référence dans un espace isotrope consistant d’aucune direction privilégiée (1.1.6) 3. un changement d’origine du temps dans un espace homogène complet (1.1.7) * Avec l’aide d’un paramètre θ (e.g., une rotation d’un angle de θ du repère de référence autour de l’origine), on peut utiliser un système de coordonnées polaires P(r,θ ) décrit par x = x(r,θ ) = r cosθ et y = y(r,θ ) = r sinθ pour décrire un mouvement circulaire quelconque. Le système de coordonnées de S est donné par r j = [x,y] tandis que celui du système de coordonnées est i r = [ x (r,θ ), y (r,θ )]. En utilisant une rotation R2 dans un plan, on a XRX )(2 θ= puisque             − =      y x y x θθ θθ cossin sincos . C’est un exemple d’une rotation R d’un système de référence dans un plan à 2 dimensions d’un angle θ donné par la relation ∑= j jjii rOr ])([ θ où la matrice de rotation est donnée par       − = θθ θθ θ cossin sincos )(ji O , soit les composantes du groupe O(2) ou group Orthogonal dans D = 2 dimensions avec les composantes du groupe O i j : O 11 = cosθ , O 22 = cosθ , O 12 = sinθ , et O 21 = −sinθ . De plus, l’inverse est donnée par O −1 (θ ) = O(−θ ) et l’élément unité du groupe (identité) par O−1 (θ ) ⊗ O(θ ) = 1111 =       10 01 donnant ainsi l’identité O T 1111O = 1111 où la matrice transposée O T est défini par [O i j ] T = [O j i ]. Incidemment, toute matrice orthogonale peut être réécrite comme O(θ ) ≡ ∑ ∞ = = 0 ]!)([)(exp n n nτθτθ où τ =       − + 01 10 . S S S ∑∑ == j jiji j jiji FOFrOr )()( θθ i i i i F dt rd mF dt rd m =→= 2 2 2 2 i j jiji arOr += ∑ )(θ tddtttt =↔+= o S x3 x2 x1 (r,t) S vt
  • 25. 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 3 La relativité newtonienne d’avant 1905 (pré relativité) suggère donc que les lois de Newton sont indépendantes de : 1. la position ; 2. l’origine des temps ; 3. l’orientation. On a alors une image d’un monde homogène et isotrope tridimensionnel de l’espace constitué de points au travers desquels les particules se déplacent selon des lois formulées par l’Éq. (1.1.1) et fonction d’un paramètre que l’on appelle le temps. Une conséquence importante des lois classiques qui gouvernent le déplacement des particules est que ces lois sont les mêmes pour tous les repères de référence se déplaçant avec une vitesse uniforme l’un par rapport à l’autre, c’est-à-dire que les lois de la mécanique classique de Newton sont les mêmes pour tous les repères reliés l’un par rapport à l’autre via une transformation de Galilée donnée par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3). On analyse maintenant l’application de la mécanique classique à la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell. On effectuera une transformation de Galilée à l’équation d’onde qui gouverne le déplacement des ondes électromagnétiques. Pour trouver cette équation d’onde, on débute par énumérer les équations de Maxwell qui sont données par (Appendice A) o )( )( ε ρ r rE =•∇∇∇∇ (Loi de Gauss) (1.1.8) t∂ ∂ −= )( )( rB rE××××∇∇∇∇ (Loi d’induction de Faraday) (1.1.9) 0)( =• rB∇∇∇∇ (Aucune charge magnétique isolée) (1.1.10) )( )( )( ooo rJ rE rB µεµ + ∂ ∂ = t ××××∇∇∇∇ (Loi d’Ampère) (1.1.11) où ∇∇∇∇ est l’opérateur gradient (∇∇∇∇ = iˆ ∂/∂x + jˆ ∂/∂y +kˆ ∂/∂z) et où εo est la permittivité du vide et µo est la perméabilité du vide. E(r) et B(r) sont les vecteurs (amplitude et direction) du champ électrique et magnétique, respectivement. ρ(r) et J(r) sont la densité de charge et le vecteur courant, respectivement. On a expliciter la dépendance sur le vecteur position r pour indiquer la dépendance de ces quantités sur leur position respective dans l’espace que l’on considère essentiellement statique vue qu’il n’y a pas de dépendance sur le temps t. Les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) sont les équations fondamentales de la théorie classique de l’électromagnétisme de Maxwell.* En prenant le produit vectoriel de l’Éq. (1.1.9) et en utilisant l’identité ∇∇∇∇××××(∇∇∇∇××××X) = ∇∇∇∇(∇∇∇∇•X) − ∇2 X, on obtient EEEE 2 o 2 1 )()( ∇−=∇−••= ρ ε ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇××××∇∇∇∇××××∇∇∇∇ ttt ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= JEB o2 2 oo µεµ××××∇∇∇∇ (1.1.12) ou bien t ρ t ∂ ∂ −=      ∂ ∂ −∇ )( )( 1 )( o o 2 2 oo 2 rJ rrΕ µ ε εµ ∇∇∇∇ (1.1.13) De même, avec l’Éq. (1.1.11), on obtient )( )( )()( ooo 2 J E BΒΒ ××××∇∇∇∇ ××××∇∇∇∇ ∇∇∇∇∇∇∇∇××××∇∇∇∇××××∇∇∇∇ µεµ t∂ ∂ =∇−••= )(o2 2 oo J B ××××∇∇∇∇µεµ + ∂ ∂ −= t (1.1.14) ou, avec l’Éq. (1.1.10) * Le déplacement électrique, D(r), qui correspond au déplacement des charges électriques dans un milieu donné s’effectue par le couplage de la permittivité du vide, εo, et du champ électrique, E(r), par la relation D = ε oE tandis que de densité du flux magnétique (l’induction magnétique), B(r), résulte du couplage de la perméabilité du vide, µ o, et de l’intensité magnétique, H(r), selon la relation vectorielle B =µ oH.
  • 26. 4 1 Introduction )()( o2 2 oo 2 rJrB ××××∇∇∇∇µεµ −=      ∂ ∂ −∇ t (1.1.15) Les Éqs. (1.1.13) et (1.1.15) sont des équations d’ondes inhomogènes en E(r) et B(r). Dans les régions de l’espace où ∇∇∇∇ρ(r), ∂ J(r)/∂ t et ∇∇∇∇×××× J(r) sont nuls, on obtient les équations d’ondes homogènes en E(r) et B(r) suivantes 0rE =      ∂ ∂ −∇ )( 1 2 2 2 2 tc (1.1.16) 0rB =      ∂ ∂ −∇ )( 1 2 2 2 2 tc (1.1.17) où c = . La constante c (fondamentale et universelle) joue le rôle de la vitesse de propagation de l’onde. Si f (r,t) est une fonction scalaire, l’équation du télégraphe est donnée par (1.1.18) Sous une transformation de Galilée donnée par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3), ri → ri − vi t = et puisque f (r,t) est une fonction scalaire, elle doit être la même si elle dépend de variables différentes en et t. Donc (1.1.19) Maintenant (1.1.20) de sorte que (1.1.21) Mais t tg tg ∂ ∂ +•= ),( ),( r rv ∇∇∇∇ (1.1.22) et [ ]),( ),( 2 ),(),( 2 2 2 2 tg t tg t tg t tf rvv r v rr ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇ ••+ ∂ ∂ •+ ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.1.23) Donc, l’équation du télégraphe se transforme selon la loi (phénomènes pouvant être observés en laboratoire en tout temps)1 ),( 1 )( 2 )( 1 ),( 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 tg tctcc tf tc rvvr       ∂ ∂ − ∂ ∂ •−•−∇=      ∂ ∂ −∇ ∇∇∇∇∇∇∇∇ (1.1.24) On note les termes −2(v • ∇∇∇∇ )∂g(r ,t)/∂t et −(v • ∇∇∇∇ )2 g(r ,t) additionnels aux termes ∇ 2 g(r ,t) − (1/c2 )∂2 g(r ,t)/∂t2 : ceci indique le manque d’invariance de la transformation f (r,t) dans le repère S qui passe à la fonction g(r ,t) dans le repère et n’ont jamais été observés en laboratoire de façon continue. La non invariance de l’équation du télégraphe est donc explicite : ),()()(2 1 ),( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tg ttc tf tc rvvr             •+ ∂ ∂ •+ ∂ ∂ −∇=      ∂ ∂ −∇ ∇∇∇∇∇∇∇∇ (1.1.25) Il est donc évident que l’équation qui gouverne la propagation d’ondes électromagnétiques a une forme différente lorsque l’on se retrouve dans le repère , avec les coordonnées , que dans le repère S avec les coordonnées ri. On conclut donc oo1 µε 0),( 1 2 2 2 2 =        ∂ ∂ −∇ tf tc r ir r )),,((),(),( ttgtgtf rrrr == i ij jj i j i x tg x tg x x x tf ∂ ∂ → ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∑ ),(),(),( 3 1 rrr ),(),( 22 tgtf rr ∇=∇ t tg x tg t x t tf jj j ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = ),(),(),( 3 1 rrr S S ir
  • 27. 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 5 que la forme de l’Éq. (1.1.18) n’est pas invariante sous les transformations de Galilée données par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3)! Puisque l’Éq. (1.1.18) représente la loi de propagation des ondes électromagnétiques on est à se poser si le choix du repère inertiel de Galilée a une quelque sorte d’influence sur les lois de l’électromagnétisme. Comme on a pu le constater, il y a un problème à relier les deux théories : l’électromagnétisme de Maxwell et la mécanique classique de Newton. Il serait plutôt important de se poser de sérieuses réserves au sujet de l’invariance des équations du mouvement de Newton sous les transformations de Galilée et même mettre en cause l’indépendance du temps dans les repères inertiels. La seule façon de remédier ce problème est de se tourner vers la méthode expérimentale et de vérifier que la constante c qui apparaît dans l’Éq. (1.1.18) réfère à la vitesse de propagation de l’onde dans un repère inertiel “privilégié” de sorte que les équations de Maxwell soient exactes seulement dans ce repère, ou bien qu’il existe dans la mécanique classique une problématique envers la description de la nature. Ce repère privilégié (ou “éther”) est considéré comme étant un milieu de propagation essentiellement au repos. Pour vérifier l’existence de l’éther, un certain nombre d’expériences ont été conçues tels l’expérience de Trauton-Noble et l’interféromètre de Michelson-Morley. Ce dernier n’a pas trouvé de différence dans une différence de phase* produite par la propagation de deux trains d’ondes perpendiculaires l’un de l’autre indiquant qu’il n’y a pas de direction préférentielle dans l’espace. Un bon nombre d’hypothèses furent proposées pour expliquer les résultats décevant de Trauton-Noble et de Michelson-Morley dont : 1. L’analogie avec le son où la vitesse du son est plus grande dans les milieux plus durs (e.g., 1220 m/s dans le Fer vs. 335 m/s dans l’air.) Dans ce cas, l’éther devrait être à la fois très dure, pour pouvoir transmettre la lumière à cette vitesse, mais très souple pour permettre à la Terre et aux astres de le traverser sans effort. Il y a donc une contradiction entre ces deux considérations. Mais, s’il y a une faible résistance, on peut concevoir que l’éther est entraîné par la Terre : l’éther étant stationnaire par rapport à la Terre expliquerait le résultat négatif de Michelson-Morley puisque la source de lumière est terrestre ; 2. L’aberration de la lumière qui considère que si la Terre ne se déplace pas dans l’éther, on pourrait alors observer une étoile dans un télescope en pointant celui-ci directement à l’étoile. Mais si la Terre se déplace, il faut incliner le télescope de façon à observer l’étoile. Si l’éther est au repos dans la région de l’étoile mais est entraîner par la Terre, on aurait une courbure du rayon de lumière (et en conséquence on n’aurait pas à incliner le télescope.) On pourrait donc vérifier le mouvement de la Terre. Or, on trouve que la Terre n’entraîne pas l’éther, ce qui contredit l’hypothèse (1) ; 3. La contraction des longueurs de Lorentz-Fitzgerald où on essaie d’expliquer le résultat négatif de Michelson-Morley en supposant qu’il y a une contraction du bras de l’interféromètre qui est dans la direction du mouvement : c’est la contraction de Lorentz-Fitzgerald. Seulement la proposition d’Einstein réussit à convaincre la communauté scientifique qu’un changement radicale dans la façon de penser du temps était nécessaire. * Ceci est indiqué par des franges d’interférences qui se combinent constructivement ou destructivement sur un plan distant et dépendent qu’on a une différence de phase entre les deux trajectoires ou non.
  • 28. 6 1 Introduction 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein On a donc vu dans la Section 1.1 que certains concepts illusoires de l’espace et du temps prévalaient parmi tant d’autres dans la formulation des lois de la physique selon le modèle de Newton. La théorie de Maxwell fut favorisée considérant son potentiel expérimentale à montrer que les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3) sont inexactes à compenser pour la description d’une expérience effectuée dans un repère à partir d’un repère S. La théorie de l’électromagnétisme de Maxwell était déjà en accord avec la relativité restreinte ; elle est compatible avec les notions de la pré relativité (structure d’espace-temps) à moins que des repères inertiels préférentiels soient introduits.1 Cependant, la théorie de la gravitation proposée par Newton n’est pas en accord avec la relativité restreinte car elle invoque la notion d’influence instantanée d’un corps sur un autre. Lorsque la notion fondamentale des transformations de Galilée appliquées aux équations de Maxwell fut rejetée, on s’engageait donc à modifier et reformuler les lois de la physique, notamment celles de Newton, pour qu’elles soient consistantes avec la structure de l’espace-temps donnée par la théorie de la relativité restreinte. Les postulats de la relativité restreinte sont les suivants : 1. Toutes les lois de la nature ont la même forme dans tous les repères inertiels ; 2. La vitesse de la lumière est une constante universelle, la même dans tous les repères inertiels ; 3. La vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source. Ces postulats expliquent le résultat négatif de l’expérience de Michelson. Un repère de référence sur la Terre peut donc être considéré comme un repère inertiel vue que l’accélération de la Terre vers le Soleil est faible. Selon le postulat (2) d’Einstein, la vitesse de la lumière est une constante universelle. Si on considère un déplacement selon l’axe Ox1, les transformations de Lorentz-Einstein sont données par (voir l’Appendice B pour un développement qui démontre ces relations) (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4) où v1 = dx1 /dt. Pour obtenir les transformations inverses, on remplace les v1 par −v1 et on change les barres en sans-barres et vis-versa. Les conséquences de ces transformations sont les suivantes : 1. La simultanéité est relative. 2. Le temps dépend du temps t et de la position. 3. Si deux évènements se produisent simultanément dans S à deux positions différentes, ils ne sont pas simultanés dans . L’Éq. (1.2.1) indique qu’il y a contraction des longueurs dans la direction du mouvement d’une règle qui sert a mesuré dans vue par S. Il n’y a aucune contraction transversale au mouvement car et . Cependant, l’Éq. (1.2.4) indique que pour une horloge en mouvement dans , elle tourne plus lentement lorsque vue par un observateur dans S. C’est ce qu’on appel la dilatation du temps. On compose en effet une horloge de avec deux horloges de S. Par symétrie, un observateur de voit que les horloges de S tournent plus lentement que celle de . La dilatation du temps peut être S 2 1 11 1 1         − − = c v tvx x 22 xx = 33 xx = 2 1 1 2 1 1         − − = c v x c v t t t S S 22 xx = 33 xx = S S S S Déplacement selon l’axe Ox1 seulement.                          
  • 29. 1.3 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein 7 vérifiée expérimentalement en mesurant l’activité des mésons µ dans les rayons cosmiques qui ont une vitesse de l’ordre de 90% de celle de la lumière (e.g., 0.9c). On observe que la vie moyenne τ des mésons µ au repos vs. celle des mésons en mouvement (1.2.5) ce qui est en effet mesuré expérimentalement et compris parmi les bornes d’erreurs. C’est la vérification qu’une horloge en mouvement tourne plus lentement. Dans le cas des mésons µ, ceux qui sont en mouvement vivent plus longtemps que ceux qui sont au repos ! On peut réécrire les Éqs. (1.2.1)-(1.2.4) de la façon matricielle suivante où x0 = ct*                     − − − − =               ×                   −− − − − − =               3 2 21 011 21 110 0 3 2 1 2121 1 21 1 21 0 3 2 1 )(1 )( )(1 )( 1000 0100 00 )(1 1 )(1 00 )(1)(1 1 x x cv xcvx cv xcvx x x x x cvcv cv cv cv cv x x x x (1.2.6) ou bien, lorsqu'on compare avec l’Éq. (1.1.6), on obtient (en incluant une translation constante aµ ) (1.2.7) avec µ et ν = 0, 1, 2, 3 et où la matrice des transformations de Lorentz-Einstein est donnée par (toujours, selon la direction x1 comme indiqué dans la Figure 1.1.1)                     −− − − − − =               ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ =Λ 1000 0100 00 )(1 1 )(1 00 )(1)(1 1 2121 1 21 1 21 3 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 2 2 1 2 0 1 3 1 2 1 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 0 cvcv cv cv cv cv µ ν (1.2.8) Puisque la relativité d’Einstein stipule l’équivalence de certains systèmes de référence ‘inertiels’. Si xµ sont les coordonnées dans un système inertiel, alors dans tous les autres système inertiel µ x doivent satisfaire ∑∑ = ρσ σρ ρσ µν νµ µν ηη xdxdxdxd (1.2.9) La matrice µ νΛ doit satisfaire la relation suivante ρσ µν ν σ µ ρµν ηη =ΛΛ∑ (1.2.10) où µρρ µ xx ∂∂=Λ . La métrique (de l’espace-temps plat de Minkowski) ηµν est la métrique du groupe de Lorentz O(1,3) où les valeurs 1 et 3 sont dû à la nature de l’invariant ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2 et les composantes diagonales de la métrique qui sont définies comme : ηtt = +1, ηxx =ηyy =ηzz = −1 ou bien ηµν = diag(+1,−1,−1,−1) ou encore (+,−,−,−). * Le produit de ces matrices 4×4 (µ représente la rangée et ν la colonne) se fait ainsi : 3 3 2 2 1 1 0 0 3 0 xxxxxx v µµµµ ν νµµ Λ+Λ+Λ+Λ=Λ= ∑= pour µ = 0, 1, 2 et 3. sec107.5 9.0 1 6 2 µ reposauµ mouvementen − ×≅       − = c c τ τ µ ν νµ ν µ axx +Λ= ∑= 3 0 ν µ
  • 30. 8 1 Introduction 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein Avant la théorie de la gravitation d'Einstein, la relativité générale, les notions pré-relativistes de l'espace et du temps prévalaient parmi tant d'autres dans la formulation des lois de la physique. Lorsque ces notions furent rejetées, on s'engageait donc à modifier et reformuler les lois de la physique pour qu'elles soient consistantes avec la structure de l'espace-temps donnée par la théorie de la relativité restreinte. La théorie de l'électromagnétisme de Maxwell était déjà en accord avec la relativité restreinte1 ; elle est compatible avec les notions de la pré-relativité (structure d'espace-temps) à moins que des repères inertiels préférentiels soient introduits.2 Cependant, la théorie de la gravitation proposée par Newton n'est pas en accord avec la relativité restreinte car elle invoque la notion d'influence instantanée d'un corps sur un autre.1,* La Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) est la locution qu’on attribue à la relativité générale, la théorie géométrique de la gravitation développée par Einstein et présentée de 1914 à 1916.6,7 C’est une généralisation de la relativité restreinte, et inclut la théorie de la gravitation classique de Newton comme cas limite lorsque les champs gravitationnels† impliqués sont faibles et que les vitesses de tous les corps présents dans le champ sont faibles à comparer à celle de la lumière. La relativité restreinte, proposée en 1905 par Einstein,1 a été rapidement acceptée par les physiciens de l’époque en vertu de son élégance théorique et de son succès expérimental, comme il était très bien établi en 1915. Une des prémisses de base de la relativité restreinte est qu’aucun effet physique ne peut se propager avec une vitesse plus élevée que celle de la lumière, de sorte que la vitesse de la lumière, c, représente une limite constante de vitesse qui est universelle. Cependant, la théorie classique de la gravitation décrit le champ gravitationnel d’un corps dans l’ensemble de l’espace comme une fonction de sa position instantanée, ce qui est équivalent à la supposition que les effets gravitationnels se propagent avec une vitesse infinie, c’est-à-dire que la théorie classique de la gravitation est une théorie d’action-à-distance. Alors, la relativité restreinte et la théorie classique de la gravitation sont inconsistants, et une théorie modifiée de la gravité devient nécessaire. C’est la théorie recherchée et trouvée par Einstein de 1905 à 1916, suivant sa formulation de la relativité restreinte. Dans la relativité restreinte, Einstein a établi qu’il y a invariance de la mesure des distances dans un espace-temps à quatre dimensions. Cette invariance correspond à dire que l’intervalle d’espace-temps définie dans un système de coordonnées sphériques xµ = (ct,r) = (ct,r,θ ,ϕ ) 222222222222 sin ϕθθ drdrdrdtcddtcds −−−=−= r (1.3.1) est partout constant dans un espace-temps. Ceci implique par exemple que peu importe les repères choisit (aussi longtemps qu’ils se déplacent en vitesse uniforme), un observateur au repos et un observateur se déplaçant selon une vitesse uniforme mesureront la même distance entre deux événements distants. Einstein ajouta à cette loi en proposant qu’on ne pense pas que le champ gravitationnel soit un nouveau champ mais plutôt qu’il correspondrait à la déviation de la géométrie de l’espace-temps de Minkowski exprimée par l’Éq. (1.3.1) qui est propre à la relativité restreinte.8,1 Une question troublante et embêtante a été longtemps considérée à savoir pourquoi les corps de masses différentes tombent avec la même accélération dans un champ gravitationnel, ou de façon équivalente, pourquoi la trajectoire d’un corps d’essai est indépendante de sa masse? Cette situation a été expliquée par Newton avec la citation que, à la fois, la force gravitationnelle sur un corps et sa résistance inertielle à l’accélération sont proportionnelles à sa masse. Alors, la masse n’est pas incluse dans la description mathématique du mouvement. Dans les expériences de laboratoire publiées en 1922 par L. von Eötvös,2 il a été trouvé que ceci est vraie à quelques parties par milliard. Plus tard, les travaux de R. Dicke3 ont amélioré la précision à quelques parties par 1011 , et V. Braginsky4 a obtenu une précision à quelques parties par 1012 . Alors, l’indépendance du mouvement d’un corps d’essai sur sa masse est une des méthodes expérimentales les plus précises de la physique. L’explication qu’a offert Newton n’est pas très explicite et est plutôt de nature ad hoc en description. Une explication beaucoup plus naturelle et concise est due à Einstein. En fait, c’est alors qu’il travaille au bureau des brevets en 1907 qu’il eut la plus belle pensée de sa vie : * Les lois de Newton sont invariantes (c’est-à-dire que les équations du mouvement ne changent pas d'un repère en mouvement à un autre) sous les transformations de Galilée. Malheureusement, les équations de Maxwell ne le sont pas (Section 1.1). Ceci pose alors un sérieux problème : les lois de Newton décrivaient très bien la nature à la fin du 19e siècle, alors que les équations de Maxwell étaient nouvellement formulées. Les équations de Maxwell représentent la loi de propagation à vitesse constante c d'une onde électromagnétique. Cependant, puisque les équations de Maxwell ne sont pas invariantes suivant les transformations de Galilée, ceci mit en doute l'invariance générale sous les transformations de Galilée en plus de reconsidérer l'indépendance du temps dans les systèmes inertiels. Est-ce que la vitesse d’une onde tel que prédite par les équations de Maxwell constante? Ou est-ce que la formulation des lois du mouvement tel que décrite par les lois de Newton représentative du comportement naturel? Ces considérations furent à la base de toute la démarche proposée et résolue par la relativité restreinte proposée par Poincaré, Lorentz, Einstein et plusieurs autres. † Lorsqu’on parle d’un champ, tel le champ gravitationnel, nous parlons d’une collection de nombres, lesquelles sont définis en tout point de l’espace et ils décrivent complètement une force en ce point.
  • 31. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 9 “J’étais assis sur une chaise dans le bureau des brevets lorsque soudainement une pensée m’est apparue : si une personne tombe en chute libre, elle ne ressentira pas sa propre pesanteur! J’ai sursauté. Cette simple pensée a produit une impression durable en ma personne. Elle m’a propulsé vers une théorie de la gravitation.”5 Dans la physique, il y a beaucoup d’exemples de forces autres que la gravitation qui sont proportionnelles à la masse ; celles-ci naissent généralement de l’utilisation de systèmes de coordonnées qui sont accélérés pour décrire le mouvement. Un exemple bien connu est la force centrifuge, rencontrée dans un système de coordonnées en rotation. Considérons un observateur dans le champ gravitationnel de la Terre et un autre dans un ascenseur ou une fusée en accélération dans l’espace libre. Si les deux personnes laissent tomber un corps quelconque, ils observeront qu’il accélère de façon relative par rapport au sol. Selon la théorie classique, l’observateur situé sur Terre attribuerait cette force à une force gravitationnelle et l’observateur dans l’ascenseur attribuera cette même force au sol en accélération qui rattrape le corps en mouvement uniforme. Cependant, Einstein conclut que les effets sont identiques et que la théorie de la gravitation devrait procurer une description équivalente des deux systèmes. C’est le fameux principe d’équivalence qu’Einstein utilisa pour formuler la relativité générale ; le principe d’équivalence d’Einstein cite que sur une échelle locale, les effets physiques du champ gravitationnel sont indiscernables des effets physiques d’un système de coordonnées accéléré. Du point de vue du principe d’équivalence, la cause du fait que le mouvement d’un corps d’essai dans un champ gravitationnel est indépendant de sa masse est évidente. Selon la théorie de Newton,6,7,8 ceci correspond à dire que la force gravitationnelle sur un corps est proportionnelle à sa masse inertielle et inversement proportionnelle au carré de la distance r qui sépare une masse m de celle la masse M qui agit comme la source de gravitation (F ∝ GM/r2 ou bien Fg = mg = GN mM/r2 , où GN est la constante universelle de gravitation de Newton.) Le principe d’équivalence d’Einstein stipule donc que le déplacement est indépendant de la nature des corps et que les parcours d’objets en chute libre définissent un ensemble de courbes dans l’espace-temps tout comme il le font en relativité restreinte. Ceci nous suggère donc la possibilité que les propriétés du champ gravitationnel sous-tendent la structure de l’espace-temps lui-même. Einstein eut donc recours à deux idées originales et suivit une nouvelle voie plutôt que de modifier la théorie de la gravitation de Newton.1 La première idée fut que tous les corps sont influencés par la gravité et de plus, que tous les corps tombent précisément de la même façon dans un champ gravitationnel – c’est le principe d’équivalence. La seconde idée qu’Einstein utilisa pour formuler sa théorie fut le principe de Mach.8 En relativité restreinte comme pour les notions de l’espace-temps de la pré relativité, la structure de l’espace-temps n’est donnée qu’une fois pour toute, et elle n’est d’aucune façon influencée par les objets matériels qui peuvent y être présents. En particulier, le “déplacement inertiel” et “sans rotation” n’est pas influencé par la matière dans l’univers. Mach, comme bon nombre de philosophes avant lui (en particulier Riemann), trouva cette idée insatisfaisante. Plutôt, Mach se sentait plus à l’aise de penser que toute la matière dans l’univers devrait contribuer à la définition locale de “sans accélération” et “sans rotation” et que dans un univers dénué de matière, ces concepts ne devraient avoir aucun effet. Einstein accepta cette idée et fut fortement motivé à chercher une théorie où, contrairement à la relativité restreinte, la structure de l’espace-temps serait influencée par la présence de matière.1 Du point de vue expérimental, ce ne fut qu’au début des années soixante qu’une nouvelle génération d’expériences gravitationnelles confirmèrent les prédictions de la théorie d’Einstein, au-delà des trois vérifications classiques, dont la déviation de la lumière fut la plus convaincante9 ; le moment quadripolaire du Soleil cause encore certains problèmes en ce qui concerne la précession de la périhélie de Mercure comme vérification définitive.10 De plus, la théorie d’Einstein est en accord avec les relevés obtenus auprès du pulsar PSR 1913+16 en ce qui concerne l’existence indirecte des ondes gravitationnelles.11 Il reste aussi la détection encore désirée du quantum de gravitation, le graviton, qui serait le médiateur de la force gravitationnelle dans la théorie quantique et celle des ondes gravitationnelles directement dans un laboratoire terrestre.12 La cosmologie offre aussi plusieurs énigmes.13 La nouvelle théorie de l’espace, du temps et de la gravitation, la relativité générale, proposée initialement par Einstein en 19147,8,1 affirme que les propriétés intrinsèques de la métrique de l’espace-temps,* indépendantes d’un observateur, n’ont * Avant d’entreprendre notre discussion sur la TGE, il serait approprié de définir quelques termes qui sont essentiels dans cette partie du document. Dans l’espace à quatre dimensions que l’on étudiera (l’espace-temps), on a besoin d’une collection de dix nombres en tout point de l’espace-temps (événement) pour décrire sa courbure ou sa déformation d’un espace plat de Minkowski. Peu importe combien de déformations sont subies par l’espace-temps, cette collection de dix nombres en tout point suffit pour encoder toute l’information de cet espace. On dénote cette collection de dix nombres par la métrique g , ou en ses composantes gµν (µ,ν = 0, 1, 2, 3) correspondant à une matrice 4 × 4 à 16 éléments. Cependant, dans la TGE, la métrique est symétrique (gµν = gνµ ) de part et d’autre de la diagonale, ce qui nous permet de réduire notre nombre de composantes indépendantes pour la métrique à 10 pour tous les points de l’espace-temps. La métrique mesure donc de combien la déformation, les échelles de temps, et la pondération varient d’un endroit à l’autre dans l’espace-temps, et c’est pourquoi les composantes gµν de la métrique sont les potentiels gravitationnels du champ de gravitation. La métrique g et ses composantes, gµν, définissent une entité géométrique qui pondère les différentes différences de coordonnées avec elles-mêmes et entre elles. La métrique possède toute sa force dans son utilisation avec l’élément de longueur [voir l’Éq. (1.3.1)], ou ds2 = ∑µν ηµν dxµ dxν , qui représente la distance au carré entre les différents points de l’espace et est quelque peu représentative du Théorème de Pythagore. Par exemple, si on considère la surface d’une table, les composantes de la métrique dans le cas d’un espace symétrique à deux dimensions (représentée par les coordonnées arbitraires x1 et x2 ) sont η1 = 1, η22 = 1, et η12 = η21 = 0, ou bien, ηµν = (µ , ν = 1, 2). L’élément de longueur (ou intervalle) ds2 est donné par[ ]0 1 1 0
  • 32. 10 1 Introduction point besoin d’avoir la forme qu’elles ont en relativité restreinte. En Effet, la courbure, c’est-à-dire la déviation de la métrique de l’espace-temps de sa forme minkowskienne, est la cause des effets physiques qu’on attribue au champ gravitationnel. De plus, la courbure de l’espace-temps est reliée au tenseur d’énergie-impulsion de la matière dans l’espace- temps via une équation postulée par Einstein1 G = κ T (1.3.2) où κ = 8π G/c4 est une constante avec G, la constante gravitationnelle de Newton. L’Éq. (1.3.2) s’exprime aussi de la façon suivante Géométrie = (constante) × Énergie (1.3.3) G et Géométrie sont tous deux une seule et même fonction de la métrique de l’espace-temps g . Cette métrique est un objet mathématique qui définit les potentiels gravitationnels en tout point de l’espace-temps. G représente alors la géométrie du champ gravitationnel. T et Énergie sont tous deux un seul et même objet mathématique qui tient compte de la distribution de la matière dans le champ gravitationnel. De cette façon, la structure de l’espace-temps, qui prend forme dans la métrique de l’espace-temps, est reliée au contenu de matière présente dans l’espace-temps, tout en étant en accord avec quelques- unes seulement des idées de Mach.1 Wheeler exprime bien le lien entre l’espace et la matière : “Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on space, telling it how to curve.”1,* Dans notre réalité tridimensionnelle donc, les corps tombent parce qu’ils sont dans un espace-temps à quatre dimensions courbé par une source d’énergie ou de matière plus imposante. Mais pour les corps, dans leur réalité quadridimensionnelle propre à eux, ils ne tombent pas : ils se déplacent selon une ligne droite, une géodésique. C’est encore une démonstration du principe de relativité : toutes les observations dépendent de l’endroit où on effectue ces observations (que l’on soit dans un monde limité à trois dimensions ou que l’on se place dans une hyper réalité à quatre dimensions.) La nature a choisi de vivre dans une réalité à quatre dimensions mais nous observons le comportement des corps qui nous entourent dans une réalité à trois dimensions d’espace et une de temps propre à nous. De plus, en exigeant que les lois de la physique soient invariantes sous des transformations générales des coordonnées, Einstein développa sa théorie de la gravitation en utilisant la géométrie riemannienne et le principe d’équivalence. Il ne fut pas autant guidé par un besoin d’expliquer sa théorie aux résultats expérimentaux contradictoires de l’époque que par sa recherche de beauté et de simplicité!14,† Le besoin de mettre toutes les lois de la physique indépendantes de n’importe lequel choix de coordonnées et l’équivalence de la masse inertielle et gravitationnelle étaient à la base de sa recherche. La première condition fut remplie en exigeant que les parcours des corps soient des géodésiques dans un espace-temps pseudo riemannien, dont la courbure est déterminée par la distribution de la matière dans le champ. Mais il ne fut pas satisfait pour autant. Nous utiliserons le principe de moindre action (principe de Hamilton) pour obtenir les équations du champ gravitationnel d’Einstein ci-dessous, les équations de base derrière la formulation de la relativité générale. Mais avant de résumer ce principe, nous devons définir le lagrangien. L’idée fondamentale derrière la formulation lagrangienne réside dans le fait qu’il utilise des quantités scalaires (spécifiées par un nombre réel seulement) plutôt que vectorielles (spécifiées par un nombre réel et une direction dans un système de coordonnées quelconque.) Cette formulation est d’autant plus convaincante que sa forme est indépendante des coordonnées utilisées. On dénote le lagrangien par L, lequel dépend des ds2 = ∑µν ηµν dxµ dxν = ∑µ(ηµ1 dxµ dx1 + ηµ2 dxν dx2 ) = η11 dx1 dx1 +η21 dx2 dx1 + η12 dx1 dx2 + η22 dx2 dx2 = η11 (dx1 )2 + 2η12dx1 dx2 + η22(dx2 )2 = (1)(dx1 )2 + (1)(dx2 )2 . Alors, ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 , ou si on veut en coordonnées cartésiennes, ds2 = dx2 + dy2 . C’est donc le Théorème de Pythagore dans le plan cartésien. Il en est de même dans un espace à quatre dimensions tel l’espace-temps mais si la métrique est symétrique, on aura une matrice 4×4 avec seize composantes. Cependant, puisque la métrique est symétrique, les douze termes de part et d’autre de la diagonale seront égaux nous laissant ainsi six composantes symétriques. En ajoutant les quatre composantes de la diagonale on aura alors dix composantes indépendantes pour la métrique. Comment pouvons-nous trouver ces composantes? Bien, c’est là qu’Einstein démontra son génie en proposant l’Éq. (1.3.2) ci-dessous : Géométrie = (constante) × Énergie , ou bien, G = (8π G/c4 )T , qui, dans le vide (pas de matière), donne Riemann = R = 0. G est relié à la métrique par la voie de R , nous donnant ainsi dix équations (fonctionnellement) indépendantes pour nos dix composantes de la métrique. Il existe quatre identités, celles de Bianchi, exprimées Variation de la Géométrie = 0, ou bien, ∇∇∇∇GGGG = 0, qui relient les dix équations indépendantes de la métrique pour ainsi donner 10 − 4 = 6 équations indépendantes pour la métrique. Ceci nous laissant donc avec quatre degrés de liberté (les quatre coordonnées) dans les dix composantes inconnues de la métrique. * L’espace agit sur la matière, lui disant comment se déplacer. En retour, la matière réagit sur l’espace, lui disant comment se courber. (Traduction libre.) † Einstein considérait la courbure de l’espace-temps (que l’on identifiera comme Riemann , qui signifie le tenseur de Riemann), comme une entité géométrique. Il la connotait marbre. La matière (ou l’énergie) lui était très laide. Il ne l’associait pas d’entité géométrique. Il la connotait dont bois. On obtient donc la relation correspondant à l’Éq. (1.3.3) qu’Einstein détesta : marbre ∝ bois. Le but qu’Einstein s’était fixé sa vie durant fut d’exprimer toute l’énergie de l’univers (toute la matière existante) sous forme géométrique ; de transformer le bois en marbre, pour ainsi obtenir une relation du genre marbre = 0 : tout est géométrie et rien n’est matière. Il voulut que tous les phénomènes qu’on observe ne soit qu’une manifestation de la géométrie à quatre dimensions. C’est encore le but fixé aujourd’hui par les théoriciens par l’entremise de la théorie des supercordes : l’unification de tous les phénomènes dans une entité géométrique à dix ou onze dimensions (M-Theory) dont la matière ne serait que la manifestation de différentes résonances.
  • 33. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 11 coordonnées , des vitesses , et possiblement explicitement de t lui-même. Mais dans la majorité des cas, le lagrangien est simplement la différence entre les énergies cinétique et potentielle : L = K − V. (Voir l’Appendice C). Nous utiliserons la méthode de Lagrange qui compare les trajectoires possibles entre elles et nous donne un critère pour choisir la bonne. Pour ce faire, nous calculerons une quantité, l’action, S (α), qui caractérise la trajectoire α S (α) = (1.3.4) où L est le lagrangien. Le comportement le plus simple à identifier est le point stationnaire, là où S est un extremum, soit la définition du principe de moindre action ou principe de Hamilton δ S (α) = = 0 (1.3.5) où fixe la bonne trajectoire sur laquelle S prend la valeur extrême laquelle est minimale dans un graphique S = f (α ). Dans la TGE, la relativité générale, un système matériel décrit par un tenseur symétrique (qui satisfait les équations de conservation de l’énergie et de l’impulsion) suggère que ce même système peut être dérivé du principe de moindre action (voir ci-dessus.) Cette méthode est très utile (lorsqu’elle est applicable) puisqu’elle permet une relation naturelle entre les lois de conservation et les propriétés de symétrie. Dans ce cas-ci, en relativité générale, la symétrie qu’on requiert est la covariance générale. Spécifions un champ d’énergie selon un lagrangien Lc, qui dépend non seulement des variables du champ mais aussi des composantes de la métrique, gµν. Le lagrangien doit être un scalaire, pour ainsi assurer une description du champ qui sera indépendante d’un système (quelconque) de coordonnées qu’on pourrait ultérieurement choisir ; on appelle action l’intégrale du lagrangien sur un ensemble fermé et compacte Ω de la variété de l’espace-temps Sc(Ω ) = ∫Ω Lc dΩ = ∫ LLLLc d 4 x (1.3.6) où dΩ = d 4 x (g = det| gµν |) et LLLLc = Lc sont l’élément du quatre-volume invariant (dans l’espace-temps) et la densité lagrangienne du champ d’énergie, respectivement.* Le champ (ou une collection de champs) est postulé comme étant en équilibre avec la géométrie de l’arrière-plan (minkowskienne) ; pour cette condition, ni l’un ni l’autre des deux systèmes, le champ et la géométrie, ne devraient être considérés séparément mais seulement comme un seul et unique système, dans lequel les propriétés dynamiques de la géométrie du champ gravitationnel sont aussi décrites par un lagrangien Lg . On définit donc l’action gravitationnelle totale SG (Ω ) = Sc (Ω ) + Sg (Ω ) = ∫Ω ( Lc + Lg) dΩ (1.3.7) La métrique g est considérée comme un champ dynamique ce qui implique que l’équation qui établira l’équilibre entre la géométrie et le champ externe est obtenue en imposant la condition de stationnarité de l’action gravitationnelle totale SG sous une variation arbitraire de la métrique avec un support dans Ω SG = 0 (1.3.8) La variation des actions individuelles, Sc et Sg , sous l’opérateur nous procure des expressions tensorielles qui caractérisent (de façon covariante) les champs respectifs, de même qu’elle nous permet d’obtenir des équations de conservation. Considérons d’abord l’action du champ. Le postulat en cause ici est que le lagrangien Lc dépend seulement des composantes de la métrique, gµν (x) et non de ses dérivées d’ordres supérieures, parce que cette condition est satisfaite par toute distribution raisonnable de matière. La variation par rapport à la métrique g , , nous donne donc Sc = (1.3.9) Puisque† δ g = ggµν δ gµν , l’Éq. (1.3.9) donne donc l’action d’un champ d’énergie * Toutes les quantités, telles LLLL, gggg, etc., représentent des densités (quantités invariantes) lesquelles sont définit par XXXX = X. † Le déterminant de la métrique, g, est relié au jacobien, J = det∂xµ ⁄ ∂xν , par g = J 2 g. En utilisant gµν (x) = (∂xα ⁄ ∂xµ )(∂xβ ⁄ ∂xν )gαβ(x) on trouve que g− = J . De plus, on considère que ∇µ ( uµ ) = ∂ µ ( uµ ) et on utilise parfois les relations suivantes : ∇µ g ≡ 0 et ∇µ ≡ 0. )()( txi α )()( txi α & [ ]dtttxtx t t ii∫ 2 1 ),(),( )()( αα &L αα α d dS )( α )(αS g− g− g δ g δ g δ g δ ∫         −+ ∂ ∂ Ω µν µν δΩδ xdgdg g c c 4 )()( L L g− g− g− g− g−
  • 34. 12 1 Introduction Sc = (1.3.10) où T µν ≡ (1.3.11) sont les composantes d’un tenseur symétrique. On identifie T µν avec les composantes du tenseur d’énergie-impulsion du champ. De l’Éq. (1.3.10) on obtient* (1.3.12) où ∇∇∇∇µ est la dérivée covariante dans la direction d’un vecteur de base e µ (voir Section 2.1) ∇∇∇∇µ ξ ν = ∇∇∇∇e µ ξ ν ≡ ξ ν,µ − Γ λ µν ξλ (1.3.13) et où Γ λ µν sont les composantes de la connexion affine qui mesure la quantité de torsion, de rotation, d’expansion, et de déformation de l’espace-temps, et ξ µ sont les composantes du vecteur de Killing ξξξξ (qui procure une description des translations qui préservent les déplacements infinitésimaux dans un champ) et qui obéit à l’équation de Killing pour un champ vectoriel ξξξξ ∇∇∇∇(µ ξν ) = 0 (1.3.14) En utilisant le théorème de Gauss et les symétries inhérentes des composantes contravariantes T µν , on obtient (1.3.15) où Ω µ représente les composantes de la forme d’ordre un du volume, ΩΩΩΩ . Puisque le vecteur ξξξξ disparaît à la frontière fermée ∂Ω, l’Éq. (1.3.15) donne, parce que le vecteur ξξξξ est arbitraire, les équations de conservation des composantes du tenseur d’énergie-impulsion ∇∇∇∇ν T µν = 0 (1.3.16) Puisque la géométrie de l’espace-temps répond à un champ externe en provoquant de la courbure, dépendant de la densité d’énergie emmagasinée dans le champ, elle aura des équations du mouvement qui lui seront propres. La seule variable dynamique de ce champ sera la métrique, via ses composantes gµν . On cherche à obtenir des équations qui, dans la limite d’un champ gravitationnel faible, nous procurera l’équation de la gravitation de Newton ; c’est une équation différentielle partielle non linéaire au second ordre du potentiel newtonien. Une exigence minimale est que les équations de la relativité générale doivent être du même degré et linéaires dans les secondes dérivées partielles des composantes de la métrique (qui jouent d’ailleurs le rôle de potentiel gravitationnel.) Ceci est assuré par l’action qui est une intégrale d’un lagrangien Lg , qui elle est une fonction des composantes gµν, gµν,ρ, et gµν,ρ,σ uniquement ; elle est linéaire dans ces dernières composantes (les dérivées secondes) et est telle que des termes comme ∂ Lg /∂gµν,ρ ne contiennent pas gµν,ρ,σ . L’action la plus simple qui puisse satisfaire ces exigences fut trouvée par D. Hilbert,† soit l’action géométrique de Hilbert-Einstein pour un champ gravitationnel Sg = ∫− g dL κ2 1 = (1.3.17) * Selon la notation non géométrique, en terme de composantes, on a que ξ (ν ;µ ) = ½(ξ ν ;µ − ξ µ ;ν ), où le point-virgule représente la dérivation covariante, ξµ (sous forme covariante) sont les composantes d’un vecteur quelconque ξξξξ . (µν ) et [µν ] représentent la symétrisation et l’antisymétrisation, respectivement : ξ (µ ,ν ) = ½(ξ µ,ν + ξ ν ,µ) et ξ [µ,ν ] = ½(ξ µ ,ν − ξ ν ,µ). † Parlons un peu des circonstances entourant la découverte de l’action représentée par l’Éq. (1.3.17). En effet Hilbert, inspiré par les travaux antérieurs d’Einstein et d’un séminaire qu’Einstein donna à Göttingen, présenta cette action à la réunion de l’Académie Royale des Sciences de Göttingen en 1915. Ceci survint seulement cinq jours seulement avant qu’Einstein présente sa formulation définitive de la relativité générale, lors de la réunion de l’Académie Prussienne à Berlin, publiée en 1916. Mais c’est Einstein qui fit tous les travaux préliminaires et qui attribua à cette action toute sa signification physique comme base d’une théorie du champ gravitationnel. g δ ∫Ω µν µν Ωδ dgT )( 2 1 µν µν g g c c L L + ∂ ∂ 2 0)( =∇∫Ω νµ µν Ωξ dT 0)( 3 =−−∇ ∫∫ ∂Ω µν µν Ω ν µν µ ΩξΩξ dgTdT ∫ −− Ωπ xdRg G c 4 4 16
  • 35. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 13 où R est le scalaire de courbure, R = gµν Rµν [Rµν sont les composantes du tenseur de Ricci provenant des composantes du tenseur de Riemann-Christoffel, R λ µνρ (voir Section 2.1)], et le facteur constant [−c4 /16πG (MKS)] est requis pour satisfaire la limite newtonienne. La variation de l’Éq. (1.3.17) pour Sg se lit maintenant Sg = = (1.3.18) Les composantes du tenseur de Ricci sont données par Rµν = R λ µνλ = Γ λ µν,λ − Γ λ µλ,ν + Γ ρ µν Γ λ ρλ − Γ ρ µλ Γ λ ρν (1.3.19) Si on applique la variation δ sur l’Éq. (1.3.19), on obtient δ Rµν = (δ Γ λ µν),λ − (δ Γ λ µλ),ν + (δ Γ ρ µν) Γ λ ρλ + Γ ρ µν δ (Γ λ ρλ) − (δ Γ ρ µλ )Γ λ ρν − Γ ρ µλ δ (Γ λ ρν ) (1.3.20) La variation des composantes de la connexion affine est aussi un tenseur. En effet, on a δ Γ λ µν = −δ (gρσ )gλρ Γ σ µν + gλρ δ [(δ gρν),µ + (δ gρµ),ν − (δ gµν),ρ] = gλρ (∇∇∇∇µδ gρν + ∇∇∇∇νδ gρµ − ∇∇∇∇ρδ gµν ) (1.3.21) Alors, la variation des composantes du tenseur de Ricci peut être écrite comme suit* δ Rµν = ∇∇∇∇ρ (δ Γ ρ µν ) − ∇∇∇∇ν (δ Γ ρ µρ ) (1.3.22) L’Éq. (1.3.18) devient donc, avec l’aide de l’Éq. (1.3.22) (κ = − c4 /16π G) Sg = = (1.3.23) = (1.3.24) puisque la dérivée covariante de ggggµν disparaît identiquement, et où le second terme à la droite de l’Éq. (1.3.24) a été réécrit en fonction de la divergence laquelle n’amène aucune contribution à l’action gravitationnelle totale SG. L’Éq. (1.3.18) se réduit donc à l’expression suivante (dΩ = d4 x) Sg = = = = = (1.3.25) où on a utilisé la relation . On peut aussi formuler l’Éq. (1.3.25) de la façon suivante * L’Éq. (1.3.22) est connue comme l’identité de Palatini et est obtenue de l’Éq. (1.3.20) si on prend les Γ comme des variables dynamiques indépendantes des gµν . g δ ∫− Ω µν µν δ π xdR G c 4 4 )( 16 gggg ∫ +− Ω µν µν µν µν δδ π xdRR G c 4 4 )]()([ 16 gggggggg 2 1 2 1 g δ ∫ ∇−∇+ Ω µρ ρ νµν ρ ρ µν µν µν δδδκ xdR 4 )]}Γ()Γ([)({ gggggggg ∫ ∇−∇+ Ω µρ ρµν νµν ρµν ρµν µν δδδκ xdR 4 )]}Γ()Γ([)({ gggggggggggg ∫ −+ Ω ρµν νµρ µν ρµν µν µν δδδκ xdR 4 , })ΓΓ()({ gggggggggggg g δ g− g δ ∫Ω µν µν δκ xdR 4 gggg ∫ − Ω µν µν δκ xdggR 4 )( ∫ −+− Ω µν µν µν µν δδκ xdggRggR 4 )( ∫       − Ω ρσ νσµρ µν ρσ Ωδκ dgggRgR 2 1 ∫       −− Ω ρσ ρσρσ Ωδκ dggRR 2 1 µν µν δδ gggg −=− 2 1)(
  • 36. 14 1 Introduction Sg = (1.3.26) C’est la forme qu’on obtenu Hilbert et Einstein. L’expression entre parenthèses dans l’Éq. (1.3.26) est un tenseur, le tenseur d’Einstein Gµν = Rµν − R gµν (1.3.27) et l’action donnée par l’Éq. (1.3.26) devient Sg = (1.3.28) L’exigence que Sg est un scalaire nous amène (avec des arguments similaires que ceux employés pour T µν ) aux équations de conservation pour les composantes du tenseur d’Einstein ∇∇∇∇ν G µν = 0 (1.3.29) qui reproduisent tout simplement les identités de Bianchi ∇∇∇∇[σ R λ µνρ ] = 0 (1.3.30) et ∇∇∇∇µ (R µ ν − δµ ν R ) = 0 (1.3.31) En retournant à l’Éq. (1.3.8), on déduit finalement les équations qui établissent l’équilibre entre les champs d’énergie donnés par l’Éq. (1.3.10) et la géométrie du champ gravitationnel Sg = (1.3.32) avec le caractère arbitraire qu’a δ gµν , les équations d’Einstein sont données par Gµν = Rµν − R gµν = Tµν (1.3.33) où 8π G/c 4 = κ est la constante de couplage d’Einstein. Les équations du champ d’Einstein sont dix équations différentielles partielles, couplées et non linéaires du second ordre dans les composantes de la métrique. Puisque les deux côtés de l’Éq. (1.3.33) ont une divergence covariante qui disparaît (∇∇∇∇ν G µν = ∇∇∇∇ν T µν = 0), alors le nombre d’équations indépendantes est réduit à six. Celles-ci suffisent entièrement à déterminer les dix composantes de la métrique symétrique de l’espace-temps de la relativité générale parce que quatre composantes de la métrique peuvent être assignées arbitrairement par le libre choix que nous avons en effectuant des transformations de coordonnées, ce qui se résume ainsi à quatre conditions. Les ECE guident le mouvement des planètes dans le système solaire, la déviation de la lumière par le Soleil, ainsi que l’effondrement d’une étoile pour former un trou noir. Elles déterminent uniquement la géométrie extérieure de l’espace-temps d’un trou noir (un trou noir n’a pas de cheveux), en plus du fait que les ECE gouvernent l’évolution des singularités de l’espace-temps au point final de l’effondrement et finalement l’expansion et la recontraction de l’univers, pour ne nommer que celles-ci. Donc, l’interaction entre le champ matériel et la géométrie de l’espace-temps se présente sans aucune spécification explicite des propriétés du champ, mais seulement par l’entremise du tenseur d’énergie-impulsion. La géométrie de l’arrière-plan ne pourrait faire la distinction entre les différents champs physiques, pourvu que ces derniers possèdent la même distribution en énergie-impulsion. Ceci peut être considéré comme une version de l’équivalence entre les masses inertielle et gravitationnelle que l’on a discutée auparavant. L’Éq. (1.3.33) nécessite plus d’attention, surtout lorsqu’il est question du déplacement d’un corps d’essai dans un champ gravitationnel. En effet, pour expliquer cette équation, il faut faire appel à quelques éléments de géométrie différentielle (Section 2.1). Par exemple, il existe un objet géométrique dans l’espace-temps appelé le tenseur de courbure de Riemann, riemann . riemann est l’incarnation mathématique des déformations, des torsions et des contractions (courbure de l’espace- temps) produites par l’accélération relative des géodésiques (par exemple, la ligne d’univers d’une particule libre) passant par un événement quelconque E et on dénote sur cette géodésique un vecteur tangent unitaire (le quadri-vitesse de la particule libre) par l’expression v = d x / dτ (τ étant le temps propre) ou en coordonnées, v µ = dx µ /dτ. Si on choisit g δ ∫       −− Ω µν µνµν Ωδ π dggRR G c 2 1 16 4 2 1 g δ ∫ −− Ω µν µν Ωδ π dgGg G c 16 4 2 1 g δ 0 2 1 2 1 16 4 =         +      −−∫Ω µν µνµνµν Ωδ π dgTgRR G c 2 1 4 8 c Gπ
  • 37. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 15 maintenant une autre géodésique, laquelle est voisine de notre première géodésique, ces deux géodésiques étant séparées par un vecteur quelconque, disons ξξξξ , riemann produira un nouveau vecteur, riemann (v ,ξξξξ ,v ). L’équation de la déviation géodésique stipule que ce nouveau vecteur est de signe contraire de l’accélération relative des deux géodésiques + riemann (v ,ξξξξ ,v ) = 0 (1.3.34) où D/dτ exprime la dérivée covariante par rapport à des incréments de temps propre. Donc, dans n’importe lequel système de coordonnées, les composantes du vecteur qui sortent de l’opération peuvent être formulées comme étant fonction des composantes des vecteurs que nous avons insérés1 r = riemann (u ,v ,w ) ⇔ rλ = R λ µνρ u µ v ν w ρ (1.3.35) En fonction des composantes, l’Éq. (1.3.34), l’équation de déviation géodésique, peut être écrite comme (1.3.36) Dans la théorie géométrique de la gravitation d’Einstein, l’Éq. (1.3.36) résume l’effet entier qu’a la géométrie sur la matière. L’Éq. (1.3.36) fait pour la physique gravitationnelle ce que l’équation de force de Lorentz (1.3.37) fait pour l’électromagnétisme (e = q/4πε o). Maintenant, revenons à l’Éq. (1.3.33). Une certaine partie du tenseur de Riemann, notamment le tenseur d’Einstein, que l’on dénote par Géométrie ou G , est toujours générée par une distribution locale de matière. Géométrie est un objet mathématique qui généralise la composante R tt du tenseur de Ricci [qui est égale à (4π G /c2 )ρ, ρ étant la densité.] Comme R tt, Géométrie est une sorte de moyenne de riemann sur toutes les directions. En générant Géométrie on obtient un objet géométrique appelé le tenseur d’énergie-impulsion, dénotée par Énergie ou T . Aucune coordonnée n’est nécessaire ici pour définir Géométrie , ni aucune pour Énergie . Comme pour le tenseur de Riemann, riemann , et le tenseur métrique, g , Énergie existe en absence totale de coordonnées si on le désire. Dans la nature, les objets Géométrie et Énergie sont toujours égaux, mise à part une constante, que l’on exprime de la façon suivante Géométrie = κ Énergie (1.3.38) où κ est la constante de couplage d’Einstein. On peut réécrire l’Éq. (1.3.38) de la façon suivante qui exprime les équations du champ gravitationnel d’Einstein en l’absence de coordonnées G = T (1.3.39) laquelle est identique aux Éqs. (1.3.2) et (1.3.33), sauf à l’égard de la notation. Les Équations du Champ d’Einstein (ECE) nous montrent comment le contenu en énergie-impulsion (Énergie ) génère une courbure moyenne (Géométrie ) dans son voisinage. De plus, l’Éq. (1.3.39), les ECE, représente une équation de propagation pour la partie restante (anisotrope) de la courbure ; elle gouverne la courbure externe de l’espace-temps d’une source statique, de même que la génération d’ondes gravitationnelles (ondulations dans la courbure de l’espace-temps) par de l’énergie-impulsion en mouvement. Elle régit également la propagation de ces ondes dans l’univers. Les ECE contiennent même en elles les équations du mouvement (Force = m × a = « masse fois accélération ») pour la matière, dont l’énergie-impulsion génère la courbure. Celles-ci furent les conséquences de G = κ T ( Courbure moyenne = « couplage gravitationnel fois le contenu en énergie-impulsion dans l’espace-temps »). Une façon utile dont on dispose pour écrire les équations du champ d’Einstein est d’abord de prendre la trace de l’Éq. (1.3.33) R − 2R = κ T = − R (1.3.40) puis en insérant l’Éq. (1.3.40) à nouveau dans l’Éq. (1.3.33) pour ainsi obtenir Rµν = κ (1.3.41) 2 2 τd D ξξξξ 02 2 =+ τ ξ ττ ξ ρ ν µ µνρ λ λ d dx d dx R d D 02 2 =− ττ µ µ λ λ d dx F m e d xD 4 8 c Gπ       − TT 2 1 µν
  • 38. 16 1 Introduction Dans cette forme, on reconnaît que les composantes du tenseur de Ricci reçoivent leurs contribution par la distribution locale d’énergie-impulsion. Lorsque qu’il n’y a pas d’énergie-impulsion ou matière dans le champ gravitationnel, les équations du champ gravitationnel d’Einstein dans le vide sont données par Rµν = R λ µνλ = Γ λ µν,λ − Γ λ µλ,ν + Γ ρ µν Γ λ ρλ − Γ ρ µλ Γ λ ρν = 0 (1.3.42) L’Éq. (1.3.42) ne produit pas seulement des solutions qui décrivent la géométrie de l’espace-temps à l’extérieur d’une distribution de matière ou d’énergie-impulsion, mais elle donne aussi des solutions qui diffèrent de la solution triviale de Minkowski, même lorsqu’il n’y a pas une quelconque distribution de matière ou d’énergie-impulsion. Ces solutions découlent en quelque sorte de la non linéarité de l’interaction gravitationnelle, selon laquelle la courbure (c’est-à-dire, la gravité), étant elle-même empreinte d’énergie-impulsion, génère elle-même davantage de courbure ; ces solutions décrivent alors des champs gravitationnels autosuffisants. Une des solutions les plus connues et la première à avoir été trouvée est la solution de K. Schwarzschild,* donnée de la façon suivante par l’élément de longueur au carré d’une source matérielle à symétrie sphérique dans un champ gravitationnel ds2 = )sin( 2 1 2 1 22222 1 2 22 2 ϕθθ ddrdr rc GM dtc rc GM +−      −−      − − (1.3.43) où M est la masse totale du corps mesurée à partir de la troisième loi de Kepler. L’Éq. (1.3.43) définit la géométrie schwarzschildienne ou le champ gravitationnel de Schwarzschild selon un système de coordonnées sphériques. En comparant l’Éq. (1.3.43) à l’Éq. (1.3.1) on voit l’effet d’une déformation du champ gravitationnel lorsqu’une masse M est présente. Dans la région où la géométrie est comparable à celle de Minkowski, pour r >> R, le rayon du corps créant le champ gravitationnel, la théorie de Newton est valide et le potentiel newtonien devient φ = GM/r, où M est la masse qui gouverne les mouvements képleriens des planètes dans ce champ gravitationnel newtonien. Cependant, l’Éq. (1.3.43) se comporte très mal lorsqu’elle se trouve près de la coordonnée r = 2GM/c2 , où gtt (composante temporelle) devient nulle et grr (composante radiale) devient infinie. Néanmoins, on ne peut être convaincu sans une analyse rigoureuse que cette pathologie (division par zéro, etc.) dans l’élément de longueur est soit due à une pathologie dans la géométrie de l’espace- temps elle-même ou simplement due à une pathologie dans les coordonnées (ct,r,θ,ϕ ) du système de coordonnées sphériques que l’on a utilisé pour trouver l’Éq. (1.3.43) et ce, près de RS = 2GM/c2 . On appelle la région r = RS, le rayon gravitationnel, le rayon de Schwarzschild, ou l’horizon événementiel, pour n’en nommer que quelques uns. Puisque le rayon de Schwarzschild n’est pas une singularité à proprement dit, on peut retirer la pathologie en effectuant une transformation des coordonnées sphériques initialement proposées par Schwarzschild par une transformation qui fut proposée par M.D. Kruskal en 1960 (et indépendamment par G. Szekeres). On définit alors les coordonnées de Kruskal-Szekeres de la façon suivante (avec m = GM/c2 )15 u = (r/2m − 1)1/2 er/4m cosh(t/4m) (1.3.44) v = (r/2m − 1)1/2 er/4m sinh(t/4m) (1.3.45) lorsque r > 2m, et u = (1 − r/2m)1/2 er/4m sinh(t/4m) (1.3.46) v = (1 − r/2m)1/2 er/4m cosh(t/4m) (1.3.47) lorsque r < 2m. Les transformations des coordonnées données par les Éqs. (1.3.44)-(1.3.45) et (1.3.46)-(1.3.47) nous permettent de définir l’élément de longueur au carré de la géométrie de Schwarzschild dans les coordonnées de Kruskal- Szekeres * Initialement, Einstein pensait qu’on ne réussirait jamais à trouver une solution à ses équations puisqu’elles sont si compliquées... À l’époque, Schwarzschild était un éminent astrophysicien et il savait qu’il serait très difficile d’analyser mathématiquement une étoile possédant un moment angulaire de rotation (spin) et qui serait en plus non sphérique. Donc, après avoir lu la publication d’Einstein en 1915, il se concentra sur le modèle d’une étoile qui ne possédait pas de spin, qui serait précisément sphérique et dont le comportement ne dépendrait pas du temps (un corps statique), une simplification qui aida ses calculs. Il procéda ensuite à trouver la solution extérieure à l’étoile laissant la solution intérieure (dépendante du temps) pour plus tard. De l’Éq. (1.3.42), il considéra que les composantes temporelle et radiale de la métrique seraient des fonctions exponentielles décroissantes, eν(r) et eµ(r) , dans un système de coordonnées sphériques. Il obtint six équations (parmi les six, une d’entre elles était répétée.) Finalement, il trouva trois équations indépendantes qui lui ont permis d’isoler les fonctions exponentielles eν(r) et eµ(r) , permettant ainsi de définir l’élément de longueur au carré présentée à l’Éq. (1.3.43). Il présenta donc cette solution que quelques mois après la publication par Einstein de la relativité générale.
  • 39. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 17 ds 2 = (1.3.48) Ici, on regarde r comme une fonction de u et v définie implicitement par* (r/2m − 1) er/2m = u 2 − v2 (1.3.49) Maintenant, à l’intérieur de l’horizon événementiel (à l’intérieur de r = 2GM/c2 ) à r = 0, on est confronté à une singularité dans les coordonnées utilisées par Schwarzschild. À ce point, les forces de marée deviennent infinies ; c’est un endroit où l’espace-temps perd toute sa définition et où les lois de la physique cessent d’être valides, c’est la fin de la prédictibilité globale des équations d’Einstein. En effet, Einstein refusa d’accepter que ses équations comportaient une telle pathologie et il fut convaincu que l’espace-temps devait être formulé de façon à éviter ces pathologies. Sa théorie unifiée de la gravitation et de l’électromagnétisme est le reflet de cette quête où il entreprend de définir le concept de masse à même la géométrie de l’espace-temps : la masse n’est que le reflet du comportement de la géométrie. Le Big Bang est aussi dans cette classe de pathologie ou de singularité dans l’espace-temps, mais celui-ci eut lieu aux tous premiers instants de la création de l’univers : notre univers n’est issu de rien, du néant. Avant la création de l’univers, le temps et l’espace n’existaient pas, car ils n’étaient pas définis en ce point singulier. * On note que dans le système de coordonnées de Kruskal-Szekeres la singularité r = 0 est située à u 2 − v 2 = 1, et dans ce système de coordonnées, v = + (1 + u 2 )1/2 et v = − (1 + u 2 )1/2 correspond à r = 0. )sin()(e 32 2222222 3 ϕθ ddrdudv r m mr +++−−
  • 40. 18 1 Introduction 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? Notre question maintenant est donc la suivante : Pourquoi donc reconsidérer une théorie si brillamment éprouvée et si théoriquement plaisante? On pose cinq raisons pour nous encourager à étendre la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) à une nouvelle théorie de la gravitation14 : 1. Einstein posa dans sa théorie que les composantes de la métrique de l’espace-temps sont symétriques, gµν = gνµ , et que les composantes de la connexion affine sont également symétriques, Γλ µν = Γλ νµ , ce qui correspond à la géométrie de Riemann. Ceci correspond à postuler que l’espace-temps est localement invariant sous des transformations homogènes de Lorentz. 2. Les singularités au début de la création de l’univers et l’effondrement gravitationnel ne peuvent être évités dans la théorie de la gravitation d’Einstein sans la violation du Théorème de Hawking-Penrose, basé sur le postulat que ρ + 3p > 0 (ou bien, ρ + p > 0),1 où la vitesse de la lumière est fixée à l’unité, c = 1. 3. Le développement perturbatif de la TGE n’est pas le même que celui de l’électrodynamique quantique (QED). Les résultats des perturbations gravitationnelles possèdent des divergences ultraviolettes qui ne peuvent être effacées par la renormalisation [la constante gravitationnelle de Newton, G, possède des dimensions de (hc/m2 ), et ceci nous amène à une théorie non renormalisable.] Ceci est un fait embarrassant, surtout lorsqu’on considère la nature universelle de la gravitation. 4. L’explication de la stabilité étonnante de la matière. 5. L’unification des forces fondamentales. Il n’y a aucune raison mathématique ou expérimentale pour laquelle on devrait considérer que la raison (1) est exacte.2 Einstein2,3,4,5 a tenté pendant plusieurs années de développer une Théorie du Champ Unifié (TCU) où les champs considérés sont ceux de la gravitation et de l’électromagnétisme. Dans le cadre de cette étude, il abandonna le postulat (1) et formula une théorie du champ non symétrique où gµν ≠ gνµ . Dans cette théorie, gµν est décomposée selon2,* gµν = g(µν ) + g[µν ] (1.4.1) où g (µν) = (gµν + gνµ ) g [µν] = (gµν - gνµ ) (1.4.2) De plus, la connexion affine de la théorie non symétrique, W λ µν , se décompose selon la même prescription W λ µν = W λ (µν ) + W λ [µν ] (1.4.3) Einstein2 supposait qu’il existait une relation g[µν] ∝ Fµν, où Fµν sont les composantes du tenseur de Maxwell (ou tenseur dual) qui correspondent au champ électromagnétique. Il voulait unir la théorie de la gravitation avec la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell.† En effet, toute généralisation de la théorie de la gravitation devrait contenir les équations de Maxwell et les équations de la gravitation d’Einstein d’une façon non équivoque par la voie d’un principe de correspondance. Cependant, à partir des équations du champ non symétrique qu’Einstein et Straus ont proposées, on observa plusieurs difficultés dont notamment que la limite dans le champ faible ne constitue pas les équations de Maxwell6 et le quantum associé avec g[µν ] ∝ Fµν possède une polarisation (J) et une polarité (P) donnée par JP = 0+ et non JP = 1+ comme il est requis pour le photon.14,7,8 De plus, Callaway9 a démontré que les équations du mouvement d’une particule d’essai qui obéit les équations d’Einstein-Straus ne contiennent pas de contribution équivalente à la force de Lorentz Fµν u µ , où u µ est le quadrivecteur vitesses. Alors, une particule chargée se déplacerait comme si elle n’était pas chargée! Bonnor10 ajouta un terme aux équations d’Einstein-Straus, le terme de Bonnor ggggµν g[µν ], de sorte que les équations du mouvement de la théorie d’Einstein-Straus possèderaient le terme nécessaire correspondant à la force le Lorentz ; un tel terme ne * Ceci nous donne seize composantes indépendantes pour la métrique, mais les douze composantes de part et d’autre de la diagonale seront l’inverse l’une de l’autre nous donnant ainsi quatre composantes sur la diagonale qui sont symétriques, g(µν ) = g(νµ) , et six composantes indépendantes hors diagonale qui sont antisymétriques, g[µν ] = −g[νµ ]. † Puisque les composantes gµν (où gµν dxµ dxν est un invariant) forment les composantes du potentiel gravitationnel et que les phénomènes électromagnétiques sont gouvernés par les composantes du quadri-potentiel électromagnétique Aµ (où Aµ dxµ est un invariant). Cela suggère que ces deux formes invariantes pourraient être unies en une unique entité. 2 1 2 1
  • 41. 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 19 correspondait pas à un terme cosmologique. Mais la critique la plus farouche vint de ceux qui s’opposent à toute modification de la relativité générale dans son ensemble. Une autre objection contre les théories non symétriques vint de Weyl et Pauli11 qui ont proposé que seulement des quantités irréductibles devraient être utilisées dans les théories du champ.12 Lors de la publication de la théorie de la gravitation d’Einstein, elle n’a pas suscitée d’attention de la part de la communauté scientifique : la théorie était fort complexe et les physiciens du temps furent très peu à s’avancer dans son sillage.13 Le point tournant vint lorsque Arthur Eddington fit une expédition en Afrique en 1919 et recueillit des données observationnelles lors d’une éclipse total.14 Il prit plusieurs photographies d’étoiles présentes dans le ciel avant l’éclipse et les compara avec celles qu’il prit pendant l’éclipse. Il observa que la position des étoiles ciblées avait changée avant et après l’éclipse (nonobstant plusieurs erreurs instrumentales15 ) et ce exactement par la valeur prédite par Einstein un an plus tôt.16 Nonobstant son élégance géométrique, la TGE comporte des solutions singulière qui détruisent sa prédictibilité globale. Par “globale” on entend qu’à tout point de l’espace-temps, on doit être en mesure de définir une métrique.* Il a été longtemps espéré qu’une nouvelle théorie de la gravitation non singulière pourrait être trouvée et à partir de laquelle la théorie d’Einstein émergerait lorsqu’on considère une limite à faible énergie. La solution du problème à valeur initiale de Cauchy est détruite lorsqu’on se situe à une singularité essentielle, comme celle de la singularité du Big-Bang, et à une singularité “nue” possible lors d’un effondrement gravitationnel.17 En adoptant l’invariance locale de Lorentz et une métrique symétrique, le principe d’équivalence suit et une singularité se présente dans la TGE de façon inévitable pour la matière “normale” avec une densité ρ > 0 et une pression p > 0. Dans la Figure 1.4.1 ci-dessous, on montre un diagramme qui décrit l’existence des singularités dans la TGE. Figure 1.4.1: Singularités dans la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE).14 Beaucoup d’efforts ont été déployés depuis une vingtaine d’années pour formuler une nouvelle théorie de la gravitation qui serait en accord avec la théorie quantique, et qui plus est, nous donnerait une description unifiée et réaliste des forces de la nature.18 Les corrections quantiques apportées à la TGE en supposant qu’elles peuvent être calculées seront excessivement petites sauf à la frontière de l’énergie de Planck, Ep ∼ 1019 GeV, et donc, elles sont inaccessibles aux expériences physiques.19 Cependant, il est connu que la théorie des perturbations basée sur le développement de la TGE n’est pas la même que pour l’électrodynamique quantique20 : il y a divergence ultraviolette et on ne peut pas s’en débarrasser en utilisant le processus de renormalisation.21 Le modèle standard SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1) nous donne des résultats plausibles et renormalisables. Mais encore là, le modèle standard pose certains problèmes expérimentaux et théoriques.19 Puisque la gravité pure d’Einstein a été prouvée renormalisable seulement au premier ordre (“one-loop * On doit expliquer ici quelques notions généralement mal comprises. Premièrement, le terme “singularité” signifie que le tenseur de courbure devient infini ou que la métrique contient des pathologies (divisions par zéro, etc.) Cependant, la difficulté la plus insurmontable est d’essayer de donner un sens à l’idée qu’une singularité est un endroit. Dans toutes les théories physiques, sauf la TGE et la théorie que nous étudierons, la variété et la métrique de l’espace-temps sont postulées à l’avance. On sait le “où et quand” de tous les événements de l’espace-temps et notre tâche est d’associer les valeurs des quantités physiques à ces événements. Si une quantité physique est infinie ou autrement non définie à un point de l’espace-temps, on n’a pas de difficulté à dire qu’il y a une singularité à cet endroit. Par exemple, on peut facilement donner une signification précise à la déclaration que la solution de Coulomb des équations de Maxwell dans la relativité restreinte possède une singularité aux événements se produisant à r = 0. Cependant, dans le cas qui nous préoccupe, la situation est différente ; on essaie de résoudre pour la variété et la métrique elle-même. Puisque la notion d’un événement n’a de sens physique que si une variété et une métrique sont définies dans son voisinage, l’approche la plus naturelle (par exemple, dans la TGE) est de dire que l’espace-temps consiste d’une variété V4 à quatre dimensions et les composantes de la métrique gµν sont définit en tout point. Alors, la singularité du Big Bang de la solution de Robertson-Walker n’est pas considérée être un point de la variété d’espace-temps ; ce n’est pas un “endroit” ou un “temps.” De façon similaire, seulement la région r > 0 est incorporée dans l’espace-temps de Schwarzschild de la TGE ; contrairement à la solution de Coulomb de la relativité restreinte où la singularité à r = 0 n’est pas un “endroit.”[R.M. Wald, General Relativity (Chicago University Press, Chicago, 1984).] Invariance Locale de Lorentz Principe d'Equivalence Faible et Fort Singularité du Big-Bang et Singularité “Nue” Théorème de Hawking- Penrose : ρ + 3p > 0
  • 42. 20 1 Introduction renormalizable”) par ‘t Hooft et Veltman en 1974,21 le couplage à un champ scalaire22 pour une particule ne l’a cependant pas été. De plus, en 1985, il a été démontré par Goroff et Sagnotti que la gravité pure au deuxième ordre (“two-loop”) est non renormalisable. Cependant, il fut très espéré en la théorie de la supergravité23 qu’une théorie finie incluant la gravité pourrait être construite en utilisant les cancellations de divergences produites par la supersymétrie. Des candidates pour des théories de supergravité ont émergé depuis qui possèdent des éléments finis au premier et au deuxième ordre tout en ayant de la matière présente dans les équations.24 Elles étaient aussi candidates pour des théories unifiées de toutes les interactions. Mais ces théories n’ont point rempli ce qu’on espérait d’elles parce qu’elles semblent avoir épuisé les symétries au troisième ordre dans la perturbation, épuisant ainsi le mécanisme de cancellation des divergences en quatre dimensions. 23 Les théories conçues dans des dimensions supérieures19 (par exemple, celle de Kaluza-Klein25,26 ) semblent être davantage en plus grave état car la constante cosmologique est quelques 10126 ordres de grandeur plus élevée que les limites observationnelles. Mais la version non symétrique27,28 a été étudiée dans les cas abéliens (addition commutative) et non abéliens (addition non commutative) pour une unification de la gravitation et les champs de jauge. Ces théories ne font pas qu’unir un principe d’invariance local de jauge et un principe d’invariance local des coordonnées mais elles procurent aussi des effets d’interférences entre le champ gravitationnel et le champ de jauge (champ électromagnétique à cinq dimensions.) Il est possible que le malaise de la théorie de la gravitation soit causé par la considération des particules comme objets à point.29 Si ces particules étaient alors considérées comme des objets étendus, tout pourrait très bien se comporter et une théorie finie de la gravitation unifiée avec les autres champs pourrait heureusement apparaître.30 En effet, depuis près de dix ans maintenant, la théorie des supercordes (TSC)19,31,32 est devenue une candidate pour une théorie finie de la gravitation en plus d’être une théorie qui nécessite des dimensions supérieures pour dégager les symétries additionnelles nécessaires pour supporter l’ensemble du processus de renormalisation (elle est complètement libre de toute anomalie du champ.) Ce qui fait d’elle une théorie qui n’a pas besoin d’être renormalisée. Dit autrement, les symétries que l’on retrouve dans la physique des particules et la TGE émergent comme un petit ensemble de symétries de la supercorde et elles inclus nécessairement la gravitation quantique et les théorie de jauge comme sous-ensembles.32 En effet, la TSC possède des propriétés désirables découlant de ses groupe de jauges : invariance conforme et superconforme, transformation générale des coordonnées, E8 ⊗ E8, et la supersymétrie de l’espace-temps.19,32 Même si le modèle est tellement contraint (seulement quelques TSC sont possibles), il semble qu’il possède une quasi-infinité de solutions du vide : près d’un million ont été trouvées jusqu’à présent. Il reste maintenant à trouver quelle solution est la bonne, le vrai vide de la théorie. Finalement, du point de vue expérimental, la TSC (comme toute théorie de gravitation quantique) est définie pour des énergies de l’ordre de l’énergie de Planck, ce qui la rend alors très difficilement mesurable en laboratoire. Ainsi, la TSC ne peut pas expliquer pourquoi la constante cosmologique est extrêmement près de zéro.32 Comme nous le savons, la durée de vie du proton est de τp ∼ 1030 années, ce qui est vingt ordres de grandeur plus long que l’âge même de l’univers. Même si les théoriciens ont révélé que le proton peut se désintégrer, par exemple p e+ + π° ou par p π+ , d’où violation du nombre baryonique. On peut toujours espérer que le nombre fermionique soit conservé. Si on définit le nombre fermionique par exemple par F = B − L, où B et L sont les nombres baryonique et leptonique* respectivement, alors B et L peuvent être séparément violés et encore donner ∆F = 0. Effectivement, dans le modèle SO(10), qui est un candidat populaire pour une théorie grande unifiée, F est un générateur conservé.19 Le but ultime des théoriciens est l’unification des forces fondamentales de l’univers. Durant l’histoire de cette conquête, bon nombre d’entre eux ont essayé. La première unification a été faite par Maxwell qui unifia les phénomènes électrique et magnétique en un ensemble d’équations d’ondes qui expliquent et prédisent la propagation des ondes électromagnétiques à vitesse constante.1,19 Une deuxième unification a eu lieu entre l’électromagnétisme de la théorie de l’interaction faible.19 La théorie de l’interaction faible dicte le comportement du processus de désintégration du noyau de l’atome et son unification résultant en la théorie électrofaible. Elle est valide aujourd’hui car les particules qui propagent sa force (les bosons W + , W − , et Z ο ) ont tous été observées en laboratoire (dans les accélérateurs de particules.) Une troisième unification s’est presque produite entre la théorie électrofaible et la force forte, celle qui dicte la structure des particules composant le noyau de l’atome. En effet, cette unification prédisait la désintégration du proton19 mais jusqu’à présent, aucun laboratoire n’a pu détecter un photon émis de cette désintégration. Il y a aussi eu des essais pour unifier la gravitation. Depuis la formulation de la théorie de la gravitation d’Einstein en 19146 et celle de la relativité restreinte en 1905,1 les physiciens ont essayé de trouver une théorie satisfaisante pour le champ unifié de la gravitation et de l’électromagnétisme. Les essais effectués auparavant, comme ceux de Weyl,33,34 Eddington,34 Schrödinger35 et Einstein,2,3,4 ont échoué parce qu’ils n’avaient que peu ou pas la connaissance que nous avons aujourd’hui de l’existence des interactions faible et forte.8 Il est maintenant considéré par la majorité des ténors du programme d’unification qu’un autre problème important existe, celui de réconcilier la TGE avec l’autre pilier de la physique : la physique quantique. Une unification complète et effectuée avec succès de ces deux aspects de base de la physique n’a pas encore été accomplie. Effectivement, la gravitation s’obstine et * On définit le nombre leptonique par L = N(e− )+N(νe)−N(e+ )−N( ) et le nombre baryonique par B = 3[N(q)− N( )]. → → ν eν q
  • 43. 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 21 refuse toute réconciliation avec la physique quantique en dépit des efforts encourus jusqu’à ce jour pour effectuer une telle réconciliation. Un des problèmes est d’unifier le quantum de gravité (graviton) avec les autres quanta de base et les particules observées. C’est une tâche difficile, non seulement parce qu’on retrouve un grand nombre de ces particules, mais parce que les fermions sont fondamentalement différents des gravitons et qu’ils ne sont pas encore très bien compris au niveau quantique et en plus n’ont toujours pas été observés directement. 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat En 1979, J.W. Moffat proposa la Théorie Non Symétrique de la Gravitation (TNG) selon laquelle les composantes de la métrique non symétrique gµν (voir Section 2.4) et la connexion affine W λ µν (voir Section 3.1) décrivent un champ gravitationnel pur.14,1 Une source additionnelle est introduite dans la théorie et est interprétée comme étant un vecteur densité de courant du nombre fermionique de particules (voir Section 3.5).2 Alors, deux différentes sources associées à la matière ont alors été introduites dans cette théorie de la gravitation, la masse et la conservation du nombre de particules ou encore la charge TNG d’un corps (voir Section 3.3). L’énergie associée aux autres champs, comme celle du champ électromagnétique, peut aussi produire un champ non symétrique gµν (voir Section 4.3). A partir des équations du champ et des lois de conservation, lesquelles sont dérivées d’une densité lagrangienne, des prédictions expérimentales peuvent être faites et peuvent être vérifiées expérimentalement. La TNG a maintenant atteint un niveau de consistance mathématique comparable à la TGE.14,2,3 Elle est en accord avec toutes les observations et elle peut expliquer quelques observations qui posent certains problèmes dans la TGE. Cependant, la TNG est techniquement plus complexe que la TGE, mais ceci est néanmoins suppléé par le fait que la théorie n’est pas basée sur des postulats spéciaux, comme celui que l’espace-temps est localement invariant sous des transformations homogènes de Lorentz et que les composantes gµν et W λ µν sont symétriques dans les indices µ et ν . Il est cependant vrai qu’il soit nécessaire d’exiger que les composantes gµν et W λ µν soient transposées symétriques (hermitiques) pour obtenir un théorie de la gravitation physiquement viable et réelle.* La simplicité et la beauté d’une théorie fondamentale de la gravitation est mesurée par la simplicité des postulats requis pour construire la théorie et non pas par les difficultés techniques nécessaires pour la formuler. La théorie de la gravitation qu’Einstein a proposée est techniquement plus complexe que la théorie de Newton mais peu de postulats au sujet des propriétés d’invariance de l’espace et du temps sont nécessaires pour obtenir la théorie. En ce sens, la TNG pose le nombre minimum de postulats au sujet des symétries de l’espace-temps et alors, selon cette veine, elle est une théorie minimale de la gravitation qui est viable.14 Cependant, d’entrée de jeu, un point doit être signifié : il y a violation du principe d’équivalence faible dans la TNG (voir Chapitre 7). Par exemple, un proton ne tombe pas au même taux qu’un antiproton dans un champ gravitationnel (voir Section 6.2). En revanche, un point important est le suivant : les singularités peuvent être évitées sans qu’on ait à invoquer la présence de matière exotique avec une densité ρ < 0 ou une pression p < 0 (voir Chapitre 13). Ceci est décrit dans la Figure 1.5.1, et pourrait influencer fortement la cosmologie de l’univers à ses tout débuts en plus de modifier nos connaissances sur la nature théorique des trous noirs et de l’effondrement gravitationnel. * On retourne ici au précepte des théoriciens de la grande unification qui, au-dessus de tout, pensent qui si Dieu existait, il n’aurait pas besoin de manipuler 19 manettes pour ajuster 19 paramètres du modèle standard pour créer l’univers comme on le connait. C’est beaucoup trop. Ces paramètres sont les suivants : 3 constantes de couplage pour les groupes dans SU(3)⊗SU(2)⊗U(1) {e.g., pour le groupe unitaire à une dimension U(1), on a l’électromagnétisme de Maxwell et la constante de structure fine pour le photon qu’y est donnée par α = e2 /4π h c = 1/137, tandis que pour spécial unitaire à deux dimensions d’hélicité SU(2), on a le couplage des bosons intermédiaires W± et Z0 (Mc/h)2 G/hc = 1.02×10−5 pour la force faible, et pour la structure donnée par le modèle de la chromodynamique quantique et son groupe spécial unitaire à 3 dimensions d’isospin pour les gluons et le groupe SU(3) de la force forte, que l’on a normalisé selon αS ~ 1 pour r grand (« heavy ») et αS < 1 pour r petit (« trapped ») – le tout doit être comparer à la gravitation où le couplage du graviton (toujours indétectable expérimentalement) est de l’ordre de GNM2 /hc = 0.53×10−38 ) pour l; 2 paramètres pour le secteur de Higgs (masse de Higgs et valeur espérée v de Higgs) ; Nf 2 + 1 paramètres pour les quarks (f : « flavor quark charge ») [2 Nf 2 masses de quark pour Nf familles et (Nf − 1)2 angles de Kobayashi-Maskawa et phases] ; Nf 2 + 1 paramètres leptoniques (pour les neutrinos massifs) ; l’angle θ QCD de Cabibbo (provenant des Instantons) le tout comportant 19 paramètres (si les neutrinos sont sans masse). Le modèle standard n’est qu’une première approximation de la théorie exacte des particules subatomiques.
  • 44. 22 1 Introduction Figure 1.5.1: Le rebondissement non singulier dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation (TNG).14 Puisque la TNG se couple de façon non triviale avec les autres champs non gravitationnels, c’est une théorie riche en nouvelles prédictions expérimentales. Un exemple récent est la prédiction dans la TNG d’une polarisation dépendante des effets liés à la courbure de la lumière (voir Chapitre 17).4 Pour résumer brièvement la TNG, on doit d’abord comprendre que la source originale dont la théorie s’inspire est la Théorie du Champ Unifié (TCU) qu’Einstein avança auparavant. Mais la TNG est une théorie réelle contrairement à la TCU qui était formulée dans le plan complexe. Il est très intéressant de constater que, d’un point de vue historique, l’idée d’Einstein d’unifier la gravitation et l’électromagnétisme dans le cadre d’une métrique non symétrique a été utilisée pour formuler une théorie pure du champ gravitationnel. Dans la TGE, la métrique de l’espace-temps, = gµν d xµ ⊗ d xν où les composantes de la métrique sont symétriques (gµν = gνµ ) jouent le rôle de potentiels gravitationnels. Dans la TNG, il y a deux sortes de potentiels : une métrique = g(µν )d xµ ⊗ d xν et un 2-forme = g[µν ]d xµ ∧ d xν (voir Section 2.4).27,28 Dans la TGE, la géométrie de l’espace-temps est riemannienne tandis que dans la version réelle de la TNG (la version complexe comportant des modes fantômes), c’est la géométrie d’Einstein,5 soit une géométrie avec la métrique , le 2-forme et une connexion W µ ν compatible avec les composantes du tenseur non symétrique gµν = g(µν ) + g[µν ]. La TNG est donc basée sur trois quantités géométrique fondamentales : les composantes des deux connexions Γ λ µν et W λ µν (inter reliées et possédant une torsion Γµ non nulle) et les composantes de la métrique non symétrique gµν alors que dans la TGE, on a qu’une connexion avec une torsion qui disparaît et une métrique symétrique sur l’espace-temps. Une théorie de la gravitation associe le champ gravitationnel avec la mesure de la quantité de matière dans le champ.28,6 On sait qu’une mesure très bien définie d’une quantité de matière est une masse (énergie). Cette quantité est conservée. Selon cette interprétation, la mesure de la quantité de matière joue le rôle de charge gravitationnelle. Cependant, comme il fut mentionné dans la Section 1.4, une excellente mesure de la quantité de matière est le nombre fermionique, F = B − L, et c’est le nombre fermionique qui est utilisé dans la TNG. C’est une autre quantité conservée. La charge fermionique est une deuxième sorte de potentiel gravitationnel dans la TNG : c’est la source de la partie antisymétrique de la métrique non symétrique, le 2-forme , la seconde sorte de potentiel gravitationnel. Contrairement aux espérances, il n’y a pas de potentiel coulombien additionnel et aucune force de Lorentz n’est présente dans l’approximation post newtonienne. Il semble donc que la TGE soit une théorie du champ gravitationnel pour les bosons seulement et que la TNG est une théorie du champ gravitationnel pour les fermions et les bosons.27,28 Dans la TNG, il y a une solution du type schwarzschildien se ramenant à la solution de Schwarzschild dans la limite où l’antisymétrie disparaît, mais elle ne diffère de celle-ci que de quelques facteurs, et ces facteurs dépendent de la charge fermionique du corps qui est la source du champ gravitationnel (voir Section 4.1). En ce sens, la charge fermionique d’un corps comme le Soleil exerce une influence sur la géométrie de l’espace-temps en créant une contribution antisymétrique qui s’ajoute au champ symétrique décrit par la TGE. En ce qui concerne les données observationnelles reliées au coefficient du moment quadripolaire du Soleil, la TNG possède un paramètre, la même charge fermionique que l’on peut ajuster convenablement selon ces observations (qu’elles soient grandes ou faibles) ce que la TGE ne peut faire, étant dénuée d’un tel paramètre ajustable dans sa solution de Schwarzschild. Si le Soleil démontre une légère oblatesse à ses pôles (moment quadripolaire large), la précession de la périhélie de Mercure et de la planète mineure Icarus en sera directement affectée dans l’approximation post newtonienne. La TNG peut corriger ce fait en ajoutant un terme additionnel aux approximations qui tient compte de la charge fermionique du Soleil (voir Section 6.5). La TNG produit aussi des résultats nuls pour l’Effet Nördverdt (voir Section 11.3). Invariance Locale GL(4,R) Principe d’Equivalence Faible et Fort Théorème de Hawking- Penrose : ρ + 3p > 0 On Évite le Big-Bang ou les Singularités “Nues” g g g ~ g g ~ g ~
  • 45. 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat 23 La TGE semble avoir ses limitations en ce qui concerne les systèmes gravitationnels forts tel les systèmes binaires et les supernovae. Ces systèmes binaires fermées et non dégénérés possèdent un déplacement du périastre anormalement faible. Le champ gravitationnel à l’intérieur de ces systèmes est beaucoup plus grand que dans notre système solaire. La TGE est incapable de formuler une explication de la valeur de ces anomalies. Le système binaire DI Herculis est un de ces systèmes et la TNG explique le déplacement du périastre anormalement faible de ce système en incluant la charge fermionique des corps en présence et une constante de couplage aux cosmions (voir Section 10.4). La TNG est aussi en accord avec les données pour le pulsar binaire PSR 1913+16 (voir Section 10.2). Dans l’approximation linéaire de la TNG, la théorie ne possède pas de radiation dipolaire et la radiation monopolaire associée à la partie antisymétrique de la métrique non symétrique est négligeable. La TGE comporte aussi sa part de problèmes lorsqu’on l’applique à l’explication des propriétés des supernovae mais la TNG est en mesure de formuler une explication aux phénomènes observés. Alors on peut dire que dans la TGE, la masse courbe l’espace-temps, alors que dans la TNG, la masse et la charge fermionique (nombre fermionique) courbent et tordent l’espace-temps. On montre, à la Figure 1.5.2, la dépendance de la TNG sur les autres théories de la gravitation qui ont été proposées depuis.27,28 Figure 1.5.2: L’ensemble des différentes théories gravitationnelles non métriques en comparaison avec la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) et la Théorie Non symétrique de la Gravitation (TNG). Abréviations : TK² (Théorie de Kaluza-Klein), TJT (Théorie de Jordan-Thiry), TNK² (Théorie Non symétrique de Kaluza-Klein), TNJT (Théorie Non symétrique de Jordan-Thiry), TNAK² (Théorie Non Abélienne de Kaluza-Klein), TNAJT (Théorie Non Abélienne de Jordan-Thiry), TN²AK² (Théorie Non symétrique et Non Abélienne de Kaluza-Klein) (voir l’Appendice du Chapitre 21), TN²AJT (Théorie Non symétrique et Non Abélienne de Jordan-Thiry). Appendice A Les Équations de Maxwell On trouve, expérimentalement, que la force qui agit sur une charge quelconque – peu importe le nombre de charges ou comment elles se déplacent – dépend seulement de la position de cette charge quelconque, sur la vitesse de la charge et sur la quantité de charge. On peut écrire la force F sur une charge q se déplaçant avec une vitesse v par F = q(E + v ×××× B). On appelle E le champ électrique et B le champ magnétique en la position de la charge (x,y,z). On peut penser que E(x,y,z) et B(x,y,z) comme produisant les forces qui peuvent être perçue à un temps t par la charge q située à (x,y,z) avec la condition qu’ayant placée la charge n’a pas perturbé la position ou le mouvement de toutes les autres charges responsable des champs. On associe donc avec tout point (x,y,z) de l’espace deux quantités physiques orientés (i.e., vecteurs), E et B, qui peuvent varier avec le temps. Les champs électrique et magnétique sont alors visualisés comme des fonctions vectorielles de x, y, z TGE TNG Partie antisymétrique de la métrique Torsion et nombre fermionique (courant) Courbure dans la 5e dimension Charge électrique Courbure et torsion dans la 5e dimension, charge électrique Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur Champ scalaire, constante gravitationnelle variable Partie antisymétrique de la métrique Torsion dans la 5e dimension Nombre fermionique (courant) Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur Constante gravitationnelle variable Champ scalaire Partie antisymétrique de la métrique Torsion dans la 5e dimension Nombre fermionique (courant) Courbure dans les dimensions additionnelles, charge de couleur Champ scalaire Constante gravitationnelle variable Constante gravitationnelle variable Champ scalaire Partie antisymétrique de la métrique Torsion et nombre fermionique (courant) Torsion et nombre fermionique (courant) Partie antisymétrique de la métrique Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur Courbure dans les dimensions additionnelles, charge de couleur TJT TNAJT TNK²TNJT TN²AJT Classique Non-symétrique Non-abélien Non-symétrique Non-abélien TNAK² TK² TN²AK²
  • 46. 24 1 Introduction et t. Puisqu’un vecteur est spécifié par ses composantes, chacuns des champs E(x, y, z, t) et B(x, y, z, t) représente trois fonctions mathématiques de x, y, z et t. Un « champ » est une quantité physique qui prend différentes valeurs en différents points dans l’espace.* On considère donc les champs comme des fonctions mathématiques de la position et du temps et pour les visualiser, on dessine mentalement des vecteurs en plusieurs points dans l’espace, chacun d’eux nous donnant l’intensité du champ et sa direction en ce point. Considérons d’abord la propagation d’une onde. Dans le vide (i.e., pour un système sans charges électriques, ρ = 0, et sans densité de courant, J = 0) les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) deviennent 0div = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =•= z E y E x E zyx EE ∇∇∇∇ (1.A.1) ty E x E z E x E z E y E EEE zyx xyxzyz zyx ∂ ∂ −=      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ −      ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ == B kji kji EE ˆˆˆ ˆˆˆ rot ××××∇∇∇∇ (1.A.2) 0div = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =•= z B y B x B zyx BB ∇∇∇∇ (1.A.3) ty B x B z B x B z B y B BBB zyx xyxzyz zyx ∂ ∂ =      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ −      ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ == E kji kji BB oo ˆˆˆ ˆˆˆ rot εµ××××∇∇∇∇ (1.A.4) où εo = 8.854×10−12 F/m est la permittivité du vide (la constante diélectrique) et µ o = 4π ×10−7 N/A, la perméabilité du vide. Pour interpréter physiquement les Éqs. (1.A.1)-(1.A.4) on débute par affirmer que lorsque la divergence d’un champ vectoriel quelconque V est nulle (i.e., ∇∇∇∇•V = 0), cela veut dire que chaque ligne du champ formera une boucle fermée et par conséquent, les lignes de champ ne s’entrecroisent pas. En appliquant cette interprétation aux Éqs. (1.A.1) et (1.A.3), on peut dire que les lignes des champs électrique et magnétique forment des boucles fermées dans l’espace (voir Figure 1.A.1). ⇒=• 0E∇∇∇∇ ⇒=• 0B∇∇∇∇ Figure 1.A.1 : Interprétation visuelle des équations de Maxwell (1.A.1) et (1.A.3). S’il n’y avait que ces deux équations, alors les champs E et B seraient totalement indépendants. Ce sont les équations (1.A.2) et (1.A.4) qui les unissent en un ensemble cohérent qui permet la propagation d’onde dans l’espace. De l’Éq. (1.A.2), on déduit que la variation dans le temps du champ magnétique génère une rotation du champ électrique autour de celui-ci (c’est la Loi de Faraday). La Figure 1.A.2 montre qu’autour de la boucle B(t), des boucles de E(t) sont générées à chaque point de la boucle B (où seulement quatre points sont indiqués dans cette figure.) * La Température, par exemple, est un champ – dans ce cas-ci un champ scalaire, qui peut être écrit comme T(x,y,z). La température pourrait aussi varier avec le temps et on pourrait dire que le champ de température est dépendante du temps et l’écrire comme T(x,y,z,t). E B
  • 47. Appendice A Les Équations de Maxwell 25 ⇒ ∂ ∂ −= t B E××××∇∇∇∇ Figure 1.A.2 : Interprétation visuelle de l’équation de Maxwell (1.A.2). Il est à noter que la direction de E est conforme avec le signe négatif présent dans l’Éq. (1.A.2) selon la règle de la main droite. Le champ électrique en retour génère des champs magnétiques selon l’Éq. (1.A.4), laquelle suggère que la variation dans le temps d’un champ électrique produit une rotation du champ magnétique autour de celui-ci (voir Figure 1.A.3). ⇒ ∂ ∂ = t E B ooεµ××××∇∇∇∇ Figure 1.A.3 : Interprétation visuelle de l’équation de Maxwell (1.A.4). À cause des contraintes fournies par les Éqs. (1.A.1) et (1.A.3), les champs électrique et magnétique forment des boucles comme indiqué dans la Figure 1.A.1. De plus, les rotations dans les Éqs. (1.A.2) et (1.A.4) requiert aussi qu’elles forment des boucles. Les Éqs. (1.A.2) et (1.A.4) nous procure donc le couplage entre les champs électrique et magnétique. Le champ magnétique nouvellement généré (Figure 1.A.3) génèrera à son tour un nouveau champ électrique autour de celui-ci selon l’Éq. (1.A.2) et le nouveau champ électrique génèrera encore un nouveau champ magnétique selon l’Éq. (1.A.4) et ainsi de suite. Selon une direction dans l’espace, la relation entre ces générations successives de champs bouclés E et B ressemble à la chaîne dans la Figure 1.A.4 (où un seul point est représenté). Figure 1.A.4 : Visualisation de la propagation du champ électromagnétique en combinant les équations de Maxwell. De telles réactions en chaîne se déplacent dans toutes les directions et ceci constitue la propagation des champs E et B. B(t) B′(t) • E(t) • • • • B′(t) B′(t) B′(t) …• • • •B(t) E(t) B′(t) E″(t) B″(t) E B(t) E(t) • • E(t) • E(t) •E(t)
  • 48. 26 1 Introduction Maintenant, revenons au cas où il y a présence d’une ou plusieurs charges – représenté dans les équations de Maxwell par la présence de termes contenant la densité de charge ρ et la densité de courant J. Les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) peuvent être réécrites de la façon suivante oε ρ =•∫S dSE (1.A.5a) uediélectriqconstanteLa intérieurel'ànettechargeLa ferméesurfacetouteau traversdefluxLe =SE (1.A.5b)       • ∂ ∂ −=• ∫∫ SC d t d SBE l (1.A.6a) [ ]SC deau traversdeFlux au tempsrapportpar partielleVariation deautourderotationLa BE −= (1.A.6b) 0=•∫S dSB (1.A.7a) Nulleferméesurfacetouteau traversdefluxLe =SB (1.A.7b)       •+      • ∂ ∂ =      • ∫∫∫ SSC dd t dc SJSEB o 2 1 ε l (1.A.8a) [ ] [ ] uediélectriqConstante au traversélectriquecourantduFlux deau traversdeFlux au tempsrapportpar partielleVariation )deautourderotationLalumière)ladeVitesse( 2 S SC + = EB (1.A.8b) La constante oo 2 1 εµ=c qui apparaît dans l’Éq. (1.A.8) est le carré de la vitesse de la lumière et elle apparaît dans les équations de Maxwell car le magnétisme est en réalité un effet relativiste de l’électricité tandis que la constante diélectrique εo est insérée de sorte que les unités du courant électrique sortent de la bonne façon. Considérons une application où nous sommes situé à l’origine O d’un repère S ayant un volume V. Considérons aussi un autre repère (disons sphérique) S ayant un volume V ayant son origine O située à une distance r de l’origine O. Notre but est de faire une observation de la densité de force produite par une densité de charge )(rρ et de courant )(rJ à une distance r de l’origine O (voir Figure 1.A.5). Figure 1.A.5 : Système de coordonnées utilisé pour décrire les densités de force au point P. (où ∫∫∫= V dzdydxq ρ ) • • • x y z O P r r –
  • 49. Appendice A Les Équations de Maxwell 27 Une généralisation mathématique des faits expérimentaux est donnée par les deux expressions suivantes pour la force par unité de volume subit par une densité de charges électriques )(rρ et une densité de courant électrique )(rJ ∫ − − = V d r rr rrr rrF 3 3 o C ))(( )( π4 1 )( ρ ρ ε (Loi de Coulomb) (1.A.9) ∫ − − = V d r rr rrrJ rJrF 3 3 o BS )()( )( π4 )( ××××µ (Loi de Biot-Savard) (1.A.10) où FC(r) est la densité de force qui survient d’une distribution statique de charges et FBS(r) est la densité de force qui est attribuable à des charges en mouvement (i.e., des courants) avec εo et µo, les constantes usuelles. Il est convenable d’exprimer les densités de force données par les Éqs. (1.A.9)-(1.A.10) en fonction de deux champs vectoriels : le champ électrique E(r) et le champ d’induction magnétique B(r). Les relations entre les densités de force et ces champs vectoriels sont données par )()()(C rErrF ρ= (1.A.11) )()()(BS rBrJrF ××××= (1.A.12) où, évidemment ∫ − − = V d r rr rrr rE 3 3 o ))(( π4 1 )( ρ ε (1.A.13) ∫ − − = V d r rr rr rJrB 3 3 o )( )(ˆ π4 )( ×××× µ (1.A.10) avec )(ˆ rJ , un vecteur unitaire qui est parallèle )(rJ et qui est normal à un élément de surface au travers duquel le vecteur représentant la densité de courant passe. On note aussi que dzdydxq V )(r∫= ρ , )()()( rvrrJ ρ= et )1()( 3 rrrrrr −−=−− ∇∇∇∇ . Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein Considérons deux repères inertiels S et . Les coordonnées des deux repères coïncident à t = t = 0. Les deux repères ont un ensemble de règles permettant de mesurer les longueurs et d’horloges pour la mesure du temps. Le repère se déplace avec une vitesse v = |v| parallèlement à l’axe Ox1 (voir Figure 1.B.1). Figure 1.B.1 : Le repère S est fixe alors que le repère se déplace relativement au repère S avec une vitesse v. Chaque repère comporte une règle pour mesurer les longueurs et une horloge pour mesurer le temps. S S S S S x3 x2 x1 3x 1 2x v = cte t t x
  • 50. 28 1 Introduction Considérons aussi qu’un événement se produit en un point P avec les coordonnées ),,,( 321 txxx tel que perçu dans le repère S et ),,,( 321 txxx dans le repère . Notre but est de trouver les relations entre les deux ensembles de coordonnées reliant les repères S et ; on cherche les relations fonctionnelles de la forme taxaxaxatxxxxx 14 3 13 2 12 1 11 32111 ),,,( +++== (1.B.1) taxaxaxatxxxxx 24 3 23 2 22 1 21 32122 ),,,( +++== (1.B.2) taxaxaxatxxxxx 13 3 33 2 32 1 31 32133 ),,,( +++== (1.B.3) taxaxaxatxxxtt 44 3 43 2 42 1 41 321 ),,,( +++== (1.B.4) où a11, a12,…a44 sont des constantes. Notons que nous n’avons pas pris le temps comme une coordonnée absolue comme c’est le cas dans la mécanique classique de Newton. Les Éqs. (1.B.1)-(1.B.4) relient les coordonnées de l’espace-temps d’un événement tel qui est perçu par deux observateurs différents. On peut simplifier ces équations en utilisant le fait que la vitesse relative est dirigée seulement le long de l’axe Ox1. Puisque les directions perpendiculaires au déplacement sont toujours invariantes (i.e., elles ne changent jamais) par les transformations et sont de plus au repos, on a zzyy == et (1.B.5) ce qui implique que 0242321 === aaa (1.B.6) 0343231 === aaa (1.B.7) et 13322 == aa (1.B.8) Finalement, il n’y a aucun point unique privilégié dans le plan x2 -x3 qui peut être désigné comme origine – un décalage du plan x2 -x3 veut dire que les valeurs de 1 x et t ne peuvent contenir 2 x et 3 x . Alors, cela implique que 01312 == aa (1.B.9) et 04342 == aa (1.B.10) (Par symétrie, il est facile de voir que t ne contient pas 2 x et 3 x .) En combinant les Éqs. (1.B.5), (1.B.6)-(1.B.7) et (1.B.10) avec les Éqs. (1.B.1)-(1.B.4) on obtient taxax 14 1 11 1 += (1.B.11) 22 xx = (1.B.12) 33 xx = (1.B.13) taxat 44 1 41 += (1.B.14) Un point qui a 1 x = 0 apparaît comme s’il est en mouvement avec une vitesse v vers la droite et sera donné par l’équation x1 = v t . La seule façon de trouver ceci de l’équation 1 x = a11x1 + a14t est de l’écrire sous la forme 1 x = a11(x1 − v t) de sorte que 1 x = 0, x1 = v t, ou bien 1114 ava −= (1.B.15) Alors, les Éqs. (1.B11)-(1.B.14) prennent la forme )( 1 11 1 tvxax −= (1.B.16) 22 xx = (1.B.17) 33 xx = (1.B.18) taxat 44 1 41 += (1.B.19) Les constantes a11, a41 et a44 peuvent être déterminées en utilisant le deuxième postulat d’Einstein (Section 1.2) qui est la constance de la vitesse de la lumière. Soit une source de lumière au repos dans le repère S en son origine. Lorsque les deux repères, à un instant donné sont confondu, on émet un signal de lumière au temps t = = 0. Le signal lumineux se déplace à la vitesse c dans S et à la même S S t
  • 51. Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 29 vitesse dans : la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source (dans le vide). Dans un repère S, on a une sphère de lumière de rayon r et de centre O avec r = c t ou est un vecteur unitaire (e.g., long d’une longueur de règle) dans la direction de r mesuré dans le repère S. De même, dans le repère on a aussi une sphère de rayon = c t ou est un vecteur unitaire dans la direction de dans le repère (voir Figure 1.B.2). Figure 1.B.2 : Une source de lumière au repos dans le repère S. Alors que les deux repères sont confondu au temps t = = 0, on allume la lumière. Le signal lumineux se déplace à la vitesse c dans S et à la même vitesse dans puisque la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source (dans le vide). Dans le repère S, on a donc une sphère de lumière de rayon r et dans le repère , on a une sphère de rayon . Donc, avec le théorème de Pythagore (1.B.20) (1.B.21) on a 0)()()( 22232221 =−++ tcxxx (1.B.22) 0)()()( 22232221 =−++ tcxxx (1.B.23) C’est l’équation de la même sphère de lumière car la vitesse de la lumière est la même dans les deux repères. Les Éqs. (1.B.22) et (1.B.23) impliquent que les lois de l’électromagnétisme (Appendice A) sont invariantes sous les transformations. En substituant les valeurs de 1 x , 2 x , 3 x et t des Éqs. (1.B.16)-(1.B.19) dans l’Éq. (1.B.23) et en réarrangeant quelque peu, on obtient 0)()22()()())(( 22 11 22 44 221 4441 22 11 2322212 41 22 11 =−−+−++− tavactxaacvaxxxaca (1.B.24) En comparant l’Éq. (1.B.24) avec l’Éq. (1.B.22), on obtient 12 41 22 11 =− aca (1.B.25) 022 4441 22 11 =+ aacva (1.B.26) 22 11 22 44 2 cavac =− (1.B.27) Des Éqs. (1.B.25) et (1.B.27) on obtient 2 112 2 2 442 2 112 41 1et 1 a c v a c a a += − = (1.B.28) tandis que de l’Éq. (1.B.26) [avec l’Éq. (1.B.28) pour a14 et a44, respectivement] on obtient pour a11 111 1 2 2 2 11 2 114 2 2 112 2 2 2 114 114 2 2 44 2 41 =      −⇒=      +        − ⇒= c v aa c v a c v c a a c v aa 2 2 11 1 1 c v a − ±= (1.B.29) S rˆ rˆ S r rˆ rˆ r S O S 3 x , 3 x 2 x , 2 x 1 x , 1 x 3 x 1 x 2 x S, S v t = t = 0 S O r r ( 1 x , 2 x , 3 x , t) ( 1 x , 2 x , 3 x , t ) 3 x 2 x 1 x Sphère de lumière t S S r 23222122 )()()()( xxxctr ++== 23222122 )()()()( xxxtcr ++== P •
  • 52. 30 1 Introduction Pour déterminer le signe de a11, on considère l’Éq. (1.B.16) )( 1 11 1 tvxax −= (1.B.30) Si v = 0 dans l’Éq. (1.B.16), on obtient = et 2 2 11 1 1 c v a − += (1.B.31) Maintenant, de l’Éq. (1.B.28) avec l’Éq. (1.B31), on a 2 2 2 22 2 2 112 2 2 44 1 1 1 1 11 c v c vc v a c v a − =             − +=+= 2 2 44 1 1 c v a − ±= (1.B.32) Pour déterminer le signe de a44 taxat 44 1 41 += (1.B.33) Si v = 0, = [Éq. (1.B.19)] 2 2 44 1 1 c v a − += (1.B.34) Finalement, de l’Éq. (1.B.25) avec l’Éq. (1.B.31) on obtient 2 2 4 2 2 222 2 112 41 1 1 1 111 c v c v c vcc a a − =             − − = − = 2 2 2 41 1 c v c v a − ±= (1.B.35) Pour déterminer le signe de a41, on obtient de l’Éq. (1.B.26) 44 2 2 11 41 ac va a −= (1.B.36) Lorsque v > 0, 2 11a > 0, c 2 > 0 et 2 44a > 0. Donc, 41a < 0 2 2 2 41 1 c v c v a − −= (1.B.37) En insérant l’Éq. (1.B.31) dans l’Éq. (1.B.16) et les Éqs. (1.B.34) et (1.B.37) dans l’Éq. (1.B.19), on obtient les Éqs. (1.3.1)-(1.3.4) 1 x 1 x t t
  • 53. Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 31 )( 1 1 1 2 1 2 1 1 tvx tvx c v tvx x −= − − =       − − = γ β (1.B.38) (1.B.39) (1.B.40)       −= − − =       − − = 1 2 1 2 1 2 1 1 x c t x c t c v x c v t t β γ β β (1.B.41) où on retrouve parfois dans la littérature la rapidité ( cv/=β ) et le facteur relativiste ( 2 1/1 βγ −= ). Lorsque v → 0 (i.e., v/c <<1, v2 /c2 <<<1 et v/c2 <<<1), les Éqs. (1.B.38)-(1.B.41) se réduisent à tvxx −= 11 , 22 xx = , 33 xx = et tt = qui sont les transformations de Galilée [Éqs. (1.1.2) et (1.1.3)] de la mécanique classique de Newton. Alors Galilée]detionsTransforma[Einstein]-LorentzdetionsTransforma[lim 0 = →v (1.B.42) ou v/c <<1. Notons aussi que v sera toujours plus petit que c sinon le facteur 2 )/(1/1 cv−=γ deviendrait ne quantité imaginaire, ce qui n’est pas possible physiquement. Alors, rien ne peut se déplacer avec une vitesse plus grande que celle de la lumière dans le vide. Pour certaines applications, il est utile de connaître les équations de transformation d’un repère S à un repère pour le cas le plus général où l’axe Ox1 n’est pas dans la direction de la vitesse v. On peut les obtenir en scindant r est composantes r|| (parallèle à la direction de la vitesse v du repère ) et r⊥ (perpendiculaire à v). Il suit des Éqs. (1.B.38)-(1.B.41), en premier lieu, que ⊥⊥ || || =       − − = rr vr r et 1 2 c v t (1.B.43) 2 2 1 )(       − • − = || || c v ct rv r (1.B.45) mais puisque 22 )( et )( vv vvr rrrr vvr r • −=−= • = ||⊥|| (1.B.46) ⊥|| += rrr (1.B.48) on peut aussi les écrire de la façon suivante 22 1 )(1 1 1       − −•               −       − += c v t c v v vvrrr (1.B.49) 2 2 1 )(       − • − = c v c t t vr (1.B.50) 22 xx = 33 xx = S S
  • 54. 32 1 Introduction Appendice C Règles de Calcul des Résidus/Variations Le but du calcul des résidus/variations est de trouver une fonction continue quelconque du temps, ξ(t), de sorte que l’intégrale ∫ 1 o ),,( t t dttF ξξ & soit stationnaire (un extrémum). Cette intégrale correspond à calculer la somme des produits infinitésimaux entre les fonctionnelles (fonction de fonctions) ),,( tF ξξ & (ou tddξξ =& ) et les différentielles du temps dt calculées sur un interval de temps passant de t = to à t = t1. Bref, la fonctionnelle ),,( tF ξξ & évolue selon la condition de la fonction initiale ξ(t) et de sa dérivée temporelle )(tξ& dans le temps t. L’intégrale nous permet alors de calculer la progression de la fonctionnelle F dans le temps aussi longtemps que le calcul se fasse dans les limites de t = to à t = t1, le temps d’observation. Alors, si ξ(t) est une fonction arbitraire du temps, t, δξ(t) sera une variation de la fonction arbitraire ξ(t). Puisque les points (ξo,to)Initial et (ξo,t1)Final sont ancrés, on a δξ(to) = δξ(t1) = 0. Donc, la variation de la fonction ξ(t) est )()()( tttδ ξξξ −= (1.C.1) et les règles de variation sont 1. [ ]       = nn dt td δtδ dt d )( )( ξ ξ (1.C.2) 2. ξ ξ ξ ξ δ d dF δF )( )( = si ξ ξ ξξ δ F tδFtFF ∂ ∂ == ),(:),( (1.C.3) 3. ξ ξ ξ ξ & & & & δ d dF δF )( )( = si ξ ξ ξ ξ ξξξξ δ F δ F tδFtFF ∂ ∂ + ∂ ∂ == & & && ),,(:),,( (1.C.4) 4. dttδdttδ t t t t ∫∫ = 1 o 1 o )()( ξξ (1.C.5) Si la fonctionnelle ),,( tF ξξ & est définie par un lagrangien quelconque VKt −=),,( ξξ &L (la différence entre l’énergie cinétique propre au l’état du mouvement et l’énergie potentiel propre au positionnement de la particule), on trouve les équations d’Euler-Lagrange sont données par la variation de l’action dtS t t∫= 1 o L dttδdttδδS t t t t ∫∫ == 1 o 1 o )],,([),,( ξξξξ && LL (1.C.6) où ξ ξ ξ ξ δδδ ∂ ∂ + ∂ ∂ = LL L & & et dt dξ ξ =& (1.C.7) Alors dtδδdttδδS t t t t ∫∫       ∂ ∂ + ∂ ∂ == 1 o 1 o ),,( ξ ξ ξ ξ ξξ & & & LL L (1.C.8) dtδ dt d δ t t∫       ∂ ∂ + ∂ ∂ = 1 o )( ξ ξ ξ ξ & LL (1.C.9) ξ1 t ξ t1to • ξ(t) ξ(t) • δξ(t) t Initial Final ξo
  • 55. Appendice C Règles de Calcul des Résidus/Variations 33 0 1 o 1 o =            ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫ dtδ dt d δ t t t t ξ ξξ ξ ξ && LLL (1.C.10) Avec les points initiaux et finaux ancrés [i.e., δξ(to) = δξ(t1) = 0], on a 0 1 o 1 o =            ∂ ∂ − ∂ ∂ == ∫∫ dtδ dt d dtδδS t t t t ξ ξξ & LL L (1.C.11) Avec δξ = εη(t) où ε est un paramètre d’échelle et η(t) est une fonction arbitraire continue du temps, on a 0=      ∂ ∂ − ∂ ∂ ξξ & LL dt d (1.C.12) Par exemple, si on considère une particule avec un vecteur position r et un vecteur vitesse dtd /rrv == & , on a VK −=L )( 2 1 2 rr Vm −= & (1.C.13) L’Éq. (1.C.11) devient [ ] [ ] (Force)0 )()( 2 2 12 2 1 F r rr rr r rr =−⇒=− ∂ ∂ =        ∂ −∂ − ∂ −∂ =      ∂ ∂ − ∂ ∂ V dt d m VVm dt dVm dt d ∇∇∇∇ & & && &ξξ LL (1.C.14) où on a utilisé la différentielle totale dV = ∇∇∇∇V • dr pour identifier le gradient du potentiel gravitationnel, ∇∇∇∇V, et de plus on)accéleratil'fois(Massea vrr m dt d m dt d dt d m dt d m ==      = & (1.C.15) Bibliographie T.D. Sanders, Modern Physical Theory (Addison-Wesley, London, England, 1970). A. Einstein, “The Foundation of the General Theory of Relativity,” Die Grundlage der allgemeinen Relativtätstheorie, Ann. d. Phys. 49, 769 (1916). Traduction anglaise dans H.A. Lorentz et al., The Principle of Relativity (Dover Publications, 1923), p. 109. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. F. de Felice et C.J.S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1989). J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity (Oxford University Press, Oxford, U.K., 1992). C.W. Misner, K.S. Thorne et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman and Co., San Francisco, 1973). S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, 1973). M. Kaku, Quantum Field Theory (Oxford University Press, Oxford, England, 1993).
  • 56. 2 Concepts Mathématiques de Base 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques Nous utiliserons tout le long de ce travail la notation moderne suivante pour décrire les ensembles et les propriétés qui y sont rattachés (voir Table 2.1.1.) Table 2.1.1 : Définitions d’usage de la géométrie différentielle. Symbole Définitions Usuelles ∪ A ∪ B dénote l’union des ensembles A et B ∩ A ∩ B dénote l’intersection des ensembles A et B ⊂ A ⊂ B dénote que A est un sous-ensemble de B ∈ p ∈ A dénote que p est un élément de l’ensemble A { | } {p ∈ A|Q} dénote l’ensemble consistant de ces éléments p de l’ensemble A qui satisfont la condition Q × Produit cartésien ; A × B est l’ensemble {(a,b)| a ∈ A et b ∈ B} ∅ Ll’ensemble vide R L’ensemble des nombres réels (en général, on identifie les ensembles de nombres quelconques par les caractères gras) Rn L’ensemble n-tuple des nombres réels : → f : A → B dénote que f est la carte (fonction) de l’ensemble A à l’ensemble B a x a 2x dénote que la variable x est doublée ou bien x a ex dénote que la variable x est mise en exponentielle o g o f dénote la composition des cartes f : A → B et g : B → C, c’est-à-dire, pour p ∈ B on a (g o f )( p) = g[f (p)] [ ] f [A] dénote l’image de l’ensemble A sous la carte f , c’est-à-dire, l’ensemble { f (x)| x ∈ A} C n L’ensemble des fonctions n-fois continûment dérivables C ∞ L’ensemble des fonctions infiniment dérivables v i Représente un vecteur (contravariant) où i prend les valeur de 1 à n ωωωω i Représente une forme de Pfaff d’ordre un (vecteur covariant) où i prend les valeur de 1 à n On décrit dans cette section, les définitions essentielles pour une bonne compréhension de la matière présentée dans ce travail en plus d’offrir une uniformité dans la présentation et une conciliation avec d’autres ouvrages présentant une notation différente pour un même cas donné. Il faut bien comprendre cependant qu’on ne peut et on ne veut pas présenter l’ensemble de l’édifice mathématique associé avec la théorie de la gravitation d’Einstein, la relativité générale, mais plutôt définir les notions quelques fois citées sans références aucune, pour ainsi établir la base mathématique du présent travail. On trouve dans la majorité des ouvrages que les idées géométriques, la majorité ne nécessitant point l’introduction d’une métrique, sont données le rôle de figurant, soit la vision qu’encourageait Einstein, qui voulait décrire la matière comme un phénomène géométrique. Mais l’approche géométrique a créée une fissure entre la relativité générale et la théorie des particules élémentaires. Avec le passage du temps, on a appris à ne pas espérer que les interactions fortes, faibles et 35
  • 57. 36 2 Concepts Mathématiques de Base électromagnétiques peuvent être comprises en des termes géométriques,* et que mettre trop souvent l’emphase sur la géométrie ne peut que noircir les connexions profondes entre la gravitation et le reste de la physique. Cependant, l’approche géométrique pour décrire la structure de l’espace-temps possède ses bons côtés. C’est une méthode moderne qui ne nécessite pas de fixer un système de coordonnées aux tenseurs et celle-ci sera présentée comme alternative importante à l’approche composantes-coordonnées qui sont souvent présentée. Ceci nécessite toutefois l’utilisation de mathématiques beaucoup plus sophistiquées. Ceux qui sont déjà familiers avec les prémices du calcul tensoriel savent que le concept de tenseur est généralement basé sur une loi de transformation des composantes sous une transformations des coordonnées, de sorte que les coordonnées sont explicitement utilisées dès le début. Le calcul différentiel (la géométrie différentielle) que l’on présente dans cette section nous procure des méthodes adéquates pour plusieurs situations, mais il reste quand même que la méthode traditionnelle reste beaucoup plus pratique pour plusieurs cas. Dans la littérature moderne concernant les solutions exactes, le concept géométrique (sans coordonnées), tels les formes et la différentiation externe, est fréquemment utilisé. De plus, la structure mathématique sous-tenante devient davantage évidente lorsqu’on exprime les résultats en langage géométrique. On introduira donc, dans cette section, les formes d’ordre r, les tenseurs de rang arbitraire, la différentiation extérieure et la différentiation de Lie, toutes suivent naturellement de la définition d’une variété dérivable. On considère ensuite une structure additionnelle, la dérivée covariante, et ses courbures associées, même si elle ne nécessite pas une métrique. Cependant, l’absence d’une métrique fera en sorte qu’il sera impossible de convertir des formes d’ordre un en vecteurs, et vice versa. Définitions, Ensembles et Topologie Base : Désignons par {e i } (i = 1, 2, 3, ..., n) la base d’un espace vectoriel à n dimensions. Cette base est constituée par un système de n vecteurs linéairement indépendants. Vecteur : Un vecteur v s’exprime par une combinaison linéaire unique, à composantes scalaires, des bases eµ v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 + ... + v n e n = (2.1.1) Les nombres v1 , v 2 , v 3 , ..., v n sont les composantes du vecteur v par rapport à la base {e i}. Convention de sommation d’Einstein : On utilise toujours la convention de sommation suivante, introduite par Einstein, pour alléger les notations. Si, dans un monôme, un même indice figure deux fois, une fois en indice supérieur (contravariant) et une fois en indice inférieur (covariant), le signe somme ∑ sera sous-entendu. Cet indice est appelé indice muet et peut être remplacé par n’importe lequel indice en autant qu’il se présente à la fois en position supérieur et inférieur. Ainsi, ∑i ui vi s’écrit ui v i et signifiera ⇒ ui vi = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + ... + un vn (2.1.2) en donnant à i toutes les valeurs possibles de 1 à n. Normalisation : Un espace vectoriel En est dit normé lorsqu’il est muni de la multiplication scalaire. On peut alors expliciter le produit scalaire de deux vecteurs u et v . Si En est rapporté à une base {e i}, le produit scalaire s’écrit u •v = (u i e i)•(v j e j) = u i v j e i •e j (2.1.3) Tenseur métrique fondamental : Nous posons, par définition g ij = e i •e j (2.1.4) définissant ainsi les composantes du tenseur métrique fondamental g ij. Par fondamental, nous voulons dire, qu’il est le seul à déterminer la structure de En. La norme : La norme d’un vecteur v est le produit scalaire de ce vecteur avec lui-même N(v ) = (v )2 = g ij v i v j (2.1.5) * Advenant une découverte radicale concernant la théorie des supercordes (c’est-à-dire, que toutes les particules subatomiques correspondent à une corde vibrante à une fréquence énergétique distinctive, et que la matière correspond aux harmoniques créées par ces cordes vibrantes dans un univers à dix ou onze dimensions), tout pourrait changer, et effectivement, la matière aurait lieu d’être expliquée en des termes géométriques. ∑ = n i i i v 1 e ∑ i i ivu
  • 58. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 37 Espace ponctuel affin : Soit un ensemble dont les éléments sont des “points” (aucune étendue spatiale.) Cet ensemble est un espace ponctuel affin à n dimensions, , si à tout couple de points (A,B) de on peut faire correspondre un vecteur v d’un espace vectoriel En. Repère d’un espace ponctuel affin : On appel repère d’un espace ponctuel affin l’ensemble d’un point O (origine du repère) de , et une base {e i} de l’espace vectoriel associé En. Système de coordonnées : On désigne par système de coordonnées dans tout mode de définition d’un point M de cet espace en fonction de n scalaires yi qui sont les coordonnées de M. Ligne coordonnées : Les lignes coordonnées sont les trajectoires des points M lorsqu’une seule coordonnée varie. Les lignes coordonnées sont des droites dans le cas des coordonnées rectilignes. Coordonnées régulières : Soient x i les coordonnées rectilignes de M par rapport à un repère (O, ). Introduisons des coordonnées quelconques yi telles que x i = f i ( yj ) (i, j = 1, 2, 3, ..., n) (2.1.6) Ces coordonnées sont régulières en M si 1. les fonctions f i sont C n dans le voisinage du point M ; 2. le jacobien des fonctions f i est non-nul en M et dans un voisinage de M. On peut alors résoudre l’Éq. (2.1.6) et exprimer les coordonnées y j en fonction des x i . Si les fonctions f i ne sont par linéaires, les coordonnées y j sont curvilignes. Supposons un espace ponctuel affin rapporté à des coordonnées curvilignes y i . À chaque point M de où ces coordonnées sont régulières, associons un repère d’origine M et des vecteurs e i = (2.1.7) où O est un point fixe arbitraire. Repère naturel associé : On définit (M ,e i ) comme le repère naturel associé, en M, au système de coordonnées yi . Ainsi, la différentielle du point M s’écrit (2.1.8) Les e i sont tangents aux accroissements dyi (composantes de dM .) Transformation des coordonnées : Dans un changement de coordonnées curvilignes régulières telles (2.1.9) les repères naturels (M, ) et (M, ) en un même point M, respectivement associés aux coordonnées , sont liés par les relations (2.1.10) en posant (2.1.11) Les matrices sont inverses l’une de l’autre (2.1.12) ∗ nE ∗ nE ∗ nE ∗ nE ∗ nE 0 ie ∗ nE ∗ nE ii yy ∂ ∂ = ∂ ∂ MOM i i edydd == MOM )( )( jii yyy = ie ie jj yy et j j iij j ii aa eeee == i j j ii j j i y y a y y a ∂ ∂ = ∂ ∂ = j i j i aa et k i k j j i k j j i aaaa δ==
  • 59. 38 2 Concepts Mathématiques de Base où δ i k = δk i est le symbole de Kronecker (0 si i ≠ k et 1 si i = k .) Espace topologique : Un ensemble topologique* (X , T ) consiste d’un ensemble X avec une collection T de sous-ensembles de X satisfaisant les conditions suivantes : 1. l’union d’une collection arbitraire de sous-ensembles, chacune d’elle étant dans T, est dans T : si Oi ∈ T pour tous i, alors ∪iOi ∈ T ; 2. l’intersection d’un nombre fini de sous-ensembles dans T est dans T : si O1, O2, O3, ..., On ∈ T, alors ∈ T ; 3. l’ensemble complet X et l’ensemble vide, ∅, sont dans T. Balles ouvertes (Open balls) : Une balle ouverte dans Rn , de rayon r, centrée autour d’un point y = (y1 , y2 , y3 , ..., yn ), consiste des points x de telle sorte que |x − y| < r, où d(x,y) ≡ |x − y| = (2.1.13) est la fonction distance. Ensembles ouverts : Les sous-ensembles Oi de X qui sont énumérés dans la collection T sont appelés ensembles ouverts. De plus, dans Rn , c’est tout ensemble qui peut être exprimé comme une union de balles ouvertes. Topologie : Pour tout espace métrique, la collection de tous les sous-ensembles qui peut être exprimée comme des unions de balles ouvertes donne une topologie. D’une façon, la distance donnée par l’Éq. (2.1.13) nous a permis de rendre Rn en espace topologique. Dit autrement, une collection de sous-ensembles T est dit former une topologie sur X et ses éléments sont appelés les ensembles ouverts de X. Voisinage : Un voisinage d’un point (élément) p de l’espace topologique (X , T ) est un ensemble Up contenant un ensemble ouvert auquel le point p appartient. Hausdorff : Un espace topologique (X , T ) est dit Hausdorff si pour chaque paire de points distincts p, q ∈ X, p ≠ q, on peut trouver des ensembles ouverts Op, Oq ∈ T de telle sorte que p ∈ Op, q ∈ Oq, et Op ∩ Oq = ∅. Dit autrement, n’importe lesquels des points de Rn ont des voisinages qui ne s’intersectent pas. Representation par Carte Carte : Une carte est l’opération qui assigne à chaque élément d’un ensemble un élément unique d’un autre ensemble quelconque (voir Table 2.1.2.) Table 2.1.2 : Description de l’opération carte. Symbolism Définitions Usuelles f : A → B La fonction f est une carte des éléments d’un ensemble A sur l’ensemble B f : A → B f est une fonction de A vers B f : A → B ; a a f (a) L’élément de B qui résulte de la carte f sur l’élément a de l’ensemble A sera écrit f (a) Par exemple, la carte g prenant les nombres réels et les doublant s’écrit : g : R → R ; x a 2x , ou bien : g(x) = 2x : R → R . Carte injective : Si pour tout b ∈ f (A) il y a juste un élément a ∈ A de telle sorte que l’élément b = f (a), alors f est dit injective (un-pour-un), c’est-à-dire, si pour tout b ∈ f (A) il y a seulement un point a ∈ A de telle sorte que f (a) = b, la carte f est dite injective. Carte surjective : Si f (A) = B, alors on dit que f est sur (B), ou que f est la carte de A sur B. On dit aussi de la carte qu’elle est surjective (sur). Carte bijective : Si la carte est à la fois injective (un-pour-un) et surjective (sur), alors la carte est dite bijective (un-pour-un et sur). * (X , T ) ≡ (ensemble X , collection de sous-ensembles Oi de X ). i n i O1=∩ ∑ = − n i ii yx 1 2 )(
  • 60. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 39 Composition : Si on nous donne une carte f : A → B et une carte g : B → C, alors la carte : g o f : A → C (définit en appliquant f et puis g) est appelé composition de f avec g. Continuité : Si (X , T ) et (Y , S ) sont des espaces topologiques, une carte f : X → Y est dite être continue si l’image inverse, f −1 [O] ≡ {x ∈ X | f (x) ∈ O}, de tout l’ensemble ouvert O dans Y, est un élément ouvert dans X. Homéomorphisme : Si f est continue, injective, surjective, et que sont inverse est continue, f est un homéomorphisme et (X , T ) et (Y , S ) sont dit être homéomorphe. C ∞∞∞∞ : Une carte f : m → m′ est dite être C ∞ si pour chaque i et j, la carte , prenant Ui ⊂ Rn dans U′j ⊂ Rn′ , est C ∞ . Difféomorphisme : Si f : m → m′ est C ∞ , injective, surjective, et a un C ∞ inverse, f est appelée un difféomorphisme et m et m′ sont dit être difféomorphes. Structure de Variété Variété : Il existe plusieurs définitions du terme « variété » (en anglais : Manifold), tant mathématiques que physiques : 1. la variété constitue une généralisation de l’idée d’espace. Une variété à n dimensions Vn est une espace ponctuel affin doué de propriétés topologiques (propriétés non affectées par des déformations arbitraires de l’espace), homéomorphe localement à un espace euclidien à n dimensions. Ceci permet de dresser une carte d’une région (petite mais finie) de la variété en effectuant une représentation topologique de cette région dans l’espace euclidien. On suppose aussi que la variété est continue en ce sens qu’au voisinage de chaque point (M), il y a d’autres points dont les coordonnées diffèrent peu de celles du point M . 2. Une variété à n dimensions est un ensemble qui possède une structure différentielle locale de Rn mais pas nécessairement ses propriétés globales, c’est-à-dire, c’est un ensemble dans lequel le voisinage de tout point ressemble à Rn mais qui peut avoir des propriétés globales quelques peu différentes. 3. Une variété est un ensemble qui possède la propriété que chaque point peut servir comme origine d’un système de coordonnées local qui est valide dans un voisinage ouvert du point, lequel voisinage est une copie exacte d’un voisinage ouvert d’un point dans Rn . 4. Une variété est un ensemble Vn dans Rn qui possède la propriété que pour chaque point p dans la variété il existe un voisinage ouvert Up dans Vn et la carte fp , qui traîne Up dans un voisinage dans Rn . 5. Une variété Vn à n dimensions, C ∞ , réelle, est un ensemble comprenant une collection de sous-ensembles {Oi} satisfaisant les propriétés suivantes : a. Chaque élément p ∈ Vn repose dans au moins un ensemble Oi, c’est-à-dire, l’ensemble {Oi} couvre la variété Vn. b. Pour chaque i, il y a une carte injective (un-pour-un), surjective (sur), f i : Oi → Ui, où Ui est un sous-ensemble ouvert de Rn . c. Si n’importe lesquels deux ensembles Oi et Oj s’intersecte, Oi ∩ Oj ≠ ∅, on peut considérer la carte f j o f i −1 , qui prend les points dans f i[Oi ∩ Oj] ⊂ Ui ⊂ Rn à des points dans f j[Oi ∩ Oj] ⊂ Uj ⊂ Rn . 6. Une variété, alors, est une extension naturelle d’une surface à des dimensions supérieures, et, aussi, à des espaces plus généraux que Rn . Il est donc conseillé de penser d’une variété comme simplement une hypersurface dans Rn . Espaces Tangentiels Si f est une fonction de Rm à Rn , alors la dérivée de f au point p ∈ Rm dans la direction de v ∈ Rm (la dérivée directionnelle) est donnée par Dv f (p) = (2.1.14) où h ∈ R. [D’autres notations utilisées pour Dvf (p) sont ∂v f (p), df (p)v, dfp(v ) et f ′p(v ).] Si toutes les dérivées directionnelles de f existent au point p alors f est dit être dérivable au point p. Dans ce cas, Dv f (p) est une transformation linéaire de Rm à Rn . Dv f (p) : v a Dv f (p), détermine la partie linéaire d’une approximation de f dans le voisinage de p. La fonction f envoie le point p à f (p) : si le point p commence à bouger dans la direction de v alors f (p) se déplacera conséquemment dans la direction Dv f (p). 1− ′ ij f ψψ oo         −+ → h pfhpf h )()( lim 0 v
  • 61. 40 2 Concepts Mathématiques de Base Intuitivement, on pense de la dérivée de f comme envoyant une flèche dans Rm , avec sa queue au point p et sa pointe au point p + v , à une flèche dans Rn , avec f ( p) comme queue et f ( p) + Dv f ( p) comme pointe. On peut formaliser ceci en définissant l’espace tangentielle à Rm au point p, Tp Rm , comme étant l’ensemble des paires ( p, v ) pour tout v ∈ Rm . On peut définir la dérivée de f au point p, ou la carte tangentielle, f*p f*p : Tp Rm a Tf (p)Rn (2.1.15) ( p,v ) a ( f ( p), Dv f ( p)) (2.1.16) Puisque Dv f (p) est une transformation linéaire sur Rm il suit que f*p est une carte linéaire sur Tp Rm . L’espace tangentielle de Rm au point p est seulement un sous-espace de la somme directe de Rm avec lui-même. Variété Dérivable Les variétés dérivables sont des structures de base dans la géométrie différentielle. Intuitivement, une variété (à n dimensions) est un espace Vn de telle sorte que tout point p ∈ Vn possède un voisinage Un ⊂ Vn qui est homéomorphe à l’intérieure d’une sphère unitaire [à (n − 1) dimensions.] Courbes Paramétrisées Une courbe paramétrique C sur une variété Vn est une carte à partir d’une intervalle ouverte I ⊂ Rn à Vn : C : Rn → M t a C (t) (2.1.17) avec t ∈ [a,b], a, b ∈ Rn , C(t) ∈ Vn. La variable t est appelé paramètre de la courbe. Vecteurs Tangentiels Sur une variété Vn, laissons F dénoter la collection de fonctions C ∞ de Vn dans Rn . On définit un vecteur tangentiel v au point p ∈ Vn être une carte v : F → Rn qui possède les propriétés suivantes 1. est linéaire. 2. obéit la règle de Leibniz : a) v (a f + bg) = av ( f ) + bv (g), pour tout f , g ∈ F et tout a, b ∈ Rn , b) v ( f g) = f ( p)v (g) + g( p)v ( f ), c) v (c f ) = cv ( f ), où c est une constante. Il suit de ces deux axiomes que v (c) = 0 pour toute fonction constante c. Ces axiomes, ou définitions, sont indépendantes du choix des coordonnées. Un vecteur tangent n’est qu’une dérivée directionnelle le long d’une courbe C (t) au travers un point p : en développant toute fonction f en séries de Taylor au point p, et en utilisant les axiomes ci-dessus, on peut montrer que tout vecteur tangentiel v au point p peut être écrit comme v = v i ∂v = (2.1.18) d’où le fait que la dérivée directionnelle est maintenant représentée par ∂v ≡ ∂e i = (2.1.19) Les composantes réels v i sont les composantes du vecteur v au point p par rapport au système de coordonnées local (x1 , x2 , x3 ,..., xn ) dans un voisinage de p. Une base générale {ei} est formée par n vecteurs linéairement indépendants e i ; tout vecteur v ∈ Tp est une combinaison linéaire de ces vecteurs de bas, c’est-à-dire v = v i e i (2.1.20) i i x v ∂ ∂ i x∂ ∂
  • 62. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 41 L’action d’une base vectorielle e i sur une fonction f est dénotée par le symbole “|”, le solidus, par exemple, f |i ≡ e i ( f ). Dans une base de coordonnées, on utilise la virgule plutôt que le solidus, par exemple, f ,i ≡ ∂f /∂xi dans le cas où f = x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n . Champs Vectoriels En assignant un vecteur tangent à chaque point d’une variété Vn, on définit un champ vectoriel. Alors, un champ vectoriel cartographie des fonctions à des fonctions. Un champ vectoriel v sur une variété Vn est une dérivation de l’algèbre des fonctions v : F (Vn ) → F (Vn ) (2.1.21) Formes d’Ordre Un Par définition, une forme d’ordre un σσσσ (1-form ou Pfaffian form, en anglais) carte un vecteur v en un nombre réel, la contraction ou le produit scalaire, dénotée par le symbole 〈σσσσ , v 〉, et cette carte est linéaire 〈σσσσ , au + bv 〉 = a〈σσσσ , u 〉 + b〈σσσσ , v 〉 (2.1.22) pour a, b, réels, et u , v ∈ Tp . Les combinaisons linéaires de formes telles σσσσ, ττττ sont définis par la règle suivante 〈aσσσσ + bττττ , v 〉 = a〈σσσσ , v 〉 + b〈ττττ , v 〉 (2.1.23) pour a, b, réels. Les n formes linéairement indépendantes ωωωω i qui sont déterminées uniquement par 〈ωωωω i , e j〉 = δi j (2.1.24) forment une base {ωωωω i } de l’espace dual Tp* de l’espace tangentiel Tp. Cette base {ωωωω i } est dite être dual à la base {e i } de l’espace Tp. Toute forme d’ordre un σσσσ ∈ Tp* est une combinaison linéaire de la forme de base ωωωω i σσσσ = σ iωωωω i (2.1.25) Pour toute forme σσσσ ∈ Tp*, et tout vecteur v ∈ Tp, la contraction 〈σσσσ , v 〉 peut être exprimée en fonction des composantes σ i et v i de σσσσ et v par rapport aux bases {ωωωω i } et {ei} par 〈σσσσ , v 〉 = σ i vi (2.1.26) laquelle indique clairement le produit scalaire. La dérivée extérieure d f d’une fonction arbitraire f est une forme d’ordre un définit par la propriété suivante 〈 d f , v 〉 = v ( f ) ≡ vi f |i (2.1.27) En généralisant cette définition aux fonctions f = x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , on obtient la relation = δi j (2.1.28) indiquant que la base {d x i } de l’espace Tp* est dual à la base de coordonnées {∂ /∂ xi } de l’espace Tp. Toute forme d’ordre un σσσσ ∈ Tp* peut être écrite par rapport à la base {dx i } comme σσσσ = σ i d x i (2.1.29) Dans des coordonnées locales, la différentielle d f possède la forme usuelle d f = f |iωi = f,i d xi (2.1.30) Dans le calcul tensoriel, les composantes σ i sont appelées composantes d’un tenseur d’ordre un covariant et les composantes v i sont appelées composantes d’un tenseur d’ordre un contravariant. Produit Externe Laissons σσσσ 1 , σσσσ 2 , σσσσ 3 , ..., σσσσ r dénoter r formes d’ordre un. On définit une opération algébrique ∧ (wedge), le produit externe σσσσ 1 ∧ σσσσ 2 ∧ σσσσ3 ∧ ... ∧ σσσσ r par les axiomes suivants. j i x x ∂ ∂ ,d
  • 63. 42 2 Concepts Mathématiques de Base 1. est linéaire dans chaque variable ; 2. disparaît si deux facteurs coïncident ; 3. change de signe si deux facteurs sont interchangés. Alors, le produit externe est complètement antisymétrique. Des formes d’ordre un de base, ωωωω 1 , ωωωω 2 , ωωωω 3 , ..., ωωωω n , on obtient * formes d’ordre r indépendantes (2.1.31) où 1 ≤ α1 < α2 < α3 < ... < αr ≤ αn et r ≤ n. L’axiome (2) implique que ces produits externes disparaissent pour r > n. Toute forme d’ordre r est une combinaison linéaire des formes d’ordre r donnée par l’Éq. (2.1.31) (2.1.32) où les indices ont libre jeux de 1 à n. Le développement de en fonction de la base de coordonnées {d x i } possède la forme (2.1.33) Le produit externe peut être étendu à des formes de degrés arbitraires par la règle suivante (2.1.34) La multiplication externe est associative et distributive. Cependant, la loi de commutation est légèrement modifiée (2.1.35) Tenseurs Un tenseur T d’ordre (r,s), ou d’ordre (r + s), à un point p est un élément de l’espace Tp(r,s) = Tp ⊗ ... ⊗ Tp ⊗ Tp* ⊗ ... ⊗ Tp* (2.1.36) 14243 144243 r facteurs s facteurs et carte tout ensemble ordonné de r formes d’ordre un et de s vecteurs (σσσσ 1 , σσσσ 2 , σσσσ 3 , ..., σσσσ r ; v 1, v 2, v 3, ..., v s) (2.1.37) au point p en un nombre réel. En particulier, le tenseur u 1 ⊗ ... ⊗ u r ⊗ ττττ 1 ⊗ ... ⊗ ττττ s carte l’ensemble ordonnée donné par l’Éq. (2.1.37) en un produit de contractions, 〈σσσσ 1 ,u 1〉 ... 〈σσσσ r , u r〉 〈ττττ 1 , v 1〉 ... 〈ττττ s , v s〉. La carte est linéaire dans chaque arguments. En fonction des bases {e i} et {ωωωω i }, un tenseur arbitraire T de type (r, s) peut être exprimé comme une somme de produits tensoriels T = (2.1.38) où tous les indices ont libre jeux de 1 à n. Les composantes avec les indices covariants β 1, β 2, β 3, ..., β s et les indices contravariants α 1, α 2, α 3, ..., α r sont les composantes de T par rapport aux bases {e i} et {ωωωω i }. On appel tenseur sur un espace ponctuel affin, , tout tenseur attaché à un point M de . Cet être géométrique T sera définit par ses composantes relatives au repère naturel (M ,e i). Un changement de coordonnées tel que * C’est le coefficient binomial où n! représente la factorielle : le produit des n premiers nombres entiers. ( )n r rαααα ωωωωωωωωωωωωωωωω ∧∧∧∧ ...321 r r r αααα αααα dddd ∧∧∧∧= ...321 321 ...,,,, )( σσσσσσσσ )(r σσσσ r r iiii iiii r xxxx dddd ∧∧∧∧= ...321 321 ...,,,, )( σσσσσσσσ srsr ττττττττσσσσσσσσττττττττσσσσσσσσ ∧∧∧∧∧=∧∧∧∧∧ ......)...()...( 1111 )()()()( 1( sr rs sr σσσσττττ====ττττσσσσ ∧)−∧ s rs r T ββ ααββ αα ωωωωωωωω ⊗⊗⊗⊗⊗ ...... 1 11 1 ... ... ee s r T ββ αα ... ... 1 1 ∗ nE ∗ nE ( ) )!(! ! rnr nn r − ≡
  • 64. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 43 (2.1.39) transforme ses composantes, disons T ij k , en composantes de telle sorte que (2.1.40) Dérivée Externe On a définit la différentielle d f d’une fonction f par l’Éq. (2.1.27). L’opérateur d génère une forme d’ordre un d f d’une forme d’ordre zéro f via d : f → d f = f ,i d xi (2.1.41) On généralise cette différentiation pour qu’elle s’applique à toute forme d’ordre r quelconque. La dérivée externe d carte une forme d’ordre r en une forme d’ordre (r + 1) et est complètement déterminée par les axiomes suivants d (σσσσ + ττττ ) = d σσσσ + d ττττ (2.1.42) (2.1.43) d f = f ,i d xi (2.1.44) d (d f ) = 0 (2.1.45) On démontre la validité de l’axiome (2) pour les formes et (2.1.46) où on a utilisé l’Éq. (2.1.35). D’une forme d’ordre r générale, on obtient la forme d’ordre (r + 1) (2.1.47) par dérivation externe. L’Éq. (2.1.47) implique d(dσσσσ ) = 0 (2.1.48) pour toute forme d’ordre r, σσσσ . Maintenant, on énonce quelques théorèmes importants de la géométrie différentielle Théorème 2.1.1 (Théorème de Poincaré) : Si σσσσ est une forme d’ordre r (r ≥ 1) et dσσσσ = 0, alors il existe une forme d’ordre (r − 1), ττττ, de telle sorte que σσσσ = dττττ. En composantes, on a (2.1.49) où les crochets représentent l’antisymétricité des composantes et la dérivée (représentée par la virgule.) Théorème 2.1.2 (Théorème de Frobenius) : Laissons σσσσ 1 , ..., σσσσ r être des formes d’ordre un linéairement indépendantes à un point p ∈ Vn. Supposons qu’il y a des formes d’ordre un ττττ A B (A, B = 1, ..., r) satisfaisant dσσσσ A = ττττ A B ∧ σσσσ B . Alors, dans un voisinage de p il y a des fonctions f A B, et g A de telle sorte que σσσσ A = f A B d g B . )( jii xxx = k ji T n lm k n m j l i k ji T x x x x x x T ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = )()()()()()( )1( sr r srsr ττττσσσσττττσσσσ====ττττσσσσ ddd ∧−+∧      ∧ ...1 )( rii r xxf dd ∧∧=σσσσ sjj xxg dd ∧∧= ...1 (s) ττττ sr jjii sr xxxxfg dddddd ∧∧∧∧∧=      ∧ 11 ...)( )()( ττττσσσσ )...()...( 11 sr jjii xxgxxf ddddd ∧∧∧∧∧∧= )...()...()1( 11 sr jjiir xxgxxf ddddd ∧∧∧∧∧∧−= )()()()( )1( sr r sr ττττσσσσττττσσσσ dd ∧−+∧= s r iij jii r xxx dddd ∧∧∧= ...1 1 ,... )( σσσσσ ],...[...],...[ 1111 0 rrrr iiiiijii − =⇔= τσσ
  • 65. 44 2 Concepts Mathématiques de Base Théorème 2.1.3 (Théorème de Darboux) : Laissons σσσσ être une forme d’ordre un et laissons la forme d’ordre deux dσσσσ avoir un rang r. Alors, on peut trouver des coordonnées locales x1 , ..., xr , ξ1 , ..., ξn − r de telle sorte que σσσσ ∧ dσσσσ ∧ ... ∧ dσσσσ = (2.1.50) 14243 r facteurs Théorème 2.1.4 : Pour toute forme d’ordre deux σσσσ de rang r, il existe une base {ωωωω µ } de telle sorte que σσσσ = (ωωωω 1 ∧ ωωωω 2 ) + (ωωωω 3 ∧ ωωωω 4 ) + ... + (ωωωω 2r − 1 ∧ ωωωω 2r ) (2.1.51) Si dσσσσ = 0, alors on peut introduire des coordonnées locales x1 , ..., xr , ξ1 , ..., ξn − r de telle sorte que σσσσ = d x1 ∧ d ξ1 + ... + d xr ∧ d ξr (2.1.52) Dérivée de Lie Pour chaque point p ∈ Vn, champ vectoriel v sur Vn détermine une courbe unique Cp(t) de telle sorte que Cp(0) = p et v est le vecteur tangent à la courbe. Le long de la courbe Cp(t) les coordonnées locales y1 ,y2 ,y3 ,...,yn sont des solutions du système d’équations différentielles ordinaires = v i [ y1 (t), ..., y n (t)] (2.1.53) avec les valeurs initiales y i (0) = x i ( p). Pour introduire une nouvelle sorte de dérivation, on considère une carte Φ t traînant chaque point p, avec les coordonnées x i , le long d’une courbe Cp(t) au travers p dans le point image q = Φ t( p), avec les coordonnées y i (t). Pour des valeurs suffisamment petites du paramètre t, la carte Φ t est une carte injective (un-pour-un) qui induit une carte Φ t * T de n’importe lequel tenseur T . La dérivée de Lie du tenseur T par rapport au vecteur v est définit par £vT ≡ (2.1.54) où Φ t * est une carte des fonctions f , de valeurs réelles, définies sur Un à des fonctions sur Vn, Φ t * f ( p) = f [Φ t( p)]. Les tenseurs T et Φ t * T sont du même type (r, s) et sont tous les deux évalués au même point. Donc, la dérivée de Lie, donnée par l’Éq. (2.1.54), est aussi un tenseur de type (r,s) au point p. La dérivée de Lie disparaît si les tenseurs T et Φ t * T coïncident. En utilisant les bases de coordonnées {∂/∂x i } et {∂/∂yi }, on calcul les composantes de la dérivée de Lie. Les relations (2.1.55) seront utilisées. On peut, pour illustrer, calculer les dérivées de Lie pour les fonctions, les formes d’ordre un, et les vecteurs 1. Fonction f quelconque : £v f = v i f ,i (2.1.56) Preuve : Φ t * f |p = f [ y(x,t)] , £v f |p = 2. Forme d’ordre un σσσσ : £v σσσσ = (v j σ i,j + σj vj ,i) d xi (2.1.57) Preuve : Φ t * σσσσ |p = σj [y(x,t)] , £v σσσσ |p =     +++=≠ ++== +111 11 ...:0 ...:0 rrr rr xx xx ξξξ ξξ ddd dd σσσσ σσσσ dt dyi         −∗ → t t t TTΦ 0 lim i t i i t i j i t j i v t x v t y x y −= ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ === 000 δ p i i t y y f ∂ ∂ ∂ ∂ i i j x x y d ∂ ∂ i ot j iji jk k j x t y xx y t y y d =                 ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ σ
  • 66. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 45 3. Vecteur u : £v u = (vj ui ,j + u j v i ,j) (2.1.58) Preuve : Φ t * u |p = u j [y(x,t)] , £v u |p = La dérivée de Lie du vecteur u par rapport au vecteur v est égale au commutateur [v , u ] £v u = [v, u ] = (2.1.59) La dérivée de Lie du vecteur u par rapport au vecteur v est égale au commutateur [v , u ] £v u = [v , u ] = (2.1.60) De la règle du produit de Leibniz et des Éqs. (2.1.58) et (2.1.59), on obtient les composantes de la dérivée de Lie pour un tenseur arbitraire (£v T )ij... kl... = v m T ij... kl...,m − T mj... kl...vi ,m − T im... kl...v j ,m − ... + T ij... ml...vm ,k + T ij... km...vm ,l + ... (2.1.61) La dérivée de Lie joue un rôle important dans la description des symétries des champs gravitationnels et d’autres champs physiques. Espace de Riemann Un espace de Riemann est une variété Vn douée d’un élément de longueur au carré homogène possédant les composantes gµν d’une métrique g satisfaisant la forme suivante g = ds2 = gµν d xµ ⊗ d xν (2.1.62) ou bien ds 2 = gµν dxµ dxν (2.1.63) la structure de la variété étant entièrement déterminée par la donnée des composantes gµν et de leurs dérivées des deux premiers ordres. Espace-temps La variété d’espace-temps, ou univers, est une variété V4 à quatre dimensions x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , une dimension de temps, x 0 = ct, et trois d’espace. À chacun de ses points correspond un événement physique. Souvent, on définit c = 1 donc : x 0 = t. Dérivée Covariante et la Connexion Affine La dérivée covariante directionnelle, ∂∂∂∂v, dans la direction d’un vecteur v au point p carte un tenseur arbitraire en un tenseur du même type. Si v n’est pas spécifié, la dérivée covariante, ∇∇∇∇, génère un tenseur de type (r, s +1) d’un tenseur du type (r, s). En particulier, pour un vecteur u on a le développement ∂∂∂∂u = u i ;j e i ⊗ ωωωω j (2.1.64) avec les composantes u i ;j pour l’instant non-spécifiées. La dérivée covariante directionnelle est donnée par le vecteur ∂∂∂∂vu = (u i ;j v j )e i . (2.1.65) Dans le cas d’un tenseur T d’ordre deux ∂∂∂∂vT = (T i j;k vk )e i ⊗ ωωωω j (2.1.66) La dérivée covariante du vecteur de base e i dans la direction du vecteur de base e j peut être développée en fonction des vecteurs de base i x∂ ∂ ij i xy x ∂ ∂ ∂ ∂ i ot i j j j ik k j xt x y u y x t y y u ∂ ∂                 ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ −      ∂ ∂ ∂ ∂ i i j j i i j j x v x u x u x v       ∂ ∂ ∂ ∂ −      ∂ ∂ ∂ ∂ i i j j i i j j x v x u x u x v
  • 67. 46 2 Concepts Mathématiques de Base ∂∂∂∂ej e i ≡ ∂∂∂∂ j e i = Γ k ij e k (2.1.67) où on a définit la connexion affine Γ k ij = 〈ωωωωk , ∂∂∂∂ j e i〉 (2.1.68) On suppose pour la dérivée covariante pour une base duale {ωωωω i } ∂∂∂∂ j ωωωω i = − Γ i kj ωωωω k (2.1.69) ce qui est consistant avec les Éqs. (2.1.24), (2.1.67) et (2.1.68). Dans la théorie de la gravitation d’Einstein, la relativité générale, on se contente que la dérivée covariante obéit à la règle de commutation suivante ∂∂∂∂u v − ∂∂∂∂v u = [u ,v ] (2.1.70) pour deux vecteurs arbitraires u et v . Cette relation est équivalente à l’équation T λ µν = −2 Γ λ [µν ] (2.1.71) où T λ µν est la torsion et où les crochets signifient l’antisymétricité [à ne pas confondre avec le commutateur donné par l’Éq. (2.1.70)] : A[µν ] = (Aµν − Aνµ), et les indices grecs nous identifie, par convention, à un espace à n = 4 dimensions. Les composantes de commutation sont définis par la relation [e µ,e ν] = T λ µν e λ Γ λ µν = − Γ λ νµ (2.1.72) et T ρ σ [λT σ µν ] = 0 (2.1.73) Dans une base de coordonnées, les composantes de la connexion affine, Γ λ µν, possèdent une paire d’indices symétriques (µν ). Alors, la dérivée covariante satisfaisant l’Éq. (2.1.70) est dite symétrique (ou sans torsion.) Une fois qu’on prescrit les composantes de la connexion affine, les composantes u λ ;ν de la dérivée covariante du vecteur u dans la direction du vecteur de base eν sont complètement déterminées par l’équation suivante ∇∇∇∇eν u = ∇∇∇∇ν (u λ e λ) = (u λ |ν + Γ λ µν u µ )e λ = u λ ;ν e λ (2.1.74) et les composantes de la dérivée covariante ∇∇∇∇T d’un tenseur, donné par l’Éq. (2.1.38), sont donc (2.1.75) où la notation f |µ ≡ e µ ( f ) = f ,ν e µ ν a été utilisée. En utilisant les axiomes de symétrie, l’Éq. (2.1.71), on peut remplacer les dérivées partielles dans les Éqs. (2.1.47) et (2.1.61) pour les composantes de la dérivée externe et la dérivée de Lie, respectivement, par des dérivées covariantes, de sorte que les virgules peuvent être remplacées par des points virgule (“comma goes semi-colon”.) Les bases {e µ } et {ωωωω µ } sont des combinaisons linéaires des bases de coordonnées e µ = ωωωω µ = ωµ ν d xν (2.1.76) Les composantes de la connexion affine, l’Éq. (2.1.68), peuvent être écrits comme Γ λ µν = ωλ ρ eν σ eµ ρ ;σ = − ωλ ρ ;σ eν σ eµ ρ (2.1.77) Pour la dérivée externe d’une forme d’ordre un de base, on obtient dωωωω µ = ωµ ρ ;σ d xρ ∧ d x σ = ωµ ρ ;σ d x σ ∧ d xρ = Γ µ ρσ ωωωω ρ ∧ ωωωω σ (2.1.78) Les composantes de la connexion affine, linéaire, Γ λ µν , permettent le raccord de deux repères naturels infiniment voisins. Si en M, le repère naturel comporte n vecteurs e µ en M + dM ce repère est devenu e′µ = e µ + de µ avec 2 1 δβ αα γβ δ βδ αα γβ δ ββ δα δγ α ββ αδ δγ α γββ αα γββ αα ... ... ... ... ... ... ... ... ,... ... ;... ... 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ...)( r ss r s r s r s r s r TT TTTT Γ−−Γ− −Γ++Γ+= ν ν µ x e ∂ ∂
  • 68. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 47 de µ = Γ λ µν e λ dxν (2.1.79) Lorsque le déplacement dM est intégrable, les composantes de la connexion sont symétriques (la variété est dépourvue de torsion.) Si en outre, la relation gµν = eµ • eν (2.1.80) est différentiable, il existe une invariance de jauge : l’élément de longueur au carré n’est pas modifié par le transport parallèle le long d’un contour fermé. Alors, les composantes de la connexion linéaire se réduisent au symbole de Christoffel Γ λ µν = = gλσ (gνσ,µ + gµσ,ν − gµν,σ ) (2.1.81) Pour les composantes du tenseur métrique d’une variété euclidienne ou riemannienne gµν;ρ ≡ ∇∇∇∇ρ g = 0 (2.1.82) Géodésique Le vecteur tangent v d’une courbe géodésique satisfait la relation ∇∇∇∇v v = f v (2.1.83) ou, si on exprime l’Éq. (2.1.83) en composantes v ν v µ ;ν = f v µ (2.1.84) En posant une échelle appropriée pour le paramètre de la courbe géodésique, on peut faire disparaître la fonction f de l’Éq. (2.1.83) . Un tel paramètre est appelé paramètre affin λ et l’équation de la géodésique se lit ≡ v ν v µ ;ν = 0 (2.1.85) où D est une autre façon de représenter la dérivée covariante par rapport à un paramètre arbitraire λ. On exprime aussi les géodésiques comme étant les lignes les plus courtes joignant deux points, A et B, donnés que l’on peut définir par un principe de stationnarité (2.1.86) où λ est le paramètre arbitraire le long des lignes AB. Les équations d’Euler correspondantes sont les équations géodésiques (2.1.87) Sauf dans le cas des géodésiques nulles (pour ds = 0), on peut prendre l’intervalle s sur la géodésique comme paramètre. Dans ce cas, les équations des géodésiques s’écrivent (2.1.88) Tenseur de Courbure Le tenseur de courbure, est définit par B = B λ µνρ e λ ⊗ ωωωω µ ⊗ ωωωω ν ⊗ ωωωω ρ (2.1.89) et est un tenseur de type (1,3) qui carte un ensemble ordonné (σσσσ , w , u , v ) d’une forme d’ordre un, σσσσ, et de trois vecteurs, w, u et v , en un nombre réel       λ µν 2 1 λ µ d Dv 0=∫ λ λλ δ νµ µν d d dx d dx g B A 02 2 =Γ+ λλλ νµ µν γ γ d dx d dx d xd 02 2 =Γ+ ds dx ds dx ds xd νµ µν γ γ
  • 69. 48 2 Concepts Mathématiques de Base σλ wµ u ν v ρ = 〈σσσσ ,(∇∇∇∇u ∇∇∇∇v − ∇∇∇∇v ∇∇∇∇u − ∇∇∇∇[u,v ])w〉 = σ λ [(ωλ ;τ vτ );σ uσ − (ω σ ;τ uτ );σ vσ − ωλ ;τ (uσ vτ ;σ − vσ uτ ;σ )] (2.1.90) = σλ (ωλ ;στ − ωλ ;τσ) vσ uτ (2.1.91) Comme les composantes σ λ, v σ et uτ peuvent être choisies arbitrairement, on arrive à l’identité de Ricci ωλ ;ρν − ωλ ;νρ = ωµ B λ µνρ (2.1.92) La règle générale donnée par l’Éq. (2.1.75) pour les composantes de la dérivée covariante d’un tenseur implique la relation B λ µνρ = Γ λ µν,ρ − Γ λ µρ,ν + Γ σ µν Γ λ σρ − Γ σ µρ Γ λ σν − T σ νρ T λ µσ (2.1.93) Dans une base de coordonnées, le dernier terme (avec torsion) disparaît et on obtient B λ µνρ = Γ λ µν,ρ − Γ λ µρ,ν + Γ σ µν Γ λ σρ − Γ σ µρ Γ λ σν (2.1.94) Les composantes de l’Éq. (2.1.94) du tenseur de courbure satisfont les relations de symétries suivantes B λ µνρ = − B λ µρν B λ [µνρ ] = 0 (2.1.95) Nous pouvons voir ceci d’une autre façon. Une variété de Riemann diffère d’une variété euclidienne par la seule présence d’une courbure de rotation Ω λ µ . Celle-ci est liée à la non-intégrabilité de l’accroissement de µ . Par transport parallèle le long d’un contour fermé (constitué par un petit parallélogramme curviligne de côtés dx et δ x), le vecteur e µ varie selon ∫e µ = ∫∫ Ω λ µ e λ = ∫∫[− Bλ µρσ (dxρ δ xσ − δ xρ dxσ )] (2.1.96) où B λ µνρ = Γ λ µν,ρ − Γ λ µρ,ν + Γ σ µν Γ λ σρ − Γ σ µρ Γ λ σν (2.1.97) les composantes du tenseur de courbure de la variété. Toutes ses composantes sont nulles dans le cas d’une variété euclidienne. Tenseur de Riemann-Christoffel En remplaçant dans l’Éq. (2.1.94) les composantes de connexion par les symboles de Christoffel, on obtient le tenseur de Riemann-Christoffel, R λ µνρ . Mais, il est de coutume maintenant, de garder la connexion comme symbole, car, après tout, Γ λ µν = et ce, dans n’importe lequel repère car c’est un tenseur. Donc, on adopte la convention suivante pour les composantes du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel R λ µνρ = Γ λ µν,ρ − Γ λ µρ,ν + Γ σ µν Γ λ σρ − Γ σ µρ Γ λ σν (2.1.98) Ce tenseur comporte quelques symétries apparentes en effectuant certaines rotations ou remplacement d’indices dans l’Éq. (2.1.98). Tenseur de Ricci À partir de l’Éq. (2.1.98), ne peut former, par contraction, qu’un seul tenseur du second rang, les composantes du tenseur de Ricci Rµν = R λ µνλ = Γ λ µν,λ − Γ λ µλ,ν + Γ ρ µν Γ λ ρλ − Γ ρ µλ Γ λ ρν (2.1.99) En effet, les composantes suivantes R λ λνρ = Γ λ λν,ρ − Γ λ λρ,ν + Γ σ λν Γ λ σρ − Γ σ λρ Γ λ σν = 0 (2.1.100) sont identiquement nulles selon les propriétés de symétrie de R λ µνρ : il se rattache à la courbure d’homothétie qui est nulle dans une variété de Riemann. Courbure Riemannienne Scalaire Par double contraction du tenseur de Riemann-Chistoffel, on obtient la courbure riemannienne scalaire 2 1 { }λ µν
  • 70. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 49 R = gµν Rµν = R ρν νρ (2.1.101) Les composantes contravariantes de la métrique, gµν , sont définies par la relation suivante g gµν = cofacteur(gµν) = (−1)µ +ν mineur(gµν) (2.1.102) avec g = det| gµν | (2.1.103) de sorte que gµρ gνρ = δν µ (2.1.104) Identités de Bianchi La dérivée covariante du tenseur de courbure satisfait l’identité de Bianchi R λ µ [νρ ;σ ] = 0 (2.1.105) En contractant, on obtient les identités R λ µνρ ;σ + 2Rµ [ν ;σ ] = 0 (2.1.106) où les composantes du tenseur de Ricci sont données par Rµν ≡ R λ µλν (2.1.107) En développant un peu, on obtient R λ µνρ ;σ + R λ µρσ ;ν + R λ µσν ;ρ = 0 (2.1.108) R λ µνρ + R λ ρµν + R λ νρµ = 0 (2.1.109) Ce sont encore les identités de Bianchi. Tenseur d’Einstein Le tenseur d’Einstein est un tenseur tellement important que l’on indique sa dérivation. En contractant les indices λρ de l’Éq. (2.1.108) et en utilisant l’Éq. (2.1.99), on obtient Rµν ;σ − Rµσ ;ν + R λ µσν ;λ = 0 (2.1.110) En multipliant l’Éq. (2.1.110) par g µν et en contractant les indices µ et ν du résultant, on obtient R ;σ − R µ σ ;µ − R λ σ ;λ = 0 (2.1.111) Maintenant, puisque R ;σ = gµ σ R ;µ et avec λ → µ, on obtient ( g µ σ R − 2R µ σ );µ = 0 (2.1.112) On peut réécrire l’Éq. (2.1.111) de la façon suivante G µ ν ;µ = ≡ 0 (2.1.113) L’Éq. (2.1.113) signifie que la divergence du tenseur G µ ν = R µ ν − g µ ν R (2.1.114) est nulle. Ce tenseur, G µ ν, sont les composantes du tenseur d’Einstein. Les identités (quatre en tout) G µ ν ;µ = ∇∇∇∇µ G ≡ 0 (2.1.115) sont fondamentales dans la théorie de la gravitation d’Einstein. µ µ ν µ ν ;2 1       − RgR 2 1
  • 71. 50 2 Concepts Mathématiques de Base Calcul du Tenseur de Riemann Introduisons la forme d’ordre un pour la connexion Γ λ µν ΓΓΓΓ λ µ ≡ Γ λ µν ωωωω ν (2.1.116) On peut donc écrire l’Éq. (2.1.78) dans la forme dωωωωλ = −ΓΓΓΓ λ µ ∧ ωωωω µ (2.1.117) forme due à Cartan (la première équation de Cartan.) Pour une base donnée, la partie antisymétrique des composantes de la connexion affine, Γ λ [µν ], peut être calculée de l’Éq. (2.1.117). Une méthode compacte et efficiente pour calculer les composantes données par l’Éq. (2.1.93) par rapport à une base générale est donnée par la procédure de Cartan. Définissons la forme de courbure d’ordre deux, ΘΘΘΘ λ µ, par ΘΘΘΘ λ µ ≡ R λ µνρ ωωωω ν ∧ ωωωω ρ (2.1.118) L’Éq. (2.1.93) est complètement équivalente à la deuxième équation de Cartan dΓΓΓΓ λ µ + ΓΓΓΓ λ ν ∧ ΓΓΓΓ ν µ = ΘΘΘΘ λ µ (2.1.119) qui donne un algorithme pour le calcul de la courbure à partir des composantes de la connexion affine. On réunit les relations entre les diverses quantités dans la Figure 2.1.1. Figure 2.1.1: Comment obtenir la courbure ΘΘΘΘ λ µ à partir de la connexion Γ λ µν . 2.2 Dérivation Covariante et Transport Parallèle Les idées fondamentales associées avec la TNG sont les mêmes que les théories symétriques basées sur la géométrie de Riemann : on suppose que les quantités vectorielles et tensorielles sont des fonctions continues S(V4) sur la variété V4 à quatre dimensions. Un champ vectoriel continu x quelconque est une carte S(V4) S(V4) qui est réelle, linéaire et obéit à x( f g) = x ( f ) g + f x (g) ( f, g ∈ S(V4)) (2.2.1) Une variété est courbe si le transport parallèle d’un vecteur autour d’un parcours fermé dans V4 ne reproduit pas le même vecteur. La variation d’un vecteur quelconque u , comme il se déplace d’une distance infinitésimale le long d’une courbe avec un vecteur tangent v , est donnée par la dérivée covariante1,2,3 ∇∇∇∇vu = v µ (∂µ uν + W ν ρµ u ρ )eν (2.2.2) Ici, W λ µν sont des composantes du champ de la connexion affine non symétrique et v µ et u µ sont les composantes des vecteurs v et u par rapport à l’ensemble de bases {eµ }. Il n’y a pas de restriction sur les composantes W λ µν et la connexion peut avoir une partie antisymétrique W λ [µν ] avec les composantes non nulle de la torsion Wµ ≡ W λ [µλ ] ≠ 0. La dérivée covariante peut agir sur des tenseurs, des covecteurs, des cotenseurs ainsi que sur des scalaires, et la règle du produit et la dérivation en chaîne reste valable. Définissons la dérivée covariante pour une fonction arbitraire f (x) ∇∇∇∇v f (x) = ∂v f (x) = v µ ∂µ f (x) ( f ∈ S(V4)) (2.2.3) 2 1 → o o o Γ λ µν  Éq. (2.1.93) → R λ µνρ ↑ ↑ Éq. (2.1.116) Éq. (2.1.118) ↓ ↓ ΓΓΓΓ λ µ  Éq. (2.1.119) → ΘΘΘΘ λ µ
  • 72. 2.3 Courbure Non Riemannienne de l’Espace-Temps 51 et alors, la dérivée covariante d’un vecteur ∇∇∇∇v [u (x )] = ∇∇∇∇v u (x ) + u [∇∇∇∇v(x )] (2.2.4) ce faisant n fois si u est un n-cotenseur. La dérivée covariante d’un m-tenseur s’obtient en utilisant la règle du produit ∇∇∇∇v (a ⊗b ⊗...⊗x) = (∇∇∇∇va )⊗b ⊗...⊗x + a ⊗(∇∇∇∇vb )⊗...⊗x + ... + a ⊗b ⊗...⊗(∇∇∇∇vx ) (2.2.5) où a ⊗b définit le produit tensoriel de deux vecteurs a et b . 2.3 Courbure Non Riemannienne de l’Espace-Temps Le transport parallèle le long d’un parallélogramme infinitésimal produit le tenseur de Riemann. En utilisant la dérivée covariante, on a pour deux champs vectoriels v et u 1,2,3 R (v, u )w = ∇∇∇∇v∇∇∇∇u w − ∇∇∇∇u∇∇∇∇v w − ∇∇∇∇[v,u] w (2.3.1) où [v , u ] ≡ £v u est la dérivée de Lie [v , u ] ≡ £v u = u (v) − v(u ) = (v µ ∂µ u ν − u µ ∂µ v ν )eν (2.3.2) En notation tensorielle standard, on a R (v , u )w = R λ µνρ v µ u ν w ρ eλ = r λ eλ (2.3.3) où R λ µνρ = W λ µν,ρ − W λ µρ,ν − W σ µρ W λ σν + W σ µν W λ σρ (2.3.4) On dénote par “cyc” une somme cyclique sur v, u et w . Alors, les identités de Bianchi sont données par cyc{R (u , v )w + T ( u , T (v , w )) − (∇∇∇∇wT )(u , v )} = 0 (2.3.5) et cyc{(∇∇∇∇u R )(v, w ) − R (T (u , v ), w)} = 0 (2.3.6) et où la torsion est définie par2,3 T (v, u ) = ∇∇∇∇v u − ∇∇∇∇u v − [v , u ] = T λ µν v µ u ν e λ (2.3.7) Alors, en composantes T λ µν = − 2 W λ [µν ] (2.3.8) La torsion décrit le manque de fermeture des parallélogrammes infinitésimaux, et elle a la contraction K (v ) = Tr{u → T (v , u )} = − 2W λ [µλ] v µ = − 2Wµ v µ (2.3.9) où Tr{u → } dénote la trace de la carte qui prend u dans …. Le tenseur de courbure possède deux contractions2,3 : 1. la contraction de base de la courbure R (v, w ) = Tr{u → R (u , w ) v} = Rµν v µ w ν (2.3.10) qui, en langage des composantes est Rµν = R λ µνλ = W λ µν,λ − W λ µλ,ν − W σ µρ W ρ σν + W σ µν W ρ σρ (2.3.11) sont les composantes du tenseur de Ricci, et 2. une seconde contraction R (v, w ) = Tr{u → R (v, w ) u } = Pµν v µ w ν (2.3.12) où
  • 73. 52 2 Concepts Mathématiques de Base Pµν = R λ λµν = W λ λµ,ν − W λ λν,µ (2.3.13) On note aussi que R (v, u ) = − R (u , v ). On utilisera aussi la définition + et − d’Einstein pour la différentiation covariante2,1 ∇∇∇∇v u (+) = vµ (∂µ uν + W ν ρµ uρ )eν = vµ u ;µ eν ∇∇∇∇v u (−) = vµ (∂µ uν + W ν µρµρµρµρ uρ )eν = vµ u ;µ eν (2.3.14) (2.3.15) Alors ∇∇∇∇v u (−) = ∇∇∇∇v u (+) + T (u , v ) (2.3.16) 2.4 Métrique Non Symétrique Dans la TNG comme dans la TGE, nous avons besoin d’un objet, ou d’une machine, définie sur notre variété d’espace- temps qui nous permet de décrire la structure de la variété d’espace-temps. Un tel objet a la propriété d’être invariant d’un système de coordonnées à l’autre ; c’est donc un tenseur. C’est un objet qui représente comment les échelles varient d’un point à l’autre dans l’espace-temps et qui nous permet de définir les distances. On laisse donc g être la métrique de l’espace-temps, une machine qui prend deux arguments, disons deux vecteurs u et v , et les transforment en un nombre réel1,* g (u ,v ) = u • v (2.4.1) leur produit scalaire, et elle est pour l’instant symétrique g (u ,v ) = g (v ,u ) (2.4.2) La métrique est aussi linéaire g (au + bv , w ) = a g (u ,w ) + b g (v,w ) (a , b = ctes) (2.4.3) Les composantes d’un tenseur sont définies comme suit : les composantes d’un tenseur du type , dans un repère R, sont les valeurs des fonctions lorsque ses arguments sont les vecteurs de base {eµ , µ = 0,...,3} du repère R. Pour le tenseur métrique, ceci donne les composantes de la métrique de l’espace-temps de Minkowski g (eµ ,eν ) = eµ • eν = ηµν (2.4.4) Associé aux vecteurs de base {eµ }, on définit un ensemble de formes de Pfaff {ωωωω µ , µ = 0,...,3}, qu’on appellera la base duale à {eµ }. On veut donc un ensemble de bases duales qui fait l’opération σσσσ = σµ ωωωω µ (2.4.5) Donc, l’ensemble {ωωωω µ } représente quatre formes distinctes, comme {eµ } représente quatre vecteurs distincts. L’Éq. (2.4.5) implique que pour tout vecteur v et toute forme σσσσ σσσσ (v ) = σµ v µ (2.4.6) Mais, de l’Éq. (2.4.5), on obtient σσσσ (v ) = σµ ωωωω µ (v ) = σµ ωωωω µ (vν eν) = σµ vν ωωωω µ (eν) (2.4.7) Maintenant, le dernier terme de l’Éq. (2.4.7) peut seulement égaler σµ v µ pour tout vν et σµ si ωωωω µ (eν) = δµ ν . (2.4.8) * On note encore que la définition de la métrique ne nécessite aucune spécification sur les coordonnées des vecteurs (tenseurs d’ordre un) : un tenseur doit être une règle qui donne le même nombre, peu importe le système de coordonnées choisi dans lequel les composantes du vecteur sont calculées. Ceci nous permet de regarder un tenseur comme une fonction des vecteurs eux-mêmes plutôt que de leurs coordonnées. + ν − ν ( )0 N
  • 74. 2.4 Métrique Non Symétrique 53 Dans son rôle fondamental en géométrie différentielle, la métrique est aussi une machine qui transforme les vecteurs en formes1 g (v , ) = σσσσ ( ) (2.4.9) où les blancs entre parenthèses signifient qu’un argument vectoriel reste à être inséré. g (v , ) est donc considérée comme une fonction de vecteurs (à être inclus dans la case vide) et est une fonction linéaire de vecteurs produisant un nombre. Alors σσσσ est une forme dont la valeur sur un vecteur v est σσσσ • v σσσσ (v ) = g (σσσσ ,v ) = σσσσ • v (2.4.10) Si on exprime v en fonction de ses composantes, on a vµ = v (eµ) = v •eµ = (vν eν) •eµ = eµ •(vν eν) = ( eµ •eν )vν = ηµν vν (2.4.11) Il est important de remarquer la position des indices, soit contravariant (en haut) ou soit covariant (en bas), décrivant soit des vecteurs, v µ de v , ou des formes de Pfaff, σµ de σσσσ . Maintenant, si on généralise l’Éq. (2.4.4) à un tenseur covariant d’ordre deux, comme la métrique, on obtient g (u ,v ) = g (u µ eµ ,v ν eν) = u µ v ν g (eµ ,eν) = u µ v ν gµν (2.4.12) On peut définir un ensemble de seize tenseur d’ordre deux contravariant, ωωωω µν , de sorte que g = gµν ωωωω µν , et pour que ceci puisse être vrai il faut que gµν = g (eµ ,eν) = gρσ ωωωω ρσ (eµ ,eν) (2.4.13) et ceci implique que ωωωω ρσ (eµ ,eν) = δ ρ µ δσ ν (2.4.14) Mais δ σ ν, donnée par l’Éq. (2.4.8) est la valeur de ωωωω µ sur eµ , et de façon analogue pour δ σ ν. Alors, ωωωω ρσ est un tenseur dont la valeur est simplement le produit des valeurs des deux formes de base, et on conclut donc que ωωωω µν = ωωωω µ ⊗ ωωωω ν (2.4.15) Donc le produit tensoriel ωωωω µ ⊗ ωωωω ν (un tenseur) est une base pour tous les tenseurs d’ordre deux. On définit maintenant le gradient, un 1-forme d’une fonction, d f, comme décrivant les variations au premier ordre de la fonction f dans le voisinage de Po f ( P) = f ( Po) + 〈d f , v 〉 + (termes non linéaires) (2.4.16) où v = P − Po et 〈d f , v 〉 représentent le nombre de surfaces percées du 1-forme de base, d f , par le vecteur v (nombre de coups de cloches.) Exprimé autrement, on a6 〈1-forme percé , vecteur qui perce〉 (2.4.17) Si on considère un vecteur v et qu’on construit une courbe paramétrisée C(λ) définie par C(λ) − Co = λv et que l’on différencie la fonction f le long de cette courbe, on obtient ∂v f = (d/dλ)λ=0 f [C(λ)] = (df / dλ)Co (2.4.18) L’opérateur différentiel ∂v = (d/dλ)à λ=0, le long de la courbe C(λ) − Co = λv , qui fait la différentiation, est appelé l’opérateur dérivée directionnelle le long du vecteur v . La dérivée directionnelle ∂v f et le gradient d f sont intimement liés, comme on le voit en appliquant ∂v à l’Éq. (2.4.16) et en évaluant le résultat au point Po ∂v f = 〈d f, d P/dλ〉 = 〈d f , v〉 (2.4.19) Traduit en mots, ce résultat est le suivant : d f est une machine pour calculer le taux de variation de la fonction f le long de n’importe lequel vecteur désiré v . Insérez v dans d f et ce qui sort de la machine (nombre de surfaces percées ; de coups de cloche) est ∂v f qui, pour v suffisamment petit, est simplement la différence dans f entre la tête et la queue de v . Maintenant, on peut considérer notre base ωωωω µ comme étant l’équivalent de d xµ et ainsi faire le parallèle avec l’Éq. (2.4.5) d f = f,µ ωωωω µ (2.4.20) qui sont calculables avec
  • 75. 54 2 Concepts Mathématiques de Base f ,µ = 〈d f , eµ 〉 = ∂µ f = (2.4.21) Les composantes de d f sont simplement les dérivées partielles le long des axes de coordonnées f ,µ = ⇔ d f = d x (2.4.22) Donc, d f est une version rigoureuse de la “differentielle” du calcul différentiel. La métrique symétrique de l’espace-temps peut donc s’écrire avec l’Éq. (2.4.13) et le fait que ωωωω µ = d xµ 1,1,2 = gµν ωωωω µ ⊗ ωωωω ν = g(µν )d xµ ⊗ d xν (2.4.23) puisque les composantes gµν sont symétriques. Si on développe l’Éq. (2.4.23), on obtient (µ, ν = 0, 1, 2, 3) = g(00)d x0 ⊗ d x0 + g(11)d x1 ⊗ d x1 + g(22)d x2 ⊗ d x2 + g(33)d x3 ⊗ d x3 (2.4.24) Il y a une correspondance entre la métrique, écrite comme gµν d xµ ⊗ d xν , et le concept élémentaire d’élément de longueur, écrit comme ds2 = gµν dxµ dxν . L’élément de longueur représente la distance au carré du déplacement dxµ dans une direction non spécifiée. La métrique gµν d xµ ⊗d xν fait de même. Donc, on prendra l’habitude de représenter l’élément de longueur par2,3 ds2 = g(µν ) dxµ dxν (2.4.25) et la métrique par les composantes de l’Éq. (2.4.24), soit g(µν) (voir l’Appendice A). Et maintenant, pour la partie antisymétrique de la métrique, un tenseur antisymétrique d’ordre deux (c’est-à-dire, un 2- forme), on peut la développer en fonction des produits tensoriels de base 1-forme comme =g [eµ ,eν ] = g[µν ]d xµ ⊗ d xν (2.4.26) On suggère l’alternative suivante qui consiste à utiliser le calcul extérieur de Cartan qui prescrit de développer la métrique antisymétrique en fonction des produits tensoriels antisymétriques (produits extérieurs)1,2 = gµν d xµ ∧ d xν (2.4.27) où d xµ ∧ d xν = (d xµ ⊗ d xν − d xν ⊗ d xµ ) (2.4.28) Le symbole “∧” s’appelle un “wedge” ou chapeau ou signe de produit extérieur, et d xµ ∧ d xν sont les bases 2-forme. Donc, la métrique antisymétrique est un 2-forme. Tel que mentionné auparavant, un 1-forme est une machine qui produit un nombre à partir d’un vecteur (coups de cloche comme le vecteur perce les surfaces successives.) Un 2-forme est une machine qui produit un nombre à partir d’une surface orientée.1 Si on développe l’Éq. (2.4.27), on obtient = g[01]d x0 ∧ d x1 + g[02]d x0 ∧ d x2 + g[03]d x0 ∧ d x3 + + g[12]d x1 ∧ d x2 + g[13]d x1 ∧ d x3 + + g[23]d x2 ∧ d x3 (2.4.29) puisque les composantes g[00], g[11], etc. sont nulles. Donc, possède six composantes et six bases de 2-forme. En incorporant l’Éq. (2.4.28) dans l’Éq. (2.4.29), on obtient = g[01](d x0 ⊗ d x1 −d x1 ⊗ d x0 ) + g[02](d x0 ⊗ d x2 −d x2 ⊗ d x0 ) + g[03](d x0 ⊗ d x3 −d x3 ⊗ d x0 ) + + g[12](d x1 ⊗ d x2 − d x2 ⊗ d x1 ) + g[13](d x1 ⊗ d x3 − d x3 ⊗ d x1 ) + + g[23](d x2 ⊗ d x3 − d x3 ⊗ d x2 ) = g[01]d x0 ⊗ d x1 + g[10]d x1 ⊗ d x0 + g[02]d x0 ⊗ d x2 + g[20]d x2 ⊗ d x0 + g[03]d x0 ⊗ d x3 + + g[30]d x3 ⊗ d x0 + g[12]d x1 ⊗ d x2 + g[21]d x2 ⊗ d x1 + g[13]d x1 ⊗ d x3 + g[31]d x3 ⊗ d x2 + µ x f ∂ ∂ µ x f ∂ ∂ µ x f ∂ ∂ g g g ~ g ~ 1 2 g ~ g ~ g ~ g ~
  • 76. 2.4 Métrique Non Symétrique 55 + g[23]d x2 ⊗ d x3 + g[32]d x3 ⊗ d x2 (2.4.30) puisque la métrique est antisymétrique, g[10] = − g[01], etc. Maintenant, si on exprime la métrique non symétrique de la façon suivant g = + (2.4.31) ou bien en fonction de ses composantes, on obtient gµν = g(µν ) + g[µν ] (2.4.32) où g(µν) = (gµν + gνµ ) g[µν] = (gµν − gνµ ) (2.4.33) Les composantes de la métrique sont, dans un espace-temps à quatre dimensions, représentées par une matrice 4×4 qui possède la structure suivante, suivant les Éqs. (2.4.23) et (2.4.29) gµν = (2.4.34) On voit que la métrique non symétrique est un objet géométrique qui pondère les différentes différences de coordonnées avec elles-mêmes et entre elles, tout en faisant la différence entre les différentielles qu’elle pondère, qu’elles soient symétriques (par exemple, dx0 dx0 ) ou antisymétriques (par exemple, dx0 dx1 ).4 Cependant, comme avant, en vertu du fait que les composantes sur la diagonale sont symétriques, gµν = gνµ , et que celles qui sont de part et d’autre de la diagonale sont antisymétriques, gµν = −gνµ , on obtient gµν = (2.4.35) On a donc dix composantes indépendantes pour la métrique. De plus, comme dans la TGE, les composantes de la métrique agissent comme des potentiels en tout point de l’espace-temps : dix potentiels pour pondérer l’échelle des mesures des intervalles de temps propre et les mètres (la règle pour mesurer les longueurs propres.) Alors, pour résumer, nous avons défini sur la variété d’espace-temps E, une métrique symétrique = g(µν )d xµ ⊗ d xν (2.4.36) qui joue le rôle de potentiel gravitationnel comme dans la TGE et en complément à cette métrique, nous avons défini sur la même variété une métrique antisymétrique = g[µν ]d xµ ∧ d xν (2.4.37) Dans la TNG, tout comme dans la TGE, la métrique possède toute sa force dans son utilisation avec l’élément de longueur infinitésimale entre deux points xµ et xµ + dxµ de l’espace-temps qui est défini par2,5 ds2 = g(µν) dxµ dxν (2.4.38) qui représente la distance au carré entre les différents points de l’espace-temps ; notre étalon de mesure de l’espace-temps et de ses propriétés. Le choix de g(µν) et non de g(µν) (ou tout autre choix possible) comme métrique est choisi ou fixé de façon unique par les équations du déplacement des particules d’essai obtenues des lois de conservation de la TNG (voir Section 5.1). On doit poser quelques remarques au sujet de la nature fondamentale de la métrique. En effet, une conséquence formelle immédiate de l’introduction d’une torsion [voir l’Éq. (2.3.8)] dans la TNG est que la métrique perd son caractère de tenseur fondamental. Par le qualificatif de fondamental, on entend que c’est le seul responsable de la structure géométrique de l’espace-temps. Alors, notre métrique non symétrique est une structure complètement indépendante de celle de la TGE, d’où le fait que la métrique antisymétrique est ajoutée à la variété en complément de la métrique symétrique de la TGE.5 g g ~ 2 1 2 1 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( )               33323130 23222120 13121110 03020100 gggg gggg gggg gggg ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( )               −−− −− − 33231303 23221202 13121101 03020100 gggg gggg gggg gggg g g ~
  • 77. 56 2 Concepts Mathématiques de Base 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation À chaque point de l’espace-temps, on peut définir un ensemble de vecteur unitaires n µ , chacun d’eux est dans la direction d’un des axes de coordonnée (Figure 2.5.1).1 Figure 2.5.1: Un ensemble de coordonnées généralisées sur un plan (deux dimensions). Seulement les lignes x0 = 1, x0 = 2, x1 = 1, x1 = 2 sont dessinées. Aussi montrés sont les vecteurs unitaires de la coordonnée au point (1,1). Les n µ sont des vecteurs unitaires en ce sens que leurs longueurs correspondent à des incréments unitaires des coordonnées. Alors, l’intervalle du quatre-vecteur du point xµ au point adjacent xµ + dxµ est donné par u = dxµ n µ (2.5.1) On définit maintenant le tenseur métrique gµν associé avec ces coordonnées en introduisant le produit scalaire gµν ≡ n µ • n ν (2.5.2) Alors, l’élément de longueur, entre les points x µ et x µ + dx µ , est donné par le produit scalaire ds2 = ds2222 = u • v = (dx µ n µ ) • (dx ν n ν ) = (n µ • n ν ) dx µ dx ν ds2 = gµν dx µ dx ν (2.5.3) À chaque point de l’espace-temps, x µ , on introduit aussi un système de coordonnées localement inertiel.* On peut définir ce système par un ensemble de vecteurs e n (avec n = 0, 1, 2, 3) qui satisfont e a • e b = ηab (2.5.4) où ηab est la métrique habituelle de l’espace-temps plat de Minkowski : ηab = (+1, −1, −1, −1). On appel l’ensemble des vecteurs e a, une tétrade. On peut exprimer tout membre d’une tétrade en fonction de vecteurs unitaires du système de cordonnées généralisées en posant† e a = (ea)µ n µ (2.5.5) (voir Figure 2.5.2), introduisant ainsi le vierbein (ea)µ . En combinant les Éqs. (2.5.2), (2.5.4) et (2.5.5), on trouve * C’est le système “d’apesanteur en chute libre”, c’est-à-dire le système dans lequel il n’y a aucune force gravitationnelle. † Tétrade = (vierbein)×(vecteur unitaire). x 1 = 1 x 1 = 2 x 0 = 1 x 0 = 2 n 0 n 1
  • 78. 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 57 gµν (ea)µ (eb)ν = ηab (2.5.6) ou gµν = (eµ )a (eν )b ηab (2.5.7) C’est une forme réelle et bilinéaire. Figure 2.5.2: On montre le choix de e 1, e 2 au point (1,1) de la Figure 2.5.1. Les composantes (e0)0 , (e0)1 sont aussi indiquées. Maintenant, si on considère que gµν est non symétrique, on posera plutôt la forme suivante2,2,3 gµν = (hµ)a ( fν)b ηab (2.5.8) où (hµ )a et ( fν )b sont deux vierbeins réels et ηab, comme auparavant, est la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski. Les (hµ )a sont définit à chaque point de la variété V4 par2 (hµ )a = (2.5.9) où X a correspond à un ensemble de coordonnées anholonomorphes qui sont inertiels à x = . Les (hµ )a et ( fµ )a satisfont (hµ )c (hµ )b = δ b c (hσ )a (hρ )a = δ ρ σ ( f µ )c ( fµ)b = δ b c ( fσ )a ( f ρ )a = δ ρ σ (2.5.10) Ils obéissent aussi aux équations (hµ,σ )a + (Οσ)a c(hµ )c − W ρ σµ (hρ )a = 0 ( fµ,σ)a + (Ωσ)a c( fµ)c − V ρ σµ ( fρ)a = 0 (2.5.11) (2.5.12) On peut aussi résoudre pour W et V en fonction de h, Ο et f , Ω Wσµλ = gρλW ρ σµ = ηab[Dσ (hµ )a ]( fλ )b V σµλ = gρλV ρ σµ = ηab[Kσ ( fµ )a ](hλ )b (2.5.13) (2.5.14) où Dσ (hµ )a = (hµ,σ )a + (Οσ )a c(hµ )c Kσ ( fµ )a = ( fµ,σ )a + (Ωσ )a c( fµ )c (2.5.15) (2.5.16) Ici, Dσ et Kσ sont des dérivées covariantes, définies en fonction des connexions de spin Ο et Ω. n 0 n 1 e 0 e 1 (e 0)0 (e 0)1 xx a x xX ′=         ∂ ∂ µ )( ′x
  • 79. 58 2 Concepts Mathématiques de Base En différentiant l’Éq. (2.5.8) et en utilisant les Éqs. (2.5.11)-(2.5.12), on obtient une équation de compatibilité généralisée pour les composantes de la connexion non symétrique2 gµν,σ − gρν W ρ µσ − gµρ W ρ σν = 0 (2.5.17) où on a utilisé les conditions suivantes (Ωσ )ac = −(Οσ )ac V ρ µσ = W ρ σµ (2.5.18) (2.5.19) Un groupe d’isoméries est définit par ( µ )a = (hµ )b U a b ( µ )a = ( fµ )b Z a b (2.5.20) (2.5.21) où U et Z sont des éléments de GL(4,R) laissant ainsi gµν invariant lorsque U a c Z b d ηab = ηcd (2.5.22) Sous la notation matricielle, cette dernière devient U T η Ζ = η (2.5.23) 2.6 Tétrade Hyperbolique Complexe et la Symétrie Locale GL(4) Un champ de nombres complexes peut être généralisé d’une façon naturelle. Ces nombres complexes généralisés sont de la forme a + ε b (2.6.1) où ε est un nombre spécial qui obéit ε 2 = −1 → nombres complexes ordinaires ε 2 = 0 → nombres duaux ε 2 = +1 → nombres hyperboliques complexes L’addition, la soustraction et la multiplication peuvent être effectués de la façon conventionnelle mais la division requiert une attention particulière dans le cas hyperbolique, où la norme d’un nombre non nul |a + ε b| = (2.6.2) peut être nulle. C’est pour cette raison que les nombres hyperboliques complexes constituent un anneau et non un champ. Pour les composantes d’une métrique conjuguée et hyperbolique complexe gµν, il existe une symétrie locale de jauge GL(4,R) qui correspond à gµν et qui préserve les différentes rotations des repères linéaires généralisés dans le paquet tangentiel fibré (“tangent fibre bundle”.)2,5,1 La symétrie locale GL(4) de la TNG ne devrait pas être confondue avec le sous- groupe (global) linéaire GL(4) du groupe de difféomorphismes D4 de la variété V4 sous laquelle la TNG est invariante. On définit les vierbeins hyperboliques complexes par (eµ )a = Re[(eµ )a ] + ω Im[(eµ )a ] (2.6.3) où a = 0, 1, 2, 3. Les a, b, c, ... latins sont les indices usuels de la notation indice qui désignent que eµ est un vecteur. On dit aussi qu’ils dénotent les coordonnées anholonomiques associées avec le paquet fibré de l’espace tangentiel, et gµν est donnée par gµν = (eµ)a ( ν)b ηab = (eµ)a ( ν)a, où ω 2 = +1 est l’élément purement imaginaire de l’algèbre hyperbolique complexe, ΩΩΩΩ, de Clifford.2 Puisque pour z = x + ω y, on a z = x2 − y2 où = x − ω y, il existe des lignes de zéros dans l’espace hyperbolique complexe, z = 0, et il en suit que l’algèbre ΩΩΩΩ forme un anneau de nombres et non un champ comme système de nombres complexes, satisfaisant à l’algèbre C, avec le nombre imaginaire pur i = (i2 = −1). On a ( µ )a = Re[(eµ)a ] − ω Im[(eµ)a ] et les (eµ)a satisfont h′ f ′ 22 ba − e~ e~ z~ z~ z~ 1− e~
  • 80. 2.6 Tétrade Hyperbolique Complexe et la Symétrie Locale GL(4) 59 (eµ )c(eµ )b = δ b c (eσ )a (eρ )a = δ ρ σ (2.6.4) et (eµ,σ )a + (ωσ )a c(eµ )c − W ρ σµ (eρ )a = 0 (2.6.5) Ici, ωσ est le quadri-vecteur de spin dans la TNG et W λ µν sont les composantes de la connexion généralisée dans la TNG W λ µν = W λ (µν) + W λ [µν] (2.6.6) où W λ [µν ] = ω L λ [µν ] avec L λ [µν ] un tenseur antisymétrique réel. En résolvant pour W, on obtient W σ λρ = gδρW δ σλ − ηab[Dσ(eλ)a ]( ρ)b (2.6.7) où Dσ(eµ)a = (eµ,σ)a + (ωσ) a c(eµ)c (2.6.8) En différentiant gµν = (eµ )a ( ν)b ηab (voir ci-dessus), on obtient gµν,σ − gρνW ρ µσ − gµρ ρ νσ = 0 (2.6.9) où on a utilisé (ωσ )ca = −( σ )ac (2.6.10) Alors, la connexion de spin (ωσ)ab est (hyperbolique complexe) antihermitique en a et b. On suppose que λ µν = W λ νµ , c’est-à-dire que W λ µν est hermitique symétrique. Alors, on obtient la condition de compatibilité généralisée des composantes de la métrique non symétrique gµν,σ − gρν W ρ µσ − gµρ W ρ σν = 0 (2.6.11) Un groupe d’isoméries est définit par ( σ)a = (eσ)b (U )a b (2.6.12) où U est un élément du groupe unitaire U(3,1,ΩΩΩΩ). Il peut être prouvé que U(3,1,ΩΩΩΩ) ∼ GL(4,R).3 Alors, le groupe (hyperbolique) complexe unitaire U(3,1,ΩΩΩΩ) est isomorphe à GL(4,R), et GL(4) laisse les composantes de la métrique gµν = (eµ )a ( ν)b ηab invariables. On peut définir g(µν) = (Eµ)a (Eν)b ηab (2.6.13) où (Eµ )a est un vierbein réel. Alors, g(µν ) est invariant sous la transformation suivante (ʵ)a = (Eµ)b (UL)a b (2.6.14) ou, selon la notation matricielle UL T ηUL = η (2.6.15) Ici, UL est un élément du groupe homogène de Lorentz SO(3,1) qui laisse les composantes symétriques de la métrique g(µν) invariables. On voit que le groupe GL(4) contient SO(3,1) comme sous-groupe. Les composantes ωσ reste invariables sous les transformations de GL(4) pourvu que2 (ωσ)a b → [UωσU −1 − (∂σU)U −1 ]a b (2.6.16) Un tenseur de courbure peut être définit par ([Dµ ,Dν])a b = (Rµν)a b (2.6.17) où (Rµν)a b = (ων)a b,µ − (ωµ)a b,ν + ([ωµ ,ων])a b (2.6.18) On a (U −1 )a b = ηdb( )d eη ea (2.6.19) e~ e~ W ~ ω~ W ~ e~ e~ U ~
  • 81. 60 2 Concepts Mathématiques de Base et (Rµν)a b → U a c (Rµν)c d (U −1 )d b (2.6.20) Le tenseur de courbure en coordonnées holonomorphes est donné par R λ σµν = (Rµν )a b (e λ )a (eσ )b (2.6.21 ) et le scalaire de courbure en coordonnées holonomorphes est R = (eµ )a ( ν )b (Rµν )ab (2.6.22) Dans la TNG, la dérivée covariante qui opère sur un spineur Ψ est définit par3 DµΨ (x) = {∂µ + [ωµ (x)]ab Σ ab }Ψ (x) (2.6.23) Ψ se transforme sous le groupe de transformations de GL(4) comme un spineur de composantes infinies. Il n’y a pas de représentations de spineur à composantes finies dans GL(4). Les représentations GL(4) dont les réductions G(4) donnent des représentations à valeurs multiples, deviennent à valeur unique pour les groupes GL(4,R) et O(4). Les doubles groupes GL(4,R), pris comme groupes matriciels, existent seulement pour des matrices infinies. On a [ωσ (x)]ab = [ωσ (x)](ab) + [ωσ (x)][ab] (2.6.24 ) et Σ ab = Σ (ab) + Σ [ab] (2.6.25 ) où les Σ ab dénotent les seize générateurs du groupe GL(4). L’opérateur scalaire de Dirac généralisé est2,3 D(x)Ψ (x) = Y σ Dσ (x)Ψ (x) = gσν (eν)a (Y )a Dσ(x)Ψ (x) (2.6.26 ) Les Y σ sont des opérateurs algébriques et sont déterminés pour une représentation infinie et irréductible de l’algèbre GL(4). Comme dans la théorie des cordes, les spineurs forment des tours infinies d’états de spin. Les générateurs Σ ab du groupe non compacte GL(4) peuvent être séparés en un groupe de dilations consistant d’un paramètre unique et le groupe de transformations SL(4,R), qui préserve le volume. On identifie Σ [ab] = M [ab] comme étant les six générateurs de SO(3,1), formés des opérateurs du moment angulaire Ji (i = 1, 2, 3) et les opérateurs de propulsion (“boost”) Ki. Les neuf générateurs restant du groupe SL(4,R) correspondant au tenseur de contrainte (“shear tensor”) S (ab) avec Tr(S (ab)) = 0. Le générateur de dilations S et les neuf générateurs S (ab) ensemble déterminent Σ (ab). Les générateurs de l’algèbre GL(4) sont Σ a b = (M a b + S a b + δ a b S ) (2.6.27 ) et [Σ ab,Σ cd] = iηbc Σ ad − iηad Σ cd (2.6.28 ) Dans la TNG, l’algèbre de Poincaré PPPP est remplacée par l’algèbre AAAA = T4 ⊗ GL(4,R), où T4 sont les transformations dans l’espace-temps. L’algèbre AAAA ne peut être jaugée directement par la structure du paquet fibré dans la TNG. C’est une situation analogue à la TGE, en laquelle PPPP ne peut être obtenue directement comme structure locale de jauge. 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps L’idée de base derrière l’Extension Algébrique (EA) est que les champs sur une variété de l’espace-temps, prise comme réelle et n-dimensionnelle, prennent leurs valeurs dans une quelconque algèbre AAAA, à l’opposé des nombres réels R. Les théories étendues algébriquement devront satisfaire aux trois conditions suivantes1,2 : A) Les théories étendues algébriquement doivent se réduire à la TGE dans la spécialisation AAAA = R ; B) La structure algébrique induite par l’algèbre AAAA doit être compatible avec la géométrie de l’espace-temps ; e~ 2 1 2 1
  • 82. 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps 61 C) Les quantités physiques (comme la charge et l’intervalle de longueur) doivent avoir des grandeurs réelles. Les contraintes physiques raisonnables qui pourraient être utilisées pour relier la métrique et la connexion dépendra, bien sûr, du point de vue théorique de chacun. On peut utiliser les critères suivants au lieu de ceux décrit précédemment (A-C)3 : A′) Les produits scalaires des vecteurs sont invariants sous le transport parallèle, c’est-a-dire la métrique et la connexion (généralisée) sont compatibles ; B′) La TNG prime dans le cas où la structure étendue algébriquement disparaît ; C′) La limite de l’espace-temps plat d’une théorie donnée possède une énergie positive, c’est-à-dire le spectre des particules est libre de toute présence de particules fantômes et de tachyons. La méthode d’extension algébrique nous procure un moyen de générer des théories géométriques non riemannienne de la gravitation. L’espace tangentielle possède une variété de l’espace-temps, réelle, et élargit par l’addition de copies d’elle- même et ce, à chaque point. Une structure algébrique est imposée sur ce paquet fibré élargit, et les composantes des tenseurs et tout autre objet géométrique, comme la métrique et la connexion affine, prennent forme dans cette algèbre.3 Cette exigence donne la TGE (basée sur l’algèbre réelle R), en plus de quatre autres classes de théories (basées sur l’algèbre complexe, C, hyperbolique complexe, E, quaternionne, Q, et hyperquaternionne, H.) La formulation des théories EA est comme suit : La compatibilité entre les structures algébriques mentionnées ci-dessus et la métrique EA généralisée (ou tenseur fondamental non symétrique) µν, implique que µν = g(µν) + ai g i [µν] (2.7.1) où {1, ai} (i = 1, 2, 3, ..., m) forme une base de n’importe laquelle des cinq algèbres à (m+1)-dimensions que l’espace tangentielle étendue se voit ainsi empreint. En général ai aj = C 0 ij + C k ij ak (i, j = 1, 2, 3, ..., m) (2.7.2) En écrivant cette dernière, avec a0 = 1 ai aj = C 0 ij a0 + C k ij ak (2.7.3) devient aI aJ = C K IJ aK (2.7.4) et, en général ≡ X + ai Xi (2.7.5) où X, Xi sont des valeurs réelles. Alors, pour imprégner la structure d’une algèbre AAAA sur une variété, un ensemble d’opérateurs JI sont introduits qui représentent AAAA. Les constantes de structure C K IJ de l’algèbre arbitraire AAAA doivent représenter l’algèbre AAAA. La structure algébrique doit être accommodée en élargissant l’espace tangentielle Tx à T ′x où T ′x = Tx ⊗Tx ⊗ ... ⊗Tx (m + 1) copies) (2.7.6) Une base pour T ′x peut être trouvée de sorte que {e ′A} = { e ′ } = { e ′ , e ′ } (2.7.7) où e ′ = (JI e ′)α (2.7.8) avec (voir Table 2.7.1).4,5 (JI) = C K IJ ⊗ δ β α (2.7.9) La structure AAAA est rigide : aucune des structures dynamiques n’a été introduite jusqu’à maintenant. La connexion ∇∇∇∇ et la métrique g ′ de T ′ sont introduits et l’exigence (B) implique ∇∇∇∇Ji = 0 (2.7.10) gˆ gˆ o Xˆ Iα α iα Iα Kβ Jα
  • 83. 62 2 Concepts Mathématiques de Base ∇∇∇∇Ji = 0 ∇∇∇∇(g ′) = 0 (2.7.11) (2.7.12) Table 2.7.1 : Les constantes de structure C K IJ de l’algèbre AAAA correspondante. [Voir les Éqs. (2.7.3) et (2.7.4)]. Algèbre m Générateurs C 0 ij C k ij C K IJ R 0 1 +1 0 ... C 1 1, i −1 0 i 2 = −1 E 1 1, e +1 0 e2 = +1 Q 3 1, a1 , a2 , a3 −δij ε ijk aI aJ = −δij + ε ijk ak H 3 1, a1 , a2 , a3 −ηij ηkl ε ijl a1 2 = a2 2 = 1, a1 a2 = −a3 Les objets g(µν ) et g i [µν ] de l’Éq. (2.7.1) sont des tenseurs de valeur réels, symétriques et antisymétriques, respecti- vement. Sous l’opération de conjugaison “*”, {1*, ai*} = {1, −ai}, et alors la métrique obéit ( µν)* = νµ (2.7.13) En général, deux objets de valeur algébrique, et , obéissent ( )* = * *. L’inverse de la métrique, µν , est définit par µρ νρ = δ µ ν = ρν ρµ (2.7.14) L’ordre des indices et des facteurs est d’une importance cruciale. En particulier, l’inverse de la partie antisymétrique de la métrique n’est pas égale à la partie antisymétrique de la métrique inverse sµν ≠ (µν) sµρ (νρ) = δ µ ν (2.7.15) La compatibilité entre la structure algébrique et la connexion λ µν implique que : λ µν = Γ λ µν + ai ( λ µν) (2.7.16) où, encore, Γ λ µν et λ µν sont des quantités à valeur réelle. Les composantes du tenseur de courbure dans de telles théories, comme l’EA, sont données par λ γµν = λ γν,µ − λ µν,γ + σ ρν ρ µσ − σ µρ ρ γσ (2.7.17) Ces composantes du tenseur de courbure ont la propriété symétrique suivante λ µνρ = λ µρν (2.7.18) en l’absence de la condition (B) ci-dessus. On considère maintenant utiliser la condition (B) : Compatibilité entre les composantes de la métrique et celles de la connexion. Cette condition est µν,σ − ρ µσ ρν − µρ ( ρ νσ)* (2.7.19) dans laquelle cas on peut montrer que λ µνρ λσ = − µν ( λ σρν )* (2.7.20) Les conditions (2.7.18) et (2.7.20) impliquent que l’action linéaire la plus généralisée dans les deux contractions possibles des composantes du tenseur de courbure µν = λ µνλ (2.7.21) et µν = λ λµν (2.7.22) est donnée par S = LLLL d n x (2.7.23) où2 o o gˆ gˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ gˆ gˆ gˆ gˆ gˆ gˆ gˆ Γˆ Γˆ 1 Γ 1 Γ Rˆ Γˆ Γˆ Γˆ Γˆ Γˆ Γˆ Rˆ Rˆ gˆ Γˆ gˆ gˆ Γˆ Rˆ gˆ gˆ Rˆ Rˆ Rˆ Pˆ Rˆ ∫Gπ8 1
  • 84. 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps 63 LLLL = µν [A1 µν + A2(m − 3) µν] (2.7.24) où A1 et A2 sont des constantes réelles, et XXXX = X. (Voir Table 2.7.2.) Table 2.7.2 : Densités lagrangiennes de l’algèbre AAAA correspondante. Algèbre LLLL( λ νλµ , λ νµλ) LLLL( µν , µν) R (µν) λ νλµ (µν) µν C µν [A1 λ νλµ + A2(m − 3) λ νµλ] (µν) µν E µν [A1 λ νλµ + A2(m − 3) λ νµλ] µν [A1 µν + A2(m − 3) Q µν λ νλµ µν µν H µν λ νλµ µν µν L’interprétation de la théorie C a été explorée par Einstein et bon nombre d’autres6,7 et fait encore l’objet d’étude aujourd’hui.8 Dans ce cas, l’idée est en quelque sorte de relier la partie antisymétrique de la métrique aux composantes du tenseur électromagnétique de Maxwell, g[µν] ∝ Fµν . Une telle interprétation fait face à deux sérieux problèmes : 1. Il est très difficile de reproduire le terme de la force de Lorentz dans les équations du mouvement d’une particule d’essai. Les équations du mouvement qui suivent du lagrangien donné par l’Éq. (2.7.24) ne peuvent en faire ainsi. Cependant, si un terme ad hoc, proportionnel au carré de la partie antisymétrique de la métrique (le terme de Bonnor), est ajouté au lagrangien, ce problème peut être réglé.9 2. Le lagrangien donné par l’Éq. (2.7.24) possède seulement des modes spin-1 et spin-0 dans son spectre de particules, et conséquemment, la présence du photon dans l’interprétation unifiée est quelque peu malicieuse. Si on ajoute le terme de Bonnor, le spectre de particules contient maintenant un état sans masse de spin-2 et un tachyons sans masse de spin-1.10 L’interprétation (2) a été interprétée comme une théorie étendue de la gravitation, la Théorie Non Symétrique de la Gravitation.11 Dans la TNG, l’ensemble de la métrique se couple avec la matière. Alors, le tenseur d’énergie-impulsion associé est, en général, lui aussi non symétrique, respectant les mêmes symétries que les composantes de la métrique, données par l’Éq. (2.7.13). Un courant conservé U(1) est aussi introduit qui se couple avec la métrique mais en violant, cependant, le principe d’équivalence. Par example, notons les expériences reliées au phénomène de la polarisation de la lumière près d’un corps célestre comme le Soleil. Donc, les résultats sont résumés dans la Table 2.7.3.12 Seulement la théorie E est sans particules fantômes ; son spectre de particules contient le graviton familier de spin-2+ et une nouvelle particule de spin-0+ que l’on appellera skewon4 (de l’anglais pour “anti”). Les deux particules sont couplées non linéairement à eux-mêmes, entre eux et avec toutes les autres particules. Puisque LLLL = LLLL*, seulement les puissances paires des champs de skewons entre dans le lagrangien. Conséquemment, les prédictions physiques qui émanent de la théorie E, qui diffèrent de la TGE, sont proportionnelles à ( [µν ])2 . Table 2.7.3 : Cinq théories de la gravitation. Algèbre Théorie Hélicité Remarques R TGE (2) Semble être valide que pour des champs faibles. (Voir Section 10.6). C TCU (2,0) Théorie du Champ Unifiée d’Einstein. La force de Lorentz n’est pas obtenue suite à une limite de champ nul. E TNG (2, 0*) Il semble y avoir des problèmes dans la réduction de cette algèbre à celle de R. (Section 3.10). Q ... (2, 0*, 0*, 0*) ... H ... (2, 0, 0, 0*) ... gˆ− gˆ Rˆ Pˆ gˆ− Rˆ Rˆ Rˆ Pˆ gˆ− gˆ Rˆ gˆ− gˆ Rˆ gˆ− gˆ Rˆ Rˆ gˆ− gˆ Rˆ gˆ− gˆ Rˆ Rˆ gˆ− gˆ Rˆ gˆ Rˆ gˆ Rˆ gˆ Rˆ gˆ Rˆ 1 g
  • 85. 64 2 Concepts Mathématiques de Base a OnmasquelesaccentscirconflexessurgetR. H Q E C R Algèbre Table2.7.4:Lescinqthéoriesdelagravitation.a 3 3 1 1 0 m GL(2n,R)⊗GL(2n,R)Oui GL(n,Q) GL(n,R)⊗GL(n,R) GL(n,C) GL(n,R) Groupefibré Sp(2n−2,2) U(n−1,1,Q)⊕USp(2n−2,2 ) GL(n,R) U(n−1,1) SO(n−1,1) Grouperéduit A1ggggµν Rλ νλµ A1ggggµν Rλ νλµ A1ggggµν Rλ νλµ+A2ggggµν Rλ νµλ A1ggggµν Rλ νλµ+A2ggggµν Rλ νµλ A1ggggµν Rλ νλµ LLLL Oui Non Oui Non Fantômes ? ? Non Non Non Radiation dipolaire ... ... TNG TCU TGE Théorie
  • 86. 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps 65 En résumé, la méthode d’extension algébrique mène à cinq théories de la gravitation basées sur des algèbres réelle (R), complexe (C), hypercomplexe (E), quaternionne (Q), et hyperquaternionne (H). Toutes ces algèbres se réduisent à la TGE (la théorie de l’algèbre AAAA réelle y étant équivalente) et la valeur réelle de la dimension de la variété de l’espace-temps n’est pas influencée de quelque façon que ce soit par cette procédure d’extension algébrique. Les lagrangiens pour de telles théories ont une valeur réelle même si les tenseurs, desquels ils sont construit, ne le sont pas. De plus, les théories EA peuvent être imaginées comme étant des théories dimensionnellement réduites d’un espace riemannien à (m+1)n- dimensions. Les résultats sont présentés dans la Table 2.7.4. 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures On developpe l’idée que la symétrie de jauge fondamentale de la nature est basée sur les transformations générales des coordonnées dans un espace (D = 4 + 4N)-dimensionnel. Dans le cas N = 0 (ou D = 4) on obtient la TGE. Considérons maintenant un espace à huit dimensions (D = 8) avec une métrique riemannienne que l’on exprime en fonction de vierbiens (eΣ)Α dans V8 2,1,2 gΣΛ = (eΣ)Α (eΛ)Β ηΑΒ (2.8.1) où Σ, Λ = 1, 2, 3, ..., 8 (Α, Β = 1, 2, 3, ..., 8) ηΑΒ = Diag (−1, −1, −1, +1; +1, +1, +1, −1) (2.8.2) (2.8.3) et (eΣ)Α = (2.8.4) Ici, X Α dénote un repère localement inertiel à chaque point x = x′ dans notre espace D = 8. Il existe un opérateur dérivé covariante DΑ = (eΣ )Α(∂Σ + Ω Σ) (2.8.5) où ∂Σ = ∂/∂xΣ Ω Σ = σ[Α Β] (eΛ )Α(∂Σ eΒΑ − eΒ∆Γ ∆ ΛΣ) (2.8.6) et les σ[ΑΒ] satisfont [σΑΒ , σΧ∆] = hΧΒ σ Α∆ − hΧΑσ Α∆ − h∆Β σΧΑ − h∆Ασ ΧΒ (2.8.7) De plus, les vierbiens satisfont ∂Σ(eΛ) Α + (Ω Σ)Α Β(eΛ)Β − Γ Ω ΣΛ(eΩ)Α = 0 (2.8.8) où Γ Ω ΣΛ sont les composantes de la connexion du paquet fibré principal de co-repaires linéaires dans l’espace D. Un scalaire de courbure en D = 8 peut être dérivé R = η ΑΧ (eΣ )Α (eΛ )Β(RΣΛ)Β Χ (2.8.9) On peut effectuer une réduction de notre espace à D = 8 à un espace à D = 4 en imposant une structure hyperbolique complexe sur l’espace.1 Choisissons une hypersurface constante V4 dans V8. L’espace tangentiel T ′U est définit par2 T ′U = TU ⊗ TU (2.8.10) où TU est un espace tangentiel de V4. La structure algébrique imposée sur TU est donc fixée, puisque V4 est une hypersurface constante dans V8, et les champs dépendent seulement sur les coordonnées x µ ( µ = 0, 1, 2, 3). La connexion Ω Α ΛΒ → Ω Α λ Β et donc Γ Α ΛΒ → Γ Α λ Β. La courbure se réduit à R Α ΣΛΒ → R Α σλ Β (2.8.11) xx A x xX ′= Σ         ∂ ∂ )( 1 2
  • 87. 66 2 Concepts Mathématiques de Base et la densité lagrangienne devient2 LLLL = (a g µν R λ µνλ + b g µν R λ λµν) (2.8.12) où a et b sont des constantes réelles et XXXX = X . Pour toutes les algèbres possibles, LLLL est réelle même si , g µν et R σ µντ ne le sont pas. L’espace tangentiel T ′U dans notre espace à D = 8 a des éléments qui sont des paires ordonnées de vecteurs (U , V ) de sorte que U , V ∈ TU avec la loi multiplicative λ(U , V ) = (λ U , λ V ) (2.8.13) et la loi d’addition (U , V ) + (U ′ , V ′ ) = (U + U ′ , V + V ′ ) (2.8.14) On considère des fonctions à valeurs complexes pour le cas hyperbolique complexe (ε 2 = +1)1 f E (x) = f R (x) + ε f I (x) (2.8.15) Le groupe GL(8,R) dans son tout peut agir sur T ′U , de sorte qu’on puisse construire un paquet associé GL(8,R) T′ (V8) sur V8 avec la fibre typique T′U ∼ R8 en réunissant ensemble des produits directs de la forme T′U ⊗ UU , où UU est un voisinage de V8. On est à construire le paquet fibré L′ (V8) associé au repère du paquet fibré L(V8) avec la fibre GL(8,R) L′ (V8) = L(V8) ⊗GL(4,R) GL(8,R) (2.8.16) Imaginons maintenant une structure hyperbolique complexe E avec un groupe de transformations qui préserve E avec E 2 = +1. On choisit (2.8.17) où I est une matrice unité dans D = 4. Ensuite, la variété la plus générale V8 ∈ GL(8,R) est V8E = EV8 (2.8.18) où (2.8.19) et A et B sont des matrices réelles 4 × 4 arbitraires. Le sous-groupe de GL(8,R) qui préserve E est isomorphe à GL(4,R) ⊗ GL(4,R). La base de T′U dans laquelle E prend la forme donnée par l’Éq. (2.7.17) est {e ′Α} = {e ′α, e ′a′ } (Α = 1, 2, 3, ..., 8) (α = 0, 1, 2, 3) (α′ = α + 4 = 5, 6, 7, 8) (2.8.20) Alors Ee ′α = e ′α′ Ee ′α′ = e ′α (2.8.21) Il existe un choix pour un sous-espace D = 4 réel qui est représenté par e ′α . Les vecteurs qui sont situés dans le sous-espace orthogonal e ′α′ (α′ = 5, 6, 7, 8) sont alors des vecteurs purement imaginaires. Maintenant, A ′ ∈ T ′U satisfait A ′ = AΑ e ′Α = Aα e ′α + Aα′ e ′α′ (2.8.22) et A = (A′α + ε A′ α )e α (2.8.23) La conjugaison peut être définit en fonction de l’opérateur (2.8.24) g− g− g−       = 0 0 I I E       = AB BA V8       − = I I C 0 0
  • 88. 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures 67 de sorte que A ′ * = C A ′ = Aα e α − Aα′ e α′ (2.8.25) ou bien A ′ * = (Aα − ε Aα′ )e α (2.8.26) Le produit scalaire (interne) dans l’espace D = 8 est symétrique g ′ (A ′ , B ′ ) = g ′ (B ′ , A ′ ) (∀ A ′, B ′ ∈ T ′U ) (2.8.27) ou g′ΑΒ = g′ΒΑ (Α, Β = 1, 2, 3, ..., 8) (2.8.28) Jusqu’à maintenant, g ′ est indépendant de la structure hyperbolique complexe E. On impose maintenant la condition de compatibilité g ′ (E A ′ , E B ′ ) = −g ′ (B ′ , A ′ ) (2.8.29) Pour une structure complexe ordinaire, J 2 = −1, un signe positif se retrouverait du côté droit. On obtient alors g′αβ = −g′α′β ′ (2.8.30) et g′αβ ′ = −g′α′β (2.8.31) Il est aussi possible de définir la métrique symplectique sur T ′U g ′ (E A ′ , B ′ ) = −g ′ (E B ′ , A ′ ) (2.8.32) On forme maintenant la métrique à valeur hyperbolique complexe g (A , B ) = g ′ (A ′ , B ′ ) + ε g ′ (E A ′ , B ′ ) = gµν A µ ν (2.8.33) où A µ = A′ µ + ε A′ µ′ (2.8.34) et µ = B′ µ − ε B′ µ′ (2.8.35) de même que gµν = g′µν + ε g′µ′ν (2.8.36) Ici g(µν ) = g′µν = (gµν + gνµ ) g[µν ] = g′µ′ ν = ( gµν − gνµ ) (2.8.37) (2.8.38) La métrique gΣΛ dans D = 8 a la signature (− − − +, + + + −) et elle est invariante sous le groupe de transformations de SO(4,4). L’intersection de SO(4,4) et le groupe de symétries Sp(8,R) est le groupe conforme SO(3,2). Dans la TGE, l’introduction de la métrique nous amène à la réduction GL(4,R) → SO(3,1) avec un groupe (de spin) doublement couvert SL(2,C). Dans le cas de l’algèbre AAAA = C, le groupe qui préserve la métrique est SU(3,1) pour une métrique hermitique gµν = (gνµ )*. Dans le cas d’une algèbre hyperbolique complexe AAAA = E, le groupe qui préserve la métrique est GL(4,R) ⊃ SO(3,1) et nous avons la réduction GL(8,R) → GL(4,R) ⊗ GL(4,R) → GL(4,R) (2.8.39) et gµν = νµ est une section efficace du paquet fibré E [V8, GL(4,R)⊗GL(4,R)/GL(4,R), GL(4,R)⊗GL(4,R), L ′ (V8)] associé à L′ (V8). B ~ B ~ 1 2 1 2 g~
  • 89. 68 2 Concepts Mathématiques de Base De sorte à rendre la structure géométrique en une entité dynamique, il est nécessaire de définir la différentiation covariante des vecteurs à valeurs hyperboliques complexes. Alors, on a besoin de définir une connexion qui nous dit comment effectuer le transport parallèle d’un vecteur de la fibre T′U sur U ∈ V8 à la fibre T ′U ' sur U ∈ V8. On définit l’opérateur dérivée covariante ∇∇∇∇ qui cartographie TU ⊗ T′U dans T′U ∇∇∇∇ : (U , A ′ ) → ∇∇∇∇U A = A′ Α (U ) ∇∇∇∇U e ′ Α + (U A′ Α (U )) e ′ Α (2.8.40) où U A Α = U µ ∂µ A Α (U ) (2.8.41) dans la base des coordonnées de TU . On définit ∇∇∇∇U e ′ Α = U µ Γ Β µ Α e ′ Β (2.8.42) où Γ Β µ Α est la connexion que l’on cherche. Maintenant, on demande que la connexion soit compatible avec la structure hyperbolique complexe E ∇∇∇∇E = 0 (2.8.43) Alors ∇∇∇∇U (E A′ ) = E(∇∇∇∇U A ′ ) (2.8.44) ce qui nous amène aux résultats Γ α µ ν = Γ α′ µ ν Γ α µ ν′ = Γ α′ µ ν (2.8.45) (2.8.46) Ces restrictions signifient que l’opérateur E est préservé sous le transport parallèle. Maintenant Γ α µν = Γ′ α µν + ε Γ′ α′ µν (2.8.47) On requiert donc que (∇∇∇∇g ′ ) = 0 (2.8.48) ou bien ∇∇∇∇U [g ′ (A ′ , B ′ )] = g ′ (∇∇∇∇U A′ , B ′ ) + g ′ (A ′ , ∇∇∇∇U B ′ ) (2.8.49) Dans le langage des composantes ∂ µ g′ ΑΒ − g′ ΧΒ Γ′ Χ µ Α − g′ ΑΧ Γ′ Χ µ Β = 0 (2.8.50) Alors, en fonction de représentations à valeurs complexes gµν et Γ α µν , on a gµν,σ − gαν Γ α µ σ − gµα α νσ = 0 (2.8.51) ou, en supposant une connexion hermitique Γ α µ ν = α νµ gµν,σ − gαν Γ α µ σ − gµα Γ α σν = 0 (2.8.52) C’est la condition de compatibilité correcte entre les composantes gµν et Γ α µν dans la TNG. 2.9 L’Action dans le Langage des Vierbeins Dans le langage des vierbeins, le scalaire de courbure est donné par [Éq. (2.6.22)] R = ( µ )b (eν )a (Rµν )ab (2.9.1) L’action pour les équations du champ dans le vide prend la forme3 S = |e|R(x)d 4 x (2.9.2) Γ ~ Γ ~ e~ ∫− Gπ16 1
  • 90. 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes 69 où |e| = det[(e µ )a ( ν )a]1/2 . La variation de l’action donne les équations du champ {|e|[(e µ )a ( ν )b − (e ν )a ( µ )b ]},ν + |e|{(ωµ )b c[(e µ )a ( ν )c − (e ν )a ( µ )c ] + + (ωµ )a c[(e ν )c ( µ )b − (e µ )c ( ν )b ]} = 0 (2.9.3) et (Rµ )a = 0 (2.9.4) où (Rµ )a = ( ν )b (Rµν )ab (2.9.5) En faisant la contraction de l’Éq. (2.9.3) sur a et b, on obtient : {|e|[(e µ )a ( ν )a − (e ν )a ( µ )a]},ν = 0 (2.9.6) ou bien [ g[µν ] ],ν = 0 (2.9.7) ou bien, finalement gggg[µν ] ,ν = 0 (2.9.8) 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes Les théories générées par la méthode d’Extension Algébrique (EA) de la Section 2.7 sont basées sur une densité lagrangienne et la géométrie non riemannienne. Une caractéristique surprenante de ces théories non riemanniennes est l’inéquivalence des formalismes variationnels du premier et du second ordre lorsqu’ils sont appliqués directement à la même densité lagrangienne. Dans la TNG (en autant que les dimensions de l’espace-temps soit plus grandes que 2) les deux formalismes variationnels donnent des résultats identiques en vertu des symétries inhérentes dans la géométrie riemannienne. Ceci n’est pas le cas dans les théories non riemanniennes. L’application du Formalisme au Premier Ordre (FPO) à la théorie EA hyperbolique complexe résulte en un modèle générique de Palatini comme cas spécial. Ce modèle générique est la TNG (la TNG sera étudiée dans la Partie II de ce présent ouvrage.) Un modèle se présente comme cas spécial du FPO et est nommé Gravitation Projective (GP). La GP possède des pôles fantômes dans son spectre de particules lorsqu’on le linéarise autour de l’espace-temps de Minkowski et donc, est non physique.3 Le Formalisme au Second Ordre (FSO) génère un modèle (minkowskien) libre de fantômes qui se nomme Gravitation de Hilbert Étendue (algébriquement) (GHE). La TNG et la GHE sont très distantes l’une de l’autre malgré leur héritage commun comme théories EA hyperboliques complexes. La GHE contient des pathologies que la TNG évite. Spécifiquement, ces deux modèles ont chacun d’eux exhibés un spectre parfaitement régulier d’excitations autour d’un espace minkowskien : les hélicités sans masses ±2 (gravitons) et un état de spin-0 sans masse (skewon).1,2* Le secteur antisymétrique (“skew sector” en anglais d’où skewon) contribue une particule scalaire de façon très différente dans les deux théories.4,5,3 Les solutions Statiques à Symétrie Sphérique (SSS) dans la TNG et la GHE sont très différentes. En fait, les solutions SSS de la TNG ont une limite continue à la solution de Schwarzschild de la TGE, comme la constante d’intégration, soit la source de l’antisymétricité, est prise nulle. Dans la GHE, les solutions SSS peuvent accommoder l’asymptoticité minkowskienne mais sont incapables de reproduire un comportement schwarzschildien.5 Un heureux accident a fait que la TNG et la GHE ont été formulées selon des conventions différentes. * Des résultats contradictoires se présentent dans l’ensemble de la littérature concernant le contenu en particules de la TNG où certains auteurs ont déterminé que la TNG possède des modes fantômes de spin-1 qui peuvent être retirés en imposant des conditions additionnelles. Ces résultats ont été obtenus en appliquant les techniques variationnelles du second ordre à la TNG avant qu’on réalise que ces programmes variationnels ne sont pas équivalents pour des théories non riemanniennes. Dans l’approche du premier ordre, ces techniques se résument à une substitution partielle des équations du mouvement à nouveau dans le lagrangien et ceci cause l’apparence des modes suspects. e~ e~ e~ e~ e~ e~ e~ e~ e~ e~ g−
  • 91. 70 2 Concepts Mathématiques de Base La différence entre le FPO et la FSO est indiqué (mathématiquement) à l’Appendice, où, dans le FPO, les variables fondamentales sont un champ non symétrique gµν , et une connexion non symétrique W λ µν . Dans le FSO, la métrique est prise comme étant compatible avec la connexion. Explorant ceci un peu, on rappelle l’Éq. (2.7.24) mais sous la forme d’une action S = (2.10.1) Une variation de cette action par rapport à la métrique et la connexion qui agissent comme variables, donne le système (2.10.2) et ( µν ),σ + ν σρ µρ + ρν µ ρσ − ρ σρ µν − −δ ν σ[( µρ ),ρ + τρ ν τρ + 2A( [µρ] ),ρ ] = 0 (2.10.3) L’Éq. (2.10.3) donne un système d’équations qui déterminent quelques unes des composantes de λ µν en fonction de la métrique. De l’Éq. (2.10.3) on identifie deux types de théories différentes et qui dépendent du choix du coefficient A dans le lagrangien associé. Une de ces théorie correspond à la TNG. Elle satisfait la condition (C) de la Section 2.7 soit qu’une théorie physique ne doit contenir aucun mode fantôme et qui peut aussi être exprimée par la condition (C′) de la Section 2.7. L’autre théorie, la GP, contient des modes fantômes. Appendice Formes au Premier et Second Ordre Certains auteurs ont affirmés que la TNG contenait des modes fantômes de spin-1 qui peuvent être effacés en imposant des contraintes additionnelles.1,2 Ces résultats furent obtenus en appliquant le formalisme au second ordre pour la TNG avant qu’il fut réalisé que les formalismes au premier ordre et au second ordre ne sont pas toujours équivalents pour les théories non riemanniennes. Dans le formalisme au premier ordre, ces techniques se résument en une substitution partielle des équations du déplacement à nouveau dans le lagrangien et ceci cause l’apparition de faux modes. Un traitement exacte du formalisme de contrainte du lagrangien ne nous mènerait pas à l’apparition de ces modes fantômes non physiques dans la TNG. Une analyse plus complète de ce problème reste encore à être faite. La densité lagrangienne au premier ordre dans la TNG peut être prise comme étant = gµν Rµν (Γ) (2.A.1) Il peut être prouvé que les équations du mouvement provenant de ce lagrangien sont équivalents à ceux de la densité lagrangienne au deuxième ordre = gµν Rµν (gµν) − ( g[µν ] ),µ Wν (2.A.2) Notre but est de démontrer l’équivalence des deux formulations données par les Éqs. (2.A.1) et (2.A.2). On débute en considérant l’Éq. (2.A.2), que l’on développe en puissances de gµν = ηµν + µν = ηµν + ( (µν) + [µν]). On trouve donc LLLL = E( (µν)) + A( [µν]) + O[( (µν), [µν])3 ] (2.A.3) où LLLLE est la densité lagrangienne linéarisée d’Einstein, et A = − F µνρ Fµνρ − 2 [µν] ,µ Wν (2.A.4) est la densité lagrangienne linéarisée antisymétrique. xdPmARAg G n ]ˆ)3(ˆ[ 8 1 21 µνµν π −+−∫ 0)]ˆ(ˆ)ˆ(ˆ[ 2 1 )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ =+−+ WPAWRgWPWR µνµνµν gg ˆˆ− gˆ− Wˆ gˆ gg ˆˆ− Wˆ gˆ− Wˆ gˆ gg ˆˆ− gg ˆˆ− Wˆ gg ˆˆ− Wˆ 1 LLLL g− 2 LLLL g− g− 1 g 1 g 1 g 2 LLLL 1 g 2 LLLL 1 g 1 g 1 g 2 LLLL 12 1 1 g
  • 92. Appendice Formes au Premier et Second Ordre 71 Les équations du mouvement de la partie antisymétrique qui découlent de l’Éq. (2.A.4) sont équivalentes aux suivantes [µν ] + 2W[ν,µ ] = 0 (2.A.5) [µν],ν = 0 (2.A.6) La divergence de l’Éq. (2.A.5) dit que les composantes Wµ obéit les équations de Maxwell W[ν,µ ] ,µ = 0 (2.A.7) Supposons maintenant que l’on nous donne (en quatre dimensions) 2 × (4 − 2) = 4 données de Cauchy (correspondant à 2 degrés de liberté dynamiques) requises pour spécifier Wµ de l’Éq. (2.A.7), alors l’Éq. (2.A.5) implique [µν] ,µ = 0 (2.A.8) et donc, les contraintes données par l’Équation (2.A.6) peuvent être incorporées comme un ensemble de relations parmi les données de Cauchy données par l’équation (2.A.5), c’est-à-dire, on requiert que [µν] ,ρ et ses premières dérivées temporelles disparaissent à t = 0 ce qui nous assure que l’équation (2.A.8) obéit bien à l’équation (2.A.6) en tout temps. En retour, ces relations déterminent les données de Cauchy pour les composantes [ti] selon ( [ti],t = [ji] ,j )|t = 0 (2.A.9) ( 2 [it] = [ij],t ,j − 2Wt,i + 2Wi,t )|t = 0 (2.A.10) desquelles [ti] ,i = 0 suit. Alors, les données indépendantes de Cauchy sont les 2 × (4 − 2) = 4 données pour Wµ en plus des (4 − 1) × (4 − 2) = 6 données de l’ensemble { [ij], [ij],t}. Alors, le nombre total de degrés de liberté est (4 + 1)(4 − 2) = 5 (dans quatre dimensions). Ceci est en parfait accord avec les estimés précédents.1,2 Cependant, l’analyse faites auparavant2 a été critiquée parce qu’elle déviait de la TNG par son utilisation d’une forme au second ordre. Considérons explicitement la formulation canonique2 directement de la forme au premier ordre, de sorte qu’on puisse compter les degrés de liberté directement. En développant l’Éq. (2.A.1) en termes quadratiques des champs, on obtient (gµν = ηµν + (µν) + [µν] ) 2 = [( (µν ) + [µν ] )∂[λ Γ λ µν ] − ηµν Γ σ µ [ρ Γ ρ σν ]] (2.A.11) où seulement les indices [σν] sont antisymétrisées. En décomposant les composantes de la connexion Γ λ µν dans ses parties symétrique (S = Γ λ (µν)) et antisymétrique (A = Γ λ [µν]), on obtient 2 = [ (µν ) ∂[λ S λ ν ]µ − ηµν S σ µ [ρ S ρ ν ]σ − [µν] ∂[λ A λ ν ]µ + ηµν A σ µ [ρ A ρ ν ]σ − − (µν ) A λ µλ,ν − [µν ] S λ µλ,ν + ηµν S σ µν A ρ σρ ] (2.A.12) Ce sont seulement les trois derniers termes de l’Éq. (2.A.11) qui couplent les composantes symétrique et antisymétrique, et le font seulement via les traces des composantes de la connexion affine. Alors, on peut diagonaliser juste en effectuant la transformation Γ λ µν = Wλ µν + δ λ µ Wν , pour ainsi rendre Γ λ [µλ] = 0. Puisque Rµν(Γ) = Rµν(W ) − W[ν,µ], où Wµ = Wλ [µλ], on obtient 2 = E + A (2.A.13) où E est la densité lagrangienne linéarisée d’Einstein (qui, au premier ordre, est équivalente à celle du deuxième ordre) et 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 2 1 g 1 g 1 LLLL g− 1 g 1 g 1 LLLL g− 1 g 1 g 1 g 1 g 3 2 3 2 1 LLLL 1 LLLL 1 LLLL 1 LLLL
  • 93. 72 2 Concepts Mathématiques de Base A = g[µν ] Wλ [µν ],λ + ηµν Wσ [µρ ]W ρ [νσ ] − [µν ] ,µ ν (2.A.14) en fonction de µ = − Wµ + Γ λ (µλ). L’analyse canonique de l’Éq. (2.A.13) peut se faire pour ainsi trouver A = πij [it],t − [ij] π j,i + [it] ,i t + Wj [ti][2 [ti],j + 2π ij] − Wj [ti] Wi [tj] − − 3 Wt [ti] [ij] ,j + (Wt [ti]) + Wk [ij](− [ij] ,k) − Wk [ij] Wj [ki] (2.A.15) Ici, les impulsions conjuguées ont été identifiées via les relations πij = − Wt [ij] πi = − i − 2 Wt [ij] (2.A.16) et la contrainte W λ [µν ] = 0 a été appliquée. Le terme “ ”, ou p × q,t, dans l’Éq. (2.A.14) montre que (W j [ti], W t [ti], W k [ij]) sont les champ auxiliaires, tandis que les paires canoniques (π ij , [ij]), (π i , [ti]) obéissent à l’unique contrainte g[ti] ,i = 0. Ceci nous dit qu’il y a (4 − 1)(4 − 2) + (4 − 1) − 1 = 5 degré de liberté, ce qui est équivalent au formalisme au second ordre. Bibliographie P. Bamberg et S. Sternberg, A Course in Mathematics for Students of Physics (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1988), vol I. I.M. Benn et R.W. Tucker, An Introduction to Spinors and Geometry (Adam Hilger, London, England, 1988). F. de Felice et C.J.S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1989). C.W. Misner, K.S. Thorne et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). R.M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984). J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). 1 LLLL 1 g W ~ W ~ 3 4 1 LLLL 1 g 1 g 1 g W ~ 1 g 1 g 2 3 1 g W ~ qp & 1 g 1 g 2 1
  • 94. 3 Les Équations du Champ 3.1 L’Action et la Densité Lagrangienne On postule que la TNG est basée sur une formulation lagrangienne. De même, les équations du champ et les lois de conservation pour la matière doivent suivre de façon consistante de ce lagrangien. On demande aussi que la théorie doit satisfaire les exigences physiques suivantes1,* : 1. La théorie possède une limite newtonienne correct pour des champs faibles. 2. La théorie ne possède aucun mode fantôme dans l’approximation du champ faible (aucun mode de radiation négative.) Ces exigences générales nous amène à une théorie non symétrique de la gravitation dans le vide (pour l’instant) qui décrit l’univers en fonction d’un continuum (réel) à quatre dimensions. Considérons d’abord les équations du champ dans le vide (où il y a aucune présence de matière ou d’énergie.) Les composantes du tenseur de courbure contracté ont la forme2 Kµν = Rµν (W ) + aPµν (W ) + bW[µ,ν ] (3.1.1) où les courbures Rµν (W) et Pµν (W) sont définies par les Éqs. (2.3.11) et (2.3.13), respectivement, et réfèrent à la connexion généralisée W. On définit aussi les symboles (...) et [...] selon la règle V(µν ) = (Vµν + Vνµ ) V[µν ] = (Vµν − Vνµ ) (3.1.2) où on peut voir que la somme de ces deux tenseurs, symétrique et antisymétrique, respectivement, forme le tenseur Vµν. De plus, a et b sont des constantes arbitraires réelles et les composantes de la torsion sont exprimées comme Wµ = W λ [µλ] = (W λ µλ − W λ λµ ) (3.1.3) Les équations du champ dans le vide de la TNG déterminent la torsion Wµ comme variable dynamique dans l’espace- temps. Ceci fait contraste aux théories Einstein-Cartan avec gµν = gνµ mais où la torsion (dans leur cas, Γµ ) est purement algébrique. Comme on l’a vu précédemment, la formulation mathématique de la TNG est basée sur une structure de champ non symétrique avec les composantes d’une métrique gµν non symétrique qui peuvent être décomposées selon2,† gµν = g(µν ) + en n g[µν ] (3.1.4) où g(µν) et g[µν] sont les parties symétrique et antisymétrique, respectivement. On définit aussi le tenseur inverse (ou contravariant) gµν par la relation gµµµµν gµµµµσ = gνµµµµ gσµµµµ = δ ν σ (3.1.5) où g = det(gµν ) ≠ 0 (et est réel) et l’ordre des indice est très important. Les opérations d’élévation et d’abaissement des indices dans la TNG ne sont pas uniques. Alors, on définit3 γ (λλλλµ) g (λλλλν) = δ µ ν (3.1.6) * Vue que le principe d’équivalence pose encore certains problèmes expérimentaux voir même à l’échelle 10−9 (par exemple, la 5e force), on n’inclut pas cette condition pour l’instant. † Si {1,e n }, (n = 1, 2, 3, ..., N ) représente la base de l’algèbre étendue (voir Section 2.7), la TGE correspond à e n = 0. 1 2 2 1 1 2 73
  • 95. 74 3 Les Équations du Champ Cependant, si X µν est un tenseur hermitique, respectant la condition X µν = µν , alors X ρσ = gρν gµσ X µν (3.1.7) est aussi hermitique symétrique. L’action covariante est donnée par2,4,5,6,7 (3.1.8) et avec l’Éq. (3.1.1), on obtient (3.1.9) où l’action S est invariante sous la transformation λ1,5,6 W λ µν → W λ µν + δ λ µ λ ,ν (3.1.10) et λ est un champ scalaire arbitraire. Pour des valeurs particulières de a et b, l’action S est projectivement invariante sous la transformation8,9 W λ µν → W λ µν + δ λ µ Aν (3.1.11) où Aν est un champ vectoriel arbitraire (qui peut prendre la forme Wν = W λ [µλ ]). Cette invariance tient pour le choix2,9 1 − 4a + b = 0 (3.1.12) L’action S est aussi invariant sous la symétrie de transposition10 W λ µν → W λ νµ gµν → gνµ (3.1.13) Si on définit les composantes d’une nouvelle connexion (voir l’Appendice A) Γ λ µν = W λ µν + δλ µ Wν (3.1.14) où, maintenant, Γµ = Γ λ [µλ ] = 0. Alors, la densité lagrangienne devient9,11 LLLL = ggggµν [Rµν (Γ) + aPµν (Γ) + W[µ,ν ]] (3.1.15) où Rµν (Γ) = Γ λ µν,λ − Γ λ (µλ),ν − Γ ρ σν Γ σ µρ + Γ ρ (σρ) Γ σ µν (3.1.16) Aussi Pµν (Γ) = Γ ρ (ρµ),ν − Γ ρ (ρν),µ (3.1.17) 3.2 Les Équations du Champ dans le Vide Il y a deux méthodes pour trouver les équations du champ dans la TNG1,2 : 1. le formalisme de Palatini au premier ordre,3 2. le formalisme de Hilbert au second ordre.4 On utilisera la méthode décrite en (1) mais la méthode (2) fut étudiée de détails.8,5,6,7 Les quantités g et W sont variées indépendamment et δ g et δ W doivent disparaître aux frontières. La variation de la densité lagrangienne LLLL, donnée par l’Éq. (3.1.14), par rapport aux composantes W λ µν donne2,9 X ~ xdKggS 4 µν µν ∫ −= xdbWWaPWRggS 4 ],[ ])()([ νµµνµν µν ++−=∫ 4 3 3 2       +− ba 3 16 3 4
  • 96. 3.2 Les Équations du Champ dans le Vide 75 ggggµν ,σ + ggggρν W µ ρσ + ggggµρ W ν σρ − ggggµν W ρ σρ + ggggµρ ,ρ δν σ + ggggαβ W µ αβ δ ν σ + (2a − b) + + gggg[νρ] ,ρ δ µ σ + b gggg[µρ] ,ρ δ ν σ = 0 (3.2.1) En fonction de l’Éq. (3.1.13), l’Éq. (3.2.1) assume une forme plus simple ggggµν ,σ + ggggρν Γ µ ρσ + ggggµρ Γ ν σρ − ggggµν Γ ρ (σρ) + [(1 − a)δµ σ gggg[νρ] ,ρ − aδν σ gggg[µρ] ,ρ] = 0 (3.2.2) Maintenant, l’Éq. (3.2.2) peut s’écrire ,σ = Γρ (ρσ) − (a − ) ggggσµ gggg[µρ] ,ρ − a gggg[σµ] gggg[µρ] ,ρ (3.2.3) Selon l’Éq. (3.1.4), le second terme à la droite de l’Éq. (3.2.3) doit disparaître ; ceci arrive lorsque a = ½. Alors9 ,σ = Γρ (ρσ) (3.2.4) En contractant l’Éq. (3.2.1) par rapport aux indices µ et σ donne (2 − 8a + b) gggg[µν] ,ν = 0 avec (2 − 8a + b) ≠ 0, ce qui implique que1,1 gggg[µν ] ,ν = 0 (3.2.5) dans le vide. En manipulant davantage l’Éq. (3.2.2) et en tenant compte de l’Éq. (3.2.5), on obtient la condition de compatibilité de la métrique non symétrique* gµ (+)ν (−) ;σ ≡ gµν,σ − gρν Γ ρ µσ − gµρ Γ ρ νσ (3.2.6) On observe que même si on aurait substitué les valeurs de a et b, on aurait obtenu le même résultat : l’Éq. (3.2.6) est valide pour un groupe de valeurs différentes de a et b menant ainsi à plusieurs versions des théories non métriques. La variation de LLLL, donnée par l’Éq. (3.1.14), par rapport aux composantes de la densité ggggµν donne Rµν (Γ) + W[µ,ν ] = 0 (3.2.7) Il est de coutume de fixer b = 2, de sorte que le rotationnel de Wµ n’apparaisse pas directement dans LLLL lorsqu’il est écrit en fonction de W. Donc, on fixe les valeurs de a et b à a = ½ et b = 2, et les équations dans le vide pour la TNG deviennent Rµν (Γ) = W[ν,µ ] (3.2.8) On peut maintenant exprimer le tenseur de courbure contracté de la TNG sous la forme (avec a = ½) Rµν (Γ) = Γ λ µν,λ − (Γ λ (µλ ),ν + Γ λ (νλ ),µ ) − Γ ρ σν Γ σ µρ + Γ ρ (σρ ) Γ σ µν (3.2.9) et les équations du champ de la TNG dans le vide peuvent être écrites de la façon suivante1,1,8 gggg[µν ] ,ν = 0 Rµν (Γ) + W[µ,ν ] = 0 R{[µν ],σ }(Γ) = 0 (3.2.10) (3.2.11) (3.2.12) où R{[µν ],σ }(Γ) = R[µν ],σ (Γ) + R[νσ ],µ (Γ) + R[σµ ],ν (Γ) (3.2.13) On remarque que les équations finales ne dépendent ni de a ou de b. Le postulat de symétrie hermitique n’a pas joué de rôle prédominant dans cette dérivation. Les équations du champ peuvent aussi être trouvées en utilisant Wµ comme multiplicateur de Lagrange et en utilisant la symétrie hermitique (ou de transposition). * On se rappelle la convention (+) et (−) d’Einstein : Aµ(+);ν = Aµ,ν − ΑλΓ λ µνµνµνµν et Aµ(−);ν = Aµ,ν − ΑλΓ λ νµνµνµνµ . 2 1 2 1 2 3 g− g− 2 1 3 2 g− g− 3 2 3 2       +− ba 3 16 3 4 3 2 1 2 2 3
  • 97. 76 3 Les Équations du Champ Les équations du champ pour la TNG peuvent aussi être trouvées à partir du formalisme au second ordre en traitant les composantes gµν et Wµ comme des variables indépendentes et les équations résultantes sont identiques à celles obtenues suivant le formalisme au second ordre.6 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles Considérons les composantes du tenseur de courbure (contractées) de la TNG, l’Éq. (3.2.9), dans lequel on substitue l’Éq. (3.1.13) que l’on exprime sous la forme Rµν (W ) = Wλ µν,λ − (Wλ µλ,ν + Wλ νλ,µ ) + Wρ µν Wσ ρσ − Wρ µσ Wσ ρν (3.3.1) qui peut être écrit comme Rµν (W ) = Rµν (Γ) + W[µ,ν ] (3.3.2) où Rµν (Γ) est donné par l’Éq. (3.2.9). La densité lagrangienne la plus générale avec la présence de sources matérielles est donnée par1,2 LLLL = ggggµν Rµν (W ) + a ggggµν Pµν (W ) + b ggggµν W[µ,ν] + 2Λ + LLLLm (3.3.3) où a et b sont des constantes réelles et Λ est la constante cosmologique.95 Avant de procéder plus loin, on a déjà proposé l’invariance de la densité lagrangienne de l’Éq. (3.1.8) sous la transformation λ W λ µν → W λ µν + δλ µ λ ,ν (3.3.4) Il en est autant pour la densité lagrangienne de l’Éq. (3.3.3) avec sources matérielles. Cette invariance λ nous signale l’existence d’une densité de courant conservée SSSSµ qui doit être incluse implicitement dans la densité lagrangienne LLLL, et que l’on nomme densité lagrangienne matérielle et qui se lit1,2,11,8,1 LLLLm = −8π ggggµν Tµν + Wµ SSSSµ (3.3.5) où Tµν sont les composantes du tenseur d’énergie-impulsion. Comme on l’a vu auparavant [Éq. (3.2.1)], on fait une variation de LLLL, donnée par l’Éq. (3.3.3), par rapport à ggggµν ce qui nous donne l’équation du champ suivant2 Rµν + aPµν + bW[µ,ν ] − gµν (R + aP + bg[ρσ ] W[ρ,σ ]) = 8π Tµν (3.3.6) où R et P sont les scalaires de courbure associés à Rµν et Pµν, respectivement. La variation par rapport à W λ µν nous amène à un deuxième système d’équations ggggµν ,σ + ggggρν W µ ρσ + ggggµρ W ν σρ − ggggµν W ρ σρ −δ ν σ (ggggµρ ,ρ + ggggαβ W µ αβ) + + (2a − b)δ µ σ gggg[νρ] ,ρ + bδ ν σ gggg[µρ] ,ρ + (SSSSν δµ σ − SSSSµ δν σ) = 0 (3.3.7) Quatre de ces soixante-quatre équations ne contiennent pas W, comme on peut le voir en faisant la contraction sur µ et σ (2 − 8a + b) gggg[µν] ,ν = 8π SSSS µ (3.3.8) avec (2 − 8a + b) ≠ 0. À chaque point, il est convenable d’introduire notre nouvelle connexion [voir l’Éq. (3.1.13)] Γ λ µν = W λ µν + δλ µ Wν (3.3.9) (où Wν = W λ [νλ ]) en fonction de laquelle l’Éq. (3.3.7) assume une forme plus simple ggggµν ,σ + ggggρν Γµ ρσ +ggggµρ Γν σρ − ggggµν Γρ (σρ) + [(1 − a)δµ σ gggg[νρ] ,ρ − aδν σ gggg[µρ] ,ρ] = 0 (3.3.10) 1 2 2 3 g− 3 8π 1 2 1 2 1 2 3 4π 3 2 3 2 2 3 2 3
  • 98. 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles 77 Ces soixante-quatre équations ne peuvent pas déterminer complètement la connexion Γ comme fonction de gµν, puisque la compatibilité de Γ avec une structure algébrique scinde ainsi la connexion en soixante-quatre composantes réelles et soixante-quatre composantes algébriques.9 Cependant, étant donnée l’Éq. (3.1.4), il est naturel aussi de postuler que la partie symétrique de Γ soit réelle et que la partie antisymétrique soit algébrique Γ λ µν = Γ λ (µν) + en n Γ λ [µν] (3.3.11) Lorsqu’il y a la présence de sources, Γ et W ne sont plus compatibles avec gµν. Il existe, tout de même, une connexion qui est compatible, cependant [voir l’Éq. (3.3.22) ci-dessous]. Cette fois-ci, l’Éq. (3.3.10) implique que ,σ = Γρ (ρσ ) − (a − ) ggggσµ gggg[µν] ,ν − a gggg[σµ ] gggg[µν] ,ν (3.3.12) Selon l’Éq. (3.1.4), le second terme à la droite de l’Éq. (3.2.12) doit disparaître ; ceci arrive lorsque a = ½. Alors ,σ = Γρ (ρσ ) − gggg[σµ ] SSSSµ (3.3.13) est réel. Aussi longtemps qu’elle n’est pas égale à 4/3, l’autre constante b est maintenant arbitraire car elle peut être absorbée par Wµ avec une renormalisation de l’échelle de SSSSµ . Il est de coutume de fixer b = 2, de sorte que le rotationnel de Wµ n’apparaisse pas directement dans LLLL lorsqu’il est écrit en fonction de W. Donc, on fixe les valeurs de a et b à a = ½ et b = 2. Maintenant, il est possible de réduire le nombre de structures physiquement viables à une seule (en plus du cas réel de la TGE) en exigeant que la version linéarisée de LLLL soit exempte de modes fantômes. Alors, dans les Éqs. (3.1.4) et (3.3.11), N = 1 et e1 2 = +1. Ceci nous donne la densité lagrangienne unique de la TNG1,2,6 LLLL = ggggµν Rµν (W) − 2Λ − 8π ggggµν Tµν + Wµ SSSSµ (3.3.14) avec Rµν (W ) = Wλ µν,λ − (Wλ µλ,ν + Wλ νλ,µ ) + Wρ µν Wσ ρσ − Wρ µσ Wσ ρν , Rµν (W ) = Rµν (Γ) + W[µ,ν] (3.3.15) La valeur de a imposée par l’invariance de transposition a effectivement symétrisée le second terme de la courbure Rµν . Exprimées avec les variables fondamentales du champ : Γ λ µν , gµν et Wµ , les équations du champ avec la présence de sources matérielles dans la TNG sont données par1,2,6,2 Gµν (Γ) ≡ Rµν (Γ) − gµν gρσ Rρσ (Γ) = 8π Tµν − Λgµν − W[µ,ν] + gµν g[ρσ] W[ρ,σ] (3.3.16) gggg[µν] ,ν = 4π SSSSµ (3.3.17) ou bien, en fonction de W λ µν , gµν et Wµ Gµν (W ) = 8π Tµν + Λgµν gggg[µν] ,ν = 4π SSSSµ (3.3.18) (3.3.19) où Gµν (W ) = Rµν (W ) − gµν R . Les équations du champ peuvent aussi s’écrire8,3,4 ggggµν ,σ + ggggρν Γ µ ρσ + ggggµρ Γ ν σρ − ggggµν Γ ρ (σρ) + (SSSSν δµ σ − SSSSµ δν σ) = 0 (3.3.20) En introduisant une nouvelle connexion Λλ µν Λλ µν = Γ λ µν − D λ µν (S ) (3.3.21) g− g− 1 2 2 3 g− g− 3 4π g− 3 8π 1 2 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 4π
  • 99. 78 3 Les Équations du Champ l’Éq. (3.3.20) peut être réécrite en deux équations,* soit l’équation de compatibilité matérielle de la métrique non symétrique gµν,σ − gρν Λρ µσ − gµρ Λρ σν = 0 (3.3.22) et, l’équation de compatibilité (matérielle) de la source TNG93 gρν D ρ µσ + gµρ D ρ σν = S ρ (gµσ gρν − gµρ gσν + gµν g[σρ ]) (3.3.23) On remarque que lorsque S µ = 0, les Éqs. (3.3.21) et (3.3.22) se réduisent à celles du vide et l’Éq. (3.3.23) disparaît. On a aussi la relation utile ,σ = Γµ (σµ ) + SSSSµ g[µσ ] (3.3.24) Les Éqs. (3.3.22) et (3.3.23) rendent les calculs, dans la TNG, très difficiles lorsqu’il y a présence de sources matérielles et c’est pourquoi il est à notre avantage, pour les calculs futurs, que nous puissions décomposer ces équations et ainsi exprimer le tenseur de courbure. Donc, en fonction des connexions Λλ µν et D λ µν, le tenseur de courbure Rµν (Γ), donnée dans l’Éq. (3.3.15), peut être exprimée par ses parties symétrique et antisymétrique. Alors R(µν)(Γ) = R(µν)(Λ) − R(µν)(D) − R(µν)(ΛD) (3.3.25) où R(µν)(Λ) = Λλ (µν),λ − (Λλ (µλ),ν + Λλ (νλ),µ) + Λσ (µν)Λρ (σρ) − Λρ (µσ)Λσ (ρν) − Λρ [µσ]Λσ [ρν] R(µν)(D) = D λ (µν),λ − (D λ (µλ),ν + D λ (νλ),µ) − D σ (µν)D ρ (σρ) + D ρ (µσ)D σ (ρν) + D ρ [µσ]D σ [ρν] R (µν)(ΛD) = Λσ (µν)Dρ (σρ) + Λρ (σρ)Dσ (µν) − Λρ (µσ)Dσ (ρν) − Λρ (νσ)Dσ (ρµ) − Λρ [µσ]Dσ [ρν] −Λσ [ρν]Dρ [µσ] (3.3.26) (3.3.27) (3.3.28) tandis que R[µν](Γ) = R[µν](Λ) − R[µν](D) − R[µν](ΛD) (3.3.29) où R[µν](Λ) = Λλ [µν],λ − Λσ [µν]Λρ (σρ) − Λρ (µσ)Λσ [ρν] − Λρ [µσ]Λσ (ρν) R [µν](D) = D λ [µν],λ − D σ [µν]D ρ (σρ) + D ρ (µσ)D σ [ρν] + D ρ [µσ]D σ (ρν) R [µν](ΛD) = Λσ [µν]Dρ (σρ) + Λρ (σρ)Dσ [µν] − Λρ (µσ)Dσ [ρν] − Λρ [νσ]Dσ (ρµ) + Λρ (νσ)Dσ [ρµ] +Λρ [νσ]Dσ (ρµ) (3.3.30) (3.3.31) (3.3.32) Ces relations nous servirons plus tard dans le Chapitre 4. * On peut aussi procéder de la façon suivante : écrire les équations du champ (3.3.7) en fonction de Λλ µν (en utilisant aussi gµν gσν = gνµ gνσ = δ µ σ ) tout en considérant les paramètres a = ½ et b = 2. 3 4π − g− g− 3 4π 1 2 1 2
  • 100. 3.4 Les Identités de Bianchi et les Lois de Conservation 79 3.4 Les Identités de Bianchi et les Lois de Conservation À partir de l’invariance de la densité lagrangienne donnée par l’Éq. (3.3.3) sous les transformations des coordonnées, on peut obtenir les quatre identités de Bianchi dans la TNG11,8 [ggggσν Gρν (Γ) + ggggνσ Gνρ (Γ)],σ + gµν ,ρ GGGGµν (Γ) = 0 (3.4.1) En substituant l’Éq. (3.3.16) dans l’Éq. (3.4.1), on obtient 8π (gσν TTTTρν + gνσ TTTTνρ),σ − (ggggσν W[ρ,ν] + ggggνσ W[ν,ρ]),σ + (ggggσν gρν g[α,β]W[α,β] + ggggνσ gνρ g[αβ] W[α,β]),σ + + 8π gµν ,ρ TTTTµν − gαβ ,ρ W[α,β] + gµν ,ρ g[αβ] W[α,β] = 0 (3.4.2) Le second terme de l’Éq. (3.4.2) peut être calculé pour donner (ggggσν ,σ W[ρ,ν] + ggggνσ ,σ W[ν,ρ] + ggggσν W[ρ,ν],σ + ggggνσ W[ν,ρ],σ) = W[ρ,ν]SSSSν − gggg[νσ] W[ρ,ν],σ (3.4.3) Des équations du champ, l’Éq. (3.3.21), on trouve la relation gµν gµν ,σ = 2Λρ (σρ) (3.4.4) ce qui donne ,σ = Λρ (σρ) (3.4.5) En utilisant les Éqs. (3.4.3) et (3.4.5) dans l’Éq. (3.4.2), on a (gσν TTTTρν + gνσ TTTTνρ),σ + gµν ,ρ TTTTµν + W[ρ,σ] SSSSσ + gggg[στ] W[ρ,σ],τ + gggg[αβ] W[α,β],ρ = 0 (3.4.6) Les deux derniers termes dans l’Éq. (3.4.6) donnent gggg[νσ] W[ρ,ν],σ + gggg[αβ] W[α,β],ρ = (gggg[νσ] W[ρ,ν],σ + gggg[σν] W[ρ,σ],ν + gggg[αβ] W[α,β],ρ) = gggg[νσ] ( W[ρ,ν],σ + W[σ,ρ],ν + W[ν,σ],ρ ) = 0 (3.4.7) On obtient donc le résultat (gσν TTTTρν + gνσ TTTTνρ),σ + gµν ,ρ TTTTµν + W[ρ,σ] SSSSσ = 0 (3.4.8) En utilisant les expressions TTTTµν = gαν gµβ TTTTαβ et gαβ ,σ = −gαν gµβ gµν,σ , on peut écrire l’Éq. (3.4.8) dans la forme (gµρ TTTTµσ + gρµ TTTTσµ ),σ − gµν,ρ TTTTµν + W[ρ,ν] SSSSν = 0 (3.4.9) En poursuivant la différentiation dans le premier terme de l’Éq. (3.4.9), on obtient les quatre lois de conservation de la TNG (gµρ TTTTµσ ,σ + gρµ TTTTσµ ,σ) − [µν,ρ] TTTTµν + W[ρ,ν] SSSSν = 0 (3.4.10) où [µν, ρ] = (gµρ,ν + gρν,µ − gµν,ρ) (3.4.11) L’Éq. (3.4.10) représente les lois de conservation rigoureuse de la TNG qui seront utilisées pour déterminer les équations du mouvement des particules d’essais. L’Éq. (3.4.10) peut être réécrite de la façon suivante (gµρ TTTTµσ + gρµ TTTTσµ ),σ − gµν,ρ TTTTµν + W[ρ,ν ]SSSSν = 0 (3.4.12) que l’on appelle parfois l’équation de réponse matérielle. Une cinquième identité est donnée par 2 3 1 3 2 3 g− 3 1 g− 3 2 − 16 3 π 4 3 g− g− 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 2 3
  • 101. 80 3 Les Équations du Champ gggg[µν] ,µ,ν = 4π SSSSµ ,µ = 0 (3.4.13) obtenue de l’invariance de la densité lagrangienne LLLL, donnée par l’Éq. (3.3.14), sous la transformation de jauge U(1)(R+) 7 Wµ → Wµ + λ ,µ (3.4.14) et le théorème de Noether. λ est un champ scalaire arbitraire purement imaginaire. On écrit parfois l’Éq. (3.4.13) comme SSSSµ ,µ = 0 (3.4.15) tout simplement. C’est une loi de conservation pour S µ ou SSSSµ . L’Éq. (3.4.13) ou les Éqs. (3.4.12) et (3.4.15), sont respectivement reliées aux identités suivantes gggg[µν] ,µ,ν = 0 (3.4.16) et [gσν GGGGρν(Γ) + gνσ GGGGνρ(Γ)],σ + gµν ,ρ GGGGµν(Γ) = 0 (3.4.17) où GGGGµν(Γ) = [Rµν(Γ) − gµν R(Γ)] (3.4.18) Comme dans la TGE, les lois de conservation nous permettent de réduire le nombre d’équations nécessaires pour trouver les composantes de la métrique non symétrique. 3.5 La Source S µµµµ Notre densité lagrangienne est donnée par l’Éq. (3.3.14) LLLL = ggggµν Rµν(W ) + LLLLm (3.5.1) où LLLLm est la densité lagrangienne pour les sources matérielles phénoménologiques données par (dans la limite à faible énergie et Λ = 0) LLLLm = −8π gµν TTTTµν + Wµ SSSSµ (3.5.2) Ici, TTTTµν et SSSSµ sont les sources du champ gµν. De plus, la densité tensorielle hermitique est11 TTTTµν = − (3.5.3) et SSSSµ est une densité de source vectorielle purement imaginaire donnée par2,1 SSSSµ = − (3.5.4) On sait que les sources phénoménologiques du courant sont, en général, données par2,1 SSSSµ (x) = δ4 [x − xi(τ )] d 4 τ (3.5.5) où ei est la charge généralisée de la i-ème particule, et uµ = dxµ /dτ est le quadri-vecteur vitesse. Maintenant, on postule que la densité vectorielle SSSSµ est proportionnelle à la densité de courant du nombre de particules fermioniques, qui, pour un système macroscopique comme une étoile, peut être écrite11 SSSSµ = (3.5.6) où fi est la constante de couplage du i-ème type de fermion (qui possède des dimensions de longueur) et ni est la densité de nombre du i-ème fermion. En termes de spineurs fermioniques de Dirac ψi, on a g− 1 2 3 8π π8 1 µν g∂ ∂L π8 3 µW∂ ∂L ∫∑ i ie ∑− i ii unfg µ2
  • 102. 3.5 La Source S µ 81 SSSSµ = (3.5.7) Puisque SSSSµ = S µ , on peut interpréter S µ = (3.5.8) comme étant le nombre conservé de particule d’un fluide. La charge TNG nette associée à un corps est définit par2,11 l2 = qTNG(x) SSSS t d 3 x (3.5.9) qui correspond à une nouvelle constante d’intégration originalement associée à la solution statique à symétrie sphérique pour les équations du champ dans le vide de la TNG. (Voir Section 4.1). 3.6 La Source T µµµµνννν Dans le cas de la TGE, le fluide parfait peut être dérivé du principe variationnel en utilisant l’un ou l’autre des postulats suivants7 : 1. Le courant de la masse au repos est conservé ρ * ,µ ≡ ( ρo uµ ),µ = 0 (3.6.1) où ρo est la densité de la masse du fluide au repos. 2. Il existe une relation entre la pression du fluide, p, et ρo, soit l’équation d’état p = p(ρo) (3.6.2) En général, un fluide parfait possède deux degrés de liberté. Dans le cas (1) ci-dessus, on prend ces deux degrés de liberté comme étant représentés par la densité de la masse du fluide au repos, ρo, et l’entropie spécifique au repos, s. Le mot repos réfère au repère localement inertiel (ou au repos) et le mot spécifique implique par unité de masse. Dans le cas (2) maintenant, les deux degrés de liberté sont représentés par ρo et p. Cependant, l’Éq. (3.6.2) implique que toutes les variables thermodynamiques peuvent être décrites en fonction d’une seule variable. On suppose que cette variable du fluide est ρo. Nous allons dériver le tenseur du fluide parfait dans la TNG en utilisant le postulat de la conservation de la masse au repos [postulat (1)]. La densité lagrangienne pour la TNG devient donc LLLL = ggggµν Rµν (W ) + β Wµ [ n(ρo, s)c−1 uµ ] +σ F(ρo, s) + + σ λ1(gµν uµ uν − c2 ) + σ λ2 ( ρouµ ),µ + λ3 X,µ uµ + λ4 s,µ uµ (3.6.3) où on a rétabli la vitesse de lumière, c, pour rendre plus facile la visualisation des dimensions physiques. De plus, on a σ = 16π G/c2 et β = (8π /3) f 2 , f est la constante de couplage des fermions dans la TNG. La forme phénoménologique explicite de S µ , le courant fermionique de la TNG, a été substitué dans le second terme de l’Éq. (3.6.3). La définition de S µ utilisée est la suivante S µ = c−1 f 2 n uµ (3.6.4) La densité lagrangienne du fluide, F(ρo, s), est définie comme étant92 F(ρo, s) ≡ ρo [Π (ρo, s) + c2 ] (3.6.5) avec Π (ρo, s) étant l’énergie interne spécifique au repos. ∑− i iii ψγψfg µ2 g− ∑ i ii unf µ2 ∫ g− g− g− g− g− g− g− g− g− g− 3.6 La Source Tµν
  • 103. 82 3 Les Équations du Champ Les multiplicateurs de Lagrange* λ1, λ2, λ3 et λ4 respectivement forcent les contraintes suivantes97 : 1. Normalisation des vecteurs vitesse gµν u µ u ν = c2 (3.6.6) 2. Conservation de la masse au repos ρ * ,µ ≡ ( ρo u µ ),µ = 0 (3.6.7) 3. Conservation de l’identité de la particule X,µ u µ = 0 (3.6.8) où X(x) est le nombre (et x, la coordonnée) qu’on assigne à chaque particule (plus petit élément) du fluide. L’Éq. (3.6.8) nous dit que ce nombre ne change pas au fur et à mesure qu’on se déplace avec la particule du fluide. 4. Conservation de l’entropie pour les particule du fluide s,µ u µ = 0 (3.6.9) Cette contrainte nous dit que même si l’entropie spécifique au repos n’est pas constante dans tout le fluide, elle l’est pour une particule donnée du fluide. On procède maintenant à la variation de la densité lagrangienne donnée par l’Éq. (3.6.3) en utilisant gµν, W λ µν, ρo, uµ , X et s comme nos variables de champ. La variation par rapport à gµν et W λ µν, faite indépendamment l’une de l’autre, constitue la variation à la Palatini dans la TNG. On suppose que la densité du nombre fermionique, n, est une fonction de ρo et s, les deux degrés de liberté thermodynamiques du fluide. La variation selon ρo donne l’équation suivante σ λ2,µ u µ = σ + (3.6.10) La variation selon uµ donne 2λ1σ g(µν) uµ = σ λ2,ν ρo − nWν − λ3X,ν − λ4 s,ν (3.6.11) En multipliant cette équation par uµ et en utilisant les Éqs. (3.6.6), (3.6.8), (3.6.10) et (3.6.10), on obtient l’équation suivante pour λ1 2σ λ1 = (3.6.12) La variation selon X donne ( uµ λ3),µ = 0 (3.6.13) La variation selon s donne à son tour ( uµ λ4),µ = (3.6.14) La variation par rapport à W λ µν donne les équations suivante ( )−1 ( gµν ),σ + gρν W µ ρσ + gµρ W ν σρ − gµν W ρ σρ + δν σ gµρ W β [ρβ ] + + (S µ δ µ σ − S µ δ ν σ) = 0 (3.6.15) * La méthode des multiplicateurs de Lagrange nous permet de trouver la fonction principale sachant qu’il existe des contraintes dans un système donné. g− so         ∂ ∂ ρ F so         ∂ ∂ ρ β n c c β                 −      ∂ ∂ +      ∂ ∂ )( 1 sοsο ο2 µ µ ρ ρ ρ ρ σρ uWn n c F c g− g−               ∂ ∂ +      ∂ ∂− oo )(ο ρ µ µ ρ βσρ s n uW s Π c g g− g− 2 3 4 3 π
  • 104. 3.6 La Source T µν 83 et ( g[µν] ),ν = 4π S µ (3.6.16) La variation par rapport à gµν donne le résultat Gµν(W) ≡ Rµν(W) − gµν R(W) = σ λ1uµ uν + σ gµν (F − ρoλ2,νuν ) + ρ gµν (3.6.17) En utilisant les Éqs. (3.6.10) et (3.6.12), l’Éq. (3.6.17) devient Gµν(W) = + + (3.6.18) La dérivée (∂F/∂ρo)s peut être réécrite en fonction de l’énergie spécifique, ε, en utilisant l’Éq. (3.6.5). On a (3.6.19) Pour obtenir la valeur pour (∂Π /∂ρo)s, on utilise la première loi de la thermodynamique (forme relativiste) T ds = dΠ + pd (3.6.20) avec T, la température et p, la pression du fluide. Ceci nous dit que (3.6.21) Alors, l’Éq. (3.6.18) devient Gµν(W ) = (3.6.22) où po = (3.6.23) Si on définit la dérivée le long du parcours du fluide comme étant d/dτ = uµ d/dxµ , alors on doit avoir (3.6.24) En utilisant cette équation, avec les contraintes formulées par les Éqs. (3.6.7) et (3.6.9), en plus du fait que ( S µ ),µ = 0, on a (3.6.25) Alors, on obtient le résultat que po = 0. En incorporant toutes les constantes, l’Éq. (3.6.22) devient g− g− 2 1 2 1 2 1       µ µuW c n νµµ µ ρ ρ β ρ σρ uuuWn n c F c                 −      ∂ ∂ +      ∂ ∂ )( 2 1 so o so o2                       ∂ ∂ −+               ∂ ∂ − )( 2 1 o soso o µ µ µν ρ ρ β ρ ρσ uW n n c F Fg ( )               ∂ ∂ ++=      ∂ ∂ so o 2 o so , 1 ρ ρρ ρ Π csΠ c F       o 1 ρ T s ΠpΠ =      ∂ ∂ =      ∂ ∂ o 2 oso ρ ρρ [ ]       +−+++ µννµ σ ρ χ σ gpp c uuppcΠ c )( 2 )()( 2 1 oo 2 o )( so o µ µ ρ ρ σ β uWn n         −      ∂ ∂ ττ ρ ρτ ρ d ds s n d dn d dn o o so       ∂ ∂ +      ∂ ∂ = g− oso ρρ nn =      ∂ ∂
  • 105. 84 3 Les Équations du Champ Gµν(W ) = Tµν (3.6.26) Les composantes du tenseur d’énergie-impulsion dans la TNG, Tµν, sont données par Tµν = [ρo(Π + c2 ) + p] uµ uν − pgµν (3.6.27) On a alors obtenu l’équation d’un fluide parfait dans la TNG, possédant la même forme que dans la TGE, soit Tµν = (ρ + p) uµ uν − p gµν (3.6.28) où ρ = ρo( Π + c2 ) (3.6.29) est la densité de masse-énergie. On utilisera les Éqs. (3.6.28) et (3.6.29) à de nombreuses occasions dans cet ouvrage. 3.7 L’Approximation Linéaire Considérons maintenant la limite en champ faible dans la TNG où on étend gµν autour d’un espace-temps plat de Minkowski gµν = ηµν + ε µν (3.7.1) où µν est un tenseur hermitique, ε << 1, et ηµν est la métrique usuelle de Minkowski. Nous allons résoudre les équations du champ au plus petit ordre en µν . Les parties symétrique et antisymétrique de gµν sont donc, respectivement, données par g(µν) = ηµν + ε (µν) + ε 2 (µν) + ... g[µν] = ε [µν] + ε 2 [µν] + ... (3.7.2) (3.7.3) Puisque notre convention pour élever et abaisser les indices se fait à partir de gµρ gνρ = gρµ gρν = δ µ ν, il suit que1 g(µν) = ηµν − ε (µν) + ε 2 ρ (µ ν)ρ + O( 3 ) g[µν] = ε [µν] + ε 2 ρ [µ ν]ρ + O( 3 ) (3.7.4) (3.7.5) et g = −1 − ε η − ( 2 − µν νµ ) + O( 3 ) (3.7.6) où les indices sur µν sont élevés et abaissés en utilisant g µν , c’est-à-dire µ ν = gµρ ρν et où g = gµ µ . De plus Γλ µν = ε λ µν + ε2 λ µν + ... (3.7.7) et Wµ = ε µ + ε2 µ + ... (3.7.8) On trouve les µν , µν , etc. à partir de la condition d’orthogonalité (gµρ gνρ = gρµ gρν = δ µ ν ) 4 8 c Gπ 2 1 c 2 1 c 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 2 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 2 e 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 Γ Γ 2 W 1 W 2 1 g 2 g
  • 106. 3.7 L’Approximation Linéaire 85 µν = −ηµα ηβν βα µν = −ηµα ηβν βα + ηµα ηβν ηρσ ρα βσ µν = −ηµα ηβν βα + ηµα ηβν ηρσ ρα βσ + ηµρ ηαγ ηβν γα βρ + +ηµρ ηνβ ηαε ηδγ εδ γρ βα (3.7.9) Il suit que [µν] = −ηµα ηβν [αβ] [µν] = −ηµα ηβν [αβ] + ηµα ηβν ηγδ ( (γα) [βδ] + [γα] (βδ) ) (3.7.10) Donc, en première approximation, on obtient = 1 + ηµν (µν) (3.7.11) et en seconde approximation [µν] ,ν = −(ηµα ηβν [βα]),ν −[ ηβν ηγδ (γδ) [βα] − −ηµα ηβν ηγδ ( (γα) [βδ] + [γα] (βδ))],ν (3.7.12) Considérons maintenant l’Éq. (3.2.6), sous forme covariante gµν,σ − gλν Γλ µσ − gµλ Γλ σν = 0 (3.7.13) En permutant de façon cyclique les indices µνσ doublement dans les Éqs. (3.7.13) et en résolvant, on obtient g(λσ) Γλ µν = ( gσν,µ + gµσ,ν − gνµ,σ) − g[µλ]Γλ νσ − g[λν]Γλ σµ (3.7.14) En substituant les développements donnés par les Éqs. (3.7.2), (3.7.3) et (3.7.7) dans l’Éq. (3.7.14) nous donne la solution récursive au n-ème ordre λ µν = ( gσν,µ + gµσ,ν − gνµ,σ)n − −ηλσ ( (ρσ) ρ µν [µρ] ρ νσ [ρν] ρ σµ ) (3.7.15) Au premier et au second ordre, l’Éq. (3.7.15) devient λ (µν) = ηλσ ( (σν),µ + (µσ),ν − (νµ),σ) λ (µν) = ηλσ ( (σν),µ + (µσ),ν − (νµ),σ) − −2( [βν] β [σµ] + [µβ] β [νσ] + (αβ) β (µν)) λ [µν] = ηλσ ( [σν],µ + [µσ],ν − [νµ],σ) λ [µν] = ηλσ ( [σν],µ + [µσ],ν − [νµ],σ) − −2( [βν] β (σµ) + [µβ] β (νσ) + (αβ) β [µν]) (3.7.16) (3.7.17) (3.7.18) (3.7.19) Maintenant, puisque 1 g 1 g 2 g 2 g 1 g 1 g 3 g 3 g 2 g 1 g 2 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g g− 1 2 1 g 2 gggg 2 g 1 2 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 2 n Γ 1 2 ∑ − = 1 1 n m m g mn− Γ m g mn− Γ m g mn− Γ Γ 1 1 2 1 g 1 g 1 g 2 Γ 1 2 2 g 2 g 2 g 1 g 1 Γ 1 g 1 Γ 1 g 1 Γ 1 Γ 1 2 1 g 1 g 1 g 2 Γ 1 2 2 g 2 g 2 g 1 g 1 Γ 1 g 1 Γ 1 g 1 Γ
  • 107. 86 3 Les Équations du Champ Rµν (Γ) = Γλ µν,λ − ( Γλ (µλ),ν + Γλ (νλ),µ) − Γσ ρνΓρ µσ + Γσ (ρσ) Γρ µν (3.7.20) et que Γµ = Γλ [µλ] = 0, on obtient (µν) = λ (µν),λ − λ (µλ),ν (µν) = λ (µν),λ − λ (µλ),ν − ρ (µσ) σ (ρν) − ρ [µσ] σ [ρν] + + σ (ρσ) ρ (µν) [µν] = λ [µν],λ [µν] = λ [µν],λ − ρ (µσ) σ (ρν) − ρ [µσ] σ (ρν) + + σ (ρσ) ρ [µν] (3.7.21) (3.7.22) (3.7.23) (3.7.24) En permutant trois fois les indices dans l’équation de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.3.14), et en soustrayant les équations résultantes, on obtient g(λσ) Λλ µν = ( gσν,µ + gµσ,ν − gνµ,σ) − g[µλ]Λλ νσ − g[λν]Λλ σµ (3.7.25) laquelle ressemble, à toutes fins pratiques, à l’Éq. (3.7.14) mais en remplacent la connexion Γ par Λ. Par itération, on obtient de l’Éq. (3.7.25)* Λλ (µν) = λ (µν) − ηλσ (h(ρσ) ρ (νµ) + h[µρ] ρ [νσ] + h[ρν] ρ [σµ]) + O(h3 ) (3.7.26) et Λλ [µν] = λ [µν] − ηλσ (h(ρσ) ρ [µν] + h[µρ] ρ (νσ) + h[ρν] ρ (σµ)) + O(h3 ) (3.7.27) où λ (µν) = ηλσ (h(µσ),ν + h(σν),µ + h(νµ),σ) λ [µν] = ηλσ (h[αν],µ + h[µσ],ν + h[νµ],σ) (3.7.28) (3.7.29) De façon analogue, maintenant appliquée à l’Éq. (3.3.23), on obtient D λ (µν) = − S σ ( δλ µ h[νσ] + δλ ν h[µσ] − ηµνηλτ h[τλ]) + O(Sh2 ) D λ [µν] = − S σ (δλ µ hλν − δ λ ν hµσ + δλ µ h(σν) + δ λ ν h(σµ)) + O(Sh2 ) (3.7.30) (3.7.31) * Dans ce qui suit, par soucis d’économie, on fait la substitution suivante : (µν) = h(µν) , etc. 1 2 1 R 1 Γ 1 Γ 2 R 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 1 R 1 Γ 2 R 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 2 Γ 1 2 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 Λ 1 2 1 Λ 1 2 4 3 π 1 2 1 2 3 2 4 3 π 1 g
  • 108. 3.7 L’Approximation Linéaire 87 Avec ces résultats, les équations du champ peuvent être développées à l’ordre quadratique dans le champ. En utilisant les Éqs. (3.7.26)-(3.7.31) dans les Éqs. (3.3.26) et (3.3.28), on obtient R(µν)(Λ) = − h(µν) + [(h(µρ) ,ρ − h,µ),ν + (h(νρ) ,ρ − h,ν),µ] − (h(ρσ) ,σ − h,ρ )(h(µρ),ν + h(ρν),µ + h(νµ),ρ) − h(ρσ) (h(µρ),νσ + h(ρν),µσ − h(νµ),ρσ − h(ρσ),µν) − ηρσ h(µρ) ,λ (h(λν),σ − h(νσ),λ) − ηρσ [h[µρ]( h[νσ] + h[σλ] ,λ ,ν + h[νλ] ,λ ,σ) + h[νρ]( h[µσ] + h[σλ] ,λ ,µ + h[µλ] ,λ ,σ) + h[µρ] ,λ (h[νσ],λ − h[λν],λ) + (h[µρ] ,λ h[σλ],ν + h[νρ] ,λ h[σλ],µ)] − h[ρσ] ,µh[ρσ],ν − h[ρσ] h[ρσ],µν + h(ρσ) ,µh(ρσ),ν + O(h3 ) (3.7.32) et R[µν](Λ) = + h[µν] + (h[µρ] ,ρ ,ν − h[νρ] ,ρ ,µ) − (h[ρσ] ,σ − h,ρ )(h[ρν],µ + h[µρ],ν + h[νµ],ρ) − h(ρσ) (h[ρν],µ + h[µρ],ν − h[νµ],ρ),σ − ηρσ [h[µρ]( h(νσ) + h(σλ) ,λ ,ν − h(νλ) ,λ ,σ) − h[νρ]( h(µσ) + h(σλ) ,λ ,µ + h(µλ) ,λ ,σ) + + h[µρ] ,λ (h(νσ),λ + h(σλ),ν − h(λν),σ) − h[νρ] ,λ (h(µσ),λ + h(σλ),µ − h(λµ),ν) + (h(µρ) ,λ h[σλ],ν + h(ρν) ,λ h[λσ],µ + h[µρ] ,λ h(σλ),µ + h[ρν] ,λ h(λσ),µ)] + O(h3 ) (3.7.33) R(µν)(D)= − 2πηµν(Sλ h[λσ]),σ − Sµ Sν + O(Sh2 ) (3.7.34) R[µν](D) = [2S[µ,ν] − Sλ ,µh(λν) + Sλ ,νh(λµ) − Sλ (h(λν),µ − h(λµ),ν)] + O(Sh2 ) (3.7.35) R(µν)(ΛD)= (Sµh[νσ] ,σ + Sνh[µσ] ,σ ) + O(Sh2 ) (3.7.36) R[µν](ΛD) = + O(Sh2 ) (3.7.37) où les indices ont été élevés et abaissées avec ηµν, et ≡ ηµν (∂/∂xµ ) (∂/∂xν ). Maintenant, puisque (voir Section 3.3) Γλ µν = Λλ µν − D λ µν (S) (3.7.38) où, au plus bas ordre en hµν, on obtient des Éqs. (3.7.26) et (3.7.27) Λλ µν = ηλσ (hσν,µ + hµσ,ν − hνµ,σ) + O(h2 ) (3.7.39) et, au plus bas ordre en hµν, on obtient des Éqs. (3.7.30) et (3.7.31) D λ µν = (δλ νh[µσ] ,σ − δλ µh[νσ] ,σ ) + O(h2 ) (3.7.40) où on a utilisé la notation h[µν] ,ν = ηνσ h[µν],σ (3.7.41) Des connexions Λλ µν et D λ µν, on obtient Γ λ µν = ηλσ (hσν,µ + hµσ,ν − hνµ,σ) − (δ λ νh[µσ] ,σ − δλ µh[νσ] ,σ ) (3.7.42) Retournons maintenant aux équations du champ, l’Éq. (3.3.18) Gµν (W ) = Rµν (W ) − gµνR = 8π Tµν (3.7.43) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16 3 2 π 4 3 π 4 3 π 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2
  • 109. 88 3 Les Équations du Champ qu’on réécrit de la façon suivante Rµν (Γ) = − W[µ,ν] + Rµν (W ) (3.7.44) et, avec l’aide de l’Éq. (3.7.43) et du fait que R = 8π T , on obtient Rµν (Γ) = − W[µ,ν] − 8π (Tµν − gµνT ) (3.7.45) une autre forme des équations du champ (3.3.15) dans la TNG. De plus, on se rappellera des autres équations du champ avec sources, les Éqs. (3.3.19) et (3.3.22) gggg[µν] ,ν = 4π SSSSµ gµν,σ − gλν Λλ µσ − gµλ Λλ σν = 0 (3.7.46) (3.7.47) respectivement. Maintenant, en substituant Γ λ µσ, donnée par l’Éq. (3.7.42), dans l’Éq. (3.7.45), les équations du champ (3.7.45) et (3.7.46) deviennent h[µν] ,ν = 4π Sµ − ( hνµ − h(νσ) ,σ ,µ − h(νσ) ,σ ,µ + h,µν − h[µσ] ,σ ,ν + h[νσ] ,σ ,µ )= − W[µ,ν]+ 8π (Tµν − hµνT ) (3.7.48) (3.7.49) où h = ηµν hµν T = ηµν Tµν (3.7.50) Au plus petit ordre, la loi de conservation (3.4.12) est donnée par T (µν) ,ν = 0 (3.7.51) Les Éqs. (3.4.16) et (3.4.17) sont, au plus petit ordre en hµν R(µν) ,ν = R,µ (3.7.52) Les Éqs. (3.7.51) et (3.7.52) sont automatiquement satisfaites par l’Éq. (3.7.49). L’Éq. (3.7.48) satisfait les Éqs. (3.4.15) et (3.4.16). Une transformation de jauge de la forme µν = hµν + 2ε(µ,ν) (3.7.53) laisse les Éqs. (3.7.48) et (3.7.49) invariantes. L’Éq. (3.7.53) est de la forme en champ faible de la transformation des coordonnées µ = µ (xµ ) ≈ xµ + εµ (x) (3.7.54) Maintenant, on choisit un système de coordonnées harmoniques définit par gµν Λλ µν = 0 (3.7.55) ou bien h(µν) ,ν = h,µ (3.7.56) Les équations du champ avec sources, les Éqs. (3.7.48) et (3.7.49), deviennent (TGE) (TNG) h[µν] ,ν = 4π Sµ h(µν) = − 16π (Tµν − h(µν)T ) h[µν] = − W[µ,ν] − S[µ,ν] + 16πTµν (3.7.57) (3.7.58) (3.7.59) 2 3 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2 1 2 h x x 1 2 1 2 4 3 8 3 π
  • 110. 3.7 L’Approximation Linéaire 89 L’Éq. (3.7.58) est identique à celle que l’on retrouve dans la TGE avec une solution donnéee par1,1 h(µν)(x,t) = 4 (3.7.60) Les Éqs. (3.7.57) et (3.7.59) doivent être résolues pour h[µν] et Wµ . Les solutions sont, avec Wµ ,µ = 0 Wµ (x,t) = −8π Sµ (x,t) −8π Bµ (x,t) (3.7.61) et h[µν ](x,t) = − 2 − 2 − 4 (3.7.62) où Bµ(x,t) = (3.7.63) Une caractéristique intéressante surgit : h(µν) et h[µν] se propagent à la vitesse de la lumière, tandis que Wµ possède une partie qui se propage et une autre qui est un terme de contact. Le lagrangien linéarisé de la TNG est, au second ordre1,2 L (2) = LTGE + LS + DT (3.7.64) où LTGE est le lagrangien en champ faible au second ordre de la TGE (h,µ = ∂ν h[µν]) LTGE = h(µν) h(µν) + h(µσ) ,σ h(µν),ν + h,µ(h(σµ) ,µ − h,σ ) + 8π h(µν) T(µν) (3.7.65) De plus, LS est une partie de la densité lagrangienne au second ordre ayant trait au champ antisymétrique h[µν] et le champ de torsion Wµ LS = − h[µν] h[µν] + h[µσ] ,σ h[µν],ν − h[µν] ,νW[µ,ν] + h[µν] S[µ,ν] − Sµ S µ + 8π h(µν) T(µν) (3.7.66) et le terme DT signifie les termes de dérivées totales. Si on adopte la redéfinition du champ au premier ordre3 Wµ = − h[µ,ν] ,ν (3.7.67) alors, le lagrangien (3.7.66), pour le cas libre de sources (Tµν = Sµ = 0), prend la forme LS = h{[µν],λ}h{[µν],λ} (3.7.68) où h{[µν ],λ} = h[µν ],λ + h[νλ ],µ + h[λµ] ,ν (3.7.69) est le 3-forme (forme de Pfaff) de la grandeur du champ. Si on définit le dual suivant * F =* F µ = εµνρσ h{[νρ],σ} (3.7.70) alors les équations du mouvement sont données par d * F = * F µ ,µ = 0 (3.7.71) ce qui implique que Fµ = φ,µ (3.7.72) où φ est un champ scalaire. Les équations du mouvement se réduisent alors à une équation d’onde ∫ ′− ′−−′−′−−′ ′ xx xxxxxx x ),(),( 2 1 )(3 tTtT d µνµν η ∫ ′− ′−−′ ′ xx xxx x ),(][3 tS d ν,µ ∫ ′− ′−−′ ′ xx xxx x ),(][3 tB d ν,µ ∫ ′− ′−−′ ′ xx xxx x ),(][3 tT d µν ∫ ′− ′−−′ ′ xx xxx x ),(1 , ][3 tT d c ν ν,µ 4 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 2 3 8π 3 16 2 π 2 3 12 1 6 1
  • 111. 90 3 Les Équations du Champ φ = 0 (3.7.68) De telles équations sont à la base de la théories des cordes. Pour des sources dites cordées, la forme de T[µν] est T[µν] = dτadξava[µuaν ]δ4 [y − xa(τ,ξ)] + j[ν,µ ] (3.7.73) où vaµ = (∂xaµ/∂τa) et uaµ = (∂xaµ/∂ξa), et jµ = dτa (3.7.74) où f et g sont des constantes de couplage à la corde physique.3 La constante physique de la corde est donnée par g′ = (hc/G)1/2 g et le premier terme dans l’Éq. (3.7.73) est pour les cordes fermées et est libre de divergences.2 Si on élimine le multiplicateur de Lagrange Wµ avec les équations du champ, on obtient LS = h{[µν],λ}h{[µν],λ} + Sµ S µ − S[µ,ν]S [µ,ν] + 2h[µ,ν]Tc [µ,ν] − jµ S µ (3.7.75) où Tc [µ,ν ] est le courant de la corde fermée. LS a la forme du lagrangien d’une corde ouverte et il est invariant sous la transformation de jauge h[µν ] → h[µν ] + 2λ[µ,ν ]. Les équations du mouvement pour le champ Sµ sont données par ( + µ 2 )Sµ = jµ (3.7.76) où la longueur d’onde inverse de Compton, µ, est prédite comme ayant la valeur µ = (3.7.77) 3.8 Les Ondes Planes Dans l’espace-temps libre de matière, les équations du champ en première approximation, les Éqs. (3.7.57)-(3.7.59), deviennent1 h(µν) = 0 h[µν] = W[ν,µ] h[µν] ,ν = 0 (3.8.1) (3.8.2) (3.8.3) La solution de l’Éq. (3.8.1) est identique à celle de la TGE. On obtient la solution pour une onde plane1,1 h(µν)(x) = (3.8.4) avec kµ k µ = 0 (3.8.5) où e(µν) et kµ représentent le tenseur de polarisation (symétrique) et le quatre-vecteur d’onde (ou de propagation), respectivement. À cause de l’Éq. (3.7.56)), on a aussi k µ e(µν) = ηρσ e(ρσ) kν = ekν (≠ 0) (3.8.6) Les Éqs. (3.8.2) et (3.8.3) donnent ∑ ∫∫a ag 2 1 g f 2 1 ∑ ∫a a f i f τ τ [ ]∑ ∫       − a a a a aa f i f xy d dx df τ τ ξ µ ξτδ τ ξτ τ 0 4 ),( ),( 12 1 2 3 2       g f f g G cmc C 21 2 3 41 == hD 4 3 λ λ λ λ µνµν xikxik eeee −∗+ + )()( 1 2 1 2
  • 112. 3.9 Les Propriétés Fantômes 91 Wµ = 0 (3.8.7) avec Wµ ,µ = 0, étant la condition de jauge choisit pour Wµ . Il est évident que Wµ possède des solutions d’ondes du type maxwellien. Cependant, due à l’Éq. (3.8.2), les solutions du type fonctions de Green pour h[µν] divergent à moins que Wµ = λ,µ , où λ est une solution de l’équation d’onde de Klein-Gordon. Alors, l’Éq. (3.8.2) devient h[µν] = 0 (3.8.8) donnant ainsi h[µν] = (3.8.9) où l’Éq. (3.8.5) est maintenue, et kµ e[µν ] = 0 (3.8.10) à cause de l’Éq. (3.8.3). Les Éqs. (3.8.6) et (3.8.10) représentent les quatre contraintes sur le tenseur de polarisation e(µν ) et les trois contraintes sur le tenseur de polarisation e[µν ], respectivement. Cependant, seulement deux composantes de e(µν ) et une composante de e[µν ] sont significatives physiquement. Comme dans la TGE, le champ h(µν ) possède une hélicité 2+ , comme il est montré en considérant une onde plane dans la direction .9,1 De façon similaire, une rotation autour de l’axe z pour une onde de h[µν ] dans la direction donne d′± = e±iθ d± h[µν ] ,ν = 0 e′[12] = e[12] (3.8.11) (3.8.12) où e[03] = e′[12] = e[12] d± = e[01] m i e[02] = − (e[13] m i e[23]) (3.8.13) (3.8.14) et l’Éq. (3.8.10) a été utilisée. Alors, h[µν] possède des composantes d± d’hélicité ±1, et e[12], d’hélicité 0+ . Cependant, on peut montrer que e[01] et e[02] peuvent être amenés à zéro. Finalement, seulement e[12] possède une signification physique, et h[µν ] est un champ de spin-0. Des champs de spin-0 décrits par un champ antisymétrique du second ordre sont courant dans la théorie des cordes.1,2 3.9 Les Propriétés Fantômes Pour débuter, on reprend notre densité lagrangienne donnée par l’Éq. (3.7.64) que l’on généralise1 L (2) = LTGE + (ah[µν],σ h[µν],σ + 2bhµ hµ ) + cWµ hµ − dh[µν] h[µν] +Wµ S µ + h[µν]T µν + h[µν] S [µ,ν] (3.9.1) où h = η µν hµν, hµ = ∂ν h[µν], et les indices répétés indiquent la sommation en utilisant ηµν : par example, Wµ S µ = η µν Wµ Sν . LTGE est le lagrangien linéarisé de la TGE, donné par l’Éq. (3.7.65), et a, b, c, et d sont des constantes qui assument des valeurs qui dépendent de la théorie qu’on considère. En utilisant le formalisme utilisant un opérateur de projection de spin, on obtient les relations suivantes a−1 (1+ ) = aij −1 (1− ) = (3.9.2) (3.9.3) λ λ λ λ µνµν xikxik eeee −∗+ − ][][ $z $z 1 2 dak −2 1 2 2 2 212 212 1 ])[( 2 )( 2 )( 2 0 k dkba c k c i k c i             −+−−
  • 113. 92 3 Les Équations du Champ où k2 = kµ k µ et kµ est le quatri-vecteur nombre d’onde. Considérons le cas où d ≠ 0. Le critère pour ne pas avoir de modes fantômes (mo = 0, Ek < 0) et de tachyons (mo ≠ 0, Ek > moc2 ) nous donne, de l’Éq. (3.9.2) : a > 0 d > 0 (3.9.4) Mais le même critère, lorsqu’on l’applique à l’Éq. (3.9.3), donne d < 0, puisque c2 > 0 pour que L soit réel. Alors, pour d ≠ 0, on a ou bien un mode fantôme de spin-1− sans masse, ou bien un tachyon de spin-1+ .* 2,3 Alors, nous avons une théorie physique seulement si d = 0 (a = 0 nous donnerait une théorie triviale sans champs de propagation.) De sorte à éviter des modes fantômes, la seule contrainte qu’on a est a > 0. La particule sans masse de spin-1− ne se propage plus ; à sa place, seulement des termes de contact sont présents dans ce secteur. Le secteur spin-1+ n’est plus un tachyon. Ce secteur a été analysé auparavant et représente une particule scalaire. Il est intéressant de voir qu’il n’y a pas de contrainte sur le paramètre b. Dans les lagrangiens des champs antisymétriques avec c = 0, ou bien le secteur 1+ ou 1− est un secteur fantôme, et ceci ne peut être seulement retiré en contraignant a et b de façon approprié, nous donnant une invariance de jauge qui retire le fantôme. Ici, cependant, le vecteur Wµ agit de façon à rendre le secteur fantôme non propageable. Il est important qu’il n’y ait pas de termes W qui apparaissent dans L (2) . De tels termes nous mèneraient, en général, à des modes fantômes dans le secteur 1− . Puisqu’il n’a pas de ces termes, les modes fantômes sont retirés par le multiplicateur de Lagrange Wµ et non par l’invariance de jauge. Les signes de a et d dépendent des propriétés réelles de la métrique gµν. Les contraintes imposées par l’Éq. (3.9.4) sont obtenues seulement pour une métrique gµν réelle. Alors, la théorie réelle est complètement libre de modes fantômes.4 Il semble naturel d’appeler la particule de spin-2 associée avec h(µν ) ( (µν )), le graviton, puisque h(µν ) est identique aux résultats obtenus dans la TNG. On appelle la particule de spin-0 associée avec h[µν ] ( [µν ]), le skewon. Alors, la partie symétrique nous donne h(µν ) → J P = 2+ (graviton) (3.9.5) comme pour la TGE, tandis que la partie antisymétrique nous donne h[µν ] → J P = 0+ (skewon) (3.9.6) Donc, le contenu en hélicité de la TNG est (2,0).1 En résumé, dans l’approximation linéaire en champ faible de la TNG, on a écrit gµν = ηµν + hµν (on écrit gµν = ηµν + µν ), où les hµν sont de petites quantités ou premier ordre. Une analyse de l’approximation linéaire révèle que le courant S µ se présente dans le lagrangien avec le couplage h[µν ] S [µ,ν ] , et à cause de l’équation de conservation pour le courant S µ , SSSSµ ,µ = 0, ce courant ne se couple pas à la particule sans masse de spin-0+ associée avec h[µν ] au premier ordre. Un calcul du propagateur montre aussi que le champ vectoriel auxiliaire sans masse de spin-1− , Wµ , ne se propage pas au plus bas ordre en approximation ; Wµ est un champ de contacte. Il n’y a pas de modes fantômes dans la version réelle (ou hyperbolique complexe) de la TNG. h[µν ] peut se coupler à un spin intrinsèque via le tenseur matériel T [µν ] . Dans ce cas, on a C [µν ] = Kε µνρσ Jρ ,σ (3.9.7) où Jµ est le pseudo-tenseur du spin intrinsèque et K est une constante.† Cependant, ce couplage est envisagé comme étant très petit pour des systèmes macroscopiques. * Le contenu en hélicité est en accord avec le résultat de Kursunoglu2 pour la Théorie du Champ Unifiée ; on voit donc de cette analyse que la théorie du champ unifié basée sur le terme de Bonnor, dggggµν g[µν ], doit contenir des particules non physiques.3 † Le diagramme d’échange à boson unique est donné par A = [2(T (µν ) t(µν ) − T t + C [µν ] C[µν ])] (3.9.8) où tµν et T µν sont le pseudo-vecteur et le tenseur d’énergie-impulsion, respectivement. Pour des particules de masse M et m, sans spin, on obtient A = M m (3.9.9) ce qui est identique au résultat obtenu dans la TGE. Avec l’Éq. (3.9.7), l’Éq. (3.9.9) devient1 A = (M m − 2K 2 q2 J⋅⋅⋅⋅j) (3.9.10) pour deux spins J ⋅⋅⋅⋅j. On obtient une force dépendante du spin entrant au niveau du diagramme d’échange uniboson. La force gravitationnelle est portée par le graviton et la force de spin par le skewon. µ 2 1 g 1 g 1 g 2 16 q π 1 2 2 16 q π 2 16 q π
  • 114. 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-Plan de la TGE 93 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-Plan de la TGE On reprend les équations du champ formulées dans le vide [voir les Éqs. (3.2.5), (3.2.6) et (3.2.8)] ( g[µν ] ),µ = 0 g(µν),σ − gµρ Γ ρ σν − gρν Γ ρ µσ = 0 Rµν (Γ) + W[µ,ν ] = 0 (3.10.1) (3.10.2) (3.10.3) Pour linéariser, on se rappelle qu’il faut développer la métrique selon gµν = ηµν + ε µν (3.10.4) où µν est au premier ordre dans la fluctuation, et ε << 1. Sous l’Éq. (3.10.4), les équations du champ (3.10.1)-(3.10.3) se réduisent à l’ensemble suivant3 η ρσ ( (µν ),σρ − (σν ),µρ − (µσ ),νρ + (ρσ ),µν ) = 0 η ρσ [µν ],ρσ − W[µ,ν ] = 0 η νσ [µν ],σ = 0 (3.10.5) (3.10.6) (3.10.7) L’Éq. (3.10.5) est précisément l’équation du champ qui décrit la perturbation riemannienne (TGE) sur un espace-temps plat de Minkowski. Comme cité auparavant, elle est invariante sous une transformation de jauge de la fluctuation symétrique donnée par l’Éq. (3.7.53) (µν ) → (µν ) + 2ε (µ,ν ) (3.10.8) et elle dicte le déplacement des particules sans masse et d’hélicité ±2. Les Éqs. (3.10.6) et (3.10.7) obéissent au champ antisymétrique et ne sont pas invariantes sous la transformation [µν ] → [µν ] + 2ε [µ,ν ] (3.10.9) à moins que le champ de transformation satisfait η ρσ (εµ,ρσ − ερ,σµ ) (3.10.10) Les Éqs. (3.10.6)-(3.10.10) décrivent une particule unique sans masse avec une hélicité nulle. On a appelé cette particule, le skewon. Ayant vu la manière par laquelle le skewon apparaît dans la TNG (expansion sur un arrière-plan plat de Minkowski), explorons maintenant les conséquences d’une expansion sur un vide arbitraire de l’arrière-plan de la TGE. L’expansion des champs se fait de la façon suivante (voir Section 2.1)1,2 gµν = gE(µν ) + µν + µν + ... Γ λ µν = λ µν + λ µν + λ µν + ... Wµ = 0 + µ + µ + ... (3.10.11) Prenont par example un arrière-plan comme étant complètement dénué de torsion : λ µν = λ νµ . L’expansion des composantes de la métrique inverse en fonction des perturbations et des objets riemanniens covariants (de l’arrière-plan) est gµν = gE (µν ) − µν + gE (µσ ) ρσ ρν − µν + O( ) (3.10.12) g− 2 3 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 4 3 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 0 Γ 1 Γ 2 Γ 1 W 2 W 0 Γ 0 Γ 1 g 1 g 1 g 2 g 3 g
  • 115. 94 3 Les Équations du Champ où E symbolise la métrique de la TGE (d’Einstein), remplaçant ainsi ηµν dans l’arrière-plan arbitraire de la TGE. Les composantes de la métrique symétrique de l’arrière-plan, gE(µν ), et son inverse, gE (µν ) , sont utilisés pour élever et abaisser les indices, par example Aµν = gE (µσ ) gE (µν ) Aρσ (3.10.13) Notre objectif consiste à substituer les expansions données par les Éqs. (3.10.11) dans les équations du mouvement (3.10.1)-(3.10.3) et de les examiner itérativement. La partie à l’ordre zéro de l’Éq. (3.10.1) est identiquement zéro (l’équation de divergence de la partie antisymétrique de la métrique n’a pas de contribution riemannienne.) L’expression à l’ordre zéro de l’équation de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.10.2), définit la partie à l’ordre zéro de la connexion entière de la connexion de Christoffel, formée par la métrique de l’arrière-plan, λ µν = . Les équations du champ dans le vide, l’Éq. (3.10.3), nous procure la condition de Ricci pour un espace-temps plat de Minkowski pour un arrière-plan de la TGE µν = 0 (3.10.14) Le résultat sert à définir l’arrière-plan du champ. On introduit la dérivée covariante de l’arrière-plan et sera dénotée par . Au premier ordre en approximation, la condition sur la divergence de la partie antisymétrique de la métrique dans la TNG, l’Éq. (3.10.1), devient µ [µν ] = 0 (3.10.15) L’équation de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.10.2), admet une solution au premier ordre λ µν = gE (λρ ) ( ρµ,ν + νρ,µ − µν,ρ ) (3.10.16) Au même ordre, les équations du champ, l’Éq. (3.10.3), deviennent µν + [µ,ν ] = 0 0 = µ λ µν − ν λ µλ + W[µ,ν ] (3.10.17) (3.10.18) Pour se rendre de l’Éq. (3.10.17) à l’Éq. (3.10.18) requiert la définition du tenseur de Ricci dans la TNG, et ce, au premier ordre, et la notion que le rotationnel d’un champ vectoriel est un objet covariant, pourvu que la connexion soit sans torsion (comme est le symbole de Christoffel.) Sous la substitution de l’Éq. (3.10.16), les parties symétrique (µν ) et antisymétrique [µν ] de l’Éq. (3.10.18) se lisent (µν) [µν] gE (ρσ ) ( µρ (σν ) + νρ (µσ ) − σρ (µν ) − (µν ) (σρ) ) gE (ρσ ) ( µρ [σν ] + νρ [µσ ] + σρ [µν ]) + W[µ,ν ] (3.10.19) (3.10.20) La partie symétrique (qui dépend seulement sur la partie symétrique de la perturbation (µν ) est une équation du champ (covariante) qui dicte la propagation des petites perturbations gravitationnelles (riemanniennes) de l’arrière-plan courbe. C’est précisément la version covariante des résultats qu’on a obtenu pour la TNG lorsqu’on a linéarisé sur l’arrière-plan donné par l’Éq. (3.10.5). En particulier, l’Éq. (3.10.19) est invariante sous la transformation (µν ) → (µν ) + 2 (ν,µ ) (3.10.21) en autant que la géométrie de l’arrière-plan satisfait l’Éq. (3.10.14). La symétrie donnée par l’Éq. (3.10.21) est le vestige au premier ordre de l’invariance des coordonnées de la théorie entière, sous les transformations infinitésimales de la forme xµ → µ = xµ − εµ (3.10.22) On n’a pas besoin de se préoccuper de la façon dont la partie antisymétrique, l’Éq. (3.10.20), se transforme sous une translation des coordonnées parce que les parties à l’ordre zéro sont fixées à zéro, et les effets de la transformation donnée par l’Éq. (3.10.22) sur les champs antisymétriques sont ressenti seulement aux ordres supérieurs. 0 Γ { }µν λ 0 R 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 1 g 1 Γ 1 2 1 g 1 g 1 g 1 R 2 3 1 W 0 ∇∇∇∇ 1 Γ 0 ∇∇∇∇ 1 Γ 4 3 1 2 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 1 2 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 4 3 1 g 1 g 1 g 0 ∇∇∇∇ x
  • 116. 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-Plan de la TGE 95 Les équations pour la partie antisymétrique de la perturbation, les Éqs. (3.10.15) et (3.10.20), gouvernent la partie non riemannienne de la dynamique. Alors, comme résultat de l’Éq. (3.10.15), ce ne sont pas toutes les composantes de µν apparaissant dans l’Éq. (3.10.20), qui sont de bons degrés de liberté. Considérons le résultat suivant gE (ρσ) µρ [σν] = µ (gE (ρσ) ρ [σν]) − gE (ρσ) gE (αβ) ( ασρµ [βµ] + ανρµ [αβ]) = − gE (ρσ) gE (αβ) σνρµ [αβ] (3.10.23) en autant que la condition exprimée par l’Éq. (3.10.14) soit respectée. En simplifiant grandement l’Éq. (3.10.23), on obtient [µν] E µν − 2gE (ρα ) gE (σβ ) σνρµ αβ + W[µ,ν ] (3.10.24) où E A... = gE (ρσ) ρσ A... . L’Éq. (3.10.24) est différente de la version covariée des équations du champ dans la TNG lorsque linéarisée sur l’arrière-plan de la TGE et ce, par la présence du couplage de la courbure entière de l’arrière-plan. De tels termes sont indispensables pour la préservation de l’invariance de jauge restreinte de la TNG. Si on essaie de transformer de champ antisymétrique de la façon suivante (transformation covariante de Kalb-Ramond),3 on obtient le résultat [µν ] → [µν] + 2 [ν,µ ] (3.10.25) On est alors obligé, par l’Éq. (3.10.15), d’exiger que Eεµ = gE (ρσ ) ρµ εσ (3.10.26) pour ainsi préserver la condition que la divergence de la partie antisymétrique de la métrique disparaît.88 Sous une transformation, comme celle de l’Éq. (3.10.25), l’équation qui détermine la dynamique de la partie antisymétrique de la métrique, l’Éq. (3.10.24), est modifiée par2,3 δ (3.10.24) = gρσ [ρ ( Eεµ ]) + 2 gE (ρσ ) ν σνµ ρ εν (3.10.27) Le premier terme du côté droit disparaît mais le second terme reste et détruit donc l’invariance de jauge putative.* Ceci diminue sensiblement les chances que la TNG puisse être capable de procurer un modèle de gravitation avec une quelconque redevance phénoménologique.88,104 En particulier, la notion que la TNG contient la TGE est complètement détruite. Il a été dit que la TNG se réduit simplement à la TNG dans la limite que l’antisymétrie disparaît. L’analyse exacte de la TNG, lorsqu’elle est linéarisée sur l’arrière-plan de la TGE, montre que cette limite est problématique. Il y a encore la possibilité que la TNG, lorsqu’une expansion est faite sur un arrière-plan complet (et non trivial) de la TGE, maintiendrait sa propre consistance, ou que les effets non perturbatifs pourraient inhiber les modes non-physiques encore présents après la linéarisation sur l’arrière-plan. Donc, pour que la TNG demeure une théorie alternative viable, il doit être démontré que les problèmes théoriques mentionnés ci-dessus, qui découlent directement de l’effondrement de l’invariance de jauge sur l’arrière-plan de la TGE, soient évités. * On exprime cette invariance de jauge selon : δ [µν ] = ε[ν,µ ] et µ [µ εν ] = 0. 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 R 1 g 0 R 1 g 0 R 1 g 1 g 0 R 1 g 4 3 0 ∇∇∇∇ 1 g 1 g 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 0 R 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇
  • 117. 96 3 Les Équations du Champ 3.11 Remarques sur la Présence du Terme de Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique D’abord, les équations qui sont requises pour notre discussion, en utilisant l’Éq. (3.10.24), sont les suivantes2,1,2,3 µν(gE) = 0 ρ {[µν],ρ} + 4 ρ µ σ ν (gE) [ρσ] + W[µ,ν] = 0 ν [µν] = 0 (3.11.1) (3.11.2) (3.11.3) où {[µν],ρ} = [µν],ρ + [νρ],µ + [ρµ],ν (3.11.4) et, comme toujours µν = (µν) + [µν] (3.11.5) S’il n’y aurait pas la présence du terme de couplage entre la courbure et la métrique, [µν ], l’Éq. (3.11.3) décrirait le champ antisymétrique de jauge (invariant sous δ [µν] = ε[ν,µ ]) exprimée dans la jauge de Lorentz [l’Éq. (3.11.3)] imposée par Wµ . Cependant, la présence du terme de couplage entre la courbure et la métrique, [µν ], rend la TNG inconsistante : Ce terme est manifestement non invariant sous la transformation ε résiduelle [voir l’Éq. (3.10.24)], ce qui implique que les modes longitudinaux (d’apparence fantôme) demeurent couplés. De façon correspondante, Wµ ne réussit pas à se découpler parce que l’équation de Maxwell qu’elle obéit possède une source dépendante de la courbure µ [µ Wν] = −3 µ [ ρ µ σ ν(gE) [ρσ]] (3.11.6) de sorte qu’il est impossible de retirer Wµ par le choix approprié de conditions initiales, ce qui implique que les modes dangereux ne se découplent pas, même dans la théorie du vide qu’on a considéré jusqu’ici. Cette situation est davantage troublante dans la version de la théorie qui considère le couplage avec la matière : le côté droit de l’Éq. (3.11.6) contiendrait des termes additionnels agissant comme des sources localisées d’ondes Wµ retardées. Comme second problème, la propagation de Wµ a la conséquence physique pénible qu’elle génère un comportement asymptotique de [µν] qui est inacceptable dans la zone d’onde, même si la courbure décroît à l’infini : la contrainte exprimée par l’Éq. (3.11.6) est une équation d’onde inhomogène pour Wµ (dans la jauge de Lorentz µ Wµ = 0). Alors, Wµ possède un comportement en 1/r dans le futur, nul et infini (représenté dans le plan conforme par J + .) Mais, ensuite, en insérant cette information dans le côté droit de l’Éq. (3.11.6), on trouve que [µν] (et en particulier sa partie longitudinale) ne disparaît pas dans J + . Comme résultat de ce comportement asymptotique non physique, la diffusion des ondes [µν] par la gravité peut irradier (de façon formelle) de l’énergie négative,4 une violente instabilité (classique) qui est contraire aux observations.1 Cependant, on peut apporter deux arguments contraires à ceux exprimés auparavant soit que l’Éq. (3.11.2) est une équation d’onde inhomogène pour Wµ, donc Wµ possède un comportement en 1/r dans une zone d’onde, et que [µν] possède un comportement asyptotique. Premièrement, même si Wµ se comporte en 1/r, il n’y a pas de garantie que [µν] possède un mauvais comportement pour des situations génériques et dépendantes du temps. De plus, dans l’analyse effectuée auparavant, seulement trois des six équations du champ pour [µν] ont été utilisées, et nous n’avons pas porté une attention particulière au fait que les solutions générées [par la résolution de l’ensemble des trois Éqs. (3.11.2)] étaient compatibles avec les trois Éqs. (3.11.3). En second lieu, même si on peut toujours garantir que Wµ possède un 0 R 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 R 1 g 4 3 0 ∇∇∇∇ 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 0 R 1 g 1 g 0 R 1 g 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 0 R 1 g 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g
  • 118. 3.11 Remarques sur la Présence du Terme de Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique 97 comportement en 1/r, et que ceci, en retour, influence directement [µν] à toujours avoir un mauvais comportement, les critères seraient fondés. Dans cette éventualité, lorsque les conditions physiques aux frontières sont imposées sur [µν] ( [µν] [µν] → 0 dans J+ ), l’ensemble solution serait vide, rendant ainsi la TNG sans aucun contenu physique. Ceci n’est pas le cas cependant, puisque les arguments proposées ne peuvent être utilisés pour prouver que toutes les solutions ont un mauvais comportement asymptotique. Maintenant, concernant l’invariance de jauge. On a émis quelques réserves ou sujet du deuxième terme dans l’Éq. (3.11.2) qui couple la courbure de l’arrière-plan, ρ µ σ ν (gE), à la perturbation antisymétrique de la métrique, [µν], causant ainsi une violation de l’invariance de jauge restreinte. Ceci n’est nullement surprenant car la théorie entière ne possède pas une invariance de jauge manifeste dans le secteur antisymétrique de gµν . Alors, il n’y a pas de courant conservé associé qui est en besoin d’une protection spécifique. Comme il est évident par l’analyse de l’Éq. (3.4.4), les symétries de la densité lagrangienne (dans le vide), l’Éq. (3.4.14), sont l’invariantes sous un ensemble des difféomorphismes et invariantes sous une transformation U(1) reliée à Wµ ; les quantités conservées qui sont associées sont l’énergie-impulsion et la densité de charge de la TNG. Lorsque linéarisées selon la prescription donnée par l’Éq. (3.10.4), ces invariances sont représentées par des transformations de jauge infinitésimales: δ (µν) = (µ ξν ), δ Wµ = λ,µ et δ [µν ] = 0. On voit que l’invariance approximative : δ [µν ] = [µ εν ], µ [µ εν ] = 0, est une symétrie accidentelles qui survient de la nature antisymétrique de [µν] et non de la symétrie exacte de la théorie. Concernant la radiation gravitationnelle et la déclaration qu’elle irradiait de l’énergie négative, on démontre que ceci est faux. En décomposant l’onde et l’arrière-plan, on trouve, de l’Éq. (3.10.2), que (à l’ordre δ = λ/L) ρ ρ [µν] + W[µ,ν ] = 0 (3.11.7) Cet ensemble d’équations du champ, avec l’Éq. (3.11.3), peut être analysé de la même façon qu’il a été fait pour l’analyse de l’espace-temps plat, de sorte que W[µ,ν ] peut être négligé au plus bas ordre en δ. Ceci en soi montre qu’il n’y a pas de contributions d’énergie négative apportées au flux de radiation gravitationnelle, puisque les termes d’ordre δ (et plus élevés) ne contribueront pas à l’intégrale du flux. Donc, il n’y a pas de radiation dipolaire dans la TNG et le flux d’énergie amené à l’infini est définit positivement. Ces arguments ont été satisfaits par une solution exacte de l’onde gravitationnelle axisymétrique. Le flux de l’onde gravitationnelle fut trouvé comme étant définit positivement comme c’est le cas dans le TGE. De plus, le champ vectoriel auxiliaire Wµ fut trouvé comme ayant un comportement en 1/r3 , ce qui répudie l’affirmation précédente que Wµ possédait un comportement en 1/r. Sommairement, l’énoncé que la TNG fait face à des problèmes reliés aux modes longitudinaux non physiques en plus d’avoir un mauvais comportement asyptotique est inexacte. Les équations qui décrivent le déplacement d’une onde dans la TNG autour d’un arrière-plan riemannien peuvent être montrées comme menant à un flux d’énergie positif lorsque les conditions usuelles de l’optique géométrique sont maintenues. Ce sont les mêmes conditions qui doivent être appliquées pour obtenir des résultats comparables à ceux de la TGE. On a aussi vu que la composante antisymétrique de la métrique, [µν ], qui disparaît toujours asyptotiquement est inexacte et les solutions physiques, avec un bon comportement, demeurent après qu’on eut imposé des conditions aux frontières. 3.12 Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy On suppose que l’on nous donne une hypersurface S tridimensionnelle orientée dans l’espace. Un système de coordonnées est choisit de sorte que S soit décrite par l’équation x0 = t = 0. On nous donne les données initiales de Cauchy gµν, gµν,t et Wi (i = 1, 2, 3, peut importe la coordonnée spatiale) sur S et g tt > 0. Ceci nous permet de calculer toutes les dérivées internes gµν,i , Wi, j , etc. dans S. 11 Comme il nous est impossible de trouver une solution fermée simple pour Γ λ µν du système d’équations différentielles dans le vide, l’Éq. (3.2.5), nous allons trouver le problème à valeur initiale en utilisant la solution récursive de Γ λ µν basée sur le développement en champ faible pour gµν et Γ λ µν (voir Section 3.7). On peut écrire l’équation 1 g 1 g 1 g 1 g 0 R 1 g 1 g 0 ∇∇∇∇ 1 g 1 g 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 1 g 0 ∇∇∇∇ 0 ∇∇∇∇ 1 g 4 3 1 g
  • 119. 98 3 Les Équations du Champ gggg[µν] ,ν = 0 (3.12.1) au n-ème ordre comme [voir l’Éq. (3.7.12)] ηλµ [µν],λ = ν (3.12.2) où ν contient les produits des g à l’ordre n −1 et moins. En utilisant l’Éq. (3.7.15), on voit, des Éqs. (3.7.22) et (3.7.24), que les équations du champ, l’Éq. (3.2.11), peuvent être écrites au n-ème ordre en approximation comme (µν)(Γ) = ηρσ ( (µσ),ν,ρ + (νρ),µ,σ − (µν),ρ,σ − (ρσ),µ,ν) + (µν) = 0 (3.12.3) [µν](Γ) = ηρσ [µν],ρ,σ + [µν] + [µ,ν] = 0 (3.12.4) où les (µν) et les [µν] contiennent des produits des g et de leurs dérivées à l’ordre n − 1 et moins. En effectuant les composantes spatiales et temporelle de l’Éq. (3.12.3), on obtient (ij) = − (ij),t,t + (ij) + (ij) = 0 (3.12.5) (it) = (it) + (it) = 0 (3.12.6) tt = ii,t,t + tt + tt = 0 (3.12.7) où (µν) peut être exprimé en fonction des données initiales sur S. De même, de l’Éq. (3.12.4), on a [ij] = − [ij],t,t + ∇∇∇∇2 [ij] + [ij] + [i,j] = 0 (3.12.8) [it] = − [it],t,t + ∇∇∇∇2 [it] + [it] + [i,t] = 0 (3.12.9) tandis que l’Éq. (3.12.2) devient [it],t = [ij], j + i (3.12.10) Le calcul de (it) donne (it) = − (jt),i, j + ∇∇∇∇2 (ti) + (jj),i,t − (ji),t,j (3.12.11) Alors, l’Éq. (3.12.6) représente seulement une contrainte sur les données initiales et la dérivée interne de (µν) dans S. On a aussi pour la combinaison ηtt tt − ηij ij = tt + ii = tt + ii + tt + ii = 0 (3.12.12) Si on considère maintenant le tenseur d’Einstein, Gµν = Rµν − gµν R, alors, au n-ème ordre t t = t t − = tt − (− ii + tt) = ( tt + ii + tt + ii) = 0 (3.12.13) et t i = t i = t i + t i = 0 (3.12.14) On voit que les quatre équations n g n C n C n R 2 1 n g n g n g n g n K n R 2 1 n g n K n W3 2 n K n K n R 1 2 n g n N n K n R n N n K n R 1 2 n g n N n K n N n R 1 2 n g 1 2 n g n K n W3 2 n R 1 2 n g 1 2 n g n K n W3 2 n g n g n C n N n N 1 2 n g 1 2 n g 1 2 n g 1 2 n g n g n R n R n R n R n N n N n K n K 1 2 n G n R 1 2 n R n R 1 2 n R n R 1 2 n N n N n K n K n G n R n N n K
  • 120. 3.12 Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy 99 t λ = λ t = 0 (3.12.15) dépendent des données initiales. Puisqu’il y a une liberté de jauge (pour un paramètre seulement) des équations du champ, possible sous une transformation de jauge de la forme représentée par l’Éq. (3.4.14), on peut établir la jauge en utilisant la condition t = 0 (3.12.16) On arrive donc à l’ensemble des équations du mouvement au n-ème ordre (ij),t,t = 2 (ij) + 2 (ij) = 0 (3.12.17) [ij],t,t = ∇∇∇∇2 [ij] + [ij] + [i,j] = 0 (3.12.18) i,t = [ij],t,j − ∇∇∇∇2 [it] + [it] (3.12.19) où on a utilisé l’Éq. (3.12.10) et [it] contient des termes de i,t et [it] qui sont connus à partir des ordres d’approximation inférieurs. Les Éqs. (3.12.7) et (3.12.18) constituent douze équations et, avec les Éqs. (3.12.10) et (3.12.15), il y a, en tout, vingt équations. Seulement quinze d’entre elles sont indépendantes dû à l’existence des cinq identités exprimées par les Éqs. (3.4.1) et (3.4.13). Il y a donc vingt fonctions inconnues (µν), [µν], et µ. Cependant, seulement quinze de ces fonctions sont libres d’être déterminées en considérant les quatre choix arbitraires des coordonnées et la condition de jauge unique exprimée par l’Éq. (3.12.16). Alors, le système d’Éqs. (3.12.17)-(3.12.19)forment un schème dynamique compatible. Finalement, les Éqs. (3.12.17)-(3.12.19) ont été rigoureusement prouvées en utilisant l’ensemble complet des équations du champ plutôt qu’un développement perturbatif.1 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation On présente ici un résumé assez large des développements introduits dans les sections précédentes. Afin de rendre les rudiments de la TNG plus accessibles, on introduit à quelques occasions des développements quelque peu différents de ceux établis jusqu’à présent. Cependant, on réfère, dans la mesure du possible, aux sections qui font l’objet du développement en question. Les variables fondamentales du champ de la TNG sont les composantes de la métrique non symétrique (Section 1.4) définissant un espace non riemannien gµν = g(µν) + g[µν] (3.13.1) et les composantes, W λ µν et Γ λ µν, des connexions non symétriques, tous deux reliées par l’équation (Section 3.1) W λ µν = Γ λ µν − δλ µ Wν (3.13.2) où Wµ = W ν [µν] définit la torsion du champ. Les composantes covariantes et contravariantes de la métrique non symétrique gµν sont liées entres elles par la relation (Section 2.4) gµν gσν = gνµ gνσ = δ µ σ (3.13.3) où l’ordre des indices est très important. Les équations du champ sont obtenues à partir d’un principe d’action avec d’une densité lagrangienne non métrique (présence d’un terme non gravitationnel) de la forme (Section 3.3) LLLLTNG = LLLLG + LLLLNG (3.13.4) où XXXX = X, et LLLLG est la partie gravitationnelle, donnée par (Section 3.3) LLLLG = − gµν Rµν (W) (3.13.5) n G n G n W n g n N n K n g n g n K n W3 1 n W n g4 3 3 4 n g n L n L n C n K n g n g n W 2 3 g− g−
  • 121. 100 3 Les Équations du Champ où les composantes du tenseur de courbure dans la TNG sont données par Rµν (W) = W λ µν,λ − (W λ µλ,ν + W λ νλ,µ ) − W σ ρν W ρ µσ + W σ ρσ W ρ µν (3.13.6) et g = det| gµν | (3.13.7) LLLLNG est la densité lagrangienne non gravitationnelle ou densité lagrangienne matérielle (Section 3.5). En utilisant une forme de LLLLNG appropriée pour les fluides parfaits, on a dérivé un tenseur d’énergie-impulsion du fluide parfait à l’intérieur de la TNG ayant la même structure que pour la TGE (Section 3.6) T µν = [ρo( Π + 1 ) + p] uµ uν − pg µν (3.13.8) où ρo est la densité de masse au repos du fluide, Π est la densité d’énergie interne spécifique, et p est la pression du fluide. On peut faire, dans l’Éq. (3.13.8), la substitution ρ = ρo(Π + 1) nous indiquant la familiarité avec le résultat de la TGE. Notons que T µν est non symétrique dû à la présence de g µν qui est non symétrique. En plus de T µν , il y a la présence d’une nouvelle source pour les champs de la forme de la densité de courant du nombre de particules fermioniques, S µ , ayant comme composantes (Section 3.5) S µ = f 2 n u µ (3.13.9) Avec ce modèle de fluide parfait pour la matière, LLLLNG prend la forme phénoménologique suivante (Section 3.3) LLLLNG = 8π ggggµνT µν + Wµ SSSS µ (3.13.10) où T µν et S µ sont donnés par les Éqs. (3.13.8) et (3.13.9), respectivement. Les équations du champ de la TNG sont obtenues en variant, d’une part, LLLLTNG par rapport à gµν, donnant ainsi (Section 3.3) G µν (W ) = 8π T µν (3.13.11) où la constante cosmologique, Λ, est nulle et G µν (W ) ≡ Rµν (W ) − g µν (W ) (3.13.12) R µν (W ) = g µσ g ρν Rρσ (W ) (3.13.13) R(W ) = g µν Rµν (W ) (3.13.14) En variant LLLLTNG par rapport à W λ µν, on obtient l’équation de compatibilité de la métrique (Section 3.4) ggggµν ,σ − δ ν σ gggg(µρ) ,ρ + ggggρν W µ ρσ + ggggµρ W ν σρ − δ ν σ ggggρσ W µ ρσ − ggggµν W ρ σρ = (δν σSSSSµ − δµ σSSSSν ) (3.13.15) En faisant la contraction sur µ et σ dans l’Éq. (3.13.15), nous obtenons le second système d’équations du champ pour g[µν] (Section 3.3) gggg[µν] ,ν = 4π SSSS µ (3.13.16) tandis qu’une contraction sur ν et σ dans l’Éq. (3.13.15) nous donne gggg(µν) ,ν + ggggρσ W µ ρσ + ggggµρ Wρ = 0 (3.13.17) En substituant l’Éq. (3.13.17) à nouveau dans l’Éq. (3.13.15) donne la condition de compatibilité (matérielle) de la métrique (Section 3.4) ggggµν ,σ + ggggρν W µ ρσ + ggggµρ W ν σρ − δν σ ggggµρ Wρ = (δν σ SSSS µ − δ µ σ SSSS ν ) (3.13.18) La condition de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.13.18), peut être réécrite sous une forme plus conventionnelle en introduisant trois champs additionnels : Γ λ µν, D λ µν et Λλ µν, definies, respectivement, de W λ µν et S µ par les relations (Section 3.3) 1 2 8 3 π 2 1 4 3 π 3 2 3 2 3 4π
  • 122. 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 101 Γ λ µν ≡ W λ µν + δ λ µWν (3.13.19) Γµ ≡ Γ λ [µλ] = 0 (3.13.20) gλν D λ µρ + gµλ D λ ρν = − S σ (gµρ gσν − gµσ gρν + gµν g[ρσ]) (3.13.21) et Λλ µν ≡ Γ λ µν + D λ µν(S ) (3.13.22) En utilisant ces définitions, les Éqs. (3.13.19)-(3.13.22), dans l’Éq. (3.13.18) donnent les résultats (Section 3.3) gµν,σ − gρν Λρ µσ − gµρ Λρ σν = 0 (3.13.23) ,σ − Γ µ (νµ) = g[µν]SSSS µ (3.13.24) Dans la définition de Γ λ µν, l’Éq. (3.13.19) est mise dans la définition de Rµν (W ), l’Éq. (3.13.6), pour nous donner (Section 3.3) Rµν (W ) = Rµν (Γ) + W[µ,ν ] (3.13.25) avec Rµν (Γ) = Γ λ µν,λ − (Γ λ (µλ),ν + Γ λ (νλ),µ ) + Γ ρ µν Γ σ (ρσ) − Γ σ µρ Γ ρ σν (3.13.26) En termes de Γ λ µν et D λ µν, Rµν (Γ) peut être réécrit en fonction des parties symétrique et antisymétrique, respectivement, donné par (Section 3.3) R(µν)(Γ) = R(µν)(Λ) − R(µν)(D) − R(µν)(ΛD) (3.13.27) où R(µν)(Λ) = Λλ (µν),λ − (Λλ (µλ),ν + Λλ (νλ),µ) +Λσ (µν)Λρ (σρ) − Λρ (µσ)Λσ (ρν) −Λρ [µσ]Λσ [ρν] (3.13.28) R(µν)(D) = D λ (µν),λ − (D λ (µλ),ν + D λ (νλ),µ) −D σ (µν)D ρ (σρ) + D ρ (µσ)D σ (ρν) +D ρ [µσ]D σ [ρν] (3.13.29) R(µν)(ΛD) = Λσ (µν)Dρ (σρ) + Λρ (σρ)Dσ (µν) − Λρ (µσ)Dσ (ρν) − Λρ (νσ)Dσ (ρµ) −Λρ [µσ]Dσ [ρν] − Λσ [ρν]Dρ [µσ] (3.13.30) tandis que R[µν](Γ) = R[µν](Λ) − R[µν](D) − R[µν](ΛD) (3.13.31) où R[µν](Λ) = Λλ [µν],λ − Λσ [µν]Λρ (σρ) − Λρ (µσ)Λσ [ρν] − Λρ [µσ]Λσ (ρν) (3.13.32) R[µν](D) = D λ [µν],λ − D σ [µν]D ρ (σρ) + D ρ (µσ)D σ [ρν] + D ρ [µσ]D σ (ρν) (3.13.33) R[µν](ΛD) = Λσ [µν]Dρ (σρ) + Λρ (σρ)Dσ [µν] − Λρ (µσ)Dσ [ρν] −Λρ [νσ]Dσ (ρµ) + Λρ (νσ)Dσ [ρµ] + Λρ [νσ]Dσ (ρµ) (3.13.34) Le tenseur G µν (W ) peut être réécrit en fonction de Γ λ µν en utilisant l’Éq. (3.13.24) dans l’Éq. (3.13.12) G µν (W ) = Gµν (Γ) + (gµσ gρν − gµν g[ρσ] )W[µ,ν] (3.13.35) où G µν (Γ) ≡ Rµν (Γ) − gµν (Γ) (3.13.36) Rµν (Γ) = gµσ gρν Rρσ(Γ) (3.13.37) R (Γ) = gµν Rµν (Γ) (3.13.38) 3 2 3 4π g− g− 3 4π 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2
  • 123. 102 3 Les Équations du Champ En symétrisant et antisymétrisant Gµν (W ), on obtient G (µν) (W ) = G (µν) (Γ) + (2sµσρν − g(µν) g[ρσ] )W[ρ,σ] (3.13.39) où G (µν) (Γ) = R(µν) (Γ) − g(µν) R (Γ) (3.13.40) R (µν) (Γ) = sµσρν R(ρσ)(Γ) (3.13.41) et s µσρν = s νσρµ ≡ (gµσ gρν + gνσ gρµ ) (3.13.42) tandis que G[µν] (W) = G[µν] (Γ) + (2aµσρν − g[µν] g[ρσ] )W[ρ,σ] (3.13.43) où G[µν] (Γ) = R[µν] (Γ) − g[µν] R (Γ) (3.13.44) R[µν] (Γ) = aµσρν R[ρσ](Γ) (3.13.45) et aµσρν = − aνσρµ ≡ (gµσ gρν − gνσ gρµ ) (3.13.46) Avec ces résultats, les équations du champ de la TNG peuvent maintenant être résumées. Elles sont G (µν) (W ) = 8π T (µν) − (2 sµσρν − g(µν) g[µν] )W[ρ,σ] (3.13.47) G [µν] (W ) = 8π T [µν] − (2 aµσρν − g[µν] g[µν] )W[ρ,σ] (3.13.48) gggg[µν] ,ν = 4π SSSS µ (3.13.49) et l’équation de compatibilité matérielle de la métrique est identique à l’Éq. (3.13.23), soit gµν,σ − gρν Λρ µσ − gµρ Λρ σν = 0 (3.13.50) Les équations de réponse matérielle dans une théorie de la gravitation déterminent comment la matière réagit aux champ gravitationnels qui sont présents. Les équations de réponse matérielle pour T µν sont le fruit de l’invariance générale des coordonnées de l’action non gravitationnelle de la TNG, SNG, sous une transformation des coordonnées telle : µ (P) = x µ (P) + ξ µ (P), caractérisée par les quatre générateurs infinitésimaux ξµ . L’équation de réponse matérielle dans la TNG est la suivante (Section 3.4) g(σµ)TTTT(µν) ,ν + g[µσ]TTTT[µν] ,ν + g(ρσ)TTTT(µν) Λρ (µν) + 2g[µρ]TTTT(µν) Λρ [νσ] + + g(ρσ)TTTT[µν] Λρ [µν] + 2g(µρ)TTTT[µν] Λρ [νσ] + W[σ,ν]SSSS ν = 0 (3.13.51) L’action gravitationnelle de la TNG, SG, est invariante sous la transformation de jauge de Wµ donnée par (Section 3.4) Wµ → Wµ + λ ,µ (3.13.52) où λ est un champ scalaire quelconque. ceci donne pour résultat la loi de conservation pour Sµ (Section 3.4) SSSS µ ,µ = 0 (3.13.53) Lorsqu’il n’y a pas de sources, T µν et S µ sont nuls et on obtient les équations du champ dans le vide (Section 3.2) gggg[µν] ,ν = 0 (3.13.54) Rµν (Γ) = W[ν,µ ] (3.13.55) 3 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 x 1 3 3 2
  • 124. 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 103 L’Éq. (3.13.55) peut être réécrite (seulement lorsqu’il n’y a pas de sources) de la façon suivante R(µν)(Γ) = 0 (3.13.56) R{[µν],σ}(Γ) = 0 (3.13.57) La condition de compatibilité de la métrique, dans le vide, s’écrit (Section 3.2) gµν,σ − gρν Γ ρ µσ − gµρ Γ ρ σν = 0 (3.13.58) qui peut être réécrite, avec l’aide de l’Éq. (3.13.19), pour donner l’équation de compatibilité généralisée des composantes de la métrique non symétrique dans la TNG gµν,σ − gρν W ρ µσ − gµρ W ρ σν = 0 (3.13.59) Les quatre identités de Bianchi sont données par (Section 3.4) [ggggµν Gσν (Γ) + ggggνµ Gνσ (Γ)],µ + gµν ,σGGGGµν (Γ) = 0 (3.13.60) En plus des quatre identités de l’Éq. (3.13.59), les Éqs. (3.13.56) et (3.13.57) satisfont l’identité suivante ε µνρσ R{[µν],ρ}(Γ) = 0 (3.13.61) Il y a dix-huit équations du champ mais, puisqu’il y a 4 + 2 = 6 identités [les Éqs. (3.13.49), (3.13.59) et (3.13.60)], seulement douze des équations du champ sont indépendantes. Cependant, seulement douze des seize variables du champ, gµν, sont indépendantes, puisqu’il y a l’existence de quatre transformations arbitraires des coordonnées : µ = (∂ µ /∂xν ) xν . Les Éqs. (3.13.54) et (3.13.55) constituent vingt équations du champ mais, puisque ces équations ont 4 + 1 = 5 identités exprimées par les Éqs. (3.13.49) et (3.13.59) entre elles, seulement quinze équations du champ sont indépendantes. Des vingt variables du champ, gµν et Wµ , seulement quinze sont indépendantes puisqu’il y a l’existence de quatre transformations arbitraires des coordonnées et la transformation de jauge donnée par l’Éq. (3.13.52). Alors, le système d’équations différentielles partielles (3.13.54) et (3.13.55) constituent un système d’équations compatibles. Appendice A Dérivation de Γ λ µν = W λ µν + δ λ