La théorie non symétrique de la gravitation (2015)

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La théorie non symétrique de la gravitation (2015)

  1. 1. ═════════════ LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION ═════════════ MAURICE R. TREMBLAY
  2. 2. ii Contenu
  3. 3. Contenu iii LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans l’Astrophysique Contemporaine
  4. 4. iv Contenu
  5. 5. Contenu v LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans l’Astrophysique Contemporaine MAURICE R. TREMBLAY
  6. 6. vi Contenu 2008, 2015, Maurice R. Tremblay Tremblay, Maurice R. (Maurice Rémi), 1966 – La théorie non symétrique de la gravitation et ses implications dans l’astrophysique contemporaine
  7. 7. Contenu vii À PIERRE ALLARD À MON PÈRE RÉMI TREMBLAY ET À TOUS MES PARENTS ET AMIS SANS EUX, RIEN AURAIT ÉTÉ POSSIBLE
  8. 8. viii Contenu
  9. 9. Contenu ix Contenu Les sections indiquées d’un astérisque sont considérées optionnelles et peuvent être omises lors de la première lecture. PRÉFACE xiv NOTATION xviii Vitesse de la Lumière Indices Vecteurs et 1-formes Dérivées Métrique L’Élément de Longueur ds2 Élément de Longueur de Minkowski Élément de Longueur de Schwarzschild Connexions Courbure et autres Tenseurs Reliés Densités 1 INTRODUCTION 1 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 1 Repère Inertiel Deuxième Loi du Mouvement de Newton Transformations de Galilée Invariance de la Loi de Newton Relativité Newtonienne Équations de Maxwell Équations d’Ondes Homogènes Non-Invariance de l’Équation du Télégraphe Explications Proposées avant 1905 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein 6 Reformulation des Lois de la Physique Postulats de la Relativité Restreinte Transformations de Lorentz-Einstein Conséquences de la Relativité Restreinte Transformations Généralisées des Coordonnées dans l’Espace-temps 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 8 Nouvelle Théorie de la Gravitation Principe d’Équivalence d’Einstein Principe de Mach Structure de l’Espace-temps Action Gravitationnelle Totale Principe de Moindre Action Équations du Champ d’Einstein Équation de Déviation Géodésique Équations du Champ Gravitationnel d’Einstein dans le Vide Solution de Schwarzschild 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Théorie de la Gravitation? 18 1.5 La Théorie Non Symétrique de la Gravitation de Moffat 21 Appendice A Les Équations de Maxwell 23 Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 27 Appendice C Règles du Calcul des Résidus/Variations 32 Bibliographie 33 2 CONCEPTS MATHÉMATIQUES DE BASE 35 2.1 Définitions Mathématiques et Espaces Topologiques 35 Définitions, Ensembles et Topologie Representation par Carte Structure de Variété Espaces Tangentiels Variété Dérivable Courbes Paramétrisées Vecteurs Tangentiels Champs Vectoriels Formes d’Ordre Un Produit Externe Tenseurs Dérivée Externe Dérivée de Lie Espace de Riemann Espace-temps Dérivée Covariante et la Connexion Affine Géodésique Tenseur de Courbure Tenseur de Riemann-Christoffel Tenseur de Ricci Courbure Riemannienne Scalaire Identités de Bianchi Tenseur d’Einstein Calcul du Tenseur de Riemann 2.2 Dérivation Covariante et Transport Parallèle 50 2.3 Courbure de l’Espace-temps Non Riemannien 51 ix
  10. 10. x Contenu 2.4 Métrique Non Symétrique 52 2.5 Formalisme Tétrade dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 56 2.6 Tétrades Hyperboliques Complexes et la Symétrie Locale GL(4) 58 2.7 Extension Algébrique de l’Espace-temps* 60 2.8 Géométrie Non Riemannienne dans des Dimensions Supérieures* 65 2.9 L’Action dans le Langage des Vierbeins 68 2.10 Autres Théories Non Riemanniennes* 69 Appendice Formes au Premier et au Second Ordre 70 Bibliographie 72 3 LES ÉQUATIONS DU CHAMP 73 3.1 L’Action et la Densité Lagrangienne 73 3.2 Les Équations du Champ dans le Vide 74 3.3 Les Équations du Champ avec des Sources Matérielles 76 3.4 Les Identités de Bianchi et les Lois de Conservation 79 3.5 La Source S µ 80 3.6 La Source T µν 81 3.7 L’Approximation Linéaire 84 3.8 Les Ondes Planes 90 3.9 Les Propriétés Fantômes 91 3.10 La Linéarisation de la TNG sur l’Arrière-plan de la TGE 93 3.11 Couplage entre la Courbure et la Métrique Non Symétrique 96 3.12 Le Problème à Valeur Initiale de Cauchy* 97 3.13 Résumé de la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 99 Appendice A Dérivation de Γ λ µν = W λ µν + δ λ µ Wν 103 Appendice B Développement de g[µν ] 104 Bibliographie 105 4 LES SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DU CHAMP 107 4.1 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Extérieure 107 4.2 Le Théorème de Birkhoff 113 4.3 La Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la Théorie TNG-Maxwell* 114 4.4 La Solution à Symétrie Sphérique Extérieure Dépendante du Temps 123 4.5 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Intérieure 127 4.6 La Solution à Symétrie Sphérique Intérieure Dépendante du Temps 137 4.7 La Solution Cosmologique à Symétrie Plane* 150 Cas i : γ = 1 Cas ii : 0 ≤γ < 1 Pour γ = 0 Pour γ = 1/3 Pour l 2 ≠ 0 et σ 2 ≠0 Pour l 2 = 0 et σ 2 = 0 Cas 1ii γ = 1 Cas 1iii: γ = 1/3 Pour σ 2 = 0 Cas 2i: γ = 0 Cas 2ii: γ = 1 Cas 2iii: γ = 1/3 Pour l2 = 0 Cas 3i: γ = 0 Cas 3ii: γ = 1 Cas 3iii: γ = 1/3 Pour Bo = 1 (bo = 0), l 2 = 0 et σ 2 = 0 Cas 4i: γ = 0 Cas 4ii: γ = 1 Cas 4iii: γ = 1/3 Appendice Solutions Générales 163 Bibliographie 173 5 LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 175 5.1 La Particule d’Essai 175 5.2 L’Approximation Post Newtonienne* 180 5.3 Le Complexe Énergie-Contrainte* 182 5.4 Les Équations du Mouvement d’un Corps Massif 184 5.5 L’Effet Nördverdt* 187 3 2
  11. 11. Contenu xi 5.6 Les Particules d’Essais avec Moment Angulaire de Rotation* 196 5.7 Le Problème à Trois Corps 198 Appendice Formalisme Post Newtonien 201 Bibliographie 203 6 LE DÉPLACEMENT DES PARTICULES D’ESSAIS 205 6.1 Le Déplacement d’une Particule d’Essai dans un Champ Statique à Symétrie Sphérique 205 6.2 Le Déplacement d’une Particule d’Essai Massive 208 6.3 Le Mouvement Gyroscopique 210 6.4 Le Potentiel Gravitationnel 215 6.5 La Précession de la Périhélie d’une Particule d’Essai 216 6.6 Le Déplacement du Périastre 220 6.7 La Déviation des Rayons Lumineux 222 6.8 Le Décalage vers le Rouge et le Décalage de Doppler 223 6.9 Le Temps Propre d’une Horloge 225 6.10 Les Effets Retardés des Signaux Radars 226 6.11 Les Coordonnées d’Extension Maximale* 227 6.12 L’Effondrement Gravitationnel et les Trous Noirs* 229 Cas i: Photons (E = 0) Cas ii: Particules (E = 1) sans charge TNG (lp = 0, K = 0) Cas iii: Particules (E = 1) avec charge TNG (lp ≠ 0, K ≠ 0) 6.13 Trous de Vers* 234 6.14 Résumé 240 Appendice Calcul de l’Intégrale (6.11.11) 244 Bibliographie 245 7 LA VIOLATION DU PRINCIPE D’ÉQUIVALENCE 247 7.1 Introduction 247 7.2 Violation du Principe d’Équivalence Faible dans les Théories Non Symétriques de la Gravitation 248 7.3 L’Invariance Locale de Lorentz 250 7.4 Anisotropie Spatiale 253 7.5 Polarisation de la Vitesse de la Lumière 255 7.6 La Différence de Phase* 258 Appendice Le Formalisme THεεεεµµµµ 259 8 UN MODÈLE POUR LE COURANT CONSERVÉ DU NOMBRE FERMIONIQUE 261 8.1 Introduction 261 8.2 Le Courant Conservé du Nombre Fermionique 262 9 LES SOLUTIONS INTÉRIEURES DES NAINES BLANCHES ET DES ÉTOILES À NEUTRONS DANS LA TNG 267 9.1 Les Solutions Intérieures 267 9.2 L’Équation d’État 269 9.3 Les Conditions de Stabilité 269 9.4 Les Solutions pour les Naines Blanches 270 9.5 Les Solution pour les Étoiles à Neutrons 275
  12. 12. xii Contenu 10 EXPÉRIENCES BINAIRES 283 10.1 Calculs Stellaires et Limites sur 283 10.2 Le Pulsar PSR 1913+16 285 10.3 Les Binaires Non Dégénérées 288 10.4 La Binaire DI Herculis 288 10.5 La Binaire AS Cam 290 10.6 Explication du Déplacement du Périastre Anormalement Faible Pour DI Herculis et AS Cam 291 10.7 Autres Systèmes Binaires 292 10.8 La Binaire 4U 1820-30 293 10.9 Le Pulsar SN 1987 A 295 10.10 Conclusions 295 10.11 Résumé 297 Appendice La Radiation Gravitationnelle Dipolaire 299 11 EXPÉRIENCES LIMITÉES AU SYSTÈME SOLAIRE 305 11.1 Moment Quadripolaire du Soleil 305 11.2 Précession de la Périhélie de Mercure 306 11.3 Effet Nördverdt 308 11.4 Déviation des Rayons Lumineux près du Soleil 308 11.5 Délai Maximum des Signaux Radars 313 11.6 Valeur Pour et Contraintes du Modèle 314 11.7 Conclusions 318 11.8 Résumé 320 Appendice Les Ondes Gravitationnelles dans la Théorie Non Symétrique de la Gravitation 322 12 EXPÉRIENCES TERRESTRES 329 12.1 Expérience de Pound-Rebka 329 12.2 Différence en Accélération 330 12.3 Fermions dans un Champ Gravitationnel 332 12.4 Gyroscope en Orbite 334 13 COSMOLOGIE 337 13.1 Introduction 337 13.2 Modèle Cosmologique Non Uniforme et Non Singulier 340 13.3 Les Cas Pour et Contre le Modèle Standard de la Cosmologie 344 13.4 Les Incertitudes Observationnelles 345 14 EFFONDREMENT GRAVITATIONNEL 347 14.1 Introduction 347 14.2 L’Effondrement Gravitationnel dans la TNG 347 14.3 Les Explosions de Supernovae 348 15 CONCLUSIONS 351 16 VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES 353 16.1 Introduction 353 16.2 Jupiter 354 16.3 Saturne 357 16.4 Gyroscopes 360 fi 2 2 c f
  13. 13. Contenu xiii 16.5 Orbite Lunaire 361 16.6 Déviation Gravitationnelle de la Lumière par le Soleil 363 16.7 Horloges Atomiques 364 16.8 Mesure de la Polarisation d’un Pulsar 366 16.9 Lignes Spectrales du Soleil 370 16.10 Conclusions 373 17 PROBLÈMES ASSOCIÉS À LA THÉORIE NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION 377 18 FORMULATION NON SINGULIÈRE 379 18.1 Introduction 379 18.2 La Solution Statique à Symétrie Sphérique Non Singulière 381 18.3 Développement Approximatif 383 18.4 Calculs Numériques 384 18.5 La Courbure Non Singulière et la Singularité des Coordonnées 386 18.6 Conclusions 387 19 FORMULATION NON SINGULIÈRE DE LA THÉORIE TNG-MAXWELL AVEC SOURCES 389 19.1 Développement Approximatif de la Solution Statique Non Singulière 389 19.2 Les Quantités Physiques Non Singulières et la Singularité des Coordonnées 392 19.3 Conclusion 395 20 LA THÉORIE MASSIVE ET NON SYMÉTRIQUE DE LA GRAVITATION 397 20.1 Introduction 397 20.2 Les Équations du Champ de la Théorie Massive et Non Symétrique de la Gravitation 398 20.3 L’Approximation Linéaire 398 20.4 Développement des Équations du Champ autour d’un Arrière-plan Courbe 402 20.5 Théorème de Birkhoff 404 20.6 Solution Statique à Symétrie Sphérique dans la TMNG 405 20.7 Conclusions 406 21 CONCLUSIONS GÉNÉRALES 407 Appendice Théorie Non Symétrique de Kaluza-Klein 413 RÉFÉRENCES 421 BIOGRAPHIE DE JOHN W. MOFFAT 439
  14. 14. Préface Ce travail comprend une revue complète et systématique de la théorie non symétrique de la gravitation de John W. Moffat. Aucun ouvrage n’a réussi jusqu’à présent de mettre en forme près de 1000 publications scientifiques entourant l’effort soutenue aux théories non symétriques pendant la deuxième partie du 20e siècle (le but subsiste encore dans l’espérance qu’un jour l’édifice d’une nouvelle théorie de la gravitation verra le jour où celle-ci sera davantage généralisée et possiblement non symétrique). Elle est fondée sur les développements que nous ont procurés la relativité générale d’Einstein en 1914. Son origine est dans un Albert Einstein mécontent que la relativité générale et la Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) annoncée en 1916 ne peuvent expliquer l’origine du phénomène électromagnétique. Pour offrir une nature plus générale au champ gravitationnel, Einstein proposa la Théorie du Champ Unifiée (TCU) en 1949. Même en date de sa mort en 1955, Einstein n’obtînt jamais des équations de la TCU, surtout dans la limite d’un champ faible – dépourvue même de gravitation, une solution qui constituerait les équations de Maxwell décrivant une onde électromagnétique. Cependant, en 1979, John W. Moffat proposa de considérer le champ non symétrique de la TCU comme étant un champ purement gravitationnel et proposa la Théorie Non symétrique de la Gravitation (TNG) – une nouvelle théorie (non symétrique) de la gravitation. La TNG qui découle de cette nouvelle interprétation du champ gravitationnel est basée sur le postulat de base que la géométrie de l’espace-temps est déterminée par une structure de champ gravitationnelle non riemannienne. Cette géométrie généralisée est définie dans les quatre dimensions d’espace-temps par un élément de longueur (longueur d’arc ou intervalle), ds, qui servira à définir les distances et le mouvement des géodésiques. Il correspond en quelque sorte au Théorème de Pythagore, représenté par la relation algébrique a2 + b2 = c2 (datant de 500 av. J.C.), explicitant le rapport mathématique 3:4:5 entre la somme de chaque carré des deux côtés adjacents (a et b) de l’angle droit (θ = 90°) et de l’hypoténuse (c) d’un triangle rectangle associé au plan Euclidien. Mathématiquement, l’élément de longueur infinitésimal (i.e., ds2 ) est le carré de l’intervalle entre deux coordonnées (e.g., xµ = [x0 , x1 , x2 , x3 ]) par rapport à une origine quelconque (O ) et il est défini par le produit de chacune des seize composantes de la métrique* de l’espace-temps, gµν , avec le produit des différentielles des coordonnées, dxµ et dxν , entre elles. Conséquemment, on a ds2 ≡ Σµν gµν dxµ dxν . En plus de nous permettre de définir les distances, la métrique non symétrique (i.e., g ) a la propriété d’être invariante d’un système de coordonnées à l’autre et elle représente comment les échelles varient d’un point à l’autre dans l’espace-temps. * La métrique g (xµ ) est une fonction des coordonnées xµ = [x0 , x1 , x2 , x3 ] et elle est représentée géométriquement par une relation tensorielle (g ≡ ⊕ ) qui correspond à la somme matricielle des composantes de la métrique symétrique de la relativité générale, ≡ g(µν )d xµ ⊗dxν où g(µν ) = ½ (gµν + gνµ ), et des composantes antisymétriques du nouveau secteur de la théorie non symétrique de la gravitation, ≡ g[µν ]d xµ ∧dxν où g[µν ] = ½ (gµν − gνµ ). g g ~ g g ~ xiv
  15. 15. Préface xv La TNG est basée sur trois objets géométriques: les composantes de la métrique non symétrique (i.e., gµν) et deux connexions non symétriques (i.e., Γρ µν et Wλ µν). La variation des composantes (i.e., gµν ) de la métrique (g ) est considérée dans la représentation de la courbure et de la torsion du champ gravitationnel non symétrique (i.e., Wµ = Σλ Wλ [µλ]).* Il en découle alors qu’en plus de la courbure de l’espace-temps familière à la théorie de la gravitation d’Einstein (ou relativité générale), il y a aussi la présence d’une torsion du champ gravitationnelle par la voie des composantes de la partie antisymétrique de la connexion (i.e., W λ µν ). On peut visualiser sommairement la géométrie d’un tel champ gravitationnel non symétrique arbitraire par une analogie à la toile érigée par une araignée où la toile représente un système de coordonnées polaires dont les créneaux sont tordus par les contraintes élastiques (e.g., dues par exemple à la courbure provoquée par la masse linéaire de la toile et à la torsion asymétrique créée par les différentes tensions présentent dans les filaments tissés). Alors, dans la TNG, la masse et la charge générées déforment et tordent l’espace-temps (via la courbure et la torsion, respectivement.) La théorie est basée sur une formulation lagrangienne et on obtient des équations non linéaires du champ, des lois de conservation et des équations du mouvement pour plusieurs situations d’intérêt. La TNG mène aussi à des prédictions expérimentales intéressantes que nous explorerons en profondeur car la TNG possède plusieurs solutions à ses équations du champ dont une solution statique à symétrie sphérique possédant un nouveau paramètre (i.e., l²) une charge proposée qui correspond au nombre conservé de particules d’un corps et qui possède les dimensions de [longueur]². On applique cette solution à plusieurs scénarios dont celui du système solaire. Lorsque la charge du nombre conservé de particules d’un corps est nulle (i.e., l² = 0), l’élément de longueur se réduit à la solution familière de Schwarzschild. De plus, la solution à symétrie sphérique dépendante du temps intérieure non symétrique est appliquée aux naines blanches et aux étoiles à neutrons qui comporte un autre paramètre (i.e., s, lié à l2 ). Il existe aussi des solutions à la théorie combinée TNG-Maxwell, une solution à symétrie sphérique non symétrique dépendante du temps extérieur d’une source de champ gravitationnel, et quelques solutions d’ordres cosmologiques correspondants à des situations isotropes ou inhomogènes. La TNG est en accord avec toutes les données observationnelles lorsque les paramètres internes de la théorie sont proprement ajustés et peut même expliquer quelques différences observationnelles qui ne peuvent être expliquées par la relativité générale dans des situations où les champs gravitationnels sont intenses – un secteur qui offre davantage de possibilités que les solutions présentement disponible par la voie de la relativité générale. Par exemple, la TNG est aussi en accord avec les mesures de temps du pulsar PSR 1913+16 et procure une explication pour le déplacement du périastre anormalement faible pour les systèmes binaires tels DI Herculis et AS Cam où on trouve que l’hypothèse des cosmions peut jouer un rôle significatif dans un arrangement convenable avec les données procurant ainsi, de la part de la TNG, un lien significatif entre les données astronomiques et l’existence de la matière noire et possiblement une quatrième génération (ou famille) de particules. Une fois que les données de la précession de la périhélie de Mercure ont été convenablement arrangées, il suit que les prédictions faites par la TNG pour les autres vérifications du système solaire sont toutes en accord avec les observations, incluant même le cas où le coefficient du moment quadripolaire du Soleil serait élevé. Ceci inclus la déviation de la lumière près du Soleil, les données sur le délai temporel, les données sur le décalage vers le rouge et l’Effet Nördverdt où, dans la TNG, le rapport mG /mI est unitaire jusqu’au premier ordre dans l’approximation post newtonienne confirmant * Les composantes de la connexion symétrique Γ λ µν (xµ ) sont données par la relation Γ λ µν = ½Σλ [gρλ (gνλ,µ + gµλ,ν − gµν,λ )] où on représente la dérivation par rapport aux composantes x0 , x1 , x2 , et x3 des coordonnées xλ , soit gµν,λ ≡ dgµν /dxλ . Les composantes Γ ρ µν et W λ µν sont reliées entre elles par la relation : Γ λ µν = W λ µν + ⅔δ λ µ Wν où δ λ µ = 1 lorsque λ = µ et δ λ µ = 0, autrement (i.e., lorsque λ ≠ µ ). Finalement, on défini la trace Wν = Σρ [W ρ [ν ρ ] ] ≡ ½Σρ [W ρ ν ρ − W ρ ρν ].
  16. 16. xvi Préface que la masse inertielle mI et la masse gravitationnelle mG représentent une seule et même chose. Dans la limite du champ faible, seulement la radiation quadripolaire résulte et il n’y a pas de pôles fantômes ou de tachyons. La bonne limite newtonienne est aussi obtenue. La TNG prédit aussi qu’au plus bas ordre en approximation le spin de la partie symétrique (i.e., h(µν )) est JP = 2+ comme dans la relativité générale (le graviton) tandis que le spin de la partie antisymétrique (i.e., h[µν ]) est JP = 0+ correspondant à une nouvelle particule, le skewon. Cette particule d’antisymétricité gravitationnelle n’a toutefois jamais été observée. Du point de vue théorique, la généralité et l’attrait esthétique de la TNG comme théorie de l’espace- temps mérite davantage d’étude (e.g., « Scalar-Tensor-Vector Gravity Theory » aussi proposée par Moffat* qui suggère maintenant une théorie covariant du genre scalaire-tenseur-vecteur de la gravité où on permet à la constante gravitationnelle G, un couplage au champ vectoriel ω et une masse du champ vectoriel µ qui varient tous avec l’espace et le temps). Citons par exemple le couplage de la métrique non symétrique à la courbure de l’arrière-plan de la relativité générale. Dans une étude préliminaire, il a été découvert qu’effectivement un terme de couplage entre la courbure de l’arrière-plan de la relativité générale et le développement au premier ordre de la métrique (i.e., × [µν ] ) rend la TNG inconsistante. Ce terme est manifestement non invariant sous une transformation ε résiduelle ce qui implique que les modes longitudinaux (d’apparence fantôme) demeurent couplés dans la TNG. De façon correspondante, Wν ne réussit pas à se découpler parce que l’équation de Maxwell qu’elle obéit possède une source dépendante de la courbure de sorte qu’il est impossible de retirer Wν par un choix approprié de conditions initiales, ce qui implique que les modes dangereux ne se découplent pas, même dans la théorie du vide. Cette situation est davantage embêtante dans la version de la TNG qui considère le couplage avec la matière : des termes additionnels agissent comme des sources localisées d’ondes Wν retardées. Pour remédier à ces problèmes fondamentaux, de nouvelles formulations de la TNG ont été étudiées. Dans la Théorie Massive et Non symétrique de la Gravitation (TMNG), on incorpore trivialement un terme comportant une masse au lagrangien. En effet, cette nouvelle orientation vient de l’étude d’un nouveau secteur de la TNG et l’ensemble des solutions donne un comportement régulier aux quantités physiques tel de décalage vers le rouge et la densité d’énergie. Il n’existe donc pas d’horizon événementiel de trous noirs et aucune singularité de l’espace-temps dans cette nouvelle formulation du champ gravitationnel. Le développement qui suit est considéré consistant et débute par une introduction qui suggère l’importance de la nature humaine de critiquer les théories établies lorsque celles-ci manquent à expliquer les concepts davantage fondamentaux. En ce sens, on débute par expliciter la deuxième loi de Newton qui sert à décrire la dynamique du mouvement qui est invariante sous une transformation de coordonnées. On montre ensuite que les transformations de Galilée laisse la loi de Newton invariante mais cependant, elle laisse aussi des termes additionnels lorsqu’on les applique aux équations de la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell suggérant ainsi que le résultat d’expériences de nature électromagnétique conduite dans un repère en mouvement rectiligne uniforme ( ) ne correspondront pas aux résultats obtenus dans un repère au repos ( S ). On argument ensuite que seules les postulats et les équations de transformation de la relativité restreinte d’Einstein réussissent à expliquer le résultat négatif de l’expérience interférométrique de Michelson-Morley et où la constance de la vitesse de la lumière a été confirmée. Ensuite, on ajoute au principe de la relativité restreinte la nécessité du principe d’équivalence pour formuler la base de la relativité générale, laquelle stipule qu’on ne peut distinguer localement un mouvement de chute libre * http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0506021.pdf (2005). 0 R 1 g S
  17. 17. Préface xvii (sans rotation) dans un champ gravitationnel d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel. Puis finalement, on argumente que la relativité générale est elle aussi qu’une première étape vers une théorie finale de la gravitation tout en se dissociant toutefois de la considération d’un champ gravitationnel entièrement symétrique en postulant une métrique non symétrique du champ gravitationnel et un continuum purement gravitationnel en la partie antisymétrique de la métrique. On explore ensuite l’ensemble des fondements et on explicite rigoureusement la formulation de la théorie non symétrique de la gravitation de Moffat, et finalement, on étudie ses implications dans l’astrophysique contemporaine. Maurice R. TREMBLAY Embrun, Ontario, Canada Janvier, 2015
  18. 18. Notation En règle générale, tous les symboles sont expliqués dans le texte. On identifie seulement les conventions courantes auxquelles l’on obéira tout au long de l’ouvrage. Vitesse de la Lumière* La vitesse de la lumière est une constante et se propage approximativement par c ~ 300,000,000 mètres par seconde (on exprime un tel ordre de grandeur par 3×108 m/s en notation scientifique). Dans le vide (vacuum), elle est précisément égale à c = 299,792,458 m/s ou 1,079,252,848.8 km/h, ou bien même trente centimètres (un pied) par nanoseconde (10−9 s). Elle a comme origine les équations de Maxwell qui décrivent l’unification des effets électriques aux phénomènes magnétiques, desquels on déduit l’existence d’une onde électromagnétique qui se propage d’elle-même et qui se déplace au travers l’espace avec une vitesse constante c = oo1 µε = 299,792,458 m/s. La particule élémentaire qui constitue une onde lumineuse est le photon – un quanta d’énergie électromagnétique. L’intensité de la radiation électromagnétique émise par un corps noir (un absorbeur parfait, aussi connue comme une cavité rayonnante) dépend de la fréquence de la radiation (e.g., la couleur de la lumière) et de la température du corps selon une distribution de Planck.† On reconnaît l’origine de la définition de la lumière dans l’électromagnétisme de James Maxwell de la fin du 19e siècle, le champ généré par le déplacement électrique D représente comment le champ électrique E influence l’organisation des charges électriques dans un milieu donné, incluant la migration de charges et la réorientation des * Les trois dimensions de la lumière (i.e., ou toute autre radiation électromagnétique) sont l’intensité I ∝ |A2 | (où A est l’amplitude de l’onde électromagnétique), qui est reliée à la perception humaine par la brillance apparente de la lumière, la fréquence f (où λ est la longueur d’onde liée à cette dernière par la relation λ = c / f ), perçue par les humains comme la couleur de la lumière, et la polarisation ε µ (p), une fonction de la quantité de mouvement de l’onde électromagnétique et laquelle les humains ne perçoivent que faiblement sous des conditions normales. † Des trois couleurs primaires, le vert est le plus lumineux, suivi du rouge, puis du bleu. La luminance lumineuse est l'intensité lumineuse d'une source lumineuse dans une direction donnée, divisée par l'aire apparente de cette source dans cette même direction – l’unité de luminance lumineuse est le watt par mètre carré et par stéradian – W/m²/sr) en unités MKS (Mètre, Kilomètre, Seconde). La luminance énergétique monochromatique Lλ est un flux énergétique (i.e., la puissance ou la luminosité ∴ [W]) par unité de surface (A ∴ [m2 ] ), par unité d’angle solide (dΩ ∴[sr] ) et par unité de longueur d’onde (λ ∴[m] ) ; elle s’exprime en W/m2 /sr/m. La loi de Planck définit donc la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique Distribution Lλ ∝Τ de Planck :         − = 1e 21 2 5 Tkhc hc L λλ λ λ λ . [W/m2 /sr/m] où cλ = c / nλ est la vitesse du rayonnement électromagnétique dans le milieu où se propage le rayonnement, l’indice de réfraction du milieu, nλ (pour la longueur d’onde quelconque λ ), la vitesse de la lumière dans le vide (c = 299,792,458 m/s), la constante de Planck (h = 6.62617×10−34 J·s), la constante de Boltzmann (k = 1.38066×10−23 J/Κ) et T est la température de la surface du corps noir (en degrés kelvins [Κ = °C + 273.15]). xviii
  19. 19. Notation xix dipôles électriques, et sa relation à la permittivité est donnée par la relation D = εo E où la permittivité du vide εo = 8.8541878176×10−12 F/m [C2 /N·m2 ] est un scalaire si le milieu est isotrope tandis que la perméabilité du vide µ o = 4π ×10−7 N/A [kg·m/C2 ] (π ≡ 3.141692…) provient de la relation vectorielle B = µo H entre la densité du flux magnétique (l’induction magnétique) B provoquée par l’intensité magnétique H. Indices Les indices latins de bas de cage i, j, k, etc. couvrent généralement les trois coordonnées spatiales 1, 2, 3, ou x, y, z. Les indices grecs α, β, ..., µ, ν, etc. couvrent généralement les quatre coordonnées de l’espace-temps 0, 1, 2, 3, ou ct, x, y, z, ou t, x, y, z, si c = 1. Les indices latins de haut de cage M, N, etc. couvrent généralement les coordonnées des dimensions supérieures 1, 2, 3, 4, ..., n = dim(Vn), ou µ, 5, 6, 7, etc., et où dim(Vn) est la dimension de la variété Vn. Parfois, la coordonnée temporelle t est identifiée à µ = 4. Les indices répétés sont sommés à moins d’avis contraire (Convention d’Einstein). Vecteurs et 1-formes Les vecteurs cartésiens sont indiqués par un caractère-type gras : r = r , et où indique un vecteur unitaire dans la direction du vecteur r. Les quadrivecteurs sont indiqués par un caractère-type Impact italique : v = v µ eµ, où {eµ } est un ensemble de bases générales. Les formes d’ordre un (1-formes) sont indiqués par un caractère-type grec gras et italique : σσσσ = σµ ωωωω µ , où {ωωωω µ } est un ensemble de bases duales à l’ensemble {eµ }. Dérivées En utilisant le concept de dérivée ∂µ ≡ ∂/∂x µ = [∂/∂x0 ,∂/∂x1 ,∂/∂x2 ,∂/∂x3 ] et du gradient ∇ = ∂/∂x1 +∂/∂x2 +∂/∂x3 , ∂µ ≡[∂/∂x0 ,∇∇∇∇ ], on considère la variation et l’orientation d’une coordon- née xµ de façon infinitésimale. Une virgule précédant l’indice de dérivation : f,µ = ∂ f ⁄ ∂xµ = ∂µ f . La permutation cyclique est indiquée par les accolades : V{[µν ],λ} ≡ V[µν ],λ + V[νλ ],µ + V[λµ ],ν . La dérivée directionnelle d’une fonction le long d’un quadrivecteur v quelconque est généralement exprimée de la façon suivante : ∇∇∇∇v f . La dérivée covariante est généralement exprimée comme : ∇∇∇∇u ou par un point- virgule u µ ;ν lorsqu’on utilise les composantes. Il faut cependant savoir par rapport à quelle connexion on effectue la dérivation covariante. La dérivée externe est identifiée par d. Métrique Par convention, les composantes de la métrique de Minkowski, ηµν, dans un système de coordonnées inertiel possède les éléments diagonaux suivants : ηµν = diag(+1,−1,−1,−1). On défini le d’Alembertien de la façon suivante : ≡ Σµν [ηµν (∂/∂xµ )(∂/∂xν )] = Σµ [∂µ ∂µ ] = ∂2 /∂(ct)2 − ∇∇∇∇2 . La métrique non symétrique est identifiée par g ≡ ⊕ ou bien, en composantes, gµν = g(µν ) + g[µν ]. La symétrie et l’antisymétrie sont identifiées par les parenthèses et les crochets carrés : V(µν ) = (Vµν + Vνµ ) et V[µν ] = (Vµν − Vνµ ), respectivement. Un tenseur tel g ≡ ⊕ représente la somme algébrique d’un tenseur d’ordre-2, ≡ g(µν )d xµ ⊗dx ν , et d’un 2-forme, ≡ g[µν ]d xµ ∧dx ν , où dxµ représente la différentielle des coordonnées xµ . En effet, tout tenseur est représenté par un caractère-type Impact italique v . On abaisse et élève les composantes de la métrique selon la relation : Σρ [g ρρρρµ gρρρρν] = Σρ [g µρρρρ gνρρρρ] = δ µ ν où l’ordre des indices est important. rˆ rˆ g g ~ 2 1 2 1 g g ~ g g ~
  20. 20. xx Notation Élément de Longueur ds2 La distance infinitésimale ds entre deux coordonnées d’espace-temps quelconque xµ = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] et x v ν = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] est méticuleusement représentée par la combinaison linéaire quadratique des produits des variations suivante : ds2 = g00 dx0 dx0 + g01 dx0 dx1 + g02 dx0 dx2 + g03 dx0 dx3 + g10 dx1 dx0 + g11 dx1 dx1 + g12 dx1 dx2 + g13 dx1 dx3 + g20dx2 dx0 + g21 dx2 dx1 + g22 dx2 dx2 + g23 dx2 dx3 + g30 dx3 dx0 + g31 dx3 dx1 + g32 dx3 dx2 + g33 dx3 dx3 . En introduisant une première somme sur les coordonnées x v ν = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ], on obtient en premier lieu : ds2 = Σν (g0ν dx0 dxν ) + Σν (g1ν dx1 dxν ) + Σν (g2ν dx2 dxν ) + Σν (g3ν dx3 dxν ) et puis en introduisant une seconde somme sur les coordonnées xµ = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ], on exprime ds2 = Σµ [Σν (gµν dxµ dxν )] = Σµν gµν dxµ dxν . Les sommes Σµν souscrites aux indices µ et ν sont sommées de 0 à 3. On obtient finalement un élément de longueur ds2 ≡ gµν dxµ dxν , où gµν = g(µν ) + g[µν ] (la somme des composantes symétrique, gµν = gνµ , et antisymétrique, gµν = −gνµ , respectivement). Élément de Longueur de Minkowski Dans un plan orienté quelconque situé dans un espace plat E (Euclidien) à D = 4 dimensions (correspondant par exemple à un continuum d’espace-temps) décrit par la distance parcourue par la lumière pendant un temps t à une vitesse c dans un système de coordonnées cartésiennes* x, y, et z et qu’on a l’élément de longueur de Minkowski : ds2 = Σρσ ηρσ dxρ dxσ =ηtt d(ct)d(ct) +ηxx dxdx +ηyy dydy +ηzz dzdz = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2 si les composantes diagonales de la matrice 4 × 4 représentant les 16 composantes de la métrique ηρσ sont définies comme : ηtt = +1, ηxx = ηyy = ηzz = −1 ou bien : ηρσ = diag(+1,−1,−1,−1) ou encore (+,−,−,−), par convention dans ce travail. Cette dernière est mieux représentée par la relation : ds2 = c2 dt2 − dr2 (où r = rrˆ est le vecteur position où |rˆ | = 1 m ou bien rˆ = iˆ + jˆ + kˆ où |iˆ | = | jˆ | = |kˆ | = 1 m en assumant un système d’unités MKS pour représenter les distances mesurée et parcourues). Dans un autre système géométrique tel une hypersphère de réalité H, les composantes symétriques g(µν ) de la métrique non symétrique gµν sont reliés à la métrique de l’espace-temps plat de Minkowski ηρσ par g(µν ) = Σρσ [ηρσ (dxρ /dxµ )(dxσ /dxν )]. On peut utiliser l’élément de longueur dans E en définissant un système de coordonnées sphériques xµ = (ct,r,θ ,ϕ ) donné par x = rsinθ cosϕ , y = rsinθ sinϕ , et z = rcosθ utilisé pour décrire convertir les coordonnées xµ = (ct,x,y,z) du système d’origine de sorte que le nouveau système soit décrit par le temps t, le rayon |r| = r =(x2 + y2 + z2 )1/2 , l’angle du zénith θ = tg−1 (y/x), et l’angle de l’azimut ϕ = cos−1 [z/(x2 + y2 + z2 )1/2 ], respectivement. On obtient ds2 ≡ Σµν g(µν ) dxµ dxν = g(tt) c2 dt dt + g(rr) drdr + g(θθ) dθ dθ + g(ϕϕ) dϕ dϕ = c2 dt2 − dr2 − r2 dθ 2 − r2 sin2 θ dϕ 2 si les composantes diagonales de la métrique sont définies comme : g(tt) = +1, g(rr) = −1, g(θθ) = −r2 , g(ϕϕ) = −r2 sin2 θ ou bien g(µν ) = diag(+1,−1,−r2 ,−r2 sin2 θ) ou encore (+,−,−,−). Cette dernière est mieux représentée par ds2 = c2 dt 2 − dr2 − r2 (dθ 2 − sin2 θ dϕ 2 ). Élément de Longueur de Schwarzschild Dans la relativité générale à 4-dimensions, la visualisation devient davantage compliquée car une solution aux équations du champ d’Einstein a été proposée par Karl Schwarzschild en 1916 et qui définie l’élément de longueur (D = 4) par ds2 ≡ (1−2GmG/c2 r)c2 dt2 −(1−2GmG/c2 r)−1 dr2 − r2 (dθ2 −sin2 θ dϕ 2 ) ≡ C(r)c2 dt2 −A(r)dr2 −B(r)dΩ2 avec dΩ 2 = dθ 2 − sin2 θ dϕ 2 . Schwarzschild a considéré deux fonctions quelconque de la position r, µ (r) et ν (r), et les a misent en fonctions * Les coordonnées du quadri-vecteur position xρ = [ct,x,y,z] contiennent le temps t et les composantes d’un vecteur positionné dans un système cartésien quelconque qui correspond à l’ensemble {x0 ,x1 ,x2 ,x3 }, nonobstant la constante c qui agit essentiellement en guise de pondération des signaux émis entre deux événement situés à une distance ds2 l’une de l’autre dans l’espace-temps.
  21. 21. Notation xxi exponentielles, eµ (r) et eν (r) , représentent des fonctions définies par x a ex où ex = exp(x) ≡∑ +∞ =0 )!( n n nx avec la factorielle donnée par n! = ∏ + = n i i1 = 1 × 2 × 3 × ... × (n−1) × n. Il obtînt que g(tt) = C (r) = e µ (r) , g(rr) = A(r) = e −ν (r) , g(θθ ) = B(r) = r2 , et g(ϕϕ ) = B(r) sin2 θ = r2 sin2 θ , où exp[µ (r)] = exp[ν (r)] = 1 − RS / r. Par après, on a défini l’horizon événementiel d’un trou noir par le rayon de Schwarzschild, RS = 2GmG/c2 , où mG est la masse gravitationnelle qui est présente dans le continuum d’espace-temps. * Connexions Le symbole de Christoffel usuel de la Théorie de la Gravitation d’Einstein est défini par : = −[µν,λ ]. Les composantes de la connexion symétrique sont données par : Γ λ µν = = ½Σσ [gλσ (gνσ,µ + gµσ,ν − gµν,σ )], où Γ λ µν = Γ λ νµ (symétrie) et gµν,σ = dgµν /dxσ . Les composantes de la connexion non symétrique sont données par : W λ µν , où W λ µν ≠ W λ νµ . Les composantes de la connexion généralisée (en présence de sources) sont données par : Λλ µν, où Λλ µν ≠ Λλ νµ . Les composantes de la métrique obéissent à la condition de compatibilité des composantes de la métrique suivante : gµν,σ − gρν Γ ρ µσ − gµρ Γ ρ νσ = 0. Les composantes des connexions Γ λ µν et W λ µν sont reliées par la relation: Γ λ µν = W λ µν + ⅔δ λ µ Wν (transformation projective) où Wµ = Σλ [W λ [µλ ]] est un multiplicateur de Lagrange (la trace de Wλ [µν ]). Courbure et autres Tenseurs Reliés Les composantes du tenseur de Riemann sont représentées par : R λ µνρ (Γ ), R λ µνρ (W ), ou R λ µνρ (Λ), selon qu’elles dépendent de la connexion Γ λ µν , W λ µν, ou Λλ µν , respectivement. Il en est de même pour toute quantité représentée de la sorte. Un point sur une quantité indique généralement la dérivation par rapport au temps. Les quantités suivantes: µν , µν , etc. représentent des quantités d’ordre zéro en approximation (l’arrière-plan de la TGE), de premier ordre en approximation, etc., respectivement. Les composantes du tenseur de Ricci sont représentées par : Rµν . Le scalaire de courbure est dénoté par : R = Σµ [R µ µ ]. Les composantes du tenseur d’Einstein sont données par : Gµν = Rµν − ½gµν R . * La masse de la Terre, mG = M⊕ [qui par convention est exprimée soit en gramme (g – selon le système Impérial aux États- Unis) ou en kilogramme (kg – selon le système Métrique ou MKS) provoque le champ gravitationnel que l’humain ressent sur la surface de la Terre. Cette force gravitationnelle est causée par l’accélération constante que l’humain ressent due à la gravité, causée par la déformation que la masse M⊕ impose à l’espace-temps qui l’entoure, soit g ∼10 mètres par seconde, par seconde (g = 9.810 m/s2 ) car avec M⊕ représentant la masse de la Terre (5.9742×1024 kg) et R⊕ représentant le rayon équatorial de la Terre (6,378,100 m). On peut calculer cette accélération en utilisant la relation g = (GM⊕)/R⊕ 2 obtenue à partir de la loi de la gravitation d’Isaac Newton datant de la fin du 17e siècle). G est la constante de la gravitation universelle de Newton (6.6742±0.0010×10−8 cm3 /s2 /g, ou bien en MKS, G = GN = 6.6762×10−11 N·m2 /kg2 ). Le Newton [N] représente la notion de force gravitationnelle ressentit, W (e.g., son propre poids w = |W|) selon la seconde loi de Newton de la dynamique classique (e.g., l’équation Fg =W = mI g = −−−−mI gkˆ , où mI est la masse inertielle au repos, et kˆ est un vecteur unitaire qui représente l’échelle de l’étalon de mesure et l’orientation du repère de référence S par rapport à un système de coordonnées cartésiennes orthogonales de référence [ iˆ , jˆ ,kˆ ]). Le signe ‘−’ indique que la force gravitationnelle W (poids d’un humain) est orienté vers le centre de la Terre. Lorsque son propre poids est nul (W = 0), on atteint l’état où l’ensemble des forces gravitationnelles et inertielles auxquelles son corps est soumis possède une résultante et un moment résultant nuls. L’apesanteur est donc le phénomène ressenti en l’absence de gravité.       λ µν       λ µν 0 R 1 g
  22. 22. xxii Notation Densités Les densités (quantités invariantes) sont représentées par un caractère-type Fractur gras : XXXX = X où g = det |gµν | où |…| représente la valeur absolue qui est définie selon l’algèbre |± x | = |± x | = x. g−
  23. 23. 1 Introduction 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell Le principe de base de la théorie de Newton est que tout repère S est inertiel lorsqu’il est au repos par rapport au repère fixe des étoiles distantes. On défini r comme le vecteur position (avec r = rrˆ où rˆ = iˆ + jˆ + kˆ dans un système de coordonnées cartésiennes) à partir de l’origine O. Maintenant, tout autre repère est aussi inertiel lorsqu’il se déplace à vitesse constante (i.e., aucune accélération : a = |a | = | [ ]t t ∆∆ →∆ v 0 lim | = |dv/dt | = 0), d’où v est le vecteur vélocité (avec la vitesse donnée par v = |v | = | [ ]t t ∆∆ →∆ r 0 lim | = |d r/d t| = a t) et p = mv est la quantité de mouvement.* Donc, selon Newton (inspiré des travaux préalables de Galilée) : 1. Si deux événements sont simultanés dans le repère inertiel S, ils sont simultanés dans tous les repères inertiels † ; 2. Le temps est universel, i.e., t = . La seconde loi du mouvement de Newton est donnée par a rrvvp F m dt d m dt d dt d m dt d m dt md dt d ==      ==== 2 2 )( (1.1.1) où F est la résultante de toutes les forces qui agissent dans le système, m est la masse de l’objet, a est l’accélération vectorielle, d/dt est la dérivée par rapport au temps universel t (tandis que d2 /dt2 est la deuxième). La Figure 1.1.1 montre que les repères S et sont reliés par les transformations de Galilée (1.1.2) tt = (1.1.3) * Dans D = 4, on utilise le quadri-vecteur quantité de mouvement Pµ = [p0 , p] = [E/c, p] = [+ 2 o 2 )( cm+p , p] = [γmoc, γ v] où mo est la masse au repos dans le repère , E = γmoc2 = mc2 = 22 o 2 )()( cmc +p est l’énergie totale (avec la masse relativiste m = γ mo), p = γmov est la quantité de mouvement relativiste (vecteur) (avec p = [px, py, pz] ou bien p = [pr, pθ, pϕ]), et 2 11 βτγ −== ddt est un facteur de correction relativiste appelé gamma relativiste, et la rapidité β = |v|/c = v/c où v est la vitesse observée dans le repère de référence S dans lequel t est mesurée et τ est le temps propre du repère en mouvement rectiligne uniforme v par rapport au repère S. Pµ obéit la relation p • p = Pµ Pµ = −E2 + p2 = −m2 (avec Pµ = gµν Pν ). Puisque les photons n’ont point de masse (ils sont néanmoins décris d’une longueur d’onde λ et d’une fréquence f reliées par l’équation. λ f = c, où c est la vitesse de la lumière dans le vide), on utilise une quantité de mouvement p = hκκκκ ((((où h = 2π h = 6.2617×10-34 Joule-seconde et κκκκ est le vecteur d’onde relié à la longueur d’onde par la relation κ = |κκκκ| = 2π /λ ) et une énergie par quanta E = hω = hf de fréquence angulaire ω = dθ /dt = 2π f, on a κ = κµ = [κ 0, κκκκ] = [E/c, κκκκ] = [κ, κκκκ] et où le produit scalaire κ ⋅ x donne κµ xµ ≡ κκκκ • r −E t , une relation utile pour définir l’amplitude d’une onde électromagnétique A(r,t) = Ao(r,t)Re[exp (κ r – ω t )] = sin(ω t – κ r). Ne pas confondre la quantité de mouvement p avec l’impulsion I = ∫F dt = ∫( d p / d t ) dt = ∫dp = ∆p (la variation de la quantité de mouvement) car la force F est donnée par la variation de p par rapport au temps universel t : F = dp/ dt. † On a observé que la distance qui nous sépare du Soleil est si grande que sa lumière nous parvient 8 minutes après avoir était émise – il faut 8 minutes aux photons émis par l’astre Sol pour arriver sur Terre S ⊕. Selon la théorie de Newton, l’astre Sol émet sa lumière qui est instantanément reçue sur la planète Terre S ⊕. S S t S tvrr += S S S S 1
  24. 24. 2 1 Introduction Figure 1.1.1: Le premier repère S est inertiel. Le second repère se déplace de façon uniforme avec une vitesse v par rapport au repère S. r = v t est le déplacement du repère dans un temps t. Les transformations données par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3) laissent la loi de Newton donnée par l’Éq. (1.1.1) invariante. Ceci suggère que les lois de Newton sont valables dans le premier repère S, elles le sont aussi dans le second repère : les deux repères sont inertiels. Alors, selon le modèle de Newton, le temps est une quantité universelle et chaque repère inertiel indique le même temps. La simultanéité des événements existe pour tous les repères inertiels. Les lois de Newton sont aussi invariantes pour : 1. une transformation orthogonale O i j (θ )* (1.1.4) (1.1.5) 2. une rotation O i j (θ ) et une translation a i du repère de référence dans un espace isotrope consistant d’aucune direction privilégiée (1.1.6) 3. un changement d’origine du temps dans un espace homogène complet (1.1.7) * Avec l’aide d’un paramètre θ (e.g., une rotation d’un angle de θ du repère de référence autour de l’origine), on peut utiliser un système de coordonnées polaires P(r,θ ) décrit par x = x(r,θ ) = r cosθ et y = y(r,θ ) = r sinθ pour décrire un mouvement circulaire quelconque. Le système de coordonnées de S est donné par r j = [x,y] tandis que celui du système de coordonnées est i r = [ x (r,θ ), y (r,θ )]. En utilisant une rotation R2 dans un plan, on a XRX )(2 θ= puisque             − =      y x y x θθ θθ cossin sincos . C’est un exemple d’une rotation R d’un système de référence dans un plan à 2 dimensions d’un angle θ donné par la relation ∑= j jjii rOr ])([ θ où la matrice de rotation est donnée par       − = θθ θθ θ cossin sincos )(ji O , soit les composantes du groupe O(2) ou group Orthogonal dans D = 2 dimensions avec les composantes du groupe O i j : O 11 = cosθ , O 22 = cosθ , O 12 = sinθ , et O 21 = −sinθ . De plus, l’inverse est donnée par O −1 (θ ) = O(−θ ) et l’élément unité du groupe (identité) par O−1 (θ ) ⊗ O(θ ) = 1111 =       10 01 donnant ainsi l’identité O T 1111O = 1111 où la matrice transposée O T est défini par [O i j ] T = [O j i ]. Incidemment, toute matrice orthogonale peut être réécrite comme O(θ ) ≡ ∑ ∞ = = 0 ]!)([)(exp n n nτθτθ où τ =       − + 01 10 . S S S ∑∑ == j jiji j jiji FOFrOr )()( θθ i i i i F dt rd mF dt rd m =→= 2 2 2 2 i j jiji arOr += ∑ )(θ tddtttt =↔+= o S x3 x2 x1 (r,t) S vt
  25. 25. 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 3 La relativité newtonienne d’avant 1905 (pré relativité) suggère donc que les lois de Newton sont indépendantes de : 1. la position ; 2. l’origine des temps ; 3. l’orientation. On a alors une image d’un monde homogène et isotrope tridimensionnel de l’espace constitué de points au travers desquels les particules se déplacent selon des lois formulées par l’Éq. (1.1.1) et fonction d’un paramètre que l’on appelle le temps. Une conséquence importante des lois classiques qui gouvernent le déplacement des particules est que ces lois sont les mêmes pour tous les repères de référence se déplaçant avec une vitesse uniforme l’un par rapport à l’autre, c’est-à-dire que les lois de la mécanique classique de Newton sont les mêmes pour tous les repères reliés l’un par rapport à l’autre via une transformation de Galilée donnée par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3). On analyse maintenant l’application de la mécanique classique à la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell. On effectuera une transformation de Galilée à l’équation d’onde qui gouverne le déplacement des ondes électromagnétiques. Pour trouver cette équation d’onde, on débute par énumérer les équations de Maxwell qui sont données par (Appendice A) o )( )( ε ρ r rE =•∇∇∇∇ (Loi de Gauss) (1.1.8) t∂ ∂ −= )( )( rB rE××××∇∇∇∇ (Loi d’induction de Faraday) (1.1.9) 0)( =• rB∇∇∇∇ (Aucune charge magnétique isolée) (1.1.10) )( )( )( ooo rJ rE rB µεµ + ∂ ∂ = t ××××∇∇∇∇ (Loi d’Ampère) (1.1.11) où ∇∇∇∇ est l’opérateur gradient (∇∇∇∇ = iˆ ∂/∂x + jˆ ∂/∂y +kˆ ∂/∂z) et où εo est la permittivité du vide et µo est la perméabilité du vide. E(r) et B(r) sont les vecteurs (amplitude et direction) du champ électrique et magnétique, respectivement. ρ(r) et J(r) sont la densité de charge et le vecteur courant, respectivement. On a expliciter la dépendance sur le vecteur position r pour indiquer la dépendance de ces quantités sur leur position respective dans l’espace que l’on considère essentiellement statique vue qu’il n’y a pas de dépendance sur le temps t. Les Éqs. (1.1.8)-(1.1.11) sont les équations fondamentales de la théorie classique de l’électromagnétisme de Maxwell.* En prenant le produit vectoriel de l’Éq. (1.1.9) et en utilisant l’identité ∇∇∇∇××××(∇∇∇∇××××X) = ∇∇∇∇(∇∇∇∇•X) − ∇2 X, on obtient EEEE 2 o 2 1 )()( ∇−=∇−••= ρ ε ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇××××∇∇∇∇××××∇∇∇∇ ttt ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= JEB o2 2 oo µεµ××××∇∇∇∇ (1.1.12) ou bien t ρ t ∂ ∂ −=      ∂ ∂ −∇ )( )( 1 )( o o 2 2 oo 2 rJ rrΕ µ ε εµ ∇∇∇∇ (1.1.13) De même, avec l’Éq. (1.1.11), on obtient )( )( )()( ooo 2 J E BΒΒ ××××∇∇∇∇ ××××∇∇∇∇ ∇∇∇∇∇∇∇∇××××∇∇∇∇××××∇∇∇∇ µεµ t∂ ∂ =∇−••= )(o2 2 oo J B ××××∇∇∇∇µεµ + ∂ ∂ −= t (1.1.14) ou, avec l’Éq. (1.1.10) * Le déplacement électrique, D(r), qui correspond au déplacement des charges électriques dans un milieu donné s’effectue par le couplage de la permittivité du vide, εo, et du champ électrique, E(r), par la relation D = ε oE tandis que de densité du flux magnétique (l’induction magnétique), B(r), résulte du couplage de la perméabilité du vide, µ o, et de l’intensité magnétique, H(r), selon la relation vectorielle B =µ oH.
  26. 26. 4 1 Introduction )()( o2 2 oo 2 rJrB ××××∇∇∇∇µεµ −=      ∂ ∂ −∇ t (1.1.15) Les Éqs. (1.1.13) et (1.1.15) sont des équations d’ondes inhomogènes en E(r) et B(r). Dans les régions de l’espace où ∇∇∇∇ρ(r), ∂ J(r)/∂ t et ∇∇∇∇×××× J(r) sont nuls, on obtient les équations d’ondes homogènes en E(r) et B(r) suivantes 0rE =      ∂ ∂ −∇ )( 1 2 2 2 2 tc (1.1.16) 0rB =      ∂ ∂ −∇ )( 1 2 2 2 2 tc (1.1.17) où c = . La constante c (fondamentale et universelle) joue le rôle de la vitesse de propagation de l’onde. Si f (r,t) est une fonction scalaire, l’équation du télégraphe est donnée par (1.1.18) Sous une transformation de Galilée donnée par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3), ri → ri − vi t = et puisque f (r,t) est une fonction scalaire, elle doit être la même si elle dépend de variables différentes en et t. Donc (1.1.19) Maintenant (1.1.20) de sorte que (1.1.21) Mais t tg tg ∂ ∂ +•= ),( ),( r rv ∇∇∇∇ (1.1.22) et [ ]),( ),( 2 ),(),( 2 2 2 2 tg t tg t tg t tf rvv r v rr ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇ ••+ ∂ ∂ •+ ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.1.23) Donc, l’équation du télégraphe se transforme selon la loi (phénomènes pouvant être observés en laboratoire en tout temps)1 ),( 1 )( 2 )( 1 ),( 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 tg tctcc tf tc rvvr       ∂ ∂ − ∂ ∂ •−•−∇=      ∂ ∂ −∇ ∇∇∇∇∇∇∇∇ (1.1.24) On note les termes −2(v • ∇∇∇∇ )∂g(r ,t)/∂t et −(v • ∇∇∇∇ )2 g(r ,t) additionnels aux termes ∇ 2 g(r ,t) − (1/c2 )∂2 g(r ,t)/∂t2 : ceci indique le manque d’invariance de la transformation f (r,t) dans le repère S qui passe à la fonction g(r ,t) dans le repère et n’ont jamais été observés en laboratoire de façon continue. La non invariance de l’équation du télégraphe est donc explicite : ),()()(2 1 ),( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tg ttc tf tc rvvr             •+ ∂ ∂ •+ ∂ ∂ −∇=      ∂ ∂ −∇ ∇∇∇∇∇∇∇∇ (1.1.25) Il est donc évident que l’équation qui gouverne la propagation d’ondes électromagnétiques a une forme différente lorsque l’on se retrouve dans le repère , avec les coordonnées , que dans le repère S avec les coordonnées ri. On conclut donc oo1 µε 0),( 1 2 2 2 2 =        ∂ ∂ −∇ tf tc r ir r )),,((),(),( ttgtgtf rrrr == i ij jj i j i x tg x tg x x x tf ∂ ∂ → ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∑ ),(),(),( 3 1 rrr ),(),( 22 tgtf rr ∇=∇ t tg x tg t x t tf jj j ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = ),(),(),( 3 1 rrr S S ir
  27. 27. 1.1 Les Théories Classiques de Newton et de Maxwell 5 que la forme de l’Éq. (1.1.18) n’est pas invariante sous les transformations de Galilée données par les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3)! Puisque l’Éq. (1.1.18) représente la loi de propagation des ondes électromagnétiques on est à se poser si le choix du repère inertiel de Galilée a une quelque sorte d’influence sur les lois de l’électromagnétisme. Comme on a pu le constater, il y a un problème à relier les deux théories : l’électromagnétisme de Maxwell et la mécanique classique de Newton. Il serait plutôt important de se poser de sérieuses réserves au sujet de l’invariance des équations du mouvement de Newton sous les transformations de Galilée et même mettre en cause l’indépendance du temps dans les repères inertiels. La seule façon de remédier ce problème est de se tourner vers la méthode expérimentale et de vérifier que la constante c qui apparaît dans l’Éq. (1.1.18) réfère à la vitesse de propagation de l’onde dans un repère inertiel “privilégié” de sorte que les équations de Maxwell soient exactes seulement dans ce repère, ou bien qu’il existe dans la mécanique classique une problématique envers la description de la nature. Ce repère privilégié (ou “éther”) est considéré comme étant un milieu de propagation essentiellement au repos. Pour vérifier l’existence de l’éther, un certain nombre d’expériences ont été conçues tels l’expérience de Trauton-Noble et l’interféromètre de Michelson-Morley. Ce dernier n’a pas trouvé de différence dans une différence de phase* produite par la propagation de deux trains d’ondes perpendiculaires l’un de l’autre indiquant qu’il n’y a pas de direction préférentielle dans l’espace. Un bon nombre d’hypothèses furent proposées pour expliquer les résultats décevant de Trauton-Noble et de Michelson-Morley dont : 1. L’analogie avec le son où la vitesse du son est plus grande dans les milieux plus durs (e.g., 1220 m/s dans le Fer vs. 335 m/s dans l’air.) Dans ce cas, l’éther devrait être à la fois très dure, pour pouvoir transmettre la lumière à cette vitesse, mais très souple pour permettre à la Terre et aux astres de le traverser sans effort. Il y a donc une contradiction entre ces deux considérations. Mais, s’il y a une faible résistance, on peut concevoir que l’éther est entraîné par la Terre : l’éther étant stationnaire par rapport à la Terre expliquerait le résultat négatif de Michelson-Morley puisque la source de lumière est terrestre ; 2. L’aberration de la lumière qui considère que si la Terre ne se déplace pas dans l’éther, on pourrait alors observer une étoile dans un télescope en pointant celui-ci directement à l’étoile. Mais si la Terre se déplace, il faut incliner le télescope de façon à observer l’étoile. Si l’éther est au repos dans la région de l’étoile mais est entraîner par la Terre, on aurait une courbure du rayon de lumière (et en conséquence on n’aurait pas à incliner le télescope.) On pourrait donc vérifier le mouvement de la Terre. Or, on trouve que la Terre n’entraîne pas l’éther, ce qui contredit l’hypothèse (1) ; 3. La contraction des longueurs de Lorentz-Fitzgerald où on essaie d’expliquer le résultat négatif de Michelson-Morley en supposant qu’il y a une contraction du bras de l’interféromètre qui est dans la direction du mouvement : c’est la contraction de Lorentz-Fitzgerald. Seulement la proposition d’Einstein réussit à convaincre la communauté scientifique qu’un changement radicale dans la façon de penser du temps était nécessaire. * Ceci est indiqué par des franges d’interférences qui se combinent constructivement ou destructivement sur un plan distant et dépendent qu’on a une différence de phase entre les deux trajectoires ou non.
  28. 28. 6 1 Introduction 1.2 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein On a donc vu dans la Section 1.1 que certains concepts illusoires de l’espace et du temps prévalaient parmi tant d’autres dans la formulation des lois de la physique selon le modèle de Newton. La théorie de Maxwell fut favorisée considérant son potentiel expérimentale à montrer que les Éqs. (1.1.2) et (1.1.3) sont inexactes à compenser pour la description d’une expérience effectuée dans un repère à partir d’un repère S. La théorie de l’électromagnétisme de Maxwell était déjà en accord avec la relativité restreinte ; elle est compatible avec les notions de la pré relativité (structure d’espace-temps) à moins que des repères inertiels préférentiels soient introduits.1 Cependant, la théorie de la gravitation proposée par Newton n’est pas en accord avec la relativité restreinte car elle invoque la notion d’influence instantanée d’un corps sur un autre. Lorsque la notion fondamentale des transformations de Galilée appliquées aux équations de Maxwell fut rejetée, on s’engageait donc à modifier et reformuler les lois de la physique, notamment celles de Newton, pour qu’elles soient consistantes avec la structure de l’espace-temps donnée par la théorie de la relativité restreinte. Les postulats de la relativité restreinte sont les suivants : 1. Toutes les lois de la nature ont la même forme dans tous les repères inertiels ; 2. La vitesse de la lumière est une constante universelle, la même dans tous les repères inertiels ; 3. La vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de la source. Ces postulats expliquent le résultat négatif de l’expérience de Michelson. Un repère de référence sur la Terre peut donc être considéré comme un repère inertiel vue que l’accélération de la Terre vers le Soleil est faible. Selon le postulat (2) d’Einstein, la vitesse de la lumière est une constante universelle. Si on considère un déplacement selon l’axe Ox1, les transformations de Lorentz-Einstein sont données par (voir l’Appendice B pour un développement qui démontre ces relations) (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4) où v1 = dx1 /dt. Pour obtenir les transformations inverses, on remplace les v1 par −v1 et on change les barres en sans-barres et vis-versa. Les conséquences de ces transformations sont les suivantes : 1. La simultanéité est relative. 2. Le temps dépend du temps t et de la position. 3. Si deux évènements se produisent simultanément dans S à deux positions différentes, ils ne sont pas simultanés dans . L’Éq. (1.2.1) indique qu’il y a contraction des longueurs dans la direction du mouvement d’une règle qui sert a mesuré dans vue par S. Il n’y a aucune contraction transversale au mouvement car et . Cependant, l’Éq. (1.2.4) indique que pour une horloge en mouvement dans , elle tourne plus lentement lorsque vue par un observateur dans S. C’est ce qu’on appel la dilatation du temps. On compose en effet une horloge de avec deux horloges de S. Par symétrie, un observateur de voit que les horloges de S tournent plus lentement que celle de . La dilatation du temps peut être S 2 1 11 1 1         − − = c v tvx x 22 xx = 33 xx = 2 1 1 2 1 1         − − = c v x c v t t t S S 22 xx = 33 xx = S S S S Déplacement selon l’axe Ox1 seulement.                          
  29. 29. 1.3 La Théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein 7 vérifiée expérimentalement en mesurant l’activité des mésons µ dans les rayons cosmiques qui ont une vitesse de l’ordre de 90% de celle de la lumière (e.g., 0.9c). On observe que la vie moyenne τ des mésons µ au repos vs. celle des mésons en mouvement (1.2.5) ce qui est en effet mesuré expérimentalement et compris parmi les bornes d’erreurs. C’est la vérification qu’une horloge en mouvement tourne plus lentement. Dans le cas des mésons µ, ceux qui sont en mouvement vivent plus longtemps que ceux qui sont au repos ! On peut réécrire les Éqs. (1.2.1)-(1.2.4) de la façon matricielle suivante où x0 = ct*                     − − − − =               ×                   −− − − − − =               3 2 21 011 21 110 0 3 2 1 2121 1 21 1 21 0 3 2 1 )(1 )( )(1 )( 1000 0100 00 )(1 1 )(1 00 )(1)(1 1 x x cv xcvx cv xcvx x x x x cvcv cv cv cv cv x x x x (1.2.6) ou bien, lorsqu'on compare avec l’Éq. (1.1.6), on obtient (en incluant une translation constante aµ ) (1.2.7) avec µ et ν = 0, 1, 2, 3 et où la matrice des transformations de Lorentz-Einstein est donnée par (toujours, selon la direction x1 comme indiqué dans la Figure 1.1.1)                     −− − − − − =               ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ ΛΛΛΛ =Λ 1000 0100 00 )(1 1 )(1 00 )(1)(1 1 2121 1 21 1 21 3 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 2 2 1 2 0 1 3 1 2 1 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 0 cvcv cv cv cv cv µ ν (1.2.8) Puisque la relativité d’Einstein stipule l’équivalence de certains systèmes de référence ‘inertiels’. Si xµ sont les coordonnées dans un système inertiel, alors dans tous les autres système inertiel µ x doivent satisfaire ∑∑ = ρσ σρ ρσ µν νµ µν ηη xdxdxdxd (1.2.9) La matrice µ νΛ doit satisfaire la relation suivante ρσ µν ν σ µ ρµν ηη =ΛΛ∑ (1.2.10) où µρρ µ xx ∂∂=Λ . La métrique (de l’espace-temps plat de Minkowski) ηµν est la métrique du groupe de Lorentz O(1,3) où les valeurs 1 et 3 sont dû à la nature de l’invariant ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2 et les composantes diagonales de la métrique qui sont définies comme : ηtt = +1, ηxx =ηyy =ηzz = −1 ou bien ηµν = diag(+1,−1,−1,−1) ou encore (+,−,−,−). * Le produit de ces matrices 4×4 (µ représente la rangée et ν la colonne) se fait ainsi : 3 3 2 2 1 1 0 0 3 0 xxxxxx v µµµµ ν νµµ Λ+Λ+Λ+Λ=Λ= ∑= pour µ = 0, 1, 2 et 3. sec107.5 9.0 1 6 2 µ reposauµ mouvementen − ×≅       − = c c τ τ µ ν νµ ν µ axx +Λ= ∑= 3 0 ν µ
  30. 30. 8 1 Introduction 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein Avant la théorie de la gravitation d'Einstein, la relativité générale, les notions pré-relativistes de l'espace et du temps prévalaient parmi tant d'autres dans la formulation des lois de la physique. Lorsque ces notions furent rejetées, on s'engageait donc à modifier et reformuler les lois de la physique pour qu'elles soient consistantes avec la structure de l'espace-temps donnée par la théorie de la relativité restreinte. La théorie de l'électromagnétisme de Maxwell était déjà en accord avec la relativité restreinte1 ; elle est compatible avec les notions de la pré-relativité (structure d'espace-temps) à moins que des repères inertiels préférentiels soient introduits.2 Cependant, la théorie de la gravitation proposée par Newton n'est pas en accord avec la relativité restreinte car elle invoque la notion d'influence instantanée d'un corps sur un autre.1,* La Théorie de la Gravitation d’Einstein (TGE) est la locution qu’on attribue à la relativité générale, la théorie géométrique de la gravitation développée par Einstein et présentée de 1914 à 1916.6,7 C’est une généralisation de la relativité restreinte, et inclut la théorie de la gravitation classique de Newton comme cas limite lorsque les champs gravitationnels† impliqués sont faibles et que les vitesses de tous les corps présents dans le champ sont faibles à comparer à celle de la lumière. La relativité restreinte, proposée en 1905 par Einstein,1 a été rapidement acceptée par les physiciens de l’époque en vertu de son élégance théorique et de son succès expérimental, comme il était très bien établi en 1915. Une des prémisses de base de la relativité restreinte est qu’aucun effet physique ne peut se propager avec une vitesse plus élevée que celle de la lumière, de sorte que la vitesse de la lumière, c, représente une limite constante de vitesse qui est universelle. Cependant, la théorie classique de la gravitation décrit le champ gravitationnel d’un corps dans l’ensemble de l’espace comme une fonction de sa position instantanée, ce qui est équivalent à la supposition que les effets gravitationnels se propagent avec une vitesse infinie, c’est-à-dire que la théorie classique de la gravitation est une théorie d’action-à-distance. Alors, la relativité restreinte et la théorie classique de la gravitation sont inconsistants, et une théorie modifiée de la gravité devient nécessaire. C’est la théorie recherchée et trouvée par Einstein de 1905 à 1916, suivant sa formulation de la relativité restreinte. Dans la relativité restreinte, Einstein a établi qu’il y a invariance de la mesure des distances dans un espace-temps à quatre dimensions. Cette invariance correspond à dire que l’intervalle d’espace-temps définie dans un système de coordonnées sphériques xµ = (ct,r) = (ct,r,θ ,ϕ ) 222222222222 sin ϕθθ drdrdrdtcddtcds −−−=−= r (1.3.1) est partout constant dans un espace-temps. Ceci implique par exemple que peu importe les repères choisit (aussi longtemps qu’ils se déplacent en vitesse uniforme), un observateur au repos et un observateur se déplaçant selon une vitesse uniforme mesureront la même distance entre deux événements distants. Einstein ajouta à cette loi en proposant qu’on ne pense pas que le champ gravitationnel soit un nouveau champ mais plutôt qu’il correspondrait à la déviation de la géométrie de l’espace-temps de Minkowski exprimée par l’Éq. (1.3.1) qui est propre à la relativité restreinte.8,1 Une question troublante et embêtante a été longtemps considérée à savoir pourquoi les corps de masses différentes tombent avec la même accélération dans un champ gravitationnel, ou de façon équivalente, pourquoi la trajectoire d’un corps d’essai est indépendante de sa masse? Cette situation a été expliquée par Newton avec la citation que, à la fois, la force gravitationnelle sur un corps et sa résistance inertielle à l’accélération sont proportionnelles à sa masse. Alors, la masse n’est pas incluse dans la description mathématique du mouvement. Dans les expériences de laboratoire publiées en 1922 par L. von Eötvös,2 il a été trouvé que ceci est vraie à quelques parties par milliard. Plus tard, les travaux de R. Dicke3 ont amélioré la précision à quelques parties par 1011 , et V. Braginsky4 a obtenu une précision à quelques parties par 1012 . Alors, l’indépendance du mouvement d’un corps d’essai sur sa masse est une des méthodes expérimentales les plus précises de la physique. L’explication qu’a offert Newton n’est pas très explicite et est plutôt de nature ad hoc en description. Une explication beaucoup plus naturelle et concise est due à Einstein. En fait, c’est alors qu’il travaille au bureau des brevets en 1907 qu’il eut la plus belle pensée de sa vie : * Les lois de Newton sont invariantes (c’est-à-dire que les équations du mouvement ne changent pas d'un repère en mouvement à un autre) sous les transformations de Galilée. Malheureusement, les équations de Maxwell ne le sont pas (Section 1.1). Ceci pose alors un sérieux problème : les lois de Newton décrivaient très bien la nature à la fin du 19e siècle, alors que les équations de Maxwell étaient nouvellement formulées. Les équations de Maxwell représentent la loi de propagation à vitesse constante c d'une onde électromagnétique. Cependant, puisque les équations de Maxwell ne sont pas invariantes suivant les transformations de Galilée, ceci mit en doute l'invariance générale sous les transformations de Galilée en plus de reconsidérer l'indépendance du temps dans les systèmes inertiels. Est-ce que la vitesse d’une onde tel que prédite par les équations de Maxwell constante? Ou est-ce que la formulation des lois du mouvement tel que décrite par les lois de Newton représentative du comportement naturel? Ces considérations furent à la base de toute la démarche proposée et résolue par la relativité restreinte proposée par Poincaré, Lorentz, Einstein et plusieurs autres. † Lorsqu’on parle d’un champ, tel le champ gravitationnel, nous parlons d’une collection de nombres, lesquelles sont définis en tout point de l’espace et ils décrivent complètement une force en ce point.
  31. 31. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 9 “J’étais assis sur une chaise dans le bureau des brevets lorsque soudainement une pensée m’est apparue : si une personne tombe en chute libre, elle ne ressentira pas sa propre pesanteur! J’ai sursauté. Cette simple pensée a produit une impression durable en ma personne. Elle m’a propulsé vers une théorie de la gravitation.”5 Dans la physique, il y a beaucoup d’exemples de forces autres que la gravitation qui sont proportionnelles à la masse ; celles-ci naissent généralement de l’utilisation de systèmes de coordonnées qui sont accélérés pour décrire le mouvement. Un exemple bien connu est la force centrifuge, rencontrée dans un système de coordonnées en rotation. Considérons un observateur dans le champ gravitationnel de la Terre et un autre dans un ascenseur ou une fusée en accélération dans l’espace libre. Si les deux personnes laissent tomber un corps quelconque, ils observeront qu’il accélère de façon relative par rapport au sol. Selon la théorie classique, l’observateur situé sur Terre attribuerait cette force à une force gravitationnelle et l’observateur dans l’ascenseur attribuera cette même force au sol en accélération qui rattrape le corps en mouvement uniforme. Cependant, Einstein conclut que les effets sont identiques et que la théorie de la gravitation devrait procurer une description équivalente des deux systèmes. C’est le fameux principe d’équivalence qu’Einstein utilisa pour formuler la relativité générale ; le principe d’équivalence d’Einstein cite que sur une échelle locale, les effets physiques du champ gravitationnel sont indiscernables des effets physiques d’un système de coordonnées accéléré. Du point de vue du principe d’équivalence, la cause du fait que le mouvement d’un corps d’essai dans un champ gravitationnel est indépendant de sa masse est évidente. Selon la théorie de Newton,6,7,8 ceci correspond à dire que la force gravitationnelle sur un corps est proportionnelle à sa masse inertielle et inversement proportionnelle au carré de la distance r qui sépare une masse m de celle la masse M qui agit comme la source de gravitation (F ∝ GM/r2 ou bien Fg = mg = GN mM/r2 , où GN est la constante universelle de gravitation de Newton.) Le principe d’équivalence d’Einstein stipule donc que le déplacement est indépendant de la nature des corps et que les parcours d’objets en chute libre définissent un ensemble de courbes dans l’espace-temps tout comme il le font en relativité restreinte. Ceci nous suggère donc la possibilité que les propriétés du champ gravitationnel sous-tendent la structure de l’espace-temps lui-même. Einstein eut donc recours à deux idées originales et suivit une nouvelle voie plutôt que de modifier la théorie de la gravitation de Newton.1 La première idée fut que tous les corps sont influencés par la gravité et de plus, que tous les corps tombent précisément de la même façon dans un champ gravitationnel – c’est le principe d’équivalence. La seconde idée qu’Einstein utilisa pour formuler sa théorie fut le principe de Mach.8 En relativité restreinte comme pour les notions de l’espace-temps de la pré relativité, la structure de l’espace-temps n’est donnée qu’une fois pour toute, et elle n’est d’aucune façon influencée par les objets matériels qui peuvent y être présents. En particulier, le “déplacement inertiel” et “sans rotation” n’est pas influencé par la matière dans l’univers. Mach, comme bon nombre de philosophes avant lui (en particulier Riemann), trouva cette idée insatisfaisante. Plutôt, Mach se sentait plus à l’aise de penser que toute la matière dans l’univers devrait contribuer à la définition locale de “sans accélération” et “sans rotation” et que dans un univers dénué de matière, ces concepts ne devraient avoir aucun effet. Einstein accepta cette idée et fut fortement motivé à chercher une théorie où, contrairement à la relativité restreinte, la structure de l’espace-temps serait influencée par la présence de matière.1 Du point de vue expérimental, ce ne fut qu’au début des années soixante qu’une nouvelle génération d’expériences gravitationnelles confirmèrent les prédictions de la théorie d’Einstein, au-delà des trois vérifications classiques, dont la déviation de la lumière fut la plus convaincante9 ; le moment quadripolaire du Soleil cause encore certains problèmes en ce qui concerne la précession de la périhélie de Mercure comme vérification définitive.10 De plus, la théorie d’Einstein est en accord avec les relevés obtenus auprès du pulsar PSR 1913+16 en ce qui concerne l’existence indirecte des ondes gravitationnelles.11 Il reste aussi la détection encore désirée du quantum de gravitation, le graviton, qui serait le médiateur de la force gravitationnelle dans la théorie quantique et celle des ondes gravitationnelles directement dans un laboratoire terrestre.12 La cosmologie offre aussi plusieurs énigmes.13 La nouvelle théorie de l’espace, du temps et de la gravitation, la relativité générale, proposée initialement par Einstein en 19147,8,1 affirme que les propriétés intrinsèques de la métrique de l’espace-temps,* indépendantes d’un observateur, n’ont * Avant d’entreprendre notre discussion sur la TGE, il serait approprié de définir quelques termes qui sont essentiels dans cette partie du document. Dans l’espace à quatre dimensions que l’on étudiera (l’espace-temps), on a besoin d’une collection de dix nombres en tout point de l’espace-temps (événement) pour décrire sa courbure ou sa déformation d’un espace plat de Minkowski. Peu importe combien de déformations sont subies par l’espace-temps, cette collection de dix nombres en tout point suffit pour encoder toute l’information de cet espace. On dénote cette collection de dix nombres par la métrique g , ou en ses composantes gµν (µ,ν = 0, 1, 2, 3) correspondant à une matrice 4 × 4 à 16 éléments. Cependant, dans la TGE, la métrique est symétrique (gµν = gνµ ) de part et d’autre de la diagonale, ce qui nous permet de réduire notre nombre de composantes indépendantes pour la métrique à 10 pour tous les points de l’espace-temps. La métrique mesure donc de combien la déformation, les échelles de temps, et la pondération varient d’un endroit à l’autre dans l’espace-temps, et c’est pourquoi les composantes gµν de la métrique sont les potentiels gravitationnels du champ de gravitation. La métrique g et ses composantes, gµν, définissent une entité géométrique qui pondère les différentes différences de coordonnées avec elles-mêmes et entre elles. La métrique possède toute sa force dans son utilisation avec l’élément de longueur [voir l’Éq. (1.3.1)], ou ds2 = ∑µν ηµν dxµ dxν , qui représente la distance au carré entre les différents points de l’espace et est quelque peu représentative du Théorème de Pythagore. Par exemple, si on considère la surface d’une table, les composantes de la métrique dans le cas d’un espace symétrique à deux dimensions (représentée par les coordonnées arbitraires x1 et x2 ) sont η1 = 1, η22 = 1, et η12 = η21 = 0, ou bien, ηµν = (µ , ν = 1, 2). L’élément de longueur (ou intervalle) ds2 est donné par[ ]0 1 1 0
  32. 32. 10 1 Introduction point besoin d’avoir la forme qu’elles ont en relativité restreinte. En Effet, la courbure, c’est-à-dire la déviation de la métrique de l’espace-temps de sa forme minkowskienne, est la cause des effets physiques qu’on attribue au champ gravitationnel. De plus, la courbure de l’espace-temps est reliée au tenseur d’énergie-impulsion de la matière dans l’espace- temps via une équation postulée par Einstein1 G = κ T (1.3.2) où κ = 8π G/c4 est une constante avec G, la constante gravitationnelle de Newton. L’Éq. (1.3.2) s’exprime aussi de la façon suivante Géométrie = (constante) × Énergie (1.3.3) G et Géométrie sont tous deux une seule et même fonction de la métrique de l’espace-temps g . Cette métrique est un objet mathématique qui définit les potentiels gravitationnels en tout point de l’espace-temps. G représente alors la géométrie du champ gravitationnel. T et Énergie sont tous deux un seul et même objet mathématique qui tient compte de la distribution de la matière dans le champ gravitationnel. De cette façon, la structure de l’espace-temps, qui prend forme dans la métrique de l’espace-temps, est reliée au contenu de matière présente dans l’espace-temps, tout en étant en accord avec quelques- unes seulement des idées de Mach.1 Wheeler exprime bien le lien entre l’espace et la matière : “Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on space, telling it how to curve.”1,* Dans notre réalité tridimensionnelle donc, les corps tombent parce qu’ils sont dans un espace-temps à quatre dimensions courbé par une source d’énergie ou de matière plus imposante. Mais pour les corps, dans leur réalité quadridimensionnelle propre à eux, ils ne tombent pas : ils se déplacent selon une ligne droite, une géodésique. C’est encore une démonstration du principe de relativité : toutes les observations dépendent de l’endroit où on effectue ces observations (que l’on soit dans un monde limité à trois dimensions ou que l’on se place dans une hyper réalité à quatre dimensions.) La nature a choisi de vivre dans une réalité à quatre dimensions mais nous observons le comportement des corps qui nous entourent dans une réalité à trois dimensions d’espace et une de temps propre à nous. De plus, en exigeant que les lois de la physique soient invariantes sous des transformations générales des coordonnées, Einstein développa sa théorie de la gravitation en utilisant la géométrie riemannienne et le principe d’équivalence. Il ne fut pas autant guidé par un besoin d’expliquer sa théorie aux résultats expérimentaux contradictoires de l’époque que par sa recherche de beauté et de simplicité!14,† Le besoin de mettre toutes les lois de la physique indépendantes de n’importe lequel choix de coordonnées et l’équivalence de la masse inertielle et gravitationnelle étaient à la base de sa recherche. La première condition fut remplie en exigeant que les parcours des corps soient des géodésiques dans un espace-temps pseudo riemannien, dont la courbure est déterminée par la distribution de la matière dans le champ. Mais il ne fut pas satisfait pour autant. Nous utiliserons le principe de moindre action (principe de Hamilton) pour obtenir les équations du champ gravitationnel d’Einstein ci-dessous, les équations de base derrière la formulation de la relativité générale. Mais avant de résumer ce principe, nous devons définir le lagrangien. L’idée fondamentale derrière la formulation lagrangienne réside dans le fait qu’il utilise des quantités scalaires (spécifiées par un nombre réel seulement) plutôt que vectorielles (spécifiées par un nombre réel et une direction dans un système de coordonnées quelconque.) Cette formulation est d’autant plus convaincante que sa forme est indépendante des coordonnées utilisées. On dénote le lagrangien par L, lequel dépend des ds2 = ∑µν ηµν dxµ dxν = ∑µ(ηµ1 dxµ dx1 + ηµ2 dxν dx2 ) = η11 dx1 dx1 +η21 dx2 dx1 + η12 dx1 dx2 + η22 dx2 dx2 = η11 (dx1 )2 + 2η12dx1 dx2 + η22(dx2 )2 = (1)(dx1 )2 + (1)(dx2 )2 . Alors, ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 , ou si on veut en coordonnées cartésiennes, ds2 = dx2 + dy2 . C’est donc le Théorème de Pythagore dans le plan cartésien. Il en est de même dans un espace à quatre dimensions tel l’espace-temps mais si la métrique est symétrique, on aura une matrice 4×4 avec seize composantes. Cependant, puisque la métrique est symétrique, les douze termes de part et d’autre de la diagonale seront égaux nous laissant ainsi six composantes symétriques. En ajoutant les quatre composantes de la diagonale on aura alors dix composantes indépendantes pour la métrique. Comment pouvons-nous trouver ces composantes? Bien, c’est là qu’Einstein démontra son génie en proposant l’Éq. (1.3.2) ci-dessous : Géométrie = (constante) × Énergie , ou bien, G = (8π G/c4 )T , qui, dans le vide (pas de matière), donne Riemann = R = 0. G est relié à la métrique par la voie de R , nous donnant ainsi dix équations (fonctionnellement) indépendantes pour nos dix composantes de la métrique. Il existe quatre identités, celles de Bianchi, exprimées Variation de la Géométrie = 0, ou bien, ∇∇∇∇GGGG = 0, qui relient les dix équations indépendantes de la métrique pour ainsi donner 10 − 4 = 6 équations indépendantes pour la métrique. Ceci nous laissant donc avec quatre degrés de liberté (les quatre coordonnées) dans les dix composantes inconnues de la métrique. * L’espace agit sur la matière, lui disant comment se déplacer. En retour, la matière réagit sur l’espace, lui disant comment se courber. (Traduction libre.) † Einstein considérait la courbure de l’espace-temps (que l’on identifiera comme Riemann , qui signifie le tenseur de Riemann), comme une entité géométrique. Il la connotait marbre. La matière (ou l’énergie) lui était très laide. Il ne l’associait pas d’entité géométrique. Il la connotait dont bois. On obtient donc la relation correspondant à l’Éq. (1.3.3) qu’Einstein détesta : marbre ∝ bois. Le but qu’Einstein s’était fixé sa vie durant fut d’exprimer toute l’énergie de l’univers (toute la matière existante) sous forme géométrique ; de transformer le bois en marbre, pour ainsi obtenir une relation du genre marbre = 0 : tout est géométrie et rien n’est matière. Il voulut que tous les phénomènes qu’on observe ne soit qu’une manifestation de la géométrie à quatre dimensions. C’est encore le but fixé aujourd’hui par les théoriciens par l’entremise de la théorie des supercordes : l’unification de tous les phénomènes dans une entité géométrique à dix ou onze dimensions (M-Theory) dont la matière ne serait que la manifestation de différentes résonances.
  33. 33. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 11 coordonnées , des vitesses , et possiblement explicitement de t lui-même. Mais dans la majorité des cas, le lagrangien est simplement la différence entre les énergies cinétique et potentielle : L = K − V. (Voir l’Appendice C). Nous utiliserons la méthode de Lagrange qui compare les trajectoires possibles entre elles et nous donne un critère pour choisir la bonne. Pour ce faire, nous calculerons une quantité, l’action, S (α), qui caractérise la trajectoire α S (α) = (1.3.4) où L est le lagrangien. Le comportement le plus simple à identifier est le point stationnaire, là où S est un extremum, soit la définition du principe de moindre action ou principe de Hamilton δ S (α) = = 0 (1.3.5) où fixe la bonne trajectoire sur laquelle S prend la valeur extrême laquelle est minimale dans un graphique S = f (α ). Dans la TGE, la relativité générale, un système matériel décrit par un tenseur symétrique (qui satisfait les équations de conservation de l’énergie et de l’impulsion) suggère que ce même système peut être dérivé du principe de moindre action (voir ci-dessus.) Cette méthode est très utile (lorsqu’elle est applicable) puisqu’elle permet une relation naturelle entre les lois de conservation et les propriétés de symétrie. Dans ce cas-ci, en relativité générale, la symétrie qu’on requiert est la covariance générale. Spécifions un champ d’énergie selon un lagrangien Lc, qui dépend non seulement des variables du champ mais aussi des composantes de la métrique, gµν. Le lagrangien doit être un scalaire, pour ainsi assurer une description du champ qui sera indépendante d’un système (quelconque) de coordonnées qu’on pourrait ultérieurement choisir ; on appelle action l’intégrale du lagrangien sur un ensemble fermé et compacte Ω de la variété de l’espace-temps Sc(Ω ) = ∫Ω Lc dΩ = ∫ LLLLc d 4 x (1.3.6) où dΩ = d 4 x (g = det| gµν |) et LLLLc = Lc sont l’élément du quatre-volume invariant (dans l’espace-temps) et la densité lagrangienne du champ d’énergie, respectivement.* Le champ (ou une collection de champs) est postulé comme étant en équilibre avec la géométrie de l’arrière-plan (minkowskienne) ; pour cette condition, ni l’un ni l’autre des deux systèmes, le champ et la géométrie, ne devraient être considérés séparément mais seulement comme un seul et unique système, dans lequel les propriétés dynamiques de la géométrie du champ gravitationnel sont aussi décrites par un lagrangien Lg . On définit donc l’action gravitationnelle totale SG (Ω ) = Sc (Ω ) + Sg (Ω ) = ∫Ω ( Lc + Lg) dΩ (1.3.7) La métrique g est considérée comme un champ dynamique ce qui implique que l’équation qui établira l’équilibre entre la géométrie et le champ externe est obtenue en imposant la condition de stationnarité de l’action gravitationnelle totale SG sous une variation arbitraire de la métrique avec un support dans Ω SG = 0 (1.3.8) La variation des actions individuelles, Sc et Sg , sous l’opérateur nous procure des expressions tensorielles qui caractérisent (de façon covariante) les champs respectifs, de même qu’elle nous permet d’obtenir des équations de conservation. Considérons d’abord l’action du champ. Le postulat en cause ici est que le lagrangien Lc dépend seulement des composantes de la métrique, gµν (x) et non de ses dérivées d’ordres supérieures, parce que cette condition est satisfaite par toute distribution raisonnable de matière. La variation par rapport à la métrique g , , nous donne donc Sc = (1.3.9) Puisque† δ g = ggµν δ gµν , l’Éq. (1.3.9) donne donc l’action d’un champ d’énergie * Toutes les quantités, telles LLLL, gggg, etc., représentent des densités (quantités invariantes) lesquelles sont définit par XXXX = X. † Le déterminant de la métrique, g, est relié au jacobien, J = det∂xµ ⁄ ∂xν , par g = J 2 g. En utilisant gµν (x) = (∂xα ⁄ ∂xµ )(∂xβ ⁄ ∂xν )gαβ(x) on trouve que g− = J . De plus, on considère que ∇µ ( uµ ) = ∂ µ ( uµ ) et on utilise parfois les relations suivantes : ∇µ g ≡ 0 et ∇µ ≡ 0. )()( txi α )()( txi α & [ ]dtttxtx t t ii∫ 2 1 ),(),( )()( αα &L αα α d dS )( α )(αS g− g− g δ g δ g δ g δ ∫         −+ ∂ ∂ Ω µν µν δΩδ xdgdg g c c 4 )()( L L g− g− g− g− g−
  34. 34. 12 1 Introduction Sc = (1.3.10) où T µν ≡ (1.3.11) sont les composantes d’un tenseur symétrique. On identifie T µν avec les composantes du tenseur d’énergie-impulsion du champ. De l’Éq. (1.3.10) on obtient* (1.3.12) où ∇∇∇∇µ est la dérivée covariante dans la direction d’un vecteur de base e µ (voir Section 2.1) ∇∇∇∇µ ξ ν = ∇∇∇∇e µ ξ ν ≡ ξ ν,µ − Γ λ µν ξλ (1.3.13) et où Γ λ µν sont les composantes de la connexion affine qui mesure la quantité de torsion, de rotation, d’expansion, et de déformation de l’espace-temps, et ξ µ sont les composantes du vecteur de Killing ξξξξ (qui procure une description des translations qui préservent les déplacements infinitésimaux dans un champ) et qui obéit à l’équation de Killing pour un champ vectoriel ξξξξ ∇∇∇∇(µ ξν ) = 0 (1.3.14) En utilisant le théorème de Gauss et les symétries inhérentes des composantes contravariantes T µν , on obtient (1.3.15) où Ω µ représente les composantes de la forme d’ordre un du volume, ΩΩΩΩ . Puisque le vecteur ξξξξ disparaît à la frontière fermée ∂Ω, l’Éq. (1.3.15) donne, parce que le vecteur ξξξξ est arbitraire, les équations de conservation des composantes du tenseur d’énergie-impulsion ∇∇∇∇ν T µν = 0 (1.3.16) Puisque la géométrie de l’espace-temps répond à un champ externe en provoquant de la courbure, dépendant de la densité d’énergie emmagasinée dans le champ, elle aura des équations du mouvement qui lui seront propres. La seule variable dynamique de ce champ sera la métrique, via ses composantes gµν . On cherche à obtenir des équations qui, dans la limite d’un champ gravitationnel faible, nous procurera l’équation de la gravitation de Newton ; c’est une équation différentielle partielle non linéaire au second ordre du potentiel newtonien. Une exigence minimale est que les équations de la relativité générale doivent être du même degré et linéaires dans les secondes dérivées partielles des composantes de la métrique (qui jouent d’ailleurs le rôle de potentiel gravitationnel.) Ceci est assuré par l’action qui est une intégrale d’un lagrangien Lg , qui elle est une fonction des composantes gµν, gµν,ρ, et gµν,ρ,σ uniquement ; elle est linéaire dans ces dernières composantes (les dérivées secondes) et est telle que des termes comme ∂ Lg /∂gµν,ρ ne contiennent pas gµν,ρ,σ . L’action la plus simple qui puisse satisfaire ces exigences fut trouvée par D. Hilbert,† soit l’action géométrique de Hilbert-Einstein pour un champ gravitationnel Sg = ∫− g dL κ2 1 = (1.3.17) * Selon la notation non géométrique, en terme de composantes, on a que ξ (ν ;µ ) = ½(ξ ν ;µ − ξ µ ;ν ), où le point-virgule représente la dérivation covariante, ξµ (sous forme covariante) sont les composantes d’un vecteur quelconque ξξξξ . (µν ) et [µν ] représentent la symétrisation et l’antisymétrisation, respectivement : ξ (µ ,ν ) = ½(ξ µ,ν + ξ ν ,µ) et ξ [µ,ν ] = ½(ξ µ ,ν − ξ ν ,µ). † Parlons un peu des circonstances entourant la découverte de l’action représentée par l’Éq. (1.3.17). En effet Hilbert, inspiré par les travaux antérieurs d’Einstein et d’un séminaire qu’Einstein donna à Göttingen, présenta cette action à la réunion de l’Académie Royale des Sciences de Göttingen en 1915. Ceci survint seulement cinq jours seulement avant qu’Einstein présente sa formulation définitive de la relativité générale, lors de la réunion de l’Académie Prussienne à Berlin, publiée en 1916. Mais c’est Einstein qui fit tous les travaux préliminaires et qui attribua à cette action toute sa signification physique comme base d’une théorie du champ gravitationnel. g δ ∫Ω µν µν Ωδ dgT )( 2 1 µν µν g g c c L L + ∂ ∂ 2 0)( =∇∫Ω νµ µν Ωξ dT 0)( 3 =−−∇ ∫∫ ∂Ω µν µν Ω ν µν µ ΩξΩξ dgTdT ∫ −− Ωπ xdRg G c 4 4 16
  35. 35. 1.3 La Théorie de la Gravitation d’Einstein 13 où R est le scalaire de courbure, R = gµν Rµν [Rµν sont les composantes du tenseur de Ricci provenant des composantes du tenseur de Riemann-Christoffel, R λ µνρ (voir Section 2.1)], et le facteur constant [−c4 /16πG (MKS)] est requis pour satisfaire la limite newtonienne. La variation de l’Éq. (1.3.17) pour Sg se lit maintenant Sg = = (1.3.18) Les composantes du tenseur de Ricci sont données par Rµν = R λ µνλ = Γ λ µν,λ − Γ λ µλ,ν + Γ ρ µν Γ λ ρλ − Γ ρ µλ Γ λ ρν (1.3.19) Si on applique la variation δ sur l’Éq. (1.3.19), on obtient δ Rµν = (δ Γ λ µν),λ − (δ Γ λ µλ),ν + (δ Γ ρ µν) Γ λ ρλ + Γ ρ µν δ (Γ λ ρλ) − (δ Γ ρ µλ )Γ λ ρν − Γ ρ µλ δ (Γ λ ρν ) (1.3.20) La variation des composantes de la connexion affine est aussi un tenseur. En effet, on a δ Γ λ µν = −δ (gρσ )gλρ Γ σ µν + gλρ δ [(δ gρν),µ + (δ gρµ),ν − (δ gµν),ρ] = gλρ (∇∇∇∇µδ gρν + ∇∇∇∇νδ gρµ − ∇∇∇∇ρδ gµν ) (1.3.21) Alors, la variation des composantes du tenseur de Ricci peut être écrite comme suit* δ Rµν = ∇∇∇∇ρ (δ Γ ρ µν ) − ∇∇∇∇ν (δ Γ ρ µρ ) (1.3.22) L’Éq. (1.3.18) devient donc, avec l’aide de l’Éq. (1.3.22) (κ = − c4 /16π G) Sg = = (1.3.23) = (1.3.24) puisque la dérivée covariante de ggggµν disparaît identiquement, et où le second terme à la droite de l’Éq. (1.3.24) a été réécrit en fonction de la divergence laquelle n’amène aucune contribution à l’action gravitationnelle totale SG. L’Éq. (1.3.18) se réduit donc à l’expression suivante (dΩ = d4 x) Sg = = = = = (1.3.25) où on a utilisé la relation . On peut aussi formuler l’Éq. (1.3.25) de la façon suivante * L’Éq. (1.3.22) est connue comme l’identité de Palatini et est obtenue de l’Éq. (1.3.20) si on prend les Γ comme des variables dynamiques indépendantes des gµν . g δ ∫− Ω µν µν δ π xdR G c 4 4 )( 16 gggg ∫ +− Ω µν µν µν µν δδ π xdRR G c 4 4 )]()([ 16 gggggggg 2 1 2 1 g δ ∫ ∇−∇+ Ω µρ ρ νµν ρ ρ µν µν µν δδδκ xdR 4 )]}Γ()Γ([)({ gggggggg ∫ ∇−∇+ Ω µρ ρµν νµν ρµν ρµν µν δδδκ xdR 4 )]}Γ()Γ([)({ gggggggggggg ∫ −+ Ω ρµν νµρ µν ρµν µν µν δδδκ xdR 4 , })ΓΓ()({ gggggggggggg g δ g− g δ ∫Ω µν µν δκ xdR 4 gggg ∫ − Ω µν µν δκ xdggR 4 )( ∫ −+− Ω µν µν µν µν δδκ xdggRggR 4 )( ∫       − Ω ρσ νσµρ µν ρσ Ωδκ dgggRgR 2 1 ∫       −− Ω ρσ ρσρσ Ωδκ dggRR 2 1 µν µν δδ gggg −=− 2 1)(
  36. 36. 14 1 Introduction Sg = (1.3.26) C’est la forme qu’on obtenu Hilbert et Einstein. L’expression entre parenthèses dans l’Éq. (1.3.26) est un tenseur, le tenseur d’Einstein Gµν = Rµν − R gµν (1.3.27) et l’action donnée par l’Éq. (1.3.26) devient Sg = (1.3.28) L’exigence que Sg est un scalaire nous amène (avec des arguments similaires que ceux employés pour T µν ) aux équations de conservation pour les composantes du tenseur d’Einstein ∇∇∇∇ν G µν = 0 (1.3.29) qui reproduisent tout simplement les identités de Bianchi ∇∇∇∇[σ R λ µνρ ] = 0 (1.3.30) et ∇∇∇∇µ (R µ ν − δµ ν R ) = 0 (1.3.31) En retournant à l’Éq. (1.3.8), on déduit finalement les équations qui établissent l’équilibre entre les champs d’énergie donnés par l’Éq. (1.3.10) et la géométrie du champ gravitationnel Sg = (1.3.32) avec le caractère arbitraire qu’a δ gµν , les équations d’Einstein sont données par Gµν = Rµν − R gµν = Tµν (1.3.33) où 8π G/c 4 = κ est la constante de couplage d’Einstein. Les équations du champ d’Einstein sont dix équations différentielles partielles, couplées et non linéaires du second ordre dans les composantes de la métrique. Puisque les deux côtés de l’Éq. (1.3.33) ont une divergence covariante qui disparaît (∇∇∇∇ν G µν = ∇∇∇∇ν T µν = 0), alors le nombre d’équations indépendantes est réduit à six. Celles-ci suffisent entièrement à déterminer les dix composantes de la métrique symétrique de l’espace-temps de la relativité générale parce que quatre composantes de la métrique peuvent être assignées arbitrairement par le libre choix que nous avons en effectuant des transformations de coordonnées, ce qui se résume ainsi à quatre conditions. Les ECE guident le mouvement des planètes dans le système solaire, la déviation de la lumière par le Soleil, ainsi que l’effondrement d’une étoile pour former un trou noir. Elles déterminent uniquement la géométrie extérieure de l’espace-temps d’un trou noir (un trou noir n’a pas de cheveux), en plus du fait que les ECE gouvernent l’évolution des singularités de l’espace-temps au point final de l’effondrement et finalement l’expansion et la recontraction de l’univers, pour ne nommer que celles-ci. Donc, l’interaction entre le champ matériel et la géométrie de l’espace-temps se présente sans aucune spécification explicite des propriétés du champ, mais seulement par l’entremise du tenseur d’énergie-impulsion. La géométrie de l’arrière-plan ne pourrait faire la distinction entre les différents champs physiques, pourvu que ces derniers possèdent la même distribution en énergie-impulsion. Ceci peut être considéré comme une version de l’équivalence entre les masses inertielle et gravitationnelle que l’on a discutée auparavant. L’Éq. (1.3.33) nécessite plus d’attention, surtout lorsqu’il est question du déplacement d’un corps d’essai dans un champ gravitationnel. En effet, pour expliquer cette équation, il faut faire appel à quelques éléments de géométrie différentielle (Section 2.1). Par exemple, il existe un objet géométrique dans l’espace-temps appelé le tenseur de courbure de Riemann, riemann . riemann est l’incarnation mathématique des déformations, des torsions et des contractions (courbure de l’espace- temps) produites par l’accélération relative des géodésiques (par exemple, la ligne d’univers d’une particule libre) passant par un événement quelconque E et on dénote sur cette géodésique un vecteur tangent unitaire (le quadri-vitesse de la particule libre) par l’expression v = d x / dτ (τ étant le temps propre) ou en coordonnées, v µ = dx µ /dτ. Si on choisit g δ ∫       −− Ω µν µνµν Ωδ π dggRR G c 2 1 16 4 2 1 g δ ∫ −− Ω µν µν Ωδ π dgGg G c 16 4 2 1 g δ 0 2 1 2 1 16 4 =         +      −−∫Ω µν µνµνµν Ωδ π dgTgRR G c 2 1 4 8 c Gπ

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