3ºeso propuestas para_la_evaluacion_3ºeso_santillana
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    3ºeso propuestas para_la_evaluacion_3ºeso_santillana 3ºeso propuestas para_la_evaluacion_3ºeso_santillana Document Transcript

    • 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 419 1 Números racionales INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad tiene un carácter procedimental Se recomienda comenzar la unidad comprobando y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todo y repasando, si es necesario, los conceptos más en el uso de fracciones y números decimales. importantes sobre divisibilidad y las distintas Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidad interpretaciones de una fracción: como cociente son conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzar de dos números, como resultado de una medida el método de trabajo de manipulación de fracciones, y como operador, dejando clara la interpretación así como también se deben ampliar algunos conceptos de fracciones positivas y negativas; la diferencia entre de transformaciones de fracciones y decimales, las fracciones propias e impropias; la representación e introducir la clasificación de números de fracciones mediante figuras geométricas y la representación gráfica de números racionales. y las operaciones con fracciones. Los conocimientos A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar previos que han de tener los alumnos son: a los alumnos sobre la presencia de las fracciones • Criterios de divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m. en distintos contextos: situaciones de compra de dos o más números. o consumo, figuras geométricas, informaciones • Interpretación de un número fraccionario. en medios de comunicación… • Representación de fracciones. CONTENIDOS NÚMEROS RACIONALES • Concepto de fracción. Interpretación de una fracción. Fracciones equivalentes. Fracción irreducible. • Ordenación y comparación de fracciones. • Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicación y división de fracciones. • Concepto y tipos de números decimales. • Fracciones y números decimales. Reglas de conversión. • Números racionales y fracciones. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial es un resumen de los contenidos de La prueba que se ha diseñado contiene todos los conte- «Divisibilidad» y «Fracciones», de 2.º ESO, haciendo hin- nidos procedimentales de la unidad. Las actividades se capié en aquellos procedimientos más básicos: calcu- pueden resolver fácilmente, ya que es una unidad de lar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números, averiguar la revisión de conceptos y procedimientos estudiados en fracción que representa una parte de un gráfico, repre- cursos anteriores. Las últimas actividades: problemas sentar gráficamente una fracción y alguna de las ope- y clasificación de números, son las que pueden resultar raciones básicas: suma y multiplicación de fracciones más complicadas a los alumnos. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN y simplificación de fracciones. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 419
    • 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 420 1 NÚMEROS RACIONALES EVALUACIÓN INICIAL 1 Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por? Número 2 3 5 7 11 13 12 434 825 30 468 11 2 Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m. 132 154 3 El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone su área respecto del área total del tangram. b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos? c) Si el área total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas? 4 Representa gráficamente las siguientes fracciones. 3 3 9 a) b) c) 8 10 20 5 Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado. 5 5 8 + ⋅ = 18 6 5 420 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 421 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por? Número 2 3 5 7 11 13 12 Sí Sí No No No No 434 Sí No No Sí No No 825 No Sí Sí No Sí No 30 Sí Sí Sí No No No 468 Sí Sí No No No Sí 11 No No No No Sí No 2 Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m. 132 2 154 2 66 2 77 7 m.c.d. (132, 154) = 2 ⋅ 11 = 22 33 3 11 11 F 11 11 1 m.c.m. (132, 154) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 924 1 3 El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone su área respecto del área total del tangram. 1 1 1 A1 = A 2 = , A 3 = A6 = , A 4 = A 5 = A7 = 1 4 16 8 b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos? 2 3 4 ⎛1 1⎞ 1 3 A T = 1 − ( A 4 + A5 ) = 1 − ⎜ + ⎟ = 1 − ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎝8 8⎠ ⎟ 4 4 5 2 6 7 c) Si el área total del tangram es 32 cm , ¿cuál es el área de cada una de las piezas? A1 = A 2 = 8 cm 2 , A 3 = A6 = 2 cm 2 , A 4 = A5 = A7 = 4 cm 2 4 Representa gráficamente las siguientes fracciones. 3 3 9 a) b) c) 8 10 20 a) b) c) PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 5 Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado. 5 5 8 5 8 5 +8⋅3 29 + ⋅ = + = = 18 6 5 18 6 18 18 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 421
    • 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 422 1 NÚMEROS RACIONALES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 15 Obtención de fracciones 1 Escribe una fracción equivalente a y cuyo denominador sea 80. equivalentes mediante 48 amplificación y simplificación. 5 Determinación 2 De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a . de si dos fracciones 15 son o no equivalentes. 6 7 11 15 18 20 23 21 21 30 45 55 60 65 128 144 Búsqueda de fracciones 3 Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones: y . equivalentes a una dada. 1.024 54 7 14 23 33 Comparación y ordenación 4 Ordena las siguientes fracciones: , , , . de fracciones. 4 5 11 14 2 7 Operaciones con fracciones. 5 Completa la suma: + = . 3 5 6 Opera y simplifica. 5 ⎡⎢ 3 ⎛ 5 15 ⎞⎤⎥ ⎟ a) ⋅ −⎜ : ⎜ ⎟ ⎟ 9 ⎢⎣ 4 ⎜ 7 ⎝ 2 ⎠⎥⎦ ⎟ 7 ⎡⎢ 5 ⎛ 6 42 ⎞⎤⎥ ⎟ ⋅ −⎜ − ⎟ b) 5 ⎣⎢ 32 ⎜ 27 ⎜ ⎝ ⎟ 24 ⎟⎥⎦ ⎠ CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 8 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 9 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 5, 6, 10, 11 422 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 423 Reconocimiento 7 Sin realizar ninguna división, clasifica estos números en enteros, y clasificación de números. decimales exactos o decimales periódicos. 7 40 128 35 13 15 , , , , , 40 7 8 15 128 34 8 Completa la siguiente tabla. N Z Q I 13 − 7 23 −7,8 8 2 Obtención 9 Obtén la fracción generatriz de los números decimales. de la fracción generatriz de un número decimal a) 12,05 b) 12,05 c) 12,05 exacto o periódico. Resolución de problemas 10 En la fabricación de sulfato sódico, por cada 142 g del producto final, con fracciones. 32 g son de azufre, 64 g de oxígeno y 46 g de sodio. Expresa mediante una fracción los gramos de azufre, oxígeno y sodio que son necesarios para fabricar 100 g de sulfato. 4 11 De la clase de 3.º ESO, las partes son chicos. ¿Qué fracción representa 7 el número de chicas? ¿Cuántas chicas hay si son 28 alumnos en total? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 5, 7, 11 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 423
    • 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 424 1 NÚMEROS RACIONALES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 15 x 15 ⋅ 80 15 25 1 Fracción equivalente. = → x = = 25 → = 48 80 48 48 80 2 Fracción equivalente. 6 7 11 15 18 20 23 21 21 30 45 55 60 65 128 27 1 1 144 24 ⋅ 32 8 3 Fracciones irreducibles. = 10 = 3 = = = 1.024 2 2 8 54 2 ⋅3 3 3 7 23 33 14 4 Ordenación de fracciones. < < < 4 11 14 5 7 2.695 14 4.312 23 3.220 33 3.630 Común denominador: → → → → 4 1.540 5 1.540 11 1.540 14 1.540 2 7 7 2 7 ⋅ 3 −2 ⋅ 5 11 5 Operación inversa. + x = → x = − = = 3 5 5 3 15 15 6 Cálculo. 5 ⎡⎢ 3 ⎜ 5 15 ⎞⎤⎥ ⎛ ⎟ = 5 ⋅ ⎛ 3 − 10 ⎜ ⎞ ⎟ = 5 ⋅ 315 − 40 = 5 ⋅ 275 = 1.375 = 275 a) ⋅ −⎜ : ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 9 ⎢⎣ 4 ⎝ 7 2 ⎠⎥⎦ ⎟ 9 ⎝4⎜ 105 ⎟ ⎠ 9 420 3.780 . 3.780 756 7 ⎡⎢ 5 ⎛ 6 42 ⎞⎤⎥ ⎟ = 7 ⋅ ⎛ 5 − 6 ⋅ 8 − 42 ⋅ 9 ⎞ = 7 ⋅ ⎛ 5 + 330 ⎜ ⎟ ⎜ ⎞ ⎟ = 7 ⋅ 1.455 = 679 ⋅ −⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) 5 ⎣⎢ 32 ⎜ 27 ⎜ ⎝ ⎟ 24 ⎟⎥⎦ ⎠ 5 ⎜ 32 ⎝ 216 ⎟ ⎟ ⎠ 5 ⎜ 32 ⎝ 6 216 ⎟ ⎟ ⎠ 5 864 288 7 40 128 35 13 15 7 Clasificación. 40 7 8 15 128 34 D. Exacto D. Periódico Entero D. Periódico D. Exacto D. Periódico 1.205 241 8 9 a) 12,05 = = N Z Q I 100 20 13 1.205 − 120 1.085 217 − b) 12,05 = = = 7 90 90 18 1.205 − 12 1.193 23 c) 12,05 = = 99 99 −7,8 8 2 10 Por 100 g de sulfato sódico. 32 x 1.600 64 y 3.200 Azufre: = → x = Oxígeno: = → y = 142 100 71 142 100 71 46 z 2.300 Sodio: = → z = 142 100 71 4 7 −4 3 3 3 3 ⋅ 28 11 En el aula. 1 − = = son chicas; de 28 = ⋅ 28 = = 12 chicas 7 7 7 7 7 7 424 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 425 2 Números reales INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS En esta unidad se trabajan los números decimales, Esta unidad está relacionada con los contenidos de su relación con las fracciones y el uso de potencias. «Números decimales» y «Potencias y raíz cuadrada». Los contenidos siguen siendo básicamente Los conocimientos previos son los relativos a: procedimentales. Al acabar la unidad los alumnos • Potencias con base entera. han de saber manipular perfectamente las potencias • Trabajo con números decimales y en notación y la notación científica, que son esenciales en otras científica. áreas de las Matemáticas. Uno de los aspectos más importantes de la unidad es el concepto de número irracional y la estimación y aproximación de números. CONTENIDOS NÚMEROS REALES 1. Números racionales. • Potenciación de números racionales. Potencias de exponente positivo. Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias. • Operaciones con potencias. • Potencias de base 10. Notación científica. • Operaciones con números expresados en forma científica. 2. Concepto de número real. • Número con una expresión decimal finita o infinita. Números racionales e irracionales. • Posición de un punto en una recta numérica. • Aproximación de números reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento. Reglas de uso. • Error cometido en las aproximaciones y operaciones con números reales. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial es un resumen de los contenidos de La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera par- «Potencias y raíz cuadrada», de 2.º ESO, en el que se te (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso de hace hincapié en los conceptos básicos de las potencias: las potencias y de manipulación de números mediante cálculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2) notación científica, que se pueden trabajar con la calcu- e inversas (actividad 3), así como el cálculo con núme- ladora y que sirven para conocer los diferentes tipos de ros en notación científica (actividad 5). calculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es de trabajo con los números reales: aproximaciones y re- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN presentación gráfica, siendo las dos últimas actividades problemas para realizar con la calculadora. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 425
    • 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 426 2 NÚMEROS REALES EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe la descomposición factorial de los siguientes números. a) 810 c) 4.455 b) 31.752 d) 33.275 2 Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias. Base Exponente Resultado 23 (−3)2 ⎛1⎞ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ 3⎞ 2 ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 7⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 3 Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora. Arista 3 5 Volumen 27 729 4.913 Área de una cara 9 64 4.225 4 Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 27 = 28 = Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236? 5 Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población? 426 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 427 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Escribe la descomposición factorial de los siguientes números. a) 810 = 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 c) 4.455 = 3 4 ⋅ 5 ⋅ 11 b) 31.752 = 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2 d) 33.275 = 52 ⋅ 113 2 Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias. Base Exponente Resultado 3 2 2 3 8 (−3)2 −3 2 9 ⎛1⎞ 4 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜5⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 5 625 ⎛ 3⎞ 2 3 9 ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ − 2 ⎜ 7⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 7 49 3 Completa la tabla con la calculadora. Arista 3 9 8 5 65 17 Volumen 27 729 512 125 274.625 4.913 Área de una cara 9 81 64 25 4.225 289 4 Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236? Se repite la última cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …}; por tanto, la potencia 2 36 tendrá la misma última cifra que 2 4, es decir, un 6. 5 Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población? Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante: 250 ⋅ 10 6 = 1, 25 ⋅ 10 6 días. Luego dividimos esta cantidad entre el número de habitantes PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 200 1, 25 ⋅ 10 6 que tiene la población: ≈ 94 días. 13.350 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 427
    • 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 428 2 NÚMEROS REALES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Cálculo de potencias 1 Calcula las siguientes potencias. con exponentes negativos. −2 ⎛1⎞ a) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) ((−3)2)−2 ⎝5⎟ ⎜ ⎠ ⎟ Aplicación de las 2 Expresa como una sola potencia. propiedades de las potencias. −4 ⎛1⎞ 32 ⋅ 93 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ 27−2 ⎜3⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 3 Calcula y simplifica la siguiente potencia. (8 ⋅ 4−2)3 Expresión de un número 4 Escribe en notación científica estos números o expresiones numéricas. en notación científica. a) 1.700.000.000 b) 0,0000000017 c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 Trabajo con números 5 Opera mediante la notación científica. y potencias en notación científica. (6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3 6 Calcula el término que falta. a) 3,2 ⋅ 105 + = 5,7 ⋅ 106 b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ = 2,7 ⋅ 104 Determinación de 7 Trunca y redondea los siguientes números o expresiones numéricas aproximaciones decimales a las milésimas. de números racionales e irracionales hasta las a) 5 décimas, centésimas… 19 b) 6 3 c) − 0,3 5 CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 3, 5, 6, 10 428 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 429 Representación de números 8 Representa el número 5 en la recta real de forma exacta. e intervalos en la recta real. 9 Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos ⎛ 7⎤ ⎛ 5 17 ⎞ ⎟. Luego comprueba si los números 14 A = ⎜−3, ⎜ ⎥ yB = ⎜ , ⎜ ⎟ ⎟ 5 y− ⎜ ⎝ 3 ⎥⎦ ⎜ ⎝2 4 ⎠⎟ 5 pertenecen o no a los intervalos. Resolución de problemas 10 Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro con un diámetro de unas 7 millonésimas con diferentes tipos de metro y unas 2 millonésimas de altura. ¿Cuál es su volumen? de números y aproximaciones. 11 En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 ¬ ± 3 %. ¿Entre qué dos valores estará comprendida la cantidad de aceite que contiene? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 8, 9 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 7, 11 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 429
    • 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 430 2 NÚMEROS REALES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES −2 ⎛1⎞ 1 1 1 a) ⎜ ⎟ = ((5) −1) −2 = 52 = 25 ⎜ ⎟ b) ((−3)2)−2 = ( 3 2 ) −2 = 3 −4 = = ⎜5⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 3 4 81 −4 ⎛1⎞ 2 Cálculo. 32 ⋅ 93 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⋅ 27−2 = 3 2 ⋅ ( 3 2 ) 3 ⋅ ( 3 −1 ) −4 ⋅ ( 3 3 ) −2 = 3 2 +6 + 4 −6 = 3 6 ⎟ ⎝ ⎠ 3 Cálculo y simplificación. (8 ⋅ 4−2) 3 = (2 3 ⋅ (2 2) −2) 3 = (2 3−4) 3 = (2 −1) 3 = 2 −3 4 Notación científica. a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 10 9 b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10 −9 c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 = 2,5 ⋅ 10 + 3,2 ⋅ 10 −6 − 2 ⋅ 10 −5 = −3 = (2.500 + 3,2 − 20) ⋅ 10 −6 = 2,4832 ⋅ 10 −3 5 (6,5 ⋅ 10 7 − 0,23 ⋅ 10 9) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = ((6,5 − 23) ⋅ 10 7) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = = −16,5 ⋅ 10 7 ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = −84,15 ⋅ 10 4 = 8,415 ⋅ 10 5 6 a) 3,2 ⋅ 105 + A = 5,7 ⋅ 106 → A = 5,7 ⋅ 10 6 − 3,2 ⋅ 10 5 = (5,7 − 0,32) ⋅ 10 6 = 5,38 ⋅ 10 6 2 , 7 ⋅ 10 4 b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ B = 2,7 ⋅ 104 → B = = 1, 8 ⋅ 10 7 1, 5 ⋅ 10 −3 7 Truncamiento y redondeo. Redondeo Truncamiento a las milésimas a las milésimas 5 = 2 , 23606 … 2,236 2,236 19 = 3 ,1666 … 3,167 3,166 6 3 3 1 4 − 0,3 = − = = 0 , 2666 … 0,267 0,266 5 5 3 15 8 Mediante el teorema de Pitágoras. 5 = 2 2 + 12 → 5 = 2 2 + 12 → Triángulo de catetos 2 y 1 1 0 1 2 5 3 4 9 Representación de intervalos. 14 7 14 ⎛ 5⎤ 7 ⎛ 5⎞ ⎟ −3 < − ≤ →− ∈ ⎜−3 , ⎜ ⎥ −3 < 5 < → 5 ∈ ⎜−3 , ⎜ ⎟ ⎟ 5 3 5 ⎜ ⎝ 2 ⎥⎦ 3 ⎜ ⎝ 2⎟ ⎠ 14 5 − 5 5 2 −3 −2 −1 0 1 2 7 3 4 17 5 3 4 ⎛7 ⎞ 2 π ⋅ 49 ⋅ 2 10 Glóbulo rojo. V = π ⋅ ⎜ ⎜ ⋅ 10 −6 ⎟ ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = ⎟ ⎟ ⋅ 10 −12 +( −6 ) ≈ 7 ,7 ⋅ 10 −17 m 3 2 ⎜2 ⎝ ⎟ ⎠ 4 11 Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225 → 0,75 ± 0,0225 → Intervalo: (0,7275; 0,7725) 430 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Página 431 3 Polinomios INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad continúa el estudio algebraico comenzado En el curso anterior se comenzó el estudio en cursos anteriores. La utilización del lenguaje de las expresiones algebraicas, que es fundamental algebraico es fundamental en el proceso tanto en este tema como en los relativos de abstracción matemático y será básico al trabajar a ecuaciones y sistemas. Conviene revisar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones. estos aspectos. Los dos aspectos más importantes de la unidad son: • Operaciones con números desconocidos mediante la división de polinomios, que es necesaria para hallar el lenguaje algebraico. raíces de polinomios, y los productos notables. • Cálculo de sumas y restas de monomios Será interesante hacer ver a los alumnos que semejantes. las expresiones algebraicas se utilizan en numerosos • Trabajo con igualdades notables. aspectos de la economía, física, química, etc., y en diferentes operaciones o ecuaciones. CONTENIDOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS • Monomios. Operaciones. • Polinomios. Valor numérico de un polinomio. • Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones. • División de polinomios. • Regla para sacar factor común en un polinomio. • Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia. • Fracciones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial es un resumen de los contenidos de La prueba que se ha diseñado contiene actividades re- «Expresiones algebraicas», de 2.º ESO, y se hace hin- lativas a los contenidos que se trabajan en la unidad, capié en la transformación de expresiones algebraicas, sobre todo el cálculo con polinomios: sacar factor co- operaciones con monomios y valor numérico de un po- mún, reducir, operaciones con polinomios… Conviene linomio, ya que el resto de conceptos del curso anterior trabajar la parte final (actividades 8 a 11): división de se vuelven a revisar en este curso y, por tanto, apare- polinomios y binomios notables, tanto en su aplicación cen en las actividades de la unidad. directa como inversa. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 431
    • 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Página 432 3 POLINOMIOS EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa mediante el lenguaje algebraico. a) Un múltiplo de 9. b) El cubo de un número. c) Un número impar. d) Un múltiplo común de 3 y 4. 2 Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados. a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo. b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto. c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto. d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche. e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo. 3 Opera con los monomios. P (x) = −3x 2 R (x) = 5x 2 T (x) = −6x Q (x) = 4x S (x) = 7 P (x) + R (x) = Q (x) − T (x) = P (x) + S (x) = P (x) ⋅ T (x) = 4 Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. P (x) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯ P (3) = → P (x) = −3x + 3x 2, si x = 2 → P (2) = P (x) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → P (−2) = 432 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 433 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Expresa mediante el lenguaje algebraico. a) Un múltiplo de 9 → 9 n b) El cubo de un número → n3 c) Un número impar → 2 n + 1 d) Un múltiplo común de 3 y 4 → 12 n 2 Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados. a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo → v3 = 5 v1 v2 b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto → v1 = 4 c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte v + v3 de la suma de las velocidades del coche y la moto → 2 v1 = 2 9 d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche → 2 v2 = v3 v3 e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo → = v1 6 3 Opera con los monomios. P (x) = −3x 2 R (x) = 5x 2 T (x) = −6x Q (x) = 4x S (x) = 7 P (x) + R (x) = 2 x2 Q (x) − T (x) = 10 x P (x) + S (x) = −3 x2 + 7 P (x) ⋅ T (x) = 18 x3 4 Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. P (x) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯ P (3) = 12 + 3 = 15 → P (x) = −3x + 3x 2, si x = 2 → P (2) = −6 + 12 = 6 P (x) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → P (−2) = ((−2) 2 − 4) 2 = 0 2 = 0 PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 433
    • 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 434 3 POLINOMIOS contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción entre coeficiente, 1 Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado. parte literal y grado de un monomio. Monomio Coeficiente Parte literal Grado 12x 3 −7ab 2 7 5 x 2y 3 2 2 3 2 mn p 3 Obtención de factor común 2 Saca factor común. en expresiones algebraicas. 2 4 7x 3 yz 2 + xyz 3 − x 2 y 2z 3 5 Reducción y ordenación 3 Reduce y ordena el siguiente polinomio. de polinomios. P (x ) = 4 x − 3 x 2 + 5 − 3 x + 7 x 3 − 2 x 2 − 3 x 3 + 4 Determinación del valor 4 Determina el grado y el término independiente del polinomio anterior. numérico de una expresión. Calcula su valor numérico para x = −3. Cálculo de sumas, restas 5 Halla el resultado de esta operación entre polinomios. y productos de diferentes polinomios. (7x 2 + 3x − 2) ⋅ (2x 2 − 5x + 8) 6 Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 6, 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 8, 10 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 8, 9, 10, 11 434 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 435 7 Dados los polinomios: P (x ) = x 4 − 2 x + 3 Q (x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 M (x ) = x + 4 realiza las siguientes operaciones. a) P (x ) − Q (x ) b) Q (x ) ⋅ M (x ) c) P (x ) : M (x ) División de polinomios. 8 Haz la división y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto. (x 5 + 4 x 4 − 3x 3 + 5 x − 2) : (x + 1) Trabajo con los 9 Efectúa los siguientes productos notables. productos notables. a) (x 2 − 4)(x 2 + 4) b) (2x + 3)2 Determinación 10 Expresa en forma de producto estos polinomios. de cuadrados perfectos. a) x 2 + 6x + 9 b) 9y 2 + 30y + 25 Simplificación de fracciones 11 Opera y simplifica las siguientes fracciones. algebraicas. 8 x 2 y 3z a) 4 xy 4 z 2 x 3 − 6x 2 b) 3x x 2 − 3x c) x2 − 9 CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 10 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 435
    • 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 436 3 POLINOMIOS EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Tabla. Monomio Coeficiente Parte literal Grado 12x 3 12 x3 3 −7ab 2 −7 ab2 3 7 5 x 2y 3 7 5 x2y3 5 2 2 3 2 2 mn p m2n3p2 7 3 3 2 4 ⎛ 2 2 4 ⎞ 2 Factor común. 7x 3 yz 2 + xyz 3 − x 2 y 2z = xyz ⎜7 x 2 z + ⎜ z − xy⎟ ⎟ ⎟ 3 5 ⎜ ⎝ 3 5 ⎠⎟ 3 P( x) = ( 7 x 3 − 3 x 3 ) + ( −3 x 2 − 2 x 2 ) + ( 4 x − 3 x ) + ( 5 + 4 ) = 4 x 3 − 5 x 2 + x + 9 4 Grado: 3. Término independiente: 9. Valor numérico: P( −3 ) = 4 ⋅ ( −3 ) 3 − 5 ⋅ ( −3 ) 2 + ( −3 ) + 9 = −147 5 (7x 2 + 3x − 2) ⋅ (2x 2 − 5x + 8) = 14 x4 − 35 x3 + 56 x2 + 6 x3 − 15 x2 + 24 x − 4 x2 + 10 x − 16 = = 14 x4 − 29 x3 + 37 x2 + 34 x − 16 6 Polinomio opuesto. −P( x ) = −14 x 4 + 29 x 3 − 37 x 2 − 34 x + 16 7 a) P (x) − Q (x) = x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 4 b) Q (x) ⋅ M (x) = 2 x 4 + 5 x 3 − 12 x 2 − x − 4 resto 267 c) P (x) : M (x) = x 3 − 4 x 2 + 16 x − 66 + cociente x+4 8 −x 5 + 4x 4 − 3x 3 + 5x − 2 x+1 −x − 4x − 3x + 5x − 2 5 4 3 x4 + 3 x3 + 5 −x5 + 3 x4 − 3 x3 −x5 − 3 x4 − 3 x3 + 5x − 2 + 5x − 5x − 5 −7 9 Productos notables. a) (x 2 − 4)(x 2 + 4) = x4 − 16 b) (2x + 3)2 = 4x2 + 12 x + 9 10 Productos notables. a) x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 b) 9y 2 + 30y + 25 = (3 y + 5) 2 11 Simplificación de fracciones algebraicas. 8 x 2 y 3z 2x x 2 − 3x x( x − 3 ) x a) = c) = = 4 xy 4 z 2 yz x2 − 9 ( x − 3 )( x + 3 ) x+3 x 3 − 6x 2 x2 ( x − 6 ) x( x − 6 ) b) = = 3x 3x 3 436 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 437 4 Ecuaciones de 1. er y 2. grado o INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Los contenidos de esta unidad son fundamentales Se consideran tres aspectos básicos en el estudio en las Matemáticas. Las ecuaciones de primer grado de esta unidad: y de segundo grado ya se han trabajado en el primer • Conocimientos previos de la aritmética de ciclo y no deberían presentar dificultades a los los números reales (Unidades 1 y 2 de 3.º ESO). alumnos. • Conceptos y procedimientos sobre ecuaciones La dificultad del tema se presentará al trabajar estudiados en el curso anterior. con expresiones algebraicas y en la resolución • Conceptos y procedimientos de cálculo de problemas con ecuaciones. Por ello, será con expresiones algebraicas trabajados conveniente plantear problemas de la vida cotidiana en el curso anterior, así como también y próximos a los alumnos. la Unidad 3 de 3.º ESO. Además, será básico tener capacidad para plantear problemas mediante ecuaciones y contrastar los resultados con la situación planteada. CONTENIDOS ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO • Concepto de ecuación. • Elementos del lenguaje: miembros de una ecuación, términos, coeficientes, grado, incógnitas y solución. • Tipos de ecuaciones según el grado, el número de incógnitas y el número de soluciones. • Equivalencia de ecuaciones. • Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolución. • Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolución. • Resolución de problemas con ecuaciones. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas La prueba contiene actividades de procedimientos de la a comprobar que los alumnos tienen asimilados los unidad: ecuaciones de primer grado con y sin parénte- conceptos básicos sobre ecuaciones y su resolución: sis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundo mental, por el método de ensayo-error o por métodos grado incompletas y completas. También hay una serie más generales. Se ofrecen también un par de activida- de problemas para resolver con ecuaciones. Es funda- des para trabajar con números y con expresiones alge- mental plantear correctamente los problemas, ya que braicas. se repasan conceptos conocidos por los alumnos tanto de cuestiones numéricas como geométricas. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 437
    • 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 438 4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO EVALUACIÓN INICIAL 1 Calcula y simplifica. 4 ⎛3 1⎞ ⎛3 2⎞ ⋅⎜ − ⎟−⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ 5 ⎜ ⎝2 6⎠ ⎜4 ⎟ ⎟ 7⎠ 2 Opera y simplifica las expresiones algebraicas. a) x (x + 3) − (2x + 1) b) x (3 − x) + 3x 2 − 5(x + 3) x x −1 2(x + 4) c) + − 2 3 5 3 Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios. Monomio Coeficiente Parte literal Grado −5xz 2 −5 xz 2 3 8x 3y 2 17x 6 −10,7a 3b 4 4 Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error. Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución y x+4=7 =2 5 y−3=5 8−z=6 2x = 8 3z − 2 = 10 5 Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126. 6 Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 3x 2 − 75 = 0 b) x 2 + 4 = 0 438 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 439 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Calcula y simplifica. 4 ⎛3 1⎞ ⎛3 2⎞ 4 8 13 32 13 448 − 195 253 ⋅⎜ − ⎟−⎜ − ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ ⋅ − = − = = 5 ⎜ ⎝2 6⎠ ⎜4 ⎟ ⎟ 7⎠ 5 6 28 30 28 420 420 2 Opera y simplifica las expresiones algebraicas. a) x (x + 3) − (2x + 1) = x2 + 3 x − 2 x − 1 = x2 + x − 1 b) x (3 − x) + 3x 2 − 5(x + 3) = 3 x − x2 + 3 x2 − 5 x − 15 = 2 x2 − 2 x − 15 x x −1 2(x + 4) 15x + 10 ( x − 1) − 12 ( x + 4 ) 15x + 10 x − 10 − 12 x − 48 c) + − = = = 2 3 5 30 30 13 x − 58 = 30 3 Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios. Monomio Coeficiente Parte literal Grado −5xz 2 −5 xz 2 3 8x 3y 2 8 x3 y2 5 6 6 17x 17 x 6 −10,7a 3b 4 −10,7 a3b4 7 4 Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error. Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución y x+4=7 x 3 =2 y 10 5 y−3=5 y 8 8−z=6 z 2 2x = 8 x 4 3z − 2 = 10 z 4 5 Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126. Llamamos x y x + 2 a dichos números. Por tanto: x + ( x + 2) = 126 → 2 x + 2 = 126 → 124 → 2 x = 124 → x = = 62 2 Los números son 62 y 64. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 6 Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas. 75 ⎧ ⎪x = 5 a) 3x 2 − 75 = 0 → x 2 = = 25 → x = ± 25 → ⎨ 1 3 ⎪ x 2 = −5 ⎪ ⎩ b) x 2 + 4 = 0 → x 2 = −4 → x = ± −4 → No tiene solución real. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 439
    • 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 440 4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción de si una igualdad 1 Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades. es ecuación o identidad. a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x) + 4x − 5 b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2 Resolución de ecuaciones 2 Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: 6x − 7 = 2x + 5. de primer grado mediante diferentes métodos. 3x − 5 2x + 8 3 Resuelve la ecuación de primer grado: = x − . 7 5 4 Resuelve la ecuación de primer grado: 3(2x − 5) + 4(7 − 2x) = 2x − 3(2x − 8). Resolución de ecuaciones 5 Resuelve la ecuación de segundo grado: 2x 2 = 18. de segundo grado completas e incompletas. 6 Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 5x = 0. 7 Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 − 5x + 4 = 0. 8 Resuelve la ecuación de segundo grado: x (x + 4) = 3(x − 8). CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 9 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 9 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-13 440 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 441 Determinación 9 Halla el valor de b en la ecuación x 2 + bx − 20 = 0, sabiendo que una del discriminante de sus soluciones es x1 = 4. Calcula el valor del discriminante de una ecuación y la otra solución. de segundo grado. Resolución de problemas 10 La suma de tres números impares consecutivos es 135. de diferentes tipos, Determina dichos números. mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. 11 ¿Por qué número hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triple de dicho número? 12 Halla los tres números consecutivos que cumplen que la suma de los cuadrados del menor y el mayor es igual al cuadrado del número intermedio más 18. 13 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor y 2 cm más que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres lados del triángulo. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 441
    • 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 442 4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x) + 4x − 5 → 4 x − 6 = 2 x + 1. Es una ecuación. b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2 ⎯ 3 x − 6 = 3 x − 6. Es una identidad. → 12 2 6x − 7 = 2x + 5 → 6 x − 2 x = 5 + 7 → 4 x = 12 → x = = 3 4 3x − 5 2x + 8 3 Ecuación de primer grado. = x− 7 5 Eliminamos denominadores: 15 x − 25 = 35 x − (14 x + 56) Quitamos paréntesis: 15 x − 35 x + 14 x = 25 − 56 → −6 x = −31 31 Despejamos la x: x = 6 4 Quitamos paréntesis: 6 x − 15 + 28 − 8 x = 2 x − 6 x + 24 Transponemos términos: 2 x = 11 y despejamos la x: x = 5,5 18 5 2x 2 = 18 → x 2 = = 9 → x = ± 9 . Dos soluciones: x1 = 3 y x2 = −3 2 6 x 2 + 5x = 0 → x (x + 5) = 0. Dos soluciones: x1 = 0 y x2 = −5 5 ± 52 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 5 ±3 x1 = 4 7 x 2 − 5x + 4 = 0 → x = = 2 ⋅1 2 x2 = 1 8 x (x + 4) = 3(x − 8) → x2 + x + 24 = 0 −1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 24 −1 ± −95 x = = → No tiene solución. 2 ⋅1 2 9 Discriminante y soluciones. Si una solución es 4 → 42 + b ⋅ 4 − 20 = 0 → 4 b = 4 → b = 1 El discriminante es: ∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−20) = 1 + 80 = 81 −1 ± 81 x1 = 4 La otra solución es: x = 2 x2 = −5 10 Números impares. Llamamos x al número menor: x + (x + 2) + (x + 4) = 135 → 3x = 135 − 6 = 129 Despejamos: x = 43 → 43, 45 y 47 108 108 11 Números. Llamamos x a dicho número: = 3 x → 108 = 3 x 2 → x 2 = = 36 → x = ±6 x 3 12 Tres números. x 2 + ( x + 2 ) 2 = ( x + 1) 2 + 18 → x 2 + x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 18 → ⎧ ⎪x = 3 → 3, 4 y 5 → x 2 + 2 x − 15 = 0 → ⎨ 1 ⎪ x 2 = −5 → −5 , −4 y − ⎪ ⎩ 3 13 Triángulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos serán x − 2 y x − 4. x2 = ( x − 2) 2 + ( x − 4) 2 → x2 = x2 − 4 x + 4 + x2 − 8 x + 16 → → x2 − 12 x + 20 = 0 → x1 = 10, x2 = 2 (no válida) Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. 442 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 443 5 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Los contenidos de esta unidad son continuación Se pueden considerar básicos los conceptos de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental estudiados en 2.º ESO, «Ecuaciones y sistemas», que los alumnos sepan resolver las ecuaciones así como también la Unidad 4 de 3.º ESO, de primer grado. También es importante «Ecuaciones de 1.er y 2.º grado», y todos aquellos la representación gráfica de puntos en el plano, aspectos trabajados en cursos anteriores sobre ya que servirá para representar las rectas la resolución de problemas: en el plano y resolver de forma gráfica los sistemas. • Distinción entre lo que se conoce (dato) La resolución de problemas es uno de y lo que se desconoce (incógnita). los fundamentos de las Matemáticas pues, al resolver • Realización de diagramas, figuras, esquemas… numerosos problemas reales, es necesario resolver • Cálculo con expresiones algebraicas. sistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnos • Representación de puntos en el plano. pueden planteárseles distintos problemas reales, • Resolución de ecuaciones de primer grado. cuya solución no sea fácil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolución de un sistema. Mediante un trabajo por ensayo-error, primero, y su resolución mediante sistemas, después, los alumnos apreciarán la sencillez y utilidad de los sistemas para resolver problemas. CONTENIDOS SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Ecuaciones lineales. Representación gráfica de rectas en el plano. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. • Resolución de sistemas. Número de soluciones de un sistema de ecuaciones. • Representación gráfica de un sistema de ecuaciones. • Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: igualación, sustitución y reducción. • Reglas prácticas para resolver sistemas. • Resolución de problemas mediante sistemas. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas La prueba que se ha diseñado contiene actividades re- a comprobar que los alumnos tienen asimilados los lativas a la resolución de sistemas de ecuaciones por conceptos básicos sobre la representación de puntos diferentes métodos y problemas para resolver con sis- en el plano y la resolución de ecuaciones y sistemas temas. No es conveniente presentar sistemas incom- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN por los métodos habituales de resolución, incluso por el patibles, siendo los problemas planteados sencillos de método de ensayo-error. resolver. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 443
    • 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 444 5 SISTEMAS DE ECUACIONES EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono. Y 5 A 3 E 1 D B −4 −2 2 4 X −1 C −3 2 En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos. A (−1, 3) B (2, −2) C (3, 4) D (0, 2) Y 5 3 1 −4 −2 1 3 5 X −1 −3 3 Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta. x y 7 x y 2y Balanza A Balanza B a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación. Haz lo mismo con la balanza B. b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B. 4 Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56. 444 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 445 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono. Y 5 A 3 Puntos: E A(2, 4) D(−2, 0) 1 D B B(4, 0) E(−2, 2) −4 −2 2 4 X C(1, −1) −1 C −3 2 En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos. A (−1, 3) Y B (2, −2) 5 C (3, 4) C D (0, 2) A 3 D 1 −4 −2 1 3 5 X −1 B −3 3 Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta. x y 7 x y 2y Balanza A Balanza B a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación. Haz lo mismo con la balanza B. Balanza A → x + y = 7 Valores: (0, 7), (−1, 8), (1, 6), (2, 5)… Balanza B → x + y = 2 y Valores: (0, 0), (−1, −1), (1, 1), (2, 2)… b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN Valores coincidentes: x = 3,5; y = 3,5 4 Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56. ⎫ x + y = 15 ⎪ Sustitución ⎪ ⎯⎯⎯⎯→ x = 15 − y⎫ ⎪ → y 2 − 15 y + 56 = 0 → ⎧ y1 = 7 → Soluciones: 7 y 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎨ ⎪ x ⋅ y = 56 ⎭ ⎪ ( 15 − y ) ⋅ y = 56 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ y2 = 8 ⎪ ⎩ ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 445
    • 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 446 5 SISTEMAS DE ECUACIONES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Y Expresión lineal 1 Expresa la ecuación 3 y representación gráfica 2(x −3) = 3(y − 2) + 6 de una ecuación lineal. en la forma lineal ax + by = c, 1 y represéntala en el plano. −3 −1 1 3 5 X −2 −4 Comprobación de si un par 2x + 3y = 12⎪ ⎫ de valores es o no solución 2 En el sistema de ecuaciones lineales: ⎬ comprueba x + 3y = 5 ⎪ ⎪ ⎭ de un sistema de ecuaciones. si son solución los puntos A (0, 5), B (2, 3) y C (3, 2). Comprobación de sistemas 3 Comprueba si los sistemas son equivalentes. equivalentes. x − 2y = 6 ⎫⎪ ⎪ 2x − 4 y = 12⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ 3x + 6 y = −6⎪ ⎪ ⎭ 5x + 2y = 6 ⎪⎪ ⎭ Búsqueda de la solución 4 Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. de un sistema de dos ecuaciones x − 2y = 6 ⎫⎪ ⎪ ⎬ con dos incógnitas 3x + 6 y = −6⎪ ⎪ ⎭ por los métodos de sustitución, igualación y reducción. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones. .......................................................................... 1, 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4, 5, 6, 7, 8, 9 446 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 447 5 Resuelve el sistema por el método de igualación. x + 3 y = −8⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 2x − 3 y = 5 ⎪ ⎪ ⎭ 6 Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción. 2x + 4 y = 3⎫⎪ ⎪ ⎬ 3 x − 4 y = 8⎪ ⎪ ⎭ Resolución de sistemas de 7 Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado. ecuaciones por los métodos más adecuados. 3x + 9 y = 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 6 x − 9 y = −32⎪ ⎪ ⎭ Resolución de problemas 8 La edad de Luis es tres veces la edad de Ana. Dentro de 5 años, la edad de Luis reales, planteando será solamente el doble de la edad de Ana. Halla las edades de ambos. y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales. 9 Calcula el valor de las bases de los rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igual al cuádruple de la menor más 4. 3 cm 2 cm a b CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos y resumir, etc. ............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 447
    • 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 448 5 SISTEMAS DE ECUACIONES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 2(x − 3) = 3(y − 2) + 6 → 2 x − 6 = 3 y − 6 + 6 → 2 x − 3 y = 6 Y 3 1 −3 −1 1 3 5 X −2 −4 2 Comprobación. A (0, 5) → No, porque 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5 12. B (2, 3) → No, porque 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 12. C (3, 2) → Sí, porque 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 12 y 2 + 3 = 5. 3 Equivalencia de sistemas. La solución de los sistemas es la misma: x = 2 e y = −2. Los sistemas son equivalentes. 4 x − 2 y = 6 ⎫ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x = 6 + 2 y⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ → 12y = −24 → y = −2 → x = 2 ⎬ ⎬ 3x + 6 y = −6⎪ → 3( 6 + 2 y ) + 6 y = −6 ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎭ 5 x + 3 y = −8⎫ → x = −8 − 3 y⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 +y ⎬ ⎪→ x = 5 + y ⎬ → −8 − 3 y = ⎪ → −16 − 6 y = 5 + y → 2x − 3 y = 5 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎭ 2 ⎪ ⎪ ⎭ → y = −3 → x = 1 2 x + 4 y = 33 ⎫ ⎪ ⎪ 6 ⎫ 2x + 4 y = 3⎪ ⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 12 x − 4 y = 32 ⎪ ⎯ x = 35 = 5 → y = − 1 ⎬ Reducción → ⎪ → ⎬ 3x − 4 y = 8⎪ ⎪ ⎭ 2.ª ⋅ 4 ⎪ 14 2 2 14 x − 4 y = 35 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 27 x + 9 y = −39 ⎫ ⎪ ⎪ 7 3x + 9 y = 1 ⎫ Reducción ⎪ ⎪ ⎯⎯⎯ → + 26 x − 9 y = −32 ⎪ → x = −23 → y = 34 ⎪ ⎬ ⎯⎯ ⎬ 6 x − 9 y = −32⎪ ⎪ ⎭ 1.ª ⋅ 9 ⎪ 33 11 33 x − 9 y = −23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 8 Problema. Llamamos x e y a las edades actuales de Luis y Ana. x = 3y ⎫ ⎪ ⎪ Planteamiento del problema: ⎬ x + 5 = 2 ( y + 5 ) ⎪ → 3 y + 5 = 2 y + 10 → y = 5 → x = 15 ⎪ ⎭ 9 Dimensiones de la figura. Llamamos a y b a las bases de los dos rectángulos. − 3 a + 2 b = 34 3 a + 2 b = 34 ⎫ ⎪ ⎪ → − 3 a − 4 b = 34 Planteamiento del problema: ⎬ 3 a = 4b + 4 ⎪ ⎪ ⎭ 30 − 3 a − 6 b = 30 → b = =5 → a=8 6 448 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Página 449 6 Proporcionalidad INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS El tema de la proporcionalidad numérica Los contenidos de esta unidad han sido trabajados es fundamental en las Matemáticas. Los conceptos en 1.º y 2.º ESO, por lo que conviene hacer un repaso de proporcionalidad directa e inversa suelen de aspectos básicos, como son: ser intuitivos, pero a veces los alumnos no diferencian • Razón y proporción. Comprobación de si entre incrementos lineales y proporcionalidad. dos razones forman o no proporción. Numerosas relaciones de la vida cotidiana como, • Cálculo del cuarto y medio proporcional por ejemplo, repartos proporcionales, recetas de una proporción. de cocina, etc., mantienen relaciones de proporcionalidad y podemos encontrar ejemplos • Elaboración de tablas de proporcionalidad directa. de ello en diarios, revistas… • Cálculo con porcentajes. A lo largo de la unidad se plantearán algoritmos de cálculo aritmético sencillo, por lo que se tendrá que apoyar a los alumnos que tengan más dificultades en hacerlo. CONTENIDOS PROPORCIONALIDAD • Proporcionalidad directa e inversa. • Regla de tres simple directa e inversa. • Repartos directa e inversamente proporcionales. • Proporcionalidad compuesta. • Problemas con porcentajes. Cálculos con porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes encadenados. • Interés simple. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial contiene cinco actividades sobre pro- La prueba de la unidad consta de actividades de los porcionalidad ya estudiadas en cursos anteriores: averi- conceptos que se tratan en la unidad: tablas de propor- guar si dos razones forman o no proporción; calcular el cionalidad directa e inversa, problemas de reglas de medio y el cuarto proporcional y resolver ejercicios so- tres simples y problemas de repartos proporcionales bre porcentajes, así como problemas de la vida cotidia- y reglas de tres compuestas. La última actividad es de na sobre el cálculo de porcentajes y proporciones. cálculo de intereses bancarios, que son aplicaciones de la proporcionalidad directa. Los ejercicios de repar- tos proporcionales y de proporcionalidad inversa y com- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN puesta (actividades 8 y 9) resultarán complicados para los alumnos, por lo que habrá que tener cuidado en su desarrollo. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 449
    • 826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Página 450 6 PROPORCIONALIDAD EVALUACIÓN INICIAL 3 23 1 Averigua si las razones forman o no una proporción: y . 7 90 2 Calcula los números que faltan para completar estas proporciones. 8 2 a) = 16 6 b) = 8 4 3 c) = 12 3 Completa las frases. a) El % de 50 es 15. b) El 25 % de es 225. c) El 37 % de 65 es . 4 En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso. a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13. b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4. c) De 11 tiros libres ha encestado 9. d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18. 5 Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes. Limonada (para 6 personas): 12 limones 2 litros de agua 1/4 kg de azúcar Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas. 6 personas 10 personas 15 personas Limones (unidades) 12 Agua (cl) 200 Azúcar (g) 250 450 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Página 451 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 3 23 1 Averigua si las razones forman o no una proporción: y . 7 90 3 23 y no forman proporción, ya que 3 ⋅ 90 7 ⋅ 23. 7 90 2 Calcula los números que faltan para completar estas proporciones. 8 2 3 6 a) = c) = 16 4 6 12 6 3 b) = 8 4 3 Completa las frases. 15 ⋅ 100 a) Se divide la cantidad entre el total: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 30. ⎯ El 30 % de 50 es 15. 50 225 ⋅ 100 b) Se divide la cantidad entre el porcentaje: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 900. El 25 % de 900 es 225. 25 ⋅ 100 c) Se multiplica el porcentaje por la cantidad: 37 ⋅ 65 ⎯⎯⎯⎯→ 24,05. El 37 % de 65 es 24,05 . 4 En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso. 13 a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13 → ⋅ 100 = 65 % 20 4 b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4 → ⋅ 100 = 50 % 8 9 c) De 11 tiros libres ha encestado 9 → ⋅ 100 = 81, 8 % 11 18 d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 → ⋅ 100 = 90 % 20 5 Para hacer limonada para 6 personas, Limonada (para 6 personas): se utilizan estos ingredientes. 12 limones Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas. 2 litros de agua 1/4 kg de azúcar PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 6 personas 10 personas 15 personas Limones (unidades) 12 20 30 Agua (cl) 200 333,33 500 Azúcar (g) 250 416,67 625 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 451
    • 826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Página 452 6 PROPORCIONALIDAD contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción de si dos 1 Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales. magnitudes son o no proporcionales a) El perímetro de un cuadrado y su área. y de qué tipo. b) El lado de un cuadrado y su perímetro. c) El número de fotocopias y su precio. d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto. Elaboración de tablas 2 Completa las tablas para que sean de proporcionalidad directa. de proporcionalidad directa e inversa. a) b) M 2 3 4 M 0,5 1,75 3 N 5 10 N 7 42 3 Comprueba si las tablas son de proporcionalidad inversa. a) b) M 2 3 4 M 0,5 2 3 N 6 4 3 N 10 2,25 1,75 Cálculo de la constante 4 Calcula las constantes de proporcionalidad de los dos ejercicios anteriores. de proporcionalidad. Aplicación de las reglas 5 Si un grupo de amigos pagan 81 € por 6 menús, ¿cuánto vale cada menú? de tres para resolver ¿Cuánto hubiesen pagado por 4 menús? problemas de la vida cotidiana. 6 En un refugio de montaña hay comida para alimentar a seis personas durante un mes. Si vienen tres personas más, ¿para cuántos días tendrán comida? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3-11 452 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Página 453 Aplicación de los repartos 7 Tres socios deciden ampliar el capital de la empresa en 84.000 €, proporcionales para resolver de forma directamente proporcional al número de acciones de cada uno: problemas de la vida 100, 200 y 400. ¿Cuánto ha de aportar cada socio? cotidiana. 8 Al cabo de un año, una empresa ha tenido unas pérdidas de 14.000 €, y sus tres socios deciden reponer el dinero de forma inversamente proporcional al número de hijos de cada uno: 1, 2 y 4. ¿Cuánto ha de aportar cada socio? Aplicación de las reglas 9 En la construcción de un edificio trabajaron 100 personas en turnos de tres compuestas de 8 horas durante 60 días. ¿Cuánto habrían tardado si los turnos para resolver problemas fuesen de 10 horas? reales. Resolución de problemas 10 Un artículo cuesta 261 €, incluido el 16 % de IVA. Si se hace un 20 % mediante porcentajes. de rebaja sobre el precio sin IVA, ¿cuál será el precio final? Utilización de la fórmula 11 Calcula el interés producido por un capital de 250 € en 3 años del interés simple al 2,5 % de interés. para calcular intereses, tiempos o capitales en situaciones reales. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 453
    • 826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Página 454 6 PROPORCIONALIDAD EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 a) El perímetro de un cuadrado y su área → No son proporcionales. b) El lado de un cuadrado y su perímetro → Son directamente proporcionales. c) El número de fotocopias y su precio ⎯ → Son directamente proporcionales. ⎯ d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto → Son inversamente proporcionales. 2 a) b) M 2 3 4 M 0,5 1,75 3 N 5 7,5 10 N 7 24,5 42 3 La opción a) sí es de proporcionalidad inversa, pero la b) no lo es, ya que 0,5 ⋅ 10 2 ⋅ 2,25 3 ⋅ 1,75. 2 0 ,5 4 Constantes. Ejercicio 2: k a = = 0,4 kb = = 0,0714285 5 7 Ejercicio 3: k = 2 ⋅ 6 = 12 5 6 menús → 81 € ⎫ ⎪ → 6 = 81 → x = 81 ⋅ 4 = 54 € ⎪ ⎬ 4 menús → x € ⎭⎪ ⎪ 4 x 6 6 Comida–Días. Son magnitudes inversamente proporcionales: ⎫ 6 personas → 30 días ⎪ ⎪ → 6 ⋅ 30 = 9 ⋅ x → x = 180 = 20 días ⎬ 9 personas → x días ⎪⎪ ⎭ 9 7 Empresa (1). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que: A B C 84.000 84.000 = = = → = k = 120 → 100 200 400 100 + 200 + 400 700 → A = 100 ⋅ 120 = 12.000 €; B = 200 ⋅ 120 = 24.000 €; C = 400 ⋅ 120 = 48.000 € 8 Empresa (2). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que: k k k A ⋅1 = B ⋅ 2 = C ⋅ 4 = k → A = ; B = ; C = 1 2 4 Además, la suma ha de ser 14.000 €: k k 7k k+ + = = 14.000 → k = 8.000 → A = 8.000 €; B = 4.000 €; C = 2.000 € 2 4 4 9 En ambos casos, las magnitudes personas–días y horas–días inversa inversa son inversamente proporcionales. I I Personas Días Horas 200 10 60 60 ⋅ 100 ⋅ 8 ⋅ = → x = = 24 días 100 8 x 200 ⋅ 10 100 60 8 200 x 10 261 10 Porcentajes. Cálculo del precio sin IVA: = 225 €. Por tanto, el precio con la rebaja es: 225 ⋅ 0,80 = 180 €. 1,16 Añadiendo el 16 % de IVA: 180 ⋅ 1,16 = 208,80 € es el precio final. C⋅r⋅t 250 ⋅ 2 , 5 ⋅ 3 11 Interés. I = = = 18,75 € 100 100 454 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 455 7 Progresiones INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS En esta unidad se estudian las sucesiones y, Esta unidad se relaciona con las distintas operaciones en particular, las progresiones, que cumplen aritméticas: fracciones, decimales y potencias, que unas reglas determinadas. Las sucesiones aparecen son básicas en el desarrollo de la unidad. Además, en diversos campos: medicina, genética (distribución las cuestiones referidas a las regularidades de los caracteres sexuales), informática (utilización de en aspectos numéricos o geométricos serán esenciales algoritmos recursivos), economía (cálculo del interés para entender las leyes de formación de una simple y compuesto), etc. progresión. Uno de los problemas con los que se encuentran Se podrán proponer en la pizarra secuencias los alumnos es el cálculo del término general de una de figuras o numéricas que sigan alguna regularidad, sucesión; por ello se han de explicar detenidamente y pedir a los alumnos que traten de deducir cuáles las formas de razonamiento, aunque en las serán los siguientes términos. Es interesante también progresiones aritméticas y geométricas la forma de que sean ellos los que creen la secuencia obtención es más sencilla que en sucesiones de otros y que sus compañeros adivinen la regla de formación. tipos. También se ha de tener cuidado con el cálculo Conviene repasar estos aspectos. de las fórmulas que aparecen en la unidad: cálculo de • Operaciones con fracciones y decimales. los términos generales, sumas de progresiones y producto de n términos, así como la suma • Potenciación y radicación de números naturales de infinitos términos, para asegurarse de que y enteros. los alumnos no las aplican de manera automática. • Estudio de regularidades geométricas y numéricas. CONTENIDOS PROGRESIONES • Leyes de formación de sucesiones. Término general. Sucesiones recurrentes. 1. Progresiones aritméticas. • Cálculo del término general. • Suma de n términos de una progresión aritmética. 2. Progresiones geométricas. • Cálculo del término general de una progresión geométrica. • Suma de n términos de una progresión geométrica. • Suma de todos los términos de una progresión geométrica con ⏐r⏐ < 1. • Producto de n términos de una progresión geométrica. 3. Interés compuesto. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD En esta prueba se ofrecen tres actividades de cálculo Esta es una prueba esencialmente procedimental. Se con fracciones, decimales y potencias para comprobar comienza con actividades de sucesiones en general, PROPUESTAS DE EVALUACIÓN si los alumnos recuerdan estos conceptos, que han sido para resolver después aspectos concretos de proble- estudiados en unidades anteriores y que se usan en la mas de progresiones: cálculo de leyes de formación, aplicación de las diferentes fórmulas de la unidad. términos generales, sumas de progresiones… Y se finaliza la prueba con unos problemas de aplicación numérica, geométrica y de comparación de intereses simple y compuesto. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 455
    • 826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 456 7 PROGRESIONES EVALUACIÓN INICIAL 1 Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal. 4 5 + 0,02 − + 2 ⋅ 10−2 = 6 7 2 Completa las siguientes igualdades. a) 220 ⋅ 103 = 2,2 ⋅ 10 b) 7 ⋅ 10−2 = 0,7 ⋅ 10 c) 6,4 ⋅ 105 = ⋅ 107 3 Calcula y expresa en notación científica. 3.200.000.000 a) = 0, 0008 b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 = 0, 0000045 c) = 15 ⋅ 10 3 d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10−2) = 4 Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado. a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior? b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla? c) Escribe el área de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura? ¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores? d) Completa la tabla siguiente. Figura 1 2 3 4 5 … 10 N.° de cuadrados 1 2 3 Perímetro 4 6 Área 1 2 5 Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudia una población de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de forma aproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una población de 100.000 paramecios. Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 … 24 … N.° de paramecios 5.000 100.000 456 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 457 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal. 4 5 4 2 5 2 8.400 + 280 − 9.000 + 252 + 0,02 − + 2 ⋅ 10−2 = + − + = = 6 7 6 90 7 100 12.600 −68 −17 = = = −0 , 00539682 12.600 3.150 2 Completa las siguientes igualdades. −1 a) 220 ⋅ 103 = 2,2 ⋅ 10 5 b) 7 ⋅ 10−2 = 0,7 ⋅ 10 c) 6,4 ⋅ 105 = 0,064 ⋅ 107 3 Calcula y expresa en notación científica. 3.200.000.000 3 , 2 ⋅ 10 9 a) = = 0 , 4 ⋅ 10 13 = 4 ⋅ 10 12 0, 0008 8 ⋅ 10 −4 b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 = 23.000 + 1.000.000 = 1.023.000 = 1,023 ⋅ 10 6 0, 0000045 4 , 5 ⋅ 10 −6 c) = = 3 ⋅ 10 −10 15 ⋅ 10 3 1, 5 ⋅ 10 4 d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10−2) = 2,5 ⋅ 10 4 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 5 ⋅ 10 1 4 Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado. a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior? Cada figura tiene un cuadrado más que la figura anterior. b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla? Perímetros = {4, 6, 8, 10, 12}. La siguiente figura tendrá un perímetro de 14 cm. c) Escribe el área de cada una de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura? ¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores? Áreas = {1, 2, 3, 4, 5}. La siguiente figura tendrá 6 cm 2 de área y la 10.ª figura 10 cm 2. d) Completa la tabla siguiente. Figura 1 2 3 4 5 … 10 N.° de cuadrados 1 2 3 4 5 … 10 Perímetro 4 6 8 10 12 … 22 Área 1 2 3 4 5 … 10 5 Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudia una población de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de forma aproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una población de 100.000 paramecios. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 13 Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 … 24 … (apróx.) 6.300 7.940 N.° de paramecios 5.000 10.000 20.000 40.000 … 1.280.000 … 100.000 (apróx.) (apróx.) ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 457
    • 826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 458 7 PROGRESIONES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Aplicación de métodos 1 Determina el término siguiente de cada una de las sucesiones. deductivos para calcular un término de una sucesión. a) 2, 5, 8, 11, … c) 1, 3, 9, 27, … 1 1 1 1 b) , , , ,… d) 4, 9, 16, 25, 36, … 3 7 11 15 Aplicación de una fórmula 2 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos para calcular los términos de generales son: una sucesión a partir de una n+2 ley de formación. a) 2n +1 b) n 2 − 2 c) 2n + 3 Cálculo del término general 3 De una progresión aritmética se conocen a15 = 45 y a32 = 79. de una progresión aritmética Calcula la diferencia de la progresión y la suma de los 32 primeros términos. y la suma de una cantidad de términos. Cálculo del término general 4 Halla el término general de las progresiones geométricas. de una progresión geométrica. a) 5, 15, 45, 135, … 1 1 1 b) 2, , , ,… 2 8 32 c) 1, −2, 4, −8, … 5 En una progresión geométrica, a5 = 4 y a9 = 16. Calcula la razón y el término 20 de esta progresión. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 1, 8, 9, 10 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-10 458 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 459 Cálculo de la suma 6 Calcula la suma de los 20 términos de la anterior progresión geométrica. de términos de una progresión geométrica. Resolución de problemas 7 Halla el producto de los 10 primeros términos de una progresión geométrica reales donde aparezcan sabiendo que a1 = 2 y r = 3. progresiones aritméticas y geométricas y que impliquen el uso de estos conceptos. 8 Encuentra 5 múltiplos de 7 que sean consecutivos y cuya suma sea 245. 9 Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos los puntos medios de sus lados, obteniendo un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas obtenidas. 10 Dos amigos invierten 1.000 € en dos bancos diferentes. Al primero le dan un 3,5 % de interés simple y al segundo un 3,32 % de interés compuesto. Después de 5 años, ¿quién obtendrá más ganancias? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 8, 9, 10 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 1, 3, 4 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 459
    • 826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 460 7 PROGRESIONES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES +3 ⋅3 1 a) 2, 5, 8, 11, … ⎯⎯⎯→ 14 c) 1, 3, 9, 27, … ⎯⎯⎯→ 81 1 1 1 1 1 +4 1 ( )2 b) , , , , … ⎯⎯⎯→ d) 4, 9, 16, 25, 36, … ⎯⎯⎯→ 49 3 7 11 15 19 n+2 3 4 5 6 7 2 a) 2n +1 → 3, 5, 7, 9, 11, … c) → , , , , , ... 2n + 3 5 7 9 11 13 b) n 2 − 2 → −1, 2, 7, 14, 23, … 3 Cálculo de la diferencia y la suma de términos de una progresión aritmética. a − an 79 − 45 34 am = an + ( m − n) ⋅ d → d = m = = = 2 m −n 32 − 15 17 Calculamos el primer término: a1 = a15 − ( 15 − 1) ⋅ d → a1 = 45 − 14 ⋅ 2 = 17 ⎛ a1 + a32 ⎞ ⎟ ⋅ 32 = ⎛ 17 + 79 ⎞ ⋅ 32 = 48 ⋅ 32 = 1.536 ⎟ La suma es: S32 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎟ ⎠ 4 a) 5, 15, 45, 135, … → an = 5 ⋅ 3 n−1 c) 1, −2, 4, −8, … → an = (−2) n−1 1 1 1 b) 2, , , , … → an = 2 −2 n+3 2 8 32 5 Cálculo de la razón y un término de una progresión geométrica. am a9 16 am = an ⋅ rm−n → r = = = = 4 = 4 m−n 9 −5 4 2 an a5 4 El término 20 es: a20 = a1 ⋅ ( 2 ) 19 → a20 = 2 2 19 = 2 ⋅ 2 9 2 = 1.024 2 6 Suma de los términos de una progresión geométrica. a5 4 Calculamos el primer término: a5 = a1 ⋅ 2 4 → a1 = = =1 4 4 a1( r 20 − 1) 1( 2 20 − 1) 2 10 − 1 1.023 La suma es: S20 = = = = r −1 2 −1 2 −1 2 −1 7 P10 = ( a1 ⋅ a10 ) 10 = ( a1 ⋅ a1 ⋅ r9 ) 10 = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 3 9 ) 10 8 Múltiplos de 7. Forman una progresión aritmética, cuyos términos serán: 7n, 7(n + 1), 7(n + 2), 7(n + 3) y 7(n + 4) ⎛ 7 n + 7 n + 28 ⎞ ⎟ ⋅ 5 = ( 7 n + 14 ) ⋅ 5 = 35 n + 70 → n = 245 = 7 → { 49 , 56 , 63 , 70 , 77 } 245 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ 35 9 Áreas de cuadrados. ⎧ ⎪ 1 1 1 ⎫ ⎪ Es una progresión geométrica: ⎪1, , ...⎪ , cuya suma es: Sؕ = 1 ⎨ , , ⎬ = 1,3 . ⎪ ⎪ ⎩ 4 16 64 ⎪ ⎪ ⎭ 1 1− 4 C⋅r⋅t 1.000 ⋅ 3 , 5 ⋅ 5 10 Inversiones. Interés simple: C f = C0 + = 1.000 + = 1.175 € 100 100 ⎛ r ⎞ t Interés compuesto: C f = C0 ⎜1 + ⎜ ⎟ = 1.000 ⋅ 1, 033 5 = 1.176,26 € ⎟ 2 ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ 100 ⎠ 460 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0461-0466.qxd 27/4/07 13:54 Página 461 8 Figuras planas INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS En esta unidad se repasan y se amplían algunas La mayoría de los contenidos de esta unidad cuestiones ya estudiadas en el primer ciclo de ESO. se han trabajado de forma total o parcial en cursos Básicamente la unidad está dividida en tres partes: anteriores. Será conveniente hacer un repaso construcciones con regla y compás, el teorema de conceptos como los siguientes. de Pitágoras y sus aplicaciones en el cálculo de • Construcciones de triángulos. longitudes de figuras, que será fundamental en el cálculo de áreas. • Operaciones con ángulos. Para facilitar la comprensión de las construcciones • Propiedades de los triángulos. es conveniente utilizar programas como, por ejemplo, Cabri-Géomètre. Para el estudio de las dos partes finales de la unidad, se puede señalar a los alumnos la presencia de las figuras planas en multitud de objetos, construcciones, etc., así como recalcar la importancia de conocer sus propiedades y áreas. CONTENIDOS LUGARES GEOMÉTRICOS • Rectas y puntos notables de un triángulo. TEOREMA DE PITÁGORAS • Cálculo de la altura de un triángulo. • Cálculo de la diagonal de un paralelogramo. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS • Triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. • Figuras circulares: círculos, sectores, segmentos y coronas circulares. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba consta de actividades referidas a aspectos De las tres partes en las que hemos dividido la unidad, que han de ser conocidos por los alumnos: operacio- se proponen actividades referidas a construcciones: nes con ángulos, propiedades de los triángulos, cons- actividades 1, 2 y 3; al teorema de Pitágoras y sus apli- trucciones y áreas de figuras planas, principalmente caciones: actividades 4, 5 y 6, siendo las últimas activi- como aplicación del teorema de Pitágoras. dades referidas al cálculo de áreas geométricas. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 461
    • 826523 _ 0461-0466.qxd 27/4/07 13:54 Página 462 8 FIGURAS PLANAS EVALUACIÓN INICIAL 1 En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices. C A B 2 $ $ $ Calcula la longitud de los ángulos x , y , z . C $ x $ y $ z 80° 47° 16° A B D 3 Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°, basándote en las propiedades de los triángulos. A D O B C 4 Calcula el área de las siguientes figuras. a) 1,75 cm 3 cm b) 1,75 cm 462 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0461-0466.qxd 27/4/07 13:54 Página 463 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES C 1 En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices. Se trazan las mediatrices de los tres lados mediante un compás, y el punto de intersección nos da el circuncentro del triángulo. A B 2 $ $ $ Calcula la longitud de los ángulos x , y , z . En el triángulo ABC: C $ = 180° − (80° + 47°) = x $ x = 180° − 127° = 53° $ y El ángulo $ es el complementario de $: z B $ = 90° − 47° = 53° z $ z 80° 47° 16° En el triángulo rectángulo BDE: A B D $ = 90° − 16° = 74° y 3 Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°, basándote en las propiedades de los triángulos. $ $ Los ángulos A y C abarcan un diámetro, por lo que A $ $ son ángulos rectos, o sea: A + C = 180°. Por otra parte, en los triángulos BAD y DCB se cumple $ D2 D $ $ $ $ que: B2 + D2 = 90° y B1 + D1 = 90°, $ $ D1 B2 O siendo la suma de los dos ángulos: B $ B1 $ $ $ $ $ $ B + D = B1 + B2 + D1 + D2 = 180°. C 4 Calcula el área de las siguientes figuras. a) 1,75 cm A = 3 ⋅ 1,75 = 5,25 cm 2 3 cm b) PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ⎛ 1,75 ⎞ 2 1 ⎟ = 4 , 27 cm 2 A = 1,75 2 + π⋅⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎝ ⎟ ⎠ 1,75 cm ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 463
    • 826523 _ 0461-0466.qxd 27/4/07 13:54 Página 464 8 FIGURAS PLANAS contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Construcción con regla 1 Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan y compás de diferentes de los dos extremos del segmento de 5 cm de la figura. lugares geométricos. Explica cómo lo haces y di cómo se denomina este punto. A B Trazado de las mediatrices, 2 Dibuja las medianas del triángulo ABC . ¿Cómo se llama su punto bisectrices, alturas de intersección? y medianas de un triángulo. C A B 3 Dibuja un triángulo equilátero de 3 cm de lado y determina la circunferencia inscrita en dicho triángulo. 4 Completa la tabla siguiente. Hipotenusa Cateto Cateto 3 4 13 5 10 8 5 8 CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 4 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 6, 7, 8, 9 464 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0461-0466.qxd 27/4/07 13:54 Página 465 Aplicación del teorema 5 En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 4 cm y el lado diferente 7,3 cm. de Pitágoras para el cálculo Calcula cuánto mide la altura sobre el lado diferente. de elementos en triángulos y polígonos. 6 Halla el valor de la diagonal del cuadrado de lado 6 cm. Cálculo del área 7 Determina el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área de polígonos regulares del cuadrado exterior es 14,67 cm2. o de figuras planas como aplicación del teorema 2,94 cm de Pitágoras. 8 Obtén el área sombreada de la figura, si el diámetro de la circunferencia mayor mide 8 cm. A1 A2 A3 Resolución de problemas 9 Calcula cuánta pintura de color rojo se necesita para pintar la señal de tráfico, de la vida cotidiana si el diámetro de la circunferencia mide 40 cm, las dimensiones del rectángulo como aplicación del teorema son 25 × 8 cm y sabemos que con 1 kg de pintura se pueden pintar 4 m2 de Pitágoras y de las áreas de superficie. de figuras planas. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 4 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 465
    • 826523 _ 0461-0466.qxd 27/4/07 13:54 Página 466 8 FIGURAS PLANAS EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Lugar geométrico. 5 Aplicación del teorema de Pitágoras. Se dibujan dos arcos de igual radio, ⎛ 7,3 ⎞ 2 y con centro los extremos del segmento. h = AD = 42 − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = 1, 64 cm Uniendo los puntos de corte ⎝ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ obtenemos la mediatriz. A m 4c 4c m A h B D C 7,3 cm B 6 Aplicación del teorema de Pitágoras. Llamamos x al valor de la diagonal: x = 62 + 62 = 72 ≈ 8 , 49 cm 2 Medianas de un triángulo. 7 Área. Calculamos el lado del cuadrado mayor: Mediante un proceso como el anterior buscamos x 2,94 cm los puntos medios de los lados del triángulo: L = 14 ,67 = 3 , 83 cm M, N y P. Después, unimos los vértices L x = 3,83 − 2,94 = 0,89 cm con los puntos medios de los lados opuestos. l2 = 2,942 + 0,89 2 l C A = l2 = 2,942 + 0,89 2 = 9,4357 cm 2 N 8 Área de la figura. M Baricentro G A1 A2 A B P A3 3 Puntos notables de un triángulo. Dibujamos el triángulo equilátero y, después, las bisectrices de dos de los vértices. El punto de corte de las dos bisectrices 1 1 será el centro de la circunferencia inscrita. A1 = π ⋅ 42 − π ⋅ 2 2 = 2 π 4 2 1 1 3 A2 = π ⋅ 2 2 − π ⋅ 12 = π 2 2 2 1 1 A3 = π ⋅ 12 = π 2 2 El área total será: 3 1 A = A1 + A2 + A3 = 2 π + π+ π = 4π 2 2 4 Tabla. Hipotenusa Cateto Cateto 9 Pintura. 5 3 4 A = π ⋅ 20 2 − (25 ⋅ 8) = 1.056 cm 2 13 5 12 Planteamos una regla de tres: 10 8 6 4 ⋅ 10 4 cm 2 ⎯ 1.000 g ⎫ → ⎪ ⎪ ⎬ 1.056,6 cm 2 → x g ⎪ ⎪ ⎭ 89 5 8 Por tanto, se necesitan x = 26,415 g de pintura. 466 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 467 9 Cuerpos geométricos INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Los contenidos de esta unidad son, en parte, Salvo el estudio de la esfera terrestre, todos conceptuales, de conocimiento de los poliedros los contenidos de la unidad han estado tratados y sus tipos, o el concepto de volumen de un cuerpo en 2.º ESO. Será conveniente repasar alguno geométrico, pero mayoritariamente se trata de de los conceptos estudiados, aunque se vuelvan contenidos procedimentales: cálculo de áreas a revisar a lo largo de la unidad. Estos contenidos y volúmenes de los cuerpos geométricos. se pueden resumir en: La primera parte de la unidad son cuestiones ya • Reconocimiento de las diferentes posiciones conocidas por los alumnos relativas a la identificación, de puntos, rectas y planos en el espacio. caracterización y desarrollo de cuerpos geométricos. • Diferenciación de los elementos principales, Conviene señalar también que el desarrollo tipos y partes de un poliedro. y construcción de los cuerpos geométricos • Operaciones con ángulos y tiempos. les proporcionará una importante visión espacial. • Teorema de Pitágoras. La segunda parte de la unidad contiene fórmulas que los alumnos deben conocer y aplicar perfectamente, utilizando más la reflexión y la deducción que la memorización. CONTENIDOS CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Poliedros. 3. Volúmenes de cuerpos geométricos. • Tipos de poliedros. Poliedros regulares. • Principio de Cavalieri. • Prismas. Área de un prisma. • Volumen del prisma y el cilindro. • Pirámides. Área de una pirámide. • Volumen de la pirámide y el cono. 2. Cuerpos redondos. • Volumen de la esfera. • Cilindro. 4. La esfera terrestre. • Cono. • Esfera. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba contiene una serie de actividades de repaso Las tres primeras actividades son de identificación y de aspectos básicos de la Geometría tridimensional: pla- desarrollo de cuerpos geométricos. El resto son ejerci- nos, rectas y puntos; es decir, caras, aristas y vértices en cios o problemas relacionados con el cálculo de áreas poliedros (actividades 1 y 2), clasificación de un prisma, y volúmenes, así como con el teorema de Pitágoras. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN fórmula de Euler (actividad 3), dibujo de un cono y teo- rema de Pitágoras (actividad 4) y operaciones con ángu- los (actividad 5). ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 467
    • 826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 468 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS EVALUACIÓN INICIAL 1 Observa el prisma de la figura y contesta. D C a) ¿Qué tipo de polígono es la base? A B b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A? C d) ¿Cuál es la arista opuesta a BC ? D e) ¿Y la cara opuesta a BBCC ? A B 2 Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas. D C D a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son? E C b) ¿Cuántas clases de ángulos hay? E Señala un ejemplo de cada uno de ellos. B A $ c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D ? B A 3 Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve. a) ¿Cuál será su base? b) ¿Cuántos vértices tendrá? c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas. d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados. 4 Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura? 5 Dado el ángulo: 37° 35 12", halla su complementario, su ángulo doble y mitad. 468 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 469 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Observa el prisma de la figura y contesta. D C a) ¿Qué tipo de polígono es la base? Es un rectángulo. A B b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? Son romboides. c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A? C C d) ¿Cuál es la arista opuesta a BC ? AD D e) ¿Y la cara opuesta a BBCC ? AADD A B 2 Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas. D a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son? Hay 7 caras, 2 son pentágonos y 5 rectángulos. C D b) ¿Cuántas clases de ángulos hay? E Señala un ejemplo de cada uno de ellos. C E Hay ángulos rectos ( AEE) y de 108° ( CBA). B $ A c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D ? Coinciden 3 caras: 2 rectángulos ( DDEE y DCCE) B A y 1 pentágono ( DEABC). 3 Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve. a) ¿Cuál será su base? Como es un prisma, tiene dos bases y el resto son caras laterales, 8 − 2 = 6. El prisma es hexagonal, es decir, la base es un hexágono. b) ¿Cuántos vértices tendrá? Tendrá 6 vértices en la cara superior y otros 6 vértices en la inferior; es decir, 12 vértices. c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas. C + V = A + 2 → A = C + V − 2 = 8 + 12 − 2 = 18 d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados. 4 Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. V Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm, vértice ¿cuánto mide la altura? g Aplicamos el teorema de Pitágoras: h generatriz altura g 2 = h2 + r 2 → h = g2 − r2 = 5 2 − 3 2 = 4 cm r 5 Dado el ángulo: 37° 35 12", halla su complementario, su ángulo doble y mitad. ⎧Complementario: 90° − 37° 35 12 " = 52° 24 48 " ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Doble: 2 ⋅ 37° 35 12 " = 75° 10 24" 37° 35 12 " → ⎪ PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎪Mitad: ⎪ ⋅ 37° 35 12 " = 18° 47 36 " ⎪ ⎩ 2 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 469
    • 826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 470 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Reconocimiento y distinción 1 ¿Qué poliedros regulares puedes formar usando cuadrados como caras? de los poliedros, sus tipos ¿Cuántas caras coinciden en cada vértice? ¿Y si usas pentágonos? y comprobación de sus propiedades y si cumplen o no la fórmula de Euler. 2 Cuenta el número de caras, aristas y vértices de los dos poliedros de la figura. Clasifica los poliedros y comprueba que se cumple la relación de Euler. a) b) Diferenciación de 3 Dibuja una pirámide hexagonal y un prisma pentagonal. Averigua cuántas caras, los prismas y pirámides, vértices y aristas tiene cada uno de ellos. Dibuja sus desarrollos planos. sus elementos y tipos. Cálculo del área 4 Calcula el área del prisma de la figura. de pirámides, prismas y cuerpos redondos. c = 3 cm b = 4 cm a = 5 cm 5 La pirámide de Keops es de base cuadrada y mide 233 m de lado y 148 m de altura. Calcula el área lateral y total de esta pirámide. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2, 3 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4-11 470 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 471 6 Calcula el área de las dos figuras. a) b) 3 cm c m 13 r = 5 cm G G 1,5 cm Cálculo de volúmenes 7 Halla el volumen comprendido entre el cubo y la esfera de la figura. de prismas, pirámides, y cuerpos redondos, y manejo de los mismos para plantear y resolver 6 cm problemas del entorno. 8 Calcula el volumen de una taza que tiene forma de semiesfera de 10 cm de diámetro. 9 Un local tiene las siguientes dimensiones: 4 m de ancho, 3,5 m de largo y 3 m de altura. ¿Se podrá introducir en él un poste de 6,5 m de largo? Localización de un punto 10 Las coordenadas de Barcelona son: 41° 24 N 2° 9 E. Calcula las coordenadas en la Tierra mediante de sus antípodas. sus coordenadas geográficas. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1, 3 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 2 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 471
    • 826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 472 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Poliedros. Con cuadrados ⎯ El cubo. Coinciden 3 caras en cada vértice. → Con pentágonos → El dodecaedro. Coinciden 3 caras en cada vértice. 2 Fórmula de Euler. Tronco de pirámide ⎯⎯ C = 6, V = 8 y A = 12. Se cumple la fórmula de Euler. → Antiprisma rectangular → C = 10, V = 8 y A = 16. Se cumple la fórmula de Euler. 3 Desarrollos planos. Caras Vértices Aristas Pirámide 7 7 12 Prisma 7 10 15 4 Área del prisma. A = 2(ab + ac + bc) = 2 ⋅ (5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3) = 2 ⋅ 47 = 94 cm 2 5 Pirámide de Keops. Primero calculamos la apotema: a = 148 2 + 116 , 5 2 = 35.476 , 25 = 188,35 m 233 ⋅ 188 , 35 AL = 4 ⋅ = 87.771, 7 m2 . Área total: AT = AB + AL = 2332 + 87.771,7 = 142.060,7 m 2. 2 6 Área. a) Calculamos la altura: h = 13 2 − 10 2 = 69 ≈ 8,3 cm AT = 2 ⋅ AB + AL = 2 ⋅ π ⋅ 52 + 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 8,3 = 157,08 + 260,75 = 417,83 cm 2 b) A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 28,274 cm 2 4 7 Volumen. V = VC − VE = 6 3 − π ⋅ 3 3 = 216 − 113 ,09 = 102,91 cm 3 3 1 1 4 2 8 Volumen. Vsemiesfera = Vesfera = ⋅ π ⋅ r3 = π ⋅ 5 3 = 261,8 cm 3 8 2 2 3 3 9 Problema del local. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el espacio. La longitud de la diagonal del ortoedro será: L = 42 + 3, 5 2 + 3 2 = 37 , 25 = 6,11 m . Por tanto, no se podrá introducir el poste. 10 Coordenadas en la esfera. Las coordenadas de las antípodas de Barcelona son 41° 24 S 2° 9 O. 472 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 473 10 Movimientos y semejanzas INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad continúa y amplía el estudio de las figuras De los contenidos de la unidad, el estudio de vectores y movimientos estudiados en 2.º ESO. En el curso es nuevo para los alumnos y se seguirá estudiando anterior se hacía hincapié en los temas de en 4.º ESO. Los demás contenidos ya se han visto en construcción, y en este curso se comienza el cálculo cursos anteriores, pero desde un punto de vista con vectores que se continuará en el curso siguiente, no vectorial. Por eso será importante repasar alguno si bien las construcciones son esenciales para de estos conceptos de la Unidad 8 de 2.º ESO, contrastar los resultados algebraicos con los gráficos. así como el teorema de Pitágoras y el sistema Convendrá realizar con los alumnos actividades de tipo de coordenadas: gráfico para comprobar si han asimilado bien • Teorema de Pitágoras. los conceptos. • Sistema de coordenadas. Coordenadas de un punto. Se ha de poner énfasis en la diferencia entre • Traslaciones, giros y simetrías. Propiedades. movimientos y semejanzas: los primeros conservan la longitud y los segundos no. Este punto dará lugar al estudio de la proporcionalidad geométrica, aspectos como las semejanzas, teorema de Tales, escalas, etc. CONTENIDOS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 1. Vectores. • Coordenadas y módulo de un vector. 2. Movimientos en el plano. • Traslaciones. • Giros. • Simetrías. – Simetrías respecto de un punto. – Simetrías respecto de una recta. • Homotecias y semejanzas. Polígonos semejantes. 3. Teorema de Tales. 4. Escalas. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba consiste en una serie de actividades que se De las actividades que se proponen en la unidad desta- consideran importantes para el desarrollo de la unidad: can las que están referidas al cálculo con vectores (ac- el teorema de Pitágoras y el sistema de coordenadas en tividades 1 y 2); cuestiones de movimientos desde un PROPUESTAS DE EVALUACIÓN el plano y cálculo de coordenadas de puntos (para el punto de vista algebraico y gráfico (actividades 3, 4 y 5) cálculo vectorial); y un repaso de los movimientos del y actividades sobre semejanzas: construcción de figuras plano y su visualización y propiedades (tipos de movi- y cálculo con figuras semejantes. Habrá que explicar a mientos, ejes de simetrías). los alumnos que las constantes de proporcionalidad geométricas entre áreas no son iguales que las lineales, así como el trabajo con escalas. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 473
    • 826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 474 10 MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS EVALUACIÓN INICIAL 1 Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo. C 20 cm b A B 17 cm 2 Obtén las coordenadas de los puntos P, Q, R y S de la figura. Y P Q 1 1 X R S 3 Observa la figura y completa la tabla. E Figura Figura Tipo de inicial transformada movimiento D C A B B E A C D B D E 4 Dibuja los ejes de simetría de las figuras. a) b) c) 474 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 475 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo. C 20 cm b Aplicamos el teorema de Pitágoras: b = 20 2 − 17 2 = 400 − 289 = 111 ≈ 10,54 cm A B 17 cm 2 Obtén las coordenadas de los puntos P, Q, R y S de la figura. Y P Q 1 Las coordenadas de los puntos son: 1 X P(3, 2) Q(−2, 1) R(−1, −3) S(3, −2) R S 3 Observa la figura y completa la tabla. E Figura Figura Tipo de inicial transformada movimiento D C A B Traslación B E Traslación A C D Simetría B D E Giro 4 Dibuja los ejes de simetría de las figuras. a) b) c) PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 475
    • 826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 476 10 MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción de los elementos 1 Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo. de un vector y cálculo de los componentes Y y el módulo de un vector a partir de dos puntos, B y viceversa. A 1 1 X 2 Completa la siguiente tabla. Punto Vector traslación Punto trasladado A(2, 3) ជ(2, −3) v A( , ) B( , ) ជ(5, −1) v B(−1, 0) C (−2, 4) ជ( v , ) C (−3, −2) Obtención de la figura 3 Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A (−3, 0), B (−1, 4) y C (2, 5). transformada de una dada Halla el triángulo transformado F mediante el vector ជ(2, −3). v mediante la aplicación de traslaciones, giros o simetrías. 4 Halla el triángulo F ", transformado del triángulo F, mediante un giro de 90º respecto del origen de coordenadas. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 3, 6 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 4, 5, 7, 8 476 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 477 Y 5 Obtén la figura simétrica del pentágono respecto del E D eje de ordenadas y respecto C del origen. Escribe las coordenadas de cada B vértice de la figura A X y de sus transformados. Determinación de la figura 6 Determina la figura homotética de la figura ABCDE respecto del punto O homotética de una dada, y con k = 0,6. conocidos el centro y la razón de la homotecia. C D B E O A Resolución de problemas 7 En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado AB que corta de semejanza de figuras ៮ a los otros lados en los puntos D y E. Halla la longitud del segmento CB. o triángulos como aplicación del teorema de Tales. 2,4 cm E C 5 cm A D cm 1 2, B Trabajo con escalas 8 La longitud de un objeto en la realidad es 4,5 m. ¿Cuál será su longitud numéricas o gráficas en una maqueta a escala 1:500? en planos, mapas o maquetas. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 477
    • 826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 478 10 MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Coordenadas y módulo de un vector. ជ A(−2, 1), B(3, 2) → AB(5, 1) ជ ⏐AB⏐ = 5 2 + 12 = 26 ≈ 5,1 2 Tabla. B ( −6 , 1 ) ជ( −1 , −6 ) v A( 4 , 0 ) 3 Traslación. Los vértices del triángulo 4 Vértices. Los vértices del triángulo transformado F son: transformado F" son: ជ(2, −3) v giro 90° A(−3, 0) ⎯⎯⎯⎯→ A(−1, −3) A(−3, 0) ⎯⎯ → A(0, −3) ⎯⎯ ជ(2, −3) v giro 90° B(−1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ B(1, 1) B(−1, 4) ⎯⎯ → B(−4, −1) ⎯⎯ ជ(2, −3) v giro 90° C(2, 5) ⎯⎯⎯ ⎯⎯→ C(4, 2) C(2, 5) ⎯⎯⎯⎯→ C(−5, 2) Y Y C C B B ជ v F F C C B A A F X X F B A A 5 Figuras semejantes. Y Vértices de la figura F: D E E D A(2, 0); B(4, 1); C(5, 2); C F F C D(4, 3); E(1, 3) Vértices de la figura F: B B A A(−2, 0); B(−4, 1); C(−5, 2); A" A X B" D(−4, 3); E(−1, 3) C" F" Vértices de la figura F": A"(−2, 0); B"(−4, −1); C"(−5, −2); D" E" D"(−4, −3); E"(−1, −3) 6 Figuras homotéticas. Con la regla C D se trazan las rectas AO, BO… C D Después, en cada una de ellas B se miden los segmentos OA, OB… B y se calcula el 60 % ( k = 0,6), E O que nos da los puntos: A, B, C… E A A 7 Aplicación del teorema de Tales. CE CD 2,4 CD = → = → CD = 1,94 cm → CB = 4,04 cm CA CB 5 CD + 2,1 4, 5 8 Escalas. L = = 0,009 m = 9 mm 500 478 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 479 11 Funciones INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad continúa el estudio de funciones iniciado Conviene repasar algunos conceptos estudiados en 2.º ESO e introduce la representación gráfica en cursos anteriores y que resultan importantes en de funciones. En algunos casos se trata de hacer el desarrollo de la unidad: las coordenadas del plano una aproximación intuitiva a partir de las gráficas y las magnitudes directa e inversamente como, por ejemplo, el crecimiento y decrecimiento, proporcionales, así como una revisión de las máximos y mínimos, continuidad, pero en otros casos expresiones algebraicas trabajadas en la Unidad 3 se aplican conocimientos como el cálculo de puntos de este curso. de corte, simetrías, etc. • Representación de puntos en un sistema En este nivel interesa también que queden claras de referencia. Lectura de funciones. las diferentes formas de expresar una función • Determinación de magnitudes directa y cómo pasar de unas a otras. Los aspectos e inversamente proporcionales. más importantes de las funciones de proporcionalidad • Trabajo con expresiones algebraicas. y las funciones lineales se estudiarán con más detenimiento en la Unidad 12. CONTENIDOS FUNCIONES 1. Formas de expresar una función. • Enunciados. • Expresiones algebraicas. • Tablas de valores. • Gráficas. 2. Características de una función. • Continuidad y discontinuidad. • Dominio y recorrido. • Puntos de corte con los ejes. • Crecimiento y decrecimiento. • Máximos y mínimos. • Simetrías. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Esta prueba contiene actividades que repasan aspectos En la prueba se ha realizado una selección de los con- importantes de la unidad: representación gráfica de pun- ceptos más importantes de la unidad: trabajo con fun- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN tos en el plano, estudio de relaciones de forma algebrai- ciones expresadas de diferentes formas y, en el caso ca y gráfica, interpretación y lectura de gráficas y estudio de funciones expresadas mediante expresiones alge- de una tabla de proporcionalidad. braicas: dominio y recorrido, extremos, continuidad, si- metrías y crecimiento y decrecimiento. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 479
    • 826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 480 11 FUNCIONES EVALUACIÓN INICIAL 1 Observa los puntos de la gráfica siguiente. Y D 4 a) Escribe sus coordenadas. A b) Calcula y dibuja el punto simétrico de A 2 respecto del eje de ordenadas. E c) Halla el simétrico del punto B respecto −3 −1 1 3 X del eje de abscisas. d) Calcula y dibuja el punto simétrico de C −2 C B respecto del origen. 2 Dados los conjuntos M = {12, 14, 15, 16, 18} y N = {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elemento de A está relacionado con otro de B, si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad: a) Escribe los pares de valores que forman esta relación. Y 9 8 b) Represéntalos mediante un sistema de coordenadas. 7 6 5 12 14 16 18 20 X 3 En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largo del mes de febrero. 10 8 a) ¿Cuántos días se han registrado Temperatura (°C) 6 temperaturas por debajo de 0 °C? 4 b) ¿Qué día se registró la temperatura 2 máxima? ¿Y la mínima? 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 c) Escribe un tramo en el que −2 la temperatura sea creciente. −4 −6 Días del mes 4 En la tabla están relacionados Manzanas (kg) 1 2 4 … el peso (en kg) de manzanas y su precio (en €). Determina Precio (€) 1,30 6 9 los valores que faltan. Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere. 480 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 481 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Observa los puntos de la gráfica siguiente. Y a) Escribe sus coordenadas. D A(3, 2) B(1, −3) C(−4, −2) 4 D(−2, 4) E(−3, 0) A 2 b) Calcula y dibuja el punto simétrico de A respecto del eje de ordenadas → A(−3, 2) E c) Calcula el simétrico del punto B respecto −3 −1 1 3 X del eje de abscisas → B(1, 3) −2 C B d) Calcula y dibuja el punto simétrico de C respecto del origen → C(4, 2) 2 Dados los conjuntos M = {12, 14, 15, 16, 18} y N = {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elemento de A está relacionado con otro de B, si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad: a) Escribe los pares de valores que forman esta relación. (12, 6), (12, 9), (14, 6), (14, 7), (15, 5), (15, 6), (15, 9), (16, 6), (18, 6), (18, 9) Y 9 b) Represéntalos mediante 8 un sistema de coordenadas. 7 6 5 12 14 16 18 20 X 3 En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largo del mes de febrero. 10 a) ¿Cuántos días se han registrado 8 temperaturas por debajo de 0 °C? 3 días. Temperatura (°C) 6 b) ¿Qué día se registró la temperatura 4 máxima? ¿Y la mínima? Máxima: 10 °C 2 en el día 27 y mínima: −4 °C en el día 2. 0 c) Escribe un tramo en el que la temperatura 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 −2 sea creciente. Por ejemplo, [10, 13]. −4 −6 Días del mes PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 4 En la tabla están relacionados el peso (en kg) de manzanas Manzanas (kg) 1 2 4,615 4 6,92 … y su precio (en €). Determina Precio (€) 1,30 2,60 6 5,20 9 … los valores que faltan. Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere. y = 1,3 ⋅ x, donde x es el peso de las manzanas (en kg) e y es el precio (en €). ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 481
    • 826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 482 11 FUNCIONES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción de una relación 1 Determina si son o no funciones estas relaciones. funcional, y reconocimiento de las variables independiente a) El perímetro de un cuadrado y su área. y dependiente. b) El número de obreros y el tiempo que tardan en terminar un trabajo. c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en dos horas. d) La edad de una persona y su altura. Representación gráfica 2 Se vacía una piscina de dimensiones 8 × 3,5 × 1,5 m, mediante un grifo de relaciones funcionales que expulsa 50 litros de agua por minuto. extraídas de la vida cotidiana. a) Realiza una tabla donde se exprese la cantidad de agua que queda (en metros cúbicos) y el tiempo de expulsión de agua entre t = 0 y t = 120 (en minutos) de 20 en 20. b) Determina la fórmula o expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes en ese intervalo de tiempo. c) Representa gráficamente la función. Expresión de una función 3 En la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso: mediante tablas, gráficas y enunciados, a) Halla su fórmula o expresión algebraica. y transformación b) Calcula f (4) y f (−4). de unas a otras. c) Determina el dominio de la función. d) ¿Es una función continua o discontinua? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 8 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 5 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2, 3, 4, 6 482 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 483 Determinación del dominio 4 Considera la relación que asocia a cada número real el doble de su cuadrado. y recorrido de una función, ¿Es una función esta relación? ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido? dada la gráfica Obtén su expresión algebraica. de la función. 5 Calcula el dominio y el recorrido de la función cuya gráfica es la siguiente. Y 6 4 2 X −2 −1 2 4 6 8 Cálculo de los puntos 6 Dada la función y = x 2 − x − 6, halla los puntos de corte con los ejes de corte de una función de coordenadas. con los ejes. Reconocimiento de 7 Observa la gráfica e indica Y los intervalos de crecimiento sus intervalos de crecimiento 4 de una función y los máximos y mínimos. y sus máximos y mínimos 2 a partir de su gráfica. −2 −4 −6 2 4 6 X −2 −4 8 Escribe las principales características de estas funciones. x a) y = x 2 + 2 b) y = x +2 CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1, 3, 6, 8 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... 3 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 483
    • 826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 484 11 FUNCIONES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Funciones. Son funciones a), b) y c). ⎛ perímetro ⎞ 2 a) A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ c) Espacio = velocidad ⋅ 2 ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ 4 b) Es una función, pero no se puede escribir. d) No es una función. 2 a) Tabla. Litros de agua en la piscina → 8 ⋅ 3,5 ⋅ 1,5 = 42 m3 Tiempo (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 3 Volumen (m ) 42 41,5 41 40,5 40 39,5 39 38,5 38 37,5 37 36,5 36 b) Expresión algebraica. c) Y 1 Volumen = 42 − 0,5 ⋅ tiempo → y = 42 − x . Volumen restante 41 2 39 37 35 10 30 50 70 90 110 X Tiempo (min) 3 3 a) Expresión algebraica. y = f( x ) = 2 x + x 3 35 3 −35 b) Imágenes. f( 4 ) = 8 + = f( −4 ) = −8 − = 4 4 4 4 c) Dominio: Todos los números reales menos el cero. d) Continuidad: No es continua en x = 0. 4 Relación. Es una función cuyo dominio son todos los números reales, y el recorrido, los números reales positivos. Su expresión algebraica es y = 2 x2. 5 Dominio y recorrido de una función. Dom ( f) = (−ؕ, −1] ∪ [0, 3) ∪ [3, +ؕ) Im ( f) = [−1, +ؕ) ⎧ x = −2 ⎫ ⎪ ⎪ 6 • Con el eje OX : x 2 − x − 6 = 0 → ⎪⎨ ⎪ → Hay dos puntos: P( −2 , 0 ) y Q( 3 , 0 ) . ⎬ o ⎪x = 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ • Con el eje OY: f(0) = 0 2 − 0 − 6 = −6 → Hay un punto: R(0, −6). 7 Función. Es creciente en (−ؕ, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (4, +ؕ) y decreciente en (0, 2) ∪ (2, 4). ⎛ 1⎞ ⎟ Tiene un máximo en el punto P ⎜0 , ⎜ ⎜ ⎟ y un mínimo en Q(4, −1). ⎟ ⎝ ⎟ 2⎠ 8 a) Dominio: ». Es continua. Corta al eje OY en P(0, 2) y no corta al eje de abscisas. Es decreciente en el intervalo (−ؕ, 0) y creciente en el intervalo (0, +ؕ). En el punto P(0, 2) tiene un mínimo. Es simétrica respecto del eje OY. ⎛ 1⎞⎟ y no corta al eje b) Dominio: » − {−2}. Es discontinua en el punto x = −2. Corta al eje OY en P⎜0 , ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠⎟ de abscisas. Es decreciente en el intervalo (−ؕ, −2) y creciente en el intervalo (−2, +ؕ). No tiene máximos ni mínimos y no presenta simetrías. 484 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0485-0490.qxd 27/4/07 13:59 Página 485 12 Funciones lineales y afines INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad es una continuación de la anterior, Esta unidad es una continuidad de la unidad anterior, en la que se trabajaban las funciones en la que se estudian los conceptos y y sus características, y también de la unidad de las características globales de las funciones, proporcionalidad. Es importante hacer hincapié y de la unidad de proporcionalidad, por lo que en la relación entre la expresión algebraica será conveniente repasar: y la representación gráfica, tanto de las funciones • Expresión de relaciones geométricas o aritméticas de proporcionalidad como de las funciones utilizando el lenguaje algebraico. lineales, y en el paso de la expresión algebraica a la gráfica, y viceversa. • Estudio analítico y gráfico de la proporcionalidad directa. También será conveniente trabajar con las ecuaciones de las rectas, sus propiedades y representación, así como destacar el papel de la pendiente y su relación con el crecimiento y las rectas paralelas a los ejes, sobre todo cuando no es una función. Convendrá dedicar alguna actividad a cuestiones de aplicación de este tipo de funciones. CONTENIDOS FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN AFÍN • Ecuaciones y gráficas asociadas a las funciones lineales y afines. • Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. • Rectas secantes y paralelas. • Rectas paralelas al eje de abscisas. • Aplicaciones. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Esta prueba contiene tres actividades sobre relaciones Las tres primeras actividades son de repaso de las rela- de proporcionalidad, la forma de expresarlas, la repre- ciones de proporcionalidad, las tablas y sus expresio- sentación gráfica de esas relaciones, tablas de propor- nes algebraicas, así como las representaciones gráficas cionalidad, etc. de las funciones de proporcionalidad y afines. Las si- guientes actividades hacen referencia a un inicio de la Geometría afín: ecuaciones de la recta, obtención de una recta que pasa por dos puntos, cálculo de la pen- diente de una recta y su relación con el crecimiento y la PROPUESTAS DE EVALUACIÓN representación de diferentes rectas en unos ejes de coordenadas, y la obtención de sus puntos de corte. Las dos últimas actividades son de aplicación de los contenidos estudiados en problemas geométricos o de otros tipos. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 485
    • 826523 _ 0485-0490.qxd 27/4/07 13:59 Página 486 12 FUNCIONES LINEALES Y AFINES EVALUACIÓN INICIAL 1 Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 €/m. Completa la tabla que representa analítica y gráficamente la relación. Longitud (m) 1 4 10 Precio (€) 12 30 60 200 2 Expresa algebraicamente las relaciones. a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado. b) La longitud de una circunferencia y su diámetro. c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura. 3 Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimos por cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10. Espacio (km) 0 10 20 30 40 Precio (€) Expresa gráficamente la función. Y 150 130 110 90 70 50 30 10 10 30 50 70 90 110 130 150 X Responde a las siguientes cuestiones. a) ¿Qué variables están representadas? b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? c) ¿Es una función? d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente? f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado. 486 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0485-0490.qxd 27/4/07 13:59 Página 487 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 €/m. Completa la tabla que representa analítica y gráficamente la relación. Y Longitud (m) 1 2,5 4 5 10 16,67 90 Precio (€) 12 30 48 60 120 200 70 50 Expresión algebraica: y = 12 ⋅ x. 30 10 1 3 5 7 X 2 Expresa algebraicamente las relaciones. a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado → Perímetro = 4 ⋅ lado → y = 4x b) La longitud de una circunferencia y su diámetro ⎯ → Longitud = π ⋅ diámetro → y = π ⋅ x ⎯ c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura. Perímetro = 2 ⋅ altura + 2 ⋅ (2 ⋅ altura) → y = 6x 3 Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimos por cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10. Espacio (km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Precio (€) 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 Expresa gráficamente la función. Y 150 130 110 90 70 50 30 10 10 30 50 70 90 110 130 150 X Responde a las siguientes cuestiones. a) ¿Qué variables están representadas? → Eje X: espacio (km) y eje Y: precio (€). ¿Cuál es la variable independiente? ⎯ El espacio. ¿Y la dependiente? → El precio. → PROPUESTAS DE EVALUACIÓN b) c) ¿Es una función? → Sí, es una función. d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? → Sí, porque la variable independiente es continua y puede tomar cualquier valor. e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente? ⎯ Es creciente. → f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado → y = 75 + 0,5 ⋅ x ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 487
    • 826523 _ 0485-0490.qxd 27/4/07 13:59 Página 488 12 FUNCIONES LINEALES Y AFINES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Reconocimiento de 1 El precio de 1 kg de melocotones es 2,50 €. las funciones afines y lineales, determinando a) Completa la tabla. su expresión algebraica. Peso (kg) 1 3,7 5,2 Precio (€) 4,80 11 20 b) Escribe la función que relaciona el peso de la fruta y el precio. Representación de 2 Clasifica las siguientes funciones en crecientes y decrecientes funciones lineales y afines, sin representarlas. Explica cómo lo haces. determinando la relación entre el signo de a) y = −2x − 3 c) y = 2x − 3 la pendiente y el crecimiento b) y = −2x + 3 d) y = 2x + 3 de una recta. 3 Representa las funciones anteriores en unos mismos ejes de coordenadas. Y 3 1 −2 1 2 3 4 X −2 Obtención de la ecuación 4 Determina la expresión algebraica de la función que pasa por los puntos A (3, 2) de la recta que pasa y B (5, −2). ¿Pasa la recta por el punto C (2, 5)? por dos puntos. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 3, 6, 8 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 3 488 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0485-0490.qxd 27/4/07 13:59 Página 489 Determinación de 5 Determina gráfica y analíticamente la posición relativa de la recta r : si dos rectas son paralelas y = −2x −3, y la recta s : y = 3x + 4. o secantes. Reconocimiento y estudio 6 Obtén las expresiones algebraicas de estas rectas. de funciones en situaciones Y geométricas o de la vida cotidiana. r 3 s 1 −2 1 2 X 1 7 Dibuja el triángulo de vértices los puntos A (2, 0), B (−1, 2) y C (1, −2), y halla las ecuaciones de las tres rectas que forman los lados y sus pendientes. Y 2 −2 1 X −2 8 Dos amigos hacen una carrera. Juan le deja 100 m de ventaja a su amigo Luis. Además, Juan corre a una velocidad de 9 m/s y Luis lo hace a 7 m/s. Escribe la expresión algebraica de los espacios recorridos por los dos amigos. ¿Cuánto tiempo tardará Juan en alcanzar a Luis? ¿Qué espacio habrán recorrido ambos en ese instante? Representa gráficamente las funciones. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 2, 5 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 3, 4, 5, 7 • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 489
    • 826523 _ 0485-0490.qxd 27/4/07 13:59 Página 490 12 FUNCIONES LINEALES Y AFINES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Tabla: a) Peso (kg) 1 1,92 3,7 4,4 5,2 8 b) Función: y = 2,5 ⋅ x Precio (€) 2,50 4,80 9,25 11 13 20 2 a) y = −2x − 3 → m = −2 → Función decreciente c) y = 2x − 3 → m = 2 → Función creciente b) y = −2x + 3 → m = −2 → Función decreciente d) y = 2x + 3 → m = 2 → Función creciente 3 Representación gráfica. Y a) c) 3 1 −2 −1 2 4 X d) b) −2 − 2 −4 4 Calculamos la pendiente: m = = = −2 . Como pasa por el punto A(3, 2): 5 −3 2 A(3, 2) ∈ r r: y = −2 x + n ⎯⎯⎯⎯⎯ 2 = (−2) ⋅ 3 + n → n = 8. Por tanto, r: = −2 x + 8. → El punto C(2, 5) no pertenece a la recta porque 5 2 ⋅ 2 + 8. 5 Las rectas son secantes. Hallamos algebraicamente el punto de corte: ⎧ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪x = − 7 ⎪ ⎪ ⎪ y = −2 x − 3 ⎫ ⎪ → −2 x − 3 = 3 x + 4 → −5 x = 7 → ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ → P ⎛− 7 , − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎬ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎟ ⎪ ⎪ ⎛ 7 ⎞ ⎜ 5 5⎟ y = −3 x + 4 ⎭ ⎪ ⎪ y = 3 ⎜− ⎪ ⎜ ⎟ + 4 = −1 ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎜ 5 ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ 5⎪⎭ 6 Expresiones algebraicas de dos rectas. 2 r → La variable y siempre vale 3 → y = 3 s → Pasa por (−3, 0) y (0, 2) → y = x+2 3 2 4 7 Triángulo. Las rectas son rAB: y = − x+ 8 La carrera. 3 3 Juan → y = 9 x Luis → y = 7x + 100 rAC: y = 2 x −4 rBC: y = −2 x Juan tarda en alcanzarlo 50 segundos. 2 Las pendientes son mAB: − , mAC: 2 y mBC = −2. Han recorrido 450 metros en ese instante. 3 Y Y B 500 2 Distancia (m) 300 −2 1 A X 100 −2 C 10 30 50 70 X Tiempo (s) 490 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0491-0496.qxd 27/4/07 14:02 Página 491 13 Estadística INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS En esta unidad se completa el estudio comenzado Los aspectos que se tendrían que trabajar de forma en cursos anteriores sobre Estadística. Además previa al estudio de la unidad son los relativos de los conceptos trabajados: gráficos, medidas de a la Estadística de 2.º ESO, sobre todo los que hacen centralización y de dispersión, se estudian referencia a conceptos básicos: las frecuencias acumuladas, las variables continuas, • Distinción entre variables cualitativas y cuantitativas. los histogramas y polígonos de frecuencias, así como los parámetros de dispersión. • Elaboración de un recuento de datos y realización de una tabla de frecuencias. Los aspectos donde los alumnos suelen tener mayores dificultades son la distinción entre población • Cálculo de la media aritmética de una población y muestra, y cómo seleccionar una muestra, o muestra. el cálculo de frecuencias y la determinación de • Lectura e interpretación de un gráfico estadístico. la representación gráfica más adecuada; por ello será conveniente insistir en aquellos aspectos en los que se aprecien mayores problemas. El cálculo de los parámetros es relativamente fácil, pero los alumnos tienden a equivocarse cuando se trabaja con datos agrupados en intervalos. CONTENIDOS ESTADÍSTICA • Conceptos básicos. Población y muestra. Variables estadísticas. Tipos. • Frecuencias. Tablas de frecuencias. Tipos. • Gráficos estadísticos. Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores. • Parámetros estadísticos. – Medidas de centralización. Media aritmética, mediana y moda. – Medidas de dispersión. Rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba consta de tres actividades referidas a la dis- La primera actividad se refiere a la distinción entre va- tinción de una variable cualitativa y cuantitativa; elabo- riables discretas y continuas, población y muestra y ración de una tabla a partir de una serie de datos, inter- cómo realizar una muestra proporcional a una determi- pretación de una gráfica estadística y cálculo de la nada población. En las actividades 2 y 3 se trabaja con media aritmética. Estas actividades tendrían que resul- las tablas de frecuencias y las representaciones gráfi- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN tar fáciles para los alumnos, ya que son una revisión de cas de un conjunto de datos agrupados en intervalos. conceptos estudiados en cursos anteriores. Las dos últimas actividades trabajan el cálculo de los diferentes parámetros de centralización y dispersión, y en la actividad 5 se manejan también intervalos para el cálculo del intervalo mediano. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 491
    • 826523 _ 0491-0496.qxd 27/4/07 14:02 Página 492 13 ESTADÍSTICA EVALUACIÓN INICIAL 1 Consideramos la población de los alumnos de 3.o ESO de una ciudad. Determina qué variables son cualitativas y cuantitativas. a) La talla de camisa. b) El lugar de nacimiento. c) La fecha de nacimiento. d) El número de hermanos. e) El color del pelo. f) La profesión de la madre. g) La nacionalidad. h) El deporte que practican. i) La capacidad pulmonar. 2 Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado en la última semana, se obtuvieron estos resultados. 3 5 0 4 2 1 1 4 2 0 3 0 3 1 7 2 2 0 6 1 7 2 0 3 0 3 6 5 2 3 A partir de estos datos, completa la tabla y calcula la media de periódicos adquiridos. N.o de Frecuencia Frecuencia Recuento periódicos absoluta relativa 0 ////// 6 1 2 3 4 5 6 7 3 La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones. Y a) ¿Podemos considerar a España como un gran Total productor de energía nuclear de Europa? 45 b) ¿En España ha habido más potencia 35 hidráulica o térmica? GW 25 Térmica c) ¿En qué año se superó el nivel de una potencia total de 30 GW? 15 Hidráulica d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo 5 Nuclear a finales de 2007 respecto de la total? 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 X Años 492 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0491-0496.qxd 27/4/07 14:02 Página 493 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Consideramos la población de los alumnos de 3.o ESO de una ciudad. Determina qué variables son cualitativas y cuantitativas. a) La talla de camisa ⎯⎯⎯→ Variable cuantitativa. b) El lugar de nacimiento ⎯ → Variable cualitativa. ⎯ c) La fecha de nacimiento ⎯ Variable cuantitativa. → d) El número de hermanos ⎯ Variable cuantitativa. → e) El color del pelo ⎯⎯⎯⎯ Variable cualitativa. → f) La profesión de la madre → Variable cualitativa. g) La nacionalidad ⎯⎯⎯⎯→ Variable cualitativa. h) El deporte que practican ⎯ Variable cualitativa. → i) La capacidad pulmonar ⎯ Variable cuantitativa. → 2 Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado en la última semana, se obtuvieron estos resultados. 3 5 0 4 2 1 1 4 2 0 3 0 3 1 7 2 2 0 6 1 7 2 0 3 0 3 6 5 2 3 A partir de estos datos, N.o de Frecuencia Frecuencia completa la tabla y calcula Recuento periódicos absoluta relativa la media de periódicos adquiridos. 0 ////// 6 6/30 = 0,2 1 //// 4 4/30 = 0,133 2 ////// 6 6/30 = 0,2 3 ////// 6 6/30 = 0,2 4 // 2 2/30 = 0,067 5 // 2 2/30 = 0,067 6 // 2 2/30 = 0,067 7 // 2 2/30 = 0,067 ( 6 ⋅ 0 ) + ( 4 ⋅ 1) + ( 6 ⋅ 2 ) + ( 6 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ 4 ) + ( 2 ⋅ 5 ) + ( 2 ⋅ 6 ) + ( 2 ⋅ 7 ) 78 Media: x = = = 2,6 30 30 3 La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones. Y a) ¿Podemos considerar a España como un gran Total productor de energía nuclear de Europa? 45 No, ya que no tenemos datos del resto 35 de países. GW 25 Térmica b) ¿En España ha habido más potencia hidráulica 15 o térmica? Hidráulica A partir de 2002 la potencia térmica es mayor. 5 Nuclear X PROPUESTAS DE EVALUACIÓN c) ¿En qué año se superó el nivel de una potencia 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 total de 30 GW? En 2003. Años d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo a finales de 2007 respecto de la total? 8 8 La energía nuclear es aproximadamente partes del total, por lo que es el ⋅ 100 = 17,78%. 45 45 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 493
    • 826523 _ 0491-0496.qxd 7/5/07 10:43 Página 494 13 ESTADÍSTICA contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Clasificación de las variables 1 Clasifica las variables estadísticas referidas a un municipio en discretas de una población o muestra y continuas. en cualitativas o cuantitativas, y estas últimas en discretas a) Número de hijos de las familias. o continuas. b) Peso de los alumnos de ESO. c) Velocidad media de los coches que pasan por una calle. d) Número de ordenadores que hay en cada vivienda. Cálculo de las frecuencias 2 Consideramos la siguiente tabla relativa a las alturas de los alumnos de ESO absolutas, relativas de un centro escolar. y acumuladas de un conjunto de datos estadísticos. Estatura Marca Número fi Fi (en cm) de clase de alumnos [140, 150) 12 [150, 160) 36 [160, 170) 47 [170, 180) 65 [180, 190) 25 [190, 200) 4 a) Completa la tabla y calcula las marcas de clase de cada intervalo. Representación gráfica b) Dibuja el histograma de frecuencias acumuladas y su polígono de frecuencias. de un conjunto de datos estadísticos. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2, 3, 4, 5 494 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0491-0496.qxd 27/4/07 14:02 Página 495 3 Anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo de una calle. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos. Marcas N.o de coches Seat 11 Renault 10 Peugeot 14 Audi 7 Opel 5 Ford 9 Mercedes 4 Cálculo de la media, 4 Calcula la media, el intervalo mediano y la moda de los datos de la actividad 2. mediana y moda de un conjunto de datos. Cálculo de las medidas 5 Dados estos datos, calcula las medidas de centralización y dispersión. de centralización y dispersión de un conjunto de datos. xi fi fi ⋅ xi ⏐xi − x-⏐ fi⏐xi − x-⏐ x i2 fi ⋅ x i2 1 4 2 3 3 6 4 3 5 8 6 4 7 7 Total CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 495
    • 826523 _ 0491-0496.qxd 27/4/07 14:02 Página 496 13 ESTADÍSTICA EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 a) Variable discreta. b) Variable continua. c) Variable continua. d) Variable discreta. 2 Y Estatura Marca Número 200 fi Fi (en cm) de clase de alumnos 180 (140, 150] 145 12 12/189 12 160 140 (150, 160] 155 36 36/189 48 120 100 (160, 170] 165 47 47/189 95 80 (170, 180] 175 65 65/189 160 60 40 (180, 190] 185 25 25/189 185 20 X (190, 200] 195 4 4/189 189 140 150 160 170 180 190 200 3 Como hay 60 coches, a cada coche le corresponderá: 60 → 360° ⎫ ⎪ ⎬ → x = 6° Mercedes 1 → x ⎭ ⎪ ⎪ Seat Por tanto: Ford Seat ⎯⎯→ 11 ⋅ 6 = 66° Opel ⎯⎯ → 5 ⋅ 6 = 30° ⎯ Renault ⎯ 10 ⋅ 6 = 60° → Ford ⎯⎯ → 9 ⋅ 6 = 54° ⎯ Opel Renault Peugeot → 14 ⋅ 6 = 84° Mercedes → 4 ⋅ 6 = 24° Audi ⎯⎯ → 7 ⋅ 6 = 42° Audi 31.885 4 Media aritmética: x = = 168,7 Peugeot 189 Moda: Mo = 175 ( 189 + 1) Intervalo mediano: Como son 189 datos, la posición central será: = 95 , dato que está en el intervalo (160, 170]. 2 5 xi fi fi ⋅ xi ⏐xi − x-⏐ fi⏐xi − x-⏐ x i2 fi ⋅ x i2 Medidas de centralización: 1 4 4 3,37 13,48 1 4 ∑ fi xi 153 x= = = 4,37 ∑ fi 35 2 3 6 2,37 7,11 4 12 Me = 4 Mo = 7 3 6 18 1,37 8,22 9 54 Rango = 7 − 1 = 6 4 3 12 0,37 1,11 16 48 ∑ fi⏐xi − x⏐ 59 , 89 DM = = = 1,71 5 8 40 0,63 5,04 25 200 ∑ fi 35 6 4 24 1,63 6,52 36 144 ∑ fi x i2 805 V= = = 23 ∑ fi 23 7 7 49 2,63 18,41 49 343 σ= V = 4,8 Total 35 153 59,89 805 496 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ CONTINÚA EN SOBRANTE
    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 497 14 Probabilidad INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS La probabilidad se utiliza actualmente en numerosas Los conceptos previos que se han de revisar disciplinas, unida a veces a la Estadística en aspectos antes de comenzar el estudio de la unidad de predicción de fenómenos. Por ello es conveniente son los correspondientes a cursos anteriores. trabajar los conceptos de la unidad mediante sucesos • Distinción entre experimentos aleatorios de la vida cotidiana o realizar los ejercicios de forma y deterministas. práctica: extracción de bolas de una bolsa, de cartas de una baraja, lanzamiento de dados o monedas, etc. • Concepto intuitivo de probabilidad. Las dificultades de la unidad son conceptuales, • Aplicación de la regla de Laplace. pues los cálculos en los procedimientos son sencillos. CONTENIDOS PROBABILIDAD • Experimentos deterministas y aleatorios. Sucesos. – Espacio muestral. – Tipos de sucesos. • Operaciones con sucesos. Propiedades. • Concepto de probabilidad. • Regla de Laplace. • Frecuencia y probabilidad. • Propiedades de la probabilidad. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Las dos primeras actividades sirven para determinar si Las tres cuestiones iniciales de la prueba trabajan el los alumnos tienen claro el concepto de experimento cálculo de los sucesos posibles de un experimento aleatorio, y si saben aplicar los conceptos intuitivos sobre aleatorio y, por tanto, la determinación del espacio el azar: seguro, más o menos probable o imposible… La muestral asociado a un experimento, utilizando los dia- tercera actividad trabaja la aplicación de técnicas gramas de árbol. Las siguientes actividades son de apli- como, por ejemplo, los diagramas de árbol, y la última cación directa de la regla de Laplace y de la ley de los actividad sirve para comprobar si los alumnos recuer- grandes números, y las últimas actividades servirán dan la regla de Laplace. Todas las actividades son sen- para comprobar si los alumnos saben aplicar las reglas cillas y no deberían ofrecer dificultades a los alumnos. de la probabilidad en ejercicios y problemas. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 497
    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 498 14 PROBABILIDAD EVALUACIÓN INICIAL 1 Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas. a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes, y anotamos el color. b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número que sale. c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda en llegar al suelo. d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos el resultado. 2 En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamos al aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3. b) Es seguro que el dado tendrá color blanco. c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco. d) Es menos probable que salga un 3 que un 5. 3 En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas. a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol. b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener 2 bolas del mismo color? c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras? d) ¿Y para que sean 2 verdes? 4 Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a) A = {Sacar un número par} b) B = {Sacar un número primo} c) C = {Sacar un número par y menor que 4} 4 3 5 2 1 498 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 499 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas. a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes, y anotamos el color → Experimento aleatorio. b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número que sale → Experimento aleatorio. c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda en llegar al suelo → Experimento determinista. d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos el resultado → Experimento determinista. 2 En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamos al aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3 → Falso, ya que puede salir un 5 tanto si el dado es blanco como si es rojo. b) Es seguro que el dado tendrá color blanco → Falso, pues puede salir también rojo. c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco → Verdadero, ya que hay más dados de color rojo que blanco. d) Es menos probable que salga un 3 que un 5 → Falso, pues hay la misma cantidad de números 3 que de números 5. 3 En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas. a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol. B b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener B V 2 bolas del mismo color? Tendríamos que sacar 4 bolas, N ya que 3 podrían ser de diferente color y la siguiente B sería de uno de los colores anteriores. V V c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras? N Tendríamos que sacar 7 bolas, pues podrían salir 2 bolas blancas, B seguidas de 3 verdes y, después, las dos siguientes serían negras. N V d) ¿Y para que sean 2 verdes? Sacaríamos 8, ya que podrían ser N 2 bolas blancas, seguidas de 4 negras y las dos siguientes serían verdes. 4 Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a) A = {Sacar un número par} 2 A = { 2 , 4 } → P( A ) = 5 4 3 b) B = {Sacar un número primo} PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 2 B = { 3 , 5 } → P( B) = 5 5 2 c) C = {Sacar un número par y menor que 4} 1 1 C = { 2 } → P( C ) = 5 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 499
    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 500 14 PROBABILIDAD contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Obtención del espacio 1 Lanza al aire una moneda y un dado. Luego haz un diagrama de árbol muestral de un experimento con los posibles resultados, y escribe el espacio muestral asociado a dicho aleatorio. experimento. 2 Elabora un diagrama de árbol que incluya todos los números de tres cifras que se pueden formar con 2 y 4. Realización de uniones 3 En el lanzamiento de un dado dodecaédrico, con las caras numeradas e intersecciones del 1 al 12, consideramos los sucesos: A = {Sacar un número par}; de sucesos. B = {Sacar un número primo mayor que 3} y C = {Sacar un número cuadrado}. Calcula. a) A ∩ B ៮ b) A ∪ (B ∩ C ) c) Ae∪eC ៮ d) Ce∪eA Cálculo de la probabilidad 4 Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, de distintos sucesos en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos, aplicando la regla aplicando la regla de Laplace. de Laplace. a) Sacar el as de espadas. b) Sacar una figura o un número menor que 8. c) Sacar oros. d) Sacar copas o bastos. e) Sacar una carta que no sea figura. f) Sacar una carta que sea múltiplo de 16. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2, 3 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 4, 5, 6, 7, 8 500 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 501 Aplicación de 5 En una bolsa tenemos 1.000 bolas de color blanco, verde y negro. las propiedades Repetimos 200 veces el experimento de extraer una bola, anotar el color de las frecuencias relativas y devolverla a la bolsa. Los resultados son: en experimentos aleatorios. Bolas Blancas Verdes Negras fi 115 69 16 a) Calcula las frecuencias de cada color. b) ¿Qué cantidad de bolas hay de cada color? Determinación de la 6 Se saca una ficha de dominó y se anotan los resultados. Dados los siguientes probabilidad de la unión de sucesos: A = {La suma de los puntos de la ficha sea 6} y B = {Ficha doble}, dos sucesos compatibles calcula la probabilidad de los sucesos. o incompatibles. a) A ∪ B b) A,∩,B ៮ c) B 7 De una clase de 30 alumnos de 3.o ESO, 21 de ellos han aprobado Ciencias Naturales, 15 han aprobado Ciencias Sociales y 12 han aprobado las dos asignaturas. Si escogemos un alumno al azar: a) ¿Qué probabilidad existe de que haya aprobado Ciencias Sociales, pero no Ciencias Naturales? b) ¿Y de que haya aprobado Ciencias Naturales, pero no Ciencias Sociales? 8 Se hace una encuesta en una ciudad y se comprueba que el 25 % de los habitantes lee el periódico A, un 43 % lee el periódico B y un 8 % lee ambos periódicos. Si escogemos una persona al azar, ¿qué probabilidad hay de que no lea ninguno de los periódicos? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1, 2 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 501
    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 502 14 PROBABILIDAD EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Diagrama de árbol y espacio muestral. 2 Diagrama de árbol. 1 2 2 2 4 3 2 c 2 4 4 4 5 6 2 2 4 1 4 2 2 4 3 4 + 4 5 6 E = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6), E = {222, 224, 242, 244, 422, 424, 442, 444} (+, 1), (+, 2), (+, 3), (+, 4), (+, 5), (+, 6)} 3 Lanzamiento de un dado. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {5, 7, 11}, C = {1, 4, 9} a) A ∩ B = ٠ ៮ ៮ b) A ∪ (B ∩ C ) = {1, 3, 5, 7, 9, 11} ∪ ٠ = A c) Ae∪eC = {3, 5, 7, 11} ៮ d) Ce∪eA = {2,,3,,5,,6,,7,,8,,10,,11,,12},∪,{2,,4,,6,,8,,10,,12} = {1, 9} 4 Extracción de una carta de una baraja. 1 10 20 28 a) P( A ) = b) P( B) = 1 c) P( C ) = d) P( D ) = e) P( E ) = f) P( F) = 0 40 40 40 40 5 Bolas de colores. 115 69 16 a) f( B) = = 0 , 575 f( V ) = = 0 , 345 f( N) = = 0 , 08 200 200 200 b) La cantidad aproximada de bolas será: Blancas: 0,575 ⋅ 1.000 = 575 Verdes: 0,345 ⋅ 1.000 = 345 Negras: 0,08 ⋅ 1.000 = 80 6 Fichas de dominó. Son 28 fichas. E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), …, (0, 6), (1, 1), (1, 2), …, (6, 6)} A = {(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} B = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 10 5 1 27 ៮ 21 3 a) P (A ∪ B) = = b) P (A,∩,B) = 1 − P( A ∩ B) = 1 − = c) P (B ) = = 28 14 28 28 28 4 7 Alumnos. 15 12 a) P( SOC − NAT ) = P( SOC ) − P( SOC ∩ NAT ) = − = 0 ,1 30 30 21 12 b) P( NAT − SOC ) = P( NAT ) − P( NAT ∩ SOC ) = − = 0, 3 30 30 8 Lectura de periódicos. P(A) = 0,25, P( B) = 0,43 y P( C) = 0,08 P(A,∪,B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − [ P(A) + P( B) − P(A ∩ B] = 1 − (0,25 + 0,43 − 0,08) = 1 − 0,6 = 0,4 502 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
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    • 826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 504 Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTA Interiores: Rosa María Barriga Ilustración: José María Valera Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Félix Rotella Confección y montaje: Pedro Valencia, Fernando Calonge, Luis González Corrección: Marta Rubio, Gerardo Z. García Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: A. Viñas; Algar/Deutsche Bank, Media Markt; C. Jiménez; E. Marín; F. Po; GARCÍA-PELAYO/Juancho/Volkswagen; I. Rovira; J. Gual; J. Jaime; J. L. G. Grande; J. Lucas; J. M. Gil-Carles; J. M.ª Escudero; J. Soler; J. V. Resino/Mercedes Benz, Mitsubishi, Opel; Krauel; L. M. Iglesias; Michele di Piccione; O. Daidola; O. Torres; ORONOZ; P. Esgueva; Prats i Camps; R. Antunes; S. Enríquez; S. Padura; A. G. E. FOTOSTOCK/Alfred Pasieka; AGENCIA ZARDOYA; CENTRAL STOCK; DIGITAL BANK; DIGITALVISION; EFE/EPA/Gero Breloer, Emilio Naranjo, C. Abadía, M. Hernández de León; EFE/LEHTIKUVA OY/Sverker Ström; EFE/SIPA-PRESS/Ben Simmons, Gilles Martin-Raget, KEYSTONE/C. Nelson, Lee Young-Ho, Martin Sasse, Peter Stumpf, Tony Lopez, CHRISTIES, SIPA SPORT/David Taylor, YLI/SIPA ICONO; GALICIA EDITORIAL/Miguel Villar; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; JOHN FOXX IMAGES; NASA/NASA, ESA and AURA/Caltech; PHOTOALTO; PHOTODISC; ANTENA 3 TELEVISIÓN; BANCO ZARAGOZANO; BIBLIOTECA NACIONAL, MADRID/Laboratorio Biblioteca Nacional; C. Vázquez; CENTRO COMERCIAL EROSKI; Chupa Chups S. A.; HP/Hewlett-Packard; IBERAGENTES; IBERDROLA; J. Gómez; M. Vives; MATTON-BILD; MUSEO DEL LOUVRE, PARÍS; MUSEO DIOCESANO, GERONA; MUSEO NAVAL, MADRID; PALOMEQUE; Porsche España; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA © 2007 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, 60. 28043 Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por ISBN: 978-84-294-0951-2 CP: 826523 Depósito legal: Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, cualquier forma de reproduc- ción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con la autorización de los titulares de la propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad inte- lectual (artículos 270 y siguientes del Código Penal).