1. MATEMÁTICA
Función lineal.
Sistemas de
ecuaciones lineales.
νLa función lineal.
o Pendiente: definición. Pendiente de la
recta que pasa por dos puntos.
o Ordenada al origen.
νEcuación de la recta al conocer la pendiente y uno
de sus puntos.
νEcuación de la recta al conocer dos de sus
puntos.
νGrafico de una recta a partir de su pendiente y su
NOELIA BASSI
ordenada al origen.
νRectas paralelas.
νRectas perpendiculares.
νSistemas de ecuaciones lineales.
o Método gráfico.
o Método de igualación.
o Método de sustitución.
o Método de reducción.
o Método de determinantes.
νClasificación de sistemas de ecuaciones lineales.
νInecuaciones.
νInecuaciones lineales en el plano cartesiano.
νProgramación lineal.
2. Contenidos.
νLa función lineal.
o Pendiente: definición. Pendiente de la recta que pasa
por dos puntos.
o Ordenada al origen.
νEcuación de la recta al conocer la pendiente y uno de sus
puntos.
νEcuación de la recta al conocer dos de sus puntos.
νGrafico de una recta a partir de su pendiente y su ordenada al
origen.
νRectas paralelas.
νRectas perpendiculares.
νSistemas de ecuaciones lineales.
o Método gráfico.
o Método de igualación.
o Método de sustitución.
o Método de reducción.
o Método de determinantes.
νClasificación de sistemas de ecuaciones lineales.
νInecuaciones.
νInecuaciones lineales en el plano cartesiano.
νProgramación lineal.
3. Objetivos.
νIdentificar la función lineal.
νReconocer los parámetros que intervienen en la función lineal.
νComprender las variaciones que provocan en la función lineal
los diferentes parámetros.
νComprender el comportamiento de la función lineal a través de
su gráfico.
νIdentificar gráfica y analíticamente rectas paralelas y
perpendiculares a otra dada.
νInterpretar el concepto de sistemas de ecuaciones.
νComprender los distintos métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones.
νInterpretar el concepto de inecuación.
Utilizar la función lineal, los sistemas de ecuaciones, las
inecuaciones y la programación lineal para modelizar y resolver
situaciones problemáticas de la vida cotidiana.
4. Introducción
En la educación polimodal, la noción de función, sus
diferentes representaciones y el estudio detallado del
comportamiento de las funciones más utilizadas, adquieren
una relevancia especial. Se pretende que los alumnos
continúen el estudio de las funciones, correspondiendo a
este nivel un tratamiento más sistemático y profundo de las
nociones de variable, parámetro y dependencia; de las
variables discretas y continuas; de la caracterización de los
dominios o conjuntos de definiciones; del uso de este
concepto y sus limitaciones en la modelización de
situaciones provenientes de la matemática y de otras áreas
de conocimiento y de las distintas formas de representación
de funciones.
Las funciones lineales permiten interpretar situaciones
concretas. El hecho de que se representen gráficamente
mediante rectas las convierten en una herramienta valiosa
para el estudio integrado de diversos temas.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es
una de las herramientas matemáticas cuyo uso se ha
generalizado en otras ciencias, como la física, la química y la
economía.
En este apunte, al perfil instrumental de la función
lineal y los sistemas de ecuaciones, se le suma el perfil analítico,
cuyo desarrollo puede brindar un marco adecuado para avanzar
en la comprensión de los conceptos involucrados.
5. La función lineal.
Llamamos función lineal a toda función cuya expresión sea de la forma:
ƒ (x) = a x + b
donde a y b son números reales.
El dominio de estas funciones son los números reales (ℝ), porque es el
conjunto numérico más amplio para el cual la fórmula tiene sentido. Su representación
gráfica es una recta.
Pendiente
Llamamos pendiente1 de una recta al aumento o disminución de ƒ (x) por cada
unidad que aumenta la variable x.
ƒ (x) = a x + b
pendiente
Supongamos que P = (x1 ; y1 ) y Q = (x2 ; y2 ) son dos puntos diferentes de la
recta correspondientes al gráfico de una función lineal; entonces, podemos calcular la
pendiente como:
Y
y2 - y1 Mide el cambio en el eje y
Q
Y2
a=
x2 - x1 Mide el cambio en el eje x y2 – y1
P
Y1
b x2 – x1
DEMOSTRACIÓN:
α
Y p X1 X2
FIGURA 1.
y
o α
q X
x
FIGURA 2.
1
También llamada parámetro de dirección
6. Δ
En oqp rectángulo, se verifica:
pq y
= = tg α y = x . tg α
x
oq
tg α es un número constante que llamamos a.
tg α = a
Ecuación de las rectas que pasan por
y=a .x el origen.
Luego, si observamos en la FIGURA 1, el ángulo α está determinado por la recta
que pasa por P y por Q con el semieje positivo de las x y su tangente mide la
pendiente que tiene dicha recta.
y2 - y1 y2 - y1
tg α = a=
x2 - x1 x2 - x1
Queda así demostrada la formula para el cálculo de la pendiente de una recta.
La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o nula. Veamos las
variaciones que provoca esto en sus respectivos gráficos. En todos los casos,
tomamos x2 > x1, es decir que el denominador de la pendiente es positivo.
Denominador de la pendiente positivo.
Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula
El numerador debe ser El numerador debe ser El numerador debe ser
positivo, es decir: negativo, es decir: nulo, es decir:
y2 - y1 > 0 y2 - y1 < 0 y2 - y1 = 0
a > 0; x2 > x1 y2 > y1
a < 0; x2 > x1 y2 < y1 a = 0; x2 > x1 y2 = y1
FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE FUNCIÓN CONSTANTE
FIGURA 3 FIGURA 4 FIGURA 5
7. y
Q
Y2
y2 – y1
P
Y1 y
x2 – x1
P Q
X1 X2 x y1 = y2
FIGURA 3.
y x2 – x1
P
Y1
y1 – y2 X1 X2 x
Q FIGURA 5.
Y2
x2 – x1
X1 X2 x
FIGURA 4.
Ordenada al origen
Toda recta que no sea vertical corta al eje y en un punto en el cual x = 0.
ƒ (0) = a (0) + b ƒ (x) = b , es decir, que b indica la intersección de la recta
con el eje y.
En una función, a la imagen2 del cero, es decir a b, la llamamos ordenada al
origen.
ƒ (x) = a x + b
Ordenada al origen
Si observamos en la FIGURA 1 el punto b es la intersección de la recta que pasa
por P y por Q con el eje y. ( O sea x = 0 )
EJEMPLO:
En el siguiente gráfico se puede observar claramente cómo determinar la
pendiente y la ordenada al origen de la recta R. Luego, puede armarse su
ecuación correspondiente.
2
Imagen: valor que toma la función en un punto x determinado
8. y
5
R a = ;b=1
3
2 y= x+1
1 4
2 6 x
FIGURA 6.
Ecuación de la recta al conocer la pendiente y uno de sus
puntos
Si conocemos la pendiente a de una recta R y las coordenadas de uno de sus
puntos, P = ( x 1 ; y 1 ), podemos hallar la ecuación de R aplicando la siguiente fórmula:
y = a (x – x1 ) + y1
DEMOSTRACIÓN:
La ecuación de cualquier recta es:
[1]
y= a.x+b
Si sabemos que pasa por P = ( x 1 ; y 1 ), entonces sus coordenadas verifican la
ecuación:
y1 = a . x1 + b [2]
Restamos [1] y [2]:
y = a.x +b
-
y1 = a . x1 + b
y – y1 = a . x - a . x1
Sacamos factor común a en el segundo miembro:
y – y1 = a . (x - x1)
Despejamos y:
ECUACIÓN DEL HAZ DE RECTAS QUE
y = a (x – x1 ) + y1 PASA POR EL PUNTO P
9. EJEMPLO:
Dado el punto P = (-1 ; 3), la ecuación del haz de rectas que pasa por P
se obtiene reemplazando en la ecuación:
y = a (x – x1 ) + y1
por las coordenadas de P: x1 = -1 y1 = 3
y = a (x – (-1) ) + 3
y = a ( x + 1) + 3
Si además supiéramos que su pendiente es a = 2, entonces su ecuación
es:
y = 2 ( x + 1) + 3
y=2x+5
Ecuación de la recta al conocer dos de sus puntos.
Por dos puntos pasa una sola recta. Si conocemos las coordenadas de dos de
los puntos P = (x 1; y 1) y Q = (x 2; y2) de una recta R, podemos hallar la ecuación de R
aplicando la siguiente fórmula:
y – y1 x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que la recta que pasa por P = (x 1; y 1) es:
y – y1 = a . (x - x1) [1]
Dados los puntos P = (x 1; y 1) y Q = (x 2; y2), a partir de la fórmula anterior
podemos obtener la ecuación de la recta R que pasa por P y Q.
Sabemos que [1] pasa por P. Como además pasa por Q, la ecuación se verifica
para sus coordenadas (x 2; y2).
Sustituyendo en [1]:
y2 – y1 = a . (x2 - x1) [2]
Dividiendo miembro a miembro [1] y [2], queda:
10. y – y1 x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
EJEMPLO:
Dados los puntos P = (2 ; 1) y Q = (5 ; 3), la recta que pasa ellos se
obtiene reemplazando sus coordenadas en la ecuación:
y – y1 x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
del siguiente modo:
y – 1 = x–2 y – 1= x–2
3 – 1 5–2 2 3
y–1=( x- ).2 y = yx x
Gráfico de una recta a partir de su pendiente y su ordenada
al origen.
Para graficar la recta de la ecuación y = x – 4 utilizando como datos la
pendiente () y la ordenada al origen (-4), podemos seguir los siguientes pasos:
PASO 1 PASO 2 PASO 3
Marcamos sobre el eje y la Como la pendiente es , Trazamos la recta que pasa
ordenada al origen. significa que por cada 3 por los dos puntos que
unidades que aumenta x, marcamos.
2
la variable y aumenta 2 Marcamos sobre el eje y la
FIGURA 8.
1
1 2 3 4 5 unidades; entonces, desde ordenada al origen.
-1 el punto que marcamos
2
-2 antes, avanzamos 3 1
-3 unidades hacia la derecha 1 2 3 4 5
-4
(en el sentido de la x -1
-5
positivas) y 2 unidades en -2
el sentido positivo de las y. -3
FIGURA 7. Allí marcamos otro punto. -4
-5
11. Rectas paralelas.
La pendiente de una recta indica su inclinación respecto a los ejes cartesianos.
Entonces, si la inclinación de dos rectas con respecto a los ejes cartesianos es la
misma, podemos afirmar que estas rectas son paralelas.
Por lo tanto:
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
y
EJEMPLO: R1
R2
R1 : y = - x + 2 2
R3
2 6
R2 : y = - x x
-5 -1
R3 : y = - x - 2
FIGURA 9.
Rectas perpendiculares.
Cuando el producto de las pendientes de dos rectas es –1, decimos que estas
rectas son perpendiculares.
y= x y y= x+1
EJEMPLO:
R1 : y = x+1
R1 ⊥ R2
R2 : y = x
x
FIGURA 10.
12. Sistemas de ecuaciones lineales.
Consideremos la siguiente situación problemática:
Dos números son tales que: el duplo del primero es igual al otro, y la suma de
ambos da como resultado 9. ¿Cuáles son esos números?
Para resolverla, planteamos las ecuaciones que se deducen de su enunciado.
Estas son:
2x=y y=2x [R 1]
x+y=9 y=-x+9 [R 2]
Podemos observar que este conjunto de ecuaciones forman un sistema cuyas
soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman
un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que
cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a
una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de
ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos
sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución,
se dice que son equivalentes.
Para hallar la solución de un sistema de ecuaciones podemos utilizar los
siguiente métodos:
Método Gráfico
Como ambas ecuaciones son lineales, de cada una de ellas podemos obtener la
ecuación de una recta. Resolver un sistema de ecuaciones significa hallar las
coordenadas del punto que ambas rectas tienen en común.
A continuación, aplicamos este método en la resolución del presente sistema de
ecuaciones:
[R 1]
9
S = (3 ; 6), es decir:
6 (3 ; 6)
x=3
Solución = R 1 ⋂ R 2 y=6
[R 2]
3
FIGURA 11.
13. VERIFICACIÓN:
2x=y x+y=9
2 (3) = 6 3+6=9
Método de Igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos
ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una
incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.
A continuación, aplicamos este método en la resolución del ejemplo anterior.
2x=y (1) y=2x
x+y=9 (2) y=-x+9
Como dijimos anteriormente, en un sistema de ecuaciones el conjunto de
solución es común, o sea que las incógnitas tienen el mismo valor en ambas
ecuaciones. Por lo tanto, como los primeros miembros de (1) y (2) son iguales, sus
segundos miembros también lo son. De allí, deducimos:
Resolvemos aplicando ley 2x=-x+9
uniforme y operando 2x+x=-x+x+9
3x=9
3x:3=9:3
x=3
Como además: y=2x y=2.3 y=6
Método de Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de
las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una
ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha
incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra.
Continuamos con el mismo ejemplo:
2x=y (1) y=2x
x+y=9
En (1) se halla despejada la incógnita y. A esta expresión, la sustituimos en (2)
del siguiente modo:
x+ 2x=9 y=2x
3x=9 y=2.3
x=3 y=6
14. Método de Reducción
El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el
mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro,
se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se
resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las
ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita
Para resolver por reducción el mismo sistema ordenamos a las dos
ecuaciones de modo que las x y las y queden ubicadas en una misma columna del
siguiente modo:
2x=y 2x–y=0
x+y=9 x+y=9
Luego, como el objetivo es lograr el mismo coeficiente en una de las dos
incógnitas, multiplicamos los dos miembros de la segunda ecuación por 2 con el fin
de que, por ejemplo, el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones.
2x=y
x+y=9 2 x + 2 y = 18
A continuación, restamos miembro a miembro las ecuaciones obtenidas:
- 2x– y=0
2 x + 2 y = 18
- 3 y = - 18
Aquí nos ha quedado una ecuación con sólo una incógnita, en este caso y.
Despejando, obtenemos:
y=6
Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, se calcula el valor de la
restante.
x=3
Método de Determinantes
Para la aplicación de este método, es conveniente ordenar el sistema de la
misma manera que en el método anterior.
2x–y=0
x+y=9
A continuación, calculamos el determinante (∆) formado por los coeficientes de
las incógnitas como se muestra a continuación:
15. El determinante es el producto de
los números ubicados en la diagonal
principal (color azul) menos el
2 -1 = [ 2 . 1 ] – [ 1 . (-1) ] = 3 producto de los números ubicados en
1 1 la otra diagonal (color violeta)
Luego, calculamos ∆x donde a la columna perteneciente a los coeficientes de
las x la reemplazamos por los términos independientes del sistema(en verde)
manteniendo la columna de los coeficientes pertenecientes a las y. A continuación se
calcula el determinante de estos números de la manera antes indicada.
x y
0 -1 = [ 0 . 1 ] – [ 9 . (-1) ] = 9
9 1
Por último calculamos ∆y donde, ahora, a la columna perteneciente a los
coeficientes de las y la reemplazamos por los términos independientes del sistema,
manteniendo ahora la columna de los coeficientes pertenecientes a la y. Luego
calculamos el determinante como es habitual.
x y
2 0 = [ 2 . 9 ] – [ 1 . 0 ] = 18
1 9
Ya obtuvimos los valores de ∆, ∆x, ∆y. Ahora nos queda calcular el valor de x e
y. Para ello hacemos:
∆x ∆y
x = ∆ y= ∆
Por lo tanto:
9
x =3 x=3
18
y =3 y=6
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales.
Cada vez que resolvemos un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas, y lo representamos gráficamente asociando una recta a cada una de las
ecuaciones, nos encontraremos con alguno de estos tres casos.
16. Sistemas Compatibles Sistema Incompatible
Determinado Indeterminado
R 1 ⋂ R 2 = (x ; y) R1⋂ R2=R1=R2 R1⋂ R2=Ø
Las rectas son incidentes, Las rectas son coincidentes, Las rectas son paralelas,
o sea, se cortan en un o sea, todos sus puntos son o sea, no se cortan
punto. comunes. nunca.
Tiene solución única. Tiene infinitas soluciones. No tiene solución.
Inecuaciones.
Si observamos el enunciado del aviso
Se necesita de periódico que está al lado, y tratamos de
encargado de planta pasarlo a lenguaje simbólico. Para ello,
llamamos a a los años de experiencia, y e a
INGENIERO ESPECIALISTA la edad. Así obtenemos:
•Con tres años de experiencia
a≥3
mínima 25 ≤ e ≤ 40
•Edad de 25 a 40 años
Podemos observar que en ninguna
ENVIAR CURRÍCULUM INDICANDO de las condiciones puede plantearse una
ecuación, sino que para cada una, responde a una desigualdad.
Una desigualdad es toda expresión en la que hay dos miembros relacionados
mediante cualquiera de estos signos: <, ≤, > o ≥. Si esos miembros son expresiones
algebraicas, estamos en presencia de una inecuación, en la cual figuran números e
incógnitas.
Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar sus
incógnitas para que se cumpla la desigualdad. Para ello, hay que tener en cuenta
estas tres propiedades fundamentales:
17. Si sumamos o restamos un
a≥b a±c≥b±c mismo número a ambos miembros
a de una desigualdad, obtenemos
a≤b a±c≤b±c
otra desigualdad del mismo sentido
Si multiplicamos por un
mismo número positivo a ambos
b a≥byc>0 a.c≥b.c miembros de una desigualdad,
a≤byc>0 a.c≤b.c obtenemos otra desigualdad del
mismo sentido.
Si multiplicamos por un
mismo número negativo a ambos
c a≥byc<0 a.c≤b.c miembros de una desigualdad,
a≤byc<0 a.c≥b.c obtenemos otra desigualdad de
sentido contrario.
EJEMPLOS:
•Propiedad a:
Verificamos esta propiedad para el caso en el que a = 7, b = 3 y c = 4:
a≥b a ± c ≥ b ± c. Reemplazando por los valores dados: 7 > 3 7+4 >3+4
•Propiedad b:
Verificamos esta propiedad para el caso en el que a = 4, b = -3 y c = 6:
a≥byc>0 a . c ≥ b . c. Reemplazando por los valores dados: 4 >-3 4.6 >-3.6
•Propiedad c:
Verificamos esta propiedad para el caso en el que a = 4, b = -2 y c = -3:
a≥byc<0 a . c ≤ b . c. Reemplazando por los valores dados:
4 >(-2) 4.-3 < (-2).(-3)
Inecuaciones lineales en el plano cartesiano.
Una inecuación de primer grado con una o dos incógnitas determina una región
del plano. El conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas verifican una inecuación
lineal de dos variables, constituyen un semiplano.
EJEMPLOS:
18. y<3x+5
En estos casos los
puntos de la recta borde
no pertenecen al conjunto
solución, por eso
marcamos esta recta con
línea punteada.
Esto se debe a que
ambos miembros de la
y>1–4x inecuación están
relacionados mediante los
signos < ; > .
y ≤ 0,5 x - 1
En estos casos los
puntos de la recta borde
pertenecen al conjunto
solución, entonces la
trazamos con línea llena.
Esto se debe a que
ambos miembros de la
inecuación están
relacionados por medio de y≥3-⅓x
los signos ≤ ; ≥.
Si, por ejemplo, tenemos que graficar y determinar el conjunto de solución de la
inecuación:
y≤- x+1
19. trazamos la recta: y = - t x + 1(1), que dividirá al plano cartesiano en dos semiplanos.
Para determinar en qué semiplano está el conjunto de solución que verifica a la
inecuación en cuestión, probamos con un punto perteneciente a cada uno de los
semiplanos (2). Por ejemplo: el punto (3 ; 0) no se verifica ; el punto (-3 ; 0) si se
verifica.
(1) (2)
Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de varias inecuaciones.
La solución del sistema es la intersección de las regiones del plano determinadas por
cada inecuación que lo conforman.
EJEMPLOS:
y≤3 y > -x
x > -2 y≤x
x<5
y≤3 x<5 y≤x
y > -x
Conjunto
Conjunto
Solución
x > -2 Solución
Programación lineal.
La programación lineal es un conjunto de técnicas que permiten resolver un
tipo especial de problemas. No nos dedicaremos aquí a demostrar la validez de este
método ni a enunciarlo formalmente. Sólo nos proponemos manejar alguna de sus
aplicaciones, que suelen relacionarse con problemas de planificación económica o
social.
En estos problemas, lo que se busca es minimizar costos o maximizar
beneficios, es decir, optimizar una situación que se expresa mediante una función
lineal de dos variables llamada función objetivo. La situación se plantea condicionada
20. por un conjunto de restricciones que pueden ser traducidas como un sistema de
inecuaciones lineales. Estas restricciones o condiciones del problema se deben
cumplir simultáneamente.
Encontrar la solución del sistema significa hallar el conjunto de puntos del plano
que cumplen todas las restricciones. A ese conjunto lo llamamos región factible.
EJEMPLO:
Para satisfacer las demandas de sus distribuidores, un fabricante de jeans
debe producir, por día, no menos de 300 y no más de 800 jeans azules y no
menos de 100 y no más de 300 jeans negros. Además, para mantener una
buena calidad, no debe producir en total, más de 800 jeans por día. Sabiendo
que obtiene una ganancia de $ 16 por cada jean azul y de $ 8 por cada jean
negro, desea saber cuál debe ser la producción diaria de cada tipo de jean para
maximizar la ganancia.
Si simbolizamos con x la producción de jeans azules y con y la de jeans
negros, podemos plantear las siguientes inecuaciones:
300 ≤ x ≤ 800 [1]
100 ≤ y ≤ 300 [2]
x + y ≤ 800 [3]
Ahora representamos el conjunto de puntos del plano que cumple con todas las
restricciones:
La región factible es el conjunto de los puntos del plano que quedó pintado
luego de haber marcado las tres restricciones anteriores.
Para averiguar cuál de los puntos de la región factible permite maximizar la
ganancia debemos plantear una función objetivo. Para ello, aplicamos la técnica
denominada programación lineal.
21. Si llamamos G a la ganancia, estamos en presencia de una función que depende
de dos variables: de la producción de jeans azules ( x ) y de la producción de jeans
negros( y ); entonces, de acuerdo con el enunciado del problema, la función objetivo
es: G (x ; y) = 16 x + 8 y.
Maximizar esta función significa hallar, en la región factible, el punto que
proporciona mayor ganancia.
Como en la región factible hay demasiados puntos para verificar, recurrimos al
siguiente enunciado:
Si la región factible es un polígono convexo, la solución óptima de un
problema de programación lineal se encuentra siempre en alguno de sus
vértices.
De acuerdo con esta propiedad, nuestro problema se reduce a hallar el valor de
la función objetivo para cada uno de los vértices del polígono que constituye la región
factible; luego, aquel que dé el valor máximo, es la solución buscada.
Siendo las coordenadas de los vértices del polígono:
Reemplazamos las coordenadas de cada
A: (300 ; 100) G (x ; y) = 5600 vértice en la función objetivo y analizamos
B: (300 ; 300) G (x ; y) = 7200 cuál de ellos es el mayor. Este es el que
C: (500 ; 300) G (x ; y) = 10400 satisface la mayor ganancia. En nuestro
D: (700 ; 100) G (x ; y) = 12000 caso, el vértice es el D otorgando una
ganancia de $ 12000
Al fabricar 700 jeans azules y 100 jeans
negros
23. La presión atmosférica.
La atmósfera, que es la capa Para medir la presión
de aire que rodea la Tierra y cuyo atmosférica, se utilizan los
espesor se estima en unos 500 km, barómetros. Éstos tienen una
ejerce una presión con igual columna de mercurio que, a nivel
intensidad en todas las direcciones, del mar, mide 760 mm y que
llamada presión atmosférica. disminuye 1 mm por cada 10 500
mm de altitud. Esto permite
En un mismo lugar, la presión averiguar la altura de determinado
atmosférica varía de un día a otro, y lugar midiendo simplemente la
aún a lo largo del mismo día. presión atmosférica (principio que
se utiliza para calcular la altura a
El malestar conocido como la vuela un avión)
apunamiento es consecuencia del
hecho de que, al aumentar la altura,
disminuye la presión atmosférica;
Para estimar la presión
este cambio incide en nuestro
atmosférica en cierto lugar próximo
cuerpo.
al nivel del mar, puede aplicarse la
siguiente
fórmula, la que x + 760 mm
corresponde a
una función lineal:
1
Y = - 10 500
donde y es la variable que
representa el valor de la presión en
milímetros de mercurio (mm Hg) y x
Calculen la alturasobre el nivel del mar a la
que se encuentra la ciudad Argentina de
Córdoba, sabiendo que la presión atmosférica
en esa ciudad es, en promedio
aproximadamente de 72,2 cm.
es la variable que representa la
altura sobre el nivel del mar del
lugar, expresada en milímetros.
24. Problemas de resistencia del aire en el diseño de
automóviles.
Actualmente, en el automovilismo,
tiene un gran desarrollo el estudio de la
aerodinámica en el diseño. Los físicos y
los diseñadores prueban la estructura de
diseño en un simulador llamado túnel de
viento (fotografía) para controlar la
fricción del viento o la resistencia que
debe soportar un automóvil a distintas
velocidades. Luego de realizados los
experimentos llevan a cabo las mejoras
correspondientes sobre la estructura y el
diseño.
Resistencia aerodinámica
La forma de un objeto afecta enormemente a la resistencia al movimiento que ejerce el aire sobre él.
Por ejemplo, una esfera (arriba), y sobre todo una superficie cuadrangular (abajo), obligan al aire a
cambiar de dirección, con lo que frena al objeto. Un plano aerodiná mico (centro) apenas perturba el
aire, por lo que sufre poca resistencia al avance.
Para el caso que vamos a considerar, los técnicos han determinado que, para
velocidades mayores o iguales a 40 km/h y que no superen los 200 km/h, la
resistencia (en kg) se puede calcular en función de la velocidad (en km/h)
mediante la siguiente fórmula:
R (v) = 1,50 v – 50
Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la resistencia que soporta la estructura de un automóvil que viaja a 80 km/h?
b) ¿Cuál es la velocidad con que viaja un automóvil si está resistiendo 175,4 kg?
c) ¿Con qué velocidad tiene que viajar un automóvil para que la resistencia sea nula?
d) ¿Es esto posible? ¿Por qué?
25. ¿Cuánto consume y ahorra la gente?
El economista inglés John Maynard Keynes (1883 – 1946) dio lugar a
una nueva corriente de pensamiento económico a partir de sus desarrollos
teóricos y de la publicación de su libro “Teoría general de la desocupación, el
interés y el dinero”(1936). Sus ideas surgieron con gran fuerza a partir e la
búsqueda de salidas a la crisis económica mundial de 1929 – 1930 y la
depresión que le siguió, con sus altas tasas de desempleo y bajos niveles de
producción.
Entre otras cosas, postuló la necesidad de que el Estado interviniera en
las etapas de crisis, invirtiendo en obras públicas para generar más empleos.
Este mayor nivel de empleo haría que las personas tuvieran más dinero para
consumir, lográndose entonces uns reactivación general de la economía.
Keynes estudió también el consumo de la gente, y sus investigaciones lo
llevaron al siguiente planteo: “La ley psicológica fundamental consiste en que
los hombres, como regla general y en promedio, están dispuestos a
incrementar su consumo a medida que su ingreso aumenta, pero no en la
misma cantidad del aumento de su ingreso”. Vale decir que si una persona
recibe un aumento de sueldo de $ 100, deseará consumir más que antes, pero
no gastará los $ 100 sino una parte menor, ahorrando el resto.
Un economista matemático podría proponer la siguiente función para
explicar la relación entre las mejoras en los ingresos y los gastos:
y=cx+b
donde x representa los ingresos e y el gasto de consumo.
La pendiente de esta recta, está dada por el cociente entre los cambios
en el consumo y los cambios en el ingreso. ( Δy / Δx). Esta pendiente c recibe
el nombre técnico de “propensión marginal a consumir”y representa el cambio
en el consumo cuando el ingreso cambia una unidad.
Por ejemplo, si el valor de la pendiente es 7/10, esto significa que por cada $ 10 de
aumento en los ingresos se gastan $ 7 y se ahorran $ 3; así mismo, si el ingreso
disminuye en $ 10 dejarán de gastarse $ 7.
Es notable el hecho de que la ordenada al origen b de la función, sea
siempre mayor que 0; lo que significa que cuando una persona no percibe
ingresos, a causa, por ejemplo, del desempleo, igual gastará una cierta
cantidad b de dinero, la que conseguirá de sus ahorros, de un préstamo o de
alguna otra forma, pero hay consumos, como los de alimentación, que no
pueden dejar de realizarse.
Según Keynes, la función consumo se relaciona con la psicología de las personas.
Si en nuestro país fuera y = $ 100 + 0,8 x
a) ¿Cuánto gastará alguien desempleado?
b) ¿Cuánto gastará una persona que cobra $ 700?
c) ¿Cuánto ahorrará?
d) Si su sueldo disminuye $ 350, ¿podrá ahorrar?
e) Y si su sueldo aumenta a $ 1.000, ¿cuánto podrá gastar y ahorrar?
f) ¿A partir de qué sueldo tendrá dinero para ahorrar?
26. ¿Qué son la oferta y la demanda?
En toda sociedad existen intercambios
comerciales, que surgen a partir de necesidades de los
consumidores y la oferta de los productores. Los
primeros demandan productos que satisfacen sus
necesidades; los productores detectan esas
necesidades y ofrecen sus productos. (bienes o
servicios)
Una ley de la demanda es una ley económica
que trata de explicar la relación entre el precio de un
producto y las cantidades demandadas por los
consumidores.
Una ley de la oferta, por su parte, es una ley
que trata de explicar la relación entre el precio de un
producto y las cantidades ofrecidas por los fabricantes.
La gráfica de una ley de
Estas dos leyes en conjunto indican cuál es el demanda se denomina
precio que productores y consumidores creen justo y curva de demanda.
en el que ambas partes se ponen de acuerdo. Las
leyes de la oferta y la demanda se pueden estudiar en
forma matemática; el precio del artículo puede ponerse
en función de la cantidad de unidades adquiridas por
los consumidores.
Una expresión que permita relacionar el precio
de un producto con la cantidad adquirida se denomina
ley de la demanda.
La ley de la demanda más simple es una función
de tipo lineal: y = mx + b, donde “y” es el precio por
unidad, y “x” la cantidad de productos adquiridos por
los consumidores.
Si el precio de un producto aumenta, la
demanda disminuye, porque menos consumidores La gráfica de una ley de
la oferta se denomina
podrán adquirirlo; mientras que si el precio disminuye,
curva de oferta.
la demanda se incrementa. La pendiente “m” de la
relación de demanda es negativa. La constante “b”
(ordenada al origen) corresponde a una precio tan alto
que los consumidores no comprarán ningún producto
( x = 0 ).
Una ley de oferta que relaciona el precio de Es decir, la
venta “y” de un artículo con la cantidad “x”que los oferta aumenta al
productores están dispuestos a ofrecer. La ley de aumentar el precio.
demanda más simple es una función de tipo lineal: La ordenada al origen
y = mx + b, donde “y”es el precio por unidad, y “x”la b corresponde a un
cantidad ofrecida de producto. precio tan bajo que
En general, los proveedores los proveedores los proveedores no
inundarán el mercado con una gran cantidad de ofrecerán ningún
productos si pueden obtener un precio alto; y con una artículo ( x = 0 )
cantidad más pequeña si el precio obtenido es menor.
Punto de equilibrio del mercado
27. Si el precio de un artículo es demasiado alto, los consumidores no lo
comprarán; mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no lo
venderán. En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad sólo
depende de la cantidad demandada y de la oferta, siempre existe una
tendencia del precio a ajustarse por sí mismo, de modo que la cantidad
demandada por los consumidores iguale a la cantidad ofrecida por los
proveedores. Se dice que se alcanza el punto de equilibrio del mercado
cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida Esto
corresponde al punto de intersección de las rectas de la oferta y la demanda.
Por ejemplo, en las siguientes leyes de la oferta y la demanda, “x” representa
la cantidad de millones de barriles de
petróleo; “y”, el precio por unidad.
Ley de la demanda: y = -3 x + 56
Ley de la oferta: y = 2x + 16
El precio de equilibrio y la
cantidad de equilibrio se pueden
determinar resolviendo el sistema de
ecuaciones formado por ambas leyes.
De allí se obtiene:
x = 8 Λ y = 32
Por lo tanto, el precio de equilibrio es
$ 32, y la cantidad de equilibrio es 8
millones de barriles.
1) ¿Cuáles son las variables que
relaciona una ley de la oferta?
2) ¿ Cuáles las que relacionan una ley de la demanda?
3) ¿Cuáles son el dominio y la imagen de cada función?
4) ¿Qué representa la pendiente de cada una de las funciones lineales en cada
una de las leyes?
5) Un fabricante advierte que si el precio de una artículo es de $ 200, las ventas
ascienden a 2.500 unidades mensuales; a un precio de $ 190, se venden 2.700
unidades. ¿Cuál es la ley de demanda?
6) Un mayorista de electrodomésticos vende 200 planchas mensuales a $ 30 la
unidad y 250 unidades a $ 27 cada una. La ley de la oferta para ese artículo es:
y= y x + 16.
a) ¿Cuál es la ecuación de la demanda?
b) ¿Cuál es el punto de equilibrio entre la oferta y la demanda?
