3ºeso propuestas para_la_evaluacion_3ºeso_santillana

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3ºeso propuestas para_la_evaluacion_3ºeso_santillana

  1. 1. 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 419 1 Números racionales INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad tiene un carácter procedimental Se recomienda comenzar la unidad comprobando y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todo y repasando, si es necesario, los conceptos más en el uso de fracciones y números decimales. importantes sobre divisibilidad y las distintas Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidad interpretaciones de una fracción: como cociente son conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzar de dos números, como resultado de una medida el método de trabajo de manipulación de fracciones, y como operador, dejando clara la interpretación así como también se deben ampliar algunos conceptos de fracciones positivas y negativas; la diferencia entre de transformaciones de fracciones y decimales, las fracciones propias e impropias; la representación e introducir la clasificación de números de fracciones mediante figuras geométricas y la representación gráfica de números racionales. y las operaciones con fracciones. Los conocimientos A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar previos que han de tener los alumnos son: a los alumnos sobre la presencia de las fracciones • Criterios de divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m. en distintos contextos: situaciones de compra de dos o más números. o consumo, figuras geométricas, informaciones • Interpretación de un número fraccionario. en medios de comunicación… • Representación de fracciones. CONTENIDOS NÚMEROS RACIONALES • Concepto de fracción. Interpretación de una fracción. Fracciones equivalentes. Fracción irreducible. • Ordenación y comparación de fracciones. • Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicación y división de fracciones. • Concepto y tipos de números decimales. • Fracciones y números decimales. Reglas de conversión. • Números racionales y fracciones. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial es un resumen de los contenidos de La prueba que se ha diseñado contiene todos los conte- «Divisibilidad» y «Fracciones», de 2.º ESO, haciendo hin- nidos procedimentales de la unidad. Las actividades se capié en aquellos procedimientos más básicos: calcu- pueden resolver fácilmente, ya que es una unidad de lar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números, averiguar la revisión de conceptos y procedimientos estudiados en fracción que representa una parte de un gráfico, repre- cursos anteriores. Las últimas actividades: problemas sentar gráficamente una fracción y alguna de las ope- y clasificación de números, son las que pueden resultar raciones básicas: suma y multiplicación de fracciones más complicadas a los alumnos. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN y simplificación de fracciones. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 419
  2. 2. 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 420 1 NÚMEROS RACIONALES EVALUACIÓN INICIAL 1 Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por? Número 2 3 5 7 11 13 12 434 825 30 468 11 2 Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m. 132 154 3 El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone su área respecto del área total del tangram. b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos? c) Si el área total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas? 4 Representa gráficamente las siguientes fracciones. 3 3 9 a) b) c) 8 10 20 5 Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado. 5 5 8 + ⋅ = 18 6 5 420 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  3. 3. 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 421 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por? Número 2 3 5 7 11 13 12 Sí Sí No No No No 434 Sí No No Sí No No 825 No Sí Sí No Sí No 30 Sí Sí Sí No No No 468 Sí Sí No No No Sí 11 No No No No Sí No 2 Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m. 132 2 154 2 66 2 77 7 m.c.d. (132, 154) = 2 ⋅ 11 = 22 33 3 11 11 F 11 11 1 m.c.m. (132, 154) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 924 1 3 El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone su área respecto del área total del tangram. 1 1 1 A1 = A 2 = , A 3 = A6 = , A 4 = A 5 = A7 = 1 4 16 8 b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos? 2 3 4 ⎛1 1⎞ 1 3 A T = 1 − ( A 4 + A5 ) = 1 − ⎜ + ⎟ = 1 − ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎝8 8⎠ ⎟ 4 4 5 2 6 7 c) Si el área total del tangram es 32 cm , ¿cuál es el área de cada una de las piezas? A1 = A 2 = 8 cm 2 , A 3 = A6 = 2 cm 2 , A 4 = A5 = A7 = 4 cm 2 4 Representa gráficamente las siguientes fracciones. 3 3 9 a) b) c) 8 10 20 a) b) c) PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 5 Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado. 5 5 8 5 8 5 +8⋅3 29 + ⋅ = + = = 18 6 5 18 6 18 18 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 421
  4. 4. 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 422 1 NÚMEROS RACIONALES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 15 Obtención de fracciones 1 Escribe una fracción equivalente a y cuyo denominador sea 80. equivalentes mediante 48 amplificación y simplificación. 5 Determinación 2 De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a . de si dos fracciones 15 son o no equivalentes. 6 7 11 15 18 20 23 21 21 30 45 55 60 65 128 144 Búsqueda de fracciones 3 Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones: y . equivalentes a una dada. 1.024 54 7 14 23 33 Comparación y ordenación 4 Ordena las siguientes fracciones: , , , . de fracciones. 4 5 11 14 2 7 Operaciones con fracciones. 5 Completa la suma: + = . 3 5 6 Opera y simplifica. 5 ⎡⎢ 3 ⎛ 5 15 ⎞⎤⎥ ⎟ a) ⋅ −⎜ : ⎜ ⎟ ⎟ 9 ⎢⎣ 4 ⎜ 7 ⎝ 2 ⎠⎥⎦ ⎟ 7 ⎡⎢ 5 ⎛ 6 42 ⎞⎤⎥ ⎟ ⋅ −⎜ − ⎟ b) 5 ⎣⎢ 32 ⎜ 27 ⎜ ⎝ ⎟ 24 ⎟⎥⎦ ⎠ CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 8 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 9 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 5, 6, 10, 11 422 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  5. 5. 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 423 Reconocimiento 7 Sin realizar ninguna división, clasifica estos números en enteros, y clasificación de números. decimales exactos o decimales periódicos. 7 40 128 35 13 15 , , , , , 40 7 8 15 128 34 8 Completa la siguiente tabla. N Z Q I 13 − 7 23 −7,8 8 2 Obtención 9 Obtén la fracción generatriz de los números decimales. de la fracción generatriz de un número decimal a) 12,05 b) 12,05 c) 12,05 exacto o periódico. Resolución de problemas 10 En la fabricación de sulfato sódico, por cada 142 g del producto final, con fracciones. 32 g son de azufre, 64 g de oxígeno y 46 g de sodio. Expresa mediante una fracción los gramos de azufre, oxígeno y sodio que son necesarios para fabricar 100 g de sulfato. 4 11 De la clase de 3.º ESO, las partes son chicos. ¿Qué fracción representa 7 el número de chicas? ¿Cuántas chicas hay si son 28 alumnos en total? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 5, 7, 11 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 423
  6. 6. 826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 424 1 NÚMEROS RACIONALES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 15 x 15 ⋅ 80 15 25 1 Fracción equivalente. = → x = = 25 → = 48 80 48 48 80 2 Fracción equivalente. 6 7 11 15 18 20 23 21 21 30 45 55 60 65 128 27 1 1 144 24 ⋅ 32 8 3 Fracciones irreducibles. = 10 = 3 = = = 1.024 2 2 8 54 2 ⋅3 3 3 7 23 33 14 4 Ordenación de fracciones. < < < 4 11 14 5 7 2.695 14 4.312 23 3.220 33 3.630 Común denominador: → → → → 4 1.540 5 1.540 11 1.540 14 1.540 2 7 7 2 7 ⋅ 3 −2 ⋅ 5 11 5 Operación inversa. + x = → x = − = = 3 5 5 3 15 15 6 Cálculo. 5 ⎡⎢ 3 ⎜ 5 15 ⎞⎤⎥ ⎛ ⎟ = 5 ⋅ ⎛ 3 − 10 ⎜ ⎞ ⎟ = 5 ⋅ 315 − 40 = 5 ⋅ 275 = 1.375 = 275 a) ⋅ −⎜ : ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 9 ⎢⎣ 4 ⎝ 7 2 ⎠⎥⎦ ⎟ 9 ⎝4⎜ 105 ⎟ ⎠ 9 420 3.780 . 3.780 756 7 ⎡⎢ 5 ⎛ 6 42 ⎞⎤⎥ ⎟ = 7 ⋅ ⎛ 5 − 6 ⋅ 8 − 42 ⋅ 9 ⎞ = 7 ⋅ ⎛ 5 + 330 ⎜ ⎟ ⎜ ⎞ ⎟ = 7 ⋅ 1.455 = 679 ⋅ −⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) 5 ⎣⎢ 32 ⎜ 27 ⎜ ⎝ ⎟ 24 ⎟⎥⎦ ⎠ 5 ⎜ 32 ⎝ 216 ⎟ ⎟ ⎠ 5 ⎜ 32 ⎝ 6 216 ⎟ ⎟ ⎠ 5 864 288 7 40 128 35 13 15 7 Clasificación. 40 7 8 15 128 34 D. Exacto D. Periódico Entero D. Periódico D. Exacto D. Periódico 1.205 241 8 9 a) 12,05 = = N Z Q I 100 20 13 1.205 − 120 1.085 217 − b) 12,05 = = = 7 90 90 18 1.205 − 12 1.193 23 c) 12,05 = = 99 99 −7,8 8 2 10 Por 100 g de sulfato sódico. 32 x 1.600 64 y 3.200 Azufre: = → x = Oxígeno: = → y = 142 100 71 142 100 71 46 z 2.300 Sodio: = → z = 142 100 71 4 7 −4 3 3 3 3 ⋅ 28 11 En el aula. 1 − = = son chicas; de 28 = ⋅ 28 = = 12 chicas 7 7 7 7 7 7 424 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  7. 7. 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 425 2 Números reales INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS En esta unidad se trabajan los números decimales, Esta unidad está relacionada con los contenidos de su relación con las fracciones y el uso de potencias. «Números decimales» y «Potencias y raíz cuadrada». Los contenidos siguen siendo básicamente Los conocimientos previos son los relativos a: procedimentales. Al acabar la unidad los alumnos • Potencias con base entera. han de saber manipular perfectamente las potencias • Trabajo con números decimales y en notación y la notación científica, que son esenciales en otras científica. áreas de las Matemáticas. Uno de los aspectos más importantes de la unidad es el concepto de número irracional y la estimación y aproximación de números. CONTENIDOS NÚMEROS REALES 1. Números racionales. • Potenciación de números racionales. Potencias de exponente positivo. Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias. • Operaciones con potencias. • Potencias de base 10. Notación científica. • Operaciones con números expresados en forma científica. 2. Concepto de número real. • Número con una expresión decimal finita o infinita. Números racionales e irracionales. • Posición de un punto en una recta numérica. • Aproximación de números reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento. Reglas de uso. • Error cometido en las aproximaciones y operaciones con números reales. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial es un resumen de los contenidos de La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera par- «Potencias y raíz cuadrada», de 2.º ESO, en el que se te (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso de hace hincapié en los conceptos básicos de las potencias: las potencias y de manipulación de números mediante cálculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2) notación científica, que se pueden trabajar con la calcu- e inversas (actividad 3), así como el cálculo con núme- ladora y que sirven para conocer los diferentes tipos de ros en notación científica (actividad 5). calculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es de trabajo con los números reales: aproximaciones y re- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN presentación gráfica, siendo las dos últimas actividades problemas para realizar con la calculadora. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 425
  8. 8. 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 426 2 NÚMEROS REALES EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe la descomposición factorial de los siguientes números. a) 810 c) 4.455 b) 31.752 d) 33.275 2 Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias. Base Exponente Resultado 23 (−3)2 ⎛1⎞ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ 3⎞ 2 ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 7⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 3 Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora. Arista 3 5 Volumen 27 729 4.913 Área de una cara 9 64 4.225 4 Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 27 = 28 = Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236? 5 Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población? 426 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  9. 9. 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 427 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Escribe la descomposición factorial de los siguientes números. a) 810 = 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 c) 4.455 = 3 4 ⋅ 5 ⋅ 11 b) 31.752 = 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2 d) 33.275 = 52 ⋅ 113 2 Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias. Base Exponente Resultado 3 2 2 3 8 (−3)2 −3 2 9 ⎛1⎞ 4 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜5⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 5 625 ⎛ 3⎞ 2 3 9 ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ − 2 ⎜ 7⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 7 49 3 Completa la tabla con la calculadora. Arista 3 9 8 5 65 17 Volumen 27 729 512 125 274.625 4.913 Área de una cara 9 81 64 25 4.225 289 4 Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236? Se repite la última cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …}; por tanto, la potencia 2 36 tendrá la misma última cifra que 2 4, es decir, un 6. 5 Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población? Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante: 250 ⋅ 10 6 = 1, 25 ⋅ 10 6 días. Luego dividimos esta cantidad entre el número de habitantes PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 200 1, 25 ⋅ 10 6 que tiene la población: ≈ 94 días. 13.350 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 427
  10. 10. 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 428 2 NÚMEROS REALES contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Cálculo de potencias 1 Calcula las siguientes potencias. con exponentes negativos. −2 ⎛1⎞ a) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) ((−3)2)−2 ⎝5⎟ ⎜ ⎠ ⎟ Aplicación de las 2 Expresa como una sola potencia. propiedades de las potencias. −4 ⎛1⎞ 32 ⋅ 93 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ 27−2 ⎜3⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 3 Calcula y simplifica la siguiente potencia. (8 ⋅ 4−2)3 Expresión de un número 4 Escribe en notación científica estos números o expresiones numéricas. en notación científica. a) 1.700.000.000 b) 0,0000000017 c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 Trabajo con números 5 Opera mediante la notación científica. y potencias en notación científica. (6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3 6 Calcula el término que falta. a) 3,2 ⋅ 105 + = 5,7 ⋅ 106 b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ = 2,7 ⋅ 104 Determinación de 7 Trunca y redondea los siguientes números o expresiones numéricas aproximaciones decimales a las milésimas. de números racionales e irracionales hasta las a) 5 décimas, centésimas… 19 b) 6 3 c) − 0,3 5 CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 3, 5, 6, 10 428 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  11. 11. 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 429 Representación de números 8 Representa el número 5 en la recta real de forma exacta. e intervalos en la recta real. 9 Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos ⎛ 7⎤ ⎛ 5 17 ⎞ ⎟. Luego comprueba si los números 14 A = ⎜−3, ⎜ ⎥ yB = ⎜ , ⎜ ⎟ ⎟ 5 y− ⎜ ⎝ 3 ⎥⎦ ⎜ ⎝2 4 ⎠⎟ 5 pertenecen o no a los intervalos. Resolución de problemas 10 Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro con un diámetro de unas 7 millonésimas con diferentes tipos de metro y unas 2 millonésimas de altura. ¿Cuál es su volumen? de números y aproximaciones. 11 En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 ¬ ± 3 %. ¿Entre qué dos valores estará comprendida la cantidad de aceite que contiene? CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 8, 9 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 7, 11 • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 429
  12. 12. 826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 430 2 NÚMEROS REALES EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES −2 ⎛1⎞ 1 1 1 a) ⎜ ⎟ = ((5) −1) −2 = 52 = 25 ⎜ ⎟ b) ((−3)2)−2 = ( 3 2 ) −2 = 3 −4 = = ⎜5⎟ ⎝ ⎟ ⎠ 3 4 81 −4 ⎛1⎞ 2 Cálculo. 32 ⋅ 93 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⋅ 27−2 = 3 2 ⋅ ( 3 2 ) 3 ⋅ ( 3 −1 ) −4 ⋅ ( 3 3 ) −2 = 3 2 +6 + 4 −6 = 3 6 ⎟ ⎝ ⎠ 3 Cálculo y simplificación. (8 ⋅ 4−2) 3 = (2 3 ⋅ (2 2) −2) 3 = (2 3−4) 3 = (2 −1) 3 = 2 −3 4 Notación científica. a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 10 9 b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10 −9 c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 = 2,5 ⋅ 10 + 3,2 ⋅ 10 −6 − 2 ⋅ 10 −5 = −3 = (2.500 + 3,2 − 20) ⋅ 10 −6 = 2,4832 ⋅ 10 −3 5 (6,5 ⋅ 10 7 − 0,23 ⋅ 10 9) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = ((6,5 − 23) ⋅ 10 7) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = = −16,5 ⋅ 10 7 ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = −84,15 ⋅ 10 4 = 8,415 ⋅ 10 5 6 a) 3,2 ⋅ 105 + A = 5,7 ⋅ 106 → A = 5,7 ⋅ 10 6 − 3,2 ⋅ 10 5 = (5,7 − 0,32) ⋅ 10 6 = 5,38 ⋅ 10 6 2 , 7 ⋅ 10 4 b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ B = 2,7 ⋅ 104 → B = = 1, 8 ⋅ 10 7 1, 5 ⋅ 10 −3 7 Truncamiento y redondeo. Redondeo Truncamiento a las milésimas a las milésimas 5 = 2 , 23606 … 2,236 2,236 19 = 3 ,1666 … 3,167 3,166 6 3 3 1 4 − 0,3 = − = = 0 , 2666 … 0,267 0,266 5 5 3 15 8 Mediante el teorema de Pitágoras. 5 = 2 2 + 12 → 5 = 2 2 + 12 → Triángulo de catetos 2 y 1 1 0 1 2 5 3 4 9 Representación de intervalos. 14 7 14 ⎛ 5⎤ 7 ⎛ 5⎞ ⎟ −3 < − ≤ →− ∈ ⎜−3 , ⎜ ⎥ −3 < 5 < → 5 ∈ ⎜−3 , ⎜ ⎟ ⎟ 5 3 5 ⎜ ⎝ 2 ⎥⎦ 3 ⎜ ⎝ 2⎟ ⎠ 14 5 − 5 5 2 −3 −2 −1 0 1 2 7 3 4 17 5 3 4 ⎛7 ⎞ 2 π ⋅ 49 ⋅ 2 10 Glóbulo rojo. V = π ⋅ ⎜ ⎜ ⋅ 10 −6 ⎟ ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = ⎟ ⎟ ⋅ 10 −12 +( −6 ) ≈ 7 ,7 ⋅ 10 −17 m 3 2 ⎜2 ⎝ ⎟ ⎠ 4 11 Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225 → 0,75 ± 0,0225 → Intervalo: (0,7275; 0,7725) 430 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  13. 13. 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Página 431 3 Polinomios INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Esta unidad continúa el estudio algebraico comenzado En el curso anterior se comenzó el estudio en cursos anteriores. La utilización del lenguaje de las expresiones algebraicas, que es fundamental algebraico es fundamental en el proceso tanto en este tema como en los relativos de abstracción matemático y será básico al trabajar a ecuaciones y sistemas. Conviene revisar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones. estos aspectos. Los dos aspectos más importantes de la unidad son: • Operaciones con números desconocidos mediante la división de polinomios, que es necesaria para hallar el lenguaje algebraico. raíces de polinomios, y los productos notables. • Cálculo de sumas y restas de monomios Será interesante hacer ver a los alumnos que semejantes. las expresiones algebraicas se utilizan en numerosos • Trabajo con igualdades notables. aspectos de la economía, física, química, etc., y en diferentes operaciones o ecuaciones. CONTENIDOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS • Monomios. Operaciones. • Polinomios. Valor numérico de un polinomio. • Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones. • División de polinomios. • Regla para sacar factor común en un polinomio. • Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia. • Fracciones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD La prueba inicial es un resumen de los contenidos de La prueba que se ha diseñado contiene actividades re- «Expresiones algebraicas», de 2.º ESO, y se hace hin- lativas a los contenidos que se trabajan en la unidad, capié en la transformación de expresiones algebraicas, sobre todo el cálculo con polinomios: sacar factor co- operaciones con monomios y valor numérico de un po- mún, reducir, operaciones con polinomios… Conviene linomio, ya que el resto de conceptos del curso anterior trabajar la parte final (actividades 8 a 11): división de se vuelven a revisar en este curso y, por tanto, apare- polinomios y binomios notables, tanto en su aplicación cen en las actividades de la unidad. directa como inversa. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 431
  14. 14. 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Página 432 3 POLINOMIOS EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa mediante el lenguaje algebraico. a) Un múltiplo de 9. b) El cubo de un número. c) Un número impar. d) Un múltiplo común de 3 y 4. 2 Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados. a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo. b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto. c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto. d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche. e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo. 3 Opera con los monomios. P (x) = −3x 2 R (x) = 5x 2 T (x) = −6x Q (x) = 4x S (x) = 7 P (x) + R (x) = Q (x) − T (x) = P (x) + S (x) = P (x) ⋅ T (x) = 4 Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. P (x) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯ P (3) = → P (x) = −3x + 3x 2, si x = 2 → P (2) = P (x) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → P (−2) = 432 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  15. 15. 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 433 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Expresa mediante el lenguaje algebraico. a) Un múltiplo de 9 → 9 n b) El cubo de un número → n3 c) Un número impar → 2 n + 1 d) Un múltiplo común de 3 y 4 → 12 n 2 Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados. a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo → v3 = 5 v1 v2 b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto → v1 = 4 c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte v + v3 de la suma de las velocidades del coche y la moto → 2 v1 = 2 9 d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche → 2 v2 = v3 v3 e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo → = v1 6 3 Opera con los monomios. P (x) = −3x 2 R (x) = 5x 2 T (x) = −6x Q (x) = 4x S (x) = 7 P (x) + R (x) = 2 x2 Q (x) − T (x) = 10 x P (x) + S (x) = −3 x2 + 7 P (x) ⋅ T (x) = 18 x3 4 Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. P (x) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯ P (3) = 12 + 3 = 15 → P (x) = −3x + 3x 2, si x = 2 → P (2) = −6 + 12 = 6 P (x) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → P (−2) = ((−2) 2 − 4) 2 = 0 2 = 0 PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 433
  16. 16. 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 434 3 POLINOMIOS contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción entre coeficiente, 1 Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado. parte literal y grado de un monomio. Monomio Coeficiente Parte literal Grado 12x 3 −7ab 2 7 5 x 2y 3 2 2 3 2 mn p 3 Obtención de factor común 2 Saca factor común. en expresiones algebraicas. 2 4 7x 3 yz 2 + xyz 3 − x 2 y 2z 3 5 Reducción y ordenación 3 Reduce y ordena el siguiente polinomio. de polinomios. P (x ) = 4 x − 3 x 2 + 5 − 3 x + 7 x 3 − 2 x 2 − 3 x 3 + 4 Determinación del valor 4 Determina el grado y el término independiente del polinomio anterior. numérico de una expresión. Calcula su valor numérico para x = −3. Cálculo de sumas, restas 5 Halla el resultado de esta operación entre polinomios. y productos de diferentes polinomios. (7x 2 + 3x − 2) ⋅ (2x 2 − 5x + 8) 6 Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 6, 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 8, 10 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 8, 9, 10, 11 434 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  17. 17. 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 435 7 Dados los polinomios: P (x ) = x 4 − 2 x + 3 Q (x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 M (x ) = x + 4 realiza las siguientes operaciones. a) P (x ) − Q (x ) b) Q (x ) ⋅ M (x ) c) P (x ) : M (x ) División de polinomios. 8 Haz la división y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto. (x 5 + 4 x 4 − 3x 3 + 5 x − 2) : (x + 1) Trabajo con los 9 Efectúa los siguientes productos notables. productos notables. a) (x 2 − 4)(x 2 + 4) b) (2x + 3)2 Determinación 10 Expresa en forma de producto estos polinomios. de cuadrados perfectos. a) x 2 + 6x + 9 b) 9y 2 + 30y + 25 Simplificación de fracciones 11 Opera y simplifica las siguientes fracciones. algebraicas. 8 x 2 y 3z a) 4 xy 4 z 2 x 3 − 6x 2 b) 3x x 2 − 3x c) x2 − 9 CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 10 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 435
  18. 18. 826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Página 436 3 POLINOMIOS EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 Tabla. Monomio Coeficiente Parte literal Grado 12x 3 12 x3 3 −7ab 2 −7 ab2 3 7 5 x 2y 3 7 5 x2y3 5 2 2 3 2 2 mn p m2n3p2 7 3 3 2 4 ⎛ 2 2 4 ⎞ 2 Factor común. 7x 3 yz 2 + xyz 3 − x 2 y 2z = xyz ⎜7 x 2 z + ⎜ z − xy⎟ ⎟ ⎟ 3 5 ⎜ ⎝ 3 5 ⎠⎟ 3 P( x) = ( 7 x 3 − 3 x 3 ) + ( −3 x 2 − 2 x 2 ) + ( 4 x − 3 x ) + ( 5 + 4 ) = 4 x 3 − 5 x 2 + x + 9 4 Grado: 3. Término independiente: 9. Valor numérico: P( −3 ) = 4 ⋅ ( −3 ) 3 − 5 ⋅ ( −3 ) 2 + ( −3 ) + 9 = −147 5 (7x 2 + 3x − 2) ⋅ (2x 2 − 5x + 8) = 14 x4 − 35 x3 + 56 x2 + 6 x3 − 15 x2 + 24 x − 4 x2 + 10 x − 16 = = 14 x4 − 29 x3 + 37 x2 + 34 x − 16 6 Polinomio opuesto. −P( x ) = −14 x 4 + 29 x 3 − 37 x 2 − 34 x + 16 7 a) P (x) − Q (x) = x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 4 b) Q (x) ⋅ M (x) = 2 x 4 + 5 x 3 − 12 x 2 − x − 4 resto 267 c) P (x) : M (x) = x 3 − 4 x 2 + 16 x − 66 + cociente x+4 8 −x 5 + 4x 4 − 3x 3 + 5x − 2 x+1 −x − 4x − 3x + 5x − 2 5 4 3 x4 + 3 x3 + 5 −x5 + 3 x4 − 3 x3 −x5 − 3 x4 − 3 x3 + 5x − 2 + 5x − 5x − 5 −7 9 Productos notables. a) (x 2 − 4)(x 2 + 4) = x4 − 16 b) (2x + 3)2 = 4x2 + 12 x + 9 10 Productos notables. a) x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 b) 9y 2 + 30y + 25 = (3 y + 5) 2 11 Simplificación de fracciones algebraicas. 8 x 2 y 3z 2x x 2 − 3x x( x − 3 ) x a) = c) = = 4 xy 4 z 2 yz x2 − 9 ( x − 3 )( x + 3 ) x+3 x 3 − 6x 2 x2 ( x − 6 ) x( x − 6 ) b) = = 3x 3x 3 436 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  19. 19. 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 437 4 Ecuaciones de 1. er y 2. grado o INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Los contenidos de esta unidad son fundamentales Se consideran tres aspectos básicos en el estudio en las Matemáticas. Las ecuaciones de primer grado de esta unidad: y de segundo grado ya se han trabajado en el primer • Conocimientos previos de la aritmética de ciclo y no deberían presentar dificultades a los los números reales (Unidades 1 y 2 de 3.º ESO). alumnos. • Conceptos y procedimientos sobre ecuaciones La dificultad del tema se presentará al trabajar estudiados en el curso anterior. con expresiones algebraicas y en la resolución • Conceptos y procedimientos de cálculo de problemas con ecuaciones. Por ello, será con expresiones algebraicas trabajados conveniente plantear problemas de la vida cotidiana en el curso anterior, así como también y próximos a los alumnos. la Unidad 3 de 3.º ESO. Además, será básico tener capacidad para plantear problemas mediante ecuaciones y contrastar los resultados con la situación planteada. CONTENIDOS ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO • Concepto de ecuación. • Elementos del lenguaje: miembros de una ecuación, términos, coeficientes, grado, incógnitas y solución. • Tipos de ecuaciones según el grado, el número de incógnitas y el número de soluciones. • Equivalencia de ecuaciones. • Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolución. • Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolución. • Resolución de problemas con ecuaciones. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas La prueba contiene actividades de procedimientos de la a comprobar que los alumnos tienen asimilados los unidad: ecuaciones de primer grado con y sin parénte- conceptos básicos sobre ecuaciones y su resolución: sis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundo mental, por el método de ensayo-error o por métodos grado incompletas y completas. También hay una serie más generales. Se ofrecen también un par de activida- de problemas para resolver con ecuaciones. Es funda- des para trabajar con números y con expresiones alge- mental plantear correctamente los problemas, ya que braicas. se repasan conceptos conocidos por los alumnos tanto de cuestiones numéricas como geométricas. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 437
  20. 20. 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 438 4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO EVALUACIÓN INICIAL 1 Calcula y simplifica. 4 ⎛3 1⎞ ⎛3 2⎞ ⋅⎜ − ⎟−⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ 5 ⎜ ⎝2 6⎠ ⎜4 ⎟ ⎟ 7⎠ 2 Opera y simplifica las expresiones algebraicas. a) x (x + 3) − (2x + 1) b) x (3 − x) + 3x 2 − 5(x + 3) x x −1 2(x + 4) c) + − 2 3 5 3 Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios. Monomio Coeficiente Parte literal Grado −5xz 2 −5 xz 2 3 8x 3y 2 17x 6 −10,7a 3b 4 4 Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error. Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución y x+4=7 =2 5 y−3=5 8−z=6 2x = 8 3z − 2 = 10 5 Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126. 6 Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 3x 2 − 75 = 0 b) x 2 + 4 = 0 438 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  21. 21. 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 439 EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1 Calcula y simplifica. 4 ⎛3 1⎞ ⎛3 2⎞ 4 8 13 32 13 448 − 195 253 ⋅⎜ − ⎟−⎜ − ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ ⋅ − = − = = 5 ⎜ ⎝2 6⎠ ⎜4 ⎟ ⎟ 7⎠ 5 6 28 30 28 420 420 2 Opera y simplifica las expresiones algebraicas. a) x (x + 3) − (2x + 1) = x2 + 3 x − 2 x − 1 = x2 + x − 1 b) x (3 − x) + 3x 2 − 5(x + 3) = 3 x − x2 + 3 x2 − 5 x − 15 = 2 x2 − 2 x − 15 x x −1 2(x + 4) 15x + 10 ( x − 1) − 12 ( x + 4 ) 15x + 10 x − 10 − 12 x − 48 c) + − = = = 2 3 5 30 30 13 x − 58 = 30 3 Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios. Monomio Coeficiente Parte literal Grado −5xz 2 −5 xz 2 3 8x 3y 2 8 x3 y2 5 6 6 17x 17 x 6 −10,7a 3b 4 −10,7 a3b4 7 4 Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error. Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución y x+4=7 x 3 =2 y 10 5 y−3=5 y 8 8−z=6 z 2 2x = 8 x 4 3z − 2 = 10 z 4 5 Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126. Llamamos x y x + 2 a dichos números. Por tanto: x + ( x + 2) = 126 → 2 x + 2 = 126 → 124 → 2 x = 124 → x = = 62 2 Los números son 62 y 64. PROPUESTAS DE EVALUACIÓN 6 Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas. 75 ⎧ ⎪x = 5 a) 3x 2 − 75 = 0 → x 2 = = 25 → x = ± 25 → ⎨ 1 3 ⎪ x 2 = −5 ⎪ ⎩ b) x 2 + 4 = 0 → x 2 = −4 → x = ± −4 → No tiene solución real. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 439
  22. 22. 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 440 4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO contenidos EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Distinción de si una igualdad 1 Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades. es ecuación o identidad. a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x) + 4x − 5 b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2 Resolución de ecuaciones 2 Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: 6x − 7 = 2x + 5. de primer grado mediante diferentes métodos. 3x − 5 2x + 8 3 Resuelve la ecuación de primer grado: = x − . 7 5 4 Resuelve la ecuación de primer grado: 3(2x − 5) + 4(7 − 2x) = 2x − 3(2x − 8). Resolución de ecuaciones 5 Resuelve la ecuación de segundo grado: 2x 2 = 18. de segundo grado completas e incompletas. 6 Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 5x = 0. 7 Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 − 5x + 4 = 0. 8 Resuelve la ecuación de segundo grado: x (x + 4) = 3(x − 8). CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS • Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 9 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 9 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-13 440 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  23. 23. 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 441 Determinación 9 Halla el valor de b en la ecuación x 2 + bx − 20 = 0, sabiendo que una del discriminante de sus soluciones es x1 = 4. Calcula el valor del discriminante de una ecuación y la otra solución. de segundo grado. Resolución de problemas 10 La suma de tres números impares consecutivos es 135. de diferentes tipos, Determina dichos números. mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. 11 ¿Por qué número hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triple de dicho número? 12 Halla los tres números consecutivos que cumplen que la suma de los cuadrados del menor y el mayor es igual al cuadrado del número intermedio más 18. 13 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor y 2 cm más que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres lados del triángulo. CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS PROPUESTAS DE EVALUACIÓN • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 441
  24. 24. 826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Página 442 4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x) + 4x − 5 → 4 x − 6 = 2 x + 1. Es una ecuación. b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2 ⎯ 3 x − 6 = 3 x − 6. Es una identidad. → 12 2 6x − 7 = 2x + 5 → 6 x − 2 x = 5 + 7 → 4 x = 12 → x = = 3 4 3x − 5 2x + 8 3 Ecuación de primer grado. = x− 7 5 Eliminamos denominadores: 15 x − 25 = 35 x − (14 x + 56) Quitamos paréntesis: 15 x − 35 x + 14 x = 25 − 56 → −6 x = −31 31 Despejamos la x: x = 6 4 Quitamos paréntesis: 6 x − 15 + 28 − 8 x = 2 x − 6 x + 24 Transponemos términos: 2 x = 11 y despejamos la x: x = 5,5 18 5 2x 2 = 18 → x 2 = = 9 → x = ± 9 . Dos soluciones: x1 = 3 y x2 = −3 2 6 x 2 + 5x = 0 → x (x + 5) = 0. Dos soluciones: x1 = 0 y x2 = −5 5 ± 52 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 5 ±3 x1 = 4 7 x 2 − 5x + 4 = 0 → x = = 2 ⋅1 2 x2 = 1 8 x (x + 4) = 3(x − 8) → x2 + x + 24 = 0 −1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 24 −1 ± −95 x = = → No tiene solución. 2 ⋅1 2 9 Discriminante y soluciones. Si una solución es 4 → 42 + b ⋅ 4 − 20 = 0 → 4 b = 4 → b = 1 El discriminante es: ∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−20) = 1 + 80 = 81 −1 ± 81 x1 = 4 La otra solución es: x = 2 x2 = −5 10 Números impares. Llamamos x al número menor: x + (x + 2) + (x + 4) = 135 → 3x = 135 − 6 = 129 Despejamos: x = 43 → 43, 45 y 47 108 108 11 Números. Llamamos x a dicho número: = 3 x → 108 = 3 x 2 → x 2 = = 36 → x = ±6 x 3 12 Tres números. x 2 + ( x + 2 ) 2 = ( x + 1) 2 + 18 → x 2 + x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 18 → ⎧ ⎪x = 3 → 3, 4 y 5 → x 2 + 2 x − 15 = 0 → ⎨ 1 ⎪ x 2 = −5 → −5 , −4 y − ⎪ ⎩ 3 13 Triángulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos serán x − 2 y x − 4. x2 = ( x − 2) 2 + ( x − 4) 2 → x2 = x2 − 4 x + 4 + x2 − 8 x + 16 → → x2 − 12 x + 20 = 0 → x1 = 10, x2 = 2 (no válida) Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. 442 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
  25. 25. 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 443 5 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS Los contenidos de esta unidad son continuación Se pueden considerar básicos los conceptos de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental estudiados en 2.º ESO, «Ecuaciones y sistemas», que los alumnos sepan resolver las ecuaciones así como también la Unidad 4 de 3.º ESO, de primer grado. También es importante «Ecuaciones de 1.er y 2.º grado», y todos aquellos la representación gráfica de puntos en el plano, aspectos trabajados en cursos anteriores sobre ya que servirá para representar las rectas la resolución de problemas: en el plano y resolver de forma gráfica los sistemas. • Distinción entre lo que se conoce (dato) La resolución de problemas es uno de y lo que se desconoce (incógnita). los fundamentos de las Matemáticas pues, al resolver • Realización de diagramas, figuras, esquemas… numerosos problemas reales, es necesario resolver • Cálculo con expresiones algebraicas. sistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnos • Representación de puntos en el plano. pueden planteárseles distintos problemas reales, • Resolución de ecuaciones de primer grado. cuya solución no sea fácil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolución de un sistema. Mediante un trabajo por ensayo-error, primero, y su resolución mediante sistemas, después, los alumnos apreciarán la sencillez y utilidad de los sistemas para resolver problemas. CONTENIDOS SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Ecuaciones lineales. Representación gráfica de rectas en el plano. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. • Resolución de sistemas. Número de soluciones de un sistema de ecuaciones. • Representación gráfica de un sistema de ecuaciones. • Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: igualación, sustitución y reducción. • Reglas prácticas para resolver sistemas. • Resolución de problemas mediante sistemas. SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL PRUEBA DE LA UNIDAD Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas La prueba que se ha diseñado contiene actividades re- a comprobar que los alumnos tienen asimilados los lativas a la resolución de sistemas de ecuaciones por conceptos básicos sobre la representación de puntos diferentes métodos y problemas para resolver con sis- en el plano y la resolución de ecuaciones y sistemas temas. No es conveniente presentar sistemas incom- PROPUESTAS DE EVALUACIÓN por los métodos habituales de resolución, incluso por el patibles, siendo los problemas planteados sencillos de método de ensayo-error. resolver. ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯ 443
  26. 26. 826523 _ 0443-0448.qxd 27/4/07 13:51 Página 444 5 SISTEMAS DE ECUACIONES EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono. Y 5 A 3 E 1 D B −4 −2 2 4 X −1 C −3 2 En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos. A (−1, 3) B (2, −2) C (3, 4) D (0, 2) Y 5 3 1 −4 −2 1 3 5 X −1 −3 3 Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta. x y 7 x y 2y Balanza A Balanza B a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación. Haz lo mismo con la balanza B. b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B. 4 Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56. 444 ࡯ MATEMÁTICAS 3.° ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯

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