• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Proyectosmatematicos2 eso
 

Proyectosmatematicos2 eso

on

  • 2,042 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,042
Views on SlideShare
2,042
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
117
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Proyectosmatematicos2 eso Proyectosmatematicos2 eso Document Transcript

    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 46 1 Números enteros ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El año cero Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo V y murió a mediados del siglo VI. De origen armenio, fue abad en un convento de Roma y destacó intelectualmente en su época, por lo que recibió el encargo, por parte del Papa, de unificar en el calendario la fecha de celebración de la Pascua en el mundo cristiano. Al investigar y fijar las fechas de celebración de las fiestas de Pascua, que es la festividad más importante de la religión cristiana, no tomó como referencia la fecha de la fundación de Roma, sino la del nacimiento de Jesucristo, que él mismo dató en el año 754 a.u.c. (ab urbe condita) de la fundación de Roma. Esta fecha y el nacimiento de la era cristiana recibirían el apoyo definitivo por parte de Carlomagno, más de dos siglos después, al fechar los documentos oficiales contabilizando los años desde entonces. En cuanto a la polémica surgida en torno al año cero, hay autores que afirman que no existe el año cero porque, en esa época, en Europa no se tenía conocimiento del cero. Ciertamente no se conocía el cero a nivel operativo (como elemento neutro para la suma), pero sí se tenía constancia de su significado, y así se recoge en escritos de la época con la palabra latina Nullae, que significa «nada». Por tanto, lo que realmente no existía no es el cero, como acabamos de ver, sino los números negativos; de hecho, no se hablará de años antes de Cristo en el sentido de número negativo hasta el siglo XVII. Así, en el siglo V, el año anterior al año 1 d.C. no era el año −1, sino el año 753 a.u.c. COMPETENCIA LECTORA El criterio de la ordinalidad de las fechas es plausible en el sentido de que explica, no solo la inexistencia del año cero en la era cristiana, sino por qué los árabes tampoco tienen año cero, aunque en el siglo VIII ya operaban con el número cero, procedente de la India, y no sería extraño que lo conocieran a finales del siglo VII, cuando se instauró el calendario hegiriano (la Hégira tuvo lugar en el año 622 d.C.). 46 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 47 1 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Pares e impares RECURSOS PARA EL AULA La paridad, es decir, el hecho de que un número sea par (divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos de la vida cotidiana. Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En una acera están los números impares, y en la opuesta, los pares. En la informática tiene también especial relevancia el concepto de paridad. Los ordenadores trabajan con información en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0. A la hora de guardar la información en la memoria, y para asegurarse de que lo hacen correctamente, los ordenadores añaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad, que permite comprobar si ese byte es correcto o no. Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1 al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1. En otro caso, añade un 0. En el método de paridad impar funciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un número par de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos: Método de paridad par: 11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1) 10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1) Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1) 10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1) Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar. También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar», indicando la paridad del número total de monedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal, los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que haya acertado. Tales de Mileto COMPETENCIA LECTORA Tales de Mileto fue uno de los siete sabios de Grecia, además del primer matemático griego que inició el desarrollo de la Geometría. Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes pensaban que sus horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas, por ejemplo, le sirvieron para saber que la siguiente cosecha de aceitunas sería muy abundante. Así, compró todas las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue excelente, y los agricultores tuvieron que pagarle por utilizar las prensas. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 47
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 48 1 Números enteros CONTENIDOS PREVIOS Hay situaciones en las que es necesario utilizar números enteros: CONVIENE QUE… – Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. Recuerdes las aplicaciones Así, 4 grados bajo cero se expresa como −4 °C. de los números enteros. – Al considerar deudas económicas. Si debemos 100 €, decimos que nuestro saldo es de −100 €. PORQUE… – Al referirse a las plantas de un edificio. Te ayudará a comprender El garaje está en la planta −3 y la terraza está en la planta 5. sus propiedades y la forma de realizar las operaciones. CONVIENE QUE… Sepas representar números naturales en la recta numérica. 1 2 3 4 5 PORQUE… Te servirá como base para representar los números enteros en la recta numérica y para establecer relaciones de orden entre los números fraccionarios. Primero se resuelven las 25 − 4 ⋅ 3 : 6 − 2 + 12 : 3 + 6 = CONVIENE QUE… → multiplicaciones y las divisiones, → de izquierda a derecha. = 25 − 12 : 6 − 2 + 4 + 6 = LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Conozcas la jerarquía → de las operaciones. Después, se realizan las sumas = 25 − 2 − 2 + 4 + 6 = y las restas en el mismo orden. = 23 − 2 + 4 + 6 = 21 + 4 + 6 = PORQUE… = 25 + 6 = 31 Tendrás que aplicarla en las operaciones combinadas con números enteros. El MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos números naturales es el menor de sus CONVIENE QUE… múltiplos comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes Sepas calcular el m.c.m. y no comunes elevados al mayor exponente. y el m.c.d. de números naturales. m.c.m. (24, 36) = m.c.m. (23 ⋅ 3, 22 ⋅ 32) = 23 ⋅ 32 = 72 El MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos números naturales es el mayor de sus PORQUE… divisores comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes Lo necesitarás para calcularlos elevados al menor exponente. cuando los números son enteros. m.c.d. (24, 36) = m.c.d. (23 ⋅ 3, 22 ⋅ 32) = 22 ⋅ 3 = 12 48 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 49 1 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA » Indica el conjunto de los números Cuando queremos indicar el conjunto de todos enteros. los números enteros lo designamos por ». a Indica un número entero que puede El signo de los números enteros se debe colocar ser positivo o negativo. pegado al número, sin dejar espacios en blanco. +a Indica un número entero positivo. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ⏐a ⏐ Asigna a cada número el mismo El valor absoluto de un número es número prescindiendo del signo. el mismo número prescindiendo del signo. Op (a ) Asigna a cada número el mismo ⏐3 ⏐ = 3 ⏐−3 ⏐ = 3 número cambiándole de signo. El opuesto de un número es el mismo número cambiado de signo. Op (3) = −3 Op (−3) = 3 ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Regla de los signos. Proporciona el signo que Para multiplicar o dividir dos números enteros, tendrá el resultado de multiplicar o dividir se multiplican o dividen prescindiendo del signo. dos números enteros. Después, se pone el signo que corresponde según la regla de los signos. Factores Resultado (−3) ⋅ (+5) = −15 (+12) : (−3) = −4 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS + + + + − − (+3) ⋅ (+5) = +15 (−8) : (−2) = +4 − + − − − + ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? an = a ⋅ a ⋅ …⋅ a n Indican la expresión Los puntos suspensivos entre los dos signos de una potencia de multiplicación significan que a se a =a⋅a⋅…⋅a n 14243 en forma de producto. multiplica n veces. n veces ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? a Indica la raíz cuadrada Bajo el símbolo de la raíz se puede poner de un número. cualquier operación entre números. a +b Indica la raíz cuadrada de una suma. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 49
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 50 1 Números enteros EN LA VIDA COTIDIANA... Rascacielos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones. • Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales. 1 Los diez rascacielos más altos del mundo Desde los primeros tiempos de la historia, el ser hu- La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que en mano ha querido construir edificios tan altos que casi el momento del atentado ocupaban (con 411 metros llegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las de- de altura) el tercer puesto entre los edificios más altos más estructuras arquitectónicas, han tenido un largo del mundo, así como otros problemas asociados a es- período de evolución. Avances tecnológicos como la tos edificios, han suscitado un movimiento de reflexión invención del primer elevador con freno de emergen- sobre su conveniencia. cia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero en Algunos de los rascacielos más altos del mundo son: las estructuras de las construcciones, hicieron posible que los edificios se elevasen cada vez más. Nombre País Altura (m) En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener Torres Petronas Malasia 452 50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dos Torre Sears EE UU 436 décadas más tarde se levantaba el Empire State con Jim Mao Building China 421 sus 102 pisos. Plaza Rakyat Malasia 382 Empire State Building EE UU 369 Tuntex & Chein Taiwan 347 Amoco EE UU 346 Centro John Hancock EE UU 343 Shung Hing Square China 325 Plaza CITIC China 322 RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. COMPETENCIA MATEMÁTICA a) Redondea a las centenas las alturas de todos los rascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en ca- da uno de los casos? b) Redondea las alturas a las decenas. ¿Qué error co- metes ahora con cada aproximación? c) Trunca a las centenas y, después, a las decenas las alturas de todos los rascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en cada uno de los casos? d) Halla la suma de las alturas de los diez rascacielos. Después, obtén el error cometido al estimar esa suma redondeando a las centenas y a las decenas. e) Calcula el error en la estimación de la suma si, en vez de redondear, truncas a las centenas y a las decenas. f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, uno La evolución de las concepciones arquitectónicas y la encima del otro, para conseguir 1 km de altura. aplicación de soluciones tecnológicas han ido permi- Redondea el divisor a las centenas. tiendo levantar edificios cada vez más altos. 50 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 51 1 Las Torres Petronas, que puedes ver en la fotografía in- HAZ ESTAS ACTIVIDADES. ferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierra a) En una mañana, en las Torres Petronas, todos los y cuentan con 76 ascensores, incluyendo 29 de ellos ascensores de alta velocidad han subido llenos de alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos as- desde la planta baja. Halla cuántas personas los censores puede transportar a 26 personas. La Torre utilizaron en total, si el número de personas fue RECURSOS PARA EL AULA Sears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y mayor de 45.000 y menor de 46.000. 3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores. b) Si colocásemos, apiladas una encima de otra, co- pias de las Torres Petronas y de la Torre Sears, hasta obtener dos edificios con la misma altura, ¿cuántas copias de cada una necesitaríamos? c) Partiendo del piso más bajo de cada uno de los dos edificios, subimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos a subir 70 y bajamos 48. ¿En qué piso estaremos en cada uno de los casos? d) Supongamos que la velocidad de los ascensores sea de 2 pisos por segundo. ¿Cuánto tardaríamos en subir desde el piso 0 al piso más alto de cada edificio? ¿Y en subir desde el piso más bajo? e) Hemos tardado 30 segundos en llegar al piso 12. ¿De qué planta hemos partido en cada uno de los edificios? 2 Proyectos para el futuro Existen en la actualidad proyectos para construir edifi- Este proyecto, en el que figuran muchos especialistas cios aún más altos. Entre los que han tenido mayor pu- españoles, pretende dar un salto cualitativo en la cons- blicidad y significación en los últimos años está el Pro- trucción, impulsando el uso de técnicas totalmente yecto Torre Biónica, elaborado por Cervera & Pioz and distintas a las actuales. Partners. Las novedosas técnicas, basadas en la imitación de los principios de flexibilidad y adaptabilidad de las estruc- turas biológicas, permitirían ajustar la altura, capaci- dad y uso de la torre a las diferentes condiciones eco- COMPETENCIA MATEMÁTICA nómicas, medioambientales y sociales de la ciudad donde se construya. La altura de la Torre Biónica será de 1.228 m (con 300 plantas), tendrá una capacidad máxima para 100.000 personas, y en ella habrá 368 ascensores de desplazamiento vertical y horizontal. REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuántos metros de altura tendría cada planta de la Torre Biónica? Haz una estimación redondeando el dividendo. b) ¿Cuántas copias de las Torres Petronas necesitaría- mos apilar, una sobre otra, para alcanzar la altura de la Torre Biónica? Calcula el resultado exacto y el resultado redondeando a las centenas, y halla el error cometido. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 51
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 52 1 Números enteros ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Buscar regularidades Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar, dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación, y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia. PROBLEMA RESUELTO Un caminante encuentra en el desierto la serie de montones de piedras que se muestra en la figura. Tras observarlos un rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia. ¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón? ¿Y el siguiente a este? Planteamiento y resolución Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar algún patrón o regla de formación: Montón 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º Piedras 1 1 2 3 5 8 Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él: 2=1+1 3=1+2 5=2+3 8=3+5 Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras. APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 En la figura aparecen los cuatro primeros 2 Los números del interior de los cuadrados números triangulares (aquellos que pueden se forman a partir de los que les rodean colocarse formando un triángulo). ¿Sabrías siguiendo la misma regla (solo se usan decir cuál es el quinto número triangular? las operaciones básicas). Completa el interior ¿Y el sexto? ¿Y el décimo número triangular? del último cuadrado. 3 1 −2 5 4 9 1 −9 −3 2 1 3 6 10 6 7 4 8 −4 52 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 53 1 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Entrada al Programa: Menú → → Una vez que el programa se ejecuta, en el monitor verás la pantalla del margen. Es un libro de trabajo formado por 3 hojas: Hoja1, Hoja2 y Hoja3, aunque puede haber hasta 256 hojas en un libro. Pantalla inicial de EXCEL Libro → Carpeta que puede contener hojas, gráficos, macros, etc. Hoja → Pizarra «ordenada» en celdas (cada celda está ordenada por su fila y columna), que contienen datos numéricos, texto, etc. Celda → Contiene dos informaciones: • El formato de la celda: consiste en el tipo de dato que puede conte- ner: numérico, de texto, lógico, fechas, etc. • El contenido. Observa en el margen una hoja que tiene escrita la palabra «Matemáticas» en la celda B3 (columna B, fila 3); el contenido de la celda es la palabra «Matemáticas» y el formato es el tipo Texto. Parte de una hoja El Programa EXCEL trabaja con estas dos informaciones por separado; por ejemplo, puedes borrar el contenido de una celda y mantener el formato, o copiar el formato de una celda a otra, sin copiar el contenido. Cuando se sale del programa, se indica el nombre del archivo. La extensión la da el mismo programa y es .xls. PRÁCTICA Abre un libro nuevo. La información que da EXCEL como ayuda es muy completa y permite obtener una visión genérica de qué es una hoja de cálculo y cómo se puede utilizar. Pulsa en el botón (ayuda), de la barra de menús, o pulsa directamente en la tecla F1 . En la ventana que sale, pul- NUEVAS TECNOLOGÍAS sa sobre y escribe, por ejemplo, tipos de formato y observarás que sale otra ventana de ayuda. A través de este tipo de desarrollo, el programa te proporcionará formas de uso o sugerencias sobre un tema determinado. Ayuda del programa EJERCICIOS 1 Busca información sobre estos conceptos 2 Busca información al respecto. básicos utilizando el auxiliar de Office, Fórmulas | Cálculos rápidos en una hoja de cálculo y contesta a las siguientes cuestiones. a) ¿Qué es una fórmula? Hoja de cálculo | Libros y hojas de trabajo b) ¿Cómo se crea una fórmula? a) ¿Qué es un libro de trabajo? 3 Busca información al respecto. b) ¿Y una etiqueta de hoja? Barra de herramientas | Mostrar u ocultar a) ¿Qué es una barra de herramientas flotante? b) ¿Cómo se oculta? ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 53
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 54 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL Abre el Programa EXCEL y observa, en la parte superior de la pantalla, las barras de herramientas que existen para acceder a los diferentes menús: Comandos de Edición • Contiene los comandos más importantes para realizar operaciones con la hoja o con los datos de la hoja. • Para acceder a las opciones que ofrece, pulsa sobre la opción con el botón de la izquierda del ratón o pulsa simultáneamente en la tecla ALT y la tecla subrayada en la opción (A para Archivo, E para Edición, etc.). • Cada una de estas opciones da lugar, a su vez, a una serie de coman- dos; por ejemplo, con ALT + E se despliegan los comandos de Edición (para las opciones de eliminar, buscar, etc.), y con CTRL + F, los de Formato (que permite cambiar el formato de celdas, filas, etc.). Comandos de Formato En el menú → encontramos herramientas, alguna de las cuales se puede activar en la barra correspondiente (obsérvalo en el margen). Una barra que siempre está activada o visible es la barra Estándar. Esta barra contiene comandos, entre otros, de la barra Archivo. Cada uno de los iconos de la barra Estándar es un comando diferente. Para saber la función de cada comando, acércate con el Apuntador, , y observa el ró- tulo que aparece debajo del icono con su descripción. Hazlo con el octavo icono, , y te indicará Vista preliminar, tal como puedes ver en el margen. La barra Formato contiene formatos de control del tipo de letra, el estilo, Barras de herramientas el tamaño, la alineación del texto, etc. NUEVAS TECNOLOGÍAS La barra de fórmulas permite introducir y ver fórmulas en las celdas. → La barra de estado, situada al final de la hoja, señala, como puedes ver en el margen, la acción que se está ejecutando cuando se introduce una Barra de estado fórmula. EJERCICIOS 1 Introduce en la celda B1 tu nombre y apellidos 3 Guarda el libro, para registrar los datos en letra arial, negrita y de tamaño 12. introducidos en la hoja, en tu carpeta personal con el siguiente nombre: Excel_Unidad0. 2 Crea una carpeta personal con tu nombre en el disco duro del ordenador o en un disquete. 54 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 55 1 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR Hoja Unidad 01_1a PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre un libro de trabajo EXCEL y, cuando acabes la Práctica, guárdalo en tu carpeta personal con el nombre NUMEROS_2. PRÁCTICA 1 (ejercicio 71, pág. 35) Pulsa sobre la pestaña con el botón derecho del ratón y escribe el nombre Unidad01_1a (obsérvalo al margen). Indica los rótulos: a, b, a ⋅ b Contenido y b ⋅ a en las celdas A1 a D1. 1. Con el botón izquierdo del ratón, selecciona las columnas de la A a la D y centra los datos con el botón correspondiente. Introduce los números que hay en la hoja: −4, −6, +6, −8... 2. Escribe esta fórmula en la celda C2: =A2*B2 . Observa que aparece el producto en la celda. 3. Escribe ahora en D2 la fórmula: =B2*A2 . a) Sitúate en la celda C2 y activa → (o pulsa en el botón o las teclas CTRL + C). b) Selecciona con el ratón las celdas C3 a C5 y activa → (o pulsa en el botón o las teclas CTRL-V). Hoja Unidad 01_2a Lo que se ha copiado ha sido la referencia de la celda C2, y no su con- tenido: sitúate en la celda C3 y observa que la fórmula que aparece es A3*B3 y en C4 sale A4*B4, etc. 4. Copia la fórmula de D2 en las celdas D3, D4 y D5. 5. Comprobarás que la operación de multiplicar es conmutativa, observando el contenido de las celdas de las dos últimas columnas. Copia los resul- tados en tu cuaderno. PRÁCTICA 2 (ejercicio 82, pág. 36) Abre una nueva hoja con el nombre Unidad01_2a. Función Potencia NUEVAS TECNOLOGÍAS 1. Escribe en las celdas A1, B1 y C1 las palabras BASE, EXPONENTE y POTENCIA. Después, escribe en las celdas A2 y A3 los números 4 y 5. 2. En la celda C2 escribe la fórmula siguiente: =POTENCIA(A2;B2) . Observa que aparece en la celda la potencia A2B2. 3. Escribe el resto de bases y exponentes del ejercicio y copia la fórmula de la celda C2 en el resto de celdas. EJERCICIOS 1 De manera análoga a la Práctica 1 haz 3 Guarda el libro para registrar los datos introducidos el ejercicio 62 para averiguar si las operaciones en las hojas Unidad01_1a y Unidad01_2a, de sumar y restar son o no conmutativas. mediante → NUMEROS_2 en tu carpeta personal. 2 Sin crear una nueva hoja, y continuando con las celdas de la hoja Unidad01_2a, haz el ejercicio 84 de la página 36. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 55
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 56 2 Fracciones ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... Alejandro Magno La vida de Alejandro Magno ha sido evocada por escritores y poetas desde la antigüedad hasta nuestros días. Su historia dio paso a la leyenda, y podemos encontrar multitud de biografías, anécdotas, curiosidades… que tienen como hilo conductor la vida de este personaje histórico. En esta ocasión nos ocuparemos de sus conquistas militares mediante la falange macedonia. La organización de la falange y su estrategia de combate son logros de Filipo II, el padre de Alejandro. Filipo, a partir de la falange tebana, organizó la falange macedonia, modificando su estructura: agrupó a los soldados en cuadros independientes de 16 filas y 16 columnas, llamados syntagmas. Estos syntagmas, en número de 64, se disponían en dos alas de 32 syntagmas cada una, que podían llegar a operar de forma independiente. La falange macedonia presentaba así un frente homogéneo, y apoyada por la caballería, constituyó un cuerpo de ejército casi invencible hasta la aparición de la legión romana. COMPETENCIA LECTORA 56 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 57 2 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS El papiro Rhind y las fracciones RECURSOS PARA EL AULA El papiro Rhind fue escrito por el escriba Ahmes; por ello, se conoce también como papiro Ahmes. Este papiro mide unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho. Está escrito en hierático y proporciona información sobre cuestiones aritméticas básicas: fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El papiro Rhind muestra que en el antiguo Egipto, en el año 4000 a.C., se trabajaba únicamente con fracciones unitarias, es decir, aquellas con 1 1 1 el numerador 1, por ejemplo, , y . 2 3 4 Los egipcios tenían un método para descomponer una fracción unitaria en suma de dos fracciones unitarias de distinto denominador. El procedimiento se expresa del modo siguiente. El papiro Rhind es un documento muy antiguo que nos informa de los conocimientos matemáticos 1 1 1 = + de los egipcios. El papiro fue encontrado en n n +1 n (n + 1) las ruinas de un antiguo edificio de Tebas (Egipto) 1 De esta forma, la fracción unitaria , mediante este y, posteriormente, lo compró en la ciudad de Luxor 2 método, se descompone así: el egiptólogo escocés Henry Rhind, cuando viajó a Egipto. A la muerte de Rhind, el papiro fue a parar 1 1 1 1 1 = + = + al Museo Británico, donde se encuentra actualmente. 2 3 2⋅3 3 6 Galileo Evolución de la imprenta COMPETENCIA LECTORA Galileo Galilei nació en Pisa Desde la antigua en 1564, y aunque prensa movida estudió Medicina en a mano, inventada la universidad, decidió por Gutenberg inclinarse por las aproximadamente en Matemáticas. A los 25 años el año 1440, hasta fue nombrado profesor de las veloces rotativas Matemáticas en la de los periódicos, Universidad de Pisa, las máquinas de imprimir han sufrido donde comenzó a investigar innumerables modificaciones y se perfeccionan sobre la mecánica y el constantemente. movimiento de los cuerpos. Actualmente, los ordenadores nos permiten Su contribución más interesante fue establecer escribir un texto de una forma fácil y rápida, el vínculo entre la Física y las Matemáticas. utilizando el tipo de letra y el tamaño Murió en 1642, el mismo año del nacimiento que nos interese en cada momento. de Newton, a quien dejó el camino abierto para El tamaño de las letras se mide en puntos. la consolidación de la Mecánica. Un punto equivale a 3/8 de milímetro. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 57
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 58 2 Fracciones CONTENIDOS PREVIOS Los términos de una fracción son el NUMERADOR y el DENOMINADOR. CONVIENE QUE… Numerador F Recuerdes lo que es una fracción 3 ⎯→ Se lee: tres octavos. y cuáles son sus términos. F 8 Denominador El denominador indica las partes iguales en las que se divide la unidad. PORQUE… El numerador indica las partes que se toman de la unidad. Lo necesitarás como punto de partida para ampliar tus conocimientos. Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas. CONVIENE QUE… Las dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador, Sepas llevar a cabo y después, se marcan las partes que señale el numerador. la representación de fracciones con gráficos. 5 6 PORQUE… Te ayudará a comprender algunas propiedades de las fracciones. CONVIENE QUE… Sepas identificar cuándo una fracción es menor, mayor o igual LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS que la unidad. 3 8 10 PORQUE… <1 =1 >1 8 8 8 Te servirá para clasificar Numerador < Denominador Numerador = Denominador Numerador > Denominador las fracciones. Si la base es un número entero positivo, la potencia es positiva. CONVIENE QUE… 55 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3.125 Sepas calcular potencias de números enteros y operar Si la base es un número entero negativo, la potencia es positiva con ellas. si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar. (−2)4 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 16 PORQUE… (−3)5 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −243 Las potencias de fracciones tienen las mismas propiedades. 58 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 59 2 NOTACIÓN MATEMÁTICA RECURSOS PARA EL AULA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? a a o a/b expresan que de b partes tomamos a. b Indican una fracción de numerador a b a/b y denominador b. a a a de c expresa la fracción de una cantidad; de c Indica la fracción de una b b cantidad c. b su valor es el resultado de multiplicar a por c y dividir entre b. 3 3 ⋅ 40 de 40 = = 24 5 5 ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ⎛a⎞ n ⎛3⎞ 4 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 Indica la potencia de una fracción. ⎜ ⎟ ⎝b ⎟ ⎜ ⎠⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 7 7 7 7 74 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? a c c La raíz cuadrada exacta de una fracción = La fracción es la b d d es la fracción formada por la raíz exacta raíz cuadrada exacta de su numerador y de su denominador. a de la fracción . b a a 25 25 5 = → = = b b 16 16 4 Solo tienen raíz cuadrada exacta las fracciones cuyo numerador y denominador son cuadrados perfectos. ⎛c ⎞ 2 a c ⎟ = a = ↔⎜ ⎜ ⎟ ⎟ b d ⎜d ⎝ ⎟ ⎠ b ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 59
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 60 2 Fracciones EN LA VIDA COTIDIANA... El agua de la Tierra En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer la superficie y distribución de los océanos y la cantidad de agua disponible, y utilizar estos datos para resolver problemas con fracciones. • Interpretar un texto y extraer de él los datos necesarios para resolver problemas con fracciones. 1 Los océanos y los mares en la Tierra La Tierra tiene forma esférica y está achatada por los polos. Considerando la Tierra como una esfera, la longitud de sus círculos máximos (meridiano cero y ecuador) es aproximadamente de 40.000 kilómetros. Asimismo, la superficie total de la Tierra es de unos 500 millones de kilómetros cuadrados. LEE LA INFORMACIÓN, CALCULA Y CONTESTA. a) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu- pan los océanos y mares profundos? 7 Los océanos y mares ocupan los del total de la su- b) ¿Qué fracción de la superficie terrestre constituyen 10 los continentes? perficie del planeta. Por su parte, los mares profundos COMPETENCIA MATEMÁTICA 13 c) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan los ocupan los de esa superficie total. océanos y mares profundos? 50 La fracción de la superficie total ocupada por los océa- d) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupan nos que corresponde a cada uno de ellos es aproxima- los continentes? damente la siguiente. e) ¿Qué fracción de la superficie total de la Tierra ocu- 1 pa cada uno de los océanos indicados en el texto? Océano Atlántico..................................... 4 f) ¿Qué superficie ocupa el océano Atlántico en kiló- 1 metros cuadrados? Océano Pacífico ...................................... 2 g) ¿Y el océano Pacífico? 1 h) ¿Qué superficie en kilómetros cuadrados ocupa el Océano Índico......................................... océano Índico? 5 1 i) ¿Y el océano Ártico? Océano Ártico ......................................... 3 20 j) Se estima que, en el agua de los océanos, las 4 Por otra parte, el agua de los océanos y mares es sala- partes de los materiales sólidos disueltos son sal. da y contiene alrededor de 35 gramos de sal disueltos ¿Cuántos gramos de materiales disueltos que no son en cada litro de agua. sal hay en cada litro de agua? 60 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 61 2 2 La distribución del agua dulce en la Tierra El volumen de agua total en el planeta Tierra es de unos 1.400 millones de kilómetros cúbicos. 97 RECURSOS PARA EL AULA Los de toda el agua del planeta Tierra es agua 100 salada y el resto es agua dulce. 5 La mayor parte del agua dulce, concretamente los , 7 la constituyen el hielo y la nieve de los casquetes pola- res y los glaciares. El resto está formado por el agua subterránea, el agua de los lagos y ríos y de la atmós- fera. Los glaciares y los casquetes polares, que son los mayores almacenes de agua dulce en la Tierra, están alejados de los grandes núcleos de población humana. Por eso, son los ríos, los lagos y las aguas superficiales los que ha utilizado tradicionalmente el ser humano para proveerse de agua. Pero solo una parte de cada veinte del agua dulce está en los ríos y lagos o son aguas superficiales. Aunque, en términos absolutos, el agua dulce disponi- ble es suficiente para abastecer a los más de 6.000 millones de habitantes de la Tierra, existe el problema de que este agua disponible no está equitativamente RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. distribuida en el planeta. a) ¿Qué fracción del total de agua de la Tierra consti- Hoy se calcula que la cantidad mínima de agua para tuye el agua dulce? cubrir las necesidades básicas de una persona es de b) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce hay en 50 litros diarios. Y se considera la cantidad de 100 li- la Tierra aproximadamente? tros por persona y día como necesaria para un están- dar de vida aceptable. c) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce repre- sentan la nieve y el hielo de los casquetes y los glaciares? d) ¿Qué fracción del total de agua del planeta repre- senta el agua en forma de hielo y nieve que hay en COMPETENCIA MATEMÁTICA los casquetes y en los glaciares? e) ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua dulce con- tienen los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales? f) ¿Qué fracción del agua total de la Tierra represen- tan los ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficiales? g) ¿Cuántos metros cúbicos de agua gastaría la hu- manidad diariamente, si cada persona usara la cantidad mínima recomendada para sus necesida- des básicas? h) ¿Cuántos metros cúbicos de agua al día gastaría la humanidad si cada persona usara la cantidad ne- cesaria para un estándar de vida aceptable? i) ¿Qué fracción del total de agua dulce disponible en ríos, lagos, aguas subterráneas y aguas superficia- les supondría cada uno de ambos casos? ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 61
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 62 2 Fracciones ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un dibujo Estrategia Una estrategia para resolver los siguientes problemas es hacer un dibujo y mostrar en él los datos del problema. El dibujo nos ayudará a resolver el problema. PROBLEMA RESUELTO 1 Una locomotora arrastra tres vagones. La longitud del primer vagón es de la longitud 3 del segundo y la longitud del tercer vagón es igual a la longitud del primero y segundo juntos. Si la longitud total de los tres vagones es 56 m, ¿cuánto mide cada vagón? Planteamiento y resolución Longitud del Longitud del Longitud del primer vagón segundo vagón tercer vagón Longitud de los tres vagones 56 m 1 Longitud del primer vagón: de 56 = 7 m. 8 Calcula la longitud de los otros dos vagones y comprueba la solución. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Jorge ha ido en coche desde el pueblo A 2 Cristina recibe en su tienda un total de APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS hasta el pueblo C pasando por B. Ha recorrido 90 camisetas de las tallas pequeña, mediana un total de 180 km. La distancia entre y grande. El número de camisetas pequeñas 5 2 los pueblos B y C es de la distancia es del número de camisetas medianas, 4 3 4 que hay entre los pueblos A y B. ¿Cuál es y el número de camisetas grandes es la distancia entre los pueblos A y B ? del número de las medianas. 3 ¿Y entre los pueblos B y C ? a) ¿Cuántas camisetas de cada talla recibe Cristina? b) El precio de una camiseta pequeña más una mediana y una grande es 36 €. La pequeña cuesta 1/4 menos que la mediana, y la grande, 1/4 más que Pueblo A Pueblo B Pueblo C la mediana. ¿Cuánto cuesta cada camiseta? 3 Una persona paga en dos plazos un televisor que cuesta 540 €. En el segundo plazo pagó los 3/7 del dinero que abonó en el primero. ¿Cuánto dinero pagó en cada plazo? 62 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 63 2 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con nombre: Unidad02_1a. Prepara un formato especial para operar con fracciones: selecciona toda la hoja y activa la opción: → y, en la ficha , selec- ciona la opción Fracción | Hasta 3 dígitos. Fíjate en que EXCEL presenta las fracciones en formato mixto, es decir, que aunque escribamos 32/5 en una celda, el programa lo transforma en la fracción 6 2/5). PRÁCTICA 1 (ejercicio 48, pág. 53) 1. Pon los rótulos de la figura en las celdas A1: I1. 2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2. Trabajo con fracciones 3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: =(A2+B2)−(C2+D2) y ob- serva el resultado: −2 2/15 → −2 + 2/15 = −28/15. 4. Introduce en cada fila los términos de cada ejercicio: en la fila 3 estarán los términos del apartado b), y en la columna y introducirás la operación. La fórmula del apartado c) será =A4−(B4−(C4+D4)−E4)−(F4+G4)−H4 . 5. Copia los resultados en tu cuaderno. PRÁCTICA 2 (ejercicio 65, pág. 55) Inserta una nueva hoja Unidad02_2a: 1. Pon los mismos rótulos que en la Práctica 1. 2. Escribe los números del apartado a) en la fila 2. NUEVAS TECNOLOGÍAS 3. Sitúate en la celda I2 y escribe la fórmula: =A2/(B2−C2) y observa el resultado: 4. 4. Introduce en cada fila los términos de los ejercicios: en la fila 3 estarán los del apartado b), y en la celda I3 introducirás la operación. Presta atención a cómo colocas los paréntesis. 5. Copia los resultados en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 De forma análoga a la Práctica 1, crea una nueva 3 Guarda el libro para registrar los datos hoja Unidad02_3a y resuelve los ejercicios 50 introducidos en las hojas Unidad02_1a, y 51 de la página 53. Unidad02_2a y Unidad02_3a, mediante → en tu carpeta personal. 2 Haz también el ejercicio 60 de la página 54 de forma análoga a la Práctica 2. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 63
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 64 3 Números decimales ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... A lomos del viento Simon Stevin nació en Brujas (Bélgica) en 1548. En su juventud recorrió buena parte de Europa, lo que era una práctica habitual entre los eruditos e intelectuales de la época. Ingeniero y matemático, fue reconocido en su tiempo por los trabajos de ingeniería militar y fortificación que realizó para su mecenas, el príncipe de Orange, Maurice de Nassau, durante las guerras de Flandes. Ideó sistemas de diques y contradiques que permitían inundar las tierras bajas y detener el avance de los ejércitos enemigos, diseñó molinos y barcos… Uno de los inventos que más llamaron la atención de sus contemporáneos fue un carro que, movido por la fuerza del viento, podía transportar personas y mercancías a gran velocidad. Stevin escribió sus trabajos en lengua vernácula; algunos historiadores afirman que lo hizo porque quería llegar al mayor número de personas, y otros sostienen que utilizaba el holandés porque esa lengua era más precisa para escribir textos científicos. Entre sus aportaciones destaca un manual de Matemática comercial realizado por encargo del Príncipe de Orange, pero su aportación matemática más relevante es la definición y las reglas para operar con fracciones decimales, las cuales derivarían en lo que hoy conocemos como números decimales. Simon Stevin murió en La Haya en 1620. COMPETENCIA LECTORA 64 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 65 3 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Números decimales especiales RECURSOS PARA EL AULA Aparte de los números decimales exactos y periódicos, existen números decimales con la particularidad de que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Es decir, su parte decimal consta de infinitas cifras, pero en ella no hay ningún grupo que se repita indefinidamente. Observa los ejemplos: 0,01001000100001000001... 1,223334444222333344444222233333444444... Algunos de estos números, especialmente importantes, son: • El número de oro Se representa por ⌽ y su expresión decimal es: ⌽ = 1,6180339887498948482045868343656... Desde la antigüedad ha tenido gran importancia por su aplicación al arte en la famosa proporción áurea. El número áureo está presente en construcciones como el Partenón, las catedrales... También aparece en objetos de la vida cotidiana, como el carné de identidad y las tarjetas de crédito e, incluso, lo podemos encontrar en seres vivos como el nautilus (en la fotografía) y algunas especies vegetales. • El número π Es la razón de la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Su expresión decimal es: ␲ = 3,1415926535897932384626433832795... Este número está presente en todas las circunferencias y círculos de la realidad. En las culturas china, egipcia, griega…, se trató de obtener aproximaciones cada vez más precisas de ␲, por su aplicación en numerosos campos. Nosotros manejamos como valor de ␲ su aproximación a las centésimas, 3,14. COMPETENCIA LECTORA Aryabhata Aryabhata vivió en el siglo V, aunque tenemos pocos datos de su vida, salvo que residía en la actual Patna, ciudad cercana al río Ganges y que fue en el año 499 cuando escribió su obra en verso dedicada a las Matemáticas y conocida con el nombre Aryabhatiya. Dicha obra consta de cuatro partes: armonías celestes, elementos de cálculo, del tiempo y su medición y las esferas. El contenido matemático está constituido por reglas para hallar raíces cuadradas y cúbicas, reglas de medición, fórmulas para el cálculo de los elementos geométricos, identidades algebraicas sencillas… ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 65
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 66 3 Números decimales CONTENIDOS PREVIOS El sistema de numeración decimal es posicional. El valor de cada cifra CONVIENE QUE… depende del lugar que ocupa. Diez unidades de un orden forman una Repases el sistema de numeración unidad del orden inmediato superior. decimal y la descomposición polinómica de un número natural. 2 ⋅ 10.000 = 20.000 ⎯→ 2 3 4 1 5 ⎯→ 5 ⋅ 1 = 5 ⎯→ 3 ⋅ 1.000 = 3.000 ⎯→ ⎯→ 1 ⋅ 10 = 10 PORQUE… 4 ⋅ 100 = 400 Estudiaremos los órdenes 23.415 = 2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 5 menores que la unidad y te ayudará a comprender la descomposición polinómica de un número decimal. 16 ⋅ 100 = 1.600 CONVIENE QUE… Realices con soltura 160 ⋅ 1.000 = 160.000 la multiplicación y división 1.600 : 100 = 16 de un número natural por la unidad seguida de ceros. 160.000 : 1.000 = 160 PORQUE… Lo utilizarás para transformar números decimales en fracciones decimales. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS TRUNCAMIENTO. Se sustituyen por cero todas las cifras siguientes CONVIENE QUE… a la del orden considerado. Sepas hacer aproximaciones REDONDEO. Truncamos el número teniendo en cuenta, además, que si la de números naturales. cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad esta última. Truncamiento a las centenas: PORQUE… → ⎯ 3.400 Las aproximaciones de números ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ Truncamiento a las decenas: decimales siguen reglas similares. ⎯ ⎯ ⎯⎯ 3.410 3415 ⎯⎯⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ Redondeo a las centenas: ⎯ ⎯ 3.400 → Redondeo a las decenas: 3.420 66 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 67 3 NOTACIÓN MATEMÁTICA RECURSOS PARA EL AULA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? a Indica cualquier tipo Los puntos suspensivos, en cualquier notación numérica, de número, incluido indican que hay más elementos además de los escritos. un número decimal. En el caso de los números decimales, significa que hay un número ilimitado de cifras decimales. 3,452… Indica un número decimal en cuya parte decimal, además Los puntos suspensivos se colocan inmediatamente de las cifras que aparecen detrás de la última cifra, sin dejar espacio en blanco. (452), hay más cifras decimales. 4,56777… Indica un número decimal periódico en cuya parte decimal la cifra 7 se repite indefinidamente. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? 0,3; 0,5; 0,7; … Indica una sucesión Los números decimales se suelen separar por ; de números decimales. para distinguir dónde termina uno y dónde empieza el siguiente. Los puntos suspensivos deben ir separados del último punto y coma por un espacio en blanco. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS ) 3,4 Indica un número decimal Para indicar que una o varias cifras de la parte decimal periódico puro en el que se repiten indefinidamente, se pone un arco sobre ellas. 4 se repite indefinidamente. ) 2,4567 Indica un número decimal periódico mixto en el que 67 se repite indefinidamente. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ) 14 El signo =, entre un número decimal periódico 1,5 = Indica que la fracción 9 y su fracción generatriz, indica que ambos son dos generatriz del número ) 14 expresiones de un mismo número, una decimal y la otra fraccionaria. decimal 1,5 es . 9 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 67
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 68 3 Números decimales EN LA VIDA COTIDIANA... Marcas olímpicas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer algunas marcas olímpicas de atletismo obtenidas por atletas masculinos y femeninas. • Resolver problemas con números decimales y realizar estimaciones usando el redondeo y el truncamiento. 1 Marcas obtenidas por atletas masculinos Aunque los Juegos Olímpicos se iniciaron en la anti- SALTO DE LONGITUD gua Grecia, en los tiempos modernos resurgen en el Atleta Año Longitud año 1896, en el estadio ateniense de Panathinaikos, Bob Beamon 1968 8 m 90 cm con la participación de 13 países, 300 atletas y tan solo 12 periodistas. Ralph Boston 1968 8 m 27 cm Ralph Boston 1960 8 m 12 cm Más de cien años después, en los Juegos de Sidney 2000, participaron 199 países, 11.116 atletas y 19.596 perio- MARATÓN distas para informar de los eventos deportivos. Atleta Año Tiempo A continuación, trabajaremos con los tiempos consegui- Carlos Lopes 1984 2 h 9 min 21 s dos en ciertas pruebas, dando algunas de las mejores Waldemar Cierpinski 1976 2 h 9 min 55 s marcas en los Juegos Olímpicos y los nombres de los Abebe Bikila 1964 2 h 12 min 11 s atletas que las consiguieron. PRUEBA DE LOS 100 METROS Atleta Año Tiempo HAZ ESTAS ACTIVIDADES. Donovan Bailey 1996 9,84 s a) ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el núme- Carl Lewis 1988 9,92 s ro de atletas que participaron en los Juegos Olímpi- Jim Hines 1968 9,95 s cos desde la Olimpiada de 1896 hasta la de Sidney 2000? ¿Qué crecimiento porcentual experimentó el PRUEBA DE LOS 200 METROS número de países? ¿Y el número de periodistas? Atleta Año Tiempo b) ¿Cuánto tiempo más tardó Carl Lewis que Donovan Michael Johnson 1996 19,32 s Bailey en recorrer los 100 metros? Michael Marsh 1992 19,73 s c) ¿Qué atleta fue más rápido en la prueba de los COMPETENCIA MATEMÁTICA Joe Deloach 1988 19,75 s 200 metros? Suponiendo que Michael Johnson man- tuviera la misma velocidad en una hora, ¿cuál sería su velocidad en kilómetros por hora? d) Haciendo un redondeo a las décimas de los tiem- pos de los tres corredores de los 100 metros, haz una estimación de la diferencia de tiempos entre Donovan Bailey y Jim Hines. e) Calcula el error cometido en la estimación del apar- tado anterior. f) ¿Cuál es la diferencia exacta entre las longitudes alcanzadas por Bob Beamon y Ralph Boston? g) ¿Cuál es la diferencia de las longitudes del aparta- do anterior si se redondea a las décimas? h) Expresa, en minutos y segundos, la diferencia de los tiempos que tardaron Carlos Lopes y Waldemar Cierpinski en recorrer la maratón. ¿Cuál es la dife- rencia en segundos? 68 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 69 3 2 Marcas obtenidas por atletas femeninas Aunque la mujer fue discriminada en los Juegos Olím- RESUELVE LAS ACTIVIDADES. picos de la antigua Grecia, en la actualidad su partici- pación es cada vez mayor. En Sidney 2000, la participa- a) ¿Cuántas atletas femeninas participaron en los Juegos de Sidney 2000? ¿Y en Atlanta? RECURSOS PARA EL AULA ción femenina supuso un 40 % del número total de participantes y superó en 800 atletas a las mujeres b) ¿En qué porcentaje aumentó la participación feme- que participaron en Atlanta 1996. nina de Atlanta a la de Sidney? A continuación señalaremos algunas de las mejores c) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos en marcas femeninas de las Olimpiadas en distintas dis- la prueba de los 100 metros entre Evelyn Ashford ciplinas atléticas, las atletas que las consiguieron y el y Florence Griffith, si redondeamos a las décimas. año en que tuvieron lugar. d) Halla el error cometido en la estimación realizada en la actividad anterior. PRUEBA DE LOS 100 METROS Atleta Año Tiempo e) Calcula la estimación de la diferencia de tiempos en Florence Griffith 1988 10,62 s la prueba de los 100 metros, entre las dos marcas Florence Griffith 1988 10,88 s obtenidas por Florence Griffith, si redondeamos a las unidades. Evelyn Ashford 1984 10,97 s f) Halla el error cometido en la estimación realizada PRUEBA DE LOS 200 METROS en la actividad anterior. Atleta Año Tiempo g) Expresa en forma decimal, tomando como unidad Florence Griffith 1988 21,34 s el metro, las longitudes de los saltos de longitud de Florence Griffith 1988 21,56 s las tres atletas. ¿Cuántos metros más saltó la atleta Florence Griffith 1988 21,76 s J. Joyner-Kersee, en su mejor marca, que Tatiana Kolpakova? h) Haz una estimación de las diferencias de los saltos de J. Joyner-Kersee, y calcula el error cometido si se redondea a las décimas. i) Haz una estimación de la diferencia de las longitu- des de los saltos de J. Joyner-Kersee y Tatiana Kol- pakova, redondeando a las décimas, y calcula el error cometido. j) Expresa en forma decimal los tiempos que tarda- ron las dos atletas en recorrer la maratón. Redon- COMPETENCIA MATEMÁTICA dea a las décimas y halla la diferencia de ambos tiempos. ¿Qué error cometes? SALTO DE LONGITUD Atleta Año Longitud J. Joyner-Kersee 1988 7 m 40 cm J. Joyner-Kersee 1988 7 m 27 cm Tatiana Kolpakova 1980 7 m 6 cm MARATÓN Atleta Año Tiempo Naoko Takahashi 2000 2 h 23 min 14 s Joan Benoit 1984 2 h 24 min 52 s ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 69
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 70 3 Números decimales ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un dibujo a escala Estrategia Hacer dibujos a escala es la manera de representar la realidad proporcionalmente. Pero, además, un dibujo a escala nos permite resolver en forma aproximada problemas cuya solución exacta exige conocimientos matemáticos de un nivel superior. La resolución de los siguientes problemas exigiría usar conocimientos que el alumno no posee. Utilizando la estrategia mencionada se pueden resolver con una aproximación aceptable. PROBLEMA RESUELTO Un terreno tiene forma triangular. Midiendo sobre el terreno, los lados son 105 m, 120 m y 150 m. ¿Cuánto se puede obtener por su venta si el precio del metro cuadrado es 90,15 €? Planteamiento y resolución Dibujamos un triángulo semejante al triángulo real del terreno. Tomando como escala, por ejemplo 1 : 1.500, las dimensiones del triángulo del dibujo serían: A 105 m : 1.500 = 0,07 m = 7 cm 120 m : 1.500 = 0,08 m = 8 cm 150 m : 1.500 = 0,1 m0 = 10 cm Para calcular el área del terreno medimos con una regla graduada una de las alturas en el triángulo del dibujo, por ejemplo, la altura AH, y calculamos la medida real de esta altura. 10 cm 8 cm La altura AH, en el triángulo del dibujo, es 8 cm. 8 cm Altura real: 8 ⋅ 1.500 = 12.000 cm = 120 m. APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 105 ⋅ 120 Área del terreno: = 6.300 m2. 2 B C H 7 cm Precio del terreno: 6.300 ⋅ 90,15 = 567.945 €. Comprueba con un transportador que el valor aproximado de los ángulos es: $ A = 44° $ B = 83° $ C = 53° PROBLEMA PROPUESTO Para hacer un polideportivo se ha comprado 2.º Mide una altura en el triángulo del dibujo, una parcela triangular cuyos lados miden 300 m, y averigua su medida real. 375 m y 362 m. Si el precio de un metro cuadrado 3.º Calcula el área real de la parcela y su precio. es 66,11 €, ¿cuál ha sido el precio de la parcela? Utiliza un transportador y averigua lo que mide cada Para resolver el problema sigue estos pasos. ángulo. 1.º Dibuja la parcela a escala 1 : 2.500. 70 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 71 3 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad03_1a. PRÁCTICA 1 (ejercicio 54 a), pág. 72) 1. El Programa EXCEL puede funcionar como una calculadora múltiple, y es lo que vamos a comprobar en este ejercicio. Pon los rótulos de la figura en las celdas A1: A11 y A1 a I1. 2. Colócate en la celda B2 e introduce la fórmula: =B$1*A2 . Observa que se obtiene el resultado de multiplicar la celda B1 por la celda A2. 3. Copia la fórmula en las celdas B3 a B11 (el signo $ de la fórmula signi- fica que al copiar siempre se mantendrá la celda B1, o sea que en B3 será: B1 × A3, en B4 será B1 × A4… 4. Introduce en la celda C2 la fórmula: =C$1*A2 y cópiala en las celdas C3 a C11. 5. De forma análoga, haz lo mismo en las demás celdas comenzando siempre en la fila 2. 6. Copia el resultado en tu cuaderno. NUEVAS TECNOLOGÍAS PRÁCTICA 2 (ejercicio 80 a), pág. 74) 1. Abre una hoja Unidad03_2a y pon los rótulos, tal como se ve en la figu- ra del margen. 2. Indica la cifra que se quiere aproximar en la celda A1: 1,25667. 3. Introduce las fórmulas: celda B2: =TRUNCAR(A1;1) y celda B3: =REDONDEAR(A1;1) . Copia las fórmulas en las celdas C2 a D3, cam- biando el número de decimales a 2 y 3, en función de la aproximación a las centésimas o milésimas. 4. Copia la tabla en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 Completa la tabla del ejercicio 52 de la página 72. 3 Guarda el libro con los datos introducidos 2 Resuelve el resto de apartados del ejercicio 80 mediante → . de la página 74. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 71
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 72 4 Sistema sexagesimal ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El amo de la Luna Johan Müller Regiomontanus nació en Königsberg en 1436 y murió en Roma en el año 1476. Fue un niño prodigio y con tan solo 16 años acabó sus estudios en la universidad, si bien no obtuvo su título hasta haber cumplido los 21 años por motivos legales. En la universidad tuvo como maestro a Peuerbach, por cuyo consejo adoptó el uso de los números arábigos, que utilizó en sus tablas trigonométricas. Tras viajar por Italia y estudiar a los autores clásicos, regresó a Alemania e instaló una imprenta de su propiedad con la que quería difundir las teorías de Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo…, pero esta obra se vio truncada por su repentina muerte, a los 40 años de edad. Regiomontanus fue el matemático más influyente del siglo XV, y una de sus aportaciones fue separar la Trigonometría de la Astronomía, y estudiarla como ciencia independiente en su obra De triangulis omnimodis. Se cree que otra de sus obras, Ephemerides, que describía los movimientos planetarios, fue utilizada por Cristóbal Colón en la conquista de América, ya que con ella pudo predecir un eclipse de luna el 29 de febrero de 1504, cuando se encontraba varado en la isla de Jamaica, esperando ayuda de La Española, y que gracias a esa predicción pudo evitar un motín y hacer que los indígenas siguieran aprovisionándoles de comida y agua a él y a su tripulación. COMPETENCIA LECTORA 72 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 73 4 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS La hora zulú RECURSOS PARA EL AULA -11 -12+11+10 +9 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 En 1928 se estableció como +12 referencia para los tiempos el GMT (hora en el meridiano de Greenwich), también llamada UTC (hora universal coordinada) y, en el contexto de la aviación, hora zulú. Ahora bien, esa hora no es la misma en todos los países del mundo. La Tierra se dividió en una serie de 24 partes o husos horarios, en los cuales la hora legal es diferente a la GMT. Hacia el oeste, la hora legal disminuye, y hacia el este aumenta, como se ve en los relojes del mapa. En aviación, para llevar un seguimiento más coordinado de los vuelos se trabaja con la hora zulú; es decir, los pilotos y las torres de control de todo el mundo utilizan la hora universal, GMT o UTC, para operar con una medida de tiempo común y no depender de la hora de cada país. Si en España son las 17 horas, ¿cuál será la hora zulú? Para calcularla basta con mirar el mapa. Vemos que España está situada en la franja marcada como −1. Para hallar la hora zulú sumamos a la hora local el número de la franja a la que pertenece el país; es decir, la hora zulú será: 17 + (−1) = 16 horas. Augusta Ada King COMPETENCIA LECTORA Augusta Ada King nació en Londres en 1815, y fue la hija del sexto lord Byron, el famoso poeta, y de Annabella Milbauke Byron. Sus padres se separaron cuando ella tenía dos meses de edad, y lord Byron abandonó definitivamente Gran Bretaña, por lo que su hija nunca llegó a conocerlo. Educada de forma privada, fue sobre todo autodidacta. Esta matemática británica creó un prototipo de ordenador digital que había diseñado Charles Babbage. Debido a esta circunstancia, Ada ha sido considerada la primera programadora de computadoras. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 73
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 74 4 Sistema sexagesimal CONTENIDOS PREVIOS El SISTEMA SEXAGESIMAL es el conjunto de unidades y normas CONVIENE QUE… que aplicamos a la hora de medir ángulos y tiempos. Recuerdes las características Sus unidades son: del sistema sexagesimal. Tiempos Ángulos Hora (h) Grado (°) PORQUE… Minuto (min) Minuto () Te serán útiles para comprender los contenidos de la unidad. Segundo (s) Segundo (") CONVIENE QUE… ⋅ 60 ⋅ 60 F F Utilices con soltura las hora minuto segundo F equivalencias entre las unidades ⋅ 3.600 del sistema sexagesimal. : 60 : 60 PORQUE… G G Las utilizarás para operar grado minuto segundo G con cantidades expresadas : 3.600 en el sistema sexagesimal. Una cantidad está en FORMA COMPLEJA cuando en su expresión aparecen CONVIENE QUE… distintas unidades de medida. Si solo aparece una unidad de medida, Recuerdes las expresiones se dice que está en FORMA INCOMPLEJA. en forma compleja e incompleja. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Forma compleja ⎯→ 3 h 15 min 20 s Forma incompleja → 20 h PORQUE… Te servirá para resolver distintos problemas. Primero se resuelven las = 8 + 7 ⋅ 4 : 2 − 7 + 15 : 5 − 4 = CONVIENE QUE… multiplicaciones y las divisiones, ⎯ ⎯ ⎯ → → Conozcas la jerarquía de izquierda a derecha. = 8 + 28 : 2 − 7 + 3 − 4 = en las operaciones. ⎯ Después, se realizan las sumas → y las restas en el mismo orden. = 8 + 14 − 7 + 3 − 4 = PORQUE… = 22 − 7 + 3 − 4 = 15 + 3 − 4 = Tendrás que aplicarla = 18 − 4 = 14 en las operaciones combinadas de ángulos y tiempos. 74 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 75 4 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA h Indica una cantidad de tiempo Al medir tiempos podemos expresar las cantidades expresada en horas. en forma compleja, utilizando varias unidades, min Indica una cantidad en minutos. o en forma incompleja, si usamos una sola unidad. s Indica una cantidad en segundos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ° Indica la amplitud de un ángulo expresada Las medidas de ángulos podemos expresarlas en grados. en forma compleja, utilizando varias unidades, Indica una amplitud en minutos. o incompleja, si usamos una sola unidad. " Indica una amplitud en segundos. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? 15° 45 39" Las cantidades expresadas en forma sexagesimal Indica una suma. + 20° 50 47" podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas. Los signos que expresan esas 45° 45 45" operaciones son los usuales de las operaciones Indica una resta. aritméticas. − 20° 50 47" Podemos sumar y restar cantidades sexagesimales, 15° 45 pero la multiplicación y la división se hacen Indica una multiplicación. × 7 por un número, no por otra cantidad sexagesimal. 15° 45 40 Indica una división. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 75
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 76 4 Sistema sexagesimal EN LA VIDA COTIDIANA... Relojes y ángulos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Calcular la hora cuando las agujas forman un determinado ángulo. • Dada una hora, hallar el ángulo que forman las agujas. • Determinar la hora en la que las agujas están superpuestas o en prolongación. 1 Ángulos a partir de la hora Aquí tienes la posición de las agujas de un reloj mar- ¿Qué ángulo forman las agujas a las 2 h 28 min? cando horas exactas. ¿Qué ángulo forman las agujas en cada caso? Hacemos los cálculos desde la posición de las 12 h. La aguja minutero recorre un ángulo de: 6° ⋅ 28 = 168°, mientras que la horaria, desde las 12 h hasta las 2 h, Tomando un transportador puedes ver que, en el pri- recorre: 2 ⋅ 30° = 60°, y de las 2 a las 2 h 28 min, mer caso, forman un ángulo de 60°; en el segundo, recorre otro ángulo de: 0,5° ⋅ 28 = 14°. de 90°... Pero esto también se puede obtener de otra El ángulo que forman es: 168° − (60° + 14°) = 94°. manera. ¿Qué ángulo forman las agujas a las 7 h 22 min? La aguja minutero da una vuelta completa cada hora (60 minutos), recorriendo 360°; por tanto, cada minu- to recorre un ángulo de amplitud 360° : 60 = 6°. La aguja horaria recorre un ángulo de 30° (360°/12) cada hora, luego cada minuto recorre: 30° : 60 = 0,5°. En el primer reloj, a las 2 h la aguja minutero está en las 12 y la horaria está en las 2; luego, el ángulo es: La aguja horaria recorre, desde la posición de las 12 h, COMPETENCIA MATEMÁTICA 2 ⋅ 30° = 60°. un ángulo de 7 ⋅ 30° = 210°, al que sumamos el reco- A las 3 h, en el segundo reloj, la aguja minutero está rrido de las 7 h a las 7 h 22 min: 0,5° ⋅ 22 = 11°. En en las 12 y la horaria está en las 3, siendo el ángulo: total, son 221°. 3 ⋅ 30° = 90°. La aguja minutero, desde las 7 h hasta las 7 h 28 min, ¿Qué ángulo forman las agujas en este reloj? recorre: 6° ⋅ 22 = 132°. La diferencia, 221° − 132° = 89°, es el ángulo que forman las agujas del reloj. RESUELVE LAS ACTIVIDADES. a) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 21 h? ¿Y a las 23 h? Toma como ángulo el mayor de los dos ángulos que se forman. Las agujas marcan las 12 h 20 min. Desde las 12 h, la aguja minutero ha recorrido: 6° ⋅ 20 = 120°, y la aguja b) ¿Qué ángulo forman a las 5 h 17 min? ¿Y a las 5 h horaria ha recorrido: 0,5° ⋅ 20 = 10°. 30 min? ¿Y a las 5 h 50 min? La diferencia, 120° − 10° = 110°, es el ángulo que c) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 20 h forman las dos agujas. 10 min? ¿Y a las 20 h 40 min? 76 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 77 4 2 Horas a partir de los ángulos ¿A qué hora exacta, entre las 2 h y las 3 h, las agujas En la aguja minutero, el ángulo recorrido es 6x. del reloj están superpuestas? Y en la aguja horaria: 60 + 0,5x. RECURSOS PARA EL AULA 60 + 0,5x Se diferencian en 90°: 6x 6x − (60 + 0,5 x ) = 90; x = 27,27 min La hora es: 2 h 27,27 min = 2 h 27 min 16 s. La hora pedida será las 2 h x min. Por tanto, se trata de hallar los minutos. De la posición de las 12 h a la posi- ción x de la aguja minutero, el ángulo será 6x. Desde la posición de las 12 h a las 2 h hay 60°, y de las 2 h a las 2 h x min hay 0,5x; la aguja horaria recorre en total: 60 + 0,5x. El ángulo recorrido por ambas agujas es el mismo: 6x = 60 + 0,5x ; x = 10,91 min Si lo expresamos en horas, minutos y segundos: 0,91 ⋅ 60 = 54,6 s 2 h 10,91 min = 2 h 10 min 54,6 s ¿Qué hora es, entre las 2 h y las 3 h, cuando las agujas La clase de Matemáticas empieza entre las 13 h y las del reloj están en prolongación? 14 h, cuando las agujas están superpuestas, y termina antes de las 14 h, cuando forman un ángulo de 270°. 60 + 0,5x ¿Cuánto tiempo dura la clase de Matemáticas? La clase empieza a las 13 h x min. Las agujas están superpuestas al empezar, luego: 30 + 0,5x = 6x ; x = 5,45 min 6x La clase empieza a las 13 h 5 min 27 s. Al terminar la clase forman un ángulo de 270°: COMPETENCIA MATEMÁTICA La hora será las 2 h x min. Razonamos igual que en el ejemplo anterior. La aguja minutero habrá recorrido un 6x − (30 + 0,5x ) = 270° ; x = 54,55 min ángulo de 6x, y la aguja horaria, 60 + 0,5x. La clase termina a las 13 h 54 min 33 s. En este caso, el ángulo de la aguja minutero es 180° Por tanto, la clase dura: mayor que el de la horaria, es decir: 13 h 54 min 33 s − 13 h 5 min 27 s = 49 min 6 s 6x − (60 + 0,5x) = 180; x = 43,64 min Las agujas están en prolongación a las 2 h 43,64 min; REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. es decir, a las 2 h 43 min 38 s. a) Una reunión de vecinos empieza entre las 17 h y ¿A qué hora próxima a las 2 h las agujas del reloj, entre las 18 h, cuando las agujas están superpuestas, las 2 h y las 3 h, forman un ángulo de 90°? y acaba pasadas las 19 h, cuando forman un án- gulo de 111°. ¿Y a qué hora comienza la reunión? ¿Y a qué hora termina? ¿Cuánto tiempo dura? 60 + 0,5x b) Rafael ficha al entrar en la oficina entre las 8 h y las 9 h, cuando las agujas están en prolongación, 6x y ficha la salida entre las 15 h y las 16 h, cuando las agujas están superpuestas. ¿Cuánto tiempo está en la oficina? ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 77
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 78 4 Sistema sexagesimal ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Dibujar ángulos Estrategia La estrategia consistente en hacer un dibujo para reflejar las condiciones del enunciado ayuda a resolver algunos problemas. Esta estrategia es especialmente útil en los problemas geométricos, ya que las relaciones y el razonamiento geométrico se entienden mejor cuando se trabaja sobre figuras construidas de acuerdo con el enunciado del problema. PROBLEMA RESUELTO Dibuja un ángulo AOB de 45°. Después, traza el ángulo BOC adyacente al ángulo AOB . Traza mediante plegado las bisectrices de los ángulos anteriores. ¿Qué ángulo forman las bisectrices? Planteamiento y resolución Hacemos el dibujo siguiendo las indicaciones del enunciado. B N B 135° 45° F 2 2 M 135° 45° C O A C O A El ángulo BOC mide: 180° − 45° = 135°, y el ángulo MON que forman las bisectrices 45° 135° 180° mide: + = = 90°. 2 2 2 Prueba que las bisectrices de dos ángulos adyacentes cualesquiera, ␣ y 180° − ␣, son siempre perpendiculares. APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS Para probar que las bisectrices de los ángulos ␣ y 180° − ␣ son perpendiculares, haz un dibujo análogo al anterior y procede como se ha hecho con los ángulos de 45° y 135°. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Dibuja un ángulo AOB de 100°. 2 Dibuja un ángulo AOB de 45°. 1.º Señala un punto C 1.º Traza mediante plegado la bisectriz OD en el lado OA y un A del ángulo AOB. Señala un punto C en punto D en OB. r la bisectriz y traza por este punto la recta r Traza la recta r C P perpendicular a la bisectriz. La recta r corta perpendicular al s al lado OB en un punto S y al lado OA lado OA por el 100° B en el punto R. punto C, y la recta s 2.º Traza por el punto R la recta perpendicular O D perpendicular al al lado OB. Esta recta corta al lado OB lado OB por el punto D. en el punto P. 2.º Las rectas r y s se cortan en el punto P. Haz el dibujo y averigua cuál es el valor Averigua el valor del ángulo CPD. del ángulo PRS. 78 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 79 4 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad04_1a. PRÁCTICA 1 (ejercicio 41, pág. 88) 1. Escribe los rótulos de las celdas A1 a I2: 2. Introduce los valores de los ángulos en las celdas A3 a F3. 3. Colócate en la celda I3 y escribe la fórmula: =RESIDUO(C3+F3;60) . Esta fórmula suma los segundos y escribe el resto de dividir entre 60. 4. Introduce en la celda H3 la fórmula: =RESIDUO(B3+E3+COCIENTE(C3+F3;60);60) . Suma los minutos del primer y segundo sumandos, y si la suma de los segundos, sobrepasa 60, suma también los minutos correspondientes. Después, calcula el resto y escríbelo. 5. Pon en la celda G3: =A3+D3+COCIENTE(B3+E3+COCIENTE(C3+F3;60);60) . De forma aná- loga sumará los grados de los dos sumandos más los grados resultantes de la suma de los minutos. Resultado: 45° 50 55". 6. En filas sucesivas, introduce los valores del resto de apartados. PRÁCTICA 2 (ejercicio 49, pág. 89) 1. En otra hoja, Unidad04_2a, introduce los rótulos de las celdas A1 a G2. 2. Introduce los valores del ángulo y del factor en las celdas A3 a D3. NUEVAS TECNOLOGÍAS 3. Colócate en la celda G3 y escribe la fórmula: =RESIDUO(C3*D3;60) . Esta fórmula multiplica los segundos por el factor y escribe el resto de dividir entre 60. 4. En la celda F3 escribe: =RESIDUO(B3*D3+COCIENTE(C3*D3;60);60) . Esta fórmula multiplica los minutos por el factor, suma los minutos re- sultantes de la operación de los segundos anteriores y escribe el resto de dividir entre 60. 5. Y en E3: =A3*D3+COCIENTE(B3*D3+COCIENTE(C3*D3;60);60) . Esta fórmula multiplica los grados por el factor y suma los grados anteriores. 6. En filas sucesivas, introduce los valores del resto de apartados. EJERCICIOS 1 De forma análoga a la Práctica 1, crea una nueva 2 Abre una nueva hoja Unidad04_4a y realiza el hoja Unidad04_3a y haz el ejercicio 42, teniendo ejercicio 51 de la página 89. en cuenta las transformaciones necesarias para obtener la diferencia de ángulos. 3 Guarda el libro con → . ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 79
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 21/9/07 09:59 Página 80 5 Expresiones algebraicas ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El templo de Apis La acción nos traslada al antiguo Egipto, que es la cuna, junto con Mesopotamia, del nacimiento de la cultura occidental. Los legados matemáticos de las dos civilizaciones que han llegado a nuestros días han sido más bien escasos, en especial en el caso de los egipcios que escribían sobre papiro, ya que este se degrada con el paso del tiempo más que las tablillas de arcilla que utilizaban en Mesopotamia para escribir. El papiro egipcio más importante del que tenemos noticia dedicado a las Matemáticas es, sin duda, el papiro de Rhind, llamado así porque fue comprado por el escocés Henry Rhind en el año 1858 y actualmente se encuentra en el Museo Británico. También se le conoce como el papiro de Ahmés por ser este el escriba que lo copió. El papiro fue escrito hacia el año 1650 a.C. y su propio autor reconoce que lo copió, de un escrito unos 200 años anterior, es decir, el escrito original habría sido redactado hace 4.000 años. Contiene 87 problemas matemáticos concretos, sin generalizaciones de ningún tipo, sobre cuestiones aritméticas, fracciones, áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El juego de símbolos que proponemos se basa en el sistema de numeración egipcio, es un sistema aditivo (no posicional) en el que cada símbolo recibe un valor, por ejemplo: COMPETENCIA LECTORA F 1 unidad F 10 unidades 80 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 81 5 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS El primer simbolista RECURSOS PARA EL AULA François Viète (1540-1603) era un abogado y jurista francés, miembro del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia, cuya verdadera vocación era las Matemáticas. Su notable aportación a esta ciencia es debida a que llevó el Álgebra a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza. Viète introdujo la primera anotación algebraica sistemática en su libro Introducción al arte analítico, publicado en 1571. En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó, en sus cálculos, las letras minúsculas latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas, y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue también el primero en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido del término. La palabra «coeficiente» deriva de su vocabulario y aparece en uno de sus problemas geométricos. Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía tal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemas geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad. Así, la ecuación x 2 + x = 6, según ese principio, no se podía resolver tal cual porque los sumandos x 2 y x no eran homogéneos, es decir, tenían distinta dimensión, ya que él asociaba el término x 2 con áreas y x con líneas. Viète intentaba siempre resolver ecuaciones en las que las dimensiones de cada sumando o término (es decir, su grado) fueran iguales. Poesía matemática EL BURRO EN LA ESCUELA COMPETENCIA LECTORA Una y una, dos. Dos y una, seis. El pobre burrito contaba al revés. ¡No se lo sabe! –¡Sí me lo sé! –¡Usted nunca estudia! Dígame, ¿por qué? –Cuando voy a casa no puedo estudiar, mi amo es muy pobre, hay que trabajar. Trabajo en la noria todo el santo día. ¡No me llame burro, profesora mía! GLORIA FUERTES ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 81
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 82 5 Expresiones algebraicas CONTENIDOS PREVIOS PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA CONVIENE QUE… Y DE LA DIFERENCIA Recuerdes la propiedad a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c distributiva del producto. a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c PORQUE… 7 ⋅ (5 + 2) = 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2 = 35 + 14 = 49 Tendrás que aplicarla 8 ⋅ (4 − 3) = 8 ⋅ 4 − 8 ⋅ 3 = 32 − 24 = 8 en la resolución de ecuaciones. El LENGUAJE ALGEBRAICO utiliza números y letras unidos mediante CONVIENE QUE… operaciones aritméticas. Las expresiones de ese tipo se denominan Repases las características EXPRESIONES ALGEBRAICAS. del lenguaje algebraico. 2x + 3y − 5z 4x + 9z 2 PORQUE… Lo utilizarás para trabajar con ecuaciones. El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica, para unos valores dados CONVIENE QUE… de las letras, se obtiene sustituyendo estos en la expresión y operando. Sepas obtener el valor numérico Valor numérico de 7x − 11y, para x = 1 e y = −1: de una expresión algebraica. 7 ⋅ 1 − 11 ⋅ (−1) = 7 + 11 = 18 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS PORQUE… Te será útil para verificar las soluciones de una ecuación. SIMPLIFICAR una fracción consiste en hallar otra fracción equivalente CONVIENE QUE… que no tenga factores comunes en el numerador y el denominador. Sepas llevar a cabo 120 23 ⋅ 3 ⋅ 5 2⋅2⋅2⋅3⋅5 2 la simplificación de fracciones. = 2 2 = = 180 2 ⋅3 ⋅5 2⋅2⋅3⋅3⋅5 3 a 3b 2c a ⋅a ⋅a ⋅b ⋅b ⋅c a ⋅ b2 PORQUE… = = 2 a cd a ⋅a ⋅c ⋅d d La usarás para realizar divisiones de monomios y para simplificar la solución de una ecuación. 82 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 83 5 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA x+y−z Indica una expresión algebraica Las incógnitas de una expresión algebraica con tres incógnitas. se representan con letras minúsculas. Las más usuales son x, y, z, t, u, v… ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? −5 ⋅ a ⋅ b3 El signo de multiplicación entre un número y una Indican el mismo monomio. incógnita, o entre dos incógnitas, se puede omitir. −5ab3 7 ⋅ (3x − 2) El signo de multiplicación anterior a un paréntesis Indican la misma operación. también se puede omitir. 7(3x − 2) ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? n En la expresión general de un monomio se distinguen ax Es la expresión general de un monomio. diferentes partes. Coeficiente F ax n F LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Parte literal ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? P (x ) Un polinomio cualquiera con una variable se denota Q (x ) Indican polinomios que solo tienen por P (x ), Q (x ), R (x )… una variable, x. R (x ) P (x ) = x 4 + 3x 3 − 2x − 7 P (x, y ) Indica un polinomio con dos P (3) = 34 + 3 ⋅ 33 − 2 ⋅ 3 − 7 = 149 variables, x e y. P (x , y ) = 2x 2y + 3x y 2 − x 2 − 4 P (3) Indica el valor del polinomio P (x ) P (2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 12 − 22 − 4 = 6 para x = 3. P (2, 1) Indica el valor del polinomio P (x, y ) para x = 2, y = 1. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 83
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 84 5 Expresiones algebraicas EN LA VIDA COTIDIANA... Álgebra y calculadora En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Usar de forma eficiente la calculadora científica para validar y realizar cálculos algebraicos. • Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora. 1 Valor numérico de una expresión algebraica Para realizar cálculos numéricos largos, normalmen- Las teclas usadas en este caso serían: te se van escribiendo los resultados parciales en el 3 × [(--- 2 ± xy 3 ---)] − cuaderno, hasta llegar al resultado final. Por ejemplo, para averiguar el valor numérico de la expresión alge- 2 × [(--- 2 ± xy 2 ---)] + braica 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1, para x = −2, hacemos: 5 × 2 ± − 1 = 3 ⋅ (−2)3 − 2 ⋅ (−2)2 + 5 ⋅ (−2) − 1 = Observa que solamente se han utilizado las funciones = 3 ⋅ (−8) − 2 ⋅ (4) − 10 − 1 = (o teclas) siguientes. = −24 − 8 − 10 − 1 = −43 × tecla de multiplicar Las calculadoras científicas permiten realizar los cálcu- los de una forma más eficaz sin necesidad de efectuar [(--- ---)] teclas de paréntesis cálculos parciales, ni de ir anotándolos. x y tecla de elevar a una potencia ± tecla de cambio de signo DETERMINA CON LA CALCULADORA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, PARA LOS VALORES INDICADOS. a) 3 x2 − 5 x + 8 para x = −1 b) 6(x + 8) − 5 x + 4 x − 3 3 2 para x = 4 4(x − 3 ) 2 c) (x − 5) 3 − + 4x para x = 4 3 COMPETENCIA MATEMÁTICA 1 d) 4 x3 + 3 x2 − 2 x + 5 para x = 2 2 Validación de resultados en cálculos algebraicos La calculadora científica no efectúa cálculos simbólicos, Ten en cuenta que obtener el mismo resultado no sig- pero permite comprobarlos. Así, para ver si está bien he- nifica que la operación esté bien realizada. El método cho el cálculo algebraico: nos sirve únicamente para saber si está mal hecha. (3x − 5) ⋅ (4x 2 + 5x − 2) = 12x 3 − 5x 2 − 30x + 10 HAZ ESTAS OPERACIONES damos a x un valor cualquiera y hallamos con la calcu- CON LA CALCULADORA. ladora cuánto vale cada miembro. a) Comprueba si el siguiente producto está mal reali- Tomamos el valor x = 10, y en el miembro izquierdo zado, dando a x el valor 1: obtenemos: (2 x2 + 3 x − 5) ⋅ (3 x2 − 5) = (3 ⋅ 10 − 5) ⋅ (4 ⋅ 102 + 5 ⋅ 10 − 2) = 25 ⋅ 448 = 11.200 = 6 x 4 + 9 x3 − 25 x2 − 15 x + 25 Y en el derecho: b) Realiza el siguiente producto y comprueba el resul- 12 ⋅ 103 − 5 ⋅ 102 − 30 ⋅ 10 + 10 = 11.210 tado con la calculadora, dando a x el valor 2: La multiplicación algebraica no está bien realizada. (2 x2 + 3 x − 1) ⋅ (3 x + 7 ) 84 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 85 5 3 Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora La calculadora permite también resolver ecuaciones. Ambos pueden anotar los resultados sucesivos en una Vamos a verlo con un ejemplo. tabla, en la que x es el número de veces que cada uno tendrá que apretar la tecla = . RECURSOS PARA EL AULA Dos amigos, Pedro y Ana, juegan con sus calculado- ras. Pedro tiene en la pantalla de su calculadora el nú- x 0 1 2 3 4 … mero 8 y Ana el número 118. Pedro 8 11 14 17 20 … Pedro suma a su número 3 unidades y Ana le resta al … Ana 118 113 108 103 98 suyo 5 unidades de forma simultánea. Obtienen como resultados 11 y 113, respectivamente. Como ves, con la calculadora podemos resolver ecua- Se plantean el siguiente problema: si realizan este pro- ciones usando métodos de resolución numéricos en ceso repetidas veces, ¿llegarán a tener el mismo resul- vez de algebraicos. tado en la pantalla? ¿Cuántas veces serán necesarias? Y si no es así, ¿cuándo estarán más cerca de lograrlo? REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) ¿Crees que llegarán a ser iguales los números de Pedro y Ana? b) ¿Para qué valor de x opinas que los números serán más parecidos? c) Resuelve el problema con la calculadora y com- prueba tus anteriores hipótesis. d) Resuelve algebraicamente la ecuación y contesta de nuevo a las preguntas de los apartados a) y b). e) Si partimos de los números 10 y 200, y aumenta- mos el primero de 6 en 6 y disminuimos el segun- do de 3 en 3, ¿se obtendrá el mismo número? ¿Después de cuántas veces? Plantea la ecuación y resuélvela algebraicamente. f) Ahora partimos de los números −5 y 255. El pri- mero aumenta de 8 en 8 y el segundo disminuye de 5 en 5. ¿Se obtendrá el mismo número? ¿Des- Una suma repetida con la calculadora, con sumando pués de cuántas veces? ¿Qué secuencias de teclas constante 3, se puede hacer así: COMPETENCIA MATEMÁTICA usarías? Plantea la ecuación y resuélvela algebrai- 3 + = 8 = camente. g) De la misma manera que con la suma y la resta, y obtenemos en la pantalla: se actúa con el producto. Así, si tecleamos la se- 11. cuencia: 3 × × 4 = A partir de entonces, bastará con pulsar = repeti- damente y obtendremos: 14, 17, 20… resulta 12 y, cada vez que volvamos a pulsar = , Lo mismo podrá hacer Ana. En este caso, es una resta obtendremos el producto por 3: 36, 108… repetida con sustraendo constante 5. Pulsando: ¿Cuántas veces hemos de pulsar para obtener el 5 − − 1 1 8 número 2.916? ¿Sabrías plantear la ecuación? se obtiene 113. Luego, pulsando repetidamente la te- cla = , se obtendrá: 108, 103, 98… La traducción algebraica del problema de Pedro y Ana es la ecuación: 8 + 3x = 118 − 5x ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 85
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 86 5 Expresiones algebraicas ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un esquema Estrategia En problemas de tipo algebraico, un esquema nos puede ayudar a traducir e interpretar el enunciado de un problema. A continuación, vamos a comprobarlo en problemas de móviles, en los que: espacio = velocidad ⋅ tiempo. PROBLEMA RESUELTO Dos móviles están a una distancia d = 50 km en un instante dado. Si ambos circulan por el mismo camino y sus velocidades son v1 = 120 km/h y v2 = 80 km/h, ¿al cabo de cuánto tiempo y en qué punto se encontrarán? Planteamiento y resolución Distinguiremos dos posibles casos: • Que vayan en sentido opuesto v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h A C B 6 x 56 50 − x 5 Los dos móviles se encuentran en un punto C, situado entre A y B. Si x es la distancia entre A y C, 50 − x será la distancia entre B y C. El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo, t. Así, resultan las siguientes ecuaciones. Móvil 1: x = v1t = 120t Móvil 2: d − x = v2t = 180t d 50 1 Sumando ambas ecuaciones: d = (v1 + v2)t = 200t → t = = = hora. 200 200 4 1 Conocido el valor de t, se obtiene: x = v1t = 120 ⋅ = 30 km . APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 4 Se encuentran al cabo de 15 minutos, a 30 km del punto A. • Que vayan en el mismo sentido v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h A B C 6 d = 50 km 56 x 5 Los dos móviles se encontrarán en el punto C, habiendo recorrido el primero una distancia 50 + x, y el segundo, x. Móvil 1: d + x = v1t → 50 + x = 120t Móvil 2: x = v2t → x = 180t d 50 5 Restando: d = (v1 − v2)t → t = = = hora. v1 − v 2 120 − 80 4 d 5 Conocido el valor de t , se obtiene: x = v2 ⋅ = 80 ⋅ = 100 km. v1 − v 2 4 Se encuentran al cabo de 1 hora y cuarto, a 100 km del punto B. 86 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0046-0087.qxd 12/9/07 13:39 Página 87 5 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad05_1a. PRÁCTICA 1 (ejercicio 59 a), pág. 108) 1. Escribe los rótulos de las celdas con el fondo en amarillo: 2. Introduce los valores de los coeficientes de los diferentes polinomios: A(x), B(x) y C(x) en las celdas de las columnas B, D y H. Por ejemplo, en la celda B3 coloca un 2, en la celda D3 coloca un −3, y así sucesiva- mente. Observa cómo queda el polinomio A(x): 3. Introduce en la celda B7: =B3+B4+B5 y, después, copia la fórmula en las celdas D7, y verás que aparece =D3+D4+D5 , y lo mismo en F7 y H7. 4. Observa cómo queda el resultado: Es decir, que A(x) + B(x) + C(x) = 3x 3 + 2x 2 − 2x − 12. 5. Copia el resultado en tu cuaderno. PRÁCTICA 2 (ejercicio 62 a), pág. 108) 1. Abre una nueva hoja Unidad05_2a y realiza las operaciones señaladas NUEVAS TECNOLOGÍAS en el ejercicio; pon los rótulos de la tabla, tal como se ve en la figura del margen. 2. Introduce la fórmula siguiente en B5: =B3*$B$4 y cópiala en D5 y en F5. 3. Observa el resultado: P (x) = 6x + 8. 4. Copia el resultado en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 De forma análoga a la Práctica 1, crea una nueva 2 De forma análoga a la Práctica 2, realiza el resto hoja Unidad05_2a, y cambia las fórmulas del de apartados del ejercicio 62. apartado a) para realizar el resto de operaciones del ejercicio. Por ejemplo, para calcular 3 Guarda el libro con → . el apartado c) tendrás que poner =B3−B4 en la celda B7. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 87
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 88 6 Ecuaciones de 1. y 2. grado er o ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... París bien vale una misa François Viète nació en Fontenay-le-Comte en 1540 y murió en París en 1603. Estudió Derecho en Poitiers y ejerció como abogado en el Parlamento de París, siendo posteriormente consejero en el Parlamento de Rennes, y años más tarde pasó al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París. Dedicado a la política, las Matemáticas constituyeron un pasatiempo para él. Como consejero privado del rey Enrique III y, después, de su primo Enrique IV, se encargó de descifrar los códigos secretos enemigos. De hecho, se cuenta que Felipe II, rey de España, pidió que fuera acusado de brujería, pues creía que solo de esa manera podría haber descifrado sus claves secretas. Esta teoría fue refutada por sus propios inquisidores, concluyendo que de lo único que podía acusarse a Viète era de poseer una capacidad de trabajo y una inteligencia fuera de lo común. Al final de su vida, en 1603, redactó un trabajo sobre criptografía que dejó anticuados los sistemas de cifrado que existían en la época. Viète pasó a la posteridad por sus contribuciones matemáticas, siendo el matemático más importante de su tiempo, y entre sus aportaciones destaca, en el plano numérico, la utilización y defensa de las fracciones decimales, es decir, de los números decimales, en lugar de las fracciones sexagesimales. Además, es considerado el padre del Álgebra, y fue el primero en escribir una ecuación en forma general, utilizando las vocales para las incógnitas y las consonantes para los parámetros conocidos. Así, la ecuación general de segundo grado la escribió como B in A quadratus + C in A + D ae 0 (ae como abreviatura COMPETENCIA LECTORA de aequalis), que la escribiríamos como ba 2 + ca + d = 0. 88 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 89 6 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Álgebra no simbólica RECURSOS PARA EL AULA Los árabes destacaron en el estudio del Álgebra, pero su forma de plantear y resolver problemas era, sin embargo, muy distinta de la nuestra. El siguiente ejemplo proviene del Álgebra de Abenbéder (siglo XIII). Observa su manera peculiar de razonar y la dificultad que supone no usar símbolos, como la letra x, a la hora de resolver estos problemas. Problema Dos hombres se encuentran, teniendo cada uno de ellos en su mano cierto dinero. Le dice uno de los dos al compañero: «Si me das de lo que tú tienes tres unidades, las añado a lo que tengo y tendré lo mismo que lo que te queda». El segundo le responde: «Si tú me das de lo que tienes seis unidades, las añado a lo que tengo y tendré dos veces lo que te queda». ¿Cuánto tiene cada uno? Solución 1.º Hay que suponer que lo que tiene el primero es una incógnita menos tres unidades, y que lo que tiene el segundo es una incógnita más tres unidades. Cuando toma el primero tres unidades del segundo, teniendo el primero en su mano una incógnita menos tres, el primero tendrá en su mano una incógnita y quedará en la mano del segundo una incógnita. 2.º Le dijo el segundo al primero: «Si me das de lo que tienes seis unidades, tendré dos veces lo que te quede»; por lo que el segundo tendrá una incógnita más nueve y queda en la mano del primero una incógnita menos nueve. Además, la cantidad del segundo: una incógnita más nueve, es el doble de la del primero: una incógnita menos nueve, o sea, dos incógnitas menos dieciocho. 3.º Aplicamos el al-jabr (transposición) y el mucábala (reducción) y tenemos que una incógnita más veintisiete es igual a dos incógnitas. Por tanto, una incógnita es 27. COMPETENCIA LECTORA 4.º Como el primero tenía una incógnita menos tres, y el segundo, una incógnita más tres, el primero tendrá 24 monedas y el segundo tendrá 30 monedas. Mohamed ibn Musa Al-Khwarizmi Los datos biográficos de este matemático son escasos, pero sus contribuciones científicas, que están contenidas en media docena de libros, resultan notables. La palabra «álgebra», con la que hoy conocemos a una de las ramas de las Matemáticas, aparece en el título de su obra más importante. En dicha obra Al-Khwarizmi resuelve seis tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. A lo largo de los seis capítulos aparecen catorce ecuaciones, junto con las estrategias que se deben aplicar en cada caso para resolverlas y obtener sus respectivas soluciones. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 89
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 90 6 Ecuaciones de 1. y 2. grado er o CONTENIDOS PREVIOS PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO CONVIENE QUE… RESPECTO DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA Recuerdes la propiedad a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c distributiva del producto. a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c PORQUE… (−3) ⋅ (8 − 4) = (−3) ⋅ 8 − (−3) ⋅ 4 = −24 − (−12) = −12 Tendrás que aplicarla 5 ⋅ (x + 3) = 5 ⋅ x + 5 ⋅ 3 = 5x + 15 en el producto de polinomios. Para MULTIPLICAR POTENCIAS DE LA MISMA BASE se mantiene la base CONVIENE QUE… y se suman los exponentes. Conozcas cómo realizar Para DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE se mantiene la base y se restan el producto y cociente los exponentes. El exponente del dividendo tiene que ser mayor de potencias de la misma base. que el del divisor. a n ⋅ a m = a n+m PORQUE… a n : a m = a n−m Lo necesitarás para operar con polinomios. 73 ⋅ 75 = 73+5 = 78 46 : 42 = 46−2 = 44 El GRADO de un monomio es la suma de los exponentes de su parte literal; CONVIENE QUE… por ejemplo, el grado de 9x 2y 3z es: 2 + 3 + 1 = 6. Repases lo que es el grado El GRADO de un polinomio coincide con el de su monomio de mayor grado. de un polinomio. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Grado (x 3 + 2x 2 − x + 1) = Grado (x 3) = 3 PORQUE… Grado (xy 2 + 3x 3y − 1) = Grado (3x 3y) = 4 Te servirá para distinguir las ecuaciones de primer y segundo grado. CONVIENE QUE… P (x ) = x 2 − 3x + 2 para P (2) = 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 x=2 Sepas calcular el valor numérico de un polinomio. Q (x, y ) = 2xy 2 + 3x 2y para Q (2, 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 12 + 3 ⋅ 22 ⋅ 1 = 16 x = 2, y = 1 PORQUE… Lo utilizarás para verificar las soluciones de una ecuación. 90 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 91 6 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA ax + b = 0 Indica la expresión general Cuando se escribe una ecuación de primer grado de una ecuación de primer con una incógnita, se suele tomar la letra x para grado con una incógnita. designarla, aunque también se pueden usar otras letras, como y, z, t… Después de resolver una ecuación, hay que comprobar que la solución obtenida es correcta y que tiene sentido en el contexto del problema. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? 3+4≠9 Indica que los dos miembros El símbolo expresa que el primer miembro de la igualdad son distintos. de la igualdad no es igual al segundo. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ax 2 + bx + c = 0 Indica la expresión Al escribir una ecuación de segundo grado con una general de una ecuación incógnita, se suele utilizar la letra x para designarla, de segundo grado aunque también se pueden usar otras letras. con una incógnita. Para resolverla es conveniente expresarla primero en forma general, pasando todos los términos al miembro de la izquierda y reduciendo los términos semejantes. x 2 + 2x = 3x 2 − x − 4 x 2 − 3x 2 + 2x + x + 4 = 0 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS −2x 2 + 3x + 4 = 0 ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? En una ecuación de segundo grado, −b ± b 2 − 4ac Indica las dos posibles a es el coeficiente de x 2, b es el coeficiente de x 2a soluciones de una y c es el término independiente. ecuación de segundo Cuando en la fórmula de la solución aparece grado. el símbolo ±, significa que la ecuación tiene x 1, x 2 Indican las dos raíces dos soluciones, una sumando y otra restando. de una ecuación de −b ± b 2 − 4ac segundo grado. La fórmula x = equivale a dos 2a soluciones, que son: −b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac x1 = x2 = 2a 2a ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 91
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 92 6 Ecuaciones de 1. y 2. grado er o EN LA VIDA COTIDIANA... Resolución de ecuaciones de forma geométrica En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Practicar la resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado. • Comparar los métodos algebraico y geométrico de Al-Khwarizmi. • Obtener de manera geométrica una fórmula general de resolución. 1 Resolución geométrica de ecuaciones de primer y segundo grado Al-Khwarizmi, un famoso matemático árabe, distin- c) Resolver mal igual a 25. guió seis tipos de ecuaciones en función de los ele- En la notación actual, sería resolver x 2 = 25, es de- mentos que aparecían en cada una. A la incógnita la cir, el área del cuadrado ABCD es 25, por lo que el llamaba raíz; a las constantes, números, y a los cua- lado será la raíz cuadrada de ese valor: AD = x = … drados, mal. D C Los seis tipos son los siguientes (a, b y c son números enteros positivos). x 1.º Raíces igual a números: bx = c. A B 2.º Mal igual a raíces: ax 2 = bx. x 3.º Mal igual a números: ax 2 = c. d) Resolver mal y 6 raíces igual a 16. 4.º Mal y raíces igual a números: ax 2 + bx = c. En la notación actual sería x 2 + 6x = 16. La reso- 5.º Mal y números igual a raíces: ax 2 + c = bx. lución geométrica es: 6.º Mal igual a raíces y números: ax 2 = bx + c. G F K Al-Khwarizmi dio reglas para resolver cada uno de estos tipos de ecuaciones. Vamos a ver cómo resolvía 3x 9 los cuatro primeros casos. H D E Completa los resultados donde aparezcan los puntos suspensivos (…). x2 3x PROBLEMAS B A C x COMPETENCIA MATEMÁTICA a) Resolver 4 raíces igual a 12. 3 En la notación actual, esto equivaldría a resolver 4x = 12, es decir, el área de un rectángulo de 1.º ABEH es un cuadrado de lado x. base 4 es 12; por tanto, la altura es el número 2.º AB y AH se amplían hasta C y G, de manera que multiplicado por 4 da 12: AD = x = … que BC y HG miden 3 cada uno. D C 3.º Completamos la figura anterior con el cuadra- x do DEFK, de área 3 ⋅ 3 = 9, y el cuadrado ACKG queda completo. A B 4 4.º En el dibujo se ve que su área es x 2 + 6x + 9, b) Resolver mal igual a 8 raíces. o, lo que es lo mismo, (x + 3)2. En la notación actual equivaldría resolver x 2 = 8x, 5.º Sabemos que x 2 + 6x = 16, y sumando 9: es decir, el área de un rectángulo de base x y altu- (x + 3)2 = 16 + 9 = 25. ra 8 es igual al área de un cuadrado de lado x, por lo que x = … (la solución x = 0 no se consideraba). Sacando la raíz cuadrada de ambos términos ha- llamos el lado del cuadrado ACKG y, a partir de él, el lado del cuadrado ABEH. El valor de x es… 8 = x La técnica de resolución de Al-Khwarizmi es sencilla x x y utiliza la Geometría en su razonamiento. 92 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 93 6 2 Comparación de los métodos algebraico y geométrico de Al-Khwarizmi El método utilizado por Al-Khwarizmi para resolver de MÉTODO GEOMÉTRICO forma algebraica la ecuación x 2 + 6x = 16 constaba 1.º Dibuja un cuadrado de lado x. ¿Cuál es su área? de estos pasos. RECURSOS PARA EL AULA 2.º Dibuja un rectángulo de lado 2 sobre dos lados 1.º Dividimos entre 2 el número de raíces: 6 : 2 = 3. contiguos del cuadrado. ¿Cuánto vale la suma de 2.º Multiplicamos este resultado por sí mismo: 32 = 9. las áreas de los dos rectángulos? 3.º Sumamos el resultado anterior a 16: 16 + 9 = 25. 3.º Completa la figura, de forma que se obtenga un 4.º Extraemos la raíz cuadrada positiva de este último cuadrado. ¿Qué figura has añadido? ¿Cuánto vale 4.º resultado: 25 = 5. su lado? ¿Y su área? 5.º Restamos el resultado del paso 1.º: 5 − 3 = 2. 4.º Expresa el valor del área de la figura total, en fun- ción de x. ¿Cuál es el valor numérico del área? Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 4 x = 21 5.º Compara las expresiones anteriores y calcula el de manera algebraica y geométrica, como lo hacía valor del lado x. Al-Khwarizmi. G F K MÉTODO ALGEBRAICO 1.º Divide entre 2 el coeficiente de la x. H D 2.º Elévalo al cuadrado. E 3.º Suma el resultado anterior a 21. 4.º Extrae la raíz cuadrada positiva del resultado del paso anterior. B 5.º Resta el resultado del paso 1.º. A C x 2 ¿Qué resultado has obtenido? ¿Coincide con el que ob- tendrías al resolver con la fórmula general? 3 Obtención de una fórmula general de resolución de manera geométrica ⎛b ⎞ ⎛ b⎞ 2 2 Resuelve la ecuación x2 + bx = c. ⎜ ⎟ ⎟ 3.º Operamos: x 2 + bx + ⎜ ⎟ = ⎜ x + ⎟ y, sustitu- ⎜ ⎝2⎟ ⎜ ⎠⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ 2⎠ Vamos a obtener de manera geométrica una fórmula yendo en la ecuación inicial, nos queda: COMPETENCIA MATEMÁTICA general para este tipo de ecuación. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 Observa la figura: ⎜x + b ⎟ = c + ⎜ b ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎝ 2⎟⎠ ⎝ ⎟ ⎠ CE B G 6 4.º Sacamos la raíz positiva y despejamos la x : b b b2 b b2 x2 x x1 = − + c+ ; x2 = − − c+ 6 2 2 4 2 4 A D F H REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. I J K a) Comprueba que este resultado es cierto con la 1.º Geométricamente, el área del cuadrado ABCD más ecuación x2 + 4 x = 21. la del rectángulo CGHD es igual a c. b) Resuelve la ecuación x2 + 5 x = 6 mediante esta 2.º Si cambiamos EFGH por ADJI y sumamos el cuadra- fórmula. b c) Comprueba que, al aplicar la fórmula general que he- do DFKJ, cuyo lado mide , obtenemos un nuevo mos visto en la unidad, a la ecuación x2 + bx = c, 2 el resultado que se obtiene es el mismo que con ⎛ b⎞ 2 ⎟ cuadrado cuya área es ⎜ x + ⎟ . ⎜ ⎜ ⎟ este método. ⎝ 2⎟ ⎠ ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 93
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 94 6 Ecuaciones de 1. y 2. grado er o ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Expresar relaciones en forma algebraica Estrategia Para resolver problemas de Álgebra hay que relacionar los datos y las condiciones del enunciado por medio de expresiones algebraicas. Después de nombrar con una letra cada uno de los números desconocidos, se expresan las condiciones del enunciado mediante operaciones que conducen a la expresión algebraica buscada. PROBLEMA RESUELTO En el metro viajan hombres y mujeres. En las cuatro paradas que hay antes de la estación final del trayecto suben y bajan las personas que se indican a continuación: 1.ª parada: suben 5 mujeres y bajan 4 hombres. 2.ª parada: se duplica el número de mujeres y bajan 6 hombres. 3.ª parada: bajan 6 mujeres y se duplica el número de hombres. 4.ª parada: se bajan la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres. Expresa cada una de las situaciones y expresa algebraicamente el número de personas que llegan a la estación final del trayecto. Planteamiento y resolución La siguiente tabla es la expresión algebraica del número de mujeres, del número de hombres y del total de personas después de los sucesivos cambios. N.o de mujeres N.o de hombres N.º total de personas Inicio x y x+y 1.ª parada x+5 y−4 (x + 5) + (y − 4) = x + y + 1 2.ª parada 2(x + 5) = 2x + 10 y − 4 − 6 = y − 10 2x + 10 + y − 10 = 2x + y 3.ª parada 2x + 10 − 6 = 2x + 4 2(y − 10) = 2y − 20 2x + 4 + 2y − 20 = 2x + 2y − 16 2x + 4 2 y − 20 4.ª parada = x +2 = y − 10 x + 2 + y − 10 = x + y − 8 APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 2 2 PROBLEMA PROPUESTO Un alumno tiene cromos de animales y de plantas. En cuatro días consecutivos, sucede que: Día 1: compra 6 cromos de animales y regala 2 cromos de plantas. Día 2: regala 4 cromos de animales y duplica los cromos de plantas. Día 3: duplica los cromos de animales y regala 4 cromos de plantas. Día 4: triplica los cromos de animales y los de plantas. Completa la siguiente tabla y expresa algebraicamente los cambios. Cromos de animales Cromos de plantas Total de cromos Inicio x y x+y Día 1 Día 2 Día 3 Día 4 94 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 95 6 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad06b_1a. Como ya hemos visto en la unidad anterior, EXCEL no permite hacer cálculos con expresiones algebraicas; por tanto, volveremos a simular esta forma de calcular para resolver ecuaciones de segundo grado, es decir, del tipo ax 2 + bx + c = 0 o donde introduciremos los coeficientes a, b y c. PRÁCTICA 1 (ejercicio 65, pág. 126) 1. Escribe los rótulos de las celdas A1 a H2, tal como se ve en la figura del margen. 2. Escribe los valores del coeficiente del apartado a) del ejercicio en las celdas A3, B3 y C3. 3. Introduce en D3 la fórmula: =CONCATENAR(A3;"x^2+(";B3;")x+(";C3;")=0") . Esta fórmula permite escribir en la celda la ecuación tal como normal- mente la escribimos. Por si acaso los valores de b y c son negativos, se pone un paréntesis, tanto si b es positivo como si es negativo. Observa cómo sale la ecuación del apartado a): 1x^2+(−1)x+(0)=0 4. Coloca los rótulos x1= y x2= Alineados a la derecha en las celdas E3 y G3 tal como se ve en la figura. 5. En la celda F3 hacemos el cálculo del valor de la incógnita (despejamos la incógnita). Como la fórmula general de la ecuación de segundo grado tiene doble signo, pondremos la fórmula con el signo positivo a la celda Ecuación x 2 − x = 0 F3 y con el signo negativo en la celda H3: Celda F3: =(−B3+RAIZ(B3^2−4*A3*C3))/(2*A3) Celda H3: =(−B3−RAIZ(B3^2−4*A3*C3))/(2*A3) De esta manera podremos obtener los dos resultados. Si introduces los coeficientes 1, 0 y 9, obtendrás en las celdas F3 y H3: #¡NUM! , lo que Ecuación x 2 + 9 = 0 significa que no se puede calcular la raíz y, por tanto, que no hay solu- NUEVAS TECNOLOGÍAS ción. 6. Haz el resto de apartados del ejercicio 65 y copia los resultados en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 De forma análoga a como que se ha hecho 2 Abre una nueva hoja Unidad06b_3a y resuelve en la Práctica 1, abre una nueva hoja las ecuaciones completas del ejercicio 66 Unidad06b_2a y realiza el ejercicio 64 de la página 127. de la página 126. 3 Guarda el libro con → . ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 95
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 96 7 Sistemas de ecuaciones ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... Gabriel & Giovanni Gabriel Cramer nació en Ginebra (Suiza) en 1704 y murió en Bagnols-sur-Cèze (Francia) en 1752. Se crió en el seno de una familia burguesa, su padre era médico y les procuró estudios universitarios a él y a sus hermanos. Gabriel fue un estudiante brillante y con tan solo 18 años obtuvo el doctorado, presentando una tesis sobre la teoría del sonido. Dos años después de su doctorado se presentó para lograr la cátedra de Filosofía, compitiendo con otros dos aspirantes: Amédée de la Rive, que sería el ganador, y Giovanni Ludovico Calandrini, de procedencia italiana y también conocido como Jean Louis Calandrini. Los trabajos presentados por Cramer y Calandrini tenían tal categoría que se les propuso compartir una cátedra de Matemáticas que crearon específicamente para ellos, donde compartían el sueldo y las obligaciones, comprometiéndose a que cuando uno de ellos asumiera toda la docencia, le correspondería también la totalidad del sueldo, mientras que el otro estaría obligado a visitar universidades adquiriendo nuevos conocimientos. Una de las novedades de Cramer fue que impartió sus clases en francés en lugar de hacerlo en latín, asegurando con ello que los conocimientos llegarían a más gente. En 1734, Calandrini pasó a ocupar la cátedra de Filosofía y Cramer asumió de forma única la de Matemáticas. Aparte de sus aportaciones matemáticas, Cramer destacó por editar las obras de Johann y Jacob Bernoulli, y también la correspondencia que el primero había mantenido con Leibniz. COMPETENCIA LECTORA Su principal obra matemática es Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraiques, en la que desarrolla la teoría de curvas algebraicas según los principios de Newton; sin embargo, es conocido por la regla de Cramer, que es un método para resolver sistemas de ecuaciones y que, paradójicamente, no lo descubrió él, sino el matemático escocés Colin MacLaurin. 96 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 97 7 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Último teorema de Fermat RECURSOS PARA EL AULA Pierre de Fermat nació en el siglo XVII. Aunque trabajaba como abogado, era muy aficionado a las Matemáticas y demostró importantes teoremas propuestos en la antigüedad, demostraciones que acostumbraba a escribir en el margen del libro que estaba leyendo en cada momento. El más famoso de todos sus resultados es el que se conoce como último teorema de Fermat, relacionado con el teorema de Pitágoras, de la siguiente forma. • El teorema de Pitágoras afirma que si los números x , y , z son las tres medidas de un triángulo rectángulo, se cumple que: x 2 + y 2 = z 2. Por ejemplo, si 32 + 42 = 52, observamos que los números enteros 3, 4 y 5 cumplen el teorema de Pitágoras. • Lo que Fermat se cuestionó es si, igualmente, habría tres números enteros (distintos de cero) que cumpliesen que: x3 + y3 = z3 • De hecho, se preguntó si para cualquier exponente natural, n, distinto de 2, existirían tres números enteros que cumpliesen que: xn + yn = zn Fermat postuló que esto no ocurría así, pero, según él mismo indicó, la demostración que encontró no le cabía en el margen de su libro, así que no la escribió. Cientos de brillantes matemáticos intentaron hallar sin éxito esta demostración durante los siglos posteriores y no se logró hasta que, en 1995, el matemático británico Andrew Wiles demostró que Fermat tenía razón con métodos totalmente desconocidos en el siglo XVII. COMPETENCIA LECTORA Evariste Galois Evariste Galois nació el 25 de octubre de 1811. Realizó importantes aportaciones en Álgebra, Teoría de números y Teoría de grupos. A partir de sus trabajos, se descubrió posteriormente la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado utilizando métodos algebraicos. Galois murió en un duelo el 31 de mayo de 1832. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 97
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 98 7 Sistemas de ecuaciones CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Si tenemos la ecuación y = 3x − 1, podemos construir su tabla de valores. Para x = −3, y = 3 ⋅ (−3) − 1 = −10. Después, hacemos lo mismo Repases las tablas de valores. con el resto de valores que aparezcan en la tabla. PORQUE… x −3 −2 −1 0 1 2 3 Te ayudarán a hallar las soluciones y −10 −7 −4 −1 2 5 8 de una ecuación o un sistema. 5 7 CONVIENE QUE… Reducimos y a común denominador. 6 10 Sepas reducir fracciones a común denominador. PRIMERO. Calculamos el m.c.m. m.c.m. (6, 10) = 30 de los denominadores. PORQUE… SEGUNDO. Dividimos el m.c.m. 5 5⋅5 25 Lo utilizarás para resolver entre el denominador de 30 : 6 = 5 ⎯→ = = ecuaciones con denominadores. 6 6⋅5 30 cada fracción y el resultado lo multiplicamos por el 7 7⋅3 21 30 : 10 = 3 → = = numerador. 10 10 ⋅ 3 30 (+10) ⋅ (+5) = +50 CONVIENE QUE… (−10) ⋅ (−5) = +50 Conozcas la regla de los signos. (+10) ⋅ (−5) = −50 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Multiplicación División (+10) : (+5) = +2 (+) ⋅ (+) = + (+) : (+) = + PORQUE… (−10) : (−5) = +2 (−) ⋅ (−) = + (−) : (−) = + (+10) : (−5) = −2 Te será útil para hacer (+) ⋅ (−) = − (+) : (−) = − transformaciones en las ecuaciones. (−) ⋅ (+) = − (−) : (+) = − Dada la ecuación 2x − 3 = 5x + 3, hallamos su solución. CONVIENE QUE… 6 Sepas resolver ecuaciones 2x − 5x = 3 + 3 → −3x = 6 → x = = −2 −3 de primer grado. Comprobamos la solución: PORQUE… 2 ⋅ (−2) − 3 = 5 ⋅ (−2) + 3 → −4 − 3 = −10 + 3 → −7 = −7 Lo necesitarás para resolver sistemas. 98 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 99 7 NOTACIÓN MATEMÁTICA RECURSOS PARA EL AULA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ax + b = 0 Indica la expresión general de Cuando se escribe una ecuación con una sola una ecuación de primer grado. incógnita, se suele tomar la letra x para designar a la incógnita, aunque también se pueden usar ax + by = c Indica una ecuación de primer otras letras, como y, z, t… grado con dos incógnitas. Las incógnitas en las ecuaciones se suelen denotar con las últimas letras del abecedario, generalmente x, y, z, y representan cantidades desconocidas. Las primeras letras del abecedario se utilizan para los coeficientes de las incógnitas y el término independiente, y representan cantidades conocidas. a, b → Coeficientes de las incógnitas, siendo valores conocidos. c ⎯→ Término independiente, siendo un valor conocido. x, y → Incógnitas de la ecuación lineal, siendo valores desconocidos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Para escribir un sistema de ecuaciones se ponen Representa un sistema las ecuaciones, una debajo de otra, y se agrupan ax + by = c · con una llave de cierre, }. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS de dos ecuaciones lineales ax + by = c con dos incógnitas. Esto indica que la solución tiene que verificar todas las ecuaciones que están dentro de la llave. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? 2x − 3y = −5 Indica que estamos Cuando queremos reducir un sistema de ecuaciones, + −2x + 4y = −3 sumando las colocamos una ecuación debajo de la otra, y = −2 ecuaciones, miembro manteniendo las incógnitas semejantes alineadas. a miembro. Después, se traza una línea debajo de ellas y se efectúa la operación (suma o resta) que esté indicada en la parte izquierda. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 99
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 100 7 Sistemas de ecuaciones EN LA VIDA COTIDIANA... Los Juegos Olímpicos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer la actuación española en los Juegos Olímpicos. • Relacionar las medallas con el número de habitantes de cada país. • Analizar los resultados de algunos países de la Unión Europea en tres Olimpiadas consecutivas. • Plantear ecuaciones y sistemas, conocidas sus soluciones. 1 Actuación española en los Juegos Olímpicos Los Juegos Olímpicos de la era moderna nacieron en Edición Oro Plata Bronce Total Atenas en 1896, y desde entonces se han celebrado Montreal 1976 10 2 0 12 cada cuatro años, exceptuando 1916, 1940 y 1944, Moscú 1980 11 3 2 16 en que se suspendieron. En las 11 Olimpiadas en que Los Ángeles 1984 11 2 2 15 España compitió hasta 1972 obtuvo tan solo 9 medallas: París 1900 (1 de plata), Amberes 1920 (2 de plata), Seúl 1988 11 1 2 14 Amsterdam 1928 (1 de oro), Los Ángeles 1932 (1 de Barcelona 1992 13 7 2 22 bronce), Londres 1948 (1 de plata), Helsinki 1952 Atlanta 1996 15 6 6 17 (1 de plata), Roma 1960 (1 de bronce) y Munich 1972 Sidney 2000 13 3 5 11 (1 de bronce). En la tabla y el gráfico siguientes resumimos el meda- llero español obtenido en las Olimpiadas. Oro 14 13 Plata 12 N.º de medallas Bronce 10 8 7 6 6 6 5 5 4 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 0 0 COMPETENCIA MATEMÁTICA Montreal Moscú Los Ángeles Seúl Barcelona Atlanta Sidney 2 Relación de las medallas con el número de habitantes En esta tabla aparecen algunos países participantes con CON LOS DATOS DE LA TABLA, su baremo (en millones de habitantes por medalla) en RESUELVE LAS ACTIVIDADES. la Olimpiada de Sidney 2000. a) De haber repetido España los resultados de Atlan- País Medallas Habitantes (mill.) Baremo ta 1996, ¿en qué lugar de la tabla estaría? ¿Y si Francia 38 158,5 1,5 hubiera repetido los resultados de Barcelona 1992? Rusia 88 147,7 1,7 b) Un país con 28 medallas y 45,7 millones de habi- R. Unido 28 158,2 2,1 tantes, ¿qué baremo obtuvo en Sidney 2000? Canadá 14 129,9 2,1 c) Un país con 7 medallas y un baremo de 2,4, ¿cuántos Ucrania 23 151,4 2,2 millones de habitantes tenía en el año 2000? Polonia 14 138,6 2,8 d) Un país con 8,8 millones de habitantes y un baremo EE UU 97 271,6 2,8 de 0,8, ¿cuántas medallas obtuvo en Sidney 2000? España 11 139,7 3,6 100 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 101 7 3 Análisis de los resultados de algunos países de la Unión Europea Los resultados (O-P-B) de algunos países de la Unión Para realizar un análisis de los resultados Europea en tres Olimpiadas consecutivas fueron: y comprender mejor su evolución, son de utilidad las siguientes actividades, que debes realizar RECURSOS PARA EL AULA País Barcelona 92 Atlanta 96 Sidney 2000 usando los datos de la tabla. Alemania 33-21-28 20-8-27 14-17-26 Austria 0-2-0 0-1-2 2-1-0 a) ¿Cuántas medallas obtuvo en total cada país de la Bélgica 0-1-2 2-2-2 0-2-3 Unión Europea en cada Olimpiada? Dinamarca 1-1-4 4-1-1 2-3-1 b) Establece el orden de los países según las meda- España 13-7-2 5-6-6 3-3-5 llas conseguidas en cada Olimpiada. Finlandia 1-2-2 1-2-1 2-1-1 c) Obtén el número total de medallas de cada país en Francia 8-5-16 15-7-15 13-14-11 estos tres Juegos Olímpicos. Grecia 2-0-0 4-4-0 4-6-3 d) Establece los porcentajes de variación del total de Holanda 2-6-7 4-5-10 12-9-4 medallas de cada país en Atlanta y Sidney respecto Irlanda 1-1-0 3-0-1 0-1-0 de la Olimpiada anterior. Italia 6-5-8 13-10-12 13-8-13 e) Teniendo en cuenta la respuesta a la pregunta an- Luxemburgo 0-0-0 0-0-0 0-0-0 terior, ¿qué país ha tenido una mejor evolución en Portugal 0-0-0 1-0-1 0-0-2 sus resultados? R. Unido 5-3-12 1-8-6 11-10-7 f) ¿Qué país de la tabla no ha obtenido ninguna me- Suecia 1-7-4 2-4-2 4-5-3 dalla? 4 Planteamiento de ecuaciones y sistemas, conocidas sus soluciones Vamos a partir de las tablas anteriores para establecer RESUELVE LAS ACTIVIDADES. condiciones que nos permitan formar sistemas de a) Los países de la tabla obtuvieron entre Sidney y ecuaciones y llegar a su solución. Atlanta 468 medallas, siendo diez más las de Atlan- Considerando las medallas conseguidas por España ta que las de Sidney. ¿Cuántas obtuvieron en cada en Sidney 2000 (3 oros, 3 platas y 5 bronces), formula Olimpiada? un enunciado que permita obtener estos valores resol- b) Italia obtuvo en Sidney 34 medallas, siendo el mis- viendo un sistema de ecuaciones. mo número de medallas de oro que de bronce y España obtuvo en total 11 medallas. Consiguió los cinco medallas más de oro que de plata. ¿Cuántas COMPETENCIA MATEMÁTICA mismos oros que platas y obtuvo dos medallas más de medallas obtuvo de cada tipo? bronce que de plata. ¿Cuántas medallas obtuvo de cada tipo? Hay tres incógnitas: o = oro, p = plata, b = bronce 1.ª ecuación: o + p + b = 11 2.ª ecuación: o = p 3.ª ecuación: b = p + 2 El sistema de ecuaciones es: · o + p + b = 11 o=p b=p+2 Se resuelve por sustitución, sustituyendo o y b en la primera ecuación: p + p + ( p + 2) = 11, de donde p = 3 Por tanto obtuvo: oro = 3, plata = 3 y bronce = 5. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 101
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 102 7 Sistemas de ecuaciones ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Distintos planteamientos mediante ecuaciones Estrategia Un problema se puede resolver planteando diferentes ecuaciones cuya solución nos puede dar un resultado distinto. Sin embargo, su interpretación final conduce a la misma solución del problema. PROBLEMAS RESUELTOS La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son estos números? Planteamiento y resolución Llamamos x al número central, (x − 1) al anterior y (x + 1) al posterior. Ά (x − 1) + x + (x + 1) = 48 → x − 1 = 15 → x + x + x = 48 → x = 16 → x = 16 x + 1 = 17 En una granja hay conejos y gallinas. Si contamos las cabezas son 30 y si contamos las patas son 80. ¿Cuántos conejos y gallinas hay? Planteamiento y resolución Llamamos x = n.o de conejos; y = n.o de gallinas. x + 2y = 30 Planteamos las ecuaciones: 4x + 2y = 80· Resolvemos el sistema: APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 2 ⋅ 1.a 4x + 4y = 30 ⎯⎯→ 2x + 2y = 60 4x + 2y = 80 · 4x + 2y = 80 · ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 4x + 2y = 60 · Restamos 2.a − 1.a 2 x + 2y = 80 2x = 20 De donde: x = 10. Si x = 10, entonces: 10 + y = 30 → y = 20 Hay 10 conejos y 20 gallinas. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 El dinero que tiene Pedro es el triple del que tiene Antonio. Si Pedro tuviese 0,18 € menos y Antonio 0,48 € más, los dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada uno? 2 Halla dos números cuya suma es 100 y la diferencia de los cocientes que se obtienen al dividir el mayor entre 4 y el menor entre 6 es 10. 102 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 103 7 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad07_1a. PRÁCTICA 1 (ejercicio 41, pág. 143) 1. Escribe los rótulos de las celdas de las filas 1, 2 y 3. 2. Escribe los valores de los coeficientes del apartado a) del ejercicio en las celdas A4, B4 y C4. 3. Introduce en la celda D4 la fórmula: =CONCATENAR(A4;"x+(";B4;")y=";C4;) Esta fórmula permite escribir en la celda la ecuación tal como normal- mente la escribimos. Observa cómo aparece la primera de las ecua- ciones del sistema: 1x+(3)y=4 . 4. Haz lo mismo en las celdas E4, F4 y G4, e introduce en la celda H4 la fórmula: =CONCATENAR(E4;"x+(";F4;")y=";G4;) y obtendrás la se- gunda ecuación. 5. Pon los rótulos x= e y= alineados a la derecha en las celdas I4 y K4. 6. En la celda J4 calcularemos el valor de la incógnita x. El método utili- NUEVAS TECNOLOGÍAS zado es el de reducción. Escribe la fórmula: =(C4*F4−B4*G4)/(A4*F4−E4*B4) x + 3y = 4 ⎫⎪ 7. De la misma manera, en la celda L4 escribe la fórmula para calcular la ⎬ 2x − 3 y = −1⎪ ⎪ ⎭ incógnita y : =(A4*G4−C4*E4)/(A4*F4−B4*E4) . Sistema 8. Observa el resultado: x = 1; y = 1. 9. Introduce los coeficientes de las ecuaciones de los apartados b) a h) del ejercicio en filas sucesivas. 10. Copia las fórmulas de las celdas D4, H4, J4 y L4 en sus filas. 11. Resuelve las ecuaciones y copia los resultados en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 De la misma manera, abre una nueva hoja 2 Guarda el libro para registrar los datos Unidad07_2a y resuelve los sistemas del introducidos mediante: → ejercicio 42 de la página 43. en tu carpeta personal. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 103
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 104 8 Proporcionalidad numérica ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... Cuando el verde es rojo John Dalton nació en Eaglesfield (Reino Unido) en 1766 y murió en Manchester en 1844. Aunque provenía de una familia humilde, tanto él como sus hermanos pudieron estudiar en una escuela cuáquera, destacando de tal modo que un miembro de la comunidad, Elihu Robinson, se convirtió en su mecenas y le dio la oportunidad de continuar sus estudios. John Dalton y su hermano padecían una enfermedad llamada «ceguera de los colores», enfermedad que fue estudiada y descrita por el propio Dalton y, a partir de entonces, se conoce como daltonismo. Varias son las anécdotas referidas a esta enfermedad: una de ellas relata el enfado de su madre cuando le regaló una prenda que él creía que era de color azul cuando en realidad era roja, color inapropiado para una mujer cuáquera; otra de estas anécdotas ocurrió en 1832, cuando fue a conocer al rey Guillermo IV con un traje académico de color escarlata, aunque él pensaba que era de color grisáceo. Entre sus aportaciones científicas cabe destacar sus trabajos metereológicos de 1793, donde entre otras aportaciones apuntó que la lluvia es producida por un descenso de la temperatura y no de la presión. En 1794 publicó su ensayo sobre el daltonismo, enfermedad que él mismo denominó así. Entre 1800 y 1810 publicó sus investigaciones sobre la ley de las presiones parciales, la ley de las proporciones múltiples y la teoría atómica, donde sentó las bases de la Física moderna. COMPETENCIA LECTORA 104 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 105 8 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS ¿Son proporcionales? RECURSOS PARA EL AULA Hay que tener cuidado al analizar si dos magnitudes son directamente proporcionales. No basta con comprobar que si crece la primera magnitud, también lo hace la segunda, o que si decrece la primera, decrece la segunda, sino que este crecimiento o decrecimiento ha de ser proporcional: a doble cantidad de una le corresponde el doble de la otra; a la mitad de la primera le corresponde B la mitad de la segunda… A A continuación, vamos a ver un ejemplo de ello. Sabemos que, en una circunferencia, a los arcos iguales (menores de 180º) O les corresponden cuerdas iguales. Podemos observar en la primera figura ) ) que AB = CD y AB = C D y que, por tanto, cuanto mayor sea la amplitud de arco, ෆෆ ෆෆ mayor será la cuerda. D C ¿Podemos entonces afirmar que, en una circunferencia, las cuerdas son proporcionales a los arcos? No es suficiente, y vamos a dar un contraejemplo. Observa la segunda figura. Es un hexágono regular inscrito en una circunferencia. Se cumple que: ) ) ) ) AB = BC, por lo que: AC = 2AB C B ¿Qué relación hay entre las cuerdas ෆෆ y A ෆ? AC ෆB Las cuerdas A ෆ, ෆෆ y B ෆ forman un triángulo y, como en todo triángulo cada lado ෆB AC ෆC es menor que la suma de los otros dos, resulta que el lado ෆෆ es menor AC que Aෆ ) Bෆ = 2Aෆ. Es decir, el lado )ෆ no es el doble que A ෆ, mientras que ෆB + ෆC ෆB ෆC A ෆB A el arco AC sí que es el doble del arco AB. Por tanto, las magnitudes amplitud de arco y longitud de la cuerda no son directamente proporcionales. COMPETENCIA LECTORA Nicolas Tartaglia Nicolas Tartaglia nació en la ciudad de Brescia (Italia) en 1499. Durante el saqueo de los franceses en 1512 resultó herido en el rostro, lo que le causó una tartamudez de por vida, y por eso se le conoce como Tartaglia o Tartamudo. Su obra más importante es General trattato di numeri et misure (1556-1560). En ella se desarrollan contenidos de Álgebra, Geometría práctica y Aritmética. Enseñó en las Universidades de Verona, Brescia y Venecia, donde murió en 1557. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 105
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 106 8 Proporcionalidad numérica CONTENIDOS PREVIOS Una MAGNITUD es cualquier característica que se puede medir y expresar CONVIENE QUE… mediante una cantidad o número. Sepas lo que es una magnitud. Son magnitudes: la altura, la longitud, el peso, la superficie, el volumen, el precio… No son magnitudes: los meses del año, el nombre de las personas…, PORQUE… en general, cualquier característica no cuantificable mediante números. Las relaciones que vas a estudiar se refieren a ellas. a c a c CONVIENE QUE… Dos fracciones y son EQUIVALENTES, y se escribe = , b d b d Conozcas la relación entre si a ⋅ d = b ⋅ c. las fracciones equivalentes. 2 4 = → 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4 = 12 3 6 PORQUE… Te ayudará a identificar qué es una proporción. AMPLIFICACIÓN. Multiplicamos el numerador y el denominador CONVIENE QUE… por un mismo número distinto de cero. Sepas amplificar y simplificar 2 2⋅5 10 5 5 ⋅ 12 60 fracciones. = = = = 3 3⋅5 15 7 7 ⋅ 12 84 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS PORQUE… SIMPLIFICACIÓN. Dividimos el numerador y el denominador entre un mismo número distinto de cero. Te servirá para estudiar las series de razones iguales. 16 16 : 4 4 84 84 : 3 28 = = = = 12 12 : 4 3 39 39 : 3 13 Para transformar números decimales exactos en fracciones se pone CONVIENE QUE… en el numerador el número decimal sin la coma, y en el denominador, Domines el paso de números la unidad seguida de tantos ceros como cifras haya a la derecha decimales exactos a fracciones. de la coma. Simplificamos después todo lo que podamos. 16 8 75 3 1,6 = = 0,75 = = PORQUE… 10 5 100 4 ⎯→ ⎯→ Lo necesitarás para trabajar Simplificamos Simplificamos con porcentajes. 106 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 107 8 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA a c Indica una proporción y su La constante de proporcionalidad se representa = =k b d constante de proporcionalidad. por k. a c Indica una proporción Los términos desconocidos de una proporción = se suelen expresar mediante x, y, z… b x con un término desconocido. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? a b c = = =k Indica una Para expresar una proporcionalidad directa o inversa a b c proporcionalidad se suelen utilizar las primeras letras del abecedario: directa. a, b, c… para los valores de la primera magnitud, y a, b, c… para los de la segunda. a ⋅ a = b ⋅ b = c ⋅ c = k Indica una proporcionalidad En cualquiera de los dos casos, la constante inversa. de proporcionalidad se denota con la letra k. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? a→b c→x · Ambas expresiones indican una proporción en forma de regla Cuando escribimos una regla de tres, ya sea directa o inversa, a las cantidades conocidas se les suele de tres. La primera expresión lo hace denotar con las letras a, b, c, y el término 2→5 6→x · en forma genérica, y la segunda, con un ejemplo concreto. desconocido, con la letra x. Las flechas, que nos indican las razones, a veces se sustituyen simplemente por rayas. Después, se agrupa todo con una llave de cierre, }. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? % Indica que estamos expresando Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, una cantidad en tanto por ciento. multiplicamos el tanto por la cantidad y dividimos entre 100. k % de C Indica que, de cada 100 partes 16 ⋅ 230 de C, tomamos k. 16 % de 230 ⎯→ = 36,8 100 Para expresar una fracción en tanto por ciento, tomamos su expresión decimal y la multiplicamos por 100. 2 2 2 → = 0,4 → ⋅ 100 % = 40 % 5 5 5 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 107
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 108 8 Proporcionalidad numérica EN LA VIDA COTIDIANA... Medio ambiente y reciclado En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Aplicar la proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas. • Desarrollar actitudes responsables relacionadas con los recursos y la energía en la mejora del medio ambiente. 1 El reciclado del vidrio El reciclado es un proceso que tiene por objeto la recu- peración, de forma directa o indirecta, de los componen- tes y sustancias que se encuentran en los residuos industriales y domésticos. Los países industrializados son grandes productores de desechos con un alto coste de eliminación, lo que obliga a tomar medidas que tiendan a minimizar esos residuos y, también, a reducir la dependencia de las materias primas. El reciclado doméstico se basa en la selección de ma- teriales que pueden ser recuperables: papel, cartón, vidrio, plásticos, etc. Con ello se consiguen los siguien- tes objetivos. • Conservación o ahorro de energía. • Conservación o ahorro de recursos naturales. HAZ ESTAS ACTIVIDADES. • Disminución del volumen de residuos que hay que eliminar. a) ¿Qué porcentaje del total de vidrio producido en • Protección del medio ambiente. España se recogió para reciclar en el año 1993? Respecto a los residuos, el vidrio es un material fácil- b) ¿Qué porcentaje sobre el total de vidrio recogido mente recuperable. Su reciclado produce una serie de supuso el vidrio doméstico? beneficios como, por ejemplo: c) ¿Y sobre el total de vidrio producido? • No extracción de materias primas. Por cada tonela- COMPETENCIA MATEMÁTICA d) Calcula el ahorro en extracción de materias primas da de envases de vidrio usado que se recicla, se que supuso en 1993 la recogida de vidrio industrial. ahorran 1,2 toneladas de materias primas. e) Calcula el ahorro en dinero y energía que supuso la • Menor consumo de energía. Se calcula un ahorro recogida de vidrio doméstico. de 130 kg de fuel-oil por cada tonelada de vidrio re- cogido. Trece años después, en 2006, la recogida total de vi- • Disminución del volumen de residuos. El coste de drio fue de 840.131 toneladas, lo que supuso un 54 % recogida y eliminación de una tonelada de basura de la tasa general de reciclado. puede estimarse en una media de unos 30 €. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. Los datos de la recogida de vidrio realizada en el año 1993 fueron: a) ¿Cuántas toneladas de residuos se recogieron en el año 2006? Vidrio industrial ⎯ 190.290.536 kg → Vidrio doméstico → 137.841.639 kg b) ¿Qué incremento porcentual de recogida hubo en esos trece años? La producción total de vidrio en España en ese año fue c) ¿Cuál fue el porcentaje de incremento anual? de unos 1.200 millones de d) Suponiendo que ese incremento es constante de toneladas. año en año, haz una estimación de cuántas tonela- das de vidrio se recogieron en los años 2004 y 2005. 108 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 109 8 2 El reciclado del papel Según los últimos estudios, una persona genera unos HAZ LAS ACTIVIDADES. residuos de papel de 150 kg al año. a) En una ciudad se han recogido 1.200 toneladas de RECURSOS PARA EL AULA La recogida selectiva de papel, además de ahorro eco- papel para reciclar. Calcula cuántos metros cúbi- nómico, aporta una serie de beneficios: cos de madera se ahorran por realizar esa recogida • Conservación de recursos forestales. Alrededor de selectiva. 21 millones de toneladas de papel y cartón usados b) Calcula el ahorro energético y en agua que se se han recuperado en los últimos 19 años, y se ha produce. evitado cortar unos 300 millones de árboles, que ocuparían medio millón de hectáreas de monte. • Ahorro energético. El proceso de fabricación de pa- pel y cartón, a partir de fibras celulósicas recupera- bles, supone un ahorro de energía del 70 % al año. Por tanto, si hacemos una selección previa de papel, esta materia prima será aprovechada por la industria papelera al tiempo que los ayuntamientos, al tener que recoger y eliminar menor cantidad de basura, re- ducirían los costes de este servicio, que son de unos 30 € por tonelada. Para la producción de una tonelada de papel son nece- sarios 3,8 m3 de madera, 100.000 litros de agua y 5.000 kWh de energía. Ahora bien, si reciclamos el pa- pel usado, las cantidades se reducen a 2.000 litros de agua, 2.500 kWh y nada de madera. 3 El reciclado de otras materias Hay otras materias que son susceptibles de ser reci- En junio de 1990, el Consejo de Ministros de Medio Am- cladas y reutilizadas. Entre ellas, y debido a su toxici- biente de la UE aprobó una directiva en la que se regu- dad, están las pilas de diferentes tipos, el tóner y los ló que aquellas pilas y acumuladores que contuvieran cartuchos de las impresoras, las baterías de aparatos y más del 0,025 % de su peso en mercurio o cadmio, de- COMPETENCIA MATEMÁTICA coches, etc. bían someterse a tres acciones principales: la recogida selectiva, su reciclado y la reducción del contenido de metales pesados. El compostaje es otra técnica muy importante de reci- clado, que consiste en un proceso de descomposición biológica de la materia orgánica contenida en los resi- duos sólidos urbanos en condiciones controladas. Con ello se recupera la fracción orgánica para su empleo en la agricultura, lo que implica una vuelta a la natura- leza de las sustancias extraídas de ella. Busca datos sobre qué tipo de residuos se reciclan en tu localidad, cuántos puntos de recogida hay en la po- blación, cuáles son los datos de recogida del último año, cómo se procesan los residuos recogidos y qué ahorro se ha producido. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 109
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 110 8 Proporcionalidad numérica ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Empezar por el final Estrategia Normalmente, cuando resolvemos un problema, vamos utilizando los datos en el orden en que aparecen en el enunciado. Pero hay otros tipos de problemas que se resuelven con más facilidad si empezamos por el dato del final, y vamos aplicando a este dato las operaciones correspondientes, hasta utilizar los datos iniciales. PROBLEMA RESUELTO El encargado de una tienda de muebles añade 40 € de transporte al precio de fábrica de un sofá; a esta suma le añade un incremento del 25 % que se queda la tienda y, por último, el 16 % de IVA. Si el sofá se vendió por un total de 580 €, ¿cuál fue su precio de fábrica? Planteamiento y resolución En el siguiente esquema se resume el enunciado del problema; las flechas inferiores indican los pasos que hay que seguir para obtener el precio de fábrica del sofá, empezando por el dato del final. + 40 Segundo ⋅ 1,25 Tercer ⋅ 1,16 Precio de fábrica precio precio 580 € (P ) − 40 (P ) : 1,25 (P " ) : 1,16 Según el esquema, el número 580 se obtiene multiplicando 1,16 por el precio P": 1,16 ⋅ P" = 580 → P" = 580 : 1,16 = 500 € Conociendo el precio P" (500 €), el precio P se obtiene diviendo 500 entre 1,25: P = 500 : 1,25 = 400 € Conociendo el precio P (400 €), el precio inicial P se obtiene restando 40: APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS P = 400 − 40 = 360 € El precio de fábrica del sofá es 360 €. Comprobación Empezando a resolver por el principio: 360 + 40 = 400 → 400 + 25 % de 400 = 500 500 + 16 % de 500 = 580 € PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Rosana compró un ordenador, una impresora 2 En una ciudad, el número de habitantes y una tarjeta de sonido. La impresora le costó se triplicó entre 1970 y 1980. De 1980 354 € y la tarjeta de sonido 180 €. a 1985, el número de habitantes se duplicó, Al importe total le aplicaron un descuento y entre 1985 y 1990, aumentó en un 5 %. del 15 %. ¿Cuál fue el precio del ordenador ¿Cuál era la población de esta ciudad en 1970, si Rosana pagó 1.091,40 €? si en 1990 tenía 1.575.000 habitantes? 110 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 111 8 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro NUMEROS2 de tu carpeta personal. Inserta una nueva hoja mediante → con el nombre: Unidad08_1a. PRÁCTICA 1 (ejercicio 56 a), pág. 161) 1. Escribe las etiquetas de la hoja tal como se ve en el margen. 2. Introduce la siguiente fórmula en la celda C2: . Contenido 3. Copia la fórmula en las celdas D2 y E2, y observa que al poner el signo $ en las celdas B1 y B2, lo que se copia es: En la celda D2: =D1*$B2/$B1 En la celda E2: =E1*$B2/$B1 4. Para calcular la constante de proporcionalidad introducimos una nueva columna con un 1 en la segunda fila y obtenemos la constante teniendo 2 k en cuenta que se ha de cumplir la siguiente proporción: = . Para 7 1 ello, introduce esta fórmula en F1: . 5. Observa el resultado final de la tabla. Resultados 6. Copia los resultados obtenidos en tu cuaderno. PRÁCTICA 2 (ejercicio 58 a), pág. 161) 1. Crea la hoja Unidad08_2a y escribe las etiquetas de la hoja, tal como se ve en el margen. Contenido 2. Introduce la siguiente fórmula en la celda B2: . 3. Copia la fórmula en las celdas C2, D2 y E2 y observa lo que se ha copia- do al poner el signo $ en la fórmula. 4. Para calcular la constante de proporcionalidad, y de la misma forma NUEVAS TECNOLOGÍAS que en la Práctica 1, hemos introducido una nueva columna con un 1 en la segunda fila, teniendo en cuenta que para obtener la constante se ha de cumplir la proporción: 4 × 75 = k × 1. Para ello, introduce la si- guiente fórmula en F1: = E1 × E2. 5. Observa el resultado final de la tabla. Resultados 6. Copia los resultados obtenidos en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 Resuelve el resto de apartados del ejercicio 56 2 Resuelve el resto de apartados del ejercicio 58 de la misma manera que se ha hecho en de la misma manera que se ha hecho en la Práctica 1, añadiendo las tablas la Práctica 2, añadiendo las tablas en la misma hoja Unidad08_1a. en la misma hoja Unidad08_2a. 3 Guarda el libro con → . ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 111
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 112 9 Proporcionalidad geométrica ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... La llave de la Ciudad Prohibida Matteo Ricci nació en Macerata, en los entonces Estados Pontificios, en 1552 y murió en Pekín en 1610. En 1571 ingresó en la Compañía de Jesús, en el Colegio Romano, donde tuvo como maestro al jesuita Christopher Clavius, eminente matemático de su época. En 1578, su vocación misionera le hizo embarcarse rumbo a Goa, en el este de la India, y en 1582 viajó a China, asentándose en Macao. Para poder ejercer su labor misionera en China aprendió el idioma utilizado por la clase culta: el chino mandarín. Desde ese momento, se le consideró un hombre sabio, atendiendo al dominio del idioma y también a sus conocimientos geográficos y matemáticos; además, la visión del mapamundi que llevaba consigo causó sensación entre los notables chinos, que contaban con escasos conocimientos de Europa, África y América. El apoyo definitivo a su labor se produjo en 1601 cuando fue autorizado a entrar en la Ciudad Prohibida, mandado llamar por el emperador, y desde ese momento y hasta su muerte se estableció en Pekín. Ricci introdujo en China los conocimientos matemáticos y geográficos de Europa, participando en la traducción al chino mandarín de la obra de Euclides, Los elementos. COMPETENCIA LECTORA 112 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 113 9 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Proporción geométrica y televisores RECURSOS PARA EL AULA Un contexto real en el que tiene especial importancia la proporcionalidad geométrica es la fabricación de televisores y sus dimensiones. El tamaño de los televisores se expresa en pulgadas (1 pulgada equivale a 25,4 mm, aproximadamente). Así, cuando afirmamos que un televisor tiene un tamaño de 28 pulgadas, lo que queremos decir es que su diagonal tiene esa longitud, es decir, que la diagonal de la pantalla mide 71 cm. Ahora bien, la relación entre la altura y el ancho de la pantalla de los televisores sigue una regla fija. Esto es, de todas las pantallas posibles con 28 pulgadas de diagonal, se produce industrialmente aquella en la que se verifica la siguiente relación. Altura de la pantalla 3 = Ancho de la pantalla 4 Se dice entonces que la pantalla tiene un formato 4 : 3. En los últimos años se ha popularizado un nuevo tipo de televisores; es lo que se ha venido a llamar «cine en casa». Estos nuevos aparatos, ideados para simular la sensación visual de las proyecciones en salas de cine, tienen un formato diferente al anterior. Este formato 16 : 9 es más alargado y tiene la ventaja de ser similar al de las pantallas cinematográficas. Por tanto, resulta adecuado si la mayor parte del uso del televisor se dedica a la visualización de películas. En estos televisores, los programas de televisión que no son películas sufren ligeras modificaciones al visualizarlos. COMPETENCIA LECTORA Pedro Puig Adam Pedro Puig Adam nació en el año 1900 y fue uno de los grandes matemáticos españoles que más trabajaron en la didáctica de las Matemáticas. Su preocupación por los problemas de la enseñanza le llevó a ser un destacado miembro de la Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas. También fue catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en la universidad de dicha ciudad. Murió en 1960. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 113
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 114 9 Proporcionalidad geométrica CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Rectas Rectas Rectas secantes paralelas perpendiculares Conozcas las posiciones relativas de dos rectas en el plano. 90° PORQUE… Te será útil para comparar Si dos rectas secantes, al cortarse, los ángulos que se forman determinan cuatro ángulos iguales, al cortarse varias rectas. se llaman rectas perpendiculares. CONVIENE QUE… Calculamos el valor de x en esta proporción. Sepas calcular el término 8 4 = desconocido en una proporción. 5 x 5⋅4 20 5 8⋅x=5⋅4 → x= = = 8 8 2 PORQUE… Te servirá para hallar medidas aplicando el teorema de Tales. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS CONVIENE QUE… ⋅3 ⋅2 Estés familiarizado I I con los problemas Rosquillas (kg) 1 2 3 4 de proporcionalidad. Precio (€) 4 8 12 16 I I PORQUE… ⋅2 ⋅3 Lo necesitarás para distinguir El peso y el precio son magnitudes directamente proporcionales. cuándo dos figuras son semejantes. 1 2 3 = = = … = 0,25 ← Constante de proporcionalidad 4 8 12 114 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 115 9 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA Representa un punto. Se escribe mediante una letra mayúscula. Se suelen Aunque un punto no tiene dimensiones, utilizar las letras A, B, C…, aunque se puede tomar • se suele representar gráficamente cualquier letra del abecedario. A mediante un punto lo suficientemente grueso como para que sea visible. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r Se escribe mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras r, s, t…, aunque se puede tomar Representa una recta. cualquier letra del abecedario. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r Para identificar una semirrecta se da el punto origen, A Representan una semirrecta r, que se escribe con las letras A, B, C…; y se denota con origen el punto A. con r, s, t …, aunque se puede tomar cualquier letra r del abecedario. A ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Utilizando los nombres de sus extremos, el segmento A B Representan un segmento ෆෆ se nombra AB y se escribe A B cuando se expresa su LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS cuyos extremos son los puntos longitud. A B A y B. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Los vértices del triángulo se designan Para representar un triángulo primero se nombran con letras mayúsculas, los lados con letras los vértices, comenzando por cualquiera de ellos. minúsculas y los ángulos con las mismas Las letras que se suelen utilizar son A, B, C…, letras que los vértices y el símbolo ^. aunque es válida cualquiera del abecedario. B Posteriormente se nombran los lados, que se designan con la letra minúscula de la que representa $ el vértice opuesto: a, b, c… B c a Por último, se designan los ángulos añadiendo el símbolo ^ a la letra que representa su vértice: $ $ $ A, B, C… $ A $ C Un triángulo se designa por las letras de sus A C b vértices, ABC, con el símbolo , ABC. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 115
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 116 9 Proporcionalidad geométrica EN LA VIDA COTIDIANA... Construcciones cúbicas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Recordar el concepto de número de oro. • Construir rectángulos áureos. • Determinar los cuatro puntos significativos en una fotografía. 1 La proporción áurea Euclides definió razón como la «relación cualitativa en- Un rectángulo es un rectángulo áureo si su ancho y tre dos magnitudes homogéneas» y proporción como altura están en proporción áurea. Para construir un la «igualdad de dos razones». Las proporciones han rectángulo áureo dibujamos un cuadrado ABCD. Des- tenido a lo largo de la historia una enorme importan- de el punto medio, M, de B ෆ, y con radio M ෆ, traza- ෆC ෆD cia desde el punto de vista estético. mos un arco que corta en E a la prolongación de B ෆ. ෆC Luego, levantamos la perpendicular en E y obtenemos En las proporciones ostenta especial relevancia, por su el punto F, al cortar a la prolongación de A ෆ. El rec- ෆD presencia en numerosos contextos, tanto geométricos tángulo ABEF es un rectángulo áureo. como artísticos, naturales y reales, la llamada propor- ción áurea. D A F Dos longitudes están en proporción áurea cuando el cociente entre la suma de ambas y la mayor tiene el mismo valor que el cociente entre la mayor y la me- nor. Si las denominamos a y b, se cumple que: B E M C a +b a Los rectángulos áureos tienen la curiosa propiedad de = a b que, si les quitamos el cuadrado cuyo lado es el lado menor del rectángulo, el rectángulo resultante es tam- Esto es equivalente a afirmar que el cociente a /b es bién un rectángulo áureo. igual a un determinado número, llamado número de oro y que se representa por ⌽. El número de oro tiene infinitas cifras decimales. b F b a 1+ 5 a−b =Φ= = 1,618033… b COMPETENCIA MATEMÁTICA b 2 a a−b La proporción áurea ha sido muy utilizada en el arte. Vamos a ver a continuación cómo dividir un segmento RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. ෆෆ A B en dos partes que estén en dicha proporción. a) Con la calculadora, halla el valor de ⌽ − 1 y 1/⌽. ෆෆ En el extremo B del segmento A B, levantamos un seg- ¿Qué observas? mento perpendicular al lado y de longitud su mitad, y b) Dibuja un segmento de longitud 8 cm y divídelo en formamos el triángulo rectángulo ABT . Con centro en T dos partes que estén en proporción áurea. ¿Qué lon- y radio TB trazamos el arco que corta a ෆෆ en V. Lue- ෆෆ, AT gitud tiene cada una de ellas aproximadamente? ෆෆ, go, con centro en A y radio AV obtenemos el punto G. Los segmentos A ෆ y G ෆ están en proporción áurea. ෆG ෆB c) Sin dibujar, ¿qué longitud tendrán las dos partes si el segmento mide 16 cm? ¿Y si mide 24 cm? T d) Dibuja un rectángulo áureo, partiendo de un cua- drado de lado 10 cm. ¿Qué longitud tiene el rectán- V gulo que obtienes? e) Dibuja un rectángulo áureo y construye otro rec- tángulo semejante a él. El rectángulo obtenido, ¿es A G B también un rectángulo áureo? Razona tu respuesta. 116 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 117 9 2 La proporción áurea en el arte Uno de los contextos artísticos donde aparece el nú- mero áureo es la fotografía. Al mirar una fotografía existen cuatro puntos que atraen nuestra atención. RECURSOS PARA EL AULA Una fotografía ha de tener en esos cuatro puntos los elementos de mayor interés o que se quieran destacar de modo especial. Al fotografiar es muy complejo determinar esos cuatro puntos usando este método. Por ello, los fotógrafos uti- lizan la llamada ley de los tercios. Trazan mentalmente las rectas que dividen el largo y el ancho de la fotogra- fía en tres partes iguales. Los puntos de corte de esas rectas son los significativos. El resultado es similar al obtenido de la otra forma. Antes de determinar cuáles son dichos puntos, vamos a ver cómo se puede obtener un rectángulo áureo de HAZ LAS ACTIVIDADES. longitud un segmento Aෆ. ෆB a) Dibuja un rectángulo de 15 ϫ 10 cm y halla sus ෆෆ Por el extremo B trazamos una perpendicular a A B y, puntos significativos, usando los dos métodos ex- con centro en B y radio A ෆ, marcamos el punto N. ෆB plicados. ෆෆ Después, con centro en M (punto medio de A B) y ra- ෆෆ, dio MN trazamos un arco que corta a la prolongación b) Determina los puntos significativos de este cuadro ෆෆ de A B en el punto R. Por último, con centro en R y ra- con la ley de los tercios. dio B ෆ, cortamos a la perpendicular NB en el punto C, ෆR ෆෆ COMPETENCIA MATEMÁTICA tercer vértice del rectángulo. N C R A M B Construye un rectángulo áureo de 5 cm de longitud. Los cuatro puntos significativos de una fotografía se obtienen así: trazamos con la técnica que acabamos de ver las líneas verticales, de forma que los rectángu- los a rayas sean áureos. Los puntos de corte de las diagonales del rectángulo con esas rectas son los cua- tro puntos significativos en la fotografía. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 117
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 118 9 Proporcionalidad geométrica ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Imaginar el problema resuelto Estrategia En muchos problemas de Geometría, sobre todo en los problemas de construcciones geométricas, es útil imaginar el problema resuelto. Para ello trazamos una figura aproximada a la que queremos hallar. De las relaciones de esta figura se obtendrá el procedimiento para realizar su construcción. PROBLEMA RESUELTO Con una recta r y un punto P exterior a ella, construye mediante P la regla y el compás el punto P simétrico de P respecto de la recta r. r Planteamiento y resolución Imaginemos el problema resuelto en la primera figura. Si P fuera el simétrico de P, la recta r sería ෆෆ la mediatriz del segmento PP. Por tanto, el modo de proceder para hallar el punto P es el que se indica en la figura de la derecha. P P N r r F M H P P 1.° Se traza un arco de centro P que corte a la recta r en dos puntos, M y N. 2.° Con el mismo radio se trazan un arco de centro M y otro de centro N, que se cortarán en el punto P. APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS ෆෆ; ෆෆ Hemos trazado la mediatriz del segmento MN por tanto, la recta r es perpendicular al segmento PP y, como MP = MP y NP = NP por la construcción realizada, la recta r es la mediatriz del segmento ෆෆ ෆෆ ෆෆ ෆෆ, ෆෆ, PP luego el punto P es simétrico de P respecto de r. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 ෆෆ, Dado el segmento AB construye 2 Con las rectas r y r y un segmento ෆෆ como el de la figura, AB un cuadrado en el que una de sus construye un paralelogramo ABNM, de modo que el punto diagonales sea dicho segmento. M esté en la recta r y el punto N esté en la recta r. (En la figura de la derecha se supone el problema resuelto.) A B r r A A F M B B N r r 118 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 119 9 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI RECURSOS PARA EL AULA El Programa CABRI-GÉOMÈTRE II es un programa para aprender Geome- tría. En el margen puedes identificar su página de presentación y la ventana de trabajo que aparece después de unos segundos al ejecutar el programa. Observa que hay unas barras con iconos en su parte superior e inferior. LAS BARRAS DE CABRI Presentación La primera barra, de fondo azul, contiene el nombre del programa y el nombre de la figura o archivo que está abierto en ese momento [Figura 1]. En esta barra siempre estará indicado el nombre de la figura con la que se está trabajando. LA BARRA DE MENÚS Permite hacer operaciones con archivos (abrir, cerrar, etc.), ejecutar activida- des de edición (copiar, seleccionar, etc.), diferentes opciones del programa (preferencias iniciales, idioma, etc.), posiciones de las ventanas abiertas, y consultar la ayuda. LA BARRA DE HERRAMIENTAS Ventana de CABRI Permite la realización de construcciones geométricas a partir de los diferen- tes elementos y de su manipulación. Son 11 grupos que contienen una se- rie de herramientas que hacen que los iconos de la barra varíen en función de la opción seleccionada. La herramienta seleccionada se presenta con fondo blanco, mientras que el resto tiene un fondo gris. Cabecera del programa NUEVAS TECNOLOGÍAS Los 11 grupos de herramientas son, de izquierda a derecha: 1.º APUNTADOR 17.º MACROS 2.º PUNTOS 18.º CONSULTAS 3.º RECTAS DE PROPIEDADES 4.º CURVAS 19.º CÁLCULOS GEOMÉTRICOS 5.º CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 10.º PRESENTACIÓN DE OBJETOS 6.º TRANSFORMACIONES 11.º OCULTAR / MOSTRAR EJERCICIOS 1 Con el botón de la izquierda del ratón, pulsa 2 Pulsa en la tecla F1 y verás la descripción en cada una de las herramientas de la barra y funcionamiento de cada herramienta. Haz y observa cómo se despliega un menú vertical los cambios necesarios para obtener la barra: con las diferentes herramientas o aplicaciones de cada grupo y su nombre. Haz un esquema de cada grupo y sus diferentes aplicaciones. Escribe en tu cuaderno la función de las herramientas que se muestran. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 119
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 120 9 Proporcionalidad geométrica MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI PRÁCTICA: CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS SIMPLES 1.º Construcción de puntos: a) Activa la herramienta Punto, , del grupo PUNTOS. Observa que el cursor toma la forma de un lápiz: . b) Pulsa en algún punto de la ventana y aparecerá un punto de color rojo. Si antes de realizar otra acción pulsas en una tecla (por ejemplo, A), saldrá una etiqueta con esta letra al lado del punto (las etiquetas sirven para nombrar objetos). Creación de un punto A 2.º Construcción de rectas (para hacer una recta son necesarios dos pun- tos o un punto y una dirección). a) Activa la herramienta Rectas, , del grupo RECTAS. b) Acércate con el ratón a este punto y observa que el cursor se trans- forma en una mano y aparece el rótulo: Por este punto. Pulsa en el botón de la izquierda del ratón y verás que se dibuja una recta que pasa por A y que va cambiando de dirección en función del movi- miento que hagas con el ratón. Creación de una recta c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana y obtendrás la recta tal como se ve en la figura; puedes etiquetarla como r. 3.º Construcción de una circunferencia (se necesitan un punto, que hará de centro, y un radio). a) Activa la herramienta , del grupo CURVAS. b) Con el lápiz, acércate al punto A y, cuando aparezcan la mano y el rótulo: Este punto como centro, pulsa en el botón del ratón y obser- va que la mano va dibujando una circunferencia en la ventana. c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana: obtendrás la circunfe- rencia, tal como se ve en la figura; puedes etiquetarla como C. NUEVAS TECNOLOGÍAS Construcción de una circunferencia EJERCICIOS 1 Activa la herramienta Apuntador, : el cursor 2 En el grupo RECTAS activa las diferentes se convierte en una cruz que permite, acercándote herramientas y haz construcciones a un objeto, seleccionarlo (se convierte en ) de los elementos que puedas en la ventana y modificarlo o moverlo (sale una mano ) que tienes abierta. por la ventana. 3 Crea una carpeta con tu nombre en el disco Después, selecciona la circunferencia construida duro del ordenador o en un disquete, y guarda y amplíala. Escribe las modificaciones que hace la figura creada mediante las órdenes: el cursor. → con el nombre Unidad00_Ejercicio_01. 120 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 4/1/08 18:41 Página 121 9 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI RECURSOS PARA EL AULA PRÁCTICA 1 (ejercicio 14 a), pág. 171) 1. Ejecuta el Programa CABRI, abre una nueva figura y construye un seg- mento horizontal AB de 7 cm. Mediante la herramienta Segmento y con comprueba que tiene esta distancia (si no es así, lo puedes mover con el puntero hasta que tenga exacta- División de un segmento en partes mente la distancia propuesta). proporcionales 2. Construye una semirrecta r con origen en el punto A, de forma que el ángulo con el segmento AB sea agudo (observa la figura del margen). 3. Construye un segmento CD de cualquier medida y, mediante la he- rramienta , construye la circunferencia de centro A y radio CD, que cortará a la semirrecta en el punto E. 4. Repite este proceso: coloca el compás con centro en E y radio CD y ob- tendrás el punto F; hazlo tres veces para obtener los puntos G, H e I. Estos cinco segmentos son iguales: AE = EF = FG = GH = HI. Une el punto I con el punto B formando el segmento IB, y con la herra- mienta , traza las rectas paralelas a IB que Semejanza de triángulos pasen por los puntos H, G, F y E. 5. Estas rectas cortan al segmento AB en los puntos E , F, G y H. Com- prueba, mediante la herramienta , que la longi- tud de cualquiera de los segmentos es la quinta parte de la longitud del segmento AB. 6. Guarda la figura creada mediante → en tu carpe- ta o directorio con el nombre: Unidad09_01. PRÁCTICA 2 (ejercicio 19, pág. 172) 1. Abre una nueva figura y construye el triángulo ABC de forma que las medidas sean: AB = 8 cm y AC = 6 cm. NUEVAS TECNOLOGÍAS 2. Construye una recta paralela al segmento BC que pase por un punto E cualquiera del lado AB, siendo D el punto de corte con AC. Traza el seg- mento DE y mueve el punto E hasta que la longitud de DE sea de 5 cm, tal como se ve en la figura. 3. Construye el segmento DB y calcula su medida: ¿Es de 4 cm? ¿Están en posición de Tales? 4. Guarda la figura creada mediante → con el nom- bre: Unidad09_02. EJERCICIOS 1 Abre nuevas figuras con → 3 Guarda cada una de las figuras anteriores con y haz los ejercicios 48 y 49 de la página 181. → asignándoles los nombres correspondientes. 2 De forma análoga a la Práctica 2, haz el ejercicio 50 de la página 181. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 121
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 122 10 Figuras planas. Áreas ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El regalo No se sabe casi nada de la vida de Apolonio de Perga, si bien se cree que nació en Perga (actual Turquía) en torno al año 262 a.C. y murió en Alejandría alrededor del 190 a.C., ciudad en la que estudió e impartió clases. Los detalles que se conocen de su vida derivan de anotaciones que él mismo hizo en su obra de Las cónicas. Por ejemplo, la lectura que proponemos en la unidad muestra a Eudemo y a Apolonio en Éfeso, situación que recoge el propio Apolonio en una copia de Las cónicas que envía a su amigo Eudemo, en Pérgamo. Asimismo, el acertijo que Apolonio propone en el texto es, en realidad, la variante más difícil de un problema geométrico que recibe el nombre de Problema de Apolonio y que consiste en encontrar una circunferencia tangente a tres elementos dados (punto, recta o circunferencia), siendo el caso más sencillo hallar la circunferencia que pasa por tres puntos, es decir, la circunferencia circunscrita a un triángulo. COMPETENCIA LECTORA 122 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 123 10 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Fórmula de Pick RECURSOS PARA EL AULA George Alexander Pick (1859-1943) fue un matemático austríaco que estableció la relación que existe entre los nudos de una malla y el área de un polígono dibujado sobre ella. Cada punto de intersección de una recta horizontal y otra vertical se denomina nudo, y cada segmento que une dos nudos consecutivos se llama lado. Así, un cuadrado de dicha malla será la unidad de superficie. Hay que considerar, para cada figura, el número de puntos de la malla que tiene y su número de lados. ➀ ➁ ➂ 5 Lado 5 Nudo ➃ ➄ Figura Nudos de la malla Lados Área 1 17 8 12 2 15 12 8 3 20 8 15 4 19 9 13,5 5 21 17 11,5 L En general, el área de una figura es: A = N − − 1, siendo N 2 los puntos de la malla que tiene la figura y L su número de lados. COMPETENCIA LECTORA Poesía matemática 2 ϫ 2 son 4. 6 ϫ 3, 18. 2 ϫ 3 son 6. 10 ϫ 10 son 100. ¡Ay, qué corta vida ¡Dios! ¡No dura nada la que nos hacéis! nuestro pobre bien! 3 ϫ 3 son 9. Infinito y cero. 2 ϫ 5, 10. ¡La fuente y el mar! ¿Volverá a la rueda ¡Cantemos la tabla la que fue niñez? de multiplicar! MIGUEL DE UNAMUNO ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 123
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 124 10 Figuras planas. Áreas CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Recuerdes los tipos de ángulos que existen. Ángulo recto Ángulo llano Ángulo agudo Ángulo obtuso PORQUE… Sus lados son Sus lados están Ángulo menor Ángulo mayor que Te ayudará a comprender perpendiculares. sobre la misma que el recto. el recto y menor las clasificaciones recta. que el llano. de los polígonos. CONVIENE QUE… La ALTURA de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado, o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto. Sepas qué es la altura de un triángulo. h h PORQUE… Vamos a estudiar el teorema de la altura. h LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS CONVIENE QUE… Un POLÍGONO REGULAR es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, el polígono es irregular. Distingas los polígonos regulares del resto de polígonos. PORQUE… Estudiaremos cómo se calcula su ángulo central. Octógono Hexágono Pentágono 8 lados iguales 6 lados iguales 5 lados iguales 124 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 125 10 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA a + c Ͼ b Indica que la suma de las Se utiliza una notación de este tipo para indicar longitudes de los lados a y c es las relaciones entre los lados de un triángulo. mayor que la longitud del lado b. b Ͼ c − a Indica que la longitud del lado b es mayor que la diferencia de las longitudes de los lados c y a. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? A Indica el área de un polígono. El área de un polígono se suele representar por la letra A. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? La altura es el segmento Se suele representar mediante la letra h. perpendicular a un lado, A veces se añade a la letra h un subíndice; h o a su prolongación, la expresión hc representa la altura sobre el lado c. trazado desde el vértice opuesto. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r Indica el radio de una circunferencia. Una circunferencia se nombra LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS C mediante una letra mayúscula, D Indica el diámetro de una circunferencia. normalmente C. D C Es la notación usada para designar A veces, cuando tenemos más una circunferencia. de una circunferencia, r se denominan C1, C2, C3… El radio y el diámetro se suelen representar mediante las letras r y D (o d ), respectivamente. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? AOB Indica el ángulo formado Para nombrar un ángulo definido por los puntos A, O y B. B por tres puntos se escriben los tres puntos y encima se pone . O El orden de las letras nos indica el A sentido en que se mide el ángulo. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 125
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 126 10 Figuras planas. Áreas EN LA VIDA COTIDIANA... Diseño y movimientos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Utilizar distintos tipos de mosaicos para recubrir el plano y decorarlo. • Calcular perímetros y áreas de baldosas con diferentes formas que recubren el plano. 1 Mosaicos regulares Luisa tiene una empresa de fabricación de baldosas y REALIZA LAS ACTIVIDADES. ha recibido de un Ayuntamiento el encargo de realizar a) Estos tres polígonos regulares, ¿son los únicos que unos diseños para pavimentar y decorar las calles. forman mosaicos regulares? Trabaja con los diviso- Para resolver el problema, Luisa debe realizar dise- res de 360° y recuerda que el ángulo interior de un ños de mosaicos. Un mosaico se forma con la yuxta- polígono regular de n lados mide: 180° ⋅ (n − 2) / n. posición de figuras planas, de forma que recubren o b) Todas las baldosas que ha diseñado Luisa tienen teselan todo el plano, es decir, no dejan huecos ni se de lado 30 cm. Calcula cuántas baldosas necesita- solapan entre ellas. rá el Ayuntamiento para embaldosar 10.000 m 2 si Luisa ha decidido inicialmente trabajar con mosaicos utiliza triángulos equiláteros, cuadrados o hexágo- regulares, aquellos que se forman usando solo polí- nos regulares. gonos regulares iguales, pero enseguida se ha dado cuenta de que es más sencillo formar mosaicos con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. Por tanto, decide proponer los tres diseños que se mues- tran, con baldosas en forma de triángulo equilátero, cua- drado y hexágono regular, respectivamente. Observa que, para que se forme un mosaico, la suma de todos los ángulos coincidentes en cada vértice del mosaico debe ser igual a 360°. COMPETENCIA MATEMÁTICA 2 Mosaicos semirregulares Luisa decide incluir también algunos diseños de bal- 4 5 dosas basados en los mosaicos semirregulares, aque- llos que utilizan dos o más tipos de polígonos regula- res, de modo que alrededor de cada vértice se encuentren siempre los mismos polígonos y en idénti- co orden. Al igual que en los mosaicos anteriores, la suma de los ángulos coincidentes en cada vértice ha de ser de 360°. 7 Existen ocho mosaicos semirregulares, que son los 6 que se muestran a continuación. 2 8 1 3 126 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 127 10 HAZ ESTAS ACTIVIDADES. b) Luisa decide presentar como diseños semirregula- res los siguientes y toma como pieza base de cada a) Comprueba que todos los mosaicos semirregulares mosaico: cumplen la relación numérica que les correspon- de, siendo m, n, p, q, r y s, el número de lados de – Mosaico ➃: un hexágono más los 6 cuadrados los polígonos que coinciden en cada vértice del y los 6 triángulos que lo rodean. RECURSOS PARA EL AULA mosaico. – Mosaico ➄: un cuadrado más los 4 triángulos Para tres polígonos, tenemos que: que lo rodean. 1 1 1 1 – Mosaico ➅: un hexágono más los 6 triángulos que + + = lo rodean. m n p 2 – Mosaico ➆: un hexágono más los 18 triángulos Y para cuatro, cinco y seis polígonos: que lo rodean. 1 1 1 + + + 1 =1 – Mosaico ➇: un cuadrado más los 2 triángulos de m n p q sus lados opuestos. 1 1 1 1 1 3 + + + + = Calcula el perímetro y el área de cada pieza base, m n p q r 2 sabiendo que todos los triángulos que aparecen 1 1 1 1 1 1 son equiláteros y miden 10 cm de lado. + + + + + =2 m n p q r s 3 Mosaicos pararregulares Luisa decide proponer también al Ayuntamiento algu- b) Halla el perímetro de esta pieza, sabiendo que los nos diseños de mosaicos que no estén basados en po- triángulos rectángulos ➀ que aparecen en la de- lígonos regulares. Cuando utilizamos polígonos no re- formación poseen catetos de 6 cm y 8 cm, respecti- gulares que permiten recubrir correctamente el plano, vamente, y los equiláteros ➁ tienen 5 cm de lado. el mosaico formado se llama pararregular. c) Construye dos mosaicos a partir de piezas obtenidas Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo deformando un polígono regular. ¿Qué área tiene teselas o piezas iguales, obtenidas a partir de la defor- cada una de esas piezas? mación de polígonos regulares. Observa el ejemplo en el que se deforma un cuadrado: Investigando, Luisa observa también que con cualquier COMPETENCIA MATEMÁTICA triángulo es posible conseguir mosaicos que recubran 2 todo el plano. 1 1 F 2 HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Explica cómo se puede formar un mosaico a partir de un triángulo cualquiera. b) ¿Ocurre lo mismo con un cuadrilátero cualquiera? REALIZA LAS ACTIVIDADES. Razona tu respuesta. a) Si el cuadrado que deforma Luisa para obtener la c) Existe un pentágono cuyos lados son de la misma pieza mide 10 cm de lado, ¿qué área tiene dicha longitud y con el que se puede formar mosaicos. pieza? Dibújalo. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 127
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 128 10 Figuras planas. Áreas ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer o completar un dibujo Estrategia La estrategia de hacer un dibujo de acuerdo con el enunciado ya ha sido utilizada en problemas de tipo numérico. En Geometría, esta estrategia es imprescindible para los problemas en los que no se proporciona la figura. En los problemas geométricos en los que se parte de una figura, a veces conviene completarla trazando algún elemento (una paralela, una altura, etc.) para que el problema sea más fácil. PROBLEMA RESUELTO Una parcela tiene forma de trapecio isósceles. El plano de la parcela a escala 1 : 1.000 es el que aparece a la izquierda. ¿Cuál es la superficie de la parcela en metros cuadrados? A B A B 3,9 cm 3,9 cm F cm cm 3,9 3,9 3,9 cm 3,9 3,9 cm cm h M 1,5 D C D C 6,9 cm 6,9 cm Planteamiento y resolución Podemos completar el dibujo (véase la figura de la derecha) trazando la paralela al lado A ෆ por el vértice B. ෆD Al trazar esta paralela se puede apreciar en la figura que BM = 3,9 cm, M C = 6,9 − 3,9 = 3 cm ෆෆ ෆෆ y, por tanto, el triángulo BMC es isósceles. De este modo se tiene: h = 3, 92 − 1,52 = 15,21 − 2,25 = 12, 96 = 3,6 cm APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS Para calcular el área de la parcela debemos obtener las bases y la altura del trapecio en la realidad. Así, la base menor es: 3,9 cm ⋅ 1.000 = 3.900 cm; es decir, 39 m. Halla la base mayor, la altura y el área real de la parcela. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Una finca tiene la forma de un trapecio 2 El siguiente plano está hecho a una escala isósceles con las dimensiones que 1 : 2.000 y representa el plano de una se indican en la figura. Calcula el área parcela. ¿Cuál es el área de la parcela de la finca en hectáreas. en metros cuadrados? 4 km 60° 8 km 128 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 129 10 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI RECURSOS PARA EL AULA Abre el Programa CABRI para construir un triángulo rectángulo ABC y com- probar experimentalmente el teorema de Pitágoras. PRÁCTICA 1 (ejercicio 2, pág. 188) 1. Construye un segmento AB mediante y comprueba que su medida es 12 cm (si no es así, lo puedes mover con el puntero hasta que tenga exactamente la distancia propuesta). 2. Con la herramienta , construye una recta per- pendicular al segmento que pase por el punto A, y sobre ella dibuja un punto cualquiera C. Con la herramienta podrás ocultar la recta perpendicular. 3. Une los puntos A y C mediante la herramienta Segmento y comprueba que su medida es 5 cm. 4. Une el punto C con el punto B mediante la herramienta Segmento y ob- tendrás el lado BC (hipotenusa). Teorema de Pitágoras 5. Calcula la longitud de la hipotenusa BC y comprueba que se cumple el teorema de Pitágoras. 6. Guarda la figura creada mediante → en tu carpe- ta o directorio con el nombre: Unidad10_01. PRÁCTICA 2 (ejercicio 51 a), pág. 200) 1. Con la herramienta , construye un triángulo equiláte- ro, y con la herramienta comprueba que su perímetro sea de 30 cm. 2. Con la herramienta , construye una recta per- pendicular a uno de los lados de forma que pase por el vértice opuesto. NUEVAS TECNOLOGÍAS 3. Construye el segmento que une el vértice con el punto de intersección de la recta con el lado y, después, con la herramienta , podrás ocultar la recta perpendicular, por lo que verás la altura. 4. Calcula la medida de esta altura. Aplicaciones 5. Guarda la figura creada mediante → en tu carpe- ta o directorio con el nombre: Unidad10_02. EJERCICIOS 1 De forma análoga a la Práctica 1, haz 3 Resuelve el resto de apartados del ejercicio 51 el ejercicio 43 de la página 200. de la misma forma que en la Práctica 2. 2 Haciendo los cambios pertinentes, realiza 4 Guarda las figuras anteriores con → el ejercicio 46 de la página 200. , asignándoles los nombres correspondientes. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 129
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 130 11 Cuerpos geométricos ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El centro del universo Aristarco de Samos fue un astrónomo y matemático griego que nació en el año 310 a.C. y murió en el 230 a.C. Es el primer científico en proponer un modelo heliocéntrico del universo, es decir, donde el Sol (y no la Tierra) es el centro del universo. Aristarco fue atraído por la Biblioteca de Alejandría, donde se reunían los sabios más brillantes de su tiempo. Allí presentó su teoría, pero fue rechazada, ya que por entonces la teoría más aceptada era la de Aristóteles, que afirmaba que el centro del universo era la Tierra y, alrededor de ella, se movían los demás astros, describiendo esferas perfectas. Su teoría cayó en el olvido y no fue aceptada hasta casi 2.000 años más tarde con los estudios de Copérnico (1473-1543). COMPETENCIA LECTORA 130 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 131 11 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Las medidas de las pirámides de Egipto RECURSOS PARA EL AULA Todos hemos visto fotografías o imágenes de las pirámides de Egipto. La gran mayoría de estas pirámides tienen una base casi cuadrada. Los antiguos egipcios utilizaban como medida de longitud el codo. Un codo equivale aproximadamente a 0,523 metros. Es lógico pensar que la longitud de las aristas de la pirámide era seleccionada de modo que fuera un número entero de codos, y, por ello, la mayoría de las medidas encontradas para estas bases son múltiplos de 5. En la siguiente tabla puedes ver algunas de las pirámides y el valor aproximado del lado de la base y la altura en codos y metros. Lado Altura Lado Altura Pirámide (codos) (codos) (metros) (metros) Senuseret II 200 90,32 104,6 47,24 Amenemhat III 200 112 104,6 58,58 Menkaura 200 121,7 104,6 63,67 Jufu (Keops) 440 280 230,12 146,44 Jafra (Kefren) 410 273,3 214,43 142,953 Isesi 150 100 78,45 52,3 Teti 150 100 78,45 52,3 Userkaf 150 100 78,45 52,3 Amenemhat I 160 112 83,68 58,576 Unas 110 81 57,53 42,39 COMPETENCIA LECTORA Herón de Alejandría Herón de Alejandría nació aproximadamente hacia el año 126 a.C. y murió en el 50 a.C. De origen humilde, fue zapatero en su juventud, lo cual no le impidió inventar máquinas como el odómetro (sistema de engranajes combinados para contar las vueltas de una rueda) o la eolipila, precursora de la turbina de vapor. Una de sus obras más importantes sobre Matemáticas fue Métrica, dividida en tres libros: – Libro I: dedicado al estudio de áreas y polígonos regulares. – Libro II: dedicado al estudio de volúmenes. – Libro III: dedicado a la división de figuras en partes proporcionales. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 131
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 132 11 Cuerpos geométricos CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Repases las principales figuras planas. Triángulo Cuadrado Rectángulo PORQUE… Te ayudará a trabajar con cuerpos geométricos. Trapecio Paralelogramo Pentágono Para calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado CONVIENE QUE… mide 25 cm, se aplica el teorema de Pitágoras. 25 cm Sepas aplicar el teorema de Pitágoras en el plano. d 2 = 252 + 252 = 1.250 d d = 1.250 = 35,4 cm PORQUE… Lo tendrás que usar para calcular áreas de poliedros. Triángulo Cuadrado Rectángulo Paralelogramo Trapecio CONVIENE QUE… b Conozcas las áreas de las figuras h h h h planas. b l b b B LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS PORQUE… b ⋅h (B + b ) ⋅ h ATriángulo = ARectángulo = b ⋅ h ATrapecio = Te servirá para calcular las áreas 2 2 de los cuerpos geométricos. ACuadrado = l2 AParalelogramo = b ⋅ h ÁNGULO CENTRAL es el ángulo formado CONVIENE QUE… Semici por dos radios. rcu Conozcas los elementos ARCO es la parte de la circunferencia nf de una circunferencia. ere comprendida entre dos de sus puntos. Di Cuerda F ncia ám et SEMICIRCUNFERENCIA es un arco igual o ro di Ra F a la mitad de la circunferencia. PORQUE… Ar c o Lo necesitarás para trabajar Ángulo central con cuerpos de revolución. 132 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 133 11 NOTACIÓN MATEMÁTICA RECURSOS PARA EL AULA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? C Indica el número de caras Cuando hablamos de poliedros y contamos sus caras, de un poliedro. aristas y vértices, en la mayoría de los casos se verifica la fórmula de Euler: V Indica el número de vértices de un poliedro. C+V=A+2 A Indica el número de aristas Esta fórmula afirma que el número de caras más de un poliedro. el número de vértices es igual al número de aristas más 2. Las letras V y A se utilizan también para designar el volumen y el área, respectivamente. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? A Generalmente, para hallar el área de un cuerpo AT Indican las áreas totales o parciales geométrico se calculan primero sus áreas parciales. de cuerpos geométricos. Las letras mayúsculas A o AT denotan el área total AB del cuerpo. AL Las áreas parciales, área de la base y área lateral, se denotan con AB y AL, respectivamente. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r Indica el radio. En un cono, el radio de la base h Indica la altura. se suele denotar por r, la altura por h y la generatriz por g. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS h g g Indica la generatriz. r ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? N Estas letras indican los cuatro puntos Al escribir las coordenadas S cardinales. geográficas de un punto de la superficie terrestre, se dan E Expresan Norte, Sur, Este y Oeste, dos medidas de ángulos. respectivamente. O Una de estas medidas expresa N O E la latitud y, además del ángulo, indicamos su dirección, Norte S o Sur. La otra medida expresa la longitud y se completa poniendo su dirección, Este u Oeste. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 133
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 134 11 Cuerpos geométricos EN LA VIDA COTIDIANA... Tomografías En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer y determinar diferentes secciones planas de un cubo. • Truncar un cubo. • Conocer la técnica tomográfica y aplicarla en distintos cuerpos geométricos. 1 Secciones planas de un cubo Considera un cubo. Si lo cortamos con un plano, la REALIZA LAS ACTIVIDADES. intersección de ambos, formada por los puntos del a) Observa las siguientes figuras, e indica en cada espacio comunes, crea una figura plana, que será dis- caso cómo es la sección que se obtiene y si el tinta según el plano que corte el cubo. plano que corta al cubo es de simetría. Señala tam- Las diferentes formas que toma ese plano son las bién qué tipos de poliedros resultan del corte. secciones planas del cubo. Una de las secciones, que además es un plano de si- metría, es la obtenida al cortar el cubo con un plano paralelo a dos caras opuestas y que pasa por los pun- tos medios de las aristas. b) ¿Cuántas formas existen de cortar el cubo con un plano y que la sección resultante sea un cuadrado? ¿Cuál es el área de dicho cuadrado? c) ¿Y para obtener un rectángulo? De las secciones Observa que la sección es un cuadrado de lado igual a que son rectángulos, ¿cuál es la de área máxima? la arista del cubo. Las dos partes o poliedros que re- Calcula dicha área. sultan al cortar el cubo son ortoedros. d) Si tratamos de obtener un triángulo equilátero, Hay otro tipo de planos de simetría que cortan el cubo ¿cómo habría que hacer el corte? ¿Cuál es el área por las diagonales de las caras y por los puntos medios del mayor triángulo posible? de cada par de aristas opuestas. COMPETENCIA MATEMÁTICA 2 Cubo truncado Imagina que cortamos, en todas las esquinas de un Cuando los cortes llegan hasta el centro de cada aris- cubo, una pequeña porción de forma que la sección ta, el poliedro que obtenemos es distinto de los de- resultante en cada una sea un triángulo equilátero. más: sigue teniendo triángulos, pero los octógonos se convierten en cuadrados. El poliedro resultante es el cubo truncado, que tiene 14 caras: 8 caras son los triángulos equiláteros que re- Los cortes podrían llegar hasta el sultan de los vértices, y las otras 6 caras son octógo- centro de las caras. En ese mo- nos que resultan de las caras del cubo, a las que se mento obtendríamos otro sólido han quitado los triángulos de las esquinas. platónico: el octaedro. 134 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 135 11 3 Tomografías en figuras geométricas Ya hemos visto cómo se pueden obtener secciones HAZ ESTAS ACTIVIDADES. planas de un cuerpo geométrico, cortándolo con pla- a) Indica a qué cuerpo corresponden las siguientes nos. Pero también se puede determinar a qué cuerpo RECURSOS PARA EL AULA series tomográficas. geométrico pertenecen unas secciones planas dadas, es decir, reconstruirlo a partir de ellas. La tomografía es una de las técnicas más modernas en Medicina. Mediante complejos aparatos y programas in- formáticos se obtiene una serie de cortes planos del cuerpo humano (similares a las radiografías) y, a partir de ellos, se logra una imagen tridimensional del órga- no en cuestión. b) Dibuja la serie tomográfica de: – Un prisma hexagonal regular. – Un octaedro. – Una pirámide pentagonal regular. – Dos conos unidos por sus bases. – Dos tetraedros unidos por una de sus caras. c) Si seccionas el cubo por planos paralelos al plano coloreado, ¿qué serie obtienes? En figuras geométricas también podemos hacerlo, y de forma más sencilla. Por ejemplo, si tenemos un cono y hacemos cortes horizontales y paralelos a la base, y en- COMPETENCIA MATEMÁTICA tre sí, se consigue la serie tomográfica de la derecha. d) Si seccionas el cubo truncado (obtenido al cortar en todas las esquinas una pequeña porción) por planos paralelos al plano coloreado, ¿qué serie obtienes? Hacemos lo mismo con un cilindro y obtenemos: ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 135
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 136 11 Cuerpos geométricos ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un diagrama de árbol Estrategia En algunos problemas, para hallar las soluciones, hay que organizarse y realizar un esquema adecuado. Una de las técnicas más útiles para hacerlo es construir un diagrama de árbol, donde podemos ver las posibles soluciones del problema, o las formas de llegar desde un punto inicial a uno final. PROBLEMA RESUELTO ¿Cuántos caminos distintos de tres aristas existen en este cubo por los que ir A B de A a G sin pasar dos veces por la misma arista? D C E Planteamiento y resolución F En el diagrama podemos ver los posibles caminos. H G Caminos C ⎯⎯⎯ G ABC G B F ⎯⎯⎯ G AB F G C ⎯⎯⎯ G ADC G A D H ⎯⎯⎯ G A DH G H ⎯⎯⎯ G A EHG E F ⎯⎯⎯ G AEFG Estando en A podemos pasar a B, D o E. De cada uno de estos vértices podemos pasar a otros dos (no es posible tomar la misma arista dos veces), y de ellos pasamos al vértice G, ya que no se pueden APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS usar más de tres aristas en cada camino. ¿Cuántos caminos distintos de cinco aristas llevan de A a G ? PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Observa el siguiente octaedro. 2 Ayudándote de un diagrama de árbol, a) ¿Cuál es el número mínimo calcula todos los ortoedros que cumplen A estas condiciones. de aristas que puede tener un camino que lleve de A a) Su ancho, a, es un número a B ? ¿Y el número máximo? primo divisor de 6. b) Halla todos los caminos b) Su largo, b, es un número c distintos de tres y cuatro primo mayor que a aristas que llevan y menor que 2 ⋅ a. del vértice A al vértice B. B b c) Su altura, c, es un número primo mayor que b a y menor que 2 ⋅ b. 136 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 21/9/07 12:39 Página 137 11 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI-EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el Programa CABRI para crear las figuras siguientes. PRÁCTICA 1 (ejercicio 37, pág. 220) 1. Construye un cuadrado de 5 cm de lado que servirá de base: a) Con la herramienta , pulsa en un punto, (el centro) y después, en dos puntos más para la construcción de un Simetría cuadrado. Mueve el vértice A hasta que el lado del cuadrado sea de 5 cm. b) Etiqueta los vértices como A, B, C y D. 2. Construye los seis cuadrados: a) Con la herramienta , construye el simétrico del polígono respecto del lado BC y haz lo mismo respecto de los lados AB, CD y AD. Obtendrás una figura como la del margen. b) Vuelve a hacer el simétrico del polígono ADEF respecto del lado EF, y habrás obtenido el desarrollo plano del cubo. 3. Con la herramienta Segmento , haz las pestañas. Puedes ocultar Desarrollo plano con las etiquetas que hayas utilizado para hacer la construcción, y obtendrás una figura semejante a la del mar- gen (solamente hay tres pestañas). 4. Imprime la figura con → , recórtala y construye el cubo. 5. Guarda la figura creada mediante → en tu carpe- ta o directorio con el nombre: Unidad11_01. PRÁCTICA 2 (ejercicio 37, pág. 220) A continuación haremos los cálculos con EXCEL. Abre un nuevo libro con el NUEVAS TECNOLOGÍAS nombre POLIEDROS. 1. Cambia el nombre de una hoja: Unidad11_2a y crea una tabla igual que la de la figura del margen. 2. Introduce las siguientes fórmulas en B2: =RAIZ(2)*A2 y en B3: =RAIZ(3)*A2 . 3. Copia los resultados en tu cuaderno. EJERCICIOS 1 De forma análoga a la Práctica 1, haz 3 De forma parecida a la Práctica 2, calcula el desarrollo plano de los prismas del ejercicio 44 las fórmulas que se han de utilizar y resuelve de la página 221, pon pestañas y reconstrúyelos. los ejercicios 38 y 39 en diferentes hojas del libro POLIEDROS. 2 Guarda las figuras mediante → con los nombres 4 Guarda el libro con → . adecuados. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 137
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 138 12 Volumen de cuerpos geométricos ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El saqueo de Siracusa Arquímedes de Siracusa es uno de los sabios más conocidos de la antigüedad. Nació en Siracusa (Sicilia) alrededor del año 287 a.C. y murió en el 212 a.C., en el asedio a la ciudad por el ejército romano al mando de Marcelo, a pesar de que este ordenó respetar la vida del sabio. Se dice que en su juventud viajó a Alejandría (Egipto), donde conoció a Eratóstenes, sabio con el que mantuvo correspondencia, haciéndole partícipe de sus descubrimientos, sobre todo de los matemáticos. Es universalmente recordado por formular el principio general de la hidrostática, aunque también son notables sus estudios sobre las máquinas simples: la palanca, el plano inclinado, la polea, la cuña o el tornillo. Sus aportaciones matemáticas han quedado eclipsadas por estas aportaciones físico-técnicas; sin embargo, son notables sus estudios geométricos al margen de Los elementos de Euclides. De hecho, su tumba fue redescubierta por Cicerón en el año 75 a.C., quien la reconoció por tener un grabado geométrico consistente en una esfera inscrita en un cilindro. Esta historia nos transmite la idea de que Arquímedes tenía en gran consideración sus estudios teóricos, por encima de los prácticos, que son por los que es mundialmente conocido. COMPETENCIA LECTORA 138 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 139 12 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Arquímedes y la corona de oro RECURSOS PARA EL AULA En el siglo III a.C., en la ciudad de Siracusa gobernaba el rey Hierón II. Este rey encargó una nueva corona de oro a un orfebre, al que le dio un lingote de oro puro para realizarla. Cuando el orfebre terminó el trabajo y entregó la corona, al rey comenzó a asaltarle una duda. El orfebre pudo haber sustituido parte del oro por una cantidad de cobre, de forma que el peso de la corona fuese el mismo que el del lingote. El rey encargó a Arquímedes, un famoso sabio y matemático de la época, que estudiase el caso. El problema era complejo y Arquímedes estuvo un tiempo pensándolo. Un día, cuando estaba en los baños, se dio cuenta de que al introducirse en una bañera rebosante de agua, esta se vertía al suelo. Ese hecho le dio la clave para resolver el problema y, dice la leyenda, que lleno de alegría salió a la calle desnudo, gritando: «¡Eureka!», que en griego significa: «¡Lo encontré!» o «¡Lo resolví!». Arquímedes se dio cuenta de que si un cuerpo se sumerge en un líquido, desplaza un volumen igual al suyo. Aplicando este principio, Arquímedes sumergió la corona y comprobó que el agua que se vertía al introducirla en una cuba de agua no era la misma que al introducir un lingote de oro idéntico al que el rey le dio al orfebre. Eso significaba que no toda la corona era de oro, ya que si hubiese sido de oro, el volumen de agua desalojado habría sido igual al del lingote, independientemente de la forma de la corona. El oro es más denso que el cobre. Por tanto, el volumen utilizado para elaborar la corona de oro debe ser menor que el que se necesita si se sustituye parte de ese oro por cobre. COMPETENCIA LECTORA Sophie Germain Sophie Germain nació en el año 1776 y su pasión por las Matemáticas era tal que su padre, para impedirle que estudiase por las noches, le escondía las velas que la iluminaban. Sophie, por su condición de mujer, no pudo ingresar en la École Polytechnique, por lo que asumió la identidad de un antiguo alumno (Antoine-August Le Blanch). A pesar de estudiar por correo, al cabo de unos meses, el encargado del curso, Lagrange, solicitó una entrevista con ella debido a la brillantez de sus respuestas, lo que la obligó a descubrir su identidad. Sophie murió de cáncer de mama y, pese a su capacidad, no se la reconoció entre los 72 sabios franceses que se inscribieron en la Torre Eiffel, cuando se erigió en 1889. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 139
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 140 12 Volumen de cuerpos geométricos CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Sepas lo que es un cubo y un ortoedro. PORQUE… El cubo tiene todas El ortoedro tiene todas sus caras cuadradas. sus caras rectangulares Lo necesitarás para estudiar o cuadradas. las unidades de volumen. 46 ⋅ 100 = 4.600 4.600 : 100 = 46 CONVIENE QUE… Realices con soltura la multiplicación y división 2,074 ⋅ 100 = 207,4 2,074 : 100 = 0,02074 ۗ ۗ → → por la unidad seguida de ceros. PORQUE… Te será útil para transformar unas unidades de medida en otras. CONVIENE QUE… ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 ⋅ 1.000 G G G G G G Sepas utilizar las unidades km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 G G G G G G de volumen. : 1.000 : 1.000 : 1.000 : 1.000 : 1.000 : 1.000 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS PORQUE… Las usarás en el estudio del volumen de los cuerpos geométricos. CONVIENE QUE… : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 G G G G G G G Recuerdes las equivalencias Decena Unidad entre los órdenes del sistema Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima de millar de millar de numeración decimal. DM UM G C G G D U G G d c G m G PORQUE… ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 Te ayudará a comprender las relaciones entre los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida. 140 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 21/9/07 12:39 Página 141 12 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA 2 hm 5,1 dam 27 m Expresa una medida Para expresar medidas en forma compleja, de longitud en forma se deja un espacio en blanco entre cada compleja. una de las unidades. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? kilo- (k) Prefijo que expresa una cantidad 1 km Un kilómetro equivale a 1.000 metros. equivalente a 1.000 unidades. 1 kl Un kilolitro equivale a 1.000 litros. 1 kg Un kilogramo equivale a 1.000 gramos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? hecto- (h) Prefijo que expresa una cantidad 1 hm Un hectómetro es 100 metros. equivalente a 100 unidades. 1 hl Un hectolitro equivale a 100 litros. 1 hg Un hectogramo es 100 gramos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? deca- (da) Prefijo que expresa una cantidad 1 dam Un decámetro equivale a 10 metros. equivalente a 10 unidades. 1 dal Un decalitro es 10 litros. 1 dag Un decagramo es 10 gramos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS deci- (d) Prefijo que expresa una cantidad 1 dm Un decímetro es 0,1 metros. equivalente a la décima parte 1 dl Un decilitro equivale a 0,1 litros. de la unidad. 1 dg Un decigramo es 0,1 gramos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? centi- (c) Prefijo que expresa una cantidad 1 cm Un centímetro equivale a 0,01 metros. equivalente a la centésima parte 1 cl Un centilitro es 0,01 litros. de la unidad. 1 cg Un centigramo es 0,01 gramos. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? mili- (m) Prefijo que expresa una cantidad 1 mm Un milímetro es 0,001 metros. equivalente a la milésima parte 1 ml Un mililitro equivale a 0,001 litros. de la unidad. 1 mg Un miligramo es 0,001 gramos. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 141
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 21/9/07 12:39 Página 142 12 Volumen de cuerpos geométricos EN LA VIDA COTIDIANA... Obras y reformas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer la presencia de cuerpos geométricos en la vida diaria. • Aplicar el cálculo de áreas y volúmenes en distintos contextos. 1 La reforma del suelo de un piso Belén se ha comprado un piso de segunda mano. Como tiene que hacer algunas reformas, ha realizado un plano a escala 1 : 200 para hacerse una idea de los gastos. (Recuerda que 1 : 200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad.) La altura de los techos del piso es 2,7 m. Cocina Dormitorio Pasillo Baño Salón REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Halla el área de cada una de las habitaciones del piso y el área total. b) ¿Cuánto costará poner suelo de parqué al dormito- Una de las reformas que quiere hacer es cambiar el rio, el salón y el pasillo? suelo del piso y poner parqué y cerámica en distintas c) ¿Cuánto costará poner suelo de cerámica al baño y habitaciones. El parqué cuesta 30,21 €/m2, y la cerá- la cocina? mica, 23,43 €/m2. COMPETENCIA MATEMÁTICA d) El número de frigorías necesarias para enfriar una También quiere instalar aire acondicionado en algunas habitación se obtiene multiplicando su área (en de las habitaciones. metros cuadrados) por 120. Halla las frigorías ne- cesarias para enfriar cada habitación del piso. 2 Botes de pintura Belén quiere pintar las paredes de la casa. En la tien- HAZ ESTAS ACTIVIDADES. da de pinturas le dan las siguientes opciones, relativas a) Calcula el área que tiene que pintar (incluyendo el a dimensiones de botes, precio y rendimiento. techo del piso). – Bote cilíndrico de radio 10 cm y altura 12 cm, precio b) Dibuja el desarrollo plano de los botes. de 5 € y rendimiento de 2 m2/l. c) ¿Qué bote tiene mayor volumen? ¿Cuántos metros – Bote cilíndrico de radio 15 cm y altura 10 cm, pre- cuadrados se pintan con un bote de cada tipo? cio de 6,50 € y rendimiento de 3 m2/l. d) ¿Cuántos botes de cada tipo se necesitan para pin- – Bote cilíndrico de radio 20 cm y altura 15 cm, precio tar el piso? de 9 € y rendimiento de 4 m2/l. e) ¿Cuál es la opción más económica? 142 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 143 12 3 La reforma de un trastero En la compra del piso va incluido un trastero que tiene La mitad del trastero lo quiere ocupar con cajas cúbi- forma de ortoedro, con dimensiones 60 dm, 48 dm cas, iguales y del mayor tamaño posible, sin que que- y 26 dm. Belén ha decidido pintarlo y poner el suelo de den huecos. RECURSOS PARA EL AULA cerámica. REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuántos botes de cada tipo necesita para pintar el trastero? b) ¿Cuál es la opción más económica? c) ¿Cuánto le cuesta arreglar el trastero? HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Calcula el volumen total del trastero. b) El valor de la arista de las cajas tiene que dividir a la mitad del largo, el ancho y el alto del ortoedro. Además, su valor debe de ser el máximo posible. ¿Cuánto mide dicha arista? c) Calcula el volumen de cada caja. d) ¿Cuántas cajas caben exactamente en la mitad del trastero? e) ¿Y en todo el trastero? 4 El mantenimiento de la piscina El piso tiene acceso a dos piscinas comunitarias. Una La forma y dimensiones de la piscina de adultos son de las piscinas está destinada a niños pequeños y la las indicadas en el dibujo. otra a mayores de 12 años. El presidente de la comu- COMPETENCIA MATEMÁTICA nidad ha informado a los 100 vecinos que este año 25 m hay que pintar las piscinas. Las dimensiones de la pis- 10 m 2m cina infantil son las indicadas en el dibujo. 0,5 m 5m 0,5 m 1m 1,5 m HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. 3m a) Calcula el volumen de la piscina. b) Halla el tiempo que tarda en llenarse con un grifo REALIZA LAS ACTIVIDADES. que vierte 300 litros por minuto. a) Si con un bote de 1 kg se pintan 4 m 2, ¿cuántos c) Para tener el agua de las piscinas en óptimas con- botes se necesitan para pintar la piscina? diciones se añaden 20 g de cloro por 15 m 3 de b) Si cada bote cuesta 6,12 €, ¿cuánto tiene que pa- agua cada 5 días. ¿Cuántos gramos de cloro se ne- gar cada vecino por la pintura? cesitarán para el mantenimiento de ambas pisci- c) Calcula el volumen de la piscina. nas durante 60 días? ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 143
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 144 12 Volumen de cuerpos geométricos ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Utilizar tablas, gráficas y ecuaciones Estrategia En Matemáticas aparecen con frecuencia problemas con secuencias de elementos: números, figuras, etc. Muchas de estas secuencias siguen unos patrones o regularidades cuyo conocimiento es necesario para la resolución de los problemas. En los siguientes problemas se trata de encontrar las regularidades en secuencias de cuerpos geométricos. PROBLEMA RESUELTO 4 Observa la siguiente secuencia de policubos. Dibuja en tu cuaderno 3 los dos policubos que siguen 2 en esta secuencia. Después, escribe el volumen que tiene el policubo 1 de lugar n, tomando como unidad uno de los cubos. Planteamiento y resolución El número de cubos de la secuencia anterior se expresa por la serie de números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n − 1 Por tanto, estos números indican el volumen de los policubos de la secuencia. El volumen del policubo de lugar n es 2n − 1. PROBLEMAS PROPUESTOS APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 1 Observa la secuencia anterior y fíjate 2 Observa la secuencia de cubos. ¿Qué regularidad en el área de cada policubo, tomando o regla general observas en la medida como unidad el área de una cara. Completa de las aristas? ¿Cuál es el valor de la suma de la siguiente tabla con las áreas de cada las aristas del cubo de lugar n 2 ? policubo. ¿Qué regularidad observas al pasar 3 de un policubo de la secuencia al siguiente? 2 Expresa esta regularidad (no es necesario 1 escribirla en función de n). Policubos 1 2 3 4 5 6 Área 6 14 Completa la tabla y escribe el volumen del cubo que ocupa el lugar n. Lugar del cubo en la secuencia 1 2 3 4 5 6 … n Volumen 144 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 27/12/07 10:22 Página 145 12 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI-EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el Programa CABRI para construir la figura del ejercicio. PRÁCTICA 1 (ejercicio 55, pág. 236) 1. Con la herramienta , construye una elipse (hacen fal- ta cinco puntos: A, B y otros tres puntos). 2. Con la herramienta , construye un vector vertical ជ v. 3. Con la herramienta , haz la traslación de la elipse mediante el vector ជ v. 4. Construye dos segmentos que unan los puntos A y B con sus traslada- dos A y B. 5. Guarda la figura creada mediante → en tu carpe- ta o directorio con el nombre: Unidad12_01. PRÁCTICA 2 (ejercicio 55, pág. 236) En este caso, haremos cálculos con EXCEL. Abre el libro POLIEDROS. 1. Cambia el nombre de una hoja: Unidad12_02a. 2. Crea los rótulos que se ven en la figura. 3. Introduce en la celda D2 la fórmula: =PI()*B2^2*C2 . Esta fórmula nos da el volumen de un cilindro. El valor PI() se utiliza para dar valor al núme- ro π con 15 cifras decimales. 4. Introduce en la celda D3 la fórmula siguiente: =1/3(PI()*B2^2*C2) que sirve para hallar el volumen de un cono. Ahora puedes introducir datos y calcular los volúmenes de cilindros y conos, dados el radio de la base (celdas B2 o B3) y la altura del cuerpo (celdas C2 o C3). NUEVAS TECNOLOGÍAS 5. En el caso del cilindro de la figura, introduce 8 en la celda B2 (ya que el diámetro es 16) y 15 en la celda C2, y observa qué valor aparece en la celda D2. EJERCICIOS 1 De forma análoga a como has hecho en 3 En el mismo libro EXCEL y en la misma hoja, la Práctica 1, abre una figura con CABRI introduce los valores correspondientes al cono y crea un cono (ejercicio 63 b), pág. 237). del ejercicio 63 b), o sea r = 3 y h = 11, Para ello, tendrás que dibujar una elipse y obtendrás el volumen del cono. y trasladar el centro de la elipse mediante un vector vertical hasta que aparezca 4 Abre una nueva hoja y crea una tabla con fórmulas el cono. que te permitan calcular el volumen de la esfera. Resuelve el ejercicio 70 de la página 238. 2 Guarda la figura en tu carpeta con el nombre Unidad12_ejercicio63. 5 Guarda el libro con → . ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 145
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 146 13 Funciones ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... El ingenio y la espada René Descartes nació en La Haye, cerca de Poitiers (Francia) en 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) en 1650. Comenzó sus estudios en la Escuela de los Jesuitas de la Flèche, que le proporcionaron una sólida base de cultura clásica, aprendiendo Latín, Griego y Matemáticas puras y aplicadas, que habían sido supervisadas por Christopher Clavius. Posteriormente se graduó en Derecho en la Universidad de Poitiers, aunque esos estudios no fueron totalmente de su agrado. El episodio que se desarrolla en el libro de texto corresponde a 1619, año en el que Descartes conoció a Isaac Beeckman, con el que posteriormente mantendría una profunda amistad. Este viaje tuvo lugar en su época de juventud, en la que Descartes recorrió Europa, unas veces por su cuenta y otras veces enrolado en algún ejército como soldado de fortuna. En estos viajes conoció a algunos de los más afamados pensadores de la época. Se le considera el padre de la Filosofía moderna y su obra más conocida es El discurso del método, siendo su principal aportación matemática la invención de la Geometría analítica que desarrolló en su obra La Geometría. COMPETENCIA LECTORA 146 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 147 13 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Cuidado con los promedios RECURSOS PARA EL AULA En ocasiones, tenemos varios pares de valores de dos magnitudes relacionadas y queremos calcular otros valores intermedios. ¿Cómo podemos obtener estos nuevos pares si no sabemos la expresión algebraica de la función? Para ello hacemos un ajuste gráfico y una interpolación. Interpolar es obtener, a partir de los datos ya conocidos, un nuevo par de valores comprendido entre ellos. Teresa se ha comprado un ordenador por 1.500 €. En una revista lee cuál es el valor de dicho ordenador al año, a los 2 años y a los 4 años de comprarlo, como se ve en la tabla. Año 0 1 2 3 4 Valor (€) 1.500 1.200 960 615 ¿Cómo puede Teresa calcular el valor a los tres años? Representamos los pares conocidos en un gráfico. Unimos con un segmento los puntos correspondientes a 2 y 4 años. Levantando una vertical desde el valor 3 y, luego, desde el punto 1.500 de corte, una paralela que corte al eje vertical, vemos que el valor del ordenador estará alrededor de 800 €. 1.200 Valor (€) Vamos a calcular su valor de forma numérica: 900 · se depreciará En 2 años (4 − 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ 960 − 615 = 345 € 600 se depreciará En 1 año ⎯⎯⎯⎯⎯→ x 300 345 Como x = = 172,50 €, el valor del ordenador al tercer año será: 1 2 3 4 5 2 Años COMPETENCIA LECTORA 960 − 172,50 = 787,50 € Gauss Gauss nació en Brunswick en 1777. Destacó como matemático, físico y astrónomo. Cuando tenía 10 años, su profesor propuso el problema consistente en sumar los 100 primeros números naturales, y mientras sus compañeros hacían sumas interminables, Gauss escribió rápidamente el resultado en la pizarra. El profesor le regaló un libro de Aritmética, que Gauss leyó y corrigió de forma inmediata. Gauss estudió Matemáticas y fue catedrático de esta disciplina en Kazán y de Astronomía en Göttingen. Falleció en Göttingen en 1855. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 147
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 148 13 Funciones CONTENIDOS PREVIOS Dados unos valores, obtenemos otros mediante operaciones aritméticas. CONVIENE QUE… Sepas utilizar tablas numéricas. Sumando Sumando Suma 1 7 1+7=8 PORQUE… 2 7 2+7=9 3 7 3 + 7 = 10 Las necesitarás para expresar funciones mediante tablas. 4 7 4 + 7 = 11 5 7 5 + 7 = 12 CONVIENE QUE… 5 Conozcas cómo se localiza 4 El árbol está en la casilla (C, 4). un punto en el plano. 3 El hospital, en la casilla (B, 2). 2 El lago, en la casilla (F, 2). PORQUE… 1 Te servirá para determinar A B C D E F G H I las coordenadas de un punto. Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es un conjunto de números y letras unidos CONVIENE QUE… mediante los signos de las operaciones aritméticas. Recuerdes lo que es una expresión algebraica. Enunciado Expresión algebraica LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS El triple de un número ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯⎯ 3x PORQUE… x La mitad de un número ⎯ ⎯ ⎯⎯ → ⎯ ⎯ ⎯⎯ 2 Lo utilizarás para representar la relación entre algunas El cuadrado de un número ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → x2 magnitudes. Dado el polinomio: CONVIENE QUE… P (x) = 3x 2 − x + 1 Recuerdes cómo calcular el valor numérico de un polinomio. su valor numérico, para x = 2, es: P (2) = 3 ⋅ 22 − 2 + 1 = 12 − 2 + 1 = 11 PORQUE… Te será útil para representar funciones. 148 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 149 13 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA (x, y ) Indica un par ordenado Para indicar un punto de la gráfica de una función, de una función. la primera coordenada se suele denotar con la letra x, y la segunda, con la letra y o con la expresión (x, f (x )) Indica el mismo par ordenado. de la función, f (x ). (1, 2) Indica un punto en el plano. Cuando queremos indicar un punto del plano, (1,3; 2,4) Indica un punto en el plano se escriben las dos coordenadas del punto entre con coordenadas decimales. paréntesis, y se separan con una coma seguida de un espacio. A veces, al referirse a un punto de una gráfica, solo se da la coordenada de x, por ejemplo: «La función f tiene un máximo en el punto x = 2». Esto quiere decir que tiene un máximo en el punto de coordenadas (2, f (2)). ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? X, OX Indican el eje de abscisas. Utilizamos OX o eje de abscisas Y cuando nos referimos a este O Representa el origen de coordenadas, eje. En el gráfico solamente el punto (0, 0). escribimos X. Y, OY Indican el eje de ordenadas. Utilizamos OY o eje de ordenadas cuando O nos referimos a este eje. X En el gráfico solamente escribimos Y. LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? f (x) = x − 5 Ambas son expresiones que Una función se puede representar mediante representan la función cuya la expresión f (x ) o mediante la letra y. y=x−5 expresión algebraica es x − 5. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? (x, y ) Indican el punto formado Si se afirma que el punto (2, 3) pertenece a una por un número y el valor función f, esto significa que si x = 2, entonces y = 3 (x, f (x)) de la función en ese número. o que f (2) = 3. Es decir, (2, 3) = (2, f (2)). ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 149
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 21/9/07 12:39 Página 150 13 Funciones EN LA VIDA COTIDIANA... Gráficas en las Ciencias En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Analizar diferentes funciones extraídas de situaciones reales a partir de su gráfica. • Representar gráficamente una relación funcional, a partir de una tabla de valores, y obtener la expresión algebraica de la función. • Obtener la representación gráfica de una relación funcional, a partir de su expresión algebraica. • Elaborar tablas de relaciones funcionales con valores obtenidos de forma empírica. 1 Las gráficas calor-temperatura en los cambios de estado El calor es una forma de energía y, cuando aportamos REALIZA LAS ACTIVIDADES. calor a un cuerpo, esta energía se utiliza para aumen- a) ¿Qué se representa en el eje X? ¿Y en el eje Y? tar el nivel de calor de dicho cuerpo. A ese nivel de ca- lor se le denomina temperatura. b) ¿Qué temperaturas corresponden a las letras a y b? c) ¿Qué interpreta- Al llegar a unas determinadas temperaturas (diferen- ción le das a cada tes para cada sustancia), llamadas punto de fusión y uno de los tramos punto de ebullición, un mayor aporte de energía (calor) de la gráfica seña- no significa una elevación de la temperatura, sino un lados como I, II cambio de estado de la sustancia. y III? • Punto de fusión: paso de sólido a líquido. d) Representa una • Punto de ebullición: paso de líquido a gas. gráfica como la La gráfica muestra este proceso en el caso del agua. anterior para el hierro, con un Y III punto de fusión b II de 1.536 °C y un punto de ebulli- I a ción de 3.000 °C. X COMPETENCIA MATEMÁTICA 2 El crecimiento de una población El crecimiento de determinadas poblaciones de seres HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. vivos puede ser muy rápido. Observa la siguiente ta- a) Representa los datos en una gráfica. bla, que señala el número de bacterias presentes en un cultivo realizado en el laboratorio. b) Une los puntos mediante trozos de rectas. ¿Tienen todos la misma inclinación? Tiempo (h) Bacterias (miles) c) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 horas? 0 100 ¿Y al cabo de 10 horas? 1 165 d) Determina gráficamente el tiempo que tardan las 2 272 bacterias en duplicarse, por ejemplo, en pasar de 100 3 448 a 200. 4 739 e) Obtén gráficamente el tiempo aproximado que ha 5 1.218 de transcurrir para que haya 5.000 bacterias. f) Obtén una expresión algebraica que exprese la po- blación de bacterias en función del tiempo. 150 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 151 13 3 Los sistemas elásticos Un sistema elástico, por ejemplo un muelle, ejerce una b) ¿Qué fuerza corresponde a un alargamiento de fuerza directamente proporcional al estiramiento o lon- 5,5 cm? ¿Y a un alargamiento de 11 cm? gitud alcanzada respecto a su posición de equilibrio. c) Cuando la fuerza es de 10 N, ¿qué alargamiento ha RECURSOS PARA EL AULA La expresión algebraica de esta ley: la ley de Hooke, es sufrido el muelle? Si es de 20 N, ¿le corresponderá F = k ⋅ x, donde k es la constante del sistema, x es el el doble de alargamiento? alargamiento y F es la fuerza. Es, por tanto, una fun- d) Considera otro muelle cuya constante sea 5 y su ción lineal. límite de elasticidad sea 20 cm, y representa grá- Supón un muelle cuya constante sea 2,5 y su longitud ficamente la relación Alargamiento-Fuerza. ¿Qué límite 10 cm. característica tiene la función? HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Representa la relación funcional Alargamiento (en cm)-Fuerza (en newtons, N). 28 26 24 22 20 Fuerza (N) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Alargamiento (cm) 4 El CO2 y el calentamiento global COMPETENCIA MATEMÁTICA Los gases, como el dióxido de carbono (CO2) y el me- En dichos informes se afirmaba que si continúa el ín- tano (CH4), crean un efecto invernadero natural, sin el dice actual de emisiones, la concentración atmosférica cual la vida en este planeta no existiría. de CO2 hacia mediados del siglo XXI será el doble de la Ahora bien, desde la era industrial, la actividad huma- anterior a la revolución industrial. Esta concentración na ha añadido un exceso de esos gases a la atmósfera, se mide en ppb (partículas de CO2 por cada mil millo- sobre todo al quemar combustibles como el petróleo, nes de partículas), y, en la época preindustrial, la con- el carbón o el gas. Este exceso de CO2 provoca, entre centración en la atmósfera era de 0,28 ppb. otros fenómenos, un calentamiento excesivo de la atmósfera. REALIZA LAS ACTIVIDADES. La cantidad de CO2 atmosférico había permanecido a) ¿Qué concentración de CO2 (en ppb) hay actual- estable, aparentemente durante siglos, pero desde el mente? comienzo de la industrialización se ha incrementado en un 30 % aproximadamente. b) Suponiendo que la concentración de CO2 crece El Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climá- cada diez años un 12 %, realiza una tabla donde tico (IPCC), un foro internacional de científicos ex- se expresen las concentraciones de CO2 hasta final pertos en climatología, editó un informe en 1990 y de siglo. otro a finales de 1995. c) Representa los datos de la tabla en una gráfica. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 151
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 152 13 Funciones ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Interpretar gráficas y dibujos Estrategia La interpretación de gráficas ocasiona errores al confundirse la gráfica y el dibujo que acompañan al enunciado. Las gráficas son representaciones abstractas de relaciones entre dos variables. Hay casos en los que la relación entre dos variables es sencilla de interpretar, y la gráfica se deduce directamente del dibujo que acompaña al texto, manteniendo incluso cierta similitud. Sin embargo, en otros casos, la relación entre las dos variables da lugar a gráficas que no tienen relación con el dibujo representado, como ocurre en estos problemas. PROBLEMA RESUELTO El perfil de la etapa reina del Giro 15.a MERANO-APRICA Domingo, 5 de junio. 195 km 3.000 GPM está representado en este dibujo. 2.800 2.600 CIMA COPPI GPM APRICA 1.181 m 2.400 GPM ¿Cuál es la gráfica correspondiente Aprica 1.181 m 2.200 Passo del Mortirolo 1.582 m Passo dello Stelvio 2.758 m 2.000 Castelbello 587 m Edolo 699 m 1.800 Lasa 869 m Grosotto 843 m a la velocidad de un corredor a lo largo MERANO 365 m 1.600 Rabia 520 m S. Cristina 1.427 m 1.400 Bormio 1.225 m 1.200 de la etapa? Trafoi 1.543 m 1.000 800 600 Valico di 400 200 m0 km 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 Contrarreloj individual GPM Gran Premio de la Montaña Avituallamiento Planteamiento y resolución El corredor parte de cero y alcanza cierta velocidad. Conforme asciende, irá reduciéndola hasta la cima. Al descender, aumentará cada vez más la velocidad hasta el pie de la montaña. Luego vuelve a ascender, baja la velocidad hasta la cima, y así hasta el final del trayecto. APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS Velocidad Distancia PROBLEMA PROPUESTO Este es el perfil de una etapa de la Vuelta 17.a Sabiñánigo 166 km Cerler Ciclista a España. Alto de Ampriu E Puerto de Cotefablo (1.410 m) (1.930 m) ¿Cuál es la gráfica correspondiente 1 Puerto de la Foradada Broto Cerler a la velocidad de un corredor a lo largo Biescas (900 m) (1.020 m) (1.520 m) (850 m) 2 de la etapa? Ainsa (550 m) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 152 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 21/9/07 12:39 Página 153 13 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre un nuevo libro EXCEL con el nombre FUNC_ESTAD2. Cambia el nom- bre de la primera hoja: Unidad13_1a. EXCEL no es un programa de gráficos como DERIVE, pero permite hacer gráficas de puntos y de otros tipos a partir de una tabla, por lo que nos re- sulta interesante en esta unidad. PRÁCTICA 1 (ejercicio 34, pág. 250) 1. Escribe los rótulos de la fila 1: litros en la celda A1 y Precio (€) en la cel- da B1. Escribe también en la columna A los litros 1, 2, 3, ..., hasta 6 en las celdas A2, A3, ..., hasta A7. 2. Colócate en la celda B2 y escribe el valor de un litro =1,25*A2 . Obser- va el valor que aparece. 3. Copia esta fórmula con CTRL+C y CTRL+V en las celdas B3 a B7. 4. Ahora haremos la gráfica, activando el asistente para gráficos que permitirá, mediante una serie de pasos, seleccionar el tipo de gráfico y su ubicación. Selecciona el rango de celdas A1:B7, tal como se ve en la figura y haz, en este orden, lo siguiente (después de cada paso, pulsa en , y al final del paso 4, ). • Paso 1: Gráfico: Dispersión. Subtipo: Líneas. • Paso 2 (se ve el gráfico). • Paso 3: Opciones: permite cambiar ejes, poner etiquetas, líneas de división, rótulos de datos… (alguna de estas opciones se pueden cambiar más adelante). Subtipo • Paso 4: Ubicación. Permite que la gráfica aparezca en una hoja dife- rente o en la misma hoja de trabajo. Elige la segunda opción. 5. Observa la gráfica que sale: NUEVAS TECNOLOGÍAS 6. Pon las flechas de los ejes, las etiquetas x e y, y completa la línea de la gráfica para que comience en el origen de coordenadas. EJERCICIOS 1 De la misma manera, abre una nueva hoja: 2 Abre una nueva hoja: Unidad13_3a y resuelve Unidad13_2a y realiza el ejercicio 64 el ejercicio 65 de la página 257. de la página 257. 3 Guarda el libro con → . ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 153
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 154 14 Estadística ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... La Pax Augusta Cayo Julio César Octavio Augusto, más conocido como César Augusto, nació en el año 63 a.C. y murió en el 27 d.C. Aunque él mismo nunca se dio el título de emperador, sino que se proclamó Princeps Civium, es decir, el principal ciudadano, se le considera el primer y más importante emperador romano. A los largos años de guerra civil en Roma, tras la victoria de Augusto llega un período de paz, conocido como la Pax Augusta, que se aprovecha para organizar el sistema político, militar y económico del Imperio. Gobernar un imperio tan extenso como el romano y organizar los recursos que generaba era una difícil tarea. Una de las acciones que Augusto mandó realizar fue un censo, es decir, un inventario de personas y bienes que le ayudaría a conocer la situación real del imperio. COMPETENCIA LECTORA 154 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 155 14 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Las ONG y las encuestas RECURSOS PARA EL AULA Las ONG (Organizaciones No Gubernamentales) son asociaciones que se encargan de ayudar a los países más desfavorecidos. Para ello cuentan con la ayuda de voluntarios, de suscripciones particulares y de entidades colaboradoras que las sustentan económicamente. En España, en 1999, había censadas 260 ONG, siendo algunas de las más conocidas: Manos Unidas, Médicos sin Fronteras, Fundesco, Cáritas Española, Cruz Roja Española, Unicef, etc. La Oficina de Ayuda Humanitaria de la Comunidad Europea (ECHO), creada en 1992, ha canalizado unos 5.000 millones de euros a través de estas organizaciones, sobre todo europeas. Es el mayor donante humanitario mundial junto a Estados Unidos, responsabilizándose de la financiación de la ayuda internacional en un 50 %. Por dicho motivo, con frecuencia se realizan encuestas para conocer la opinión de los ciudadanos acerca de las ONG. En una de dichas encuestas había una serie de preguntas relacionadas con este tema, algunas de las cuales reproducimos a continuación. 1.o Centrándonos en las ONG, es decir, 2.o Con independencia de que usted las Organizaciones No Gubernamentales las conozca o no, ¿cómo valora las que se caracterizan por ser asociaciones de actividades y el trabajo que desarrollan iniciativa privada, no lucrativas y dedicadas este tipo de ONG? a la solidaridad internacional y al desarrollo Muy bien ⎯→ 30,7 % de países pobres, ¿conoce usted o ha oído Bien ⎯⎯⎯ → 48,0 % hablar de la existencia de este tipo Regular ⎯→ 10,9 % de organizaciones? Mal ⎯⎯⎯ → 1,0 % Sí ⎯⎯⎯→ 88,1 % Muy mal ⎯ → 0,3 % No ⎯⎯ ⎯→ 11,7 % NS ⎯⎯⎯ → 8,4 % NS/NC ⎯→ 0,2 % NC ⎯⎯→ 0,6 % Total respuestas: 2.493 Total respuestas: 2.493 El inicio de la Estadística ¿Por qué «Estadística»? COMPETENCIA LECTORA Los primeros indicios de Estadística se encuentran En el siglo XVII, en la isla de Cerdeña, en restos prehistóricos Godofredo Achenwall pertenecientes a los Nuragas, los primeros habitantes le dio a esta ciencia de la isla. Estos monumentos donde aparecen son el nombre de bloques de basalto superpuestos sin mortero, cuyas «Estadística», que paredes muestran etimológicamente toscas señales deriva de la palabra que han sido status, y que significa interpretadas estado o situación. como signos que utilizaban para llevar la cuenta del ganado y la caza. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 155
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 156 14 Estadística CONTENIDOS PREVIOS Una TABLA ESTADÍSTICA muestra los datos recogidos en una investigación CONVIENE QUE… estadística y el número de veces que se repiten. Sepas construir una tabla estadística. Color de Azul Verde Amarillo Rojo zapatillas PORQUE… N.º de alumnos 6 9 4 3 Te será útil para organizar los datos y hacer representaciones Se lee: 6 alumnos tienen zapatillas de color azul… gráficas. Las GRÁFICAS ESTADÍSTICAS sirven para captar rápidamente CONVIENE QUE… las informaciones más relevantes del conjunto de datos. Conozcas las gráficas estadísticas. PORQUE… Las utilizarás para analizar e interpretar conjuntos de datos. Diagrama de barras Gráfico de sectores Un SECTOR CIRCULAR es la parte del círculo CONVIENE QUE… limitada por dos radios y su arco Recuerdes lo que es un sector correspondiente. circular. r Para dibujar un sector circular basta LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS r con conocer la longitud del radio y el ángulo que abarca el sector circular. PORQUE… Te hará falta para realizar gráficos estadísticos. El VALOR ABSOLUTO de un número es ese mismo número prescindiendo CONVIENE QUE… de su signo, es decir, si el número es positivo, su valor absoluto es Recuerdes qué es el valor él mismo, y si es negativo, le cambiamos de signo. absoluto de un número. El valor absoluto de −3 es ⏐−3⏐ = 3 y el valor absoluto de 3 es ⏐3⏐ = 3. PORQUE… Es necesario para calcular alguna de las medidas utilizadas en Estadística. 156 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 157 14 NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? RECURSOS PARA EL AULA xi Indica los valores o datos La notación xi indica los datos obtenidos. que obtenemos en un estudio estadístico. El índice, i, expresa el orden, es decir, x1 es el primero, x2 es el segundo… Si el número de hermanos de 10 alumnos es: 0, 3, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 1 x4 = 1, … Cuando los datos se expresan agrupados, el significado de xi no es el valor de cada dato, sino los valores que aparecen. xi = N.º de hermanos 0 1 2 3 N.º de alumnos 4 3 2 1 ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? fi Indica la frecuencia absoluta La frecuencia absoluta de un valor se suele del valor x i. representar por fi , donde el subíndice i indica que pertenece al valor x i. hi Indica la frecuencia relativa del valor x i. x i = N.º de hermanos 0 1 2 3 N Indica el número total f i = N.º de alumnos 4 3 2 1 de datos del estudio. f1 = 4 f2 = 3 f3 = 2 f4 = 1 fi La frecuencia relativa se representa por hi : hi = . N En el ejemplo: h1 = 0,4; h2 = 0,3; … LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS El número total de datos de un estudio suele denotarse con las letras N o n. En el ejemplo: N = 10. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? ∑ Indica una suma ∑fi = f1 + f2 + f3 + … es la suma de las frecuencias de elementos. absolutas. En el ejemplo: ∑fi = f1 + f2 + f3 + f4 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? x ෆ Indica la media de unos datos. La media aritmética se denota por x . ෆ Me Indica la mediana de unos datos. La mediana se suele indicar por Me, aunque Mo Indica la moda de unos datos. también se puede nombrar como Md. La moda se denota por Mo. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 157
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 158 14 Estadística EN LA VIDA COTIDIANA... Encuesta sobre la enseñanza En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Leer una encuesta. • Utilizar los datos de una encuesta para ampliar la información. • Codificar los datos de una encuesta y obtener nuevos resultados numéricos. • Efectuar una crítica constructiva de las encuestas. 1 Lectura de la encuesta El CIS (Centro de Investigaciones Sociológicas) en su estudio estadístico del Barómetro, de marzo de 2002, realizaba entre otras una serie de preguntas sobre la docencia y la educación en España. La encuesta fue realizada a 2.498 personas de ambos sexos, de 18 años y más, en todo el ámbito nacional, de las que el 48,2 % eran hombres y el 51,8 % muje- res, con las siguientes edades. Edad Porcentaje 18-25 12,8 25-35 20,7 3. bis. ¿Qué tipo de sanción considera más adecuada? 35-45 18,3 Suprimir un recreo ⎯ ⎯ → 27,1 % ⎯⎯ 45-55 14,9 Imponer tarea extra ⎯ ⎯⎯→ 44,8 % 55-65 12,7 Expulsar de clase ⎯ ⎯⎯⎯→ 14,0 % 65 o más 20,6 Otras respuestas ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 5,6 % Los 2.498 ciudadanos contestaron así: NS/NC ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 8,4 % (N.º de respuestas: 1.724) 1. ¿Cómo calificaría usted la situación de la enseñan- za en colegios? 4. ¿Cree usted que los contenidos de las materias que Muy buena ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯ 1,4 % se imparten en los colegios e institutos son sufi- Buena ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 24,8 % cientes o habría que mejorarlos? Regular ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 41,8 % Son suficientes ⎯ ⎯⎯⎯⎯→ 22,9 % Habría que mejorarlos ⎯ → 59,0 % ⎯ COMPETENCIA MATEMÁTICA Mala ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 15,9 % Muy mala ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 6,5 % NS/NC ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 18,0 % ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → NS/NC ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 9,6 % 5. ¿Cree usted que, en la actualidad, los estudiantes 2. ¿Cómo valora usted la calidad de la enseñanza que de los colegios e institutos se esfuerzan mucho, bas- reciben los alumnos en los colegios e institutos? tante, poco o muy poco por estudiar y aprender? Muy buena ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 1,8 % ⎯⎯⎯⎯⎯ Mucho ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,7 % Buena ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 32,9 % ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Bastante ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 21,5 % ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → Regular ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 40,3 % ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Poco ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 52,8 % Mala ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 13,3 % Muy poco ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 13,1 % Muy mala ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2,8 % NS/NC ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 10,9 % ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → NS/NC ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8,9 % 6. ¿Y cree usted que, en la actualidad, en los colegios 3. ¿Considera usted que los profesores deben tener e institutos se les exige a los alumnos…? la facultad de imponer sanciones a los alumnos? Mucho ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 5,8 % Sí ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 69,0 % Bastante ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 32,3 % ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → No ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 29,1 % Poco ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 42,5 % NS/NC ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,8 % Muy poco ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 5,7 % (Los que contestan Sí pasan a 3. bis) NS/NC ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 13,6 % ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 158 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 159 14 7. ¿Qué calificación de 0 a 10 daría usted a los actua- 8. ¿Cómo cree usted que valora la sociedad a los pro- les jóvenes españoles que estudian en colegios e fesores de los colegios e institutos? ¿Y cómo los va- institutos en las siguientes cuestiones? loran los padres? ¿Y los alumnos? M DT N Sociedad Padres Alumnos RECURSOS PARA EL AULA Conocimientos 5,79 1,63 2.145 Muy bien 4,8 % 13,6 % 2,0 % Esfuerzo 4,88 1,85 2.199 Bien 46,9 % 47,9 % 25,2 % Modales 3,87 2,02 2.292 Regular 32,5 % 32,1 % 34,1 % Disciplina 3,86 2,01 2.270 Mal 8,1 % 8,2 % 2,4 % Ganas de aprender 4,86 1,98 2.204 Muy mal 0,9 % 1,2 % 7,2 % Responsabilidad 4,39 2,07 2.222 NS/NC 6,8 % 7,0 % 9,0 % M: media; DT: desviación típica; N: número de respuestas. 2 Cálculo de medidas de centralización y dispersión REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. h) Haz lo mismo para la pregunta 6. a) ¿Cuántos hombres y mujeres contestaron a la en- i) ¿Qué comentario te merece la pregunta 7? Formad cuesta? grupos en clase y discutidlo, haciendo una puesta en común. b) Obtén las frecuencias absolutas, formando una ta- bla con las edades de los encuestados, y contesta. j) Para la pregunta 8 elabora, una vez codificadas las • ¿Cuántas personas tenían menos de 45 años? respuestas como en la cuestión 3, tres tablas: una ¿Y entre 35 y 55 años? para Sociedad, otra para Padres y otra para Alum- • ¿Cuántas tenían 65 años o más? nos, y obtén: • La frecuencia absoluta. c) La primera pregunta de cómo calificaría la situa- • La media aritmética. ción de la enseñanza se puede codificar dando los valores: Muy bien = 5, Bien = 4, Regular = 3, • La moda. Mal = 2, Muy mal = 1, NS/NC = 0. Forma una Compara los resultados de las tablas y coméntalos tabla y calcula. con tus compañeros. • Las frecuencias absolutas y relativas. • La calificación media, mediana y moda. COMPETENCIA MATEMÁTICA d) Haz lo mismo para la pregunta 4 sobre la calidad de la enseñanza. e) Elabora un gráfico de sectores correspondiente a la pregunta sobre las sanciones. f) Representa, en otro gráfico de sectores, los tipos de sanción, teniendo en cuenta que 1.724 perso- nas han contestado diciendo sí a la aplicación de sanciones. ¿Cuántas personas contestan a cada modalidad en la pregunta 4? g) En la pregunta 5 codifica las respuestas de esta for- ma: Mucho = 4, Bastante = 3, Poco = 2, Muy po- co = 1 y NS/NC = 0. • Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias asociado. • Obtén la puntuación media, la mediana y la moda. ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 159
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 12/9/07 13:52 Página 160 14 Estadística ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pasar de una tabla a un gráfico Estrategia La comprensión de datos estadísticos es un proceso que se inicia obteniendo unos datos que se organizan en una tabla, y que nos permitirán elaborar una gráfica en la que también podremos leer dichos datos. PROBLEMA RESUELTO Se ha realizado una encuesta sobre N.º de hijos 0 1 2 3 4 5 6 el número de hijos entre 400 familias, N.º de familias 131 127 57 61 12 9 3 con los siguientes resultados. Calcula la media aritmética y la moda. Planteamiento y resolución Debemos observar los datos que se presentan en la tabla para responder que la moda es no tener hijos, aunque también hay un alto número de familias con tres hijos. Para calcular la media aritmética hay que sumar todos los datos: 0 ⋅ 131 + 1 ⋅ 127 + 2 ⋅ 57 + 3 ⋅ 61 + 4 ⋅ 12 + 5 ⋅ 9 + 6 ⋅ 3 535 Media aritmética = = = 1, 34 400 400 ¿Se puede tener 1,34 hijos? Ten en cuenta que a veces la media aritmética no proporciona un dato que se corresponda con la realidad. PROBLEMAS PROPUESTOS APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 1 Se ha preguntado a 40 personas por el número de libros leídos en un año, y hemos obtenido la siguiente tabla de resultados. Libros leídos 0-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 N.º de personas 11 3 7 5 4 4 2 4 Haz un diagrama de barras para estos datos. 2 La estatura (en m) de 40 alumnos de 2.º ESO es: 1,87 - 1,72 - 1,57 - 1,78 - 1,89 - 1,69 - 1,64 - 1,81 - 1,86 - 1,65 - 1,64 - 1,57 - 1,94 - 1,86 - 1,81 - 1,53 - 1,55 - 1,56 - 1,87 - 1,48 - 1,91 - 1,55 - 1,77 - 1,57 - 1,88 - 1,63 - 1,93 - 1,83 - 1,89 - 1,79 - 1,58 - 1,56 - 1,82 - 1,55 - 1,67 - 1,95 - 1,49 - 1,56 - 1,89 - 1,64 Agrupa los datos en ocho intervalos de clase. Construye la tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas, calculando la moda y la media aritmética. Haz un diagrama de barras. 160 ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 829485 _ 0130-0161.qxd 21/9/07 12:39 Página 161 14 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL RECURSOS PARA EL AULA Abre el libro FUNC_ESTAD2 de tu carpeta personal e inserta una nueva hoja Unidad14_1a. PRÁCTICA 1 (ejercicio 24, pág. 269) 1. Escribe los rótulos de la fila 1, tal como se ve en la figura del margen. 2. Escribe los valores de los datos (xi) en la columna A y las frecuencias en la columna B (fi ). 3. Escribe los rótulos de las celdas A6 y B8. 4. Colócate en la celda C2 y escribe la fórmula siguiente: =A2*B2 y, de la misma manera que antes, copia la fórmula en el resto de celdas de la columna C: de C3 a C5. 5. En la celda B6 escribe la fórmula siguiente: =suma(B2:B5) . 6. Cópiala en la celda C6. 7. Colócate en la celda C9 y escribe la fórmula: =C6/B6 que dará la me- dia de todos los datos. PRÁCTICA 2 (ejercicio 55, pág. 276) De forma análoga a como se ha hecho en la unidad anterior, podemos rea- lizar gráficas con los datos. 1. Abre una nueva hoja Unidad14_2a e introduce los datos tal como se ve en el margen. 2. Activa el menú Insertar | Gráfico o el icono de la barra de herra- mientas. 3. Selecciona el tipo y el subtipo . NUEVAS TECNOLOGÍAS 4. En el paso 2 selecciona: . 5. En el paso 3 puedes poner título al gráfico: Deportes favoritos, y activar en la pestaña de las etiquetas de datos el nombre de las categorías. 6. En el paso 4 haz que la ubicación sea en la misma hoja de trabajo. 7. Observa al margen el resultado del gráfico. EJERCICIOS 1 De la misma manera que en la Práctica 1, abre 2 De forma análoga que en la Práctica 2, pero una nueva hoja Unidad14_3a y calcula cambiando el tipo de gráfico, representa la media de los datos del ejercicio 60 los datos del ejercicio 52 de la página 276. de la página 277. 3 Guarda el libro con → . ࡯ MATEMÁTICAS 2.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 161