Raciocinio logico inss[1][1]
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Raciocinio logico inss[1][1] Document Transcript

  • 1. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber CamposSérgio Carvalho& Weber Campos – Raciocínio LógicoApostila de Raciocínio Lógico – Concurso do INSS/2008 FUNDAMENTOS DE LÓGICA# PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, queexprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de doisvalores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: O número 6 é par. Existe um número ímpar menor que dois. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. O cão late e o gato mia. 2 + 8 = 10 5>7 A Terra é o maior planeta do Sistema Solar. A polarização horizontal é indicada para ondas terrestres. Míriam quer um sapatinho novo ou uma boneca. Não são proposições: 1) sentenças como as interrogativas: “Qual é o seu nome?” 2) sentenças exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 3) sentenças imperativas: “Estude mais.” 4) sentenças que não tem verbo: “O caderno de Maria.” 5) Sentenças abertas: “x é maior que 2”; “x+y = 10”.# PROPOSIÇÃO SIMPLES Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outraproposição como sua componente. Não se pode subdividi-Ia em partes menores tais quealguma delas seja uma nova proposição.Exemplo: Fabíola foi ao cinema. Luciana é brasileira.# PROPOSIÇÃO COMPOSTA Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é ditaproposição composta. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se podeextrair como parte dela, uma nova proposição.Exemplo: A sentença "Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio" é uma proposição composta pois é possível retirar-se dela duas outras proposições: "Cínthia é irmã de Maurício" e "Cínthia é irmã de Júlio". 1  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 2. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos# CONECTIVOS LÓGICOS Existem alguns termos e expressões que estão freqüentemente presentes nasproposições compostas, tais como "não", "e", "ou", "se ... então" e "se e somente se" aosquais denominamos conectivos lógicos. Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a queestão ligados de modo a criar novas proposições.Exemplo: A sentença "Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y" é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos ("não", "se... então" e "ou") que estão agindo sobre as proposições simples "x é maior que y", "x é iguala y" e "x é menor que y". O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somentedo valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejamligadas pelos conectivos lógicos utilizados. As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme oconectivo lógico usado para ligar as proposições componentes, como veremos a seguir. São apresentados no quadro abaixo os conectivos lógicos, bem como seus significados ea estrutura lógica generalizada da proposição composta respectiva. linguagem Símbolo Estrutura lógica Exemplo idiomática E ∧ Conjunção: A ∧ B João é ator e alagoano. Ou ∨ Disjunção: A ∨ B Irei ao cinema ou à praia. se ... então → Condicional: A B Se chove então faz frio. Bicondicional: A ↔ Vivo se e somente se sou se e somente se ↔ B feliz. Não ~ Negação: ~A O número 2 não é ímpar# CONJUNÇÃO: “A e B” Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "e". A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como: A∧BExemplo: Dadas as proposições simples: A: André é pianista. B: André é brasileiro. A conjunção “A e B” pode ser escrita como: André é pianista e brasileiro. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados daconjunção "A e B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. 2  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 3. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos A B AeB V V V V F F F V F F F F A conjunção "A e B" é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é tambémverdadeira. Para que a conjunção "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suasproposições componentes seja falsa.# DISJUNÇÃO: “A ou B” Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "ou". A conjunção “A ou B” pode ser representada simbolicamente como: A∨BExemplo: Dadas as proposições simples: A: Alberto fala espanhol. B: Alberto é universitário. A disjunção "A ou B" pode ser escrita como: Alberto fala espanhol ou é universitário. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção"A ou B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. A B A ou B V V V V F V F V V F F F A disjunção "A ou B" é falsa somente quando A é falsa e B é também falsa. Para quea disjunção "A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposiçõescomponentes seja verdadeira.# DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou A ou B” Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção queacabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: 1ª) “Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 2ª) “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-sefacilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que asegunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se forverdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa,ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola. Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, desorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. 3  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 4. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser,ao mesmo tempo, falsas. Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pelapresença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamenteverdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposiçãocomposta é disjunção exclusiva. E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira sehouver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusivaserá falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, aseguinte: A B ou A ou B V V F V F V F V V F F F# CONDICIONAL: “Se A então B” Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Se ... então" ou por uma de suas formasequivalentes. A proposição condicional "Se A, então B" pode ser representada simbolicamente como:A→BExemplo: Dadas as proposições simples: A: José é alagoano. B: José é brasileiro. A condicional "Se A, então B" pode ser escrita como: A → B: Se José é alagoano, então José é brasileiro. As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A, então B": Se A, B. A é condição suficiente para B. B, se A. B é condição necessária para A. Quando A, B. A somente se B. A implica B. Todo A é B.Exemplo: Se chove, então faz frio. São expressões equivalentes: Se chove, faz frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Faz frio, se chove. Fazer frio é condição necessária para chover. Quando chove, faz frio. Chove somente se faz frio. Chover implica fazer frio. Toda vez que chove, faz frio. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposiçãocondicional "Se A então B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. 4  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 5. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos A B A→B V V V V F F F V V F F V Uma condicional "Se A então B" é falsa somente quando a condição A é verdadeira ea conclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numaproposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeiraimplicar uma conclusão falsa.# BICONDICIONAL: “A se e somente se B” Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se". A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser representadasimbolicamente como: A↔B .Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Mauro é criativo. B: Mauro é brasileiro. A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser escrita como: A B: Mauro é criativo se e somente se Mauro é brasileiro. Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”, ou seja, “A B “ é a mesma coisa que “ (A → B) e (B → A) “ Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" asseguintes expressões: A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados daproposição bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que A e B podemassumir. A B A B V V V V F F F V F F F V 5  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 6. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos A proposição bicondicional "A se e somente se B" é verdadeira somente quando A eB têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsaquando A e B têm valores lógicos contrários.# NEGAÇÃO: “não A” Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição compostaque se obtém a partir da proposição A acrescida do conectivo lógico "não" ou de outroequivalente. A negação "não A" pode ser representada simbolicamente como: ~A Daí as seguintes frases são equivalentes entre si. Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. Uma proposição A e sua negação "não A" terão sempre valores lógicos opostos. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação"não A" para cada um dos valores que A pode assumir. A não A V F F V Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negaçãonunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.Revisão dos Conectivos: Na resolução de várias questões de lógica, devemos conhecer as tabelas-verdade dosconectivos, para isso apresentamos abaixo uma tabela-verdade única contendo todos eles.Compare os valores lógicos de cada conectivo que isso vai ajuda-lo a memorizar. A B AeB A ou B ou A ou A→B A B B V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V No quadro abaixo, apresentamos uma tabela muito interessante a respeito dosconectivos, mostrando as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso. Estrutura É verdade quando É falso quando lógica A∧B A e B são, ambos, verdade um dos dois for falso A∨B um dos dois for verdade A e B, ambos, são falsos A→ B nos demais casos A é verdade e B é falso A e B tiverem valores lógicos A↔ B A e B tiverem valores lógicos iguais diferentes ~A A é falso A é verdade 6  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 7. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES EM LINGUAGEM SIMBÓLICAEXEMPLO 1: Encontre a representação usando conectivos lógicos para cada uma dassentenças apresentadas nos itens de “a” a “h”, considerando que as letras P, Q, R e Trepresentam as seguintes proposições: P: Ana é artista R: Jorge é juiz Q: Carlos é carioca S: Breno é altoa) Jorge é juiz e Breno é alto resposta: R ∧ Sb) Carlos é carioca ou Breno é alto resposta: Q ∨ Sc) Breno é alto e Ana não é artista resposta: S ∧ ~Pd) Ana não é artista e Carlos não é carioca resposta: ~P ∧ ~Qe) Se Jorge é juiz, então Breno não é alto. resposta: R → ~Sf) Se Ana é artista e Jorge não é juiz, então Breno é alto resposta: (P ∧ ¬R) → Sg) Carlos é Carioca é condição necessária para que Ana seja artista. resposta: P → Qh) Jorge é juiz se e só se Ana não é artista. resposta: R ↔ ~PEXEMPLO 2: Sejam as proposições P: Carlos é rico , Q: Carlos é alto e R: Carlos falaalemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:a) Carlos é rico, mas fala alemão resposta: P ∧ Rb) Carlos não é alto ou rico, mas fala alemão resposta: (~Q ∨ P) ∧ Rc) Carlos é rico ou não é rico, e fala alemão resposta: (P ∨ ~P) ∧ Rd) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão resposta: (P ∨ Q) ∧ ~Re) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão resposta: (P ∧ Q) ∨ ~R# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES EM LINGUAGEM IDIOMÁTICAEXEMPLO 3: Dadas as proposições P: João é pobre e Q: Laura fala inglês, encontre asentença relacionada com cada representação simbólica dada nos itens abaixo:a) ~P Q resposta: Se João não é pobre, então Laura fala inglêsb) ~~P resposta: ~(João não é pobre), daí: João é pobre 7  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 8. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Camposc) ~P ∧ Q P resposta: Se João não é pobre e Laura fala inglês, então João é pobred) P ∨ ~Q resposta: João é pobre ou Laura não fala inglêse) Q P resposta: Se Laura fala inglês, então João é pobref) P ∨ Q resposta: João é pobre ou Laura fala inglêsg) P ~Q resposta: Se João é pobre, então Laura não fala inglês# DETERMINAÇÃO DO VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Ordem de Precedência dos Conectivos: 1º) ~ (Negação) 2º) ∧ (Conjunção) 3º) ∨ (Disjunção) 4º) → (Condicional) 5º) ↔ (Bicondicional)Exercícios: Os valores lógicos de P e Q são V e F, respectivamente, determinar o valor lógico daproposição:01) ~P ∧ Q P02) (P v Q) ∧ (P Q)03) Q P ∧ ~P04) ~(P ∨ Q) ↔ ~P ∧ ~QGABARITO: 1.V 2.F 3.V 4.V# CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Exemplo 01) ~( P ∧ ~Q) número de linhas = 22 = 4 linhasP Q ~Q P ∧ ~Q ~(P ∧ ~Q)V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V 8  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 9. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Exemplo 02) ~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔P) número de linhas = 22 = 4 linhasP Q (P ∧ Q) (Q ↔ P) ~(P ∧ Q) ~(Q ↔ P) ~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔ P)V V V V F F FV F F F V V VF V F F V V VF F F V V F V Exemplo 03) (P ∨ ~R) → (Q ∧ ~R ) número de linhas = 23 = 8 linhasP Q R ~R (P ∨ ~R) (Q ∧ ~R) (P ∨ ~R) → (Q ∧ ~R)V V V FV V F VV F V FV F F FF V V VF V F VF F V VF F F F Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia,Contradição e Contingência.# TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será ditauma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos dasproposições p, q, r, ... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia,construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentarverdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso!Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdadeabaixo: p q p∧q p∨q (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparecena última coluna, é sempre verdadeiro.# CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será ditauma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos dasproposições p, q, r, ... que a compõem. 9  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 10. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos osresultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.Exemplo 1: A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremospor meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos: p q (p ↔ ~q) (p ∧ q) (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) V V F V F V F V F F F V V F F F F F F F Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), queaparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dosvalores lógicos que p e q assumem.# CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for umatautologia nem uma contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade.Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), enem é uma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita umacontingência!Exemplo: A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dosvalores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: p q (p ∧ q) p ↔ (p ∧ q) V V V V V F F F F V F V F F F V E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia enem é uma contradição!# NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposiçõesequivalentes à negação de uma proposição dada. A negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposiçãodada. A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumasproposições compostas: proposição NEGAÇÃO da proposição AeB ~A ou ~B A ou B ~A e ~B A→B A e ~B A↔B [(A e ~B) ou (B e ~A)] 10  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 11. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Todo A é B Algum A não é B Nenhum A é B Algum A é B Algum A é B Nenhum A é B Algum A não é Nenhum A não é B B (ou Todo A é B)# PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que sãoequivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados desuas tabelas-verdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposiçãopor qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representadasimbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quaisconvém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. Equivalências Básicas: 1ª) p e p = p Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente 2ª) p ou p = p Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema 3ª) p e q = q e p Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte 4ª) p ou q = q ou p Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco 5ª) p ↔ q = q ↔ p Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo 6ª) p ↔ q = (p q) e (q p) Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo Equivalências da Condicional: As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional: 1ª) se p, então q = se não q, então não p. Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove 2ª) se p, então q = não p ou q. Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos: p→q = ~q → ~p p→q = ~p ou q Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação: 1ª) Leis associativas: (p e q) e s = p e (q e s) 11  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 12. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos (p ou q) ou s = p ou (q ou s) 2ª) Leis distributivas: p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s) p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s) 3ª) Lei da dupla negação: ~(~p) = p Daí, concluiremos ainda que: S não é não P = S é P Todo S não é não P = Todo S é P Algum S não é não P = Algum S é P Nenhum S não é não P = Nenhum S é P Exemplos: 1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica 2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional 3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural 4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural Equivalências com o símbolo da negação: ~(p e q) = ~p ou ~q ~(p ou q) = ~p e ~q ~(p → q) = p e ~q Equivalência entre “nenhum” e “todo”: Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões deprova. É uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos:1ª) Todo A não é B = Nenhum A é BExemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco.2ª) Nenhum A não é B = Todo A é BExemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. Mais Equivalências úteis: Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes: 1ª) p e (p ou q) = p 2ª) p ou (p e q) = p 12  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 13. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos# Questões de Concurso:01.(ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.A frase que não possui essa característica comum é a(A) I. (C) III. (E) V.(B) II. (D) IV.02.(BB1 2007 CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.1. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 +3=7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto?03.(BB2 2007 CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧, então obtém-se a forma P∧Q, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨, então obtém-se a forma P∨Q, lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. A partir desses conceitos, julgue os próximos itens.1. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.2. A proposição simbólica (P∧Q)∨R possui, no máximo, 4 avaliações V.04.(PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue os itens que se seguem.1. Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par; 13  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 14. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos q: A PETROBRAS é a maior exportadora de café do Brasil. Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira.05.(ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é(A) disjunção inclusiva. (C) disjunção exclusiva. (E) bicondicional.(B) conjunção. (D) condicional.06.(TRF 1ª Região Técnico Jud 2006 FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,(A) alguns atos não têm causa se não há atos livres.(B) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.(C) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.(D) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.(E) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.07.(BACEN 2006 FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica em q, então(A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo.(B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.(C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.(D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.(E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.08.(PETROBRAS 2007 CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como A, B, C etc., que podem ser conectadas por símbolos lógicos. A expressão A B é uma proposição lida como “A implica B”, ou “A somente se B”, ou “A é condição suficiente para B”, ou “B é condição necessária para A”, entre outras. A valoração de A B é F quando A é V e B é F, e nos demais casos é V. A expressão ¬A é uma proposição lida como “não A” e tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V.1. A proposição “O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado” podeser corretamente lida como “O carro estar bem preparado é condição necessária para que opiloto vença a corrida”.09.(Téc Controle Interno RJ 99 FCC) Dadas as proposições I) ~( 1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5 ) II) ~( 2 + 2 ≠ 4 ∧ 3 + 5 = 8 ) III) 43 ≠ 64 ↔ ( 3 + 3 = 7 ↔ 1 + 1 = 2 ) IV) (23 ≠ 8 ∨ 42 ≠ 43) V) 34 = 81 ↔ ~ ( 2 + 1 = 3 ∧ 5 x 0 = 0)A que tem valor lógico FALSO é a 14  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 15. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos(A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I10.(TCU _ Tec_Cont_Ext _ 2004 _ CESPE)Considere que as letras P, Q e R representam proposições, e os símbolos ¬ , ∧ e sãooperadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então,respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio deproposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nuncaambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letrasproposicionais, na tabela abaixo: P Q ¬P P∧Q P Q V V F V V V F F F F V V F V F F F VSuponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi àpraia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e notexto, julgue os itens a seguir:1. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)2. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧¬Q3. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Q é falsa.4. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9.11.(Agente da Polícia Federal (Regional) 2004 CESPE) Texto para os itens de 01 a 08 Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e →sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira.2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.Considere as sentenças abaixo.i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. 15  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 16. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber CamposConsidere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P Fumar deve ser proibido. Q Fumar deve ser encorajado. R Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam.Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue ositens seguintes.4. A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).5. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).6. A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.7. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.8. A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).12.(Anal. Jud. TRT 10ª região 2004 CESPE) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.1. ¬P ∨ Q é verdadeira.2. ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.3. [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.4. (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.13. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.14.(TRT-PE Analista 2006 FCC) Uma turma de alunos de um curso de Direito reuniu-se em um restaurante para um jantar de confraternização e coube a Francisco receber de cada um a quantia a ser paga pela participação. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota não tinham pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os três e obteve os seguintes depoimentos:Augusto: “Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou.”Berenice: “Se Carlota pagou, então Augusto também pagou.”Carlota: “Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não pagou.”Considerando que os três falaram a verdade, é correto afirmar que(A) apenas Berenice não pagou a sua parte.(B) apenas Carlota não pagou a sua parte.(C) Augusto e Carlota não pagaram suas partes. 16  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 17. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos(D) Berenice e Carlota pagaram suas partes.(E) os três pagaram suas partes.15.(ICMS/SP 2006 FCC) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição “(10 < 10 ) ↔ (8 - 3 = 6)” é falsa.É verdade o que se afirma APENAS em(A) I. (C) I e II.(B) II. (D) nenhum dos dois.16.(ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q ? V V F V F V F V F F F FA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é(A) p ∧ q (C) ~(p → q) (E) ~(p ∨ q)(B) p → q (D) p ↔ q17. (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza (A) um silogismo. (C) uma equivalência. (E) uma contradição. (B) uma tautologia. (D) uma contingência.18.(TRT 16ª região Anal. Jud. CESPE 2005) Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P o trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro, obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é lida: Se P então Q, e simbolizada por P → Q. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que tenha a forma P → Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas informações e na simbolização sugerida, julgue os itens subseqüentes.1. A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado.” é uma tautologia.2. A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro.” não é uma tautologia.19.(TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é:(A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.(B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.(C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. 17  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 18. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos(D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.(E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.20.(AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.21.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva22.(Delegado-Pol Civil PE 2006 - IPAD) A sentença “penso, logo existo” é logicamente equivalente a:A) Penso e existo.B) Nem penso, nem existo.C) Não penso ou existo.D) Penso ou não existo.E) Existo, logo penso.23.(ISS São Paulo 2007 FCC) Considere a seguinte proposição:“Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele nãoprogride na carreira.”Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.(B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira.(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira.(D) Um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira.24. (Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ∧ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. 18  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 19. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.1. As tabelas de valorações das proposições P∨Q e Q ¬P são iguais.2. As proposições ¬(P → (¬Q)) e Q → (¬P) possuem tabelas de valorações iguais.3. O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.25.(IBAMA 2004 CESPE) Com relação às estruturas lógicas, julgue os seguintes itens.1. Se é verdade que P → Q , então é falso que P ∧ (¬ Q).2. ¬ (P → (¬ Q)) é logicamente equivalente à Q → (¬P).3. Considere a seguinte proposição. Ocorre conflito ambiental quando há confronto de interesses em torno da utilização do meio ambiente ou há confronto de interesses em torno da gestão do meio ambiente. A negativa lógica dessa proposição é: Não ocorre conflito ambiental quando não há confronto de interesses em torno da utilização do meio ambiente ou não há confronto de interesses em torno da gestão do meio ambiente.4. Considere a seguinte assertiva. Produção de bens dirigida às necessidades sociais implica na redução das desigualdades sociais. A negativa lógica dessa assertiva é: A não produção de bens dirigida às necessidades sociais implica na não redução das desigualdades sociais. 19  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 20. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos DIAGRAMAS LÓGICOS Consideramos que uma questão é de Diagramas Lógicos, quando ela traz diagramas ouquando temos que usar diagramas para chegarmos a solução da questão. Os diagramasgeralmente são círculos, mas também podem ser outras figuras: quadrado, triângulo, ... . Os diagramas lógicos serão bastante usados nas soluções das questões que envolvemos termos: todo, algum e nenhum.# PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas deproposições categóricas, e são elas: Todo A é B Nenhum A é B Algum A é B Algum A não é B Todo A é B Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B,ou seja, todo elemento de A também é elemento de B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Todo gaúcho é brasileiro ≠ Todo brasileiro é gaúcho Nenhum A é B Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos,isto é, A e B não tem elementos em comum. Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Exemplo: Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata Algum A é B Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecemque o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B.Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns alunossão ricos”, mesmo sabendo que “todos eles são ricos”. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Exemplo: Algum médico é poeta = Algum poeta é médico Também, são equivalentes as expressões seguintes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B Exemplo: Algum poeta é médico = Pelo menos um poeta é médico = Existe um poeta que é médico Algum A não é B Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelomenos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B,e também é logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A. Exemplo: 20  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 21. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Algum fiscal não é honesto = Algum fiscal é não honesto = Algum não honesto é fiscal Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. Exemplo: Algum animal não é mamífero ≠ Algum mamífero não é animalIMPORTANTE: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dosverbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.# Revisão Como mais adiante teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum enenhum, resolvemos listar algumas regras que já foram vistas. Todo A não é B é equivalente a Nenhum A é B Nenhum A não é B é equivalente a Todo A é B A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa) A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa)# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para asolução de diversas questões de concurso. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é quemdefinirá o desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposição categórica podepossuir mais de um desenho. Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposiçõescategóricas:Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B.Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum.Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Junto com as representações das proposições categóricas, analisaremos a partir daverdade de uma das proposições categóricas, a verdade ou a falsidade das outras.1. Se a proposição “Todo A é B” é verdadeira, então temos duas representações possíveis: 1 O conjunto A dentro do conjunto B 2 O conjunto A é igual ao conjunto B B  A = B  A Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A é B é necessariamente verdadeira. Algum A não é B é necessariamente falsa. 21  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 22. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos2. Se a proposição “Nenhum A é B” é verdadeira, então temos somente a representação: 1 Não há elementos em comum entre os dois conjuntos (Não há intersecção!) A B Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira.3. Se a proposição “Algum A é B” é verdadeira, temos quatro representações possíveis: Há elementos em comum entre os 1 2 O conjunto A dentro do conjunto B  dois conjuntos  B A A B 3 O conjunto B dentro do conjunto A  4 O conjunto A é igual ao conjunto B  B A A = B  Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3 e 4) e falsa (em 1 e 2). Algum A não é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2) e falsa (em 3 e 4).4. Se a proposição “Algum A não é B“ é verdadeira, temos três representações possíveis: Há elementos em comum entre os O conjunto B dentro do conjunto A  1 2 dois conjuntos  A A B B 22  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 23. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 3 Não há elementos em comum entre os dois conjuntos  A B Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Todo A é B é necessariamente falsa. Nenhum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3) e falsa (em 1 e 2). Algum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2) e falsa (em 3). Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é buscarentender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo,conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dosdiagramas lógicos! Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Passemos a um exemplo!Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro éinstrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.Sol.: Temos que a proposição “todo livro é instrutivo” é verdadeira. Baseando-se nesta proposição, construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas. Como vimos anteriormente há duas representações possíveis: a b instrutivo  instrutivo =  livro  livro  Pode haver questão mais fácil que esta? A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a totaldissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa! A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima osconjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta necessariamenteperfeito que “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. Resposta: opção B. Já achamos a resposta correta, mas continuaremos a análise das outras opções. 23  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 24. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos# Questões de Concurso:01. (ICMS São Paulo 97) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: a) algum A é C; d) algum B é C; b) nenhum A é C; e) nenhum B é A; c) nenhum A é B;02.(TRE/MS Tec Jud 2007 FCC) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:“Alguma mulher é vaidosa.”“Toda mulher é inteligente.”Assim sendo, qual das afirmações seguintes é certamente verdadeira?(A) Alguma mulher inteligente é vaidosa.(B) Alguma mulher vaidosa não é inteligente.(C) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente.(D) Toda mulher inteligente é vaidosa.(E) Toda mulher vaidosa não é inteligente.03.(MPU Técnico 2007 FCC) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:– Todo motorista que não obedece às leis de trânsito é multado.– Existem pessoas idôneas que são multadas.Com base nessas afirmações é verdade que(A) se um motorista é idôneo e não obedece às leis de trânsito, então ele é multado.(B) se um motorista não respeita as leis de trânsito, então ele é idôneo.(C) todo motorista é uma pessoa idônea.(D) toda pessoa idônea obedece às leis de trânsito.(E) toda pessoa idônea não é multada.04.(AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que a) nenhum músico é escritor d) algum escritor não é músico b) algum escritor é músico e) nenhum escritor é músico c) algum músico é escritor05.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B c) algum A é C b) todo C é A e) algum A não é C06.(Nossa Caixa Nosso Banco 2002 Vunesp) Todo torcedor do time A é fanático. Existem torcedores do time B que são fanáticos. Marcos torce pelo time A e Paulo é fanático. Pode- se, então, afirmar que:a) Marcos é fanático e Paulo torce pelo time A.b) Marcos é fanático e Paulo torce pelo time B.c) Marcos também torce pelo time B e Paulo torce pelo time A. 24  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 25. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Camposd) Marcos também torce pelo time B e o time de Paulo pode não ser A nem B.e) Marcos é fanático e o time de Paulo pode não ser A nem B.07.(TRF 3ª Região Téc. Jud. 2007 FCC) Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir que(A) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira.(B) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa.(C) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa.(D) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira.(E) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira.08.(TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que(A) quem não é corrupto é honesto.(B) existem corruptos honestos.(C) alguns honestos podem ser corruptos.(D) existem mais corruptos do que desonestos.(E) existem desonestos que são corruptos,09.(Nossa Caixa Nosso Banco 2002 Vunesp) Todos os estudantes de medicina são estudiosos. Alguns estudantes de medicina são corintianos. Baseando-se apenas nessas duas afirmações, pode-se concluir que:a) Nenhum estudioso é corintiano.b) Nenhum corintiano é estudioso.c) Todos os corintianos são estudiosos.d) Todos os estudantes de medicina são corintianos.e) Existem estudiosos que são corintianos.10.(PETROBRAS 2007 CESPE) Considere as seguintes frases. I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. II Os cariocas são alegres. III Marcelo é empregado da PETROBRAS. IV Nenhum indivíduo alegre é rico.Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações,julgue os itens que se seguem.1. Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres.2. Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico.3. Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca.4. Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres.11.(PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue o item seguinte.1. Admitindo-se que as proposições funcionais Nenhuma mulher é piloto de fórmula 1 e Alguma mulher é presidente sejam ambas V, então é correto concluir que a proposição funcional Existe presidente que não é piloto de fórmula 1 tem valoração V. 25  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 26. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos ARGUMENTO Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda emuma outra proposição final, que será conseqüência das primeiras! Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1,p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusãodo argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados oscorrespondentes hipótese e tese, respectivamente. Vejamos alguns exemplos de argumentos: Exemplo 1) p1: Todos os Nerds são Zem. p2: Nenhum Hari é Zem. C : Nenhum Nerd é Hari. Exemplo 2) p1: Todos os alunos do curso foram aprovados no concurso. p2: André não é aluno do curso. C : André não passou no concurso. O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja,silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se elessão válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o quesignifica um argumento válido e um argumento inválido.# ARGUMENTO VÁLIDO: Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído),quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto depremissas. Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderãoser visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será consideradoválido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta averdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente avalidade deste.Exemplo 03: O silogismo... p1: Todos os homens são pássaros. p2: Nenhum pássaro é animal. c: Portanto, nenhum homem é animal. ... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muitoembora a validade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se aconstrução está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo daspremissas ou da conclusão! Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento émesmo válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento éutilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usadocom freqüência em questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer.Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima. Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemosrepresentar essa frase da seguinte maneira: 26  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 27. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Conjunto dos  pássaros  Conjunto dos  homens  Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ouseja, pertencem ao conjunto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, umdentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavratodo. Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa. Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que apalavra-chave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociaçãoentre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica: Conjunto dos  Conjunto dos  Pássaros  Animais  Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: doisconjuntos separados, sem nenhum ponto em comum. Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e asanalisemos em conjunto. Teremos:  Pássaros  Animais  Homens  Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal –com o desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é umaconseqüência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto doshomens está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. 27  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 28. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Resultado: este é um argumento válido! Para testar a validade do argumento acima, consideramos as duas premissas comoverdadeiras, mesmo sabendo que eram absurdas. Perceberam? Num raciocínio dedutivo (lógico) não é possível estabelecer a verdade de suaconclusão se as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar averdade ou falsidade das premissas é tarefa que incube à ciência, em geral, pois aspremissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear,Medicina, Química, Direito, etc., assuntos que talvez desconheçamos por completo! Eainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do argumento! Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido.# ARGUMENTO INVÁLIDO: Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, malconstruído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficientepara garantir a verdade da conclusão. Entenderemos melhor com um exemplo.Exemplo 04: p1: Todas as crianças gostam de chocolate. p2: Patrícia não é criança. c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate. Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois aspremissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissanão afirmou que somente as crianças gostam de chocolate. Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade doargumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento emanálise é inválido. Vamos lá: Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Jáaprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos: Pessoas que  gostam de  chocolate  crianças  Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temosque fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderáestar localizada a Patrícia, obedecendo o que consta nesta segunda premissa. Vemos facilmente que a Patrícia só não pode estar dentro do círculo das crianças. É aúnica restrição que faz a segunda premissa. Isto posto, concluímos que a Patrícia pode estarem dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do conjuntomaior (sem tocar o círculo das crianças!). Vejamos: 28  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 29. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Pessoas que  gostam de  chocolate  x Patrícia  x Patrícia  crianças  Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, oque nos resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar seesse resultado, ou seja, se esta conclusão, é necessariamente verdadeira! O que vocês dizem? É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para odesenho acima, respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso estejafora do círculo maior), mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo maior)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade daconclusão!# MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS Os diferentes métodos utilizados para testar a validade de um argumento sãomostrados a seguir:1) Utilizando diagramas de conjuntos Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo,algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um, .... Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posteriorverificação da verdade da conclusão.2) Construindo a tabela-verdade do argumento Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo método descrito acima,que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, massim, os conectivos “ou” , “e”, “→” e “ ”. Baseia-se na construção da tabela verdade, destacando uma coluna para cada premissae outra para a conclusão. Após a construção da tabela verdade, verificar quais são as linhas da tabela em que osvalores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas, os valores lógicosrelativos a coluna da conclusão, forem também V, o argumento é válido. Se ao menos umadaquelas linhas tiver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido. Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quandoenvolve várias proposições simples, mas através deste método podemos observar e entender,claramente, a validade do argumento.3) Considerar premissas verdadeiras e verificar o valor lógico da conclusão Esta forma é bem fácil e rápida para mostrar a validade de um argumento, mas sódevemos utilizá-la na impossibilidade do primeiro método. Este método inicia-se considerando as premissas como verdades, e através de 29  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 30. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Camposoperações lógicas com os conectivos, descobrir o valor lógico da conclusão, que deve resultarem verdade para que o argumento seja válido. Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mãode um ou de outro, em cada caso. Vejamos: Deve ser usado Não deve ser O argumento é válido quando... usado quando... quando... 1º Método o argumento apresentar a partir dos diagramas Utilização dos as palavras todo, o argumento verificarmos que a Diagramas nenhum, ou algum não apresentar conclusão é uma (circunferências) tais palavras. conseqüência obrigatória das premissas. 2º Método em qualquer caso, mas nas linhas da tabela em Construção da preferencialmente que os valores lógicosTabela-Verdade do quando o argumento tiver das premissas têm valor o argumento argumento no máximo duas V, os valores lógicos apresentar proposições simples. relativos a coluna da mais de três conclusão forem também proposições V. simples. 3º Método o 1º Método não puder Considerando as ser empregado, e houver nenhuma o valor encontrado para premissas uma premissa... premissa for a conclusão é verdadeiras e ...que seja uma uma obrigatoriamente verificando o valor proposição simples; ou proposição verdadeiro.lógico da conclusão ... que esteja na forma de simples ou uma conjunção (e). uma conjunção.Exercícios: Classifique os seguintes argumentos como válido ou inválido.1. P∨Q ~P___ Q2. P→Q Q____ P3. P→Q ~P____ ~Q4. P→Q R → ~Q R______ ~P e R 30  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 31. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber CamposGabarito:  1.válido  2. inválido  3. inválido  4. válido    Sentenças Abertas e QuantificadoresHá expressões como:a) x + 1 = 7b) x > 2c) x3 = 2x2que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuídoà variável.Nos exemplos citados temos:a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x;b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para x =4.c) x3 = 2x2 é verdadeira se trocarmos x por 0 (03 =2.02) ou 2 (23 =2.22) e é falsa para qualquer outro valor dado a x. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentençasabertas. Tais sentenças não são proposições, pois seu valor lógico (Vou F) é discutível,dependem do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições:1) atribuir valor às variáveis2) utilizar quantificadoresO Quantificador Universal O quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, éindicado pelo símbolo ∀ que se lê: "qualquer que seja", "para todo", "para cada".Exemplos1) (∀ x)(x + 1 = 7) que se lê: "qualquer que seja o número x, temos x + 1 = 7". (Falsa)2) (∀ x)(x3 = 2x2) que se lê: "para todo número x, x3 = 2x2 ". (Falsa)3) (∀ a) ((a + 1)2 = a2 + 2a + 1) que se lê: "qualquer que seja o número a, temos (a + 1)2 = a2 + 2a + 1". (Verdadeira)4) (∀ y)(y2 + 1 > 0) que se lê: "para todo número y, temos y2 + 1 positivo". (Verdadeira)O Quantificador Existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo: ∃ que se lê: "existe", "existe pelomenos um", "existe um".Exemplos1) (∃ x)(x + 1 = 7) que se lê: "existe um número x tal que x + 1 = 7" . (Verdadeira)2) (∃ x)(x3 = 2x2) que se lê: "existe um número x tal que x3= 2x2 ".. (Verdadeira) 31  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 32. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos3) (∃ a)(a2 + 1 ≤ 0) que se lê: "existe um número a tal que a2 + 1 é não positivo". (Falsa).4) (∃ m)(m(m + 1) ≠ m2 + m) que se lê: "existe pelo menos um número m tal que m(m + 1) ≠ m2 + m ". (Falsa) Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ∃| que se lê: "existe um único”,"existe um e um só", "existe só um",Exemplos1) (∃| x)(x + 1 = 7) que se lê: "existe um só número x tal que x + 1 = 7". (Verdadeira)2) (∃| x)(x3 = 2x2) que se lê: "existe um só número x tal que X3 = 2X2" (Falsa)3) (∃| x)(x + 2 > 3) que se lê: "existe um só número x tal que x + 2 > 3". (Falsa)Negação de Proposições Quantificadas a) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo (∀x)(P(x)), énegada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se P(x), obtendo:(∃x)(¬P(x)).Exemplos1) sentença: (∀ x)(x + 3 = 5) negação: (∃ x)(x + 3 ≠ 5)2) sentença: (∀ x)(x(x + 1) = x2 + x) negação: (∃ x)(x(x + 1) ≠ x2+ x)3) sentença: Todo losango é um quadrado negação: Existe um losango que não é quadrado b) Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo (∃ x) (P(x)), énegada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se P(x), obtendo:(∀x)(¬P(x)).Exemplos1) sentença: (∃ x)(x = x) negação: (∀x)(x ≠ x)2) sentença: (∃ a)(1/a ∈ IR) negação: (∀ a)(1/a ∉ IR)Exemplo 01: Julgue as proposições seguintes quanto ao seu valor lógico (verdadeiro oufalso):1. (∀x ∈ R )( x + 4 > 9) 10. (∃x ∈ N )( x − 4 x − 5 = 0) 22. (∀x ∈ Ν )( x ≥ 0) 2 11. (¬∃x ∈ R)( x + 3 = x + 7)3. (∀x ∈ R )( x + 2 > 0) 12. (∃ | x ∈ R )(2 = 1) 2 x 32  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 33. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos4. (∃x ∈ R )( x + 2 > x + 3) 13. ∃ x ∈ Z | x + 7 = 785. (∃x ∈ R )(5 x − 1 = 3 − x) 14. ∀ x ∈ R, x > 7086. (∃x ∈ Ν )(2 x + 4 = x + 3) 15. ∀ x, y ∈ R, x > y7. (∃x ∈ Ζ)(2 x + 4 = x + 3) 16. ∀ x ∈ Z, ∃ y ∈ N | x < y8. (∃x ∈ Ν )( x − 4 = 0) 2 17. ∀ x ∈ Z, ∃ y ∈ N | x > y9. (∃x ∈ R )( x = x) 2GABARITO: 1.F 2.V 3.V 4.F 5.V 6.F 7.V 8.V 9.V 10.V 11.V 12.V 13.V 14.F 15.F 16.V 17.FExemplo 02: (AFTN 1998) Indique qual das opções abaixo é verdadeira. a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5 b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2 c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0 d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k2 – 5k = 0 e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 > xExemplo 03: (TCM-RJ 2003 – FGV) Uma afirmação verdadeira a respeito do conjunto U= {-1, 0 , 1} é: A) para todo x, existe y tal que x+y = 0 B) existe x tal que para cada y, x+y = 0 C) existe x tal que para todo y, x>y D) para todo x e todo y, x+y ∈ UExemplo 04: (TCM-RJ 2003 – FGV) Considere os conjuntos A={1 , 3 , 5} e B={1 , 2 , 4 , 6}.A partir destes dados, é correto concluir que: A) todo elemento de A é maior que algum elemento de B B) nenhum elemento de A é menor que algum elemento de B C) nenhum elemento de A é menor que qualquer elemento de B D) todo elemento de A é menor ou igual a qualquer elemento de B 33  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 34. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Agora relembraremos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, para nos familiarizarmoscom a linguagem e a simbologia.Relações de pertinência (relacionam elemento com conjunto): ∈ (pertence), ∉ (não pertence)Relações de inclusão (relacionam um conjunto com outro conjunto): ⊂ (está contido), ⊃ (contém), ⊄ (não está contido), ⊃ (não contém)Subconjunto: diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B.Conjunto das partes de um conjunto: chama-se conjunto das partes de um conjunto A,denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, isto é: P(A) = {x | x⊂ A}. O número de subconjuntos de um conjunto A é dado por 2n, em que n é o número deelementos de A.Operações com conjuntos: dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, denomina-se:- União (∪): A ∪ B = {x / x∈A ou x∈B}- Interseção (∩): A ∩ B = {x / x∈A e x∈B}- Diferença ( - ) : A - B = {x / x∈A e x∉B}- Complementar (A): A = {x∈S | x∉A}Exemplo 1:Considere o diagrama acima onde o retângulo representa o conjunto-universo S e os círculosrepresentam os conjuntos A e B. S  A  B  m  a  f  d  b  g  n    j  l Agora determine:a) o conjunto A d) o número de elementos de B g) A ∪ B j) B - Ab) o conjunto B e) o número de subconjuntos de A h) A ∩ B l) Ac) o número de elementos de A f) o número de subconjuntos de B i) A – B m) BSoluçãoa) A = {a, b, c, d, e} b) B = {d, e, f, g, h, i} c) n(A) = 5 n 5d) n(B) = 6 e) 2 = 2 = 32 f) 2n = 26 = 64 34  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 35. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Camposg) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} h) A ∩ B = {d, e} i) A - B = {a, b, c}j) B - A = {f, g, h, i} l) A = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n} m) B = S - B = {a,b,c,j,l,m,n}Exemplo 2: Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos noconjunto universo S, tais que: A ⊄ B , B ⊄ A , C ⊂ A e C ⊂ B Solução: S  A  B  C # Questões de Concurso:01.(TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Uma empresa divide-se unicamente nos departamento A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13 trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os departamentos. O total de trabalhadores dessa empresa é(A) 36 (D) 28(B) 32 (E) 24(C) 3002.(MPE/PE técnico 2006 FCC) Dos 63 alunos que concluíram o curso técnico no ano passado, em uma escola, 36 têm formação na Área Informática e 40 na Área Eletrônica. Somente 6 deles não têm formação nessas áreas. Sobre esses alunos, é verdade que(A) mais de 16 têm formação só na Área Informática.(B) menos de 20 têm formação só na Área Eletrônica.(C) o número dos que têm formação nas duas áreas é um número par.(D) o número dos que têm formação em pelo menos uma dessas duas áreas é maior que 58.(E) o número dos que têm formação só na Área Informática ou só na Área Eletrônica é um número ímpar.03.(Técnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é(A) 245 (D) 224(B) 238 (E) 217(C) 231 35  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 36. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos04.(Analista Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã, almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:- 5 se alimentam apenas pela manhã;- 12 se alimentam apenas no jantar;- 53 se alimentam no almoço;- 30 se alimentam pela manhã e no almoço;- 28 se alimentam pela manhã e no jantar;- 26 se alimentam no almoço e no jantar;- 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar.Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam apenas no almoço é(A) 80% dos que se alimentam apenas no jantar.(B) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã.(C) a terça parte dos que fazem as três refeições.(D) a metade dos funcionários pesquisados.(E) 30% dos que se alimentam no almoço. 36  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 37. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos PORCENTAGEM Vejamos um pouco da teoria deste assunto e, logo a seguir, conheceremos questõesrecentes de prova sobre porcentagem! Ok? Vamos lá!# RAZÃO CENTESIMAL – é a razão cujo denominador é igual a 100. 5 50 135 33,5Exemplos: , , , . 100 100 100 100 Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais: 5 = 5% (cinco por cento) 100 50 = 50% (cinquenta por cento) 100 170 = 170% (cento e setenta por cento) 100 33,5 = 33,5% (trinta e três e meio por cento) 100 Tais razões estão expressas em taxas percentuais. Toda percentagem está associada a um número decimal.Exemplos: 48% = 0,48 ; 0,7% = 0,007 ; 7% = 0,07 ; 70% = 0,7 ; 700% = 7Observação: A porcentagem, quando escrita na forma de 15% , por exemplo, é chamada deforma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 é dito forma unitária ou decimal.# Transformar razões comuns em taxas percentuais. Multiplicando-se a razão por 100%, obtém-se a taxa percentual.Exemplos: 3 3a) = × 100 % = 3 × 25 % = 75% 4 4 7 7b) = × 100 % = 7 × 20 % = 140% 5 5 2 2 200c) = × 100 % = % = 66,67% 3 3 3 37  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 38. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos# Porcentagem sobre Valores Calcular uma percentagem de uma quantidade qualquer, significa multiplicá-la, pelonúmero decimal associado àquela percentagem. 1515% de 200 = 0,15 x 200 = 30 ou × 200 = 15 × 2 = 30 100 7474% de 3.000 = 0,74 x 3.000 = 2220 ou × 3000 = 74 × 30 = 2220 100Exemplo: Numa escola de 1200 alunos, 60% são meninos. Quantas são as meninas?Temos que 40% do total de alunos são meninas.Daí, o número de meninas é 40% de 1200 = 0,4 x 1200 = 4 x 120 = 480# Acréscimos e decréscimos percentuais Se um número N sofre aumento percentual i, seu novo valor passa a ser: (1 + i ) ⋅ N . Damesma forma, se o número N sofre um decréscimo percentual i, passa a valer (1 − i ) ⋅ N .Exemplo: Um produto que custava R$ 40,00 e sofreu um aumento de 15%, passou a custar: (1 + 0,15) x 40,00 = 1,15 x 40,00 = 46,00.Exemplo: Se você reduzir o número 120 em 30%, ele passará a valer: (1 - 0,30) x 120,00 = 0,70 x 120 = 84.Exemplos: Se queremos aumentar o preço de um objeto em:a) 35% - Basta multiplicar por (1 + 0,35) = 1,35.b) 81% - Multiplicamos por 1,81.c) 5% - Multiplicamos por 1,05.d) 300% - Multiplicamos por (1 + 3) = 4.Exemplo: O preço de uma bicicleta é de R$ 400,00. Qual o novo preço após um aumento de30%? Basta multiplicar 1,30 x 400 = 520. O novo preço é R$ 520,00.Exemplo: O preço de uma bicicleta é de R$ 400,00. Qual o novo preço após aumentossucessivos de 30%, 10% e 20%? O novo preço da mercadoria será dado por: 400 x (1+0,30) x (1+0,10) x (1+0,20) = 400 x (1,3) x (1,1) x (1,20) = 400 x 1,716 = 686,40 O novo preço é R$ 686,40. 38  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 39. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber CamposExemplo: Certa mercadoria, que custava R$ 24,00, passou a custar R$ 30,00. Calcule a taxapercentual de aumento. Devemos inicialmente calcular a variação de preço em R$: 30 – 24 = 6 (valor do aumento) A seguir, basta dividirmos a variação acima pelo preço inicial, obtendo: 6 = 0,25 = 25% (taxa percentual do aumento) 24Exemplo: Um certo produto foi vendido por R$ 230,00 com um lucro de 15% sobre o preço decompra. Pede-se:1) Preço de compra2) O lucro obtidoSol.: O lucro, em dinheiro, é a diferença entre o preço de venda (PV) e o preço de compra(PC), ou seja: lucro = PV – PC O lucro sobre o preço de compra é a razão entre o lucro e o preço de compra, ou seja: lucro sobre o preço de compra = lucro = PV – PC PC PC O enunciado diz que o preço de venda é de R$ 230,00 e o lucro sobre o preço decompra é de 15%. Substituiremos esses dados na fórmula acima. 15% = 230 – PC PC Daí: 0,15PC = 230 - PC 1,15PC = 230 PC = 200 E o lucro é de: 230 – 200 = 30,00 reais.Resposta: Preço de compra R$ 200,00 e Lucro R$ 30,00# Questões de Concurso Resolvidas:01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 , então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a a) 75%. d) 175%. b) 25%. e) 200%. c) 57%.Sol.: A questão quer que calculemos a razão (2X–Y)/X , utilizando a seguinte informação:X/Y=4. Isolando o valor de Y, teremos: Y=X/4. Substituindo o valor de Y na razão solicitadapelo enunciado, teremos: 39  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 40. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2X – Y = 2X – X/4 = (8X–X)/4 = 7X/4 = 7/4 X X X X Passaremos para percentagem multiplicando por 100: 7/4 x 100% = 175% (Resposta: Alternativa D)02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a a) R$ 25,00. d) R$ 50,00. b) R$ 30,00. e) R$ 60,00. c) R$ 40,00.Sol.: Para a solução da questão, consideraremos que o clube tem 100 sócios. Cálculo da quantia que se conseguiu apurar com os sócios contatados: O número de sócios contatados é de 60 (=60%x100), e a contribuição média de cadaum é de R$ 60,00. A quantia apurada entre os sócios contatados é igual ao produto do número de sócioscontatados pela contribuição média de cada um. Daí: quantia apurada = 60 x 60,00 = 3600,00 Cálculo da quantia total necessária para a pintura: A questão informa que o valor apurado corresponde a 75% da quantia total. Daí: 75% x quantia total = 3600,00 Resolvendo: 3/4 x quantia total = 3600,00 quantia total = 3600 x 4/3 quantia total = 4800,00 Cálculo da contribuição média por associado, entre os restantes associados ainda não contatados. O número de sócios que não foram contatados é de 40 (=100-60). Se já foi apurado 75% da quantia total, então falta 25%. Esses 25% serão pagos pelossócios ainda não contatados, que, portanto, terão que arcar com a quantia de 1.200,00 (=25%x4.800,00) Dividindo esse valor pelo número de sócios não contatados, teremos a contribuiçãomédia que cada um. Daí: contribuição média = 1200 / 40 = 30,00 (Resposta!) 40  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 41. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos03. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 d) 40 b) 10 e) 70 c) 20Sol.: Usaremos a informação trazida no final do enunciado de que na clínica estãohospedados 10 gatos, e consideraremos que o total de cães é N. O total de animais hospedados na clínica é igual à soma de cães e gatos, ou seja, éigual a (10+N). Vamos utilizar esses valores nos restantes dos dados trazidos no enunciado: i) Dos N cães hospedados: - 0,9N agem como cães - 0,1N agem como gatos ii) Dos 10 gatos hospedados: - 9 (=90%x10) agem como gatos - 1 (=10%x10) age como cão iii) 20% de todos os animais hospedados agem como gatos e os 80% restantes agem como cães. Daí: agem como gatos = 20%x total = 20%x(10+N) agem como cães = 80%x total = 80%x(10+N) Havíamos escrito que o número de cães que agem como gatos é de 0,1N, e que onúmero de gatos que agem como gatos são 9. Portanto, o total de animais que agem comogatos é de (0,1N+9). Daí, podemos fazer a seguinte igualdade: 20%x(10+N) = (0,1N+9) Resolvendo: 0,2x(10+N) = (0,1N+9) 2+0,2N = 0,1N+9 N = 7 / 0,1 N = 70 (Resposta!)04. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de Português e um curso noturno de Matemática, possui quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% estão matriculados no curso de Português. Dos que estão matriculados no curso de Português, 50% estão matriculados também no curso de Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. Portanto, o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é: a) 42 d) 84 b) 24 e) 36 c) 18 41  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 42. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber CamposSol.: Dados fornecidos no enunciado: A escola possui quatrocentos alunos. A escola só oferece um curso diurno de Português e um noturno de Matemática. 60% estão matriculados no curso de Português Dos matriculados em Português, 50% também fazem Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. O número de alunos matriculados em Português é igual a 240 (=60%x400). Desses240, a metade (120) também faz Matemática, e é claro, a outra metade (120) só fazPortuguês. A soma das quantidades de pessoas que só fazem Matemática, que só fazem Portuguêse que fazem os dois cursos, deve ser igual ao total de alunos da escola (400 alunos). Daí: (só fazem Matemática) + 120 + 120 = 400 (só fazem Matemática) = 400 – 240 = 160 alunos Com este resultado podemos obter o total de alunos matriculados em Matemática,basta fazer a soma entre os que só fazem Matemática e os que fazem Matemática e Português.Daí: 160 + 120 = 280 alunos Como dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas, então o número deestudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é igual a: 15%x280 = 0,15x280 = 42 alunos (Resposta!)05. (AFC 2002 ESAF) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou- se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:a) 20 % b) 25 % c) 37,5 % d) 62,5 % e) 75 %Sol.: Reproduziremos abaixo os dados trazidos no enunciado: Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos. 80% são amarelos e 20% são vermelhos Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Após o controle da doença, 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Considerando que havia inicialmente 100 peixes no aquário, então o desenho doaquário é esse: 80 amarelos Vamos designar por X o número de peixes amarelos vivos no aquário após a doença,assim teremos: 42  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 43. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos X amarelos Nessa última situação, é dito que 60% dos peixes vivos são amarelos, fazendo ascontas temos: 60%(X+20) = X 0,6X + 12 = X 0,4X = 12 X = 30 peixes amarelos vivos Portanto, o número de peixes amarelos que morreram foi igual a 50 (=80-30). O percentual de peixes amarelos que morreram é igual a razão entre o número depeixes amarelos mortos e o total inicial de peixes amarelos, teremos: 30/80 = 62,5% (Resposta!)06. (AFC 2002 ESAF) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:a) 8% d) 15%b) 10% e) 20%c) 14%Sol.: O salário bruto do funcionário é formado por duas partes: 1) parte fixa igual a R$ 1.500,00. 2) comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Chamando de V o total de vendas no mês, e considerando que seja superior a R$8000,00, a equação do salário bruto mensal é: salário bruto mensal = 1500 + 3%x(V-8000) O percentual de desconto é de 10% em cima do salário bruto, daí o salário líquidomensal corresponde a 90% do salário bruto. Portanto, teremos: salário líquido mensal = 90% x (1500 + 3%x(V-8000)) Simplificando: salário líquido mensal = 0,9x1500 + 0,9x0,03x(V-8000) salário líquido mensal = 1350 + 0,027V – 0,027x8000 salário líquido mensal = 1134 + 0,027V 43  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar   
  • 44. Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos Foi informado no enunciado que em dois meses consecutivos, um dos funcionáriosdessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Vamos utilizarestes dados para encontrar as vendas nos dois meses. Vendas no 1º mês: 1.674,00 = 1134 + 0,027V1 V1 = 540/0,027 = 20.000,00 Vendas no 2º mês: 1.782,00 = 1134 + 0,027V2 V2 = 648/0,027 = 24.000,00 Daí, as vendas no 2º mês foram superiores às do 1º mês em 4.000,00 reais (=24.000–20.000). Para obter a diferença percentual, basta dividir os 4.000,00 reais pelas vendas do 1ºmês: 4000/20000 = 20% (Resposta: Alternativa E)07. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual d) 10% menor b) 5% maior e) 10% maior c) 5% menorSol.: A seqüência de variações no peso de Alice é a seguinte: 1) perde 20% ⇒ multiplicar por 0,80 2) ganha 20% ⇒ multiplicar por 1,20 3) perde 25% ⇒ multiplicar por 0,75 4) ganha 25% ⇒ multiplicar por 1,25 Considerando o peso inicial de Alice em 100kg, bem distribuídos, o peso final de Alice será igual a: Peso final de Alice = 100kg x 0,80 x 1,20 x 0,75 x 1,25 Peso final de Alice = 90kg Conclui-se que, devido às visitas, Alice perdeu 10kg. A perda percentual é obtida dividindo-se a perda de 10 kg pelo peso inicial de Alice, teremos: perda percentual = 10/100 = 10% (Resposta: alternativa D) 44  http://www.euvoupassar.com.br      Repita com fé: Eu Vou Passar