Variables AleatoriasIntroducción
Concepto de variable aleatoria      Es conveniente que los resultados      de un experimento aleatorio estén      expresad...
Concepto de variable aleatoria    Una función de S en R (reales):    X:”número o cantidad de defectuosos”S={NNN, NND, NDN,...
Concepto de variable aleatoria      Se sacan dos bolillas de manera      sucesiva sin reemplazo de una urna      que conti...
Definición de variable aleatoriaUna variable aleatoria es una funciónque asigna un número real a cadaelemento del espacio ...
EjemplosEl número de personas que llegan a unlocal en un periodo de tiempo dado.El resultado obtenido al lanzar undado.El ...
EjemplosEl tiempo que tardan en ser atendidaslas personas que llegan a un banco.Los pesos de los novillos que salen a lave...
Clasificación de las variables aleatorias              Variables Aleatorias  DISCRETAS                      CONTINUASCanti...
Clasificación de las variables aleatoriasDiscreta: Si esta asociada a un espaciomuestral con un número finito deelementos ...
Variable aleatoria discretaDistribución discreta de probabilidad  Una variable aleatoria discreta toma  cada uno de sus va...
Distribución discreta de probabilidad     Se    prueban     tres   componentes     electrónicos, y se observa el carácter ...
Distribución discreta de probabilidadSuceso         NNN NND NDN DNN NDD DND DDN DDDelementalprobabilidad               q3 ...
Distribución discreta de probabilidad  x (cantidad de   0     1      2         3  defectuosos)    P( X = x)      q3   3q2p...
Distribución de probabilidad o función deprobabilidad de una v. a. discretaEl conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una...
Distribución de probabilidades                          p=0.4   f (x)      0.5            1    2    3      4
Distribución de probabilidades    p(x)                               n =12                               p = 0.7          ...
Distribución Acumulada deprobabilidadesLa distribución acumulada F(x) de una variablealeatoria discreta X con       distri...
Ejemplo      La distribución acumulada F(x) de la variable      aleatoria X cantidad de defectuosos         0            ...
Gráfico          1.0          0.5   −1           1   2   3   4
Distribución continua de probabilidad Si X es una variable aleatoria continua             P( X = x) = 0P ( a < X < b)    P...
Función de densidad de probabilidad Si X es una variable aleatoria continua                                        1.0    ...
Función de densidad de probabilidad           P ( a < X < b)                     b    P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx          ...
función de densidad de probabilidadLa función f(x) es una función de densidad deprobabilidad de la v.a. continua X, defini...
Distribución Acumulada deprobabilidadesLa distribución acumulada F(x) de una variablealeatoria continua X con densidad de ...
Esperanza Matemática o Mediade una v. a. XSea X una variable aleatoria con distribución deprobabilidad f(x). La media o va...
Ejemplo   x (cantidad de      0         1          2         3   defectuosos)     f (x)             q3      3q2p      3qp2...
Varianza de una v. a. X  Sea X una variable aleatoria con distribución de  probabilidad f(x) y media µ. La varianza de X e...
Varianza de una v. a. XModo de cálculo              σ 2 = E [X 2 ] − µ 2   E ( X 2 ) = ∑ x 2 f ( x)          si X es discr...
Ejemplo    x (cantidad de         0              1            2        3    defectuosos)           x2              02     ...
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Variables aleatorias

  1. 1. Variables AleatoriasIntroducción
  2. 2. Concepto de variable aleatoria Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente. Se prueban tres componentes electrónicos, y se observa el carácter de defectuoso o no.S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
  3. 3. Concepto de variable aleatoria Una función de S en R (reales): X:”número o cantidad de defectuosos”S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 R R X = {0 , 1, 2 , 3}
  4. 4. Concepto de variable aleatoria Se sacan dos bolillas de manera sucesiva sin reemplazo de una urna que contiene 5 bolillas blancas y 4 bolillas rojas. Y:”número de bolillas rojas extraídas” Espacio yS={NN, NR, RR, RN} muestral NN 0 NR 1 RN 1 R Y = {0 , 1, 2 } RR 2
  5. 5. Definición de variable aleatoriaUna variable aleatoria es una funciónque asigna un número real a cadaelemento del espacio muestral.Notación: Letras mayúsculas deimprenta, X, Y, Z
  6. 6. EjemplosEl número de personas que llegan a unlocal en un periodo de tiempo dado.El resultado obtenido al lanzar undado.El número de piezas defectuosasobtenidas en una muestra de 200unidades de un proceso productivo.
  7. 7. EjemplosEl tiempo que tardan en ser atendidaslas personas que llegan a un banco.Los pesos de los novillos que salen a laventa en una estancia.Los tiempos de producción de piezasseriadas.La resistencia a la rotura de distintasmuestras de hilos.
  8. 8. Clasificación de las variables aleatorias Variables Aleatorias DISCRETAS CONTINUASCantidad de perros Altura
  9. 9. Clasificación de las variables aleatoriasDiscreta: Si esta asociada a un espaciomuestral con un número finito deelementos o una cantidad infinitanumerable.Continua: Si esta asociada a unespacio muestral con un númeroinfinito de puntos igual al número depuntos en un segmento de línea.
  10. 10. Variable aleatoria discretaDistribución discreta de probabilidad Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con cierta probabilidad. Dicha probabilidad es la misma que la probabilidad con que ocurre el suceso que genera el valor de la variable.
  11. 11. Distribución discreta de probabilidad Se prueban tres componentes electrónicos, y se observa el carácter de defectuoso o no. Supongamos que la probabilidad de que la componente este defectuosa sea p P(D)=p P(N)=1-p=qS={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
  12. 12. Distribución discreta de probabilidadSuceso NNN NND NDN DNN NDD DND DDN DDDelementalprobabilidad q3 q2p qpq pqq qp2 pqp ppq p3 x (cantidad de 0 1 2 3 defectuosos) P( X = x) q3 3q2p 3qp2 p3
  13. 13. Distribución discreta de probabilidad x (cantidad de 0 1 2 3 defectuosos) P( X = x) q3 3q2p 3qp2 p3P ( X = 0) = P{NNN } = q 3P ( X = 1) = P{DNN , NDN , NND} = 3q p2P ( X = 2) = P{DDN , NDD, DND} = 3q p 2P ( X = 3) = P{DDD} = p 3
  14. 14. Distribución de probabilidad o función deprobabilidad de una v. a. discretaEl conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es unafunción de probabilidad, función de masa deprobabilidad o distribución de probabilidad de lav.a. X, si para cada resultado posible de x 1. f ( x) ≥ 0 2. ∑x f ( x) = 1 3. P( X = x ) = f (x)
  15. 15. Distribución de probabilidades p=0.4 f (x) 0.5 1 2 3 4
  16. 16. Distribución de probabilidades p(x) n =12 p = 0.7 x
  17. 17. Distribución Acumulada deprobabilidadesLa distribución acumulada F(x) de una variablealeatoria discreta X con distribución deprobabilidad f(x) es F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f ( x) −∞ < x < ∞ t≤x
  18. 18. Ejemplo La distribución acumulada F(x) de la variable aleatoria X cantidad de defectuosos 0 si x<0  (0.6) 3 si 0 ≤ x < 1  F ( x) = (0.6) 3 + 3 (0.6) 2 (0.4) si 1 ≤ x < 2  (0.6) 3 + 3 (0.6) 2 (0.4) + 3 (0.6) (0.4) 2 si 2 ≤ x < 3  (0.6) 3 + 3 (0.6) 2 (0.4) + 3 (0.6) (0.4) 2 + 8(0.4) 2  si x≥3
  19. 19. Gráfico 1.0 0.5 −1 1 2 3 4
  20. 20. Distribución continua de probabilidad Si X es una variable aleatoria continua P( X = x) = 0P ( a < X < b) P(a ≤ X ) P(Y > c) P ( a < X < b) = P ( a ≤ X < b) = P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X ≤ b)
  21. 21. Función de densidad de probabilidad Si X es una variable aleatoria continua 1.0 0.5 1 2 −2 −1 1 2 f (x) función de densidad de probabilidad
  22. 22. Función de densidad de probabilidad P ( a < X < b) b P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx a
  23. 23. función de densidad de probabilidadLa función f(x) es una función de densidad deprobabilidad de la v.a. continua X, definida en elconjunto de los números R 1. f ( x) ≥ 0 ∞ 2. ∫−∞ f ( x) dx = 1 b 3. P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx a
  24. 24. Distribución Acumulada deprobabilidadesLa distribución acumulada F(x) de una variablealeatoria continua X con densidad de probabilidadf(x) es x F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f ( x) dx −∞ −∞ < x < ∞
  25. 25. Esperanza Matemática o Mediade una v. a. XSea X una variable aleatoria con distribución deprobabilidad f(x). La media o valor esperado de Xes µ = E ( X ) = ∑ x f ( x) si X es discreta x ∞ µ = E ( X ) = ∫ x f ( x) dx si X es continua −∞
  26. 26. Ejemplo x (cantidad de 0 1 2 3 defectuosos) f (x) q3 3q2p 3qp2 p3 µ = E ( X ) = 0 * q 3 + 1 * 3q 2 p + 2 * 3qp 2 + 3 * p 3 = 3q 2 p + 6qp 2 + 3 p 3
  27. 27. Varianza de una v. a. X Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media µ. La varianza de X es 2 [ 2 ] σ = Var ( X ) = E ( X − µ ) = ∑ (x − µ ) f ( x) 2 x si X es discreta 2 [σ = Var ( X ) = E ( X − µ ) = ∫ 2 ] ∞ −∞ (x − µ ) 2 f ( x) dx si X es continua La raíz cuadrada positiva de la varianza, se llama desviación estándar de X.
  28. 28. Varianza de una v. a. XModo de cálculo σ 2 = E [X 2 ] − µ 2 E ( X 2 ) = ∑ x 2 f ( x) si X es discreta x ∞ E ( X ) = ∫ x 2 f ( x) dx 2 si X es continua −∞
  29. 29. Ejemplo x (cantidad de 0 1 2 3 defectuosos) x2 02 12 22 32 f(x) q3 3q2p 3qp2 p3 E ( X 2 ) = 0 2 * q 3 + 12 * 3q 2 p + 2 2 * 3qp 2 + 3 2 * p 3 = 3q p + 12qp + 9 p 2 2 3σ 2 = E [X 2 ] − µ 2 = [ 2 2 3 ] [ = 3q p + 12qp + 9 p − 3q p + 6qp + 3 p 2 2 3 2 ]

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