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La théorie non symétrique de la gravitation La théorie non symétrique de la gravitation Document Transcript

  • ═════════════ LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION ═════════════ MAURICE R. TREMBLAY
  • ii
  • iii LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans l’Astrophysique Contemporaine
  • iv
  • v LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans l’Astrophysique Contemporaine MAURICE R. TREMBLAY
  • vi 2008, Maurice R. Tremblay Tremblay, Maurice R. (Maurice Rémi), 1966 – La théorie non symétrique de la gravitation et ses implications dans l’astrophysique contemporaine
  • vii À PIERRE ALLARD À MON PÈRE RÉMI TREMBLAY ET À TOUS MES PARENTS ET AMIS SANS EUX, RIEN N’AURAIT ÉTÉ POSSIBLE
  • viii
  • ix Contenu Les sections indiquées d’un astérisque sont considérées optionnelles et peuvent être omises lors de la première lecture. PRÉFACE xiv NOTATION xvii Vitesse de la Lumière Indices Vecteurs et 1-formes Dérivées Métrique L’Élément de Longueur ds2 Élément de Longueur de Minkowski Élément de Longueur de Schwarzschild Connexions Courbure et autres Tenseurs Reliés Densités 1 INTRODUCTION 1 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 1 Repère Inertiel Deuxième Loi du Mouvement de Newton Transformations de Galilée Invariance de la Loi de Newton Relativité Newtonienne Équations de Maxwell Équations d’Ondes Homogènes Non-Invariance de l’Équation du Télégraphe Explications Proposées avant 1905 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein 5 Reformulation des Lois de la Physique Postulats de la Relativité Restreinte Transformations de Lorentz-Einstein Conséquences de la Relativité Restreinte Transformations Généralisées des Coordonnées dans l’Espace-temps 1.3 7 La Théorie de la Gravitation d’Einstein Nouvelle Théorie de la Gravitation Principe d’Équivalence d’Einstein Principe de Mach Structure de l’Espace-temps Action Gravitationnelle Totale Principe de Moindre Action Équations du Champ d’Einstein Équation de Déviation Géodésique Équations du Champ Gravitationnel d’Einstein dans le Vide Solution de Schwarzschild 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat Appendice A Les Équations de Maxwell Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein Appendice C Règles du Calcul des Résidus/Variations Bibliographie Références 16 20 22 26 30 32 32 2 CONCEPTS MATHÉMATIQUES DE BASE 37 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 37 Définitions, Ensembles et Topologie Representation par Carte Structure de Variété Espaces Tangentiels Variété Dérivable Courbes Paramétrisées Vecteurs Tangentiels Champs Vectoriels Formes d’Ordre Un Produit Externe Tenseurs Dérivée Externe Dérivée de Lie Espace de Riemann Espace-temps Dérivée Covariante et la Connexion Affine Géodésique Tenseur de Courbure Tenseur de Riemann-Christoffel Tenseur de Ricci Courbure Riemannienne Scalaire Identités de Bianchi Tenseur d’Einstein Calcul du Tenseur de Riemann ix
  • x Contenu 2.2 Dérivation Covariante et Transport Parallèle 2.3 Courbure de l’Espace-temps Non Riemannien 2.4 Métrique Non Symétrique 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation Tétrades Hyperboliques Complexes et la Symétrie Locale GL(4) 2.6 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-temps* 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures* 2.9 L’Action dans le Langage des Vierbeins 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes* Appendice Formes au Premier et au Second Ordre Bibliographie Références 52 53 54 57 60 62 67 70 71 72 74 74 3 77 LES ÉQUATIONS DU CHAMP 3.1 L’Action et la Densité Lagrangienne 3.2 Les Équations du Champ dans le Vide 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles 3.4 Les Identités de Bianchi et les Lois de Conservation 3.5 La Source S µ 3.6 La Source T µν 3.7 L’Approximation Linéaire 3.8 Les Ondes Planes 3.9 Les Propriétés Fantômes 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-plan de la TGE 3.11 Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique 3.12 Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy* 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation Appendice A Dérivation de Γ λµν = W λµν + 2 δ λµ W ν 3 Appendice B Développement de g [µν ] Bibliographie Références 77 78 80 82 84 85 88 94 95 96 99 101 102 106 107 108 109 4 111 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 LES SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DU CHAMP La Solution Statique à Symétrie Sphérique Extérieure Le Théorème de Birkhoff La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell* La Solution à Symétrie Sphérique Extérieure Dépendante du Temps La Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure La Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps La Solution Cosmologique à Symétrie Plane* Cas i : γ = 1 Cas ii : 0 ≤γ < 1 Pour γ = 0 Pour γ = 1/3 Pour l 2 ≠ 0 et σ 2 ≠0 Pour l 2 = 0 et 2 2 σ = 0 Cas 1ii γ = 1 Cas 1iii: γ = 1/3 Pour σ = 0 Cas 2i: γ = 0 Cas 2ii: γ = 1 Cas 2iii: 2 γ = 1/3 Pour l = 0 Cas 3i: γ = 0 Cas 3ii: γ = 1 Cas 3iii: γ = 1/3 Pour Bo = 1 (b o = 0), l 2 = 0 2 et σ = 0 Cas 4i: γ = 0 Cas 4ii: γ = 1 Cas 4iii: γ = 1/3 Appendice Solutions Générales Bibliographie Références 111 117 118 126 131 141 153 166 176 177
  • xi Contenu 5 LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 179 5.1 La Particule d’Essai 5.2 L’Approximation Post Newtonienne* 5.3 Le Complexe Énergie-Contrainte* 5.4 Les Équations du Mouvement d’un Corps Massif 5.5 L’Effet Nördverdt* 5.6 Les Particules d’Essais avec Moment Angulaire de Rotation* 5.7 Le Problème à Trois Corps Appendice Formalisme Post Newtonien Bibliographie Références 179 184 186 188 191 201 202 205 207 207 6 LE DÉPLACEMENT DES PARTICULES D’ESSAIS 209 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 Le Déplacement d’une Particule d’Essai dans un Champ Statique à Symétrie Sphérique Le Déplacement d’une Particule d’Essai Massive Le Mouvement Gyroscopique Le Potentiel Gravitationnel La Précession de la Périhélie d’une Particule d’Essai Le Déplacement du Périastre La Déviation des Rayons Lumineux Le Décalage vers le Rouge et le Décalage de Doppler Le Temps Propre d’une Horloge Les Effets Retardés des Signaux Radars Les Coordonnées d’Extension Maximale* L’Effondrement Gravitationnel et les Trous Noirs* 209 212 214 219 220 224 226 227 229 230 231 233 Cas i: Photons (E = 0) Cas ii: Particules (E = 1) sans charge TNG (lp = 0, K = 0) Particules (E = 1) avec charge TNG (lp ≠ 0, K ≠ 0) Cas iii: 6.13 Trous de Vers* 6.14 Résumé Appendice Calcul de l’Intégrale (6.11.11) Bibliographie Références 238 244 248 249 249 7 251 LA VIOLATION DU PRINCIPE D’ÉQUIVALENCE 7.1 7.2 251 252 Introduction Violation du Principe d’Équivalence Faible dans les Théories Non Symétriques de la Gravitation 7.3 L’Invariance Locale de Lorentz 7.4 Anisotropie Spatiale 7.5 Polarisation de la Vitesse de la Lumière 7.6 La Différence de Phase* Appendice Le Formalisme THε µ 253 257 259 262 263 8 UN MODÈLE POUR LE COURANT CONSERVÉ DU NOMBRE FERMIONIQUE 265 8.1 8.2 Introduction Le Courant Conservé du Nombre Fermionique 265 266
  • xii Contenu 9 LES SOLUTIONS INTÉRIEURES DES NAINES BLANCHES ET DES ÉTOILES À NEUTRONS DANS LA TNG 271 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Les Solutions Intérieures L’Équation d’État Les Conditions de Stabilité Les Solutions pour les Naines Blanches Les Solution pour les Étoiles à Neutrons 271 273 273 274 279 10 EXPÉRIENCES BINAIRES 287 10.1 Calculs Stellaires et Limites sur f i 2 Le Pulsar PSR 1913+16 10.2 10.3 Les Binaires Non Dégénérées 10.4 La Binaire DI Herculis 10.5 La Binaire AS Cam 10.6 Explication du Déplacement du Périastre Anormalement Faible Pour DI Herculis et AS Cam 10.7 Autres Systèmes Binaires 10.8 La Binaire 4U 1820-30 10.9 Le Pulsar SN 1987 A 10.10 Conclusions 10.11 Résumé Appendice La Radiation Gravitationnelle Dipolaire 287 289 292 292 294 295 296 297 299 299 300 303 11 309 EXPÉRIENCES LIMITÉES AU SYSTÈME SOLAIRE 11.1 Moment Quadripolaire du Soleil 11.2 Précession de la Périhélie de Mercure 11.3 Effet Nördverdt 11.4 Déviation des Rayons Lumineux près du Soleil 11.5 Délai Maximum des Signaux Radars Valeur Pour f c2 et Contraintes du Modèle 11.6 11.7 Conclusions 11.8 Résumé Appendice Les Ondes Gravitationnelles dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 309 310 313 313 317 318 322 324 326 12 EXPÉRIENCES TERRESTRES 333 12.1 12.2 12.3 12.4 Expérience de Pound-Rebka Différence en Accélération Fermions dans un Champ Gravitationnel Gyroscope en Orbite 333 334 336 338 13 COSMOLOGIE 341 13.1 13.2 13.3 13.4 Introduction Modèle Cosmologique Non Uniforme et Non Singulier Les Cas Pour et Contre le Modèle Standard de la Cosmologie Les Incertitudes Observationnelles 341 344 348 349 14 EFFONDREMENT GRAVITATIONNEL 351 14.1 14.2 14.3 Introduction L’Effondrement Gravitationnel dans la TNG Les Explosions de Supernovae 351 351 352
  • Contenu xiii 15 CONCLUSIONS 355 16 VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES 357 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 Introduction Jupiter Saturne Gyroscopes Orbite Lunaire Déviation Gravitationnelle de la Lumière par le Soleil Horloges Atomiques Mesure de la Polarisation d’un Pulsar Lignes Spectrales du Soleil Conclusions 357 358 361 363 365 366 367 370 373 376 17 PROBLÈMES ASSOCIÉS À LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION 381 18 FORMULATION NON SINGULIÈRE 383 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 Introduction La Solution Statique à Symétrie Sphérique Non Singulière Développement Approximatif Calculs Numériques La Courbure Non Singulière et la Singularité des Coordonnées Conclusions 383 385 387 388 390 391 19 FORMULATION NON SINGULIÈRE DE LA THÉORIE TNG-MAXWELL AVEC SOURCES 393 19.1 19.2 19.3 Développement Approximatif de la Solution Statique Non Singulière Les Quantités Physiques Non Singulières et la Singularité des Coordonnées Conclusion 393 396 399 20 LA THÉORIE MASSIVE ET NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION 401 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 Introduction Les Équations du Champ de la Théorie Massive et Non Symétrique de la Gravitation L’Approximation Linéaire Développement des Équations du Champ autour d’un Arrière-plan Courbe Théorème de Birkhoff Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la TMNG Conclusions 401 402 402 406 408 409 410 21 CONCLUSIONS GÉNÉRALES 411 Appendice Théorie Non Symétrique de Kaluza-Klein 416 RÉFÉRENCES 425 BIOGRAPHIE DE JOHN W. MOFFAT 435
  • xiv Préface Ce travail comprend une revue complète et systématique de la théorie non symétrique de la gravitation de John W. Moffat. Aucun ouvrage n’a réussi jusqu’à présent de mettre en forme près de 1000 publications scientifiques entourant l’effort soutenue aux théories non symétriques pendant la deuxième partie du 20e siècle (le but subsiste encore dans l’espérance qu’un jour l’édifice d’une nouvelle théorie de la gravitation verra le jour où celle-ci sera davantage généralisée et possiblement non symétrique). Elle est fondée sur les développements que nous a procurés la relativité générale d’Einstein en 1914. Son origine est dans un Albert Einstein mécontent que la relativité générale et la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) annoncée en 1916 ne peuvent expliquer l’origine du phénomène électromagnétique. Pour offrir une nature plus générale au champ gravitationnel, Einstein proposa la Théorie du Champ Unifiée (TCU) en 1949. Même en date de sa mort en 1955, Einstein n’obtînt jamais des équations de la TCU, surtout dans la limite d’un champ faible – dépourvue même de gravitation, une solution qui constituerait les équations de Maxwell décrivant une onde électromagnétique. Cependant, en 1979, John W. Moffat proposa de considérer le champ non symétrique de la TCU comme étant un champ purement gravitationnel et proposa la Théorie Non symétrique de la Gravitation (TNG) – une nouvelle théorie (non symétrique) de la gravitation. La TNG qui découle de cette nouvelle interprétation du champ gravitationnel est basée sur le postulat de base que la géométrie de l’espace-temps est déterminée par une structure de champ gravitationnelle non riemannienne. Cette géométrie généralisée est défini dans les quatre dimensions d’espace-temps par un élément de longueur (longueur d’arc ou intervalle), ds, qui servira à définir les distances et le mouvement des géodésiques. Il correspond en quelque sorte au Théorème de Pythagore, représenté par la relation algébrique a2 + b 2 = c2 (datant de 500 av. J.C.), explicitant le rapport mathématique 3:4:5 entre la somme de chaque carré des deux côtés adjacents (a et b) de l’angle droit (θ = 90°) et de l’hypoténuse (c) d’un triangle rectangle associé au plan Euclidien. Mathématiquement, l’élément de longueur infinitésimal (ds2) est le carré de l’intervalle entre deux coordonnées (xµ = [x0, x1, x2, x3]) par rapport à une origine quelconque (O ) et il est défini par le produit de chacune des seize composantes de la métrique* de l’espace-temps, gµν , avec le produit des différentielles des coordonnées, dxµ et dxν , entre elles. Conséquemment, on a ds2 ≡ Σµν gµν dxµ dxν. En plus de nous permettre de définir les distances, la métrique non symétrique (g ) a la propriété d’être invariante d’un système de coordonnées à l’autre et elle représente comment les échelles varient d’un point à l’autre dans l’espace-temps. La TNG est basée sur trois objets géométriques: les composantes de la métrique non symétrique (gµν) et deux connexions non symétriques (Γρµν et Wλµν). La variation des composantes La métrique g (xµ ) est une fonction des coordonnées xµ = [x0, x1, x2, x3] et elle est représentée géométriquement par une ~ relation tensorielle (g ≡ g ⊕ g ) qui correspond à la somme matricielle des composantes de la métrique symétrique de la relativité générale, g ≡ g (µν )d xµ ⊗d xν où g (µν ) = 1 (g µν + g νµ ), et des composantes antisymétriques du nouveau secteur de 2 ~ la théorie non symétrique de la gravitation, g ≡ g [µν ]d xµ ∧d xν où g [µν ] = 1 (gµν − g νµ ). 2 * xiv
  • Préface xv (g µν ) de la métrique (g ) est considérée dans la représentation de la courbure et de la torsion du champ gravitationnel non symétrique (Wµ = Σλ Wλ[µλ]).* Il en découle alors qu’en plus de la courbure de l’espace-temps familière à la théorie de la gravitation d’Einstein (ou relativité générale), il y a aussi la présence d’une torsion du champ gravitationnelle par la voie des composantes de la partie antisymétrique de la connexion (W λµν ). On peut visualiser sommairement la géométrie d’un tel champ gravitationnel non symétrique arbitraire par une analogie à la toile érigée par une araignée où la toile représente un système de coordonnées polaires dont les créneaux sont tordus par les contraintes élastiques (e.g. dues par exemple à la courbure provoquée par la masse linéaire de la toile et à la torsion asymétrique créée par les différentes tensions présentent dans les filaments tissés). Dans la TNG, la masse et la charge générées déforment et tordent l’espace-temps (via la courbure et la torsion, respectivement.) La théorie est basée sur une formulation lagrangienne et on obtient des équations non linéaires du champ, des lois de conservation et des équations du mouvement pour plusieurs situations d’intérêt. La TNG mène aussi à des prédictions expérimentales intéressantes que nous explorerons en profondeur car la TNG possède plusieurs solutions à ses équations du champ dont une solution statique à symétrie sphérique possédant un nouveau paramètre ( l² ) une charge proposée qui correspond au nombre conservé de particules d’un corps et qui possède les dimensions de [longueur]². Lorsque la charge du nombre conservé de particules d’un corps est nulle (l² = 0), l’élément de longueur se réduit à la solution familière de Schwarzschild. On applique cette solution à plusieurs scénarios dont celui du système solaire. De plus, la solution à symétrie sphérique dépendante du temps intérieure est appliquée aux naines blanches et aux étoiles à neutrons qui comporte un autre paramètre (s, lié à l2 ). Il existe aussi des solutions à la théorie combinée TNG-Maxwell, une solution à symétrie sphérique dépendante du temps extérieur d’une source de champ gravitationnel, et quelques solutions d’ordres cosmologiques correspondants à des situations isotropes ou inhomogènes. La TNG est en accord avec toutes les données observationnelles lorsque les paramètres internes de la théorie sont proprement ajustés et peut même expliquer quelques différences observationnelles qui ne peuvent être expliquées par la relativité générale dans des situations où les champs gravitationnels sont intenses – un secteur qui offre davantage de possibilités que les solutions présentement disponible par la voie de la relativité générale. Par exemple, la TNG est aussi en accord avec les mesures de temps du pulsar PSR 1913+16 et procure une explication pour le déplacement du périastre anormalement faible pour les systèmes binaires tels DI Herculis et AS Cam où on trouve que l’hypothèse des cosmions peut jouer un rôle significatif dans un arrangement convenable avec les données procurant ainsi, de la part de la TNG, un lien significatif entre les données astronomiques et l’existence de la matière noire et possiblement une quatrième génération (ou famille) de particules. Une fois que les données de la précession de la périhélie de Mercure ont été convenablement arrangées, il suit que les prédictions faites par la TNG pour les autres vérifications du système solaire sont toutes en accord avec les observations, incluant même le cas où le coefficient du moment quadripolaire du Soleil serait élevé. Ceci inclus la déviation de la lumière près du Soleil, les données sur le délai temporel, les données sur le décalage vers le rouge et l’Effet Nördverdt où, dans la TNG, le rapport mG / mI est unitaire jusqu’au premier ordre dans l’approximation post newtonienne confirmant que la masse inertielle mI et la masse gravitationnelle mG représentent une seule et même chose. Dans la limite du champ faible, seulement la radiation quadripolaire résulte et il n’y a pas de pôles fantômes ou de tachyons. La bonne limite newtonienne est aussi obtenue. La TNG prédit aussi qu’au plus bas ordre en approximation le spin de la partie symétrique (h (µν )) est JP = 2+ comme dans la relativité générale (le graviton) tandis que le spin Les composantes de la connexion symétrique Γ λµν (xµ ) sont données par la relation Γ λµν = 1 Σλ [g ρλ (gνλ,µ + g µλ,ν − g µν,λ )] 2 où on représente la dérivation par rapport aux composantes x0, x1, x2, et x3 des coordonnées xλ, soit gµν,λ ≡ dgµν /dxλ. Les composantes Γ ρµν et W λµν sont reliées entre elles par la relation : Γ λµν = W λµν + 2 δ λ µ Wν où δ λµ = 1 lorsque λ = µ et 3 δ λµ = 0, autrement (i.e., lorsque λ ≠ µ ). Finalement, on définit la trace Wν = Σρ [W ρ[ν ρ ] ] ≡ 1 Σρ [W ρν ρ − W ρρν ]. 2 *
  • xvi Préface de la partie antisymétrique (h [µν ]) est JP = 0+ correspondant à une nouvelle particule, le skewon. Cette particule d’antisymétricité gravitationnelle n’a toutefois jamais été observée. Du point de vue théorique, la généralité et l’attrait esthétique de la TNG comme théorie de l’espacetemps mérite davantage d’étude. Citons par exemple le couplage de la métrique non symétrique à la courbure de l’arrière-plan de la relativité générale. Dans une étude préliminaire, il a été découvert qu’effectivement un terme de couplage entre la courbure de l’arrière-plan de la relativité générale et le 0 1 développement au premier ordre de la métrique ( R × g [µν ] ) rend la TNG inconsistante. Ce terme est manifestement non invariant sous une transformation ε résiduelle ce qui implique que les modes longitudinaux (d’apparence fantôme) demeurent couplés dans la TNG. De façon correspondante, Wν ne réussit pas à se découpler parce que l’équation de Maxwell qu’elle obéit possède une source dépendante de la courbure de sorte qu’il est impossible de retirer Wν par un choix approprié de conditions initiales, ce qui implique que les modes dangereux ne se découplent pas, même dans la théorie du vide. Cette situation est davantage embêtante dans la version de la TNG qui considère le couplage avec la matière : des termes additionnels agissent comme des sources localisées d’ondes Wν retardées. Pour remédier à ces problèmes fondamentaux, de nouvelles formulations de la TNG ont été étudiées. Dans la Théorie Massive et Non symétrique de la Gravitation (TMNG), on incorpore trivialement un terme comportant une masse au lagrangien. En effet, cette nouvelle orientation vient de l’étude d’un nouveau secteur de la TNG et l’ensemble des solutions donne un comportement régulier aux quantités physiques tel de décalage vers le rouge et la densité d’énergie. Il n’existe donc pas d’horizon événementiel de trous noirs et aucune singularité de l’espace-temps dans cette nouvelle formulation du champ gravitationnel. Le développement qui suit est considéré consistant et débute par une introduction qui suggère l’importance de la nature humaine de critiquer les théories établies lorsque celles-ci manquent à expliquer les concepts davantage fondamentaux. En ce sens, on débute par expliciter la deuxième loi de Newton qui sert à décrire la dynamique du mouvement qui est invariante sous une transformation de coordonnées. On montre ensuite que les transformations de Galilée laisse la loi de Newton invariante mais cependant, elle laisse aussi des termes additionnels lorsqu’on les applique aux équations de la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell suggérant ainsi que le résultat d’expériences de nature électromagnétique conduite dans un repère en mouvement rectiligne uniforme ( S ) ne correspondront pas aux résultats obtenus dans un repère au repos ( S ). On argument ensuite que seules les postulats et les équations de transformation de la relativité restreinte d’Einstein réussissent à expliquer le résultat négatif de l’expérience interférométrique de Michelson-Morley et où la constance de la vitesse de la lumière a été confirmée. Ensuite, on ajoute au principe de la relativité restreinte la nécessité du principe d’équivalence pour formuler la base de la relativité générale, laquelle stipule qu’on ne peut distinguer localement un mouvement de chute libre (sans rotation) dans un champ gravitationnel d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel. Puis finalement, on argumente que la relativité générale est elle aussi qu’une première étape vers une théorie finale de la gravitation tout en se dissociant toutefois de la considération d’un champ gravitationnel entièrement symétrique en postulant une métrique non symétrique du champ gravitationnel et un continuum purement gravitationnel en la partie antisymétrique de la métrique. On explore ensuite l’ensemble des fondements et on explicite rigoureusement la formulation de la théorie non symétrique de la gravitation de Moffat, et finalement, on étudie ses implications dans l’astrophysique contemporaine. MAURICE TREMBLAY Ottawa, Ontario, Canada Janvier, 2008
  • xvii Notation En règle générale, tous les symboles sont expliqués dans le texte. On identifie seulement les conventions courantes auxquelles l’on obéira tout au long de l’ouvrage. Vitesse de la Lumière * La vitesse de la lumière est une constante et se propage approximativement par c ~ 300,000,000 mètres par seconde (on exprime un tel ordre de grandeur par 3×108 m/s en notation scientifique). Dans le vide (vacuum), elle est précisément égale à c = 299,792,458 m/s ou 1,079,252,848.8 km/h, ou bien même trente centimètres (un pied) par nanoseconde (10−9 s). Elle a comme origine les équations de Maxwell qui décrivent l’unification des effets électriques aux phénomènes magnétiques, desquels on déduit l’existence d’une onde électromagnétique qui se propage d’elle-même et qui se déplace au travers l’espace avec une vitesse constante c = 1 ε o µ o = 299,792,458 m/s. La particule élémentaire qui constitue une onde lumineuse est le photon – un quanta d’énergie électromagnétique. L’intensité de la radiation électromagnétique émise par un corps noir (un absorbeur parfait, aussi connue comme une cavité rayonnante) dépend de la fréquence de la radiation (e.g. la couleur de la lumière) et de la température du corps selon une distribution de Planck.† On reconnaît l’origine de la définition de la lumière dans l’électromagnétisme de James Maxwell de la fin du 19e siècle, le champ généré par le déplacement électrique D représente comment le champ électrique E influence l’organisation des charges électriques dans un milieu donné, incluant la migration de charges et la réorientation des Les trois dimensions de la lumière (i.e., ou toute autre radiation électromagnétique) sont l’intensité I ∝ | A 2 | (où A est l’amplitude de l’onde électromagnétique), qui est reliée à la perception humaine par la brillance apparente de la lumière, la fréquence f (où λ est la longueur d’onde liée à cette dernière par la relation λ = c / f ), perçue par les humains comme la couleur de la lumière, et la polarisation ε µ (p), une fonction de la quantité de mouvement de l’onde électromagnétique et laquelle les humains ne perçoivent que faiblement sous des conditions normales. † Des trois couleurs primaires, le vert est le plus lumineux, suivi du rouge, puis du bleu. La luminance lumineuse est l'intensité lumineuse d'une source lumineuse dans une direction donnée, divisée par l'aire apparente de cette source dans cette même direction – l’unité de luminance lumineuse est le watt par mètre carré et par stéradian – W/m²/sr) en unités MKS (Mètre, Kilomètre, Seconde). La luminance énergétique monochromatique Lλ est un flux énergétique (i.e., la puissance ou la luminosité ∴ [W]) par unité de surface (A ∴ [m2] ), par unité d’angle solide (dΩ ∴[sr] ) et par unité de longueur d’onde (λ ∴[m] ) ; elle s’exprime en W/m2/sr/m. La loi de Planck définit donc la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique * . 2hc 2 1  [W/m2/sr/m]  Lλ = 5  hc kλλ  λ T  λ e −1  où cλ = c / n λ est la vitesse du rayonnement électromagnétique dans le milieu où se propage le rayonnement, l’indice de réfraction du milieu, n λ (pour la longueur d’onde quelconque λ ), la vitesse de la lumière dans le vide (c = 299,792,458 m/s), la constante de Planck (h = 6.62617×10 −34 J·s), la constante de Boltzmann (k = 1.38066×10−23 J/Κ) et T est la température de la surface du corps noir (en degrés kelvins [Κ = °C + 273.15]). Distribution Lλ ∝Τ de Planck : xvii
  • xviii Notation dipôles électriques, et sa relation à la permittivité est donnée par la relation D = ε o E où la permittivité du vide εo = 8.8541878176×10−12 F/m [C2/N·m2] est un scalaire si le milieu est isotrope tandis que la perméabilité du vide µ o = 4π ×10 −7 N/A [kg·m/C2] (π ≡ 3.141692…) provient de la relation vectorielle B = µ o H entre la densité du flux magnétique (l’induction magnétique) B provoquée par l’intensité magnétique H. Indices Les indices latins de bas de cage i, j, k, etc. couvrent généralement les trois coordonnées spatiales 1, 2, 3, ou x, y, z. Les indices grecs α, β , ..., µ, ν , etc. couvrent généralement les quatre coordonnées de l’espace-temps 0, 1, 2, 3, ou ct, x, y, z, ou t, x, y, z, si c = 1. Les indices latins de haut de cage M, N, etc. couvrent généralement les coordonnées des dimensions supérieures 1, 2, 3, 4, ..., n = dim(Vn), ou µ, 5, 6, 7, etc., et où dim(Vn) est la dimension de la variété Vn. Parfois, la coordonnée temporelle t est identifiée à µ = 4. Les indices répétés sont sommés à moins d’avis contraire (Convention d’Einstein). Vecteurs et 1-formes ˆ ˆ Les vecteurs cartésiens sont indiqués par un caractère-type gras : r = r r , et où r indique un vecteur unitaire dans la direction du vecteur r. Les quadrivecteurs sont indiqués par un caractère-type Impact italique : v = v µ eµ , où { eµ } est un ensemble de bases générales. Les formes d’ordre un (1-formes) sont indiqués par un caractère-type grec gras et italique : σ = σµ ω µ, où {ω µ } est un ensemble de bases duales à l’ensemble {eµ }. Dérivées En utilisant le concept de dérivée ∂ µ ≡ ∂ / ∂ x µ = [∂ / ∂ x 0 ,∂ / ∂ x 1 ,∂ / ∂ x 2 ,∂ / ∂ x 3 ] et du gradient ∇ = ∂ / ∂ x 1 + ∂ / ∂ x 2 + ∂ / ∂ x 3 , ∂ µ ≡ [∂ / ∂ x 0 ,∇ ], on considère la variation et l’orientation d’une coordon∇ née xµ de façon infinitésimale. Une virgule précédant l’indice de dérivation : f,µ = ∂ f ⁄ ∂xµ = ∂µ f . La permutation cyclique est indiquée par les accolades : V{[µν ],λ} ≡ V[µν ],λ + V[νλ ],µ + V[λµ ],ν . La dérivée directionnelle d’une fonction le long d’un quadrivecteur v quelconque est généralement exprimée de la façon suivante : ∇v f . La dérivée covariante est généralement exprimée comme : ∇u ou par un pointvirgule u µ;ν lorsqu’on utilise les composantes. Il faut cependant savoir par rapport à quelle connexion on effectue la dérivation covariante. La dérivée externe est identifiée par d. Métrique Par convention, les composantes de la métrique de Minkowski, ηµν, dans un système de coordonnées inertiel possède les éléments diagonaux suivants : ηµν = diag(+1,−1,−1,−1). On définit le d’Alembertien de la façon suivante : ≡ Σµν [ηµν (∂/∂xµ )(∂/∂xν )] = Σµ [∂µ ∂µ ] = ∂2/∂(c t)2 − ∇2. La métrique non ~ symétrique est identifiée par g ≡ g ⊕ g ou bien, en composantes, gµν = g(µν ) + g[µν ]. La symétrie et l’antisymétrie sont identifiées par les parenthèses et les crochets carrés : V(µν ) = 1 (Vµν + Vνµ ) et 2 ~ V[µν ] = 1 (Vµν − Vνµ ), respectivement. Un tenseur tel g ≡ g ⊕ g représente la somme algébrique d’un 2 ~ tenseur d’ordre-2, g ≡ g(µν )d x µ ⊗d x ν , et d’un 2-forme, g ≡ g[µν ]d x µ ∧d x ν, où d x µ représente la différentielle des coordonnées xµ . En effet, tout tenseur est représenté par un caractère-type Impact italique v . On abaisse et élève les composantes de la métrique selon la relation : Σρ [g ρµ g ρν] = ρ Σρ [g µρ gνρ] = δ µ ν où l’ordre des indices est important. ρ
  • Notation xix Élément de Longueur ds2 La distance infinitésimale ds entre deux coordonnées d’espace-temps quelconque xµ = [x0,x1,x2,x3] et v x ν = [x0,x1,x2,x3] est méticuleusement représentée par la combinaison linéaire quadratique des produits des variations suivante : ds2 = g00 dx0dx0 + g 01 dx0dx1 + g02 dx0dx2 + g03 dx0dx3 + g 10 dx1dx0 + g11 dx1dx1 + g12 dx1dx2 + g13 dx1dx3 + g20dx2dx0 + g21 dx2dx1 + g22 dx2dx2 + g23 dx2dx3 + g30 dx3dx0 + g31 dx3dx1 v + g32 dx3dx2 + g33 dx3dx3. En introduisant une première somme sur les coordonnées x ν = [x0,x1,x2,x3], ν ν ν 2 0 1 2 on obtient en premier lieu : ds = Σν (g0ν dx dx ) + Σν (g1ν dx dx ) + Σν (g 2ν dx dx ) + Σν (g3ν dx3 dxν ) et puis en introduisant une seconde somme sur les coordonnées xµ = [x0,x1,x2,x3], on exprime ds2 = Σµ [Σν (gµν dxµ dxν )] = Σµν gµν dxµ dxν . Les sommes Σµν souscrites aux indices µ et ν sont sommées de 0 à 3. On obtient finalement un élément de longueur ds2 ≡ gµν dxµ dxν , où gµν = g(µν ) + g[µν ] (la somme des composantes symétrique, gµν = g νµ , et antisymétrique, gµν = −gνµ , respectivement). Élément de Longueur de Minkowski Dans un plan orienté quelconque situé dans un espace plat E (Euclidien) à D = 4 dimensions (correspondant par exemple à un continuum d’espace-temps) décrit par la distance parcourue par la lumière pendant un temps t à une vitesse c dans un système de coordonnées cartésiennes* x, y, et z et qu’on a l’élément de longueur de Minkowski : ds2 = Σρσ ηρσ dxρ dxσ =ηtt d (ct)d(ct) +ηxx dxdx +ηyy dydy +ηzz dzdz = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 si les composantes diagonales de la matrice 4 × 4 représentant les 16 composantes de la métrique ηρσ sont défini comme : ηtt = +1, ηxx = ηyy = ηzz = −1 ou bien : ηρσ = diag(+1,−1,−1,−1) ou encore (+,−,−,−), par convention dans ce travail. Cette dernière est mieux ˆ ˆ représentée par la relation : ds2 = c2dt2 − dr2 (où r = r r est le vecteur position où | r | = 1 m ou bien ˆ ˆ i j ˆ r = ˆ + ˆ + k où | ˆ | = | ˆ | = | k | = 1 m en assumant un système d’unités MKS pour représenter les i j distances mesurée et parcourues). Dans un autre système géométrique tel une hypersphère de réalité H, les composantes symétriques g(µν ) de la métrique non symétrique gµν sont reliés à la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski ηρσ par g(µν ) = Σρσ [ηρσ (dxρ /dxµ )(dxσ /dxν )]. On peut utiliser l’élément de longueur dans E en définissant un système de coordonnées sphériques xµ = (ct,r,θ ,ϕ ) donné par x = rsinθ cosϕ , y = rsinθ sinϕ , et z = rcosθ utilisé pour décrire convertir les coordonnées xµ = (ct,x,y,z) du système d’origine de sorte que le nouveau système soit décrit par le temps t, le rayon |r| = r =(x2 + y2 + z2)1/2, l’angle du zénith θ = tg−1(y/x), et l’angle de l’azimut ϕ = cos−1[z/(x2 + y2 + z2)1/2], respectivement. On obtient ds2 ≡ Σµν g (µν ) dxµ dxν = g(tt) c2dt dt + g(rr) drdr + g(θθ) dθ dθ + g (ϕϕ) dϕ dϕ = c2dt2 − dr2 − r2dθ 2 − r2sin2θ dϕ 2 si les composantes diagonales de la métrique sont défini comme : g(tt) = +1, g(rr) = −1, g(θθ) = −r2, g(ϕϕ) = −r2sin 2θ ou bien g (µν ) = diag(+1,−1,−r2,−r2sin2θ ) ou encore (+,−,−,−). Cette dernière est mieux représentée par ds2 = c2dt 2 − dr2 − r2 (dθ 2 − sin 2θ dϕ 2). Élément de Longueur de Schwarzschild Dans la relativité générale à 4-dimensions, la visualisation devient davantage compliquée car une solution aux équations du champ d’Einstein a été proposée par Karl Schwarzschild en 1916 et qui définit l’élément de longueur (D = 4) par ds2 ≡ (1 − 2 Gm G / c 2 r ) c 2 dt 2 − (1 − 2 Gm G / c 2 r ) − 1 dr 2 − r 2 ( d θ 2 − sin 2 θ d ϕ 2 ) ≡ C ( r ) c 2 dt 2 − A ( r ) dr 2 − B ( r ) d Ω 2 avec dΩ 2 = dθ 2 − sin2θ dϕ 2. Schwarzschild a considéré deux fonctions quelconque de la position r, µ (r) et ν (r), et les a misent en fonctions Les coordonnées du quadri-vecteur position xρ = [ct,x,y,z] contiennent le temps t et les composantes d’un vecteur positionné dans un système cartésien quelconque qui correspond à l’ensemble {x0,x1,x2,x3}, nonobstant la constante c qui agit essentiellement en guise de pondération des signaux émis entre deux événement situés à une distance ds2 l’une de l’autre dans l’espace-temps. *
  • xx Notation exponentielles, eµ (r) et eν (r), représentent des fonctions définies par x a ex où ex = exp(x) [ ] ≡ ∑n =0 (1 n!) x n avec la factorielle donnée par n! = ∏i =1 i = 1 × 2 × 3 × ... × (n−1) × n. Il obtînt que g(tt) +∞ +n = C (r) = e µ (r), g(rr) = A(r) = e −ν (r), g(θθ ) = B(r) = r2, et g(ϕϕ ) = B(r) sin 2θ = r2sin2θ , où µ (r) = ν (r) = 1 − RS / r. Par après, on a définit l’horizon événementiel d’un trou noir par le rayon de Schwarzschild, RS = 2GmG/c2, où mG est la masse gravitationnelle qui est présente dans le continuum d’espace-temps. * Connexions Le symbole de Christoffel usuel de la Théorie de la Gravitation d’Einstein est défini par :  λ  = −[µν,λ ]. Les composantes de la connexion symétrique sont données par : Γ λ =  λ  = µν  µν   µν      Σσ [gλσ (gνσ,µ + gµσ,ν − gµν,σ )], où Γ λµν = Γ λνµ (symétrie) et gµν,σ = dgµν /dxσ. Les composantes de la connexion non symétrique sont données par : W λµν , où W λµν ≠ W λνµ . Les composantes de la connexion généralisée (en présence de sources) sont données par : Λ λµν, où Λ λµν ≠ Λ λνµ . Les composantes de la métrique obéissent à la condition de compatibilité des composantes de la métrique suivante : gµν,σ − gρν Γ ρµσ − gµρ Γ ρνσ = 0. Les composantes des connexions Γ λµν et W λµν sont reliées par la relation: Γ λµν = W λµν + 2 δ λµ Wν (transformation projective) où Wµ = Σλ [W λ[µλ ]] est un 3 multiplicateur de Lagrange (la trace de W λ[µν ]). 1 2 Courbure et autres Tenseurs Reliés Les composantes du tenseur de Riemann sont représentées par : R λµνρ (Γ ), R λµνρ (W ), ou R λµνρ (Λ), selon qu’elles dépendent de la connexion Γ λµν , W λµν, ou Λ λµν , respectivement. Il en est de même pour toute quantité représentée de la sorte. Un point sur une quantité indique généralement la dérivation par 0 1 rapport au temps. Les quantités suivantes: R µν , g µν , etc. représentent des quantités d’ordre zéro en approximation (l’arrière-plan de la TGE), de premier ordre en approximation, etc., respectivement. Les composantes du tenseur de Ricci sont représentées par : Rµν . Le scalaire de courbure est dénoté par : R = Σ µ [R µµ ]. Les composantes du tenseur d’Einstein sont données par : Gµν = Rµν − 1 gµν R . 2 Densités Les densités (quantités invariantes) sont représentées par un caractère-type Fractur gras : X = − g X où g = det |gµν | où |…| représente la valeur absolue qui est défini selon l’algèbre |± x | = |± x | = x. La masse de la Terre, m G = M⊕ [qui par convention est exprimée soit en gramme (g – selon le système Impérial aux ÉtatsUnis) ou en kilogramme (kg – selon le système Métrique ou MKS) provoque le champ gravitationnel que l’humain ressent sur la surface de la Terre. Cette force gravitationnelle est causée par l’accélération constante que l’humain ressent due à la gravité, soit g ∼10 mètres par seconde, par seconde (g = 9.810 m/s2) car avec M⊕ représentant la masse de la Terre (5.9742×10 24 kg) et R⊕ représentant le rayon équatorial de la Terre (6,378,100 m). On peut calculer cette accélération en utilisant la relation g = (GM⊕)/R⊕2 obtenue à partir de la loi de la gravitation d’Isaac Newton datant de la fin du 17e siècle). G est la constante de la gravitation universelle de Newton (6.6742±0.0010×10−8 cm3/s2/g, ou bien en MKS, G = GN = 6.6762×10 −11 N·m2/kg2). Le Newton [N] représente la notion de force gravitationnelle ressentit, W (e.g., son propre poids ˆ w = |W|) selon la seconde loi de Newton de la dynamique classique (e.g., l’équation Fg =W = mI g = −mI g k , où mI est la ˆ est un vecteur unitaire qui représente l’échelle de l’étalon de mesure et l’orientation du repère masse inertielle au repos, et k de référence S par rapport à un système de coordonnées cartésiennes orthogonales de référence [ ˆ , ˆ , k ]). Le signe ‘− ’ i j ˆ indique que la force gravitationnelle W (poids d’un humain) est orienté vers le centre de la Terre. Lorsque son propre poids est nul (W = 0), on atteint l’état où l’ensemble des forces gravitationnelles et inertielles auxquelles son corps est soumis possède une résultante et un moment résultant nuls. L’apesanteur est donc le phénomène ressenti en l’absence de pesanteur. *
  • 1 Introduction 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell Le principe de base de la théorie de Newton est que tout repère S est inertiel lorsqu’il est au repos par rapport au repère fixe des étoiles distantes. Tout autre repère S est aussi inertiel lorsqu’il se déplace à vitesse constante (i.e., aucune accélération : a = | a | = | lim [∆v ∆ t ] | = |dv/dt | = 0). Donc, selon Newton (inspiré des travaux préalables de Galilée) : ∆ t →0 1. Si deux événements sont simultanés dans le repère inertiel S, ils sont simultanés dans tous les repères inertiels S *; 2. Le temps est universel, i.e. t = t . La seconde loi du mouvement de Newton est donnée par F= dp d ( m v ) dv d  dr  d 2r = =m = m   = m 2 = ma dt dt dt dt  dt  dt (1.1.1) où F est la résultante de toute les forces agissant dans le système, m est la masse de l’objet, a est l’accélération vectorielle, d /dt est la dérivée par rapport au temps universel t (tandis que d 2 /d t 2 est la deuxième), r est le vecteur position (avec ˆ ˆ i j ˆ r = r r où r = ˆ + ˆ + k dans un système de coordonnées cartésiennes) à partir de l’origine O, v est le vecteur vélocité (avec la vitesse donnée par v = | v | = | lim [∆r ∆ t ] | = | d r / d t | = a t ) et p = mv est la quantité de mouvement.† ∆ t →0 La Figure 1.1.1 montre que les repères S et S sont reliés par les transformations de Galilée r = r + vt t =t (1.1.2) (1.1.3) Les transformations données par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3) laissent la loi de Newton donnée par l’Éq. (1.1.1) invariante. Ceci suggère que les lois de Newton sont valables dans le premier repère S, elles le sont aussi dans le second repère S : les deux repères sont inertiels. Alors, selon le modèle de Newton, le temps est une quantité universelle et chaque repère inertiel indique le même temps. La simultanéité des événements existe pour tous les repères inertiels. * On a observé que la distance qui nous sépare du Soleil est si grande que sa lumière nous parvient 8 minutes après avoir était émise – il faut 8 minutes aux photons émis par l’astre Sol S pour arriver sur Terre S ⊕. Selon Newton, Sol S émet sa lumière qui est instantanément reçue sur Terre S ⊕. † Dans D = 4, on utilise le quadri-vecteur quantité de mouvement P µ = [p0, p] = [E/c, p] = [+ p 2 + ( m c) 2 , p] = [γmoc, γ v] où mo est la masse au repos dans o le repère S , E = γmoc2 = mc2 = (pc) 2 + (m c 2 ) 2 est l’énergie totale (avec la masse relativiste m = γ mo), p = γ mov est la quantité de mouvement relativiste o (vecteur) (avec p = [px,py,pz] ou bien p = [pr,pθ,pϕ]), et γ = dt dτ =1 1 − β 2 est un facteur de correction relativiste appelé gamma relativiste, et la rapidité β = |v|/c = v/c où v est la vitesse observée dans le repère de référence S dans lequel t est mesurée et τ est le temps propre du repère S en mouvement rectiligne uniforme v par rapport au repère S. Pµ obéit la relation p • p = Pµ Pµ = −E2 + p2 = −m2 (avec Pµ = gµν Pν ). Puisque les photons n’ont point de masse (ils sont néamoins décris d’une longueur d’onde λ et d’une fréquence f relées par l’équation. λ f = c, où c est la vitesse de la lumière dans le vide), on utilise une quantité de mouvement p = hκ ( κ est le vecteur d’onde relié à la longueur d’onde par la relation κ = |κ| = 2π /λ ) et une énergie par quanta κ κ (où E = hω = h f (h = 2π h = 6.2617×10-34 Joule-seconde) de fréquence angulaire ω = dθ /dt = 2π f, on a κ = κ µ = [κ 0, κ ] = [E/c, κ ] = [κ, κ ] et où le produit scalaire κ • x donne κµ xµ ≡ κ • r −E t , une relation utile pour définir l’amplitude d’une onde electromagnétique A(r,t) = Ao(r,t)Re[exp ( κ r – ω t )] = sin(ω t – κ r ). Ne pas confondre la quantité de mouvement p avec l’impulsion I = ∫ F dt = ∫ ( d p / d t ) dt = ∫ dp = ∆p (la variation de la quantité de mouvement) car la force F est donnée par la variation de p par rapport au temps universel t : F = d p/ dt. 1
  • 1 Introduction 2 1 Introduction x2 x2 S (r , t ) x3 S (r,t) x3 x1 vt x1 Figure 1.1.1: Le premier repère S est inertiel. Le second repère S se déplace de façon uniforme avec une vitesse v par rapport au repère S. r = v t est le déplacement du repère S dans un temps t. Les lois de Newton sont aussi invariantes pour : 1. une transformation orthogonale O i j(θ )* r i = ∑ O ij (θ ) r j F i = ∑ O ij (θ ) F j j m j d 2r i dt 2 = Fi → m d 2r i dt 2 = Fi (1.1.4) (1.1.5) 2. une rotation O i j(θ ) et une translation ai du repère de référence dans un espace isotrope consistant d’aucune direction privilégiée r i = ∑ O ij (θ ) r j + a i (1.1.6) j 3. un changement d’origine du temps dans un espace homogène complet t = t + to ↔ dt = dt (1.1.7) La relativité newtonienne d’avant 1905 (pré relativité) suggère donc que les lois de Newton sont indépendantes de : 1. la position ; 2. l’origine des temps ; 3. l’orientation. On a alors une image d’un monde homogène et isotrope tridimensionnel de l’espace constitué de points au travers desquels les particules se déplacent selon des lois formulées par l’Éq. (1.1.1) et fonction d’un paramètre que l’on appelle le temps. Une conséquence importante des lois classiques qui gouvernent le déplacement des particules est que ces lois sont les mêmes pour tous les repères de référence se déplaçant avec une vitesse uniforme l’un par rapport à l’autre, c’est-à-dire que * Avec l’aide d’un paramètre θ (e.g., une rotation d’un angle de θ du repère de référence autour de l’origine), on peut utiliser un système de coordonnées polaires P(r,θ ) décrit par x = x(r,θ ) = r cosθ et y = y(r,θ ) = r sinθ pour décrire un mouvement circulaire quelconque. Le système de coordonnées de S est donné par r j = [x,y] tandis que celui du système de coordonnées S est r i = [ x (r,θ ), y (r,θ )]. En utilisant un rotation R2 dans un plan, on a  x   cos θ sin θ   x  X = R2 (θ ) X puisque  y  = − sin θ cos θ   y  . C’est un exemple de rotation d’un système de référence dans un plan 2 dimensions d’un angle θ donné       cos θ sin θ  par la relation r i = ∑ [Oi j (θ ) r j ] où la matrice de rotation est donnée par Oi j (θ ) =   , soit les composantes du group O(2) ou group Orthogonal ij − sin θ cos θ  dans D = 2 dimensions avec les composantes du groupe O i j : O 11 = cosθ , O 22 = cosθ , O 12 = sinθ , et O 21 = −sinθ . De plus, l’inverse est donnée par 1 0 T O−1(θ ) = O(− θ ) et l’élément unité du groupe (identité) par O−1(θ ) ⊗ O(θ ) = 1 =   donnant ainsi l’identité O 1 O = 1 où la matrice transposée O  0 1 ∞  0 + 1 est défini par [O i j ] T = [O j i ]. Incidemment, toute matrice orthogonale peut être réécrite comme O(θ ) ≡ eθ τ = ∑  1 (θ τ ) n  où τ =  .  n!  − 1 0   n=0  T
  • 3 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell les lois de la mécanique classique de Newton sont les mêmes pour tous les repères reliés l’un par rapport à l’autre via une transformation de Galilée donnée par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3). On analyse maintenant l’application de la mécanique classique à la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell. On effectuera une transformation de Galilée à l’équation d’onde qui gouverne le déplacement des ondes électromagnétiques. Pour trouver cette équation d’onde, on débute par énumérer les équations de Maxwell qui sont données par (Appendice A) ∇ • E(r ) = ρ (r ) εo ∇ × E(r ) = − (1.1.8) (Loi d’induction de Faraday) (1.1.9) (Aucune charge magnétique isolée) (1.1.10) ∂B(r ) ∂t ∇ • B (r ) = 0 ∇ × B (r ) = µ o ε o (Loi de Gauss) ∂E(r ) + µ o J (r ) ∂t (Loi d’Ampère) (1.1.11) ˆ i où ∇ est l’opérateur gradient (∇ = ˆ ∂/∂x + ˆ ∂/∂y + k ∂/∂z) et où εo est la permittivité du vide et µo est la perméabilité du j vide. E(r) et B(r) sont les vecteurs (amplitude et direction) du champ électrique et magnétique, respectivement. ρ(r) et J(r) sont la densité de charge et le vecteur courant, respectivement. On a expliciter la dépendance sur le vecteur position r pour indiquer la dépendance de ces quantités sur leur position respective dans l’espace que l’on considère essentiellement statique vue qu’il n’y a pas de dépendance sur le temps t. Les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) sont les équations fondamentales de la théorie classique de l’électromagnétisme de Maxwell.* En prenant le produit vectoriel de l’Éq. (1.1.9) et en utilisant l’identité ∇×(∇× X) = ∇(∇•X) − ∇2X, on obtient ∇ × (∇ × E) = ∇ • (∇ • E) − ∇ 2E = 1 εo ∇ρ − ∇ 2 E ∂B ∂2E ∂J = −µ oε o 2 − µ o ∂t ∂t ∂t (1.1.12)  2 ∂2  1 ∂J ( r )  ∇ − µ o ε o 2  Ε( r ) = ∇ ρ(r ) − µ o   εo ∂t ∂t   (1.1.13) = −∇ × ou bien De même, avec l’Éq. (1.1.11), on obtient ∇ × (∇ × Β) = ∇ • (∇ • Β) − ∇ 2 B = µ o ε o = − µ oε o ∂ ( ∇ × E) µ o (∇ × J ) ∂t ∂ 2B + µ o (∇ × J ) ∂t 2 (1.1.14) ou, avec l’Éq. (1.1.10)  2 ∂2   ∇ − µ o ε o 2 B(r) = − µ o ∇ × J (r )  ∂t    (1.1.15) Les Éqs. (1.1.13) et (1.1.15) sont des équations d’ondes inhomogènes en E(r) et B(r). Dans les régions de l’espace où ∇ρ(r), ∂ J(r)/∂ t et ∇× J(r) sont nuls, on obtient les équations d’ondes homogènes en E(r) et B(r) suivantes * Le déplacement électrique, D(r), qui correspond au déplacement des charges électriques dans un milieu donné s’effectue par le couplage de la permittivité du vide, εo, et du champ électrique, E(r), par la relation D = ε oE tandis que de densité du flux magnétique (l’induction magnétique), B(r), résulte du couplage de la perméabilité du vide, µ o, et de la l’intensité magnétique, H(r), selon la relation vectorielle B =µ oH.
  • 4 1 Introduction  2 1 ∂2   ∇ − 2 2 E(r ) = 0  c ∂t    (1.1.16)  2 1 ∂2   ∇ − 2 2 B (r ) = 0  c ∂t    (1.1.17) où c = 1 ε o µ o . La constante c (fondamentale et universelle) joue le rôle de la vitesse de propagation de l’onde. Si f (r,t) est une fonction scalaire, l’équation du télégraphe est donnée par  2 1 ∂2  ∇ −  f (r , t ) = 0  c2 ∂ t 2    (1.1.18) Sous une transformation de Galilée donnée par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3), ri → ri − vi t = ri et puisque f (r,t) est une fonction scalaire, elle doit être la même si elle dépend de variables différentes en r et t. Donc f (r, t ) = g (r , t ) = g (r (r, t ), t ) (1.1.19) 3 ∂x ∂ f (r, t ) ∂ g (r , t ) j ∂ g (r , t ) j =i =∑ → ∂ xi ∂xj ∂ xi j =1 ∂ xi (1.1.20) ∇ 2 f (r , t ) = ∇ 2 g (r , t ) (1.1.21) Maintenant de sorte que Mais 3 ∂x ∂ f (r, t ) ∂ g (r , t ) j ∂ g (r , t ) =∑ + ∂t ∂t ∂ x j ∂t j =1 = v • ∇ g (r , t ) + ∂g (r , t ) ∂t (1.1.22) et ∂ 2 f (r , t ) ∂ 2 g ( r , t ) ∂g ( r , t ) = + 2v • ∇ + v • ∇ [v • ∇ g (r , t ) ] 2 2 ∂t ∂t ∂t (1.1.23) Donc, l’équation du télégraphe se transforme selon la loi (phénomènes pouvant être observés en laboratoire en tout temps)1  2 1 ∂2   1 2 ∂ 1 ∂2   ∇ − 2 2  f (r, t ) =  ∇ 2 − 2 ( v • ∇ ) 2 − 2 ( v • ∇ ) − 2 2  g (r , t )  c ∂t  c c ∂t c ∂t     (1.1.24) On note les termes −2(v • ∇ )∂g( r ,t)/∂t et −(v • ∇ )2g( r ,t) additionnels aux termes ∇ 2g( r ,t) − (1/c2)∂2g( r ,t)/∂t2 : ceci indique le manque d’invariance de la transformation f (r,t) dans le repère S qui passe à la fonction g( r ,t) dans le repère S et n’ont jamais été observés en laboratoire de façon continue. La non invariance de l’équation du télégraphe est donc explicite :   2 1 ∂2  1  ∇ − 2 2  f (r, t ) = ∇ 2 − 2   c ∂t  c    ∂2  ∂  2 + 2 ( v • ∇ ) + ( v • ∇ ) 2   g (r , t )  ∂t  ∂t   (1.1.25) Il est donc évident que l’équation qui gouverne la propagation d’ondes électromagnétiques a une forme différente lorsque l’on se retrouve dans le repère S , avec les coordonnées ri , que dans le repère S avec les coordonnées ri. On conclut donc que la forme de l’Éq. (1.1.18) n’est pas invariante sous les transformations de Galilée données par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3)! Puisque l’Éq. (1.1.18) représente la loi de propagation des ondes électromagnétiques on est à se poser si le choix du repère inertiel de Galilée a une quelque sorte d’influence sur les lois de l’électromagnétisme. Comme on a pu le constater, il y a un problème à relier les deux théories : l’électromagnétisme de Maxwell et la mécanique classique de Newton. Il serait plutôt important de se poser de sérieuses réserves au sujet de l’invariance des
  • 5 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein équations du mouvement de Newton sous les transformations de Galilée et même mettre en cause l’indépendance du temps dans les repères inertiels. La seule façon de remédier ce problème est de se tourner vers la méthode expérimentale et de vérifier que la constante c qui apparaît dans l’Éq. (1.1.18) réfère à la vitesse de propagation de l’onde dans un repère inertiel “privilégié” de sorte que les équations de Maxwell soient exactes seulement dans ce repère, ou bien qu’il existe dans la mécanique classique une problématique envers la description de la nature. Ce repère privilégié (ou “éther”) est considéré comme étant un milieu de propagation essentiellement au repos. Pour vérifier l’existence de l’éther, un certain nombre d’expériences ont été conçue tels l’expérience de Trauton-Noble et l’interféromètre de Michelson-Morley. Ce dernier n’a pas trouvé de différence dans une différence de phase* produite par la propagation de deux trains d’ondes perpendiculaires l’un de l’autre indiquant qu’il n’y a pas de direction préférentielle dans l’espace. Un bon nombre d’hypothèses furent proposées pour expliquer les résultats décevant de Trauton-Noble et de Michelson-Morley dont : 1. l’analogie avec le son où la vitesse du son est plus grande dans les milieux plus durs (e.g. 1220 m/s dans le Fer vs. 335 m/s dans l’air.) Dans ce cas, l’éther devrait être à la fois très dure, pour pouvoir transmettre la lumière à cette vitesse, mais très souple pour permettre à la Terre et aux astres de le traverser sans effort. Il y a donc une contradiction entre ces deux considérations. Mais, s’il y a une faible résistance, on peut concevoir que l’éther est entraîné par la Terre : l’éther étant stationnaire par rapport à la Terre expliquerait le résultat négatif de Michelson-Morley puisque la source de lumière est terrestre. 2. l’aberration de la lumière qui considère que si la Terre ne se déplace pas dans l’éther, on pourrait alors observer une étoile dans un télescope en pointant celui-ci directement à l’étoile. Mais si la Terre se déplace, il faut incliner le télescope de façon à observer l’étoile. Si l’éther est au repos dans la région de l’étoile mais est entraîner par la Terre, on aurait une courbure du rayon de lumière (et en conséquence on n’aurait pas à incliner le télescope.) On pourrait donc vérifier le mouvement de la Terre. Or, on trouve que la Terre n’entraîne pas l’éther, ce qui contredit l’hypothèse (1). 3. la contraction des longueurs de Lorentz-Fitzgerald ou on essaie d’expliquer le résultat négatif de Michelson-Morley en supposant qu’il y a une contraction du bras de l’interféromètre qui est dans la direction du mouvement : c’est la contraction de Lorentz-Fitzgerald. Seulement la proposition d’Einstein réussit à convaincre la communauté scientifique qu’un changement radicale dans la façon de penser du temps était nécessaire. 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein On a donc vu dans la Section 1.1 que certains concepts illusoires de l’espace et du temps prévalaient parmi tant d’autres dans la formulation des lois de la physique selon le modèle de Newton. La théorie de Maxwell fut favorisée considérant son potentiel expérimentale à montrer que les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3) sont inexactes à compenser pour la description d’une expérience effectuée dans un repère S à partir d’un repère S . La théorie de l’électromagnétisme de Maxwell était déjà en accord avec la relativité restreinte ; elle est compatible avec les notions de la pré relativité (structure d’espace-temps) à moins que des repères inertiels préférentiels soient introduits.2 Cependant, la théorie de la gravitation proposée par Newton n’est pas en accord avec la relativité restreinte car elle invoque la notion d’influence instantanée d’un corps sur un autre. Lorsque la notion fondamentale des transformations de Galilée appliquées aux équations de Maxwell fut rejetée, on s’engageait donc à modifier et reformuler les lois de la physique, notamment celles de Newton, pour qu’elles soient consistantes avec la structure de l’espace-temps donnée par la théorie de la relativité restreinte. Les postulats de la relativité restreinte sont les suivants : 1. Toutes les lois de la nature ont la même forme dans tous les repères inertiels ; 2. La vitesse de la lumière est une constante universelle, la même dans tous les repères inertiels ; 3. La vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source. Ces postulats expliquent le résultat négatif de l’expérience de Michelson. Un repère de référence sur la Terre peut donc être considéré comme un repère inertiel vue que l’accélération de la Terre vers le Soleil est faible. Selon le postulat (2) d’Einstein, la vitesse de la lumière est une constante universelle. Si on considère un déplacement selon l’axe Ox1, les transformations de Lorentz-Einstein sont données par (voir l’Appendice B pour un développement qui démontre ces relations) * Ceci est indiquée par des franges d’interférences qui se combinent constructivement ou destructivement sur un plan distant et dépendent qu’on a une différence de phase entre les deux trajectoires ou non.
  • 6 1 Introduction x1 − v1t x1 =  v1  1−   c                 Déplacement selon   l’axe Ox1 seulement.            2 x 2 = x2 x 3 = x3 t− t= v1 c 2 x1 v 1−   c  1     2 (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4) où v1 = dx1/dt. Pour obtenir les transformations inverses, on remplace les v1 par −v1 et on change les barres en sans-barres et vis-versa. Les conséquences de ces transformations sont les suivantes : 1. La simultanéité est relative. 2. Le temps t dépend du temps t et de la position. 3. Si deux évènements se produisent simultanément dans S à deux positions différentes, ils ne sont pas simultanés dans S . L’Éq. (1.2.1) indique qu’il y a contraction des longueurs dans la direction du mouvement d’une règle qui sert a mesuré dans S vue par S . Il n’y a aucune contraction transversale au mouvement car x 2 = x 2 et x 3 = x 3 . Cependant, l’Éq. (1.2.4) indique que pour une horloge en mouvement dans S , elle tourne plus lentement lorsque vue par un observateur dans S. C’est ce qu’on appel la dilatation du temps. On compose en effet une horloge de S avec deux horloges de S . Par symétrie, un observateur de S voit que les horloges de S tournent plus lentement que celle de S . La dilatation du temps peut être vérifiée expérimentalement en mesurant l’activité des mésons µ dans les rayons cosmiques qui ont une vitesse de l’ordre de 90% de celle de la lumière (e.g. 0.9c). On observe que la vie moyenne τ des mésons µ au repos vs. celle des mésons en mouvement µ τ en mouvement = µ τ au repos  0.9c  1−    c  2 ≅ 5.7 × 10 −6 sec (1.2.5) ce qui est en effet mesuré expérimentalement et compris parmi les bornes d’erreurs. C’est la vérification qu’une horloge en mouvement tourne plus lentement. Dans le cas des mésons µ, ceux qui sont en mouvement vivent plus longtemps que ceux qui sont au repos ! On peut réécrire les Éqs. (1.2.1)-(1.2.4) de la façon matricielle suivante où x0 = ct* µ ν  1  1 x  1 − (v1 c ) 2  2  v1 c  x  = −  x3  1 − (v1 c) 2  0  0 x      0  − v1 c 1 − (v1 c) 2 1 1 − (v1 c ) 2 0 0  x 0 − (v1 c) x1   0 0  1 2   1   x   1 − (v c )   x1 − (v1 c) x 0   x2 0 0 ×  3  =   1 2     x   1 − (v c )   1 0  x 0   x2      3 0 1 x     (1.2.6) ou bien, lorsqu'on compare avec l’Éq. (1.1.6), on obtient (en incluant une translation constante a µ ) * Le produit de ces matrices 4×4 (µ représente la rangée et ν la colonne) se fait ainsi : x µ = 3 ∑ Λµ xν = Λµ x ν =0 v 0 0 + Λµ x1 + Λµ x 2 + Λµ x 3 pour µ = 0, 1, 2 et 3. 1 2 3
  • 7 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 3 x µ = ∑ Λµ xν + a µ ν (1.2.7) ν =0 avec µ et ν = 0, 1, 2, 3 et où la matrice des transformations de Lorentz-Einstein est donnée par (toujours, selon la direction x1 comme indiqué dans la Figure 1.1.1) Λ  Λ µ Λν =  Λ  Λ  0 0 1 0 2 0 3 0 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 0 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1 2 2 2 3 2  1  0 Λ 3   1 − (v 1 c) 2  Λ13   v1 c = − Λ32   1 − (v1 c) 2  0 Λ33     0   − v1 c 1 − (v c ) 1 1 1 − (v 1 c) 2 0 0 2  0 0   0 0  1 0  0 1  (1.2.8) Puisque la relativité d’Einstein stipule l’équivalence de certains systèmes de référence ‘inertiels’. Si xµ sont les coordonnées dans un système inertiel, alors dans tous les autres système inertiel x µ doivent satisfaire η µν dx µ dx µ = η ρσ dx µ dx µ (1.2.9) η µν Λρµ Λσ = η ρσ ν (1.2.10) La matrice Λµ doit satisfaire la relation suivante ν où Λρµ = ∂x ρ ∂x µ . La métrique (de l’espace-temps plat de Minkowski) ηµν est la métrique du groupe de Lorentz O(1,3) où les valeurs 1 et 3 sont dû à la nature de l’invariant ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 et les composantes diagonales de la métrique qui sont défini comme : ηtt = +1, ηxx =ηyy =ηzz = −1 ou bien ηµν = diag(+1,−1,−1,−1) ou encore (+,−,−,−). 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein Avant la théorie de la gravitation d'Einstein, la relativité générale, les notions pré-relativistes de l'espace et du temps prévalaient parmi tant d'autres dans la formulation des lois de la physique. Lorsque ces notions furent rejetées, on s'engageait donc à modifier et reformuler les lois de la physique pour qu'elles soient consistantes avec la structure de l'espace-temps donnée par la théorie de la relativité restreinte. La théorie de l'électromagnétisme de Maxwell était déjà en accord avec la relativité restreinte1 ; elle est compatible avec les notions de la pré-relativité (structure d'espace-temps) à moins que des repères inertiels préférentiels soient introduits.2 Cependant, la théorie de la gravitation proposée par Newton n'est pas en accord avec la relativité restreinte car elle invoque la notion d'influence instantanée d'un corps sur un autre.1,* La Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) est la locution qu’on attribue à la relativité générale, la théorie géométrique de la gravitation développée par Einstein et présentée de 1914 à 1916.8,9 C’est une généralisation de la relativité restreinte, et inclut la théorie de la gravitation classique de Newton comme cas limite lorsque les champs gravitationnels† impliqués sont faibles et que les vitesses de tous les corps présents dans le champ sont faibles à comparer à celle de la lumière. La relativité restreinte, proposée en 1905 par Einstein,2 a été rapidement acceptée par les physiciens de l’époque en vertu de son élégance théorique et de son succès expérimental, comme il était très bien établi en 1915. Une des prémisses de base de la relativité restreinte est qu’aucun effet physique ne peut se propager avec une vitesse plus élevée que celle de la lumière, de sorte que la vitesse de la lumière, c, représente une limite constante de vitesse qui est universelle. Cependant, la théorie classique de la gravitation décrit le champ gravitationnel d’un corps dans l’ensemble de l’espace comme une fonction de sa * Les lois de Newton sont invariantes (c’est-à-dire que les équations du mouvement ne changent pas d'un repère en mouvement à un autre) sous les transformations de Galilée. Malheureusement, les équations de Maxwell ne le sont pas (Section 1.1). Ceci pose alors un sérieux problème : les lois de Newton décrivaient très bien la nature à ce moment là, alors que les équations de Maxwell étaient nouvellement formulées. Les équations de Maxwell représentent la loi de propagation à vitesse constante c d'une onde électromagnétique. Cependant, puisque les équations de Maxwell ne sont pas invariantes suivant les transformations de Galillée, ceci mit en doute l'invariance générale sous les transformations de Galilée en plus de reconsidérer l'indépendance du temps dans les systèmes inertiels. Est-ce que la vitesse d’une onde tel que prédite par les équations de Maxwell constante? La formulation des lois du mouvement tel que décrite par les lois de Newton representative? Ces considérations furent à la base de toute la démarche proposée et résolue par la relativité restreinte proposée par Poincaré, Lorentz, Einstein et plusieurs autres. † Lorsqu’on parle d’un champ, tel le champ gravitationnel, nous parlons d’une collection de nombres, lesquelles sont définis en tout point de l’espace et ils décrivent complètement une force en ce point.
  • 8 1 Introduction position instantanée, ce qui est équivalent à la supposition que les effets gravitationnels se propagent avec une vitesse infinie, c’est-à-dire que la théorie classique de la gravitation est une théorie d’action-à-distance. Alors, la relativité restreinte et la théorie classique de la gravitation sont inconsistants, et une théorie modifiée de la gravité devient nécessaire. C’est la théorie recherchée et trouvée par Einstein de 1905 à 1916, suivant sa formulation de la relativité restreinte. Dans la relativité restreinte, Einstein a établi qu’il y a invariance de la mesure des distances dans un espace-temps a quatre dimensions. Cette invariance correspond à dire que l’intervalle d’espace-temps défini dans un système de coordonnées sphériques xµ = (ct,r) = (ct,r,θ ,ϕ ) ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 dθ 2 − r 2 sin 2 θ dϕ 2 (1.3.1) est partout constant dans un espace-temps. Ceci implique par exemple que peu importe les repères choisit (aussi longtemps qu’ils se déplacent en vitesse uniforme), un observateur au repos et un observateur se déplaçant selon une vitesse uniforme mesureront la même distance entre deux événements distants. Einstein ajouta à cette loi en proposant qu’on ne pense pas que le champ gravitationnel soit un nouveau champ mais plutôt qu’il correspondrait à la déviation de la géométrie de l’espace-temps de Minkowski exprimée par l’Éq. (1.3.1) qui est propre à la relativité restreinte.10,3 Une question troublante et embêtante a été longtemps considérée à savoir pourquoi les corps de masses différentes tombent avec la même accélération dans un champ gravitationnel, ou de façon équivalente, pourquoi la trajectoire d’un corps d’essai est indépendante de sa masse? Cette situation a été expliquée par Newton avec la citation que, à la fois, la force gravitationnelle sur un corps et sa résistance inertielle à l’accélération sont proportionnelles à sa masse. Alors, la masse n’est pas incluse dans la description mathématique du mouvement. Dans les expériences de laboratoire publiées en 1922 par L. von Eötvös,4 il a été trouvé que ceci est vraie à quelques parties par milliard. Plus tard, les travaux de R. Dicke5 ont amélioré la précision à quelques parties par 10 11, et V. Braginsky6 a obtenu une précision à quelques parties par 1012. Alors, l’indépendance du mouvement d’un corps d’essai sur sa masse est une des méthodes expérimentales les plus précises de la physique. L’explication qu’a offert Newton n’est pas très explicite et est plutôt de nature ad hoc en description. Une explication beaucoup plus naturelle et concise est due à Einstein. En fait, c’est alors qu’il travaille au bureau des brevets en 1907 qu’il eut la plus belle pensée de sa vie : “J’étais assis sur une chaise dans le bureau des brevets lorsque soudainement une pensée m’est apparue : si une personne tombe en chute libre, elle ne ressentira pas sa propre pesanteur! J’ai sursauté. Cette simple pensée a produit une impression durable en ma personne. Elle m’a propulsé vers une théorie de la gravitation.”7 Dans la physique, il y a beaucoup d’exemples de forces autres que la gravitation qui sont proportionnelles à la masse ; celles-ci naissent généralement de l’utilisation de systèmes de coordonnées qui sont accélérés pour décrire le mouvement. Un exemple bien connu est la force centrifuge, rencontrée dans un système de coordonnées en rotation. Considérons un observateur dans le champ gravitationnel de la Terre et un autre dans un ascenseur ou une fusée en accélération dans l’espace libre. Si les deux personnes laissent tomber un corps quelconque, ils observeront qu’il accélère de façon relative par rapport au sol. Selon la théorie classique, l’observateur situé sur Terre attribuerait cette force à une force gravitationnelle et l’observateur dans l’ascenseur attribuera cette même force au sol en accélération qui rattrape le corps en mouvement uniforme. Cependant, Einstein conclut que les effets sont identiques et que la théorie de la gravitation devrait procurer une description équivalente des deux systèmes. C’est le fameux principe d’équivalence qu’Einstein utilisa pour formuler la relativité générale ; le principe d’équivalence d’Einstein cite que sur une échelle locale, les effets physiques du champ gravitationnel sont indiscernables des effets physiques d’un système de coordonnées accéléré. Du point de vue du principe d’équivalence, la cause du fait que le mouvement d’un corps d’essai dans un champ gravitationnel est indépendant de sa masse est évidente. Selon la théorie de Newton,8,9,10 ceci correspond à dire que la force gravitationnelle sur un corps est proportionnelle à sa masse inertielle et inversement proportionnelle au carré de la distance r qui sépare une masse m de celle la masse M qui agit comme la source de gravitation (F ∝ GM/r2 ou bien Fg = mg = GN mM/r2, où GN est la constante universelle de gravitation de Newton.) Le principe d’équivalence d’Einstein stipule donc que le déplacement est indépendant de la nature des corps et que les parcours d’objets en chute libre définissent un ensemble de courbes dans l’espace-temps tout comme il le font en relativité restreinte. Ceci nous suggère donc la possibilité que les propriétés du champ gravitationnel sous-tendent la structure de l’espace-temps lui-même. Einstein eut donc recours à deux idées originales et suivit une nouvelle voie plutôt que de modifier la théorie de la gravitation de Newton.2 La première idée fut que tous les corps sont influencés par la gravité et de plus, que tous les corps tombent précisément de la même façon dans un champ gravitationnel – c’est le principe d’équivalence. La seconde idée qu’Einstein utilisa pour formuler sa théorie fut le principe de Mach.10 En relativité restreinte comme pour les notions de l’espace-temps de la pré relativité, la structure de l’espace-temps n’est donnée qu’une fois pour toute, et elle n’est d’aucune façon influencée par les objets matériels qui peuvent y être présents. En particulier, le “déplacement inertiel” et “sans rotation” n’est pas influencé par la matière dans l’univers. Mach, comme bon nombre de philosophes avant lui (en particulier Riemann), trouva cette idée insatisfaisante. Plutôt, Mach se sentait plus à l’aise de penser que toute la matière
  • 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 9 dans l’univers devrait contribuer à la définition locale de “sans accélération” et “sans rotation” et que dans un univers dénué de matière, ces concepts ne devraient avoir aucun effet. Einstein accepta cette idée et fut fortement motivé à chercher une théorie où, contrairement à la relativité restreinte, la structure de l’espace-temps serait influencée par la présence de matière.3 Du point de vue expérimental, ce ne fut qu’au début des années soixante qu’une nouvelle génération d’expériences gravitationnelles confirmèrent les prédictions de la théorie d’Einstein, au-delà des trois vérifications classiques, dont la déviation de la lumière fut la plus convaincante11 ; le moment quadripolaire du Soleil cause encore certains problèmes en ce qui concerne la précession de la périhélie de Mercure comme vérification définitive.12 De plus, la théorie d’Einstein est en accord avec les relevés obtenus auprès du pulsar PSR 1913+16 en ce qui concerne l’existence indirecte des ondes gravitationnelles.13 Il reste aussi la détection encore désirée du quantum de gravitation, le graviton, qui serait le médiateur de la force gravitationnelle dans la théorie quantique et celle des ondes gravitationnelles directement dans un laboratoire terrestre.14 La cosmologie offre aussi plusieurs énigmes.15 La nouvelle théorie de l’espace, du temps et de la gravitation, la relativité générale, proposée initialement par Einstein en 19149,10,3 affirme que les propriétés intrinsèques de la métrique de l’espace-temps,* indépendantes d’un observateur, n’ont point besoin d’avoir la forme qu’elles ont en relativité restreinte. En Effet, la courbure, c’est-à-dire la déviation de la métrique de l’espace-temps de sa forme minkowskienne, est la cause des effets physiques qu’on attribue au champ gravitationnel. De plus, la courbure de l’espace-temps est reliée au tenseur d’énergie-impulsion de la matière dans l’espacetemps via une équation postulée par Einstein 3 G = κT (1.3.2) où κ = 8π G/c est une constante avec G, la constante gravitationnelle de Newton. L’Éq. (1.3.2) s’exprime aussi de la façon suivante 4 Géométrie = (constante) × Énergie (1.3.3) G et Géométrie sont tous deux une seule et même fonction de la métrique de l’espace-temps g . Cette métrique est un objet mathématique qui définit les potentiels gravitationnels en tout point de l’espace-temps. G représente alors la géométrie du champ gravitationnel. T et Énergie sont tous deux un seul et même objet mathématique qui tient compte de la distribution de la matière dans le champ gravitationnel. De cette façon, la structure de l’espace-temps, qui prend forme dans la métrique de l’espace-temps, est reliée au contenu de matière présente dans l’espace-temps, tout en étant en accord avec quelques-unes seulement des idées de Mach.3 Wheeler exprime bien le lien entre l’espace et la matière : “Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on space, telling it how to curve.”3,† Dans notre réalité tridimensionnelle donc, les corps tombent parce qu’ils sont dans un espace-temps à quatre dimensions courbé par une source d’énergie ou de matière plus imposante. Mais pour les corps, dans leur réalité quadridimensionnelle propre à eux, ils * Avant d’entreprendre notre discussion sur la TGE, il serait approprié de définir quelques termes qui sont essentiels dans cette partie du document. Dans l’espace à quatre dimensions que l’on étudiera (l’espace-temps), on a besoin d’une collection de dix nombres en tout point de l’espace-temps (événement) pour décrire sa courbure ou sa déformation d’un espace plat de Minkowski. Peu importe combien de déformations sont subies par l’espace-temps, cette collection de dix nombres en tout point suffit pour encoder toute l’information de cet espace. On dénote cette collection de dix nombres par la métrique g , ou en ses composantes gµν (µ,ν = 0, 1, 2, 3) correspondant à une matrice 4 × 4 à 16 éléments. Cependant, dans la TGE, la métrique est symétrique (gµν = gνµ ) de part et d’autre de la diagonale, ce qui nous permet de réduire notre nombre de composantes indépendantes pour la métrique à 10 pour tous les points de l’espace-temps. La métrique mesure donc de combien la déformation, les échelles de temps, et la pondération varient d’un endroit à l’autre dans l’espace-temps, et c’est pourquoi les composantes gµν de la métrique sont les potentiels gravitationnels du champ de gravitation. La métrique g et ses composantes, gµν , définissent une entité géométrique qui pondère les différentes différences de coordonnées avec elles-mêmes et entre elles. La métrique possède toute sa force dans son utilisation avec l’élément de longueur [voir l’Éq. (1.3.1)], ou ds2 = ∑µν ηµν dxµ dxν, qui représente la distance au carré entre les différents points de l’espace et est quelque peu représentative du Théorème de Pythagore. Par exemple, si on considère la surface d’une table, les composantes de la métrique dans le cas d’un espace symétrique à deux dimensions (représentée par les coordonnées arbitraires x1 et x2 ) sont η1 = 1, η22 = 1, et η12 = η21 = 0, ou bien, ηµν = [ ] (µ , ν = 1, 2). L’élément de longueur (ou intervalle) ds est donné par 1 0 2 0 1 ds2 = ∑µν η µν dxµ dxν = ∑µ (η µ1 dxµ dx1 + ηµ2 dxν dx2) = η11 dx1 dx1+η21 dx2 dx1 + η12 dx1dx2 + η22 dx2 dx2 = η 11 (dx1)2 + 2η12dx1 dx2 + η22(dx2)2 = (1)(dx1) 2 + (1)(dx2)2 . 2 Alors, ds = (dx1)2 + (dx2)2, ou si on veut en coordonnées cartésiennes, ds2 = dx2 + dy2. C’est donc le Théorème de Pythagore dans le plan cartésien. Il en est de même dans un espace à quatre dimensions tel l’espace-temps mais si la métrique est symétrique, on aura une matrice 4×4 avec seize composantes. Cependant, puisque la métrique est symétrique, les douze termes de part et d’autre de la diagonale seront égaux nous laissant ainsi six composantes symétriques. En ajoutant les quatre composantes de la diagonale on aura alors dix composantes indépendantes pour la métrique. Comment pouvons nous trouver ces composantes? Bien, c’est là qu’Einstein démontra son génie en proposant l’Éq. (1.3.2) ci-dessous : Géométrie = (constante) × Énergie , ou bien, G = (8π G/c4) T , qui, dans le vide (pas de matière), donne Riemann = R = 0. G est reliée à la métrique par la voie de R , nous donnant ainsi dix équations (fonctionnellement) indépendantes pour nos dix composantes de la métrique. Il existe quatre identités, celles de Bianchi, exprimées Variation de la Géométrie = 0, ou bien, ∇G = 0, qui relient les dix équations indépendantes de la métrique pour ainsi donner 10 − 4 = 6 équations indépendantes pour la métrique. Ceci nous laissant donc avec quatre degrés de liberté (les quatre coordonnées) dans les dix composantes inconnues de la métrique. † L’espace agit sur la matière, lui disant comment se déplacer. En retour, la matière réagit sur l’espace, lui disant comment se courber. (Traduction libre.)
  • 10 1 Introduction ne tombent pas : ils se déplacent selon une ligne droite, une géodésique. C’est encore une démonstration du principe de relativité : toutes les observations dépendent de l’endroit où on effectue ces observations (que l’on soit dans un monde limité à trois dimensions ou que l’on se place dans une hyper réalité à quatre dimensions.) La nature a choisi de vivre dans une réalité à quatre dimensions mais nous observons le comportement des corps qui nous entourent dans une réalité à trois dimensions d’espace et une de temps propre à nous. De plus, en exigeant que les lois de la physique soient invariantes sous des transformations générales des coordonnées, Einstein développa sa théorie de la gravitation en utilisant la géométrie riemannienne et le principe d’équivalence. Il ne fut pas autant guidé par un besoin d’expliquer sa théorie aux résultats expérimentaux contradictoires de l’époque que par sa recherche de beauté et de simplicité!16,* Le besoin de mettre toutes les lois de la physique indépendantes de n’importe lequel choix de coordonnées et l’équivalence de la masse inertielle et gravitationnelle étaient à la base de sa recherche. La première condition fut remplie en exigeant que les parcours des corps soient des géodésiques dans un espace-temps pseudo riemannien, dont la courbure est déterminée par la distribution de la matière dans le champ. Mais il ne fut pas satisfait pour autant. Nous utiliserons le principe de moindre action (principe de Hamilton) pour obtenir les équations du champ gravitationnel d’Einstein ci-dessous, les équations de base derrière la formulation de la relativité générale. Mais avant de résumer ce principe, nous devons définir le lagrangien. L’idée fondamentale derrière la formulation lagrangienne réside dans le fait qu’il utilise des quantités scalaires (spécifiées par un nombre réel seulement) plutôt que vectorielles (spécifiées par un nombre réel et une direction dans un système de coordonnées quelconque.) Cette formulation est d’autant plus convaincante que sa forme est indépendante des coordonnées utilisées. On dénote le lagrangien par L, lequel dépend des & coordonnées xi(α ) (t ) , des vitesses xi(α ) (t ) , et possiblement explicitement de t lui-même. Mais dans la majorité des cas, le lagrangien est simplement la différence entre les énergies cinétique et potentielle : L = K − V. (Voir l’Appendice C). Nous utiliserons la méthode de Lagrange qui compare les trajectoires possibles entre elles et nous donne un critère pour choisir la bonne. Pour ce faire, nous calculerons une quantité, l’action, S (α), qui caractérise la trajectoire α S (α) = ∫ t2 t1 [ ] & L xi(α ) (t ), xi(α ) (t ), t dt (1.3.4) où L est le lagrangien. Le comportement le plus simple à identifier est le point stationnaire, là où S est un extremum, soit la définition du principe de moindre action ou principe de Hamilton δ S (α) = dS (α ) =0 dα α (1.3.5) où α fixe la bonne trajectoire sur laquelle S prend la valeur extrême S (α ) laquelle est minimale dans un graphique S = f (α ). Dans la TGE, la relativité générale, un système matériel décrit par un tenseur symétrique (qui satisfait les équations de conservation de l’énergie et de l’impulsion) suggère que ce même système peut être dérivé du principe de moindre action (voir ci-dessus.) Cette méthode est très utile (lorsqu’elle est applicable) puisqu’elle permet une relation naturelle entre les lois de conservation et les propriétés de symétrie. Dans ce cas-ci, en relativité générale, la symétrie qu’on requiert est la covariance générale. Spécifions un champ d’énergie selon un lagrangien Lc, qui dépend non seulement des variables du champ mais aussi des composantes de la métrique, g µν. Le lagrangien doit être un scalaire, pour ainsi assurer une description du champ qui sera indépendante d’un système (quelconque) de coordonnées qu’on pourrait ultérieurement choisir ; on appelle action l’intégrale du lagrangien sur un ensemble fermé et compacte Ω de la variété de l’espace-temps S c(Ω ) = ∫Ω Lc dΩ = ∫ Lc d 4 x (1.3.6) où dΩ = − g d4x (g = det|gµν|) et L c = − g Lc sont l’élément du quatre-volume invariant (dans l’espace-temps) et la densité lagrangienne du champ d’énergie, respectivement.† Le champ (ou une collection de champs) est postulé comme étant en équilibre avec la géométrie de l’arrière-plan (minkowskienne) ; pour cette condition, ni l’un ni l’autre des deux systèmes, le champ et la géométrie, ne devraient être considérés séparément mais seulement comme un seul et unique * Einstein considérait que la courbure de l’espace-temps (que l’on identifiera comme Riemann , qui signifie le tenseur de Riemann), comme une entité géométrique. Il la connotait marbre. La matière (ou l’énergie) lui était très laide. Il ne l’associait pas d’entité géométrique. Il la connotait dont bois. On obtient donc la relation correspondant à l’Éq. (1.3.3) qu’Einstein détesta : marbre ∝ bois. Le but qu’Einstein s’était fixé sa vie durant fut d’exprimer toute l’énergie de l’univers (toute la matière existante) sous forme géométrique ; de transformer le bois en marbre, pour ainsi obtenir une relation du genre marbre = 0 : tout est géométrie et rien n’est matière. Il voulut que tous les phénomènes qu’on observe ne soit qu’une manifestation de la géométrie à quatre dimensions. C’est encore le but fixé aujourd’hui par les théoriciens par l’entremise de la théorie des supercordes : l’unification de tous les phénomènes dans une entité géométrique à dix ou onze dimensions (M-Theory) dont la matière ne serait que la manifestation de différentes résonances. † Toutes les quantités, telles L, g, etc., représentent des densités (quantités invariantes) lesquelles sont définit par X = − g X.
  • 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 11 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein système, dans lequel les propriétés dynamiques de la géométrie du champ gravitationnel sont aussi décrites par un lagrangien Lg . On définit donc l’action gravitationnelle totale SG (Ω ) = Sc (Ω ) + Sg (Ω ) = ∫Ω ( Lc + Lg) d Ω (1.3.7) La métrique g est considérée comme un champ dynamique ce qui implique que l’équation qui établira l’équilibre entre la géométrie et le champ externe est obtenue en imposant la condition de stationnarité de l’action gravitationnelle totale SG sous une variation arbitraire de la métrique avec un support dans Ω δ SG = 0 (1.3.8) g La variation des actions individuelles, Sc et Sg , sous l’opérateur δ nous procure des expressions tensorielles qui g caractérisent (de façon covariante) les champs respectifs, de même qu’elle nous permet d’obtenir des équations de conservation. Considérons d’abord l’action du champ. Le postulat en cause ici est que le lagrangien Lc dépend seulement des composantes de la métrique, g µν (x) et non de ses dérivées d’ordres supérieurs, parce que cette condition est satisfaite par toute distribution raisonnable de matière. La variation par rapport à la métrique g , δ , nous donne donc g δ Sc = g  ∂ Lc ∫Ω  ∂g µν δ ( g µν )dΩ + L δ (  c   − g )d 4 x    (1.3.9) Puisque* δ g = gg µνδ g µν , l’Éq. (1.3.9) donne donc l’action d’un champ d’énergie δ Sc = g 1 T µν δ ( g µν ) dΩ 2 ∫Ω (1.3.10) où T µν ≡ 2 ∂ Lc + Lc g µν (1.3.11) ∂g µν sont les composantes d’un tenseur symétrique. On identifie T µν avec les composantes du tenseur d’énergie-impulsion du champ. De l’Éq. (1.3.10) on obtient† ∫Ω T µν ∇ ( µ ξν ) dΩ = 0 (1.3.12) où ∇µ est la dérivée covariante dans la direction d’un vecteur de base e µ (voir Section 2.1) ∇ µ ξ ν = ∇e µ ξ ν ≡ ξ ν,µ − Γ λµν ξ λ (1.3.13) et où Γ λµν sont les composantes de la connexion affine qui mesure la quantité de torsion, de rotation, d’expansion, et de déformation de l’espace-temps, et ξ µ sont les composantes du vecteur de Killing ξ (qui procure une description des translations qui préservent les déplacements infinitésimaux dans un champ) et qui obéit à l’équation de Killing pour un champ vectoriel ξ ∇(µ ξ ν ) = 0 (1.3.14) En utilisant le théorème de Gauss et les symétries inhérentes des composantes contravariantes T µν, on obtient ∫Ω (∇ µ T * µν )ξν dΩ − ∫ ∂Ω T µν ξν − g d 3Ω µ = 0 (1.3.15) Le déterminant de la métrique, g, est relié au jacobien, J = det∂xµ ⁄ ∂xν , par g = J 2g. En utilisant gµν (x) = (∂xα ⁄ ∂xµ )(∂xβ⁄ ∂xν )gαβ(x) on trouve que µ µ − g = J − g . De plus, on considère que ∇ µ ( − g u ) = ∂ µ ( − g u ) et on utilise parfois les relations suivantes : ∇ µ g ≡ 0 et ∇ µ − g ≡ 0. Selon la notation non géométrique, en terme de composantes, on a que ξ (ν ;µ ) = ½( ξ ν ;µ − ξ µ ;ν ), où le point virgule représente la dérivation covariante, ξµ (sous forme covariante) sont les composantes d’un vecteur quelconque ξ . ( µν ) et [µν ] représentent la symétrisation et l’antisymétrisation, respectivement : ξ (µ ,ν ) = ½(ξ µ ,ν + ξ ν ,µ ) et ξ[ µ ,ν ] = ½( ξ µ ,ν − ξ ν ,µ ). †
  • 1 Introduction 12 1 Introduction où Ω µ représente les composantes de la forme d’ordre un du volume, Ω . Puisque le vecteur ξ disparaît à la frontière fermée ∂Ω, l’Éq. (1.3.15) donne, parce que le vecteur ξ est arbitraire, les équations de conservation des composantes du tenseur d’énergie-impulsion ∇ ν T µν = 0 (1.3.16) Puisque la géométrie de l’espace-temps répond à un champ externe en provoquant de la courbure, dépendant de la densité d’énergie emmagasinée dans le champ, elle aura des équations du mouvement qui lui seront propres. La seule variable dynamique de ce champ sera la métrique, via ses composantes gµν . On cherche à obtenir des équations qui, dans la limite d’un champ gravitationnel faible, nous procurera l’équation de la gravitation de Newton ; c’est une équation différentielle partielle non linéaire au second ordre du potentiel newtonien. Une exigence minimale est que les équations de la relativité générale doivent être du même degré et linéaires dans les secondes dérivées partielles des composantes de la métrique (qui jouent d’ailleurs le rôle de potentiel gravitationnel.) Ceci est assuré par l’action qui est une intégrale d’un lagrangien Lg , qui elle est une fonction des composantes gµν, gµν,ρ, et gµν,ρ, σ uniquement ; elle est linéaire dans ces dernières composantes (les dérivées secondes) et est telle que des termes comme ∂ Lg/∂g µν,ρ ne contiennent pas gµν,ρ,σ . L’action la plus simple qui puisse satisfaire ces exigences fut trouvée par D. Hilbert,* soit l’action géométrique de Hilbert-Einstein pour un champ gravitationnel Sg = − 1 2κ ∫ Lg d = − c4 − gRd 4x 16π G ∫Ω (1.3.17) où R est le scalaire de courbure, R = gµνRµν [Rµν sont les composantes du tenseur de Ricci provenant des composantes du tenseur de Riemann-Christoffel, R λµνρ (voir Section 2.1)], et le facteur constant [−c 4/16πG (MKS)] est requis pour satisfaire la limite newtonienne. La variation de l’Éq. (1.3.17) pour Sg se lit maintenant δ Sg = − g =− c4 δ ( g µν R µν ) d 4 x 16π G ∫Ω c4 [δ ( g µν ) Rµν + g µν δ ( Rµν )]d 4 x 16π G ∫Ω (1.3.18) Les composantes du tenseur de Ricci sont données par R µν = R λµνλ = Γ λµν, λ − Γ λµλ, ν + Γ ρµν Γ λρλ − Γ ρµλ Γ λρν (1.3.19) Si on applique la variation δ sur l’Éq. (1.3.19), on obtient δ Rµν = (δ Γ λµν), λ − (δ Γ λµλ), ν + (δ Γ ρµν) Γ λρλ + Γ ρµν δ (Γ λρλ ) − (δ Γ ρµλ )Γ λρν − Γ ρµλ δ (Γ λρν ) (1.3.20) La variation des composantes de la connexion affine est aussi un tenseur. En effet, on a δ Γ λµν = − δ (g ρσ )gλρ Γ σµν + 1 gλρδ [(δ g ρν),µ + (δ g ρµ),ν − (δ gµν),ρ] 2 = 1 g λρ(∇µδ gρν + ∇ νδ g ρµ − ∇ ρδ g µν ) ∇ 2 (1.3.21) Alors, la variation des composantes du tenseur de Ricci peut être écrite comme suit† δ Rµν = ∇ρ (δ Γ ρµν ) − ∇ν (δ Γ ρµρ ) (1.3.22) L’Éq. (1.3.18) devient donc, avec l’aide de l’Éq. (1.3.22) (κ = − c /16π G) 4 δ Sg = κ ∫ {δ ( g µν ) Rµν + g µν [∇ ρ (δ Γ ρ µν ) − ∇ν (δ Γ ρ µρ )]}d 4 x g Ω (1.3.23) * Parlons un peu des circonstances entourant la découverte de l’action représentée par l’Éq. (1.3.17). En effet Hilbert, inspiré par les travaux antérieurs d’Einstein et d’un séminaire qu’Einstein donna à Göttingen, présenta cette action à la réunion de l’Académie Royale des Sciences de Göttingen en 1915. Ceci survint seulement cinq jours seulement avant qu’Einstein présente sa formulation définitive de la relativité générale, lors de la réunion de l’Académie Prussienne à Berlin, publiée en 1916. Mais c’est Einstein qui fit tous les travaux préliminaires et qui attribua à cette action toute sa signification physique comme base d’une théorie du champ gravitationnel. L’Éq. (1.3.22) est connue comme l’identité de Palatini et est obtenue de l’Éq. (1.3.20) si on prend les Γ comme des variables dynamiques indépendantes des gµν . †
  • 13 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein = κ ∫ {δ ( g µν ) Rµν + [∇ ρ (g µν δ Γ ρ µν ) − ∇ν ( g µν δ Γ ρ µρ )]}d 4 x Ω = κ ∫ {δ ( g µν ) Rµν + ( g µν δ Γ ρ µν − g µρ δ Γν µν ) , ρ }d 4 x (1.3.24) Ω puisque la dérivée covariante de gµν disparaît identiquement, et où le second terme à la droite de l’Éq. (1.3.24) a été réécrit en fonction de la divergence laquelle n’amène aucune contribution à l’action gravitationnelle totale δ SG. L’Éq. (1.3.18) se g réduit donc à l’expression suivante (dΩ = − g d x) 4 δ Sg = κ ∫ Rµν δ g µν d 4 x Ω g = κ ∫ Rµν δ ( − g g µν ) d 4 x Ω = κ ∫ ( Rµν g µν δ − g + Rµν − g δ g µν ) d 4 x Ω 1  = κ ∫  R g ρσ − Rµν g µρ g νσ δ g ρσ dΩ Ω2  1   = − κ ∫  R ρσ − R g ρσ δ g ρσ dΩ Ω 2  où on a utilisé la relation δ ( − g ) = 1 2 (1.3.25) − g g µν δ g µν . On peut aussi formuler l’Éq. (1.3.25) de la façon suivante δ Sg = − g c4 1   µν ∫Ω  Rµν − 2 R g µν δ g dΩ 16π G   (1.3.26) C’est la forme qu’on obtenu Hilbert et Einstein. L’expression entre parenthèses dans l’Éq. (1.3.26) est un tenseur, le tenseur d’Einstein G µν = Rµν − 1 R g µν 2 (1.3.27) c4 − g Gµν δ g µν dΩ 16π G ∫Ω (1.3.28) et l’action donnée par l’Éq. (1.3.26) devient δ Sg = − g L’exigence que S g est un scalaire nous amène (avec des arguments similaires que ceux employés pour T µν ) aux équations de conservation pour les composantes du tenseur d’Einstein ∇ ν G µν = 0 (1.3.29) qui reproduisent tout simplement les identités de Bianchi ∇ [σ R λµνρ ] = 0 (1.3.30) et ∇ µ (R µν − 1 2 δ µν R ) = 0 (1.3.31) En retournant à l’Éq. (1.3.8), on déduit finalement les équations qui établissent l’équilibre entre les champs d’énergie donnés par l’Éq. (1.3.10) et la géométrie du champ gravitationnel  c4  1 δ S g = ∫ −  R − R g µν Ω  16π G  µν g 2   µν  1  + Tµν δ g dΩ = 0  2   avec le caractère arbitraire qu’a δ gµν, les équations d’Einstein sont données par (1.3.32)
  • 14 1 Introduction Gµν = Rµν − 8π G 1 R gµν = 4 Tµν 2 c (1.3.33) où 8π G/c 4 = κ est la constante de couplage d’Einstein. Les équations du champ d’Einstein sont dix équations différentielles partielles, couplées et non linéaires du second ordre dans les composantes de la métrique. Puisque les deux côtés de l’Éq. (1.3.33) ont une divergence covariante qui disparaît (∇ν G µν = ∇ ν T µν = 0), alors le nombre d’équations indépendantes est réduit à six. Celles-ci suffisent entièrement à déterminer les dix composantes de la métrique symétrique de l’espace-temps de la relativité générale parce que quatre composantes de la métrique peuvent être assignées arbitrairement par le libre choix que nous avons en effectuant des transformations de coordonnées, ce qui se résume ainsi à quatre conditions. Les ECE guident le mouvement des planètes dans le système solaire, la déviation de la lumière par le Soleil, ainsi que l’effondrement d’une étoile pour former un trou noir. Elles déterminent uniquement la géométrie extérieure de l’espace-temps d’un trou noir (un trou noir n’a pas de cheveux), en plus du fait que les ECE gouvernent l’évolution des singularités de l’espace-temps au point final de l’effondrement et finalement l’expansion et la recontraction de l’univers, pour ne nommer que celles-ci. Donc, l’interaction entre le champ matériel et la géométrie de l’espace-temps se présente sans aucune spécification explicite des propriétés du champ, mais seulement par l’entremise du tenseur d’énergie-impulsion. La géométrie de l’arrière-plan ne pourrait faire la distinction entre les différents champs physiques, pourvu que ces derniers possèdent la même distribution en énergie-impulsion. Ceci peut être considéré comme une version de l’équivalence entre les masses inertielle et gravitationnelle que l’on a discutée auparavant. L’Éq. (1.3.33) nécessite plus d’attention, surtout lorsqu’il est question du déplacement d’un corps d’essai dans un champ gravitationnel. En effet, pour expliquer cette équation, il faut faire appel à quelques éléments de géométrie différentielle (Section 2.1). Par exemple, il existe un objet géométrique dans l’espace-temps appelé le tenseur de courbure de Riemann, riemann . riemann est l’incarnation mathématique des déformations, des torsions et des contractions (courbure de l’espacetemps) produites par l’accélération relative des géodésiques (par exemple, la ligne d’univers d’une particule libre) passant par un événement quelconque E et on dénote sur cette géodésique un vecteur tangent unitaire (le quadri-vitesse de la particule libre) par l’expression v = d x / d τ (τ étant le temps propre) ou en coordonnées, v µ = dx µ /dτ. Si on choisit maintenant une autre géodésique, laquelle est voisine de notre première géodésique, ces deux géodésiques étant séparées par un vecteur quelconque, disons ξ , riemann produira un nouveau vecteur, riemann (v ,ξ ,v ). L’équation de la déviation géodésique stipule que ce nouveau vecteur est de signe contraire de l’accélération relative des deux géodésiques D 2ξ + riemann (v ,ξ ,v ) = 0 dτ 2 (1.3.34) où D/d τ exprime la dérivée covariante par rapport à des incréments de temps propre. Donc, dans n’importe lequel système de coordonnées, les composantes du vecteur qui sortent de l’opération peuvent être formulées comme étant fonction des composantes des vecteurs que nous avons insérés3 r = riemann (u ,v ,w ) ⇔ r λ = R λµνρ u µ v ν w ρ (1.3.35) En fonction des composantes, l’Éq. (1.3.34), l’équation de déviation géodésique, peut être écrite comme D 2ξ λ dτ 2 + R λ µνρ dx µ ν dx ρ =0 ξ dτ dτ (1.3.36) Dans la théorie géométrique de la gravitation d’Einstein, l’Éq. (1.3.36) résume l’effet entier qu’a la géométrie sur la matière. L’Éq. (1.3.36) fait pour la physique gravitationnelle ce que l’équation de force de Lorentz D 2 xλ dτ 2 − e λ dx µ F µ =0 m dτ (1.3.37) fait pour l’électromagnétisme (e = q/4πε o). Maintenant, revenons à l’Éq. (1.3.33). Une certaine partie du tenseur de Riemann, notamment le tenseur d’Einstein, que l’on dénote par Géométrie ou G , est toujours générée par une distribution locale de matière. Géométrie est un objet mathématique qui généralise la composante R tt du tenseur de Ricci [qui est égale à (4π G / c2)ρ, ρ étant la densité.] Comme R tt, Géométrie est une sorte de moyenne de riemann sur toutes les directions. En générant Géométrie on obtient un objet géométrique appelé le tenseur d’énergie-impulsion, dénotée par Énergie ou T . Aucune coordonnée n’est nécessaire ici pour définir Géométrie , ni aucune pour Énergie . Comme pour le tenseur de Riemann, riemann , et le tenseur métrique, g , Énergie existe en absence totale de coordonnées si on le désire. Dans la nature, les objets Géométrie et Énergie sont toujours égaux, mise à part une constante, que l’on exprime de la façon suivante
  • 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein Géométrie = κ Énergie 15 (1.3.38) où κ est la constante de couplage d’Einstein. On peut réécrire l’Éq. (1.3.38) de la façon suivante qui exprime les équations du champ gravitationnel d’Einstein en l’absence de coordonnées G = 8π G T c4 (1.3.39) laquelle est identique aux Éqs. (1.3.2) et (1.3.33), sauf à l’égard de la notation. Les Équations du Champ d’Einstein (ECE) nous montrent comment le contenu en énergie-impulsion (Énergie ) génère une courbure moyenne (Géométrie ) dans son voisinage. De plus, l’Éq. (1.3.39), les ECE, représente une équation de propagation pour la partie restante (anisotrope) de la courbure ; elle gouverne la courbure externe de l’espace-temps d’une source statique, de même que la génération d’ondes gravitationnelles (ondulations dans la courbure de l’espace-temps) par de l’énergie-impulsion en mouvement. Elle régit également la propagation de ces ondes dans l’univers. Les ECE contiennent même en elles les équations du mouvement (Force = m × a = « masse fois accélération ») pour la matière, dont l’énergie-impulsion génère la courbure. Celles-ci furent les conséquences de G = κ T ( Courbure moyenne = « couplage gravitationnel fois le contenu en énergie-impulsion dans l’espace-temps »). Une façon utile dont on dispose pour écrire les équations du champ d’Einstein est d’abord de prendre la trace de l’Éq. (1.3.33) R − 2R = κ T = − R (1.3.40) puis en insérant l’Éq. (1.3.40) à nouveau dans l’Éq. (1.3.33) pour ainsi obtenir 1   Rµν = κ  Tµν − T  2   (1.3.41) Dans cette forme, on reconnaît que les composantes du tenseur de Ricci reçoivent leurs contribution par la distribution locale d’énergie-impulsion. Lorsque qu’il n’y a pas d’énergie-impulsion ou matière dans le champ gravitationnel, les équations du champ gravitationnel d’Einstein dans le vide sont données par Rµν = R λµνλ = Γ λµν,λ − Γ λµλ, ν + Γ ρµν Γ λρλ − Γ ρµλ Γ λρν = 0 (1.3.42) L’Éq. (1.3.42) ne produit pas seulement des solutions qui décrivent la géométrie de l’espace-temps à l’extérieur d’une distribution de matière ou d’énergie-impulsion, mais elle donne aussi des solutions qui diffèrent de la solution triviale de Minkowski, même lorsqu’il n’y a pas une quelconque distribution de matière ou d’énergie-impulsion. Ces solutions découlent en quelque sorte de la non linéarité de l’interaction gravitationnelle, selon laquelle la courbure (c’est-à-dire, la gravité), étant elle-même empreinte d’énergie-impulsion, génère elle-même davantage de courbure ; ces solutions décrivent alors des champs gravitationnels autosuffisants. Une des solutions les plus connues et la première à avoir été trouvée est la solution de K. Schwarzschild,* donnée de la façon suivante par l’élément de longueur au carré d’une source matérielle à symétrie sphérique dans un champ gravitationnel −1 2GM 2GM ds 2 = 1 − 2 c 2 dt 2 − 1 − 2  dr 2 − r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 )      c r   cr  (1.3.43) où M est la masse totale du corps mesurée à partir de la troisième loi de Kepler. L’Éq. (1.3.43) définit la géométrie schwarzschildienne ou le champ gravitationnel de Schwarzschild selon un système de coordonnées sphériques. En comparant l’Éq. (1.3.43) à l’Éq. (1.3.1) on voit l’effet d’une déformation du champ gravitationnel lorsqu’une masse M est présente. Dans la région où la géométrie est comparable à celle de Minkowski, pour r >> R, le rayon du corps créant le champ gravitationnel, la théorie de Newton est valide et le potentiel newtonien devient φ = GM/r, où M est la masse qui gouverne les mouvements képleriens des planètes dans ce champ gravitationnel newtonien. Cependant, l’Éq. (1.3.43) se * Initialement, Einstein pensait qu’on ne réussirait jamais à trouver une solution à ses équations puisqu’elles sont si compliquées... À l’époque, Schwarzschild était un éminent astrophysicien et il savait qu’il serait très difficile d’analyser mathématiquement une étoile possédant un moment angulaire de rotation (spin) et qui serait en plus non sphérique. Donc, après avoir lu la publication d’Einstein en 1915, il se concentra sur le modèle d’une étoile qui ne possédait pas de spin, qui serait précisément sphérique et dont le comportement ne dépendrait pas du temps (un corps statique), une simplification qui aida ses calculs. Il procéda ensuite à trouver la solution extérieure à l’étoile laissant la solution intérieure (dépendante du temps) pour plus tard. De l’Éq. (1.3.42), il considéra que les composantes temporelle et radiale de la métrique seraient des fonctions exponentielles décroissantes, eν(r) et eµ(r), dans un système de coordonnées sphériques. Il obtint six équations (parmi les six, une d’entre elles était répétée.) Finalement, il trouva trois équations indépendantes qui lui permit d’isoler les fonctions exponentielles eν(r) et eµ(r), permettant ainsi de définir l’élément de longueur au carré présentée à l’Éq. (1.3.43). Il présenta donc cette solution que quelques mois après la publication par Einstein de la relativité générale.
  • 16 1 Introduction comporte très mal lorsqu’elle se trouve près de la coordonnée r = 2GM/c2, où g tt (composante temporelle) devient nulle et grr (composante radiale) devient infinie. Néanmoins, on ne peut être convaincu sans une analyse rigoureuse que cette pathologie (division par zéro, etc.) dans l’élément de longueur est soit due à une pathologie dans la géométrie de l’espacetemps elle-même ou simplement due à une pathologie dans les coordonnées (ct,r,θ,ϕ ) du système de coordonnées sphériques que l’on a utilisé pour trouver l’Éq. (1.3.43) et ce, près de RS = 2GM/c2. On appelle la région r = RS, le rayon gravitationnel, le rayon de Schwarzschild, ou l’horizon événementiel, pour n’en nommer que quelques uns. Puisque le rayon de Schwarzschild n’est pas une singularité à proprement dit, on peut retirer la pathologie en effectuant une transformation des coordonnées sphériques initialement proposées par Schwarzschild par une transformation qui fut proposée par M.D. Kruskal en 1960 (et indépendamment par G. Szekeres). On définit alors les coordonnées de Kruskal-Szekeres de la façon suivante (avec m = GM/c2) 17 u = (r/2m − 1)1/2 er/4m cosh(t/4m) (1.3.44) v = (r/2m − 1)1/2 er/4m sinh(t/4m) (1.3.45) lorsque r > 2m, et u = (1 − r/2m)1/2 er/4m sinh(t/4m) v = (1 − r/2m) e 1/2 r/4m (1.3.46) cosh(t/4m) (1.3.47) lorsque r < 2m. Les transformations des coordonnées données par les Éqs. (1.3.44)-(1.3.45) et (1.3.46)-(1.3.47) nous permettent de définir l’élément de longueur au carré de la géométrie de Schwarzschild dans les coordonnées de KruskalSzekeres 3 ds 2 = 32m e − r 2 m (−dv 2 + du 2 ) + r 2 (dθ 2 + sin 2 dϕ 2 ) r (1.3.48) Ici, on regarde r comme une fonction de u et v définie implicitement par * (r/2m − 1) er/2m = u 2 − v 2 (1.3.49) 2 Maintenant, à l’intérieur de l’horizon événementiel (à l’intérieur de r = 2GM/c ) à r = 0, on est confronté à une singularité dans les coordonnées utilisées par Schwarzschild. À ce point, les forces de marée deviennent infinies ; c’est un endroit où l’espace-temps perd toute sa définition et où les lois de la physique cessent d’être valides, c’est la fin de la prédictibilité globale des équations d’Einstein. En effet, Einstein refusa d’accepter que ses équations comportaient une telle pathologie et il fut convaincu que l’espace-temps devait être formulé de façon à éviter ces pathologies. Sa théorie unifiée de la gravitation et de l’électromagnétisme est le reflet de cette quête où il entreprend de définir le concept de masse à même la géométrie de l’espace-temps : la masse n’est que le reflet du comportement de la géométrie. Le Big Bang est aussi dans cette classe de pathologie ou de singularité dans l’espace-temps, mais celui-ci eut lieu aux tous premiers instants de la création de l’univers : notre univers n’est issu de rien, du néant. Avant la création de l’univers, le temps et l’espace n’existaient pas, car ils n’étaient pas définis en ce point singulier. 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? Notre question maintenant est donc la suivante : Pourquoi donc reconsidérer une théorie si brillamment éprouvée et si théoriquement plaisante? On pose cinq raisons pour nous encourager à étendre la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) à une nouvelle théorie de la gravitation16 : 1. Einstein posa dans sa théorie que les composantes de la métrique de l’espace-temps sont symétriques, gµν = g νµ , et que les composantes de la connexion affine sont également symétriques, Γλµν = Γ λνµ , ce qui correspond à la géométrie de Riemann. Ceci correspond à postuler que l’espace-temps est localement invariant sous des transformations homogènes de Lorentz. On note que dans le système de coordonnées de Kruskal-Szekeres la singularité r = 0 est située à u 2 − v 2 = 1, et dans ce système de coordonnées, v = + (1 + u 2)1/2 et v = − (1 + u 2) 1/2 correspond à r = 0. *
  • 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 17 2. Les singularités au début de la création de l’univers et l’effondrement gravitationnel ne peuvent être évités dans la théorie de la gravitation d’Einstein sans la violation du Théorème de Hawking-Penrose, basé sur le postulat que ρ + 3p > 0 (ou bien, ρ + p > 0),18 où la vitesse de la lumière est fixée à l’unité, c = 1. 3. Le développement perturbatif de la TGE n’est pas le même que celui de l’électrodynamique quantique (QED). Les résultats des perturbations gravitationnelles possèdent des divergences ultraviolettes qui ne peuvent être effacées par la renormalisation [la constante gravitationnelle de Newton, G, possède des dimensions de (hc/m2), et ceci nous amène à une théorie non renormalisable.] Ceci est un fait embarrassant, surtout lorsqu’on considère la nature universelle de la gravitation. 4. L’explication de la stabilité étonnante de la matière. 5. L’unification des forces fondamentales. Il n’y a aucune raison mathématique ou expérimentale pour laquelle on devrait considérer que la raison (1) est exacte.19 Einstein19,20,21,22 a tenté pendant plusieurs années de développer une Théorie du Champ Unifié (TCU) où les champs considérés sont ceux de la gravitation et de l’électromagnétisme. Dans le cadre de cette étude, il abandonna le postulat (1) et formula une théorie du champ non symétrique où g µν ≠ gνµ . Dans cette théorie, g µν est décomposée selon19,* (1.4.1) gµν = g (µν ) + g [µν ] où g (µν) = 1 2 (gµν + g νµ ) g [µν ] = 1 2 (gµν - gνµ ) (1.4.2) De plus, la connexion affine de la théorie non symétrique, W λµν , se décompose selon la même prescription W λ µν = W λ( µν ) + W λ[µν ] (1.4.3) Einstein19 supposait qu’il existait une relation g[µν ] ∝ Fµν, où Fµν sont les composantes du tenseur de Maxwell (ou tenseur dual) qui correspondent au champ électromagnétique. Il voulait unir la théorie de la gravitation avec la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell.† En effet, toute généralisation de la théorie de la gravitation devrait contenir les équations de Maxwell et les équations de la gravitation d’Einstein d’une façon non équivoque par la voie d’un principe de correspondance. Cependant, à partir des équations du champ non symétrique qu’Einstein et Straus ont proposées, on observa plusieurs difficultés dont notamment que la limite dans le champ faible ne constitue pas les équations de Maxwell 23 et le quantum associé avec g [µν ] ∝ Fµν possède une polarisation (J) et une polarité (P) donnée par JP = 0 + et non JP = 1 + comme il est requis pour le photon.16,24,25 De plus, Callaway26 a démontré que les équations du mouvement d’une particule d’essai qui obéit les équations d’Einstein-Straus ne contiennent pas de contribution équivalente à la force de Lorentz Fµν u µ, où u µ est le quadrivecteur vitesses. Alors, une particule chargée se déplacerait comme si elle n’était pas chargée! Bonnor27 ajouta un terme aux équations d’Einstein-Straus, le terme de Bonnor gµν g[µν ], de sorte que les équations du mouvement de la théorie d’Einstein-Straus possèderaient le terme nécessaire correspondant à la force le Lorentz ; un tel terme ne correspondait pas à un terme cosmologique. Mais la critique la plus farouche vint de ceux qui s’opposent à toute modification de la relativité générale dans son ensemble. Une autre objection contre les théories non symétriques vint de Weyl et Pauli28 qui ont proposé que seulement des quantités irréductibles devraient être utilisées dans les théories du champ.29 Lors de la publication de la théorie de la gravitation d’Einstein, elle n’a pas suscitée d’attention de la part de la communauté scientifique : la théorie était fort complexe et les physiciens du temps furent très peu à s’avancer dans son sillage.30 Le point tournant vint lorsque Arthur Eddington fit une expédition en Afrique en 1919 et recueillit des données observationnelles lors d’une éclipse total.31 Il prit plusieurs photographies d’étoiles présentes dans le ciel avant l’éclipse et les compara avec celles qu’il prit pendant l’éclipse. Il observa que la position des étoiles ciblées avait changée avant et après l’éclipse (nonobstant plusieurs erreurs instrumentales32) et ce exactement par la valeur prédite par Einstein un an plus tôt. 33 Nonobstant son élégance géométrique, la TGE comporte des solutions singulière qui détruisent sa prédictibilité globale. Par * Ceci nous donne seize composantes indépendantes pour la métrique, mais les douze composantes de part et d’autre de la diagonale seront l’inverse l’une de l’autre nous donnant ainsi quatre composantes sur la diagonale qui sont symétriques, g(µν ) = g(νµ ) , et six composantes indépendantes hors diagonale qui sont antisymétriques, g[µν ] = −g[νµ ]. Puisque les composantes gµν (où gµν dxµ dxν est un invariant) forment les composantes du potentiel gravitationnel et que les phénomènes électromagnétiques sont gouvernés par les composantes du quadri-potentiel électromagnétique A µ (où Aµ dxµ est un invariant). Cela suggère que ces deux formes invariantes pourraient être unies en une unique entité. †
  • 18 1 Introduction “globale” on entend qu’à tout point de l’espace-temps, on doit être en mesure de définir une métrique.* Il a été longtemps espéré qu’une nouvelle théorie de la gravitation non singulière pourrait être trouvée et à partir de laquelle la théorie d’Einstein émergerait lorsqu’on considère une limite à faible énergie. La solution du problème à valeur initiale de Cauchy est détruite lorsqu’on se situe à une singularité essentielle, comme celle de la singularité du Big-Bang, et à une singularité “nue” possible lors d’un effondrement gravitationnel.34 En adoptant l’invariance locale de Lorentz et une métrique symétrique, le principe d’équivalence suit et une singularité se présente dans la TGE de façon inévitable pour la matière “normale” avec une densité ρ > 0 et une pression p > 0. Dans la Figure 1.4.1 ci-dessous, on montre un diagramme qui décrit l’existence des singularités dans la TGE. Invariance Locale de Lorentz Principe d'Equivalence Théorème de Hawking- Faible et Fort Penrose : ρ + 3p > 0 Singularité du Big-Bang et Singularité “Nue” Figure 1.4.1: Singularités dans la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE).16 Beaucoup d’efforts ont été déployés depuis une vingtaine d’années pour formuler une nouvelle théorie de la gravitation qui serait en accord avec la théorie quantique, et qui plus est, nous donnerait une description unifiée et réaliste des forces de la nature.35 Les corrections quantiques apportées à la TGE en supposant qu’elles peuvent être calculées seront excessivement petites sauf à la frontière de l’énergie de Planck, Ep ∼ 1019 GeV, et donc, elles sont inaccessibles aux expériences physiques.36 Cependant, il est connu que la théorie des perturbations basée sur le développement de la TGE n’est pas la même que pour l’électrodynamique quantique37 : il y a divergence ultraviolette et on ne peut pas s’en débarrasser en utilisant le processus de renormalisation.38 Le modèle standard SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1) nous donne des résultats plausibles et renormalisables. Mais encore là, le modèle standard pose certains problèmes expérimentaux et théoriques.36 Puisque la gravité pure d’Einstein a été prouvée renormalisable seulement au premier ordre (“one-loop renormalizable”) par ‘t Hooft et Veltman en 1974,38 le couplage à un champ scalaire39 pour une particule ne l’a cependant pas été. De plus, en 1985, il a été démontré par Goroff et Sagnotti que la gravité pure au deuxième ordre (“two-loop”) est non renormalisable. Cependant, il fut très espéré en la théorie de la supergravité40 qu’une théorie finie incluant la gravité pourrait être construite en utilisant les cancellations de divergences produites par la supersymétrie. Des candidates pour des théories de supergravité ont émergé depuis qui possèdent des éléments finis au premier et au deuxième ordre tout en ayant de la matière présente dans les équations.41 Elles étaient aussi candidates pour des théories unifiées de toutes les interactions. Mais ces théories n’ont point rempli ce qu’on espérait d’elles parce qu’elles semblent avoir épuisé les symétries au troisième ordre dans la perturbation, épuisant ainsi le mécanisme de cancellation des divergences en quatre dimensions. 40 Les théories conçues dans des dimensions supérieures36 (par exemple, celle de Kaluza-Klein42,43) semblent être davantage en plus grave état car la constante cosmologique est quelques 10126 ordres de grandeur plus élevée que les limites observationnelles. Mais la version non symétrique44,45 a été étudiée dans les cas abéliens (addition commutative) et * On doit expliquer ici quelques notions généralement mal comprises. Premièrement, le terme “singularité” signifie que le tenseur de courbure devient infini ou que la métrique contient des pathologies (divisions par zéro, etc.) Cependant, la difficulté la plus insurmontable est d’essayer de donner un sens à l’idée qu’une singularité est un endroit. Dans toutes les théorie physiques, sauf la TGE et la théorie que nous étudierons, la variété et la métrique de l’espace-temps sont postulées à l’avance. On sait le “où et quand” de tous les événements de l’espace-temps et notre tâche est d’associer les valeurs des quantités physiques à ces événements. Si une quantité physique est infinie ou autrement non définie à un point de l’espace-temps, on n’a pas de difficulté à dire qu’il y a une singularité à cet endroit. Par exemple, on peut facilement donner une signification précise à la déclaration que la solution de Coulomb des équations de Maxwell dans la relativité restreinte possède une singularité aux événements se produisant à r = 0. Cependant, dans le cas qui nous préoccupe, la situation est différente ; on essaie de résoudre pour la variété et la métrique elle-même. Puisque la notion d’un événement n’a de sens physique que si une variété et une métrique sont définies dans son voisinage, l’approche la plus naturelle (par exemple, dans la TGE) est de dire que l’espace-temps consiste d’une variété V4 à quatre dimensions et les composantes de la métrique gµν sont définit en tout point. Alors, la singularité du Big Bang de la solution de Robertson-Walker n’est pas considérée être un point de la variété d’espace-temps ; ce n’est pas un “endroit” ou un “temps.” De façon similaire, seulement la région r > 0 est incorporée dans l’espace-temps de Schwarzschild de la TGE ; contrairement à la solution de Coulomb de la relativité restreinte où la singularité à r = 0 n’est pas un “endroit.”[R.M. Wald, General Relativity (Chicago University Press, Chicago, 1984).]
  • 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 19 non abéliens (addition non commutative) pour une unification de la gravitation et les champs de jauge. Ces théories ne font pas qu’unir un principe d’invariance local de jauge et un principe d’invariance local des coordonnées mais elles procurent aussi des effets d’interférences entre le champ gravitationnel et le champ de jauge (champ électromagnétique à cinq dimensions.) Il est possible que le malaise de la théorie de la gravitation soit causé par la considération des particules comme objets à point.46 Si ces particules étaient alors considérées comme des objets étendus, tout pourrait très bien se comporter et une théorie finie de la gravitation unifiée avec les autres champs pourrait heureusement apparaître.47 En effet, depuis près de dix ans maintenant, la théorie des supercordes (TSC)36,48,49 est devenue une candidate pour une théorie finie de la gravitation en plus d’être une théorie qui nécessite des dimensions supérieures pour dégager les symétries additionnelles nécessaires pour supporter l’ensemble du processus de renormalisation (elle est complètement libre de toute anomalie du champ.) Ce qui fait d’elle une théorie qui n’a pas besoin d’être renormalisée. Dit autrement, les symétries que l’on retrouve dans la physique des particules et la TGE émergent comme un petit ensemble de symétries de la supercorde et elles inclus nécessairement la gravitation quantique et les théorie de jauge comme sous-ensembles.49 En effet, la TSC possède des propriétés désirables découlant de ses groupe de jauges : invariance conforme et superconforme, transformation générale des coordonnées, E8 ⊗ E8, et la supersymétrie de l’espace-temps.36,49 Même si le modèle est tellement contraint (seulement quelques TSC sont possibles), il semble qu’il possède une quasi-infinité de solutions du vide : près d’un million ont été trouvées jusqu’à présent. Il reste maintenant à trouver quelle solution est la bonne, le vrai vide de la théorie. Finalement, du point de vue expérimental, la TSC (comme toute théorie de gravitation quantique) est définie pour des énergies de l’ordre de l’énergie de Planck, ce qui la rend alors très difficilement mesurable en laboratoire. Ainsi, la TSC ne peut pas expliquer pourquoi la constante cosmologique est extrêmement près de zéro.49 Comme nous le savons, la durée de vie du proton est de τp ∼ 1030 années, ce qui est vingt ordres de grandeur plus long que l’âge même de l’univers. Même si les théoriciens ont révélé que le proton peut se désintégrer, par exemple p → e+ + π° ou par p → ν π+, d’où violation du nombre baryonique. On peut toujours espérer que le nombre fermionique soit conservé. Si on définit le nombre fermionique par exemple par F = B − L, où B et L sont les nombres baryonique et leptonique* respectivement, alors B et L peuvent être séparément violés et encore donner ∆F = 0. Effectivement, dans le modèle SO(10), qui est un candidat populaire pour une théorie grande unifiée, F est un générateur conservé.36 Le but ultime des théoriciens est l’unification des forces fondamentales de l’univers. Durant l’histoire de cette conquête, bon nombre d’entre eux ont essayé. La première unification a été faite par Maxwell qui unifia les phénomènes électrique et magnétique en un ensemble d’équations d’ondes qui expliquent et prédisent la propagation des ondes électromagnétiques à vitesse constante.1,36 Une deuxième unification a eu lieu entre l’électromagnétisme de la théorie de l’interaction faible.36 La théorie de l’interaction faible dicte le comportement du processus de désintégration du noyau de l’atome et son unification résultant en la théorie électrofaible. Elle est valide aujourd’hui car les particules qui propagent sa force (les bosons W +, W −, et Z ο) ont tous été observées en laboratoire (dans les accélérateurs de particules.) Une troisième unification s’est presque produite entre la théorie électrofaible et la force forte, celle qui dicte la structure des particules composant le noyau de l’atome. En effet, cette unification prédisait la désintégration du proton36 mais jusqu’à présent, aucun laboratoire n’a pu détecter un photon émis de cette désintégration. Il y a aussi eu des essais pour unifier la gravitation. Depuis la formulation de la théorie de la gravitation d’Einstein en 1914 8 et celle de la relativité restreinte en 1905,2 les physiciens ont essayé de trouver une théorie satisfaisante pour le champ unifié de la gravitation et de l’électromagnétisme. Les essais effectués auparavant, comme ceux de Weyl,50,51 Eddington,51 Schrödinger52 et Einstein,19,20,21 ont échoué parce qu’ils n’avaient que peu ou pas la connaissance que nous avons aujourd’hui de l’existence des interactions faible et forte.25 Il est maintenant considéré par la majorité des ténors du programme d’unification qu’un autre problème important existe, celui de réconcilier la TGE avec l’autre pilier de la physique : la physique quantique. Une unification complète et effectuée avec succès de ces deux aspects de base de la physique n’a pas encore été accomplie. Effectivement, la gravitation s’obstine et refuse toute réconciliation avec la physique quantique en dépit des efforts encourus jusqu’à ce jour pour effectuer une telle réconciliation. Un des problèmes est d’unifier le quantum de gravité (graviton) avec les autres quanta de base et les particules observées. C’est une tâche difficile, non seulement parce qu’on retrouve un grand nombre de ces particules, mais parce que les fermions sont fondamentalement différents des gravitons et qu’ils ne sont pas encore très bien compris au niveau quantique et en plus n’ont toujours pas été observés directement. * On définit le nombre leptonique par L = N(e−)+N(νe)−N(e+)−N( ν e ) et le nombre baryonique par B = 3[N(q)− N( q )].
  • 1 Introduction 20 1 Introduction 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat En 1979, J.W. Moffat proposa la Théorie Non Symétrique de la Gravitation (TNG) selon laquelle les composantes de la métrique non symétrique g µν (voir Section 2.4) et la connexion affine W λµν (voir Section 3.1) décrivent un champ gravitationnel pur.16,53 Une source additionnelle est introduite dans la théorie et est interprétée comme étant un vecteur densité de courant du nombre fermionique de particules (voir Section 3.5).54 Alors, deux différentes sources associées à la matière ont alors été introduites dans cette théorie de la gravitation, la masse et la conservation du nombre de particules ou encore la charge TNG d’un corps (voir Section 3.3). L’énergie associée aux autres champs, comme celle du champ électromagnétique, peut aussi produire un champ non symétrique g µν (voir Section 4.3). A partir des équations du champ et des lois de conservation, lesquelles sont dérivées d’une densité lagrangienne, des prédictions expérimentales peuvent être faites et peuvent être vérifiées expérimentalement. La TNG a maintenant atteint un niveau de consistance mathématique comparable à la TGE.16,54,55 Elle est en accord avec toutes les observations et elle peut expliquer quelques observations qui posent certains problèmes dans la TGE. Cependant, la TNG est techniquement plus complexe que la TGE, mais ceci est néanmoins suppléé par le fait que la théorie n’est pas basée sur des postulats spéciaux, comme celui que l’espace-temps est localement invariant sous des transformations homogènes de Lorentz et que les composantes gµν et W λµν sont symétriques dans les indices µ et ν . Il est cependant vrai qu’il soit nécessaire d’exiger que les composantes g µν et W λ µν soient transposées symétriques (hermitiques) pour obtenir un théorie de la gravitation physiquement viable et réelle.* La simplicité et la beauté d’une théorie fondamentale de la gravitation est mesurée par la simplicité des postulats requis pour construire la théorie et non pas par les difficultés techniques nécessaires pour la formuler. La théorie de la gravitation qu’Einstein a proposée est techniquement plus complexe que la théorie de Newton mais peu de postulats au sujet des propriétés d’invariance de l’espace et du temps sont nécessaires pour obtenir la théorie. En ce sens, la TNG pose le nombre minimum de postulats au sujet des symétries de l’espace-temps et alors, selon cette veine, elle est une théorie minimale de la gravitation qui est viable.16 Cependant, d’entrée de jeu, un point doit être signifié : il y a violation du principe d’équivalence faible dans la TNG (voir Chapitre 7). Par exemple, un proton ne tombe pas au même taux qu’un antiproton dans un champ gravitationnel (voir Section 6.2). En revanche, un point important est le suivant : les singularités peuvent être évitées sans qu’on ait à invoquer la présence de matière exotique avec une densité ρ < 0 ou une pression p < 0 (voir Chapitre 13). Ceci est décrit dans la Figure 1.5.1, et pourrait influencer fortement la cosmologie de l’univers à ses tout débuts en plus de modifier nos connaissances sur la nature théorique des trous noirs et de l’effondrement gravitationnel. Invariance Locale GL(4,R) Principe d’Equivalence Théorème de Hawking- Faible et Fort Penrose : ρ + 3p > 0 On Évite le Big-Bang ou les Singularités “Nues” Figure 1.5.1: Le rebondissement non singulier dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation (TNG).16 * On retourne ici au préceptes des théoriciens de la grande unification qui, au dessus de tout, pensent qui si Dieu existait, il n’aurait pas besoin de manipuler 19 manettes pour ajuster 19 paramètres du modèle standard pour créer l’univers comme on le connait. C’est beaucoup trop. Ces paramètres sont les suivants : 3 constantes de couplage pour les groupes dans SU(3)⊗SU(2)⊗U(1) {e.g., pour le groupe unitaire à une dimension U(1), on a l’électromagnétisme de Maxwell et la constante de structure fine pour le photon qu’y est donnée par α = e2/4π h c = 1/137, tandis que pour spécial unitaire à deux dimensions d’hélicité SU(2), on a le couplage des bosons intermédiaires W± et Z0 (Mc/h)2G/hc = 1.02×10−5 pour la force faible, et pour la structure donnée par le modèle de la chromodynamique quantique et son groupe spécial unitaire à 3 dimensions d’isospin pour les gluons et le groupe SU(3) de la force forte, que l’on a normalisé selon αS ~ 1 pour r grand (« heavy ») et αS < 1 pour r petit (« trapped ») – le tout doit être comparer à la gravitation où le couplage du graviton (toujours indétecté expérimentalement) est de l’ordre de GNM 2/hc = 0.53×10−38) pour l; 2 paramètres pour le secteur de Higgs (masse de Higgs et valeur espérée v de Higgs) ; N f2 + 1 paramètres pour les quarks (f : « flavor quark charge ») [2 Nf2 masses de quark pour N f familles et (Nf − 1)2 angles de Kobayashi-Maskawa et phases] ; N f2 + 1 paramètres leptoniques (pour les neutrinos massifs) ; l’angle θ QCD de Cabibbo (provenant des Instantons) le tout comportant 19 paramètres (si les neutrinos sont sans masse). Le modèle standard n’est qu’une première approximation de la théorie exacte des particules subatomiques.
  • 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat 21 Puisque la TNG se couple de façon non triviale avec les autres champs non gravitationnels, c’est une théorie riche en nouvelles prédictions expérimentales. Un exemple récent est la prédiction dans la TNG d’une polarisation dépendante des effets liés à la courbure de la lumière (voir Chapitre 17).56 Pour résumer brièvement la TNG, on doit d’abord comprendre que la source originale dont la théorie s’inspire est la Théorie du Champ Unifié (TCU) qu’Einstein avança auparavant. Mais la TNG est une théorie réelle contrairement à la TCU qui était formulée dans le plan complexe. Il est très intéressant de constater que, d’un point de vue historique, l’idée d’Einstein d’unifier la gravitation et l’électromagnétisme dans le cadre d’une métrique non symétrique a été utilisée pour formuler une théorie pure du champ gravitationnel. Dans la TGE, la métrique de l’espace-temps, g = gµν d xµ ⊗ d xν où les composantes de la métrique sont symétriques (g µν = gνµ ) jouent le rôle de potentiels gravitationnels. Dans la TNG, il y a ~ deux sortes de potentiels : une métrique g = g(µν )d xµ ⊗ d xν et un 2-forme g = g[µν ]d xµ ∧ d xν (voir Section 2.4).44,45 Dans la TGE, la géométrie de l’espace-temps est riemannienne tandis que dans la version réelle de la TNG (la version complexe ~ comportant des modes fantômes), c’est la géométrie d’Einstein,57 soit une géométrie avec la métrique g , le 2-forme g et une connexion W µν compatible avec les composantes du tenseur non symétrique g µν = g(µν ) + g [µν ]. La TNG est donc basée sur trois quantités géométrique fondamentales : les composantes des deux connexions Γ λµν et W λµν (inter reliées et possédant une torsion Γ µ non nulle) et les composantes de la métrique non symétrique g µν alors que dans la TGE, on a qu’une connexion avec une torsion qui disparaît et une métrique symétrique sur l’espace-temps. Une théorie de la gravitation associe le champ gravitationnel avec la mesure de la quantité de matière dans le champ.45,58 On sait qu’une mesure très bien définie d’une quantité de matière est une masse (énergie). Cette quantité est conservée. Selon cette interprétation, la mesure de la quantité de matière joue le rôle de charge gravitationnelle. Cependant, comme il fut mentionné dans la Section 1.4, une excellente mesure de la quantité de matière est le nombre fermionique, F = B − L , et c’est le nombre fermionique qui est utilisé dans la TNG. C’est une autre quantité conservée. La charge fermionique est une deuxième sorte de potentiel gravitationnel dans la TNG : c’est la source de la partie antisymétrique de la métrique non ~ symétrique, le 2-forme g , la seconde sorte de potentiel gravitationnel. Contrairement aux espérances, il n’y a pas de potentiel coulombien additionnel et aucune force de Lorentz n’est présente dans l’approximation post newtonienne. Il semble donc que la TGE soit une théorie du champ gravitationnel pour les bosons seulement et que la TNG est une théorie du champ gravitationnel pour les fermions et les bosons.44,45 Dans la TNG, il y a une solution du type schwarzschildien se ramenant à la solution de Schwarzschild dans la limite où l’antisymétrie disparaît, mais elle ne diffère de celle-ci que de quelques facteurs, et ces facteurs dépendent de la charge fermionique du corps qui est la source du champ gravitationnel (voir Section 4.1). En ce sens, la charge fermionique d’un corps comme le Soleil exerce une influence sur la géométrie de l’espace-temps en créant une contribution antisymétrique qui s’ajoute au champ symétrique décrit par la TGE. En ce qui concerne les données observationnelles reliées au coefficient du moment quadripolaire du Soleil, la TNG possède un paramètre, la même charge fermionique que l’on peut ajuster convenablement selon ces observations (qu’elles soient grandes ou faibles) ce que la TGE ne peut faire, étant dénuée d’un tel paramètre ajustable dans sa solution de Schwarzschild. Si le Soleil démontre une légère oblatesse à ses pôles (moment quadripolaire large), la précession de la périhélie de Mercure et de la planète mineure Icarus en sera directement affectée dans l’approximation post newtonienne. La TNG peut corriger ce fait en ajoutant un terme additionnel aux approximations qui tient compte de la charge fermionique du Soleil (voir Section 6.5). La TNG produit aussi des résultats nuls pour l’Effet Nördverdt (voir Section 11.3). La TGE semble avoir ses limitations en ce qui concerne les systèmes gravitationnels forts tel les systèmes binaires et les supernovae. Ces systèmes binaires fermées et non dégénérés possèdent un déplacement du périastre anormalement faible. Le champ gravitationnel à l’intérieur de ces systèmes est beaucoup plus grand que dans notre système solaire. La TGE est incapable de formuler une explication de la valeur de ces anomalies. Le système binaire DI Herculis est un de ces systèmes et la TNG explique le déplacement du périastre anormalement faible de ce système en incluant la charge fermionique des corps en présence et une constante de couplage aux cosmions (voir Section 10.4). La TNG est aussi en accord avec les données pour le pulsar binaire PSR 1913+16 (voir Section 10.2). Dans l’approximation linéaire de la TNG, la théorie ne possède pas de radiation dipolaire et la radiation monopolaire associée à la partie antisymétrique de la métrique non symétrique est négligeable. La TGE comporte aussi sa part de problèmes lorsqu’on l’applique à l’explication des propriétés des supernovae mais la TNG est en mesure de formuler une explication aux phénomènes observés. Alors on peut dire que dans la TGE, la masse courbe l’espace-temps, alors que dans la TNG, la masse et la charge fermionique (nombre fermionique) courbent et tordent l’espace-temps. On montre, à la Figure 1.5.2 , la dépendance de la TNG sur les autres théories de la gravitation qui ont été proposées depuis.44,45
  • 22 1 Introduction Non-abélien TN²AJT Champ scalaire Constante gravitationnelle variable Partie antisymétrique de la métrique Torsion et nombre fermionique (courant) Champ scalaire Constante gravitationnelle variable Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur Champ scalaire, constante gravitationnelle variable TNK² Courbure et torsion dans les Courbure dans les dimensions dimensions additionnelles Courbure dans les dimensions additionnelles, charge de additionnelles, charge de Charge de couleur couleur couleur Partie antisymétrique de la métrique Partie antisymétrique de la métrique Torsion dans la 5e dimension Torsion dans la 5e dimension Nombre fermionique (courant) Nombre fermionique (courant) Champ scalaire Constante gravitationnelle variable Non-symétrique Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur TNAK² TNJT TJT Non-abélien Partie antisymétrique de la métrique Torsion et nombre fermionique (courant) Courbure et torsion dans les dimensions additionnelles Charge de couleur TNAJT Non-symétrique TN²AK² TK² Courbure dans la 5e dimension Charge électrique Courbure et torsion dans la 5e dimension, charge électrique TNG Partie antisymétrique de la métrique Torsion et nombre fermionique (courant) TGE Classique Figure 1.5.2: L’ensemble des différentes théories gravitationnelles non métriques en comparaison avec la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) et la Théorie Non symétrique de la Gravitation (TNG). Abréviations : TK² (Théorie de Kaluza-Klein), TJT (Théorie de Jordan-Thiry), TNK² (Théorie Non symétrique de Kaluza-Klein), TNJT (Théorie Non symétrique de Jordan-Thiry), TNAK² (Théorie Non Abélienne de Kaluza-Klein), TNAJT (Théorie Non Abélienne de Jordan-Thiry), TN²AK² (Théorie Non symétrique et Non Abélienne de Kaluza-Klein) (voir l’Appendice du Chapitre 21), TN²AJT (Théorie Non symétrique et Non Abélienne de Jordan-Thiry). Appendice A Les Équations de Maxwell On trouve, expérimentalement, que la force qui agit sur une charge quelconque – peu importe le nombre de charges ou comment elles se déplacent – dépend seulement de la position de cette charge quelconque, sur la vitesse de la charge et sur la quantité de charge. On peut écrire la force F sur une charge q se déplaçant avec une vitesse v par F = q(E + v × B). On appelle E le champ électrique et B le champ magnétique en la position de la charge (x,y,z). On peut penser que E(x,y,z) et B(x,y,z) comme produisant les forces qui peuvent être perçue à un temps t par la charge q située à (x,y,z) avec la condition qu’ayant placée la charge n’a pas perturbé la position ou le mouvement de toutes les autres charges responsable des champs. On associe donc avec tout point (x,y,z) de l’espace deux quantités physiques orientés (i.e. vecteurs), E et B, qui peuvent varier avec le temps. Les champs électrique et magnétique sont alors visualisés comme de fonctions vectorielles de x, y, z et t. Puisqu’un vecteur est spécifié par ses composantes chacun des champs E(x,y,z,t) et B(x,y,z,t) représente trois fonctions mathématiques de x, y, z et t. Un « champ » est une quantité physique qui prend différentes valeurs en différents points dans l’espace.* On considère donc les champs comme des fonctions mathématiques de la position et du temps et pour les visualiser, on dessine mentalement des vecteurs en plusieurs points dans l’espace, chacun d’eux nous donnant l’intensité du champ et leurs directions en ce point. Considérons d’abord la propagation d’une onde. Dans le vide (i.e. pour un système sans charges électriques, ρ = 0, et sans densité de courant, J = 0) les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) deviennent * La Température, par exemple, est un champ – dans ce cas-ci un champ scalaire, qui peut être écrit comme T(x,y,z). La température pourrait aussi varier avec le temps et on pourrait dire que le champ de température est dépendente du temps et l’écrire comme T(x,y,z,t).
  • Appendice A Les Équations de Maxwell 23 ∂E x ∂E y ∂E z + + =0 ∂x ∂y ∂z (1.A.1) divE = ∇ • E = ˆ i ∂ rot E = ∇ × E = ∂x Ex ˆ j ∂ ∂y Ey ˆ k ∂E y   ∂E z ∂E x   ∂E y ∂E x   ∂E ∂ ∂B ˆ ˆ −  k = − = z − − j  − ˆ +   ∂y i  ∂z  ∂z   ∂x ∂z   ∂x ∂y  ∂t Ez divB = ∇ • B = ˆ i ∂ rot B = ∇ × B = ∂x Bx ˆ j ∂ ∂y By ∂B x ∂B y ∂B z + + =0 ∂x ∂y ∂z ˆ k ∂B y   ∂B z ∂B x  ∂B ∂ ˆ −  = z − i −  ∂y ∂z  ∂z   ∂x ∂z  Bz (1.A.2) (1.A.3) ∂E ˆ  ∂B y ∂B x  ˆ j +   ∂x − ∂y k = µ o ε o ∂t     (1.A.4) où εo = 8.854×10−12 F/m est la permittivité du vide (la constante diélectrique) et µ o = 4π ×10−7 N/A, la perméabilité du vide. Pour interpréter physiquement les Éqs. (1.A.1)-(1.A.4) on débute par affirmer que lorsque la divergence d’un champ vectoriel V est nulle (i.e. ∇ •V = 0), cela veut dire que chaque ligne du champ formera une boucle fermée et par conséquent, les lignes de champ ne s’entrecroisent pas. En appliquant cette interprétation aux Éqs. (1.A.1) et (1.A.3), on peut dire que les lignes des champs électrique et magnétique forment des boucles fermée dans l’espace (voir Figure 1.A.1). E ∇ •E =0⇒ ∇•B=0⇒ B Figure 1.A.1 : Interprétation visuelle des équations de Maxwell (1.A.1) et (1.A.3). S’il n’y avait que ces deux équations, alors les champs E et B seraient totalement indépendants. Ce sont les équations (1.A.2) et (1.A.4) qui les unissent en un ensemble cohérent qui permet la propagation d’onde dans l’espace. De l’Éq. (1.A.2), on déduit que la variation dans le temps du champ magnétique génère une rotation du champ électrique autour de celui-ci (c’est la Loi de Faraday). La Figure 1.A.2 montre qu’autour de la boucle B(t), des boucles de E(t) sont générées à chaque point de la boucle B (où seulement quatre ponts sont indiqués dans cette figure.) E(t) • E ∇×E = − ∂B ⇒ ∂t E(t) • E(t) B(t) • E(t) • Figure 1.A.2 : Interprétation visuelle de l’équation de Maxwell (1.A.2). Il est à noter que la direction de E est conforme avec le signe négatif présent dans l’Éq. (1.A.2). Le champ électrique en retour génère des champs magnétiques selon l’Éq. (1.A.4), laquelle suggère que la variation dans le temps d’un champ électrique produit une rotation du champ magnétique autour de celui-ci (voir Figure 1.A.3).
  • 24 1 Introduction • ∇ × B = µoε o ∂E ⇒ ∂t B ′(t) B′(t) • • B(t) B ′(t) • • E(t) B′(t) Figure 1.A.3 : Interprétation visuelle de l’équation de Maxwell (1.A.4). À cause des contraintes fournies par les Éqs. (1.A.1) et (1.A.3), les champs électrique et magnétique forment des boucles comme indiqué dans la Figure 1.A.1. De plus, les rotations dans les Éqs. (1.A.2) et (1.A.4) requiert aussi qu’elles forment des boucles. Les Éqs. (1.A.2) et (1.A.4) nous procure donc le couplage entre les champs électrique et magnétique. Le champ magnétique nouvellement généré (Figure 1.A.3) génèrera à son tour un nouveau champ électrique autour de celui-ci selon l’Éq. (1.A.2) et le nouveau champ électrique génèrera encore un nouveau champ magnétique selon l’Éq. (1.A.4) et ainsi de suite. Selon une direction dans l’espace, la relation entre ces générations successives de champs bouclés E et B ressemble à la chaîne dans la Figure 1.A.4 (où un seul point est représenté). B′(t) • B(t) • • … • B″(t) E″(t) E(t) Figure 1.A.4 : Visualisation de la propagation du champ électromagnétique en combinant les équations de Maxwell. De telles réactions en chaîne se déplacent dans toutes les directions et ceci constitue la propagation des champs E et B. Maintenant, revenons au cas où il y a présence d’une ou plusieurs charges – représenté dans les équations de Maxwell par la présence de termes contenant la densité de charge ρ et la densité de courant J. Les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) peuvent être réécrite de la façon suivante ρ ∫ E • dS = ε S Le flux de E au travers toute surface fermée S = ∂  (où q = o ∫∫∫ ρ dx dy dz ) La charge nette à l' intérieure La constante diélectrique La rotation de E autour de C = − (1.A.5b)  ∫ E • dl = − ∂t ∫ B • dS   C (1.A.5a) V S Variation partielle [Flux de B au travers de S ] par rapport au temps ∫ B • dS = 0 (1.A.6a) (1.A.6b) (1.A.7a) S Le flux de B au travers toute surface fermée S = Nulle (1.A.7b)
  • 25 Appendice A Les Équations de Maxwell   ∂   1   c 2  ∫ B • dl  =  ∫ E • dS  +  ∫ J • dS  C  ∂t  S  ε o S  (Vitesse de la lumière) 2 [La rotation de B autour de C )] = (1.A.8a) Variation partielle [Flux de E au travers de S ] par rapport au temps Flux du courant électrique au travers S + Constante diélectriq ue (1.A.8b) La constante c 2 = 1 µ o ε o qui apparaît dans l’Éq. (1.A.8) est le carré de la vitesse de la lumière et elle apparaît dans les équations de Maxwell car le magnétisme est en réalité un effet relativiste de l’électricité tandis que la constante diélectrique εo est insérée de sorte que les unités du courant électrique sortent de la bonne façon. Considérons une application où nous sommes situé à l’origine O d’un repère S ayant un volume V. Considérons aussi un autre repère (disons sphérique) S ayant un volume V ayant son origine O située à une distance r de l’origine O. Notre but est de faire ne observation de la densité de force produite par une densité de charge ρ (r ) et de courant J (r ) à une distance r de l’origine O (voir Figure 1.A.5). y ρ (r ) •O J (r ) r O r– r J (r ) r • ρ (r ) v (r ) • P z x Figure 1.A.5 : Système de coordonnées utilisé pour décrire les densités de force au point P. Une généralisation mathématique des faits expérimentaux est donnée par les deux expressions suivantes pour la force par unité de volume subit par une densité de charges électriques ρ (r ) et une densité de courant électrique J (r ) FC (r ) = FBS (r) = 1 ρ (r )(r − r ) 3 ρ (r ) ∫ d r 3 4 πε o r−r V µo 4π J (r ) ∫ V J ( r ) × (r − r ) r−r 3 d 3r (Loi de Coulomb) (1.A.9) (Loi de Biot-Savard) (1.A.10) où FC(r) est la densité de force qui survient d’une distribution statique de charges et FBS(r) est la densité de force qui est attribuable à des charges en mouvement (i.e., des courants) avec εo et µo, les constantes usuelles. Il est convenable d’exprimer les densités de force données par les Éqs. (1.A.9)-(1.A.10) en fonction de deux champs vectoriels : le champ électrique E(r) et le champ d’induction magnétique B(r). Les relations entre les densités de force et ces champs vectoriels sont données par FC (r ) = ρ (r )E (r ) (1.A.11) FBS (r ) = J (r ) × B(r ) (1.A.12) où, évidemment E(r ) = B(r ) = 1 4 πε o µo ∫ V ρ (r )(r − r ) r−r 3 (r − r ) ˆ J (r ) × 4π ∫ r−r V 3 d 3r (1.A.13) d 3r (1.A.10)
  • 26 1 Introduction ˆ avec J (r ) , un vecteur unitaire qui est parallèle J (r ) et qui est normal à un élément de surface au travers duquel le vecteur représentant la densité de courant passe. On note aussi q= que ∫ V ρ (r )dx dy dz , J (r ) = ρ (r ) v (r ) et (r − r ) r − r = −∇ (1 r − r ) . 3 Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein Considérons deux repères inertiels S et S . Les coordonnées des deux repères coïncident à t = t = 0. Les deux repères ont un ensemble de règles permettant de mesurer les longueurs et d’horloges pour la mesure du temps. Le repère S se déplace avec une vitesse v = |v| parallèlement à l’axe Ox1 (voir Figure 1.B.1). x2 x2 v = cte S x3 S x1 t x1 t x3 Figure 1.B.1 : Le repère S est fixe alors que le repère S se déplace relativement au repère S avec une vitesse v. Chaque repère comporte une règle pour mesurer les longueurs et une horloge pour mesurer le temps. Considérons aussi qu’un événement se produit en un point P avec les coordonnées ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) tel que perçu dans le repère S et ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) dans le repère S . Notre but est de trouver les relations entre les deux ensembles de coordonnées reliant les repères S et S ; on cherche les relations fonctionnelles de la forme x 1 = x 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) = a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a14 t x = x ( x , x , x , t ) = a 21 x + a 22 x + a 23 x + a 24 t (1.B.1) (1.B.2) x 3 = x 3 ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) = a31 x 1 + a32 x 2 + a33 x 3 + a13 t (1.B.3) t = t ( x , x , x , t ) = a 41 x + a42 x + a 43 x + a 44 t (1.B.4) 2 2 1 1 2 2 3 1 3 2 1 2 3 3 où a 11, a 12,…a44 sont des constantes. Notons que nous n’avons pas pris le temps comme une coordonnée absolue comme c’est le cas dans la mécanique classique de Newton. Les Éqs. (1.B.1)-(1.B.4) relient les coordonnées de l’espace-temps d’un événement tel qui est perçu par deux observateurs différents. On peut simplifier ces équations en utilisant le fait que la vitesse relative est dirigée seulement le long de l’axe Ox1. Puisque les directions perpendiculaires au déplacement sont toujours invariantes (i.e., elles ne changent jamais) par les transformations et sont de plus au repos, on a y=y et z=z (1.B.5) ce qui implique que a 21 = a 23 = a 24 = 0 (1.B.6) a 31 = a32 = a 34 = 0 (1.B.7) a 22 = a33 = 1 (1.B.8) et
  • 27 Finalement, il n’y a aucun point unique privilégié dans le plan x2-x3 qui peut être désigné comme origine – un décalage du plan x2-x3 veut dire que les valeurs de x 1 et t ne peuvent contenir x 2 et x 3 . Alors, cela implique que a12 = a13 = 0 (1.B.9) a 42 = a 43 = 0 (1.B.10) et (Par symétrie, il est facile de voir que t ne contient pas x 2 et x 3 .) En combinant les Éqs. (1.B.5), (1.B.6)-(1.B.7) et (1.B.10) avec les Éqs. (1.B.1)-(1.B.4) on obtient x 1 = a11 x 1 + a14 t (1.B.11) (1.B.12) (1.B.13) (1.B.14) x =x x 3 = x3 t = a 41 x 1 + a 44 t 2 2 Un point qui a x 1 = 0 apparaît comme s’il est en mouvement avec une vitesse v vers la droite et sera donné par l’équation x1 = v t . La seule façon de trouver ceci de l’équation x 1 = a11x1 + a 14t est de l’écrire sous la forme x 1 = a 11(x1 − v t) de sorte que x 1 = 0, x1 = v t, ou bien a14 = −v a11 (1.B.15) x 1 = a11 ( x1 − v t ) (1.B.16) (1.B.17) (1.B.18) (1.B.19) Alors, les Éqs. (1.B11)-(1.B.14) prennent la forme x =x x 3 = x3 t = a 41 x1 + a44 t 2 2 Les constantes a11, a41 et a44 peuvent être déterminées en utilisant le deuxième postulat d’Einstein (Section 1.2) qui est la constance de la vitesse de la lumière. Soit une source de lumière au repos dans le repère S en son origine. Lorsque les deux repères, à un instant donné sont confondu, on émet un signal de lumière au temps t = t = 0. Le signal lumineux se déplace à la vitesse c dans S et à la même vitesse dans S : la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source (dans le vide). Dans un repère S, on a ˆ ˆ une sphère de lumière de rayon r et de centre O avec r = c t r ou r est un vecteur unitaire (e.g., long d’une longueur de ˆ règle) dans la direction de r mesuré dans le repère S. De même, dans le repère S on a aussi une sphère de rayon r = c t r ˆ est un vecteur unitaire dans la direction de r dans le repère S (voir Figure 1.B.2). ou r Sphère de lumière x2 , x 2 r r S, S x3 , x 3 t=t =0 x 1 ,x S 1 x3 O P ( x1 , x 2 , x 3 , t) • ( x1 , x 2 , x 3 , t ) x2 x2 x v S 1 x3 O x1 Figure 1.B.2 : Une source de lumière au repos dans le repère S. Alors que les deux repères sont confondu au temps t = t = 0, on allume la lumière. Le signal lumineux se déplace à la vitesse c dans S et à la même vitesse dans S puisque la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source (dans le vide). Dans le repère S, on a donc une sphère de lumière de rayon r et dans le repère S , on a une sphère de rayon r .
  • 28 Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 1 Introduction Donc, avec le théorème de Pythagore r 2 = (ct ) 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 (1.B.20) r = (ct ) = ( x ) + ( x ) + ( x ) (1.B.21) ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 − c 2 t 2 = 0 (1.B.22) (x ) + ( x ) + ( x ) − c t = 0 (1.B.23) 2 2 1 2 2 2 3 2 on a 1 2 2 2 3 2 2 2 C’est l’équation de la même sphère de lumière car la vitesse de la lumière est la même dans les deux repères. Les Éqs. (1.B.22) et (1.B.23) impliquent que les lois de l’électromagnétisme (Appendice A) sont invariantes sous les transformations. En substituant les valeurs de x 1 , x 2 , x 3 et t des Éqs. (1.B.16)-(1.B.19) dans l’Éq. (1.B.23) et en réarrangeant quelque peu, on obtient 2 2 2 2 2 (a11 − c 2 a 41 )( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 − ( 2va11 + 2c 2 a 41a 44 ) x1t 2 − (c 2 a 44 − v 2 a11 )t 2 = 0 (1.B.24) En comparant l’Éq. (1.B.24) avec l’Éq. (1.B.22), on obtient 2 2 a11 − c 2 a 41 = 1 (1.B.25) 2 2va + 2c a 41a 44 = 0 (1.B.26) 2 2 c 2 a 44 − v 2 a11 = c 2 (1.B.27) 2 11 Des Éqs. (1.B.25) et (1.B.27) on obtient 2 a 41 = 2 a11 − 1 c2 et 2 a 44 = 1 + v2 2 a11 c2 (1.B.28) tandis que de l’Éq. (1.B.26) [avec l’Éq. (1.B.28) pour a14 et a44, respectivement] on obtient pour a11 2 2 a 41a 44 =  a 2 − 1  v 2 2  v 2 2 v2 4 v2 2  a ⇒  11 2 1 + 2 a11  = 4 a11 ⇒ a11 1 − 2 4 11  c  c  c  c c     1 a11 = ± v2 1− 2 c   =1   (1.B.29) Pour déterminer le signe de a 11, on considère l’Éq. (1.B.16) x 1 = a11 ( x1 − v t ) (1.B.30) Si v = 0 dans l’Éq. (1.B.16), on obtient x 1 = x1 et a11 = + 1 1− (1.B.31) v2 c2 Maintenant, de l’Éq. (1.B.28) avec l’Éq. (1.B31), on a 2 a 44 Pour déterminer le signe de a 44   v2 2 v2  1 = 1 + 2 a11 = 1 + 2 c c  v2 1 − 2 c  1 a 44 = ± v2 1− 2 c   = 1  v2  1− 2 c  (1.B.32)
  • 29 t = a 41 x1 + a 44 t (1.B.33) Si v = 0, t = t [Éq. (1.B.19)] 1 a 44 = + 1− (1.B.34) v2 c2 Finalement, de l’Éq. (1.B.25) avec l’Éq. (1.B.31) on obtient   v2   4 a −1 1  1 2 a 41 = = 2 − 1 = c 2  c2 c  v2 v 1− 2  1− 2 c c   v 2 a 41 = ± c v2 1− 2 c 2 11 (1.B.35) Pour déterminer le signe de a 41, on obtient de l’Éq. (1.B.26) a 41 = − 2 va11 c 2 a 44 (1.B.36) 2 2 Lorsque v > 0, a11 > 0, c 2 > 0 et a 44 > 0. Donc, a41 < 0 a 41 = − v c2 (1.B.37) v2 1− 2 c En insérant l’Éq. (1.B.31) dans l’Éq. (1.B.16) et les Éqs. (1.B.34) et (1.B.37) dans l’Éq. (1.B.19), on obtient les Éqs. (1.3.1)-(1.3.4) x1 − v t x1 = v 1−   c 2 = x1 − v t 1− β 2 = γ (x1 − v t ) x 2 = x2 x 3 = x3 v 1 β x t − x1  β  c2 c t = = = γ  t − x1  2 2 c   1− β v 1−   c (1.B.38) (1.B.39) (1.B.40) t− (1.B.41) où on retrouve parfois dans la littérature la rapidité ( β = v / c ) et le facteur relativiste ( γ = 1 / 1 − β 2 ). Lorsque v → 0 (i.e., v/c <<1, v2/c2 <<<1 et v/c2 <<<1), les Éqs. (1.B.38)-(1.B.41) se réduisent à x 1 = x 1 − v t , x 2 = x 2 , 3 x = x 3 et t = t qui sont les transformations de Galilée [Éqs. (1.1.2) et (1.1.3)] de la mécanique classique de Newton. Alors lim[Transformations de Lorentz - Einstein] = [Transformations de Galilée] v →0 (1.B.42) ou v/c <<1. Notons aussi que v sera toujours plus petit que c sinon le facteur γ = 1 / 1 − (v / c) 2 deviendrait ne quantité imaginaire, ce qui n’est pas possible physiquement. Alors, rien ne peut se déplacer avec une vitesse plus grande que celle de la lumière dans le vide.
  • 30 Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 1 Introduction Pour certaines applications, il est utile de connaître les équations de transformation d’un repère S à un repère S pour le cas le plus général où l’axe Ox1 n’est pas dans la direction de la vitesse v. On peut les obtenir en scindant r est composantes r|| (parallèle à la direction de la vitesse v du repère S ) et r⊥ (perpendiculaire à v). Il suit des Éqs. (1.B.38)-(1.B.41), en premier lieu, que r|| − v t r|| = v 1−   c (1.B.43) 2 r⊥ = r⊥ t= (1.B.44) ( v • r|| ) r|| − c2 2 (1.B.45) (r • v ) v v2 (1.B.46) v 1−   c mais puisque r|| = r⊥ = r − r|| = r − (r • v ) v v2 (1.B.47) r = r|| + r⊥ (1.B.48)     vt  1  r =r + − 1 (r • v) v − 2 2 v v   1−    1−  c     c   (1.B.49) on peut aussi les écrire de la façon suivante t= t− (r • v ) c2 v 1−   c Appendice C (1.B.50) 2 Règles de Calcul des Résidus/Variations Le but du calcul des résidus/variations est de trouver une fonction continue quelconque du temps, ξ(t), de sorte que l’intégrale ∫ t1 to & F (ξ , ξ , t ) dt soit stationnaire (un extrémum). Cette intégrale correspond à calculer la somme des produits & infinitésimal aux entre les fonctionnelles (fonction de fonctions) F (ξ , ξ , t ) et les différentielles du temps dt calculées sur un & interval de temps passant de t = to à t = t1. Bref, la fonctionnelle F (ξ , ξ , t ) évolue selon la condition de la fonction initiale & ξ(t) et de sa dérivée temporelle ξ (t ) dans le temps t. L’intégrale nous permet alors de calculer la progression de la fonctionnelle F dans le temps aussi longtemps que le calcul se fasse dans les limites de t = to à t = t1, le temps d’observation. Alors, si ξ(t) est une fonction arbitraire du temps, t, δξ(t) sera une variation de la fonction arbitraire ξ(t). ξ ξ(t) Final • ξ1 δξ(t) Initial ξ(t) • to t t1 t
  • 31 Appendice C Règles de Calcul des Résidus/Variations ξo Puisque les points ( ξo,to) Initial et (ξo,t1)Final sont ancrés, on a δξ(to) = δξ(t1) = 0. Donc, la variation de la fonction ξ(t) est δξ (t ) = ξ (t ) − ξ (t ) (1.C.1) et les règles de variation sont 1. d [δξ (t )] = δ  dξ (nt )  n  dt  dt   2. δF (ξ ) = 3. & dF (ξ ) & ∂F & ∂F & & & δF (ξ ) = δξ si F = F (ξ , ξ , t ) : δF (ξ , ξ , t ) = δξ + δξ & & ∂ξ dξ ∂ξ 4. δ ∫ ξ (t ) dt = (1.C.2) dF (ξ ) ∂F δξ si F = F (ξ , t ) : δF (ξ , t ) = δξ dξ ∂ξ t1 to ∫ t1 to (1.C.3) δξ (t ) dt (1.C.4) (1.C.5) & & Si la fonctionnelle F (ξ , ξ , t ) est définie par un lagrangien quelconque L (ξ , ξ , t ) = K − V (la différence entre l’énergie cinétique propre au l’état du mouvement et l’énergie potentiel propre au positionnement de la particule), on trouve les t1 équations d’Euler-Lagrange sont données par la variation de l’action S = ∫ L dt to t1 t1 & & δS = δ ∫ L (ξ , ξ , t ) dt = ∫ δ[ L (ξ , ξ , t )] dt to où δL = (1.C.6) to ∂L & ∂L & dξ δξ + δξ et ξ = & dt ∂ξ ∂ξ (1.C.7) Alors t1 t1  ∂L ∂L & & δS = δ ∫ L (ξ , ξ , t ) dt = ∫  δξ + δξ dt to t o ∂ξ &  ∂ξ   t1  ∂L  ∂L d =∫  δξ + (δξ ) dt t o ∂ξ & dt ∂ξ   ∂L = δξ & ∂ξ t1 to t1  ∂L d  ∂L   δξ dt = 0 +∫  −  to ∂ξ dt  ∂ξ   &  (1.C.8) (1.C.9) (1.C.10) Avec les points initiaux et finaux ancrés [i.e. δξ(to) = δξ(t1) = 0], on a t1 t1  ∂L d  ∂L   δξ dt = 0 δS = δ ∫ L dt = ∫  −  to to ∂ξ &  dt  ∂ξ     Avec δξ = εη (t) où ε est un paramètre d’échelle et η(t) est une fonction arbitraire continue du temps, on a ∂L d  ∂L  =0 −  ∂ξ dt  ∂ξ   & (1.C.11) (1.C.12) Par exemple, si on considère une particule avec un vecteur position r et un vecteur vitesse v = r = dr / dt , on a & L = K −V = L’Éq. (1.C.11) devient 1 2 & mr − V (r ) 2 (1.C.13)
  • 32 1 Introduction [ ] [ &2 &2 ∂L d  ∂L  ∂ 1 mr − V (r ) d  ∂ 1 mr − V (r ) = 2 −  −  2 & ∂ξ dt  ∂ξ  ∂r dt  ∂r  &  & ] = ∂V − m dr = 0 ⇒ −∇V = F (Force)    ∂r dt (1.C.14) où on a utilisé la différentielle totale dV = ∇V • dr pour identifier le gradient du potentiel gravitationnel, ∇V, et de plus m & dr d  dr  dv =m  =m = ma (Masse fois l' Accéleration) dt dt  dt  dt (1.C.15) Bibliographie T.D. Sanders, Modern Physical Theory (Addison-Wesley, London, England, 1970). A. Einstein, “The Foundation of the General Theory of Relativity,” Die Grundlage der allgemeinen Relativtätstheorie, Ann. d. Phys. 49, 769 (1916). Traduction anglaise dans H.A. Lorentz et al., The Principle of Relativity (Dover Publications, 1923), p. 109. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. F. de Felice et C.J.S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1989). J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7 th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity (Oxford University Press, Oxford, U.K., 1992). C.W. Misner, K.S. Thorne et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman and Co., San Francisco, 1973). S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, 1973). M. Kaku, Quantum Field Theory (Oxford University Press, Oxford, England, 1993). Références* 1. T.D. Sanders, Modern Physical Theory (Addison-Wesley, London, England, 1970). 2. A. Einstein, Ann. Physik. 17, 891 (1905) ; 18, 639 (1905). Tradaductions anglaise dans H.A. Lorentz et al., The Principle of Relativity (Dover Publications, 1923), pp. 37-65. 3. C. Misner, K.S. Thorne, et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). 4. R. v. Eötvös, Math. nat. Ber. Ungorn 8, 65 (1890) ; R. v. Eötvös, D. Pekár, et E. Fekete, Ann. Phys. 68, 11 (1922). 5. R. H. Dicke, dans Relativity, Groups, and Cosmology. Eds, C. DeWitt et B.S. DeWitt (Gordon and Breach, New York, 1964). P. 167 ; P.G. Roll, R. Krotkov, et R.H. Dicke, Ann. Phys. (N.Y.) 26, 442 (1967). 6. V.B. Braginsky et V.N. Rudenko, Sov. Phys. Usp. 13, 165 (1970). 7. A. Pais, Subtle is the Lord... (Oxford University Press, Oxford, England, 1982). * Les références indiquées d’un astérisque “∗” indiquent la première formulation de la TNG. Elle était définit avec l’aide de l’algèbre complexe C et non avec l’aide de l’algèbre hypercomplexe E. En effet, on supposait que les composantes antisymétriques de la métrique non symétrique, g[µν ], étaient purement imaginaires, en utilisant la racine imaginaire i = − 1 . Cependant, cette formulation générait des pôles fantômes dans l’approximation linéaire. Dans les versions subséquentes de la TNG, il a été supposé que les composantes g[ µν ] prenaient des valeurs réelles ou hyperboliques complexe. [Voir G. Kunstatter, J.W. Moffat, et J. Malzan, J. Math. Phys. 24, 886 (1983).]
  • 33 8. A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 1030, 778, 799, 831, 844 (1914). 9. A. Einstein, Ann. Physik. 49, 769 (1916). Traduction anglaise dans H.A. Lorentz et al., The Principle of Relativity (Dover Publications, 1923), pp. 111-164. 10. S.W. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972). 11. C.M. Will, Theory and Experiment in Gravitationnal Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1981) ; Pour une revue récente, voir : C.M. Will, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991). 12. Toute la confusion entourant un coefficient du moment quadripolaire élevé pour le Soleil débuta lorsque R.H. Dicke et H.M. Goldenberg [Phys. Rev. Lett. 18, 313 (1967)] ont effectué des mesures de l’oblacité visuelle du disque solaire et ont trouvé une différence entre les rayons polaire et équatorial apparents. Toute oblacité du Soleil produirait une perturbation dans l’équation de l’orbite (par example, Mercure) en plus de la perturbation apportée par la TGE. La valeur qu’ils ont apportée correspond à quelques 4 secondes d’arc par siècle pour le déplacement du périhélie de la planète Mercure, ce qui contredirait l’accord remarquable de la TGE avec le déplacement observé. Ceci mena à un débat considérable dans la communauté relativiste et un bon nombre de publications supportant et contredisant cette affimation s’en suivit. L’expérience reposait sur une méthode qui consistait à placer un disque occultant devant le Soleil et ensuite de mesurer la différence d’intensité de la lumière entre le pole et l’équateur aux limites du Soleil. L’argument opposé le plus consistant était que le différence observée pourrait également être expliquée en supposant que le Soleil ait une oblacité négligeable mais qu’une différence de température existerait entre le pole et l’équateur, ce que le modèle standard du Soleil permet. 13. J.M. Weisberg et J.H. Taylor, Phys. Rev. Lett. 52, 1348 (1984). 14. D.H. Douglass et V.B. Braginsky, dans General Relativity, An Einstein Centenary Survey. Eds, S.W. Hawking et W. Israel (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1979). 15. J.V. Narlikar, Introduction to Cosmology (Johns and Bartlett, 1983). 16. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. 17. M.D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960) ; G. Szekeres, Publ. Mat. Debrecen 7, 285 (1960). 18. S.W. Hawking et R. Penrose, Proc. R. Soc. (London) A 314, 529 (1970). 19. A. Einstein, Ann. Math. (N.Y.) 46, 578 (1945) ; Rev. Mod. Phys. 20, 35 (1948) ; 21, 343 (1949). Une première tentative par Einstein d'unifier la gravitation et l'électromagnétisme a vu le jour en 1925. Voir : A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 414 (1925). 20. A. Einstein et E.G. Straus, Ann. Math. (N.Y.) 47, 731 (1946). 21. A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II. 22. M.A. Tonnelat, La Théorie du Champ Unifié d'Einstein, (Gauthier-Villars, Paris, France, 1955) ; Einstien's Unified Field Theory (Gordon and Breach, New York, 1966). 23. L. Infeld, Acta. Phys. Pol. 10, 284 (1950). 24. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 15, 3520 (1977) ; D 16, 3616(E) (1977). 25. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 23, 2870 (1981).* 26. J. Callaway, Phys. Rev. 92, 1567 (1953). 27. W.B. Bonnor, Proc. R. Soc. (London) A 226, 366 (1954) ; Ann. Inst. Henri Poincaré 15, 133 (1957). 28. H. Weyl, Naturwissenschaften 38, 73 (1951) ; W. Pauli, Theory of Relativity (Pergamon, London, England, 1958), note supplémentaire no. 23. 29. Une révision de quelques théories unifiées, données dans les références [21]-[22], et une discussion de leurs échecs est donnée par B. Kursunoglu, Phys. Rev. D 9, 2723 (1974). 30. A. Pais, Subtle is the Lord... (Oxford University Press, Oxford, England, 1982).
  • 34 31. F.J. Dyson, A.S. Eddington, et C. Davidson, Philos. Trans. R. Soc. (London) A 220, 291 (1920). 32. S.W. Hawking, A Brief History of Time (Bantam books, 1988). 33. A. Einstein, Ann. Physik 35, 898 (1911). Traduction anglaise dans H.A. Lorentz et al., The Principle of Relativity (Dover Publications, 1923), pp. 99-108. 34. K. Lake, Phys. Rev. Lett. 60, 241 (1988) ; B. Waugh et K. Lake, Phys. Rev. D 38, 1351 (1989). 35. J.W. Moffat, Can. J. Phys. 64, 561 (1986). 36. P.D.B. Collins, A.D. Martin, et E.J. Squires, Particle Physics and Cosmology (Wiley, New York, 1989). 37. Pour une excellente discussion préliminaire de l'électrodynamique quantique (QED), voir : J.A. Eisele, Modern Quantum Mechanics with Applications to Elementary Particle Physics (Wiley, New York, 1969). Pour quelques développements historiques, voir : Selected Papers on Quantum Electrodynamics. Ed, Julian Schwinger (Dover Publications, 1958). 38. G. ’t Hooft et M. Veltman, Ann. Inst. Henri Poincaré 20, 69 (1974). 39. M.H. Goroff et A. Sagnotti, Nucl. Phys. B 266, 709 (1986). 40. S. Deser et J.H. Kay, Phys. Lett. B 76, 400 (1978) ; R.E. Kallosh, Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis'ma Red. 29, 493 (1979) ; traduction anglaise dans JETP Lett. 29, 449 (1979) ; P. van Nieuwenhuizen et C.C. Wu, J. Math. Phys. 18, 182 (1977). 41. P. van Nieuwenhuizen, Phys. Rep. 68, 191 (1981) ; M. Grisaru, P. van Nieuwenhuizen, et J.A.M. Vermaseren, Phys. Rev. Lett. 37, 1662 (1976) ; M. Grisaru, Phys. Lett. B 66, 75 (1977) ; . Deser, J.H. Kay, et K. Stelle, Phys. Rev. Lett. 38, 527 (1977). 42. T. Kaluza, Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 966 (1921) ; O.Z. Klein, Z. Phys. 37, 895 (1926). 43. A. Lichnerowicz, Théories Relativistes de la Gravitation et de l'Électromagnétisme (Masson, Paris, France, 1955) ; P.G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity (Dover Publications, 1976). 44. M.W. Kalinowski, J. Phys. A 16, 1669 (1983) ; J. Math. Phys. 24, 1835 (1983) ; 25, 117 (1984) ; 25, 1045 (1984). 45. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). 46. W. Pauli et F. Villars, Rev. Mod. Phys. 21, 434 (1949) ; dans Selected Papers on Quantum Electrodynamics. Ed, Julian Schwinger (Dover Publications, 1958), p. 198. 47. J.W. Moffat, Phys. Lett. B 206, 499 (1988) ; Phys. Rev. D 39, 3654 (1989) ; 41, 1177 (1990) ; D. Evens, J.W. Moffat, G. Kleppe, et R.P. Woodard, ibid 43, 499 (1991); B.J. Hand et J.W. Moffat, ibid 43, 1896 (1991) ; M.A. Clayton, L. Demopoulos, et J.W. Moffat, Int. J. Mod. Phys. A 9, 4549 (1994). 48. J.H. Schwarz, Phys. Rep. 89, 223 (1982) ; M.B. Green, Surv. High Energy Phys. 96, 199 (1974) ; M.B. Green, J.H. Schwarz, et E. Witten, Superstring Theory (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1987), Vol. I et II ; M. Kaku, Hyperspace (Anchor books, 1995). 49. M. Kaku, Quantum Field Theory (Oxford University Press, Oxford, England, 1993). 50. H. Weyl, Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 465 (1918) ; Ann. Physik 59, 101 (1919). 51. A.S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 3 e édition (Chelsea Publishing Co., 1975). 52. E. Schrödinger, Proc. R. Ir. Acad. A 51, 163 (1947) ; Space-Time Structure (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1954), pp. 106-119. 53. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 3554 (1979).* 54. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 21, 1798 (1980).* 55. J. C. McDow et J.W. Moffat, Can. J. Phys. 60, 1545 (1982).* 56. M.D. Gabriel, M.P. Haugan, R.B. Mann, et J.H. Palmer, Phys. Rev. D 43, 308 (1991). 57. V. Hlavaty, Geometry of Einstein's Unified Field Theory (Hordhoff-Verlag, Groningen, Holland, 1957).
  • 35 58. J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7 th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180.*
  • 2 Concepts Mathématiques de Base 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques Nous utiliserons tout le long de ce travail la notation moderne suivante pour décrire les ensembles et les propriétés qui y sont rattachés (voir Table 2.1.1.) Table 2.1.1 : Définitions d’usage de la géométrie différentielle. Symbole Définitions Usuelles ∪ ∩ ⊂ ∈ { | } × ∅ R A ∪ B dénote l’union des ensembles A et B A ∩ B dénote l’intersection des ensembles A et B A ⊂ B dénote que A est un sous-ensemble de B p ∈ A dénote que p est un élément de l’ensemble A {p ∈ A|Q} dénote l’ensemble consistant de ces éléments p de l’ensemble A qui satisfont la condition Q Produit cartésien ; A × B est l’ensemble {(a,b)| a ∈ A et b ∈ B} Ll’ensemble vide L’ensemble des nombres réels (en général, on identifie les ensembles de nombres quelconques par les caractères gras) L’ensemble n-tuple des nombres réels f : A → B dénote que f est la carte (fonction) de l’ensemble A à l’ensemble B x a 2x dénote que la variable x est doublée ou bien x a ex dénote que la variable x est mise en exponentielle Rn : → a o [ ] Cn C∞ vi ωi g o f dénote la composition des cartes f : A → B et g : B → C, c’est-à-dire, pour p ∈ B on a (g o f )( p) = g[f (p)] f [A] dénote l’image de l’ensemble A sous la carte f , c’est-à-dire, l’ensemble { f (x)| x ∈ A} L’ensemble des fonctions n-fois continûment dérivables L’ensemble des fonctions infiniment dérivables Représente un vecteur (contravariant) où i prend les valeur de 1 à n Représente une forme de Pfaff d’ordre un (vecteur covariant) où i prend les valeur de 1 à n On décrit dans cette section, les définitions essentielles pour une bonne compréhension de la matière présentée dans ce travail en plus d’offrir une uniformité dans la présentation et une conciliation avec d’autres ouvrages présentant une notation différente pour un même cas donné. Il faut bien comprendre cependant qu’on ne peut et on ne veut pas présenter l’ensemble de l’édifice mathématique associé avec la théorie de la gravitation d’Einstein, la relativité générale, mais plutôt définir les notions quelques fois citées sans références aucune, pour ainsi établir la base mathématique du présent travail. On trouve dans la majorité des ouvrages que les idées géométriques, la majorité ne nécessitant point l’introduction d’une métrique, sont données le rôle de figurant, soit la vision qu’encourageait Einstein, qui voulait décrire la matière comme un phénomène géométrique. Mais l’approche géométrique a créée une fissure entre la relativité générale et la théorie des particules élémentaires. Avec le passage du temps, on a appris à ne pas espérer que les interactions fortes, faibles et électromagnétiques peuvent être comprises en des termes géométriques,* et que mettre trop souvent l’emphase sur la 37
  • 38 2 Concepts Mathématiques de Base géométrie ne peut que noircir les connexions profondes entre la gravitation et le reste de la physique. Cependant, l’approche géométrique pour décrire la structure de l’espace-temps possède ses bons côtés. C’est une méthode moderne qui ne nécessite pas de fixer un système de coordonnées aux tenseurs et celle-ci sera présentée comme alternative importante à l’approche composantes-coordonnées qui sont souvent présentée. Ceci nécessite toutefois l’utilisation de mathématiques beaucoup plus sophistiquées. Ceux qui sont déjà familiers avec les prémices du calcul tensoriel savent que le concept de tenseur est généralement basé sur une loi de transformation des composantes sous une transformations des coordonnées, de sorte que les coordonnées sont explicitement utilisées dès le début. Le calcul différentiel (la géométrie différentielle) que l’on présente dans cette section nous procure des méthodes adéquates pour plusieurs situations, mais il reste quand même que la méthode traditionnelle reste beaucoup plus pratique pour plusieurs cas. Dans la littérature moderne concernant les solutions exactes, le concept géométrique (sans coordonnées), tels les formes et la différentiation externe, est fréquemment utilisé. De plus, la structure mathématique sous-tenante devient davantage évidente lorsqu’on exprime les résultats en langage géométrique. On introduira donc, dans cette section, les formes d’ordre r, les tenseurs de rang arbitraire, la différentiation extérieure et la différentiation de Lie, toutes suivent naturellement de la définition d’une variété dérivable. On considère ensuite une structure additionnelle, la dérivée covariante, et ses courbures associées, même si elle ne nécessite pas une métrique. Cependant, l’absence d’une métrique fera en sorte qu’il sera impossible de convertir des formes d’ordre un en vecteurs, et vice versa. Définitions, Ensembles et Topologie Base : Désignons par {e i } (i = 1, 2, 3, ..., n) la base d’un espace vectoriel à n dimensions. Cette base est constituée par un système de n vecteurs linéairement indépendants. Vecteur : Un vecteur v s’exprime par une combinaison linéaire unique, à composantes scalaires, des bases eµ n v = v 1e 1 + v 2e 2 + v 3e 3 + ... + v ne n = ∑ v ie i (2.1.1) i =1 Les nombres v 1, v 2, v 3, ..., v n sont les composantes du vecteur v par rapport à la base { e i}. Convention de sommation d’Einstein : On utilise toujours la convention de sommation suivante, introduite par Einstein, pour alléger les notations. Si, dans un monôme, un même indice figure deux fois, une fois en indice supérieur (contravariant) et une fois en indice inférieur (covariant), le signe somme ∑ sera sous-entendu. Cet indice est appelé indice muet et peut être remplacé par n’importe lequel indice en autant qu’il se présente à la fois en position supérieur et inférieur. Ainsi, ∑i ui v i s’écrit u i v i et signifiera ∑ ui v i ⇒ ui v i = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + ... + un vn (2.1.2) i en donnant à i toutes les valeurs possibles de 1 à n. Normalisation : Un espace vectoriel En est dit normé lorsqu’il est muni de la multiplication scalaire. On peut alors expliciter le produit scalaire de deux vecteurs u et v . Si En est rapporté à une base { e i}, le produit scalaire s’écrit u •v = (u ie i)•(v je j) = u i v je i •e j (2.1.3) Tenseur métrique fondamental : Nous posons, par définition g ij = e i •e j (2.1.4) définissant ainsi les composantes du tenseur métrique fondamental g ij. Par fondamental, nous voulons dire, qu’il est le seul à déterminer la structure de En. La norme : La norme d’un vecteur v est le produit scalaire de ce vecteur avec lui-même N(v ) = (v )2 = g ij v i v j * (2.1.5) Advenant une découverte radicale concernant la théorie des supercordes (c’est-à-dire, que toutes les particules subatomiques correspondent à une corde vibrante à une fréquence énergétique distinctive, et que la matière correspond aux harmoniques créées par ces cordes vibrantes dans un univers à dix ou onze dimensions), tout pourrait changer, et effectivement, la matière aurait lieu d’être expliquée en des termes géométriques.
  • 39 Espace ponctuel affin : Soit un ensemble dont les éléments sont des “points” (aucune étendue spatiale.) Cet ensemble est ∗ ∗ 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces de E n on peut un espace ponctuel affin à n dimensions, En , si à tout couple de points (A,B)Topologiques faire correspondre un vecteur v d’un espace vectoriel En. ∗ Repère d’un espace ponctuel affin : On appel repère d’un espace ponctuel affin En l’ensemble d’un point O (origine du ∗ repère) de En , et une base {e i} de l’espace vectoriel associé En. ∗ Système de coordonnées : On désigne par système de coordonnées dans En tout mode de définition d’un point M de cet espace en fonction de n scalaires y i qui sont les coordonnées de M. Ligne coordonnées : Les lignes coordonnées sont les trajectoires des points M lorsqu’une seule coordonnée varie. Les lignes coordonnées sont des droites dans le cas des coordonnées rectilignes. Coordonnées régulières : Soient x i les coordonnées rectilignes de M par rapport à un repère (O , e i0 ). Introduisons des coordonnées quelconques y i telles que x i = f i( yj) ( i, j = 1, 2, 3, ..., n) (2.1.6) Ces coordonnées sont régulières en M si 1. les fonctions f i sont C n dans le voisinage du point M ; 2. le jacobien des fonctions f i est non-nul en M et dans un voisinage de M. On peut alors résoudre l’Éq. (2.1.6) et exprimer les coordonnées y j en fonction des x i. Si les fonctions f i ne sont par linéaires, les coordonnées y j sont curvilignes. ∗ ∗ Supposons un espace ponctuel affin E n rapporté à des coordonnées curvilignes y i. À chaque point M de En où ces coordonnées sont régulières, associons un repère d’origine M et des vecteurs ei = ∂OM ∂M = i i ∂y ∂y (2.1.7) où O est un point fixe arbitraire. Repère naturel associé : On définit (M ,e i ) comme le repère naturel associé, en M, au système de coordonnées y i. Ainsi, la différentielle du point M s’écrit d (OM ) = dM = dy i ei (2.1.8) Les e i sont tangents aux accroissements dy i (composantes de d M .) Transformation des coordonnées : Dans un changement de coordonnées curvilignes régulières telles yi = yi ( y j ) (2.1.9) les repères naturels (M, e i ) et (M, e i ) en un même point M, respectivement associés aux coordonnées y j et y j , sont liés par les relations e i = ai j e j e i = ai je j (2.1.10) ∂y j ∂y i (2.1.11) en posant ai j = ∂y j ∂y i ai j = Les matrices ai j et ai j sont inverses l’une de l’autre ai j a j k = ai j a j k = δ i k où δ ik = δ ki est le symbole de Kronecker (0 si i ≠ k et 1 si i = k .) (2.1.12)
  • 40 2 Concepts consiste d’un de Base Espace topologique : Un ensemble topologique* (X , T ) Mathématiques ensemble X avec une collection T de sous-ensembles de X satisfaisant les conditions suivantes : 1. l’union d’une collection arbitraire de sous-ensembles, chacune d’elle étant dans T, est dans T : si Oi ∈ T pour tous i, alors ∪iOi ∈ T ; 2. l’intersection d’un nombre fini de sous-ensembles dans T est dans T : si O 1, O2, O3, ..., On ∈ T, alors ∩in=1 Oi ∈ T ; 3. l’ensemble complet X et l’ensemble vide, ∅, sont dans T. Balles ouvertes (Open balls) : Une balle ouverte dans Rn, de rayon r, centrée autour d’un point y = (y1, y2, y3, ..., yn), consiste des points x de telle sorte que |x − y| < r, où d(x,y) ≡ |x − y| = n ∑ (xi − yi )2 (2.1.13) i =1 est la fonction distance. Ensembles ouverts : Les sous-ensembles O i de X qui sont énumérés dans la collection T sont appelés ensembles ouverts. De plus, dans R n, c’est tout ensemble qui peut être exprimé comme une union de balles ouvertes. Topologie : Pour tout espace métrique, la collection de tous les sous-ensembles qui peut être exprimée comme des unions de balles ouvertes donne une topologie. D’une façon, la distance donnée par l’Éq. (2.1.13) nous a permis de rendre Rn en espace topologique. Dit autrement, une collection de sous-ensembles T est dit former une topologie sur X et ses éléments sont appelés les ensembles ouverts de X. Voisinage : Un voisinage d’un point (élément) p de l’espace topologique (X , T ) est un ensemble Up contenant un ensemble ouvert auquel le point p appartient. Hausdorff : Un espace topologique (X , T ) est dit Hausdorff si pour chaque paire de points distincts p, q ∈ X, p ≠ q, on peut trouver des ensembles ouverts Op, Oq ∈ T de telle sorte que p ∈ O p, q ∈ Oq, et Op ∩ O q = ∅. Dit autrement, n’importe lesquels des points de Rn ont des voisinages qui ne s’intersectent pas. Representation par Carte Carte : Une carte est l’opération qui assigne à chaque élément d’un ensemble un élément unique d’un autre ensemble quelconque (voir Table 2.1.2.) Table 2.1.2 : Description de l’opération carte. Symbolism f:A→B f:A→B f : A → B ; a a f (a) Définitions Usuelles La fonction f est une carte des éléments d’un ensemble A sur l’ensemble B f est une fonction de A vers B L’élément de B qui résulte de la carte f sur l’élément a de l’ensemble A sera écrit f (a) Par exemple, la carte g prenant les nombres réels et les doublant s’écrit : g : R → R ; x a 2x , ou bien : g(x) = 2x : R → R . Carte injective : Si pour tout b ∈ f (A) il y a juste un élément a ∈ A de telle sorte que l’élément b = f (a), alors f est dit injective (un-pour-un), c’est-à-dire, si pour tout b ∈ f (A) il y a seulement un point a ∈ A de telle sorte que f (a) = b, la carte f est dite injective. Carte surjective : Si f (A) = B, alors on dit que f est sur (B), ou que f est la carte de A sur B. On dit aussi de la carte qu’elle est surjective (sur). Carte bijective : Si la carte est à la fois injective (un-pour-un) et surjective (sur), alors la carte est dite bijective (un-pour-un et sur). Composition : Si on nous donne une carte f : A → B et une carte g : B → C, alors la carte : g o f : A → C (définit en appliquant f et puis g) est appelé composition de f avec g. * (X , T ) ≡ (ensemble X , collection de sous-ensembles Oi de X ).
  • 41 Continuité : Si (X , T ) et (Y , S ) sont des espaces topologiques, une carte f : X → Y est dite être continue si l’image inverse, f −1[O] ≡ {x ∈ X | f (x) ∈ O}, de tout l’ensemble ouvert O dans Y, est un élément ouvert dans X. 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques Homéomorphisme : Si f est continue, injective, surjective, et que sont inverse est continue, f est un homéomorphisme et (X , T ) et (Y , S ) sont dit être homéomorphe. C ∞ : Une carte f : m → m′ est dite être C ∞ si pour chaque i et j, la carte ψ ′j o f o ψ i−1 , prenant Ui ⊂ Rn dans U′j ⊂ R n′, est C ∞ . Difféomorphisme : Si f : m → m′ est C ∞, injective, surjective, et a un C ∞ inverse, f est appelée un difféomorphisme et m et m′ sont dit être difféomorphes. Structure de Variété Variété : Il existe plusieurs définitions du terme « variété » (en anglais : Manifold), tant mathématiques que physiques : 1. la variété constitue une généralisation de l’idée d’espace. Une variété à n dimensions Vn est une espace ponctuel affin doué de propriétés topologiques (propriétés non affectées par des déformations arbitraires de l’espace), homéomorphe localement à un espace euclidien à n dimensions. Ceci permet de dresser une carte d’une région (petite mais finie) de la variété en effectuant une représentation topologique de cette région dans l’espace euclidien. On suppose aussi que la variété est continue en ce sens qu’au voisinage de chaque point (M), il y a d’autres points dont les coordonnées diffèrent peu de celles du point M . 2. Une variété à n dimensions est un ensemble qui possède une structure différentielle locale de R n mais pas nécessairement ses propriétés globales, c’est-à-dire, c’est un ensemble dans lequel le voisinage de tout point ressemble à Rn mais qui peut avoir des propriétés globales quelques peu différentes. 3. Une variété est un ensemble qui possède la propriété que chaque point peut servir comme origine d’un système de coordonnées local qui est valide dans un voisinage ouvert du point, lequel voisinage est une copie exacte d’un voisinage ouvert d’un point dans Rn. 4. Une variété est un ensemble V n dans R n qui possède la propriété que pour chaque point p dans la variété il existe un voisinage ouvert Up dans Vn et la carte fp , qui traîne Up dans un voisinage dans Rn. 5. Une variété Vn à n dimensions, C ∞, réelle, est un ensemble comprenant une collection de sous-ensembles {Oi} satisfaisant les propriétés suivantes : a. Chaque élément p ∈ Vn repose dans au moins un ensemble O i, c’est-à-dire, l’ensemble { Oi} couvre la variété V n. b. Pour chaque i, il y a une carte injective (un-pour-un), surjective (sur), f i : O i → Ui, où U i est un sous-ensemble ouvert de R n. c. Si n’importe lesquels deux ensembles Oi et Oj s’intersecte, Oi ∩ Oj ≠ ∅, on peut considérer la carte f j o f i−1, qui prend les points dans f i[Oi ∩ O j] ⊂ Ui ⊂ R n à des points dans f j[Oi ∩ Oj] ⊂ Uj ⊂ Rn. 6. Une variété, alors, est une extension naturelle d’une surface à des dimensions supérieures, et, aussi, à des espaces plus généraux que Rn. Il est donc conseillé de penser d’une variété comme simplement une hypersurface dans Rn. Espaces Tangentiels Si f est une fonction de R m à R n, alors la dérivée de f au point p ∈ Rm dans la direction de v ∈ Rm (la dérivée directionnelle) est donnée par  f ( p + h v ) − f ( p)  Dv f (p) = lim   h→0  h    (2.1.14) où h ∈ R . [D’autres notations utilisées pour Dv f (p) sont ∂v f (p), df (p)v, dfp(v ) et f ′p(v ).] Si toutes les dérivées directionnelles de f existent au point p alors f est dit être dérivable au point p. Dans ce cas, D v f (p) est une transformation linéaire de Rm à R n. D v f (p) : v a Dv f (p), détermine la partie linéaire d’une approximation de f dans le voisinage de p. La fonction f envoie le point p à f (p) : si le point p commence à bouger dans la direction de v alors f (p) se déplacera conséquemment dans la direction Dv f (p). Intuitivement, on pense de la dérivée de f comme envoyant une flèche dans Rm, avec sa queue au point p et sa pointe au point p + v , à une flèche dans Rn, avec f ( p) comme queue et f ( p) + D v f ( p) comme pointe. On peut formaliser ceci en
  • 42 définissant l’espace tangentielle à Rm au point p, T p Rm, comme étant l’ensemble des paires ( p, v ) pour tout v ∈ Rm. On peut définir la dérivée de f au point p, ou la carte tangentielle, f*p f*p : Tp Rm a Tf (p)Rn (2.1.15) 2 Concepts Mathématiques de Base ( p,v ) a ( f ( p), D v f ( p)) m (2.1.16) m Puisque Dv f (p) est une transformation linéaire sur R il suit que f*p est une carte linéaire sur T p R . L’espace tangentielle de Rm au point p est seulement un sous-espace de la somme directe de Rm avec lui-même. Variété Dérivable Les variétés dérivables sont des structures de base dans la géométrie différentielle. Intuitivement, une variété (à n dimensions) est un espace Vn de telle sorte que tout point p ∈ Vn possède un voisinage Un ⊂ Vn qui est homéomorphe à l’intérieure d’une sphère unitaire [à (n − 1) dimensions.] Courbes Paramétrisées Une courbe paramétrique C sur une variété Vn est une carte à partir d’une intervalle ouverte I ⊂ Rn à Vn : C : R n → M (2.1.17) t a C (t) avec t ∈ [a,b], a, b ∈ R , C(t) ∈ Vn. La variable t est appelé paramètre de la courbe. n Vecteurs Tangentiels Sur une variété Vn, laissons F dénoter la collection de fonctions C ∞ de Vn dans Rn. On définit un vecteur tangentiel v au point p ∈ Vn être une carte v : F → Rn qui possède les propriétés suivantes 1. est linéaire. 2. obéit la règle de Leibniz : a) v (a f + bg) = a v ( f ) + bv (g), pour tout f , g ∈ F et tout a, b ∈ Rn, b) v ( f g) = f ( p)v (g) + g( p)v ( f ), c) v (c f ) = cv ( f ), où c est une constante. Il suit de ces deux axiomes que v (c) = 0 pour toute fonction constante c. Ces axiomes, ou définitions, sont indépendantes du choix des coordonnées. Un vecteur tangent n’est qu’une dérivée directionnelle le long d’une courbe C (t) au travers un point p : en développant toute fonction f en séries de Taylor au point p, et en utilisant les axiomes ci-dessus, on peut montrer que tout vecteur tangentiel v au point p peut être écrit comme v = v i ∂v = v i ∂ ∂ xi (2.1.18) d’où le fait que la dérivée directionnelle est maintenant représentée par ∂v ≡ ∂e i = ∂ ∂ xi (2.1.19) Les composantes réels v i sont les composantes du vecteur v au point p par rapport au système de coordonnées local (x1, x2, x3,..., xn) dans un voisinage de p. Une base générale {e i} est formée par n vecteurs linéairement indépendants e i ; tout vecteur v ∈ Tp est une combinaison linéaire de ces vecteurs de bas, c’est-à-dire v = v ie i (2.1.20) L’action d’une base vectorielle e i sur une fonction f est dénotée par le symbole “|”, le solidus, par exemple, f |i ≡ e i ( f ). Dans une base de coordonnées, on utilise la virgule plutôt que le solidus, par exemple, f ,i ≡ ∂f /∂xi dans le cas où f = x 1, x 2, x 3, ..., x n.
  • 43 Champs Vectoriels En assignant un vecteur tangent à chaque point d’une variété Vn, on définit un champ vectoriel. Alors, un champ vectoriel 2.1 Définitions Mathématiques Espaces variété V est cartographie des fonctions à des fonctions. Un champ vectoriel vet sur une Topologiques une dérivation de l’algèbre des n fonctions v : F (Vn ) → F (Vn ) (2.1.21) Formes d’Ordre Un Par définition, une forme d’ordre un σ (1-form ou Pfaffian form, en anglais) carte un vecteur v en un nombre réel, la contraction ou le produit scalaire, dénotée par le symbole 〈 σ , v 〉, et cette carte est linéaire 〈σ , a u + bv 〉 = a〈σ , u 〉 + b〈σ , v 〉 (2.1.22) pour a, b, réels, et u , v ∈ T p . Les combinaisons linéaires de formes telles σ, τ sont définis par la règle suivante 〈aσ + bτ , v 〉 = a〈σ , v 〉 + b〈τ , v 〉 (2.1.23) pour a, b, réels. Les n formes linéairement indépendantes ω qui sont déterminées uniquement par i 〈ω i, e j〉 = δ ij (2.1.24) forment une base {ω } de l’espace dual T p* de l’espace tangentiel T p. Cette base {ω } est dite être dual à la base {e i } de l’espace Tp. Toute forme d’ordre un σ ∈ Tp* est une combinaison linéaire de la forme de base ω i i i σ = σ iω i (2.1.25) Pour toute forme σ ∈ Tp*, et tout vecteur v ∈ Tp, la contraction 〈σ , v 〉 peut être exprimée en fonction des composantes σ i et v i de σ et v par rapport aux bases {ω i} et { e i} par 〈σ , v 〉 = σ i v i (2.1.26) laquelle indique clairement le produit scalaire. La dérivée extérieure d f d’une fonction arbitraire f est une forme d’ordre un définit par la propriété suivante 〈 d f , v 〉 = v ( f ) ≡ v i f |i 1 2 3 (2.1.27) n En généralisant cette définition aux fonctions f = x , x , x , ..., x , on obtient la relation d xi , ∂ = δ ij j ∂x (2.1.28) indiquant que la base {d x i} de l’espace T p* est dual à la base de coordonnées {∂ /∂ xi} de l’espace Tp. Toute forme d’ordre un σ ∈ T p* peut être écrite par rapport à la base {dx i} comme σ=σidxi (2.1.29) Dans des coordonnées locales, la différentielle d f possède la forme usuelle d f = f |iω i = f ,i d x i (2.1.30) Dans le calcul tensoriel, les composantes σ i sont appelées composantes d’un tenseur d’ordre un covariant et les composantes v i sont appelées composantes d’un tenseur d’ordre un contravariant. Produit Externe Laissons σ 1, σ 2, σ 3, ..., σ r dénoter r formes d’ordre un. On définit une opération algébrique ∧ (wedge), le produit externe σ 1 ∧ σ 2 ∧ σ 3 ∧ ... ∧ σ r par les axiomes suivants. 1. est linéaire dans chaque variable ; 2. disparaît si deux facteurs coïncident ; 3. change de signe si deux facteurs sont interchangés.
  • 44 Alors, le produit externe est complètement antisymétrique. Des formes d’ordre un de base, ω 1, ω 2, ω 3, ..., ω n, on obtient n * formes d’ordre r indépendantes r () 2 ConceptsαMathématiques de α r Base α1 α3 2 ω ∧ω ∧ω ∧ ... ∧ ω (2.1.31) où 1 ≤ α1 < α2 < α3 < ... < αr ≤ αn et r ≤ n. L’axiome (2) implique que ces produits externes disparaissent pour r > n . Toute forme d’ordre r est une combinaison linéaire des formes d’ordre r donnée par l’Éq. (2.1.31) σ = σ α 1 ,α 2 ,α 3 ,...,α r d α1 ∧ d α 2 ∧ d α 3 ∧ ... ∧ d α r (r ) (2.1.32) où les indices ont libre jeux de 1 à n . Le développement de σ en fonction de la base de coordonnées {d x i} possède la (r ) forme σ = σ i1 ,i2 ,i3 ,...,ir dx i1 ∧ dx i2 ∧ dx i3 ∧ ... ∧ dx ir (r ) (2.1.33) Le produit externe peut être étendu à des formes de degrés arbitraires par la règle suivante (σ 1 ∧ ... ∧ σ r ) ∧ (τ 1 ∧ ... ∧ τ s ) = σ 1 ∧ ... ∧ σ r ∧τ 1 ∧ ... ∧ τ s (2.1.34) La multiplication externe est associative et distributive. Cependant, la loi de commutation est légèrement modifiée σ ∧ τ = (−1) rs τ ∧σ (r ) ( s) ( r) (s) (2.1.35) Tenseurs Un tenseur T d’ordre (r,s), ou d’ordre (r + s), à un point p est un élément de l’espace T p(r,s) = T p ⊗ ... ⊗ Tp ⊗ T p* ⊗ ... ⊗ Tp* 14243 144243 r facteurs s facteurs (2.1.36) et carte tout ensemble ordonné de r formes d’ordre un et de s vecteurs (σ 1, σ 2, σ 3, ..., σ r ; v 1, v 2, v 3, ..., v s) (2.1.37) au point p en un nombre réel. En particulier, le tenseur u 1 ⊗ ... ⊗ u r ⊗ τ 1 ⊗ ... ⊗ τ s carte l’ensemble ordonnée donné par l’Éq. (2.1.37) en un produit de contractions, 〈σ 1,u 1〉 ... 〈σ r, u r〉 〈 τ 1, v 1〉 ... 〈τ s, v s〉. La carte est linéaire dans chaque arguments. En fonction des bases { e i} et {ω i}, un tenseur arbitraire T de type (r, s) peut être exprimé comme une somme de produits tensoriels T = T α1...α r β1...β s e α1 ⊗...⊗ e α r ⊗ ω β1 ⊗...⊗ ω β s (2.1.38) où tous les indices ont libre jeux de 1 à n. Les composantes T α1...α r β1...β s avec les indices covariants β 1, β 2, β 3, ..., β s et les indices contravariants α 1, α 2, α 3, ..., α r sont les composantes de T par rapport aux bases { e i} et {ω i}. ∗ ∗ On appel tenseur sur un espace ponctuel affin, En , tout tenseur attaché à un point M de En . Cet être géométrique T sera définit par ses composantes relatives au repère naturel (M ,e i). Un changement de coordonnées tel que xi = xi ( x j ) transforme ses composantes, disons T ijk , en composantes T i j k de telle sorte que * C’est le coefficient binomial ( )≡ n r où n! représente la factorielle : le produit des n premiers nombres entiers. n! r ! ( n − r )! (2.1.39)
  • 45 T i jk = ∂ xi ∂ x j ∂ x n ∂x ∂x l m ∂x k T lm n (2.1.40) Dérivée Externe On a définit la différentielle d f d’une fonction f par l’Éq. (2.1.27). L’opérateur d génère une forme d’ordre un d f d’une forme d’ordre zéro f via 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques (2.1.41) d : f → d f = f ,i d x i On généralise cette différentiation pour qu’elle s’applique à toute forme d’ordre r quelconque. La dérivée externe d carte une forme d’ordre r en une forme d’ordre (r + 1) et est complètement déterminée par les axiomes suivants d (σ + τ ) = d σ + d τ (2.1.42)   d σ ∧ τ  = d σ ∧ τ + (−1) r σ ∧ d τ ( r) ( s) ( r) (s)  (r ) (s)  (2.1.43) d f = f ,i d x i (2.1.44) d (d f ) = 0 (2.1.45) On démontre la validité de l’axiome (2) pour les formes σ = f d x i1 ∧...∧d x ir et τ = g d x j1 ∧...∧ d x js (s) (r )   d σ ∧ τ  = d( fg )∧ d x i1 ∧...∧ d x ir ∧ d x j1 ∧ d x j s  (r ) ( s )  = (d f ∧ d x i1 ∧...∧ d x ir ) ∧ ( g d x j1 ∧...∧ d x js ) = ( −1) r ( f d x i1 ∧...∧ d x i r ) ∧ (d g ∧ d x j1 ∧...∧ d x j s ) = d σ ∧ τ + (−1) r σ ∧ d τ (r ) (s) ( r) ( s) (2.1.46) où on a utilisé l’Éq. (2.1.35). D’une forme d’ordre r générale, on obtient la forme d’ordre (r + 1) d σ = σ i1 ...ir , j d x j ∧ d xi1 ∧...∧ d xis (r ) (2.1.47) par dérivation externe. L’Éq. (2.1.47) implique d(dσ ) = 0 (2.1.48) pour toute forme d’ordre r, σ . Maintenant, on énonce quelques théorèmes importants de la géométrie différentielle Théorème 2.1.1 (Théorème de Poincaré) : Si σ est une forme d’ordre r (r ≥ 1) et dσ = 0, alors il existe une forme d’ordre (r − 1), τ, de telle sorte que σ = d τ. En composantes, on a σ [ i1...ir , j ] = 0 ⇔ σ i1...ir = τ [ i1...ir −1 ,ir ] (2.1.49) où les crochets représentent l’antisymétricité des composantes et la dérivée (représentée par la virgule.) Théorème 2.1.2 (Théorème de Frobenius) : Laissons σ 1, ..., σ r être des formes d’ordre un linéairement indépendantes à un point p ∈ Vn. Supposons qu’il y a des formes d’ordre un τ AB (A, B = 1, ..., r) satisfaisant dσ A = τ AB ∧ σ B. Alors, dans un voisinage de p il y a des fonctions f AB, et g A de telle sorte que σ A = f AB d g B. Théorème 2.1.3 (Théorème de Darboux) : Laissons σ être une forme d’ordre un et laissons la forme d’ordre deux dσ avoir un rang r. Alors, on peut trouver des coordonnées locales x1, ..., xr, ξ 1, ..., ξ n − r de telle sorte que
  • 46 = 0: σ = x1d ξ 1+...+ x r d ξ r  σ ∧ dσ ∧ ... ∧ dσ =  ≠ 0: σ = x1dξ 1+...+ x r dξ r + d ξ r +1  (2.1.50) 14243 r facteurs Théorème 2.1.4 : Pour toute forme d’ordre deux σ de rang r, il existe une base { ω µ } de telle sorte que σ = (ω 1 ∧ ω 2) + (ω 3 ∧ ω 4) + ... + (ω 2r − 1 ∧ ω 2r) Si dσ = 0, alors on peut introduire des coordonnées locales x , ..., x , ξ , ..., ξ 1 r 1 n −r (2.1.51) de telle sorte que 2 Concepts Mathématiques de Base σ = d x1 ∧ d ξ 1 + ... + d xr ∧ d ξ r (2.1.52) Dérivée de Lie Pour chaque point p ∈ Vn, champ vectoriel v sur Vn détermine une courbe unique Cp(t) de telle sorte que Cp(0) = p et v est le vecteur tangent à la courbe. Le long de la courbe Cp(t) les coordonnées locales y1,y 2 ,y 3 ,. .. ,yn sont des solutions du système d’équations différentielles ordinaires dyi = v i[ y1(t), ..., y n( t)] dt (2.1.53) avec les valeurs initiales y i(0) = x i( p). Pour introduire une nouvelle sorte de dérivation, on considère une carte Φ t traînant chaque point p, avec les coordonnées x i, le long d’une courbe Cp(t) au travers p dans le point image q = Φ t( p), avec les coordonnées y i(t). Pour des valeurs suffisamment petites du paramètre t, la carte Φ t est une carte injective (un-pour-un) qui induit une carte Φ t*T de n’importe lequel tenseur T . La dérivée de Lie du tenseur T par rapport au vecteur v est définit par Φ ∗T − T  £ vT ≡ lim  t  t →0  t    (2.1.54) où Φ t* est une carte des fonctions f , de valeurs réelles, définies sur Un à des fonctions sur Vn, Φ t* f ( p) = f [Φ t( p)]. Les tenseurs T et Φ t*T sont du même type (r, s) et sont tous les deux évalués au même point. Donc, la dérivée de Lie, donnée par l’Éq. (2.1.54), est aussi un tenseur de type (r,s) au point p. La dérivée de Lie disparaît si les tenseurs T et Φ t*T coïncident. En utilisant les bases de coordonnées {∂/∂x i} et {∂/∂y i}, on calcul les composantes de la dérivée de Lie. Les relations ∂y i ∂x ∂y i ∂t =δi j j t =0 = vi t =0 ∂x i ∂t = −v i (2.1.55) t =0 seront utilisées. On peut, pour illustrer, calculer les dérivées de Lie pour les fonctions, les formes d’ordre un, et les vecteurs 1. £v f = v if ,i Fonction f quelconque : Preuve : Φ t*f |p = f [ y(x,t)] , £ v f |p = 2. Forme d’ordre un σ : Preuve : Φ t*σ |p = σ j [y(x,t)] 3. Vecteur u : ∂f ∂y i ∂y i ∂t (2.1.56) p £v σ = (v jσ i,j + σ j v j,i) d x i (2.1.57)  ∂σ j ∂y k ∂y j ∂  ∂y j  i  dx i , £ v σ | p =  k +σ j i  i  ∂t  dx ∂t ∂x i ∂x ∂x   ∂y  t =o   ∂y j £v u = (v jui,j + u j v i,j) ∂ ∂ xi (2.1.58)
  • 47 Preuve : Φ t*u |p = u j [y(x,t)]  ∂u j ∂y k ∂x i ∂  ∂x i   ∂   , £v u | p =  k +uj j j  ∂t  i ∂t ∂y ∂y ∂x ∂y   ∂y   t = o ∂x   ∂x i ∂ j i La dérivée de Lie du vecteur u par rapport au vecteur v est égale au commutateur [v , u ] j ∂  i ∂  j ∂  i ∂  £v u = [v , u ] = v ∂x j  u ∂x i  − u ∂x j  v ∂x i      (2.1.59) La dérivée de Lie du vecteur u par rapport au vecteur v est égale au commutateur [v , u ] vj ∂  i ∂  ∂  i ∂  u −u j v  £v u Définitions= ∂x j  ∂x i Espaces x j  ∂x i  2.1 = [v , u ] Mathématiques et  ∂Topologiques (2.1.60) De la règle du produit de Leibniz et des Éqs. (2.1.58) et (2.1.59), on obtient les composantes de la dérivée de Lie pour un tenseur arbitraire (£v T )ij...kl... = v mT ij...kl...,m − T mj...kl...v i,m − T im...kl...v j,m − ... + T ij...ml...v m,k + T ij...km...v m,l + ... (2.1.61) La dérivée de Lie joue un rôle important dans la description des symétries des champs gravitationnels et d’autres champs physiques. Espace de Riemann Un espace de Riemann est une variété Vn douée d’un élément de longueur au carré homogène possédant les composantes gµν d’une métrique g satisfaisant la forme suivante g = ds2 = gµν d xµ ⊗ d xν (2.1.62) ds 2 = g µν dxµ dxν (2.1.63) ou bien la structure de la variété étant entièrement déterminée par la donnée des composantes gµν et de leurs dérivées des deux premiers ordres. Espace-temps La variété d’espace-temps, ou univers, est une variété V4 à quatre dimensions x 0, x 1, x 2, x 3, une dimension de temps, x 0 = ct, et trois d’espace. À chacun de ses points correspond un événement physique. Souvent, on définit c = 1 donc : x 0 = t. Dérivée Covariante et la Connexion Affine La dérivée covariante directionnelle, ∂ v , dans la direction d’un vecteur v au point p carte un tenseur arbitraire en un tenseur du même type. Si v n’est pas spécifié, la dérivée covariante, ∇ , génère un tenseur de type (r, s +1) d’un tenseur du type (r, s). En particulier, pour un vecteur u on a le développement ∂u = u i;j e i ⊗ ω j (2.1.64) avec les composantes u i;j pour l’instant non-spécifiées. La dérivée covariante directionnelle est donnée par le vecteur ∂ v u = (u i;j v j )e i . (2.1.65) Dans le cas d’un tenseur T d’ordre deux ∂v T = (T i j;k v k )e i ⊗ ω j (2.1.66) La dérivée covariante du vecteur de base e i dans la direction du vecteur de base e j peut être développée en fonction des vecteurs de base ∂ e j e i ≡ ∂ j e i = Γ kij e k où on a définit la connexion affine (2.1.67)
  • 48 Γ kij = 〈 ω k , ∂ j e i〉 (2.1.68) On suppose pour la dérivée covariante pour une base duale { ω } i ∂ j ω i = − Γ ikj ω k (2.1.69) ce qui est consistant avec les Éqs. (2.1.24), (2.1.67) et (2.1.68). Dans la théorie de la gravitation d’Einstein, la relativité générale, on se contente que la dérivée covariante obéit à la règle de commutation suivante ∂u v − ∂v u = [u ,v ] (2.1.70) pour deux vecteurs arbitraires u et v . Cette relation est équivalente à l’équation 2 Concepts Mathématiques de Base T λµν = −2 Γ λ[µν ] (2.1.71) où T λµν est la torsion et où les crochets signifient l’antisymétricité [à ne pas confondre avec le commutateur donné par l’Éq. (2.1.70)] : A[µν ] = 1 (Aµν − Aνµ), et les indices grecs nous identifie, par convention, à un espace à n = 4 dimensions. Les 2 composantes de commutation sont définis par la relation [e µ,e ν] = T λ Γ λµν = − Γ λνµ µν e λ (2.1.72) =0 (2.1.73) et T ρσ [λT σ µν ] λ Dans une base de coordonnées, les composantes de la connexion affine, Γ µν, possèdent une paire d’indices symétriques (µν ). Alors, la dérivée covariante satisfaisant l’Éq. (2.1.70) est dite symétrique (ou sans torsion.) Une fois qu’on prescrit les composantes de la connexion affine, les composantes u λ;ν de la dérivée covariante du vecteur u dans la direction du vecteur de base eν sont complètement déterminées par l’équation suivante ∇ eν u = ∇ν (u λe λ) = (u λ|ν + Γ λµν u µ )e λ = u λ;ν e λ (2.1.74) et les composantes de la dérivée covariante ∇T d’un tenseur, donné par l’Éq. (2.1.38), sont donc T α1...α r β1...β s ;γ = (T α1...α r β1...β s ) ,γ + Γα1 δγ T δ ...α r β1...β s +...+ Γα r δγ T α1...δ β1...β s − − Γ δ β1γ T α1...α r δ ... β s −...− Γδ β sγ T α1...α r β1...δ (2.1.75) où la notation f |µ ≡ e µ ( f ) = f ,ν e µν a été utilisée. En utilisant les axiomes de symétrie, l’Éq. (2.1.71), on peut remplacer les dérivées partielles dans les Éqs. (2.1.47) et (2.1.61) pour les composantes de la dérivée externe et la dérivée de Lie, respectivement, par des dérivées covariantes, de sorte que les virgules peuvent être remplacées par des points virgule (“comma goes semi-colon”.) Les bases {e µ } et {ω µ } sont des combinaisons linéaires des bases de coordonnées e µ = eµ ν ∂ ∂ xν ω µ = ω µν d xν (2.1.76) Les composantes de la connexion affine, l’Éq. (2.1.68), peuvent être écrits comme Γ λµν = ω λρ eνσ eµρ ;σ = − ω λρ ;σ eν σ eµρ (2.1.77) Pour la dérivée externe d’une forme d’ordre un de base, on obtient d ω µ = ω µρ ;σ d xρ ∧ d x σ = ω µρ ;σ d x σ ∧ d xρ = Γ µρσ ω ρ ∧ ω σ (2.1.78) λ Les composantes de la connexion affine, linéaire, Γ µν , permettent le raccord de deux repères naturels infiniment voisins. Si en M , le repère naturel comporte n vecteurs e µ en M + dM ce repère est devenu e′µ = e µ + d e µ avec de µ = Γ λµν e λ dxν (2.1.79) Lorsque le déplacement dM est intégrable, les composantes de la connexion sont symétriques (la variété est dépourvue de torsion.)
  • 49 Si en outre, la relation gµν = eµ • eν (2.1.80) est différentiable, il existe une invariance de jauge : l’élément de longueur au carré n’est pas modifié par le transport parallèle le long d’un contour fermé. Alors, les composantes de la connexion linéaire se réduisent au symbole de Christoffel λ Γ λµν =  µν  = 1 g λσ(gνσ,µ + g µσ,ν − g µν,σ )   2   (2.1.81) Pour les composantes du tenseur métrique d’une variété euclidienne ou riemannienne 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques gµν;ρ ≡ ∇ρ g = 0 (2.1.82) Géodésique Le vecteur tangent v d’une courbe géodésique satisfait la relation ∇v v = f v (2.1.83) v ν v µ ;ν = f v µ (2.1.84) ou, si on exprime l’Éq. (2.1.83) en composantes En posant une échelle appropriée pour le paramètre de la courbe géodésique, on peut faire disparaître la fonction f de l’Éq. (2.1.83) . Un tel paramètre est appelé paramètre affin λ et l’équation de la géodésique se lit Dv µ ≡ v ν v µ ;ν = 0 dλ (2.1.85) où D est une autre façon de représenter la dérivée covariante par rapport à un paramètre arbitraire λ . On exprime aussi les géodésiques comme étant les lignes les plus courtes joignant deux points, A et B, donnés que l’on peut définir par un principe de stationnarité δ ∫ B A g µν dx µ dxν dλ = 0 dλ dλ (2.1.86) où λ est le paramètre arbitraire le long des lignes AB. Les équations d’Euler correspondantes sont les équations géodésiques d 2 xγ dλ2 + Γ γ µν dx µ dxν =0 dλ dλ (2.1.87) Sauf dans le cas des géodésiques nulles (pour ds = 0), on peut prendre l’intervalle s sur la géodésique comme paramètre. Dans ce cas, les équations des géodésiques s’écrivent d 2 xγ ds 2 + Γ γ µν dx µ dxν =0 ds ds (2.1.88) Tenseur de Courbure Le tenseur de courbure, est définit par B = B λµνρ e λ ⊗ ω µ ⊗ ω ν ⊗ ω ρ (2.1.89) et est un tenseur de type (1,3) qui carte un ensemble ordonné (σ , w , u , v ) d’une forme d’ordre un, σ , et de trois vecteurs, w, u et v , en un nombre réel σ λ w µ u ν v ρ = 〈 σ ,(∇u ∇v − ∇v ∇u − ∇[u,v ])w 〉 ∇ = σ λ [(ω λ;τ vτ) ;σ uσ − (ω σ;τ u τ);σ vσ − ω λ;τ (uσ vτ;σ − vσuτ;σ )] (2.1.90) = σ λ (ω λ;στ − ω λ;τσ) vσ uτ (2.1.91)
  • 50 Comme les composantes σ λ, v σ et uτ peuvent être choisies arbitrairement, on arrive à l’identité de Ricci ω λ;ρν − ω λ;νρ = ω µ B λµνρ (2.1.92) La règle générale donnée par l’Éq. (2.1.75) pour les composantes de la dérivée covariante d’un tenseur implique la relation B λµνρ = Γ λµν, ρ − Γ λµρ, ν + Γ σµν Γ λσρ − Γ σµρ Γ λσν − T σ νρ T λ µσ (2.1.93) Dans une base de coordonnées, le dernier terme (avec torsion) disparaît et on obtient B λµνρ = Γ λµν, ρ − Γ λµρ, ν + Γ σµν Γ λσρ − Γ σµρ Γ λσν (2.1.94) Les composantes de l’Éq. (2.1.94) du tenseur de courbure satisfont les relations de symétries suivantes 2 Concepts Mathématiques de Base B λµνρ = − B λµρν B λ[µνρ ] = 0 (2.1.95) Nous pouvons voir ceci d’une autre façon. Une variété de Riemann diffère d’une variété euclidienne par la seule présence d’une courbure de rotation Ω λµ . Celle-ci est liée à la non-intégrabilité de l’accroissement d e µ . Par transport parallèle le long d’un contour fermé (constitué par un petit parallélogramme curviligne de côtés dx et δ x), le vecteur e µ varie selon ∫e µ = ∫∫ Ω λµ e λ = ∫∫[− 1 Bλµρσ (dxρδ xσ − δ xρ dxσ)] 2 (2.1.96) B λµνρ = Γ λµν, ρ − Γ λµρ, ν + Γ σµν Γ λσρ − Γ σµρ Γ λσν (2.1.97) où les composantes du tenseur de courbure de la variété. Toutes ses composantes sont nulles dans le cas d’une variété euclidienne. Tenseur de Riemann-Christoffel En remplaçant dans l’Éq. (2.1.94) les composantes de connexion par les symboles de Christoffel, on obtient le tenseur de Riemann-Christoffel, R λµνρ . Mais, il est de coutume maintenant, de garder la connexion comme symbole, car, après tout, Γ λµν = { } et ce, dans n’importe lequel repère car c’est un tenseur. Donc, on adopte la convention suivante pour les λ µν composantes du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel R λµνρ = Γ λµν, ρ − Γ λµρ, ν + Γ σµν Γ λσρ − Γ σµρ Γ λσν (2.1.98) Ce tenseur comporte quelques symétries apparentes en effectuant certaines rotations ou remplacement d’indices dans l’Éq. (2.1.98). Tenseur de Ricci À partir de l’Éq. (2.1.98), ne peut former, par contraction, qu’un seul tenseur du second rang, les composantes du tenseur de Ricci Rµν = R λµνλ = Γ λµν, λ − Γ λµλ, ν + Γ ρµν Γ λρλ − Γ ρµλ Γ λρν (2.1.99) R λλνρ = Γ λλν, ρ − Γ λλρ, ν + Γ σλν Γ λσρ − Γ σλρ Γ λσν = 0 (2.1.100) En effet, les composantes suivantes sont identiquement nulles selon les propriétés de symétrie de R dans une variété de Riemann. λ µνρ : il se rattache à la courbure d’homothétie qui est nulle Courbure Riemannienne Scalaire Par double contraction du tenseur de Riemann-Chistoffel, on obtient la courbure riemannienne scalaire R = g µνRµν = R ρννρ (2.1.101) µν Les composantes contravariantes de la métrique, g , sont définies par la relation suivante g g µν = cofacteur(g µν) = (−1)µ +ν mineur(gµν) (2.1.102)
  • 51 avec g = det| g µν | (2.1.103) gµρ g νρ = δ νµ (2.1.104) de sorte que Identités de Bianchi La dérivée covariante du tenseur de courbure satisfait l’identité de Bianchi λ R µ [νρ ;σ = 0 2.1 Définitions Mathématiques] et Espaces Topologiques (2.1.105) R λµνρ ;σ + 2Rµ [ν ;σ ] = 0 (2.1.106) En contractant, on obtient les identités où les composantes du tenseur de Ricci sont données par Rµν ≡ R λµλν (2.1.107) En développant un peu, on obtient R λµνρ ;σ + R λµρσ ;ν + R λµσν ;ρ = 0 λ R µνρ +R λ ρµν +R λ νρµ =0 (2.1.108) (2.1.109) Ce sont encore les identités de Bianchi. Tenseur d’Einstein Le tenseur d’Einstein est un tenseur tellement important que l’on indique sa dérivation. En contractant les indices λρ de l’Éq. (2.1.108) et en utilisant l’Éq. (2.1.99), on obtient Rµν ;σ − Rµσ ;ν + R λµσν ;λ = 0 En multipliant l’Éq. (2.1.110) par g µν et en contractant les indices µ et ν du résultant, on obtient R ;σ − R µσ ;µ − R λσ ;λ = 0 Maintenant, puisque R ;σ = gµσ R ;µ (2.1.110) (2.1.111) et avec λ → µ, on obtient ( g µσ R − 2R µσ );µ = 0 (2.1.112) 1   G µν ;µ =  R µ − g µν R  ≡ 0 ν 2   ;µ (2.1.113) On peut réécrire l’Éq. (2.1.111) de la façon suivante L’Éq. (2.1.113) signifie que la divergence du tenseur G µν = R µν − 1 µ g νR 2 (2.1.114) est nulle. Ce tenseur, G µν, sont les composantes du tenseur d’Einstein. Les identités (quatre en tout) G µν ;µ = ∇ µ G ≡ 0 (2.1.115) sont fondamentales dans la théorie de la gravitation d’Einstein. Calcul du Tenseur de Riemann Introduisons la forme d’ordre un pour la connexion Γ λµν Γ On peut donc écrire l’Éq. (2.1.78) dans la forme λ µ≡ Γ λµν ω ν (2.1.116)
  • 52 d ω λ = −Γ λ µ∧ ωµ (2.1.117) forme due à Cartan (la première équation de Cartan.) Pour une base donnée, la partie antisymétrique des composantes de la connexion affine, Γ λ[µν ], peut être calculée de l’Éq. (2.1.117). Une méthode compacte et efficiente pour calculer les composantes données par l’Éq. (2.1.93) par rapport à une base générale est donnée par la procédure de Cartan. Définissons la forme de courbure d’ordre deux, Θ λµ, par Θ λµ ≡ 1 R λµνρ ω ν ∧ ω ρ 2 (2.1.118) L’Éq. (2.1.93) est complètement équivalente à la deuxième équation de Cartan 2 Concepts Mathématiques de Base dΓ λ µ +Γ λ ν ∧Γ ν µ = Θ λµ (2.1.119) qui donne un algorithme pour le calcul de la courbure à partir des composantes de la connexion affine. On réunit les relations entre les diverses quantités dans la Figure 2.1.1. Γ λµν  Éq. (2.1.93) → R λµνρ ↑ ↑ Éq. (2.1.116) Éq. (2.1.118) ↓ Γ λ ↓ µ  Éq. (2.1.119) → Θ λµ Figure 2.1.1: Comment obtenir la courbure Θ λµ à partir de la connexion Γ λµν . 2.2 Dérivation Covariante et Transport Parallèle Les idées fondamentales associées avec la TNG sont les mêmes que les théories symétriques basées sur la géométrie de Riemann : on suppose que les quantités vectorielles et tensorielles sont des fonctions continues S(V4) sur la variété V4 à quatre dimensions. Un champ vectoriel continu x quelconque est une carte S(V4) → S(V4) qui est réelle, linéaire et obéit à ( f, g ∈ S(V4)) x ( f o g) = x ( f ) o g + f o x (g) (2.2.1) Une variété est courbe si le transport parallèle d’un vecteur autour d’un parcours fermé dans V4 ne reproduit pas le même vecteur. La variation d’un vecteur quelconque u , comme il se déplace d’une distance infinitésimale le long d’une courbe avec un vecteur tangent v , est donnée par la dérivée covariante1,2,3 ∇v u = v µ (∂µ uν + W νρµ u ρ )eν λ (2.2.2) µ µ Ici, W µν sont des composantes du champ de la connexion affine non symétrique et v et u sont les composantes des vecteurs v et u par rapport à l’ensemble de bases { eµ }. Il n’y a pas de restriction sur les composantes W λµν et la connexion peut avoir une partie antisymétrique W λ [µν ] avec les composantes non nulle de la torsion Wµ ≡ W λ[µλ ] ≠ 0. La dérivée covariante peut agir sur des tenseurs, des covecteurs, des cotenseurs ainsi que sur des scalaires, et la règle du produit et la dérivation en chaîne reste valable. Définissons la dérivée covariante pour une fonction arbitraire f (x) ∇v f (x) = ∂v f (x) = v µ ∂µ f (x) ( f ∈ S(V4)) (2.2.3) et alors, la dérivée covariante d’un vecteur ∇v [u (x )] = ∇v u (x ) + u [∇v (x )] ∇ (2.2.4) ce faisant n fois si u est un n-cotenseur. La dérivée covariante d’un m-tenseur s’obtient en utilisant la règle du produit ∇ v (a ⊗b ⊗...⊗x ) = (∇v a )⊗b ⊗...⊗x + a ⊗(∇v b )⊗...⊗x + ... + a ⊗b ⊗...⊗(∇v x ) ∇ ∇ ∇ où a ⊗b définit le produit tensoriel de deux vecteurs a et b . (2.2.5)
  • 53 2.3 Courbure Non Riemannienne de l’Espace-Temps Le transport parallèle le long d’un parallélogramme infinitésimal produit le tenseur de Riemann. En utilisant la dérivée covariante, on a pour deux champs vectoriels v et u 1,2,3 R (v , u ) w = Métrique − ∇uSymétrique[v ,u ] w 2.4 ∇ v ∇u w Non ∇ v w − ∇ (2.3.1) [v , u ] ≡ £v u = u (v ) − v (u ) = (v µ ∂µ u ν − u µ ∂µ v ν )eν (2.3.2) où [v , u ] ≡ £v u est la dérivée de Lie En notation tensorielle standard, on a R (v , u ) w = R λµνρ v µ u ν w ρ eλ = r λeλ (2.3.3) R λµνρ = W λµν,ρ − W λµρ,ν − W σµρ W λσν + W σµν W λσρ (2.3.4) où On dénote par “cyc” une somme cyclique sur v , u et w . Alors, les identités de Bianchi sont données par cyc{R (u , v )w + T ( u , T (v , w )) − (∇w T )(u , v )} = 0 ∇ (2.3.5) cyc{(∇u R )(v , w ) − R (T (u , v ), w )} = 0 ∇ (2.3.6) T (v , u ) = ∇v u − ∇u v − [v , u ] = T λµν v µ u νe λ (2.3.7) T λµν = − 2 W λ[µν ] (2.3.8) et et où la torsion est définie par 2,3 Alors, en composantes La torsion décrit le manque de fermeture des parallélogrammes infinitésimaux, et elle a la contraction K (v ) = Tr{u → T (v , u )} = − 2W λ[µλ ] v µ = − 2Wµ v µ (2.3.9) où Tr{ u → } dénote la trace de la carte qui prend u dans …. Le tenseur de courbure possède deux contractions2,3 : 1. la contraction de base de la courbure R (v , w ) = Tr{u → R (u , w ) v } = Rµν v µ w ν (2.3.10) qui, en langage des composantes est Rµν = R λµνλ = W λ µν, λ − W λµλ,ν − W σµρ W ρσν + W σµν W ρσρ (2.3.11) sont les composantes du tenseur de Ricci, et 2. une seconde contraction R (v , w ) = Tr{u → R (v , w ) u } = Pµν v µ w ν (2.3.12) Pµν = R λλµν = W λλµ,ν − W λλν, µ (2.3.13) où On note aussi que R (v , u ) = − R (u , v ). On utilisera aussi la définition + et − d’Einstein pour la différentiation covariante2,4 ν ∇v u (+) = vµ (∂µ uν + W νρµ u ρ )eν = vµ u + ;µ eν µ ν ∇v u (−) = v (∂µ u + W ν ρ µρ u )eν µ ν = v u − ;µ eν (2.3.14) (2.3.15) Alors ∇v u (−) = ∇v u (+) + T (u , v ) (2.3.16)
  • 54 2.4 Métrique Non Symétrique 2 Concepts d’un objet, ou d’une Dans la TNG comme dans la TGE, nous avons besoin Mathématiques de Base machine, définie sur notre variété d’espacetemps qui nous permet de décrire la structure de la variété d’espace-temps. Un tel objet a la propriété d’être invariant d’un système de coordonnées à l’autre ; c’est donc un tenseur. C’est un objet qui représente comment les échelles varient d’un point à l’autre dans l’espace-temps et qui nous permet de définir les distances. On laisse donc g être la métrique de l’espace-temps, une machine qui prend deux arguments, disons deux vecteurs u et v , et les transforment en un nombre réel1,* g (u ,v ) = u • v (2.4.1) leur produit scalaire, et elle est pour l’instant symétrique g (u ,v ) = g (v ,u ) (2.4.2) La métrique est aussi linéaire g (au + bv , w ) = a g (u ,w ) + b g (v ,w ) (a , b = ctes) () (2.4.3) 0 Les composantes d’un tenseur sont définies comme suit : les composantes d’un tenseur du type N , dans un repère R, sont les valeurs des fonctions lorsque ses arguments sont les vecteurs de base {eµ , µ = 0,...,3} du repère R. Pour le tenseur métrique, ceci donne les composantes de la métrique de l’espace-temps de Minkowski g (eµ ,eν ) = eµ • eν = ηµν (2.4.4) Associé aux vecteurs de base {eµ }, on définit un ensemble de formes de Pfaff {ω µ, µ = 0,...,3}, qu’on appellera la base duale à { eµ }. On veut donc un ensemble de bases duales qui fait l’opération σ = σµ ω µ (2.4.5) Donc, l’ensemble {ω µ } représente quatre formes distinctes, comme {eµ } représente quatre vecteurs distincts. L’Éq. (2.4.5) implique que pour tout vecteur v et toute forme σ σ (v ) = σµ v µ (2.4.6) Mais, de l’Éq. (2.4.5), on obtient σ (v ) = σµ ω µ (v ) = σ µ ω µ (vνeν) = σµ vν ω µ (eν) µ (2.4.7) ν Maintenant, le dernier terme de l’Éq. (2.4.7) peut seulement égaler σµ v pour tout v et σµ si ω µ (eν) = δ µν . (2.4.8) Dans son rôle fondamental en géométrie différentielle, la métrique est aussi une machine qui transforme les vecteurs en formes1 g (v , ) = σ ( ) (2.4.9) où les blancs entre parenthèses signifient qu’un argument vectoriel reste à être inséré. g (v , ) est donc considérée comme une fonction de vecteurs (à être inclus dans la case vide) et est une fonction linéaire de vecteurs produisant un nombre. Alors σ est une forme dont la valeur sur un vecteur v est σ • v σ (v ) = g (σ ,v ) = σ • v (2.4.10) Si on exprime v en fonction de ses composantes, on a vµ = v (eµ) = v •eµ = (vνeν) •eµ = eµ •(vνeν) = ( eµ •eν )vν = η µν vν (2.4.11) Il est important de remarquer la position des indices, soit contravariant (en haut) ou soit covariant (en bas), décrivant soit des vecteurs, v µ de v , ou des formes de Pfaff, σµ de σ . Maintenant, si on généralise l’Éq. (2.4.4) à un tenseur covariant d’ordre deux, comme la métrique, on obtient * On note encore que la définition de la métrique ne nécessite aucune spécification sur les coordonnées des vecteurs (tenseurs d’ordre un) : un tenseur doit être une règle qui donne le même nombre, peu importe le système de coordonnées choisi dans lequel les composantes du vecteur sont calculées. Ceci nous permet de regarder un tenseur comme une fonction des vecteurs eux mêmes plutôt que de leurs coordonnées.
  • 55 g (u ,v ) = g (u µ eµ ,v νeν) = u µ v νg (eµ ,eν) = u µ v ν g µν µν (2.4.12) µν On peut définir un ensemble de seize tenseur d’ordre deux contravariant, ω , de sorte que g = gµν ω , et pour que ceci puisse être vrai il faut que g µν = g (Métrique Nonω ρσ (eµ ,eν) 2.4 e µ ,eν) = g ρσ Symétrique (2.4.13) ω ρσ(eµ ,eν) = δ ρµ δ σν (2.4.14) et ceci implique que Mais δ σν , donnée par l’Éq. (2.4.8) est la valeur de ω µ sur eµ , et de façon analogue pour δ σν. Alors, ω ρσ est un tenseur dont la valeur est simplement le produit des valeurs des deux formes de base, et on conclut donc que ω µν = ω µ ⊗ ω ν (2.4.15) Donc le produit tensoriel ω µ ⊗ ω ν (un tenseur) est une base pour tous les tenseurs d’ordre deux. On définit maintenant le gradient, un 1-forme d’une fonction, d f, comme décrivant les variations au premier ordre de la fonction f dans le voisinage de Po f ( P) = f ( Po) + 〈d f , v 〉 + (termes non linéaires) (2.4.16) où v = P − Po et 〈 d f , v 〉 représentent le nombre de surfaces percées du 1-forme de base, d f , par le vecteur v (nombre de coups de cloches.) Exprimé autrement, on a6 〈1-forme percé , vecteur qui perce〉 (2.4.17) Si on considère un vecteur v et qu’on construit une courbe paramétrisée C(λ) définie par C(λ) − Co = λv et que l’on différencie la fonction f le long de cette courbe, on obtient ∂v f = (d/d λ)λ=0 f [C(λ)] = (df / d λ)Co (2.4.18) L’opérateur différentiel ∂v = (d/d λ)à λ=0, le long de la courbe C(λ) − Co = λ v, qui fait la différentiation, est appelé l’opérateur dérivée directionnelle le long du vecteur v . La dérivée directionnelle ∂v f et le gradient d f sont intimement liés, comme on le voit en appliquant ∂v à l’Éq. (2.4.16) et en évaluant le résultat au point Po ∂v f = 〈d f, d P/dλ〉 = 〈 d f , v 〉 (2.4.19) Traduit en mots, ce résultat est le suivant : d f est une machine pour calculer le taux de variation de la fonction f le long de n’importe lequel vecteur désiré v . Insérez v dans d f et ce qui sort de la machine (nombre de surfaces percées ; de coups de cloche) est ∂v f qui, pour v suffisamment petit, est simplement la différence dans f entre la tête et la queue de v . Maintenant, on peut considérer notre base ω µ comme étant l’équivalent de d xµ et ainsi faire le parallèle avec l’Éq. (2.4.5) d f = f ,µ ω µ (2.4.20) qui sont calculables avec f ,µ = 〈 d f , eµ 〉 = ∂µ f = ∂f ∂ xµ (2.4.21) Les composantes de d f sont simplement les dérivées partielles le long des axes de coordonnées f ,µ = ∂f ∂x µ ⇔ df = ∂f ∂xµ dx Donc, d f est une version rigoureuse de la “differentielle” du calcul différentiel. La métrique symétrique de l’espace-temps peut donc s’écrire avec l’Éq. (2.4.13) et le fait que ω µ = d xµ g = gµν ω µ ⊗ ω ν = g(µν )d xµ ⊗ d xν (2.4.22) 1,5,6 (2.4.23) puisque les composantes g µν sont symétriques. Si on développe l’Éq. (2.4.23), on obtient (µ, ν = 0, 1, 2, 3) g = g(00)d x0 ⊗ d x0 + g(11)d x1 ⊗ d x1 + g (22)d x2 ⊗ d x2 + g(33)d x3 ⊗ d x3 (2.4.24)
  • 56 Il y a une correspondance entre la métrique, écrite comme g µν d xµ ⊗ d xν, et le concept élémentaire d’élément de longueur, écrit comme ds2 = gµν dxµ dxν. L’élément de longueur représente la distance au carré du déplacement dxµ dans une direction non spécifiée. La métrique gµν d xµ ⊗d xν fait de même. Donc, on prendra l’habitude de représenter l’élément de longueur par2,7 µ 2 ν (2.4.25) ds Mathématiques 2 Concepts = g (µν ) dx dx de Base et la métrique par les composantes de l’Éq. (2.4.24), soit g (µν) . Et maintenant, pour la partie antisymétrique de la métrique, un tenseur antisymétrique d’ordre deux (c’est-à-dire, un 2forme), on peut la développer en fonction des produits tensoriels de base 1-forme comme ~ (2.4.26) g =g [eµ ,eν ] = g[µν ]d xµ ⊗ d xν On suggère l’alternative suivante qui consiste à utiliser le calcul extérieur de Cartan qui prescrit de développer la métrique antisymétrique en fonction des produits tensoriels antisymétriques (produits extérieurs)5,6 ~ (2.4.27) g = gµν d xµ ∧ d xν où d xµ ∧ d xν = 1 2 (d xµ ⊗ d xν − d xν ⊗ d xµ ) (2.4.28) µ ν Le symbole “∧ ” s’appelle un “wedge” ou chapeau ou signe de produit extérieur, et d x ∧ d x sont les bases 2-forme. Donc, la métrique antisymétrique est un 2-forme. Tel que mentionné auparavant, un 1-forme est une machine qui produit un nombre à partir d’un vecteur (coups de cloche comme le vecteur perce les surfaces successives.) Un 2-forme est une machine qui produit un nombre à partir d’une surface orientée.1 Si on développe l’Éq. (2.4.27), on obtient ~ g = g [01]d x0 ∧ d x1 + g[02]d x0 ∧ d x2 + g [03]d x0 ∧ d x3 + (2.4.29) + g [12]d x1 ∧ d x2 + g[13]d x1 ∧ d x3 + + g [23]d x2 ∧ d x3 ~ puisque les composantes g[00], g [11], etc. sont nulles. Donc, g possède six composantes et six bases de 2-forme. En incorporant l’Éq. (2.4.28) dans l’Éq. (2.4.29), on obtient ~ g = g [01](d x0 ⊗ d x1− d x1 ⊗ d x0) + g[02](d x0 ⊗ d x2−d x2 ⊗ d x0) + g[03](d x0 ⊗ d x3− d x3 ⊗ d x0) + + g[12](d x1 ⊗ d x2 − d x2 ⊗ d x1) + g[13](d x1 ⊗ d x3 − d x3 ⊗ d x1) + + g[23](d x2 ⊗ d x3 − d x3 ⊗ d x2) ~ g = g [01]d x0 ⊗ d x1 + g[10]d x1 ⊗ d x0 + g [02]d x0 ⊗ d x2 + g[20]d x2 ⊗ d x0 + g[03]d x0 ⊗ d x3 + + g[30]d x3 ⊗ d x0 + g [12]d x1 ⊗ d x2 + g[21]d x2 ⊗ d x1 + g [13]d x1 ⊗ d x3 + g[31]d x3 ⊗ d x2 + + g[23]d x2 ⊗ d x3 + g [32]d x3 ⊗ d x2 (2.4.30) puisque la métrique est antisymétrique, g[10] = − g [01], etc. Maintenant, si on exprime la métrique non symétrique de la façon suivant ~ g =g + g ou bien en fonction de ses composantes, on obtient (2.4.31) (2.4.32) gµν = g (µν ) + g [µν ] où g(µν) = 1 (g µν + gνµ ) 2 g [µν ] = 1 2 (gµν − g νµ ) (2.4.33) Les composantes de la métrique sont, dans un espace-temps à quatre dimensions, représentées par une matrice 4×4 qui possède la structure suivante, suivant les Éqs. (2.4.23) et (2.4.29)
  • 57 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation  g ( 00 ) g [10 ] gµν =   g [20 ]   g [30 ]  g [01] g [02 ] g (11) g [12 ] g [ 21] g ( 22 ) g [31] g [32 ] g [03 ]  g [13]   g [23]   g (33 )   (2.4.34) On voit que la métrique non symétrique est un objet géométrique qui pondère les différentes différences de coordonnées avec elles-mêmes et entre elles, tout en faisant la différence entre les différentielles qu’elle pondère, qu’elles soient symétriques (par exemple, dx0dx0) ou antisymétriques (par exemple, dx0dx1).8 Cependant, comme avant, en vertu du fait que les composantes sur la diagonale sont symétriques, g µν = gνµ , et que celles qui sont de part et d’autre de la diagonale sont antisymétriques, g µν = −gνµ , on obtient  g ( 00 ) − g [01] g µν =   − g [02 ]   − g [03 ]  g [01] g [02 ] g (11) g [12 ] − g [12 ] g (22 ) − g [13] − g [23 ] g [03]  g [13]   g [23]   g ( 33)   (2.4.35) On a donc dix composantes indépendantes pour la métrique. De plus, comme dans la TGE, les composantes de la métrique agissent comme des potentiels en tout point de l’espace-temps : dix potentiels pour pondérer l’échelle des mesures des intervalles de temps propre et les mètres (la règle pour mesurer les longueurs propres.) Alors, pour résumer, nous avons défini sur la variété d’espace-temps E, une métrique symétrique g = g (µν )d xµ ⊗ d xν (2.4.36) qui joue le rôle de potentiel gravitationnel comme dans la TGE et en complément à cette métrique, nous avons défini sur la même variété une métrique antisymétrique ~ (2.4.37) g = g [µν ]d xµ ∧ d xν Dans la TNG, tout comme dans la TGE, la métrique possède toute sa force dans son utilisation avec l’élément de longueur infinitésimale entre deux points xµ et xµ + dxµ de l’espace-temps qui est défini par2,9 ds2 = g (µν) dxµ dxν (2.4.38) qui représente la distance au carré entre les différents points de l’espace-temps ; notre étalon de mesure de l’espace-temps et de ses propriétés. Le choix de g(µν) et non de g(µν) (ou tout autre choix possible) comme métrique est choisi ou fixé de façon unique par les équations du déplacement des particules d’essai obtenues des lois de conservation de la TNG (voir Section 5.1). On doit poser quelques remarques au sujet de la nature fondamentale de la métrique. En effet, une conséquence formelle immédiate de l’introduction d’une torsion [voir l’Éq. (2.3.8)] dans la TNG est que la métrique perd son caractère de tenseur fondamental. Par le qualificatif de fondamental, on entend que c’est le seul responsable de la structure géométrique de l’espace-temps. Alors, notre métrique non symétrique est une structure complètement indépendante de celle de la TGE, d’où le fait que la métrique antisymétrique est ajoutée à la variété en complément de la métrique symétrique de la TGE.9 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation À chaque point de l’espace-temps, on peut définir un ensemble de vecteur unitaires n direction d’un des axes de coordonnée (Figure 2.5.1).10 µ , chacun d’eux est dans la
  • 58 n 0 n x1 = 2 1 x1 = 1 x0 = 2 x0 = 1 Figure 2.5.1: Un ensemble de coordonnées généralisées sur un plan (deux dimensions). Seulement les lignes x0 = 1, x0 = 2, x1 = 1, x1 = 2 sont dessinées. Aussi montrés sont les vecteurs unitaires de la coordonnée au pointBase 2 Concepts Mathématiques de (1,1). Les n µ sont des vecteurs unitaires en ce sens que leurs longueurs correspondent à des incréments unitaires des coordonnées. Alors, l’intervalle du quatre-vecteur du point xµ au point adjacent xµ + dxµ est donné par u = dxµ n µ (2.5.1) On définit maintenant le tenseur métrique g µν associé avec ces coordonnées en introduisant le produit scalaire gµν ≡ n µ • n ν µ µ (2.5.2) µ Alors, l’élément de longueur, entre les points x et x + dx , est donné par le produit scalaire ds2 = ds 2 = u • v = (dx µ n µ ) • (dx ν n ν ) = (n µ • n ν ) dx µ dx ν ds2 = g µν dx µ dx ν µ (2.5.3) * À chaque point de l’espace-temps, x , on introduit aussi un système de coordonnées localement inertiel. On peut définir ce système par un ensemble de vecteurs e n (avec n = 0, 1, 2, 3) qui satisfont e a • e b = ηab (2.5.4) où η ab est la métrique habituelle de l’espace-temps plat de Minkowski : η ab = (+1, −1, −1, −1). On appel l’ensemble des vecteurs e a, une tétrade. On peut exprimer tout membre d’une tétrade en fonction de vecteurs unitaires du système de cordonnées généralisées en posant† e a = (ea) µ n µ (2.5.5) (voir Figure 2.5.2), introduisant ainsi le vierbein (ea)µ. En combinant les Éqs. (2.5.2), (2.5.4) et (2.5.5), on trouve g µν (ea)µ (eb)ν = η ab (2.5.6) g µν = (eµ )a (eν ) b ηab (2.5.7) ou C’est une forme réelle et bilinéaire. * C’est le système “d’apesanteur en chute libre”, c’est-à-dire le système dans lequel il n’y a aucune force gravitationnelle. † Tétrade = (vierbein)×(vecteur unitaire).
  • 59 n e 0 0 n (e 0)0 1 (e 0)1 e 1 Figure 2.5.2: On montre le choix de e 1, e 2 au point (1,1) de la Figure 2.5.1. Les composantes (e0)0, (e0)1 sont aussi indiquées. Maintenant, si on considère que gµν est non symétrique, on posera plutôt la forme suivante2,11,12 gµν = (h µ)a( fν)bη ab (2.5.8) 2.6 Tétrade Hyperbolique Complexe et la la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski. où (hµ ) et ( fν ) sont deux vierbeins réels et η ab, comme auparavant, estSymétrie Locale GL(4) Les (h µ )a sont définit à chaque point de la variété V4 par2 a b  ∂X a ( x)   (hµ )a =   ∂ xµ    x = x′ (2.5.9) où X a correspond à un ensemble de coordonnées anholonomorphes qui sont inertiels à x = x ′ . Les (hµ )a et ( fµ ) a satisfont (hµ )c (h µ )b = δ b c (hσ )a (h ρ )a = δ ρ σ µ ( f )c ( fµ) = δ b ( fσ )a ( f ρ )a = δ (2.5.10) b c ρ σ Ils obéissent aussi aux équations (hµ, σ )a + (Οσ)ac(h µ )c − W ρσµ (h ρ )a = 0 ( fµ, σ) + (Ω a a c σ) c( fµ) −V ρ a σµ ( fρ) (2.5.11) =0 (2.5.12) Wσµλ = gρλW ρσµ = ηab[Dσ (h µ )a]( fλ )b (2.5.13) On peut aussi résoudre pour W et V en fonction de h, Ο et f , Ω V σµλ = gρλV ρ σµ = ηab[Kσ ( fµ ) ](hλ ) a b (2.5.14) où Dσ (h µ )a = (hµ, σ )a + (Οσ )ac(hµ )c (2.5.15) Kσ ( fµ )a = ( fµ, σ )a + (Ωσ )ac( fµ )c (2.5.16) Ici, Dσ et Kσ sont des dérivées covariantes, définies en fonction des connexions de spin Ο et Ω. En différentiant l’Éq. (2.5.8) et en utilisant les Éqs. (2.5.11)-(2.5.12), on obtient une équation de compatibilité généralisée pour les composantes de la connexion non symétrique2 gµν,σ − gρν W ρµσ − gµρ W ρσν = 0 (2.5.17) (Ω σ )ac = −(Οσ )ac (2.5.18) où on a utilisé les conditions suivantes
  • 60 V ρµσ = W ρσµ (2.5.19) Un groupe d’isoméries est définit par ( h′ µ )a = (hµ )bU ab (2.5.20) ( f ′ µ ) = ( fµ ) Z (2.5.21) a b a b où U et Z sont des éléments de GL(4,R) laissant ainsi gµν invariant lorsque U ac Z bd ηab = ηcd (2.5.22) U Tη Ζ = η (2.5.23) Sous la notation matricielle, cette dernière devient 2.6 Tétrade Hyperbolique Complexe et la Symétrie Locale GL(4) Un champ de nombres complexes peut être généralisé d’une façon naturelle. Ces nombres complexes généralisés sont de la forme 2 Concepts Mathématiques de Base a +εb (2.6.1) où ε est un nombre spécial qui obéit ε 2 = −1 → nombres complexes ordinaires ε 2 = 0 → nombres duaux ε 2 = +1 → nombres hyperboliques complexes L’addition, la soustraction et la multiplication peuvent être effectués de la façon conventionnelle mais la division requiert une attention particulière dans le cas hyperbolique, où la norme d’un nombre non nul |a + ε b| = a 2 − b2 (2.6.2) peut être nulle. C’est pour cette raison que les nombres hyperboliques complexes constituent un anneau et non un champ. Pour les composantes d’une métrique conjuguée et hyperbolique complexe g µν, il existe une symétrie locale de jauge GL(4,R) qui correspond à gµν et qui préserve les différentes rotations des repères linéaires généralisés dans le paquet tangentiel fibré (“tangent fibre bundle”.)2,9,13 La symétrie locale GL(4) de la TNG ne devrait pas être confondue avec le sous-groupe (global) linéaire GL(4) du groupe de difféomorphismes D4 de la variété V4 sous laquelle la TNG est invariante. On définit les vierbeins hyperboliques complexes par (eµ )a = Re[(eµ )a ] + ω Im[(eµ )a ] (2.6.3) où a = 0, 1, 2, 3. Les a , b, c, ... latins sont les indices usuels de la notation indice qui désignent que eµ est un vecteur. On dit aussi qu’ils dénotent les coordonnées anholonomiques associées avec le paquet fibré de l’espace tangentiel, et g µν est ~ ~ donnée par g µν = (eµ)a( e ν)bηab = (eµ)a( e ν)a, où ω 2 = +1 est l’élément purement imaginaire de l’algèbre hyperbolique 14 complexe, Ω , de Clifford. Puisque pour z = x + ω y, on a z ~ = x2 − y2 où ~ = x − ω y, il existe des lignes de zéros dans l’espace hyperbolique z z complexe, z ~ = 0, et il en suit que l’algèbre Ω forme un anneau de nombres et non un champ comme système de nombres z ~ complexes, satisfaisant à l’algèbre C, avec le nombre imaginaire pur i = − 1 (i2 = −1). On a ( e )a = Re[(e )a] − µ ω Im[( eµ)a] et les (eµ)a satisfont (eµ )c(eµ )b = δ bc µ ( eσ )a(eρ ) a = δ ρσ (2.6.4) (eµ, σ )a + (ωσ )ac(eµ )c − W ρσµ (eρ )a = 0 (2.6.5) et Ici, ωσ est le quadri-vecteur de spin dans la TNG et W λ µν sont les composantes de la connexion généralisée dans la TNG W λ µν = W λ( µν) + W λ [µν ] (2.6.6)
  • 61 où W λ[µν ] = ω L λ[µν ] avec L λ[µν ] un tenseur antisymétrique réel. En résolvant pour W, on obtient W σλρ = gδρW δσλ − ηab[Dσ(eλ)a]( ~ ρ)b e (2.6.7) Dσ(eµ)a = (eµ, σ)a + (ωσ) ac(e µ)c (2.6.8) où ~ En différentiant g µν = (eµ ) ( e ν)bηab (voir ci-dessus), on obtient a ~ gµν,σ − gρνW ρµσ − gµρ W ρ νσ =0 (2.6.9) où on a utilisé ~ (ωσ )ca = −( ω σ )ac (2.6.10) ~ Alors, la connexion de spin (ωσ)ab est (hyperbolique complexe) antihermitique en a et b . On suppose que W λµν = W λνµ , λ c’est-à-dire que W µν est hermitique symétrique. Alors, on obtient la condition de compatibilité généralisée des composantes de la métrique non symétrique ρ ρ gµν,σ − gρν W µσ − gµρ et Symétrie Locale GL(4) 2.6 Tétrade Hyperbolique Complexe W laσν = 0 (2.6.11) Un groupe d’isoméries est définit par ~ ( e σ)a = (eσ) b(U )ab (2.6.12) où U est un élément du groupe unitaire U(3,1,Ω). Il peut être prouvé que U(3,1,Ω ) ∼ GL(4,R).15 Alors, le groupe (hyperbolique) complexe unitaire U(3,1,Ω) est isomorphe à GL(4,R), et GL(4) laisse les composantes de la métrique gµν = (eµ )a( ~ ν)bηab invariables. On peut définir e g (µν) = (Eµ)a(Eν)bηab (2.6.13) a où (Eµ ) est un vierbein réel. Alors, g(µν ) est invariant sous la transformation suivante (ʵ)a = (Eµ) b(UL)ab (2.6.14) ULTηU L = η (2.6.15) ou, selon la notation matricielle Ici, U L est un élément du groupe homogène de Lorentz SO(3,1) qui laisse les composantes symétriques de la métrique g(µν) invariables. On voit que le groupe GL(4) contient SO(3,1) comme sous-groupe. Les composantes ωσ reste invariables sous les transformations de GL(4) pourvu que2 (ωσ)ab → [UωσU −1 − (∂σU)U −1]ab (2.6.16) ([Dµ ,Dν])ab = (Rµν)ab (2.6.17) (Rµν)ab = ( ων)ab,µ − (ωµ)ab,ν + ([ωµ ,ων])ab (2.6.18) ~ (U −1)ab = ηdb( U )deηea (2.6.19) (Rµν)ab → U ac (Rµν)cd (U −1)db (2.6.20) Un tenseur de courbure peut être définit par où On a et Le tenseur de courbure en coordonnées holonomorphes est donné par R λσµν = (Rµν )ab (e λ )a (eσ ) b et le scalaire de courbure en coordonnées holonomorphes est (2.6.21 )
  • 62 ~ R = (eµ )a ( e ν )b (Rµν )ab (2.6.22) Dans la TNG, la dérivée covariante qui opère sur un spineur Ψ est définit par12 DµΨ (x) = { ∂µ + [ωµ (x)]ab Σ ab}Ψ (x) (2.6.23) Ψ se transforme sous le groupe de transformations de GL(4) comme un spineur de composantes infinies. Il n’y a pas de représentations de spineur à composantes finies dans GL(4). Les représentations GL(4) dont les réductions G(4) donnent des représentations à valeurs multiples, deviennent à valeur unique pour les groupes GL(4,R) et O(4). Les doubles groupes GL(4,R), pris comme groupes matriciels, existent seulement pour des matrices infinies. On a (2.6.24 [ωσ (x)]ab = [ωσ (x)](ab) + [ ωσ (x)][ab] ) et (2.6.25 Σ ab = Σ (ab) + Σ [ab] ) ab où les Σ dénotent les seize générateurs du groupe GL(4). L’opérateur scalaire de Dirac généralisé est2,12 2 Concepts Mathématiques de Base (2.6.26 D(x)Ψ (x) = Y σ Dσ (x)Ψ (x) = gσν (eν)a (Y )a Dσ(x)Ψ (x) ) Les Y σ sont des opérateurs algébriques et sont déterminés pour une représentation infinie et irréductible de l’algèbre GL(4). Comme dans la théorie des cordes, les spineurs forment des tours infinies d’états de spin. Les générateurs Σ ab du groupe non compacte GL(4) peuvent être séparés en un groupe de dilations consistant d’un paramètre unique et le groupe de transformations SL(4,R), qui préserve le volume. On identifie Σ [ab] = M [ab] comme étant les six générateurs de SO(3,1), formés des opérateurs du moment angulaire Ji (i = 1, 2, 3) et les opérateurs de propulsion (“boost”) Ki. Les neuf générateurs restant du groupe SL(4,R) correspondant au tenseur de contrainte (“shear tensor”) S (ab) avec Tr(S (ab)) = 0. Le générateur de dilations S et les neuf générateurs S (ab) ensemble déterminent Σ (ab). Les générateurs de l’algèbre GL(4) sont (2.6.27 Σ ab = 1 (M ab + S ab + 1 δ ab S ) 2 2 ) et (2.6.28 [Σ ab,Σ cd] = iη bc Σ ad − iηad Σ cd ) Dans la TNG, l’algèbre de Poincaré P est remplacée par l’algèbre A = T4 ⊗ GL(4,R), où T 4 sont les transformations dans l’espace-temps. L’algèbre A ne peut être jaugée directement par la structure du paquet fibré dans la TNG. C’est une situation analogue à la TGE, en laquelle P ne peut être obtenue directement comme structure locale de jauge. 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps L’idée de base derrière l’Extension Algébrique (EA) est que les champs sur une variété de l’espace-temps, prise comme réelle et n-dimensionnelle, prennent leurs valeurs dans une quelconque algèbre A , à l’opposé des nombres réels R . Les théories étendues algébriquement devront satisfaire aux trois conditions suivantes16,17 : A) Les théories étendues algébriquement doivent se réduire à la TGE dans la spécialisation A = R ; B) La structure algébrique induite par l’algèbre A doit être compatible avec la géométrie de l’espace-temps ; C) Les quantités physiques (comme la charge et l’intervalle de longueur) doivent avoir des grandeurs réelles. Les contraintes physiques raisonnables qui pourraient être utilisées pour relier la métrique et la connexion dépendra, bien sûr, du point de vue théorique de chacun. On peut utiliser les critères suivants au lieu de ceux décrit précédemment (A-C) 18 : A′) Les produits scalaires des vecteurs sont invariants sous le transport parallèle, c’est-a-dire la métrique et la connexion (généralisée) sont compatibles ; B′) La TNG prime dans le cas où la structure étendue algébriquement disparaît ;
  • 63 C′) La limite de l’espace-temps plat d’une théorie donnée possède une énergie positive, c’est-à-dire le spectre des particules est libre de toute présence de particules fantômes et de tachyons. La méthode d’extension algébrique nous procure un moyen de générer des théories géométriques non riemannienne de la gravitation. L’espace tangentielle possède une variété de l’espace-temps, réelle, et élargit par l’addition de copies d’ellemême et ce, à chaque point. Une structure algébrique est imposée sur ce paquet fibré élargit, et les composantes des tenseurs et tout autre objet géométrique, comme la métrique et la connexion affine, prennent forme dans cette algèbre.18 Cette exigence donne la TGE (basée sur l’algèbre réelle R), en plus de quatre autres classes de théories (basées sur l’algèbre complexe, C, hyperbolique complexe, E, quaternionne, Q, et hyperquaternionne, H.) La formulation des théories EA est comme suit : La compatibilité entre les structures algébriques mentionnées ci-dessus ˆ et la métrique EA généralisée (ou tenseur fondamental non symétrique) g µν, implique que ˆ g µν = g(µν) + ai g i[µν] (2.7.1) où {1, a i} (i = 1, 2, 3, ..., m) forme une base de n’importe laquelle des cinq algèbres à (m+1)-dimensions que l’espace tangentielle étendue se voit ainsi empreint. En général ai aj = C 0ij + C kij ak En écrivant cette dernière, avec a 0 = 1 (i, j = 1, 2, 3, ..., m) (2.7.2) 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps ai aj = C 0ij a0 + C kij ak (2.7.3) aI o aJ = C KIJ a K (2.7.4) ˆ X ≡ X + ai X i (2.7.5) devient et, en général i où X, X sont des valeurs réelles. Alors, pour imprégner la structure d’une algèbre A sur une variété, un ensemble d’opérateurs JI sont introduits qui représentent A . Les constantes de structure C KIJ de l’algèbre arbitraire A doivent représenter l’algèbre A . La structure algébrique doit être accommodée en élargissant l’espace tangentielle Tx à T ′x où T ′x = Tx ⊗Tx ⊗ ... ⊗Tx (m + 1) copies) (2.7.6) Une base pour T ′x peut être trouvée de sorte que {e ′A} = { e ′ α I } = { e ′ α , e ′ α i } (2.7.7) e ′ α I = (JI e ′ ) α (2.7.8) où avec (voir Table 2.7.1).19,20 (JI) β K αJ = C KIJ ⊗ δ βα (2.7.9) La structure A est rigide : aucune des structures dynamiques n’a été introduite jusqu’à maintenant. La connexion ∇ et la métrique g ′ de T ′ sont introduits et l’exigence (B) implique ∇Ji = 0 (2.7.10) ∇Ji = 0 (2.7.11) ∇(g ′) = 0 (2.7.12)
  • 64 2 Concepts Mathématiques de Base Table 2.7.1 : Les constantes de structure C KIJ de l’algèbre A correspondante. [Voir les Éqs. (2.7.3) et (2.7.4)]. Algèbre m Générateurs C 0ij C kij C KIJ R 0 1 +1 0 ... C 1 1, i −1 0 i = −1 E 1 1, e +1 0 e2 = +1 Q 3 1, a1 , a 2 , a3 −δ ij ε ijk aI o aJ = −δ ij + ε ijk a k 1, a1 , a 2 , a3 −η ij η ε ijl a 12 = a 22 = 1, a1 o a 2 = −a3 H 3 kl 2 Les objets g(µν ) et g i[µν ] de l’Éq. (2.7.1) sont des tenseurs de valeur réels, symétriques et antisymétriques, respectivement. Sous l’opération de conjugaison “*”, {1*, ai*} = {1, −ai}, et alors la métrique obéit ( g µν)* = g νµ (2.7.13) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ En général, deux objets de valeur algébrique, A et B , obéissent ( A B )* = B * A *. L’inverse de la métrique, g µν, est ˆ définit par µρ µ ρµ ˆ ˆ ˆ ˆ g g νρ = δ ν = g ρν g (2.7.14) L’ordre des indices et des facteurs est d’une importance cruciale. En particulier, l’inverse de la partie antisymétrique de la métrique n’est pas égale à la partie antisymétrique de la métrique inverse sµν ≠ g ˆ (µν) s µρ g ˆ (νρ) = δ µν (2.7.15) ˆ La compatibilité entre la structure algébrique et la connexion Γ λµν implique que : 1 ˆ Γ λµν = Γ λµν + ai ( Γ λµν) (2.7.16) 1 où, encore, Γ λµν et Γ λµν sont des quantités à valeur réelle. Les composantes du tenseur de courbure dans de telles théories, comme l’EA, sont données par ˆλ ˆλ ˆσ ˆρ ˆσ ˆρ ˆλ R γµν = Γ γν, µ − Γ µν, γ + Γ ρν Γ µσ − Γ µρ Γ γσ (2.7.17) Ces composantes du tenseur de courbure ont la propriété symétrique suivante ˆλ ˆλ R µνρ = R µρν (2.7.18) en l’absence de la condition (B) ci-dessus. On considère maintenant utiliser la condition (B) : Compatibilité entre les composantes de la métrique et celles de la connexion. Cette condition est ˆρ ˆ ˆρ ˆ ˆ g µν,σ − Γ µσ g ρν − g µρ ( Γ νσ)* (2.7.19) dans laquelle cas on peut montrer que ˆλ ˆλ ˆ ˆ R µνρ g λσ = − g µν ( R σρν )* (2.7.20) Les conditions (2.7.18) et (2.7.20) impliquent que l’action linéaire la plus généralisée dans les deux contractions possibles des composantes du tenseur de courbure ˆ ˆλ R µν = R µνλ (2.7.21) ˆ ˆ P µν = R λλµν (2.7.22) et est donnée par S= 1 Ldnx 8π G ∫ (2.7.23) où 17 L= où A 1 et A2 sont des constantes réelles, et X = ˆ ˆ ˆ ˆ − g g µν [A1 R µν + A2(m − 3) P µν] ˆ − g X. (Voir Table 2.7.2.) (2.7.24)
  • 65 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-Temps Table 2.7.2 : Densités lagrangiennes de l’algèbre A correspondante. ˆ ˆ L ( R λνλµ , R λνµλ) Algèbre ˆ ˆ L( R µν , P µν) R ˆ ˆ ˆ (µν) R λνλµ −g g ˆ ˆ −g g (µν) ˆ R µν C ˆλ ˆλ ˆ ˆ µν − g g [A1 R νλµ + A2(m − 3) R νµλ] ˆ ˆ −g g (µν) ˆ R µν E ˆλ ˆλ ˆ ˆ µν − g g [A1 R νλµ + A2(m − 3) R νµλ] ˆ ˆ ˆ µν − g g [A1 R µν + A2(m − 3) Q ˆ ˆ g µν R λνλµ ˆ ˆ g µν R µν H ˆ µν ˆ λ g R νλµ ˆ µν ˆ g R µν L’interprétation de la théorie C a été explorée par Einstein et bon nombre d’autres21,22 et fait encore l’objet d’étude aujourd’hui.23 Dans ce cas, l’idée est en quelque sorte de relier la partie antisymétrique de la métrique aux composantes du tenseur électromagnétique de Maxwell, g[µν] ∝ Fµν . Une telle interprétation fait face à deux sérieux problèmes : 1. Il est très difficile de reproduire le terme de la force de Lorentz dans les équations du mouvement d’une particule d’essai. Les équations du mouvement qui suivent du lagrangien donné par l’Éq. (2.7.24) ne peuvent en faire ainsi. Cependant, si un terme ad hoc, proportionnel au carré de la partie antisymétrique de la métrique (le terme de Bonnor), est ajouté au lagrangien, ce problème peut être réglé.24 2. Le lagrangien donné par l’Éq. (2.7.24) possède seulement des modes spin-1 et spin-0 dans son spectre de particules, et conséquemment, la présence du photon dans l’interprétation unifiée est quelque peu malicieuse. Si on ajoute le terme de Bonnor, le spectre de particules contient maintenant un état sans masse de spin-2 et un tachyons sans masse de spin-1.25 L’interprétation (2) a été interprétée comme une théorie étendue de la gravitation, la Théorie Non Symétrique de la Gravitation.26 Dans la TNG, l’ensemble de la métrique se couple avec la matière. Alors, le tenseur d’énergie-impulsion associé est, en général, lui aussi non symétrique, respectant les mêmes symétries que les composantes de la métrique, données par l’Éq. (2.7.13). Un courant conservé U(1) est aussi introduit qui se couple avec la métrique mais en violant, cependant, le principe d’équivalence. Par example, notons les expériences reliées au phénomène de la polarisation de la lumière près d’un corps célestre comme le Soleil. Donc, les résultats sont résumés dans la Table 2.7.3.27 Seulement la théorie E est sans particules fantômes ; son spectre de particules contient le graviton familier de spin-2+ et une nouvelle particule de spin-0 + que l’on appellera skewon19 (de l’anglais pour “anti”). Les deux particules sont couplées non linéairement à eux-mêmes, entre eux et avec toutes les autres particules. Puisque L = L*, seulement les puissances paires des champs de skewons entre dans le lagrangien. Conséquemment, les prédictions physiques qui émanent de la théorie E, qui 1 diffèrent de la TGE, sont proportionnelles à ( g [µν ])2. Table 2.7.3 : Cinq théories de la gravitation. Algèbre Théorie Hélicité Remarques R C TGE TCU (2) (2,0) E Q H TNG ... ... (2 , 0*) (2, 0*, 0*, 0*) (2 , 0 , 0 , 0*) Semble être valide que pour des champs faibles. (Voir Section 10.6). Théorie du Champ Unifiée d’Einstein. La force de Lorentz n’est pas obtenue suite à une limite de champ nul. Il semble y avoir des problèmes dans la réduction de cette algèbre à celle de R. (Section 3.10). ... ... En résumé, la méthode d’extension algébrique mène à cinq théories de la gravitation basées sur des algèbres réelle (R), complexe (C), hypercomplexe (E), quaternionne (Q), et hyperquaternionne (H). Toutes ces algèbres se réduisent à la TGE (la théorie de l’algèbre A réelle y étant équivalente) et la valeur réelle de la dimension de la variété de l’espace-temps n’est pas influencée de quelque façon que ce soit par cette procédure d’extension algébrique. Les lagrangiens pour de telles théories ont une valeur réelle même si les tenseurs, desquels ils sont construit, ne le sont pas. De plus, les théories EA peuvent être imaginées comme étant des théories dimensionnellement réduites d’un espace riemannien à (m+1)n dimensions. Les résultats sont présentés dans la Table 2.7.4.
  • 2 Concepts Mathématiques de Base 66 Groupe fibré Groupe réduit A 1 gµνRλνλµ L Non Fantômes Non Radiation dipolaire TGE Théorie m SO(n−1,1) Algèbre GL(n,R) TCU 0 Non R Oui GL(n,C) A1 gµνRλνλµ + A2 gµνR λνµλ 1 U(n−1,1) C TNG GL(n,R) Non GL(n,R)⊗GL(n,R) Non 1 A 1 gµνRλνλµ g g g g A1 gµνRλνλµ + A2 gµνR λνµλ E U(n−1,1,Q)⊕USp(2n−2,2) ... GL(n,Q) g A 1 gµνRλνλµ g g ? 3 Sp(2n−2,2) Oui Q GL(2n,R)⊗GL(2n,R)Oui ... 3 On masque les accents circonflexes sur g et R. H ? Table 2.7.4 : Les cinq théories de la gravitation.a a
  • 67 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures On developpe l’idée que la symétrie de jauge fondamentale de la nature est basée sur les transformations générales des coordonnées dans un espace (D = 4 + 4N)-dimensionnel. Dans le cas N = 0 (ou D = 4) on obtient la TGE. Considérons maintenant un espace à huit dimensions (D = 8) avec une métrique riemannienne que l’on exprime en fonction de vierbiens (eΣ)Α dans V8 2,28,29 g ΣΛ = (eΣ)Α(eΛ)Βη ΑΒ (2.8.1) où Σ, Λ = 1, 2, 3, ..., 8 (Α, Β = 1, 2, 3, ..., 8) (2.8.2) ηΑΒ = Diag (−1, −1, −1, +1; +1, +1, +1, −1) (2.8.3)  ∂X A ( x)   (eΣ)Α =   ∂xΣ   x = x′  (2.8.4) et Ici, X Α dénote un repère localement inertiel à chaque point x = x′ dans notre espace D = 8. Il existe un opérateur dérivé covariante DΑ = (eΣ)Α(∂Σ + Ω Σ) (2.8.5) σ [Α Β](eΛ)Α(∂Σ eΒΑ − eΒ∆Γ ∆ΛΣ) (2.8.6) Σ où ∂Σ = ∂/∂x ΩΣ= 1 2 et les σ [ΑΒ] satisfont [σ ΑΒ , σ Χ∆] = h ΧΒ σ Α∆ − hΧΑσ Α∆ − h∆Β σ ΧΑ − h∆Ασ ΧΒ (2.8.7) ∂Σ(eΛ) Α + (Ω Σ)ΑΒ(eΛ)Β − Γ ΩΣΛ(eΩ)Α = 0 (2.8.8) De plus, les vierbiens satisfont Ω où Γ ΣΛ sont les composantes de la connexion du paquet fibré principal de co-repaires linéaires dans l’espace D. Un scalaire de courbure en D = 8 peut être dérivé R = η ΑΧ (eΣ)Α (eΛ) Β(RΣΛ) ΒΧ (2.8.9) On peut effectuer une réduction de notre espace à D = 8 à un espace à D = 4 en imposant une structure hyperbolique complexe sur l’espace.13 Choisissons une hypersurface constante V4 dans V8. L’espace tangentiel T ′U est définit par29 T ′U = T U ⊗ TU (2.8.10) où T U est un espace tangentiel de V4. La structure algébrique imposée sur T U est donc fixée, puisque V4 est une hypersurface constante dans V8, et les champs dépendent seulement sur les coordonnées x µ ( µ = 0, 1, 2, 3). La connexion Ω ΑΛΒ → Ω Αλ Β et donc Γ ΑΛΒ → Γ Αλ Β. La courbure se réduit à R ΑΣΛΒ → R Ασλ Β (2.8.11) 17 et la densité lagrangienne devient L= où a et b sont des constantes réelles et X = σ µντ − g (a g µν R λµνλ + b g µν R λλµν) − g X . Pour toutes les algèbres possibles, L est réelle même si (2.8.12) −g , g µν et ne le sont pas. L’espace tangentiel T ′U dans notre espace à D = 8 a des éléments qui sont des paires ordonnées de vecteurs (U , V ) de sorte que U , V ∈ T U avec la loi multiplicative R
  • 68 2 Concepts Mathématiques de Base λ(U , V ) = (λ U , λ V ) (2.8.13) et la loi d’addition (U , V ) + (U ′ , V ′ ) = (U + U ′ , V + V ′ ) (2.8.14) On considère des fonctions à valeurs complexes pour le cas hyperbolique complexe ( ε = +1) 2 13 f E (x) = f R (x) + ε f I (x) (2.8.15) Le groupe GL(8,R) dans son tout peut agir sur T ′U , de sorte qu’on puisse construire un paquet associé GL(8,R) T′ (V8) sur V8 avec la fibre typique T ′U ∼ R 8 en réunissant ensemble des produits directs de la forme T ′U ⊗ UU , où UU est un voisinage de V8. On est à construire le paquet fibré L′ (V8) associé au repère du paquet fibré L(V8) avec la fibre GL(8,R) L ′ (V8) = L(V8) ⊗ GL(4,R) GL(8,R) (2.8.16) Imaginons maintenant une structure hyperbolique complexe E avec un groupe de transformations qui préserve E avec E 2 = +1. On choisit 0 I  E =   I 0 (2.8.17) où I est une matrice unité dans D = 4. Ensuite, la variété la plus générale V8 ∈ GL(8,R) est V8E = EV8 (2.8.18)  A B V8 =   B A (2.8.19) où et A et B sont des matrices réelles 4 × 4 arbitraires. Le sous-groupe de GL(8,R) qui préserve E est isomorphe à GL(4,R) ⊗ GL(4,R). La base de T ′U dans laquelle E prend la forme donnée par l’Éq. (2.7.17) est {e ′Α} = {e ′α, e ′a′ } (Α = 1, 2, 3, ..., 8) (α = 0, 1, 2, 3) (α′ = α + 4 = 5, 6, 7, 8) (2.8.20) Alors Ee ′α = e ′α′ Ee ′α′ = e ′α (2.8.21) Il existe un choix pour un sous-espace D = 4 réel qui est représenté par e ′α . Les vecteurs qui sont situés dans le sous-espace orthogonal e ′α′ ( α′ = 5, 6, 7, 8) sont alors des vecteurs purement imaginaires. Maintenant, A ′ ∈ T ′U satisfait A ′ = AΑe ′Α = Aαe ′α + A α′e ′α′ (2.8.22) A = (A′ α + ε A′ α )e α (2.8.23) et La conjugaison peut être définit en fonction de l’opérateur I 0  C =  0 − I  (2.8.24) A ′ * = C A ′ = Aαe α − Aα′e α′ (2.8.25) A ′ * = (Aα − ε Aα′ )e α (2.8.26) de sorte que ou bien Le produit scalaire (interne) dans l’espace D = 8 est symétrique
  • 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures g ′ (A ′ , B ′ ) = g ′ (B ′ , A ′ ) 69 (∀ A ′, B ′ ∈ T ′U ) (2.8.27) (Α, Β = 1, 2, 3, ..., 8) (2.8.28) ou g′ΑΒ = g′ΒΑ Jusqu’à maintenant, g ′ est indépendant de la structure hyperbolique complexe E. On impose maintenant la condition de compatibilité g ′ (E A ′ , E B ′ ) = −g ′ (B ′ , A ′ ) (2.8.29) Pour une structure complexe ordinaire, J 2 = −1, un signe positif se retrouverait du côté droit. On obtient alors g′αβ = −g′α′β ′ (2.8.30) g ′αβ ′ = −g ′α′β (2.8.31) et Il est aussi possible de définir la métrique symplectique sur T ′U g ′ (E A ′ , B ′ ) = −g ′ (E B ′ , A ′ ) (2.8.32) On forme maintenant la métrique à valeur hyperbolique complexe ~ g (A , B ) = g ′ (A ′ , B ′ ) + ε g ′ (E A ′ , B ′ ) = gµν A µ B ν (2.8.33) A µ = A′ µ + ε A′ µ′ (2.8.34) ~ B µ = B ′ µ − ε B′ µ′ (2.8.35) gµν = g ′µν + ε g′µ′ν (2.8.36) où et de même que Ici g(µν ) = g′µν = 1 2 (gµν + gνµ ) (2.8.37) g [µν ] = g ′µ′ ν = 1 2 ( g µν − gνµ ) (2.8.38) La métrique g ΣΛ dans D = 8 a la signature (− − − +, + + + −) et elle est invariante sous le groupe de transformations de SO(4,4). L’intersection de SO(4,4) et le groupe de symétries Sp(8,R) est le groupe conforme SO(3,2). Dans la TGE, l’introduction de la métrique nous amène à la réduction GL(4,R) → SO(3,1) avec un groupe (de spin) doublement couvert SL(2,C). Dans le cas de l’algèbre A = C , le groupe qui préserve la métrique est SU(3,1) pour une métrique hermitique gµν = (g νµ )*. Dans le cas d’une algèbre hyperbolique complexe A = E, le groupe qui préserve la métrique est GL(4,R ) ⊃ SO(3,1) et nous avons la réduction GL(8,R ) → GL(4,R) ⊗ GL(4,R) → GL(4,R) (2.8.39) ~ et g µν = g νµ est une section efficace du paquet fibré E [V8, GL(4,R)⊗GL(4,R )/GL(4,R ), GL(4,R)⊗GL(4,R), L ′ (V8)] associé à L ′(V8). De sorte à rendre la structure géométrique en une entité dynamique, il est nécessaire de définir la différentiation covariante des vecteurs à valeurs hyperboliques complexes. Alors, on a besoin de définir une connexion qui nous dit comment effectuer le transport parallèle d’un vecteur de la fibre T ′U sur U ∈ V8 à la fibre T ′U ' sur U ∈ V8. On définit l’opérateur dérivée covariante ∇ qui cartographie TU ⊗ T ′U dans T ′U ∇ : (U , A ′ ) → ∇ U A = A ′Α(U ) ∇U e ′Α + (U A ′Α(U )) e ′Α où (2.8.40)
  • 70 2 Concepts Mathématiques de Base U A Α = U µ ∂µ A Α(U ) (2.8.41) ∇U e ′Α = U µ Γ Βµ Α e ′Β (2.8.42) dans la base des coordonnées de TU . On définit où Γ Βµ Α est la connexion que l’on cherche. Maintenant, on demande que la connexion soit compatible avec la structure hyperbolique complexe E ∇E = 0 (2.8.43) ∇U (E A ′) = E(∇U A ′) ∇ (2.8.44) Γ αµ ν = Γ α′µ ν (2.8.45) Γ αµ ν′ = Γ (2.8.46) Alors ce qui nous amène aux résultats α′ µν Ces restrictions signifient que l’opérateur E est préservé sous le transport parallèle. Maintenant Γ αµν = Γ ′ αµν + ε Γ ′α′µν (2.8.47) (∇g ′) = 0 ∇ (2.8.48) ∇U [g ′ (A ′ , B ′)] = g ′ (∇U A ′, B ′ ) + g ′ (A ′, ∇U B ′ ) ∇ (2.8.49) On requiert donc que ou bien Dans le langage des composantes ∂ µ g ′ΑΒ − g ′ΧΒ Γ ′ Χµ Α − g ′ΑΧ Γ ′ Χ µΒ =0 (2.8.50) Alors, en fonction de représentations à valeurs complexes gµν et Γ αµν , on a ~ g µν,σ − gαν Γ αµ σ − gµα Γ ανσ = 0 ~ ou, en supposant une connexion hermitique Γ αµ ν = Γ ανµ (2.8.51) g µν,σ − gαν Γ αµ σ − gµα Γ ασν = 0 (2.8.52) C’est la condition de compatibilité correcte entre les composantes g µν et Γ αµν dans la TNG. 2.9 L’Action dans le Langage des Vierbeins Dans le langage des vierbeins, le scalaire de courbure est donné par [Éq. (2.6.22)] ~ R = ( e µ )b(eν )a(R ) µν ab (2.9.1) L’action pour les équations du champ dans le vide prend la forme12 1 |e|R(x)d 4x S= − 16π G ∫ ~ où |e| = det[(e µ )a( e ν )a]1/2. La variation de l’action donne les équations du champ ~ ~ ~ ~ { |e|[(e µ )a( e ν )b − (e ν ) a( e µ ) b]} ,ν + |e|{(ωµ )bc[(e µ )a( e ν )c − (e ν )a( e µ )c] + ~ ~ + (ωµ ) ac[(e ν )c( e µ ) b − (e µ )c( e ν )b]} = 0 (2.9.2) (2.9.3)
  • 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes 71 et (Rµ )a = 0 (2.9.4) ~ (Rµ )a = ( e ν ) b(Rµν )ab (2.9.5) où En faisant la contraction de l’Éq. (2.9.3) sur a et b, on obtient : ~ ~ { |e|[(e µ )a( e ν )a − (e ν ) a( e µ )a]} ,ν = 0 (2.9.6) ou bien [ − g g[µν ]],ν = 0 (2.9.7) g[µν ],ν = 0 (2.9.8) ou bien, finalement 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes Les théories générées par la méthode d’Extension Algébrique (EA) de la Section 2.7 sont basées sur une densité lagrangienne et la géométrie non riemannienne. Une caractéristique surprenante de ces théories non riemanniennes est l’inéquivalence des formalismes variationnels du premier et du second ordre lorsqu’ils sont appliqués directement à la même densité lagrangienne. Dans la TNG (en autant que les dimensions de l’espace-temps soit plus grandes que 2) les deux formalismes variationnels donnent des résultats identiques en vertu des symétries inhérentes dans la géométrie riemannienne. Ceci n’est pas le cas dans les théories non riemanniennes. L’application du Formalisme au Premier Ordre (FPO) à la théorie EA hyperbolique complexe résulte en un modèle générique de Palatini comme cas spécial. Ce modèle générique est la TNG (la TNG sera étudiée dans la Partie II de ce présent ouvrage.) Un modèle se présente comme cas spécial du FPO et est nommé Gravitation Projective (GP). La GP possède des pôles fantômes dans son spectre de particules lorsqu’on le linéarise autour de l’espace-temps de Minkowski et donc, est non physique.18 Le Formalisme au Second Ordre (FSO) génère un modèle (minkowskien) libre de fantômes qui se nomme Gravitation de Hilbert Étendue (algébriquement) (GHE). La TNG et la GHE sont très distantes l’une de l’autre malgré leur héritage commun comme théories EA hyperboliques complexes. La GHE contient des pathologies que la TNG évite. Spécifiquement, ces deux modèles ont chacun d’eux exhibés un spectre parfaitement régulier d’excitations autour d’un espace minkowskien : les hélicités sans masses ±2 (gravitons) et un état de spin-0 sans masse (skewon).30,31* Le secteur antisymétrique (“skew sector” en anglais d’où skewon) contribue une particule scalaire de façon très différente dans les deux théories.19,20,32 Les solutions Statiques à Symétrie Sphérique (SSS) dans la TNG et la GHE sont très différentes. En fait, les solutions SSS de la TNG ont une limite continue à la solution de Schwarzschild de la TGE, comme la constante d’intégration, soit la source de l’antisymétricité, est prise nulle. Dans la GHE, les solutions SSS peuvent accommoder l’asymptoticité minkowskienne mais sont incapables de reproduire un comportement schwarzschildien.20 Un heureux accident a fait que la TNG et la GHE ont été formulées selon des conventions différentes. La différence entre le FPO et la FSO est indiqué (mathématiquement) à l’Appendice, où, dans le FPO, les variables fondamentales sont un champ non symétrique gµν , et une connexion non symétrique W λµν . Dans le FSO, la métrique est prise comme étant compatible avec la connexion. Explorant ceci un peu, on rappelle l’Éq. (2.7.24) mais sous la forme d’une action S= * 1 ˆ ˆ ∫ − g [ A1 Rµν + A2 (m − 3) Pµν ]d n x 8π G (2.10.1) Des résultats contradictoires se présentent dans l’ensemble de la littérature concernant le contenu en particules de la TNG où certains auteurs ont déterminé que la TNG possède des modes fantômes de spin-1 qui peuvent être retirés en imposant des conditions additionnelles. Ces résultats ont été obtenus en appliquant les techniques variationnelles du second ordre à la TNG avant qu’on réalise que ces programmes variationnels ne sont pas équivalents pour des théories non riemanniennes. Dans l’approche du premier ordre, ces techniques se résument à une substitution partielle des équations du mouvement à nouveau dans le lagrangien et ceci cause l’apparence des modes suspects.
  • 72 Une variation de cette action par rapport à la métrique et la connexion qui agissent comme variables, donne le système 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Rµν (W ) + Pµν (W ) − g µν [ R (W ) + AP (W )]=0 2 2 Concepts Mathématiques de Base (2.10.2) et ˆˆ ( − gg µν ˆ ˆ ), σ + − g W ν σρ ˆ g µρ ρν ˆˆ + − gg ˆ W µ ρσ ˆˆ −δ νσ[( − g g ˆ ˆ − −g W ρ σρ µρ ˆˆ ), ρ + − g g ˆ g µν τρ − ˆ W ν τρ ˆˆ + 2 A( − g g [µρ] (2.10.3) ), ρ ] = 0 ˆ L’Éq. (2.10.3) donne un système d’équations qui déterminent quelques unes des composantes de W λµν en fonction de la métrique. De l’Éq. (2.10.3) on identifie deux types de théories différentes et qui dépendent du choix du coefficient A dans le lagrangien associé. Une de ces théorie correspond à la TNG. Elle satisfait la condition (C) de la Section 2.7 soit qu’une théorie physique ne doit contenir aucun mode fantôme et qui peut aussi être exprimée par la condition (C′) de la Section 2.7. L’autre théorie, la GP, contient des modes fantômes. Appendice Formes au Premier et Second Ordre Certains auteurs ont affirmés que la TNG contenait des modes fantômes de spin-1 qui peuvent être effacés en imposant des contraintes additionnelles.30,31 Ces résultats furent obtenus en appliquant le formalisme au second ordre pour la TNG avant qu’il fut réalisé que les formalismes au premier ordre et au second ordre ne sont pas toujours équivalents pour les théories non riemanniennes. Dans le formalisme au premier ordre, ces techniques se résument en une substitution partielle des équations du déplacement à nouveau dans le lagrangien et ceci cause l’apparition de faux modes. Un traitement exacte du formalisme de contrainte du lagrangien ne nous mènerait pas à l’apparition de ces modes fantômes non physiques dans la TNG. Une analyse plus complète de ce problème reste encore à être faite. La densité lagrangienne au premier ordre dans la TNG peut être prise comme étant 1 µν L = − g g Rµν (Γ) (2.A.1) Il peut être prouvé que les équations du mouvement provenant de ce lagrangien sont équivalents à ceux de la densité lagrangienne au deuxième ordre 2 µν [µν ] L = − g g Rµν (g µν) − ( − g g ),µ Wν (2.A.2) Notre but est de démontrer l’équivalence des deux formulations données par les Éqs. (2.A.1) et (2.A.2). On débute en 1 1 1 considérant l’Éq. (2.A.2), que l’on développe en puissances de gµν = ηµν + g µν = η µν + ( g (µν) + g [µν]). On trouve donc 1 2 1 2 1 1 L = L E( g (µν)) + L A( g [µν]) + O[( g (µν), g [µν])3] (2.A.3) où L E est la densité lagrangienne linéarisée d’Einstein, et 2 LA = − 1 1 µνρ F Fµνρ − 2 g [µν],µ Wν 12 (2.A.4) est la densité lagrangienne linéarisée antisymétrique. Les équations du mouvement de la partie antisymétrique qui découlent de l’Éq. (2.A.4) sont équivalentes aux suivantes 1 g [µν ] + 2 W[ν,µ ] = 0 (2.A.5) 1 g [µν],ν = 0 La divergence de l’Éq. (2.A.5) dit que les composantes Wµ obéit les équations de Maxwell (2.A.6)
  • 73 W[ν,µ ],µ = 0 (2.A.7) Appendice Formes au Premier et Second = 4 données de Cauchy (correspondant à 2 Supposons maintenant que l’on nous donne (en quatre dimensions) 2 × (4 − 2) Ordre degrés de liberté dynamiques) requises pour spécifier Wµ de l’Éq. (2.A.7), alors l’Éq. (2.A.5) implique 1 g [µν],µ = 0 (2.A.8) et donc, les contraintes données par l’Équation (2.A.6) peuvent être incorporées comme un ensemble de relations parmi les 1 données de Cauchy données par l’équation (2.A.5), c’est-à-dire, on requiert que g [µν],ρ et ses premières dérivées temporelles disparaissent à t = 0 ce qui nous assure que l’équation (2.A.8) obéit bien à l’équation (2.A.6) en tout temps. En 1 retour, ces relations déterminent les données de Cauchy pour les composantes 1 g [ti] selon 1 ( g [ti],t = g [ji],j)|t = 0 ( 2 (2.A.9) 1 1 g [it] = g [ij],t ,j − 2Wt,i + 2 Wi,t )|t = 0 (2.A.10) 1 desquelles g [ti],i = 0 suit. Alors, les données indépendantes de Cauchy sont les 2 × (4 − 2) = 4 données pour Wµ en plus des 1 1 (4 − 1) × (4 − 2) = 6 données de l’ensemble { g [ij], g [ij],t}. Alors, le nombre total de degrés de liberté est 1 (4 + 1)(4 − 2) = 5 2 (dans quatre dimensions). Ceci est en parfait accord avec les estimés précédents.4,31 Cependant, l’analyse faites auparavant31 a été critiquée parce qu’elle déviait de la TNG par son utilisation d’une forme au second ordre. Considérons explicitement la formulation canonique31 directement de la forme au premier ordre, de sorte qu’on puisse compter les degrés de liberté directement. En développant l’Éq. (2.A.1) en termes quadratiques des champs, on obtient ( gµν 1 1 = ηµν + g (µν) + g [µν]) 1 1 1 L 2 = − g [( g (µν ) + g [µν ])∂[λ Γ λµν ] − ηµν Γ σµ [ρ Γ ρσν ]] (2.A.11) où seulement les indices [σν ] sont antisymétrisées. En décomposant les composantes de la connexion Γ λµν dans ses parties symétrique (S = Γ λ(µν)) et antisymétrique (A = Γ λ[µν]), on obtient 1 1 1 L 2 = − g [ g (µν )∂[λ S λν ]µ − ηµν S σµ [ρ S ρν ]σ − g [µν]∂[λ A λν ]µ + ηµνA σµ [ρ A ρν ]σ − (2.A.12) 1 −g (µν ) A λ 1 µλ,ν −g [µν ] S λ µλ,ν +η µν S σµν A ρσρ ] Ce sont seulement les trois derniers termes de l’Éq. (2.A.11) qui couplent les composantes symétrique et antisymétrique, et le font seulement via les traces des composantes de la connexion affine. Alors, on peut diagonaliser juste en effectuant la transformation Γ λµν = W λµν + 2 δ λµ Wν , pour ainsi rendre Γ λ[µλ] = 0. Puisque Rµν(Γ) = Rµν(W ) − 2 W[ν,µ], où Wµ = W λ[µλ], on 3 3 obtient 1 1 1 (2.A.13) L2 = LE + LA 1 où L E est la densité lagrangienne linéarisée d’Einstein (qui, au premier ordre, est équivalente à celle du deuxième ordre) et 1 1 ~ L A = g [µν ]W λ[µν ],λ + η µν W σ[µρ ]W ρ[νσ ] − g [µν ],µ W ν (2.A.14) ~ en fonction de W µ = − 4 Wµ + Γ λ(µλ). 3 L’analyse canonique de l’Éq. (2.A.13) peut se faire pour ainsi trouver 1 1 1 1 1 ~ L A = π ij g [it],t − g [ij]π j,i + g [it],i W t + W j[ti][2 g [ti],j + 2π ij] − W j[ti] W i[tj] − (2.A.15)
  • 74 1 − 3 W t[ti] g [ij],j + 3 2 1 (W t[ti]) + W k[ij](− g [ij],k) − W k[ij] W j[ki] Ici, les impulsions conjuguées ont été identifiées via les relations 2 Concepts Mathématiques de Base ~ π ij = − W t[ij] π i = − W i − 2 W t[ij] (2.A.16) & et la contrainte W λ[µν ] = 0 a été appliquée. Le terme “ pq ”, ou p × q ,t, dans l’Éq. (2.A.14) montre que (W j[ti], W t[ti], W k[ij]) 1 1 sont les champ auxiliaires, tandis que les paires canoniques (π ij, g [ij]), (π i, g [ti]) obéissent à l’unique contrainte g [ti],i = 0. Ceci nous dit qu’il y a ordre. 1 2 (4 − 1)(4 − 2) + (4 − 1) − 1 = 5 degré de liberté, ce qui est équivalent au formalisme au second Bibliographie P. Bamberg et S. Sternberg, A Course in Mathematics for Students of Physics (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1988), vol I. I.M. Benn et R.W. Tucker, An Introduction to Spinors and Geometry (Adam Hilger, London, England, 1988). F. de Felice et C.J.S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1989). C.W. Misner, K.S. Thorne et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). R.M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984). J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). Références 1. C. Misner, K.S. Thorne, et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). 2. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. 3. R.L. Bishop et S.I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds (Macmillan Co., 1968) ; B.F. Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1980) ; I.M. Benn et R.W. Tucker, An Introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics (Adam Hilger, Bristol, England, 1987) ; F. de Felice et C.J.S Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1990). 4. A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II. 5. M.W. Kalinowski, J. Phys. A 16, 1669 (1983) ; J. Math. Phys. 24, 1835 (1983) ; 25, 117 (1984) ; 25, 1045 (1984). 6. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). 7. R.B. Mann, Can. J. Phys. 59 , 1334 (1981).* 8. R.P. Feynman, Feynman Lectures on Gravitation. Ed. Brian Hatfield (Addison-Wesley, London, 1995). 9. B.T. McInnes, Class. Quantum Grav. 1, 105 (1984). 10. P.D.B. Collins, A.D. Martin, et E.J. Squires, Particle Physics and Cosmology (Wiley, New York, 1989). 11. R.M. Wald, General Relativity (Chicago University Press, Chicago, 1984). 12. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 29 , 1655 (1988).
  • 75 13. G. Kunstatter, J.W. Moffat, et J. Malzan, J. Math. Phys. 24, 886 (1983). 14. W.K. Clifford, Proc. Lond. Math. Soc. 4, 381 (1873) ; Am. J. Math. 1, 350 (1878). 15. Z.Z. Zhong, J. Math. Phys. 26, 404 (1985). 16. G. Kunstatter et R. Yates, J. Phys. A 14, 847 (1981).* 17. R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 1, 561 (1984). 18. R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 6, 41 (1989). 19. P.F. Kelly et R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 3, 705 (1986). 20. P.F. Kelly et R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 4, 1593 (1987). 21. A. Einstein, Ann. Math. (N.Y.) 46, 578 (1945) ; Rev. Mod. Phys. 20, 35 (1948) ; 21, 343 (1949) ; A. Einstein et E.G. Straus, Ann. Math. (N.Y.) 47, 731 (1946) ; A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II ; M.A. Tonnelat, La Théorie du Champ Unifié d'Einstein, (Gauthier-Villars, Paris, France, 1955) ; Einstien's Unified Field Theory (Gordon and Breach, New York, 1966). 22. H. Weyl, Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. Berlin, 465 (1918) ; Ann. Physik 59, 101 (1919) ; A.S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 3e édition (Chelsea Publishing Co., 1975) ; E. Schrödinger, Proc. R. Ir. Acad. A 51, 163 (1947) ; Space-Time Structure (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1954), pp. 106-119. 23. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 36, 3722 (1995) ; A.H. Klotz, Macrophysics and Geometry (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1982), et références citées ; Acta. Phys. Pol. B 19, 533 (1988) ; H. Yilmaz, Phys. Rev. Lett. 27, 1399 (1971). 24. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 23, 2870 (1981).* 25. R.B. Mann et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 26, 1858 (1982).* 26. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 3554 (1979).* 27. R.B. Mann, Can. J. Phys. 64, 589 (1986). 28. J.W. Moffat, Ann. Inst. Henri Poincaré 34, 85 (1981).* 29. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 25, 347 (1984) ; 26, 214(E) (1984). 30. R.B. Mann, J.W. Moffat, et J.G. Taylor, Phys. Lett. B 97, 73 (1980). 31. G. Kunstatter, H.P. Leivo, et P. Savaria, Class. Quantum Grav. 1, 7 (1984). 32. R.B. Mann et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 31, 2488 (1985).
  • 3 Les Équations du Champ 3.1 L’Action et la Densité Lagrangienne On postule que la TNG est basée sur une formulation lagrangienne. De même, les équations du champ et les lois de conservation pour la matière doivent suivre de façon consistante de ce lagrangien. On demande aussi que la théorie doit satisfaire les exigences physiques suivantes1,* : 1. La théorie possède une limite newtonienne correct pour des champs faibles. 2. La théorie ne possède aucun mode fantôme dans l’approximation du champ faible (aucun mode de radiation négative.) Ces exigences générales nous amène à une théorie non symétrique de la gravitation dans le vide (pour l’instant) qui décrit l’univers en fonction d’un continuum (réel) à quatre dimensions. Considérons d’abord les équations du champ dans le vide (où il y a aucune présence de matière ou d’énergie.) Les composantes du tenseur de courbure contracté ont la forme2 Kµν = Rµν (W ) + aPµν (W ) + bW[µ,ν ] (3.1.1) où les courbures Rµν (W) et Pµν (W) sont définies par les Éqs. (2.3.11) et (2.3.13), respectivement, et réfèrent à la connexion généralisée W. On définit aussi les symboles (...) et [...] selon la règle V(µν ) = 1 2 (Vµν + Vνµ ) V[µν ] = 1 2 (Vµν − Vνµ ) (3.1.2) où on peut voir que la somme de ces deux tenseurs, symétrique et antisymétrique, respectivement, forme le tenseur Vµν. De plus, a et b sont des constantes arbitraires réelles et les composantes de la torsion sont exprimées comme Wµ = W λ[µλ] = 1 2 (W λ µλ − W λλµ ) (3.1.3) Les équations du champ dans le vide de la TNG déterminent la torsion Wµ comme variable dynamique dans l’espacetemps. Ceci fait contraste aux théories Einstein-Cartan avec g µν = gνµ mais où la torsion (dans leur cas, Γ µ ) est purement algébrique. Comme on l’a vu précédemment, la formulation mathématique de la TNG est basée sur une structure de champ non symétrique avec les composantes d’une métrique gµν non symétrique qui peuvent être décomposées selon2,† gµν = g(µν ) + enn g [µν ] (3.1.4) où g(µν) et g [µν] sont les parties symétrique et antisymétrique, respectivement. On définit aussi le tenseur inverse (ou contravariant) g µν par la relation µ gµν gµσ = gνµ g σµ = δ νσ µ (3.1.5) où g = det(gµν ) ≠ 0 (et est réel) et l’ordre des indice est très important. Les opérations d’élévation et d’abaissement des indices dans la TNG ne sont pas uniques. Alors, on définit3 γ (λ µ)g (λ ν) = δ µν (3.1.6) Vue que le principe d’équivalence pose encore certains problèmes expérimentaux voir même à l’échelle 10−9 (par exemple, la 5e force), on n’inclut pas cette condition pour l’instant. * † Si {1, en }, (n = 1, 2, 3, ..., N ) représente la base de l’algèbre étendue (voir Section 2.7), la TGE correspond à e n = 0. 77
  • 78 Cependant, si X µν est un tenseur hermitique, respectant la condition X µν = X µν, alors ~ 3 Les Équations du Champ X ρσ = gρν g µσ X µν (3.1.7) S =∫ − g g µν K µν d 4 x (3.1.8) S =∫ − g g µν [ Rµν (W ) + aPµν (W ) + bW[ µ ,ν ] ]d 4 x (3.1.9) est aussi hermitique symétrique. L’action covariante est donnée par2,4,5,6,7 et avec l’Éq. (3.1.1), on obtient où l’action S est invariante sous la transformation λ 1,5,6 W λ µν → W λµν + δ λ µ λ ,ν (3.1.10) et λ est un champ scalaire arbitraire. Pour des valeurs particulières de a et b , l’action S est projectivement invariante sous la transformation8,9 W λ µν → W λµν + δ λ µ où A ν est un champ vectoriel arbitraire (qui peut prendre la forme Wν = W 1 − 4a + (3.1.11) Aν λ [µλ ]). 2,9 Cette invariance tient pour le choix 3 b=0 4 (3.1.12) L’action S est aussi invariant sous la symétrie de transposition10 W λµν → W λνµ gµν → gνµ (3.1.13) Si on définit les composantes d’une nouvelle connexion (voir l’Appendice A) Γ λµν = W λµν + 2 λ δ µ Wν 3 (3.1.14) où, maintenant, Γµ = Γ λ[µλ ] = 0. Alors, la densité lagrangienne devient9,11  4 16  L = gµν [Rµν (Γ) + aPµν (Γ) +  − a + b  W[µ,ν ]] 3 3   (3.1.15) R µν (Γ) = Γ λµν, λ − Γ λ(µλ), ν − Γ ρσν Γ σµρ + Γ ρ(σρ) Γ σµν (3.1.16) Pµν (Γ) = Γ ρ(ρµ), ν − Γ ρ(ρν), µ (3.1.17) où Aussi 3.2 Les Équations du Champ dans le Vide Il y a deux méthodes pour trouver les équations du champ dans la TNG12,13 : 1. le formalisme de Palatini au premier ordre,14 2. le formalisme de Hilbert au second ordre.15 On utilisera la méthode décrite en (1) mais la méthode (2) fut étudiée de détails.8,16,17,18 Les quantités g et W sont variées indépendamment et δ g et δ W doivent disparaître aux frontières. La variation de la densité lagrangienne L, donnée par l’Éq. (3.1.14), par rapport aux composantes W λ µν donne2,9
  • 79 3.1 Les Équations du Champ dans le Vide gµν,σ + gρνW µρσ + gµρW νσρ − gµνW ρσρ + gµρ,ρ δ ν σ + gαβW µαβ δ νσ + (2a − 3.2 Les Équations du Champ dans] le Vide [νρ µ +g ,ρ δ 1 σ+ 2 1 2 b) + b g[µρ],ρ δ νσ = 0 (3.2.1) En fonction de l’Éq. (3.1.13), l’Éq. (3.2.1) assume une forme plus simple gµν,σ + gρν Γ µρσ + gµρ Γ νσρ − gµν Γ ρ(σρ) + 2 3 [(1 − a)δ µσ g[νρ], ρ − aδ νσ g[µρ], ρ] = 0 (3.2.2) Maintenant, l’Éq. (3.2.2) peut s’écrire −g ,σ = − g Γρ(ρσ) − (a − 1 2 ) gσµ g[µρ], ρ − 2 3 a g[σµ] g[µρ], ρ (3.2.3) Selon l’Éq. (3.1.4), le second terme à la droite de l’Éq. (3.2.3) doit disparaître ; ceci arrive lorsque a = ½. Alors9 −g ,σ − g Γ ρ(ρσ) = (3.2.4) 3 3 En contractant l’Éq. (3.2.1) par rapport aux indices µ et σ donne (2 − 8a + 2 b) g[µν],ν = 0 avec (2 − 8a + 2 b ) ≠ 0, ce qui 1,12 implique que g[µν ],ν = 0 (3.2.5) dans le vide. En manipulant davantage l’Éq. (3.2.2) et en tenant compte de l’Éq. (3.2.5), on obtient la condition de compatibilité de la métrique non symétrique* gµ (+)ν (−) ;σ ≡ g µν, σ − gρν Γ ρµσ − g µρ Γ ρνσ (3.2.6) On observe que même si on aurait substitué les valeurs de a et b , on aurait obtenu le même résultat : l’Éq. (3.2.6) est valide pour un groupe de valeurs différentes de a et b menant ainsi à plusieurs versions des théories non métriques. La variation de L , donnée par l’Éq. (3.1.14), par rapport aux composantes de la densité gµν donne  4 16  Rµν (Γ) +  − a + b  W[µ, ν ] = 0 3 3   (3.2.7) Il est de coutume de fixer b = 2, de sorte que le rotationnel de Wµ n’apparaisse pas directement dans L lorsqu’il est écrit en fonction de W. Donc, on fixe les valeurs de a et b à a = ½ et b = 2, et les équations dans le vide pour la TNG deviennent Rµν (Γ) = 2 3 W[ν, µ ] (3.2.8) On peut maintenant exprimer le tenseur de courbure contracté de la TNG sous la forme (avec a = ½) Rµν (Γ) = Γ λµν,λ − 1 2 (Γ λ(µλ ),ν + Γ λ(νλ ), µ ) − Γ ρσν Γ σµρ + Γ ρ(σρ ) Γ σµν (3.2.9) et les équations du champ de la TNG dans le vide peuvent être écrites de la façon suivante1,12,19 g[µν ], ν = 0 Rµν (Γ) + 2 3 W[µ, ν ] = 0 (3.2.10) (3.2.11) R{[µν ], σ }(Γ) = 0 (3.2.12) R{[µν ], σ }(Γ) = R[µν ],σ (Γ) + R[νσ ], µ (Γ) + R[σµ ], ν (Γ) (3.2.13) où On remarque que les équations finales ne dépendent ni de a ou de b. Le postulat de symétrie hermitique n’a pas joué de rôle prédominant dans cette dérivation. Les équations du champ peuvent aussi être trouvées en utilisant Wµ comme multiplicateur de Lagrange et en utilisant la symétrie hermitique (ou de transposition). * On se rappelle la convention (+) et (−) d’Einstein : A µ(+);ν = A µ,ν − ΑλΓ λµν et A µ(−);ν = A µ,ν − ΑλΓ λνµ .
  • 80 Les équations du champ pour la TNG peuvent aussi être trouvées à partir du formalisme au second ordre en traitant les composantes gµν et Wµ comme des variables indépendentes et les équations résultantes sont identiques à celles obtenues suivant le formalisme au second ordre.17 3 Les Équations du Champ 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles Considérons les composantes du tenseur de courbure (contractées) de la TNG, l’Éq. (3.2.9), dans lequel on substitue l’Éq. (3.1.13) que l’on exprime sous la forme 1 Rµν (W ) = W λµν, λ − 2 (W λµλ,ν + W λνλ,µ ) + W ρµν W σρσ − W ρµσ W σρν (3.3.1) Rµν (W ) = Rµν (Γ) + 2 W[µ, ν ] 3 (3.3.2) qui peut être écrit comme où Rµν (Γ) est donné par l’Éq. (3.2.9). La densité lagrangienne la plus générale avec la présence de sources matérielles est donnée par1,2 L = gµνRµν (W ) + a gµνPµν (W ) + b gµνW[µ, ν] + 2Λ − g + Lm (3.3.3) où a et b sont des constantes réelles et Λ est la constante cosmologique.95 Avant de procéder plus loin, on a déjà proposé l’invariance de la densité lagrangienne de l’Éq. (3.1.8) sous la transformation λ W λ µν → W λµν + δ λµ λ , ν (3.3.4) Il en est autant pour la densité lagrangienne de l’Éq. (3.3.3) avec sources matérielles. Cette invariance λ nous signale l’existence d’une densité de courant conservée Sµ qui doit être incluse implicitement dans la densité lagrangienne L , et que l’on nomme densité lagrangienne matérielle et qui se lit1,2,11,19,20 Lm = −8π gµν Tµν + 8π Wµ S µ 3 (3.3.5) où T µν sont les composantes du tenseur d’énergie-impulsion. Comme on l’a vu auparavant [Éq. (3.2.1)], on fait une variation de L, donnée par l’Éq. (3.3.3), par rapport à gµν ce qui nous donne l’équation du champ suivant2 1 R µν + aPµν + bW[µ, ν ] − 2 g µν (R + aP + bg[ρσ ]W[ρ, σ ]) = 8 π Tµν (3.3.6) où R et P sont les scalaires de courbure associés à Rµν et Pµν , respectivement. La variation par rapport à W λµν nous amène à un deuxième système d’équations gµν,σ + gρν W µρσ + gµρ W νσρ − gµν W ρσρ −δ νσ (gµρ, ρ + gαβ W µαβ) + + (2a − 1 2 b )δ µσ g[νρ],ρ + 1 2 bδ νσ g[µρ],ρ + 4π 3 (3.3.7) (Sν δ µσ − Sµ δ νσ) = 0 Quatre de ces soixante-quatre équations ne contiennent pas W, comme on peut le voir en faisant la contraction sur µ et σ (2 − 8a + avec (2 − 8a + 3 2 3 2 b ) g[µν], ν = 8 π S µ (3.3.8) b) ≠ 0. À chaque point, il est convenable d’introduire notre nouvelle connexion [voir l’Éq. (3.1.13)] Γ λµν = W λµν + 2 δ λµ Wν 3 (3.3.9) (où Wν = W λ[νλ ]) en fonction de laquelle l’Éq. (3.3.7) assume une forme plus simple gµν,σ + gρν Γµρσ +gµρ Γ νσρ − gµν Γρ(σρ) + 2 [(1 − a)δ µσ g[νρ],ρ − aδ νσ g[µρ],ρ] = 0 3 (3.3.10)
  • 81 Ces soixante-quatre équations ne peuvent pas déterminer complètement la connexion Γ comme fonction de gµν, puisque la compatibilité de Γ avec une structure algébrique scinde ainsi la connexion en soixante-quatre composantes réelles et soixante-quatre composantes algébriques.9 Cependant, étant donnée l’Éq. (3.1.4), il est naturel aussi de postuler que la partie symétrique de Γ soit réelle et que la partie antisymétrique soit algébrique 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles Γ λµν = Γ λ(µν) + enn Γ λ[µν ] (3.3.11) Lorsqu’il y a la présence de sources, Γ et W ne sont plus compatibles avec gµν. Il existe, tout de même, une connexion qui est compatible, cependant [voir l’Éq. (3.3.22) ci-dessous]. Cette fois-ci, l’Éq. (3.3.10) implique que −g ,σ − g Γρ(ρσ ) − (a − = 1 2 ) gσµ g[µν ], ν − 2 3 a g[σµ ] g [µν ],ν (3.3.12) Selon l’Éq. (3.1.4), le second terme à la droite de l’Éq. (3.2.12) doit disparaître ; ceci arrive lorsque a = ½. Alors −g ,σ 4π 3 − g Γρ(ρσ ) − = g[σµ ] Sµ (3.3.13) est réel. Aussi longtemps qu’elle n’est pas égale à 4/3, l’autre constante b est maintenant arbitraire car elle peut être absorbée par Wµ avec une renormalisation de l’échelle de Sµ. Il est de coutume de fixer b = 2, de sorte que le rotationnel de Wµ n’apparaisse pas directement dans L lorsqu’il est écrit en fonction de W. Donc, on fixe les valeurs de a et b à a = ½ et b = 2. Maintenant, il est possible de réduire le nombre de structures physiquement viables à une seule (en plus du cas réel de la TGE) en exigeant que la version linéarisée de L soit exempte de modes fantômes. Alors, dans les Éqs. (3.1.4) et (3.3.11), N = 1 et e12 = +1. Ceci nous donne la densité lagrangienne unique de la TNG1,2,17 L = gµνR µν (W) − 2Λ − g − 8π gµν Tµν + 8π Wµ Sµ 3 (3.3.14) avec 1 R µν (W ) = W λµν, λ − 2 (W λµλ, ν + W λνλ, µ ) + W ρµν W σρσ − W ρµσ W σρν , Rµν (W ) = R µν (Γ ) + (3.3.15) 2 3 W[µ, ν] La valeur de a imposée par l’invariance de transposition a effectivement symétrisée le second terme de la courbure R µν . Exprimées avec les variables fondamentales du champ : Γ λ µν , g µν et Wµ , les équations du champ avec la présence de sources matérielles dans la TNG sont données par1,2,17,21 Gµν (Γ) ≡ Rµν (Γ) − 1 2 g µν gρσ Rρσ (Γ) = 8π T µν − Λgµν − 2 3 W[ µ, ν] + 1 gµν g[ρσ]W[ ρ,σ] 3 (3.3.16) g[µν ], ν = 4π Sµ (3.3.17) Gµν (W ) = 8π T µν + Λgµν (3.3.18) ou bien, en fonction de W λ µν , g µν et Wµ g[µν ], ν = 4 π Sµ (3.3.19) 1 où Gµν (W ) = R µν (W ) − 2 gµν R . Les équations du champ peuvent aussi s’écrire19,22,23 gµν,σ + gρν Γ µρσ + gµρ Γ νσρ − gµν Γ ρ(σρ) + 4π (Sν δ µσ − Sµ δ νσ) = 0 3 (3.3.20) En introduisant une nouvelle connexion Λλµν Λλµν = Γ λµν − D λµν (S ) (3.3.21)
  • 82 l’Éq. (3.3.20) peut être réécrite en deux équations,* soit l’équation de compatibilité matérielle de la métrique non symétrique gµν, σ − g ρν Λρµσ − gµρ Λρσν = 0 (3.3.22) 93 et, l’équation de compatibilité (matérielle) de la source TNG 4π ρ du ρ = Équationsgµσ Champ µρ g σν + gµν g [σρ ]) g ρν D ρµσ + g µρ D 3σνLes− S ( g ρν − g 3 (3.3.23) On remarque que lorsque S µ = 0, les Éqs. (3.3.21) et (3.3.22) se réduisent à celles du vide et l’Éq. (3.3.23) disparaît. On a aussi la relation utile −g ,σ − g Γµ(σµ ) + = 4π µ S g[µσ ] 3 (3.3.24) Les Éqs. (3.3.22) et (3.3.23) rendent les calculs, dans la TNG, très difficiles lorsqu’il y a présence de sources matérielles et c’est pourquoi il est à notre avantage, pour les calculs futurs, que nous puissions décomposer ces équations et ainsi exprimer le tenseur de courbure. Donc, en fonction des connexions Λλµν et D λµν, le tenseur de courbure R µν (Γ ), donnée dans l’Éq. (3.3.15), peut être exprimée par ses parties symétrique et antisymétrique. Alors R(µν)(Γ) = R(µν)(Λ) − R(µν)(D) − R (µν)(ΛD) (3.3.25) où R(µν)(Λ) = Λλ(µν), λ − R(µν)(D ) = D λ(µν),λ − 1 2 (Λλ(µλ), ν + Λλ(νλ), µ) + Λσ(µν)Λρ(σρ) − Λρ(µσ)Λσ(ρν) − Λρ[µσ]Λσ[ρν ] (3.3.26) (D λ(µλ),ν + D λ(νλ), µ) − D σ(µν)D ρ(σρ) + D ρ(µσ)D σ(ρν) + D ρ[µσ]D σ[ρν ] (3.3.27) 1 2 R (µν)(ΛD) = Λσ(µν)Dρ(σρ) + Λρ(σρ)Dσ(µν) − Λρ(µσ)D σ(ρν) − Λρ(νσ)Dσ(ρµ) − Λρ[µσ]Dσ[ρν ] −Λσ[ρν ]D ρ[µσ] (3.3.28) R[µν](Γ) = R[µν ](Λ) − R[µν](D) − R [µν](ΛD) (3.3.29) tandis que où R[µν](Λ) = Λλ[µν ], λ − Λσ[µν ]Λρ( σρ) − Λρ(µσ)Λσ[ρν] − Λρ[µσ]Λ σ( ρν) R [µν ](D) = D λ [µν ], λ −D σ ρ [µν]D (σρ) +D ρ σ (µσ)D [ρν ] +D ρ (3.3.30) σ [µσ ]D ( ρν) (3.3.31) R [µν](ΛD) = Λσ[µν ]D ρ(σρ) + Λρ(σρ)Dσ[µν] − Λρ(µσ)D σ[ρν] − Λρ[νσ]Dσ(ρµ) + Λρ(νσ)Dσ[ρµ] +Λρ[νσ]Dσ( ρµ) (3.3.32) Ces relations nous servirons plus tard dans le Chapitre 4. 3.4 Les Identités de Bianchi et les Lois de Conservation À partir de l’invariance de la densité lagrangienne donnée par l’Éq. (3.3.3) sous les transformations des coordonnées, on peut obtenir les quatre identités de Bianchi dans la TNG11,19 [gσν Gρν (Γ) + gνσ Gνρ (Γ)],σ + gµν,ρ Gµν (Γ) = 0 (3.4.1) En substituant l’Éq. (3.3.16) dans l’Éq. (3.4.1), on obtient 8 π (g σν Tρν + g νσ Tνρ),σ − 2 (gσνW[ρ, ν] + gνσW[ν, ρ]),σ + 1 (gσνgρν g [α, β]W [α, β] + gνσgνρ g[αβ]W[α,β ]), σ + 3 3 + 8 π gµν,ρ Tµν − 2 g αβ, ρ 3 − g W[α, β] + 1 3 − g g µν, ρ g [αβ ]W[α, β] = 0 (3.4.2) Le second terme de l’Éq. (3.4.2) peut être calculé pour donner * On peut aussi procéder de la façon suivante : écrire les équations du champ (3.3.7) en fonction de Λλµν (en utilisant aussi gµν gσν = gνµgνσ = δ considérant les paramètres a = ½ et b = 2. µ σ ) tout en
  • 83 2 3 (gσν, σ W[ρ, ν] + gνσ, σ W[ν, ρ] + gσνW[ρ, ν ],σ + gνσW[ν, ρ], σ) = − 16π W[ρ, ν]Sν − 4 g[νσ]W[ρ, ν ],σ g 3 3 (3.4.3) Des équations du champ, l’Éq. (3.3.21), on trouve la relation gµν g µν, σ = 2Λρ(σρ) (3.4.4) − g Λρ (3.4.5) ce qui donne −g = σ (σρ) 3.4 Les Identités de ,Bianchi et les Lois de Conservation En utilisant les Éqs. (3.4.3) et (3.4.5) dans l’Éq. (3.4.2), on a 1 2 1 (g σν Tρν + gνσ Tνρ),σ + 2 gµν,ρ Tµν + 1 W[ρ, σ] Sσ + 2 g[στ]W[ρ, σ],τ + 3 3 1 3 g[αβ]W [α, β ],ρ = 0 (3.4.6) Les deux derniers termes dans l’Éq. (3.4.6) donnent 2 3 g[νσ]W[ρ, ν], σ + 1 g[αβ ]W[α, β], ρ = 1 (g[νσ]W[ρ, ν], σ + g[σν ]W [ρ, σ], ν + g[αβ ]W[α, β], ρ) 3 3 g = 1 g[νσ]( W[ρ,ν ], σ + W[σ, ρ],ν + W[ν, σ], ρ ) = 0 3 (3.4.7) On obtient donc le résultat 1 2 1 (gσν T ρν + gνσ Tνρ),σ + 2 gµν, ρ Tµν + 1 W[ρ, σ] Sσ = 0 3 (3.4.8) En utilisant les expressions T µν = gανg µβ Tαβ et gαβ,σ = −g ανgµβ g µν, σ , on peut écrire l’Éq. (3.4.8) dans la forme 1 2 1 (gµρ T µσ + gρµ T σµ ),σ − 2 gµν, ρ T µν + 1 W[ρ,ν ] Sν = 0 3 (3.4.9) En poursuivant la différentiation dans le premier terme de l’Éq. (3.4.9), on obtient les quatre lois de conservation de la TNG 1 2 (g µρ Tµσ, σ + gρµ Tσµ,σ) − [µν ,ρ] T µν + 1 W[ρ, ν ] Sν = 0 3 (3.4.10) où 1 [µν, ρ] = 2 (g µρ, ν + g ρν, µ − g µν, ρ) (3.4.11) L’Éq. (3.4.10) représente les lois de conservation rigoureuse de la TNG qui seront utilisées pour déterminer les équations du mouvement des particules d’essais. L’Éq. (3.4.10) peut être réécrite de la façon suivante (g µρ Tµσ + g ρµ Tσµ ),σ − gµν,ρ Tµν + 2 3 W[ρ, ν ]Sν = 0 (3.4.12) que l’on appelle parfois l’équation de réponse matérielle. Une cinquième identité est donnée par g[µν], µ, ν = 4π Sµ, µ = 0 (3.4.13) obtenue de l’invariance de la densité lagrangienne L , donnée par l’Éq. (3.3.14), sous la transformation de jauge U(1)(R+) 18 Wµ → W µ + λ , µ (3.4.14) et le théorème de Noether. λ est un champ scalaire arbitraire purement imaginaire. On écrit parfois l’Éq. (3.4.13) comme Sµ,µ = 0 (3.4.15) tout simplement. C’est une loi de conservation pour S µ ou Sµ. L’Éq. (3.4.13) ou les Éqs. (3.4.12) et (3.4.15), sont respectivement reliées aux identités suivantes g[µν ],µ, ν = 0 (3.4.16) [g σν Gρν(Γ) + gνσ Gνρ(Γ )], σ + g µν, ρ Gµν(Γ) = 0 (3.4.17) et où
  • 84 Gµν(Γ) = − g [Rµν(Γ) − 1 2 gµν R(Γ)] (3.4.18) Comme dans la TGE, les lois de conservation nous permettent de réduire le nombre d’équations nécessaires pour trouver les composantes de la métrique non symétrique. 3 Les Équations du Champ 3.5 La Source S µ Notre densité lagrangienne est donnée par l’Éq. (3.3.14) L = gµνRµν(W ) + Lm (3.5.1) où Lm est la densité lagrangienne pour les sources matérielles phénoménologiques données par (dans la limite à faible énergie et Λ = 0) Lm = −8π g µν Tµν + 8π Wµ Sµ 3 (3.5.2) Ici, Tµν et Sµ sont les sources du champ gµν. De plus, la densité tensorielle hermitique est11 Tµν = − 1 ∂L µν 8π ∂g (3.5.3) et Sµ est une densité de source vectorielle purement imaginaire donnée par13,24 Sµ = − 3 ∂L 8π ∂Wµ (3.5.4) On sait que les sources phénoménologiques du courant sont, en général, données par13,24 Sµ (x) = ∑ ei ∫ δ 4[x − xi(τ )] d 4τ (3.5.5) i où ei est la charge généralisée de la i-ème particule, et uµ = dxµ/dτ est le quadri-vecteur vitesse. Maintenant, on postule que la densité vectorielle Sµ est proportionnelle à la densité de courant du nombre de particules fermioniques, qui, pour un système macroscopique comme une étoile, peut être écrite11 Sµ = − g ∑ f i2 ni u µ (3.5.6) i où fi est la constante de couplage du i-ème type de fermion (qui possède des dimensions de longueur) et ni est la densité de nombre du i-ème fermion. En termes de spineurs fermioniques de Dirac ψ i, on a S µ = − g ∑ f i 2ψi γ µ ψ i (3.5.7) i Puisque Sµ = − g S µ, on peut interpréter S µ = ∑ f i2 ni u µ i (3.5.8) comme étant le nombre conservé de particule d’un fluide. La charge TNG nette associée à un corps est définit par2,11 l2 = qTNG(x) ∫ S t d 3 x (3.5.9) qui correspond à une nouvelle constante d’intégration originalement associée à la solution statique à symétrie sphérique pour les équations du champ dans le vide de la TNG. (Voir Section 4.1).
  • 85 3.6 La Source T µν Dans le cas de la TGE, le fluide parfait peut être dérivé du principe variationnel en utilisant l’un ou l’autre des postulats suivants18 : µν 3.6 La Source T 1. Le courant de la masse au repos est conservé ρ *,µ ≡ ( − g ρo u µ ),µ = 0 (3.6.1) où ρo est la densité de la masse du fluide au repos. 2. Il existe une relation entre la pression du fluide, p, et ρo, soit l’équation d’état p = p(ρo) (3.6.2) En général, un fluide parfait possède deux degrés de liberté. Dans le cas (1) ci-dessus, on prend ces deux degrés de liberté comme étant représentés par la densité de la masse du fluide au repos, ρo, et l’entropie spécifique au repos, s. Le mot repos réfère au repère localement inertiel (ou au repos) et le mot spécifique implique par unité de masse. Dans le cas (2) maintenant, les deux degrés de liberté sont représentés par ρo et p. Cependant, l’Éq. (3.6.2) implique que toutes les variables thermodynamiques peuvent être décrites en fonction d’une seule variable. On suppose que cette variable du fluide est ρ o. Nous allons dériver le tenseur du fluide parfait dans la TNG en utilisant le postulat de la conservation de la masse au repos [postulat (1)]. La densité lagrangienne pour la TNG devient donc L = gµνRµν (W ) + β Wµ [ − g n(ρo, s)c−1uµ ] +σ +σ − g F(ρo, s) + − g λ1(gµν u µu ν − c2) + σ λ2 ( − g ρou µ),µ + − g λ3 X,µ u µ + − g λ 4 s, µ u µ (3.6.3) où on a rétabli la vitesse de lumière, c, pour rendre plus facile la visualisation des dimensions physiques. De plus, on a σ = 16 π G/c2 et β = (8 π /3) f 2, f est la constante de couplage des fermions dans la TNG. La forme phénoménologique explicite de S µ, le courant fermionique de la TNG, a été substitué dans le second terme de l’Éq. (3.6.3). La définition de S µ utilisée est la suivante S µ = c−1f 2n uµ La densité lagrangienne du fluide, (3.6.4) − g F(ρo, s), est définie comme étant92 − g F(ρo, s) ≡ − g ρo [Π (ρo, s) + c2] (3.6.5) avec Π (ρo, s) étant l’énergie interne spécifique au repos. Les multiplicateurs de Lagrange* λ1, λ2, λ3 et λ4 respectivement forcent les contraintes suivantes97 : 1. Normalisation des vecteurs vitesse g µν u µ u ν = c2 (3.6.6) ρ *,µ ≡ ( − g ρo u µ ),µ = 0 (3.6.7) X,µ u µ = 0 (3.6.8) 2. Conservation de la masse au repos 3. Conservation de l’identité de la particule où X(x) est le nombre (et x, la coordonnée) qu’on assigne à chaque particule (plus petit élément) du fluide. L’Éq. (3.6.8) nous dit que ce nombre ne change pas au fur et à mesure qu’on se déplace avec la particule du fluide. 4. * Conservation de l’entropie pour les particule du fluide La méthode des multiplicateurs de Lagrange nous permet de trouver la fonction principale sachant qu’il existe des contraintes dans un système donné.
  • 86 s,µ u µ = 0 (3.6.9) Cette contrainte nous dit que même si l’entropie spécifique au repos n’est pas constante dans tout le fluide, elle l’est pour une particule donnée du fluide. On procède maintenant à la variation de la densité lagrangienne donnée par l’Éq. (3.6.3) en utilisant gµν, W λµν, ρo, uµ, X et s comme nos variables de champ. La variation 3 Les Équations du Champ, faite indépendamment l’une de l’autre, constitue par rapport à gµν et W λµν la variation à la Palatini dans la TNG. On suppose que la densité du nombre fermionique, n, est une fonction de ρo et s, les deux degrés de liberté thermodynamiques du fluide. La variation selon ρo donne l’équation suivante  ∂F  ∂ρ o σ λ2, µ u µ = σ    β  ∂n  +   c  ∂ρ o s     s (3.6.10) La variation selon u µ donne 2λ1σ g (µν) u µ = σ λ2, ν ρo − β c nWν − λ3X, ν − λ4 s, ν (3.6.11) En multipliant cette équation par uµ et en utilisant les Éqs. (3.6.6), (3.6.8), (3.6.10) et (3.6.10), on obtient l’équation suivante pour λ1 2 σ λ1 = 1 c2   ∂F  σρ ο   ∂ρ   ο   ρ   ∂n  + ρ    s c   ∂ρ ο      − n  (Wµ u µ )    s    (3.6.12) La variation selon X donne ( − g uµλ3), µ = 0 (3.6.13) La variation selon s donne à son tour ( − g uµλ4), µ = −g c   ∂Π   ∂n      + β (Wµ u µ )   σρ ο   ∂s   ∂s    ρo   ρo     (3.6.14) La variation par rapport à W λ µν donne les équations suivante ( − g )−1( − g gµν), σ + g ρνW µρσ + g µρW νσρ − g µνW ρσρ + + 2 3 δ νσ gµρW β[ρβ ] + 4π 3 (S µδ µσ − S µδ νσ) = 0 (3.6.15) et ( − g g [µν]), ν = 4 π −g Sµ (3.6.16) 1 µν 1 1 n  g R(W) = σ λ1uµuν + σ g µν(F − ρoλ2, νu ν) + ρ  Wµ u µ  gµν c 2 2 2   (3.6.17) La variation par rapport à gµν donne le résultat G µν(W) ≡ Rµν(W) − En utilisant les Éqs. (3.6.10) et (3.6.12), l’Éq. (3.6.17) devient Gµν(W) = 1 2c 2   ∂F  σρ o   ∂ρ   o   β   ∂n  + ρo     s c   ∂ρ o       − n (Wµ u µ )u µ uν +   s    (3.6.18)    ∂F 1  + g µν σ  F − ρ o   ∂ρ 2    o     β   ∂n   + n −     s  c   ∂ρ o        ρ o  (Wµ u µ )   s    
  • 87 La dérivée (∂F/∂ρo)s peut être réécrite en fonction de l’énergie spécifique, ε, en utilisant l’Éq. (3.6.5). On a   ∂Π 1  =  Π (ρ o , s ) + c 2 + ρ o    ∂ρ s c   o 3.7  L’Approximation Linéaire  ∂F   ∂ρ  o      s   (3.6.19) Pour obtenir la valeur pour (∂Π /∂ρo)s, on utilise la première loi de la thermodynamique (forme relativiste)  1 T ds = dΠ + pd  ρ  o     (3.6.20) avec T , la température et p, la pression du fluide. Ceci nous dit que  ∂Π   ∂ρ  o  p  = 2  ρo s  ∂Π    =T  ∂s  ρ (3.6.21) o Alors, l’Éq. (3.6.18) devient Gµν(W ) = [ ] 1 σ σ µ ν µν  2  ρ o ( Π + c ) + ( p + po ) u u − ( p + po ) g  2c  χ 2c  (3.6.22) où po =  β   ∂n  µ ρo   ∂ρ  − n (Wµ u )  σ   o s    (3.6.23) Si on définit la dérivée le long du parcours du fluide comme étant d/d τ = u µ d/dxµ, alors on doit avoir dn  ∂n = dτ  ∂ρ o   dρ o  ∂n  ds   dτ +  ∂s  dτ   ρo s (3.6.24) En utilisant cette équation, avec les contraintes formulées par les Éqs. (3.6.7) et (3.6.9), en plus du fait que ( − g S µ ), µ = 0, on a  ∂n   ∂ρ  o  n  =  ρo s (3.6.25) Alors, on obtient le résultat que p o = 0. En incorporant toutes les constantes, l’Éq. (3.6.22) devient G µν(W ) = 8π G Tµν c4 (3.6.26) Les composantes du tenseur d’énergie-impulsion dans la TNG, T µν, sont données par T µν = 1 [ρo(Π + c2) + p] uµ uν − pgµν c2 (3.6.27) On a alors obtenu l’équation d’un fluide parfait dans la TNG, possédant la même forme que dans la TGE, soit Tµν = 1 (ρ + p) uµ u ν − p gµν 2 c (3.6.28) où ρ = ρo( Π + c2) (3.6.29) est la densité de masse-énergie. On utilisera les Éqs. (3.6.28) et (3.6.29) à de nombreuses occasions dans cet ouvrage.
  • 88 3.7 L’Approximation Linéaire 3 Les Équations du Champ Considérons maintenant la limite en champ faible dans la TNG où on étend g µν autour d’un espace-temps plat de Minkowski 1 gµν = η µν + ε g µν (3.7.1) 1 où g µν est un tenseur hermitique, ε << 1, et η µν est la métrique usuelle de Minkowski. Nous allons résoudre les équations 1 du champ au plus petit ordre en g µν . Les parties symétrique et antisymétrique de g µν sont donc, respectivement, données par 2 1 g(µν) = ηµν + ε g (µν) + ε 2 g (µν) + ... (3.7.2) 2 1 g [µν ] = ε g [µν ] + ε 2 g [µν ] + ... (3.7.3) Puisque notre convention pour élever et abaisser les indices se fait à partir de g µρgνρ = g ρµgρν = δ µν, il suit que25 1 1 1 1 g(µν) = ηµν − ε g (µν) + ε 2 g ρ (µ g ν)ρ + O( g 3) 1 1 (3.7.4) 1 1 g[µν ] = ε g [µν ] + ε 2 g ρ[µ g ν]ρ + O ( g 3) (3.7.5) e2 1 2 1 1 νµ 1 g = −1 − ε η − ( g − g µν g ) + O( g 3) 2 (3.7.6) et 1 1 1 où les indices sur g µν sont élevés et abaissés en utilisant g µν, c’est-à-dire g µν = gµρ g ρν et où g = g µµ . De plus 2 1 Γλµν = ε Γ λµν + ε 2 Γ λµν + ... (3.7.7) et Wµ = ε 1 1 2 (3.7.8) W µ + ε 2 W µ + ... 2 On trouve les g µν, g µν, etc. à partir de la condition d’orthogonalité (g µρ gνρ = g ρµ gρν = δ µν ) 1 1 2 2 g µν = −η µαηβν g βα g µν = −η µαηβν g 1 βα 2 3 g µν 1 + ηµαη βνηρσ g ρα g βσ 2 (3.7.9) 3 1 1 = −η µαηβν g βα + ηµαη βνηρσ g ρα g βσ + ηµρηαγηβν g γα g βρ + 1 1 1 +ηµρη νβηαεηδγ g εδ g γρ g βα Il suit que 1 1 g [µν ] = −ηµαη βν g [αβ] 2 1 1 1 1 1 µα βν γδ g [µν ] = −ηµαη βν g [αβ] + η η η ( g (γα) g [βδ ] + g [γα] g (βδ) ) Donc, en première approximation, on obtient (3.7.10)
  • 89 1 1 µν g (µν) 2 η L’Approximation Linéaire −g =1 + 3.7 (3.7.11) et en seconde approximation 2 2 1 1 1 g [µν ], ν = −(ηµαη βν g [βα]), ν −[ 2 ηβνηγδ g (γδ) g [βα] − µα βν γδ 1 (3.7.12) 1 1 1 −η η η ( g (γα) g [βδ] + g [γα] g (βδ))], ν Considérons maintenant l’Éq. (3.2.6), sous forme covariante g µν, σ − g λν Γλµσ − gµλ Γλσν = 0 (3.7.13) En permutant de façon cyclique les indices µνσ doublement dans les Éqs. (3.7.13) et en résolvant, on obtient g(λσ) Γλµν = 1 2 ( gσν, µ + gµσ, ν − gνµ, σ) − g[µλ]Γ λνσ − g [λν ]Γ λσµ (3.7.14) En substituant les développements donnés par les Éqs. (3.7.2), (3.7.3) et (3.7.7) dans l’Éq. (3.7.14) nous donne la solution récursive au n-ème ordre n Γ λµν = ( gσν, µ + gµσ, ν − g νµ, σ)n − 1 2 n−1 −η λσ ∑ m=1 n−m m (g Γ (ρσ) ρ µν n−m m g [µρ] Γ n−m m ρ νσ g [ρν] ρ σµ Γ (3.7.15) ) Au premier et au second ordre, l’Éq. (3.7.15) devient 1 Γ λ(µν) = 2 Γ λ(µν) = 1 2 1 2 Γ λ[µν] = 2 2 ηλσ( g (σν),µ + g (µσ), ν − g 1 1 1 ηλσ( g (σν),µ + g (µσ), ν − g −2( g Γ λ[µν] = 1 2 1 2 1 β [βν ] Γ [σµ] 1 [µβ ] 1 ηλσ( g [σν ],µ + g [µσ], ν − g 2 1 β [βν ] Γ (σµ) 1 (αβ) Γ β(µν)) 1 1 2 1 (3.7.17) − 1 ηλσ( g [σν ],µ + g [µσ], ν − g −2( g (3.7.16) Γ β[νσ] + g 1 2 2 (νµ), σ) 1 1 +g (νµ), σ) (3.7.18) [νµ], σ) 2 1 +g [νµ], σ) 1 [µβ ] − 1 Γ β(νσ) + g 1 (αβ) Γ β[µν ]) (3.7.19) Maintenant, puisque Rµν (Γ) = Γλµν,λ − 1 2 ( Γ λ(µλ), ν + Γλ(νλ), µ) − ΓσρνΓρµσ + Γσ(ρσ) Γρµν (3.7.20) et que Γµ = Γλ[µλ] = 0, on obtient 1 1 1 2 2 2 R (µν) = Γ λ(µν), λ − Γ λ(µλ), ν (3.7.21) 2 2 2 2 R (µν) = Γ λ(µν), λ − Γ λ(µλ), ν − Γ ρ(µσ) Γ σ(ρν) − Γ ρ[µσ] Γ σ[ρν ] + 2 2 + Γ σ(ρσ) Γ ρ( µν) 1 1 2 2 (3.7.22) R [µν ] = Γ λ[µν ], λ (3.7.23) 2 2 2 2 R [µν ] = Γ λ[µν ], λ − Γ ρ(µσ) Γ σ(ρν) − Γ ρ[µσ] Γ σ(ρν) + 2 2 + Γ σ(ρσ) Γ ρ[µν ] (3.7.24)
  • 90 En permutant trois fois les indices dans l’équation de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.3.14), et en soustrayant les équations résultantes, on obtient g(λσ) Λλµν = 1 2 3 Les Équations du Champ ( gσν, µ + gµσ, ν − gνµ, σ) − g[µλ]Λλνσ − g[λν]Λλσµ (3.7.25) laquelle ressemble, à toutes fins pratiques, à l’Éq. (3.7.14) mais en remplacent la connexion Γ par Λ. Par itération, on obtient de l’Éq. (3.7.25)* 1 1 1 1 (3.7.26) 1 1 1 1 (3.7.27) Λλ(µν) = Λ λ(µν) − η λσ(h(ρσ) Λ ρ(νµ) + h[µρ] Λ ρ[νσ] + h[ρν] Λ ρ[σµ]) + O(h 3) et Λλ[µν ] = Λ λ[µν ] − η λσ(h(ρσ) Λ ρ[µν ] + h[µρ] Λ ρ(νσ) + h[ρν] Λ ρ(σµ)) + O(h 3) où 1 Λ λ(µν) = 1 Λ λ[µν ] = 1 2 η λσ(h (µσ),ν + h(σν), µ + h (νµ), σ) (3.7.28) 1 2 η λσ(h [αν ], µ + h[µσ], ν + h [νµ],σ) (3.7.29) De façon analogue, maintenant appliquée à l’Éq. (3.3.23), on obtient π 1 D λ(µν) = − 43 S σ( 2 δ λµ h[νσ] + 1 2 δ λν h [µσ] − 3 2 ηµνηλτh [τλ ]) + O(Sh 2) (3.7.30) π D λ[µν] = − 43 S σ(δ λµ hλν − δ λν hµσ + δ λµ h (σν) + δ λν h(σµ)) + O(Sh2) (3.7.31) Avec ces résultats, les équations du champ peuvent être développées à l’ordre quadratique dans le champ. En utilisant les Éqs. (3.7.26)-(3.7.31) dans les Éqs. (3.3.26) et (3.3.28), on obtient 1 R(µν)(Λ) = − 2 1 1 h(µν) + 2 [(h (µρ), ρ − h, µ), ν + (h(νρ), ρ − 2 h, ν), µ] 1 1 − 2 (h(ρσ), σ − 2 h, ρ)(h(µρ), ν + h(ρν), µ + h (νµ),ρ) 1 − 1 h (ρσ)(h (µρ), νσ + h (ρν), µσ − h(νµ), ρσ − h(ρσ), µν) − 2 ηρσh (µρ),λ(h(λν), σ − h(νσ), λ) 2 − 1 2 ρσ η [h [µρ]( h [νσ] + h [σλ ],λ, ν + h [νλ ], λ, σ) + h[νρ]( h[µσ] + h[σλ ], λ, µ + + h(µλ),λ, σ) (3.7.32) h [µλ ],λ, σ) + h [µρ], λ(h [νσ],λ − h[λν], λ) + (h[µρ], λh [σλ], ν + h[νρ], λh [σλ ], µ)] − 1 h [ρσ], µh[ρσ], ν − 3 1 2 h [ρσ]h [ρσ],µν + 1 4 h (ρσ), µh(ρσ), ν + O(h 3) et h [µν ] + 1 2 (h [µρ], ρ, ν − h [νρ], ρ, µ) 1 − 2 (h[ρσ], σ − 1 2 h, ρ)(h[ρν ], µ + h[µρ], ν + h [νµ], ρ) 1 R[µν ](Λ) = + 2 1 − 2 h (ρσ)(h [ρν ], µ + h[µρ], ν − h[νµ], ρ), σ − 1 2 ρσ η [h [µρ]( h (νσ) + h (σλ),λ, ν − (3.7.33) h (νλ), λ, σ) − h[νρ]( h(µσ) + h(σλ), λ, µ + h[µρ], λ(h(νσ), λ + h (σλ),ν − h(λν), σ) − h[νρ], λ(h (µσ), λ + h (σλ),µ − h(λµ),ν) + (h (µρ),λh[σλ], ν + h (ρν),λh[λσ], µ + h [µρ],λh(σλ), µ + h [ρν ],λh(λσ),µ)] + O(h 3) 1 * Dans ce qui suit, par soucis d’économie, on fait la substitution suivante : g (µν) = h( µν) , etc. +
  • 91 R(µν)(D) = − 2 πηµν(S λh [λσ]), σ − 16π 2 3 SµSν + O(Sh 2) (3.7.34) π R[µν ](D) = 43 [2S[µ, ν] − Sλ, µh (λν) + S λ, νh(λµ) − Sλ(h (λν),µ − h(λµ), ν)] + O(Sh2) (3.7.35) π R(µν)(ΛD) = 43 (Sµh[νσ], σ + S νh [µσ], σ) + O(Sh 2) (3.7.36) R[µν ](ΛD) = + O(Sh2) (3.7.37) 3.7 L’Approximation Linéaire où les indices ont été élevés et abaissées avec η µν, et Maintenant, puisque (voir Section 3.3) ≡ η µν(∂/∂xµ ) (∂/∂xν ). Γλµν = Λλµν − D λµν (S) (3.7.38) où, au plus bas ordre en hµν, on obtient des Éqs. (3.7.26) et (3.7.27) Λλµν = 1 2 ηλσ(h σν,µ + hµσ,ν − hνµ, σ) + O(h 2) (3.7.39) et, au plus bas ordre en h µν, on obtient des Éqs. (3.7.30) et (3.7.31) D λµν = 1 3 (δ λνh[µσ], σ − δ λµh[νσ],σ) + O(h 2) (3.7.40) où on a utilisé la notation h[µν], ν = η νσ h[µν ], σ Des connexions Λλµν et D λ µν , (3.7.41) on obtient Γ λµν = 1 2 ηλσ(h σν,µ + hµσ,ν − hνµ, σ) − 1 (δ λνh[µσ], σ − δ λµh[νσ],σ) 3 (3.7.42) Retournons maintenant aux équations du champ, l’Éq. (3.3.18) 1 Gµν (W ) = Rµν (W ) − 2 gµνR = 8π T µν (3.7.43) Rµν (Γ) = − 2 W[µ, ν ] + Rµν (W ) 3 (3.7.44) qu’on réécrit de la façon suivante et, avec l’aide de l’Éq. (3.7.43) et du fait que R = 8π T , on obtient 1 Rµν (Γ) = − 2 W[µ, ν ] − 8 π (T µν − 2 gµνT ) 3 (3.7.45) une autre forme des équations du champ (3.3.15) dans la TNG. De plus, on se rappellera des autres équations du champ avec sources, les Éqs. (3.3.19) et (3.3.22) g[µν ], ν = 4π Sµ λ g µν, σ − gλν Λ µσ (3.7.46) λ − gµλ Λ σν =0 (3.7.47) respectivement. Maintenant, en substituant Γ λµσ, donnée par l’Éq. (3.7.42), dans l’Éq. (3.7.45), les équations du champ (3.7.45) et (3.7.46) deviennent h[µν], ν = 4 π Sµ 1 − 2 ( hνµ − h(νσ),σ, µ − h (νσ), σ, µ + h,µν − ,σ 1 h 3 [µσ ] , ν + ,σ 1 h [νσ ] , µ 3 (3.7.48) 1 )= − 2 W[µ, ν]+ 8π (Tµν − 2 hµνT ) 3 (3.7.49) où h = ηµνhµν T = ηµνTµν (3.7.50) Au plus petit ordre, la loi de conservation (3.4.12) est donnée par T (µν), ν = 0 Les Éqs. (3.4.16) et (3.4.17) sont, au plus petit ordre en hµν (3.7.51)
  • 92 R(µν) , ν = 1 2 R, µ (3.7.52) Les Éqs. (3.7.51) et (3.7.52) sont automatiquement satisfaites par l’Éq. (3.7.49). L’Éq. (3.7.48) satisfait les Éqs. (3.4.15) et (3.4.16). Une transformation de jauge de la forme 3 Les Équations du Champ h µν = h µν + 2ε (µ,ν) (3.7.53) laisse les Éqs. (3.7.48) et (3.7.49) invariantes. L’Éq. (3.7.53) est de la forme en champ faible de la transformation des coordonnées x µ = x µ(xµ) ≈ xµ + ε µ(x) (3.7.54) Maintenant, on choisit un système de coordonnées harmoniques définit par gµνΛλµν = 0 (3.7.55) 1 h(µν) , ν = 2 h, µ (3.7.56) ou bien Les équations du champ avec sources, les Éqs. (3.7.48) et (3.7.49), deviennent h[µν], ν = 4 π Sµ h (µν) = − 16π (Tµν − (TGE) h[µν] = − (TNG) 4 3 W[µ, ν ] − 8π 3 (3.7.57) 1 2 h (µν)T ) (3.7.58) S[µ,ν] + 16 πTµν (3.7.59) L’Éq. (3.7.58) est identique à celle que l’on retrouve dans la TGE avec une solution donnéee par24,25 h(µν)(x,t) = 4 ∫ d 3 x′ T( µν ) ( x′, t − x − x′ ) − 1 η µν T ( x′, t − x − x′ ) 2 (3.7.60) x − x′ Les Éqs. (3.7.57) et (3.7.59) doivent être résolues pour h [µν ] et Wµ . Les solutions sont, avec Wµ,µ = 0 Wµ (x,t) = −8 π Sµ (x ,t) −8π Bµ (x,t) (3.7.61) et h [µν ](x,t) = − 2 ∫ d 3 x′ S[ µ ,ν ] (x′, t − x − x′ ) − 2 ∫ d 3 x′ x − x′ B[ µ ,ν ] ( x′, t − x − x′ ) x − x′ − 4 ∫ d 3 x′ T[ µν ] ( x′, t − x − x′ ) x − x′ (3.7.62) où Bµ(x ,t) = ,ν 1 3 T[ µ ,ν ] ( x′, t − x − x′ ) d x′ c∫ x − x′ (3.7.63) Une caractéristique intéressante surgit : h(µν) et h[µν ] se propagent à la vitesse de la lumière, tandis que Wµ possède une partie qui se propage et une autre qui est un terme de contact. Le lagrangien linéarisé de la TNG est, au second ordre25,26 L (2) = LTGE + LS + DT (3.7.64) ν où LTGE est le lagrangien en champ faible au second ordre de la TGE (h,µ = ∂ h[µν]) LTGE = 1 4 h (µν) h(µν) + 1 h(µσ), σ h(µν), ν + 1 h, µ(h(σµ), µ − h, σ) + 8π h (µν)T (µν) 2 2 (3.7.65) De plus, LS est une partie de la densité lagrangienne au second ordre ayant trait au champ antisymétrique h[µν] et le champ de torsion Wµ LS = − 1 h [µν ] h[µν] + 1 h[µσ], σ h[µν], ν − 4 2 2 3 h[µν ], νW[µ, ν] + 8π 3 π h [µν ]S [µ, ν ] − 163 S µ S µ + 8π h (µν)T (µν) 2 (3.7.66)
  • 93 et le terme DT signifie les termes de dérivées totales. Si on adopte la redéfinition du champ au premier ordre27 3 h[µ,ν], ν 2 Planes 3.8 Les Ondes Wµ = − (3.7.67) alors, le lagrangien (3.7.66), pour le cas libre de sources (T µν = Sµ = 0), prend la forme LS = 1 h{[µν ], λ}h{[µν ],λ} 12 (3.7.68) où (3.7.69) h{[µν ],λ} = h[µν ],λ + h[νλ ], µ + h[λµ] , ν est le 3-forme (forme de Pfaff) de la grandeur du champ. Si on définit le dual suivant F =*F µ = * 1 µνρσ ε h {[νρ], σ} 6 (3.7.70) alors les équations du mouvement sont données par d *F = *F µ, µ = 0 (3.7.71) Fµ = φ,µ (3.7.72) ce qui implique que où φ est un champ scalaire. Les équations du mouvement se réduisent alors à une équation d’onde φ=0 (3.7.68) De telles équations sont à la base de la théories des cordes. Pour des sources dites cordées, la forme de T[µν] est T[µν] = 1 f 1 ∑ g a ∫∫ dτadξava[µuaν ]δ 4[y − xa(τ,ξ)] + 2 g j[ν,µ ] 2 a (3.7.73) où vaµ = (∂xaµ/∂ τa) et u aµ = (∂xaµ/∂ξa), et jµ = ∑ fa a τf ∫ τi ξ τ f  dx (τ ,ξ ) 4  f dτa ∑ f a dτ a  aµ ∫  dτ a δ [y − xa (τ ,ξ )] a 0 τi (3.7.74) où f et g sont des constantes de couplage à la corde physique.27 La constante physique de la corde est donnée par g′ = (hc/G)1/2g et le premier terme dans l’Éq. (3.7.73) est pour les cordes fermées et est libre de divergences.26 Si on élimine le multiplicateur de Lagrange Wµ avec les équations du champ, on obtient 2 LS = 1 2 f  h{[µν], λ}h{[µν ], λ} +   Sµ S µ − S[µ, ν]S [µ,ν ] + 2h[µ, ν]Tc[µ, ν ] − jµ S µ 3 g  12   (3.7.75) où T c[µ,ν ] est le courant de la corde fermée. LS a la forme du lagrangien d’une corde ouverte et il est invariant sous la transformation de jauge h[µν ] → h [µν ] + 2λ[µ, ν ]. Les équations du mouvement pour le champ S µ sont données par ( + µ 2)S µ = jµ (3.7.76) où la longueur d’onde inverse de Compton, µ, est prédite comme ayant la valeur µ= 1 mc = = DC h 4 c2 g 3 G1 2 f (3.7.77)
  • 94 3.8 Les Ondes Planes Dans l’espace-temps libre de matière, les équations du champ en première approximation, les Éqs. (3.7.57)-(3.7.59), deviennent25 3 Les Équations du Champ h (µν) = 0 h[µν ] = 4 3 (3.8.1) W[ν, µ] (3.8.2) h[µν], ν = 0 (3.8.3) La solution de l’Éq. (3.8.1) est identique à celle de la TGE. On obtient la solution pour une onde plane24,25 λ ∗ h(µν)(x) = e( µν ) e + ikλ x + e( µν ) e −ikλ x λ (3.8.4) avec kµ k µ = 0 (3.8.5) où e(µν) et kµ représentent le tenseur de polarisation (symétrique) et le quatre-vecteur d’onde (ou de propagation), respectivement. À cause de l’Éq. (3.7.56)), on a aussi 1 k µ e(µν) = 2 ηρσe( ρσ) kν = 1 2 ekν (≠ 0) (3.8.6) Les Éqs. (3.8.2) et (3.8.3) donnent (3.8.7) Wµ = 0 ,µ avec Wµ = 0, étant la condition de jauge choisit pour Wµ . Il est évident que Wµ possède des solutions d’ondes du type maxwellien. Cependant, due à l’Éq. (3.8.2), les solutions du type fonctions de Green pour h[µν] divergent à moins que Wµ = λ, µ , où λ est une solution de l’équation d’onde de Klein-Gordon. Alors, l’Éq. (3.8.2) devient (3.8.8) h [µν ] = 0 donnant ainsi λ h[µν] = e[ µν ]e + ikλ x − e[∗µν ]e −ikλ x λ (3.8.9) où l’Éq. (3.8.5) est maintenue, et kµ e[µν ] = 0 (3.8.10) à cause de l’Éq. (3.8.3). Les Éqs. (3.8.6) et (3.8.10) représentent les quatre contraintes sur le tenseur de polarisation e( µν ) et les trois contraintes sur le tenseur de polarisation e[µν ], respectivement. Cependant, seulement deux composantes de e(µν ) et une composante de e[µν ] sont significatives physiquement. Comme dans la TGE, le champ h(µν ) possède une hélicité 2 +, comme il est montré en considérant une onde plane dans la $ $ direction z .9,24 De façon similaire, une rotation autour de l’axe z pour une onde de h[µν ] dans la direction z donne d′± = e±iθ d ± h [µν ], ν = 0 (3.8.11) e′[12] = e[12] (3.8.12) où e[03] = e′[12] = e[12] d ± = e[01] m i e[02] = − (e[13] m i e[23]) et l’Éq. (3.8.10) a été utilisée. (3.8.13) (3.8.14)
  • 95 Alors, h [µν] possède des composantes d ± d’hélicité ±1, et e[12], d’hélicité 0+. Cependant, on peut montrer que e[01] et e[02] peuvent être amenés à zéro. Finalement, seulement e[12] possède une signification physique, et h [µν ] est un champ de spin-0. Des champs de spin-0 décrits par un champ antisymétrique du second ordre sont courant dans la théorie des cordes.28,29 3.9 Les Propriétés Fantômes 3.9 Les Propriétés Fantômes Pour débuter, on reprend notre densité lagrangienne donnée par l’Éq. (3.7.64) que l’on généralise30 1 L (2) = LTGE + 2 (ah[µν], σ h [µν ], σ + 2bh µ h µ ) + cWµ hµ − dh[µν] h[µν] +Wµ S µ + h [µν ]T µν + h [µν ] S [µ, ν] (3.9.1) où h = η µν hµν, hµ = ∂νh[µν ], et les indices répétés indiquent la sommation en utilisant ηµν : par example, Wµ S µ = η µν Wµ Sν . LTGE est le lagrangien linéarisé de la TGE, donné par l’Éq. (3.7.65), et a, b, c, et d sont des constantes qui assument des valeurs qui dépendent de la théorie qu’on considère. En utilisant le formalisme utilisant un opérateur de projection de spin, on obtient les relations suivantes a−1(1 +) =  0  aij−1(1 −) =   i 2 2 12  − c (k )  1 ak 2 − d (3.9.2)   1  2  k2 2 − 2 [(a + b) k − d ] c  (3.9.3) i 2 2 12 (k ) c où k2 = kµ k µ et kµ est le quatri-vecteur nombre d’onde. Considérons le cas où d ≠ 0. Le critère pour ne pas avoir de modes fantômes (mo = 0, Ek < 0) et de tachyons (mo ≠ 0, Ek > moc2) nous donne, de l’Éq. (3.9.2) : a>0 d>0 (3.9.4) Mais le même critère, lorsqu’on l’applique à l’Éq. (3.9.3), donne d < 0, puisque c > 0 pour que L soit réel. Alors, pour d ≠ 0, on a ou bien un mode fantôme de spin-1− sans masse, ou bien un tachyon de spin-1+.*31,32 Alors, nous avons une théorie physique seulement si d = 0 (a = 0 nous donnerait une théorie triviale sans champs de propagation.) De sorte à éviter des modes fantômes, la seule contrainte qu’on a est a > 0. La particule sans masse de spin-1 − ne se propage plus ; à sa place, seulement des termes de contact sont présents dans ce secteur. Le secteur spin-1+ n’est plus un tachyon. Ce secteur a été analysé auparavant et représente une particule scalaire. Il est intéressant de voir qu’il n’y a pas de contrainte sur le paramètre b. Dans les lagrangiens des champs antisymétriques avec c = 0, ou bien le secteur 1+ ou 1− est un secteur fantôme, et ceci ne peut être seulement retiré en contraignant a et b de façon approprié, nous donnant une invariance de jauge qui retire le fantôme. Ici, cependant, le vecteur 2 2 Wµ agit de façon à rendre le secteur fantôme non propageable. Il est important qu’il n’y ait pas de termes W µ qui apparaissent dans L (2). De tels termes nous mèneraient, en général, à des modes fantômes dans le secteur 1−. Puisqu’il n’a pas de ces termes, les modes fantômes sont retirés par le multiplicateur de Lagrange Wµ et non par l’invariance de jauge. Les signes de a et d dépendent des propriétés réelles de la métrique g µν. Les contraintes imposées par l’Éq. (3.9.4) sont obtenues seulement pour une métrique g µν réelle. Alors, la théorie réelle est complètement libre de modes fantômes.33 1 Il semble naturel d’appeler la particule de spin-2 associée avec h(µν ) ( g (µν )), le graviton, puisque h (µν ) est identique aux 1 résultats obtenus dans la TNG. On appelle la particule de spin-0 associée avec h[µν ] ( g [µν ]), le skewon. Alors, la partie symétrique nous donne h(µν ) → J P = 2+ (graviton) (3.9.5) comme pour la TGE, tandis que la partie antisymétrique nous donne * Le contenu en hélicité est en accord avec le résultat de Kursunoglu31 pour la Théorie du Champ Unifiée ; on voit donc de cette analyse que la théorie du champ unifié basée sur le terme de Bonnor, dgµν g[ µν ], doit contenir des particules non physiques.32 g
  • 96 h[µν ] → J P = 0+ (skewon) (3.9.6) 30 Donc, le contenu en hélicité de la TNG est (2,0). En résumé, dans l’approximation linéaire en champ faible de la TNG, on a écrit g µν = ηµν + h µν (on écrit 1 gµν = ηµν + g µν ), où les hµν sont de petites quantités ou premier ordre. Une analyse de l’approximation linéaire révèle que le courant S µ se présente dans le lagrangien avec le couplage h [µν ] S [µ,ν ], et à cause de l’équation de conservation pour le courant S µ, Sµ, µ = 0, ce courant ne se couple pas à la particule sans masse de spin-0 + associée avec h [µν ] au premier ordre. Un calcul du propagateur montre aussi que le champ vectoriel auxiliaire sans masse de spin-1−, Wµ , ne se propage pas au plus bas ordre en approximation ; Wµ est un champ de contacte. Il n’y a pas de modes fantômes dans la version réelle (ou 3 Les Équations du intrinsèque via le tenseur matériel T [µν ]. Dans ce cas, hyperbolique complexe) de la TNG. h[µν ] peut se coupler à un spinChamp on a C [µν ] = K ε µνρσ Jρ , σ (3.9.7) où Jµ est le pseudo-tenseur du spin intrinsèque et K est une constante.* Cependant, ce couplage est envisagé comme étant très petit pour des systèmes macroscopiques. 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-Plan de la TGE On reprend les équations du champ formulées dans le vide [voir les Éqs. (3.2.5), (3.2.6) et (3.2.8)] ( − g g[µν ]), µ = 0 (3.10.1) g(µν), σ − g µρ Γ ρσν − g ρν Γ ρµσ = 0 (3.10.2) Rµν (Γ) + 2 3 (3.10.3) W[µ,ν ] = 0 Pour linéariser, on se rappelle qu’il faut développer la métrique selon 1 gµν = ηµν + ε g µν (3.10.4) 1 où g µν est au premier ordre dans la fluctuation, et ε << 1. Sous l’Éq. (3.10.4), les équations du champ (3.10.1)-(3.10.3) se réduisent à l’ensemble suivant22 1 1 1 1 η ρσ( g (µν ), σρ − g (σν ), µρ − g (µσ ), νρ + g (ρσ ), µν ) = 0 1 η ρσ g [µν ], ρσ − 4 W[µ,ν ] = 0 3 1 (3.10.5) (3.10.6) (3.10.7) η νσ g [µν ], σ = 0 L’Éq. (3.10.5) est précisément l’équation du champ qui décrit la perturbation riemannienne (TGE) sur un espace-temps plat de Minkowski. Comme cité auparavant, elle est invariante sous une transformation de jauge de la fluctuation symétrique donnée par l’Éq. (3.7.53) * Le diagramme d’échange à boson unique est donné par A= où tµν et T µν 16π 2 q [2(T ( µν ) t( µν ) − 1 2 T t + C [ µν ]C[ µν ])] (3.9.8) sont le pseudo-vecteur et le tenseur d’énergie-impulsion, respectivement. Pour des particules de masse M et m, sans spin, on obtient A= 16π q2 Mm ce qui est identique au résultat obtenu dans la TGE. Avec l’Éq. (3.9.7), l’Éq. (3.9.9) devient A= 16π 2 q (3.9.9) 25 (M m − 2K 2q2J⋅j) ⋅ (3.9.10) pour deux spins J ⋅ j. On obtient une force dépendante du spin entrant au niveau du diagramme d’échange uniboson. La force gravitationnelle est portée par le graviton et la force de spin par le skewon.
  • 97 1 1 g (µν ) → g (µν ) + 2 ε ( µ, ν ) (3.10.8) et elle dicte le déplacement des particules sans masse et d’hélicité ±2. Les Éqs. (3.10.6) et (3.10.7) obéissent au champ antisymétrique et ne sont pas invariantes sous la transformation 1 1 g [µν ] → g [µν ] + 2 ε [µ, ν ] (3.10.9) η ρσ(ε µ,ρσ − ε ρ, σµ ) (3.10.10) à moins que le champ de transformation satisfait Les Éqs. (3.10.6)-(3.10.10) décrivent une particule unique sans masse avec une hélicité nulle. On a appelé cette particule, le skewon. Ayant vu la manière par laquelle le skewon apparaît dans la TNG (expansion sur un arrière-plan plat de Minkowski), explorons maintenant les conséquences d’une expansion sur un vide arbitraire de l’arrière-plan de la TGE. L’expansion des champs se fait de la façon suivante (voir Section 2.1)34,35 1 2 gµν = gE(µν ) + g µν + g µν + ... 0 1 2 Γ λµν = Γ λµν + Γ λµν + Γ λµν + ... (3.10.11) 3.10 La Linéarisation de la TNG sur 2l’Arrière-Plan de la TGE 1 Wµ = 0 + W µ + W µ + ... 0 0 Prenont par example un arrière-plan comme étant complètement dénué de torsion : Γ λµν = Γ λνµ . L’expansion des composantes de la métrique inverse en fonction des perturbations et des objets riemanniens covariants (de l’arrière-plan) est 1 1 1 2 3 gµν = g E(µν ) − g µν + gE(µσ ) g ρσ g ρν − g µν + O ( g ) (3.10.12) où E symbolise la métrique de la TGE (d’Einstein), remplaçant ainsi ηµν dans l’arrière-plan arbitraire de la TGE. Les composantes de la métrique symétrique de l’arrière-plan, g E(µν ), et son inverse, g E(µν ), sont utilisés pour élever et abaisser les indices, par example A µν = gE(µσ ) gE(µν )Aρσ (3.10.13) Notre objectif consiste à substituer les expansions données par les Éqs. (3.10.11) dans les équations du mouvement (3.10.1)-(3.10.3) et de les examiner itérativement. La partie à l’ordre zéro de l’Éq. (3.10.1) est identiquement zéro (l’équation de divergence de la partie antisymétrique de la métrique n’a pas de contribution riemannienne.) L’expression à l’ordre zéro de l’équation de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.10.2), définit la partie à l’ordre zéro de la connexion 0 entière de la connexion de Christoffel, formée par la métrique de l’arrière-plan, Γ λµν = { } . Les équations du champ dans λ µν le vide, l’Éq. (3.10.3), nous procure la condition de Ricci pour un espace-temps plat de Minkowski pour un arrière-plan de la TGE 0 (3.10.14) R µν = 0 0 Le résultat sert à définir l’arrière-plan du champ. On introduit la dérivée covariante de l’arrière-plan et sera dénotée par ∇ . Au premier ordre en approximation, la condition sur la divergence de la partie antisymétrique de la métrique dans la TNG, l’Éq. (3.10.1), devient 0 1 ∇ µ g [µν ] = 0 (3.10.15) L’équation de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.10.2), admet une solution au premier ordre 1 Γ λµν = 1 2 1 1 1 gE(λρ )( g ρµ, ν + g νρ,µ − g µν, ρ ) (3.10.16) Au même ordre, les équations du champ, l’Éq. (3.10.3), deviennent 1 R µν + 2 3 1 W [µ, ν ] = 0 (3.10.17)
  • 98 1 0 1 0 = ∇ µ Γ λµν − ∇ ν Γ λµλ + 4 3 (3.10.18) W[µ, ν ] Pour se rendre de l’Éq. (3.10.17) à l’Éq. (3.10.18) requiert la définition du tenseur de Ricci dans la TNG, et ce, au premier ordre, et la notion que le rotationnel d’un champ vectoriel est un objet covariant, pourvu que la connexion soit sans torsion (comme est le symbole de Christoffel.) Sous la substitution de l’Éq. (3.10.16), les parties symétrique (µν ) et antisymétrique [µν ] de l’Éq. (3.10.18) se lisent (µν) 1 2 [µν] 0 1 0 1 0 1 0 1 g E(ρσ )( ∇ µρ g (σν ) + ∇ νρ g (µσ ) − ∇ σρ g (µν ) − ∇ (µν ) g (σρ) ) 1 2 0 1 0 1 0 1 g E(ρσ )( ∇ µρ g [σν ] + ∇ νρ g [µσ ] + ∇ σρ g [µν ]) + 4 3 (3.10.19) (3.10.20) W[µ, ν ] 1 La partie symétrique (qui dépend seulement sur la partie symétrique de la perturbation g (µν ) est une équation du champ (covariante) qui dicte la propagation des petites perturbations gravitationnelles (riemanniennes) de l’arrière-plan courbe. C’est précisément la version covariante des résultats qu’on a obtenu pour la TNG lorsqu’on a linéarisé sur l’arrière-plan donné par l’Éq. (3.10.5). En particulier, l’Éq. (3.10.19) est invariante sous la transformation 1 1 0 g (µν ) → g (µν ) + 2 ∇ (ν, µ ) (3.10.21) 3 l’Éq. (3.10.14). La symétrie donnée par l’Éq. (3.10.21) est le vestige au en autant que la géométrie de l’arrière-plan satisfait Les Équations du Champ premier ordre de l’invariance des coordonnées de la théorie entière, sous les transformations infinitésimales de la forme xµ → x µ = xµ − ε µ (3.10.22) On n’a pas besoin de se préoccuper de la façon dont la partie antisymétrique, l’Éq. (3.10.20), se transforme sous une translation des coordonnées parce que les parties à l’ordre zéro sont fixées à zéro, et les effets de la transformation donnée par l’Éq. (3.10.22) sur les champs antisymétriques sont ressenti seulement aux ordres supérieurs. Les équations pour la partie antisymétrique de la perturbation, les Éqs. (3.10.15) et (3.10.20), gouvernent la partie non 1 riemannienne de la dynamique. Alors, comme résultat de l’Éq. (3.10.15), ce ne sont pas toutes les composantes de g µν apparaissant dans l’Éq. (3.10.20), qui sont de bons degrés de liberté. Considérons le résultat suivant 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 gE (ρσ) ∇ µρ g [σν ] = ∇ µ (g E (ρσ) ∇ ρ g [σν ]) − gE (ρσ)g E( αβ)( R ασρµ g [βµ] + R ανρµ g [αβ ]) = − g E (ρσ)gE (αβ) R σνρµ g [αβ] (3.10.23) en autant que la condition exprimée par l’Éq. (3.10.14) soit respectée. En simplifiant grandement l’Éq. (3.10.23), on obtient 1 [µν] E 0 1 g µν − 2gE(ρα )g E(σβ ) R σνρµ g αβ + 4 W[µ, ν ] 3 (3.10.24) 0 où E A... = g E(ρσ) ∇ ρσ A... . L’Éq. (3.10.24) est différente de la version covariée des équations du champ dans la TNG lorsque linéarisée sur l’arrière-plan de la TGE et ce, par la présence du couplage de la courbure entière de l’arrière-plan. De tels termes sont indispensables pour la préservation de l’invariance de jauge restreinte de la TNG. Si on essaie de transformer de champ antisymétrique de la façon suivante (transformation covariante de KalbRamond),36 on obtient le résultat 1 1 0 g [µν ] → g [µν] + 2 ∇ [ν, µ ] (3.10.25) On est alors obligé, par l’Éq. (3.10.15), d’exiger que 0 ε = g E(ρσ ) ∇ ρµ εσ (3.10.26) E µ pour ainsi préserver la condition que la divergence de la partie antisymétrique de la métrique disparaît.88 Sous une transformation, comme celle de l’Éq. (3.10.25), l’équation qui détermine la dynamique de la partie antisymétrique de la métrique, l’Éq. (3.10.24), est modifiée par35,36 0 δ (3.10.24) = g ρσ ∇ [ρ ( ε E µ ]) 0 0 + 2 gE(ρσ ) R νσνµ ∇ ρ εν (3.10.27)
  • 99 Le premier terme du côté droit disparaît mais le second terme reste et détruit donc l’invariance de jauge putative.* Ceci diminue sensiblement les chances que la TNG puisse être capable de procurer un modèle de gravitation avec une quelconque redevance phénoménologique.88,104 En particulier, la notion que la TNG contient la TGE est complètement détruite. Il a été dit que la TNG se réduit simplement à la TNG dans la limite que l’antisymétrie disparaît. L’analyse exacte de la TNG, lorsqu’elle est linéarisée sur l’arrière-plan de la TGE, montre que cette limite est problématique. Il y a encore la possibilité que la TNG, lorsqu’une expansion est faite sur un arrière-plan complet (et non trivial) de la TGE, maintiendrait sa propre consistance, ou que les effets non perturbatifs pourraient inhiber les modes non-physiques encore présents après la linéarisation sur l’arrière-plan. Donc, pour que la TNG demeure une théorie alternative viable, il doit être démontré que les problèmes théoriques mentionnés ci-dessus, qui découlent directement de l’effondrement de l’invariance de jauge sur l’arrière-plan de la TGE, soient évités. 3.11 Remarques sur la Présence du Terme de Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique D’abord, les équations qui sont requises pour notre discussion, en utilisant l’Éq. (3.10.24), sont les suivantes35,37,38,39 0 R µν(g E) = 0 3.11 Remarques sur la Présence du Terme de Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique 1 0 0 1 ρ ρ σ ∇ g {[µν ], ρ} + 4 R µ ν (gE) g [ρσ] + 4 3 W [µ, ν] = 0 (3.11.2) 1 0 ∇ν g [µν ] = (3.11.1) (3.11.3) 0 où 1 1 1 1 (3.11.4) g {[µν], ρ} = g [µν ], ρ + g [νρ], µ + g [ρµ], ν et, comme toujours 1 1 1 g µν = g (µν) + g [µν ] (3.11.5) 0 1 S’il n’y aurait pas la présence du terme de couplage entre la courbure et la métrique, R g [µν ], l’Éq. (3.11.3) décrirait le 1 champ antisymétrique de jauge (invariant sous δ g [µν] = ε [ν,µ ]) exprimée dans la jauge de Lorentz [l’Éq. (3.11.3)] imposée 0 1 par Wµ . Cependant, la présence du terme de couplage entre la courbure et la métrique, R g [µν ], rend la TNG inconsistante : Ce terme est manifestement non invariant sous la transformation ε résiduelle [voir l’Éq. (3.10.24)], ce qui implique que les modes longitudinaux (d’apparence fantôme) demeurent couplés. De façon correspondante, Wµ ne réussit pas à se découpler parce que l’équation de Maxwell qu’elle obéit possède une source dépendante de la courbure 0 0 0 0 1 µ µ ρ σ ∇ ∇ [µ Wν ] = −3 ∇ [ R µ ν(gE) g [ρσ]] (3.11.6)† de sorte qu’il est impossible de retirer Wµ par le choix approprié de conditions initiales, ce qui implique que les modes dangereux ne se découplent pas, même dans la théorie du vide qu’on a considéré jusqu’ici. Cette situation est davantage troublante dans la version de la théorie qui considère le couplage avec la matière : le côté droit de l’Éq. (3.11.6) contiendrait des termes additionnels agissant comme des sources localisées d’ondes Wµ retardées. Comme second problème, la propagation de Wµ a la conséquence physique pénible qu’elle génère un comportement 1 asymptotique de g [µν ] qui est inacceptable dans la zone d’onde, même si la courbure décroît à l’infini : la contrainte 1 0 0 On exprime cette invariance de jauge selon : δ g [µν ] = ε [ν,µ ] et ∇ µ ∇ [µ εν ] = 0. † On écrit aussi cette relation de la façon suivante35 * 0 ∇ µ 0 0 0 µ ρ σ ∇ [µ Wν ] = − 3 R µ ν ∇ [ρσ] (3.11.6′)
  • 100 0 exprimée par l’Éq. (3.11.6) est une équation d’onde inhomogène pour Wµ (dans la jauge de Lorentz ∇ µWµ = 0). Alors, Wµ possède un comportement en 1/r dans le futur, nul et infini (représenté dans le plan conforme par J +.) Mais, ensuite, en 1 insérant cette information dans le côté droit de l’Éq. (3.11.6), on trouve que g [µν ] (et en particulier sa partie longitudinale) 1 ne disparaît pas dans J +. Comme résultat de ce comportement asymptotique non physique, la diffusion des ondes g [µν] par la gravité peut irradier (de façon formelle) de l’énergie négative,23 une violente instabilité (classique) qui est contraire aux observations.37 Cependant, on peut apporter deux arguments contraires à ceux exprimés auparavant soit que l’Éq. (3.11.2) 1 est une équation d’onde inhomogène pour Wµ, donc Wµ possède un comportement en 1/r dans une zone d’onde, et que g [µν ] 1 possède un comportement asyptotique. Premièrement, même si Wµ se comporte en 1/r, il n’y a pas de garantie que g [µν ] possède un mauvais comportement pour des situations génériques et dépendantes du temps. De plus, dans l’analyse 1 effectuée auparavant, seulement trois des six équations du champ pour g [µν ] ont été utilisées, et nous n’avons pas porté une attention particulière au fait que les solutions générées [par la résolution de l’ensemble des trois Éqs. (3.11.2)] étaient compatibles avec les trois Éqs. (3.11.3). En second lieu, même si on peut toujours garantir que Wµ possède un 1 comportement en 1/r, et que ceci, en retour, influence directement g [µν ] à toujours avoir un mauvais comportement, les 1 critères seraient fondés. Dans cette éventualité, lorsque les conditions physiques aux frontières sont imposées sur g [µν ] 1 1 ( g [µν] g [µν ] → 0 dans J +), l’ensemble solution serait vide, rendant ainsi la TNG sans aucun contenu physique. Ceci n’est 3 Les Équations du Champ pas le cas cependant, puisque les arguments proposées ne peuvent être utilisés pour prouver que toutes les solutions ont un mauvais comportement asymptotique. Maintenant, concernant l’invariance de jauge. On a émis quelques réserves ou sujet du deuxième terme dans l’Éq. 0 1 (3.11.2) qui couple la courbure de l’arrière-plan, R ρµσν (g E), à la perturbation antisymétrique de la métrique, g [µν ], causant ainsi une violation de l’invariance de jauge restreinte. Ceci n’est nullement surprenant car la théorie entière ne possède pas une invariance de jauge manifeste dans le secteur antisymétrique de gµν . Alors, il n’y a pas de courant conservé associé qui est en besoin d’une protection spécifique. Comme il est évident par l’analyse de l’Éq. (3.4.4), les symétries de la densité lagrangienne (dans le vide), l’Éq. (3.4.14), sont l’invariantes sous un ensemble des difféomorphismes et invariantes sous une transformation U(1) reliée à Wµ ; les quantités conservées qui sont associées sont l’énergie-impulsion et la densité de charge de la TNG. Lorsque linéarisées selon la prescription donnée par l’Éq. (3.10.4), ces invariances sont représentées par 1 0 1 des transformations de jauge infinitésimales: δ g (µν) = ∇ (µ ξν ) , δ Wµ = λ, µ et δ g [µν ] = 0. On voit que l’invariance 1 0 0 0 approximative : δ g [µν ] = ∇ [µ εν ], ∇ µ ∇ [µ εν ] = 0, est une symétrie accidentelles qui survient de la nature antisymétrique 1 de g [µν] et non de la symétrie exacte de la théorie. Concernant la radiation gravitationnelle et la déclaration qu’elle irradiait de l’énergie négative, on démontre que ceci est faux. En décomposant l’onde et l’arrière-plan, on trouve, de l’Éq. (3.10.2), que (à l’ordre δ = λ/L) 0 0 1 ρ ∇ ∇ ρ g [µν] + 4 3 W[µ,ν ] = 0 (3.11.7) Cet ensemble d’équations du champ, avec l’Éq. (3.11.3), peut être analysé de la même façon qu’il a été fait pour l’analyse de l’espace-temps plat, de sorte que W[µ, ν ] peut être négligé au plus bas ordre en δ. Ceci en soi montre qu’il n’y a pas de contributions d’énergie négative apportées au flux de radiation gravitationnelle, puisque les termes d’ordre δ (et plus élevés) ne contribueront pas à l’intégrale du flux. Donc, il n’y a pas de radiation dipolaire dans la TNG et le flux d’énergie amené à l’infini est définit positivement. Ces arguments ont été satisfaits par une solution exacte de l’onde gravitationnelle axisymétrique. Le flux de l’onde gravitationnelle fut trouvé comme étant définit positivement comme c’est le cas dans le TGE. De plus, le champ vectoriel auxiliaire Wµ fut trouvé comme ayant un comportement en 1/r3, ce qui répudie l’affirmation précédente que Wµ possédait un comportement en 1/r. Sommairement, l’énoncé que la TNG fait face à des problèmes reliés aux modes longitudinaux non physiques en plus d’avoir un mauvais comportement asyptotique est inexacte. Les équations qui décrivent le déplacement d’une onde dans la TNG autour d’un arrière-plan riemannien peuvent être montrées comme menant à un flux d’énergie positif lorsque les conditions usuelles de l’optique géométrique sont maintenues. Ce sont les mêmes conditions qui doivent être appliquées pour obtenir des résultats comparables à ceux de la TGE. On a aussi vu que la composante antisymétrique de la métrique,
  • 101 1 g [µν ], qui disparaît toujours asyptotiquement est inexacte et les solutions physiques, avec un bon comportement, demeurent après qu’on eut imposé des conditions aux frontières. 3.12 Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy On suppose que l’on nous donne une hypersurface S tridimensionnelle orientée dans l’espace. Un système de coordonnées est choisit de sorte que S soit décrite par l’équation x0 = t = 0. On nous donne les données initiales de Cauchy gµν, gµν,t et Wi (i = 1, 2, 3, peut importe la coordonnée spatiale) sur S et g tt > 0. Ceci nous permet de calculer toutes les dérivées internes gµν,i , Wi, j , etc. dans S. 11 Comme il nous est impossible de trouver une solution fermée simple pour Γ λµν du système d’équations différentielles dans le vide, l’Éq. (3.2.5), nous allons trouver le problème à valeur initiale en utilisant la solution récursive de Γ λµν basée sur le développement en champ faible pour g µν et Γ λµν (voir Section 3.7). On peut écrire l’équation g[µν], ν = 0 (3.12.1) au n-ème ordre comme [voir l’Éq. (3.7.12)] n n ηλµ g [µν ],λ = C ν (3.12.2) n où C ν contient les produits des g à l’ordre n −1 et moins. En utilisant l’Éq. (3.7.15), on voit, des Éqs. (3.7.22) et (3.7.24), que les équations du champ, l’Éq. (3.2.11), peuvent être écrites au n-ème ordre en approximation comme n n n n n 3.12n Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy R (µν)(Γ) = 1 η ρσ( g (µσ), ν, ρ + g (νρ), µ, σ − g (µν), ρ, σ − g (ρσ), µ, ν) + K 2 n R [µν](Γ) = 1 ηρσ g [µν ], ρ, σ + K [µν ] + 2 W 2 3 n =0 (3.12.3) n n n (µν) [µ, ν] = 0 (3.12.4) n où les K (µν) et les K [µν] contiennent des produits des g et de leurs dérivées à l’ordre n − 1 et moins. En effectuant les composantes spatiales et temporelle de l’Éq. (3.12.3), on obtient n n n R (it) = N n R tt = 1 2 n n n 1 R (ij) = − 2 g (ij),t,t + N (ij) +K (it) (3.12.5) =0 (ij) =0 n (it) +K n n n (3.12.6) g ii,t,t + N tt + K tt = 0 (3.12.7) n où N (µν) peut être exprimé en fonction des données initiales sur S. De même, de l’Éq. (3.12.4), on a n R [ij] = − n R [it] = − n n n n 1 2 1 g [ij],t,t + 2 ∇2 g [ij] + K 1 2 1 g [it],t,t + 2 ∇2 g [it] + K [it] + 2 W 3 n n [ij] n + 2W [i,j] = 3 0 (3.12.8) 0 (3.12.9) n [i,t] = tandis que l’Éq. (3.12.2) devient n n n g [it],t = g [ij], j + C i n Le calcul de N (it) donne (3.12.10)
  • 102 n n n n n 1 1 1 1 N (it) = − 2 g (jt),i, j + 2 ∇2 g (ti) + 2 g (jj),i,t − 2 g (ji),t,j (3.12.11) n Alors, l’Éq. (3.12.6) représente seulement une contrainte sur les données initiales et la dérivée interne de g (µν) dans S. On a aussi pour la combinaison n n n n n n n n ηtt R tt − ηij R ij = R tt + R ii = N tt + N ii + K tt + K ii = 0 Si on considère maintenant le tenseur d’Einstein, Gµν = Rµν − n 1 2 n R = R tt − 1 2 n n g µν R, alors, au n-ème ordre n n n n G tt = R tt − n 1 2 (3.12.12) n n n n n 1 (− R ii + R tt) = 2 ( N tt + N ii + K tt + K ii) = 0 (3.12.13) et n (3.12.14) G tλ = G λt = 0 (3.12.15) n G ti = R ti = N ti + K ti = 0 On voit que les quatre équations dépendent des données initiales. Puisqu’il y a une liberté de jauge (pour un paramètre seulement) des équations du champ, possible sous une transformation de jauge de la forme représentée par l’Éq. (3.4.14), on peut établir la jauge en utilisant la condition n (3.12.16) W t=0 On arrive donc à l’ensemble des équations du mouvement au n -ème ordre n n n 3 Les Équations du Champ g (ij),t,t = 2 N n (ij) +2K n i,t = 3 4 n [ij] + 1 W [i,j] = 0 3 (3.12.18) n n 3 g [ij],t,j − 4 ∇2 g [it] + L n (3.12.17) =0 n n n g [ij],t,t = ∇2 g [ij] + K W (ij) (3.12.19) [it] n n où on a utilisé l’Éq. (3.12.10) et L [it] contient des termes de C i,t et K [it] qui sont connus à partir des ordres d’approximation inférieurs. Les Éqs. (3.12.7) et (3.12.18) constituent douze équations et, avec les Éqs. (3.12.10) et (3.12.15), il y a, en tout, vingt équations. Seulement quinze d’entre elles sont indépendantes dû à l’existence des cinq identités exprimées par les Éqs. n n n (3.4.1) et (3.4.13). Il y a donc vingt fonctions inconnues g (µν), g [µν], et W µ. Cependant, seulement quinze de ces fonctions sont libres d’être déterminées en considérant les quatre choix arbitraires des coordonnées et la condition de jauge unique exprimée par l’Éq. (3.12.16). Alors, le système d’Éqs. (3.12.17)-(3.12.19)forment un schème dynamique compatible. Finalement, les Éqs. (3.12.17)-(3.12.19) ont été rigoureusement prouvées en utilisant l’ensemble complet des équations du champ plutôt qu’un développement perturbatif.40 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation On présente ici un résumé assez large des développements introduits dans les sections précédentes. Afin de rendre les rudiments de la TNG plus accessibles, on introduit à quelques occasions des développements quelque peu différents de ceux établis jusqu’à présent. Cependant, on réfère, dans la mesure du possible, aux sections qui font l’objet du développement en question. Les variables fondamentales du champ de la TNG sont les composantes de la métrique non symétrique (Section 1.4) définissant un espace non riemannien
  • 103 (3.13.1) gµν = g(µν) + g[µν] et les composantes, W λ µν et Γ λ µν, des connexions non symétriques, tous deux reliées par l’équation (Section 3.1) W λ µν = Γ λµν − 2 δ λµ Wν 3 (3.13.2) où Wµ = W ν [µν ] définit la torsion du champ. Les composantes covariantes et contravariantes de la métrique non symétrique gµν sont liées entres elles par la relation (Section 2.4) gµνgσν = gνµ g νσ = δ µ σ (3.13.3) où l’ordre des indices est très important. Les équations du champ sont obtenues à partir d’un principe d’action avec d’une densité lagrangienne non métrique (présence d’un terme non gravitationnel) de la forme (Section 3.3) LTNG = L G + LNG où X = (3.13.4) − g X , et L G est la partie gravitationnelle, donnée par (Section 3.3) LG = − − g g µνRµν (W) (3.13.5) où les composantes du tenseur de courbure dans la TNG sont données par 1 Rµν (W) = W λµν, λ − 2 (W λµλ,ν + W λνλ,µ ) − W σρν W ρµσ + W σρσ W ρµν (3.13.6) g = det| gµν | (3.13.7) et LNG est la densité lagrangienne non gravitationnelle ou densité lagrangienne matérielle (Section 3.5). En utilisant une forme de L NG appropriée pour les fluides parfaits, on a dérivé un tenseur d’énergie-impulsion du fluide parfait à l’intérieur de la TNG ayant la même structure que pour la TGE (Section 3.6) 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation T µν = [ρo( Π + 1 ) + p ] u µ u ν − pg µν (3.13.8) où ρo est la densité de masse au repos du fluide, Π est la densité d’énergie interne spécifique, et p est la pression du fluide. On peut faire, dans l’Éq. (3.13.8), la substitution ρ = ρo(Π + 1) nous indiquant la familiarité avec le résultat de la TGE. Notons que T µν est non symétrique dû à la présence de g µν qui est non symétrique. En plus de T µν, il y a la présence d’une nouvelle source pour les champs de la forme de la densité de courant du nombre de particules fermioniques, S µ, ayant comme composantes (Section 3.5) S µ = f 2n u µ (3.13.9) Avec ce modèle de fluide parfait pour la matière, LNG prend la forme phénoménologique suivante (Section 3.3) 8π LNG = 8π gµνT µν + 3 Wµ S µ (3.13.10) où T µν et S µ sont donnés par les Éqs. (3.13.8) et (3.13.9), respectivement. Les équations du champ de la TNG sont obtenues en variant, d’une part, LTNG par rapport à g µν, donnant ainsi (Section 3.3) G µν(W ) = 8π T µν (3.13.11) où la constante cosmologique, Λ, est nulle et G µν(W ) ≡ Rµν( W ) − 1 2 g µν(W ) R µν(W ) = g µσg ρνRρσ (W ) µν R (W ) = g Rµν (W ) En variant LTNG par rapport à W λ µν, on obtient l’équation de compatibilité de la métrique (Section 3.4) (3.13.12) (3.13.13) (3.13.14)
  • 104 4π gµν, σ − δ νσ g(µρ), ρ + gρνW µρσ + gµρW νσρ − δ νσ gρσW µρσ − gµνW ρσρ = 3 (δ νσSµ − δ µσSν) (3.13.15) En faisant la contraction sur µ et σ dans l’Éq. (3.13.15), nous obtenons le second système d’équations du champ pour g[µν ] (Section 3.3) g[µν ], ν = 4π S µ (3.13.16) tandis qu’une contraction sur ν et σ dans l’Éq. (3.13.15) nous donne g(µν), ν + gρσ W µρσ + 2 µρ g Wρ = 0 3 (3.13.17) En substituant l’Éq. (3.13.17) à nouveau dans l’Éq. (3.13.15) donne la condition de compatibilité (matérielle) de la métrique (Section 3.4) gµν, σ + gρν W µρσ + gµρ W νσρ − 2 ν µρ 4π δ σ g Wρ = (δ νσ S µ − δ µσ S ν) 3 3 (3.13.18) La condition de compatibilité de la métrique, l’Éq. (3.13.18), peut être réécrite sous une forme plus conventionnelle en introduisant trois champs additionnels : Γ λµν, D λµν et Λλµν, definies, respectivement, de W λµν et S µ par les relations (Section 3.3) Γ λµν ≡ W λµν + 2 λ δ µWν 3 (3.13.19) Γ µ ≡ Γ λ[µλ ] = 0 gλν D λµρ + gµλ D λρν = − (3.13.20) 4π σ S (gµρ g σν − gµσ g ρν + gµν g [ρσ]) 3 (3.13.21) et λ λ λ µν ≡ Γ µν + du µν(S ) 3 ΛLes Équations D Champ (3.13.22) En utilisant ces définitions, les Éqs. (3.13.19)-(3.13.22), dans l’Éq. (3.13.18) donnent les résultats (Section 3.3) gµν, σ − g ρν Λρµσ − gµρ Λρσν = 0 −g ,σ − − g Γ µ(νµ) = (3.13.23) 4π g [µν ]S µ 3 (3.13.24) Dans la définition de Γ λµν, l’Éq. (3.13.19) est mise dans la définition de Rµν ( W ), l’Éq. (3.13.6), pour nous donner (Section 3.3) Rµν (W ) = R µν (Γ ) + 2 W[µ,ν ] 3 (3.13.25) avec 1 Rµν (Γ) = Γ λµν, λ − 2 (Γ λ(µλ),ν + Γ λ(νλ), µ ) + Γ ρµν Γ σ(ρσ) − Γ σµρ Γ ρσν En termes de Γ λµν et D donné par (Section 3.3) λ µν, (3.13.26) Rµν (Γ) peut être réécrit en fonction des parties symétrique et antisymétrique, respectivement, R(µν)(Γ) = R (µν)(Λ) − R(µν)(D ) − R(µν)(ΛD) (3.13.27) où R(µν)(Λ) = Λλ(µν),λ − R(µν)(D ) = D λ(µν),λ − R (µν)(ΛD) = Λ σ ρ (µν)D (σρ) 1 2 1 2 (Λλ(µλ), ν + Λλ(νλ), µ) +Λσ(µν)Λρ(σρ) − Λρ( µσ)Λ σ(ρν) −Λρ[µσ]Λσ[ρν] (3.13.28) (D λ(µλ),ν + D λ(νλ), µ) −D σ(µν)D ρ(σρ) + D ρ(µσ)D σ(ρν) +D ρ[µσ]D σ[ρν] +Λ ρ σ (σρ)D (µν) −Λ ρ σ (µσ)D ( ρν) −Λ ρ σ (νσ)D (ρµ) −Λ ρ σ [µσ]D [ρν ] −Λ σ ρ [ρν]D [µσ ] (3.13.29) (3.13.30)
  • 105 tandis que R[µν](Γ) = R[µν ](Λ) − R[µν](D) − R[µν](ΛD) (3.13.31) où R[µν](Λ) = Λλ[µν ], λ − Λσ[µν ]Λρ( σρ) − Λρ(µσ)Λσ[ρν] − Λρ[µσ]Λ σ( ρν) R[µν ](D) = D σ R[µν](ΛD) = Λ ρ [µν ]D (σρ) λ [µν ], λ ρ +Λ −D σ (σρ)D [µν ] µν σ ρ [µν]D (σρ) ρ −Λ Le tenseur G (W ) peut être réécrit en fonction de Γ λ +D σ ( µσ)D [ρν ] µν G µν (W ) = Gµν (Γ) + ρ σ (µσ)D [ρν ] ρ −Λ +D σ [νσ ]D (ρµ) (3.13.32) ρ σ [µσ ]D ( ρν) ρ +Λ σ (νσ)D [ρµ ] (3.13.33) +Λ ρ σ [νσ]D ( ρµ) (3.13.34) en utilisant l’Éq. (3.13.24) dans l’Éq. (3.13.12) 2 3 1 (gµσg ρν − 2 g µνg[ρσ])W[µ, ν] (3.13.35) où 1 G µν (Γ) ≡ Rµν (Γ) − 2 gµν (Γ) (3.13.36) Rµν(Γ) = gµσg ρνRρσ(Γ) (3.13.37) µν R (Γ) = g Rµν (Γ) (3.13.38) G (µν)(W ) = G (µν)(Γ) + 1 (2sµσρν − g(µν)g[ρσ])W[ρ, σ] 3 (3.13.39) 1 G (µν)(Γ) = R(µν)(Γ) − 2 g(µν)R (Γ) (3.13.40) R (µν)(Γ) = sµσρνR(ρσ)(Γ) (3.13.41) µν En symétrisant et antisymétrisant G (W ), on obtient où et 3.13 Résumé de la Théorie1Non µσ ρν Symétrique de la Gravitation µσρν νσρµ νσ ρµ s =s ≡ 2 (g g + g g ) (3.13.42) tandis que G [µν ](W) = G[µν ](Γ) + 1 (2a µσρν − g[µν]g [ρσ])W[ρ, σ] 3 (3.13.43) 1 G[µν](Γ) = R[µν ](Γ) − 2 g[µν]R (Γ) (3.13.44) R[µν](Γ) = a µσρνR [ρσ](Γ) (3.13.45) où et aµσρν = − aνσρµ ≡ 1 2 (gµσg ρν − gνσgρµ) (3.13.46) Avec ces résultats, les équations du champ de la TNG peuvent maintenant être résumées. Elles sont G (µν)(W ) = 8 π T (µν) − 1 (2 sµσρν − g (µν)g[µν ])W[ρ, σ] 3 (3.13.47) G [µν ](W ) = 8 π T [µν ] − 1 (2 aµσρν − g [µν ]g [µν ])W[ρ, σ] 3 (3.13.48) g[µν ], ν = 4π S µ (3.13.49) et l’équation de compatibilité matérielle de la métrique est identique à l’Éq. (3.13.23), soit gµν, σ − g ρν Λρµσ − gµρ Λρσν = 0 (3.13.50) Les équations de réponse matérielle dans une théorie de la gravitation déterminent comment la matière réagit aux champ gravitationnels qui sont présents. Les équations de réponse matérielle pour T µν sont le fruit de l’invariance générale des
  • 106 coordonnées de l’action non gravitationnelle de la TNG, SNG, sous une transformation des coordonnées telle : x µ (P) = x µ (P) + ξ µ (P), caractérisée par les quatre générateurs infinitésimaux ξ µ. L’équation de réponse matérielle dans la TNG est la suivante (Section 3.4) g (σµ)T (µν),ν + g[µσ]T [µν], ν + g (ρσ)T (µν)Λρ(µν) + 2g [µρ]T (µν)Λρ[νσ] + + g(ρσ)T[µν]Λρ[µν ] + 2g(µρ)T[µν]Λρ[νσ] + 1 W[σ, ν ]S ν = 0 3 (3.13.51) L’action gravitationnelle de la TNG, SG, est invariante sous la transformation de jauge de Wµ donnée par (Section 3.4) Wµ → Wµ + λ , µ (3.13.52) µ où λ est un champ scalaire quelconque. ceci donne pour résultat la loi de conservation pour S (Section 3.4) S µ, µ = 0 (3.13.53) Lorsqu’il n’y a pas de sources, T µν et S µ sont nuls et on obtient les équations du champ dans le vide (Section 3.2) g[µν], ν = 0 Rµν (Γ) = 2 W[ν, µ ] 3 (3.13.54) (3.13.55) L’Éq. (3.13.55) peut être réécrite (seulement lorsqu’il n’y a pas de sources) de la façon suivante R (µν)(Γ) = 0 (3.13.56) R{[µν ], σ}(Γ) = 0 (3.13.57) La condition de compatibilité de la métrique, dans le vide, s’écrit (Section 3.2) gµν, σ − gρν Γ ρµσ − gµρ Γ ρσν = 0 (3.13.58) qui peut être réécrite, avec l’aide de l’Éq. (3.13.19), pour donner l’équation de compatibilité généralisée des composantes de la métrique non symétrique dans la TNG 3 Les Équations du Champ gµν,σ − gρν W ρµσ − gµρ W ρσν = 0 (3.13.59) Les quatre identités de Bianchi sont données par (Section 3.4) [gµν Gσν (Γ) + gνµ Gνσ (Γ)],µ + gµν,σGµν (Γ) = 0 (3.13.60) En plus des quatre identités de l’Éq. (3.13.59), les Éqs. (3.13.56) et (3.13.57) satisfont l’identité suivante ε µνρσR{[µν ],ρ}(Γ ) = 0 (3.13.61) Il y a dix-huit équations du champ mais, puisqu’il y a 4 + 2 = 6 identités [les Éqs. (3.13.49), (3.13.59) et (3.13.60)], seulement douze des équations du champ sont indépendantes. Cependant, seulement douze des seize variables du champ, gµν, sont indépendantes, puisqu’il y a l’existence de quatre transformations arbitraires des coordonnées : x µ = (∂ x µ /∂x ν ) xν . Les Éqs. (3.13.54) et (3.13.55) constituent vingt équations du champ mais, puisque ces équations ont 4 + 1 = 5 identités exprimées par les Éqs. (3.13.49) et (3.13.59) entre elles, seulement quinze équations du champ sont indépendantes. Des vingt variables du champ, g µν et Wµ , seulement quinze sont indépendantes puisqu’il y a l’existence de quatre transformations arbitraires des coordonnées et la transformation de jauge donnée par l’Éq. (3.13.52). Alors, le système d’équations différentielles partielles (3.13.54) et (3.13.55) constituent un système d’équations compatibles. Appendice A Dérivation de Γ λµν = W λ µν + 2 δ λµ Wν 3 On a les composantes du tenseur de Riemann-Christoffel de la TGE sont données par8 R λµνρ = Γ λµν, ρ − Γ λµρ, ν + Γ σµν Γ λσρ − Γ σµρ Γ λσν Le tenseur de courbure contracté, ou tenseur de Ricci est donné par (3.A.1)
  • 107 Rµν = R λµνλ = ( Γ λµν, λ + Γ ρµν Γ λρλ ) − ( Γ λµλ, ν + Γ ρµλ Γ λρν ) Puisque les deux premiers termes (les termes entre la première paire de parenthèses) sont éguaux à ( Γ identifie ces termes à une nouvelle quantité W λµν , et on obtient, en réarrangant un peu Rµν = W λµν, λ − Γ ρµλ Γ λρν + Γ ρµν Γ λρλ (3.A.2) λ µν −δ λ µ Γ ρ νρ ),λ, on (3.A.3) Donc, par définition, on a identifié W λ µν = Γ λµν − δ λ µ Γ ρνρ (3.A.4) Alors, en contractant l’Éq. (3.A.4) sur ν W λµλ = Γ λµλ − δ λ Γ λρλ (3.A.5) W λλν = Γ λλν − δ λ λ Γ ρνρ ⇒ W λλµ = Γ λλµ − δ ρρ Γ λµλ (3.A.6) W λ µλ − W λλµ = Γ λµλ − δ ρµ Γ λρλ − Γ λλµ + δ ρρ Γ λµλ (3.A.7) = Γ λµλ − Γ λλµ − δ ρµ Γ λρλ + δ ρρ Γ λµλ (3.A.8) µ Γ ρλρ ⇒ W λ µλ = Γ λµλ − δ ρ µ puis sur µ En soustrayant l’Éq. (3.A.6) de l’Éq. (3.A.5), on obtient Maintenant 1 2 (W λµλ − W λλµ ) = 1 Γ λµλ − 1 Γ λλµ − 1 δ ρµ Γ λρλ + 1 δ ρρ Γ λµλ 2 2 2 2 (3.A.9) et, puisque la trace δ ρρ = 4 et δ ρµ Γ λρλ = Γ λµλ, on trouve Wµ = W λ[ µλ] = − 1 Γ λµλ + 2 Γ λµλ = 3 Γ λµλ 2 2 (3.A.10) puisque Γ λµλ est symétrique, et où on a adopté la définition suivante Appendice B Développement de g [µν] λ λ λ 1 W [µν] = 2 (W µν −W νµ ) (3.A.11) Alors, en insérant l’Éq. (3.A.10) dans l’Éq. (3.A.4), on obtient W λ µν = Γ λµν − 2 δ λµ W ν 3 (3.A.12) Γ λµν = W λµν + 2 δ λµ W ν 3 (3.A.13) qui s’écrit aussi Appendice B Développement de g[µν ] De la forme générale des composantes de la métrique non symétrique, g µν, on obtient35 g µν = gE(µν) + g [µν] + ag[µρ]gE(ρσ)g[σν] + bg [ρσ]g [ρσ]g E(µν) + O[(g [µν])3] (3.B.1) où g E(µν) sont les composantes de la métrique symétrique de l’arrière-plan et g[µν ] sont les composantes de la métrique antisymétrique. On peut déterminer l’inverse et le déterminant des composantes de la métrique non symétrique donnée par l’Éq. (3.B.1) gµν = g E(µν) + g[µν] + (a − 1)g[µσ]gE(νρ)g[ρσ] − bg[ρσ]g [ρσ]g E(µν) + O[(g [µν ])3] ( µν ) − g = − gE [1 + 1 ( 1 − a + 4b) g [ µν ] g [ µν ] ] + O[(g[µν])4] 2 2 (3.B.2) (3.B.3)
  • 108 Considérons la relation qui définit la connexion affine comme fonction de la métrique, soit la condition de compatibilité de la métrique gµ (+)ν (−) ;σ ≡ gµν,σ − gρν Γ ρµσ − gµρ Γ ρσν = 0 (3.B.4) En introduisant le développement (n ) (n) Γ λµν = ∑ ( Γ λ(µν) + Γ λ [µν]) (3.B.5) n≥ 0 (où l’indice n dénote l’ordre en g[µν]) dans l’Éq. (3.B.4), on trouve que 0 Γ λ(µν) = { } (g λ µν (µν) 0 ) , Γ λ[µν] = 0 (3.B.6) où la première de l’Éq. (3.B.6) donne le symbole de Christoffel en fonction de la métrique symétrique de l’arrière-plan, gE(µν). En associant les ordres supérieurs, on a 1 0 0 1 0 Γ λ(µν) = 0 , Γ λ[µν] = 1 (∇ λg[µν] + ∇ µ g E(λρ)g [ρν] − ∇ ν gE(λρ)g [ρµ]) 2 (3.B.7) où le zéro dénote l’opération par rapport à la métrique de l’arrière-plan. Pour les puissances supérieures, on a ( 2 n) Γ ( 2 n) λ (µρ)g E(λν) ( 2n +1) Γ λ + Γ λ ( 2 n−1) (ρν)g E(µλ) ( 2 n+1) [µρ]gE(λν) + Γ =− Γ [µρ] ( 2 n) λ [ρν]g E(µλ) ( 2 n−1) λ =− Γ λ g[λν] − Γ g [λν] − Γ (3.B.8) [ρν]g[µλ] ( 2 n) (µρ) λ λ (3.B.9) (ρν)g[µλ] ( n) Pour simplifier, on a écrit les Éqs. (3.B.8) et (3.B.9) comme si g µν = 0, pour n ≥ 2 dans l’Éq. (3.B.1). Les Éqs. (3.B.8) et (3.B.9) peuvent être résoluent pour les composantes de la connexion Γ λµν en puissances de g [µν] . Au plus bas ordre, on obtient 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Rµν (gµν) = R µν (gE(µν)) + 1 ∇ ρ ∇ ρ g[µν] − 1 ∇ ρ ∇ µ g[νρ] + 1 ∇ ρ ∇ ν g[µρ] − 1 ∇ ν ∇ ρ g[µρ] + O[(g [µν])2] 2 2 2 2 (3.B.10) µνρ 3 1 Fµνρ 1 ( 1 − − g g µνRµν (gµν) = − g E ( µν ) R (gE(µν)) − 12 − g Les Équations du+Champ a + 2b ) − g E ( µν ) R (gE(µν))g [ρσ]g [ρσ]+ E ( µν ) F 2 2 0 0 0 0 + a − g E ( µν ) R µν (g E(µν))g[µσ]gE(νρ)g[ρσ]− − g E ( µν ) R µνρσ (gE(µν))g [µρ]g[νσ] + (3.B.11) + dérivées totales + O [(g[µν])4] 0 0 − g gµνWµ Wν = − g E ( µν ) gE(µν) ∇ ρg[µρ] ∇ σg [νσ] + (3.B.12) +O[(g [µν])4] totales + O[(g [µν])4] 0 1 − g g µν Γ ρ[µσ]Γ σ[ρν] = − 12 − g E ( µν ) F µνρ 0 0 F µνρ 0 − − − g E ( µν ) gE(µν) ∇ σ g[µρ] ∇ ρ g[νσ] + O[(g [µν])4] (3.B.13) où Fµνρ = g {[µν], ρ} = g[µν],ρ + g [νρ],µ + g[ρµ],ν . Bibliographie J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557.
  • 109 Références 1. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. 2. P. Savaria, Class. Quantum Grav. 6, 1003 (1989). 3. J.W. Moffat, Can. J. Phys. 64, 178 (1986). 4. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. 5. A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II. 6. E. Schrödinger, Proc. R. Ir. Acad. A 51, 163 (1947) ; Space-Time Structure (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1954), pp. 106-119. 7. P.F. Kelly, Class. Quantum Grav. 8, 1217 (1991) ; 9, 1423(E) (1991). 8. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 15, 3520 (1977) ; D 16, 3616(E) (1977). 9. R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 6, 41 (1989). 10. A. Einstein, Ann. Math. (N.Y.) 46, 578 (1945) ; Rev. Mod. Phys. 20, 35 (1948) ; 21, 343 (1949) ; A. Einstein et E.G. Straus, Ann. Math. (N.Y.) 47, 731 (1946). A. Einstein et E.G. Straus, Ann. Math. (N.Y.) 47, 731 (1946) ; A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II ; M.A. Tonnelat, La Théorie du Champ Unifié d'Einstein, (Gauthier-Villars, Paris, France, 1955) ; Einstien's Unified Field Theory (Gordon and Breach, New York, 1966) ; E. Schrödinger, Proc. R. Ir. Acad. A 51, 163 (1947) ; Space-Time Structure (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1954), pp. 106-119. 11. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 21, 1798 (1980).* 12. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 3554 (1979).* 13. R.B. Mann, Can. J. Phys. 64, 589 (1986). 14. A. Palatini, Rend. Circ. Mat. Palermo, 43 (1918). 15. D. Hilbert, Nachschr. Ges. Wiss. Göttingen, 395 (1915). 16. R.B. Mann et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 31, 2488 (1985). 17. G. Kunstatter et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 1084 (1979). 18. D.E Vincent, Class. Quantum Grav. 2, 409 (1985). 19. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 35, 3733 (1987) ; 36, 3290(E) (1987). 20. J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7 th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180.* 21. R.B. Mann et J.W. Moffat, Can. J. Phys. 59, 1592 (1981).* 22. P.F. Kelly et R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 4, 1593 (1987). 23. T.P. Krisher, Phys. Rev. D 32, 329 (1985). 24. S.W. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972). 25. R.B. Mann et J.W. Moffat, J. Phys. A 14, 2367 (1981)* ; 15, 1055(E) (1982). 26. J.W. Moffat, Lett. Nuovo Cimento 32, 281 (1981).* 27. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 23, 2870 (1981).* 28. J.W. Moffat, Can. J. Phys. 64, 561 (1986). 29. P.F. Kelly et R.B. Mann, Class. Quantum Grav. 3, 705 (1986). 30. R.B. Mann et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 26, 1858 (1982).*
  • 110 31. B. Kursunoglu, Phys. Rev. D 9, 2723 (1974). 32. W.B. Bonnor, Proc. R. Soc. (London) A 226, 366 (1954) ; Ann. Inst. Henri Poincaré 15, 133 (1957). 33. Voir la note 23 de la référence 30. 34. P.F. Kelly, Class. Quantum Grav. 8, 1217 (1991) ; 9, 1423(E) (1991). 35. T. Damour, S. Deser, et J. McCarthy, Phys. Rev. D 47, 1541 (1993). 36. M. Kalb et P. Ramond, Phys. Rev. D 9, 2273 (1974). 37. T. Damour, S. Deser, et J. McCarthy, Phys. Rev. D 45, R3289 (1992). 38. N.J. Cornish et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 47, 4421 (1993). 39. N.J. Cornish, J.W. Moffat, et D.C. Tatarski, Phys. Lett. A 173, 109 (1993). 40. R.B. Mann et J.W. Moffat, Can. J. Phys. 59, 1723 (1981) ; 61, 656(E) (1983).
  • 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symétrique 4.1 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Extérieure Dans la TGE, la solution de Schwarzschild (ou métrique d’espace-temps de Schwarzschild), qui décrit le champ extérieur d’un corps statique, et ce, exactement, prédit de faibles écarts de la théorie de la gravitation de Newton pour le mouvement des planètes dans notre système solaire, et, en plus, prédit la déviation de la lumière, le décalage gravitationnel vers le rouge de la lumière, et de faibles effets de délai temporels. Ces quatre prédictions ont été confirmées par des mesures précises. Mais, dans le cas du moment quadripolaire solaire, toujours sans conclusions définitives, et des mesures effectuées sur les pulsars ou les systèmes binaires, les prédictions de la solution de Schwarzschild dans le régime à champ faible de notre système solaire sont les seules prédictions de la TGE qui ont été vérifiées de façon assez précises. Cependant, de nouveaux horizons peuvent s’ouvrir en étudiant de nouvelles solutions. On se rappelle que les composantes de la métrique non symétrique sont définit par (voir Section 2.4)1  g(t t ) g [ rt ] gµν =   g [θ t ]   g[ϕ t ]  g[tr ] g [ tθ ] g (r r) g[ rθ ] g[θ r ] g (θ θ ) g[ϕ r ] g[ϕ θ ] g [ tϕ ]  g[ rϕ ]   g[θ ϕ ]   g (ϕ ϕ )   (4.1.1) où (...) et [...] représentent les parties symétrique et antisymétrique, respectivement, et g[νµ ] = −g[µν ]. Les composantes de la métrique données par l’Éq. (4.1.1) deviennent, en considérant les résultats obtenus dans l’Appendice, soit l’Éq. (4.A.6)2 gµν 0  C (r ) − D (r )  D( r ) − A(r ) 0 =  0 0 − B (r )  0 − K ( r )r 2 sin θ  0    K ( r ) r 2 sin θ   − B ( r ) sin 2 θ  0 0 (4.1.2) et en posant le choix de coordonnées B(r) = r2 (4.1.3) et les conditions à la frontière suivantes g(µν) → η µν g[µν] → 0 (4.1.4) comme r → ∞, et où la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski est 0 0 1 0 0 − 1 0 0  η µν =  0 0 − 1 0    0 − 1 0 0 111 (4.1.5)
  • 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 112 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique Nous avons donc dans ce cas-ci (4.1.6) g[θϕ ] = 0 partout, ce qui nous donne les composantes de la métrique non symétrique g µν de la TNG pour le cas statique à symétrie sphérique3 TNG g µν 0  C ( r ) − D (r )  D (r ) − A( r ) 0 =  0 0 − r2  0 0  0     0 2 2  − r sin θ  0 0 (4.1.7) et gµν devient (g µρ gνρ = δ µν ) A   − D 2 − AC  D  2 µν  D − AC g =  0   0   D D 2 − AC C 2 D − AC − 0 0 0 1 r2 − 0 0     0   0   1 − 2 2  r sin θ  0 (4.1.8) Dans la limite que D(r) → 0 avec r → ∞, on voit que les composantes g µν et g µν de la TNG se rapprochent à la forme familière exprimée par les composantes de la métrique de Schwarzschild (ou de la TGE)3,4 TGE gµν = g µν 0 0 C (r )  0 0 − A( r ) =  0 0 −r2  0 0  0   0   0 2 2  − r sin θ  0 (4.1.9) On se rappelle des Éqs. (3.2.10)-(3.2.13), soient les équations du champ dans le vide (T µν = S µ = 0) g[µν], ν = 0 (4.1.10) R(µν)(Γ) = 0 (4.1.11) R{[µν ], σ}(Γ) = 0 (4.1.12) R{[µν ], σ} = g[µν ], σ + g[νσ], µ + g [σµ], ν (4.1.13) où et la condition de compatibilité de la métrique s’écrit [voir Éq. (2.8.52)] gµν, σ − gρν Γ ρµσ − gµρ Γ ρσν = 0 (4.1.14) Historiquement, ces soixante-quatre équations linéaires et homogènes, les Éqs. (4.1.14), ont été résolues1,5,6 pour le cas statique en résolvant les équations du champ unifié formulée par Einstein7 Γ µ = Γ λ[µλ ] = 0 (4.1.15) Rµν (Γ ) = 0 (4.1.16) R{[µν ], σ}(Γ) = 0 (4.1.17)
  • 113 4.1 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Extérieure Donc, avec les composantes de la métrique donnée par l’Éq. (4.1.7), on obtient [voir l’Appendice, connexions (4.A.30)] Composantes Invariantes (Γ txx) Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) D2 C′ ψ′+ 2 AC 2C Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) Γ r[tr] = D ψ′ 2A 1 Γ θ(rθ) = φ ′ 4 Γ θ[tθ ] = D φ′ 4A 1 Γ ϕ(rϕ) = φ ′ 4 Γ ϕ(θϕ) = cotθ Γ ϕ[tϕ] = D φ′ 4A Γ t(tr) = D2 C′ ψ′+ A2 2A A′ Γ rrr = 2A 1  1  r Γ θθ =  − Bφ ′  2A  2  Γ rtt = Γ rϕϕ = cos 2 θ 2A  1   − Bφ ′  2   Γ θϕϕ = −sinθ cosθ (4.1.18) où X ′ ≡ ∂X/∂r, et φ ≡ ln(B2)   ψ ≡ ln 1 − AC   D2  (4.1.19) Les trente-quatre connexions Γ λ(µν) et Γ λ[µν] restantes sont nulles. En développant un peu avec l’aide des relations (4.1.19), les connexions (4.1.18) deviennent Γ t(tr) Γ rtt Γ r[tr] Γ rrr Γ rθθ Γ rϕϕ Γ θ[tθ] Γ θ(rθ) Γ θϕϕ Γ ϕ[tϕ] Γ ϕ(rϕ) Γ ϕ(θϕ) 2 ′ 2 ADD′ − A′D 2 − A2C ′ = D ψ′+ C C = 2 A( D 2 − AC ) 2 AC 2C 2 ′ 4 ACDD′ − 2 A′CD 2 − ( D 2 + AC ) AC ′ = D ψ′+ C = 2 A2 ( D 2 − AC ) A2 2A 2 ACD′ − ( A′C + AC ′) D = D ψ′ = 2 A( D 2 − AC 2A = A′ 2A =− r A 2 = − r cos θ A D =− rA 1 = r = −sinθ cosθ D =− rA 1 = r = cotθ (4.1.20)
  • 114 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique En substituant ces dernières connexions dans l’équation suivante pour Rµν (Γ) 1 Rµν (Γ) = Γ λµν, λ − 2 (Γ λ(µλ),ν + Γ λ(νλ), µ ) − Γ σρν Γ ρµσ + Γ ρ( ρσ) Γ σµν (4.1.21) on trouve les expressions de Rµν (Γ) valide dans la TNG pour le cas statique Rtt (Γ) = d  D 2  D 2  3C ′ 2 A′ 14 8 D 2  1 d  C ′  C ′  C ′ A′ 4  − − − +4  2 − 2  − − +  2 dr  A  4C  C A r dr  A r  A r  C A r ACr         R[tr] (Γ) = 2 Rrr(Γ) = d  D  6D + =0 dr  Ar  Ar 2   (4.1.23) 1 d  C ′  C ′  C ′ A′  A′ d  D 2  2 D 2  C ′ A′ 2 D 2   C  − 4C  C − A  + 4 A − 2 dr  ACr  − ACr  C − 2 A + ACr  2 dr             Rθθ (Γ) = − (4.1.22) r  C ′ A′  A′ d  D 2  2 D 2  C ′ A′ 2 D 2   C − A  + 4 A − 2 dr  ACr  − ACr  C − 2 A + ACr  2A           Rϕϕ (Γ) = sin2θ Rθθ (Γ) (4.1.24) (4.1.25) (4.1.26) Un calcul nous donne alors −g = AC − D 2 r 2 sin θ (4.1.27) et la seule composante de la densité g[µν ] qui ne disparaît pas est g[rt] = − g[tr] = − Dr 2 sin θ AC − D 2 (4.1.28) L’Éq. (4.1.10) nous donne donc d  Dr 2 sin 2 θ  dr  AC − D 2   =0   (4.1.29) En intégrant l’Éq. (4.1.29), on arrive à une solution reliant A, C, D, et r à une constante d’intégration l2 D2r 4 AC − D 2 = l4 (4.1.30) La solution pour D(r) dans la TNG devient donc D 2 = ACK1 (4.1.31) où K1 = l4 l + r4 4 (4.1.32) Considérons maintenant la quantité scalaire suivante S=− 2 1 1 Rtt(Γ) + Rrr(Γ) + 2 Rθθ(Γ) C A r (4.1.33) et les combinaisons linéaires suivantes 1 1 Rtt(Γ ) − S = 0 C 2 (4.1.34)
  • 115 4.1 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Extérieure 1 1 Rrr(Γ) + S = 0 A 2 (4.1.35) 1 1 Rθθ(Γ) + S = 0 2 2 r (4.1.36) On effectue le même changement de variables que dans la TGE soit A = eµ et C = eν où µ = µ(r) et ν = ν(r). Donc, à partir des Éqs. (4.1.34)-(4.1.36), on obtient l’ensemble d’équations suivant3  µ′ 1  2 µ ′ −ν ′   1 e − µ  − 2 +  − 2 K12 − K1   + 2 = 0 2r  r r r  r (4.1.37) ν ′ 1  4 2 µ ′ + ν ′  1 − e − µ  + 2 +  2 K1 − 2 K12 − K1   + 2 = 0 r 2r  r  r r r (4.1.38)  3(µ ′ −ν ′)  1 − µ  µ ′ν ′ µ ′ ν ′ ν ′2 4 16r 2 e  + − − −ν ′′ +  K1 − 2 K12 + 4 K12  = 0   2 r r 2 r r l    2 (4.1.39) où les termes entre parenthèse montrent les écarts qui résultent entre les Éqs. (4.1.37)- (4.1.39) et celles que l’on retrouve dans la TGE.8 On soustrait l’Éq. (4.1.38) et l’Éq. (4.1.39), ce qui nous donne 4 µ ′ + ν ′ = − K1 ≠ 0 r (4.1.40) puisque 1 − K1 > 0, un résultat différent de celui de la TGE. En utilisant l’Éq. (4.1.40) et en l’insérant dans l’Éq. (4.1.36), on obtient  µ′ 1  1 e −µ  − 2  + 2 = 0  r r  r (4.1.41) C’est la même équation que l’on obtient dans la TGE, et elle mène à la même solution pour A(r) dans la TNG A(r ) = 1 2m 1− r (4.1.42) où −2m est une constante d’intégration (un choix convenable pour la suite.) On peut réécrire l’Éq. (4.1.40) sous la forme  l 4  d    µ + ν + ln 4  r + l 4  = 0 dr      (4.1.43) L’intégration de l’Éq. (4.1.43) donne  r4 AC 4  r + l4   2  = K2   (4.1.44) 2 où K 2 est une seconde constante d’intégration. En substituant l’Éq. (4.1.44) dans l’Éq. (4.1.31) pour D2, et en utilisant l’Éq. (4.1.32) pour K1, on obtient la solution pour D D = ±K 2 l2 r2 (4.1.45) En adoptant les conditions à la frontière, soit que D → 0 lorsque r → ∞, g(µν) → ηµν, on trouve que K2 = +1. Donc, on obtient la solution pour D(r) dans la TNG D( r ) = ± l2 r2 (4.1.46)
  • 116 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique Maintenant, en insérant les Éqs. (4.1.42) et (4.1.46) dans l’Éq. (4.1.31), on obtient la solution pour C(r) dans la TNG  l 4  2m  C ( r ) = 1 + 4 1 −   r  r    (4.1.47) Les composantes de la métrique non symétrique correspondant à la solution statique à symétrie sphérique dans la TNG est donc (c = G = 1) TNG g µν  l 4  2m  l2 − 2 1 + 4 1 −    r  r  r  −1  2 l  2m  = − 1 −   r  r2   0 0   0 0  0 0 −r2 0      0   0  − r 2 sin 2 θ   0 (4.1.48) Encore, comme dans la TNG, pour r → ∞, on obtient l’élément le longueur de l’espace-temps plat de la relativité restreinte, en coordonnées sphériques ds 2 = c 2 dt 2 − dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) (4.1.49) et, en considérant que dans la limite newtonienne, une masse ponctuelle M située à l’origine O dans la théorie de la gravitation de Newton donne lieu à un potentiel φ = −GM/r, et que pour une charge l2 = 0, l’élément de longueur doit se réduit à la solution de Schwarzschild de la TGE −1  2GM   2GM  ds 2 = 1 − 2 c 2 dt 2 − 1 − 2  dr 2 − r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) c r  c r    (4.1.50) on trouve qu’on peut faire l’identification suivante pour m : m= GM c2 (4.1.51) comme dans la TGE. En tenant compte des constantes physiques et de l’Éq. (4.1.51), l’élement de longueur au carré, ou l’intervalle au carré, dans la TNG devient −1  l 4  2GM   2GM  ds 2 = 1 + 4 1 − 2 c 2 dt 2 − 1 − 2  dr 2 − r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 )  r  c r  c r     (4.1.52) g[tr] (r) = − D (r) (4.1.53) où M est la masse totale présente dans le champ gravitationnel. De plus D(r) = ± l2 (4.1.54) r2 où −g[tr](r) = −g[rt](r) = ± l2 r2 (4.1.55) et toutes les autres composantes antisymétriques g[µν ] sont nulles. Alors, ce choix d’une solution statique à symétrie sphérique dans la TNG fut guidé par l’exigence que les conditions asymptotique à la frontière telle r → ∞ donne ainsi l’espace-temps plat de Minkowski et g[µν ] → 0. La solution générale dans le cas statique à symétrie sphérique dans la TNG permet aussi une autre composante non nulle, g [θϕ ] , mais dans notre cas elle ne satisfait pas l’exigence qu’elle doit disparaitre lorsque r → ∞. Ceci permet l’existence possible de nouveaux effet gravitationnels.
  • 4.2 Le Théorème de Birkhoff 4.2 117 Le Théorème de Birkhoff De l’équation du champ [voir Éq. (4.A.65)] (4.2.1) R(tr)(Γ) = 0 2 on trouve que dans le cas où A = A(r,t), B = r , C = C(r,t) et D = D(r,t) 9 2  & 1 A 2 1 − D  = 0 2 Ar AC    (4.2.2) Puisque − g = AC − D 2 r 2 sin 2 θ ≠ 0 (4.2.3) & dA = 0 A= dt (4.2.4)  l 4  2GM  B (r , t ) = h(t )1 + 4 1 − 2   r  c r    (4.2.5) il suit que La solution non statique est donnée par9,10,11  2GM  A(r ) = 1 − 2  c r   −1 B(r) = r 2 D( r , t ) = h1 2 (t ) (4.2.6) (4.2.7) l2 r2 (4.2.8) où h(t) est une fonction arbitraire de t. Choisissons une nouvelle variable temporelle (on change l’échelle de la coordonnée t)8,10 12 t = ∫ h (t ) dt (4.2.9) On peut maintenant montrer que la solution non statique se transforme en une solution à symétrie sphérique de la TNG, indépendante du temps. En particulier, on obtient µ ν g [tr] = g[µν ] ∂ x ∂ x = g [tr] ∂ t ∂t ∂ r ∂t (4.2.10) où ∂ t / ∂ t = h1 2 (t ) . Ceci donne le théorème de Birkhoff dans la TNG, qu’un champ gravitationnel à symétrie sphérique dans l’espace libre de sources doit être statique. Le résultat prouve que dans la TNG, l’équivalence du résultat prouvé par Newton : que le champ gravitationnel extérieur à un corps symétrique se comporte comme si la totalité de sa masse était concentrée en son centre. Le théorème de Birkhoff nous dit aussi que même si un corps de symétrie sphérique en pulsation peut produire un rayonnement gravitationnel, la conséquence sera qu’aucune radiation pourra s’échapper dans l’espace (vide) environnant ce corps. Le théorème de Birkhoff peut aussi s’appliquer aux champs intérieurs d’une cavité au centre d’un corps à symétrie sphérique mais pas nécessairement statique. La métrique est donnée par la solution obtenue pour la TNG (voir Section 4.1), mais puisque le point r = 0 est dans l’espace dépourvu de sources, il n’y aura pas de singularités, alors, les constantes d’intégration 2GM/c2 et l2 doivent disparaître. Alors, on a une métrique à l’intérieur d’une cavité sphérique vide au centre d’un système à symétrie sphérique qui doit être équivalente à la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski, ηµν. Ceci correspond au résultat newtonien que le champ gravitationnel d’une coquille sphérique disparaît à l’intérieur d’une de la coquille sphérique.
  • 118 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell Les composantes du tenseur d’énergie-impulsion pour un corps contenant de l’énergie électromagnétique, sont données par (c = 1)8 Tµν = 1  1  ρσ ρσ  − g Fµρ Fνσ g µν F Fρσ  4π  4  (4.3.1) où Fµν = g µρ g νσFρσ = − F νµ (4.3.2) sont les composantes du tenseur du champ électromagnétique ou du tenseur de Maxwell. Les composantes de ce tenseur sont définit par Fµν = Aµ (+) ;ν − Aν (−) ;µ = Aµ,ν − Aν, µ (4.3.3) où Aµ = (φ,Α ) et représente les composantes du quatri-vecteur potentiel électromagnétique. Avec ces définitions, les composantes Fµν prennent la forme suivante − Ex 0 E µν  x F = E y  Ez  − Ey 0 Bz − Bz 0 By − Bx − Ez  − By   Bx   0   (4.3.4) La densité lagrangienne qui inclut les contributions électromagnétiques s’écrit12 L = gµνRµν (W) + F µνFµν Les équations du champ dans la théorie TNG-Maxwell sont les suivantes (4.3.5) 13 Γ λ[µλ ] = 0 (4.3.6) R (µν) = 8π S[µν ] (4.3.7) R[µν, σ] = 8 π S[µν, σ] (4.3.8) F[µν,σ] = 0 (4.3.9) F µν ,ν (4.3.10) =0 où S µν = Tµν − 1 g µν gρσ Tρσ 2 (4.3.11) Puisque le champ électromagnétique est statique, on a (4.3.12) Ar = Aθ = A ϕ = 0 Ftr = − Frt = At′ (4.3.13) µ ν où X ′ ≡ ∂X/∂r. Avec le même changement de variable effectué à la Section 4.1, soit que A = e et C = e , où µ = µ (r) et ν = ν (r), on obtient F tr = F tr = L’Éq. (4.3.10) nous donne alors le résultat ( At )′ e − D2 µ +ν 2 ′ − g F tr = r sin θ ( At ) e µ +ν − D 2 (4.3.14) (4.3.15)
  • 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell 2  ′ F tr,r = sinθ d  r ( At )  µ +ν dr  e − D 2  = 0   119 (4.3.16) qui, après intégration, donne ε At′ = r 2 e µ +ν − D 2 (4.3.17) où ε est une constante d’intégration. Maintenant, on doit résoudre les équations du champ (4.3.7) et (4.3.8). Mais, puisque 2 Ttt = 1 eν ε 2 2 r Trr = − (4.3.18) 1 µ ε2 e 2 r2 (4.3.19) 1 ε2 T θθ = r 2 4 2 r Tϕϕ = (4.3.20) 1 2 2 ε2 r sin θ 2 2 r (4.3.21) on obtient, en respectant l’analyse des Éqs. (4.1.34)-(4.1.41), l’équation suivante 2  µ′ 1  1 ε e−µ  − 2  + 2 = 4 r  r r  r (4.3.22) Celle-ci, lorsqu’elle est intégrée, donne A(r) = 1 2m ε 2 1− + 2 r r (4.3.23) Répétant l’analyse des Éqs. (4.1.44)-(4.1.46), on obtient D(r) = ± l2 (4.3.24) r2 Et, avec l’Éq. (4.1.32) et les Éqs. (4.3.23) et (4.3.24), on trouve  l 4  2m ε 2 C(r) = 1 + 4 1 − − 2  r  r r       (4.3.25) Donc, on obtient les composantes de la métrique correspondant à la solution statique à symétrie sphérique extérieure pour la théorie TNG-Maxwell (c = G = 1)  l 4  2m ε 2  l2 + 2 − 2 1 + 4 1 −   r r  r  r     2m ε 2 l2 gµν =  − 1 − + 2   r r2 r   0 0   0 0  0     −1 0 − r2 0      0   0  2 2  − r sin θ  0 (4.3.26) En tenant compte des constantes physiques et de l’Éq. (4.1.52), l’élément de longueur dans la théorie TNG-Maxwell devient
  • 120 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique  l 4  2GM Gε 2 ds 2 = 1 + 4 1 − 2 + 4 2  r  c r c r    2 2  2GM Gε 2 c dt − 1 − + 4 2   c 2r c r   −1   dr 2 − r 2 (dϕ 2 + sin 2 dθ 2 )   (4.3.27) où ε (=q /4 πεo dans les unités MKS) est la charge totale de la particule dans le champ de gravitation mesurée par un observateur à distance (r >> 2MG/c2 et r >> G1/2ε /c2). De plus, il y a la partie antisymétrique de la métrique g [tr](r) = −D(r) = − l2 r2 (4.3.28) et toutes les autres composantes de g[µν] sont nulles. Lorsque l2 = 0, l’élément de longueur (4.3.27) se réduit à celui de Reissner-Nordström dans la théorie TGE-Maxwell. De plus E(r) = ε r2 ˆ r (4.3.29) On peut aussi penser de la composante g tr que c’est une composante radiale d’un champ E(r) = E(r) = D ˆ r AC - D 2 l2 ˆ r 2 AC - D r 2 (4.3.30) qui obéit à la loi de Gauss, avec l2 comme source. Mais, puisque E est couplé à la matière seulement par l’intermédiaire d’un tenseur d’énergie-impulsion, il ne peut donner lieu à des forces avec un comportement en 1/r2. Maintenant, si on considère la présence de sources, la densité lagrangienne avec sources devient L = g µν Rµν (W ) + − g [κ (g[µν ]Fµν )2 − H µν Fµν] + LM (4.3.31) où κ est une constante de couplage. Le tenseur antisymétrique de l’intensité du champ électromagnétique, H µν = −Hνµ, est définit en fonction du tenseur antisymétrique du champ électromagnétique F µν par l’équation suivante g σµ gνσHνρ + gρσ gσνHµν = 2g ρσ gσνFµν (4.3.32) La densité lagrangienne avec sources est donnée par LM = −8π g µν Tµν + 8π Wµ S µ 3 (4.3.33) Seulement lorsque les champs électromagnétiques et la gravitation sont présents dans le vide, c’est-à-dire, dans l’absence d’une source matérielle phénoménologique, alors S µ = 0 et le tenseur d’énergie-impulsion électromagnétique devient Tρσ = − 1  1  µλ [ µν ] Fµν Fρσ − g ρσ [ H µν H µν − κ ( g µν Fµν ) 2 ]  g λσ H Fµρ + κg 4π  4  (4.3.34) où H µν = gρµ g σνHρσ (4.3.35) g ρσ Tρσ = 0 (4.3.36) Il peut être prouvé que [µν ] On observe qu’il y a un terme de couplage de la forme κ g Fµν dans la densité lagrangienne et cette densité lagrangienne est non singulière pour toute valeur de κ, même κ = 0. Les équations du champ dans la théorie TNG-Maxwell avec sources sont les suivantes12 Γλ[µλ ] = 0 (4.3.37) Gµν = 8 π Tµν (4.3.38)
  • 121 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell g[µν ],ν = 0 gρν Γ ρµσ gµν,σ − − gµρ Γ ρσν (4.3.39) =0 (4.3.40) F[µν,σ] = 0 (H H ρσ (4.3.41) [ρσ] µν −κg g Fµν),σ = 0 (4.3.42) 1 gµν R 2 (4.3.43) où G µν = Rµν − Les composantes statiques du tenseur du champ électromagnétique, données par l’Éq. (4.3.3), sont les suivantes [voir la matrice donnée par l’Éq. (4.3.4)] F23 = −B(r) = H(r)sinθ F01 = −E(r) (4.3.44) et toutes les autres composantes sont nulles. Des Éqs. (4.A.8), (4.A.14), (4.3.3) et (4.3.32), il suit que H µν = Fµν et de l’Éq. (4.3.41), on trouve que H(r) est une constante, qui correspond à la charge magnétique. On suppose, en accord avec la théorie de Maxwell, que la charge magnétique est nulle. On a E AC − D 2 H 01 = (4.3.45) La solution de l’Éq. (4.3.39) est la suivante (voir l’Appendice) D2 = l 4 AC (4.3.46) B + F 2 + l4 2 où l 2 est une constante d’intégration qui est identifié à la charge TNG d’un corps. L’Éq. (4.3.42) a la solution suivante 2  Qρ AC − D 2  D  Qρ = E =  2  2 2 4  ( ρ 2 + κ 2l 4 )  l  ρ + κ l   (4.3.47) où Q est la charge électrique d’une particule et ρ2 = B2 + F2 (4.3.48) Lorsque qu’on chosit l 2 = 0, on obtient E= Q AC (4.3.49) ρ Les composantes de Tµν suivent directement de l’Éq. (4.3.34). Elles sont données par  1 C  El 2  4π T00 = 4π  2 ρ2  D   2  κC  Ql 2  −   A  ρ 2 + κ 2l 4       2 2 2  7 D  El 2    + κD Ql 4π T 01 =  ρ 2 + κ 2l4 2 ρ2  D         2 4π T11 = − 2 2     (4.3.50) (4.3.51) 2   1 A  El 2    + κA Ql  2  2 2 4   ρ +κ l 2ρ  D     2  1 B  El 2    + κB Ql 4π T 22 =  ρ 2 + κ 2l 4 2 ρ2  D        2 (4.3.52) 2 (4.3.53)
  • 122 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 2 2  1 F  El 2    + κF  Ql 4 π cscθ T23 = −  ρ 2 + κ 2l4 2 ρ2  D         2 4π T 33 = 4π csc2θ T22 (4.3.54) (4.3.55) On a définit maintenant les quantités suivantes B  F φ = lnρ ξ = arctan  (4.3.56) [et non φ = ln(ρ 2).] De plus  D2   y = C 1 −  AC    (4.3.57) Donc, avec les composantes de la métrique donnée par l’Éq. (4.A.8), on obtient de l’Éq. (4.3.41) [voir l’Appendice, connexions (4.A.30)] Composantes Invariantes (Γ txx) Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Γ 0(01) = D2 C′ ψ+ 2 AC 2C D2 C′ ψ+ 2 A 2A A′ 1 Γ 11 = 2A 1 Γ 122 = ( Fξ ′ − Bφ ′) 2A cos 2 θ Γ 133 = ( Fξ ′ − Bφ ′) 2A Γ 1[01] = − Γ 100 = Γ 1[23] = Γ 2(03) = − Γ 233 = sinθ cosθ Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) DB ′ sin θ φ′ 2A 1 Γ 2(12) = φ ′ 2 DB′ cscθ Γ 3(02) = − 2A 1 3 Γ (13) = φ ′ 2 Γ 3(23) = cotθ D ψ 2A sin θ ( Fφ ′ + Bξ ′) 2A D φ′ 2A 1 Γ 2[13] = B′ sin θ 2 D Γ 3[03] = φ′ 2A 1 Γ 3[12] = − B′ cscθ 2 Γ 2[02] = (4.3.58) où X ′ = dX/dr. Les composantes non nulles de l’Éq. (4.3.38) donne pour le cas statique R00 = 8 π T00 (4.3.59) R11 = 8 π T11 (4.3.60) R22 = 8 π T22 (4.3.61) R23 + K sinθ = 8 π T23 (4.3.62) où K est une constante arbitraire. Les équations impliquant R33 sont identiques à celles qui impliquent R22 et dans le cas statique, les équations qui impliquent R01 et T 01 donne trivialement 0 = 0. Les Éqs. (4.3.59)-(4.3.62) sont ensuite utilisées avec les Éqs. (4.3.50)-(4.3.55) et donnent pour le cas statique à symétrie sphérique [voir les Éqs. (4.A.64)-(4.A.70)]
  • 123 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell 2 C  1d    d  Cρ 2 2 (1 − y)[(φ ′) + (ξ ′) ] +  (ln C )  ln   2A  2  dr   dr  A    4  1  d   d  Cρ    + (ln y)  ln   2   +  2  dr    dr  A        (4.3.63) 2 2 2  d (Cy 2 )   C  El 2   1  2 y − 1  d    − 2κC  Ql   (ln y ) + ln  +   = 2   ρ 2 + κ 2l 4 2  1 − y   dr   dr   ρ  D             2 1 d 1 1  d 2 (Cy )  1  d (Cy)   d  A   − φ ′′ + φ ′ (ln A) − [(φ ′) 2 + (ξ ′) 2 ] − ln  ln    + ln 2 dr 2 2  dr 2  4  dr   dr  Cy        A  El 2 =− 2  ρ  D  2 2    + 2κA Ql   ρ 2 + κ 2l 4   2 1+  Ql 2  d  Fξ ′ − Bφ ′  B  El 2   Bξ ′ + Fφ ′  1  Fξ ′ − Bφ ′  d      + ξ ′ +   [ln( Ay) ] = 2   D  + 2κB ρ 2 + κ 2 l 4  dr  2A 2A 2A ρ     2  dr    d  Bξ ′ + Fφ ′  F  Fξ ′ − Bφ ′  1  Bξ ′ + Fφ ′  d K+   − ξ ′ +   [ln( Ay) ] = − 2 dr  2A 2A 2A ρ    2  dr     2 (4.3.64) 2 2 2  El 2     − 2κF  Ql  D   ρ 2 + κ 2l4    (4.3.65)     2 (4.3.66) Les Éqs. (4.3.63)-(4.3.66) peuvent ensuite être écrits dans une forme plus compacte en utilisant les techniques de Wyman14 et Vanstone15. En multipliant l’Éq. (4.3.65) par F et l’Éq. (4.3.66) par B, et ensuite l’Éq. (4.3.65) par (−B ) et l’Éq. (4.3.66) par F, donne après quelques additions F + KB + ρ 2ξ ′  d ( Ay)  d  ρ 2ξ ′  ρ 2 − ln +  (φ ′ξ ′) = 0 4 A  dr  dr  2 A  2 A     (4.3.67) 2 KF − B + 2  El 2   ρ 2φ ′  d ( Ay)  d  ρ 2φ ′  ρ 2 2 2      Ql  ln   + dr  2 A  − 2 A (φ ′) = − D  − 2κρ  ρ 2 + κ 2 l 4  4 A  dr        2 (4.3.68) Il est coutume d’utiliser la notation suivante x= B2 + F 2 ρ 2 = A A e q = e φ + iξ = F + iB (4.3.69) et réécrire les Éqs. (4.3.67) et (4.3.68) de la façon suivante 2   e q   x   El 2   Ql 2  1  d ( xy )  q′′ + q′ ln         + 2( K + i ) x   2  = − D  −  ρ 2 + κ 2 l 4  2  dr           2 (4.3.70) où l’Éq. (4.3.70) a été obtenue en additionnant l’Éq. (4.3.68) à i fois l’Éq. (4.3.67). De l’Éq. (4.3.70), il suit que d   y  y  ln  = 21 − φ ′ dr   C    C   (4.3.71) d 2   y  y    y 2 ln  = 21 − C  φ ′′ − 2 C (φ ′)  dr 2   C       (4.3.72) En utilisant les Éqs. (4.3.71) et (4.3.72), on obtient de l’Éq. (4.3.64)
  • 124 d  2φ ′′ − (φ ′) 2 + (ξ ′) 2 + φ ′ ln     dr  4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 2 2  x  d 2 1 d    d ( xy)   2 A  El 2   − 4κA Ql   + 2 (ln y) +  (ln y)  ln  = 2   ρ 2 + κ 2l4 y   dr 2  dr    dr   ρ  D          2 (4.3.73) tandis que l’Éq. (4.3.63) devient d  y   2 2 1 −   2φ ′′ − (φ ′) + (ξ ′) + φ ′ ln     C   dr   x   d 2 1 d    d ( xy)     + (ln y) +  (ln y )  ln  y    dr 2 2  dr    dr     2 2  2 A  El 2   − 4κA Ql = 2  ρ 2 + κ 2l4 ρ  D         2 (4.3.74) Les Éqs. (4.3.70) et (4.3.73)-(4.3.74) sont donc équivalentes au système d’équations suivantes  d  x  2φ ′′ − (φ ′) 2 + (ξ ′) 2 + φ ′ ln     = 0    dr  y   (ln y)′′ + 2 1 (ln y )′ ln( xy )′ = X 2 x q′′ + 1 q′ ln( xy )′ + 2( K + i ) 2 (4.3.75) (4.3.76) eq  e q  2 =  Y − X x  x x   (4.3.77) où  El 2 X =  D  2 2     − 2κρ 2  Ql    ρ 2 + κ 2l 4     2 (4.3.78) et  Ql 2 −q  Y = −8 κ e  ρ 2 + κ 2 l 4      2 (4.3.79) On peut résoudre les équations du champ, les Éqs. (4.3.75)-(4.3.77), plus facilement en définissant une quantité λ 15 x   λ(r) = (y′ ) 2  y  (4.3.80) λ ′ = 4 y′X (4.3.81)   L’Éq. (4.3.76) devient En definissant z = lny q+z=p (4.3.82) alors l’Éq. (4.3.77) peut être écrite comme 2 d2p dλ dp + 4( K + i )e p = 2Y e p λ+ 2 dz dz dz (4.3.83) où l’Éq. (4.3.81) a été utilisée. En prenant l’intégrale de l’Éq. (4.3.83), on obtient 2 p de  dp  p dz + k   λ + 4( K + i)e = ∫ 2Y dz  dz  (4.3.84) où k est une constante d’intégration complexe. L’Éq. (4.3.84) peut être réintroduite dans l’Éq. (4.3.83) ; l’équation résultante est ensuite consistante avec l’Éq. (4.3.75) en autant que
  • 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell dλ dX   = 4e z X = 2 Re ∫ e p  − ( Rek ) + λ dz dz   125 (4.3.85) qui suit de la comparaison avec la partie réelle de l’Éq. (4.3.75). Les conditions asymptotiquement minkowskiennes à la frontière requises sont les suivantes F → Fo (comme r → ∞) (4.3.86) qui requiert en retour que K = 0. La condition donnée par l’Éq. (4.3.86) nous assure que nous obtiendrons la solution de Reissner-Nordstrom8 C(r) = 1 − 2m Q 2 + 2 r r  2m Q 2  A(r) = 1 − + 2   r r    −1 B(r) = r 2 D(r) = 0 F(r) = 0 (4.3.87) lorsque l 2 = 0. Pour Q ≠ 0 et l 2 = 0, les Éqs. (4.3.78) et (4.3.79) donnent X = Q 2 = cte Y=0 (4.3.88) et la condition exprimée par l’Éq. (4.3.86) mène aux relations suivantes λ = 4 e z X + λo (Re k) = λo (4.3.89)  dy =  ∫ y 4 yQ 2 + λo  (4.3.90) De l’Éq. (4.3.84), on obtient  ik − p arcsin h  e  4 k  2 2 On considèra la solution pour laquelle k = λo(1 + iσ ) (4.3.91) où λo (≠ 0) et σ sont des constantes réelles. Dans le cas où λo = 0, on a k = iσ . Lorsque Q = 0, on obtient les solutions de Vanstone15  l4 + B2 + F 2 C(r) =   B2 + F 2  A(r) = ( y ′) 2 ( B 2 + F 2 ) yλo D(r) =  iλ F(r) + iB(r) =  o  4y   y   (4.3.92) (4.3.93) l 2 ( y′) (4.3.94) λo    iσ (1 + iσ )csch 2  1 + ln y     2    (4.3.95) où y = y(r). Si on pose B = r 2, on obtient que λo = 4 m. Des solutions pour les équations TNG-Maxwell ont été trouvées par Mann16 dans les cas B′ = 0 et l 2 = 0. On ne considèra que la solution dans le cas l 2 = 0. On doit choisir des conditions à la frontière réalistes. Pour r → ∞ on doit inclure C(r) → 1 A(r) → 1 B(r) → r 2 (4.3.96) En choisissant B = r 2 de sorte que la coordonnée radiale satisfasse : (coordonnée r) = (circonférence propre)/2 π, on trouve que15,16 y = C(r) = e µ (4.3.97)
  • 126 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique A(r) = (C ′) 2 ( r 4 + F 2 ) C ( 4CQ 2 + λo ) (4.3.98) B(r) = r 2 (4.3.99) D(r) = 0 (4.3.100)  λ   σ (1 − cosh ζ a cos ζ b ) + sinh ζ a sin ζ b  F(r) =  o    (cosh ζ a − cos ζ b ) 2  2C      (4.3.101) où    ζa = 2a arcsin h λo 4Q 2 − arcsin h   4Q C   λo 2  λo λo ζb = 2b arcsin h − arcsin h  4Q 2 4Q 2 C      (4.3.102) et a= 1+σ 2 +1 2 b= 1+ σ 2 −1 2 (4.3.103) De plus, on a λo = 4(m 2 − Q 2) (4.3.104) La fonction µ est donnée implicitement par la relation suivante 2e µ [cosh( aµ) − cos(bµ)]2 r2 = [σ sinh ζ a sin ζ b − (1 − cosh ζ a cos ζ b )] 2m2 (4.3.105) Pour Q = l 2 = 0, on obtient donc la solution statique à symétrie sphérique de Wyman14 C(r) = eµ A(r) = m 2 (1 + σ 2 )( µ ′) 2 e µ [cosh(aµ ) − cos(bµ )]2 B(r) = r 2 2 sinh( aµ ) sin(bµ )  2  1 − cosh( aµ ) cos( bµ )  m + σ 2 2  e [cosh( aµ ) − cos(bµ )]  [cosh( aµ ) − cos(bµ )]  (4.3.106) (4.3.107) (4.3.108)  F(r) =  µ (4.3.109) où maintenant, la fonction µ est implicitement déterminée par l’équation suivante  r2  e µ [cosh( aµ ) − cos(bµ )]2  2  = cosh( aµ ) cos(bµ ) − 1 + σ [sinh( aµ ) sin(bµ )]  2m    4.4 Solution à Symétrie Sphérique Extérieure Dépendante du Temps On se rappelle que les composantes de la métrique non symétrique sont définit par (4.3.110)
  • 4.4 Solution à Symétrie Sphérique Extérieure Dépendante du Temps  g (tt ) g [ rt ] gµν =   g[θ t ]   g[ϕ t ]  g[tr ] g ( rr ) g[ rθ ] g[θ r ] g (θθ ) g[ϕ r ] g [ tϕ ]  g[ rϕ ]   g[θϕ ]   g (ϕϕ )   g [ tθ ] g[ϕθ ] 127 (4.4.1) qui devient, en considérant les résultats obtenus dans l’Appendice, soit l’Éq. (4.A.8) gµν 0  C (r , t ) − D ( r , t )  D( r , t ) − A( r , t ) 0 =  0 − B(r , t ) 0  0 0 − F ( r , t ) sin θ    0 , F ( r , t ) sin θ   − B ( r , t ) sin 2 θ  0 (4.4.2) et en posant les conditions à la frontière suivantes g(µν ) → η µν g [µν ] → 0 (4.4.3) comme r → ∞, et où la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski est 0 0 1 0 0 − 1 0 0  ηµν =  0 0 − 1 0    0 − 1 0 0 (4.4.4) g[tr] = 0 (4.4.5) Nous choisissons donc D = 0 dans cette section partout, ce qui nous permet d’éviter les charges magnétique monopolaires dans la solution avancées par certains.17 On obtient donc comme métrique non symétrique gµν de la TNG pour le cas statique à symétrie sphérique extérieur 0 0 C ( r , t )  0 0 − A(r , t ) gµν =   0 0 − B(r, t )  0 − F (r , t ) sin θ  0 et g µν devient (gµρ g νρ = δ   0  F (r , t ) sin θ   − B ( r , t ) sin 2 θ  (4.4.6)     0  F cscθ   B2 + F 2  2 B csc θ  − 2 B + F2   (4.4.7) 0 µ ν) A  − 2  D − AC  0 µν  g = 0    0   0 0 C 0 0 D 2 − AC 0 − 0 − B B +F F cscθ 2 2 B2 + F 2 Dans la limite que F(r,t) → 0 avec r → ∞, on voit que les composantes gµν et g µν de la TNG se rapprochent à la forme familière des composantes de la métrique symétrique de Schwarzschild (ou de la TGE) avec B(r, t) = r2 TGE g µν 0 0 C (r )  0 − A( r ) 0 =  0 0 −r2  0 0  0 On se rappelle les équations du champ dans le vide (T µν = S µ = 0)   0   0 2 2  − r sin θ  0 (4.4.8)
  • 128 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique g[µν ], ν = 0 Rµν (Γ) = (4.4.9) 2 W[ν, µ] 3 (4.4.10) R{[µν], σ}(Γ) = 0 (4.4.11) R{[µν ], σ} = g[µν], σ + g[νσ], µ + g [σµ],ν (4.4.12) où et la condition de compatibilité des composantes de la métrique s’écrit gµν, σ − g ρν Γρµσ − gµρ Γρσν = 0 (4.4.13) λ L’ensemble des Éqs. (4.4.13) déterminent les soixante-quatre connexions Γ µν. Pour la métrique donnée à l’Éq. (4.4.6) les composantes Γ λ(µν) et Γ λ[µν] de notre connexion qui ne disparaissent pas sont les suivantes Composantes Invariantes (Γ txx) & C 2C & A t Γ rr = 2C Γ ttt = 1  1 &  Fβ − Bφ  2C  2  2 cos θ  1 & Γ tϕϕ = −  Fβ − Bφ  2C  2  C′ Γ rtt = 2A A′ Γ rrr = 2A 1  1  r Γ θθ =  Fα − Bφ ′  2A  2  2 cos θ  1  Γ rϕϕ =  Fα − Bφ ′  2A  2  Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Γ t(tr) = Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) C′ 2C Γ t[θϕ] = − Γ tθθ = − Γ r(tr) = sin θ  1 &   Fφ + Bβ  2C  2  & A 2A Γ r[θϕ] = 1 & Γ θ(tθ) = φ 4 D θ Γ (tϕ) = α sin θ 2A 1 Γ θ(rθ) = φ ′ 4 D θ Γ (rϕ) = β sin θ 2C sin θ  1   Fφ ′ + Bα  2A  2  D φ′ 4A 1 Γ θ[tϕ] = β sin θ 2 D & Γ θ[rθ] = φ 4C 1 Γ θ[rϕ] = α sin θ 2 Γ θ[tθ ] = Γ θϕϕ = 0 Γ ϕ(tθ) = − D α 2 A sin θ 1 Γ ϕ(tϕ) = φ ′ 4 D β ϕ Γ (rθ) = − 2C sin θ 1 β 2 sinθ D ϕ Γ [tϕ] = φ′ 4A 1 α Γ ϕ[rθ] = − 2 sinθ Γ ϕ[tθ] = −
  • 4.4 Solution à Symétrie Sphérique Extérieure Dépendante du Temps 1 Γ ϕ(rϕ) = φ ′ 4 Γ ϕ[rϕ] = Γ ϕ(θϕ) = 0 129 D & φ 4C Γ ϕ[θϕ] = 0 Γ ϕϕϕ = 0 (4.4.14) & où X ≡ ∂X /∂t et X ′ ≡ ∂X /∂r, et φ ≡ ln(B2 + F2) (4.4.15) et α≡ B′F − BF ′ B2 + F 2 β≡ & & BF − BF 2 2 B +F Les trente connexions Γ λ(µν) et Γ λ[µν] restantes sont nulles. L’Éq. (4.A.17) de l’Appendice se sépare en partie symétrique et antisymétrique 1 R(µν)(Γ ) = Γλ(µν),λ − 2 (Γλ(µλ), ν + Γλ(νλ), µ) − Γσ(µρ)Γρ(σν) + Γ ρ( µν)Γσ(ρσ) −Γσ[µρ]Γ ρ[σν ] (4.4.16) (4.4.17) et R[µν ](Γ ) = Γλ[µν ], λ − Γσ(µρ)Γρ[σν] − Γσ[µρ ]Γρ(σν) − Γρ[µν ]Γσ(ρσ) (4.4.18) Donc Rtt = − & & & & 1 && 1 & 2 C & A  C A  φ − (φ + 4 β 2 ) + φ+  2C − 2 A 2 8 4C 2A  &  ∂  A −   ∂t  2 A    ′ ′ ′ ′  + ∂  C  + C  A − C + 1 φ′  ∂ r  2 A  2 A  2 A 2C 2       & 1 & 1  A 1 & C′ & 1 R(tr) = − φ ′ + φ ′ − φ  + φ − αβ = 0 2 4  A 2  4C 2   Rrr = & & & & 1 2 A′ C′  A′ C′  ∂  C′  ∂ A  A  C A 1 & 1 2     ′′ ′ ′  2C  + 2C  2C − 2 A + 2 φ  − 2 φ − 8 (φ + 4α ) − 4 A φ + 2C  2 A − 2C  − ∂r  2C  ∂t         Rθθ = 1 + (4.4.19) (4.4.20) (4.4.21) & & ∂  2 Fα − Bφ  2 Fα − Bφ α ( Fφ ′ + 2 Bα )  + ( A′C + AC ′) + − 2   ∂r  4A 4A 8A C  & & β ∂  2 Fβ − Bφ  2 Fβ − Bφ & − −  ( A′C + AC ′) − ( Fφ + 2 Bβ ) 2   ∂t  4C 4C 8 AC  (4.4.22)  ∂  Fφ ′ − 2 Bα  1  A′ C ′  α R[θϕ] = −sinθ   ( Fφ ′ + 2 Bα ) + (2 Fα − Bφ ′) − + − ∂r  4A 4A   2 A 2C  4 A  & ∂  Fφ + 2 Bβ −  ∂t  4C  & &  1  C A  β & & −  ( Fφ + 2 Bβ ) +  4C  2C 2 A  + 4C ( 2 Fβ − Bφ )      (4.4.23) &  ∂  2 Fα − Bφ  2 Fα − Bφ ′ α ( Fφ ′ + 2 Bα ) + Rϕϕ = sin 2θ 1 +  ( A′C − AC ′) + − 2   ∂r  4A 4A 8A C    & & ∂  2 Fβ − Bφ  2 Fβ − Bφ β  & − −  ( A′C − AC ′) − ( Fφ + 2 Bβ ) 2   ∂t  4C 4C 8 AC   On peut réarranger l’Éq. (4.4.20) pour donner (4.4.24)
  • 130 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique & A 1 1 & C′ &  = φ + 2αβ   φ ′φ + 2φ& ′ − A φ′  2 C  (4.4.25) et si on substitue les Éqs. (4.4.15) et (4.4.16) dans l’Éq. (4.4.25), on obtient17 & A= & & & & &  r 4 + F 2   ( r 4 − 3F 2 ) F ′F 8r 3 FF 2( F ′F + FF ′)  C ′  FF     A 3 − 4 + −   4  2 r + FF ′   ( r 4 + F 2 ) 2 (r + F 2 ) 2 r4 + F2  C  r + F 2       (4.4.26) Si on choisit F = 0, on obtient le théorème de Birkhoff de la TGE, c’est-à-dire la solution à symétrie sphérique dépendante du temps doit être stationnaire et devient la solution statique de Schwarzschild pour r > 2m. Dans la TNG, on voit, de l’Éq. & (4.4.26), que si on choisit F ≠ 0,* le théorème de Birkhoff ne tiendra pas pour un pulsar possédant une symétrie sphérique. Cependant, cette solution comporte de la radiation sous forme de monopoles scalaires qui sera observable dans la zone & asymptotique de l’onde. En effet, pour voir ceci on considère l’approximation statique ( F = 0) de l’équation du champ 2 donnée par l’Éq. (4.4.23) pour r devenant asymptotiquement grand et par B = r , A ∼ C ∼ 1, où on obtient rF ′′ − 2 F ′ = 0 (4.4.27) qui possède la solution F (r ) = 1 3 r 3 (4.4.28) & On voit de l’Éq. (4.4.25) que même pour r → ∞, A tend à se dissiper en 1/r 4 mais F possédera toujours un comportement cubique dans cette même zone. Si on ajoutait deux termes dans la densité lagrangienne, un proportionnel à µ 2 gµνg [µν], où µ 2 est le carré de la masse associée à la partie antisymétrique g[µν], et un qui serait proportionnel à gµνWµ W µ,18 alors on pourrait peut être avoir une solution pour F(r) qui ne serait pas monopolaire. Donc, asymptotiquement, la solution est la solution statique des équations du champ. Poursuivons quand même notre solution. On considère encore le régime à longue portée et où aucun terme cosmologique n’est présent, on obtient donc la solution statique à symétrie sphérique de Wyman14,16,17 C (r ) = e µ (4.4.29)   2   ( µ ′) 2 ( µ ′) 2 A(r ) =  µ m + (mσ ) 2 2 2  e [cosh( aµ ) − cos( bµ )]   [cosh( aµ ) − cos( bµ )]  (4.4.30) B (r ) = r 2 (4.4.31) D(r ) = 0 (4.4.32)  2 sinh(aµ ) sin(bµ )  2  1 − cosh( aµ ) cos(bµ )  F (r ) =  µ m + σ 2 2  e [cosh( aµ ) − cos( bµ )]  [cosh( aµ ) − cos( bµ )]  (4.4.33) ou, si on préfère sous forme matricielle, avec ξ = cosh(aµ)cos(bµ ), ψ = sinh(aµ)sin(bµ), ζ = cosh(aµ )cos(bµ), on a g µν e µ  0  = 0   0   0 m 2 ( µ ′) 2 (1 + σ 2 ) − e µξ 2 0 0 − r2 0 où * & Si F = 0, on obtient comme solution F( r) = ir2. 0 − 2m 2e −µψ + σ (1 − ζ ) ξ2    0   2m 2 e − µψ + σ (1 − ζ ) sin θ  ξ2   2 2  − r sin θ   0 sin θ (4.4.34)
  • 4.5 Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure 12 131 12  1 + σ 2 +1  a=   2    1+ σ 2 −1  b=   2   (4.4.35) et µ = µ (r) et est implicitement déterminé par l’équation 2  2 r e µ [cosh( aµ ) − cos(bµ )]   2m 2  = cosh( aµ ) cos( bµ ) − 1 + σ [sinh( aµ ) sin( bµ ) ]    (4.4.36) où σ et m sont des constantes d’intégration sans dimensions. σ peut être exprimée comme un paramètre d’antisymétrie (puisqu’il mesure la quantitée g[µν]) et m, la masse de la source du champ non symétrique. On trouve que pour 2m/r << 1 et 0 < σ m2/r2 < 1, la métrique prend la forme de la solution de Schwarzschild, avec A −1 = C = 1 − 2m/r. 4.5 Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure On reprend ici les équations du champ avec sources matérielles dans le champ (voir Section 3.3) 1 2 1 G µν (Γ) ≡ Rµν (Γ) − gµν gρσRρσ (Γ) = 8 π Tµν − W[µ,ν] + g µνg[ρσ]W[ ρ,σ] 2 3 3 g[µν ],ν = 4π S µ (4.5.1) (4.5.2) et l’équation de compatibilité matérielle généralisée est gµν, σ − g ρν Λρµσ − gµρ Λρσν = 0 Λλµν Λλµν (4.5.3) λ µν où est une connexion compatible avec g µν, et est relié à Γ mais n’est pas compatible par voie d’une égalité avec cette dernière lorsqu’il y a présence de matière dans le champ, mais est plutôt définit par les composantes de la connexion matérielle Λλµν = Γ λµν − D λµν (S ) (4.5.4) où D λµν (S ) montre la dépendance de D λµν sur S µ, S µ étant définit par l’Éq. (4.5.2), est un tenseur qui satisfait la condition de compatibilité du courant généralisée donnée par l’Éq. (3.3.23) g ρν D ρµσ + g µρ D ρσν = − 4π ρ S (g µσ gρν − g µρ gσν + g µν g[σρ]) 3 qui représente soixante-quatre équations pour déterminer les connexions D l’Appendice. De plus, les équations de réponse matérielle sont données par (Section 3.4) λ µν (4.5.5) que l’on incorpore à celles calculées à 1 1 (gρµ T νµ, ν + gµρ T µν, ν) + [µν ,ρ]T µν + W[ ρ,σ]S σ = 0 2 3 (4.5.6) où [µν,ρ] = 1 2 ( g µρ, ν + g ρν, µ + g µν, ρ) (4.5.7) Une dernière identité, la conservation de S µ, nous est donnée par g[µν ], ν, µ = 4 π Sµ,µ = 0 (4.5.8) La solution de l’Éq. (4.5.3), qui est d’ailleurs identique à celle du cas extérieur en certains points, doit être combinée aux solutions de la connexion D λµν pour ainsi donner la connexion Λλµν pour le cas statique à symétrie sphérique intérieur en fonction de S t et des composantes de gµν dans l’Éq. (4.1.7)
  • 132 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 0 0  C (r ) − D ( r )   D( r ) − A(r )  0 0  g µν =   0  0 − B(r ) 0  2  0 0 − B ( r ) sin θ   0 (4.5.9) On initialise aussi les quantités suivantes s =2 π φ′ DS t = 4π BDS t d ( L4 ) = B′ dB 2 (4.5.10)   (4.5.11) φ ≡ ln(B2) ψ ≡ ln 1 − AC   D2  où L 2 = L2(r) est une constante d’intégration semblable à l2, obtenu dans le cas statique à symétrie sphérique extérieur, mais pour le cas statique à symétrie sphérique intérieur d’une sphère de rayon R = Rcorps. Les composantes Λλµν non nulles de la connexion généralisée sont obtenues à la fois par celles calculée à l’Appendice (pour F = 0 et toutes les dérivées temporelles étant nulles) et par la résolution de l’Éq. (4.5.5) puis par l’application de l’Éq. (4.5.4). On obtient Composantes Invariantes (Γ txx) Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Λt(tr) = Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) D2 C′ 1 ψ′+ + sφ ′ 2 AC 2C 12 D2 C′ C ψ′+ + sφ ′ A2 2A 4A A′ 1 Λrrr = − sφ ′ 2 A 12 B B Λrθθ = − φ′ − sφ ′ 4A 4A B  B  Λrϕϕ = cos 2 θ  − φ′ − sφ ′  4A  4A  Λr[tr] = D C ψ′ + sφ ′ 2A 6D Λθ[tθ ] = D C φ′ + sφ ′ 4A 12 D Λϕ[tϕ] = Λrtt = D C φ′ + sφ ′ 4A 12 D 1 1 Λθ(rθ) = φ ′ + sφ ′ 4 12 Λθϕϕ = − sinθ cosθ 1 1 Λϕ(rϕ) = φ ′ + sφ ′ 4 12 Λϕ(θϕ) = cotθ (4.5.12) où X ′ = dX /dr. Les autres connexions Λλ(µν) et Λλ[µν ] restantes sont nulles. Pour calculer les composantes Rµν (Γ) du tenseur de courbure qui ne disparaissent pas, on doit se servir de l’Éq. (3.3.25) [où on pose x = B2/A et y = C(1 − D2/AC)] A D2 1 1 2 1 d    Rtt (Γ) =  φ ′′ − φ ′ + φ ′ ln C AC  2 8 4 dr     d 1 d2 x   1 d    + (ln y ) [ln( xy)] + (ln y ) −  dr 2 dr 2 y    4 dr       D 2  1  (φ ′s )′ + 1 φ ′s d ln x  + 1 (φ ′ s ) 2 − AC (φ ′ s ) 2  + − 1 −    y 8 2  AC  2 4 dr    6D     (4.5.13)
  • 133 4.5 Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure 1 1 d 1 + (φ ′ s )′ + φ ′ s [ln( xy )] + (φ ′ s ) 2 4 8 dr 24 ′ A 1 d 1 d 1 1 A  8π  R[tr] (Γ) = [φ ′(1 + s)] + φ ′(1 + s) [ln( xy)] − [φ ′(1 + s)] 2 + (φ ′s) 2 −  CS t  D 2 dr 4 dr 8 24 D 3  1 1 1 d   Rrr (Γ) = − φ ′′ + φ ′ 2 − φ ′ ln 2 8 4 dr    (4.5.14) x  1 d d 1 d2 1 ′  −  4 dr (ln y) dr [ln( xy )] − 2 dr 2 (ln y) − 4 (φ ′ s) y  (4.5.15) 1 d 1 − φ ′s [ln( xy)] − (φ ′ s) 2 8 dr 24 2 2 1 1 d 1 d  Rθθ (Γ) = −  [φ ′(1 + s )] + φ ′(1 + s) [ln( xy)] B B A  2 dr 4 dr  (4.5.16) Rϕϕ (Γ) = sin2θ Rθθ (Γ) (4.5.17) ν t t On aurait pu poser S t plutôt que S en abaissant l’indice (S µ = g µν S ) de sorte que S t = C S . De plus, en dérivant ces équations, on s’est servi couramment des expressions suivantes D2 d   D 2   ψ ′ = ln1 −  AC dr   AC    [ ] d D2 A′ C ′ D′ ln( AC − D 2 ) = ψ′+ + =ψ ′ + 2 dr AC A C D  (4.5.18) (4.5.19) D2   AC   (4.5.20) gµνT ) − 2 W[µ,ν] 3 (4.5.21) ψ ′ − φ ′ = φ ′s1 −   On réécrit l’Éq. (4.5.1) de la façon suivante Rµν = 8π (Tµν − 1 2 avec les composantes du tenseur d’énergie-impulsion dans le cas d’un fluide parfait, données par l’Éq. (3.6.28) T µν = (ρ + p) u µ u ν − pg µν (4.5.22) où ρ [=ρo( Π +1)] est la densité d’énergie interne (composée de l’énergie au repos et de l’énergie associée à l’interaction à courte portée), alors que p est la pression (la force par unité de surface, induite par les interactions, qui agit au travers de la frontière entre l’élément de volume et ses voisins adjacents). La trace de T µν est donc T = g µν Tµν = ρ + 3p (4.5.23) 1 Rtt (Γ) = 4π (ρ + 3p) C (4.5.24) On doit donc résoudre les équations suivantes R[tr] (Γ) = 4 π D(ρ + 3p) + 1 Wt′ 3 (4.5.25)  D2  1 1 Rrr (Γ) = −8π A ( ρ + p) − ( ρ − p)  A 2  AC    (4.5.26) 2 Rθθ (Γ) = 8 π (ρ − p) B (4.5.27) Si on effectue les combinaisons suivantes
  • 134 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique  1 1 1 2 1 1 d  [φ ′(1 + s)]+ 1 φ ′ 2 (1 + s ) +  1 φ ′(1 + s ) − 1 φ ′(1 + s ) A′  + 1  Rtt + Rrr + Rθθ  = −   4  2C A B A  2 dr 8 4 A B     2 2π   = 8π  ρ − C (S t ) 2  3   (4.5.28) tandis que 1 1 1 2 1 d  11 2  1 2  Rtt + R rr − Rθθ  =  φ ′ (1 − s ) + φ ′(1 + s ) (ln y)  − 2C A B 4 dr  B  A  16 2π   C (S t ) 2  = 8π  p − 3   (4.5.29) Finalement 1 1  1  1 d  8π  1 1 CS t  R[tr ] + Rθθ = B + φ ′ 2 1 − (1 + s ) 2  −  D B 8 A D dr  3    8π 1   C(S t ) 2  =− Wt′ − 4π 3ρ + p − 3 3D   (4.5.30) Les équations au premier ordre en φ, les Éqs. (4.5.28)-(4.5.30), déterminent A(r), y(r), et W t en fonction de la densité, la pression et le courant de la TNG. En posant maintenant B(r) = r 2, une simplification requise par notre choix des coordonnées sphériques nous permet de réduire l’Éq. (4.5.28) r d  (1 + s ) 2   (1 + s ) 2   2 2π  C (S t ) 2   = 8π  ρr − 1 +  + 1 − 1 + s dr  A   A  3       (4.5.31) L’Éq. (4.5.31), avec l’Éq. (4.5.30), suggère la définition suivante A(r ) ≡ (1 + s ) 2 1− a (4.5.32) où a est une quantité sans dimensions qui obéit la relation19 ra ′ = (1+ s){−a + 8π[ρ − 2π 3 C(S t )2]r 2} (4.5.33) En fonction de a, l’Éq. (4.5.24) prend la forme r y′  1 + s   2π    = C (S t ) 2  r 2  + 2s  a + 8π  p − y  1 − a  3    (4.5.34) où y = C(1− D2/AC). Ensuite, de l’équation de réponse matérielle, l’Éq. (4.5.6), on dérive les équations d’Euler dans un repère comobile, où u i = 0 ( i = r, θ, ϕ ), et u t = 1 / g tt . Pour le cas à symétrie sphérique, l’accélération radiale de l’élément du fluide, mesurée par un observateur local et comobile, est donnée par ( ρ + p) dv 1 C′ 1 = − p′ − ( ρ + p ) − Wt ′ S t dτ 2C 6 (4.5.35) où τ est le temps propre associé à l’élément du fluide. On s’efforce de respecter la condition hydrostatique soit qu’il y ait aucune accélération du fluide en question. Alors, avec l’aide de l’Éq. (4.5.30), Wt′ peut être éliminé de l’Éq. (4.5.35), et on obtiendra
  • 4.5 Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure d  2π 1 4π 1 as s  8π t 2 t 2  C′ t 2  p − 3 C ( S )  = − 2  ρ + p − 3 C ( S )  C − 2π r 3 + r 3 ρ + p − 3 C ( S )  dr       135 (4.5.36) on trouve C′ /C par une manipulation de la définition de y en fonction de C, donnée par l’Éq. (4.1.30) D 2r 4 = L4 AC − D 2 (4.5.37) que l’on peut écrire comme   L4  D2     y = C 1 −  AC  = C 1 + r 4      −1 (4.5.38) alors  D2   C ( r ) = y 1 −  AC    −1  L4  = y 1 + 4   r    (4.5.39) Avec l’aide de l’Éq. (4.5.10), on obtient  L4  y ′ C ′ 4  L4 = +  4 − s 1 + 4   r  y C rr    −1 (4.5.40) Avec l’aide des Éqs. (4.5.10) et (4.5.40), on peut exprimer l’Éq. (4.5.36)de la façon suivante −1   1 8πpr 2 + a L4  L4  1 s 2 rp′ = − ( ρ + p)(1 + s )  − 4 4 1 + 4   −    2π r 2 (8π pr + a)  1− a 2 r  r    (4.5.41) Maintenant, selon l’Éq. (3.5.9), on a q TNG(r) = ∫ S t dr dθ dϕ (4.5.42) où q TNG(r) est la charge TNG contenue dans une sphère de rayon R. De plus, selon l’Éq. (3.5.6) Sµ = − g ∑ f i 2 ni u µ (4.5.43) i Avec µ = t, et l’Éq. (4.5.42), on obtient St = − g S t = − g ∑ f i 2 ni u t = ( L2 )′ (4.5.44) i Puisque ui = 0 et ut = 1/ g tt , où gtt = C, et les Éqs. (4.1.30) et (4.5.37), on obtient −1   4    AC 1 + L   −g =   r4       12 r 2 sin θ (4.5.45) et donc, avec A(r) = (1 + s)2/(1 − a), on a le résultat   L4  ( L2 )′ = 4πr 2 (1 + s) 1 + 4 (1 − a )  r       −1 2 ∑ fi 2ni (4.5.46) i On peut maintenant écrire la forme finale des solutions statiques à symétrie sphérique intérieures dans la TNG en y incluant les constantes physiques
  • 136 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique   L4  ( L2 )′ = 4πr 2 (1 + s ) 1 + 4 (1 − a )  r       −1 2 ∑ fi 2ni  8π G  ra′ = (1+ s)  2 ρr 2 − a   c  r (4.5.47) i (4.5.48) y′  1 + s  8π G 2  = pr + a  + 2s  y  1 − a  c 2  −1   1 L4  L4  1 s  8π G 2  1  8π G 2   pr + a  rp′ = − ( ρc 2 + p)(1 + s )   4 pr + a  − 4 4 1 + 4   −   1 − a  c 2 r  r   2π G r 3  c 4       (4.5.49) (4.5.50) où y = C(1 − L4/r4) tandis que D(r) = (L2/r2) AC , avec A(r) = (1 + s)2/(1 − a). De plus, s = d(L4)/dr 4. Le côté droit de l’Éq. (4.5.49) représente une densité de force (corporelle) de longue portée qui s’exerce sur une élément de volume d’un fluide. La première contribution apportée par la TNG dans l’Éq. (4.5.49) est le facteur (1 + s) en avant du crochet carré qui représente une force répulsive qui, comme la gravité elle même, provient de la géométrie de l’arrière-plan. Maintenant, le dernier terme est une force tensorielle due au couplage au couplage Wµ S µ dans la densité lagrangienne ; il sera attractif ou répulsif selon le signe de s, c’est-à-dire sur le signe relatif entre S t et L2. Maintenant, en posant à l’aide des conditions aux limites : la solution intérieure doit correspondre à la solution extérieure à la surface du corps à R = Rcorps, on obtient le potentiel gravitationnel a= 2GM c2r (4.5.51) et on peut réécrire les Éqs. (4.5.47)-(4.5.50) en fonction de 2m = 2GM / c2 laquelle mesure l’énergie totale contenue à l’intérieure d’une sphère de rayon R19,20   L4  ( L )′ = 4πr 2 (1 + s) 1 + 4 (1 − a )   r      2 M′ = 4πρ (1 + s )r 2 − −1 2 ∑ fi 2ni (4.5.52) i M s r3 −1  −1  G  2GM   4π M L4  L4  Mc 2 s rp′ = − ( ρc 2 + p)(1 + s)  2 r 2 1 − 2   2 p + 3  − 2 4 1 + 4   − 2 sp −    c π r3 c r  c r  r  r     (4.5.53) (4.5.54) Lorsque les paramètres intérieurs (de la matière), ρ, p, et s, deviennent nuls, les Éqs. (4.5.52)-(4.5.54) deviennent l’ensemble des équations extérieures [(L 2)′ = 0, M′ = 0, p′ = 0, puisque, et nous le verrons plus loin, ∑i fi2n i = feff2ρo mn = 0] avec comme solution a= 2m 2GM = 2 r c r y =1− 2GM c2r (4.5.55) Lorsque Aext = (1 − 2m/r)−1, Cext = (1 − 2m/r)(1 + l4/r4), et D = ± l2/r2, où l2 est la charge TNG totale de la source et m sa masse totale comme vue par un observateur situé à l’infini. Cependant, la limite TGE des Éqs. (4.5.47)-(4.5.50) est tout de suite trouvée en posant s (et aussi L2) comme étant nuls au travers du corps. L’Éq. (4.5.47) implique alors que a = 2m(r)/r avec m(r) = ∫ 4π ρ r 2dr, tandis que C = y. L’Éq. (4.5.50) devient l’expression standard de l’équilibre statique dans la TGE. Au centre du corps, lorsque r = 0, la charge TNG L 2 est nulle. Si la pression et la densité sont pour y rester finies, les premières dérivées de L 2(r), a(r), y(r), et p(r), doivent aussi disparaître en ce point. Les coefficients de la métrique, A(r), C(r), et D(r), sont non singuliers: A(0) = 1, B(0) = y(r), et D(0) = 0, une constante fixée en utilisant les conditions à la frontière. Ceci peut être vu en développant les Éqs. (4.5.47)-(4.5.50) en puissances de r autour de r = 0. En définissant Lo = (4 π /3)∑i fi2ni, on a alors20
  • 137 4.5 Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure L2 ≅ L or3 + O(r4) + ... 3 22 L o r + O(r4) + ... 2 (4.5.57) 8π G ρc r2 + O(r4) + ... 3 c2 (4.5.58) s ≅ a ≅ (4.5.56) 3 2 2  4π G 2 y = yo +  ( ρ c c + 3 pc ) + Lo  r + O(r) + ... 2  3 c4  (4.5.59)  G  1  1 p ≅ p c −  2π 2 ( ρ c c 2 + pc ) ρ c c 2 + pc  + pc Lo 2  r2 + O(r4) + ... 3  2  c  (4.5.60) où ρc et pc sont la densité et la pression au centre du corps. On obtient A(r) ≅ 1 + 8π G ρ c + 3Lo 2 r2 + O(r) + ... 3 c2 (4.5.61) D(r) ≅ [L o(yo)]1/2 r + O(r2) + ... (4.5.62) Comme prévu, A(0) = 1, et L 2, s, a, et D, disparaissent tous à r = 0. Les composantes A, B, et D de g µν doivent se réunir à la surface (à r = R = Rcorps) ; les deux solutions, intérieure et extérieure, doivent être la même à la surface. La condition  2GM  Aint(R) = [1 − a ( R )]−1 = Aext(R) = 1 − 2  c R   −1 (4.5.63) sert à définir la masse observable M. À cause de l’Éq. (4.5.37) pour le cas intérieur avec L 2 (écrite sous la forme)  D2  1 −   AC    −1 =1+ L4 r4 (r < R) (4.5.64) (r > R) (4.5.65) et, de façon similaire pour le cas extérieur avec l2  D2  1 −   AC    −1 =1+ l4 r4 où D2/AC s’unit automatiquement, et C (ou y) peut toujours être forcé à s’unir en ajustant sa valeur centrale C(0) de sorte à s’assurer que Cint(R) = (1 − 2m/R)(1 + l4/R 4) = (1 + l4/R4)yint(R). La TNG contribue au système d’équations intérieurs par l’entremise de deux paramètres : s, et la charge L2 contenue à l’intérieur d’une sphère de rayon R = R corps. La grandeur de la contribution dépend de L(0) = Lo, la densité de charge, et alors, sur la constante de couplage fi 2, qui est considérée comme la charge TNG de la i-ème particule du fluide. Le paramètre s commence de s(r = 0) = 0 et, après avoir atteint un maximum, ds/dr = 0 redevient nul à la frontière extérieure : s(r = R) = 0. Pendant ce temps, L2 croît monotoniquement dans des corps de composition homogènes, vers la valeur à la frontière, soit L2(r = R) = l2. Regardons le paramètre s de plus près. Comme on le sait déjà de l’Éq. (4.5.10), avec B(r) = r2, et avec l’aide de l’Éq. (4.5.57) s = 2π rDS t = Puisque l’Éq. (4.5.64) est satisfaite partout, ceci indique que 3 2 D2 rLo ( r ) C (4.5.66)
  • 138 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique   s 3 L2 L4  = rLo 1 + 4 (1 + a)  2  1+ s 2 r r       −1 2 (4.5.67) qui , en retour, implique que L4 4 L4  2GMm  (rLo ) 2 < 1 + 4 1 −  9 r4 r  c 2r    (4.5.68) où nous avons substitué a = 2GMm / c2r dans l’Éq. (4.5.67). Alors, étant donné que a < 1, rL o et L4/r4 ne peuvent être tous les deux larges à comparé à 1. De plus, comme on peut voir de l’Éq. (4.5.52), une constante de couplage fi 2 trop grande, résultant en un rL o correspondant aussi grand, causera éventuellement L2 à croître moins rapidement, et la charge totale l2 diminuera. Des situations peuvent se présenter ou l 2 diminue avec un f 2 net (de la matière à l’intérieur du corps) même si la nombre total de particules chargées de la TNG augmente. Un tel corps ne pourrait être stable. Alors, l’Éq. (4.5.68) est facilement satisfaite lorsque rLo << 1 et L4/r4 est d’au plus de l’ordre de l’unité. Concentrons maintenant notre attention sur l’Éq. (4.5.50) où, avec l’aide de l’Éq. (4.5.66), nous pouvons l’écrire comme  1  1  1 p p  4π G( ρ + p ) 2   rp′ = − ( ρ + p)(1 + s)  r − 1 +  −  ρ  1− a 2 2  1 − a  ρ       L2  L4  − 2 2 1 + 4  r  r    −1 −1   a p   L2  p  a p     −    4π Gρ r 2 + ρ   r 2 1 + ρ  4π Gρ r 2 + ρ       − (4.5.69) 1 2   1 + L4 r 4  3  rLo   1− a  2       Même si à première vue, l’Éq. (4.5.69) semble plus compliquée que l’Éq. (4.5.50) ; l’Éq. (4.5.69) nous permet une comparaison aisée des composantes attractives et répulsives de la densité de force de la TNG, tout particulièrement lorsque p/ρ << 1 soit parce que le fluide est non relativiste ou parce que sa frontière n’est pas très éloignée. Une comparaison des termes connus dans les crochets carrés de l’Éq. (4.5.69) nous montre que : pour que la force nette (sur un élément de volume) soit répulsive, on doit avoir l’inégalité suivante 2  L4  8πG r a   − 1 <  4  3 L ρ   r o    −1 (4.5.70) Maintenant, que le corps de masse observable M soit relativiste ou non, à la frontière (r = R = Rcorps), la force TNG nette est attractive si l2 M l2 p mp < 1 + l4 R 4 1 − 2GM R (4.5.71) où lp2 et mp dénotent la charge et la masse de la particule d’essai qui se couple à la force TNG. Si la force TNG est répulsive, est-ce que le fait que la densité de force totale sur un élément de volume demeure attractive place une limite sur L 2? On peut montrer, en partant de l’Éq. (4.5.69), que p′ devient négative si 1 a L2  L4  − 2 2 1 + 4  21− a r  r    −1 +3     a L4  (1 − a)   1 + rLo  2 2   4   4πGρr r r        L2 −1 2 >0 (4.5.72) Cette condition devient nécessaire près de la frontière ou dans des corps non relativistes où p/ρ << 1. À la frontière, la force TNG nette est répulsive si
  • 139 4.5 Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure 1 2 2  l 4 R 4 1  1 + l 4 R 4    L mp  1 + l 4 R 4     1−   <  GM R 2  1 − 2GM R    l 2 M  1 − 2GM R         −1 (4.5.73) Bien sur, cette limite n’est valide que lorsque l’Éq. (4.5.70) tient. Même si l’équilibre hydrostatique ne place pas une restriction sur l2, l’Éq. (4.5.73) semble indiquer, à moins que l’Éq. (4.5.70) soit bien près d’être une égalité, que l4/R4 < GM/R (à peu près.) En retour, si la force nette est attractive, non seulement dans la région où la solution donnée par les Éqs. (4.5.56)-(4.5.60) est valide mais au travers du corps, on espère que l’énergie de liaison sera plus grande que dans la TGE, menant ainsi à une masse plus petite pour une densité de masse donnée.86,125 De plus, puisque la pression diminue plus vite dans la TNG, le rayon du corps devrait aussi se trouver plus petit. On peut presque présager, en observant soit l’Éq. (4.5.50) ou l’Éq. (4.5.69), que la TNG est susceptible de rendre les corps relativistes davantage instables, même si aucune preuve rigoureuse n’est encore disponible de façon analogue à celle qui existe dans la TGE. La structure des objets non relativistes homogènes, pour lesquels a << 1, l4/R4 << 1, et s << 1, ne subiront aucun effet appréciable dans la TNG : la densité de matière et le profil en température, la masse et le rayon seront indiscernables (près de ceux obtenus dans l’analyse équivalente effectuée dans la TGE pour les mêmes paramètres centraux.) La seule différence appréciable sera en la charge totale dans la TNG donnée par R l2 = ∑ f i 2 ∫ 4π r 2 ni ( r ) dr 0 i (4.5.74) Cependant, des effets significatifs peuvent être produits si la distribution des sources dominantes de la TNG diffère de la distribution normale de la matière, par example où les sources seraient concentrées à l’intérieur d’un rayon suffisamment petit que le rayon de l’objet. Maintenant, les équations du champ de la TGE impliquent que  2m( r )  ATGE = 1 − r    −1 (4.5.75) r où m(r) = ∫ 4π ρ r 2 dr . Unir les solutions intérieure et extérieure à la surface requiert alors que la masse totale du corps soit 0 R MTGE = m(Rcorps) = ∫ 4π ρ r 2 dr dθ dϕ 0 (4.5.76) Une autre expression, dérivée des lois de conservation pour la matière au repos, donne la masse en fonction d’une intégrale sur tout le corps des paramètres ρ et p MTGE = ∫ − g ( ρ + 3 p )dr dθ dϕ (4.5.77) Cependant, dans la TNG, ni l’Éq. (4.5.76) ni l’Éq. (4.5.77) ne sera valide, et ce, à cause terme (1 + s) dans l’Éq. (4.5.48). La relation entre a et m(r) n’est plus aussi simple, et l’Éq. (4.5.48) ne peut mener directement à l’Éq. (4.5.75). Son intégrale est loin d’être triviale. Le seul point qu’on peut extraire des équations du champ concerne la masse totale d’un corps dans la TNG   R a MTNG = ∫ 4πρ r 2 1 + s1 −  8πGρ r 2 0     R  dr =  4πρ r 2 + s  4πρ r 2 − M  dr   ∫0   r     (4.5.78) La généralisation de l’Éq. (4.5.78) montrera comment les contributions de la TNG à la masse totale se développent à partir de l’énergie emmagasinée dans un champ de longue portée, Wt, en plus de l’interaction que le champ a avec la matière. Si on tient compte des équations données par l’Éq. (4.5.10) (avec a = 1/2) et (4.5.3), la densité lagrangienne (3.3.14) (avec Λ = 0) se décompose selon 1 L = V λ, λ − L′ + gµνW[µ, ν ] + L m 3 (4.5.79) où V µ = gρσ Γ µρσ − 1 ρµ σ (g Γ ρσ + gµρ Γ σρσ) 2 (4.5.80)
  • 140 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique L ′ = gµν(Γ ρµσ Γ σρν − Γ ρ(σρ) Γ σµν) (4.5.81) En variant L′ par rapport à gµν et gµν,σ , les composantes de δ gµν et δ gµν,σ sont donc Aµν ≡ C λµν ≡ ∂ L′ ∂g µν = Γ ρµν Γ σ(ρσ) − Γ ρµσ Γ σρν ∂ L′ 1 = (δ λν Γ ρ(µρ) + δ λµ Γ ρ(νρ)) − Γ λµν ∂ g µν ,λ 2 (4.5.82) (4.5.83) respectivement. Les équations du champ résultantes sont identiques à celles énoncées dans les Éqs. (4.5.1)-(4.5.3), qui viennent du formalisme au premier ordre. Un pseudo-tenseur τ µν , conservé (dans le sens que τ µν, µ = 0) peut être construit21 8π τ µν = 1 (Rλν gλµ + Rνλ gµλ + δ µν Rρσ gρσ − C µρσ gρσ,ν +δ µν L ′ ) 2 (4.5.84) En implémentant les équations du champ, les Éqs. (4.5.1)-(4.5.3), on obtient19 8 π τ µν = T µν − 2 [µλ] 1 1 g W[ν, λ ] + g[ρσ]W[ρ, σ]δ µν − (C µρσ gρσ, ν − δ µν L ′ ) 3 3 2 (4.5.85) Maintenant, l’énergie totale d’un corps statique est définit par ETNG = ∫ τ tt d 3 x (4.5.86) τ tt = T tt + t tt (4.5.87) On écrit mais on ne fait aucune tentative de calculer t tt directement. Plutôt, on calcul la trace du terme C µρσ g ρσ, ν et on trouve C λµν g µν, λ = 2 L ′ (4.5.88) Il suit donc que 8 π t tt = L′ + 2 [µν] g W[µ, ν ] 3 (4.5.89) et 8π (t tt − t ii) = C tµν gµν,t − 4 [tλ] g W[t, λ] 3 (4.5.90) Dans une situation statique, la loi de conservation τ µν,µ = 0 implique τ iν = (xi τ jν), j. En intégrant sur une hypersurface de temps, constante, on obtient ∫ τ iν d 3 x = ∫ x jτ iν dS = 0 S (4.5.91) où S est une surface sphérique de rayon infini sur laquelle les paramètres matériels disparaissent. Les champs dans la partie t tν de τ iν tendent vers zéro assez rapidement à l’infini que l’intégrale de surface devient nulle. Avec les Éqs. (4.5.86) et (4.5.90), l’Éq. (4.5.91) donne ETNG = ∫ (T tt − T ii) d 3 x + ∫ (t tt + t ii) d 3 x = ∫ (T tt − T ii − 1 [ti] g W[t,i]) d 3 x 6π (4.5.92) ~ On sépare maintenant la contribution purement locale de la source à Wt → Wt − 8π S t. En intégrant par parties et en utilisant l’Éq. (4.5.3), on trouve ∫ g [ti]S t,i d 3 x = −4 π ∫ S t S t d 3 x Si T − T i est écrit explicitement, on arrive à t t i (4.5.93)
  • 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps 8π 1 [ ti] ~  3  ETNG = ∫ ∫ − g  ρ + 3 p − St S t − g Wt ,i  d x 3 12π   141 (4.5.94) Le terme de contacte, (8π /3)S t S t, peut être absorbé dans ρ et p de la même façon que dans les équations du champ. Finalement, on spécialise à un problème à symétrie sphérique où l’Éq. (4.5.35) peut être réécrite sous la forme  a 1 8π   (Wt + 8π St )′ = D 2 2 − 4π  3 ρ + p − S t S t  3 3    r (4.5.95) d’où on obtient ~ (Wt )′ = (Wt +8π St )′  a  = 3D 2 2 − 4π (3ρ + p)   r  (4.5.96) et avec l’aide de l’Éq. (4.5.64), on obtient de l’Éq. (4.5.94), l’énergie totale dans la TNG où on a rétablit les constantes physiques   p 1 L4  a p     ETNG = ∫ − g  ρ + 3 2 + 2 2 + 4π G 3ρ + 2  d 3 x 4  4π G r  r  c c      Dans le vide, ρ et p sont nuls, L 4 = l4, a = 2m / r = 2GM / c2r, et (4.5.97) − g = r2sinθ de sorte qu’à l’intérieur du corps, l’intégrale contribue le terme −Ml4/R. Puisque ETNG = m, où 2m est une constante d’intégration de A ext, on obtient une expression pour la masse d’un corps statique à symétrie sphérique dans la TNG  l4  MTNG = 1 + 4   R    où −1 ∫corps  p 1 L4  a p      − g ρ + 3 2 + 2 2 + 4πG 3 ρ + 2   d 3 x 4  4πG r  r  c c      (4.5.98) − g = [(AC )/(1 + L 4/r4)]1/2 r2sinθ . 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps Le stade final d’un effondrement sphérique de la matière comme décrit dans la TGE est bien connu : lorsqu’une certaine quantité de matière est contenue dans son rayon de Schwarzschild RS = 2GM/c2, rien ne peut freiner son effondrement et la ligne d’univers de chaque particule rencontre une singularité physique. Puisque les particules d’essai de la surface tombent tous dans une singularité, il en est de même pour toute matière contenue à l’intérieur de ce rayon, indépendamment de toute forme que la métrique puisse prendre. Cela n’est pas si évident dans la TNG. On a trouvé dans la Section 4.1 qu’une source statique à symétrie sphérique, de masse M et de charge TNG l2, produit une métrique extérieure avec un élément de longueur dans la TNG équivalent à la forme  l 4  2GM ds 2 = 1 + 4 1 − 2  r  c r   −1 2GM   2 2  2 2 2 2 2 c dt − 1 − 2  dr − r (dθ + sin θ dϕ ) c r    − g[tr] = D(r ) = ± l2 r2 (4.6.1) (4.6.2) On utilisera les équations du champ avec sources matérielles dans le champ, qu’on a utilisé dans la Section 4.5 mais avec un léger changement quand on viendra à l’Éq. (4.5.3)22 Gµν (Γ) ≡ Rµν (Γ) − 1 g µν gρσ Rρσ (Γ) 2
  • 142 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique = 8π Tµν − 2 1 W[µ, ν] + g µν g [αβ ]W[ α, β ] 3 3 gµν,σ + gρν Γ µρσ + gµρ Γ νσρ − gµν Γ ρ(σρ) + 4π (S νδ µσ − S µδ νσ) = 0 3 g[µν ], ν = 4π S µ (4.6.3) (4.6.4) (4.6.5) et l’équation du champ donnée par l’Éq. (4.6.4) reproduit l’Éq. (3.3.20). Dans le cas à symétrie sphérique dépendant du temps, l’élément de longueur dans la TGE est ds 2 = C ( r, t )c 2 dt 2 − A( r , t ) dr 2 − R 2 ( r, t )(dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) (4.6.6) et le secteur antisymétrique de gµν est limité à g [tr] et g [θϕ ]. Dans le cas extérieur de la Section 4.1, g [θϕ] = 0 si les conditions à la frontière pour r → ∞ sont imposées. On peut argumenter qu’à l’intérieur de la matière (ou pour r ≤ R = Rcorps), un g [θϕ] non nul serait attendu de croître avec r, de sorte que l’union de la solution intérieure avec la solution extérieure deviendrait problématique. Dans cette éventualité, on posera ici que g[θϕ] = 0 et nous écrivons g [tr] = −D(r,t). En étudiant le traitement de l’effondrement sphérique dans la TGE, on voit qu’un corps est divisé en couches successives de coquilles sphérique concentriques de fluide, chacune d’entre elles étant libellées par une valeur fixe de la coordonnée radiale comobile r. La fonction R(r,t) dans l’Éq. (4.6.6) peut alors être prise comme une mesure de la position d’une telle coquille ou un facteur d’échelle. On introduit la notation suivante U = ∇t R (4.6.7) ∂ 1 ∂ C −1 2 = = ∂t ∂t c C ∂t c (4.6.8) où ∇t est la dérivée par rapport au temps propre ∇t = ∂ = ∂τ 1 g tt On considérera que c = 1 pour l’instant dans le reste de nos calculs. On interprète U comme représentant la composante radiale de la vitesse propre du fluide dans un repère qui utilise R(r,t) comme coordonnée de position. La métrique à symétrie sphérique dépendante du temps dans la TNG devient alors 0 0  C (r , t ) − D ( r , t )   D( r , t ) − A( r, t )  0 0  gµν =   0  − B (r , t ) 0 0   − B( r, t ) sin 2 θ  0 0 0  (4.6.9) où on posera plus tard que B(r,t) = R2(r,t). Mais, pour l’instant on garde toute la généralité possible dans les solutions que nous allons obtenir. On initialise aussi les quantités suivantes s = 2 πφ′ DS t = 4π BDS t ∂( L4 ) = B′ ∂R 4 (4.6.10) φ ≡ ln(B2) AC   ψ ≡ ln 1 − 2  D   (4.6.11) où nous supposons, pour l’instant, que L 2 = L2(r,t) est la valeur de L 2, obtenu dans le cas statique à symétrie sphérique intérieur, mais pour le cas à symétrie sphérique dépendant du temps intérieur d’une sphère de rayon R = Rcorps et au temps t. Il reste à voir si L2 est bel et bien dépendant du temps.
  • 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps 143 Nous procéderons de la même façon que nous l’avons fait à la Section 4.5 mais, cette fois-ci, en utilisant les composantes de la métrique non symétrique données par l’Éq. (4.6.9). On obtient Composantes Invariantes (Γ txx) Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) Λt(tr) = D2 C′ 1 ψ′+ + sφ ′ 2 AC 2C 12 Λr(tr) = & D2 A & ψ+ 2 AC 2A Λr[tr] = 1 & Λθ(tθ) = φ 4 1 1 θ Λ (rθ) = φ ′ + sφ ′ 4 12 Λθ[tθ ] = 1 & Λϕ(tϕ) = φ 4 1 1 ϕ Λ (rϕ) = φ ′ + sφ ′ 4 12 Λϕ(θϕ) = cotθ & C 2C & D2 A t & Λ rr = 2 ψ + C 2C B & Λtθθ = φ 4C B sin 2 θ & Λtϕϕ = φ 4C D2 C C Λrtt = 2 ψ ′ + + sφ ′ A 2A 4A A′ 1 Λrrr = − sφ ′ 2 A 12 B B Λrθθ = − φ′ − sφ ′ 4A 4A B  B  φ′ − sφ ′  Λrϕϕ = sin 2 θ  − 4A 4A   Λttt = Λϕ[tϕ] = D C sφ ′ ψ′ + 2A 6D D C φ′ + sφ ′ 4A 12 D D & Λθ[rθ ] = φ 4C Λθϕϕ = − sinθ cosθ D C φ′ + sφ ′ 4A 12 D D & Λϕ[rϕ] = φ 4C (4.6.12) & où X ′ = ∂X /∂r et X = ∂X /∂t. Les autres connexions Λλ(µν) et Λλ[µν] restantes sont nulles. Pour calculer les composantes Rµν(Γ) du tenseur de courbure qui ne disparaissent pas, on doit servir de l’Éq. (3.3.25) [où on pose x =B2/A et y = C(1 − D2/AC)] 11 1 d A ∂ 1 ∂2  1 1 ∂ Rtt (Γ) =  φ ′ 2 (1 − s 2 ) + φ ′(1 − s ) (ln y ) − + (ln y ) [ln( xy)] + (ln y ) − A 16 4 dr C ∂r 2 ∂r 2  B 4 ∂r  D 2  1 1 ∂    ′ ′ ′  − 1 −  AC   2 (φ s ) + 4 φ s ∂r ln       x  1 AC    + (φ ′s ) 2 − (φ ′ s ) 2  +  8 2 y  6D   (4.6.13) 1 1 ∂ 1 + (φ ′s )′ + φ ′s [ln( xy )] + (φ ′ s ) 2 − 4 8 ∂r 24 − A  1 && 1 & 2 1 ∂   x  1 ∂   Ay   ∂   A 2 xy  1 ∂2   φ− φ + ln   + ln  C   ∂t ln 2  ++  y  C  C 2 8 4 ∂t    4 ∂t   2 ∂t 2          Ay      ln   C    
  • 144 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique  D 2  1 & ′ 1 & 1 C ′ & 1 ∂   Ay   − (φ ) − φ ′φ + R(tr)(Γ) = 1 − φ + φ ′(1 + s) ln     2 AC  8 4C 4 ∂t   C    (4.6.14) ′ A 1 ∂ R[tr](Γ) = [φ ′(1 + s)] + 1 φ ′(1 + s) ∂ [ln( xy )] − 1 [φ ′(1 + s)]2 + 1 (φ ′ s) 2 − A  8π CS t  −   D 2 ∂t 4 8 24 D 3 ∂t  (4.6.15) & A 1 & 1 & 1 C & 1 & ∂   Ay    −  φ& + φ 2 − φ + φ ln  C 2 8 4C 2 ∂t   C    C C 1 1 1 ∂    Rrr (Γ) = − φ ′′ + φ ′ 2 − φ ′ ln A A 2 8 4 ∂t     2 x  1 ∂  − [ln y ] ∂ [ln( xy)] − 1 ∂ 2 [ln y ] − ∂t y  4 ∂t 2 ∂t  1 1 ∂ 1 − (φ ′s)′ − − φ ′s [ln( xy) ] − (φ ′s ) 2 + 4 8 ∂t 24 + Rθθ (Γ) = − (4.6.16) D 2  1 && 1 & 2 1 & ∂   x   1 ∂   Ay  ∂   A 2 xy  1 ∂ 2    +  ln  φ − φ + φ ln   + ln AC  2 8 4 ∂t   y   4 ∂t   C  ∂t   C 2  2 ∂t 2          Ay    ln C        &   & B 1 ∂ [φ ′(1 + s )] + 1 φ ′(1 + s) ∂ [ln( xy)] + 1 + B  1 φ& + 1 φ& 2 + 1 φ& ∂ ln Ay  − 1 C φ&      A  4 ∂t 8 ∂t C 4 8 8 ∂t   C   8 C   Rϕϕ (Γ) = sin2θ Rθθ (Γ) (4.6.17) (4.6.18) On réécrit l’Éq. (4.6.2) de la façon suivante 1   2 Rµν = 8 π  Tµν − g µν T  − W[µ,ν ] 2   3 (4.6.19) et on postule maintenant que la matière consiste d’un fluide parfait à symétrie sphérique et sans rotation avec les composantes du tenseur d’énergie-impulsion dans le cas d’un fluide parfait, donnée par l’Éq. (3.6.28) T µν = (ρ + p) u µ u ν − pg µν (4.6.20) où ρ [=ρo( Π +1)] est la densité d’énergie interne (composée de l’énergie au repos et de l’énergie associée à l’interaction à courte portée), alors que p est la pression (la force par unité de surface, induite par les interactions, qui agit au travers de la frontière entre l’élément de volume et ses voisins adjacents.) La trace de T µν est donc T = gµν Tµν = ρ + 3p (4.6.21) R tt(Γ ) = 4π C(ρ + 3p) (4.6.22) R (tr) = 0 (4.6.23) R [tr](Γ ) = 4 π D (ρ + 3p) − 2 Wt 3 (4.6.24)  D2  1 R rr(Γ ) = −8π A ( ρ + p) − ( ρ − p)  AC 2     (4.6.25) Rθθ(Γ ) = 4π B (ρ − p) (4.6.26) On doit donc résoudre les équations suivantes Puisque (1 − D /AC) > 0 et R (tr) = 0, il vient de l’Éq. (4.6.17) que 2 φ ′(1 + s ) Si on effectue les combinaisons suivantes ∂   Ay   1 & C′ & & ln C   = 2(φ )′ + 2 φ ′φ − C φ ∂t    (4.6.27)
  • 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps 145  1 1 1 2 1 1 ∂  [φ ′(1 + s)]+ 1 φ ′2 (1 + s) +  1 φ ′(1 + s) − 1 φ ′(1 + s) A′  + 1 +  Rtt + Rrr + Rθθ  = −   4  2C A R A  2 ∂t 8 4 A B     2 + 1  1 & 2 1 & ∂   Ay      φ + φ ln  C 16 4 ∂ t   C   2π   = 8π  ρ − C(S t ) 2  3   (4.6.28) tandis que & 1 1 1 2 1  1  1 & 3 & 2 1 C &  11 2 2 φ  Rtt + Rrr − Rθθ  =  φ ′ (1 − s ) + φ ′(1 + s)(ln y )′ − −  φ& + φ − 2C A R 4 16 4C   A 16  B 2 2π   = 8π  p − C (S t ) 2  3   (4.6.29) et finalement 2 ′ 1 1 1  4π 1 1 &2 1 1   CS t  + R[tr ] + Rθθ = + −  φ ′(1 + s) −  φ A 4 D 3 D B B   16C 1 8π   = W[t,r] − 2π 3ρ + p − C(S t ) 2  3D 3   (4.6.30) Les équations au premier ordre en φ, les Éqs. (4.6.28)-(4.6.30), déterminent A(r,t), y(r,t), et Wt en fonction de la densité, la pression et le courant de la TNG. En posant maintenant selon notre choix de coordonnées B(r,t) = R2(r,t), on obtient de l’Éq. (4.6.11), φ ′ = 4R/R′ et & & φ = 4 R R . De plus, on vérifie l’identité ∇ t R′ ≡ ∂U 1 ∂ + U (ln C ) ∂R 2 ∂R (4.6.31) où ∂/∂R = (∂/∂r)/R′. Avec ceci, l’Éq. (4.6.27) se transforme en une expression qui nous permettra, plus tard, de déterminer des dérivées temporelles ∇ t [ln(Ay/C)] ≡ 2 ∂U 1+ s ∂R (4.6.32) Deux expressions découlent directement de l’équation de réponse matérielle, l’Éq. (4.6.7), et le tenseur d’énergie-impulsion d’un fluide parfait, donné par l’Éq. (4.6.20). Dans des coordonnées sphériques comobiles, on a ∇ ∇ t ρ ≡ − (ρ + p)∇t [ln(C −1 2 − g )] (4.6.33) ∂p 1 C′ 1 ≡ − ( ρ + p ) − S tW[t ,r ] ∂R 2 C 2 (4.6.34) et Puisque ∂S t/∂t = −S t∂(ln − g )/∂t, du à la conservation de Sµ, l’Éq. (4.6.33) est équivalente à [ ] 4π   ∇ t ρ − C (S t ) 2 = − ρ + p − C ( S t ) 2  ∇ t [ln(C −1 2 − g )] 3   Maintenant, si on définit A(r,t) comme [remarquez la similitude avec l’Éq. (4.5.32)] (4.6.35)
  • 146 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique A(r , t ) = [ R′(1 + s )]2 2 m (r , t ) 1+U 2 − R (4.6.36) alors l’Éq. (4.6.30) devient 1 2m d  4π 8π    W[ t ,r ] = 3 −  CS t  − 2π 3 ρ + p − C (S t ) 2  3D dr  3 3 R    (4.6.37) Ensuite, après quelques manipulations, l’Éq. (4.6.34) peut être reformulée en une équation qui ne contient pas de dérivées temporelles R ∂  2π 1 4π 2π 1 m   t 2 t 2  R C ′ t 2  p − 3 C ( S )  = − 2  ρ + p − 3 C ( S )  R ′ C − 6 s  − − s  p − 3 C ( S ) + π 3  (4.6.38) R′ ∂ r      R   Si on définit les quantités matérielles suivantes ~ ρ =ρ− 2π C (S t ) 2 3 ~ = p − 2π C ( S t ) 2 p 3 (4.6.39) puis qu’on enlève le tilde (∼), l’Éq. (4.6.38) devient  ∂   R ∂p 1 1 m = − ( ρ + p) R (ln C ) − 6 s − s 2 p +  ′ ∂r R 2 π R3   ∂R   (4.6.40) La loi de conservation du courant TNG, Sµ, µ = 0, avec l’Éq. (4.5.42) (mais pour une seule sorte de particule chargé TNG) S µ = f 2n u µ 2 (4.6.41) 2 où f , de dimension [longueur] , est la constante de couplage de l’espèce de particule chargée, et n est la densité numérique au repos du fluide. On obtient donc ∇t [ f 2 nC −1 2 − g ] = 0 (4.6.42) On obtient donc de l’Éq. (4.6.42) que la charge TNG totale contenue à l’intérieure d’une sphère libellée par la coordonnée comobile r au temps t est une constante du mouvement L 2(r,t) = L 2(r). On a aussi que − g est donnée par l’Éq. (4.5.44), où on change r → R −1   4    AC 1 + L   −g =   R4       12 R 2 sin θ (4.6.43) De façon similaire, si on dénote le nombre de particules à l’intérieur de la même sphère par N(r,t) R N(r,t) = ∫ nC −1 2 − g dr dθ dϕ 0 (4.6.44) Il est évident que N est aussi une constante du mouvement, et donc, de l’Éq. (4.6.42), on obtient la quantité  L4  N(r,t) = nR 2 A1 2 1 − 4   R    −1 2 (4.6.45) En combinant les Éqs. (4.6.33) et (4.6.42), on trouve que   ∇t ln ρ   = p ∇ t [ln(n)]   n  ρ   ou bien (4.6.46)
  • 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps ∇t [ln(n)] = 1 ρ+p ∇t ρ 147 (4.6.47) comme dans la TGE. Maintenant, en utilisant l’Éq. (4.6.32) avec l’Éq. (4.6.42), il vient ∇ t [ln(n)] = − 1 ∂ s ∂U ( R 2U ) + 1 + s ∂R R 2 ∂R (4.6.48) L’Éq. (4.6.48) possède une forme beaucoup plus utile ∇t [ln(nR2)] = − 1 ∂U 1+ s ∂R (4.6.49) La présence du paramètre s fait en sorte que l’Éq. (4.6.48) est différente de la façon usuelle dont nous exprimons la conservation de n, la densité numérique au repos du fluide. Finalement, avec les Éqs. (4.5.37), (4.5.41), et (4.6.36), on obtient  2GM (L )′ = 4π R R′ (1+ s) f n 1 + U 2 − 2 c R   2 2 2 L4   1 + 4  R     −1 2 (4.6.50) et, de l’Éq. (4.6.10), s = ∂(L2)/∂R4, on obtient −1 2   L2 f 2 n  2GM  L4    2 s = 1 − 2π 1 + U − 2 1 + 4   R  c R  R         −1 −1 (4.6.51) où on a réinstallé les quantités physiques temporairement. Puisqu’elles ne contiennent aucune dérivée temporelle du deuxième ordre, les Éqs. (4.6.28) et (4.6.32) procurent des & contraintes sur les valeurs initiales des composantes g µν et g µν . On peut donc utiliser l’Éq. (4.6.32) pour éliminer la dérivée temporelle dans l’Éq. (4.6.28) pour ainsi obtenir   R′2  R ∂  R′2 (1 + s 2 ) − U 2 − 1 −  (1 + s ) 2 − U 2 − 1 = 8πρR 2  R′(1 + s ) ∂r  A A        (4.6.52) ∂m m = 4π ρ (1 + s ) R 2 − s ∂R R (4.6.53) qui devient comme conséquence de l’Éq. (4.6.36). Une autre quantité qu’on trouvera utile par la suite est le paramètre Γ, définit par Γ= R′ A1 2 12  L4  (1 + s )1 + 4   R     2m  L4   = 1 + U 2 − 1 + 4   R  R       12 (4.6.54) Avec l’aide des Éqs. (4.6.32) et (4.6.40), on peut calculer la dérivée temporelle de Γ ∇t [ln(Γ)] = =− 1 U  ∂ s (ln C ) − 6   2 1+ s  ∂ R R  ∂p U R 1 m   + s 2 p +  R ( ρ + p )(1 + s)  ∂ R π R 3    (4.6.55)
  • 148 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique un autre résultat utile. L’Éq. (4.6.28) peut être réarrangée pour qu’on puisse isoler l’accélération d’une coquille en effondrement  1 + U 2 − 2m R   1 ∂ s  m + 4π pR 3  ∇t U =    2 ∂ R (ln y ) − R  − 1+ s R2    (4.6.56) où y = C(1 + L4/R4)−1. En fonction du gradient de pression, on déduit de l’Éq. (4.6.40) que −1   ∂ p s  2m   1 1 m  L4  L4   m  2 ∇t U = − 1 + U − + 2p + − 2 5 1 + 4   − 2 + 4π pR   3   R  π R  R   ( ρ + p )(1 + s)  ∂ R R  R     R   (4.6.57) On peut se servir de l’Éq. (4.6.55) et de la combiner avec l’Éq. (4.6.56). En tenant compte de la définition de Γ, donnée par l’Éq. (4.6.54), on obtient U ∇t U = 1 ∇t 1 + U 2 − 2m  − U  m + 4π pR     2  2 R   R  (4.6.58) De l’Éq. (4.6.58), on obtient le résultat suivant ∇t m = −4π pUR2 (4.6.59) −1/2 où U = C ∂U/∂t. L’Éq. (4.6.59), valide aussi dans la TGE, nous dit que m(r,t) peut seulement changer en vertu du travail fait par la pression sur une coquille libellée par la coordonnée comobile r. Par conséquent, il nous semble raisonnable d’identifier m avec la masse contenue à l’intérieure de la coquille. Avant de procéder, résumons les équations de l’effondrement. Comme dans la TGE, on peut prendre avantage du fait que puisque N(r) est une constante du mouvement, on peut ainsi utiliser N(r) comme coordonnée comobile plutôt que r, de sorte que la sphère soit identifiée par son contenu en particules. En effet, on pose donc N = r, de sorte que ∂ 4π R 2 (1 + s) ∂ = ∂R Γ ∂N (4.6.60) Alors, sur chacune des hypersurfaces de temps constant, on a les équations suivantes (c = 1)126 p = p(r)  L2 f 2 n  2GM  2 s = 1 − 2π 1 + U − R  R    (l’équation d’état) L4   1 + 4   R    −1 2  −1     (4.6.61) (4.6.62) −1 ∂M ρ  1 n ML2 f 2   = Γ −  ∂N n 2 ρ R4   (4.6.63) ∂ 2  ∂p 1 L2 f 2  1 M  L2 f 2 (ln C ) = − + 2p + +3 4  4  3  ∂N ρ + p  ∂N 2 R  π R  R   (4.6.64) où L 2 = f 2N, alors que les équations dynamiques sont les suivantes (c = 1) ∇t R = U ∇ tU = − 4π R 2 Γn  ∂p 1 L2 f 2 +  ρ + p  ∂N 2 R 4  4  1 m    1 + L  2p + 3   π R   R 4     2 2  4   ∂ = 2π R Γn  (ln C ) − 3 L f4 1 + L4  R  R   ∂N    2 −1 (4.6.65) −1 + 2Γ 2 4  L4  1 + L  5 R  R4   L4  L4  + 2Γ 5 1 + 4  R  R    2 −2 −2 M  − G  2 + 4π pR  R   M  − G  2 + 4π pR  R  (4.6.66)
  • 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps ∇t [ln(nR2)] = − 4π R 2 n ∂U Γ ∂N 149 (4.6.67) ∇t ρ = (ρ + p)∇t [ln(n)] ∇ (4.6.68) où l’Éq. (4.6.66) definit l’équation d’accélération. Aux Éqs. (4.6.65)-(4.6.68), on peut ajouter l’Éq. (4.6.30) qui, en tenant compte de l’Éq. (4.6.36) et de nos redéfinitions de ρ et p données par l’Éq. (4.6.39), devient maintenant ~ M  Wt ′ − Wr = 12 D  3 − π (3ρ + p)  R  (4.6.69) ~ où Wt = Wt + 8π S t . L’élément g[tr] du tenseur non symétrique est obtenu des Éqs. (4.6.36) et (4.6.47)126  L2 2m  L4  D(r,t) = 2 C 1 2 R′(1 + s) 1 + U 2 − 1 + 4  R  R R      −1 2 = L2 C 1 2 R′(1 + s) Γ R2 (4.6.70) On peut réécrire l’Éq. (4.6.64), qui confirme notre interprétation de M comme masse d’une sphère contenant N particules, de sorte qu’elle lise ∂M ρ  2GM  L4  = 1 + U 2 − 1 + 4  ∂N n  R  R     12 − 1 L2 f 2 1 L2 f 2 ρ M = Γ− M 2 2 n R4 R4 (4.6.71) On voit que la masse par unité de particule est la somme de la densité spécifique de masse au repos et des énergies cinétique, gravitationnelle, et TNG. Ceci est plus apparent lorsqu’on développe en une expansion au premier ordre 2 2   ρ  1 L4  ∂M ρ  2GM 1 L4  1 L2 f 2  + U 2 − 2GM 1 + 1 L f n   − M = 1 + = 1 + U 2 − + (4.6.72) n  2 R 4  R  4 GρR 3   ∂N n R 2 R4  2 R4       Le terme L4/2R 4 représente le potentiel répulsif de la TNG, tandis que le dernier terme du premier développement est l’énergie potentielle attractive par unité de particule. On voit comment ces termes ce combinent dans l’Éq. (4.6.72). On peut réécrire l’Éq. (4.6.71) avec un terme précis pour la constante de couplage d’une particule quelconque f2= l2 ρ p (4.6.73) nmp puisque l 2p = f 2 n d 3 x et d 3 x = m p /ρ, pour ainsi donner une nouvelle constante du mouvement k 2(r,t) = k 2(r) = n ∂M (4.6.74) ρ ∂N ou bien, selon la forme suivante  2GM  L4   k(r) = 1 + U 2 − 1 + 4   R  R      12 − 2 2 1 ML l p 2 mp R 4 (4.6.75) Considérons maintenant le cas spécial où p = 0 représente la cas d’un nuage de poussière en effondrement gravitationnel. Dans ce cas-ci, et avec les Éqs. (4.6.68) et (4.6.71), ρ /n et M sont des contantes du mouvement. On voit de l’Éq. (4.6.63) que Γ − M L 2 f 2n / (2ρ R 4 ) est aussi une constante du mouvement, un résultat qui suit aussi de l’intégration de l’Éq. (4.6.55). Ceci nous donne une première intégrale pour le mouvement  2GM  L4   E(r) = 1 + U 2 − 1 + 4   R  R      12 − 1 ML2 f 2 n 2 ρR 4 (4.6.76)
  • 150 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique De l’Éq. (4.6.76), on peut calculer la vitesse U. De plus, on observe que U ne peut être nulle même si 2GM / c2R > 1. Ceci rendrait la singularité, à R = 0, inévitable. Alors, si l’effondrement doit être arrêté dans la TNG, ceci doit s’effectuer avant que R atteigne le rayon de Schwarzschild, donné par 2GM / c2, avec nos unités physiques rétablies. L’équation d’accélération, l’Éq. (4.6.66), se lit maintenant comme 2 2GM ∇tU = 1 + U 2 − R R    L4  4  R  4   1 + L   R4    −1 −  ML2 f 2 n 1  GM − ρR 4 Γ  R 2  (4.6.77) où Γ est donné par l’Éq. (4.6.54). Puisque qu’on considère encore le cas spécial p = 0, l’équation de réponse matérielle, l’Éq. (4.6.33), est maintenant intégrable, nous donnant ρ R2[A/(1 + L4/R4)]1/2, une autre constante du mouvement. Alors, l’Éq. (4.6.64) devient ∂ L2 f 2  1 M  3 −  (ln C ) = 4  ∂N π ρR 3  R   (4.6.78) Si on considère les conditions initiales suivantes U(r,0) = 0 (4.6.79) R(r,0) = r (4.6.80) on trouve de l’Éq. (4.6.76) que  2GM E(r) = 1 − r   L4   1 + 4  r     12 − 1 ML2 f 2 n 2 ρr 4 (4.6.81) On initialise les quantités suivantes a= ξ= 2GM r (potentiel) r R(r ,0) R(t ) R = = = R(r , t ) R(r , t ) R(t o ) Ro (4.6.82) (4.6.83) L’Éq. (4.6.76) devient   L4  U(r) = ± aQ(ξ )1 + 4 ξ 4    r      12 (4.6.84) où Q(ξ ) = (ξ −1)P(ξ ). Dans la TGE, P( ξ ) = 1, tandis que dans la TNG 1 2   L4 1 − a r2  L4    2 1  P(ξ) = 1 + 4  − k 2 (1 − a)1 + 4   (ξ + 1)(ξ + 1) + ξ 4 + k 2 a(ξ 2 + 1) 2 (ξ + 1) 2 (ξ + 1)   4 r  a L  R         (4.6.85) où on a définit comme potentiel k(r) = n f2 2Gρ r (4.6.86) L’effondrement peut seulement débuter si l’accélération ∇t U < 0 à t = 0. De l’Éq. (4.6.77), on obtient la contrainte  r2  L4   4k 2 (1 − a)1 + 4    L  r     où on définit 12 4 4 L >  − 5 4 − 1 a r (4.6.87)
  • 151 4.6 Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps Λ=  r2  L4   (1 − a)1 + 4   2   L  r     12 (4.6.88) Il devient difficile de poursuivre davantage que l’Éq. (4.6.84) pour obtenir une solution, c’est-à-dire on doit d’abord connaître C(r,t) = C(r) pour pouvoir intégrer l’Éq. (4.6.84). Si on s’intéresse seulement dans l’obtention de certaines valeurs de ξ pour lesquelles U = 0, on peut trouver quelques résultats supplémentaires. En effet, ceci se produit pour ξ = 1, aussi lorsque P(ξ ) = 0. Pendant l’effondrement, ξ > 1 de sorte que P(ξ ), un polynôme d’ordre sept, peut seulement avoir une racine réelle si la condition suivante est respectée ∆= 1− a − kΛ > 0 a (4.6.89) ou bien, avec L 2 = f 2 N n M  2GM < 1 − ρ N  r  L4  1 + 4   r    −1 (4.6.90) Si on écrit maintenant le polynôme Q(ξ ) sous la forme 2   L4  1 L2  Q(ξ ) =  E ( r ) + ka 2 ξ 4  − (1 − aξ )1 + a 4 ξ 4    2 r r       (4.6.91) ses première de seconde dérivées par rapport à ξ, à une valeur donnée de r, donnent Q ′(ξ ) = 4ka 1 L2 4  3  L4  4 L2   3   E (r ) + ka 2 ξ ξ −  4  − 5ξ ξ − 1 2 2 r r    r  a       L4 L4  3 r2  Q ′′(ξ ) = 2aξ 2 k 2 a 4 (7ξ 4 − 3) + 2 4  5ξ −  + 6k 2 a r r  L     L4   (1 − a)1 + 4    r      (4.6.92) 1 2     (4.6.93) respectivement. On voit qu’en utilisant la contrainte donnée par l’Éq. (4.6.87), la première dérivée Q’(ξ ) est toujours positive. La seconde dérivée, Q"(ξ ), elle, est toujours positive pour ξ > (3/5) a, de sorte que Q(ξ ) n’a pas de racine réelle plus grande que l’unité si a > 3/5. Alors, l’effondrement ne peut être arrêté si 2GM / c2r > 3/5. De plus, Q"(ξ ) peut seulement être négatif pour ξ > 1 si elle est déjà négative à ξ = 1. En utilisant l’Éq. (4.6.87) encore une fois, on a k 2a L4 r 4 < 4 1 3 − 5 L 2 r4      (4.6.94) Il suit que L4 r et l’Éq. (4.6.94) nous donne une limite pour f 4 < 3 5 (4.6.95) 2  Gρ 3  < r   nN  12 f 2 14  3 − 5( L4 r 4 )      a   (4.6.96) En considérant maintenant le cas où les composantes du tenseur non symétrique g µν sont beaucoup plus petites que le potentiel newtonien, c’est-à-dire k << a. Le terme quadratique en k dans le polynôme Q(ξ ) peut donc être ignoré, et U devient nulle. Alors, on obtient
  • 152 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 1 2 12     L4    L4 1 − a r2  L4 5 1 L4  r2  L4   4  Q(ξ ) = 4 ξ − − k 2 (1 − a)1 + 4    = 0 1 − ka 2 (1 − a )1 + 4  ξ + ξ − 1 + 4    r  a r4  r L  r   r  a L              (4.6.97) On trouve que le potentiel newtonien a doit satisfaire l’inégalité suivante a< 1 2   3 r2  L4   1 − ka 2 (1 − a )1 + 4     5 L  r        (4.6.98) pour racine réelle autre que ξ = 1 puisse exister. Pour une valeur de L4/r4 << a, l’effondrement gravitationnel ne commencera pas à moins que L4/r4 < a(1 + k2a 1/2)/4. Pour toute valeur de ξ > 1, pour laquelle U = 1, on aura une racine de l’équation polynomiale suivante ξ 4 + ∆ (ξ 2 + 1)(ξ + 1) + r4 L4 =0 (4.6.99) où ∆ a été définit à l’Éq. (4.6.89). En divisant de polynôme par (ξ − ξ o)2, on peut montrer que ξ o est une racine réelle de l’équation polynomiale suivante 1 4 3 2 ξ o − ∆ (3ξ o + 2ξ o + 1) = 0 (4.6.100) et, on trouve que L4 r4 =  1  4 1  3 2  ξ o − 3 ∆ ( 2ξ o + ξ o − 1) 3    −1 (4.6.101) Lorsque a << 1 (r >> 2GM / c2), on a −1 3  2GM   c 4 Mf 2 n    1 − 4  c 2r   ρL2    ξo ≅  L4 r4 min  4  2GM ≅ 3  2 3  c r  4 2  c Mf n    1 − ρL2      (4.6.102) (4.6.103) On peut aussi étudier une simplification du cas général dans selon laquelle le couplage de la coquille au champ tensoriel de la TNG est, ou bien nul ou négligeable à comparer à la force répulsive de la TNG (2l2 mp / r5). Ceci implique que f 2=0 s=0 (4.6.104) pour cette coquille, et donc, L 2(r) = l 2, une constante. En partant de l’Éq. (4.6.76), Γ lui-même devient une constante du mouvement, et maintenant, C(r) = 1. La masse satisfait l’Éq. (4.6.53) ∂M 4πρR 2 = ∂R c4 (4.6.105) ∂   ρR 2 R′    = 0 ln ∂t   c 4      (4.6.106) et, avec l’Éq. (4.6.33), on a On pose que k = 0, où k = f 2n / (2Gρ r), dans les Éqs. (4.6.84) et (4.6.85), pour ainsi obtenir pour l’intégrale pour temps cosmique prise sur une hypersurface (de temps) constante
  • 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane t= r a1 2 4    ξ + L ξ 5 d ξ 4   r   ξ ∫1  1 − a  L4  3 1 L4 7 L4 8 4 ξ + 4ξ  4 ξ + ξ −  a r4 r  a  r    153 (4.6.107) Dans le cas spécial que nous avons considéré (le couplage de la coquille au champ tensoriel de la TNG est, ou bien nul ou négligeable à comparer à la force répulsive de la TNG), les composantes de la métrique non symétrique à symétrie sphérique dépendante du temps, g µν, dans la TNG sont donc    c2      l2 g µν =  R′ r2  12  4    1 − 2GM 1 + l      c 2 r  r 4      0   0  − l2 R′ r2 12  2GM  l 4   1 − 2 1 + 4   c r  r      4   1 + l ( R ′) 2  r4    − 2GM  l4   1 − 2 1 + 4  c r  r     0 0    0 0        0 0     2 − R (r , t ) 0  2 2  0 − R ( r , t ) sin θ  (4.6.108) ou, si on veut l’exprimer comme l’élément de longueur  2GM  l4  ds 2 = c 2 dr 2 − 1 + 4 ( R ′) 2 1 − 2  r  c r     g[tr] = − −1  l 4   2 2 2 2 2 1 + 4   dr − R ( r , t )(dθ + sin θ dϕ )  r     l 2  2GM  l 4  R ′1 − 2 1 + 4  r 2  c r  r     (4.6.109) −1 2 (4.6.110) Si on considère maintenant que a = 2GM / c2r soit aussi grand que 3/5 (mais pas plus), pour que les zéros de U puissent être obtenus. La valeur maximale de l 4/r 4 est égale à l’unité lorsque a = 3/5 et a = ¼ lorsque a << 1. la valeur minimale de l4/r4 et la valeur limite posée sur le plus petit ξ pour laquelle U = 0 peut être calculé à partir des Éqs. (4.6.100) et (4.6.101)en posant k = 0. Lorsque a << 1, on obtient [voir les Éqs. (4.6.102)-(4.6.103)] ξ o ≅ 3 c 2r / 8GM et (l4/r4)min ≅ 3(8GM / 3c2 r)4. Donc, en restreignant le système général des Éqs. (4.6.61)- (4.6.68) au cas d’un nuage de poussière, avec une pression nulle, on a été en mesure de montrer, en considérant un système à symétrie sphérique dépendante du temps, que l’effondrement d’un fluide parfait peut être arrêté et même renversé avant que l’horizon soit créé, prévenant ainsi l’effondrement à l’état d’un trou noir, phénomène inévitable dans la TGE. Puisque la composante spatiale devant la différentielle dr2 de l’élément de longueur, − A(r,t), prend la même forme que celle présente dans la TGE, la structure singulière du cas intérieur à symétrie sphérique de la TNG sera similaire. La seule solution analytique que nous avons pu trouver a été obtenue en posant la contrainte additionnelle que le couplage local f 2 était considéré comme étant nul. Alors, des limites précises sur le potentiel newtonien, a, et le rapport des potentiels de la TNG et newtonien on pu être trouvés pour permettre ce rebondissement d’apparaitre. 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane Les preuves expérimentales pour l’homogénéité et l’isotropie à grande échelle de l’univers proviennent de plusieurs sources. Cependant, ces observations ne réfutent pas le modèle cosmologique anisotrope dans l’univers primordial. Une telle anisotropie, introduite au début de la création de l’univers, tend à disparaître comme les termes matériels deviennent
  • 154 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique importants et que la métrique de l’espace-temps se réduit à une métrique isotrope à un temps cosmique t suffisamment grand. Les modèles isotropes et anisotropes basés sur les équations d’Einstein possèdent un point en commun : à t = 0, la courbure de l’espace-temps et la densité de matière deviennent infinies. Les arguments qui cherchent à éviter cette singularité (Big Bang) impliquent ordinairement des effets quantiques, mais nous ne savons toujours pas comment ces effets peuvent survenir et comment ils peuvent modifier notre compréhension de cette phase initiale de la création de l’univers. Dans le cas limite de la TGE, Bianchi a classifié les différents espaces-temps homogène* selon des considérations relevant de la théorie des groupes. Le modèle d’espace-temps le plus simple est dit : modèle de Bianchi de Type I,23 et son élément de longueur au carré est donné par24 2 2 ds 2 = c 2 dt 2 − X 12 (t )(dx1 ) 2 − X 2 (t )(dx 2 ) 2 − X 3 (t )(dx3 ) 2 (4.7.1) Cet élément de longueur au carré, toujours dans le cadre de la TGE, décrit un univers qui prend de l’expansion ou qui se contracte avec différents taux et dans différentes directions ; x1, x2, x3, étant les axes de mouvement radial. On peut aussi définir le facteur d’échelle par R = (x1 x2 x3)1/3 (4.7.2) Si on substitue l’élément de longueur donné par l’Éq. (4.7.1) dans les équations d’Einstein représentées par un modèle fluide essentiellement constitué de poussière (la pression p est alors nulle), les équations d’Einstein peuvent être résolues pour donner 9  R =Ro  (t − t o )t  2   13 (4.7.3) où R o et to sont des constantes. De plus, on obtient 2 sin α µ t2 3   Xµ (t) = R  R    où les αµ sont donnés en fonction d’une autre constante arbitraire αo  µ −1    3  αµ = α o + 2π  (4.7.4) − π <α ≤ π    o 2  6 (4.7.5) Le modèle de Bianchi de Type I trouve son importance dans le fait qu’on le considère comme une simulation de l’univers primordial (très chaud), avec température T ∝ t−1/3. On peut ensuite prouver que la densité de radiation u ∝ T 4∝ t−4/3 augmente moins rapidement que le terme de contrainte σ ∝ t−2 comme t → 0. S. W. Hawking et R. J. Tayler 25 ont suggéré en 1966 que cette plus faible décroissance de la température, avec le temps, peut résulter dans la décroissance de la fraction de l’abondance en hélium primordial, Y. Alors si les valeurs observées de Y viennent à être plus faibles que celles données par le modèle standard de cosmologie, l’anisotropie dans l’expansion pourrait résoudre cette discorde. Pour notre analyse dans la TNG, on utilisera les équations du champ avec sources matérielles dans le champ, les sources étant décrites par un tenseur de source S µν αµ = R(µν)(Γ ) = 8 π S(µν) (4.7.6) αµ = R {[µν],λ} = 8π S {[µν],λ} (4.7.7) t où on postule que le courant S et aussi Wµ sont considérés comme étant nuls dans le modèle que nous étudierons, d’où g[µν], ν = 0. On peut trouver les solutions pour la TNG qui se réduisent, dans la limite où g [µν] → 0, à l’espace-temps de Bianchi du Type I en considérant la symétrie plane de la TGE. Pour ce faire, on doit poser quelques postulats pour simplifier notre problème26 : 1. Les composantes de la partie antisymétrique de la métrique non symétrique gµν seront postulées comme ayant la même forme que les composantes de la métrique de Bianchi de Type I à symétrie plane de la TGE dans des coordonnées comobiles. 2. Les composantes de la partie antisymétrique de la métrique seront postulées comme ayant héritées des isoméries de Killing de la partie antisymétrique. Par homogène on veut dire qu’à t = constant, tous les observateurs avec les coordonnées xµ (= constantes) voient de façon similaires les propriétés géométriques de l’espace-temps dans leur voisinage. *
  • 155 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie homogène et non statique à symétrie plane Alors, on trouve qu’avec les composantes de la métrique non symétriquePlane (Bianchi de Type I) sont les suivantes  c 2 − D(t ) 0 0    D(t ) − A(t ) 0 0  g µν =   0 0 − B(t ) F (t )    0 − F (t ) − B(t )   0   (4.7.8) Alors dans un système de coordonnées comobiles cartésiennes arbitraire (pour l’instant), l’élément de longueur devient donc ds 2 = c 2 dt 2 − A(t)(dx1)2 − B(t)[(dx2)2 + (dx3)2] g [t x1 ] = −D(t) g[ x 2 x3 ] = F(t) (4.7.9) (4.7.10) où, dans ce système de coordonnées, l’univers est ouvert dans le plan de symétrie x2 − x3. On initialise les quantités suivantes φ ≡ ln(B 2 + F 2)   ψ ≡ ln 1 − A   D2  (4.7.11) et β≡ & & BF − BF 2 2 B +F (4.7.12) & où X ≡ dX /dt, et on considère maintenant que la vitesse de la lumière c = 1 à moins que cela ne soit contrairement indiqué. Nous procéderons de la même manière que nous l’avons fait à la Section 4.1 mais, cette fois-ci, en utilisant la métrique non symétrique de l’Éq. (4.7.8). On obtient les composantes de la connexion (où x1 = 1, x2 = 2, et x 3 = 3) Composantes Invariantes (Γ txx) Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) Γ t[t1] = & Γ t11 = D 2ψ + D & ψ 2 & A 2 1 1 & Γ t22 = −  Fβ − Bφ  2 2  1 1 & Γ t33 = −  Fβ − Bφ  2 2  11 &  Γ t[23] = −  Fφ + Bβ  22  & D2 A & ψ+ 2A 2A 1 & Γ 2(t2) = φ 4 Γ 1(t1) = Γ 2(13) = 1 β 2 D & Γ 2[12] = φ 4 Γ 2[t2] = D β 2 Γ 3[t2] = − 1 & Γ 3(t3) = φ 4 D 3 Γ (12) = − β 2 1 β 2
  • 156 4 Les Solutions des Équations du Champ3Non Symérique D Γ [13] = 4 & φ (4.7.13) Les connexions Γ λ(µν) et Γ λ[µν] restantes sont nulles. Pour calculer les composantes de Rµν (Γ) qui ne disparaissent pas, on se sert de l’Éq. (4.A.30) à l’Appendice & & 1& 1 & 1 &  D 2 & A  D 2 &  ∂  D 2 & A      Rtt = − φ& − (φ 2 + 4 β 2 ) + φ +   2 A φ + 2 A  − 4 A φ  − ∂t  2 A φ + 2 A  2 8 4      (4.7.14) 2 & &  & A  D φ + A  &  R(t1) = −  D 2φ +    2 A 2  2A    R[t1] = − R11 = (4.7.15) D &2 1 ∂ & (φ + 4 β 2 ) − ( Dφ ) 8 2 ∂t (4.7.16) 2 & & & D2 &2 ∂ & A  & A  D φ − A + 1 φ  & & (3φ + 4 β 2 ) +  D 2φ +  +  D 2φ +  − 8 ∂t  2  2  2 A 2A 2       R22 = R33 = 1 − (4.7.17) 1 ∂ β & 1 & ∂ & (2 Fβ − Bφ ) − ( 2 Fβ − Bφ ) ln( D 2 − A) − ( Fφ + 2 Bβ ) ∂t 4 ∂t 8 4 (4.7.18) &  D2 & A  1 ∂ 1 & β & & − R[23] = 1 + ( Fφ + 2 Bβ ) φ+ ( Fφ + 2 Bβ ) + (2 Fβ − Bφ )  2A 8 2 A  4 ∂t 4   (4.7.19) On postule maintenant que la matière consiste d’un fluide parfait à symétrie plane et sans rotation avec les composantes du tenseur d’énergie-impulsion dans le cas d’un fluide parfait, donnée par l’Éq. (3.6.28) T µν = (ρ + p) u µ u ν − pg µν (4.7.20) où ρ [=ρo( Π +1)] est la densité d’énergie interne (composée de l’énergie au repos et de l’énergie associée à l’interaction à courte portée), alors que p est la pression (la force par unité de surface, induite par les interactions, qui agit au travers de la frontière entre l’élément de volume et ses voisins adjacents.) On peut aussi écrire l’Éq. (4.7.20) de la façon suivante (g µρ gνρ = g ρµ gρν = δ µν) T µν = gµρ g σνT ρσ = ( ρ + p) g µρ gσν u ρ u σ − pgµν (4.7.21) Dans des coordonnées comobiles, les composantes u µ satisfont u t=1 (4.7.22) i u =0 (i = 1, 2, 3) gµν u µ uν = 1 (4.7.23) (4.7.24) Les composantes Tµν peuvent maintenant être écrites explicitement en fonction de ρ et p, et les composantes g µν  ρ  − Dp T µν =   0   0 0  Ap − D ( ρ + p) 0 0   0 − Bp − Fp   0 Fp − Bp  Dp 0 2 (4.7.25) De plus, la trace de Tµν devient T = gµν Tµν = ρ − 3p (4.7.26) Les quatre identités de Bianchi (contractées) sur R µν donne lieu à l’ensemble suivant de lois de conservation covariantes 1 ( − g g ρλ T + − g g λρT ) + g µν ,σ − g T = 0 σλ λσ , ρ µν 2 (4.7.27)
  • 157 4.7 les Éqs. (4.7.8) et (4.7.25) nous montre Dans les coordonnées comobiles, en substituantSolution Cosmologique à Symétrie Plane que la seule loi de conservation non triviale est donnée par dρ d + ( ρ + p ) [ln( − g )] = 0 dt dt (4.7.28) On adopte l’équation d’état adiabatique, c’est-à-dire que pour laquelle la matière consiste que d’un gaz de particules qui possède une pression égale qu’à une fraction de la densité de ces particules p = γρ (4.7.29) Alors, la loi de conservation exprimée par les Éqs. (4.7.22)-(4.7.24) nous donne comme solution ρ = ρo ( − g ) − (1+γ ) (0 = γ < 1) (4.7.30) où ρo est une constante d’intégration, la densité initiale, et le paramètre γ est restreint par la causalité dans les limites 0 = γ = 1 où γ est le rapport de la chaleur spécifique à pression constante et de la chaleur spécifique à volume constant : cP / cV . On peut exprimer − g en transformant nos composantes A(t), B(t), et D(t), à un ensemble de paramètres [a(t), b(t), R(t)] par les relations A − D2 = R e a B=Reb (4.7.31) où R(t) est le facteur d’échelle, une quantité bien connue en cosmologie. On impose la condition a + 2b = 0, de sorte que − g = [ B 2 ( A − D 2 )]1 2 = [ R 6 e ( a + 2b ) ]1 2 = R3 (4.7.32) Avec l’Éq. (4.7.32), l’Éq. (4.7.30) devient   ρ = ρo  R    −3(1+γ ) (4.7.33)  Ro  où Ro est une constante d’intégration [la valeur de R(t) à t = 0.] On a donc, dans notre cas, les équations suivantes R tt (Γ) = 4π ( ρ + 3p ) (4.7.34) R (t1) = 0 (4.7.35) R [t1](Γ) = 4π D ( ρ + 3p ) (4.7.36) 1   R 11(Γ) = −8 π  D 2 ( ρ + p ) − A( ρ − p)  2   (4.7.37) R 22(Γ) = R 33(Γ) = 4π B ( ρ − p) (4.7.38) R [23](Γ) = −4 π F ( ρ − p) (4.7.39) Alors, avec les résultats obtenus à l’Appendice, les Éqs. (4.A.38)-(4.A.48), les équations du champ à résoudre sont les suivantes & 1& 1 & C & 1 D2  D2  1 D2  D2  1 d  D2   & & & & & − φ& − (φ 2 + 4 β 2 ) + φ− ψ ψ  − ψ ψ  − ψ  = 4 π (ρ + 3p) (4.7.40) 2 8 4C 4 A  A  4 A  A  2 dt  A        1 d 1 1 & & & & ( Dψ ) − D(φ 2 + 4 β 2 ) + Dφψ = 4π D(ρ + 3p) 2 dt 8 4 &  A D2  1 1 d 1 1 & & & & & & & & (2 D 2ψ + A) + ( 2 D 2ψ + A) − − ψ + φ  + D 2 (φ 2 + 4 β 2 ) + D 2ψ 2  A  8 2 dt 4 A 4   1   = − 8π  D 2 ( ρ + p ) − A( ρ − p)  2   (4.7.41) (4.7.42)
  • 158 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique − 1 d 1 & 1 & d & ( 2 Fβ − Bφ ) − ( 2 Fβ − Bφ ) ln( D 2 − A) − β ( Fφ + 2 Bβ ) = 4 π B(ρ − p) 4 dt 8 dt 4  D2  1 d 1 & 1 & & = − 4π F(ρ − p) + K & − ( Fφ + 2 Bβ )  A ψ  − 4 dt ( Fφ + 2 Bβ ) + 4 β ( 2 Fβ − Bφ ) 8   (4.7.43) (4.7.44) Ces équations peuvent être mise sous la forme suivante & 2 1 d  A D2  & 1& 1 & 1  D2 A  + & & ψ  − 4π (ρ + 3p) = 0 − φ& − (φ 2 + 4 β 2 ) −  ψ +  − A 2 8 4 A A 2 dt  A     (4.7.45) & 1 1 & 1 & 1D & & & ψ& − (φ 2 + 4 β 2 ) + φψ + ψ − 4π (ρ + 3p) = 0 2 2 4 2D (4.7.46) &  1 d 1 1 D2 A 1 & & & & & & & & ( 2 D 2ψ + A) + (2 D 2ψ + A) φ − ψ −  + D 2 (φ 2 + 4 β 2 ) + D 2ψ 2 +  2 dt 4 4 A A 8   1   + 8π  D 2 ( ρ + p) − A( ρ − p)  = 0 2   − 1 d 1 & 1 & d & ( 2 Fβ − Bφ ) − ( 2 Fβ − Bφ ) ln( D 2 − A) − β ( Fφ + 2 Bβ ) − 4 π B(ρ − p) = 0 4 dt 8 dt 4 1 & d 1 d 1 & & − ( Fφ + 2 Bβ ) [ln( D 2 − A)] − ( Fφ + 2 Bβ ) + β (2 Fβ − Bφ ) = − 4 πF(ρ − p) + K 8 dt 4 dt 4 (4.7.47) (4.7.48) (4.7.49) L’Éq. (4.7.49) comporte une constante d’intégration K car on a du faire appel à un terme supplémentaire pour mettre l’équation sous cette forme. De plus, on peut ajouter une équation supplémentaire [Éq. (4.A.33) de l’Appendice] & & ψ =φ (4.7.50) Comme on l’a vu à l’Appendice, l’Éq. (4.7.50) peut être intégrée pour donner 1− D2 B2 + F 2 = 2 A l + B2 + F 2 (4.7.51) où l2 est une constante d’intégration réelle que joue le rôle de charge dans la TNG. Pour simplifier les Éqs. (4.7.45)- (4.7.49), on pose g[23] = F(t) = −σ B(t) (ce qui implique que β = 0) et K = 0 dans le système d’équations du champ à résoudre. En effet, sous ces conditions, on obtient les équations suivantes26,27 & 2 1 d  A D2  & 1 && 1 & 2 1  D 2 & A  &  + − φ− φ −  φ+  − φ  = 4π (ρ + 3p) 2 8 4 A A 2 dt  A A      2 & 1 d 1 & & & &  & D φ − A  + 1 D 2φ 2 + 1 D 2φ 2 = − 8π  D 2 ( ρ + p ) − 1 A( ρ − p)  & & &  ( 2 D 2φ + A) + (2 D 2φ + A) φ −    2 dt 4 4 2 A A 8     (4.7.52) (4.7.53) 1 d & 1 &d ( Bφ ) + Bφ [ln( D 2 − A)] = 4π B(ρ − p) 4 dt 8 dt (4.7.54) 1 1 d &d & − σ Bφ [ln( D 2 − A)] − σ ( Bφ ) = 4π σ B(ρ − p) 8 dt 4 dt (4.7.55) et on a délaissé l’Éq. (4.7.46) car elle n’est pas utile. Même si elle ne sera pas trivialement satisfaite, l’Éq. (4.7.55) est identique à l’Éq. (4.7.54). Maintenant, on peut écrire les solutions générales de la métrique non symétrique donnée par l’Éq. (4.7.8), avec F(t) ≠ 0, purement en fonction des termes de la solution spécifique, avec F(t) = 0, trouvée auparavant.130
  • 159 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane & Pour simplifier les équations, on prend B = B B , et puisqu’il est possible de découpler ρ de p sur le côté droit des (4.7.52)-(4.7.55), et en même temps simplifier considérablement, en considérant maintenant les combinaisons linéaires suivantes 1 1 1 & 3 Rtt + Rrr − Rθθ = B + B 2 = 8π γ ρ 2 2A B 4 Rtt + (4.7.56) 1 1 1 & 1 1 d2 1 1 d Rtt + 2 Rrr = B + B 2 + [ln( D 2 − A)] + [ln( D 2 − A)]2 + B [ln( D 2 − A)] 2 2 2 4 2 dt 4 4 dt D −A D −A (4.7.57) = − 8π γ ρ 1 1 1 1 1 d Rtt + Rrr + Rθθ = B 2 + B [ln( D 2 − A)] = 8π ρ 2 2A B 4 2 dt (4.7.58) et p = γ ρ est l’équation d’état, où ρ est donné par l’Éq. (4.7.33). En se servant des transformations suggérées dans l’Éq. (4.7.31) et en utilisant le résultat de l’Éq. (4.7.33), on arrive à deux équations en fonction de R(t) et b(t) & R && b+3 b =0 R (4.7.59)  & 2 & −3(1+γ ) R 3 R 4  − b 2  = 8πρ o   R 4 R        (4.7.60) et On peut intégrer l’Éq. (4.7.59) pour ainsi obtenir  R & b = uo  R  o     −3 (4.7.61) où u o est une constante d’intégration. En substituant l’Éq. (4.7.61) dans l’Éq. (4.7.60), on obtient le résultat dt = 3 8πρ o 1 Ro  R  R  o     2   R  Ro      3(1−γ )  + ηo    −1 2 (4.7.62) dR où η o est une constante d’intégration et un paramètre d’anisotropie définit par ηo = 2 3u o 32πρ o (4.7.63) Maintenant, si on définit le paramètre χ par  R χ =   Ro      3(1−γ )  + ηo    12 (4.7.64) ceci nous permet d’écrire l’Éq. (4.7.62) de la façon suivante dt = 1 1 ( χ 2 − ηo )1 (1−γ ) dχ 6πρ o 1 − γ (0 ≤ γ < 1) (4.7.65) (0 ≤ γ < 1) (4.7.66) valide seulement pour 0 ≤ γ < 1. L’Éq. (4.7.65) s’intègre pour donner le temps cosmique t − to = où to est une constante d’intégration. 1 1 ( χ 2 − ηo )γ 1−γ ∫ 6πρ o (1−γ ) dχ
  • 160 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique En substituant l’Éq. (4.7.64) dans l’Éq. (4.7.61), on obtient uo ( χ 2 − ηo ) −1 dχ 6πρ o 1 - γ 1 db = (4.7.67) qui s’intègre pour donner une solution pour b(t) b − bo = χ − ηo 2 ln 3(1 − γ ) χ + ηo (0 ≤ γ < 1) (4.7.68) où b o est une constante d’intégration. Si on retourne à nos composantes originales, via l’Éq. (4.7.31), en se servant du résultat obtenu à l’Éq. (4.7.68), on obtient  R  A(t) − D (t) =   B   o 2 2  χ + ηo    χ− η  o    χ + ηo   B (t ) = R 2 Bo  χ− η  o   4 3(1−γ ) (4.7.69) 2 3(1−γ ) (4.7.70) et Bo = 4 π /3 est une constante. Maintenant, en utilisant l’Éq. (4.7.51) avec notre définition F(t) = − σ B(t), on obtient − 1 B 2 (1 + σ 2 ) (A − D2 ) = 2 A l + B 2 (1 + σ 2 ) (4.7.71) Avec l’Éq. (4.7.71), on obtient les deux cas distinct selon la valeur de γ voulue et avec les coordonnées comobiles xµ = (ct, x, y, z) de notre symétrie plane : Cas i : γ = 1 Cette solution, qui correspond à l’équation d’état stricte proprement dit, peut être exprimée comme l’élément de longueur au carré non symétrique homogène et anisotrope à symétrie plane avec γ = 1, et ce, de la façon suivante −2( 2+α o )  2 −2(1−α o ) 2+α o   R  R    l2 1 2 R   o   R    ds 2 = dt 2 − 1 + dx 2 − Bo Ro   (dy 2 + dz 2 ) (4.7.72) 2 R   1 + σ 2 ( Bo Ro ) 2  Ro    Bo   Ro         o   g[tx] = − l2 1+ σ 2  R  2 Bo Ro  Ro  1     − (1+ 2α o ) (4.7.73) 2+αo g[yz] = 2 − σ Bo Ro R   R   o (4.7.74) où σ 2 est une autre constante d’intégration réelle, et σ a été définit dans la Section 4.4 (et ci-dessus par F = −σ B) et est appelée paramètre d’antisymétricité. De plus, la pression est donnée par l’Éq. (4.7.29), où la densité ρ est donnée par l’Éq. (4.7.33), et est  p = ρ = ρo  R R  o     −6 (4.7.75) et où on a définit les quantités suivantes, tel le facteur d’échelle par   R = Ro  3uo (t − t o )  αo   13 (4.7.76)
  • 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane 161 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane avec le paramètre αo définit par  4η  αo =  o  1 + ηo  12 (4.7.77) Cas ii : 0 ≤ γ < 1 Cette solution peut être exprimée comme l’élément de longueur au carré non symétrique homogène et anisotrope à symétrie plane avec 0 ≤ γ < 1, et ce, de la façon suivante   R l2 1  ds = dt − 1 +  1 + σ 2 ( B R 2 ) 2  Ro  o o   2 2 2 R − Bo Ro  R  o     2  χ + ηo    χ− η  o       −4  χ + ηo    χ− η  o   4 3(1−γ )   Ro   Bo       2  R    R   o 2  χ + ηo    χ− η  o   4 3(1−γ ) dx 2 − 2 3(1−γ ) (dy 2 + dz 2 ) l2 1 g [tx] = − 2 1 + σ Bo Ro  R  R  o 2 g [yz] = 2 σ Bo Ro R   R   o (4.7.78)     −1  χ + ηo    χ− η  o   2 3(1−γ ) (4.7.79) 2 3(1−γ )  χ + ηo    χ− η  o   (4.7.80) où, χ et R sont reliés par l’Éq. (4.7.64)  R χ =   Ro      3(1−γ )  + ηo    12 (4.7.81) et où la pression est donnée par l’Éq. (4.7.33). On note que pour trouver R comme fonction du temps, R(t), on doit intégrer l’Éq. (4.7.66) et utiliser l’Éq. (4.7.64) qui relie χ et R . Deux cas spéciaux découlent dees Éqs. (4.7.78)-(4.7.80) 1. Un univers remplit de poussière ( p = 0) pour lequel γ = 0 ; 2. Un univers remplit de radiation ( p = ρ /3) pour lequel γ = 1/3 ; la densité d’énergie de l’univers est dominée par des particule qui sont hautement relativistes. En fonction de t, on obtient Pour γ = 0  l2 1  ds = dt − 1 + 2 2 2  1 + σ ( Bo Ro )  2 2 −  2 (t Bo Ro    2   t + ηo  2   (t − ηo )(t − ηo )    − η o )(t + η o )   t − ηo   g[tx] = − 4 3  Ro    Bo  2 2  t + ηo     2    (t − ηo )   t − η     o      23 dx 2 23 l2 1+ σ 2 (dy 2 + dz 2 )  1  1 Bo Ro  t 2 − ηo   (4.7.82) 2  t + ηo      t − η   o     13 (4.7.83)
  • 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 162 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique  2 (t − σ Bo Ro  g [yz] = − ηo )(t − ηo )   t + ηo   2   23 (4.7.84) où, de l’intégrale (4.7.66), on a t = 6πρ o (t − to ) = ∫ dχ = χ (4.7.85) Pour γ = 1/3 23   ( χ 2 + ηo )( χ + η o )   R l2 1   ds = dt − 1 +    o  2 1 + σ 2 ( Bo Ro ) 2  χ − ηo   Bo      2 2  1 2 − Bo Ro  2  χ +η o   2  χ + ηo      χ− η   o     g[tx] = − 2   1    χ 2 +η   o  2  χ + ηo      χ− η   o     13 dx 2 13 (dy 2 + dz 2 ) (4.7.86)  χ + ηo   1   ( χ + ηo )1 3   χ − η  Bo Ro  o    l2 1+ σ 2 13 (4.7.87)   χ − ηo 2 g[yz] = − σ Bo Ro  2   ( χ + ηo )( χ + η o )    (4.7.88) p = γ ρ = γ ρoξ − 4 (4.7.89) χ = ξ + ηo (4.7.90) et, avec ξ = R/R o, on a 2 2 3 t = t − to = ξ ξ 2 + ηo − ηo ln(ξ + ξ 2 + ηo )   4 (4.7.91)  Nous étudierons maintenant les cas limites. Les voici 1. Pour l2 = 0 et σ 2 = 0 nous devrions retrouver la solution trouvée dans la TGE, correspondant à D(t) = 0 et F(t) = 0 ; 2. Pour σ 2 = 0 nous devrions trouver une formulation pour la TNG, correspondant à D(t) ≠ 0 et F(t) = 0 ; 3. Pour l2 = 0 nous devrions trouver une solution, correspondant à D(t) = 0 et F(t) ≠ 0 ; 4. Pour l2 ≠ 0 et σ 2 ≠ 0 nous avons déjà trouvé les solutions générales en les Éqs. (4.7.72)-(4.7.74) et (4.7.75). Avec l 2 = 0 et σ 2 = 0 Cas 1 i : γ = 0 R ds 2 = dt 2 −  o B  o     2 2    (t 2 − η ) t + ηo   o   t − ηo         23 dx − 2  2 (t Bo Ro    2 − ηo )(t + ηo )   t − ηo   23 ( dy 2 + dz 2 ) (4.7.92) Cas 1 ii : γ = 1 R  ds 2 = dt 2 −  o  B   o 2  R  R  o     −2(1−α o ) 2 R dx 2 − Bo Ro  R  o     2+α o ( dy 2 + dz 2 ) (4.7.93)
  • 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane 163 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane Cas 1iii : γ = 1/3 13 R ds 2 = dt 2 −  o B  o 2 2   χ + ηo     1    dx 2 − B R 2  1  o o 2   χ 2 +η  χ − η   χ + ηo   o  o       2  χ + ηo      χ− η   o     13 (dy 2 + dz 2 ) (4.7.94) Avec σ 2 = 0 et l 2 ≠ 0 Cas 2i : γ = 0  l2  ds = dt − 1 + 2 2  ( Bo Ro )  2 2 −  2 (t Bo Ro    2   t + ηo  2   (t − ηo )(t − ηo )    − η o )(t + η o )   t − ηo   4 3  Ro    Bo      2 2    (t − η ) t + ηo   o  t − η   o       23 2 dx 2 − 23 (dy 2 + dz 2 )  l  1 g [tx] = − Bo Ro  t 2 − ηo   (4.7.95) 2  t + ηo      t − η   o     13 (4.7.96) Cas 2ii : γ = 1   R l2  ds 2 = dt 2 − 1 + 2 2 R  ( Bo Ro )  o      −2( 2+α o )  R   o   Bo    2 −2(1−α o )  R  R  o      R g[tx] = − 2  Bo Ro  Ro      l 2 R dx 2 − Bo Ro  R  o     2+α o ( dy 2 + dz 2 ) (4.7.97) − (1+ 2α o ) (4.7.98) Cas 2iii : γ = 1/3  l2  ds = dt − 1 + 2 2  ( Bo Ro )  2 2  ( χ 2 + ηo )( χ + η o )    χ − ηo     2   χ + ηo   1 2    − Bo Ro 2  χ +η  χ − η   o  o      2 3  Ro    Bo  2   1    χ 2 +η   o  2  χ + ηo      χ− η   o     13 dx 2 − 13 (dy 2 + dz 2 )  χ + ηo  l   ( χ + ηo )1 3  g [tx] = −  χ − η  Bo Ro  o    Avec l 2 = 0 et σ 2 ≠ 0 Cas 3i : γ = 0 (4.7.99) 13 (4.7.100)
  • 164 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique R ds = dt −  o B  o 2 2     2 2    (t 2 − η ) t + ηo   o  t − η   o       23 dx − 2  2 (t Bo Ro  2   − η o )(t + η o )   t − ηo    2  2 (t − ηo )(t − ηo ) g [yz] = − σ Bo Ro   t + ηo     23 (dy 2 + dz 2 ) (4.7.101) 23 (4.7.102) Cas 3ii : γ = 1 R  ds = dt −  o  B   o 2 2 2  R  R  o     −2(1−α o ) dx − 2 2 Bo Ro   R Ro      2+α o (dy 2 + dz 2 ) (4.7.103) 2+αo g[yz] = 2 − σ Bo Ro  R   R   o (4.7.104) Cas 3iii : γ = 1/3 13 R ds 2 = dt 2 −  o B  o 2 2   χ + ηo     1    dx 2 − B R 2  1  o o 2   χ 2 +η  χ − η   χ + ηo   o  o       2  χ + ηo      χ− η   o     13 (dy 2 + dz 2 )   χ − ηo 2 g[yz] = − σ Bo Ro  2   ( χ + ηo )( χ + η o )    (4.7.105) (4.7.106) On pose maintenant Bo = 1 (bo = 0) dans les Éqs. (4.7.92)-(4.7.94) et on obtient, pour l2 = 0 et σ 2 = 0 Avec Bo = 1 (b o = 0), l 2 = 0 et σ 2 = 0 Cas 4i : γ = 0  ds = dt − 2 2 2 Ro (t 2    2  t + ηo     − ηo )  t − ηo       23 dx − 2  2 (t Ro    2 − η o )(t + η o )   t − ηo   23 (dy 2 + dz 2 ) (4.7.107) Cas 4ii : γ = 1 2 R ds 2 = dt 2 − Ro  R  o     −2(1−α o ) 2 R  dx 2 − Ro   R   o 2+α o (dy 2 + dz 2 ) (4.7.108) Cas 4iii : γ = 1/3 13 13 2 2    χ + ηo   1  χ + ηo   1 2 2 2 2 2      (dy 2 + dz 2 ) (4.7.109) ds = dt − Ro 2 dx − Ro 2  χ +η  χ − η    χ +η  χ − η   o  o   o  o         On a obtenu des solutions pour un fluide parfait de Bianchi de Type I homogène et possédant une symétrie plane avec deux paramètres réels généraux, l 2 et σ 2. En posant ces deux paramètres à zéro, on obtient l’élément de longueur de Bianchi de Type I comme il est évident en comparant les Éqs. (4.7.92) à (4.7.94) à l’Éq. (4.7.1), on obtient à partir de nos solutions les solutions équivalentes de la TGE. Puisque nos deux paramètres sont réels, les solutions décrites par les Éqs. (4.7.72)(4.7.74) et (4.7.75)-(4.7.77) ne possède pas la propriété que l’expansion débute d’une densité et de courbure finie initiale. Donc, il y a toujours la possibilité qu’il y ait eu une singularité au début de l’expansion de l’univers (Big Bang) selon le
  • 4.7 Solution Cosmologique à Symétrie Plane 165 modèle que nous avons étudié ici. De plus, si on pose Bo = 1, nos solutions ne s’approchent pas de la solution correspondante de la TGE soit la solution homogène et isotrope de Robertson-Walker dans la limite où t → ∞, et ce, aussi longtemps que le paramètre σ reste non nul. Une simplification considérable se produit lorsqu’on pose η o = 0. Cela nous permet de se concentrer sur l’anisotropie qui émerge des composantes antisymétriques de la métrique non symétrique gµν. Donc, notre solution pour γ = 0, les Éqs. (4.7.82)-(4.7.84), se réduit à l’élément de longueur suivant  l2 1 1  2 4 3 2 2  R t dx − Ro t 4 3 (dy 2 + dz 2 ) ds 2 = dt 2 − 1 +  1+σ 2 R4 t 2  o o   l2 1 1 1 + σ 2 Ro t 2 3 g[tx] = − (4.7.110) (4.7.111) 2 g[yz] = − σ Ro t 4 3 (4.7.112) tandis que pour γ = 1/3, les Éqs. (4.7.86)-(4.7.88), on trouve  l2 1 4 3  2 1 2 1 χ  Ro 2 3 dx 2 − Ro 2 3 (dy 2 + dz 2 ) ds 2 = dt 2 − 1 +  1+ σ 2 R4  χ χ o   l2 1 16 χ 1 + σ 2 Ro g [tx] = − 2 g[yz] = − σ Ro (4.7.113) (4.7.114) 1 (4.7.115) χ2 Maintenant, on trouve l2 2 −4  2 2 2 2  ds 2 = dt 2 − Rλ 1 −  1 + σ 2 Rλ dx + Rλ ( dy + dz )   g[tx] = − l2 1 2 R 1+ σ λ (4.7.116) (4.7.117) 2 g[yz] = − σ Bo Rλ (4.7.118) où [ Rλ(t) = Roλ (1 + γ ) 6πρ oλ t ] 2 3(1+γ ) (4.7.119) qu’on obtient de la relation suivante [avec l’Éq. (4.7.62) où on pose to = 0] dt = 3 8πρ o 1 Ro  R  R  o     2   R  Ro      3(1−γ )  + ηo    −1 2 dR (4.7.120) L’indice λ nous réfère au type d’univers, déterminé par la valeur de γ (0 ≤ γ < 1). De plus, l’Éq. (4.7.33) pour ρ implique que ρλ(t) = 1 1 6π (1 + γ ) t 2 2 (4.7.121)
  • 166 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique Appendice Solutions Générales Dans cette appendice, nous établiront les relations résultantes découlant de la résolution rigoureuse des équations du champ non symétrique dans un cas très général. La forme qu’on peut attribuer au tenseur non symétrique, gµν, dans l’hypothèse (et la simplification) d’une symétrie sphérique, a déjà été étudiée auparavant.1,28,29,30 On suppose que la partie symétrique de la métrique, g(µν) , possède la même forme que dans la TGE8 g µν 0 0 0 C ( r )   0  − A( r ) 0 0  =  0  − B (r ) 0 0   0 0 0 − B (r ) sin 2 θ   (4.A.1) et que la forme de la partie antisymétrique de la métrique, g[µν], est déterminée par les considérations suivantes : Dans une rotation de π /2 autour de l’axe Oz, les coordonnées (x, y, z) d’un point P quelconque d’une sphère deviennent x = − y, y = x, z = z et t = t. On aura donc, dans un système de coordonnées sphériques1,31 g[t r ] = − g[tθ ] , g[ t θ ] = g[tr ] , g[t ϕ ] = g[tϕ ] , g[ r θ ] = g[ rθ ] , g[ r ϕ ] = − g[θϕ ] , g[θ ϕ ] = g[ rϕ ] (4.A.2) Il résulte que les composantes de g[µν] au point P1( x µ = x µ ), situées sur l’axe Oz (et satisfaisant par conséquent g [ µν ] = g[ µν ] ) doivent se réduire à g[rθ ] et g[tϕ]. On passera alors au point P1(0,0,z) situé sur Oz au point P(x, y, z) qui définit un axe quelconque par une rotation telle x2+y2+z2=r2 (4.A.3) Les valeurs de g[µν] au point P, exprimées en coordonnées cartésiennes, sont alors x y z   − D ( r ) − D ( r ) − D (r )   0 r r r x  z y  D( r ) 0 K (r ) − K (r ) r r  g [µν ] =  r x  y D (r ) − z K ( r ) 0 K (r )   r r r z  y x K (r ) − K (r ) 0  D (r )  r r  r (4.A.4) En passant à un système de coordonnées sphériques (par la transformation habituelle x = rsinθ cosϕ, y = rsinθ sinϕ et z = rcosθ ), on obtient les composantes de g[µν] en coordonnées sphériques − D( r ) 0  0  D( r ) 0 0 g [µν ] =   0 0 0  0 0 − K ( r ) r 2 sin θ     K ( r )r 2 sin θ   0  (4.A.5)   0  2 K ( r ) r sin θ   − B( r ) sin 2 θ  (4.A.6) 0 0 Donc, puisque gµν = g (µν) + g [µν ], on obtient gµν 0  C (r ) − D ( r )  D( r ) − A(r ) 0 =  0 0 − B(r )  0 − K ( r ) r 2 sin θ  0 0 On peut remplacer le facteur constant K(r)r2 par n’importe lequel facteur F(r) pour ainsi obtenir 32
  • 167 Appendice Solutions Générales g µν 0  C (r ) − D (r )  D( r ) − A(r ) 0 =  0 0 − B( r )  0 0 − F ( r ) sin θ    0  F (r ) sin θ   − B ( r ) sin 2 θ  0 (4.A.7) Mais, on peut généraliser davantage la forme du tenseur métrique non symétrique, gµν, pour qu’elle puisse prendre la forme la plus générale possible gµν 0  C (r , t ) − D (r , t )  D( r , t ) − A( r , t ) 0 =  0 − B (r , t ) 0  0 − F (r , t ) sin θ  0    F (r , t ) sin θ   − B ( r , t ) sin 2 θ  0 0 (4.A.9) Maintenant, si on pose g S = − det g ( µν ) = − ABD sin2θ (4.A.10) gA = − det g[ µν ] = − BD 2F 2sin2θ (4.A.11) et puisque g = det|gµν |, on a − g = [(AC − D 2)(B 2 − F 2)]1/2 sinθ (4.A.12) et que  1  C (r ,t )   0  (µν) g =  0    0  0 − 0 1 A(r , t ) 0 0 − 0     0   0   1  −  B (r , t ) sin 2 θ  0 1 B(r, t ) 0 (4.A.13) et aussi   0   1  D( r , t ) g[µν] =   0    0  − 1 D( r , t ) 0 0 0 0 0 0 − 1 F ( r , t ) sin θ     0   1  F (r , t ) sin θ   0   0 (4.A.14) On calcul gµν (= g(µν) + g[µν]), ou bien avec l’aide de gµν = g S (µν) g S (µρ) (νσ) g g g + g g g [ρσ] + A g[µρ]g [νσ]g( ρσ) + A g [µν ] g g g g (4.A.15) où g = g(µν) + g[µν ] + g S (µρ) (νσ) g g g [µν ]g [ρσ] 2 (4.A.16)
  • 168 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique pour ainsi obtenir A   AC − D 2  D − 2  gµν =  AC − D 0    0   D − AC − D C     0  F cscθ   B2 − F 2  2 B csc θ  − 2 B − F2   0 2 0 0 AC − D 2 0 − 0 − B B2 − F 2 F cscθ B2 − F 2 (4.A.17) Les équations du champ non symétrique dans le vide sont les suivantes g[µν ], ν = 0 Rµν (Γ ) = (4.A.18) 2 W[ν, µ ] 3 (4.A.19) où X = − g X. L’Éq. (4.A.19) peut être réécrite (seulement lorsqu’il n’y a pas de sources matérielles) de la façon suivante R(µν )(Γ ) = 0 (4.A.20) R{[µν ], σ }(Γ ) = 0 (4.A.21) 1 Rµν (Γ ) = Γ λµν, λ − 2 (Γ λ(µλ ),ν + Γ λ(νλ ), µ) + Γ ρµν Γ σ( ρσ ) − Γ σµρ Γ ρσν (4.A.22) où La condition de compatibilité de la métrique dans le vide, s’écrit gµν,σ − gρν Γ ρµσ − gµρ Γ ρσν = 0 et les quatre identités de Bianchi sont données par (Gµν = Rµν − 1 2 (4.A.23) g µν R ) [gµν Gσν (Γ ) + gνµ Gνσ (Γ )], µ + gµν,σ Gµν (Γ ) = 0 Maintenant, on a définit à la Section 3.1 la connexion non riemannienne W (voir l’Appendice A du Chapitre 3) λ µν en fonction de la connexion Γ (4.A.24) λ µν comme 2 λ δ µWν 3 (4.A.25) 1 (W λ µλ − W λλµ) 2 (4.A.26) W λ µν ≡ Γ λµν − où Wµ = W λ[µλ] = Il suit, de l’Éq. (4.A.25), que Γ µ = Γ λ[µλ ] ≡ 0 (4.A.27) soit qu’aucune torsion n’est présente. On définit les quantités suivantes φ ≡ ln(B 2 + F 2)   ψ ≡ ln 1 − AC   D2  (4.A.28) et α≡ B′F − BF ′ B2 + F 2 β≡ & & BF − BF 2 2 B +F (4.A.29)
  • Appendice Solutions Générales 169 Appendice Solutions Générales L’ensemble des équations donné par l’Éq. (4.A.23) déterminent les soixante-quatre connexions Γ λµν. Pour la métrique donnée à l’Éq. (4.A.9) les composantes de Γ λ(µν ) et Γ λ[µν ] qui ne disparaissent pas sont les suivantes33 Composantes Invariantes (Γ txx) Γ ttt = & C 2C D2 Γ trr = C 2 Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Γ t(tr) = & ψ+ D2 C′ ψ′ + 2 AC 2C Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) Γ t[tr] = D & ψ 2C & A 2C Γ tθθ = − Γ tϕϕ = − Γ t[θϕ] = − 1  1 &  Fβ − Bφ  2C  2  sin θ 2C Γ r[tr] = − D ψ′ 2A sin 2 θ  1 &  Fβ − Bφ  2C  2  Γ rtt = D2 ψ′+ 2 C′ 2A A A′ Γ = 2A 1  1  r Γ θθ =  Fα − Bφ ′  2A  2  Γ r(tr) = & D2 A & ψ+ 2 AC 2A 1 &   Fφ + Bβ  2  r rr Γ rϕϕ = Γ r[θϕ] = sin θ  1   Fφ ′ + Bα  2A  2  sin 2 θ  1   Fα − Bφ ′  2A  2  1 & Γ θ(tθ) = φ 4 D Γ θ(tϕ) = α sin θ 2A 1 Γ θ(rθ) = φ ′ 4 D θ Γ (rϕ) = β sin θ 2C D φ′ 4A 1 Γ θ[tϕ] = β sin θ 2 D & θ Γ [rθ ] = φ 4C 1 Γ θ[rϕ] = α sin θ 2 Γ θ[tθ ] = Γ θϕϕ = − sinθ cosθ Γ ϕ(tθ) = − D α 2A sinθ 1 & Γ ϕ(tϕ) = φ 4 D β ϕ Γ (rθ) = − 2C sin θ 1 Γ ϕ(rϕ) = φ ′ 4 Γ ϕ(θϕ) = cotθ 1 β 2 sin θ D ϕ Γ [tϕ] = φ′ 4A 1 α Γ ϕ[rθ ] = − 2 sin θ D & Γ ϕ[rϕ] = φ 4C ϕ Γ [θϕ] = 0 Γ ϕ[tθ ] = − Γ ϕϕϕ = 0 (4.A.30) & où X ≡ ∂X/∂t et X ′ ≡ ∂X/∂r. Les trente connexions Γ λ(µν) et Γ λ [µν ] restantes sont nulles. On peut maintenant résoudre l’Éq. (4.A.27) avec les composantes des connexions obtenues dans l’Éq. (4.A.30). On obtient deux équations Γ λ[tλ] = Γ r[tr] + Γ θ[tθ] + Γ ϕ[tϕ] = D D ψ′+ φ′ = 0 2A 2A (4.A.31)
  • 170 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique Γ λ[rλ] = Γ t[rt] + Γ θ[rθ] + Γ ϕ[rϕ] = −Γ t[tr] + Γ θ[rθ] + Γ ϕ[rϕ] = − D D & & ψ+ φ =0 2C 2C (4.A.32) desquelles on obtient que & & ψ ′ = −φ ′, ψ = φ (4.A.33) On obtient de l’Éq. (4.A.32), les solutions suivantes 1− AC D2 = l2 (4.A.34) B2 + F 2 ou bien, après quelques manipulations, on obtient 1− D2 B2 + F 2 = 2 AC l + B 2 + F 2 (4.A.35) L’Éq. (4.A.22) se sépare en une partie symétrique et une partie antisymétrique 1 R(µν)(Γ ) = Γ λ(µν), λ − 2 (Γ λ(µλ),ν + Γ λ(νλ), µ ) − Γ σ(µρ) Γ ρ(σν) + Γ ρ(µν) Γ σ(ρσ) − Γ σ[µρ]Γ ρ[σν ] (4.A.36) et R[µν ](Γ ) = Γ λ[µν ], λ − Γ σ(µρ) Γ ρ[σν] − Γ σ[µρ] Γ ρ(σν) − Γ ρ[µν ] Γ σ(ρσ) (4.A.37) 33 Donc, en insérant quelques connexions dans les Éqs. (4.A.36) et (4.A.37), on obtient & &  C  1& 1 & C & r r r  Rtt = − φ& − [(φ ) 2 + 4 β 2 ] + φ + Γ r (tr )   2C − Γ ( tr )  − Γ (tr ),t + Γ tt ,r + 2 8 4C   (4.A.38) 1  D2 D2  A′ (ψ ′) 2 + Γ r tt  − Γ t (tr ) + φ ′  + 2 [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + 2  8A 4 A2  2A & &  C  1& 1 & C & r r r  Rtt = − φ& − [(φ ) 2 + 4 β 2 ] + φ + Γ r (tr )   2C − Γ ( tr )  − Γ (tr ),t + Γ tt ,r + 2 8 4C   1  D2 D2  A′ + Γ tt  − Γ t (tr ) + φ ′  + [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + (ψ ′) 2 2 2  8A 4 A2  2A (4.A.39) r R(tr) = + 1 t 1 (Γ (tr ),t + Γ r (tr ),r ) − (Γ t tt ,r + Γ r rr ,t ) − (Γθ (tθ ),r + Γθ ( rθ ),t ) + 2 2 + 2Γθ ( rθ ) ( Γ r (tr ) − Γθ (tθ ) ) + Γ t ( tr ) ( Γ r (tr ) + 2Γθ ( tθ ) ) − Γ t rr Γ r tt − (4.A.40) − Γ t [tr ]Γ r [tr ] + 2Γθ [ rθ ] Γθ [tθ ] + 2 csc 2 θ ( Γθ (tϕ ) Γθ ( rϕ ) − Γθ [tϕ ] Γθ [ rϕ ] ) R[tr] = Γ r [ tr ],r − R (tθ) = 0 D 1 D & 2 1 & [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + φ ′Γ r [ tr ] + Γ t [tr ],t + [(φ ) + 4 β 2 ] + φΓ t [tr ] 8A 2 8C 2 R[tθ ] = 0 R(tϕ) = 0 R[tϕ] = 0 (4.A.41) (4.A.42) 1 1 A′  A′  R rr = − φ ′′ − [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + φ ′ + Γ t (tr )  − Γ t (tr )  − Γ t (tr ),r + 2 8 4A  2A  &  C 1 &  D2 & 2 D2 & + Γ t rr ,t + Γ t rr  − Γ r ( tr ) + φ  + [(φ ) + 4 β 2 ] + (ψ ) 2  2C 2  8C 2 4C 2   R(rθ) = 0 R[rθ ] = 0 R(rϕ) = 0 R[rϕ] = 0 (4.A.43) (4.A.44)
  • Appendice Solutions Générales Rθθ = + 1 + − 171 ∂  2 Fα − Bφ ′   2 Fα − Bφ ′  ∂ α (2 Bα + Fφ ′) 2 −  +  ln( D − AC ) + ∂r  4A 8A ∂r 4A    & & & β ( 2 Bβ + Fφ ) ∂  2 Fβ − Bφ   2 Fβ − Bφ  ∂  −  ln( D 2 − AC ) −    ∂t ∂t  4C 8C 4C     (4.A.45) (4.A.46) R(θϕ) = 0  ∂  2 Bα + Fφ ′   2 Bα + Fφ ′  A′  α (2 Fα − Bφ ′) t R[θϕ] = sinθ  +  −  +  + 2Γ (tr )  − 4A 8A 4A    A   ∂r  & & & &  β ( 2 Fβ − Bφ )  ∂  2 Bβ + Fφ   2 Bβ + Fφ   C −  + 2Γ r (tr )  + −      C  ∂t  4C 8C 4C        (4.A.47)  α ( 2 Bα + Fφ ′) ∂  2 Fα − Bφ ′   2 Fα − Bφ ′  ∂ 2 Rϕϕ = sin2θ  + 1 +  − +  ln( D − AC ) + ∂r  4A 8A 4A    ∂r  − & & & ∂  2 Fβ − Bφ   2 Fβ − Bφ  ∂ β ( 2 Bβ + Fφ )   −  ln( D 2 − AC ) −     ∂t ∂t  4C 8C 4C       (4.A.48)
  • 172 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique En insérant les connexions obtenues à l’Éq. (4.A.30), on obtient & & & & 1& 1 & C &  D2 A  C D2 A  − & & Rtt = − φ& − [(φ ) 2 + 4 β 2 ] + φ + ψ+ − ψ−  2 AC 2 8 4C 2 A  2C 2 AC 2A     − & ∂  D2 A  ∂  D2 C′  +  +  & ψ+ ψ′+ 2 ∂t  2 AC 2 A  ∂r  A 2A      (4.A.49)  D2 C ′  A′ D2 C′ 1  D 2 D2  + 2 ψ′+ − ψ′− + φ ′  + 2 [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + (ψ ′) 2 A 2 A  2 A 2 AC 2C 2  8 A 4 A2    & & & & 1& 1 & C &  D2 A  C D2 A   − & & Rtt = − φ& − [(φ ) 2 + 4 β 2 ] + φ + ψ+ − ψ−  2 AC 2 8 4C 2 A  2C 2 AC 2A     − & ∂  D2 A  ∂  D2 C′    +  & ′ ψ+  2 AC  ∂r  A 2 ψ + 2 A  + ∂t  2A    (4.A.50)  D2 C ′  A′ D2 C′ 1  D2 D2  + 2 ψ′+ − ψ′− + φ ′  + 2 [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + (ψ ′) 2 A 2 A  2 A 2 AC 2C 2  8 A 4 A2    R(tr) = & & 1  ∂  D2 C′  ∂  D2 A  1  ∂  C  ∂  A′   1 & 1 &  −   +  +  & ψ′+ ψ+  − φ ′ − φ ′ +   2  ∂t  2 AC 2C  ∂r  2 AC 2 A  2  ∂r  2C  ∂t  2 A   4 4          & & 1  D2 A 1 &  D2 C ′  D 2 A 1 &  & & + φ ′ ψ+ − φ+ ψ′+ ψ+ + φ− 2  2 AC 2 A 4   2 AC 2C  2 AC 2A 2       (4.A.51) 2 &  D2 A  D 2 C′  D2 D2 & 1  D αβ  2 ψ ′ + & + &  − 2 ψ + ψ ′ψ − φ ′φ + 1 − C 2C  A 2 A  4 AC 8 AC 2  AC       R[tr] = ∂  D  D ∂  D  D &2 D D & & & φ ′ψ ′ +  ψ  + φψ [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + (φ + 4 β 2 ) −  ψ ′ − ∂r  2 A  8 A 4A ∂t  2C  8C 4C (4.A.52)  D2 1 1 A′ C ′  A′ D2 C′    ′ Rrr = − φ ′′ − [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + φ′ +  ψ′+ −  2 AC  2 A 2 AC ψ − 2C  − 2 8 4A 2C    − & ∂  D2 C′  ∂  D 2 A   +  + & ψ′+ ψ+ ∂r  2 AC 2C  ∂t  C 2 2C      (4.A.53) & & &  D2 A  C D2 A 1 & D2 & 2 D2  & & & + 2 ψ + − ψ− + φ  + 2 [(φ ) + 4 β 2 ] + (ψ ) 2 C 2C  2C 2 AC 2 A 2  8C 4C 2    Rθθ = 1 + − ∂  2 Fα − Bφ ′   2 Fα − Bφ ′  ∂ α ( 2 Bα + Fφ ′) 2 −  +  ln( D − AC ) + ∂r  4A 8A 4A    ∂r & & & ∂  2 Fβ − Bφ   2 Fβ − Bφ  ∂ β ( 2 Bβ + Fφ )  −  ln( D 2 − AC ) −     ∂t ∂t  4C 8C 4C    (4.A.54)
  • Appendice Solutions Générales 173  ∂  2 Bα + Fφ ′   2 Bα + Fφ ′  A′ C ′ D 2  α (2 Fα − Bφ ′) ψ ′ − R[θϕ] = sinθ   + − +  + 4A 8A 4A    A 2C AC   ∂r     & & & & ∂  2 Bβ + Fφ   2 Bβ + Fφ  C D 2  β (2 Fβ − Bφ )  −  + & −       C AC ψ  + ∂t  4C 8C 4C       Rϕϕ = sin2θ Rθθ (4.A.55) (4.A.56) En incluant l’Éq. (4.A.33) dans les Éqs. (4.A.49)-(4.A.56), on obtient34  1& D2 C ′  1  D 2 C ′  A′ D 2 C′ ∂  D2 −   + Rtt = [3(φ ′) 2 + 4α 2 ] −  2 φ ′ − − φ ′ − + φ ′  − φ& − 2 2  2 2A  2  A 2 A  A AC C ∂r  A 8A      & & & & & 1 & C & 1 ∂  D 2 & A  1  D 2 & A  C D 2 & A       − [(φ ) 2 + 4 β 2 ] + φ−  AC φ + A  + 4  AC φ + A  C − AC φ − A  8 4C 2 ∂t      R(tr) = − (4.A.57) &  1  D2 1 ∂  D2 C ′ A′ C ′  D 2 & A &      ′ ′ ′  AC φ − C + A + φ  − 4  AC φ − C  AC φ + A + φ  + 4 ∂t      + & & & 1 ∂  D 2 & A C &  1  D 2 & A  D 2 C′       ′  AC φ + A − C − φ  + 2  C 2 φ + 2C  AC φ − 2 A  + 4 ∂r      + 2 & D2 & 1  D φ + A − 1 φ  + αβ 1 − AC  & & φ ′φ − φ ′    AC 2 AC 4  A 2  2 AC  D 2   (4.A.58) 1 1 A′ 1 ∂  D2 C′    ′ Rrr = − φ ′′ − [(φ ′) 2 + 4α 2 ] + φ′+  AC φ − C  − 2 8 4A 2 ∂r   1  D2 C ′  A′ D 2 C′  D2 2 & 2   ′ ′ −   AC φ − C  A + AC φ − C  + 8C 2 [3(φ ) + 4 β ] + 4   + (4.A.59) & & & & ∂  D 2 & A  1  D 2 & A  C D 2 & A &        C 2 φ + 2C  + 2  C 2 φ + 2C  C − AC φ − A + φ  ∂t      Rθθ = 1 + 1 ∂  2 Fα − Bφ ′  1  2 Fα − Bφ ′  ∂ α (2 Bα + Fφ ′) 2 −  +   ln( D − AC ) + 4 ∂r  A A 4A  8  ∂r & & & 1 ∂  2 Fβ − Bφ  1  2 Fβ − Bφ  ∂ β ( 2 Bβ + Fφ )  −   ln( D 2 − AC ) − −   8  ∂t 4 ∂t  C C 4C    (4.A.60)  1 ∂  2 Bα − Fφ ′  α ( 2 Fα − Bφ ′) 1  2 Bα + Fφ ′  D 2 A′ C ′   R[θϕ] = sinθ  − +   −   AC φ ′ + A + C  + A 4A 8 A    4 ∂r    & & & & & 1  2 Bβ + Fφ  D 2 & A C  1 ∂  2 Bβ + Fφ  β (2 Fβ − Bφ )    + +  + − φ+   2 AC  8 C 2 A C  4 ∂t  C 4C        (4.A.61)
  • 174 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique  1 ∂  2 Fα − Bφ ′  1  2 Fα − Bφ ′  ∂ α ( 2 B α + F φ ′) 2 Rϕϕ = sin2θ 1 + −  +   ln( D − AC ) + 4 ∂r  A 8 A ∂r 4A    & & & 1 ∂  2 Fβ − Bφ  1  2 Fβ − Bφ  ∂ β ( 2 Bβ + Fφ )   −   ln( D 2 − AC ) − −    8  ∂t 4 ∂t  C C 4C      (4.A.62) On peut maintenant exprimer les Éqs. (4.A.57)-(4.A.62) en posant x= B2 A  D2  1  = ( AC − D 2 ) y = C 1 −  AC  A   (4.A.63) on obtient donc la forme finale des Éqs. pour Rµν (Γ ) 35 2 D2 1 1 1 ∂  x  1  ∂ A  ∂  1 ∂ R tt (Γ ) = φ ′′ − (φ ′) 2 + φ ′ ln   +  ln y   ln( xy)  + ln y −  C AC  2 8 4 ∂r  y  4  ∂r   ∂r  2 ∂r 2    − A  1 && 1 & 2 1 & ∂    φ − (φ ) + φ ln C 2 8 4 ∂t    − x  1  ∂  Ay   ∂  A2 xy   + + ln   ln y  4  ∂t  C   ∂t  C 2       (4.A.64) & 1 ∂ 2  Ay   C 2 1 2   ln  −  α + β  2 C  2 ∂t 2  C       D 2   1 & ′ 1 & 1 C ′ & 1 ∂   Ay  1 αβ   R(tr)(Γ ) = 1 −  AC  − 2 (φ ) − 8 φ ′φ + 4 C φ + 4 φ ′ ∂t ln C  − 2 D 2          (4.A.65) & 1 1 1 ∂ A 1 & 1 & 1 C & 1 & ∂  Ay  A φ + φ ln  − R[tr] (Γ ) = − φ ′′ + (φ ′) 2 − φ ′ ln( xy ) +  φ& + (φ ) 2 − 2 8 4 ∂r C 2 8 4C 2 ∂t  C  D (4.A.66) 1 A  − α 2 − β 2  2 C  2  C 1 1 1 ∂  x  1 ∂ C  ∂  1 ∂ Rrr (Γ ) = − φ ′′ + (φ ′) 2 − φ ′ ln   −  ln y   ln( xy ) − ln y + 2 A A 2 8 4 ∂r  y  4  ∂r   ∂r  2 ∂r    +  D 2  1 && 1 & 2 1 & ∂  φ − (φ ) + φ AC  2 8 4 ∂t     x   1  ∂  Ay   ∂  A 2 xy    ln 2  + ln    +  ln  y       4  ∂t  C   ∂t  C      +  1 ∂ 2  Ay  1  2 D 2 2  ln   + α − 2 β  2   2 ∂t C  C  2  (4.A.67) Rθθ (Γ ) = 1 − + & 1 B 1 ∂ 2 F   1 B  && 1 & 2 1 &  ∂  Ay  C 2 F     α  + β  + − + φ ′′ + φ ′ ln( xy) − φ + (φ ) φ  ln 4 A 2  ∂r B  4 C  2 2  ∂t  C  C B     ∂  Fβ  Fβ ∂ 1 α 2 β 2  ∂  Fα   Fα  ∂  ln( Ay) + B −  +  ln( Ay ) −  + ∂r  2 A   4 A  ∂r 2  A ∂t  2C  4C ∂t C    (4.A.68)
  • 175 Appendice Solutions Générales  ∂  2 Bα + Fφ ′   2 Bα + Fφ ′  A′ D 2 C ′  α (2 Fα − Bφ ′) R[θϕ] (Γ ) = sinθ   + +  +  A AC φ ′ + C  −  4A 8A 4A     ∂r    & & & & & ∂  2 Bβ + Fφ   2 Bβ + Fφ   C D 2 & A  β (2 Fβ − Bφ )  +  + + φ+ −      C 2 AC ∂t  4C 8C 2A  4C        Rϕϕ (Γ ) = sin2θ Rθθ (Γ ) (4.A.69) (4.A.70) De plus, la courbure scalaire est donnée par R = g µνRµν = ARtt + 2 DR[tr ] − CRrr AC − D 2 + 2( BRθθ − F cscθ R[θϕ ] ) B2 − F 2 (4.A.71) Maintenant, si on résout les Éqs. (4.A.18) et (4.A.19), on obtient g[tν],ν = g[tr], r = 0 où g[rν],ν = g [rt],t = 0 g[θν],ν = 0 g[ϕν],ν = g[ϕθ], θ = 0 (4.A.72) − g est donné par l’Éq. (4.A.12) − g = [(AC − D 2)(B 2 − F 2)]1/2 sinθ (4.A.73) Mais g[tr] = D   D B2 − F 2 = sin θ − g g[tr] = ( AC − D 2 B 2 − F 2 sin θ ) 2   AC − D  AC − D 2 (4.A.74) et, en considérant que A, B, C, D, et F dépendent seulement de r, on a ( − g g [tr]),r =  d  D B2 − F 2  sin θ  = 0  dr  AC − D 2   (4.A.75) En intégrant l’Éq. (4.A.74), on obtient D2 (B 2 − F 2 ) AC − D 2 = l4 (4.A.76) où l2 = l2(r) a des dimensions de [longueur]2 et est une constante d’intégration qui est convenablement choisie pour des calculs subséquents (surtout dans la Section 4.1.) On peut réécrire cette équation de la forme suivante 1− D2  l4 = 1 + 2 AC  B + F 2      −1 (4.A.77) On peut procéder de la même façon avec g[rν],ν = g[rt],t = 0 qui nous donneraient une autre constante d’intégration, elle aussi dépendante du temps. Si on considère g[ϕν],ν = g[ϕθ],θ = 0, on obtient g[ϕθ] = F AC − D 2  F cscθ  − g g [ϕθ] = ( AC − D 2 B 2 − F 2 sin θ ) − 2 =− 2   B −F  B2 − F 2 (4.A.78) et ∂  F AC − D 2  − = 0 4 Les Solutions des Équations du Champ Non Symérique 2 2  ∂θ  B −F   ( − g g [ϕθ]),θ = Donc, si A, B, C, D, et F, sont considérés êtes des fonctions de r et de t, et non de θ, on obtient (4.A.79)
  • 176 F 2 ( AC − D 2 ) B2 − F 2 =0 (4.A.80) qui nous donne les conditions suivantes F 2(AC − D 2) = 0 (4.A.81) B −F =0 (4.A.82) 2 2 De ce que nous savons, nous obtenons les trois cas suivants : 1. Le champ gravitationnel est statique. Dans ce cas nous avons les sous-cas suivants : a) le cas schwarzschildien de la TGE : D(r) = 0, F(r) = 0 ; b) le cas gravitationnel pur de la TNG : D(r) ≠ 0, F(r) = 0 ; c) le cas non singulier sans charge magnétique monopolaire de la TMNG : D(r) = 0, F(r) ≠ 0; d) le cas gravitationnel statique général : D(r) ≠ 0, F(r) ≠ 0. 2. La champ gravitationnel est homogène. Dans ce cas nous avons les sous-cas suivants : a) le cas non statique de la TGE : D(t) = 0, F(t) = 0 ; b) le cas non statique de la TNG : D(t) ≠ 0, F(t) = 0 ; c) le cas non statique de la TMNG : D(t) = 0, F( t) ≠ 0 ; d) le cas non statique général : D(t) ≠ 0, F(t) ≠ 0. 3. Le champ gravitationnel n’est pas statique. Dans ce cas nous avons les sous-cas suivants : a) le cas gravitationnel intérieur et extérieur de la TGE : D (r,t) = 0, F(r,t) = 0 ; b) le cas gravitationnel intérieur et extérieur de la TNG : D(r,t) ≠ 0, F(r,t) = 0 ; c) le cas gravitationnel intérieur et extérieur de la TMNG : D(r,t) = 0, F(r,t) ≠ 0 ; d) le champ gravitationnel à l’extérieur de la source est libre de courant TNG (S µ = 0) ; e) le cas gravitationnel intérieur et extérieur général : D(r,t) ≠ 0, F(r,t) ≠ 0. Les cas (1a), (2a) et (3a) ont été résolues dans le cadre de la TGE. Nous résoudrons les cas (1b), (1c), (2b) [dans les cas homogène, anisotrope (adiabatique) et inhomogène et isotrope], (3b) et (3c). Bibliographie A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II. M.A. Tonnelat, La Théorie du Champ Unifié d’Einstein, (Gauthier-Villars, Paris, France, 1955) ; Einstien’s Unified Field Theory (Gordon and Breach, New York, 1966). J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7 th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180. S.W. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972). C. Misner, K.S. Thorne, et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity (Clarendon Press, Oxford, England, 1992). A.S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 3e édition (Chelsea Publishing Co., 1975). M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990).
  • Références 177 Références 1. M.A. Tonnelat, La Théorie du Champ Unifié d'Einstein, (Gauthier-Villars, Paris, France, 1955) ; Einstien's Unified Field Theory (Gordon and Breach, New York, 1966). 2. A. Papapetrou, Proc. R. Ir. Acad. A 51, 191 (1947) ; A. Papapetrou, Proc. R. Ir. Acad. A 52, 69 (1948) ; . Clark, Phil. Mag. 39,747 (1948) ; M. Wyman, Can. J. Math. 2, 427 (1950) ; W.B. Bonnor, Proc. Roy. Soc. (London) 209, 353 (1951) ; 210, 427 (1952) ; P.C. Vaidya, Phys. Rev. 90, 695 (1953) ; 96, 5 (1954) ; J.R. Vanstone, Can. J. Math. 14, 568 (1962) ; D.N. Pant, Nuovo Cimento B 25, 175 (1975) ; L. Mihich, Nuovo Cimento B 78, 115 (1983)* ; R.B. Mann, J. Math. Phys. 26, 2308 (1985). 3. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 35, 3733 (1987) ; 36, 3290(E) (1987). 4. A.S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 3 e édition (Chelsea Publishing Co., 1975). 5. L. Infeld, Acta. Phys. Pol. 10, 284 (1950). 6. J. Callaway, Phys. Rev. 92, 1567 (1953). 7. A. Einstein, Ann. Math. (N.Y.) 46, 578 (1945) ; Rev. Mod. Phys. 20, 35 (1948) ; 21, 343 (1949) ; A. Einstein et E.G. Straus, Ann. Math. (N.Y.) 47, 731 (1946) ; A. Einstein, The Meaning of Relativity (Princeton University Press, Princeton, 5e édition, 1956), appendice II. 8. S.W. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972) ; C. Misner, K.S. Thorne, et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973) ; R. d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity (Clarendon Press, Oxford, England, 1992). 9. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 3554 (1979).* 10. J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. 11. J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7 th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180.* 12. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 3562 (1979).* 13. E.J. Vlachynsky,Class. Quantum Grav. 10, 397 (1993). 14. M. Wyman, Can. J. Math. 2, 427 (1950). 15. J.R. Vanstone, Can. J. Math. 14, 568 (1962). 16. R.B. Mann, J. Math. Phys. 26, 2308 (1985). 17. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 36, 3722 (1995) ; 36, 7128(E) (1995). 18. M.A. Clayton, J. Math. Phys. 37, 395 (1996). 19. P. Savaria, Class. Quantum Grav. 6, 1003 (1989). 20. L.M. Campbell, J.W. Moffat, et P. Savaria, Astrophys. J. 372, 241 (1991). 21. G. Kunstatter et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 1084 (1979). 22. P. Savaria, Class. Quantum Grav. 9, 1349 (1992). 23. L. Bianchi, Lezioni sulla Teoria dei Gruppi Continui Finiti Transformazioni (Spoeri, Piza, Italia, 1918). 24. J.V. Narlikar, Introduction to Cosmology (Johns and Bartlett, 1983). 25. S.W. Hawking et R.J. Tayler, Nature (London) 209, 1278 (1966). 26. E.J. Vlachynsky, Can. J. Phys. 70, 760 (1992). 27. G. Kunstatter, J.W. Moffat, P. Savaria, Can. J. Phys. 58, 729 (1980). On exprime les équations de cette référence selon la notation de la référence 26. 28. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 15, 3520 (1977) ; D 16, 3616(E) (1977).
  • 178 29. M. Wyman, Phys. Rev. 70, 74 (1946). 30. A. Papapetrou, Proc. R. Ir. Acad. A 51, 191 (1947). 31. A. Papapetrou, Proc. R. Ir. Acad. A 52, 69 (1948). 32. N.J. Cornish et J.W. Moffat, Phys. Lett. B 336, 337 (1994). 33. D.N. Pant, Nuovo Cimento B 25, 175 (1975). 34. M.W. Kalinowski, Nonsymmetric Fields Theory and Its Applications (World Scientific, Singapore, 1990). 35. P. Savaria, Class. Quantum Grav. 9, 1349 (1992).
  • 5 Les Équations du Mouvement 5.1 Les Équations du Mouvement d’une Particule d’Essai Le déplacement d’une particule d’essai dans la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) est déterminée par les équations non linéaires du champ gravitationnel. Ceci fut reconnu assez tôt pour le problème restreint du mouvement d’une particule d’essai représentée par une concentration locale du tenseur d’énergie-impulsion T µν. La particule électriquement neutre est imagée comme un tube étroit de direction genre temps ( ∫ − g T t µ d 4 x), T µν étant non nul à l’intérieur du tube et zéro à l’extérieur. Une particule d’essai est obtenue du processus limitatif selon lequel le tube se ressert à une ligne d’univers, tandis que la masse de la particule, représentée par une intégrale de T µν, tend vers zéro. Cette ligne d’univers décrit une particule d’essai. Une conséquence des équations de conservation est que la ligne d’univers de la particule d’essai n’est pas arbitraire mais doit être une géodésique du champ métrique continu.1 Dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation (TNG), le déplacement d’une particule d’essai peut aussi être déterminé par des équations de conservation généralisées, même si maintenant la définition d’une particule d’essai doit être étendue pour y inclure la nouvelle source vectorielle S µ, qui correspond à une densité de courant du nombre de particules dans le corps.2,3 La particule possède une concentration du vecteur courant S µ dans le tube genre temps, et au fur et à mesure que le tube se comprime à une ligne d’univers, la charge décrite par l’intégrale de S µ tend vers zéro. Le rapport de la charge sur la masse de la particule d’essai ne disparaît pas comme la ligne d’univers est approchée, et la particule d’essai ne suit pas une géodésique à moins que la charge de la particule d’essai soit identiquement zéro. Un photon dans la TNG aura une charge TNG nulle et se déplacera le long d’une géodésique mais subira certains effets de polarisation qui feront en sorte que le principe d’équivalence est violé. Mais nous y reviendrons plus tard et nous nous concentrerons à établir les équations du mouvement. Auparavant,4 on avait commencé l’analyse en émettant deux postulats physiques fondamentaux qui formaient la base de la dérivation des équations du mouvement. Même si la validité de ces postulats furent incorrectes, ils prouvent quand même une bonne voit à suivre pour étudier les comportements nouveaux que peuvent produire la TNG. Les deux postulats originaux sont les suivants2,4 : 1. Un repère localement inertiel est définit en un point xµ = x µ par l’équation suivante Λλµνx = x = 0 (5.1.1) où Λλµν = Γ λµν + D λµν (S ) [l’Éq. (3.3.21)]. 2. Dans ce repère inertiel, la conservation de l’énergie-impulsion prend la forme de celle dans la relativité restreinte en l’absence de forces extérieures (par example, les forces électromagnétiques) T (µν), νx = x = 0 (5.1.2) Le simple fait qu’on adopte (temporairement) l’Éq. (5.1.1) comme notre définition d’un repère localement inertiel semble être une conséquence naturelle de l’équation de compatibilité des composantes de la métrique, l’Éq. (3.3.22), qui amène au résultat que le transport parallèle d’une longueur hermitique d’un vecteur (complexe) disparaît δ ( Aµ A µ ) = δ ( g µν Aµ Aν ) = 0 (5.1.3) où le transport parallèle est définit par le rapport aux composantes de la connexion hermitique Λλµν . On note aussi que lorsqu’il y a absence de matière, T µν = S µ = 0, les composantes Λλµν de la connexion deviennent tout simplement Γ λµν . 179
  • 180 5 Les Équations du Mouvement Maintenant, on se rappellera l’Éq. (3.4.10) 3 { } 1 1 ρ (gµρ T µσ, σ + g ρµ T σµ, σ) − µν T µν + W[ρ, ν ]Sν = 0 2 3 (5.1.4) qui représente les quatre lois de conservation rigoureuses de la TNG qui seront utilisées pour déterminer les équations du mouvement d’une particule.4 Puisque, présentement, nous sommes seulement intéressé dans le déplacement des particules d’essais, on imaginera que la particule est confinée à un tube. Les dimensions linéaires de la section efficace du tube, Σ , sont petites à comparé de la longueur R caractérisant le gradient de la métrique de l’arrière-plan. 0 Les composantes du tenseur non symétrique, g µν, consiste de deux parties : la partie g µν qui correspond à un champ continue à des points le long de la ligne d’univers de la particule d’essai, et la partie δ gµν qui décrit la correction au champ 0 de l’arrière-plan, g µν, dû au champ de la particule d’essai. On peut alors écrire 0 g µν = g µν + δ g µν (5.1.5) Au premier ordre en approximation, il est suffisant de garder dans les équations du champ seulement les termes qui sont linéaires en δ gµν. Les composantes du tenseur d’énergie-impulsion associées avec la particule d’essai est δ T µν et la densité de courant qui appartient à la particule est δ S µ. On suppose que la particule d’essai se déplace à l’extérieur des corps 0 massifs, de sorte que les composantes du tenseur (matériel) de l’arrière-plan, T µν 0 , et du courant de l’arrière-plan, S µ, 0 associées aux composantes de la métrique de l’arrière-plan, g µν, disparaissent à l’extérieur de même qu’à l’intérieur de la particule d’essai. Nous adopterons la convention suivante − g δ T µν = Tµν − gδ S µ = S µ (5.1.6) Des Éqs. (3.3.2) et (3.3.19), on obtient la relation suivante W[µ,ν] = 3 [R[µν](W ) − R[µν](Γ)] 2 (5.1.7) et R [µν](W ) = 1 g [µν]R (W ) + 8π Tµν 2 = − 4 π g[µν]T + 8 π T[µν] En utilisant les Éqs. (5.1.5)-(5.1.8) et en les insérant dans l’Éq. (5.1.4), on obtient 0 1 0 ( g µρ T µσ, σ + g ρµ T σµ, σ) − 2 ρ { µν }T 0 µν (5.1.8) 3 0  1 0 − 2 π  g [ ρν ] δ T − 2δ T[ ρν ] + R [ ρν ] (Γ) Sν = 0 4π   (5.1.9) où T [µν] = (gµσ g ρν + gρν g µσ )T ρσ (5.1.10) ρ { µν } ≡ 1 (g 2 (5.1.11) et, on définit les symboles µν,ρ + gρµ,ν − gνρ,µ ) Dénotons par X τ les coordonnées d’un point sur la ligne d’univers, une courbe (continue) à l’intérieur du tube Σ , et par 0 xτ les coordonnées d’un point à l’extérieur de la ligne d’univers de la particule d’essai. Puisque g µν varie très peu à l’intérieur de la section du tube, on peut développer les symboles ρ {µν } en une série de Taylor autour d’un point X τ
  • 181 5.1 Les Équations du Mouvement d’une Particule d’Essai ρ {µν } (x τ ρ {µν } (X )= τ ) + (x σ − X σ ) {ρ } ∂ µν ( X τ ) + ... ∂X τ (5.1.12) On suppose que la particule d’essai possède une structure simple comparable à celle d’un monopole, de sorte que le dipôle et les moments supérieurs de T µν et S µ disparaissent − X τ ) T µν d 3 x = 0 (5.1.13) − X τ )( xσ − X σ ) T µν d 3 x = 0 (5.1.14) ∫ (x ∫(x τ τ − Xτ ) S µd 3 x = 0 (5.1.15) − X τ )( xσ − X σ ) S µ d 3 x = 0 (5.1.16) ∫ (x ∫(x τ τ En séparant l’Éq. (5.1.9) en ses parties symétrique et antisymétrique, on obtient 0 0 g ( µρ ) T(µσ ),σ + g [ µρ ] T[µσ ], σ + ρ { µν }T 0 ( (µν ) ) ρ { µν }T 0 + ( [µν ] ) 0  1 0 − 2π  g [ ρν ] δ T − 2δ T[ ρν ] + R [ ρν ] (Γ) Sν = 0 4π   (5.1.17) Puisqu’on est présentement intéressé seulement dans le déplacement de la particule d’essai, on négligera tous les termes d’auto-couplage en posant δ T δ S = 0. La partie antisymétrique de δ T µν s’obtient des composantes du tenseur d’énergieimpulsion du fluide parfait, données par l’Éq. (3.6.28) 0 δ T [µν] = − p g [µν] (5.1.18) Dans la limite de la considération d’une particule d’essai, p → 0 et, alors, de l’Éq. (5.1.18), il suit que δ T équations du mouvement pour une particule d’essai sont alors données par { } 0 1 0 µ T (µν), ν + ρσ T (ρσ) = γ 2 (µρ) 0 R [ρν](Γ) S µ [µν] → 0. Les (5.1.19) où les symboles de Christoffel dans la TNG sont définit par5 λ { µν } = 1 γ 2 (λρ) (g(µρ),ν + g(ρν), µ − g (µν),ρ ) (5.1.20) qui suivent des équations de compatibilité des composantes de la métrique { } { } ρ ρ g (µν)|σ ≡ g(µν),σ − g (ρν) µσ − g(µρ) νσ = 0 où le solidus “|” signifie qu’on dérive de façon covariante par rapport aux composantes (5.1.21) λ { µν } et non par rapport aux composantes Γ λµν. De plus, les composantes du tenseur inverse de g(µν), soit γ ( µν ), sont définis par la relation γ (ρµ ) g (ρν ) = δ µν (5.1.22) Lorsqu’une particule d’essai ne porte aucune charge, par example, comme dans le cas d’un photon, alors le terme 0 tensoriel du côté droit de l’Éq. (5.1.19) disparaît le long d’une géodésique de la métrique de l’arrière-plan, g (µν). La force tensorielle dans l’Éq. (5.1.19) correspond à une nouvelle force à longue portée (qu’on appellera la force TNG), qui viole le principe d’équivalence (faible) et c’est pour cette raison que les postulats (1) et (2), correspondant aux Éqs. (5.1.1) et (5.1.2), respectivement, furent rejetés. La matière qui porte une charge tombera dans un champ gravitationnel d’une façon qui dépendra de sa composition. Maintenant, on introduit l’Éq. (5.1.11) dans l’Éq. (5.1.19) et on intègre l’expression résultante sur une hypersurface t = constante. Puisque T (µν ) disparaît à l’extérieur de Σ , on obtient, en utilisant les conditions exprimées par les Éqs. (5.1.13)(5.1.16)
  • 182 5 Les Équations du Mouvement { } 0 d 1 0 µ (µ t) 3 τ ( ρσ ) 3 ∫ T d x + ρσ ( X )∫ T d x = 2 γ dt (µρ) 0 R [ρν ](Γ) ∫ S µ d 3 x (5.1.23) Comme conséquence de l’Éq. (5.1.19), il suit que T (µν ) = (xµ T (σν )),σ + xµ { ν }T 0 ρσ (ρσ ) − xµ H νλ S λ (5.1.24) où H µν = 1 0 γ 2 (µρ) 0 R [ρν ](Γ) (5.1.25) d ν x µ T (ν t ) d 3x + ρσ ( xτ ) ∫ x µ T ( ρσ ) d 3 x − H νλ (xτ ) ∫ x µ Sλ d 3 x dt ∫ (5.1.26) En intégrant l’Éq. (5.1.24), on obtient l’équation suivante ( µν ) 3 ∫T d x = { } 0 Avec l’aide des Éqs. (5.1.13)-(5.1.16), on obtient x µ ∫ T (ν t ) d 3 x = X µ (t ) ∫ T (ν t ) d 3 x ∫x µ T ( ρ σ ) d 3x = X µ (t ) ∫ T ( ρσ ) d 3x (5.1.27) (5.1.28) et ∫x µ Sν d 3x = X µ (t ) ∫ Sν d 3 x (5.1.29) En substituant les Éqs. (5.1.27)-(5.1.28) et (5.1.29) dans l’Éq. (5.1.26) et en tenant compte de l’Éq. (5.1.23), on obtient ∫ T ( µν ) d 3 x = dX µ T (ν t ) d 3 x dt ∫ (5.1.30) dX µ T t t d 3x dt ∫ (5.1.31) et ∫T (µ t) d 3x = En substituant maintenant l’Éq. (5.1.31) dans l’Éq. (5.1.30), on trouve ∫T ( µν ) d 3x = dX µ dX µ T t t d 3x dt dt ∫ (5.1.32) En introduisant les Éqs. (5.1.31) et (5.1.32) dans l’Éq. (5.1.23), il suit 0 d  dX µ tt 3  µ  ∫ T d x + ρσ dt  dt    { } dX dt µ dX ν dt ∫T tt d 3 x = H µν ∫ Sν d 3 x (5.1.33) Nous sommes maintenant en position de dériver la forme finale des équations du mouvement pour une particule d’essai. On adoptera l’élément de longueur au carré suivant 0 ds2 = g (µν) dX µ dX ν (5.1.34) et le quadri-vecteur vitesse, u µ = dX µ /d τ , où τ est le temps propre le long de la ligne d’univers de la particule. On définit la masse propre de la particule d’essai par l’équation ∫T tt dt d 3 x = u t ∫ ρ o − g d 3 x = mp dτ (5.1.35) où ρo est la densité de masse propre et m p dénote la masse de la particule d’essai. Comme conséquence de l’Éq. (3.4.15), on peut écrire
  • 5.1 Les Équations du Mouvement d’une Particule d’Essai S µ = (xµ Sν ),ν 183 (5.1.36) En intégrant l’Éq. (5.1.36) et en utilisant l’Éq. (5.1.31), on obtient d dX µ dX µ x µ S t d 3x = St d 3x = l 2 p dt ∫ dt ∫ dt µ 3 ∫S d x = (5.1.37) où l 2p est une constante d’intégration. En réalité, et nous l’avons vu précédemment, lp représente la valeur de l pour la particule d’essai. Les équations du mouvement prennent donc la forme 0 d µ (mp u µ ) + mp ρσ uρ uσ = l 2 H µν u ν p dt { } (5.1.38) d du µ du µ µ (m p u µ ) = m p + u dt dτ dτ (5.1.39) Le premier terme de l’Éq. (5.1.38) donne De la condition 0 g 0 où u ν = γ (µν) (µν) u µ uν = 1 (5.1.40) uµ , on obtient 1 (g(µν) uµ uν )|σ = g (µν) u ν u µ |σ = u µ u µ |σ = 0 2 (5.1.41) et { } 0  du µ  µ + ρσ u ρ u σ  = u µ u µ |σ uσ = 0 uµ   dτ    (5.1.42) où, encore, le solidus “|” dénote la dérivation covariante faite par l’Éq. (5.1.21). En multipliant l’Éq. (5.1.38) par uµ et en utilisant le résultat suivant 0 γ (µρ) 0 0 R [ρν ] u ν u µ = R [ρν ] uν uρ = 0 (5.1.43) on obtient dmo =0 dτ (5.1.44) L’Éq. (5.1.38) se réduit donc à l’expression suivante pour les équations du mouvement pour une particule d’essai dans la TNG3,6 0 l2 du µ p µ + ρσ uρ u σ = H µν u ν = F µ dτ mp { } (5.1.45) où H µν a été donné par l’Éq. (5.1.25) 10 H µν = γ 2 (µρ ) 0 R [ρν ](Γ) (5.1.46) et la relation suivante vient de l’Éq. (5.1.22) γ (ρµ ) g (ρν) = δ µν µ (5.1.47) 5 F est la nouvelle force TNG qui, comme on le montrera, a un comportement en 1/r .
  • 184 5 Les Équations du Mouvement On observe que pour des particules avec l 2 = 0, l’Éq. (5.1.45) se réduit à l’équation d’une géodésique pour le p mouvement d’une particule d’essai (à pôle unique) dans la TGE même si les orbites (ou trajectoires) de ces particules seront, bien sûr, quantitativement différentes de celles que l’on retrouve dans la TGE par ce qu’on utilise les symboles de Christoffel de la TNG et non ceux de la TGE. [Voir l’Éq. (5.1.20).] De plus, l 2 /m p est une constante et la charge TNG de la particule, l 2 , est donnée par l’Éq. (3.5.9) p p l 2 = ∫ S µ d 3x p (5.1.48) et la masse de la particule, par ds dt mp = ∫T tt d 3x (5.1.49) où ds est donné par l’Éq. (5.1.34). Alors, des lois de conservation de la TNG, on a dérivé les équations du mouvement d’une particule d’essai en utilisant les équations du champ en présence de matière, décrite par un fluide parfait avec des sources matérielles, T µν et S µ, correspondant aux composantes du tenseur d’énergie-impulsion et du courant TNG du fluide, respectivement, tous deux conservés. Les équations du champ d’un espace-temps non riemannien sont non linéaires et, comme dans la TGE, elles déterminent le mouvement des particules. En donnant à la matière présente dans le champ gravitationnel, via le tenseur d’énergie-impulsion, la forme d’un fluide parfait, comme déterminé par le principe variationnel, la source de courant (vectorielle) S µ et la définition d’une particule d’essai, les équations du mouvement suivent uniquement des lois de conservation de la TNG. Seulement les particules avec l 2 = 0, comme les photons, obéissent les équations géodésiques du mouvement dans la TNG. Mais, et nous le verrons, p même ces photons n’échappent pas à la violation du principe d’équivalence, et ce, même s’ils ont l 2 = 0. Pour les autres p particules, avec l 2 = 0, elles ne suivent définitivement pas des trajectoires géodésique dans l’espace-temps. Cela se produit p parce qu’il y aura une force qui se comporte en 1/r5... (Voir Section 5.7). 5.2 L’Approximation Post Newtonienne La TNG possède un complexe d’énergie-impulsion symétrique conservé et post newtonien, comparable au pseudo-tenseur de Landau-Lifchitz7,8,9 de la TNG, la limite post newtonienne de la TNG, alors, contient un ensemble complet de lois de conservation pour l’énergie, l’impulsion, et le mouvement angulaire. De plus, la première et la troisième loi de Newton tiennent dans la TNG. On utilisera la loi de conservation de l’énergie pour définir la masse inertielle (l’énergie de masse est conservée) d’un corps, ou système de corps, et on utilisera la loi de conservation de l’impulsion pour générer la deuxième loi du mouvement de Newton de corps ou système de corps. À l’ordre postnewtonien nécessaire, on obtient les composantes de la métrique non symétrique dans le cas d’un fluide parfait10,11,12 ~ gtt = 1 − 2ϕ + 2(ϕ 2 − Φ ) + ∇λ·∇λ − ∫S t ( x ′) (∇ ′λ ′)• ( x − x′) x − x′ 3 d 3x′ (5.2.1) 7 i 1 i V + W 2 2 (5.2.2) g (i j) = − (1 + 2ϕ) δij (5.2.3) g[ti] = λ,i (5.2.4) g[i j] = 2α[i, j] (5.2.5) g (ti) = On définit les potentiels métriques et postnewtoniens comme ∇ 2ϕ = − 4 πρo ϕ(x) = ∫ ρ o ( x ′) x − x′ d 3 x′ (5.2.6)
  • 185 5.2 L’Approximation Post Newtonienne ∇ 2V k = − 4πρov k V k(x) = ∫ W k(x) = ∫ ρ o (x′)( x k − x′k ) ∇ 2λ = − 4π S t ρ o (x′)v k (x′) x − x′ v ′ • (x − x′) α k(x) = ∫ ρ o (x′)v 2 ( x′) (5.2.7) d 3 x′ (5.2.8) S t (x′) 3 d x′ x − x′ (5.2.9) S t ( x′)v k (x′) 3 d x′ x − x′ (5.2.10) x − x′ λ(x) = ∫ ∇2α k = − 4 π S t v k d 3x′ 3 d 3 x′ (5.2.11) d 3x′ (5.2.12) ~ ρ (x′)Π (x′) 3 ~ Φ 3(x) = ∫ o d x′ x − x′ (5.2.13) ~( x′) ~ p Φ 4(x) = ∫ d 3x′ x − x′ (5.2.14) ~ ~ ~ Φ = 2Φ 1 + 2Φ 2 + Φ 3 + 3Φ 4 (5.2.15) ~ 2 StSt Π=Π− 3 ρo (5.2.16) ~ = p − 2 StSt p 3 (5.2.17) Φ 1(x) = ∫ Φ 2(x) = ∫ x − x′ ρ o ( x′)φ ( x′) x − x′ avec Finalement et On définit les différents paramètres postnewtoniens de la façon suivante : ρo Densité de masse au repos comme mesuré dans un repère en chute libre (localement) momentanément comobile avec la distribution locale de matière ; vi Coordonnée de vitesse de la matière ; w i Vitesse de coordonnée du système de coordonnées postnewtonien paramétrisé relativement au repère au repos (moyen) de l’univers ; p Pression comme mesurée dans un repère en chute libre momentanément comobile avec la distribution locale de matière ; Π Énergie interne par unité de masse au repos qui inclut toutes les formes de matière qui n’est pas au repos, d’énergie non gravitationnelle comme par example l’énergie de compression et l’énergie thermique.
  • 186 5 Les Équations du Mouvement 5.3 Le Complexe Énergie-Contrainte L’énergie de masse du champ gravitationnel doit être définit relativement à une métrique quelconque de l’arrière-plan puisqu’elle est décrite par un pseudo-tenseur. On donne les définitions suivantes découlant de la Section 3.7 et de l’Appendice8,12 1 gµν = ηµν + g µν (5.3.1) On définit les potentiels métriques suivants 1 1 θµν = g (µν) − 1 ηµν g 2 (5.3.2) 1 φµν = g [µν] (5.3.3) où 1 1 g = η µν g µν (5.3.4) et où gµν est la métrique non symétrique, et θ µν et φµν sont les potentiels métriques de l’approximation symétrique et antisymétrique, respectivement. De plus, nos potentiels obéissent les relations suivantes θ µν = η µρ η νσθρσ (5.3.5) φ µν = η µρ η νσφρσ (5.3.6) On résout ensuite les Éqs. (3.3.7) (avec a = ½ et b = 2) et (3.3.21), soient les équations suivantes π S gµν,σ + gρν W µρσ + gµρ W νσρ − gµν W ρσρ −δ νσ (gµρ, ρ + gαβ W µαβ ) = 43 (Sµδ νσ − Sνδ µσ) g (5.3.7) Λλµν = Γ λµν − D λµν (S ) (5.3.8) et de façon itérative en fonction des potentiels métriques θµν et φµν 1 2 (5.3.9) Λλµν = Λ λµν + Λ λµν + ... où 1 1 1 1 Λ λµν = 1 η λσ( g µσ, ν + g σν, µ − g νµ, σ ) 2 (5.3.10) et 2 1 1 1 1 1 1 Λ λµν = − η λσ( g (ρσ) Λ ρµν + g [µρ] Λ ρνσ + g (ρν) Λ ρσµ ) (5.3.11) De plus, on a 1 2 D λµν = D λµν + D λµν + ... (5.3.12) π D λµν = 43 S ρ(ηρµδ λν − η ρν δ λµ) (5.3.13) où 1 et 2 1 1 1 1 1 π D λµν = 43 S ρ ( 3 ηµν η λσ g [σρ] − 1 g [νρ]δ λµ − 1 g [µρ]δ λν − g (νρ)δ λµ − g (µρ) δ λν) 2 2 2 (5.3.14)
  • 187 5.3 Le Complex Energie-Contrainte Ces résultats peuvent maintenant être substitués dans l’Éq. (5.3.8) pour Γ λµν et les expressions obtenues peuvent être utilisées pour écrire Rµν (Γ) en fonction des variables θµν et φµν via l’Éq. (3.2.9) Rµν (Γ) = Γ λµν, λ − 1 (Γ λ(µλ), ν + Γ λ(νλ),µ ) − Γ ρσν Γ σµρ + Γ ρ(σρ) Γ σµν 2 (5.3.15) Si ces résultats sont ensuite utilisés dans les équations du champ Gµν (W ) = 8π Tµν (5.3.16) où Gµν (W ) = Rµν (W ) − 1 gµν R(W ) et Rµν (W ) = Rµν (Γ) + 3 W[µ,ν], avec les indices symétrisés, on obtient 2 2 (ηρσθ µν + η µνθ ρσ − ηρνθ µσ − ηρµθ νσ ), ρ, σ = − 16π τ (µν) (5.3.17) où τ (µν) = T À l’ordre bilinéaire, le pseudo-tenseur t (µν) (µν) + t ( µν) (5.3.18) est donné par −16π t (µν) = −θρσ(θ µρ,νσ + θ νρ, µσ −θ µν,ρσ − θ ρσ, µν ) − 1 θ µνθ, ρ ρ −θ λν(θλρ , ρµ +θ µρ, ρλ − θ µλ, ρ , ρ ) − 2 −θ µλ(θ λρ , ρν + θ νλ,ρλ − θ νλ, ρ , ρ ) + 1 θ ρσ, µθρσ , ν − θ ρν, σθ µσ,ρ + θ ρν, σθ µρ, σ + θ ρ (µθ, ν)ρ − 2 − 1 θ , µνθ − 1 θθ µν, ρρ − 2 2 − 2φρσ ,(µφ ν)ρ, σ − 3 2 1 4 θ ,µθ ,ν − 8π S ν, ρφ µρ − 8π S µ, νφ νρ − φρσφ ρσ, µν − 2φ µρ,σφ ν(ρ, σ) − π φ ρσ,νφρσ ,µ − 323 S µ S ν − 2 3 −ηµν(θ ρσθρσ, λ λ + 3 θρσ,λθρσ,λ − 1 θρσ,λθ ρλ, σ − 8 θ, λθ ,λ − 1 θθ, λλ + 1 θρσθ , ρσ −φ ρσφρσ, λλ − 4 2 2 2 − + 4 3 5 4 (5.3.19) π φ ρσ, λφρσ, λ − 1 φ σρ, λφρλ, σ + 323 S λ S λ ) + 2 2 (η µσφ ρν + ηρνφ µσ − 1 2 ηµνφ ρσ)A [ρ, σ] −θρσ ,σ(θ µρ, ν + θ ρν, µ − θ µν, ρ + η µνθ , ρ − η µνθ ρλ, λ) + + 1 (θ µσ, σθ ,ν + θ νσ, σθ , µ + 2θ µνθ ρσ, ρσ) + θ (3θ σ(µν)σ − θ µν, σσ) − 2 − 1 ηµν(3θθρσ , ρσ − 4 θρσθ ρλ,σλ) 2 où θ = h µνθ µν . On coupe maintenant les composantes du vecteur torsion Wµ en deux termes : un pour la source S µ et un terme Aµ qui sera montré comme étant non linéaire dans les sources et les potentiels, c’est-à-dire Wµ = W λ [µ, λ] = Aµ − 8π S µ (5.3.20) Le côté gauche de l’Éq. (5.3.17) ne possède pas de divergence, ce qui implique qu’il y a conservation τ (µν), ν = 0 (5.3.21) On fait maintenant la définition (standard) de l’impulsion totale du centre de masse pour un système post newtonien µ PA = ∫ τ (tµ ) d 3 x A t m A = PA xA = 1 mA ∫A τ (tt ) x d 3x (5.3.22) Des Éqs. (5.3.21) et (5.3.22), on voit que le centre de masse d’un système isolé est sans accélération dans les coordonnées choisies. On développe les équations du champ de la TNG qui restent de sorte à obtenir des solutions pour φ µν et Aµ. À l’ordre bilinéaire, les Éqs. (3.3.10) et (3.3.24) produisent π ∂ρ ∂ρ φ µν = − 1 ∂ρ ∂ρ (θ φ µν ) + 8 π S[µ,ν ] − 4 A[µ,ν] − 16π T [µν ] + 83 (S ρ,[µθ ν]ρ − Sρ θ ρ[µ,ν ] − S [µ, ν ]θ ) 2 3 (5.3.23) Alors, la partie antisymétrique de l’Éq. (5.3.16), avec les Éqs. (5.3.9) et (5.3.23), donnent une équation pour φ µν à l’ordre bilinéaire
  • 188 5 Les Équations du Mouvement φ µν ,ν = 4 π S µ − 1 θ, ν φ 2 µν + 4π θ µν Sν − 4π θ S µ + θ ρµ,σφρσ + φ µρ, σθρσ + 16π (θ µρ T [νρ] − θ νρ T [µρ] + θ T [µν]) − 2θ ρ[µ, ν ]σφρσ − 2 θρσ,[µφ ν]ρ, σ − (5.3.24) −2θ [µ ρ, σφ ν]ρ,σ + 2θ [µσ, ρφ ν ]ρ, σ + θρσφ µν, ρσ − θ,ρ φ ρ[µ, ν] + 4π S [µ,ν ]θ 5.4 Les Équations du Mouvement d’un Corps Massif Les Éqs. (5.3.17) et (5.3.24) peuvent être résolues en utilisant les méthodes post newtoniennes habituelles. On choisit des coordonnées selon lesquelles θ µν, ν = 0 (5.4.1) On postule que les objets matériels sont composés de sources fluides décrits par les composantes du tenseur d’énergieimpulsion (c = 1) T µν = (ρ + p) u µ uν − p g µν (5.4.2) où p est la pression, u µ = dx µ / d τ est le quadri-vecteur vitesse d’un élément du fluide, et ρ = ρo (Π + 1) (5.4.3) est la densité de masse-énergie. ρo est la densité de masse au repos du fluide et Π est la densité spécifique d’énergie de liaison au repos. En plus de T µν, la TNG contient un courant conservé, Sµ, c’est-à-dire que Sµ,µ = 0 (5.4.4) Ce courant est pris comme étant une combinaison linéaire de courants du nombre fermionique associé à un fluide inhomogène S µ = ∑ f i2 ni (t , x) u µ (t , x) (5.4.5) i même si tout ce qui est requis c’est qu’il soit un vecteur courant conservé. Les f i 2 sont les constantes de couplage aux différents courants numériques ni présents dans le fluide. La charge associée avec ce courant est donnée par l 2 = ∫ S t d 3x (5.4.6) On peut maintenant calculer la composante τ tt à l’ordre post newtonien   ~ 1 2 1  2  τ tt = ρ * 1 + Π + v 2 − φ  − 3 1 ∇ ·(φ ∇φ ) − ∇ ·( S* ∇λ ) 8π 2 (5.4.7) où φ est le potentiel newtonien et on définit les densités suivantes (à cet ordre)  1  ρ* = − g ρo u t = ρ o 1 + v 2 + 3φ   2  (5.4.8) S* = − g S t = (1 + 2 φ ) S t (5.4.9) Ces densités sont des densités conservées puisqu’elles obéissent aux équations de continuité suivantes ∂ρ * + ∇·(vρ*) = 0 ∂t ∂S * + ∇·(vS*) = 0 ∂t (5.4.10) En utilisant l’Éq. (5.4.7) dans l’Éq. (5.3.22) et en procédant à une double dérivation, on obtient une expression pour l’accélération du centre de masse d’un objet étendue relativement au centre de masse du système12 ~ 1 ~ 1 2 1  d 2x 3 1  i ~ p ~ 3   3 3 ~ aA = (5.4.11) ∫A ρ * 1 + Π + 2 v − 2 φ  dt 2 d x + mA  v A ∫A p,i v d x + ∫A p,t v d x − ∫A ρ * ∇p d x  +   mA    
  • 189 5.4 Les Équation du Mouvement d’un Corps Massif + 1  3 3~ 1 1   TA − T * A − T * * A + P A + Ω * A + t A  mA  2 2 2 2  où dx A dt vA = aA = dv A dt (5.4.12) et ~ 1 1   mA = ∫ ρ * 1 + Π − v 2 − φ d 3 x A 2 2   (5.4.13) et, donc, mA est dénotée la masse inertielle du corps A. Des Éqs. (5.3.21) et (5.3.22), on a dm A =0 dt (5.4.14) Les théorèmes du viriel ont été utilisées pour simplifier ces intégrales. On a aussi définit v = v(t,x) − v A(t) (∀x ∈ A ) (5.4.15) et on sépare tous les potentiels en parties interne et externe Ψ (t , x) + ∑ ΨB  B≠ A Ψ=  ∑ ΨB B (pour x ∈ A) (5.4.16) (autrement) où Ψ B dénote le potentiel généré par des sources avec un support contenu dans un volume B. On ne peut pas évaluer les Éqs. (5.4.11) et (5.4.12) car nous n’avons pas encore d’expression pour l’accélération d 2x / dt2 de l’élément du fluide à la coordonnée (t,x). Ceci peut être obtenu en substituant la forme des composantes du tenseur du fluide parfait dans l’équation de réponse matérielle, donnée par l’Éq. (3.4.10) g (µρ)T(µσ),σ + g[µρ]T[µσ], σ − 1 1 (gµρ, ν + gρν, µ − g µν, ρ)Tµν = W[ν, ρ]Sν 2 3 (5.4.17) et en appliquant l’approximation post newtonienne. Le résultat est le suivant12 ρ* d 2 xk dt 2 ~  p d  7 1 ~ 1  ~  & & p + v k ( ρ *φ − ~) − ρ *  4φ v k − V k − W k  − = ρ * φ,k − ρ ,k 1 + 3φ + Π − v 2 − 2 ρ * dt  2 2    − 7 ρ * v jV 2 j ,k − 1 j vW 2 j ,k ~  2π  S * S * v 2 + 4π S * S * φ  − + ρ * v 2φ ,k + ρ * Φ ,k − ∂ k   3  ∂ ′j λ ′ 3 1 1 − ρ * ∂ k (∇λ • ∇λ ) − S * ∂ k (∇φ • ∇λ ) − ρ * ∂ j ∂ k ∫ S *′ d x′ − 2 2 x − x′ − S * ∂ j ∂ k ∫ S *′ ∂′jφ ′ − 2 ρ *′ ∂′j λ ′ x − x′ (5.4.18) d 3 x′ Pour évaluer l’Éq. (5.4.17), on doit déterminer le champ de torsion W[µ, ν ]. On réussit à faire cela en utilisant d’abord l’Éq. (5.3.20) pour remplacer W[µ,ν ] par A [µ,ν ] dans l’Éq. (5.4.17). On résout pour A[µ,ν ] en prenant un autre gradient sur l’approximation post newtonienne de l’Éq. (5.3.24) et en antisymétrisant pour éliminer Aµ . L’équation résultante est intégrée pour ainsi trouver une solution pour la combinaison totalement antisymétrique φ [µν,σ ]. De cette combinaison et de la divergence φ µν,ν , donnée par l’Éq. (5.3.23), le d’alembertien de φ µν fut construit par la différentiation. Donc, l’Éq. (5.3.24) devient une équation algébrique pour A[µ,ν ]. À l’ordre requis, on a besoin que de A[t,i], qui se réduit à At,i à l’ordre nécessaire. On obtient donc le résultat suivant
  • 190 5 Les Équations du Mouvement  ∇′φ ′ − 2 ρ ′ ∇′λ ′ 3  ∇At = ∇ 16πφ S t − 3∇φ • ∇λ + 3∇ • ∫ S ′t d x′ x − x′     (5.4.19) Ce résultat a été utilisé dans l’Éq. (5.4.16) pour nous donner l’Éq. (5.4.18). Finalement, en substituant l’Éq. (5.4.18) dans l’Éq. (5.4.12), on obtient l’équation de mouvement pour un centre de masse du objet massif A d 2 x′Ak dt 2 = 1 mA   1 mA 2  1 ~ 1  dv k  − − φ + Π  + ρ * φ,k v 2 + ~ 3φ,k − φ,k  − ρ * φ p 2 2  dt   d 7 k 1 k  3 k  3φv − V − W   d x + dt  2 2  −ρ* + 1 ∫A  ρ * φ,k 1 + 2 v    1 1 ∂′j λ ′ 1 ∫A − 2 ρ * ∂ k (∇λ • ∇λ ) + 2 S * ∂ k (∇φ • ∇λ ) − 2 ρ * ∂ j ∂ k ∫ S *′ x − x′ d  3  x′ − (5.4.20) ∂′jφ ′ − 2 ρ *′ ∂′j λ ′ 3  3 1 d x ′ d x + − S * ∂ j ∂ k ∫ S *′ x − x′ 2   + 1 mA  j k j j ~ 3 ~ 3 v A ∫A v ∂ j pd x + v A ∫A v ∂ k p d x  − vk A ~ dP 3 3 ~k 1 1  k k + TA − T *A − T * *k + PA + Ω *k + t k  A A A dt 2 2 2 2  On peut simplifier l’Éq. (5.4.20) en séparant toutes les vitesses et tous les potentiels en leurs parties interne et externe en utilisant les Éqs. (5.4.16) et (5.4.17). Ensuite, on utilise les théorèmes du viriel pour simplifier les intégrales sur les quantités purement internes. On suppose que les distances entre les objets sont larges de sorte que les potentiels dus à un objet (mais évalué à la position de l’autre) peuvent être développés en puissances inverses des distances, c’est-à-dire, un développement multipolaire. L’intégration de l’Éq. (5.4.20) donne, après quelques applications des théorèmes du viriel k ak = aA A TGE + ak A (5.4.21) TNG où ak A TGE = 1 mA  rj   ∑ − rAB m A mBδ jk − 3  3 B ≠ A AB   2 + 4m A mB k rAB 4 rAB 2 rAB + 5m 2 m B A + 4m A m B v A • v B + 4m A mB r AB • v B + jk mB QA k rAB 3 rAB vk A 3 rAB + k rAB 4 rAB −3 ijk m A QB 2 rAB + 2 − 2m A m B v B i l 15 rAB rAB δ 4 2 rAB k rAB 3 rAB jk 2 − m A mB v A  il il ( m A QB + m B Q A ) +   k rAB 3 rAB + rk vk 3 m A mB (rAB • v B ) 2 AB + 4m A m B rAB • v A 3A + 5 2 rAB rAB − 3m A m B rAB • v B vk A 3 rAB + 3m A mB rAB • v B k vB 3 rAB + k  rk rk 7 rBC 1 rAB • rBC k    m A mB mC  4 3 AB + 3 AB − − rAB   3 3 3 rAB rAC rAB rBC 2 rAB rBC 2 rAB rBC   C ≠ A, B   ∑ (5.4.22)
  • 191 5.5 L’Effet Nördverdt et ak A TNG = 1 mA  rj  ∑ + rAB [2m Al 4 + 2mB l 4A − 2(m A + mB )l 2Al 2B ] + B  3 B≠ A + AB  rj 1 ( mB l 2 l 2 − m A l 2 l 2 )  3 AC3 A C B C  rAC rAB C≠ B,A 2  ∑ + + 3 3 rAB rAC j rBC 3 3 rBC rAB  rj 1 ( m B l 2 l 2 − mC l 2 l 2 )  3 BC3 A C A B  rBC rAB C≠ B, A 2  + 3 1  δ 2 2 rAB   ∑ −3  δ    δ   −3 jk  δ   j rAB + jk  δ   jk jk jk j k rAB rAB  + 2 rAB   −3 j k rAC rAC  + 2 rAC   r j r k  − 3 AB2 AB   + rAB    −3 (5.4.23) j k rAB rAB    + 2 rAB    j k  rAB rAB  2 j (l A Σ B − l 2 Σ j ) B A  2  rAB    On note maintenant un fait assez inusité de ce développement soit que la loi de force calculée à partir de l’Éq. (5.4.20) prend la forme j rAB B ≠ A rAB mA a k = − ∑ A jk  jk γ AB  1 α AB + 2 + O 3 r rAB   AB      (5.4.24) jk et, des Éqs. (5.4.20)-(5.4.23), on voit que γ AB = δ jk m A mB de sorte que l’équivalence entre les masses inertielle et gravitationnelle est belle et bien obtenue à cet ordre de calcul. jk On définit le moment quadripolaire de masse, Q A , et le terme d’interaction de masse dans la TNG, Σ k , d’un corps A A comme étant 1 jk jk QA = I A − δ 3 jk IA (5.4.25) où jk j I A = ∫ ρ * ( x)( x j − x A )( x k − x k ) d 3x A A (5.4.26) et k ΣA = ∫ ρ*S * A x k − x′ k x − x′ 3 d 3 x′d 3x (5.4.27) 5.5 L’effet Nördverdt On peut utiliser le formalisme post newtonien paramétrisé (PNP) développé à l’Appendice pour calculer le mouvement de corps d’essais massifs dans une théorie non métrique telle la TNG comme il a été fait dans la TGE. On trouve que, pour un corps massif au repos dans un champ gravitationnel externe uniforme, ce dernier subit une accélération des coordonnées PNP (du type newtonien) donnée par13
  • 192 5 Les Équations du Mouvement d 2x j 2 dt = Ejk ∂U ∂ xk (5.5.1) où Ejk est une quantité qui dépend de la structure du corps  Ω  − (2 β + 2 β 2 − 3γ + ∆2 − 2) jk   m      Ggrav Ejk = δ jk 1 − (7 ∆1 − 3γ − 4 β )  m        (5.5.2) où Ω jk = − ′ ( x − x′j )( xk − xk ) 3 3 1 ′ j d x′d x ∫ ρ o ρo 3 2 x − x′ (5.5.3) et ∑ Ω jj Egrav = (5.5.4) j Ici, m est l’énergie de masse totale du corps, Ω jk sont les composantes du tenseur d’énergie potentielle de Chandraseckhar, et Egrav est l’énergie gravitationnelle interne du corps. Dans la TGE, les combinaisons des coefficients PNP qui apparaissent dans Ejk disparaissent ; de sorte que Ejk = δ jk , et le corps tombe avec l’accélération usuelle, c’est-à-dire, il se déplace selon une géodésique. Dans les théories non métrique autres que la TGE, Ejk ≠ δ jk ; le corps ne se déplace pas selon une géodésique, et son accélération peut même être dans une direction différente que celui du gradient de potentiel de Newton! Ce départ du mouvement géodésique s’appelle l’Effet Nördverdt. L’effet Nördverdt dans une théorie, autre que la TGE, produit un nombre de phénomènes dans le système solaire qui sont potentiellement observables. L’effet le plus convenable comme vérification expérimentale est la polarisation de l’orbite Terre-Lune due au fait que la Lune devrait tomber vers le Soleil avec une plus grande accélération alors que la Terre, elle, tombe avec une accélération moindre. Cette polarisation résulte en une excentricité de l’orbite qui pointe toujours vers le Soleil et possède l’amplitude suivante δ r = 840[3γ +4β − 7∆ 1 − 1 (2β + 2β2 − 3γ + ∆2 − 2)] cm 3 (5.5.5) Alors qu’om a δ r = 0 dans la TGE. On a obtenu des équations du champ au plus bas ordre en g µν 11,14,15 2 0 ∇2 g tt = −8 π T tt (5.5.6) 2 2 0 ∇2 g [it] − 1 g [tj ],ij = −16π T 3 3 1 ∇2 g (ti) = 16 π T 3 1 2 2 2 2 [ti] 2 − 4W 3 (5.5.7) [t,i] (it) (5.5.8) 2 1 ∇2 g [ij] + 1 g [ tj ],ti + 1 g [it ],tj − 1 g [ kj],ik − 1 g [ ik ], jk = 8π ( T 6 6 6 6 [ij] 3 − 2W 3 [i,j]) (5.5.9) 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∇2 g tt − 1 g tt ,tt + 1 g tt , j g tt , j − 1 g [tj ], j g [ti ],i + 1 g [tj ],i g [ti ],i + 1 g [ tj ],i g [tj ],i + 1 g [ tj ],i g [ ti], j + 2 2 6 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 + g [ti ] g [ti ], jj + 1 g [tj ] g [ti ],ij = −4π ( T tt − 2 g tt T tt + T 2 2 (ii) 0 − 2 g [it] T (5.5.10) [it] ) 2 g 2 g [tj],j = 4π S t (5.5.11) 3 [ti],t − g [ji],j = −4π S j Les Éqs. (5.5.6)-(5.5.10) peuvent maintenant être résolues pour donner les solutions (5.5.12)
  • 193 5.5 L’Effet Nördverdt 2 d 3x′ 0 g = −2φ tt φ = − ∫ T tt(x′,t) x − x′ (5.5.13) = −2 φ δ ij (5.5.14) 2 g (ij) d 3 x′ (x′,t) x − x′ (5.5.15) = λ ,j d 3 x′ λ = − ∫ S (x′,t) x − x′ (5.5.16) = −α [i,j] d 3 x′ α i = ∫ S (x′,t) x − x′ (5.5.17) 3 g 1 (ti) = ξ i ξ i = −4 ∫ T 2 g [tj] 0 3 g [ij] (ti) 1 t i 1 La liberté de jauge des composantes du vecteur de torsion, Wµ donne Wµ = 3 g [µν],ν et a été utilisée pour donner 2 1 ∇ • W = 0. De plus, on a 4 ∇ g tt = −2 φ 2 − ∇λ •∇λ − 2ψ (5.5.18) où ψ = ψ (x,t) est un deuxième potentiel. Avec 2 2 ∇2ψ = φ ,tt − 1 ∇2λ∇2λ + 1 λ ,i∇2λ ,i + 4 π T tt + 4 π T 6 2 (ii) 0 − 8π T [ti] (5.5.19) L’équation du mouvement est donnée par l’Éq. (5.1.45) { } 0 l2 du µ ρ p + µν u ρ u σ = H µν uν mp dτ (5.5.20) où 0 H µ ν 0 = 1 γ (µρ) 2 R [ρν](Γ ) (5.5.21) et γ (ρµ) g (ρν) = δ µν (5.5.22) Mais dans le cas où on étudie le mouvement des photons dans le champ gravitationnel ( l 2 = 0) et on obtient p d 2xµ dτ 2 + Λµρσ dx ρ dxσ =0 dτ dτ (5.5.23) où les composantes de la métrique non symétrique obéissent l’équation de compatibilité généralisée gµν,σ − g ρν Λρµσ − gµρ Λρσν = 0 (5.5.24) d 2 x i dxi t dx ρ dxσ dx ρ dxσ = Λ (ρσ) − Λi(ρσ) dt dt dt dt dt dt 2 (5.5.25) L’Éq. (5.5.23) peut être réécrite comme En utilisant les solutions pour les composantes g µν et les expressions pour Λλµν de l’Éq. (5.5.24), on peut trouver les composantes Λλµν de la connexion généralisée à l’ordre requis pour l’équation du mouvement. Pour l’équation au quatrième ordre [c’est-à-dire, proportionnelle à (v/c)4], on a Λttt = φ ,t (5.5.26)
  • 194 5 Les Équations du Mouvement Λt(tj) = φ ,j (5.5.27) Λitt = ξ ,t + φ ,i + 4φφ ,i + ψ ,i − ∇λ •∇λ ,i ∇ (5.5.28) Λi(tj) = 1 (ξ i,j − ξ j,i − 2φ ,tδ ij) 2 (5.5.29) Λi(kj) = −(φ ,jδ ik + φ ,kδ ij − φ ,iδ kj) (5.5.30) L’équation du mouvement au quatrième ordre en approximation devient dv dξ dφ = −∇(φ + 2φ 2 + ψ − 1 ∇λ •∇λ) − + 3v + 4v (v • ∇φ ) − v 2∇ φ + v × (∇ × ξ) ∇ ∇ ∇ 2 dt dt dt (5.5.31) Si on choisit un système de particules ponctuelles (à point) en chute libre, alors Sµ et T (µν) sont données par N Sµ = − g ∑ f n2 n=1 µ dxn 3 δ ( x − xn ) dt (5.5.32) −1 µ dxn dxν  dτ n  n   δ 3 ( x − xn ) dt dt  dt  N T (µν) = − g ∑ mn n=1 (5.5.33) où fn2 est une constante de couplage (liée à la charge l2) de la n-ième particule. En développant les Éqs. (5.5.32) et (5.5.33), on obtient N 0 S t = ∑ f n2δ 3 ( x − xn ) n=1 N 1 S i = ∑ f n2 n=1 i dxn 3 δ ( x − xn ) dt n=1 1 (ti) (5.5.35) N 0 T tt = ∑ mnδ 3 ( x − xn ) T (5.5.34) N = ∑ mn n =1 i dxn 3 δ ( x − xn ) dt (5.5.36) (5.5.37) N 2 2 T tt = ∑ mn (φ + 1 vn )δ 3 ( x − xn ) 2 n =1 2 T (ij) (5.5.38) N i = ∑ mn v n v nj δ 3 ( x − x n ) n =1 (5.5.39) En ayant supposé que les composantes T [µν ] sont sans rotationnel, l’expression requise pour les composantes T [ti] sont 0 T [ti] N  p = k ∑ f n2 x − x n δ 3 ( x − x n )   n=1  ,i (5.5.40) où k est une constante inconnue et p est un exposant indéterminé. Les expressions fermées pour les solutions des équations métriques (5.5.13)-(5.5.19) sont donc15 N φ m n = −∑ x−x n=1 n N (5.5.41) i mn vn ξ i = −4 ∑ x − x n n=1 (5.5.42)
  • 195 5.5 L’Effet Nördverdt N f2 n λ= −∑ x−x n =1 ψ=− 1 4π d 3 x′  0 0  1 (5.5.43) n d 3 x′  1 ∫ x − x′ φ,t t + 4π T t t + 4π T (i i )  − 4π ∫ x − x′  2 λ,i ∇    2 1 6 0  λ,i − ∇ 2 λ ∇ 2 λ − 8π T [t i ]   14444444244444443 (5.5.44) 144444244443 ψ1 ψ2 La première intégrale de l’Éq. (5.5.44) est l’intégrale usuelle de la TGE qui a comme solution  mj  ψ 1 = ∑ mi ∑ i  j >i x i − x j  +  1 1  +  x − xi x−xj  2   − 2 1  dx i  +    x − x i  dt   (5.5.45) dx 1 1 1 1 ( x − x i ) • 2i + 2 x − xi 2 x − xi 3 dt dx i   (x − x i ) • dt    2     La seconde intégrale de l’Éq. (5.5.44) est une nouvelle contribution qui donne 2 2 f2f2  8π   1   f (x − x n )   + 8π kδ p ∑ r n δ 3 ( xn − xr ) +  − + 2kδ p   ∑ n 2   3  n,r x − x n  2  n x − xn   ψ2 =  − (5.5.46) avec δ p = 1 pour p = 0, et δ p = 0 pour p ≠ 0. Le premier terme dans ψ2 contient à la fois une interaction interne et un terme de contacte entre les sources, lesquelles on ignorera. Alors, à l’ordre requis, les champs métriques sont 2 N gtt = 1 − 2α ∑ n=1 2  N mn   N f n2 ( x − x n )  mn  +  + ∑ + 2β  ∑  x − xn x − x n   n=1 x − x n 3   n=1    N + 2α ′∑∑ i =1 j >i N + χ∑ n =1 mi m j  1 1  + x − x j  x − xi x−xj  2  N mn  dxn   − 4α ′′   + ∑ x − x  dt   n n=1  2 (5.5.47) N mn d 2xn mn  dx  (x − x n ) • + α ′′′∑ (x − x n ) • n  + 2 x − xn x − xn  dt  dt  n=1 2 N 2  f (x − x n ) 2  + ... + (4kδ p − 1) ∑ n 3  n=1  x−xj     i N mn vn m [(x − x n ) • v n ](x − x n ) + ... + 4∆′∑ n 3 x − xn x − xn n= 1 n=1 N g(ti) = 4∆ ∑ N  mn  δ ij + ... g (ij) = − 1 + 2γ ∑   n=1 x − x n   N g [ti] = − ∑ n=1 f n2 ( x − xn ) i x − xn 3 + ... (5.5.48) (5.5.49) (5.5.50)
  • 196 5 Les Équations du Mouvement N g[ij] = ∑ n=1 f n2 x − xn 3 i [vn ( x − xn ) j − vnj ( x − xn ) i ] (5.5.51) Ici, α = β = α′ = α′′ = χ = α′′′ = ∆ = γ = 1, et ∆′ = 0 pour la TNG (comme dans la TGE.) Les valeurs inconnues de p et de k peuvent être déterminées en considérant le cas de la source ponctuelle et en comparant ces solutions avec celles de la solution statique à symétrie sphérique (voir Section 4.1). On trouve donc que p=0 k= 1 4 (5.5.52) L’équation du mouvement devient donc N  ms ma  d 2x N  ms  = ∑ − (r − rs ) α − ( 2 β + 2αγ ) ∑ [(r − rs ) • v s ]v s +  − ( 4∆ ′ − 4∆ + α ′′′) 2 3 r − rs dt  s =1  r − rs a =1 r − ra     1  ms dv s N 3l 2 l 2 [(r − rs ) • (r − rs )](r − rs ) N l 2 l 2 (r − rs )  +  4∆ + χ  + −∑ a s + ∑ s a3 3 5 3 2  r − rs dt a =1  r − rs r − ra a =1 r − rs r − ra 1  ms 3  ms  +  α ′′′ + 12∆ ′  (r − rs )[(r − rs ) • v s ]2 +  4∆′ + χ  (r − rs )[(r − rs ) • v s ] − 5 2 2  r − rs 3   r − rs  − (4∆ ′′ + 2α ′′) + (4∆ + 4∆ ′) − (2γ + α ) −γ ms r − rs 3 ms r − rs ms r − rs ms r − rs 3 3 3 2 (r − rs ) v s + α ′∑ a >s ms ma  (r − rs ) (r − rs )   + + rs − ra  r − rs 3 r − ra 3    (r − rs )( v s • v) − (4∆ + 4∆′) [ v s • (r − rs )]v + 2(γ + α ) ms r − rs ms r − rs 3 3 (5.5.53) [ v • (r − rs )]v s − [(r − rs ) • v]v −   v 2 (r − rs )   Nous avons remplacé dans l’Éq. (5.5.53) le paramètre de la source, f n2 , par le paramètre l 2 pour nous éviter une n quelconque confusion avec nos résultats futurs. L’Éq. (5.5.53) est l’équation du mouvement pour une particule d’essai (photon) qui se déplace dans champ gravitationnel non symétrique ayant une métrique à N sources (au quatrième ordre en approximation.) On veut maintenant étudier les effets que les différents termes dans l’équation du mouvement ont sur l’accélération d’un système à deux corps. On considère un corps massif lié gravitationnellement à une source externe mais séparée par une distance beaucoup plus grande que le rayon du corps massif. Le corps massif sera divisé en N éléments (où N est grand) dont la particule d’essai en est un. Un repère de référence est choisit pour être le repère inertiel du corps externe, de sorte qu’on puisse considérer sa vitesse et son accélération comme étant nulles. On considérera l’approximation dans laquelle le corps massif est de forme sphérique et est maintenue en équilibre thermique. L’orbite qui lie les deux corps sera approximativement circulaire.
  • 197 5.5 L’Effet Nördverdt Si on prend maintenant l’Éq. (5.5.53), on peut isoler des sommations les quantités reliés au corps externe et réécrire l’équation du mouvement comme  r −r d 2x  ext = −mext  2 2 dt  r − rext   mext α − 2( β + αγ ) r − rext    l 4 r − rext r − rext [(r − rext ) • v]v   ext − γ v2 + 2(α + γ ) −2 + 6 3 mext r − rext r − rext  r − rext     r − rext 1 1  + ∑ ma mext 2( β + αγ ) +α′ 3 r − rext r − rext rext − ra a   − 2( β + αγ ) +3 r − ra l2l2 1 − a ext r − rext r − ra 3 ma mext [(r − ra ) • (r − rext )] r − rext r − ra 3 r − rext 5 −  r −r r − ra  ext  − +  r − rext 3 r − ra 3     [(r − r ) • (r − r )] r − r ext ext a 3 + 3 5  r − rext r − ra  r − rext 1 r − ra 3 r − rext 5 − 1 r − rext 3  r − ra    + 5 r − ra      r − rl [(r − rl ) • v l ] r − rl 1  − + ∑ ml − α − ( 4∆′ − 4∆ + α ′′′) + ∑ ma 2( β − αγ ) 3 3 3  r − rl r − rl r − rl r − ra l a     [(r − r ) • (r − r )] r − r r − rl 1 3 l a a + 3 5 5  r − rl r − ra r − rl r − ra    + 3   − l 2l 2 l ext ml ma + (5.5.54) r − ra  r − rl 2 1 1  r −r  − [ 2(2∆ ′ + α ′′) + γ ] v − ∑ ma r − r  l 3 + 3 3 l 2 a ≠l  r − rl  r − ra  r − rl l  −v 1 r − rl 3 {(2γ + α )[ v l • (r − rl )] − 2(α + γ )[ v • (r − rl )]} + 1  1 dv l  3   r − rl +  4∆ − χ  +  α ′′′ + 12∆ ′  [(r − rl ) • v l ] 2 + 2  r − rl dt  2 r − rl   dv  1  r − rl   +  4∆ ′ + χ  (r − rl ) • l  − 2  r − rl 3  dt    − 4(∆ + ∆ ′) 1 r − rl 3   {[ v • (r − rl )]v l − (r − rl )( v l • v )}   En libellant les particules d’essais comme i-ème élément du corps, on peut écrire les dénominateurs dans une forme compacte en utilisant la notation suivante r i − r j = r ij (5.5.55) Les vecteurs vitesse, v a, peuvent aussi être développés comme v a = v ext + (v a)int (5.5.56) où v ext nous réfère au mouvement du centre de masse du corps massif autour du corps externe, et (v a)int est la vitesse de l’élément “a” autour du centre de masse du corps massif. On peut définir le vecteur position du centre de masse pour le corps massif comme
  • 198 5 Les Équations du Mouvement R= ∑ mi ri i ∑mj (5.5.57) j Alors, on peut développer r i − r ext selon r i − r ext = ∑ ml ril l ∑m j + Ro (5.5.58) j où Ro = R − r ext . En traitant (∑l ml r il )/(∑ j mj ) comme étant petit, on peut utiliser le développement binomial sur |r i − rext|−1 à l’ordre R o−3 |r i − r ext|−1 = 1 − Ro  ril • R o   ∑∑ ml mk ril • rik 3 ∑ ml ril • R o ∑ mk rik • R o 3   Ro  − 1 l k k + ... + l 3 5 mj 2 ∑ m j ∑ ms Ro 2 m j ∑ mn Ro ∑ ∑ ∑ ml   l j j s j De façon similaire, les autres termes peuvent être développés à l’ordre l 4 . La masse du corps sera dénoté par M, où ext M= Ro−3 (5.5.59) n dans les termes de masse et R o−5 dans les termes ∑ mj j (5.5.60) Puisqu’on suppose, comme approximation, que l’orbite pour les deux corps est circulaire, alors R o • v ext = 0 (5.5.61) Aussi, au second ordre, l’accélération externe du corps est donnée par g ext = − mext R o 3 Ro (5.5.62) Maintenant, il est possible de décomposer les vecteurs position et les vitesses internes en composantes parallèle (||) et perpendiculaire (⊥ ) par leurs projections sur g ext. On a, à ce point, une expression pour l’accélération au quatrième ordre du i-ème élément du corps massif. On peut transformer ceci en l’accélération du corps en entier en définissant le vecteur accélération, a , comme suit a= 1 M ∑ mi ai (5.5.63) i Alors, à cause de l’approximation de symétrie sphérique et d’équilibre thermique, il n’y aura aucune dépendance vectorielle interne sur les termes internes sommés (c’est-à-dire, les accélérations internes seront sommées à zéro.) Après avoir retirer ces termes, l’expression pour a devient
  • 199 5.5 L’Effet Nördverdt a = α g ext − 2( β + αγ )g ext mext Ro g M 2 + γ g ext vext − 2l 4 − α ′g ext − 2(α + γ ) ext ext 6 Ro Ro M Ro ∑ mi v i vi || + i  rik ⊥ v i v v • rik vext   + ∑ mi mk (8∆ − 2α ′′′ − 4γ − α ) ext + (8∆′ + α + α ′′′) 3 + 3 M rik M  rik  i,k   + (−2γ + 8∆ ′ + 4α ′′) vi ⊥ rik 3 rik 3  rik ⊥ (rik • v k )rik  + 2 α ′′′ + 12∆′  + 5 rik 2    (5.5.64)  1 1  g rik || rik  1 1  g +  4∆ ′ + χ + β + αγ − α ′  ext +  4∆ − χ − 2 β − 2αγ  ext + 3 2 2  M rik 2    M rik   l2 1 rij|| rij 1 R  + ∑  ext 2 l 2j mi 3  o − 3 2 rij  Ro rij i , j  M Ro   +2   + γ g ext m v 2 + i i  M2   g ext 1 mi m j {vext [γ rij vi⊥ + (α + γ ) v i rij ⊥ ] + v ext (α + γ )(3rij || v i || − rij • v i )} 2 Ro M  Avec le corps massif en équilibre, les vecteurs position et vitesse peuvent être considérés indépendants de la direction. On peut donc former des moyennes de direction sur le corps, trouvant ainsi ri2 || k = 1 1 3 3 rik (5.5.65) = 2 1 3 rik (5.5.66) rik ⊥ rik || =0 (5.5.67) 3 rik ri2 ⊥ k 3 rik 3 rik vk = 0 (5.5.68) rik = 0 (5.5.69) vi⊥ vi|| = 0 (5.5.70) 1 vi2 = vi2 || 3 (5.5.71) En substituant les moyennes données par les Éqs. (5.5.65)-(5.5.71) dans l’Éq. (5.5.64), on obtient
  • 200 5 Les Équations du Mouvement a = α g ext − 2( β + αγ )g ext + g ext M Ro M M 2 + γ g ext vext − 2l 4 − α ′g ext + ext 6 Ro Ro Ro  1  1 1   1    mi mk +   4∆ ′ + χ + β + αγ − α ′  +  4∆ − χ − 2 β − 2αγ   ∑ 3 2 2   2   i,k rik   (5.5.72)  2   + γ − (α + γ )  ∑ mi vi2  3   i  Puisqu’on a seulement besoin des vitesses sur le côté droit de l’Éq. (5.5.72), et ce, au second ordre, on peut utiliser le théorème du viriel. Pour les vitesses internes, on a 1 ∑ mi vi2 = 2 ∑ i mi m j i, j (5.5.73) rij et aussi pour les vitesses externes 2 vext = mext + M Ro (5.5.74) On a donc, de l’Éq. (5.5.73), le résultat suivant qui représente l’équation du mouvement valide pour l’Effet Nördverdt  m +M M a = g ext α − (2 β + 2αγ − γ ) ext −α′ Ro Ro  1  1 +  (8∆ ′ − 2 χ − 10 β − 10αγ − α ′ + 24∆ + γ − 2α )  6  M  mm ∑ ri k ik i,k   − 2l 4 R o ext 6  Ro   (5.5.75) Le terme α représente l’accélération newtonienne classique, tandis que le terme (1/M)(∑i,kmimk/rik) est l’Effet Nördverdt. On note que les paramètres PNP standards impliqués possèdent les mêmes valeurs que dans la TNG. Alors, l’Effet Nördverdt est prédit nul dans la TNG. Ceux-ci sont les seules termes en Ro−2 qui sont présents. Cependant, on trouve des termes d’ordre Ro−3. Ces termes sont des termes de force des marées (relativistes), présents autant dans la TNG que dans la TGE. Finalement, on voit la présence d’un nouveau terme 2 l 4 Ro/Ro6. C’est un terme de très courte portée, diminuant en ext Ro−5. Cependant, il peut être important puisqu’il dépend seulement de la source extérieure. On a étudié la forme des équations du mouvement dans la TNG pour le cas considérant les particules comme des sources ponctuelles. Le résultat a ensuite été modifié au cas où deux corps sont liés gravitationnellement dont un corps est étendue. On a trouvé, en plus du terme espéré de Nördverdt, prédit à disparaître, la présence de termes de forces de marées (relativistes) et un terme de très courte portée, ∼1/Ro5, provenant de nouveaux termes dans la métrique non symétrique. 12,15 Le rapport de la masse gravitationnelle et inertielle pour un corps général peut être supposé de la forme −1 −3 3 3 t 3 3 mG ∫ ρ (x) ρ (x′) x − x′ d x′d x + ζ A ∫ ρ (x)S (x′) x − x′ d x′d x = 1+ η 3 3 mI ∫ ρ ( x )d x ∫ ρ ( x )d x (5.5.76) mG =1+∆ mI (5.5.77) ou bien où η est le paramètre de Nördverdt et ζ est un nouveau paramètre mesurant la contribution de la densité de courant S t à la masse gravitationnelle. Puisque η = 0 et ζ = 0 dans la TNG, comme dans la TGE, le principe d’équivalence n’est pas violé pour des corps massifs.
  • 201 5.6 Les Équations du Mouvement des Particules d’Essais avec Moment Angulaire de Rotation 5.6 Les Équations du Mouvement des Particules d’Essais avec Moment Angulaire de Rotation Les composantes du moment angulaire de rotation (spin) sont définis par l’équation suivante6 S µν = ∫ (x µ − X µ )T ν t d 3 x − ∫ ( x ν − X ν ) T µ t d 3 x (5.6.1) qui possède les propriétés de transformation des composantes d’un tenseur. On suppose qu’une particule d’essai est une particule possédant la propriété d’être un pôle-dipôle ; les contributions polaire et dipolaire des sources Tµν et Sµ intégrées, de la particule d’essai, sont non nulles. L’équation de mouvement du moment angulaire de rotation se trouve donc être DS µν DSνρ DS µρ + u µu ρ − uνuρ + u µu ρ (Hρσ Cνσ − Hνσ Cρσ ) − uνu ρ (Hρσ Cµσ − HµσCρσ ) = 0 Ds Ds Ds (5.6.2) C µν = u t ∫ ( x µ − X µ )Sν d 3 x (5.6.3) où Ici, x t − X t = 0. Il suit de l’Éq. (5.6.3) que C tν = 0. De plus, dans l’Éq. (5.6.2), on a notre règle de dérivation, définit comme DS µν dS µν µ ν ≡ + ρσ S ρν u σ + ρσ S µρ u σ Ds ds { } { } (5.6.4) Les équation du mouvement d’une particule d’essai seront une modification de l’Éq. (5.1.45) jusqu’au termes d’ordre S . Les effets du moment angulaire de rotation sur le moment orbital de la particule seront négligeables (et ne seront pas d’intérêt dans la physique expérimentale.) Si on pose ν = t dans l’Éq. (5.6.2), qu’on multiplie par uν /u t, qu’on pose ensuite µ = t dans l’Éq. (5.6.2), qu’on multiplie par uµ /u t, pour ensuite, finalement, additionner les équations résultantes et des substituer dans l’Éq. (5.6.2), on obtient la forme covariante des équations du mouvement du moment angulaire de rotation µν DS µν u µ DSνt uν DS µt + t − t =0 Ds u Ds u Ds (5.6.5) Si on pose µ = i, ν = t dans l’Éq. (5.6.5), on obtient une identité triviale ; on voit que trois des six équations (5.6.5) sont indépendantes. On doit donc imposer une condition additionnelle. La condition de Corinaldesi-Papapetrou est donnée par6,16 S ti =0 (5.6.6) i dans le repère au repos d’un corps central, de sorte que dans ce système, le point X est le centre de masse, et la condition de Pirani est donnée par6,17 S µν uν = 0 i (5.6.7) ti i qui mène directement à u = 0 dans le repère au repos de la particule d’essai et ceci implique que S = 0 et que X est le centre de masse (dans le repère au repos de la particule.) Cette condition additionnelle retire toute ambiguïté dans le choix du point X i pour la particule d’essai avec un mouvement angulaire de rotation. Ce sera plus convenable, dans ce qui suit, d’utiliser la condition de Pirani, l’Éq. (5.6.7). De l’Éq. (5.6.7), on obtient Du DS µν u ν + S µν ν = 0 Ds Ds (5.6.8) Avec la condition exprimée par l’Éq. (5.6.7), et en utilisant l’Éq. (5.6.8), les équations du mouvement pour le moment angulaire de rotation, l’Éq. (5.6.5), prennent la forme suivante Du ρ DS µν = (uµ S νρ − uν S µρ ) Ds Ds (5.6.9) γ (µν) uµ uν = 0 (5.6.10) où on a utilisé la relation suivante où γ (ρµ) g (ρν) = δ µν .
  • 202 5 Les Équations du Mouvement De l’Éq. (5.1.45), on a que 2 Du µ l p µ ν H νu = mp Ds (5.6.11) ou bien Duµ = Ds l2 p H[µν] uν (5.6.12) { } mp (5.6.13) où Du µ Ds ≡ du µ ds ρ + µσ u σ u ρ En substituant l’Éq. (5.6.12) dans l’Éq. (5.6.9), on obtient DS µν = (u µ S νρ − u ν S µρ ) Fρ Ds (5.6.14) où Fµ = l2 p mp H[µν] u ν (5.6.15) et F µ = γ (µν)Fν . De l’Éq. (5.6.15), il suit que u µ Fµ = 0 (5.6.16) On voit que dans la TNG, la nouvelle force vectorielle TNG, proportionnelle à la partie antisymétrique de tenseur de Ricci, R[µν], agit comme une force externe et rend DS µν /Ds non nulle. Puisqu’on pense que la densité de charge de la TNG, S t, va être non nulle pour une particule d’essai, comme un gyroscope en orbite autour de la Terre, et que cette force ne peut être ignorée, on doit inclure la contribution de Fµ dans nos calculs. 5.7 Le Problème à Trois Corps À la Section 5.4, les équations du mouvement, à l’ordre post newtonien, d’un système de corps en interaction gravitationnelle, et ce faiblement, ont été données dans la TNG. Cette analyse a montrée que la masse inertielle et la masse gravitationnelle sont proportionnelles dans la TNG, donc aucune correction à l’orbite de la Lune due à l’Effet Nördverdt (Section 5.5) peut être observée. La loi de force dans la TNG n’est pas en accord avec le principe d’équivalence gravitationnelle (dans le cas à champ faible) à l’ordre 1/R 3, pour R, la distance moyenne de deux corps qui tombent à la source externe du champ gravitationnel. Ceci n’affecte pas les termes à l’ordre de la loi de force de Newton [c’est-à-dire, à l’ordre O (1/R 2)] et produirait probablement des effets trop faibles pour être observés dans une orbite lunaire. Cependant, un autre type d’effet fut ignoré. Les termes d’interactions entre trois corps dans les équations du mouvement de la TNG sont de beaucoup plus complexes qu’ils le sont dans la TGE. En particulier, les termes de la TNG qui sont dus aux actions combinées de la Terre, du Soleil et de la Lune peuvent être attendus à perturber l’orbite lunaire. Il y a un mécanisme, cependant, par lequel de tels termes peuvent être renforcés raisonnablement et pourraient grandir davantage pour être observés. Les équations du mouvement pour N corps, à l’ordre post newtonien, dans la TNG sont déjà connues. En se référant à un système de coordonnées post newtoniennes habituellement considérées, la coordonnée de tri-accélération diffère de celle calculée en utilisant la TGE par l’Éq. (5.4.23). On spécialise maintenant au cas avec trois corps (Soleil, Terre, et Lune). Laissons la coordonnée du déplacement du Soleil (S) à la Terre (T) est représentée par le vecteur R (ayant la grandeur R ) et laissons la coordonnée du déplacement de la Terre à la Lune (L) être donnée par r (avec une grandeur r) (voir Figure 5.7.1).
  • 203 5.7 Le Problème à Trois Corps T r ϕ R L R+r S Figure 5.7.1 : Description des coordonnées du système Soleil (S), Terre (T) et Lune (L). De plus, ϕ est l’angle entre r et R. On utilise le développement binomiale pour simplifier les expressions du genre |R + r|n. L’Éq. (5.4.23) devient18 k aL TNG = 1 mL k   4 4 2 2 2 2 r 2( mL l T + mT l L + mL l L l T + mT l T l L ) 6 +  r  +  Rk 3 2 Rk  l S ( mT l 2 + mL l 2 )  3 3 − 3(r • R ) 5 3  + L T 2 r R  r R   (5.7.1) k 1 rk r k  1  r  +  mT l 2 l 2 + mS l 2 l 2 − mL l 2 l 2   − 3 3 − 3(r • R ) 3 5 + 9(r • R) 2 5 5   + L S L T T S 2 2 r R r R r R       1  + O 3  R  Le terme O(1/R 3) est là seulement pour permettre les évaluations d’erreurs. Si on soustrait le mouvement de la Terre, les contributions de la TNG dues à l’accélération de la Terre peuvent être calculées à partir de l’Éq. (5.4.23), et sont k aL TNG =− + 2 rk [mT l 4 + mL l 4 − ( mT + mL )l 2 l 2 ] 6 + L T T L mT r 3 l2 Rj  S ( mL l 2 + mT l 2 ) 3 3  δ T L 2 mT r R   jk −3 r jrk  + r2   (5.7.2)  1  + O 3  R  k Donc, en définissant aL TNG k − aT TNG k = a LT k aLT TNG TNG , on obtient = 2(mT − mL )(l 2 − l 2 ) d TL T L rk r6 −  Rk 3 Rk  − ( mT + mL )l 2 d TL  3 3 − 3(r • R ) 5 3  + S 2 r R  r R   (5.7.3)  1  + O 3  R  où le paramètre dipolaire de Krisher est définit par l’équation suivante3,18 d AB = l2 l2 A − B mA mB (5.7.4)
  • 204 5 Les Équations du Mouvement On définit maintenant l’angle entre r et R comme étant ϕ (voir Figure 5.7.1), qui sera dépendant du temps : ϕ = ϕ (t). Les équations du mouvement peuvent être réécrites comme && = a LT r TGE r 1 h2 1  1  • + 2 5 ( mT + mL )(l 2 − l 2 ) d TL + 3 − 3 3 2 (mT + mL )l 2 d TL cos ϕ + O 3  T L S r r r r R R  & h = r × a LT TGE − ˆ 3 z  1  ( mT + mL )l 2 d TL sin ϕ + O 3  S 2 2 2r R R  (5.7.5) (5.7.6) ˆ où h = r × vLT et z = (r × R)/(rR) lorsque ϕ = π /2 (un vecteur unitaire pointant vers l’extérieur du plan orbital.) La partie TGE de l’accélération peut être séparée en une partie newtonienne et une partie post newtonienne en utilisant a LT TGE = − mT  1  + a PN + O 3  r R  r 3 (5.7.7) où PN dénote la partie post newtonienne. Les Éqs. (5.7.5) et (5.7.6) deviennent && = − r mT r2 r 1 h2 1  1  + a PN • + 2 5 (mT + mL )(l 2 − l 2 )d TL + 3 − 3 3 2 ( mT + mL )l 2 d TL cos ϕ + O 3  T L S r r r r R R  ˆ 3 z  1  & h = r × a PN − (mT + mL )l 2 d TL sin ϕ + O 3  S 2 2 2r R R  (5.7.8) (5.7.9) De plus, l’accélération sera regroupée en des termes dépendants du temps, dérivables d’un potentiel, et en des termes perturbatifs dépendants, eux aussi, du temps. On peut donc écrire && = − r dV (r ) h 2 1  1  + 3 − 3 3 2 (mT + mL )l 2 d TL cos ϕ + O 3  + perturbati ons TGE S dr r r R R  ˆ 3 z  1  & h=− (mT + mL )l 2 d TL sin ϕ + O 3  + perturbations TGE S 2 2 2r R R  (5.7.10) (5.7.11) avec dV (r ) dVPN ( r ) dVTNG (r ) d  mT  = + +   dr dr dr dr  r  (5.7.12) et le potentiel gravitationnel de la TNG définit par VTNG ( r ) = 1 1 ( mT + mL )(l 2 − l 2 )d TL T L 2 r4 (5.7.13) Les termes perturbatifs TGE seront ignorés car ils ont été calculés ailleurs. Maintenant, on développe en perturbations r= ro + δr (5.7.14) h = ho + δ h (5.7.15) où δ r et δ h sont de petites perturbations autour des valeurs d’équilibre r o et h o. À l’ordre zéro, à l’équilibre, on obtient 2 ho ro3 = dV (ro ) dr (5.7.16) Au prochain ordre perturbatif, on obtient h2  d 2 (δ r )  d 2V (ro ) 1 1 = − − 3 o δ r + 2(h o • δ h) 3 − 3 3 2 ( mT + mL )l 2 d TL cos ϕ S 2 2 3 dt dr ro  ro ro R    (5.7.17)
  • Appendice Formalisme Port Newtonien 205 ˆ d (δ h) 3 z =− ( mT + mL )l 2 d TL sin ϕ S dt 2 ro2 R 2 (5.7.18) En résolvant l’Éq. (5.7.17) et en substituant dans l’Éq. (5.7.16), on obtient d 2 (δ r ) dt 2 2 + ω Pδ r = 3   h ( mT + mL )l 2 d TL  2 o − 1 cos ω ′t S  r ω′   o  (5.7.19) d 2V ( ro ) 1 ro3 R 2 (5.7.20) et 2 ωP = dt 2 +3 2 ho ro4 ˆ où ϕ = ω′ t avec ω′ une constante (h o est dans la direction z .) Notons aussi que ω′ = ω L − ω T (5.7.21) par définition. Appendice Formalisme Post Newtonien Pour un système de particules dans la mécanique de Newton dans laquelle M , r , et v sont les valeurs typiques des masses, distances entre elles, et vitesses des particules, l’énergie cinétique ( 1 M v 2 ) est du même ordre en grandeur que l’énergie 2 potentielle typique (G M 2 r ) .14 On obtient donc que v2 ~ GM r (5.A.1) L’approximation post newtonienne est une méthode qui est utilisée pour obtenir les déplacements des particules pour une puissance supérieure à v 2 (ou G M r ) (les deux supposées petites) qu’on puisse obtenir dans la théorie de Newton. C’est donc un développement en puissances de v 2 , où la théorie de Newton est au plus bas ordre. La solution statique à symétrie sphérique extérieure (voir la Section 4.1) nous amène à espérer que le système de coordonnées dans lequel les composantes de la métrique non symétrique, gµν, sont presqu’égales aux composantes de la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski, η µν, peut être trouvé. Les corrections apportées aux composantes de la métrique peuvent être développées en puissances de v 2 . Pour la partie symétrique de la métrique, on espère que11 2 g tt = +1 − g tt − ... (5.A.2) 3 g (ti) = − g (ti) − ... (5.A.3) 2 g (ij) = − δ ij − g (ij) − ... n (5.A.4) n où η tt = +1, et g µν est de l’ordre de v N. Des puissances impaires de v sont présentes dans g (ti) parce que g (ti) doit changer de signe sous une inversion temporelle pour que ds 2 reste invariant. Dans la TNG, on a dτ 2 = ds 2 = g (µν) dx µ dx ν c2 (5.A.5) Le déplacement des composantes g [ti] et g [ij] n’est pas similaire à leur contrepartie symétrique. De sorte à déterminer quelles sont les puissances qui ont une conséquence physique, on doit considérer notre densité de courant S µ qui est donnée par (voir Section 3.5)
  • 206 5 Les Équations du Mouvement S µ = − g f 2n u µ (5.A.6) On considère qu’une seule famille de baryons (∑i fi 2 n i = f 2n). Le déterminant −g peut être développé comme 2 −g = 1 + g + ... (5.A.7) Avec n (x) ∼ N r 3 ~ M m r 3 , où M est la masse typique d’un baryon. On obtient 2  Sµ ∼ f  M m  r3   µ u   (5.A.8) et donc 0 2 1 3 S t = + S t + S t + ... S i = + S i + S i + ... (5.A.9) (5.A.10) n où S µ ~ ( M r 3 )v N . En calculant les dérivées, les échelles de temps et de distance font fixées par r et r v , dans les dérivées temporelle et spatiale sont à l’ordre ∂t ~ v r ∂i ~ 1 r (5.A.11) En utilisant l’Éq. (3.3.19) (g [µν ],ν = 4π S µ), on obtient g [ti], i = 4 π S t et g[ij], j + g [it], i = 4π S i et les Éqs. (5.A.6)-(5.A.11) donnent 2 4 3 5 g [ti] = − g [ti] − g [ti] − ... (5.A.12) g [ij] = − g [ij] − g [ij] − ... (5.A.13) g µν g µρ = gνµ g ρµ = δ (5.A.14) En utilisant il est possible de trouver les développements pour g µν et g ν ρ µν 2 g tt = 1 − g tt − ... 3 (5.A.15) 5 g (ti) = − g (ti) − g (ti) − ... 2 (5.A.16) 4 g [ti] = − g [ti] − g [ti] − ... (5.A.17) 3 g (ij) = −δ ij − g (ij) − ... 3 (5.A.18) 5 g [ij] = − g [ij] − g [ij] − ... (5.A.19) et 2 g tt = 1 − g tt − ... 3 (5.A.20) 5 g (ti) = − g (ti) − g (ti) − ... (5.A.21)
  • 207 Bibliographie 2 4 g [ti] = − g [ti] − g [ti] − ... (5.A.22) 2 g (ij) = −δ ij − g (ij) − ... 3 (5.A.23) 5 g [ij] = − g [ij] − g [ij] − ... (5.A.24) On obtient aussi 2 2 2 g tt = − g tt 2 3 3 4 2 3 2 2 (5.A.25) 3 g [ij] = − g [ji] g (ti) = g (it) 4 2 g (ij) = − g (ij) g [ti] = + g [ti] 2 (5.A.26) 2 g [ti] = g [it] + g tt g [it] − g (ij) g [jt] (5.A.27) Le développement des composantes de la métrique non symétrique g µν comme donné par les Éqs. (5.A.15)-(5.A.19) et (5.A.20)-(5.A.24) nous amènent à une solution consistante des équations du champ non symétrique. Bibliographie J.W. Moffat, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991), pp. 523-557. J.W. Moffat, dans Proceedings of the 7 th International School of Gravitation and Cosmology, Erice, Sicily. Ed. V. de Sabbata (World Scientific, Singapore, 1982), pp. 127-180. S.W. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972). C. Misner, K.S. Thorne, et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity (Clarendon Press, Oxford, England, 1992). A.S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 3e édition (Chelsea Publishing Co., 1975). Références 1. A.S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 3 e édition (Chelsea Publishing Co., 1975). 2. J.W. Moffat, J. Math. Phys. 21, 1798 (1980).* 3. J.W. Moffat, Phys. Rev. D 35, 3733 (1987) ; 36, 3290(E) (1987). 4. R.B. Mann et J.W. Moffat, Can. J. Phys. 59, 1723 (1981) ; 61, 656(E) (1983). 5. E.J. Vlachynsky, Can. J. Phys. 70, 760 (1992). 6. J.W. Moffat et J.R. Brownstein, Phys. Rev. D 41, 3111 (1990). 7. G. Kunstatter et J.W. Moffat, Phys. Rev. D 19, 1084 (1979). 8. T.P. Krisher, Phys. Rev. D 32, 329 (1985). 9. L.D. Landau et E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon, Oxford, England, 1962). 10. C.M. Will, Theory and Experiment in Gravitationnal Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1981) ; Pour une revue récente, voir : C.M. Will, dans Gravitation 1990, A Banff Summer Institute, Banff (Alberta) Canada. Eds, R.B. Mann et P. Wesson (World Scientific, Singapore, 1991).
  • 208 11. R.B. Mann et J.W. Moffat, Can. J. Phys. 59, 1592 (1981).* 12. J.W. Moffat et E. Woolgar, Phys. Rev. D 37, 918 (1988). 13. C. Misner, K.S. Thorne, et J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). 14. S.W. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972). 15. J. C. McDow et J.W. Moffat, Can. J. Phys. 60, 1545 (1982).* 16. E. Corinaldesi et A. Papapetrou, Proc. R. Soc. (London) A 209, 259 (1951). 17. F.A.E. Pirani, Acta. Phys. Pol. 15, 389 (1956). 18. E. Woolgar, Phys. Rev. D 42, 289 (1990).
  • 6 Le Déplacement des Particules d’Essais 6.1 Le Déplacement d’une Particule d’Essai dans un Champ Statique à Symétrie Sphérique Rappelons qu’une solution statique à symétrie sphérique des équations du champ dans le vide dans la TNG a été obtenue en utilisant les coordonnées sphériques x0 = t, x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ, et a donné les composantes non nulles de la métrique non symétrique (voir Section 4.1)  l4 gtt = C(r) = 1 + 4  r   2m  1 −   r    2m  grr = −A(r) = − 1 −  r   (6.1.1) −1 (6.1.2) g θθ = −r 2 (6.1.3) g ϕϕ = −r 2sin2θ (6.1.4) et g [tr] = −D(r) = m l2 (6.1.5) r2 Toutes les autre composantes de la métrique non symétrique, gµν, sont nulles, et la solution satisfait la condition à la frontière que g(µν) → ηµν et g [µν] → 0 comme r → ∞, où ηµν sont les composantes de la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski : ηµν = diag(+1, −1, −1, −1). { } λ Les composantes non nulles du symbole de Christoffel de la TNG, µν , sont définies par les Éqs. (5.1.20) et (5.1.22) λ {µν } = 1 γ 2 (λρ ) (g(µρ ),ν + g(ρν ),µ − g (µν ),ρ) (6.1.6) qui suivent des équations de compatibilité des composantes de la métrique { } { } ρ ρ g (µν )|σ ≡ g(µν ),σ − g(ρν ) µσ − g(µρ ) νσ = 0 où le solidus “|” signifie qu’on dérive de façon covariante par rapport aux composantes composantes Γ λµν. De plus, les composantes du tenseur mixte γ ( µν ) sont défini par la relation γ (ρµ )g (ρν ) = δ µν 209 (6.1.7) λ {µν } et non par rapport aux (6.1.8)
  • 210 6 Le Déplacement des Particules d’Essai Alors, en calculant les symboles de Christoffel à la manière de l’Appendice du Chapitre 4, à l’aide des Éqs. (6.1.6) et (6.1.8), on obtient (en choisissant le même système de coordonnées que pour la solution statique à symétrie sphérique) Composantes Invariantes (Γ txx) { } = 2CC′ C { } = 2 A′ ′ { } = 2AA r {θ θ } = − A {ϕ ϕ } = − rsinθ A Composantes Symétriques (Γ txy = Γ tyx) Composantes Antisymétriques (Γ txy = −Γ tyx) t tr r tt r rr r r { θθ } = 1 r r {ϕθϕ } = − sinθ cosθ { ϕϕ } = − 1 r ϕ = − cot θ {θ ϕ } r (6.1.9) Le calcul de R[tr] donne [voir l’Appendice du Chapitre 4, Éqs. (4.A.33) et (4.A.41)] 2 R[tr] = − d D D d  D d 4  ln( r 4 )  + [ln ( r 4 )]  [ln ( r )] + dr  2 A 4 A dr   8 A  dr  (6.1.10) que l’on peut exprimer de la façon suivante R[tr] = − 2 d D D  −6 2 dr  rA  r A (6.1.11) En insérant les Éqs. (6.1.1)-(6.1.5), on obtient R[tr] = − 4 l 2 ms s (6.1.12) r5 où ls est la valeur de l d’une particule ponctuelle agissant comme source. En utilisant les relations inverses, γ γ rr = − 1/A, il suit que tt = 1/C et 1 tt l 2m γ R[tr ] = −2 s 5s 2 Cr (6.1.13) 1 rr l2m γ R[ rt ] = −2 s 5s 2 Ar (6.1.14) et Comme on l’a dit précédemment, on considère qu’un corps central produit un champ gravitationnel ayant une symétrie sphérique. On utilise la solution obtenue aux Éqs. (6.1.1)-(6.1.5) pour une particule d’essai qui se déplace selon une trajectoire du genre temps (ds2 = 1). En substituant les symboles de Christoffel de la TNG, l’Éq. (6.1.9), et les résultats obtenus des Éqs. (6.1.13) et (6.1.14) dans les équations du mouvement, l’Éq. (5.1.45)
  • 6.1 Le Déplacement d’une Particule d’Essai dans un Champ Statique à Symétrie Sphérique { } 2 du µ 1 l p ( µρ) µ + ρσ u ρ uσ = γ R[ρν ](Γ) uν = F µ dτ 2 mp 211 (6.1.15) on obtient d 2t dτ d 2r dτ 2 2 + C ′  dt  dr  2 K  dr     +  =0 C  dτ  dτ  Cr 5  dτ  1 A′  dr  r  dθ  r sin θ   −   − A  dτ  A 2 A  dτ  2 + 2 d 2θ dτ 2 d 2ϕ dτ 2 (6.1.16) 1 C ′  dt  2 K  dt   dϕ    −   +  =0 dτ  2 A  dτ  Ar 5  dτ   2 2 (6.1.17) + 2  dθ  dr   dϕ     − sin θ cos θ   =0 r  dτ  dτ   dτ  (6.1.18) + 2  dϕ  dr   dθ  dϕ     + 2 cot θ   =0 r  dτ  dτ   dτ  dτ  (6.1.19) 2 où K = l 2 l 2 ( ms mp ) . s p Si on restreint l’orbite d’une particule d’essai est restreinte à un plan équatorial on choisit θ = π /2. Alors, les Éqs. (6.1.16)-(6.1.19) donnent les équations du mouvement dans la TNG d’une particule d’essai se dlacant dans un champ statique à symétrie sphérique C ′  dt  dr  2 K  dr     +  =0 C  dτ  dτ  Cr 5  dτ  (6.1.20) 1 A′  dr  r  dϕ  1 C ′  dt  2 K  dt    −   −   +  =0 2 A  dτ  A  dτ  2 A  dτ  Ar 5  dτ  (6.1.21) d 2t dτ d 2r dτ 2 2 + 2 + 2 d 2ϕ dτ 2 + 2 2  dϕ  dr     = 0 r  dτ  dτ  (6.1.22) où les termes contenant la constante K indiquent les nouveaux termes que procure la TNG. Maintenant, l’intégration de l’Éq. (6.1.22) donne l’équation de la conservation du moment angulaire r2 dϕ =J dτ (6.1.23) où J est une constante d’intégration, la grandeur du moment angulaire par unité de masse, et on obtient, du fait même, le même résultat que dans la TGE.1 L’intégration de l’Éq. (6.1.20) peut être exprimée dans la forme 1  d 2t dC dt  1 d  K  dr  C − +    = 0 C  dτ 2 dτ dτ  C dr  2r 4  dτ    (6.1.24) un résultat qui diffère de celui de la TGE seulement par le terme de droite dans le côté gauche de l’Éq. (6.1.24). On peut maintenant écrire l’Éq. (6.1.24) comme d  dt  d  K  C =   dτ  dτ  dτ  2r 4  (6.1.25) dt 1 K  = 1 + 4  dτ C  2r  (6.1.26) qui s’intègre pour donner2 alors que le résultat de la TGE est dt/d τ = k/C où k est une constante d’intégration. En substituant les Éqs. (6.1.23) et (6.1.26) dans l’Éq. (6.1.21), il suit
  • 212 6 Le Déplacement des Particules d’Essai d 2r dτ 2 1 A′  dr  J 2 1 C′  K  2K  K  1+ 4  + 1+ 4  = 0   − 3− 2 5  2 A  dτ  2 AC  Ar 2r  ACr  2r  2 + 2 (6.1.27) En multipliant l’Éq. (6.1.27) par 2 A(dr/d τ), on obtient d dτ 2   dr  2 J 2 1  K    A  + 2 − 1 + 4   = 0 C r 2r     dτ    (6.1.28) et, en intégrant l’Éq. (6.1.28), on trouve 2 2 J2 1  K   dr  A  + 2 − 1 + 4  = − E C r 2r   dτ  (6.1.29) où E est une constante d’intégration et le signe moins est choisit pour notre convenance. Des Éqs. (6.1.23), (6.1.26) et (6.1.29), on obtient   4     1 + l s   drs dt + 1 − 2ms       rs    rs4   rs2 1 1        = 2   2 J 2 rs     l4    2ms  K  s 1 + 4    1 + 2  − E 1 −  rs  2rs  rs         (6.1.30) Si on écrit l’élément de longueur au carré comme ds 2 = C(r) dt 2 − A(r) dr2 − r 2dθ 2 − r 2sin2θ dϕ 2 (6.1.31) où on pose, comme avant, θ = π / 2 ; on divise l’expression résultante par dτ 2 et qu’on utilise l’Éq. (6.1.26), on obtient 2 2 2  ds   dt   dr  2   − C   + A  + J = 0  dτ   dτ   dτ  (6.1.32) la même équation qu’on a obtenu à l’Éq. (6.1.29) lorsqu’on l’identification que ds 2 = E d τ 2, de sorte que ds / dτ est une constante. Pour des particules, E > 0, et pour les photons, E = 0. Si on substitue dr/dτ = (dr/dϕ )(dϕ /dτ ) dans l’Éq. (6.1.29), et qu’on utilise l’Éq. (6.1.23), puis qu’on intègre, on obtient la solution exacte pour le problème orbital2,3 ϕ (r )= ± ∫ A( r ) 2  1  K  E 1 r  2 1 + 4  − 2 − 2  J r   J C ( r )  2r    12 2 −1 2 dr (6.1.33) où seulement le terme (1 + K / 2r 4)2 diffère de la TGE (où il est unitaire). Ce terme est responsible du mouvement rétrograde additionnel apporté par la TNG à la précession de la périhélie de Mercure (voir les Sections 6.5 et 78). L’Éq. (6.1.33) nous donne la forme de l’orbite, c’est-à-dire, la relation de ϕ comme fonction de r. 6.2 Le Déplacement d’une Particule d’Essai Massive Dans le cas de deux particules ponctuelles massives, les équations du mouvement peuvent être dérivées en utilisant le développement post newtonien des équations du champ, en plus des lois de conservation en fonction de v/c. Au plus bas ordre, on obtient les équations du mouvement de Newton, tandis qu’à l’ordre post newtonien, on obtient2,4,5 (en coordonnées relatives) a=− où 2  M µ M (l 1 − l 2 ) d12 M M M µ µv2 3 µ 2 ˆ r ˆ ˆ r + 2 4 − v2 + 2 − 3 + ( v • r) 2 r + 4 3 (r • v) v − 2 3 (r • v ) v + 2 5 2 r r M 2 Mr 2 r r r r r     (6.2.1)
  • 6.2 Le Déplacement d’une Particule d’Essai Massive M = m1 + m 2 µ= 213 (6.2.2) m1 + m2 M (6.2.3) avec K12 = M (l12 − l22) d12 (6.2.4) et d 12 = 2 l1 l 2 − 2 m1 m2 (6.2.5) ˆ r = r12 = r r = r1 − r 2 (6.2.6) v = v1 − v2 (6.2.7) a = a1 − a2 (6.2.8) Dans la limite d’une particule d’essai, m 1 → 0 , l12 → 0, et l12/m1 ≠ 0, on obtient les équations du mouvement d’une particule d’essai de la TNG. La loi de force général pour deux particules ponctuelles satisfait la troisième loi de Newton, F12 = − F21, lorsque les coordonnées du centre de masse sont redéfini dans l’approximation post newtonienne. Lorsque v p = 0, pour l’accélération que subit une particule d’essai (se déplaçant initialement du repos) dans un champ statique à symétrie sphérique, donné par les Éqs. (6.2.1) et (6.2.2) on obtient le déplacement d’une particule d’essai massive ms ms2 l2  m  d 2r s = − 2 + 2 3 + 2 5 l2 − l2 s  p 2  s mp  dt r r r   (6.2.9) où “s” et “p” dénotent la source du champ et la particule d’essai, respectivement. Dans le cas de deux corps, l’accélération TNG, exprimée en fonction des coordonnées relatives x12 = x1 − x2, est donnée au premier ordre de l’approximation post newtonienne par k a12 TNG 2 = 2M (l 1 − l 2 ) d12 2 k r12 6 r12 + jk 2 j j 3 P l 1 Σ 2 − l 2 Σ1 2 12 3 2 r12 µ (6.2.10) où on a utilisé quelques-unes des Éqs. (6.2.2)-(6.2.3), et aussi P jk = δ 12 jk − k k ( x1j − x2j )( x1 − x2 ) x1 − x 2 2 (6.2.11) Dans le cas limite associé à une particule d’essai quelconque, on obtient k asp TNG = 2ms l 2 d sp s k rsp 6 rsp (6.2.12) L’accélération TNG entre deux particules, disons i et j, est donc donnée par l’Éq. (6.2.10) a TNG = 2 K ij c 2 ˆ r (6.2.13) a = ai−aj (6.2.14) r5 où on a rétabli les unités physiques, et où r= ri − rj et K ij = M(li2 − lj2)d ij (6.2.15) M = mi + mj (6.2.16)
  • 6 Le Déplacement des Particules d’Essai 214 6 Le Déplacement des Particules d’Essai d ij = 2 l2 l j i − mi m j (6.2.17) Etudions l’Éq. (6.2.13) dans le cas où on a deux fermions ou deux antifermions identiques (mêmes nombre quantiques.) Dans notre cas, on a l 2 = l 2j , et mi = mj, et on voit que l’accélération TNG, a TNG, disparaît identiquement dans l’ordre post i newtonien d’approximation. Une force attractive faible entre les fermions identique surviendra dans des ordres supérieurs d’approximation. Pour des antifermions, on a l 2 = −l 2 , et en choisissant l 2j = l 2 dans les Éqs. (6.2.13) et (6.2.15)-(6.2.17), i i i on obtient6 a TNG = 16 c 2 fi4 r5 (6.2.18) ˆ r où, pour une particule fermionique, on a posé li2 = fi2. Une conséquence du résultat obtenu dans la TNG, par le biais de l’Éq. (6.2.18), est qu’un proton tombe plus rapidement dans un champ gravitationnel qu’un antiproton! 6.3 Le Mouvement Gyroscopique Si on place des gyroscopes en orbite autour de la Terre, la précession de son vecteur moment angulaire de rotation (spin) peut être utilisée pour mesurer les fins détails du champ gravitationnel terrestre. On considérera donc que notre gyroscope est une particule d’essai ponctuelle. Nous poursuivons notre discussion de la Section 5.6 en se préoccupant maintenant de l’équation du mouvement pour les composantes du tenseur du moment angulaire de rotation obtenue de l’Éq. (5.6.14) DS ij = (u i S Ds jµ − u jS iµ ) Fµ (6.3.1) On définit un vecteur (spatial) S en coordonnées cartésiennes7 S = [Sx, S y, Sz] = [S 23, S 31, S 12] (6.3.2) Puisque T it est la densité d’impulsion dans la direction i, il suit de l’Éq. (5.6.1) que S est le vecteur du moment angulaire de rotation (spin) par rapport au point r = [X 1, X 2, X 3]. D’une façon alternative, on peut construire la densité vectorielle (à ne pas confondre avec le courant TNG) Sµ= 1 µνρσ ε u ν S ρσ 2 (6.3.3) et on définit S = [S 1, S 2, S 3]. Dans le repère au repos du gyroscope (u i = 0), les deux alternatives sont équivalentes. Maintenant, de l’Éq. (5.6.16) il suit que u t F t = −(u 1F1 + u 2F2 + u 3F3), et, alors, en fonction de l’Éq. (6.3.1) impliquant F i sont de l’ordre de v|S ||F|, tandis que les termes F t dans l’Éq. (6.3.1) sont d’ordre v|M | F t ≅ v 3|M ||F| et peuvent donc être négligés. De plus, on a que F i ≅ − F i. Alors, en utilisant l’Éq. (6.3.2), on peut écrire l’Éq. (6.3.1) pour un gyroscope se déplaçant à faible vitesse DS = (v • F)S − (v • S)F Dt (6.3.4) Nous avons trouvé une solution statique à symétrie sphérique dans la TNG que l’on exprime sous la forme (pour une masse agissant comme source) de l’élément de longueur au carré (voir Section 4.1)  l4 s ds 2 = 1 + 4  r  et  2ms  2 2  2ms  −1 2 1 − c dt − 1 −  dr − dΩ 2  r  r    (6.3.5)
  • 6.3 Le Mouvement Gyroscopique g[tr] = − l2 s 215 (6.3.6) r2 où ms est la masse de la source du champ gravitationnel statique à symétrie sphérique, donnée par ms = GM (6.3.7) c2 et dΩ 2 = r 2(dθ 2 + sin2θ d ϕ 2) (6.3.8) 2 et ls dénote la charge TNG de la source centrale. Pour des grandes valeurs de r , on obtient l’élément de longueur au carré en coordonnées isotropes  2ms l 4  2 2  2ms  2 2 2 s ds 2 = 1 − + 4 c dt − 1 − ( dx + dy + dz )  r r  r     (6.3.9) où r = x 2 + y 2 + z 2 . Les composantes antisymétriques, telles g [µν ], du tenseur non symétrique g µν qui possèdent des composantes non nulles sont données par g [ti] = − l 2 s xi (6.3.10) r3 On peut exprimer les coefficients de l’élément de longueur donné par l’Éq. (6.3.9) de la façon suivante  2m l 4  s γ = 1 − s + 4   r r    −1 tt  γ (ij) = − 1 −  2ms  ij δ r  (6.3.11) (6.3.12) { } λ Les composantes non nulles du symbole de Christoffel de la TNG, µν , sont définies par les Éqs. (5.1.20) et (5.1.22) et on obtient (en choisissant le même système de coordonnées isotropes ci-dessus) { }= 1 γ g 2 { }= 1 γ g 2 { } = 1 γ (g 2 t tt tt i tt (ik) (tt),i (tt),k i jk (jl) (il),k + g (lk),i − g(ik),l ) (6.3.13) Le calcul de R [tr] donne [voir Éq. (6.1.11)] R[tr] = − 2 d D D  −6 2 dr  rA  r A (6.3.14) En insérant les Éqs. (6.3.11) et (6.3.12), on obtient R[tr] = − 4 l 2 ms s r5 (6.3.15) Un calcul des composantes du tenseur de Ricci de la TNG, toujours dans les coordonnées isotropes, nous donne 1 (ij ) xi γ R[ jt ] = −2l 2 ms 6 s 2 r (6.3.16)
  • 216 6 Le Déplacement des Particules d’Essai et xi 1 (it ) γ R[ti ] = −2l 2 ms 6 s 2 r (6.3.17) Comme on l’a dit précédemment, on considère qu’un corps central produit un champ gravitationnel ayant une symétrie sphérique que l’on décrit à l’aide de coordonnées isotropes. On utilise la solution obtenue à l’Éq. (6.3.9) pour une particule d’essai qui se déplace selon une trajectoire du genre temps (ds2 = 1). En substituant les symboles de Christoffel de la TNG, l’Éq. (6.3.13), et les résultats obtenus des Éqs. (6.3.16) et (6.3.17) dans les équations du mouvement, l’Éq. (5.1.45) { } 2 du i 1 l p (iρ) i = − ρ σ u ρu σ + γ R[ρν] (Γ ) u ν 2 mp ds (6.3.18) ˆ En calculant pou obtenir le résultat de l’Éq. (6.3.18), on trouve l’accélération ( r = r/|r| = r/r)  m l2  m  s s ˆ a =  − 2 + 2 5  l 2 + l 2 s  r s p m p  r   r    (6.3.19) où la dépendance de l’accélération en 1/r 5 est explicite. De l’Éq. (5.6.4), on a D S ij dS ij = + Ds dt {ρ σ }S µ uν + {ρ σ }S µ uν i j j i (6.3.20) ce qui donne  ms ms ms l4  DS d S s = − 2 3 (r • v)S − 3 (r × v) × S −  3 − 2 6 (r × M ) r Ds d t r r r    (6.3.21) où on a défini, comme avant, M = [S 1t, S 2t, S 3t]. De plus, dans l’Éq. (6.3.21) on a que (r × v) × S = (r • S)v − (v • S)r et de la condition de Pirani, donnée par l’Éq. (5.6.7), on a u ρ g(ρν) S µν = 0 (6.3.22)  4ms l 2  s S 1t ≅ 1 + − 4 (v y S z − v z S y )  r r    (6.3.23) r × M = r × (v × S) = (r • S)v − (r • v)S (6.3.24) ou bien De ce résultat, on obtient On trouve maintenant, à cet ordre en approximation, que l4 d S d S ms s = − 3 [(r • v )S + 2(r • S ) v − ( v • S)r ] − 2 6 [(r • S) v − (r • v )S] dt dt r r (6.3.25) Finalement, on obtient des Éqs. (6.3.4) et (6.3.25), à cet ordre en approximation, le résultat l4 d S ms s = 3 [(r • v)S + 2(r • S) v − ( v • S)r ] − 2 6 [(r • S) v − (r • v )S] + ( v • F )S − ( v • S)F dt r r (6.3.26) On doit maintenant se transporter dans un repère au repos du gyroscope. On change donc l’échelle des vecteurs spatiaux unitaires de base en utilisant les composantes de la métrique (pour ainsi préserver l’orthonormalité), et puis, on fait une transformation de Lorentz. Ces deux changements du vecteur S sont donnés respectivement par 2ms   S repos = 1 + S r   où  1  (S ⊥v)repos = 1 − v 2  S ⊥v  2  (6.3.27)
  • 6.3 Le Mouvement Gyroscopique ˆ ˆ S ⊥v = S − ( v • S ) v 217 (6.3.28) et Srepos dénote la valeur du vecteur moment angulaire de rotation (spin) S dans un repère au repos. Alors, le changement combiné de S est 2ms  1  ˆ ˆ Srepos = 1 + S − v 2 [S − ( v • S) v ] r  2  2ms  1 1  = 1 + S − v 2 S + ( v • S) v r  2 2  (6.3.29) En différentiant l’Éq. (6.3.29), et en utilisant l’Éq. (6.3.19), on obtient le résultat désiré pour la dépendance temporelle du vecteur moment angulaire de rotation dans le repère au repos du gyroscope (au plus bas ordre en approximation) dS repos dt = l 2 ms d sp 3 ms s [(r • S repos ) v − ( v • S repos )r ] − [(r • S repos ) v − ( v • S repos )r] 2 r3 r6 (6.3.30) où d sp = 2 l2 l p s − ms mp (6.3.31) L’Éq. (6.3.30) peut être réécrite sous la forme dS repos dt  3 m l 2 ms d sp s s = −  2 r3 r6   (r × v ) × S repos   (6.3.32) ou bien dS repos dt = × S repos (6.3.33) où, le vecteur fréquence angulaire est définit par 4 3 m K sp s Ω = − 6  2 r3 r   (r × v)   (6.3.34) et où, la constante de couplage dipolaire est défini par (l s2 >> lp2) Ksp = (l 2 ms d sp )1 4 s (6.3.35) L’Éq. (6.3.34), qui ne dépend seulement de la masse du la particule d’essai mais non de son moment angulaire de rotation, est appelé précession géodésique ; c’est essentiellement la précession de Thomas causée par la gravitation. On aussi reconnaît dans l’Éq. (6.3.34) le potentiel newtonien, φ = −ms/r 2. ˆ Si on considère que l’orbite autour du gyroscope est un cercle de rayon r avec un vecteur moment angulaire J = J/J, unitaire et normal, alors la vitesse du gyroscope peut être calculée à partir de l’Éq. (6.3.19), et est m l 2l 2 ms l4 s p s s v = − 2 − 2 5 + 2 r r mp r 5  12   r×J ˆ ˆ   (6.3.36) On a que ˆ ˆ ˆ r × (r × J ) = (r • J )r − (r • r) J ˆ = − (r • r) J ˆ = − r2J (6.3.37)
  • 218 6 Le Déplacement des Particules d’Essai Le taux de précession, moyenné sur une révolution, est donné par (au plus bas ordre en approximation) = 3 3 ms 2  Rs    52 2 Rs  r  52 − 4 K sp m1 2  Rs 11 2 s   11 2 Rs  r  (6.3.38) où Rs est le rayon de la source centrale. Maintenant, on analysera la précession due à la rotation de la Terre sur son axe, soit l’Effet Lense-Thirring. Le résultat du traitement par la TNG sera montré comme étant identique au traitement rencontré dans la TGE. Dans la TGE, on peut inclure l’effet de la rotation de la Terre, au premier ordre, dans la métrique symétrique en coordonnées isotropes rectangulaires de la façon suivante g (TGE) µν 2ms  1 − r  − 2 J y s 3  r = x  2J s 3  r   0  − 2J s y 3 r 2ms   − 1 +  r   0 0     0 0   2ms    − 1 + 0  r    2ms   0 − 1 +  r   2J s x 0 r3 (6.3.39) où les éléments hors-diagonale, g (ti) , tiennent lieu de la rotation de la Terre, et ce, avec un moments angulaire J s aligné le long de l’axe z. La solution dans la TNG, à la première approximation post newtonienne et en utilisant les coordonnées isotropes, est g (TNG µν )  2ms l 4 + 4 1 − r r   − 2J y s 3  r =  2J x s 3  r   0     r r  2ms    − 1 + 0 0   r    2ms    − 1 + 0 0   r   2ms    0 0 − 1 +  r    − 2J s y 3 2J s x 3 0 (6.3.40) À la première approximation post newtonienne, on trouve que les corrections aux composantes hors-diagonales de la partie symétrique, g (ti) , de la métrique non symétrique de la TNG sont identiques au cas donné par la TGE, soit l’Éq. (6.3.39). Les corrections à la partie antisymétrique, g [ti], de la métrique non symétrique de la TNG sont sans importance car le calcul de dS repos/dt nécessite seulement le partie symétrique de la métrique. Alors, la précession due à l’Effet Lense-Thirring, qui apparaît des composantes hors-diagonale de la métrique dans la TNG, est identique à celle retrouvée dans la TGE. De plus, si on inclut la rotation de la Terre, il n’y aura aucun changement (à l’ordre post newtonien) sur les composantes g(ii) de la diagonale spatiale de la métrique. Les composantes de la diagonale mènent à la précession géodésique, calculée à l’Éq. (6.3.38). Lorsqu’on inclut les composantes hors-diagonale de la métrique, on obtient un terme additionnel LT  ( J • r )r J s  × S repos = 3 s 5 − 3  × S repos r r   (6.3.41) du côté droit de l’Éq. (6.3.33). On obtient donc (l’orbite n’est pas considérée circulaire) Ω =3 G (J s • r )r r5 − GJ s r3 4  3 GM K sp  + − 6 (r × v)  2 r3 r    (6.3.42) Ce résultat est identique à celui de la TGE sauf pour le dernier terme dans le membre de droite de l’Éq. (6.3.42).5 Les deux premiers termes de l’Éq. (6.3.42) représentent une interaction entre le moment orbital de rotation de la source et la particule d’essai (gyroscope), analogue à l’interaction hyperfine de la physique atomique.5 Le troisième terme de l’Éq. (6.3.42) est le même terme que nous avons calculé à l’Éq. (6.3.34) soit la précession géodésique et le dernier terme de l’Éq. (6.3.42) est un
  • 219 6.4 Le Potentiel Gravitationnel terme apparaissant du traitement avec la TNG ; c’est un terme d’interaction entre la masse de la particule d’essai et du gyroscope et leurs charges fermionique. En incluant maintenant le terme de Lense-Thirring, donné par l’Éq. (6.3.41), dans l’Éq. (6.3.35) pour notre problème circulaire, on obtient le taux de précession, moyenné sur une orbite = 4 12 1G 3 (GM ) 3 2 ˆ K sp (GM ) ˆ ˆ ˆ [ J s − J (J • J s )] + J− J 2 r3 2 r5 2 r 11 2 (6.3.43) On reconnaît le champ vectoriel ζ = 2(r × Js)/r 3 produit par la rotation de la source.3 6.4 Le Potentiel Gravitationnel À partir des équations du mouvement des particules d’essais, on peut déduire la forme que prend l’énergie potentielle pour une particule d’essai dans un champ gravitationnel6 −1  2  l4 GM  2GM  1 c 2l 2  l p M s s V (r ) = − l 2 1 + 4 1 − 2  + s r  2 r 4  mp c r  r       −1     (6.4.1) La densité de charge dans la TNG, S t, est donnée par S t = ∑ f i2 ni u t (6.4.2) i Dans des coordonnées comobiles, les composantes de uµ satisfont (i = 1, 2, 3) ut= 1 g (µν) u µ u ν = c2 ui=0 C (6.4.3) La densité de charge de la TNG en coordonnées sphériques est donc donnée par l2 = ∫ − g S t dr dθ dϕ = 4π ∑ f i2 ∫ A( r ) − i D 2 (r ) ni ( r ) r 2 dr C(r ) (6.4.4) que l’on peut associer à la source. Considérons un système de particules avec une masse M = ∑ mi N i + ∆E i (6.4.5) où Ni dénote le nombre total de particules et ∆E est l’énergie de liaison entre les particules. Pour une sphère concentrique de matière, on considère que ∆E est petit, et on pose [ρi V = Ni mi où V =(4π /3) r3] M= 4π 3 ∑ ρi r 3 (6.4.6) i et l2 = 4π 3 ρ ∑ f i 2 mi r 3 i (6.4.7) i Supposons que GM / c2r << 1, et l2/r 2 << 1. Alors, on obtient V(r) = où 4π Gρ r 3 3 (6.4.8)
  • 220 6 Le Déplacement des Particules d’Essai ρ =ρ+ 2π 3 f i2 ρ i c 2 Q mi G ∑ i (6.4.9) et Q= f p2 mp ρ − ∑ f i2 i ρi (6.4.10) mi 6.5 La Précession de la Périhélie d’une Particule d’Essai On peut obtenir des prédictions astronomiques dans la TNG d’une façon directe en utilisant la théorie des perturbations pour résoudre les équations du mouvement plutôt que d’utiliser l’Éq. (6.1.32). On choisit u = 1/r, et en utilisant l’Éq. (6.1.23), on obtient (dr/dτ ) = −J(du/d ϕ ). En substituant cette relation dans l’Éq. (6.1.29) puis en dérivant par rapport à ϕ donne  l4  mE d 2u du  K  3 − + u = s2 + 3ms u 2 − 2  s2  E − J 2 u +  2 dϕ  J 2  dϕ J J      l4  d 2u + 3 s  ms E − J 2 2  dϕ 2 J   2  4  u − 3l 4u 5 + 7 ms l 4u 6 + K u 7 s s 2  J   (6.5.1) On pose maintenant que E − J 2(du/dϕ) = 1, et on laisse tomber les termes d’ordre quatre et supérieurs. L’Éq. (6.5.1) devient donc2 d 2u dϕ 2 + u = N + 3ms u 2 − 2Cu 3 (6.5.2) où N = msE/J 2 et C = (l s4 − K)/J 2. Le dernier terme de l’Éq. (6.5.2), 2Cu3, nous donne un nouveau terme de correction à l’équation de mouvement de Newton additionnel au terme 3msu2 produit par la TGE. On peut donc écrire l’Éq. (6.5.2) comme une équation d’un oscillateur harmonique forcé8 d 2u dϕ 2 + u = − Nr 2 f ( r ) (6.5.3) où f (r) décrit la loi de force f (r ) = − 1 r 2 + 3 J 2 1 2(l 4 − K ) 1 s + ms E r 4 ms E r 5 (6.5.4) On voit que le terme 1/r5 correspond à une force gravitationnel à courte portée. Dans le cas où ls2 = 0, on retrouve, aux Éqs. (6.5.2) et (6.5.4), les mêmes résultats que dans la TGE. On peut résoudre l’Éq. (6.5.2) par approximations successives avec l’expansion en séries suivante1,2,9 u(ϕ) = u o + u 1 + ... (6.5.5) où u o est la solution de l’équation différentielle au premier ordre en approximation d 2u o dϕ 2 + uo = N (6.5.6) (c’est l’équation de Binet) et la solution de l’Éq. (6.5.6) est donnée par u o = N + Bcos(ϕ − ϕo) avec B et δ, des constantes d’intégration. On peut exprimer l’Éq. (6.5.7) de la façon suivante (6.5.7)
  • 6.5 La Précession e la Périhélie d’une Particule d’Essai u o = N [1 + ecos(ϕ − ϕ o)] 221 (6.5.8) où e = B/N est l’excentricité de l’orbite et ϕ o est la longitude de la périhélie. L’Éq. (6.5.8) donne le résultat obtenu dans la théorie de Newton (sans les termes de correction relativiste et non symétrique.) On peut orienter les axes d’une façon souhaitable et poser ϕ′ = ϕ − ϕ o, ou bien ϕ o = 0, ensuite laisser tomber le prime, pour ainsi donner l’équation d’une ellipse. Mais nous poursuivrons pour l’instant avec l’Éq. (6.5.7) avec ϕ o = 0. En substituant l’Éq. (6.5.5) dans côté droit de l’Éq. (6.5.2), on obtient en seconde approximation d 2 u1 dϕ 2 + u1 = 3ms ( N 2 + 2 NB cos ϕ + B 2 cos 2 ϕ ) + 2C ( N 3 + 3N 2 B cosϕ + 3NB 2 cos 2 ϕ + B 3 cos 3 ϕ ) (6.5.9) et en résolvant pour u 1 dans les termes de contributions non linéaires, la solution pour u au second ordre en approximation peut être vérifié comme donnant 1  3    u (ϕ ) = u o + u1 = N + B cosϕ + 3ms  N 2 + B 2  + 2C  N 3 + NB 2  + 2  2    3   + B 3ms N + 3CN 2 + CB 2 ϕ sin ϕ − 4   − (6.5.10) 1 2 1 B ( ms + 2CN ) cos 2ϕ − CB 3 cos 3ϕ 2 12 En fonction d’une petite quantité ε, on a cos(ϕ − εϕ ) ≅ cosϕ + εϕ sinϕ (6.5.11) u (ϕ ) = u o + u1 = N + B cos(ϕ − εϕ ) + (termes périodiques) (6.5.12) 1   ε = 3ms N + 3C  N 2 + B 2  4   (6.5.13) et l’Éq. (6.5.10) devient où Seulement le deuxième terme de l’Éq. (6.5.10), B cosϕ , affectera le déplacement de la périhélie de l’orbite. Puisque qu’on considère une révolution complète, où ϕ = 2 π, le déplacement de la périhélie est donc donnée par ∆ϕo ≅ 2π ε (6.5.14)  1   ∆ϕo ≅ 6π ms N + C  N 2 + B 2   4    (6.5.15) et, avec l’Éq. (6.5.13), on obtient Avec l’Éq. (6.5.8), où uo = 1/r, on obtient r= p 1 + e cos ϕ (6.5.16) où p = 1/N = J 2/msE est le semi-latus rectum et e = B/N = Bp est l’excentricité. Avec les valeurs de N, B et de C, soient B = e/p, N = msE/J 2 = 1/p, J 2 = m sEp et C = (ls4 − K)/J 2, on obtient (en laissant tomber le “°”) ∆ϕ = 6π ms p  (l 4 − K )  e 2  1 − s2 2 1 +  4  ms Ep      (6.5.17) La constante (l s4 − K) peut être exprimée de la façon suivante (ls2 >> lp2) Ksp = (ms l 2 d sp )1 4 s (6.5.18)
  • 222 6 Le Déplacement des Particules d’Essai et dsp= 2 l2 l p s − ms mp (6.5.19) Maintenant, si on considère que la constante E = 1, et qu’on inclut les constantes physiques, on obtient ∆ϕ = 6π 4 K sp c 4 Gms  1 − 2 2 2 c 2 p  G ms p   e2 1 +  4      (6.5.20) où ms est la source du champ gravitationnel. On peut aussi exprimer l’Éq. (6.5.20) de la façon suivante ∆ϕ TNG = ∆ϕ TGE λsp (6.5.21) où, avec la troisième loi de Kepler, ms = a3/(P/2π )2, on obtient ∆ϕ TGE = 6π Gms c2 p = 6π Ga 2 ( P 2π ) 2 c 2 (1 − e 2 ) (6.5.22) et λsp = 1 − 4 K sp c 4 a 1 + e2 4 3 G 2 ms ( P 2π ) 2 (1 − e 2 ) 2 (6.5.23) que l’on appelle le coefficient de correction de la périhélie dans la TNG. On a aussi exprimer notre semi-latus rectum comme p = a(1 − e2) où a dénote l’axe semi-majeur. Encore ici, on voit que si Ksp = 0, on obtient le résultat de la TGE. Dans le cas où on ajoute les paramètres post newtoniens et le coefficient du moment quadripolaire (par example, celui d’une étoile quelconque), notre coefficient donné par l’Éq. (6.5.23) deviendra10,11 λsp = Γ + J 2( s ) Rs2 c 2 2Gms p − 4 K sp c 4  e 2  1 +  4  G 2 ms2 p 2    (6.5.24) où Γ= 1 (2 + 2γ − β ) 3 (6.5.25) et J2(s) est un paramètre (sans dimensions) qui mesure le moment quadripolaire de l’étoile ou de la source du champ gravitationnel. Si maintenant, on inclut le moment angulaire de la source dans l’équation du mouvement à l’ordre post newtonien, pour une particule d’essai ponctuelle, on obtient3 dv φ = x + η + O(v 4 ) dt r 2 (6.5.26) où φ est le potentiel newtonien, φ = −ms/r (r = |x|), et η est une petite perturbation η = −∇(ε + 2φ 2) − ∇ ∂ζ ∂φ + v × (∇× ζ ) + 3v + 4v (v • ∇ )φ − v2∇ φ ∂t ∂t (6.5.27) qui, dans le cas statique devient η = −∇(ε + 2φ 2) ∇ (6.5.28) où ε est un terme qui inclut tous les potentiels des autres corps du système (par example, ceux de toutes les planètes), ζ est le potentiel du champ vectoriel produit par la rotation de la source, et v = dx/dt. On calculera le taux de variation du vecteur de Runge-Lenz L = φ x + ( v × w) où w est le vecteur moment orbital par unité de masse (6.5.29)
  • 223 6.5 La Précession e la Périhélie d’une Particule d’Essai w=x×v (6.5.30) Si la perturbation η était absente, on retrouverait l’orbite décrite par l’ellipse de l’Éq. (6.5.16). Le taux de précession de la périhélie, d ϕ/dt, causé par n’importe laquelle perturbation est donné par la composante de la ˆ ˆ variation dL dt dans le vecteur unitaire L =L/|L| selon la direction perpendiculaire à la fois de L et de w, c’est-à-dire ˆ dφ dL dL dt ˆ ˆ = (w × L) • = (w × L) • dt dt w L2 (6.5.31) On obtient donc le taux de variation de L produit par la perturbation η dans l’Éq. (6.5.27) dL = η × w + v × (x × η) dt (6.5.32) Le champ ζ produit par la rotation du corps est donné par 2 (x × J s ) r3 ζs = (6.5.33) L’Éq. (6.5.33) contribue à l’accélération dv/dt un montant donné par l’Éq. (6.5.24) de 2 η w = v × (∇ × ζ ) = ∇ r 3 (v × J s) + 6 r5 (x • J s)w (6.5.34) et l’Éq. (6.5.32) nous dit que η w cause L à changer à un taux de dL 2 2 6 = − 3 (v × Js)(x • v) − 3 (w • Js)v − 5 (v • x)(x • Js)w dt r r r (6.5.35) Pour simplifier notre problème, on considère que l’axe de rotation de la source est normale au plan de l’orbite de la particule d’essai, de sorte que J s est parallèle à w. En utilisant les Éqs. (6.5.35), (6.5.16) et (6.1.23) dans l’Éq. (6.5.31) on obtient dϕ dt = J [− (1 + e cos ϕ ) e sin m p e 2Js J 2 2 4 ϕ − (1 + e cos ϕ ) 3 (e + cos ϕ ) ] (6.5.36) s Puisque ϕ (ou ϕo) varie lentement, la variation de ϕ pour une révolution peut être déterminée en intégrant d ϕ / dt sur une période, on obtient ∆ϕ J = ∫ 2π 0 dϕ dt J dt dϕ dϕ (6.5.37) En insérant les Éqs. (6.1.23) et (6.5.36), on obtient pour la correction apportée à la précession de la périhélie d’une particule d’essai par le moment angulaire de la source ∆ϕ J = − 8π J s J (6.5.38) ms p 2 où J = ms a(1 − e 2 ) . On obtient donc λsp = Γ + J 2(s ) Rs2 c 2 2Gms p − 4 J sc3 3Gms Gms p − 4 2  K sp c 4  1 + e  4 G 2 ms2 p 2    (6.5.39) où, notre paramètre post newtonien est donné par Γ =(2 + 2γ − β). Dans le cas de notre étoile, le Soleil (S), et d’une planète de notre système (P), on obtient le résultat général suivant pour la précession de la périhélie d’une planète autour du Soleil
  • 224 6 Le Déplacement des Particules d’Essai ∆ϕ = 2  J 2(S) RS c 2 c 4l 2  l 2 l 2  (1 + e 2 4)  6π GM S  4 J Sc 3 Γ+ − − 2 S  S − P  2  2 2  2 c a (1 − e ) 2GM S a (1 − e ) 3GM S GM S a (1 − e 2 ) G M S  M S M P  a (1 − e 2 ) 2      (6.5.40) où, répétons-le, J2(S) est le coefficient du moment quadripolaire du Soleil et JS est le moment angulaire de rotation du Soleil. On obtient donc le résultat standard pour la précession d’une particule test (par example dans le case de la planète Mercure) 4 dans la TNG et on obtient le résultat exacte de la TGE lorsqu’on pose K sp = 0 dans l’Éq. (6.5.40), donnant ainsi λsp = 1 si de plus J2(S) = 0 dans l’Éq. (6.5.24). À ce résultat, il faut ajouter la précession de la périhélie d’une planète autour du Soleil prévue par la théorie de Newton. 6.6 Le Déplacement du Périastre Le déplacement du périastre pour des objets en orbite binaire est complexe parce qu’il y a la présence de termes, tel un terme d’interaction de masse dans la TNG, Σ j, et un terme pour le moment quadripolaire de masse, Q ij, dans l’équation du mouvement [voir les Éqs. (5.4.21)-(5.4.23)], l’accélération d’un objet ne sera pas, en général, confiné à un plan orbital. Dans ce cas, non seulement la position du périastre changera-t-elle dans le temps, mais il en sera de même de l’excentricité de son orbite, son angle d’inclinaison, son axe semi-majeur, et la position des lignes de noeuds. Considérons le cas de deux corps, chacun d’eux avec symétrie cylindrique autour d’un axe normal au plan orbital, et symétrique par rapport aux réflexions dans le plan orbital. Alors, si les centres de masse des objets sont identifiés par x1 et x2, respectivement, on a les deux densités conservées suivantes4 ∗ ∗ ρ ∗ = ρ1 [(x − x1) 2 + (y − y1)2,(z − z1)2] + ρ 2 [(x − x2)2 + (y − y2)2,( z − z2)2] (6.6.1) ∗ ∗ S ∗ = S1 [(x − x1)2 + (y − y1)2,(z − z1)2] + S 2 [(x − x2)2 + (y − y2)2,( z − z2)2] (6.6.2) Alors, l’interaction de masse dans la TNG est nulle, Σ j = 0, pour chaque corps, et le moment quadripolaire de chaque corps prend la forme 1 0 0  1 Q = (C − A) 0 1 0    3 0 0 − 2   ij (6.6.3) où C est le moment d’inertie du corps autour d’un axe de symétrie et A est le moment d’inertie autour d’un axe orthogonal. Le calcul du déplacement du périastre d’un système binaire donne (voir Section 6.5) ∆ω o TNG & = ωo TNG = 6π GM λ12 c2 p (6.6.4) où λ12 = 1 + 2 c2 M (l 1 − l 2 )c 4  e 2  2 2 2 1 +  ( J 2(1) R1 + J 2( 2) R2 ) − 2GMp 4  G2M 2 p2    (6.6.5) où, le paramètre dipolaire de Krisher est donné par 2 l1 l2 − 2 m1 m2 (6.6.6) M = m1 + m2 (6.6.7) d12 = et, la masse totale du système binaire est De plus, les orbites relatives sont approximées par une ellipse
  • 225 6.6 Le Déplacement du Périastre r= p 1 + e cos (ω − ω o ) (6.6.8) Le paramètre J2(a) est une mesure (sans dimensions) du moment quadripolaire du corps “a”, et est donné ici par la relation suivante J 2( a ) = Ca − Aa (6.6.9) 2 ma Ra où R a est le rayon du corps et les déformations quadripolaires dans une étoile sont attribuables aux effets produits par les marées et les rotations. Donc, pour un systeme binaire, on obtient (on laisse tomber le “°”) 11 & & ω TNG = ω TGE λ12 (6.6.10) & où on exprime ω TGE de la façon suivante, en utilisant encore une fois la troisième loi de Kepler & ω TGE = 3(GM ) 2 3 (6.6.11) ( P 2π ) 5 3 c 2 (1 − e 2 ) et λ12 = 1 − 1 + e2 4 4 K12 c 4 (6.6.12) (GM ) 8 3 ( P 2π ) 4 3 (1 − e 2 ) 2 où P est la période de la binaire, et 2 K12 = [ M (l 1 − l 2 ) d12 ]1 4 2 (6.6.13) où d 12 est donné par l’Éq. (6.6.6). En calculant les constantes physiques, on obtient & ω TGE = (1.5682 × 10 6 ) M (M S ) ( P 2π ) 5 3 (1 − e 2 ) (°/yr) (unités cgs) (6.6.14) (unités cgs) (6.6.15) et λ12 = 1 − (1.7667 × 10− 28 ) M (M S ) K12 83 ( P 2π ) 1+ e2 4 43 (1 − e 2 ) 2 où M est exprimée en masses solaires. On observe dans l’Éq. (6.6.10) que si deux étoiles dans un système binaire ont la même composition en masse alors l 1 = l2 et m 1 = m2 et le paramètre d12 disparaît identiquement. Le déplacement du périastre est alors le même que celui prédit par la TGE. Maintenant, la contribution newtonienne (classique) au déplacement du périastre est donnée par11,12 2  ~  m   ω r ,1   m2  360o  5 2 & CL =  ~  1 + (1 − e 2 ) −2  + f 2 (e) ω k 2,1r1 15   P  m1   m1   ωk       (6.6.16) 2 ~  m   ω r , 2   m2   5 (1 − e 2 ) 2   + k 2,2 r2 15 2 f 2 (e) +  ~  1 +  ω   m1   m1    k     où la fonction d’excentricité est donnée par 3 1   f 2 (e) = (1 − e 2 )1 + e 2 + e 4  2 8   (6.6.17)
  • 226 6 Le Déplacement des Particules d’Essai ~ ~ et ω r ω k dénote le rapport de la vitesse angulaire de la rotation axiale à celui du mouvement orbital. Les k2,i (i = 1, 2) dénotent les coefficients de composition, tandis que les ri sont les rayons fractionnaires des étoiles. On utilisera les notations suivantes lors de nos calculs pour le déplacement total du périastre du système binaire prédit par la TNG2,1113 & TOT & & ω TNG = ω CL + ω TNG (6.6.18) et le déplacement total du périastre prédit par la TGE est donné par & TOT & & ω TGE = ω CL + ω TGE (6.6.19) 6.7 La Déviation des Rayons Lumineux Calculons maintenant la déviation des rayons lumineux au voisinage d’une source de champ gravitationnel (par example pour le Soleil.) Pour les photons, on a trouvé à la Section 6.1 que E = N = 0, et de l’Éq. (6.4.2) devient d 2u dϕ 2 + u = 3ms u 2 − 2Cu 3 (6.7.1) où on a maintenant C = ls4/J 2, puisque lp est nulle pour un photon. On peut résoudre l’Éq. (6.7.1) par approximation successives comme dans la Section 6.5 en utilisant l’Éq. (6.4.5). On obtient donc l’équation différentielle au premier ordre en approximation d 2 uo dϕ 2 + uo = 0 (6.7.2) La solution au premier ordre en approximation est maintenant de la forme uo = 1 sin(ϕ − ϕ o ) ro (6.7.3) C’est l’équation d’une ligne droite comme ϕ prend les valeurs de ϕ o à ϕ o + π, où ro est la distance de plus courte approche de l’origine (centre du corps). L’Éq. (6.7.3) est la même prédiction que nous donne la théorie de Newton. En substituant la solution au premier ordre, uo, dans le côté droit de l’Éq. (6.7.1) nous donne d 2 u1 dϕ 2 + u1 = 3ms ro2 sin 2 (ϕ − ϕ o ) − 2 C ro3 sin 3 (ϕ − ϕ o ) (6.7.4) et en résolvant pour u, on obtient la solution générale (ϕ o = 0) u (ϕ ) = 1 3 ms  1 3  C 9  sin ϕ + 1 + cos 2ϕ  − 3  sin 3ϕ − ϕ cos ϕ  ro 2 ro2  3 4  ro  16  (6.7.5) puisque ms/ro est petit, l’Éq. (6.7.5) est réellement une perturbation d’une ligne droite. On veut maintenant déterminer l’angle de déviation, disons δ, pour un rayon de lumière dans la présence d’une source de champ gravitationnel. Les asymptotes de la trajectoire correspondent à ces valeurs de l’angle ϕ pour lesquelles u = 1/r deviennent nulles. À une très grande distance de la source, r → ∞ et alors u → 0, ce qui requiert que le côté droit de l’Éq. (6.7.5) doit disparaître. Nous prenons les valeurs de ϕ pour lesquelles r → ∞, c’est-à-dire pour les angles où les asymptotes sont −δ1 et π + δ2, respectivement. On approxime sinϕ par δ 1 et cos2 ϕ par 1 (puisque δ 1 est petit) et on pose u = 0 dans l’Éq. (6.7.5) pour ainsi obtenir 2m δ1 = − s ro   1 + 9 C   16 r 2  o   −1 (6.7.6) soit une fraction du potentiel newtonien de la source, une fraction de correction ajoutée par la TNG. Pour la deuxième asymptote, on prend ϕ = π + δ 2 et en suivant la même procédure, on obtient
  • 227 6.7 La Déviation des Rayons Lumineuz  2ms δ 2 = −  −  ro  3π C  1 + 9 C  2  2  4 ro  16 ro  −1 (6.7.7) Dans les deux cas, le signe moins montre que les rayons lumineux sont courbés vers l’intérieur en autant que ro > (9C ) 16 . L’angle δ entre les asymptotes est |δ 1 + δ 2| 1 et il donne la déviation des rayons lumineux, est donné par  4ms δ=   ro −  3π C  1 + 9 C  4 ro2  16 ro2    −1 (6.7.8) Puisque C = ls4/J 2, l’Éq. (6.7.8) devient 4m δ= s ro  4 1 + 9 l s  16 ro2 J 2      −1 4 3π l 4  s 1 + 9 l s − 16 ms ro J 2  16 ro2 J 2      −1     (6.7.9) Maintenant, si on pose ro ∼ R s, le rayon de la source (du corps), ls4/Rs2J 2 << 1, on peut approximer (1 + x)−1 ≅ 1 − x, et l’Éq. (6.7.9) devient 4ms ro δ≅  9 l4 3π l 4  s s − 1 −  2 2 16 ms ro J 2   16 ro J   (6.7.10) Maintenant, avec l’Éq. (6.1.30) (pour un photon on a K = 0, et à rs = ro, une constante, on a dr/dϕ = 0) 1 J 2 = 1  l4 1 + s ro2  ro4   2ms 1 −  ro   1 ≅ 2  r  o (6.7.11) puisque les termes 2ms/Rs3, etc., sont << 1. Alors, l’Éq. (6.7.10) devient δ= 4GM s  9 l 4 3π c 2 l 4  s s − 1 −  c 2 ro  16 ro4 16 GM s ro3    (6.7.12) Si on considère, en plus, le coefficient du moment quadripolaire du Soleil dans l’Éq. (6.7.11), on obtient de l’Éq. (6.7.12) la déviation des rayons lumineux frôlant la surface d’un corps de rayon Rs dans la TNG2,10,11  Rs  θ s   ro  (6.7.13) 4GM s  3π c 2 l 4 9 l4  s s − 1 + J 2 (s) −  3 16 GM s Rs 16 Rs4  c 2 Rs    (6.7.14) δ=  où θs = On peut facilement appliquer l’Éq. (6.7.13) au Soleil et en isoler la valeur de l S du Soleil (voir Section 11.4). 6.8 Le Décallage vers le Rouge et le Décallage de Doppler De l’Éq. (5.1.42), on trouve que dτ 2 = g(µν) dx µ dx ν (6.8.1) est une constante du mouvement. Pour une horloge au repos, le temps propre mesuré est dτ = g t t dt et le décalage vers le rouge des lignes spectrales émises de la surface d’un corps agissant comme source du champ gravitationnel (comme celles observées d’une étoile comme le Soleil) est donné par1,3
  • 228 6 Le Déplacement des Particules d’Essai z= ∆λ =− λ ∆ν ν ν −ν o = − o  ν o   =   1 gt t −1 (6.8.2) où ν o est la fréquence caractéristique du système atomique (les atomes qui émettent les signaux) agissant comme horloge, et ν o est la fréquence observée pour la première horloge par l’observateur à distance (nous sur Terre observant les fréquences émises par une étoile.)1 On a déjà la composante temporelle de la métrique (voir Section 4.1)  l 4  2GM g tt (R ) = 1 + s4 1 − 2 s  R  c Rs s       (6.8.3) où Rs est le rayon du corps agissant comme source du champ gravitationnel. On obtient alors  l 4  2GM = 1 + s4 1 − 2 s λ  Rs  c Rs   ∆λ     −1 2   2GM l 4 2GM l 4     − 1 = 1 + − 2 s + s4 − 2 s5 s   Rs c Rs     c Rs    −1 2 −1 (6.8.4) et puisque le dernier terme à l’intérieur du crochet carré est << 1, on peut approximer (1 + x)−1/2 ≅ 1 − 1 x et ainsi obtenir le 2 décalage des lignes spectrales émises par une source de masse Ms dans la TNG ∆λ z≡ λ ≅ GM s c 2 Rs − 1 l4 s 2 Rs4 (6.8.5) un résultat qui se réduit à la TGE dans la limite où ls = 0. Un atome au repos sur la surface d’une étoile de masse Ms subit une force gravitationnelle donnée par [voir l’Éq. (6.4.1)]6  2GM Fg = M s 1 − 2 s  c Rs      −1 2 −1 4   2 4 4  1 + l s   GM s + 2c l s − 3GM s l s  R4   R2 Rs5 Rs6 s   s      (6.8.6) On considère maintenant le décalage transverse de Doppler. Pour un champ gravitationnel faible (au premier ordre en m/r et en l/r), on peut écrire en coordonnées rectangulaires2,6,13 ds 2 = (1 + 2φ + ψ )c 2dt 2 − (1 − 2φ )[(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2] (6.8.7) où, pour un système binaire quelconque, on a m1 m2 − r − r1 (t ) r − r2 (t ) φ =− (6.8.8) et ψ =− 4 l1 r − r1 (t ) 4 − l4 2 r − r1 (t ) 4 (6.8.9) Le plan orbital pour un système binaire est choisit comme étant un plan équatorial en coordonnées sphériques, r, θ, et ϕ. On a alors r1 = m2 r M r2 = m1 r M (6.8.10) où r= a (1 − e 2 ) 1 + e cos(ϕ − ϕ o ) (6.8.11)
  • 229 6.9 Le Temps Propre d’une Horloge est l’équation d’une ellipse et M = m1 + m 2, a est l’axe semi-majeur, e est l’excentricité de l’orbite, et ϕo est une constante (que nous poserons nulle.) ϕ est donc l’anomalie vraie, r1 et r2 sont, à la première approximation, des ellipses autour du centre de masse. On obtient maintenant 2 ds 1   1v = c 1 + φ ( r1 ) + ψ (r1 ) − 1 dt 2   2 c2 (6.8.12)  Gm2 (m1 + 2m2 ) 1 l 4  ds 2 = c 1 − +  dt 2 r4  c 2 Mr    (6.8.13) 2 2 où v1 = (Gm2 M )(2 r − 1 a) . Alors L’Éq. (6.8.13) peut être intégrée en fonction de l’excentricité anormale E reliée à t par la relation suivante E − e sinE = t + K1 P 2π (6.8.14) où P est la période orbitale, et K1 est une constante. L’Éq. (6.8.14) donne donc t = γ s