Filtros digitales
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un resumen sobre filtros digitales usando matlab

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    Filtros digitales Filtros digitales Document Transcript

    • Índice1. Introducción...........................................................................................................................1 1.1. Filtro analógico......................................................................................................1 1.2. Filtro digital..........................................................................................................2 1.3. Ventajas del filtro digital........................................................................................32. Funcionamiento de los filtros digitales..................................................................................4 2.1. Orden de un filtro digital......................................................................................5 2.2. Ejemplos de filtros digitales..................................................................................5 2.2.1. Filtro de ganancia unidad................................................................................5 2.2.2. Filtro de ganancia simple.................................................................................6 2.2.3. Filtro de retardo puro......................................................................................6 2.2.4. Filtro de diferencia de dos términos................................................................6 2.2.5. Filtro de media de dos términos......................................................................7 2.2.6. Filtro de media de tres términos......................................................................7 2.2.7. Filtro de la diferencia central...........................................................................83. Parámetros de un filtro digital..............................................................................................8 3.1. Dominio del tiempo................................................................................................8 3.2. Dominio de la frecuencia....................................................................................104. Clasificación de los filtros....................................................................................................12 4.1. Moving Average (media móvil)............................................................................12 4.2. Windowed Sinc.....................................................................................................13 4.3. Personalizados.....................................................................................................15 4.4. Chebyshev.............................................................................................................15 4.5. Filtro no-recursivo...............................................................................................17 4.6. Filtro recursivo...................................................................................................17 4.6.1. Orden de un filtro recursivo...........................................................................18 4.6.2. Ejemplo de un filtro recursivo.......................................................................19 4.7. ¿Filtros IIR o FIR?.............................................................................................20 i
    • 1. Intr oducción. Se le llama filtrado al proceso mediante el cual se modifica una señal determinadade tal manera que las amplitudes relativas de las componentes en frecuencia cambian oincluso son eliminadas. Dicho de otra manera: un filtro es un dispositivo que impide opermite el paso de una cierta gama de frecuencias, donde permitir o impedir estarelacionado con un nivel de atenuación o ganancia. También sirven para restaurar unaseñal, cuando haya una señal que haya sido deformada de alguna forma. La separaciónde señales es necesaria cuando una señal ha sido contaminada con interferencias, ruidosu otras señales. Un ejemplo de separación de señales puede ser un mecanismo que permita lamedición de la actividad del corazón de un bebe (EKG) mientras se encuentra en el feto.La señal se verá afectada por la respiración y la actividad del corazón de la madre. Unfiltro se utilizaría para separar estas señales y que puedan analizarse separadamente. Un ejemplo de restauración de señal, una grabación de audio realizado en un equipode mala calidad deberá ser filtrada para conseguir una mayor calidad de sonido que elgrabado. Otro ejemplo puede ser una imagen borrosa adquirida por un mal uso de losobjetivos, o una mala camara. Los filtros son sumamente importantes en sistemas de comunicaciones al igual queen control o telemetría entre algunas aplicaciones. Estos filtros pueden realizarse demanera analógica o digital en configuraciones distintas tales que rechacen bandas debajas frecuencias, altas frecuencias, frecuencias intermedias o alguna combinación delas anteriores. El siguiente dibujo nos muestra la idea básica de los filtros: Señal Pura Señal (sin filtrar) FILTRO Filtrada Ilustración 0. Funcionamiento externo básico de un filtro. Actualmente hay dos tipos de filtros, analógico y digital. Ambos son muy distintosen su construcción y en la forma en que tratan la señal. Los filtros digitales son una importante parte de un DSP. De hecho, su granversatilidad es una de las razones claves por lo que los DSPs son tan populares. Todos los problemas pueden ser tratados por un filtro tanto digital como analógico.¿Por cuál decantarse? Los filtros analógicos son más baratos, rápidos y tienen un granrango dinámico tanto en amplitud como en frecuencia. En cambio, los filtros digitalesson enormemente superiores en el nivel de cumplimiento que los analógicos. 1.1.Filtro analógico. Un filtro analógico se utiliza circuitos electrónicos que hacen uso de resistencias, condensadores y amplificadores para producir el efecto requerido en el filtrado. Como circuitos de filtrado son comúnmente utilizados en aplicaciones de reducción de ruido, tratado de la señal de video, ecualizadores gráficos en los sistemas Hi-Fi, y en otras áreas. 1
    • Existen una técnicas estándar bien establecidas para el diseño de un circuito de filtrado analógico. En todas las etapas, la señal que se filtra es un voltaje eléctrico o corriente como puede ser la analógica directa de una cantidad física (un sonido, una señal de video) compleja. 1.2. Filtro digital. El filtro digital es un sistema de tiempo discreto que puede realizar funciones de filtrado de señales. Aprovecha los avances de la tecnología digital para emular sistemas análogos. Debe cumplir los requisitos necesarios para procesar las señales analógicas (Teorema del muestreo). Un filtro digital requiere un procesador digital para realizar cálculos numéricos en los valores muestreados de la señal. El procesador puede ser un ordenador corriente, como un PC, o un chip DSP (Digital Signal Processor) especializado. La parte analógica de la señal debe ser previamente muestreada y digitalizada por un convertidor AD (analógico-digital). Los números binarios resultantes de la conversión anterior, que representan valores sucesivos muestreados de la señal de entrada, son transferidos al procesador, que realiza unos cálculos numéricos sobre ellos. Estos cálculos suelen ser multiplicaciones de los valores de entrada por unas constantes y suma de las anteriores multiplicaciones. Si es necesario, los resultados de los cálculos, que representan los valores de una señal filtrada, son sacados a través de un convertidos DA (digital-analógico) para convertir la señal a su forma analógica. El siguiente dibujo nos muestra la configuración básica de un filtrado digital:x(t ) xk yk y (t ) H (e ) jw G ( jΩ ) T Muestreador Filtro digital Dispositivo de reconstrucción Señal Señal analógica muestreada Señal Señal filtrada sin filtrar digitalmente analógica digitalmente filtrada Ilustración 2. Funcionamiento interno básico de un filtro. 2
    • Que con más detalle queda de las siguiente forma: Filtro digital Dispositivo de Muestreador Reconstrucciónx(t ) xk yk y (t ) S/H A/D DSP D/A LPF Reloj T Ilustración 3. Funcionamiento interno de un filtro. 1.3.Ventajas del filtro digital. 1. Un filtro digital es programable, su función está determinado por un programa almacenado en el procesador. Esto significa que el efecto del filtro puede ser cambiado fácilmente sin modificar su circuitería (hardware). Un filtro analógico solo puede cambiar rediseñando el circuito de filtrado. 2. Los filtros digitales son fácilmente diseñados, testados e implementados en un ordenador convencional o en una estación de trabajo (workstation). 3. Las características de los circuitos de filtrado analógico (particularmente aquellos que contengan componentes activos) son susceptibles a las variaciones de velocidad y de temperatura. En cambio, los filtros digitales no sufren este problema, y son extremadamente estables con respecto al tiempo y la temperatura. 4. A parte de sus correspondientes partes analógicas, los filtros digitales solo pueden tratar señales de baja frecuencia con gran exactitud. A medida que la velocidad de la tecnología DSP aumente, los filtros digitales podrán empezar a poderse aplicar en señales de alta frecuencia en el dominio de las frecuencias de radio, el cual fue un campo exclusivo reservado a la tecnología analógica. 5. Los filtros digitales son mucho más versátiles en su capacidad de procesar señales de diferentes formas. Esto significa que algunos filtros digitales tienen la capacidad de adaptarse a los cambios en las características de la señal. 3
    • 6. Los procesadores DSPs más rápidos pueden tratar combinaciones complejas de filtros en paralelo o en cascada, haciendo que los requerimientos de hardware sean relativamente simples y compactas en comparación con la circuitería analógica. 7. Alta inmunidad al ruido. 8. Alta precisión (limitada por los errores de redondeo en la aritmética empleada). 9. Muy bajo coste (y bajando). 2. Funcionamient o de los filtr os digitales. En esta sección se desarrollará la teoría básica del funcionamiento de los filtrosdigitales. Esto es esencial para comprender porque son diseñados y utilizados los filtrosdigitales. Suponemos una señal pura que va a ser filtrada digitalmente tiene la forma de ondadescrita por la función: V = x (t ) donde la t es el tiempo. Esta señal se muestrea en unos intervalos de tiempo h (intervalo de muestreo). Elvalor muestreado en el tiempo t = ih es xi = x (ih ) De este modo los valores digitales transferidos del convertidos analógico-digitalpueden ser representados por x0 , x1 , x2 , x3 ,.... que corresponden a los valores de una señal ondulada en t = 0, h,2h,3h,... en la que t = 0 es el instante en el que comienza el muestreo. En el instante t = nh (donde n es un entero positivo), los valores disponibles en elprocesador, almacenados en memoria, son x0 , x1 , x2 , x3 ,..., xn 4
    • Nota: los valores muestreados xn +1 , xn +2 , etc no están disponibles, pues aun no sehan generado. La señal de salida del procesador al convertidor digital-analógico consiste en unasecuencia de valores y 0 , y 1 , y 2 , y3 ,...., y n En general, el valor de y n es calculado con los valores x0 , x1 , x2 , x3 ,..., xn . La formaen que las y’s son calculadas desde las x’s determina la acción del filtro digital. 2.1. Orden de un filtro digital. El orden de un filtro digital es el numero de las entradas anteriores (almacenadas en la memoria del procesador) utilizadas para calcular la salida de la señal actual. Orden cero: y n = a0 xn Primer orden: y n = a0 xn + a1 xn −1 Segundo orden: y n = a0 xn + a1 xn −1 + a 2 xn −2 2.2. Ejemplos de filtros digitales. A continuación se van a exponer las características esenciales de los filtros digitales. 2.2.1.Filtro de ganancia unidad. y n = xn Cada valor de salida y n es la misma que el correspondiente valor de entrada xn : y 0 = x0 y1 = x1 y 2 = x2 ... etc. Este es un caso trivial en el que el filtro no ejerce ningún cambio en la señal. El orden de este filtro es cero, pues todas las salidas dependen de su entrada actual y no de ninguna entrada anterior. 5
    • 2.2.2.Filtro de ganancia simple. y n = Kxn donde la K es una constante. Este filtro aplica un factor de ganancia K a cada valor de entrada. Valor de K Efecto del filtro K >1 Amplificar la señal 0 > K >1 Atenuar la señal K <0 Invertir la señal En el filtro anterior se puede observar el caso especial cuando K = 1 . Este filtro es de orden cero, como se puede observar, cada salidadepende de la entrada actual y no de una anterior.2.2.3. Filtro de retardo puro. y n = xn −1 El valor de salida en el instante de tiempo t = nh es simplemente elvalor de entrada en el instante de tiempo t = ( n − 1)h . y 0 = x−1 y1 = x0 y 2 = x1 y 3 = x2 ... etc. Nota: El muestreo se asume comienza en t = 0 , y el valor de entrada x −1en el instante t = −h es indefinido. Por lo que es normal tomar este valorcomo un cero (y cualquier otro valor de x anterior a t = 0 ).2.2.4.Filtro de diferencia de dos términos. y n = xn − xn −1 6
    • El valor de salida en el instante de tiempo t = nh es igual a la diferenciaentre el valor actual de entrada xn y la anterior entrada xn −1 . y 0 = x0 − x −1 y1 = x1 − x0 y 2 = x2 − x1 y 3 = x3 − x 2 ... etc. La salida es la diferencia del valor de muestreo actual y del valor delmuestreo del intervalo h anterior. El efecto de este filtro es similar al de uncircuito diferenciados analógico. Este filtro es de primer orden, pues la salida actual depende de unaanterior.2.2.5.Filtro de media de dos términos. xn + xn −1 yn= 2 La salida es la media de la entrada actual y la anterior. x0 + x −1 y 0= 2 x + x0 y 1= 1 2 x + x1 y 2= 2 2 x + x2 y 3= 3 2 ...etc. Este filtro es un sencillo ejemplo de un filtro pasa-bajo, pues tiende asuavizar el efecto de las variaciones de alta frecuencia (como puedan ser losruidos) de una señal. Este filtro es de primer orden, que al igual que el filtro anterior sólodepende de un valor anterior.2.2.6.Filtro de media de tres términos. xn + xn −1 + xn −2 yn= 3 7
    • Este filtro es bastante parecido que el anterior, salvo que éste realiza la media con dos valores de entrada anteriores. x0 + x−1 + x −2 y 0= 3 x1 + x0 + x −1 y 1= 3 x2 + x1 + x0 y 2= 3 x3 + x2 + x1 y 3= 3 ...etc. Como sucedía anteriormente, los valores de entrada x −1 y x −2 . Este filtro es de segundo orden, pues depende de dos entradas anteriores, y como la más vieja es dos veces anterior, entonces es de segundo grado. 2.2.7.Filtro de la diferencia central. x n + xn − 2 yn= 2 El efecto de este filtro es similar al filtro de diferencia de dos términos. La señal de salida es igual a la mitad de la diferencia de la señal de entrada actual sobre el anterior de dos muestras de intervalo: x0 + x − 2 y 0= 2 x + x −1 y1= 1 2 x + x0 y 2= 2 2 x +x y 3= 3 1 2 ...etc. Este filtro también es de segundo orden, pues en el cálculo de salida interviene la entrada de dos intervalos anteriores.3. Parámetr os de un filtr o digital 3.1.Dominio del tiempo. Recordando que las respuestas de step, impulso y frecuencia, contienen información idéntica, pero en diferentes formatos. La respuesta de paso es útil en los análisis en el dominio del tiempo pues coincide con la forma humana de observar la información proporcionada por una señal. Por ejemplo, suponer que 8
    • tenemos una señal de la que desconocemos su procedencia y tenemos que analizarla. Lo primero que hacemos es dividir la señal en distintas regiones de características parecidas. Algunas de las regiones pueden ser uniformes, otros pueden tener picos de amplitud o pueden ser zonas de ruido. Esta segmentación cumple con la identificación de puntos en regiones separadas. En este punto es en el que la función de sep entra en juego. La función de sep es la forma más pura de representación de una división entre dos regiones distintas. Puede enfatizar el comienzo o el fin de un evento. También nos informa de que en la parte izquierda hay algo diferente de la parte de la derecha. Esta es la forma en la que el pensamiento humano observa la información del dominio del tiempo: un grupo de funciones de steps dividiendo la información en regiones de características similares. La respuesta de step es importante en la medida en la que describe como las líneas divisorias están siendo modificadas por el filtro. Los parámetros de la respuesta de step son importantes en el diseño de un filtro que se observa en la siguiente figura. Para distinguir los eventos en una señal, la duración del paso de respuesta debe ser menor que el espacio de los eventos. Esto quiere decir que la respuesta de step debe ser lo más rápido posible. Esto se observa en los apartados a) y b). La forma más común de especificar el risetime es limitar el número de muestras entre el 10 % y el 90 % de niveles de amplitud1.1 ¿Porqué el no es posible un rápido risetime siempre? Hay muchas razones para ello como pueden seruna reducción de ruido, limitaciones inherentes a la adquisición de datos del sistema, evitar el aliasing,etc. 9
    • MAL BIEN a. Respuesta de step lento. b. Respuesta de step rápida. c. Overshoot. d. Sin Overshoot. e. Fase no lineal. f. Fase lineal. Ilustración 4. Funcionamiento correcto en el tratamiento de la señal.3.2. Dominio de la frecuencia. A continuación se observa las cuatro respuestas básicas de frecuencia. Elobjetivo de estos filtros es la de permitir que algunas señales pasen inalterables,mientras se realiza un bloqueo alas otras frecuencias. En labanda de paso se refiere las Amplitudfrecuencias de paso, mientras queen la banda de interrupción sesitúan aquellas frecuencias que Banda de Banda de Paso Transiciónno pasan. La banda detransición se encuentra entreambos. Un apagado rápidoindica que la banda de transición Banda dees muy estrecha. La división Interrupciónentre la banda de paso y la bandade transición es llamada como la Frecuencia Ilustración 5. Definición de las bandas de frecuencia. 10
    • frecuencia de corte. En el diseño de un filtro analógico, la frecuencia de cortese encuentra habitualmente donde se la amplitud se reduce a 0’707. En los filtrosdigitales se encuentra menos estandarizado, y es común encontrarse con el 99 %,90 %, 70’7 % y 50 % de los niveles de amplitud definidos para la frecuencia decorte. inherente Amplitud Amplitud Pasa-bajo Pasa-banda Frecuencia Frecuencia Amplitud Pasa-alto Amplitud Quita-banda Frecuencia Frecuencia Dominio de Tiempo Dominio de Frecuencia Ilustración 6. Tipos de filtros en el dominio de la frecuencia. a. Filtro original del núcleo. b. Respuesta de frecuencia original. Amplitud Amplitud Número de muestra Frecuencia c. Filtro del núcleo con inversión espectral. d. Respuesta de frecuencia invertida. Amplitud Amplitud Intercambio alto-por-bajo Número de muestra Frecuencia Ilustración 7. Diferencias entre los dominios del tiempo y de la frecuencia. 11
    • 4. Clasificación de los filtr os. En la siguiente tabla se resume como los filtros digitales son clasificados por su usoy por su implementación. El uso de un filtro digital puede estar en tres categorías:dominio del tiempo, dominio de la frecuencia y personalizados. Como han sidodescribidos anteriormente los filtros de dominio del tiempo son utilizados cuando lainformación está codificada en la forma de onda de la señal. El filtrado del dominio deltiempo es usado en acciones tales como: suavizado, supresión DC, formado deondulación, etc. Mientras que los filtros de dominio de la frecuencia son usados cuandola información se encuentra en la amplitud, la frecuencia y la fase de la componentesinuidal. El objetivo de este filtro es la de separar una banda de frecuencias de otra. Losfiltros personalizados son usados cuando se requiere una acción especial al filtro, sonmás elaborados que las cuatro respuestas básicas de (pasa-alto, pasa-bajo, pasa-banda yquita-banda). Filtro implementado por: Filtro usado para: Convolution Recursión Finite Impulse Reponse (FIR) Infinite Impulse Reponse (IIR) Dominio del tiempo Moving Average2 Polo simple (suavizado, supresión DC) Dominio de la frecuencia Windowed-Sinc Chebishev (separación de frecuencias) Personalizado FIR personalizado Diseño iterativo (Deconvolution) 4.1.Moving Average (media móvil). El filtro moving average es el filtro más común en los DSP, en la mayoría de las veces se debe a ser el filtro digital más fácil de entender y usar. A pesar de su simplicidad, el filtro de la media móvil es óptimo para una tarea común como puede ser la reducción de un ruido fortuito mientras retiene una respuesta de paso muy bien definida.. Esto hace que este filtro predomine en el campo de las señales codificadas en el dominio del tiempo, con la posibilidad de separar una banda de frecuencias de otra. Relacionado con el este tipo de filtro se puede encontrar la media móvil Gaussiana, de Blackman y de múltiple-paso. Estos confieren una mejor ejecución en el dominio de la frecuencia, con un mayor gasto del tiempo de CPU. Como su propio nombre indica, el filtro de la media móvil opera mediante el promedio de un número de puntos de la señal de entrada para producir cada punto de la señal de salida. En una formula matemática queda como: M −1 1 y[ i ] = ∑ x[ i + j ] M j =0 Donde se encuentra la señal de entrada, la señal de salida y M que es el número de puntos en la media. Por ejemplo en un filtro de media móvil 5, el punto 80 en la señal de salida viene dado por:2 Promedio variable, media móvil: promedio calculado nuevamente después de cada cambio numérico;método para estimar el valor de las existencias. 12
    • x[ 80] + x[81] + x[ 82] + x[83] + x[84] y[ 80] = 5 Como alternativa, el grupo de puntos de la señal de entrada pueden serescogidos simétricamente alrededor del punto de salida: x[ 78] + x[ 79] + x[ 80] + x[81] + x[ 82] y[ 80] = 5 Esto corresponde a realizar un cambio en el sumatorio de la ecuaciónprincipal de: j = 0 a M − 1 a: j = − ( M − 1) 2 a j = ( M − 1) 2 . Por ejemplo enun filtro de media móvil 11, el indice j, puede funcionar desde 0 hasta 11 (mediapor un lado) o de –5 a 5(media simétrica). Lamedia simétrica requiereque la M sea impar. Laprogramación es muchomás fácil con los puntosde un lado; sin embargo,esto produce un ligerodesplazamiento lateralentre las señales deentrada y de salida. Un filtro de mediamóvil es proporciona unamala señal de salida en el Ilustración 9. Diferencias en la señal de salida según la M.estudio en el dominio delas frecuencias. La mediamóvil es un mal filtro pasa-bajo, debido a un roll-off lento y una malaatenuación de la banda de parada.4.2.Windowed Sinc. Los filtros que son windowed-sinc son utilizados para separar una banda defrecuencias de otra. Son muy estables, producen algunos efectos, y pueden serforzados a diferentes niveles de rendimiento. Las características especiales deldominio de la frecuencia son obtenidas en detrimento de sus funcionalidadesdentro del dominio del tiempo, incluyendo una ondulación excesiva y unovershoot en la respuesta de step. Este tipo de filtro es muy fácil de programar,pero tienen una ejecución muy lenta. En la siguiente figura se muestra la idea en la que se basan los filtroswindowed-sinc. En el apartado a), se tiene la frecuencia de respuesta ideal de unfiltro pasa-bajo. Su funcionamiento es muy simple, todas las frecuencias quevayan por debajo de la f c (frecuencia de corte), pasaran con una amplitud 13
    • unidad, mientras que todas aquellas frecuencias superiores a la f c seránbloqueadas. Con esto conseguimos una banda de paso perfectamente plana, unaatenuación infinita en la banda de parada, y una transición entre ambasextremadamente pequeña. Ilustración 10. Respuestas de la señal de salida en un filtro ideal. 14
    • 4.3.Personalizados. Muchos filtros solo tienen una de las cuatro respuestas estándar defrecuencia: pasa-bajo, pasa-alto, pasa-banda o quita-banda. Se pueden diseñarfiltros que con una respuesta de frecuencia arbitraria, ajustado a las necesidadesde una aplicación particular. Los DSPs sobresalen en esta área, resolviendoproblemas que están muy lejos de ser abordados por la electrónica analógica.Dos usos importantes de los filtros personalizados son deconvolution que es unaforma de restaurar señales que han sufrido una indeseada convolution, y filtradoóptimo, el problema de la separación de las señales con un espectro defrecuencia superpuestos Ilustración 11. Deconvolution de una señal.4.4.Chebyshev. Los filtros chevyshev se usan para separar una banda de frecuencias de otra.Aunque no pueda igualarse al rendimiento del filtro windowed-sinc, éstos sonmás adecuados en la mayoría de aplicaciones. La principal característica de losfiltros de Chebyshev es su velocidad. Esto es debido a su buen cumplimiento enla recursión más que en la convolution. El diseño de estos filtros está basado enuna técnica matemática llamada transformada Z. La respuesta de Chebyshev es una estrategia matemática para lograr unrápido roll-off permitiendo una ondulación en la respuesta de la frecuencia.Todos los filtros que utilizan esta aproximación se les llaman filtros deChebyshev. Los filtros analógicos de Chebyshev se suelen usar en la conversiónanalógico-digital y digital-analógico. 15
    • En la figura de la abajo-derecha, se puede observar la respuesta de frecuencia de un filtro Chebyshev pasa-bajo con una ondulación de la banda de paso de: 0 %, 0’5 % y 20 %. A medida que aumenta la ondulación (malo), el roll-off se hace más brusco (bueno). La respuesta de chebyshev tiene una dependencia óptima entre estos dos parámetros. Cuando la ondulación se fija en el 0 %, el filtro se denomina extremadamente plano o filtro de Butterworth (ingeniero británico que describió esta respuesta en 1.930). Una ondulación del 0’5 % es una muy buena elección para los filtros digitales. Esto coincide con la precisión y exactitud típicas de la electrónica analógica en el paso de la señal. Los filtros de Chebyshev se clasifican en: • Filtros de tipo 1, la ondulación solo sucede en la banda de paso. • Filtros de tipo 2, la ondulación solo se produce en la banda de interrupción. Este tipo de filtro se utiliza en raras ocasiones. • Filtro elíptico, en el que se permite una ondulación en la banda de paso y la de interrupción. Estos filtros proporcionan un roll-off muy veloz para un determinado número de polos, pero son muy difíciles de diseñar. Este tipo está muy extendido en el mundo profesional tanto digital como analógico. Para definir un filtro de Chebyshev solamente hacen falta seleccionar cuatro parámetros: (1) una respuesta pasa-bajo o pasa-alto, (2) una frecuencia de corte, (3) el porcentaje de ondulación en la banda de paso y (4) el número de polos (cuanto mayor sea, mejor respuesta)Ilustración 1. Respuestas de frecuencias de Chevyshev. En las figuras a) y b) se observan las respuestasde frecuencia de un filtro de Chevishev pasa-bajo con una ondulación del 0’5 %, mientras que c) y d)corresponden con las respuestas de un filtro pasa-alto. 16
    • 4.5.Filtro no-recursivo. En todos los ejemplos anteriores se puede observar que cada salida y n es calculada únicamente desde la entrada actual y las anteriores entradas ( xn , xn −1 , xn −2 ,... ). Este tipo de filtro es conocido como filtro no-recursivo. Estos filtros son conocidos por las siglas FIR (Finite Impulse Response 3), pues la respuesta de impulso es de una duración finita (finaliza cuando la señal de entrada finaliza). • Filtros FIR: o Tienen respuesta al impulso de duración finita. o No tienen realimentación. o Todos sus polos están en z=0, por tanto no tienen problemas de estabilidad. 4.6. Filtro recursivo. Un filtro recursivo es aquel que añade a los valores de entrada algún valor de salida previo. Estos, al igual que las entradas, son almacenados en la memoria del procesador. A continuación se puede observar el funcionamiento de un filtro recursivo: Ilustración 8. Funcionamiento interno en un filtro recursivo. Los filtros digitales consisten de una serie de retardos en el tiempo y una serie de funciones de escalamiento o ganancia los cuales se combinan según la figura, a la cual se le llama forma directa I. En la figura, R corresponde a retardos unitarios de la señal de entrada y L y k corresponden a factores de escalamiento. La ecuación que caracteriza a esta estructura es la siguiente:3 “Impulse Response” de un filtro digital es la secuencia de salida del filtro cuando una unidad de impulsoes generada en su entrada. (Una unidad de impulso es la secuencia de entrada más simple consistente enun valor simple de 1 en el tiempo t = 0, seguido de ceros en todos los instantes de muestreo sucesivos.) 17
    • n m y n = ∑ Li xt −i + ∑ k j yt − j i =0 j =1 La primera sumatoria que incluye a la variable x, implica una suma de laseñal de entrada con retrasos de ella misma y se le llama una estructura norecursiva, a diferencia de la segunda sumatoria que implica una suma de la señalde salida con retrasos de ella misma, a la cual se le llama una estructurarecursiva. En este tipo de filtros se puede observar que en el cálculo del valor de salidaactual yn , intervienen las entradas ( xn , xn −1 , xn −2 ,... ) y salidas anteriores ( y n −1 , y n −2 , y n −3 ,... ). A partir de este punto se puede pensar que en este tipo de filtros se requiererealizar más cálculos para ejecutar el filtrado de la señal. Pues una aparte de losvalores de entrada, también se encuentran términos de salida en la expresión delfiltro. De hecho, pasa todo lo contrario, pues en el caso más común de lograr larespuesta de la frecuencia característica de una señal, un filtro recursivo requiereun expresión de menor orden (y por tanto, muchos menos términos a tratar por elprocesador) que su equivalente filtro no-recursivo. Estos filtros son conocidos por las siglas IIR (Infinite Impulse Response), yaque su respuesta de impulso no finaliza porque los términos recursivos (lassalidas anteriores) generan energía en la entrada del filtro y éste continúafuncionando. Realmente esta nomenclatura no es exacta, ya que en todos losfiltros IIR la respuesta de impulso se reduce virtualmente a cero en un tiempofinito.• Filtros IIR: o Tienen respuesta al impulso de duración infinita. o Tienen realimentación. o Deben diseñarse con cuidado para evitar problemas de estabilidad. 4.6.1.Orden de un filtro recursivo. El orden de un filtro había sido definido como el instante de tiempo más lejano del valor de entrada más lejano, que se utiliza para calcular la salida actual. Esta definición es correcta para los filtros no-recursivos, que calculan la salida actual de entradas anteriores. Entonces la definición debe extenderse como sigue: El orden de un filtro digital es el número más lejano de las entradas y salidas anteriores requeridas para la salida actual. Esta definición es más general, puede ser aplicada en los dos tipos de filtros (FIR e IIR) que hemos observado hasta ahora. 18
    • En la práctica, los filtros recursivos requieren la misma cantidad deentradas como de salidas. De este modo un filtro recursivo de primer ordengeneralmente requiere una entrada anterior xn −1 y una salida anterior y n −1 ,mientras un filtro recursivo de segundo orden hace uso de dos entradasprevias ( xn −1 y xn −2 ) y dos salidas previas ( y n −1 y y n −2 ),... Nota: Tener en cuenta que un filtro recursivo (IIR) debe, por definición,ser al menos de primer orden, un filtro recursivo de orden cero es imposible.(¿Por qué?1)4.6.2.Ejemplo de un filtro recursivo. Un simple ejemplo de un filtro digital recursivo viene dado por: y n = xn + y n −1 Este filtro determina el valor de la salida actual y n añadiendo la entrada actual xn a la salida anterior y n −1 . y 0 = x0 + y −1 y1 = x1 + y0 y 2 = x2 + y1 y 3 = x3 + y 2 ... etc. Nota: Hay que tener en cuenta que el valor de y −1 (al igual que x −1 )es indefinido, y normalmente suele considerarse como un cero. A continuación vamos a realizar un estudio más en detalle del efectode este filtro. Si en todas las expresiones anteriores sustituimos el valor y n −1por el valor obtenido de la expresión anterior, tendremos lo que sigue: y 0 = x0 + y −1 = x0 y1 = x1 + y 0 = x1 + x0 y 2 = x2 + y1 = x2 + x1 + x0 y 3 = x3 + y 2 = x3 + x2 + x1 + x0 ... etc. Como se puede observar, la salida y n es igual a la suma de laentrada actual y todas las entradas anteriores. El efecto de este filtro es la desumar o integrar todos los valores de entrada, y se consigue el mismo efectoque con un circuito integrador analógico. Este ejemplo nos demuestra la gran utilidad de la característica recursivade los filtros: la economía con la que los valores de salida son calculados,comparado con su equivalente filtro no-recursivo. En éste ejemplo cada 19
    • salida está determinada por la simple suma de dos números. Por ejemplo, para calcular la salida en el instante t = 10 ⋅ h , el filtro recursivo hace uso de la expresión y10 = x10 + y9 Y para conseguir el mismo efecto que en un filtro no-recursivo deberíamos hacer uso de la expresión y10 = x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x1 + x0 Éste filtro no-recursivo requerirá más cantidad de operaciones de adición y el almacenamiento de más valores en la memoria.4.7. ¿Filtros IIR o FIR? A continuación se enumeran las características de los dos tipos de filtrosdigitales: o Los filtros IIR producen en general distorsión de fase, es decir la fase no es lineal con la frecuencia. o Los filtros FIR son de fase lineal. o El orden de un filtro IIR es mucho menor que el de un filtro FIR para una misma aplicación. o Los filtros FIR son siempre estables. Los filtros FIR tienen una mejor ejecución que los filtros IIR, pero suejecución es mucho más lenta. 20
    • 1 La definición del filtro recursivo nos dice que en el cálculo de la salida actual debe existir al menos una salida anterior, porlo que el caso mínimo es la salida anterior y n −1 .