Toward Modelling Electricity (French)
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Review of usual spot price model for electricity, from mono factor to multi, including jump, hybrid models

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Toward Modelling Electricity (French) Toward Modelling Electricity (French) Document Transcript

  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Vers la modélisation des prix spot de l’électricité Note bibliographique N.Rouveyrollis 22 Avril 2004 Cerna, Centre d’économie industrielle Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris 60, boulevard Saint Michel 75272 Paris Cedex 06, France Tél. : 33 (1) 40 51 91 26/ 33 (1) 40 51 90 93 Fax : 33 (1) 44 07 10 46rouveyrollis@cerna.ensmp.fr – http://www.cerna.ensmp.fr 1
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Tablle des matiières Tab e des mat ères Partie 1 :Faits stylisés et caractéristiques des prix ........................................................ 4 1. Statistiques simples................................................................................................................ 5 2. Retour à la moyenne.............................................................................................................. 6 3. Périodicité et fluctuations ..................................................................................................... 8 4. Pics de prix, et volatilité ...................................................................................................... 11 5. Corrélations ......................................................................................................................... 13 Partie 2 : Les modèles de base ...................................................................................... 18 1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes................. 19 2. Les processus « Mean-Reverting » ..................................................................................... 22 3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)............................................................... 24 4. Evaluation des prix Future / Forward................................................................................ 28 Partie 3 : Autour des modèles à 1 facteur ................................................................... 34 1. Modèle à niveau d’équilibre variable ................................................................................. 34 2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz ...................................................................... 35 Partie 4 : Les modèles multi-facteurs .......................................................................... 42 1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz........................................................................ 42 2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic ................................................................................ 46 3. Le modèle de Gibson & Schwartz ....................................................................................... 47 4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz.................................................................................... 49 Partie 5 : Modèles à sauts ............................................................................................ 50 1. Les modèles à sauts : approche classique........................................................................... 51 2. Première généralisation : les modèles AJD........................................................................ 54 Partie 6 : Une classe générique de modèles multi- facteurs ....................................... 70 1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM) ................................................ 71 2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12].................................. 73 3. Quelques exemples .............................................................................................................. 74 4. Extension ............................................................................................................................. 76 2
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 7 : Les processus de Levy .................................................................................. 78 1. Généralités ........................................................................................................................... 79 2. Représentation en terme d’exposant................................................................................... 80 3. Processus de Levy et Brownien subordonné ...................................................................... 84 4. Exemples d’application ....................................................................................................... 85 Partie 8 : les modèles à volatilité non constante ................................... 105 1. Cas des modèles continus.................................................................................................. 106 2. Modèles discrets................................................................................................................. 119 Partie 9 : les modèles hybrides ................................................................................... 124 1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov ...................... 125 2. Autres approches ............................................................................................................... 135 Annexe 1 : Expression analytique dans le Modèle de Black & Scholes ............. 150 Annexe 2 : Modèle du type retour vers une moyenne............................................... 152 Annexe 3 : Calculs autour du processus CIR ............................................................. 155 Annexe 4 : Modèle de Lucia & Schwartz et processus de retour vers une moyenne............................................................................................................................... 157 Annexe 5 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Lucia & Schwartz ... 158 Annexe 6 : Autour du modèle à deux facteurs de Pilipovic .................................... 162 Annexe 7 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz . 165 Annexe 7b : Modèles multifacteurs et changement de probabilité ....................... 170 Annexe 8 : Un cas simple de diffusion avec sauts ..................................................... 174 Annexe 9 : Exemples de Modèles AJD ......................................................................... 176 Annexe 10 : AJD à deux facteurs ................................................................................... 181 Annexe 11 : AJD et CIR .................................................................................................... 187 Annexe 12 : Autour du modèle de Kellerhals .............................................................. 189 Annexe 13 : GRS et Likelihood ....................................................................................... 201 Annexe 14 : Régression et test .............................................................................................. 204 3
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 1 :Faiits stylliisés et caractériistiiques des priix Fa ts sty sés et caractér st ques des pr x La première étape dans le processus de modélisation consiste à faire l’inventaire des caractéristiques de l’information que l’on souhaite modéliser. Dans cette partie nous mettons en avant les différentes propriétés que l’on peut observer quand on s’intéresse à la dynamique des prix spot de l’électricité. Ici nous basons notre analyse sur les données de quatre marchés qui intéressent la littérature : NordPool, APX, Omel et Powernext. Les prix de l’électricité dépendant directement de l’offre et de la demande, et celle-ci ne pouvant pas être stockée de manière efficiente en terme de coût, ce lien est d’autant plus fort. Il découle alors un fait assez important qui est la complexité de la dynamique des prix au comptant , on peut observer : un effet de retour à la moyenne ou «mean reversion » ( Gibson&Schwartz[35] ) : du sans aucun doute à la logique économique sous-jacente à la dynamique définissant les prix des fluctuations saisonnières : en effet la demande en électricité suit des variations apparentées aux saisons des fluctuations « intra-days » et « intra-hours »: le niveau de la demande en électricité dépendant de l’activité, les prix ne sont pas uniformes d’un jour à l’autre et d’une heure à l’autre . En particulier, celle-ci est moins intense durant les périodes de week-ends ou de vacances … des pics de prix et une forte volatilité: le prix spot peut par exemple augmenter de plusieurs centaines de pourcentages en une heure. Cet effet dépend aussi de la rapidité des producteurs à répondre à des pics de demande, cette vitesse étant 4
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique variable selon le type d’électricité produite (Ex : hydroélectricité Vs électricité nucléaire). 1. Statistiques simples Les outils statistiques de base que sont la variance, la moyennes et la forme des distributions donnent rapidement des élément fondamentaux sur la dynamique qui nous intéresse. Le graphique qui suit représente la distribution des prix horaires (centrés – réduits) sur Powernext pour la période allant du 3/12/2001 au 28/09/2003. 2000,00 1800,00 1600,00 1400,00 1200,00 1000,00 800,00 600,00 400,00 200,00 0,00 0,41 0,83 1,25 1,67 2,09 2,51 2,93 3,35 3,76 4,18 4,60 5,02 5,44 5,86 6,28 6,70 7,12 7,53 7,95 8,37 8,79 9,21 9,63 -0,84 -0,42 -0,01 Figure 1: histogramme des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 8/09/2003, source de donnée : www.powernext.fr Cette distribution est caractérisée par : une non normalité, et une asymétrie la présence de valeurs extrêmes : assujettie à un risque de prix une queue épaisse à droite et un effet de rabot à gauche 5
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Regardons maintenant l’évolution moyenne du processus de prix et celle de sa variabilité. Toujours sur la même période, on calcule les moyennes et variances hebdomadaires, le graphe suivant représente les semaines 4 à 79. 1.50 Variance Moyenne 1.00 0.50 0.00 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 -0.50 -1.00 Figure 2: Moyenne et variance des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 28/09/2003, source de donnée : www.powernext.fr On constate une fluctuation dans le niveau des prix, caractérisée par l’évolution des moyenne hebdomadaire, autour de ce niveau les prix fluctuent, et cette variabilité n’est pas constante. Tout laisse à penser une corrélation entre le processus de prix et sa volatilité : plus les prix sont élevés, plus ils sont volatiles. 2. Retour à la moyenne Dire qu’un prix suit un processus de « retour à la moyenne » implique que celui-ci évolue dans une zone de prix significatifs. Cette zone est bornée et possède un pouvoir attracteur qui va s’exercer dés que le prix va sortir des frontières la définissant. 6
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ce phénomène peut s’observer sur les courbes agrégées de l’offre et la demande, dans le tableau suivant est représenté un échantillon de celles disponibles du marché espagnol (Omel). 12h le 13 Novembre 2003 12h le 12 Novembre 2003 12h le 12 Octobre 2003 ~1500 MW/h ~1500 MW/h ~1000 MW/h Dans ces trois graphiques on constate que le prix à 12h varie faiblement sur un jour et sur un mois. On peut lire se phénomène directement sur les courbes de prix (ex : APX), les pics de prix qui surviennent ne sont pas persistants à 100% sur le niveau d’équilibre à long terme et sont généralement accompagnés d’un retour rapide vers la position initiale. Cette propriété est toutefois moins visible sur NordPool (graphique suivant) et intervient en second plan dans un facteur d’évolution à court terme des prix . 140 120 100 80 60 40 20 0 1 54 107 160 213 266 319 372 425 478 531 584 637 690 743 796 849 902 955 1008 1061 1114 1167 1220 Figure 3: NordPool, moyenne hebdomadaire des prix du 2000-01-01 au 2003-05-07, source de donnée : www.nordpool.no 7
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 3. Périodicité et fluctuations En contraste avec les séries financières, les prix au comptant de l ‘électricité sont sujet à différentes fluctuations de nature périodiques dépendantes de l’activité économique et des besoins. a. Périodicité intra-jour et Fluctuation intra-heure Le tableau suivant présente une comparaison entre les processus horaires sur les 5 jours ouvrés de deux semaine significatives (en juillet et en novembre), ainsi qu’une comparaison des processus horaires sur la période allant du 27/11/2001 au 14/11/2003. Fluctuation horaire (Powernext) 07/11/2003 06/11/2003 05/11/2003 11/07/2003 10/07/2003 09/07/2003 08/07/2003 07/07/2003 04/11/2003 03/11/2003 80 70 70 60 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Processus horaires (17j, 19h, 21h, Powernext) Hour17 Hour19 Hour21 500 400 300 200 100 0 14/11/2003 17/10/2003 19/09/2003 22/08/2003 25/07/2003 27/06/2003 30/05/2003 02/05/2003 04/04/2003 07/03/2003 07/02/2003 10/01/2003 13/12/2002 15/11/2002 18/10/2002 20/09/2002 23/08/2002 26/07/2002 28/06/2002 31/05/2002 03/05/2002 05/04/2002 08/03/2002 08/02/2002 11/01/2002 14/12/2001 source Powernext 8
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Sur ces graphes, certains faits sur la variation horaire des prix sont à remarquer: un niveau bas est observé de 1h à 8h à partir de 8h jusqu'à 11h, les prix augment jusqu’à un niveau plus ou moins stable à12h un maxima peut être atteint à partir de 17h les prix vont commencer à décroître jusqu’à 4h-5h du matin entre 17h et 21h à défaut de décroissance, une montée en cloche peut s’afficher ainsi qu’un pic de prix à 19h Une certaine stabilité intra-jour est à constater: les processus du lundi, .., et du vendredi semblent être issus de la même famille. La périodicité intra-jour se défini alors comme la reproduction, avec plus ou moins de nuances, du processus horaire du jour précédent. b. Week-ends et périodicité hebdomadaire Le graphique qui suit se propose de représenter l’évolution de la moyenne quotidienne des prix Powernext sur 10 semaines (septembre 2003 – Novembre 2003). 60 50 40 30 20 10 0 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /0 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 /1 03 03 04 /20 06 /20 08 /20 10 20 12 /20 14 20 16 /20 18 /20 20 /20 22 20 24 /20 26 20 28 /20 30 /20 02 /20 04 20 06 /20 08 20 10 /20 12 /20 14 /20 16 20 18 /20 20 20 22 /20 24 /20 26 /20 28 20 30 /20 01 20 03 /20 05 /20 07 /20 09 20 20 9/ 9/ 9/ 9/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 1/ 1/ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 /0 02 Figure 4: évolution quotidienne des prix 09/2003 - 11/2003, source Powernext 9
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Si l’on peut observer un niveau de prix plus ou moins stable pendant les jours ouvrés, celui baisse considérablement à l’arrivée du week-end et vient se situer en dessous de la moyenne hebdomadaire durant cette période. On peut interpréter cet effet des week-ends comme une certaine périodicité hebdomadaire définie en tant que cassure dans l’évolution du processus de prix. c. Caractère saisonnier Les variation saisonnières correspondent aux fluctuations annuelles des prix autour de sa dérive. Ce comportement est assez visible sur une longue période de temps, le graphique suivant représente l’évolution mensuelle des prix moyen sur le système nordique entre 1996 et 2003 : prix moyen 600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 100,00 0,00 6 7 8 9 0 1 2 3 ja 6 ja 7 ja 8 ja 9 ja 0 ja 1 ja 2 03 -9 9 -9 9 -9 9 -9 9 -0 0 -0 0 -0 0 -0 il- il- il- il- il- il- il- il- nv nv nv nv nv nv nv nv ju ju ju ju ju ju ju ju ja Figure 5: Moyennes mensuelles des prix (NOK/MWh) NordPool, source : www.nordpool.no 10
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ce caractère particulier dépend de l’aspect cyclique de la demande et de l’offre, ci- dessous sont représentées l’évolution mensuelle de la production et de la consommation d’électricité dans l’union nordique entre le 1er janvier 2000 et le13 Novembre 2003. Production 18 773 9 018 13 211 315 874 802 Consumption 18 517 9 430 13 225 315 751 301 source : www.statnett.no 4. Pics de prix, et volatilité En terme de variabilité, on peut mesurer un caractère extrême dans la variabilité des prix au comptant de l’électricité. Le graphique suivant illustre le calcul d’écarts types sur différents actifs mesurés entre le 27 novembre 2001 et le 14 février 2003 Ecart Type 30 25 20 15 10 5 0 1 2 1 2 3 xt x ix ap el ne z z z ap ap ga ga ga ph er sw sw w po 11
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique A la vue des valeurs obtenues, les prix spot de l’électricité exhibent une très forte variabilité en comparaison avec celle des prix d’autres commodité telle que le gaz naturel et le pétrole. Un marché électrique très significatif de la forte volatilité qui peut exister dans la dynamique des prix spot de l’électricité est celui d’Amsterdam. Le marché d’échanges énergétique d’Amsterdam est sans doute « le phénomène californien » de l’Europe. Créé en 1999, il a montré rapidement une très forte volatilité et des pics de prix phénoménaux, comme on peut le constater sur le graphe qui suit, cette dynamique semble se poursuivre. 700 600 500 400 300 200 100 0 01/01/2001 01/03/2001 01/05/2001 01/07/2001 01/09/2001 01/11/2001 01/01/2002 01/03/2002 01/05/2002 01/07/2002 01/09/2002 01/11/2002 01/01/2003 01/03/2003 01/05/2003 01/07/2003 01/09/2003 Figure 6: Prix quotidiens sur APX du 01/01/2001 au 19/09/2003, source www.apx.com Le marché hollandais est très vulnérable, la courte période du 25 juin au 5 juillet 2001 montre l’occurrence de pics réguliers et la présence d’une certaine panique : Date Hour APX Day- aheadPrice (€/MWh) 25-Jun-01 17 350 26-Jun-01 15 300 02-Jul-01 11 600 03-Jul-01 12 1,000 04-Jul-01 12 1,201 05-Jul-01 12 495 06-Jul-01 12 1,200 En parallèle avec ce court laps de temps, des problèmes de production survenaient en Belgique, très interconnectée avec les Pays-Bas à ce moment là. Le risque de 12
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique prix très élevés est donc très présent même si le marché exhibe de part les volumes échangés ( plus du double par rapport au marché français) une certain liquidité. Malgré tout , chaque année une certaine stabilité existe : entre les mois de janvier et juin (cf figure 6) , la période restante est plus incertaine et se résume à « que va-t-il se passer ?». 5. Corrélations d. Corrélation et variables exogènes Le fait que l’électricité produite soit aussitôt consommée, implique une dépendance très forte des prix spot vis à vis des besoins en électricité (demande) et de leur déterminants (activité de travail, conditions climatiques, températures, durée du jour, effets calendaires …). On est donc en droit d’espérer certaines corrélations. Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples possibles. Les dates d’arrêt / rechargement des centrales nucléaires La production d’électricité par le nucléaire souffre d’un sérieux défaut : celui de l’inflexibilité. En effet, le temps de déchargement et rechargement des réacteurs est de l’ordre de la journée, les centrales nucléaires subissent des révisions périodiques, enfin la production est moins modulable. Sur le graphique suivant on peut observer l’évolution quotidienne des centrales nucléaires Allemande sur la période 2001-2003 (Données construites à partir des dates d’arrêt annuel, source Powernews Vol 10) BIBLIS A BIBLIS B BROKDORF BRUNSBUTTEL GRAFENRHEINFELD GUNDREMMINGEN B GUNDREMMINGEN C GROHNDE 25000 ISAR 1 ISAR 2 KRUMMEL LIPPE-EMS NECKARWESTHEIM 1 OBRIGHEIM PHILIPPSBURG 1 PHILIPPSBURG 2 20000 STADE UNTERWESER NECKARWESTHEIM 2 15000 10000 5000 0 01/01/2001 01/03/2001 01/05/2001 01/07/2001 01/09/2001 01/11/2001 01/01/2002 01/03/2002 01/05/2002 01/07/2002 01/09/2002 01/11/2002 01/01/2003 01/03/2003 01/05/2003 01/07/2003 01/09/2003 01/11/2003 13
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ce dernier graphique a surtout la vocation de montrer qu’il peut exister des périodes de production « critique » quand plusieurs générateurs sont simultanément inactifs. Les volumes dans les réservoirs hydroélectriques L’électricité hydraulique représente une part très significative dans l’Union Nordique : en 2001 la production de celle-ci s’élevait à un total de 212.5 TWh contre 91 TWh pour l’électricité nucléaire. Les graphes suivant mettent en parallèle sur chaque semaines de l’année 2002 et 2003, le niveau d’eau dans les barrages ainsi que les prix sur le marché spot. Comparaison des moyennes hebdomadaires de prix Comparaison des niveaux de l’eau dans les (Elspot / NordPool) réservoirs (NordPool) 120.00 90 2002 80 2003 100.00 2003 70 2002 80.00 60 60.00 50 40 40.00 30 20.00 20 0.00 10 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 Source : NordPool Si l’on compare par semaines l’évolution moyenne des prix et le niveau d’eau retenue dans les barrage, une certaine corrélation semble apparaître : en 2002, les semaines 16 et 17 sont significatives du plus bas niveau d’eau dans les réservoirs, dans la même période, les prix passent d’une moyenne hebdomadaire de 17,75€ (semaine 15) à 28.36€ (semaine 16) et 28.85€ (semaine 17) sur l’année 2003, entre les semaines 1 et 36, le niveau d’eau dans les réservoir est inférieur d’environ 20% par rapport à celui observé en 2002 sur la même période, les prix en 2003 sur cet intervalle de temps sont supérieurs au prix 2002 A noter le phénomène de convergence qui apparaît des deux cotés à partir de la semaine 41. 14
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique à partir de la semaine 36, l’augmentation des prix va de paire avec la diminution du niveau d’eau La température La température est un facteur intéressant car possédant des caractéristiques communes en terme de saisonnalité avec celles des prix spot de l’électricité et en particulier : une composante annuelle due aux saisons Le graphique ci-dessous représente l’évolution de l’indice NextWeather (obtenu comme la moyenne pondérée par la population des régions, des températures moyenne quotidienne des 22 régions françaises), et sa composante annuelle obtenue par un filtrage adaptatif. 30 temperature 1ere composante 25 20 15 10 5 0 1 40 79 118 157 196 235 274 313 352 391 430 469 508 547 586 625 664 703 742 781 820 -5 -10 Figure 7: Moyenne quotidienne en France (code OMM 07999) 1er janvier 2001-25 Avril 2003, source de données: http://nextweather.euronext.com 15
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique une composante journalière Le graphique suivant montre l’évolution demi-horaire de la température mesurée à la Station de Violay (alt 830 m, Loire, France) entre le 1et et le 3 Août 2003 35.0000 30.0000 25.0000 20.0000 15.0000 10.0000 5.0000 0.0000 0:00 3:30 7:00 10:30 14:00 17:30 21:00 0:30 4:00 7:30 11:00 14:30 18:00 21:30 1:00 4:30 8:00 11:30 15:00 18:30 22:00 Source : http://www.chez.com/gagnard/pageweb/violay/tempe_30_mn/sommaire.htm On peut enfin rajouter une influence en terme de « facteur perturbateur » ou « stimulus ». A titre d’exemple , on a pu constater pour la France des pics de demande et de prix durant la journée du 09 Janvier 2003 (100.06 EUR/MWh à 18h et 200.09 EUR/MWh à 19h) entraînant une hausse de la moyenne des prix « day- ahead » 09/01/2003 08/01/2003 Powernext 50.52 35.26EUR/MWh day-ahead EUR/MWh average Et cet événement correspond à une chute de la température d’environ 5-6° en dessous de son niveau normal (source météo France). 16
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique e. Corrélation entre marchés Une certaine corrélation entre les différents marchés interconnectés semble exister. A titre d’exemple dans le graphique qui sut, représentant l’évolution sur une courte période de 6 indices de prix européens, on peut observer que : - le pic de prix survenant le 11 / 08 / 2003 sur Powernext, contamine simultanément ( ?) APX, et affecte le marché Autrichien (EXAA) avec un jour de retard - certains marchés ont des variations similaires (ex Phelix et EXAA) Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 APX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 EXAA Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 PHELIX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 NP Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Powernext Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Spain 700 600 500 400 300 200 100 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 7/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 /0 01 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 17
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 2 : Les modèlles de base Les modè es de base Le but de cette partie est de présenter les modèles de base servant comme « point de départ » dans tout modélisation financière. Essentiellement, nous nous intéressons à trois type de modèles célèbres : - Les processus du type Black & Scholes - Les processus de retour à la moyenne (Vasicek) - La famille de processus développée par Cox, Ingersoll et Ross La dynamique régissant ces modèles est usuellement définie à partir d’équation différentielle stochastique. Dans chaque cas nous exprimons quand cela est possible une solution analytique pour le processus des prix Forward. A partir des représentations analytiques qui sont obtenues pour chaque processus de prix dans un univers de non arbitrage, les prix Forward vus comme l’anticipation dans le futur des prix présents sont ensuite calculés. 18
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes Le modèle d’évaluation de Black & Scholes, reste aujourd’hui encore, une référence majeure dans la pratique du pricing d’option. Son utilisation dans la plupart des marché organisés pour la modélisation d’actifs risqués est tellement répandue, qu’il est logique de le présenter et dans une certaine mesure, voir si il peut s’adapter au cas des marchés au comptant de l’électricité en Europe. Sa forme est donc donné par l’équation différentielle stochastique suivante : dS (t ) = α S (t )dt + σ S (t )dW (t ) S (0) = S0 où S(t) représente le prix de l’actif à l’instant t, W(t) représente un processus de Wiener, dW(t) est assimilé à un bruit blanc continu standard. Les paramètres du modèles : α et σ représentent respectivement la dérive et la volatilité et sont supposés constants. La résolution de cette équation différentielle stochastique par le calcul d’ Ito ( Bjork[7] ) permet de faire apparaître la forme exponentielle de ce modèle donné par : S (t ) = S0 .e(α −0.5σ ²)t +σ W (t ) (cf Annexe 1) 19
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Exemples de Simulation Simulation a1 α = 0.1% σ = 0.001% . Forme exponentielle prononcée . Le paramètre de dérive est prédominant Simulation a2 α = 0.1% σ = 0.1% . le paramètre de dérive reste prédominant . la volatilité a été augmentée Simulation a3 α = 0.1% σ = 1% . augmentation de la volatilité . la forme exponentielle à tendance à disparaître Simulation a4 α = 1% σ = 1% . augmentation du paramètre de dérive . forme exponentielle Comme on peut le constater dans ces simulations , le caractère exponentiel de la tendance peut facilement être masqué en augmentant la volatilité. 20
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes : simplicité du modèle calcul analytiques associés pour le pricing d’option manque de flexibilité volatilité constante Visuellement, ce modèle ne semble pas adapté au prix spot de l’électricité, une raison assez naturelle étant que le marché de l’électricité est actuellement plus un marché physique que financier et la dynamique des prix doit représenter ce fait, ce que l’on peut imaginer sur les courbes de l’offre et la demande. Les graphiques ci- dessous représentent lesdites courbes à 1h sur le marché espagnol (Omel) pour la date du 17 janvier 2003. Dans la figure de gauche, si le prix suit une logique économique, celui-ci va plus ou moins rester dans une zone représentée par le cercle. Dans la figure de droite si prix a plus tendance à augmenter en suivant une dynamique de taux d’intérêt classique, alors il peut s’ensuivre aussi un déplacement vers le haut des courbes agrégées de la demande. Le modèle de Black & Scholes qui a l’avantage d’être simple reste cependant inadapté dans notre cas. 21
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 2. Les processus « Mean-Reverting » Une autre famille de base est celle des processus Mean-Reverting introduite par Vasicek[75]. Ce type de processus permet par exemple de caractériser des signaux suivant une logique économique d’oscillation autour d’un niveau d’équilibre à long terme. On trouvera par exemple des applications dans la modélisation du prix de pétrole .Une première famille de tels processus, est celle des processus d’Ornstein Uhlenbeck Géométrique introduit par Dixit & Pindyck[28] , la dynamique de ces modèles est donnée par l’équation suivante : dS = α .S .( µ − S ) dt + σ SdW (GOU) La différence avec le modèle précédent (GBM) se situe sur le terme de la dérive qui va varier en fonction du prix spot S. Cette dérive est positive si S est inférieur au niveau d’équilibre µ , est négative dans le cas contraire. En d’autre terme, le niveau d’équilibre attire le prix spot S sans sa direction avec plus ou moins de rapidité, le paramètre α est souvent désigné comme une force de rappel. 22
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Dans ce modèle, le paramètre prédominant est la force de rappel α , et celui-ci va influencer directement la dynamique du processus en lui donnant soit l’allure d’une tendance stochastique soit la forme d’un processus concentré autour d’une position fixe. Souvent, pour des raisons d’identification de paramètres il est préférable de travailler avec la famille des processus d’Ornstein Uhlenbeck Arithmétiques attribués à Vasiceck[75] dont l’expression est la suivante : dS = αVS ( µVS − S )dt + σ VS dW (VS) Une expression analytique de la solution de cette équation est obtenue dans l’annexe 2. Remarque : En discrétisant cette dernière équation, on peut se ramener à un modèle du type AR(1) : S (t ) = α o + β1S (t − 1) + σ VS ε t avec ε t ~ N (0,1) et les relations : α o = µVS (1 − e −α ) VS β 1 = e −α VS 23
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique En appliquant la formule d’Ito à l’équation (VS) en utilisant la fonction exponentielle, on obtient successivement pour X = exp( S ) : 1 dX = exp( S )dS + exp( S )σ VS ² dt 2 1 = exp( S ).αVS ( µVS − S )dt + exp( S ).σ VS dW + exp( S )σ VS ² dt 2  σ ² = αVS X  µVS − log( X ) + VS  dt + X .σ VS dW  2αVS  L’équation (VS) n’est donc pas obtenu en prenant le logarithme des prix à partir de l’équation (GOU). 3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985) Dans les modèles de prix précédents, la volatilité est supposée constante. Un des premiers modèles à avoir introduit une volatilité variable dépendant du niveau des prix est celui développé par Cox, Ingersoll et Ross[24]. a. Généralités et Formulation Le modèle de CIR part du modèle de Vasicek et en fait un modèle d’équilibre. Ce modèle tente de résoudre certains problèmes comme le caractère négatif que peuvent avoir les prix et on cherche à obtenir une variance qui soit fonction du niveau des prix Var(S(T))=f(S(t)). La variance sera plus élevée pour des prix élevés que pour de faibles prix. La formule de Vasicek devient : dS = (α + β S )dt + σ SdW (CIR) 24
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes: Caractère de « mean reversion » Volatilité stochastique dépendant directement du niveau des prix : les risques de prix et de volatilité sont parfaitement corrélés des prix positifs A l’heure actuelle, comme le fait remarquer Szatzschneider [72], peu d’éléments sont connus pour placer un tel processus en univers risque neutre et l’approche couramment utilisée consiste à introduire une prime de risque supposée proportionnelle à S (t ) étant donnée qu’une prime de risque neutre linéaire n’est pas admissible (cf Cox et al.[24], Rogers[63]) pour ce type de modélisation. Principalement Szatzschneider [72], a démontré le théorème suivant : Theoreme (Wojciech Szatzschneider [72],) Si sous une probabilité P, on considère un processus S défini par :  µ  σ%  dS (t ) = δ + 2 σ S (t ) −  2 β S (t ) + 2 S (t )3/ 2   dt %  σ  σ  + 2σ S (t )dW (t ) % (1) Alors, pour tout T > 0, il existe une mesure de probabilité Q ~ P, pour le processus considéré jusqu’au temps T tel que sous Q celui-ci a la forme simplifiée suivante: dS (t ) = [δ − 2 β S (t ) ] dt + 2σ S (t )dW Q (t ) % avec σ , β , δ > 0 % Ainsi les processus du type CIR sont équivalents à ceux définis par (1) 25
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique b. Evolutions et généralisations On suppose ici que le prix spot S suit le processus défini par : S (t ) = f (t ) + X (t ) avec dX = κ (α − X )dt + σ X dW (C.I.R.) Où f représente une fonction déterministe. Il est intéressant de calculer la variance conditionnelle sachant l’information disponible à l’instant initial de ce modèle pour constater de son caractère non constant (Cf Annexe 3): Var0 ( X ) = E0 ( X ²) − E0 ( X )² X 0 (e −κ t − e −2κ t ) = (σ ² − 2κα ) − (α eκ T + X 0 − α )² e −2κ t κ On constate en particulier une plus grande variété de comportement et donc plus de flexibilité dans le modèle. On fait ici l’hypothèse que la prime de risque est constante (….) , le « passage à l’univers risque neutre s’effectue par le changement de mesure suivant : dW = dW * − λ dt Le paramètre λ représente le risque associé au prix. Pour simplifier, on note dW à la place de dW*, la dynamique de X est alors représentée par : dX = κ (α − X − β X )dt + σ X dW avec β = −λ / κ 26
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Typiquement le processus prend une forme plus générale, et conduit au modèle de Longstaff[51], dont la formulation simplifiée pour σ=1 est la suivante dS = (1 − K S − 2λ S )dt + 2 SdW Et clairement en utilisant la formule l’Ito on peut montrer que : S (t ) = Y (t )²  K  dY = −  λY + signe(Y )  dt + dW  2  On retrouve dans ce modèles les caractéristiques communes avec celles du modèle précédent, pour plus de détail voir Longstaff[51]. Une autre évolution possible du modèle CIR consiste à introduire une structure de volatilité dépendant exponentiellement du niveau de prix, Chan--Karolyi-Longstaff- Sanders[17] (CKLS) proposent la formulation suivante : dS = (α + β S ) dt + σ S γ dW En terme de « retour à la moyenne », le processus oscille autour du niveau -β/α et -β représente la force de rappel. Enfin le paramètre γ défini la sensibilité de volatilité vis a vis du niveau de prix S, le modèle CIR correspond au cas γ=0.5. 27
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 4. Evaluation des prix Future / Forward Nous rappelons ici des résultats généraux concernant le pricing de produits dérivées ou actif conditionnel (contingent claims), implicitement toutes les évaluations se baseront sur un marché « risque neutre » quitte à rajouter une prime de risque. Soit H(T) ≡ H(T,S(T)), le pay-off d’un contrat à maturité T indicé sur un actif S, le résultat principal en théorie des martingales équivalentes (Cf Aase [0], Cox and Ross[16], Harrison and Kreps[40] et Harrison and Pliska [41]) est que la valeur de ce contrat qui est une fonction du prix de l’actif à maturité T, peut s’exprimer sous la forme suivante : gt = G ( St , t ) = e − r (T −t ) Et*[ H (T )] Où r désigne le taux d’intérêt en l’absence d’arbitrage , supposé ici constant. Ainsi, sous l’hypothèse d’absence d’arbitrage (marché « risque neutre ») , la valeur gt du contrat à l’instant t peut être vue comme l’anticipation du montant du pay-off à maturité T sachant l’information disponible à l’instant t, actualisée par le taux d’intérêt r sur la période [t,T]. Plus généralement, en reprenant les formulations du lemme 1 et du corollaire 2 donnés dans Duffie & Stanton[29]. 28
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Proposition 1: Sous l’hypothèse de l’absence d’arbitrage, la valeur sur le marché gt d’une directive de sécurité payant un dividende dτ pour tout τ dans l’intervalle [t,T], et ayant un payoff hT = H(ST) à la maturité T, est donnée par :    T ˆ , s )e− ∫t R ( Sτ ,τ ) dτ ds  T ) s gt = G ( St , t ) = Et  H ( ST )e ∫t R ( Sτ ,τ ) dτ ˆ ˆ −  + Et  ∫t D( S s      où : ˆ Le processus S est défini par : ˆ St = St ˆ ˆ ˆ dSτ = µ ( Sτ ,τ )dτ + η ( Sτ ,τ )dWτ Le dividende instantané dτ est défini par : dτ = D ( Sτ ,τ ) ∈ IR Le taux d’actualisation risque neutre instantané est défini par : rτ = R( Sτ ,τ ) ∈ IR + 29
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Proposition 2 : Les prix Future (Ft) et Forward (Lt) pour la livraison d’un sous-jacent PT=P( S T,T) à la maturité T sont donnés pour tout temps t par : Ft = F ( St , t ) = Et  P ( ST , T )   ˆ   − R ( Sτ ,τ ) dτ   − R ( Sˆτ ,τ ) dτ  T T  P ( S , T )e ∫  / E e ∫ ˆ Lt = Et ˆ t t   T  t           Nous allons maintenant appliquer cette proposition aux modèles de base que nous avons présenté précédemment.. Mouvement Brownien Arithmétique Nous considérons la formulation suivant dans l’univers risque neutre : dSt = bdt + σ dBt Il est utile d’écrire la forme intégrale de cette équation : t t St = S0 + ∫ bdt + ∫ σ dBt 0 0 En appliquant la proposition 2, le calcul du prix des Futures est alors immédiat : F0 = E0  P ( ST , T )  = S 0 + bT  ˆ  30
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Mouvement Brownien Géométrique Nous supposons que dans l’univers risque neutre, la prime de risque est constante et que le modèle prend la forme suivante : dS (t ) = b(t ) S (t ) dt + σ (t ) S (t )dW (t ) (GBM) S (0) = S 0 On sait calculer explicitement une solution de (GBM) : t t St = S0e ∫0 [ b ( s ) − 0.5σ ²( s )]ds + ∫ σ (s)dWs 0 Dans le cas où les fonction b et σ sont constantes (Cf Annexe 1): St = S0 e ( b − 0.5σ ²) t +σ Wt En utilisant la proposition 2, le prix Future est alors donné par : F0 = E0  P ( ST , T )  = E0  S 0 e (b − 0.5σ ²)T +σ WT   ˆ    = S 0 e( b −0.5σ ²)T E0 eσ WT  = S 0 e( b −0.5σ ²)T e 0.5σ ²T   = S 0 ebT Concrètement, l’évolution de la courbe des prix Futures pour différentes maturités et un prix de départ fixe est purement exponentielle. 31
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Modèle de Vasiceck Supposons que dans l’univers risque neutre, la formulation du processus soit donnée par l’équation suivante : dS = α ( µ − S )dt + σ dW S (0)=S0 On sait calculer explicitement la solution de cette équation (Cf Annexe 2): t St = S 0 e −α t + µ (1 − e −α t ) + σ ∫ eα ( s −t ) dWs 0 En utilisant la proposition 2, le prix des Futures est donné par : F0 = E0  P( ST , T )  = E0  S0 e −αT + µ (1 − e −αT ) + σ ∫ eα ( s −T ) dWs  T ˆ     0   = E0  S0e −αT + µ (1 − e −αT )  = S0e −αT + µ (1 − e −αT )   Posons ε = S0 − µ qui définit l’écart entre le prix initial et le niveau d’équilibre à long terme, alors l’expression précédente prend la forme simplifiée : F0 = ε e −αT + µ On retrouve encore ici une évolution purement exponentielle 32
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Compte tenu des remarques qui ont été données précédemment, on suppose que la prime de risque n’est pas constante et est proportionnelle à S (t ) , dans l’univers risque neutre, le modèle considéré est supposé défini par l’équation suivante : dS = κ (α − S )dt + σ S dW (C.I.R.) A partir de cette dernière équation, on sait calculer analytiquement l’espérance conditionnelle et donc le prix des Futures : E0 [ S (T )] = (α eκ T + S0 − α )e −κ T = α + ( S0 − α )e −κ T On constate que l’on obtient une expression des prix Futures identique à celle obtenue dans le cas précédent. La différence vient de la prime de risque que l’on a supposée ici non constante et proportionnelle à S (t ) . 33
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 3 : Autour des modèlles à 1 facteur Autour des modè es à 1 facteur Les modèles précédent sont bien évidemment des modèles à un facteur (le prix spot est déterminé à partir d’une seule variable : lui même), nous étudions dans cette section les modèles qui ont été développés dans le cadre de la modélisation des prix spot de l’électricité. 1. Modèle à niveau d’équilibre variable Dans cette approche tout l’art de la modélisation consiste à introduire le caractère saisonnier des prix tant au niveau des heures, des jours et des saisons dans le niveau d’équilibre à long terme supposé déterministe d’ un processus « mean- reverting » . Un exemple est donné par Knittel & Roberts[47], qui proposent de définir ce niveau d’équilibre à long terme à partir d’une somme de fonctions indicatrices associées: aux périodes Peak / OffPeak aux week-ends aux saisons La dynamique du processus de prix est alors définie par : dSt = κ ( µ (t ) − St )dt + σ dWt 34
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique et le niveau d’équilibre à long terme µ est donné par : µ (t ) = α11Peak (t ) + α21OffPeak (t ) + α31Weekend (t ) + α41Automne (t ) + α51Hiver (t ) +α61Eté (t ) Une manière alternative peut aussi consister à utiliser des fonctions sinusoïdales, ainsi dans le cas du processus ‘d’Ornstein-Uhlenbeck Etendu » défini par Gran[37] celui-ci est alors défini par : d µ (t ) = m + a sin(2π t + φ ) Cette dernière définition a ici plus la vocation de modéliser des variations dues aux saisons. Cette famille de processus de retour à la moyenne, peut être vue comme un cas particulier de la classe des modèle à 1-facteur définie par Lucia & Schwartz[52] que nous présentons maintenant. 2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz Dans leur approche, Lucia & Schwartz[52] proposent deux modèles à un facteur intégrant une composante déterministe. 35
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique a. Modèle basé sur le prix spot Le premier modèle proposé est basé directement sur le prix spot, la composante déterministe qui est introduite est ici supposée additive, le modèle prend la forme suivante : S (t ) = f (t ) + X (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) (O.U.) Intuitivement, le processus de prix est formulé à partir : d’un processus « stable » et purement déterministe : la fonction f(t) qui est composée o d’une tendance o de comportements périodiques o d’ échelons (sommes de fonctions indicatrices) dépendants des saisons. et d’un processus aléatoire représentant les variations incertaines donné par l’équation (O.U.) A partir de la définition ci-dessus, on peut en déduire l’équation de la dynamique du modèle de prix: d ( S − f ) = κ ( f − S ) dt + σ X dZ X (SDE1) 36
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Le processus U=S-f est donc un processus « mean-reverting » oscillant autour de 0. Plus précisément on peut écrire à partir de l’équation précédente : 1 df (t ) dSt = κ ( + f (t ) − St )dt + σ dWt X (Cf Annexe 4) κ dt Par conséquence, S va osciller autour de la fonction déterministe : 1 df (t ) µ (t ) = + f (t ) κ dt D’autre part, la forme du modèle restant assez simple, on peut calculer sans trop de difficultés une solution explicite de (SDE1), la forme analytique de cette solution est donnée par : t S (t ) = f (t ) + X 0 e −κ t + σ X ∫ eκ ( s −t ) dZ X ( s) 0 On en déduit les expression des espérances et variances conditionnelles sachant l’information disponible à l’instant initial : E0 [ S (t )] = f (t ) + X 0 e −κ t σ² Var0 ( S (t )) = (1 − e−2κ t ) 2κ On remarque en particulier que cette variance est une fonction décroissante du temps et que la fonction f a un impact direct sur la moyenne. 37
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Prix Forwards et contrat Forward Dans le but d’évaluer le prix de produits dérivés, nous devons maintenant placer le processus dans un univers de probabilité risque neutre (Duffie [31]).Ainsi, dans cet univers les auteurs expriment la dynamique du processus de prix S par : dSt = κ (α − St )dt + σ dZ avec α = −λσ / κ , le processus Z représente un mouvement Brownien sous la probabilité risque neutre et le paramètre λ (que l’on suppose ici constant) dénote le prix du marché par unité de risque lié à la variable d’état X. Remarque : Dans le cas général, on pourra supposer que λ est une fonction de la variable S et du temps t. La solution explicite de l’équation du modèle dans l’univers risque neutre est donc donnée par : t S (t ) = f (t ) + X 0 e −κ t + α (1 − e −κ t ) + σ X ∫ eκ ( s −t ) dZ X ( s ) 0 A partir de cette expression, on en déduit l’expression de l’espérance conditionnelle (dans l’univers risque neutre) sachant l’état initial : E0 [ S (t )] = f (t ) + X 0 e −κ t + α (1 − e −κ t ) Ce calcul d’espérance donne en fait la valeur des prix Forward à la maturité t sachant l’information disponible au temps 0. Nous utilisons maintenant les résultats évoqués pour l’évaluation de la valeur d’un contrat Forward à maturité T sur le prix spot. 38
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Cette valeur est donné par : ν ( ST , T ) = e− rT E0 [ ST − F0 ( S0 , T )] Où ici F0 ( S0 , T ) représente le prix à t=0 d’un contrat Forward de maturité T. Comme la valeur d’un contrat Forward doit être égale à 0 à t=0, on obtient : F0 ( S0 , T ) = E0 [ ST ] = f (T ) + S0 e −κ T + α (1 − e −κ T ) = f (T ) + ( S0 − f (0))e −κ T + α (1 − e −κ T ) Modèle basé sur le log du prix spot Le deuxième groupe de modèles que proposent Lucia & Schwartz [52], consiste à travailler avec le logarithme des prix spot (i.e. le rendement). Log ( St ) = f (t ) + X t Ici, f représente encore une fonction périodique du temps, un exemple type est donné dans Culot[], qui choisi de la décomposer : - en tendance (droite affine) - en composante hebdomadaire - en cycles (somme de fonctions trigonométriques) X est un processus stochastique dont la dynamique suit celle d’un processus « mean-reverting » : dX (t ) = −κ X (t )dt + σ dZ (t ) (O.U.) avec κ >0 39
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On peut exprimer alors la dynamique du prix spot S qui vérifie : dS = κ (b − Log ( S )) Sdt + σ Sdt (SDE2) avec 1  σ ² ∂f  b(t ) =  + (t )  + f (t ) κ  2 ∂t  Ici la dynamique est celle d’un processus « mean-reverting » dont le caractère d’oscillation n’est plus gouverné par le prix spot comme dans le modèle précédent mais par son logarithme. Ici comme S suit une distribution lognormale, il n’est pas nécessaire de calculer explicitement la solution de SDE2 pour le calcul des espérance et variance conditionnelles, on utilisera plutôt les propriétés sur l’espérance et la variance des variables aléatoires lognormales. Ainsi, on obtient pour l’espérance conditionnelle sachant l’information disponible à l’instant initial, l’expression analytique suivante :  1  E0 ( St ) = exp  E0 [log( St )] + Var0 [log( St )]   2  σ2 = exp ( f (t ) + (log( S0 ) − f (0) ) e −κ t + (1 − e −2κ t )) 4κ et pour la variance conditionnelle : Var0 ( St ) = exp ( 2.E0 [ Log ( St )] + Var0 [ Log ( St )]) .[exp(Var0 [ Log ( St )]) − 1]  σ²  = E0 ( St )² exp( (1 − e −2κ t )) − 1  2κ  40
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Prix Forwards Toujours en se plaçant dans un univers de non arbitrage par l’inclusion d’une prime de risque , la dynamique du processus X est supposée prendre la formulation: dX t = κ (α − X t )dt + σ dZ avec α = −λσ / κ Le processus Z représente un mouvement Brownien sous la probabilité risque neutre et le paramètre λ (que l’on suppose ici constant) dénote le prix du marché par unité de risque lié à la variable d’état X. On peut alors écrire une solution explicite pour le processus Log(S) t Log ( S (t )) = f (t ) + X 0 e −κ t + α (1 − e −κ t ) + σ ∫ eκ ( s −t ) dZ ( s ) 0 En utilisant l’expression de l’espérance conditionnelle calculée dans la partie précédente et les propriétés des variables aléatoires lognormales, on en déduit l’expression de l’espérance conditionnelle du prix spot dans l’univers risque neutre : σ2 E0 ( St ) = exp ( f (t ) + (log( S0 ) − f (0) ) e −κ t + (1 − e −2κ t ) + α (1 − e −κ t )) 4κ et par conséquent le prix Forward est donné par : σ2 F0 ( S0 , T ) = E0 [ ST ] = exp ( f (T ) + (log( S0 ) − f (0) ) e −κ T + (1 − e−2κ T ) + α (1 − e−κ T )) 4κ 41
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 4 : Les modèlles mulltii-facteurs Les modè es mu t -facteurs Les modèles à plusieurs facteurs rajoutent de la flexibilité en introduisant plusieurs sources d’incertitude. En particulier, on va retrouver cette flexibilité dans la variété des forme que va pouvoir prendre la courbe des taux de ces modèle. Ainsi des effet du type combinaison de Contango et Backwardation vont être possible. La contrepartie au gain de flexibilité est malgré tout présente puisqu’en effet on perd en observabilité, ce qui est encore plus vrai pour la généralisation au cas des modèles multifacteur. 1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz A l’instar des modèle à 1 facteur, deux approches sont proposées : additive (modélisation basée sur le prix spot) multiplicative (modélisation basée sur le log du prix spot) a. Modèles basés sur le prix Spot Le modèle à un facteur de Lucia-Schwarz[52], peut être étendu à un modèle à deux facteurs composé : d’un niveau d’équilibre à long terme, modélisé par un mouvement Brownien arithmétique d’une composante à court terme modélisée par un processus Mean-Reverting d’une composante déterministe périodique 42
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La dynamique du modèle est donnée par la formulation suivante : S (t ) = f (t ) + X (t ) + ε (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) (O.U.) d ε (t ) = µ dt + σ ε dZε (t ) (AMB) Les deux processus de Wiener dZε et dZ X peuvent être supposés corrélés selon la relation : dZ X .dZ ε = ρ dt Dans l’univers risque neutre, les auteurs supposent que le modèle prend la forme suivante : Cette dynamique est discutable (Cf annexe dX (t ) = −κ (α − X (t ))dt + σ X dZ X (t ) 7bis) d ε (t ) = µ*dt + σ ε dZε (t ) Ici, α = −λ X σ X / κ et µ* = µ − λε σ ε où les paramètres λ. ont la même signification que précédemment. En utilisant les formulations de X et ε on peut exprimer analytiquement le prix spot t t S t = f (t ) + X 0 e −κ t + α (1 − e −κ t ) +σ X ∫e κ ( s −t ) dZ X ( s ) + µ*t + σ ε ∫ dZ ε ( s ) + ε 0 0 0 En suivant les démarches précédentes, on en déduit l’expression du prix des Forwards : F ( S0 , T ) = f (T ) + X 0 e −κ T + α (1 − e −κ T ) + µ*T + ε 0 43
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique b. Modèle basé sur le log du prix spot Tout comme dans le cas des modèles à un facteur, on s’intéresse au modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz[52] basé sur le log du prix spot. Ce modèle est défini par : Log ( St ) = f (t ) + X (t ) + ε (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) (O.U.) d ε (t ) = µ dt + σ ε dZε (t ) (ABM) Les deux processus de Wiener dZε et dZ X peuvent être supposés corrélés selon la relation : dZ X .dZ ε = ρ dt Dans l’univers risque neutre, la dynamique des processus X et ε définie par les auteurs prend la forme suivante : Cette dynamique est dX (t ) = −κ (α − X (t ))dt + σ X dZ X (t ) discutable (Cf annexe 7bis) d ε (t ) = µ*dt + σ ε dZε (t ) 44
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Pour le calcul de l’espérance conditionnelle dans cette univers risque neutre on utilise les propriétés des variables Lognormales. E0 ( St ) = e E0 [ Log ( St )]+ 0.5Var0 [log( St )] et Var0 [ St ] = e( E0 [ Log ( St )]+Var0 [ Log ( St )]) .(eVar0 [ Log ( St )] − 1) D’autre part on à les résultats suivants (cf Annexe 5): E0 [ Log ( St )] = f (t ) + X 0 e−κ t + α (1 − e−κ t ) + µ*t + ε 0 et σX² −2κ t σ X σ ε ρ (1 − e−κ t ) Var0 [ Log ( St )] = (1 − e ) + σ ε ²t + 2 κ κ On en déduit alors l’expression pour les prix Forward/Future. F0 ( S0 , T ) = E0 [ ST ] = e E0 [ Log ( St )]+ 0.5Var0 [log( St )]  −κ T −κ T σX ² −2κ T σ X σ ε ρ (1 − e −κ T )   = exp  f (T ) + X 0 e + α (1 − e ) + µ*T + ε 0 + 0.5  (1 − e ) + σ ε ²T + 2    κ κ    σ σ ρ  σ ² σ ²  = exp  f (T ) + X 0 e−κ T +  α + X ε  (1 − e −κ T ) +  µ* + ε  T + ε 0 + X (1 − e −2κ T )    κ   2  2κ  45
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic Ici, les auteurs supposent que sous l’hypothèse de non arbitrage la dynamique du prix spot est définie par le système : dS = α ( L − S )dt + σ SdW 1 dL = µ Ldt + γ LdW 2 Où dW 1 et dW ² sont les incréments indépendants de deux mouvements Brownien Standard supposés non corrélés: dW 1dW ² = 0 . Ici, le deuxième facteur L est le prix d’équilibre à long terme qui est supposé suivre une distribution Log normale. Dans le modèle l’espérance est donnée par l’expression (cf Annexe 6): α E0 ( ST ) = S0 e −α T + α +µ ( L0 e µT − e −α T ) Le prix Forward à maturité T calculé à partir de cette espérance conditionnelle et de l ‘état initial t=0, est alors donné par (cf Pilipovic[56]) :  α  α FT =  S0 − L0  e− (α +λγ )T + L0e( µ −λγ )T  α +µ  α +µ où λ représente la prime de risque associée au prix spot S. 46
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 3. Le modèle de Gibson & Schwartz Dans leur modèle à deux facteurs, Gibson & Schwartz [35] introduisent la notion de convenience yield (dividende associé à la possession d’une unité de commodité) désigné par le facteur C dont la dynamique est supposé stochastique. Ce modèle a été étendu par Schwarz [70], qui propose d’inclure directement ce facteur dans la dynamique du prix spot S La dynamique du prix est représentée par le système : dS = ( µ − C ) Sdt + σ S SdW 1 dC = κ (α − C ) dt + σ C dW 2 Le prix spot suit ici la dynamique d’un mouvement Brownien géométrique avec dérive stochastique. Ici dW 1 et dW ² désignent les incréments corrélés de deux mouvements Brownien Standard: dW 1dW ² = ρ dt Dans ce modèle, la commodité est définie comme étant un actif retournant un convenience yield stochastique. Par conséquent, le facteur de risque ajusté au prix de la commodité sera r-C. Comme le risque associé au convenience yield (non observable) ne peut pas être couvert, le processus ajusté au risque définissant C, devra prendre en compte le prix de ce risque définit par le marché. 47
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ainsi, dans l’univers risque neutre Gibson & Schwartz[35] considèrent que la dynamique du processus prend la forme suivante : Cette dynamique est discutable (Cf annexe dS = ( r − C ) Sdt + σ S SdW 1 7bis) dC = [κ (α − C ) − λ ]dt + σ C dW 2 et λ représente le prix sur le marché du risque associé au convenience yield supposé constant. Ici W 1 et W ² représentent maintenant les processus d’incertitude en l’absence d’arbitrage. Soit F(S,C,t,T) le prix Forward, nous utilisons les résultats précédent pour son évaluation. Ainsi, F est donné par l’anticipation sous la probabilité risque neutre du prix spot à l’échéance T sachant l’information au temps t: F ( S , C , t , T ) = Et ( S (T )) Alternativement, on peut se ramener à un calcul du type Feynman-Kac en appliquant la formule d’Ito à F. Posons G=log(S), G a une distribution normale, son expression à la maturité T est donnée par (cf Annexe) :  1  T T G (T ) = G (t ) +  r − σ S ²  (T − t ) − ∫ C ( s)ds +σ S ∫ dW 1  2  t t , et grâce aux propriétés des distributions log-normale, on peut écrire : F ( S , C , t , T ) = Et ( S (T )) = Et (exp(G (T ))) = e Et (G (T )) +0.5Vart (G (T )) 48
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On se ramène donc à un calcul de variance et d’espérance conditionnelle. On trouve ainsi (cf Annexe 7):  1  1 − e −κ ( T − t ) Et [G (T )] = G (t ) +  r − σ S ² + α  (T − t ) − [C (t ) − α ].  2  κ et σ ² Var0 [G (T )] == σC ² 2κ (1 − e−2κ T ) + T  C (1 − 2κ e −κ T ) + σ ² S −  κ² 2 ρσ Sσ C κ (1 − κ e−κ T )   4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz Suivant l’approche de Schwartz [70], le modèle précédent peut être étendu en rendant variable le niveau d’équilibre à long terme µ et donc en introduisant un troisième facteur. On obtient alors un modèle largement utilisé, dont la dynamique est donnée par le système différentiel suivant : dS = ( µ − C ) Sdt + σ S SdW 1 dC = κ C (α C − C )dt + σ C dW 2 d µ = κ µ (α µ − µ )dt + σ µ dW 3 On suppose de plus que les mouvement Browniens sont corrélés : dW 1dW 2 = ρ12 dW 2 dW 3 = ρ 23 dW 3 dW 1 = ρ13 Nous renvoyons à Schwartz [70], pour l’expression des prix Forward/Future qui prennent une forme assez complexe. 49
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 5 : Modèlles à sauts Modè es à sauts Les modèles précédent ont le défaut de ne pas introduire des variations brusques ou pics de prix. Un moyen d’introduire ce type de caractéristique, consiste à rajouter une composante dite « à saut » représentée usuellement par un processus de Poisson : communément nous sommes dans l’approche classique Cette approche tend à se généraliser au travers des processus de diffusion affine à saut (AJD : Affine Jump Diffusion). L’avantage certain de s’orienter vers cette famille de processus provient des résultats qui ont été développés dans le cadre de l’évaluation des prix Forward / Future. 50
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1. Les modèles à sauts : approche classique Une famille particulière de processus aléatoires est celle des processus à sauts. Ces processus permettent d’introduire de brusques variations (« sauts ») dans les modèles et introduisent la notion d’évènements rares. Le graphique ci-dessous montre l’évolution du spread entre le prix d’offre et le prix cible, lors de la tentative d’achat de la chaîne de restaurant Dave&Buster par Management Led Group en 2002. Ce spread exhibe successivement des sauts à la hausse et à la baisse Dave&Buster/Management Group 1.1 1 0.9 Spread 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 1 7 Takeover Period Spread Figure 8: Fusion / Acquisition Dave&Buster / Management Led Group, spread Prix d'offre / Cible Une manière assez naturelle d’intégrer dans un modèle de brusques variations, est d’introduire un ou plusieurs processus de Poisson. On définit en particulier les Processus de Poisson Gaussiens (PGP : Poisson Gaussian Processes) ou processus de Diffusion à sauts : dS = a ( S , t )dt + b( S , t ) dW + φ dq 51
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique où a et b sont des fonctions du temps et de S, dW est l’incrément d’un mouvement Brownien Standard, dq est un terme de Poisson défini par dq=0 avec probabilité 1-λ et dq=1 avec probabilité λ, le paramètre λ mesure donc la fréquence des sauts et φ représente l’amplitude des sauts qui peut être aléatoire. Dans un cadre plus général, on peut introduire des sauts négatifs avec la formulation suivante : dS = a ( S , t ) dt + b ( S , t ) dW + φ + dq+ + φ− dq− Ici, dq+ et dq- sont des termes de Poisson définissant les sauts à la hausse et à la baisse : dq+=0 avec probabilité 1-λ+ et dq+=1 avec probabilité λ+ dq-=0 avec probabilité 1-λ- et dq-=1 avec probabilité λ- et les paramètres φ+ et φ- représentent les amplitudes de ces sauts. a. Exemple 1 : GBM + saut Un des modèles les plus simples consiste à partir d’un mouvement Brownien géométrique et à rajouter un processus de Poisson : dSt = µ dt + σ dWt + γ t dN t St Ici : S = prix spot γ= amplitude des sauts N = processus de Poisson de paramètre λ W=mouvement Brownien standard 52
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Les sources de risque W, N et γ sont supposées indépendantes et définies sur un même espace de probabilité. Une solution explicite est donnée par Merton [54] (cf Annexe 8) : St = S0eVt avec : N (t ) Vt = ( µ − 0.5σ ²)t + σ Wt + ∑ Y j où Y j = Log (1 + γ t j ) j =1 Les constructions autour de ce modèle, se distinguent par les distributions choisies pour l’amplitude des sauts : log-normale (Merton[54]) double exponentielle (Kou[48]) Dans les deux cas des calcul de prix d’option sont obtenus à partir des propriétés de ces distributions. b. « Mean reversion » + sauts Le deuxième type de modèle fondamental découle de la formulation de Vasicek, la description de sa dynamique est donnée par l’expression suivante (Clewlow et Strikland [21] : dS = α ( µ − ϕ K m − Log ( S )).S .dt + σ SdW + K .S .dq 53
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Les paramètres de ce modèle sont les suivants : α = force de rappel µ = niveau d’équilibre/rappel à long terme en l’absence de sauts σ = volatilité du prix spot K = sauts avec distribution log-normale : Ln(1+K)~N(Ln(1+Km)-γ²/2, γ²) Km=taille moyenne des sauts γ=volatilité des sauts ϕ = moyenne du nombre de sauts par an dq = processus de Poisson Ce modèle prend en compte les perturbations induites par la diffusion σ SdW et les sauts K .S .dq par rapport à la dérive α ( µ − ϕ K m − Log ( S )).S .dt . Le premier terme de la partie droite de cette équation décrit la trajectoire du prix spot en tant que processus « mean-reverting », le terme ϕ K m est un terme de compensation permettant la prise en compte des sauts. 2. Première généralisation : les modèles AJD Les deux modèles de base qui viennent d’être présentés font partie d’une classe plus générale de processus que sont les modèles affine de diffusion à sauts (AJD : Affine Jump Diffusion). A partir de cette famille nous présentons la méthode générale développée par Duffie, Pan et Singleton [30] afin d’évaluer les produits dérivés associés. Dans le cadre des prix au comptant de l’électricité, les modèles AJD ont été utilisés notamment par Culot[26] et Villaplana[76] qui ont étudié des cas particuliers permettant l’évaluation des prix Forward / Future. a. Généralités Nous fixons un espace de probabilité et considérons la famille de processus définie par la dynamique suivante sur un espace d’état D ⊂ IR n : 54
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique dX = µ ( X ) dt + σ ( X ) dW + JdZ (λ ) Dans cette espace de probabilité, nous supposons que le processus X est processus de Markov par rapport à la filtration ℑt , W est un Mouvement Brownien Standard et JdZ un processus à saut « pur » (« pure jump process ») dont les sauts ont une amplitude J suivant une distribution de probabilité ν sur IRn fixe et arrivent avec une fréquence {λ ( X t ), t > 0} . Nous supposons d’autre part que Xo est connu. Intuitivement, µ et σ représentent la dérive et la volatilité du processus en l’absence de sauts. Suivant l’approche de Duffie, Pan et Singleton[30], (une formulation similaire est aussi donnée dans Bjork et Landen[12] )les processus AJD sont définis en imposant des contraintes de dépendance affine sur les paramètres définissant cette famille de processus qui sont les suivantes : µ ( X ) = K 0 + K1 X (σ ( X )σ ( X )t )i , j = ( H 0 )i , j + ( H1 )i , j X λ ( X ) = l0 + l1 X où K=(K 0 ,K1 ) ∈ IR n xIR n x n , H=(H 0 ,H1 ) ∈ IR n xIR n x n x n , et l=(l0 ,l1 ) ∈ IRxIR n On impose de plus une condition similaire sur le taux d’actualisation sans risque R : R( X ) = ρ0 + ρ1 X avec ρ = ( ρ0 , ρ1 ) ∈ IR x IR n Considérons la fonction θ définie sur IR n : ∫e ∫e cz cz θ (c ) = dν ( z ) = g ( z )dz n n IR IR 55
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique où g est la densité associée à ν. Cette fonction est la fonction caractéristique de la distribution que suit l’amplitude des sauts, il semble avantageux d’utiliser des distributions pour lesquelles la fonction θ soit aisément calculable. Posons A=(K,H,l,θ,ρ), ce vecteur permet de caractériser entièrement la distribution du processus X ainsi que son caractère discontinu (sauts) sachant son état initial Xo. + + A détermine de plus la transformation :ψ : xDx x → définie par :  ∫ R ( X s ) ds  T A  0 ψ (u, X , t , T ) = E e .e | Ft  uX T (F.C.)       où EA dénote l’opérateur d’espérance conditionnelle sous la distribution de X déterminée par A. Remarque : - Cette fonction sera cruciale dans l’évaluation des prix Forward / Future comme nous le verrons plus tard, en particulier celle-ci est utilisée pour définir le pay-off. - Cette fonction définie par l’equation (F.C.) est une version simplifiée de celle utilisée par Duffie, Pan et Singleton [30], les auteurs considèrent en effet  ∫ R ( X s ) ds  T A  0 ψ (u, X , t , T ) = E e  ( d0 + d1 X T ) .e | Ft  uX T      56
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique - Plus généralement, Culot[] a étendu les résultats développés par Duffie, Pan et Singleton [30], à une famille beaucoup plus générale définie par  ∫ R ( X s ) ds  T A  0 ψ (u, X , t , T ) = E e f ( X T )∑ di X T .e | Ft  (αi uX T )     i   où f est une fonction telle qu’il existe un entier m et un réel p>1 en sorte que −m (1 + x ² ) f ( x) ∈ Lp ( ) Revenons sur (F.C, Duffie, Pan et Singleton [30] ont alors prouvé que sous certaine conditions techniques, la structure affine définissant X implique une expression exponentielle pour la fonction ψ qui est la suivante : ψ (u , X , t , T ) = eα (u ,t ,T )+ β (u ,t ,T ) X ( β ( u , t , T ) X représente un produit scalaire ) où α et β vérifient les équations de Riccati ci-dessous : . 1 α (t ) = ρ0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) − l0 [θ ( β (t )) − 1] 2 . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) − l1[θ ( β (t )) − 1] 2 avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = u. Pour plus de généralité, Duffie, Pan et Singleton[30] étendent la formulation au cas des processus à « sauts multiples » . Ils considèrent donc que le processus X est composé de m processus à saut de type i (i=1..m), dont chaque type i évolue suivant une distribution νi avec une intensité λi (X,t) définie par : λi ( x, t ) = l0 (t ) + l1i (t ) x i 57
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La fonction caractéristique θ étant alors définie comme un m-uplet : ∫ exp(c.z )dυ ( z ) n θ = (θ 1 ,θ 2 ,...,θ m ) avec ∀i = 1..m, ∀c ∈ , θ i ( c, t ) = i t n Avec cette définition, les équation vérifiées par α et β deviennent : m . 1 α (t ) = ρ0 − K 0 β (t ) − β (t ) H 0 β (t ) − ∑ l i 0 (t )[θ i ( β (t ), t ) − 1] T T 2 i =1 m . 1 β (t ) = ρ1 − K β (t ) − β (t ) H1 β (t ) − ∑ l i1 (t )[θ i ( β (t ), t ) − 1] 1 T T 2 i =1 b. Connexion avec les prix Futures Nous supposons ici que le prix spot est obtenu à partir d’une variable d’état X appartenant à la classe des processus définie ci-dessus. Nous posons : Log(S)=u.X Ainsi nous utilisons des processus de prix sous une forme exponentielle. Cette approche est notamment motivée par les travaux de Culot, qui après une discussion intéressante sur la notion d’univers risque neutre et ses conséquences sur les modèles, montre qu’il existe une famille de martingale exponentielles engendrant une mesure de probabilité Q telle que sous celle-ci, la structure AJD est préservée. Faisant l’hypothèse que le taux d’actualisation sans risque est constant (R=r), sous l’hypothèse de l’absence d’arbitrage, les prix Future / Forward à maturité T, sont donnés par l’anticipation du prix au comptant à la maturité T conditionnée par l’information disponible à l’instant t, formellement : F (t , T , ST ) = EtQ ( ST ) 58
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On a alors successivement : F (t , T , ST ) = EtQ ( ST ) = e rτ EtQ (e − rτ ST ) = e rτ EtQ (e − rτ e Log ( ST ) ) = e rτ EtQ (e − rτ euX T ) = e rτψ (u , X , t , T ) Par conséquent, pour chaque modèle, nous devons calculer l’expression de ψ i. Exemple : modèle O.U. + sauts Dans ce modèle étudié par Villaplana[76] , l’évolution du prix spot de l’électricité sous la mesure empirique est définie par : Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −κ X t dt + σ X dWX + J ( µ , σ J ²)dN (λ ) Sous la mesure équivalente donnant la propriété de martingale, nous devons inclure : la prime de risque mesurée par le marché associé au prix une prime de risque relative à l’amplitude moyenne des sauts (µ) une prime de risque relative à l’occurrence moyenne des sauts (λ) Dans l’univers risque neutre, selon la formulation de Villaplana[76], la dynamique du modèle est : Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −(φ X + κ X t ) dt + σ X dWX * + J ( µ *, σ J ²)dN (λ *) 59
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Remarque : - Les paramètres φ X et σ X sont supposés constant - Dans ce modèle , par rapport à celui de la page 52 , une composante saisonnière a été rajoutée, représentée ici par la fonction f. Cas d’une distribution gaussienne pour la magnitude des sauts (Cf Annexe 9-A) Sous cette hypothèse, les prix Future / Forward découlent du calcul de l’expression de ψ, on obtient la formulation suivante en terme de logarithme : Log ( F (t , T , ST )) = f (T ) + A(t , T ) + B (t , T ) − λτ + X T e −κτ avec φX A(t , T ) = − κ (1 − e−κ (T −t ) ) + 41 σ ² X (1 − e−2κ (T −t ) ) κ T ( ) B (t , T ) = λ ∫ exp µ J e −κ (T − s ) + 0.5σ ² J e −2κ (T − s ) ds t La représentation en log est intéressante, car permettant de discerner un facteur saisonnier et le facteur B associé aux sauts. Cas où deux types de sauts sont présents (cf Annexe 9-B) Dans le présent modèle, nous allons considérer des sauts à la hausse (up) et des sauts (down) à la baisse, l’amplitude de chacun suivant une distribution exponentielle. Les deux processus de sauts sont supposés indépendants. En univers risque neutre, la dynamique du modèle est donnée par : Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −(φ X + κ X t )dt + σ X dWX * + J u (η *u )dN (λu *) + J d (η *d )dN (λd *) 60
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ici les amplitudes des sauts à la hausse et à la baisse Ju et Jd, suivent une distribution exponentielle de moyenne ηu et ηd respectivement. Ici l’expression des termes α et β va prendre en compte l’influence de ces deux types de sauts : m . 1 α (t ) = ρ0 − K 0 β (t ) − β (t ) H 0 β (t ) − ∑ l i 0 (t )[θ i ( β (t ), t ) − 1] T T 2 i =1 m . 1 β (t ) = ρ1 − K β (t ) − β (t ) H1 β (t ) − ∑ l i1 (t )[θ i ( β (t ), t ) − 1] 1 T T 2 i =1 Dans notre cas on a : m=2 R = r + 0. X soit ρ0 = r , ρ1 = 0 µ ( X ) = K 0 + K1 X = −φ X − κ X 2 (σ ( X )σ ( X )t )i , j = ( H 0 )i , j + ( H1 )i , j X = σ X Apres le calcul des fonctions α , β et θi, on obtient l’expression des prix Forward/Future :  φX −κτ σX 2   f (T ) + (1 − e ) + (1 − e −2κτ )  κ 4κ F (t , T , ST ) = exp    λi *  η * e −1   − κτ  + Xte + ∑ − κτ Log  i   i =u , d κ ηi *     61
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique ii. Exemple de modèles à deux facteurs + saut L’avantage de la méthode définie par Duffie, Pan & Singleton[30], est d’être suffisamment générale en incluant le cas des modèles multi-facteurs. Exemple basé sur le Log - modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz (cf Annexe 10-A) La dynamique du processus (basé sur le log du prix spot) est définie à partir de deux facteurs (deux sources de risque) : Log ( St ) = f (t ) + X (t ) + ε (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) + J ( µ J ,σ J )dN(λ ) d ε (t ) = µε dt + σ ε dZε (t ) soit en encore en univers risque neutre en simplifiant les notations : dX (t ) = −(κ X (t ) + φ X ) dt + σ X dZ X (t ) + J ( µ J ,σ J )dN(λ ) d ε (t ) = ( µε − φε ) dt + σ ε dZε (t ) Remarque : dans ce modèle, on suppose seulement une seule source de sauts (premier facteur). D'autre part, les deux mouvements browniens associés à chaque facteur sont supposés corrélés : dZε dZ X = ρ dt 62
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Finalement, la dynamique peut s’écrire sous la forme vectorielle:  dX (t)   −φX   −κ 0 X (t)   σX 0   J (µJ ,σ J )dN(λ)    =   +     dt +   dZ +    dε (t)   µε −φ   0 0 ε (t)   σε ρ σε 1− ρ²   0  où dZ représente un Mouvement Brownien Standard 2D, ici le processus de saut bidimensionnel est un cas particulier où la deuxième composante est nulle . Dans ce modèle, la transformation ψ s’écrit : ψ (u, ( X , ε ), t , T ) = exp(α (u, t , T ) + β1 (u , t , T ) X + β 2 (u, t , T )ε ) Les fonction α et β = (β1 , β2), s’obtiennent toujours à l’aide du système : . 1 α (t ) = ρ0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) − l0 [θ ( β (t )) − 1] 2 . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) − l1[θ ( β (t )) − 1] 2 Ici, la « source de sauts » étant unique, un choix particulier pour la transformation θ est de la définir comme une projection sur la première composante: θ ((c1 , c2 )) = ∫ ec z dυ ( z1 ) = ∫ ec z f gauss ( z1 )dz1 1 1 1 1 Remarque : en toute généralité, pour le cas bi/multidimensionnel, la transformation θ doit être définie : Soit arbitrairement, un exemple basé sur une définition arbitraire de θ est donné dans Duffie, Pan & Singleton[30]. Dans cet exemple, la distribution jointe du processus à sauts bidimensionnel est définie par une distribution marginale gaussienne pour la première composante et exponentielle pour la seconde. θ est 63
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique alors définie comme une moyenne pondérée entre 3 types de sauts (les sauts « gaussiens », les sauts « exponentiels » et les sauts « corrélés »). Soit en imposant un structure à la distribution bi/multivariée. Une idée étant d’utiliser le théorème de Sklar, et de représenter cette distribution à l’aide de ses distributions marginales et d’une copula1. Les calcul des fonctions α et β (cf Annexe) permettent alors d’obtenir l’expression des prix Forward/Future.  σ ²τ φ   f (T ) + ε − X (1 − e −κτ )  2 κ    σ X ²(1 − e −2κτ )  F (t , T , ST ) = exp  + ( µε − φε )τ +  4κ   + σ Xσε ρ  (1 − e −κτ ) + B (τ ) + ε t + e −κτ X t    κ  Avec T  σ ²  B (t , T ) = ∫ λ[exp  µ J e −κ (T − s ) + J e −2κ (T − s )  − 1]ds t  2  Modèle basé sur le modèle à 2 facteurs de Gibson-Schwartz (Cf Annexe 10-B) Nous considérons le modèle suivant en univers risque neutre Log ( St ) = f (t ) + X t avec dX = −(κ X X − C + φ X )dt + σ S dZ 1 + J ( µ J ,σ J )dN(λ ) dC = [κ c (α − C ) − φc ]dt + σ C dZ 2 1 cf Nielsen R.B., “An introduction to Copula”, Springer Verlag, 1998 64
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Dans cet exemple, le deuxième facteur est associé à la notion de convenience yield, les deux mouvements browniens intervenant dans l’expression du modèle sont supposés corrélés : dZ ε dZ X = ρ dt Toujours par le calcul des fonctions α et β (cf Annexe) on obtient l’expression des prix Forward/Future :  f (T ) + A1 (1 − e − κ τ ) + X   κ τ −2 κ τ   A2 (1 − e ) + A3 (1 − e C ) X  F ( t , T , S T ) = exp  )τ   + A4 (1 − e 2 κ τ ) + A5 (1 − e ( κ − κ C C X )  + B (t , T ) + X e − κ τ    X t Avec C (κ Cα − φC ) − φ X C (κ Cα − φC ) A1 = A2 = κX κC (σ + σ C C )² + 2σ X σ C C ( ρ − 1) σ ²C ² A3 = X A4 = − C 4κ X 4κ C σ ²C ² + σ X σ C ρ C A5 = C (κ C − κ X ) T  σ ²  B (t , T ) = ∫ λ[exp  µ J e −κ X (T − s ) + J e −2κ X (T − s )  − 1]ds t  2  Et C est une constante proportionnelle à 1/( κ X + κ C ). 65
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Cas des modèles à trois facteurs Des modèles AJD à trois facteurs sont étudiés par Bjork et Landen[12], ils considèrent en particulier : le modèle de Hilliard-Reis[42], coïncidant au modèle à trois facteur de Schwarz incluant des sauts dans l’expression du prix spot un modèle à trois facteur contenant des taux à courts termes positifs Ce dernier modèle est ainsi défini : l’idée est de partir du modèle à trois facteur de Schwartz, et de remplacer le 3eme facteur par un processus du Type Cox-Ingersoll- Ross. dSt = (rt − ct ) St dt + Stσ S dWt S dct = K c (α c − ct )dt + σ c dWt C drt = K r (α r − rt )dt + rt σ r dWt r avec les corrélations : dW S dW C = ρ12 dW C dW r = ρ 23 dW r dW S = ρ13 66
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Dans ce modèle, l’expression β = ( β S , β c , β r ) est donnée par (voir Bjork et Landen[12] ) : β S (t , T ) = 1 1 − KC (T −t ) β c (t , T ) = (e − 1) KC 2 (2.r2 + σ r ²).r1.e − r1 (T −t ) − (2.r1 + σ r ²).r2 .e − r2 (T −t ) β r (t , T ) = − . σ r ² (2.r2 + σ r ²).e− r1 (T −t ) − (2.r1 + σ r ²).e− r2 (T −t ) où : Kr Kr ² σ r ² r1 = + + 2 4 2 Kr Kr ² σ r ² r2 = − + 2 4 2 Et α est obtenu par intégration directe en remarquant que : 2 g' β r (t , T ) = − . σr ² g avec g = (2.r2 + σ r ²).e − r1 (T −t ) − (2.r1 + σ r ²).e − r2 (T −t ) 67
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique iii. Lien avec les modèles CIR Nous terminons cette partie en faisant un lien avec les processus du type CIR. En effet ces processus ont la propriétés d’appartenir à la famille AJD. A titre d’exemple, considérons le processus de prix dans l’univers « risque neutre » défini par : Log ( S ) = X dX = K (m − λ X )dt + Σ X dW Dans cette formulation sans saut, la différence avec les exemples précédent, réside dans la structure de la volatilité qui est supposé dépendre du niveau de prix. Considérons un taux d’actualisation R=r constant, en reprenant les notations précédentes, nous avons donc : R = r + 0. X soit ρ0 = r , ρ1 = 0 µ ( X ) = K 0 + K1 X = Km − K λ X (σ ( X )σ ( X )t )i , j = ( H 0 )i , j + ( H1 )i , j X = Σ ² X Pour évaluer l’expression des prix Futures, on utilise le même raisonnement que précédemment : F (t , T , ST ) = EtQ ( ST ) = erτ EtQ (e− rτ ST ) = erτ EtQ (e− rτ e Log ( ST ) ) = erτ EtQ (e− rτ e XT ) = erτψ (1, X , t , T ) 68
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La fonction caractéristique de X est défini comme d’habitude par : ψ (u , X , t , T ) = eα (u ,t ,T )+ β (u ,t ,T ) X où α et β vérifient les équations de Riccati ci-dessous : . α (t ) = r − Kmβ (t ) . 1 β (t ) = K λβ (t ) − Σ ² β (t )² 2 avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = u. Dans notre cas u=1. La résolution de ces équation est donnée dans l’annexe 11, les expressions obtenues sont : 2 K λ e K λ ( T −t ) β (t ) = − Σ ² − 2 K λ − Σ ² e K λ (T − t ) 2 Km  2K λ  α (t ) = r ( t − T ) − log  K λ (T −t )  Σ²  2 K λ + Σ² e − Σ²  69
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 6 : Une cllasse génériique de modèlles mulltii- Une c asse génér que de modè es mu t - facteurs facteurs Dans cette partie, nous présentons la famille de modèles de prix développée par Les Clewlow & Strikland[20]. Par rapport aux approches précédentes qui consistaient à déduire l’expression des prix Forward/Future à partir des prix spot, ici la démarche est inverse. Dans un premier temps nous rappelons brièvement le modèle développé par Heath- Jarrow-Morton dans le cadre des taux d’intérêt qui donne en fait l’idée directrice car ce modèle permet d’obtenir une expression du taux instantané à partir du taux Forward. Nous introduisons ensuite le modèle de prix développée par Les Clewlow & Strikland[20] en donnant quelques exemples permettant de ce ramener à des cas que nous avons étudié précédemment. 70
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM) Nous prenons ici le vocabulaire des taux d’intérêt. Dans le modèle de Heath-Jarrow- Morton, la dynamique des taux Forward pour toutes maturités T et d’état initial t appartenant à l’intervalle de vie de l’économie est supposée gouvernée par l’équation différentielle suivante : n df (t , T ) = α (t , T , f (t , s)t ≤ s )dt + ∑ σ i (t , T , f (t , s)t ≤ s )dWt i 0≤t ≤T i =1 (HJM) Concrètement : α représente la dérive les fonctions σ représentent les fonctions de volatilité du taux Forward n représente le nombre d’incertitudes ou chocs aléatoires représentés par n processus de Wiener indépendant W sous la probabilité initiale On a supposé d’autre par connue la structure par terme de taux d’intérêt à l’instant 0 ( i.e. : T -> f(0,T)). Remarques : Les principaux paramètres du modèle HJM sont : o Le nombre d’incertitudes o Les fonctions de volatilité o La structure par terme de taux au temps initial 0 71
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La plus part des modèles de taux d’intérêts dérivent du modèle HJM pour des choix particuliers de n et des fonctions de volatilité. En univers risque neutre, l’équation (HJM) alors la forme suivante : n df (t , T ) = m(t , T , f (t , s )t ≤ s )dt + ∑ σ i (t , T , f (t , s )t ≤ s )dWt i % 0≤t ≤T i =1 Les fonctions de volatilités sont laissées inchangées et le drift a été ajustée par la prise en compte de n primes de risques λ : n m(t , T , f (t , s )t ≤ s ) = α (t , T , f (t , s )t ≤ s ) − ∑ λiσ i (t , T , f (t , s )t ≤ s ) i =1 A noter de plus qu’un relation de non-arbitrage entre les fonctions de volatilité et α est supposée. Soit maintenant la fonction y définie par : 1 T T − t ∫t y (t , T ) = f (t , s ) ds Alors le taux instantané r(t) est obtenu par un passage à la limite : r (t ) = f (t , t ) = lim y (t , T ) T →t Le modèle de prix que nous allons présenter s’inspire directement de cette approche 72
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12] A partir des travaux de Cortazar et Schwartz [23], Les Clewlow et Strikland[21] ont développé un modèle multifacteur général permettant de voir les précédents modèles (à deux et trois facteurs) comme des cas particuliers. En suivant l’approche de Cortazar et Schwartz [23], l’idée de départ est de modéliser les prix spot à partir des prix Future/Forward . Soit S(t) le prix spot de l’électricité mesuré au temps t, et soit F(t,T) le prix d’un contrat Forward observé au temps t dont la livraison est prévue pour la date T. A la maturité T, on obtient alors la relation : S(T) = F(T,T) On fait d’autre part l’hypothèse d’univers risque neutre et d’absence de friction dans le marché. Dans le modèle étudié par Cortazar et Schwartz [23] et Les Clewlow et Strikland[21], la dynamique de F est déterminée par n sources d’incertitudes représentées par n Browniens indépendants W i pondérés par des volatilités σ i : dF (t , T ) n = ∑ σ i (t , T )dWt i F (t , T ) i =1 Cette équation peut être intégrée ce qui donne la relation :  n 1 t  F (t , T ) = F (0, T ).exp  ∑ − ∫ σ i (u, T )² du + ∫ σ i (u, T )dWui  t  i =1 2 0 0  On en déduit en posant T=t, l’expression pour le prix spot : 73
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique  n 1 t  S (t ) = F (t , t ) = F (0, t ).exp  ∑ − ∫ σ i (u, t )² du + ∫ σ i (u, t )dWui  t  i =1 2 0 0  Il suffit alors de différentier cette dernière en appliquant la formule d’Ito pour obtenir l’équation de la dynamique des prix :  ∂Log ( F (0, t )  dS (t )  ∂t  n = n  dt + ∑ σ i (t , t )dWt i S (t )   t ∂σ (u, t ) t ∂σ (u , t )  −∑  ∫ σ i (u, t ) i  i =1  0 du + ∫ i dWui  i =1  ∂t 0 ∂t  3. Quelques exemples Nous donnons maintenant quelques exemples classiques où des choix particuliers de fonctions de volatilité permettent de retrouver certains des modèles que nous avons précédemment présenté. Exemple 1 L’exemple le plus simple consiste à considérer une seule source d’incertitude et une fonction de volatilité constante : n=1 σ (u , T ) = cte = σ L’équation de la dynamique du processus de prix donne alors : dS (t ) ∂Log ( F (0, t ) = dt + σ dWt S (t ) ∂t 74
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On trouve donc un processus du type mouvement Brownien Géométrique à drift déterministe. Exemple 2 Considérons maintenant toujours une seule source d’incertitude et une fonction de volatilité définie par : σ (t , T ) = σ .e−κ (T −t ) Ce choix va ici aboutir à un modèle du type Lucia & Schwartz[52] à un facteur basé sur le rendement des prix. L’expression analytique du processus de prix est donnée par :  1 t t  S (t ) = F (0, t ).exp  − ∫ σ ².e −2κ ( t −u ) du + ∫ σ .e −κ (t −u ) dWu   2 0 0   σ² t  = exp  log( F (0, t )) − (1 − e −2κ t ) + ∫ σ .e −κ ( t −u ) dWu   4κ 0  Posons X=log(S), on obtient alors : σ² dX = ∂ log( F (0, t )) ∂t t ( dt + e−2κ t dt − σκ e−κ t ∫ σ .eκ u dWu dt + σ dWt 2 0 )  ∂ log( F (0, t )) σ ² −2κ t t  = + e − κ ∫ σ e −κ ( t −u ) dWu  dt + σ dWt  ∂t 2 0  = κ [ g (t ) − X ] dt + σ dWt avec 1 ∂ log( F (0, t )) σ² g (t ) = + log( F (0, t )) − (1 − 3e −2κ t ) κ ∂t 4κ 75
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Exemple 3 Nous traitons maintenant le cas d’un modèle à deux facteur. Ainsi par exemple, le modèles de Schwartz[70] défini par le système : dS = (r − δ ) Sdt + σ 1dW 1 2 avec dW 1dW 2 = ρ dδ = [α ( m − δ ) − λ ]dt + σ 2 dW est un cas particulier où on a les relations suivantes au niveau des volatilités : 1 − exp( −α (T − t )) σ 1 (t , T ) = σ 1 − ρσ 2 α 1 − exp(−α (T − t )) σ 2 (t , T ) = −σ 2 1 − ρ ² α La démarche pour aboutir à ce résultat consiste à différentier l’expression des prix Forwards obtenue dans le modèle de Schwartz à deux facteur et d’identifier les facteurs en question. Une démonstration est donnée dans Les Clewlow & Strikland.[21] 4. Extension Outre le caractère général du modèle précédent, l’idée fondamentale est d’obtenir le prix spot de l’électricité à partir des prix des contrats Forward/Future. Ces derniers ont de plus la particularité d’être standardisés en durées comme l’affiche de tableau suivant Base Load Peak Load (MWh) (MWh) Seasons 4368 1560 Block quarters 2184 780 4-week Block Month 672 240 5-week Block Month 840 300 Week 168 60 Day 24 12 Spot 0.5 0.5 source UKPX 76
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ainsi, à partir du modèle précédent, on ne dispose pas d’une unique expression pour le prix au comptant, car plusieurs stratégies non équivalentes sont possibles pour acquérir de l’électricité pour une date donnée. En s’inspirant de la démarche développée par Chiu et Crametz [19] et Reiman et Sweldens [61] dans le cas du pricing associé à la bande passante, une extension possible serait alors de définir le prix spot comme combinaison convexe des prix spot obtenus à partir de chaque type de contrat. Un des avantages de cette approche, concerne la stabilité du modèle obtenu. En effet, Reiman et Sweldens [61] remarquent que les fluctuations des prix Forwards/Futures entraînent des variations moindres sur les prix spot. 77
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 7 : Les processus de Levy Les processus de Levy Dans les modèles à sauts précédents que nous avions vu dans la partie 5, nous sommes en fait face à une difficulté majeure : comment spécifier exactement la nature des sauts (dont la distribution est arbitraire) ? Une solution consiste à travailler avec des processus plus généraux que sont les processus de Lévy récemment utilisés en finance comme évoqué dans Barndoff- Nielsen[3]. Nous commençons par donner les bases de la théorie assujettie à ces processus stochastique. Un processus de Levy peut être représenté par : 1. Sa distribution sous-jacente ou sa fonction de densité 2. Ses moments 3. Le triplet de Levy et la fonction caractéristique 4. Son exposant de Laplace 5. La représentation en tant que mouvement Brownien subordonné Nous nous intéressons aux deux dernières représentation qui sont fondamentales. En application : - nous présentons le processus de prix étudié par Benth et al[33b] basé sur une structure de « retour à la moyenne généralisée», généralisant le modèle à 1 facteur de Lucia & Schwartz. - Nous développons ensuite une généralisation du modèle de Les-Clewlow & Strikland dans le cas unidimensionnel - Enfin, à partir des processus « Variance-Gamma » développés par Madan, Carr & Chan[53], nous construisons un processus de prix et donnons une expression des prix Forward 78
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1. Généralités Définition : Un processus de Lévy est un processus X = ( X t )t∈ + à valeur dans IR d , adapté avec Xo = 0 (presque sûrement), et vérifiant : les accroissement de X sont indépendant du passé X est à accroissements stationnaires X est continu en probabilité Remarques : En général, les processus de Levy ne sont pas à trajectoires continues Un processus de Levy X est caractérisé par la loi de X1, qui doit être indéfiniment divisible2 On peut démontrer d’autre part que les processus de Levy sont cadlag (continus à droite et avec limite à gauche), ou qu’à partir de tout processus de Levy on peut construire une modification unique cadlag. En général, tout processus de Levy peut se décomposer sous la forme suivante : X t = α t + σ Wt + Z t + ∑ ∆X s 1{ ∆X s >1} (SM) s ≤t Où W représente un mouvement Brownien standard, Z une martingale purement discontinue indépendante de B, et ∆Xs = Xs – Xs- représente le saut à l’instant s. (SM) est en fait la représentation canonique des semi-martingales. 2 Une loi µ est indéfiniment divisible, si pour tout n , µ peut s’écrire comme la loi de la somme de n variables iid, les lois normales, de Poisson, exponentielles .. sont indéfiniment divisibles 79
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 2. Représentation en terme d’exposant a. Exposant de Levy-Khintchine La représentation (SM) n’est pas réellement exploitable en tant que telle, de part la définition arbitraire de la martingale Z. Une propriété importante des processus de Levy consiste à prendre la transformée de Fourier de la loi définissant le processus, ce qui conduit au théorème de Levy-Khintchine (voir Bertoir[9]) qui donne un expression analytique de la fonction caractéristique d’un processus de Levy X en terme d’exposant : φ X (u ) = E  eiu X  = etψ t (u ) t X , t>0 t   La fonction ψX(u) pour u∈IRd est appelée exposant de Levy-Khintching ou exposant caractéristique et son expression a la propriété de pouvoir être représentée sous la forme : 1 ψ X (θ ) = iµ tθ − θ t ∑θ + ∫ t (eiθ x − 1 − iθ t x1 x <1 )π (dx) 2 IR d {0} Ainsi tout processus de Levy X est défini par un triplet ( µ , π , ∑) , où µ est un vecteur de IRd , Σ est une matrice semi-définie positive de IRdxd et π est une mesure de Levy3 définie sur IRd{0}. Intuitivement, le premier membre du triplet décrit la dérive du processus, le deuxième décrit la matrice de covariance de la composante continue du processus et le troisième membre décrit la structure de « sauts » du processus. En particulier, la mesure de Lévy π décrit la fréquence d’arrivée des sauts. 3 π n’est pas forcément une mesure de probabilité mais doit vérifier : π({0})=0 et ∫ ( x ² ∧ 1) π (dx) < ∞ IR d 80
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique b. Exposant de Laplace A l’instar de la partie précédente, une représentation des processus de Levy en utilisant la transformation de Laplace est possible moyennant de bonnes hypothèses (Benhamou[8]). Nous donnons ici les principaux résultats dans le cas unidimensionnel. Proposition 2b Soit X un processus de Levy On suppose qu’il existe T et L tels que pour tout t∈[0,T] et tout u∈]- ∞ ,L], la transformation de Laplace u → E[euX t ] est bornée par deux constantes U1 et U2. Alors il existe une fonction φ de ]- ∞ ,U2] dans IR telle que ∀t ∈ IR +, ∀u ∈] − ∞, U 2] E[euX t ] = etφ ( u ) Cette fonction est alors dénommée exposant de Levy-Laplace. Une preuve de cette proposition est donnée dans Benhamou[8]. En application directe de la proposition 2b, considérons le processus de prix défini par :  σ²  St = S0 exp  (r − )t + σ Wt + X t   2  Où X est un processus de Levy qui vérifie les conditions de la proposition 2b. 81
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Le calcul de la fonction génératrice des moments du processus S est direct et donne :  σ ² σ ²λ ²  t  λ ( r − )+ +φ ( λ )  λ λ  2 2  E[ St ] = S0 e c. Généralisation Les deux représentation précédentes suggèrent une généralisation en utilisant la fonction complexe génératrice des moments. Nous rappelons ici quelques résultats de l’analyse complexe. Soit f une fonction à valeurs complexes, alors f peut s’exprimer sous la forme : f = f1 + if 2 où f1 et f2 sont à valeurs réelles. Soit A un sous ensemble de , alors l’intégrale de f par rapport à la mesure canonique µ sur A est définie par : ∫ fd µ = ∫ f d µ + i ∫ f d µ A A 1 A 2 Un résultat fondamental est que f est intégrable sur A si et seulement si son module est intégrable. 82
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Considérons maintenant le cas où f(z)=exp(zX) où X est une variable aléatoire réelle, et z appartient à A. En posant z=u+iv, on obtient alors : f ( z ) = e zX = euX + ivX = euX eivX et | f ( z ) |= e uX et par conséquent : E[ f ( z )] < ∞ ⇔ M X (u ) = E[euX ] < ∞ Soit BX = {u ∈ / M X (u ) < ∞} Finalement il en découle le résultat suivant : f ( z ) = e zX est intégrable ⇔ z ∈ BX = { z ∈ / Re( z ) ∈ BX } * Cette dernière propriété donne l’idée directrice, et la représentation généralisée des processus de Levy en terme d’exposant est donné par le théorème qui vient : 83
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Théorème 2c(Représentation de Levy-Khintchine : cas unidimensionnel) Soit Xt un processus de Levy, supposons qu’il existe a et b réels, tel que pour z ∈ avec a<Im(z)<b la fonction caractéristique ϕ t ( z ) existe. Cette dernière est infiniment divisible est a la représentation suivante :    1  t  i µ z − z ² Σ+  2 ∫ ( eizx −1−izx1 x <1 )π ( dx )   izX t  IR d {0}  ϕt ( z ) = E[e ]=e 3. Processus de Levy et Brownien subordonné Tout processus de Lévy X étant une semi-martingale, on obtient une représentation en fonction d’un mouvement Brownien et d’un changement de temps stochastique (Monroe[55]), ainsi X peut s’écrire sous la forme suivante : X t = Wh (t ) Où W est un mouvement Brownien, h un changement de temps stochastique, en fait ici h est un processus de Lévy croissant, et le triplet (c, ν, a) associé à h doit avoir une volatilité nulle (a=0), un drift positif (c ≥ 0) pour assurer la croissance et une mesure de Lévy ν vérifiant : ∞ 1 ∫ν (dx) = 0 0 et ∫ν (dx) < ∞ 0 Si le processus X est continu, alors h l’est aussi, si h est purement stochastique alors X doit être totalement discontinu. 84
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Cette représentation effectue en fait une transformation de l’échelle du temps, que l’on peut interpréter par un changement de la durée économique associée à chaque pas de temps qui devient variable. Il est intéressant de faire le lien entre cette représentation et les précédentes. Notons : - (a, 0, γ ) le triplet associé au mouvement brownien W - (0, ρ , β ) le triplet associé au processus h - Ft X , FtW et Ft h les distributions associées aux processus X, W et h - (a X ,ν X , γ X ) le triplet associé au processus X Alors, Sato[66] à établi les relations suivantes : a X = β .a ν X ( B) = ∫ (0,∞ ) FsW ( B ) ρ (ds ) γ X = βγ + ∫ (0, ∞ ) ρ (ds ) ∫ 1D ( x ) xFsh ( ds ) 4. Exemples d’application Nous considérons les notations suivantes pour la suite : La forme bilinéaire [,] représente la covariation quadratique si U est un processus (U ± )t = U t ± représente sa version continue à droite / gauche 85
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique (U ± )t = U t ± ∆U représente sa partie purement discontinue i.e. : ∆U = U + − U − Uc représente sa partie continue i.e. : U c = U − ∆U d. Généralisation du modèle à 1 Facteur de Lucia-Schwartz i. Processus d’Ornstein-Uhlenbeck Généralisé Une manière naturelle de généraliser les processus d’Ornstein-Uhlenbeck consiste à substituer dans l’équation de la dynamique du processus, un processus de Lévy au mouvement Brownien. De ce fait, en suivant la formulation de Barndorff-Nielsen,[3], un processus S est dit du type Ornstein-Uhlenbeck, si il satisfait à l’équation différentielle stochastique linéaire suivante : dU t = κ (α − U ) dt + dLt (G.O.U.) Ici nous considérons un espace de probabilité supposé complet (Ω, ℑ, ( ℑt )t∈[0,T ] , P ) (l’univers réel) avec l’hypothèse habituelle T<oo. L désigne un processus de Lévy à variation finie. En posant : dH t = κα dt + dLt dX t = −κ dt 86
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Une solution explicite de (G.O.U.) peut être calculée en utilisant l’exponentielle de Doléans. Ainsi  t  ( Ut = Σ( X t )  H0 + ∫ Σ( X )−1 dHs − d [ H , X ]s  s )  0   1 c où Σ( X t ) = exp  X t − X 0 − [ X , X ]t  ∏(1 + ∆X s )exp(−∆X s )  2  s≤t Dans notre cas le processus X est purement déterministe et continu, par voie de conséquence : Son auto-covariation quadratique est nulle Le calcul de son exponentielle de Doléans se réduit à son exponentielle classique. La covariation entre H et X est nulle Finalement, on trouve une expression simplifiée pour la solution de l’équation (G.O.U) :  t  −κ t  t t  Ut = e −κ t  H 0 + ∫ e dH s  = e  H 0 + ∫ e κα ds + ∫ eκ s dLs  −κ s κs  0   0 0  t = U 0e −κ t + α (1 − e −κ t ) + ∫ e −κ ( t − s ) dLs 0 87
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Remarque : On peut encore approfondir les calculs en utilisant la propriété suivante (ref Lemme 2.1. Eberlein-Raible[31b]) : t t df ( s) ∫ 0 f ( s ) dLs = f (t ) Lt − ∫ 0 ds Ls ds où f est une fonction dérivable. Finalement : t U t = α + ( Lt + L0 e − Kt )− K∫e K ( s −t ) Ls ds 0 ii. Modèle de prix Nous venons de définir une famille de processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisés par la substitution d’une composante d’incertitude du type « Levy » à la composante brownienne habituelle ce qui nous amène à la formulation d’un modèle pour les prix au comptant. Dans cette optique nous pouvons généraliser le modèle à un facteur de Lucia & Schwartz basé sur le log des prix spot : Log ( St ) = f (t ) + U t Le processus U suit ici la dynamique précédente. D’après ce qui précède, l’expression analytique du processus de prix est donc donnée par : t ∫ U 0 e − κ t +α (1− e− κ t ) + e− κ ( t −s ) dLs St = exp( f (t )).e 0 88
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique iii. Evaluation des prix Forwards En suivant l’approche donnée par Espen et al[33b], nous donnons dans un premier temps les éléments pour le pricing de produits dérivés. Le processus de Levy L que nous utilisons est caractérisé par son triplet de levy (µ,σ,π), son exposant caractéristique est donné par :    1  ∫ izx Ψ ( z ) =  i µ z − z ²σ + ( e −1−izx1 x <1 )π ( dx )   2   IR {0}  et sa représentation simplifiée est la suivante : Lt = µ t + σ Wt + Ld t Ld représente le « processus à sauts » (ref. équation (SM) ). Condition L Il existe une constante k positive telle que la mesure de Levy π vérifie la condition d’intégration suivante : 1 ∫ 0 e kxπ (dx) < ∞ Autrement dit cette condition est une condition d’existence des moments du processus L . De cette condition s’en suit un résultat important : 89
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Lemme Soit un processus de Levy L, nous dénotons par π sa mesure de Levy associée. Soit une fonction g : [0, t ] → bornée et mesurable, et supposons que la condition précédente sur la mesure π soit satisfaite pour k = sup g ( s ) s∈[0,t ] Alors : t t  E[exp( ∫ g ( s )dLs )] = exp  ∫ φ ( g ( s ))ds  0 0  où la fonction φ est la fonction génératrice des moments de L. La démonstration de ce lemme repose essentiellement sur la propriété d’indépendance des incréments et la représentation de Levy-Khintchine de L. Considérons maintenant une fonction θ :[0, T ] → mesurable et bornée et définissons le processus : t t  Z t = exp  ∫ θ ( s )dLs − ∫ φ (θ ( s )) ds  θ 0 0  où la fonction φ représente toujours la fonction génératrice des moments de L Ce processus est bien défini pour tout t dans l’intervalle [0,T] si la condition (L) sur la mesure de Levy l de L est satisfaite pour k = sup θ ( s ) . On peut facilement montrer s∈[0,t ] d’autre part que ce processus est une martingale. 90
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Suivant la démarche de Espen et al [33b], nous introduisons maintenant la mesure de probabilité Qθ définie par la transformation dite d’Esscher4 : Qθ ( A) = E P [1A ZT ] θ Cette mesure de probabilité est équivalente à P et fourni la propriété de martingale. Espen et al[33b] supposent alors que la mesure risque neutre donnée par le marché appartient à cette famille paramétrée par θ (qui peut être une fonction déterministe). Nous en venons alors à l ‘expression des prix Forwards F(T,S) qui en l’absence d’arbitrage (i.e. sous la mesure Qθ ), sont définis comme l’unique processus vérifiant : 0 = e − r (T −t ) E Q  ST − F Q ( t , T ) | ℑt  θ θ   et par conséquent : θ θ F Q ( t , T ) = E Q [ ST | ℑt ] On obtient ainsi : θ θ F Q ( t , T ) = E Q [ ST | ℑt ] = E P  ST .ZT | ℑt   θ  4 Soit un espace de probabilité (Ω, ℑ = ( ℑt )t∈[0,T ] , P ) , et une variable aléatoire X, la mesure de probabilité Q de densité dQ/dP=exp(uX-k(u)) définie pour un réel u, est appelée transformation d’Esscher de P. 91
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Avant de développer, nous effectuons un calcul intermédiaire qui est le suivant :  t  Ut e −κ (T −t ) =e −κ ( T − t )  U 0e + α (1 − e ) + ∫ e −κ (t − s ) dLs  −κ t −κ t  0  t = U 0e −κ T + α (e −κ (T − t ) −e −κ T ) + ∫ e−κ (T − s ) dLs 0 T T = U 0e −κ T + α (1 − 1 + e −κ ( T − t ) −e −κ T )+ ∫e −κ (T − s ) dLs − ∫ e −κ (T − s ) dLs 0 t T T = U 0e −κ T + α (1 − e −κ T )+ ∫e −κ ( T − s ) dLs + α (e −κ ( T − t ) − 1) − ∫ e−κ (T − s ) dLs 0 t T = U T + α (e −κ ( T − t ) − 1) − ∫ e −κ (T − s ) dLs t On obtient ainsi la relation qui diffère de celle obtenue par Espen et al. T UT = U t e −κ ( T − t ) − α (e −κ ( T − t ) − 1) + ∫ e−κ (T − s ) dLs t En substituant cette dernière dans l’expression des prix Forward, il vient :   T U t e − κ ( T −t ) −α ( e − κ ( T −t ) −1) + ∫ e − κ ( T −s ) dLs θ θ F Q ( t , T ) = E Q e f (T ) eUT | ℑt  = E Q θ  e f (T ) e t | ℑt           ∫ e−κ (T −s ) dLs  T = e f (T ) eUt e − κ ( T −t ) −α ( e − κ ( T −t ) −1) EQ θ e t | ℑt         ∫ e−κ (T −s ) dLs  T e− κ ( T −t )  S  f (T ) e e t | ℑt  θ =  f (tt )  EQ e  eα ( e − κ ( T −t ) −1)       92
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique il reste donc à évaluer le facteur de droite :  ∫ e−κ (T −s ) dLs   ∫ e−κ (T −s ) dLs θ  T T e t ZT | ℑt  = E P e t | ℑt  θ EQ (règle de Bayes)    θ Zt           ∫ e−κ (T −s ) dLs ∫θ ( s ) dLs − ∫ φ (θ ( s )) ds  T T T = E P e t et t | ℑt         ∫ e−κ (T −s ) dLs ∫θ ( s ) dLs − ∫ φ (θ ( s )) ds  T T T = E P e t et t         ∫ e−κ (T −s ) dLs ∫θ ( s ) dLs  T T T ∫ − φ (θ ( s )) ds P  t  =e t E e et        ∫ (θ ( s )+ e−κ ( T −s ) ) dLs  T T ∫ − φ (θ ( s )) ds P  t  =e t E e       T T ∫ ∫ φ (θ ( s )+ e )ds − κ ( T −s ) − φ (θ ( s )) ds =e t e t T ∫ φ (θ ( s )+ e )−φ (θ ( s )) ds − κ ( T −s )   = et Finalement on obtient le résultat T e−κ ( T −t ) ∫ φ (θ ( s )+e )−φ (θ ( s )) ds − κ ( T −s ) ( t , T ) =  f (tt )  Qθ S  e f (T )   F  − κ ( T −t ) e t e  eα ( e −1) 93
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique e. Généralisation du modèle de Les-clewlow & Strikland Nous rappelons que dans le modèle étudié par Les Clewlow et Strikland[21], la dynamique des prix Forward F en l’absence d’arbitrage est déterminée par n sources d’incertitudes représentées par n Browniens indépendants Wi pondérés par des fonctions de volatilité σ i supposées différentiables: dF (t , T ) n = ∑ σ i (t , T )dWt i F (t , T ) i =1 Il semble naturel de généraliser cette représentation en introduisant des processus de Levy. Dans notre application, nous reprenons précédente formulation en considérant une seule source d’incertitude donnée par un processus de Levy, cette généralisation semble nouvelle. Notre modèle pour les prix Forward est donc représenté par : dF (t , T ) = σ (t , T ) dLt (4-1) F (t , T ) Ici le processus L est un processus de Levy de caractéristique (b, c,ν ) à variations finies et exposant caractéristique Ψ , i.e. : Ψ t ( z ) = log( E[eizLt ]) En représentant L à partir de sa décomposition de Levy-Ito (cf Cherny-Shiryaev[18] proposition A7), deux sources d’incertitudes indépendantes apparaissent: dF (t , T ) = σ (t , T ) dL1 + σ (t , T ) dL2 t t F (t , T ) 94
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Où L1 est un processus de Levy « continu » de caractéristique (b,c,0) , et L2 est un processus de Levy « à sauts » de caractéristique (0,0,ν). L’étape suivante consiste à intégrer (4-1) afin d’obtenir une représentation intégrale de F en vue d’en déduire l’expression du processus des prix au comptant. En considérant le processus X défini par : t X t = ∫ σ ( s, T )dLs 0 L’équation (4-1) se réduit à une équation différentielle stochastique linéaire classique dF (t , T ) = F (t , T )dX t (4-2) En faisant l’hypothèse de connaître F(0,T), une solution analytique de (4-2) est obtenue à l’aide de l’exponentielle de Doléans ( cf par exemple Revuz-Yor[61b]), ainsi : F (t , T ) = F (0, T )Σ( X )t (4-3)  1 c Σ( X )t = exp  X t − X 0 − [ X t , X t ]  ∏ (1 + ∆X s ) exp(−∆X s )  2  s ≤t En utilisant les propriétés suivantes (ref Lemme 2.1. Eberlein-Raible[31b] et Protter[92]) : t t df ( s ) ∫ 0 f ( s )dLs = f (t ) Lt − ∫ 0 ds Ls ds t t  t  ∫ H s dX s , ∫ K s dYs  = ∫ H s K s d [ X , Y ]s 0 0  0 95
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On obtient : t X t = σ (t , T ) Lt − ∫ ∂1σ ( s, T ) Ls ds 0 t t  t [ X t , X t ] =  ∫ σ ( s, T )dLs , ∫ σ ( s, T )dLs  = ∫ σ ( s, T )² d [ L, L]s 0 0  0 On en déduit alors une forme explicite pour l’exposant de Doléans :  t 1 t  Σ( X )t = exp  σ (t , T ) Lt − ∫ ∂1σ ( s, T ) Ls ds − σ (0, T ) L0 − ∫ σ ( s, T )² d [ L, L]c s  ∏ (1 + ∆X s ) exp(−∆X s )  0 20  s ≤t  t 1 t  = exp  σ (t , T ) Lt − ∫ ∂1σ ( s, T ) Ls ds − σ (0, T ) L0 − ∫ σ ( s, T )² d [ L1 , L1 ]s  ∏ (1 + σ ( s, T )∆Ls ) exp(−σ ( s, T )∆Ls )  0 20  s ≤t  t  1   = exp  σ (t , T ) Lt − ∫  ∂1σ ( s, T ) Ls + σ ( s, T )² c ²  ds − σ (0, T ) L0  ∏ (1 + σ ( s, T ) L2 s ) exp(−σ ( s, T ) L2 s ) 0   2  s ≤t A partir de (4-3), en utilisant la relation S(t)=F(t,t), on en déduit l’expression du processus définissant les prix au comptant :  t     σ ( t ,t ) Lt −  ∂1σ ( s ,t ) Ls + 1 σ ( s ,t )² c ²  ds −σ (0,t ) L0   ∫  2   S (t ) = St = F (0, t )e  0  ∏ (1 + σ (s, t ) L s ≤t 2 s ) exp(−σ ( s, t ) L2 s ) (4-4) Par exemple, en considérant une fonction de « volatilité » constante : σ ( s, t ) = σ ,cette dernière relation se simplifie pour donner :  1   σ Lt − σ ² c ² t −σ L0    St = F (0, t )e 2 ∏ (1 + σ L s ≤t 2 s ) exp( −σ L2 s ) 96
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique f. Les processus variance-gamma (VG) i. définitions et propriétés Les processus variance-gamma développés par Madan-Carr-Chang[53] sont la combinaison d’un mouvement brownien et d’un processus gamma. Le mouvement Brownien est donné par l’expression : Mb(t ,θ , σ ) = θ t + σ Wt Ici θ et σ représentent respectivement le drift et la volatilité instantanée. Les distributions gamma ς (α , β ) sont définies par la famille de densités : 1 f ( x) = xα −1e − x / β pour x>0 β α Γ(α ) Les paramètres α et β font respectivement référence à la forme et l’échelle de la distribution. La fonction caractéristique est donnée sur son ensemble de définition par : 1 ϕς (α , β ) (u ) = E[eiuς (α , β ) ] = α (1 − iu β ) On a de plus pour l’espérance et la variance : E[ς (α , β )] = αβ Var[ς (α , β )] = αβ ² 97
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Un processus gamma γ (t ; µ ,ν ) de moyenne µ et variance ν, est un processus continu à incréments stationnaires , indépendants, distribués selon une loi gamma : tels que pour tout h positif Γ h = γ (t + h; µ ,ν ) − γ (t ; µ ,ν ) ~ ς ( µ ² h / ν ,ν / µ ) La densité gamma de ces incréments est donc donnée par : u²h u²h µ µ ν ν −1 − x ν f h ( x) = u²h x e u²h pour x>0 ν ν Γ( ) ν La fonction caractéristique de ces incréments est donnée sur son ensemble de définition par : 1 ϕ h (u ) = E[eiuΓ ] = h µ ²h  iuν  ν 1 − µ    Un processus VG est alors obtenu en évaluant ce mouvement Brownien sur un processus gamma γ (t ;1,ν ) définissant le temps t : VG (t;θ , σ ,ν ) = Mb(γ (t ;1,ν ),θ , σ ) = θγ (t ;1,ν ) + σ Wγ (t ;1,ν ) La fonction caractéristique d’un tel processus est alors donnée par (Madan-Carr- Chan[53]) : t /ν    1  φVG ( t ) (u ) = E eiuVG ( t )  =     1 − iθν u + σ ²ν  u²   2  98
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique D’où expression de l’exposant caractéristique : σ ²ν − log(1 − iθν u + u ²) ΨVG ( t ) (u ) = 2 ν Comme le démontrent Madan, Car et Chan[53], le processus VG peut être aussi représenté comme la différence de deux processus gamma indépendants : VG (t ;θ , σ ,ν ) = γ 1 (t ; µ1 ,ν 1 ) − γ 2 (t ; µ 2 ,ν 2 ) et les paramètres sont définis par les expressions analytiques suivantes : 1 2σ ² θ µ1 = θ²+ + 2 ν 2 1 2σ ² θ ν1 = θ²+ − 2 ν 2 2 1 2σ ² θ  µ2 =  θ ² + 2 +  ν  ν 2 2 1 2σ ² θ  ν2 =  θ ² + 2 −  ν  ν 2 99
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique ii. Application A partir des définitions précédentes, Madan, Car et Chan[53] définissent le processus de prix dans l’univers réel par : St = S0 exp ( µ t + VG (t ;θ , σ ,ν ) ) L’idée est d’exploiter la représentation des processus de Levy à l’aide de leur exposant caractéristique afin de décrire le processus de prix en univers risque neutre. En dénotant par le r le taux d’actualisation supposé constant, en univers risque neutre, le processus ert St doit posséder la propriété de martingale : E[ert St ] = S0 Ce qui donne successivement : E[ert St ] = E[ert S0 eµt +VG (t ;θ ,σ ,ν ) ] = ert S0 e µt E[eVG (t ;θ ,σ ,ν ) ] = ert S0 e µt etψ ( −i ) D’où la condition (cf Levendorskii & Zherder[49]): r + µ + ψ ( −i ) = 0 soit encore log(1 − θν − 0.5σ ²ν ) r= −µ ν 100
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique A partir des définitions précédentes, Madan, Car et Chan[53] définissent le processus de prix dans l’univers risque neutre par : St = S0 exp ( ( µ + ω )t + VG (t ;θ , σ ,ν ) ) où : o µ représente l’augmentation anticipée sur le prix dans l’univers réel o ω représente la prime de risque donnée par : 1 ω = log(1 − θν − 0.5σ ²ν ) ν Il est à remarquer d’autre part que ce processus permet l’asymétrie dans les probabilités de sauts à la hausse et à la baisse, l’occurrence de nombreux sauts dans un intervalle de temps court La fréquence d’arrivée de sauts d’amplitude x dans le processus « logarithme du prix » est donné par la densité (cf Carr et al[16]) :  C exp(G.x) −  x si x<0 k ( x) =   C exp(− M .x) si x>0   x Où les expressions analytiques des constantes C, G et M sont : 101
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1 C= ν −1  θ ²ν ² σ ²ν θν  G =  + −   4 2 2   −1  θ ²ν ² σ ²ν θν  M =  + +   4 2 2   Evaluation des prix Forward / Future En absence d’arbitrage, des prix Forward ou Future, peuvent être vus comme l’anticipation du prix au comptant obtenue à la maturité T sachant l’information disponible à la date t : F (t , T , ST ) = EtQ [ ST ] = EtQ [ S0 exp ( ( µ + ω )T + VG (T ;θ , σ ,ν ) )] = S0 exp ( ( µ + ω )T ) EtQ [exp (VG (T ;θ , σ ,ν ) )] On considère la représentation du processus VG en tant que différence de deux processus gamma indépendants, ce qui donne alors : F (t , T , ST ) = S0 exp ( ( µ + ω )T ) EtQ [exp (γ 1 (t ; µ1 ,ν1 ) − γ 2 (t ; µ 2 ,ν 2 ) )] = S0 exp ( ( µ + ω )T ) EtQ [exp (γ 1 (t ; µ1 ,ν1 )) )] / EtQ [exp (γ 2 (t ; µ 2 ,ν 2 ) )] 102
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Soit n entier arbitraire, on définit alors l’incrément h = (T-t)/n, ainsi pour chaque processus γ i , i=1,2: n −1 γ i (T ; µi ,ν i ) = γ i (t ; µi ,ν i ) + ∑ [γ i (T − ih; µi ,ν i ) − γ i (T − ih − h; µi ,ν i ) ] i =0 En utilisant les propriétés des incréments des processus gamma apparaissant dans la somme on peut alors calculer les espérances : EtQ [exp (γ i (T ; µi ,ν i ) )]  n −1  = E [exp  γ i (t ; µi ,ν i ) + ∑ [γ i (T − jh; µi ,ν i ) − γ i (T − jh − h; µi ,ν i ) ] ] t Q  j =0   n −1  = exp (γ i (t ; µi ,ν i ) ) Et [exp  ∑ [γ i (T − jh; µi ,ν i ) − γ i (T − jh − h; µi ,ν i )] ] Q  j =0  n −1 = exp (γ i (t ; µi ,ν i ) ) ∏ EtQ [exp (γ i (T − jh; µi ,ν i ) − γ i (T − jh − h; µi ,ν i ) )] j =0 n = exp (γ i (t ; µi ,ν i ) ) ( EtQ [exp (ς ( µi ² h / ν i ,ν i / µi ) )]) −n  µi ² h   ν i  νi  = exp (γ i (t ; µi ,ν i ) )   1 −      µi     µi ²(T −t ) −  ν  νi = exp (γ i (t ; µi ,ν i ) ) 1 − i   µi  103
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On remplace maintenant cette formulation dans l’expression de départ : F (t , T , ST ) µ1 ²(T −t ) µ 2 ²(T −t ) −  ν  ν1  ν  ν2 = S0 exp ( ( µ + ω )T ) eγ 1 ( t ;µ1 ,ν1 )  1 − 1  e −γ 2 (t ;µ2 ,ν 2 ) 1 − 2   µ1   µ2  µ1 ²(T −t ) µ 2 ²(T − t ) −  ν  ν1  ν2  ν2 = S0 exp ( ( µ + ω )T ) eγ 1 ( t ;µ1 ,ν1 ) −γ 2 ( t ;µ2 ,ν 2 ) 1 − 1  1 −   µ1   µ2  µ1 ²(T −t ) µ 2 ²(T −t ) −  ν  ν1  ν2  ν2 = S0 exp ( ( µ + ω )T ) eVG (t ;θ ,σ ,ν )  1 − 1  1 −   µ1   µ2  µ1 ²(T − t ) µ 2 ²(T −t ) −  ν  ν1  ν2  ν2 = S0 exp ( ( µ + ω )(T − t ) ) e( µ +ω )( t ) +VG ( t ;θ ,σ ,ν ) 1 − 1  1 −   µ1   µ2  Finalement, l’expression des prix Forward est donnée par : µ1 ²(T −t ) µ 2 ²(T −t ) −  ν  ν1  ν2  ν2 F (t , T , ST ) = St e( µ +ω )(T −t )  1 − 1  1 −   µ1   µ2  avec 1 2σ ² θ µ1 = θ²+ + 2 ν 2 1 2σ ² θ ν1 = θ²+ − 2 ν 2 2 1 2σ ² θ  µ2 =  θ ² + 2 +  ν  ν 2 2 1 2σ ² θ  ν2 =  θ ² + 2 −  ν  ν 2 104
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 8 : lles modèlles à vollattiilliitté non consttantte es modè es à vo a é non cons an e Intuitivement, dans un modèle, la volatilité représente la part d’incertitude induite par celui-ci, en ce sens elle défini une composante « risquée ». Dans les modèles de Black&Scholes et de Vasiceck, celle-ci est constante : Cas du modèle de Black&Scholes: dSt (t ) = α BS St dt + σ BS St dWt (B&S) le terme d’incertitude est donné par St dWt , sa proportion est déterminée par σ BS Cas du modèle de Vasiceck : dSt = αVS ( µVS − St )dt + σ VS dWt (VS) l’incertitude est présente au travers du terme aléatoire dWt représenté avec une proportion σ VS Ces deux modèle classiques possèdent donc une propriété forte qui est le caractère constant de ce facteur de risque. Pourquoi envisager une volatilité non constante pour les prix spot de l’électricité ? Sur les données empiriques, il est assez aisé d’observer des agrégats et des zones de volatilité élevée, en particulier en fonction des saisons comme évoqué dans Deng[27]. L’électricité ne peut pas être stockée de manière efficiente … 105
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On peut penser à une dépendance « niveau de prix-volatilité » due aux formes des courbes de l’offre et de la demande, mais l’enquête menée par Tobias Federico[] ne met pas en avant une corrélation forte, une relation temporelle est suggérée La possibilité d’une volatilité présentant une composante saisonnière est peut être envisageable On dispose ainsi de moyen supplémentaire pour introduire des variables exogènes Les modèles à volatilité stochastiques permettent de mieux mesurer la volatilité, et d’appréhender la volatilité « future » 1. Cas des modèles continus a. L’approche classique Dans le cadre des modèles à volatilité stochastique, il est usuel de définir le terme de volatilité comme un facteur additionnel à part entière. Ainsi, en partant d’un processus assez général et en reprenant les notations données dans Fouque et al[], on peut généraliser les modèle de Vasiceck et Black & Scholes en donnant au processus de prix la dynamique définie par : dSt = g (t , St )dt + σ S ,t dWS ,t σ S ,t = f (t , St , Yt ) dYt = α Y ( µY − Yt )dt + σ Y  ρ dWS ,t + 1 − ρ ² dWY ,t    Ici les deux processus de Wiener qui apparaissent sont supposés indépendant, la fonction g est une fonction de « retour » (ex : g(t,x)=K(m-x) ). 106
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La formulation que nous venons de donner possède l’avantage de définir concrètement la corrélation entre le prix S et le terme de volatilité, corrélation définie à plusieurs niveaux : le coefficient de corrélation ρ liant les incertitudes liées à S et à Y, que nous supposons ici constant (en toute généralité il peut être variable) le facteur Y, le cas particulier Y=S implique que la volatilité est directement liée au niveau des prix S, suivant l’idée intuitive que la volatilité doit avoir « une nature bornée » nous adoptons une dynamique du type « mean-reverting » pour ce facteur la fonction f défini la sensibilité de la volatilité au facteur Y, des choix usuel pour cette fonction sont f(t,s,y)=exp(y) : (modèle logarithmique) f(t,s,y)= y (modèle « affine ») Si l’on s’intéresse aux processus de Wiener intervenant dans la définition que nous venons de donner, on peut remarquer que la corrélation est essentiellement introduite dans le facteur donnant la volatilité, une représentation équivalente consiste à la faire intervenir sur le prix: dSt = g (t , St ) dt + σ S ,t  ρ dWS ,t + 1 − ρ ² dWY ,t    σ S ,t = f (t , St , Yt ) dYt = α Y ( µY − Yt ) dt + σ Y dWY ,t 107
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On peut encore généraliser ce dernier système d’équation par le suivant: dSt = g (t , St )dt + σ 1S ,t dWS ,t + σ 2 S ,t dWY ,t σ i S ,t = f i (t , St , Yt ) i = 1, 2 dYt = αY ( µY − Yt )dt + σ Y dWY ,t L’avantage de cette approche est de regrouper « la corrélation » entre S et Y au travers de deux entités uniques que sont les fonction f1 et f2, et cela permet de faire la distinction entre une volatilité « normale » et une volatilité « instable » ou « perturbatrice » Le tableau suivant présente quelques modèles classiques et moins classiques Hull & White (1987) Dans cette définition, les deux processus de Wiener intervenant sont supposés indépendants, le terme de volatilité est gouvernée par une dynamique du type CIR oscillant autour de 0.. Heston (1993) Dans ce modèle, la volatilité est gouvernée par un processus du type CIR oscillant autour d’un niveau θ 108
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Bates[7] (1996) dS / S = ( µ − λ k )dt + V 0.5 dW + kdq dV = (α − β V )dt + σ vV 0.5 dWV dWV dW = ρ dt , P(dq = 1) = λ dt , log(1 + k ) ~ N (log(1 + k ) − 0.5δ ², δ ²) Ici, des sauts sont introduits dans le processus de prix Chernov,Galland,Ghysels & Tauchen[17b] (1999) dSt = (α10 + α12U1t ) dt + β10 + β12U 2t + β13U 3t (ϕ11dW1t + ϕ12 dW2t + ϕ13 dW3t ) dU1t = (α 20 + α 22U1t ) dt + β 20 dW2t dU it = (α i 0 + α i 2U it ) dt + β i 0 + β iiU it dWit i = 2, 3 Ici le terme de volatilité est défini à partir de deux facteurs Richter & Sorensen[62] (2000) dSt / St = ( r − δ t ) dt + e0.5v (t ) Vt dW1,Q t d δ t = α ( β (t ) − δ t ) dt + e0.5 v ( t )σ δ Vt dW2,t Q dVt = κ (θ − Vt ) dt + σ V Vt dW3,t Q Dans cette exemple de modèles, le paramètre de volatilité stochastique est associé à la fois au prix et au deuxième facteur (rattaché à la notion de convenience yield). De plus, Richter et Sorensen introduisent une saisonnalité dans la volatilité par l’intermédiaire d’une fonction v(t) périodique. Chernov,Galland,Ghysels & Tauchen [17c](2002) dSt = (α10 + α12U1t ) dt + ( β10 + β12U 2t + β13U 3t )(ϕ11dW1t + ϕ12 dW2t + ϕ13 dW3t ) dU1t = (α 20 + α 22U1t ) dt + β 20 dW2t γ dU it = (α i 0 + α i 2U it ) dt + ( β i 0 + β iiU it ) i dWit i = 2,3 Ici une représentation multifacteur est proposé, la fonction σ peut être du type racine carrée ou exponentielle, comme extension de ce modèle , des composantes additionnelles du type « sauts » sont proposées pour les facteurs intervenant dans la définition de la volatilité. Nous allons maintenant présenter deux exemples tirés de la littérature des marchés de l’électricité. 109
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique i. Premier modèle (Kellerhalls, 2001) Notre premier exemple est celui utilisé par Kellerhalls[46] pour décrire la dynamique des prix au comptant qui est basé sur le modèle à volatilité stochastique de Heston. Cette dynamique dans l’univers réel est formulée par le système différentiel stochastique suivant : dSt = µ St dt + St vt dWSPt , (1) dvt = κ (θ − vt )dt + σ vt dWvPt , (2) L’équation (1) spécifie que la dynamique des prix est gouvernée par un mouvement brownien géométrique avec une spécification stochastique pour le terme de volatilité. L’équation (2) indique que ce dernier (terme de volatilité) suit une dynamique du type CIR lui assurant d’avoir des valeurs positives. D’autre part les deux sources d’incertitudes gaussiennes sont supposées corrélées : dWSPt dWvPt = ρ dt , , Dans notre cas nous devons faire face à la situation d’un marché incomplet, et les deux variables d’états précédentes ne peuvent pas être couvertes. Face à cela, Kellerhalls propose d’ajuster ces deux variables d’état au risque mesuré par le marché afin d’être dans une situation de non-arbitrage. Dans cette optique Kellerhalls utilise la transformation de Girsanov dWSQt = dWSPt + λ * vt dt , , où la prime de risque mesurée par le marché λ* est indépendante du temps. Ce qui donne la dynamique « risque-neutre » suivante pour le prix au comptant : dSt = ( µ − λ * vt ) St dt + St vt dWSQt , (1)* En posant X=log(S) et λ = 0.5 + λ * on obtient d’autre part : 110
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique dX t = ( µ − λ vt ) dt + vt dWSQt , (1)** Kellerhals effectue ensuite un ajustement arbitraire pour la deuxième variable d’état, et la dynamique « risque-neutre » qu’il obtient est donnée par : dvt = (κ (θ − vt ) − λv ( St , vt , t ) ) dt + σ vt dWvQt , (2)* Kellerhals suppose d’autre part la formulation suivante : λv ( St , vt , t ) = λv vt avec λv constant. Remarque : A cette étape, il est important de noter que la formulation « risque neutre » qu’utilise Kellerhals est incorrecte car elle ne tient pas compte de la corrélation liant les deux facteurs X et vt . En fait, λv ( St , vt , t ) doit être exprimé (Cf annexe 12-A) par : λν ( St ,ν t , t ) = ( λ − 0.5 ) σρν t + βσ (1 − ρ ² )ν t avec β arbitraire. Pour la suite, nous considérons le cas particulier λv = ( λ − 0.5 ) σρ + λ1,ν 1 − ρ ² où λ1,ν est une constante. Finalement en faisant le lien avec les modèles AJD, on peut remarquer que :  X t   µ   0 −λ   X t    vt 0  d   =   +     dt +   dW Q  vt   κθ   0 −(κ + λv )   vt    σρ v σ vt 1 − ρ ²   t  Soit encore dU t = µ (U t )dt + σ (U t ) dW Q  Xt  pour U t =    vt  Nous sommes donc en présence d’un modèle du type AJD sans saut, où en reprenant les notations que nous avions introduites : 111
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique µ  0 −λ  µ (U t ) = K 0 + K1U t =   +  0 −(κ + λ )  U t  κθ   v  (σ (U t )σ (U t )t )i , j = ( H 0 ) i , j + ( H1 )i , j U t λ (U t ) = l0 + l1U t = 0 où K=(K 0 ,K1 ) ∈ IR 2 xIR 2 x 2 , H=(H 0 ,H1 ) ∈ IR 2x2 xIR 2 x 2 x 2 , et l=(l0 ,l1 ) ∈ IRxIR 2 Dans notre cas : µ  K0 =    κθ  0 −λ  K1 =    0 −(κ + λv )   v σρ vt   ( 0 1) U t ( 0 σρ )U t  σ (U )σ (U )t =  t =  σρ vt σ ²vt   ( 0 σρ ) U t  ( 0 σ ² )U t    ( H1 )1,1U t ( H1 )1,2 U t  =   ( H1 ) 2,1U t ( H1 ) 2,2 U t  Evaluation des prix Forwards Nous savons qu’en l’absence d’arbitrage, l’expression des prix Forward est donnée par l’anticipation des prix au comptant à la date de maturité T sachant l’information disponible à l’instant t: F (t , T ) = E RN [ ST | St ] = E RN [e XT | St ] (3) Suivant cette approche, Kellerhals obtient l’expression analytique suivante : 112
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique T ρ  λ +κ 1  ρ σ  κθ  X t − vt +  µ − ρ (T − t )  σ  σ vT −  λ − v  σ 2 ∫ ρ − (1− ρ ² )  vs ds F (t , T ) = e E RN [e t | St ] A noter que cette expression est obtenue en utilisant les expressions intégrales des facteurs X et v, et un deuxième changement de numéraire qui n’est pas explicité dans Kellerhals[46] (cf Annexe 12-B) A partir de cette dernière expression, l’expression analytique est obtenue en appliquant la formule de Feynman-Kac. Une approche plus élégante consiste à utiliser les résultats que nous avions vu précédemment sur les modèles AJD. Nous avons : (1,0),( X T , vT ) F (t , T ) = E RN [ ST | St ] = E RN [e X T | St ] = E RN [e | St ] L’expression de F(t,T) est alors donnée par : F (t , T ) = eα ( u ,t ,T ) + β ( u ,t ,T )U t où α et β vérifient les équations de Riccati complexes ci-dessous : . 1 α (t ) = ρ0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) 2 . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) 2 avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = (1,0). 113
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Plus explicitement : T .  µ   β (t )  α (t ) = −    1  = − ( µβ1 (t ) + κθβ 2 (t ) )  κθ   β 2 (t )   .  T T . β 1 (t )  0 −λ   β1 (t )  1  β1 (t )   β1 (t )  β (t ) =  . = −    −   H1     β (t )    0 −(κ + λv )   β 2 (t )  2  β 2 (t )   β 2 (t )   2  T  0 0   β1 (t )  1  β1 (t )   ( 0 1) ( 0 σρ )   β1 (t )  = −  −      −λ −(κ + λv )  β 2 (t )  2  β 2 (t )   ( 0 σρ ) ( 0 σ ² )   β 2 (t )      0    T   0  1  β1 (t )    0   = − −      −λβ1 (t ) − (κ + λv ) β 2 (t )  2  β 2 (t )    β1 (t ) + σρβ 2 (t )     σρβ (t ) + σ ² β (t )    1 2   0  1 0  = − −    −λβ1 (t ) − (κ + λv ) β 2 (t )  2  β1 (t )( β1 (t ) + σρβ 2 (t )) + β 2 (t )(σρβ1 (t ) + σ ² β 2 (t ))  On obtient finalement le système différentiel non linéaire suivant : . α (t ) = − µβ1 (t ) − κθβ 2 (t )  .  β1 (t ) = 0  . 1  β 2 (t ) = −λβ1 (t ) − (κ + λv ) β 2 (t ) − ( β1 (t )( β1 (t ) + σρβ 2 (t )) + β 2 (t )(σρβ1 (t ) + σ ² β 2 (t )))  2 avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = (1,0). 114
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique En utilisant la condition β(T) = (1,0), ce système se simplifie : . α (t ) = − µ − κθβ 2 (t )  .  β1 (t ) = 0  .  β 2 (t ) = −(λ + 0.5) − (κ + λv + σρ ) β 2 (t ) − 0.5σ ² β 2 ²(t )  ⇔ . α (t ) = e + f β 2 (t )  .  β1 (t ) = 0 (S1)  .  β 2 (t ) = a + b β 2 (t ) + c β 2 ²(t )  avec a = −(λ + 0.5) b = −(κ + λv + σρ ) c = −0.5σ ² e = −µ f = −κθ Les expressions de α et β sont donnés dans l’annexe 12-C. 115
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique ii. Deuxième modèle (Deng, 1991) Nous présentons ici une version simplifié d’un des modèles développés par Deng[27], le modèle originel possédant un terme additif de sauts. Ici le logarithme des prix est , contrairement au modèle précédent, gouvernée par une dynamique du type « retour à la moyenne ». Concrètement la formulation « risque neutre » du modèle que nous souhaitons étudier est donné par le système différentiel suivant (ref Deng[27]): X t = log( St ) dX t = κ 1 (θ1 − X t )dt + vt dWXP,t (1) dvt = κ 2 (θ 2 − vt )dt + σ vt dWvPt , (2) Nous choisissons une formulation plus générale en introduisant des coefficients de sensibilité : X t = lot ( St ) dX t = κ 1 (θ1 − µ1 X t )dt + vt dWXP,t (1)* dvt = κ 2 (θ 2 − µ 2 vt ) dt + σ vt dWvPt , (2)* Les deux dernières équations peuvent encore s’écrire la forme regroupée d’une équation à deux dimensions :  X t   κ 1θ1   −κ 1µ1 0   X t   vt 0  d   =  +     dt +   σρ v  dW Q  vt   κ 2θ 2   0 −κ 2 µ 2   vt    t σ vt 1 − ρ ²   Ainsi le modèle précédent peut être vu comme un cas particulier de la famille de modèle que nous venons de définir (i.e. µ1 =0). 116
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique En suivant l’approche de Deng[27], considérons la transformation : ϕ (u, X t ,ν t , t , T ) = E RN [e− r (T −t ) exp(u1 X t + u2ν t , ) | ℑt ] Cette dernière peut s’exprimer sous la forme : ϕ (u , X t ,ν t , t , T ) = exp(α (u , t ) + β1 (t , u ) X t + β 2 (t , u )vt ) en utilisant les résultats sur les modèles AJD, les paramètres satisfont au système différentiels suivant (nous ne donnons pas le détail des étapes intermédiaires): α ' = − r − κ 1θ1 β1 (t ) − κ 2θ 2 β 2 (t )   β1 ' = κ 1µ1 β1 (t )  β ' = κ µ β (t ) − 0.5 β (t )( β (t ) + σρβ (t )) + β (t )(σρβ (t ) + σ ² β (t ))  2 2 2 2 ( 1 1 2 2 1 2 ) A cet étape, Deng met en évidence le fait qu’une solution analytique est difficilement calculable ce qui montre le caractère complexe de ce type de modèle et donc ses limites calculatoires. La solution adoptée par Deng est l’approximation et la simulation numérique. 117
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique b. Deuxième approche et combinaisons La deuxième approche possible pour définir un processus à volatilité stochastique consiste à définir un changement de temps stochastique comme suggéré par Car et al[16]. On peut en effet remarquer que si W désigne un mouvement Brownien standard, alors pour un incrément de temps δ t on a la propriété classique : ∆Wt = Wt +δ t − Wt ~ t + δ t − t N (0,1) = δ t N (0,1) Ainsi, de part la représentation en terme de mouvement brownien subordonnée comme évoquée dans la partie précédente sur les processus de Levy, ces derniers sont des candidats naturels pour définir des modèles à volatilité stochastique :soit X un processus de Levy, alors X à la représentation X t = Wht où h est un « processus de temps » croissant (« sans retour vers le passé »), l’idée est alors de définir une famille de modèles à volatilité stochastique par : dSt = g (t , St )dt + σ dX t X t = Wht ht : processus stochastique croisssant positif Plus généralement, à partir du processus de temps Y : t Yt = ∫ ys ds 0 dys = K (m − ys )ds + λ ys dWs Car et al[] introduisent une classe de processus de Levy à volatilité stochastique (SVLP) en subordonnant le processus Y défini ci-dessus à tout processus de Levy X , i.e. Z t = X Yt . 118
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique A titre d’exemple, les processus NIG (Normal Inverse Gaussian) introduits initialement Barndorff-Nielsen[2] sont définis en prenant pour X un mouvement Brownien arithmétique et Y un processus Inverse Gaussien (voir par exempleTankov [73]) : dX = µ dYt + σ dWYt En suivant l’exemple donné dans Tankov[73], on peut supposer alors que le paramètre σ qui intervient ci-dessus est aussi stochastique, défini à partir d’une dynamique du type Orstein-Uhlenbeck à distribution gamma stationnaire, il est alors possible de trouver une expression analytique de la fonction caractéristique de Log(X) et donc de caractériser ce processus, pour plus de détail voir Tankov[73]. 2. Modèles discrets Dans ce qui précède, nous avons présenté le cas des modèles à volatilité stochastique dans un cadre continu. Force est de constater que les versions discrète de tels modèles sont utilisée dans le développement assujettis aux prix spot de l’électricité. c. Les modèles ARCH et GARCH Dans un premier temps, supposons que nous voulions étudier le processus de prix défini de manière additive, par un terme d’évolution à court terme et un terme d’évolution à long terme. Soit St = f (t ) + X t + Yt 119
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Le processus X représente ici les variations à long terme des prix spot de l’électricité, et le terme f(t) + Xt est donné par : dX t = K (α − X t )dt + σ X dWt X et f (t ) = a.t + b1 + b2 .1Mardi + b3 .1Mercredi + b4 .1Jeudi + b5 .1Vendredi + b6 .1Samedi + b7 .1Dimanche Une régression (cf Annexe 14) sur ce terme en utilisant les données de prix fournies par Powernext permet d’obtenir des informations complémentaires sur le terme d’erreur qui peut s’interpréter comme des variations à court terme (processus Y). En effet, d’une part le test d’homoscédasticité de Breusch-Pagan (cf Annexe 14) est rejeté ce qui implique une variance non constante pour Y. Les processus à variance non constante sont largement étudiés depuis plusieurs années, en particulier une classe de base est celle des modèles ARCH. Les processus ARCH(q) introduits par Engle en 1982, suivent la formulation suivante : rt ~ Arch( q ) i.e.: ∆rt = mt + ht −1 .et et ~ N (0,1) ε t = ht −1 .et q ht = γ + ∑ α iε t −i ² i =1 120
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Le terme mt désigne ici la moyenne conditionnelle, qui peut prendre une forme du type « mean reversion », i.e. : mt = a + c.mt −1 Ici on remarque que le facteur de volatilité conditionnelle h prend en compte les q valeurs les plus récente du processus. Cette classe a ensuite été étendue par Bollerslev en 1987 qui dans ses travaux défini la famille des processus GARCH(p,q) (ARCH(q) Généralisés), la différence se situant dans la définition du facteur de volatilité conditionnelle h qui prend la forme suivante : q p ht = γ + ∑ α iε t −i ² + ∑ β i ht −i i =1 i =1 Ici la présence des terme de retard ht-i implique alors que ht est défini à partir de toutes les valeurs du processus depuis l’état initial, et les processus GARCH peuvent être ainsi vu comme des cas limite des processus ARCH(q) quand q tend vers l’infini. D’autre part, le test LM (cf Annexe 14) sur l’erreur de régression pour détecter la présence d’un processus ARCH(p) est : rejeté pour 1<p<13 accepté pour p>12 Compte tenu des remarques précédentes, dans le cas présent il serait judicieux de s’orienter vers une modélisation du type GARCH de l’erreur. 121
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique d. Quelques modèles Une application intuitive des processus GARCH consiste dans l’approximation discrète d’un modèle continu à volatilité stochastique. Ainsi Hafner[38] modélise les prix spot de l’électricité à partir d’une dynamique du type « retour à la moyenne » à volatilité stochastique : dlog(St ) = κ ( µ t − log( St )) dt + σ t dWt où le terme de volatilité est défini par : dσ t ² = (ωt − θσ t ² ) dt + δσ t ² dZ t Les approximations discrètes sont alors données dans un choix particulier pour les paramètres de ce modèle où des composantes saisonnières sont introduites:  2π   2π  Log ( St ) = c + β1 cos  t  + β 2 cos  t  + φ Log ( St −1 ) + ε t  P   P   2π   2π  σ ² t = ω + γ 1 cos  t  + γ 2 cos  t  + αε ²t −1  P   P  Dans cette formulation, on constate que la version « discrète » d’un processus de « retour à la moyenne » donne un AR(1), tout l’art de la modélisation ARCH/GARCH consiste à effectuer un « matching » particulier aux données et de définir ensuite une structure de « variance non constante » pour le terme d’erreur résultant de celui-ci. 122
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Dans cet ordre idée, Bystrom[15] incorpore le caractère saisonnier des prix dans une processus « AR(168) » pour le processus des log-return horaires : rt = a0 + a1rt −1 + a2 rt − 24 + a3rt −168 + σ tηt σ ² t = φ0 + φ1ε ² t −1 + φ2σ ² t −1 les termes a2 et a3 sont représentatifs des saisonnalité horaire (24h) et hebdomadaire (168h), l’incertitude η dans le modèle de Bystrom[15] suit une loi N(0,1) ou une t-distribution de Student de moyenne nulle et variance unitaire à k degré de liberté. Comme nous l’avons vu dans pour les modèles continus, il n’est pas trivial d’obtenir une expression analytique pour les prix Forward / Future. Dans la classe de modèles définis par Shawky-Marathe –Barrett[], et Worthington- Higgs[], le prix spot est défini directement à partir du prix Future à maturité et le terme d’erreur est supposé à variance non constante : Shawky-Marathe –Barrett [68] Worthington-Higgs[78] rt = α1 + α 2 Ft + 2 + et p q σ t ² = ϖ + ∑ β j et − j ² + ∑ γ jσ t − j ² j =1 j =1 r S = Log ( Spot ) r = Log ( Spot ) r F = Log ( Future) F = Log ( Future 2 mois ) Ces deux modèles sont assez semblables et ont été testé sur les marchés Australien, et nordiques. 123
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Partie 9 : lles modèlles hybriides es modè es hybr des Dans cette partie nous présentons un approche complémentaires aux modèles précédent. Dans notre contexte, l’idée est d’introduire des facteurs physiques ou exogènes dans un modèle typiquement financier. Dans un premier temps nous présentons les modèles à changement de régimes, nous donnons en particulier deux exemples de modèles suivant cette approche : le modèle de De Jong et Huissman [44] définissant la dynamique à partir d’un régime stable et d’un régime instable le modèle de Elliott, Sick et Stein [32] dans lequel le prix est caractérisé par la capacité de production d’électricité disponible, cette dernière étant modélisée à partir d’une chaîne de Markov définissant différents niveaux de production. Nous présentons ensuite les modèles GARCH à changement de régime dont la définition rigoureuse n’est pas intuitive. Nous terminons par des modèles alternatifs construits sur des facteur intuitifs (ex : offre / demande) ou exogènes (ex : température) ayant la possibilité d’être observés. 124
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique 1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov D’une manière pratique, les modèles à changement de régimes permettent de diversifier le comportement d’une série sur différents intervalle de temps. En finance, les travaux conduisent rapidement à la théorie des modèles de marchés à chaîne de Markov, des détails et références plus explicites sont données dans Ragnar[59]. La formulation basique de ces modèles suit la spécification suivante (Hamilton [39] : Ln( St ) = µ rt + ε t ε t ~ N (0, σ r ) t Ici, rt représente une variable modélisant l’état du régime au temps t. Dans cette formulation simplifiée, pour chaque régime donné, le prix est caractérisé par un niveau et une variabilité spécifique. Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples de modèles utilisant des chaînes de Markov faisant apparaître des pics de prix. a. Cas d’un modèle à deux régimes Un premier exemple de modèle à changement de régime est celui étudié par De Jong et Huissman [44], qui considèrent deux régimes différents : un stable et un instable. Le prix de l’électricité dans le régime stable, est caractérisé par un comportement du type « retour à la moyenne », c’est à dire d’oscillation autour d’un niveau « normal » d’équilibre. 125
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La formulation de ce régime est donnée par : Log ( St ) = Log ( St −1 ) + α ( µ − Log ( St −1 )) + ε t (1) avec ε ~ N (0, σ 1 ) Le prix de l’électricité dans le régime instable est caractérisé par une distribution log- normale : Log ( St ) = µ 2 + ε 2,t (2) avec ε 2 ~ N (0, σ 2 ) A tout instant t le modèle est caractérisé par l’équation (1) ou (2). Pour définir le changement de régimes, les auteurs utilisent une chaîne de Markov c(t), dont la matrice de transition contient les probabilité de passer dans un état ou dans l’autre. On a : c(t) = 0 dans le régime stable = 1 dans le régime instable Le modèle général est donc donné par : St = [1-c(t)]*exp(Ln( St −1 ) + α (µ − Ln(St −1 )) + ε t ) + c(t)*exp( µ 2 + ε 2,t ) Comme on a définit seulement deux régimes, cette matrice est une matrice 2x2 : p = probabilité de rester dans l’état stable défini par  p 1− p  M=   l’équation (1) 1 − q q  1-p = probabilité de passer de stable à instable q = probabilité de rester dans l’état instable défini par l’équation (2) 1-q = probabilité de passer de instable à stable 126
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Exemple de Simulation On considère la matrice de transition suivante :  0.95 0.05  M =    0.99 0.01  Ici le passage du régime stable au régime instable est un événement rare (probabilité de 0.05), par contre une fois dans cet état le prix va revenir très vite dans le régime stable (probabilité de 0.99). Ce comportement est effectivement présent dans au niveau du prix spot de l’électricité : on peut remarquer qu’un pic de prix est toujours accompagné d’un retour rapide au niveau d’équilibre normal ce qui peut par exemple s’expliquer par la remise en fonction d’un générateur tombé en panne. Exemple de simulation : α =1 µ =0.5 σ 1 = 0.12 µ 2 = log(10) σ 2 = 0.1 Dans cette simulation, la courbe du haut représente l’évolution du prix dans un régime instable, celle du bas (rouge) représente l’évolution dans le régime stable Ce modèle peut être étendu (Huissman et Mahieu [43]) en introduisant un état transitoire entre l’état instable et l’état stable. 127
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique b. Cas d’un modèle à facteur de production Une autre approche intéressante de modélisation utilisant les chaînes de Markov est donnée par Elliott, Sick et Stein [32]. Ils proposent en effet un modèles introduisant le nombre de générateurs électriques fonctionnant à l’instant t, ce nombre étant variable dans le temps, il est modélisé par une chaîne de Markov. La construction du modèle est la suivante : Soit Z = { Zt / t ≥ 0 } représentant le nombre de générateurs actifs à l’instant t, ici Zt prend ses valeurs dans l’ensemble {1, …, N-1}, et évolue en tant que chaîne de Markov homogène. Sans perte de généralité, on peut considérer plutôt la chaîne de Markov Z = {Zt/ t ≥ 0 }dont l’espace d’état est l’ensemble des vecteurs unitaires {e1, e2, …, en} , ei = (0, ..., 1, ... ,0) de IRN Soit K le vecteur (0,1,2,…, N-1) de IRN, alors Z est le produit scalaire : Z t = <K,Z t > On suppose d’autre part que le logarithme du prix spot « dé-saisonné » Xt suit un processus de diffusion du type « retour à la moyenne » i.e. : dX t = −α ( X t − µ )dt + σ dWt avec dWt ~ N (0,1) Ainsi le niveau d’équilibre à long terme est µ , la force de rappel est α et la demie-vie de la déviation du niveau d’équilibre est log(2/ α ). 128
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On suppose enfin que pour k générateurs, le prix spot est pondéré par un facteur ak, soit a = (a1, …, ak) dans IRN, le modèle du prix spot est donné par : St = exp( X t ). < a, Z t > Ainsi, le produit scalaire permet différents niveaux de prix suivant le nombre de générateurs électriques actifs. Ce modèle peut encore être amélioré en rajoutant multiplicativement une composante annuelle ft et hebdomadaire gt. St = f (t ).g (t ).exp( X t ). < a, Z t > Exemple de simulation : On considère que les générateurs sont repartis par tranche de 25%, on suppose que l’on peut les représenter sur les courbes de l’offre et la demande. Soit la matrice de transition suivante : 0-25%  0.005 0.2 0.8 0.005    0.005 0.2 0.8 0.005  M=  25-50%  0.005 0.2 0.8 0.005    0.005   0.2 0.8 0.005   50-75% 75-100% offre/demande Dans cet exemple, les probabilité de rester dans un état de faible production sont très faibles. La situation usuelle est celle où 50-75% sont actifs. On pose a=(5, 0.4 , 0.09 , 0.001) 129
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La simulation de la chaîne de Markov fait apparaître ici une prépondérance de l’état 50-75% par rapport aux autres états, les deux états limites ne sont atteint que très rarement. Chaîne de Markov Modèle complet c. Les modèles GRS (Garch Regime Switching) Nous présentons ici brièvement les éléments théorique dans le cas particulier des modèles discrets GRS. Prenons la définition d’un processus r~GARCH(1,1) : ∆rt = mt + ht −1 .et et ~ N (0,1) ε t = ht −1 .et (3) ht = γ + αε t −i ² + β ht −1 130
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique En s’inspirant de la définition donnée par Dueker[28b], le processus r suit un modèle 2-GRS(1,1) (i.e. : GARCH(1,1) à deux régimes), si les paramètres α , β et γ sont variables et dépendent d’une variable d’état binaire S, i.e. : ∆rt = mt + ht −1 .et et ~ N (0,1) ε t = ht −1 .et (4) ht = γ ( St ) + α ( St )ε t −i ² + β ( St ) ht −1 avec : 0 avec une probabilité p St =  (5) 1 avec une probabilité q Si de plus mt est sous la forme d’un retour à la moyenne i.e. mt = a + c.rt −1 , on pourra supposer que les paramètres a et c sont aussi dépendant de la variable d’état S, i.e. : mt = a ( St ) + c( St ).rt −1 (6) Un aspect intéressant de cette famille de modèle est le suivant : supposons qu’à un instant t un changement de régime arrive donnant lieu à un niveau de volatilité élevé, compte tenu du fait que la valeur à l’instant t+1 du paramètre de volatilité h dépend de l’ensemble de ses valeurs précédentes, on est alors en droit d’attendre une certaine persistance de ce saut et donc une période agitée, même si le processus retourne à l’instant t+1 dans un niveau de faible volatilité. La spécification donné par (7) n’est toute fois pas encore satisfaisante. Suivant les remarques de Hamilton et Susmel[39b], celle-ci apparaît pratiquement infaisable dans la procédure d’estimation du modèle. Cela est dû en particulier à la structure de la variance conditionnelle ht, qui dépend de l’ensemble des trajectoires de la variable 131
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique d’état S, d’autant plus que le nombre de régimes possibles croit exponentiellement avec le temps t. Pour répondre à se problème tout en gardant une structure GARCH, Gray[1996], propose en quelque sorte de substituer cette dépendance de trajectoire au profit des probabilités de changement de régime en segmentant la variance conditionnelle à chaque état de régime. En effet, si la normalité conditionnelle est supposée entre chaque régime, alors au temps t, on peut calculer la variance conditionnelle de changement : ht = E[∆r ² | I t −1 ] − E[∆r | I t −1 ]² (7) = p.(m0 ² + h0,t ) + q.(m1 ² + h1,t ) − [ p.m0 + q.m1 ]² Et hi ,t = γ i + α i .ε t −i ² + β i .hi ,t −1 pour i=0,1 (8) Le modèle que nous retenons est donc donné par les équations (7) et (8). Pour estimer les paramètres d’un tel modèle, une technique courante consiste à maximiser la fonction de vraisemblance (Likelihood), dont l’expression est données par (cf Annexe 13) : N 1  −(∆rt − m1,t )²    F = ∏ p1,t . exp   t =1 2π h1,t   2h1,t   1  −(∆rt − m2,t )²    + (1 − p1,t ). exp   2π h2,t   2h2,t   132
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Soit en prenant le log : L f = Log ( F )  1  −(∆rt − m1,t )²      p1,t . exp  )  2  2π h1,t   2h1,t    = ∑ Log   i =1  1  −(∆rt − m2,t )²      +(1 − p1,t ). 2π h exp     2,t   2h2,t   d. Autres exemples Le tableau suivant présente trois autres exemples de modèles à changement de régime, les deux premiers concernent les prix spot de l’ électricité et le troisième le prix de la bande passante sur les marchés des télé-commodités. Modèle mixte (Deng [27])  X t   K1 (t ) (θ1 (t ) − X t )   σ 1 (t ) 0  d =  dt +   dWt + λ (U t )dN t  ρ (t )σ (t ) σ (t ) 1 − ρ ²(t )   Yt   K 2 (t ) (θ 2 (t ) − Yt )     2 2  Ce modèle introduit tout d’abord une corrélation entre les prix au comptant de l’électricité (X) et le processus du coût de transformation du pétrole en électricité (Y). Le processus bidimensionnel de saut qui intervient dans ce modèle, est caractérisé ici par des intensité définies par une chaîne de Markov U. Deng[27], indique de plus qu’une solution analytique de ce système existe sous certaines conditions de régularités. 133
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Modèle « Switching Ornstein-Uhlenbeck », Ethier & Mount [33c] Ce modèle est spécifiée par une formulation discrète : St = exp( X t ) ( ) X t = µU t + φ X t −1 − µUt −1 + εU t Dans cette formulation, le logarithme des prix (X) est déterminé par un niveau moyen µ défini par une chaîne de Markov cachée U spécifique à 2 régimes. La variance de la composante d’incertitude ε dépend aussi de cette chaîne de Markov (i.e. ε t ~ N (0, σ U t ) . Modèle de Kenyon & Cheliotis [46b] X = log( S ) dX = η ( X + GU − X )dt + σ dW + GdU + UdV dX = −vdt + ρ dZ U = chaîne de Markov à deux états (0 et 1) G représente une perturbation du niveau d’équilibre , il est défini à partir de la chaîne de Markov : Gamma( gU ,αU ) si dU=1 G~ G sinon V est un processus de poisson de paramètre λV , les sauts à la hausse et à la baisse engendré par ce processus sont répartis équi-probablement, leur amplitude H est déterminée à partir de leur direction : Gamma( gUP ,αUP ) si saut à la hausse H ~ −Gamma( g DOWN ,α DOWN ) sinon 134
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique e. Modèles à changement de régime Vs Modèles de diffusion à sauts En théorie, les processus de diffusion à sauts sont généralement utilisés en finance pour introduire des événements rares, des valeurs extrêmes. De ce fait, il semble assez paradoxal d’utiliser ce type de modèle pour l’électricité si la présence des sauts est une caractéristique commune des prix spot ce qui conduit au problème de l’origine et la prédictibilité de ces pics de prix évoqué par Van Vactor [74]. D’un autre coté, l’utilisation des chaînes de Markov, comme dans le premier exemple que nous avons donné, permet d’inclure intrinsèquement des brusques variations. De ce fait le modèle reflète plus la réalité puisque en quelque sorte ces variations ne sont plus des événements rares mais font partie intégrale du processus. Il est aussi naturel de penser que dans une période de pics de prix le processus à des propriétés différentes d’où une séparation des dynamiques. Reste alors à tester l’existence d’une telle séparation et donc d’une chaîne de Markov cachée. D’un point de vue empirique, on constate que les pics de prix dans les données relevées sont de manière générale toujours accompagné d’un retour rapide au niveau stable. Il en découle que l’identification des paramètres d’un modèle du type O.U.+sauts pose problème, l’identification du paramètre de retour à la moyenne (force de rappel) ne va pas représenter au mieux la dynamique du processus. 2. Autres approches a. Changement de régime et fonction à seuil Une manière alternative d’introduire un changement de régime, est d’utiliser une fonction à seuil et une variable auxiliaire. 135
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique L’idée générale est la suivante : reprenons la formulation due à Hamilton que nous avions donnée en supposant qu’un seul paramètre est affecté par le changement de régime (ex : le paramètre de localisation ou de moyenne µ) : Ln( St ) = µ rt + ε t ε t ~ N (0, σ ) Précédemment, nous avions défini la variable discrète de changement de régime rt à partir d’une chaîne de Markov. Considérons maintenant une variable auxiliaire Et observable ou non observable, corrélée ou non corrélée à S, l’idée est alors d’exprimer rt à partir de cette variable en introduisant une fonction à seuil, i.e. rt = f ( Et ) . Exemple de fonction à seuil: Considérons le choix de fonction suivant : 0 si x ∈ ]−0.5, 4[ f ( x) =  1 sinon si l’on pose rt = f ( Et ) , l’appartenance à un régime particulier va être déterminé si E sort ou ne sort pas du tunnel défini par la fonction f Régime 1 Régime 0 Régime 1 136
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Exemple de modèle de prix Une propriété forte des modèles à changement de régime et des modèles à sauts vus dans les parties antérieures, concerne la transition de régimes ou le retour vers un niveau stable (cas des modèles du type Ornstein-Uhlenbeck + sauts) qui sont réalisés brutalement. Empiriquement, on peut observer que dans les séries de prix spot d’électricité, un pic de prix s’accompagne successivement d’un retour rapide vers un niveau stable ainsi que d’une période de variabilité que Roncoroni[64] associe à un balancement ou réajustement des courbes d’offre et de demande. Afin de modéliser cette dernière particularité de la dynamique des prix, Roncoroni[64] propose une famille de modèles combinant les processus à sauts, les changement de régimes et une fonction à seuil. Cette famille est définie par l’équation différentielle stochastique suivante pour le prix : ∂m dSt = dt + K (m(t ) − St )dt + σ dWt + h( St )dJ t (RC) ∂t La composante continue de ce modèle est du type « retour à la moyenne », le coefficient K représente la force de rappel, la fonction déterministe m(t) correspond au niveau d’équilibre à long terme (pouvant présenter des périodicités) autour duquel oscille le processus de prix. La composante discontinue de ce modèle est composée d’un processus à saut dont les sauts sont caractérisés par : une amplitude une fréquence une direction 137
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Pour les détails concernant les deux premières caractéristiques, se référer à Roncoroni[64] ; la troisième caractéristiques est représenté par la fonction h qui est une fonction du prix S, elle est définie de la manière suivante : 1 si St < Tt h( St ) =   −1 sinon Ici T est défini par l’auteur comme une translation du niveau d’équilibre à long terme m: Tt = m(t ) + ∆ avec ∆ > 0 Le processus T représente ici une barrière de séparation de régime dans le sens où celui-ci induit un changement de comportement dans la dynamique du processus de prix quand cette barrière est franchie. Cette construction entraîne des saut vers le bas dés que le processus est dans un régime de prix élevé, inversement tans que ce niveau n’est pas atteint, les saut pouvant survenir vont être dirigé vers le haut. D’autres justifications plus orientées vers les propriétés statistiques des prix spot de l’électricité sont données dans Roncoroni[64]. b. Le modèle BSM (Bid-based Stochastic Model) Partant de la constatation que les prix spot de l’électricité sont obtenus comme l’intersection des courbes agrégées de l’offre et de la demande, Skanje, Gubina & Ilic[69] construisent un processus de prix (horaire et quotidien) défini directement à partir de ces deux facteurs : St = e aLt +bt L : processus d’offre, b : processus de demande 138
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique L’utilisation de la fonction exponentielle dans cette formulation, est suggérée suite à une approximation réalisée par Skanje, Gubina & Ilic[69] sur les courbes agrégées de demande pour le marché californien avant la crise. Les processus L et b sont supposés stochastiques et la modélisation qui est proposée repose essentiellement sur leurs principales caractéristiques telles que : la saisonnalité l’effet de « retour à la moyenne » la croissance stochastique Intégré au processus d’offre, un facteur supplémentaire est modélisé : celui de la mise en / hors service des générateur électriques spécifié comme un processus de Bernoulli pouvant introduire des variation brusques. Au final le modèle proposé peut sembler complexe, sa formulation (journalière) est donnée dans le tableau suivant : St = e aLt +bt L’ Offre : L Lt = µ m + Wt L vm L L L vm : vecteur de coefficient mensuels permettant Wt L = etL + δ tL d’amplifier ou de réduire la variabilité du L L L L L L e = e −α e + σ z t t −1 t −1 m t −1 processus L L L Lδ Lδ δ =δ t −1 + K +σ z t −1 L t m µ m : vecteur mensuel correspondant au niveau moyen de l’offre mensuelle Wt L : processus stochastique représentant l’incertitude sur l’offre, suite à une analyse en composante principale, Skanje, Gubina & Ilic construisent Wt L à partir de deux facteurs 139
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique etL et δ tL . etL représente l’évolution à court terme de cette incertitude qui est supposée du type « retour à la moyenne » δ tL représente l’évolution à long terme, qui prend la forme, selon la terminologie de Skanje, Gubina & Ilic d’une croissance stochastique. Il est à remarquer la variabilité / volatilité des ces deux facteurs est définie à partir de deux vecteurs mensuels σ m et σ mδ L L La demande : b bt = µ m + Wt b vm + ∑ π ti Ψ im La description des facteurs intervenant dans ce b b i b b b modèle est similaire à la précédente mais vue du Wt = e + δ t t coté de l’offre. La différence vient dans l’ajout du etb = etb−1 − α b etb−1 + σ m ztb−1 b δ tb = δ tb−1 + K b + σ mδ ztb−1 b δ terme discontinu ∑π Ψ i i t i m Le modèle que nous venons de présenter, de part son nombre de facteurs important peut sembler complexe, voire exhaustif. En contrepartie, ce nombre de facteurs n’est pas un obstacle dans l’étape de « calibration » moyennant que les processus d’offre et de demande L et b soient observable ce qui est le cas dans le cadre de l’étude menée par Skanje, Gubina & Ilic . c. Le modèle de Pirrong - Jermakyan Dans le même ordre d’idée que le modèle précédent, Pirrong et Jermakyan [57] construisent un processus de prix au comptant à partir des deux variables d’états que sont : l’offre le prix Forward du carburant (fuel) 140
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Dans l’approche de Pirrong et Jermakyan [57], le processus de demande est vu comme un processus contrôlé en ce sens qu’il est soumis aux contraintes de capacités du parc de production et du réseau de transmission de l’électricité. Si l’on désigne ce processus par q, et X la capacité physique de production et de transmission d’électricité, alors : qt < X t Comme le font remarquer Pirrong et Jermakyan [57] si le processus de demande dépasse cette capacité, alors le système peut être mis en échec impliquant alors des coûts élevés pour les usagers de l’électricité : tant au niveau de la production, de la transmission et par voie de conséquence de la consommation. Compte tenu de ces remarques, mathématiquement, Pirrong et Jermakyan [57] construisent ce processus de demande en suivant la formulation suivante : dqt = α q ( qt , t ) qt dt + σ q qt dut − dLu t La capacité physique X (production + transmission) est introduite par Pirrong et Jermakyan [57] au travers du processus discontinu L : L est croissant ⇔ qt > X t dL = 0 sinon Dans ce modèle, Pirrong et Jermakyan [57] expriment le terme de dérive α afin d’impliquer un effet de « retour à la moyenne » : α q (qt , t ) = µ (t ) + k log(qt ) − θ q (t )    Comme dans les modèles présentés auparavant, les auteurs suggèrent d’inclure des composantes calendaires dans le niveau d’équilibre à long terme et dans le terme de volatilité σ q . 141
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Comme nous l’avions évoqué plus haut, la deuxième variable d’état utilisée par les auteurs pour déterminer le prix spot de l’électricité, est celle du prix « Forward marginal » du carburant (marginal fuel price). Dans son cadre d’étude (Marché Nord- Américain, réseau PJM), cette variable d’état est justifiée par: la dépendance régionale des prix du gaz naturel et / ou du charbon avec celui du carburant marginal la production régionale de l’électricité à partir du gaz et / ou du charbon La dynamique de cette variable d’état est donnée selon Pirrong et Jermakyan par l’équation différentielle stochastique suivant, où les paramètres α et σ ont les interprétations classiques de dérive et volatilité : dft / ft = α f ( ft , t )dt + σ t ( ft , t )dZt ici f représente le prix Forward de livraison à une date donnée T du carburant pour un contrat de livraison de carburant établit à la date t. A partir de cela, les auteursdéfini le processus de prix au comptant de l’électricité comme fonction de ces deux variables d’état ce qui - en utilisant la formule d’Ito - permet d’obtenir une expression de l’équation différentielle régissant la dynamique de ce processus. Pour plus de détail concernant la forme de cette équation , les propriétés et l’approximation de la-dite fonction voir Pirrong et Jermakyan [57] 142
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique d. Le modèle de Barlow[] A l’instar du modèle BSM, Barlow[1] tente de reproduire la dynamique des prix au comptant de l’électricité à partir des variables d’états que sont l’offre et la demande. Suivant l’idée directrice que le processus est déterminé comme l’intersection des courbes agrégées, en désignant par : ut(x) l’offre disponible à l’instant t si le prix est x$ dt(x) la demande à l’instant t si le prix est x$ Alors le processus de prix à l’instant t est déterminé par l’égalité : ut ( S t ) = d t ( S t ) Ici les restrictions faites par Barlow sont choix suivants : le processus de demande est déterminé par un processus stochastique d t ( St ) = Dt régit par une dynamique du type « retour à la moyenne » Dt = a1 − σ 1Y avec dY = λYdt + dWt le processus d’offre est exprimé comme une fonction déterministe du processus de prix i.e. ut ( St ) = g ( St ) sous ces conditions, le processus de prix s’exprime alors par : St = g −1 ( Dt ) 143
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique En remarquant d’autre part, que physiquement, le processus d’offre est limité, Barlow améliore en ce sens cette modélisation en imposant une contrainte sur cette limite physique M , ainsi :  g −1 ( Dt ) si Dt < M − ε  St =  K  si Dt ≥ M − ε Dans son étude, Barlow considère le choix suivant : tα − 1 g (t ) = gα (t ) = pour t > 0 α g 0 (t ) = log(t ) K = ε 1/ α Remarque : Ici le paramètre ε indique que l’on ne souhaite pas que la demande atteigne le niveau maximum possible. En effet, comme nous l’avions évoqué plus haut, le fait de mettre le système de Production/Distribution électrique à sa capacité maximale, peut le mettre en échec. Dans cette optique, le paramètre K représente un niveau de prix relativement élevé par rapport au niveau « normal », est constitue en quelque sorte un frein au processus de demande. Comme le fait remarquer Barlow, cette famille de modèles peut être étendue dans l’optique d’un meilleur ajustement à la réalité : o en rendant variables les paramètres définis comme constant o en rajoutant des comportements périodiques o … 144
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique e. Le modèle SMaPS Le modèle SmaPS développé par Burger, Klar, Muller et Schindlmayr[54] propose une approche supplémentaire dans la modélisation des prix au comptant de l’électricité en partant de ses fondamentaux. Les composantes utilisée pour ce modèle sont les suivantes : un processus assujetti à la réserve L un facteur à court terme X un facteur à long terme Y le logarithme de la courbe de réserve f(t,.) qui est supposée déterministe la disponibilité en moyenne des générateurs électriques supposée déterministe L’équation fondamentale du modèle SMaPS est en fait une variante du modèle à deux facteurs de Lucia & Schwartz[52] dans lequel est ajoutée une composante « physique » f (t , Lt / vt ) , celle équation est définie par : St = exp ( f (t , Lt / vt ) + X t + Yt ) Remarques : la fonction f décrit la relation non linéaire entre les prix au comptant et les réserves, en toute généralité celle-ci n’est pas déterministe et dépend de plusieurs sources d’incertitudes telles que le prix du pétrole, du gaz naturel, la situation économique … Le choix de fonction utilisée par les auteurs provient d’une estimation entre les prix horaires et les données de réserve. 145
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Le rapport Lt / vt est interprété par les auteurs comme la réserve relative, soit encore la répartition moyenne des réserves par générateur Enfin, le terme f (t , Lt / vt ) représente la composante du prix expliquée par les données de réserves et les techniques de production d’électricité. Pour les processus d’évolution (X) à court terme, et de réserve (L), des formulation discrètes du type SARIMA sont utilisées. Pour le terme d’évolution à long terme Y, une formulation continue du type mouvement brownien géométrique, permet aux auteurs après quelques étapes intermédiaire d’estimer ce facteur à l’aide des données sur les Futures. f. Introduction de données climatiques Comme alternative à leur modèle, Pirrong et Jermakyan font remarquer que le processus de demande en électricité peut être vu comme dépendant de données climatiques dont essentiellement la température. Dans cet ordre d’idée, Hjalmarsson[42b] propose un modèle incluant ce facteur exogène, la formulation générale est la suivante :  St   µ1 ( St , Tt )   σ ( S , T ) σ 12 ( St , Tt )  d =  dt +  11 t t dB  Tt   µ 2 (Tt )   0 σ 22 ( St , Tt )  t  146
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Ici , le facteur associé à la température T se retrouve dans le terme de dérive du processus de prix ainsi que dans la volatilité de celui-ci. Dans cette formulation certaines remarques sont à faire : La volatilité de la température est indépendante des prix de l’électricité La volatilité du processus de prix est séparées en deux composantes distinctes, le premier terme peut refléter un comportement « stable ». A l’opposé le deuxième terme peut s’apparenter à une volatilité amplifiée par un comportement extrême de la température, et par voie de conséquence entraîner des brusques variation de prix. Dans cette famille de modèle, l’auteur ne donne pas explicitement d’expression analytique pour les termes de dérive, et les fonction de volatilité, une estimation empirique est par contre effectuée. Il est à noter cependant que les résultats provenant de cette estimation, suggèrent une relation convexe entre la température et la fonction définissant le deuxième terme de volatilité g. La relation prix Future / Spot dans le cadre d’un marché hydroélectrique Nous donnons ici une idée de modélisation qui ressort des travaux de Gjolberg & Johnsen [36] dans le cadre d’un marché hydroélectricité. Dans ce cas particulier de marché, l ‘électricité peut être considéré comme stockable en tant que « volume d’eau » dans les réservoir. Ainsi Gjolberg & Johnsen [36] exploitent les résultats classiques sur la parité Future / Spot (e.g. Hull, 1998) pour les marchés de commodité stockable: F (T )t ≤ St (1 + r )T + W Ici : F (T )t représente le prix Future observé au temps t d’un contrat de maturité T 147
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique le terme de droite de cette inégalité s’interprète comme le coût d’achat, transformation, stockage … de la commodité S représente le prix spot r le taux d’intérêt sans risque W la valeur future des coûts de stockage durant la vie du contrat Comme l’indique Gjolberg & Johnsen [36], en faisant la différence entre le terme de gauche et le terme de droite, on obtient le convenience yield CY, soit encore le bénéfice fourni par la possession de cette commodité. En conséquence, en incluant ce facteur supplémentaire, la parité Future / Spot est alors donnée par une égalité : F (T )t = St (1 + r )T + W − CY Le convenience Yield est directement rattaché aux capacité de stockage et à l’inventaire : si l’inventaire est à son maximum, alors celui-ci n’implique à priori pas de difficulté de livraison dans le futur proche, ainsi CY aurait tendance à être faible voire nul en contrepartie, si l’inventaire est faible, CY tend à être plus élevé que le coût de portage (« cost of carry ») Revenons maintenant à notre cas particulier de marché hydroélectrique. Nous avions évoqué la propriété que l’hydroélectricité peut être considérée comme stockable, en effet même si la construction d’un barrage présente un coût élevé, le coût marginal de la production électrique et du stockage de l’eau est minimal aussi longtemps que la capacité du réservoir n’est pas entièrement sollicitée. Ainsi, le coût marginal de stockage par unité de production (i.e. 1 unité = quantité d’eau pour produire 1MW/h) peut présenter des sauts. 148
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Suivant ces remarques, Gjolberg & Johnsen [36] donnent une parité plus précise :  St (1 + r )T − CY  si le niveau d'eau dans les barrages est faible F (T )t =   St (1 + r ) + P.Et [ ST ] T  sinon Dans cette formulation, le coefficient P représente la probabilité d’être dans une situation de niveau d’eau maximal avant la date T. En inversant cette dernière relation on obtient un modèle pour le processus de prix régit par deux dynamiques :  1  (1 + r )T [ F (T )t + CY ] si le niveau d'eau dans les barrages est faible  St =   1  F (T ) − P.E [ S ] sinon  (1 + r )T   t t T  le processus de prix que l’on peut définir à partir des travaux de sur la parité Spot- Future de Gjolberg & Johnsen [36] est défini à partir de trois facteurs : Le prix d’un contrat de livraison à maturité T Le convenience yield Le prix Future à maturité T Le problème auquel il faudra alors faire face est double : cette formulation fait en quelque sorte intervenir une « relation de récurrence » entre les prix spot et les prix anticipés le convenience yield n’est à priori pas observable 149
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 1 : Exprressiion anallyttiique dans lle Modèlle de Bllack & Annexe 1 : Exp ess on ana y que dans e Modè e de B ack & Scholles Scho es Résolution de : dX t = −b(t ) X t dt + σ (t ) X t dBt Où b et σ sont des fonctions déterministes continues de IR dans IR, en vertu du théorème de Ito, cette équation différentielle stochastique admet une solution unique X sur tout intervalle de temps [0,T] moyennant un bon choix pour les fonctions b et σ (…). Etudions tout d’abord le cas b(t) ≡ 0, l’équation dans ce cas se présente sous la forme : dX t = σ (t ) X t dBt Posons t 1 t Z t = Z 0 + ∫ σ ( s )dBs − 2 ∫0 σ ² ' s )ds 0 Appliquons la formule d’Ito au processus Z avec la fonction exponentielle, on obtient successivement : t 1 t exp( Z t ) = exp( Z 0 ) + ∫ exp( Z s )dZ s + 2 ∫0 σ ( s )² d < Z s , Z s > 0 t 1 t = exp( Z 0 ) + ∫ exp( Z s ) [−σ ²( s ) + σ ²( s )]ds + ∫ exp( Z s )σ ( s )dBs 0 2 0 t = exp( Z 0 ) + ∫ exp( Z s )σ ( s )dBs 0 On a donc pour des raisons d’unicité de solution 150
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique t t X t = exp( Z t ) = X 0 e ∫0 σ ( s ) dBs − 0.5 ∫ σ ² ' s ) ds 0 Pour déterminer la solution de l’équation de départ, appliquons la formule . d’intégration par partie au processus Y = exp(− ∫ b( s )ds ). X , on obtient 0 successivement : t t dYt = exp(− ∫ b( s )ds )dX t + X t .d ( exp(− ∫ b( s )ds )) + d < exp(− ∫ b( s )ds ), X >t 0 0 t = exp(− ∫ b( s )ds ).σ (t ) X t dBt − b(t ).exp(− ∫ b( s )ds ) X t dt + d < exp(− ∫ b( s )ds ), X >t 0 = σ (t )Yt dBt − b(t )Yt dt + 0 Autrement dit, le processus Y est solution de l’équation de départ et donc l’unique solution de cette équation s’écrit sous la forme suivante : t t X t = X 0e ∫0 ∫0 σ (s)dBs [ − b ( s ) − 0.5σ ²( s )] ds + Dans le cas particulier où b et σ sont constantes, et en posant a=-b, on obtient : X t = X 0e( a −0.5σ ²)t +σ Bt 151
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 2 : Modèlle du ttype rrettourr verrs une moyenne Annexe 2 : Modè e du ype e ou ve s une moyenne 1. Résolution de : dX t = b(t ) X t dt + σ (t )dBt Où b et σ sont des fonctions déterministes continues de IR dans IR, en vertu du théorème de Ito, cette équation différentielle stochastique admet une solution unique X sur tout intervalle de temps [0,T] moyennant un bon choix pour les fonctions b et σ (…). On considère le processus : . Y = exp( ∫ b( s )ds ). X 0 En appliquant la formule d’intégration par partie, on obtient successivement : t t dYt = exp(− ∫ b( s )ds )dX t + X t .d ( exp(− ∫ b( s )ds )) + d < exp(− ∫ b( s )ds ), X >t 0 0 t = exp(− ∫ b( s )ds ).(b(t ) X t dt + σ (t )dBt ) − b(t ).exp(− ∫ b( s )ds ) X t dt + d < exp(− ∫ b( s )ds ), X >t 0 t = b(t )Yt dt + σ (t ) exp(− ∫ b( s )ds )dBt − b(t )Yt dt + 0 0 D’où en simplifiant les calculs : t dYt = σ (t ) exp(− ∫ b( s )ds )dBt 0 En intégrant cette dernière équation et en utilisant la relation liant X et Y, on arrive facilement à l’expression de X : t s X t = e ∫0 .( X 0 + ∫ e ∫0 b ( u ) du t − b ( u ) du σ ( s )dBs ) 0 152
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Un cas particulier intéressant est celui où b(t)=b=cte et σ (t ) = σ = cte , ce qui donne l’expression simplifiée suivante : t X t = X 0ebt + σ ∫ eb (t − s ) dBs 0 2. Résolution de : dX t = κ (α − X t )dt + σ dBt On suppose ici que κ , α et σ sont des constante. Compte tenu de ce qui précède, on considère le changement de variable : Yt = α − X t , le processus Y vérifie alors l’équation : dYt = −dX = −[κ (α − X t )dt + σ dBt ] = −κ Yt dt − σ dBt L’expression de Y est donc donnée par : t Yt = Y0 e−κ t − σ ∫ e −κ ( t − s ) dBs 0 soit encore t α − X t = (α − X 0 )e −κ t − σ ∫ e−κ (t − s ) dBs 0 Ce qui donne après simplification, l’expression de X : t X t = X 0e −κ t + α (1 − e −κ t ) + σ ∫ eκ ( s −t ) dBs 0 153
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique D’où l’expression de l’espérance conditionnelle : E0 [ X T ] = α + [ X 0 − α ]e −κ T L’expression de la variance est donné par : σ² Var0 ( X T ) = (1 − e −2κ T ) 2κ 154
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 3 : Callculls auttourr du prrocessus CIIR Annexe 3 : Ca cu s au ou du p ocessus C R 1. Cas du processus réel Soit donc X le processus défini par Cox, Ingersoll et Ross, sa dynamique est donnée par l’équation différentielle stochastique suivante : dX = κ (α − X )dt + σ X dW (C.I.R.) Calcul de l’espérance conditionnelle L’expression sous forme intégrale de l’équation (C.I.R.) donne : T E0 ( X T ) = X 0 + κα T − κ ∫ E0 ( X u )du 0 Posons US= E0 ( X S ) on constate que U vérifie l’équation différentielle classique : dU = κα − κ U On en déduit facilement l’expression recherchée : E0 ( X ) = (α eκ T + X 0 − α )e −κ T 155
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Calcul de la variance conditionnelle On va tout d’abord calculer X² en appliquant la formule d’Ito : 1 d ( X . X ) = 2 XdX + .2σ ² Xdt = 2 X [κ (α − X )dt + σ X dW ] + σ ² Xdt 2 3 = X (σ ² − 2κα )dt − 2κ X ² dt + 2σ X dW 2 La forme intégrale de cette équation donne l’expression de X² : 3 X ² = X 0 ² + ∫ X (σ ² − 2κα )dt − ∫ 2κ X ² dt + ∫ 2σ X dW 2 On prend l’espérance conditionnelle : E0 ( X ²) = X 0 ² − ∫ 2κ E0 ( X s ²)ds + ∫ E0 ( X s )(σ ² − 2κα )ds En différentiant : dE0 ( X ²) = −2κ E0 ( X s ²) + (σ ² − 2κα ) E0 ( X s ) = −2κ E0 ( X s ²) + (σ ² − 2κα ) X 0 e−κ t dt On en déduit la relation : d (e2κ t E0 ( X ²)) = e 2κ t [−2κ E0 ( X s ²) + (σ ² − 2κα ) X 0e −κ t ] + 2κ e2κ t E0 ( X s ²) = (σ ² − 2κα ) X 0eκ t dt En intégrant on obtient l’expression de l’espérance conditionnelle de X² utile pour le calcul de la variance : X 0 (eκ t − 1) X (e −κ t − e −2κ t ) E0 ( X ²) = (σ ² − 2κα ) = (σ ² − 2κα ) 0 κ e2κ t κ On en déduit le calcul de la variance : X 0 (e−κ t − e −2κ t ) Var0 ( X ) = E0 ( X ²) − E0 ( X )² = (σ ² − 2κα ) − (α eκ T + X 0 − α )² e−2κ T κ 156
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 4 : Modèlle de Luciia & Schwarrttz ett prrocessus de rrettourr Annexe 4 : Modè e de Luc a & Schwa z e p ocessus de e ou vers une moyenne vers une moyenne Expression de l’EDS vérifiée par S sachant que : Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −κ X t dt + σ dZ (*) On a se ramène tout d’abord à une expression en S : St = exp( f (t )).exp( X t ) En différenciant et en utilisant la formule d’Ito on obtient alors successivement : ∂f dS = d (exp( X )).exp( f ) + exp( f ) exp( X )dt ∂t ∂f = d (exp( X )).exp( f ) + Sdt ∂t 1 ∂f = exp( f )[exp( X )dX + exp( X )d < X , X >t ] + Sdt 2 ∂t 1 ∂f = S [−κ Xdt + σ dZ ] + Sd < X , X >t + Sdt 2 ∂t D’après (*), d < X , X >t = σ ² dt , la poursuite des calculs donne : 1 ∂f dS = S [−κ Xdt + σ dZ ] + Sσ ² dt + Sdt 2 ∂t 1 ∂f = [−κ ( Log ( S ) − f )dt + σ dZ ]S + Sσ ² dt + Sdt 2 ∂t  1 ∂f σ ²  =κ  . + + f − Log ( S )  Sdt + σ SdZ  κ ∂t 2κ  Bref S vérifie l’équation : dS = κ (b − Log ( S )) Sdt + σ Sdt avec 1  σ ² ∂f  b(t ) =  + (t )  + f (t ) κ  2 ∂t  157
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 5 : Callculls auttourr du modèlle à deux ffactteurrs de Luciia & Annexe 5 : Ca cu s au ou du modè e à deux ac eu s de Luc a & Schwarttz Schwar z Le modèle que nous considérons est défini par : Log ( St ) = f (t ) + X (t ) + ε (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) (O.U.) d ε (t ) = µ dt + σ ε dZε (t ) (ABM) Les deux processus de Wiener dZε et dZ X sont supposés corrélés selon la relation : dZ X .dZ ε = ρ dt Log ( St ) suivant une distribution normale, on a la relation : E0 ( St ) = e E0 [ Log ( St )]+ 0.5Var0 [log( St )] Et Var0 [ St ] = e( E0 [ Log ( St )]+Var0 [ Log ( St )]) .(eVar0 [ Log ( St )] − 1) On sait calculer l’espérance conditionnelle de Log ( St ) dans l’univers risque neutre : E0 [ Log ( St )] = f (t ) + X 0 e −κ t + α (1 − e−κ t ) + µ*t + ε 0 Pour le calcul de la variance conditionnelle, on utilise la propriété de la variance : Var0 [ Log ( St )] = Var0 [ X t ] + Var0 [ε t ] + 2Cov0 ( X t , ε t ) Connaissant Var0 [ X t ] + Var0 [ε t ] , nous avons besoin de calculer Cov0 ( X t , ε t ) , à cet effet nous utilisons la méthode donnée par Schwartz et Smith [71]. 158
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Considérons le processus U=[X, ε ], avec un pas de temps ∆t=t/n, l’approximation discrète de ce processus donne la relation U t = c + QU t −1 + ηt Où 0  1 − κ∆t 0  c=  Q=    µ∆t   0 1 et ηt est une gaussienne bivariée de matrice de variance-covariance W  σ ² x ∆t ρσ xσ x ∆t  W =  ρσ xσ x ∆t σ ²ε ∆t   Avec ce processus, la matrice de variance-covariance Vn s’exprime facilement de manière récursive : Vn = QVn-1Q ' + W D’autre part en remarquant que V0 = 0 et en développant la récurrence on arrive à la relation : n −1 σ ² x ∆t (1 − κ∆t )2i ρσ xσ x ∆t (1 − κ∆t )i  Vn = ∑  i  i = 0  ρσ xσ x ∆t (1 − κ∆t ) σ ²ε ∆t  Le calcul des sommes à l’intérieur de la matrice donne alors :  σ ² x K1 ρσ xσ x K 2  Vn =    ρσ xσ x K 2 nσ ²ε ∆t  1 − (1 − κ∆t ) 2( n −1) 1 − (1 − κ∆t )n −1 avec K1 = ∆t et K 2 = ∆t 1 − (1 − κ∆t ) 2 1 − (1 − κ∆t ) 159
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On passe à la limite quand n tend vers l’infini : 1 − e−2κ t 1 − e −κ t K1 → et K 2 → κ κ On a donc l’expression de V et l’expression de Cov0 ( X t , ε t ) : σ X σ ε ρ (1 − e −κ t ) Cov0 ( X t , ε t ) = κ Une autre méthode pour calculer Cov0 ( X t , ε t ) consiste à utiliser le calcul d’Ito. Par définition : Cov0 ( X , ε ) = E0 ( X ε ) − E0 ( X ) E0 (ε ) On connaît les valeurs des espérances conditionnelles sachant l’état initial de X et ε : E 0 ( X ) = X 0e − Kt et E0 (ε ) = µ t Par la formule d’Ito on a l ‘expression du produit Xε : X ε = X 0ε 0 + Xd ε + ε dX + σ X σ ε ρ dt = X 0ε 0 + X ( µ dt + σ ε dWε ) + ε (−κ Xdt + σ X dWX ) + σ X σ ε ρ dt On peut ainsi déterminer l’expression de l’espérance conditionnelle sachant l’etat initial : E0 ( X ε ) = X 0ε 0 + ∫ E ( X ) µ dt − ∫ κ E ( X ε )dt + σ X σ ε ρ t En dérivant par rapport à t : dE0 ( X ε ) = E0 ( X ) µ − κ E0 ( X ε ) + σ X σ ε ρ dt 160
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On a aussi : d [ E0 ( X ) E0 (ε )] = E0 ( X ) µ − κµ tX 0e −κ t dt Il en découle l’expression de la dérivée par rapport à t de Cov0 ( X t , ε t ) : dCov0 ( X t , ε t ) = κµ tX 0e −κ t − κ E0 ( X ε ) + σ X σ ε ρ dx On en déduit alors une expression simple de d (exp(κ t ).Cov0 ( X t , ε t )) / dt : d [eκ t Cov0 ( X t , ε t )] = (κµ tX 0 e−κ t − κ E0 ( X ε ) + σ X σ ε ρ )eκ t + κ eκ t ( E0 ( X ε ) − E0 ( X ) E0 (ε )) dx = (κµ tX 0e −κ t + σ X σ ε ρ )eκ t − κ eκ t E0 ( X ) E0 (ε ) = σ X σ ε ρ eκ t On intègre pour obtenir l’expression recherchée : σ X σ ε ρ (eκ t − 1) σ X σ ε ρ (1 − e −κ t ) Cov0 ( X t , ε t ) = = κ eκ t κ 161
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 6 : Auttourr du modèlle à deux ffactteurrs de Piilliipoviic Annexe 6 : Au ou du modè e à deux ac eu s de P pov c A. Résolution du SEDS définissant le modèle à deux facteurs de Pilipovic Le système est donc le suivant : dS = α ( L − S )dt + σ SdW 1 (1) 2 dL = µ Ldt + γ LdW (2) Où dW 1 et dW ² sont les incréments indépendants de deux mouvements Brownien Standard: dW 1dW ² = 0 . 1ere étape La résolution de l’équation (2) donne : 2 Lt = L0e( µ −0.5γ ²)t +γ W 2eme étape On résout l’équation homogène issue de (1) : dS ' = α (− S ')dt + σ S ' dW 1 (1)' La solution de (1)’ est : 1 S 't = S '0 e − (α + 0.5σ ²)t +σ W 3eme étape Posons S = S’.Y, avec S '0 = S0 et Y désigne un processus tel que Corr(S’,Y)=0 162
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On remplace alors S dans (1), on obtient successivement : dS = YdS '+ S ' dY + d < Y , S ' > =Y [−α S ' dt + σ S ' dW 1 ] + S ' dY + Corr (Y , S ')dt = α ( L − S )dt + σ SdW 1 On en déduit donc que le processus Y doit vérifier la relation : S ' dY = α Ldt Soit encore : α Ldt dY = S' Il suffit alors d’intégrer cette dernière relation pour obtenir l’expression de Y : t α Ls ds L0 t ( µ −0.5γ ²) s +γ Ws2 (α + 0.5σ ²) s −σ Ws1 Yt = Y0 + ∫ S '0 ∫ = Y0 + α e e 0 Ss ' 0 On a alors l’expression de la solution :  L0 t 1  S '0 ∫ 2 − (α + 0.5σ ²) t +σ W 1 St = St ' Yt = S '0 e Y0 + α e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws e(α + 0.5σ ²) s −σ Ws   0  Avec S0=S’0 on en déduit Y0=1, d’où l’expression finale de S :  L0 ( µ − 0.5γ ²) s +γ Ws2 (α + 0.5σ ²) s −σ Ws1  t 1 + α ∫ e − (α + 0.5σ ²) t +σ W 1 St = S 0 e e   S0 0  163
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique B. Calcul de l’espérance A partir de l’expression précédente, on peut calculer l’espérance conditionnelle sachant l’etat initial. On a donc successivement :  − (α + 0.5σ ²) t +σ W 1  L0 t ( µ −0.5γ ²) s +γ Ws2 (α + 0.5σ ²) s −σ Ws1   E0  S0 e 1 + α ∫ e e ds   t    S0 0    L t  = S0  E0  e− (α + 0.5σ ²) t +σ W  + E0 e − (α +0.5σ ²)t +σ Wt α 0 ∫ e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws e(α + 0.5σ ²) s −σ Ws ds   1 1 2 1      S0 0   L t  = S0e −α t + S0 E0 α 0 ∫ e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws e(α + 0.5σ ²) s −σ Ws e −(α +0.5σ ²)t +σ Wt ds  2 1 1  S0 0   t  = S0e −α t + E0 α L0 ∫ e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws e − (α +0.5σ ²)(t − s ) −σ (Wt −Ws ) ds  2 1 1  0   t  = S0e −α t + E0 α L0 ∫ e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws e − (α +0.5σ ²)(t − s ) −σ W t −s ds  2 1  0  t = S0e −α t + α L0 ∫ E0 e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws e − (α +0.5σ ²)(t − s ) −σ W t −s ds 2 1   0 On utilise le fait que l’on a deux processus indépendant : t E0 [ St ] = S0e −α t + α L0 ∫ E0 e( µ −0.5γ ²) s +γ Ws E0 e − (α +0.5σ ²)(t − s ) −σ W t −s  ds 2 1     0 t t = S0 e −α t + α L0 ∫ e e µ s −α ( t − s ) ds = S0 e −α t + α L0 ∫ e −α (t − s )+ µ s ds 0 0 t t = S0e −α t + α L0 ∫ e −α t + ( µ +α ) s ds = S0 e−α t + α L0 ∫ e −α t +( µ +α ) s ds 0 0 En calculant l’intégrale on trouve l’expression recherchée : α E0 [ St ] = S0e −α t + L0 e µ t − e −α t    µ +α 164
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 7 : Callculls auttourr du modèlle à deux ffactteurrs de Giibson Annexe 7 : Ca cu s au ou du modè e à deux ac eu s de G bson ett Schwarttz e Schwar z Soit le système dS = (r − C ) Sdt + σ S SdW 1 dC = [κ (α − C ) − λ ]dt + σ C dW 2 Et soit G = log(S) Pour simplifier à un changement de variable prés on peut considérer que C vérifie : dC = κ (α − C )dt + σ C dW 2 A. Calcul de Et(G(T)) On détermine d’abord la dynamique de G à partir de celle de S, par la formule d’Ito on obtient : ∂G ∂G 1 ∂ ²G dG = dt + dS + d < S, S > ∂t ∂S 2 ∂S ² 1 1 −1 = (r − C ) Sdt + σ S SdW 1  +   2 S ² σ S ² S ² dt S  1  =  r − C − σ S ²  dt + σ S dW 1  2  On suppose que le taux r est constant et on intègre :  1  T T G(T)= G (t ) +  r − σ S ²  (T − t ) − ∫ C ( s )ds +σ S ∫ dW 1  2  t t 165
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La composition avec l’espérance conditionnelle donne alors successivement :  1  T Et (G (T )) = G (t ) +  r − σ S ²  (T − t ) − ∫ Et [C ( s )]ds  2  t  1  T  2  t ( ) = G (t ) +  r − σ S ²  (T − t ) + ∫ α − [C (t ) − α ]e −κ ( s −t ) ds  1  T = G (t ) +  r − σ S ² + α  (T − t ) − [C (t ) − α ]∫ e −κ ( s −t ) ds  2  t Finalement :  1  1 − e −κ (T −t ) Et [G (T )] = G (t ) +  r − σ S ² + α  (T − t ) − [C (t ) − α ].  2  κ B. Calcul de la variance On a successivement :   1  T T  Var0 [G (T )] = Var0 G (t ) +  r − σ S ²  (T − t ) − ∫ C ( s )ds +σ S ∫ dW 1    2  t t  = Var0  − ∫ C ( s )ds +σ S ∫ dW 1  T T  0  0   = Var0  ∫ C ( s )ds  + Var0 σ S ∫ dW 1  − 2Cov0  ∫ C ( s )ds,σ S ∫ dW 1  T T T T  0      0    0  0   = Var0  ∫ C ( s )ds  + Var0 σ SW 1T  − 2σ S E0  ∫ C ( s )ds..W 1T  T T  0       0    = Var0  ∫ C ( s )ds  + σ ² S T − 2σ S E0  ∫ C ( s )ds..W 1T  T T  0     0    Posons : A = Var0  ∫ C ( s )ds  B = E0  ∫ C ( s )ds..W 1T  T T et  0     0    166
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Calcul de A En utilisant la définition de dC : T T T  σC  σC ∫ C ( s )ds = ∫ α dt + κ dWt − dC  = α T + κ ∫ dWt + C (0) − C (T ) 2 2 0 0  t 0 A partir de cette expression, on obtient : T  σ T  A = Var0 [ ∫ C ( s )ds ] = Var0 α T + C ∫ dWt 2 + C (0) − C (T )  0  κ 0  σ T  σ T  = Var0 [C (T )] + Var0  C ∫ dWt 2  − 2Cov0  C ∫ dWt 2 , C (T )  κ 0  κ 0  σC ² σ T  = Var0 [C (T )] + T − 2 C E0  ∫ dWt 2 .C (T )  κ² κ 0  Il faut donc calculer le dernier terme de cette expression Par la formule d’Ito on obtient : T T T T ∫ dWt .C (T ) = ∫ C (t )dWt + ∫ Wt dC (t ) + ∫ σ C e ds 2 2 2 κ ( s −T ) 0 0 0 0 On compose avec l’espérance conditionnelle sachant l’état initial T  T 2  T E0  ∫ dWt .C (T )  = E0  ∫ Wt dC (t )  + ∫ σ C eκ ( s −T ) ds 2 0  0  0 T 2  σ = E0  ∫ Wt dC (t )  + C 1 − e −κ T( ) 0  κ σC T 2  = κ 1− e(−κ T ) { + E0  ∫ Wt κ (α − C (t ))dt + σ C dWt 2  } 0  T σC = κ (1 − e ) − κ ∫ E0 Wt 2C (t ) dt −κ T   0 T  Donc E0  ∫ dWt 2 .C (T )  vérifie une l’équation différentielle suivante : 0  dY = σ C e −κ T − κ Y dT 167
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La résolution de cette dernière équation par la méthode de la variation de la constante donne : T  E0  ∫ dWt 2 .C (T )  = σ C Te −κ T 0  On en déduit donc l’expression de A : σC ² σ A = Var0 [C (T )] + T − 2 C σ C Te −κ T κ² κ σC ² σC ² σ C ² −κ T = (1 − e−2κ T ) + T −2 Te 2κ κ² κ Finalement : σC ² σ ² A= (1 − e−2κ T ) + C T (1 − 2κ e−κ T ) 2κ κ² Calcul de B En utilisant l’expression de dC : T T  σ  ∫0 C ( s )ds.. 1T = ∫ α dt + C dWt 2 − dC  . W 1T W 0  κ   σ T  = α T − C (T ) + C (0) + C  κ ∫ 0 dWt 2  .W 1T  168
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On compose avec l’espérance conditionnelle sachant l’état initial :  σ   B = E0  ∫ C ( s )ds..W 1T  = E0  α T − C (T ) + C (0) + C T T  0     κ ∫0 dWt 2  .W 1T    σ T   = E0   C  κ ∫0 dWt 2 − C (T )  .W 1T    σ T T  = E0  C κ ∫0 dWt 2 .∫ dW 1t − C (T ).W 1T  0  ρσ C = T − E0 C (T ).W 1T    κ Il faut donc calculer E0 C (T ).W 1T  , en suivant le même processus que   précédemment on trouve : E0 C (T ).W 1T  =ρσ CTe −κ T   L’expression de B est donc : ρσ C B= T − ρσ CTe −κ T κ L’expression recherchée de la variance est donc la suivante : σC ² σ ²  ρσ  Var0 [G (T )] = (1 − e −2κ T ) + C T (1 − 2κ e −κ T ) + σ ² S T − 2σ S  C T − ρσ CTe −κ T  2κ κ²  κ  Ce qui donne en factorisant : σ ² Var0 [G (T )] == σC ² 2κ (1 − e−2κ T ) + T  C (1 − 2κ e−κ T ) + σ ² S −  κ² 2 ρσ Sσ C κ (1 − κ e−κ T )   169
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 7b : Modèlles mullttiiffactteurrs ett changementt de prrobabiilliitté Annexe 7b : Modè es mu ac eu s e changemen de p obab é A. Cas des modèles à deux facteurs de Lucia & Schwartz Nous reprenons ici la formulation dans l’univers réel de ces modèles : G ( S (t )) = f (t ) + X (t ) + ε (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) (O.U.) d ε (t ) = µ dt + σ ε dZ ε (t ) (AMB) G(t)=t ou Log(t) avec la corrélation : dZ X .dZ ε = ρ dt Pour travailler avec des processus de Wiener indépendants, nous pouvons poser : dZε = ρ dZ X + 1 − ρ ² dZ 'ε avec dZ X .dZε ' = 0 Le système différentiel stochastique intervenant dans la définition de la dynamique du processus devient est donc donnée par : dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) ( d ε (t ) = µ dt + σ ε ρ dZ X (t ) + 1 − ρ ² dZ 'ε (t ) ) 170
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Nous envisageons maintenant le changement de probabilité suivant ( suggérée par la formulation « risque neutre » donnée par les auteurs) : dZ X = dZ X + λX dt  % dZ X = dZ X − λX dt  %  % ⇔ % dZ ε = dZ ε '+ λε dt  dZε ' = dZ ε − λε dt  Avec ce changement de probabilité, le système différentiel stochastique intervenant dans la définition de la dynamique du processus devient :   λX  % (  )  % dX = −κ Xdt + σ X dZ X = −κ X (t )dt + σ X dZ X − λ X dt = κ  − κ − X (t )  dt + σ X dZ X  d ε = µ dt + σ ρ dZ + 1 − ρ ² dZ '  ( ) ε X ε  = µ dt + σ ρ dZ − λ dt + 1 − ρ ² dZ − λ dt  ε ( ( % X X ) % ε ( ε ))  ( ) %( % = µ − σ ε λX ρ − λε σ ε 1 − ρ ² dt + σ ε ρ dZ X + 1 − ρ ² dZε  ) Soit encore dX = κ ( m − X (t ) ) dt + σ X dZ X  %  % % d ε = µ * dt + σ ε dZε  avec λX m=− κ µ * = µ − σ ε λX ρ − λε σ ε 1 − ρ ² % % % dZ ε dZ X = ρ dt Bref, compte tenu de ce résultat, la formulation « risque neutre » proposée par les auteurs correspond au cas où ρ =0. 171
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique B. Cas du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz Nous rappelons que la dynamique dans l’univers réel est définie par le système différentiel stochastique suivant : dS = ( µ − C ) Sdt + σ S SdW 1   dC = κ (α − C ) dt + σ C dW 2  avec la corrélation dW 1dW 2 = ρ dt Comme précédemment, nous introduisons dans cette formulation des processus indépendants : dS = ( µ − C ) Sdt + σ S SdW 1    ( dC = κ (α − C ) dt + σ C ρ dW + 1 − ρ ² dW 3 1 ) avec dW 1dW 3 = 0 Toujours, dans le même ordre d’idée que celui des auteurs, pour le passage à l’univers risque neutre, nous considérons le changement de probabilité suivant : dW 1 = dW 1 + λ1dt  % dW 1 = dW 1 − λ1dt  %  %3 3 ⇔ 3 %3 dW = dW + λ2 dt  dW = dW − λ2 dt  172
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Avec ce changement de probabilité, le système différentiel stochastique intervenant dans la définition de la dynamique du processus devient : ( dS = ( µ − C ) Sdt + σ S S dW 1 − λ1dt  % )  ( ( %3 ) %1 dC = κ (α − C ) dt + σ C ρ dW − λ2 dt + 1 − ρ ² dW − λ1dt  ( )) Soit en simplifiant : dS = ( µ1 − C ) Sdt + σ S SdW 1 %   ( %3 dC = κ ( m − C ) dt + σ C ρ dW + 1 − ρ ² dW  %1 ) avec µ1 = µ − σ S λ1 σ C λ2 ρ + σ C λ1 1 − ρ ² m =α − κ D’où en utilisant des processus corrélés : dS = ( µ1 − C ) Sdt + σ S SdW 1  %  %2 dC = κ ( m − C ) dt + σ C dW  avec µ1 = µ − σ S λ1 σ C λ2 ρ + σ C λ1 1 − ρ ² m =α − κ % % dW 2 dW 1 = 0 Ainsi, le cas paramètre λ que nous avions introduit dans la formulation risque neutre initiale (p47) correspond au prix mesuré sur le marché du risque associé au facteur C seulement dans le cas où la corrélation ρ est nulle. 173
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 8 : Un cas siimplle de diiffffusiion avec sautts Annexe 8 : Un cas s mp e de d us on avec sau s Considérons le modèle suivant : dS = µ dt + σ dW + Udq S Ici, on suppose que le prix spot S présente des sauts U1 , U 2 ,... U n aux instants t1 , t 2 , ..., t n Sur les intervalles de temps [ti, t i+1 [, le modèle ne présente pas de sauts et est donc donné par : dS = µ dt + σ dW S à l’instant ti, le saut de St est donné par : ∆Sti = Sti − − Sti = Sti −U i On a donc X ti = X ti − (1 + U i ) . Pour t ∈ [0, t1[ : St = S0e( µ −0.5σ ²)t +σ Wt La limite à gauche donne : ( µ − 0.5σ ²) t1 +σ Wt1 St1 − = S0 e Et par conséquent : ( µ − 0.5σ ²) t1 +σ Wt1 St1 = S0 (1 + U1 )e 174
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Puis pour t ∈ [t1 , t2 [ : ( µ − 0.5σ ²)( t − t1 ) +σ (Wt −Wt1 ) St = St1 e ( µ − 0.5σ ²)( t −t1 ) +σ (Wt −Wt1 ) = St1 − (1 + U1 )e ( µ − 0.5σ ²) t1 +σ Wt1 ( µ − 0.5σ ²)( t −t1 ) +σ (Wt −Wt1 ) = S0 e (1 + U1 )e = S0 (1 + U1 )e( µ −0.5σ ²)t +σ Wt On obtient ainsi de proche en proche :  N (t )  St = S0 ∏ (1 + U j )  e( µ − 0.5σ ²) t +σ Wt  j =1  Où N(t) représente le nombre de sauts avant l’instant t. pour N(t)=0, on impose par convention l’égalité à 1 du produit entre crochets. On peut encore écrire : St = S0eVt avec : N (t ) Vt = ( µ − 0.5σ ²)t + σ Wt + ∑ Y j où Y j = Log (1 + U j ) j =1 175
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 9 : Exemplles de Modèlles AJD Annexe 9 : Exemp es de Modè es AJD A. O.U. + sauts : cas de la distribution gaussienne Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −(φ X + κ X t )dt + σ X dWX * + J ( µ *, σ J ²)dN (λ *) L’ expression du prix des Futures est donnée par l’expression : F (t , T , ST ) = e rτ e f (T )ψ (1, X , t , T ) D’après la représentation de ψ (1, X , t , T ) , il faut trouver les expressions de α et β : . 1 α (t ) = ρ 0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) − l0 [θ ( β (t )) − 1] 2 . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) − l1[θ ( β (t )) − 1] 2 Ici, on a : K 0 = −φ X , K1 = −κ σ ( X ) = σ X = H 0 , H1 = 0 λ ( X ) = λ = l0 , l1 = 0 R( X ) = r = ρ0 , ρ1 = 0 Les équations différentielles se simplifient donc : . 1 1 α (t ) = r − (−φ X ) β (t ) − β (t )²σ X ² − λ[θ ( β (t )) − 1] = r + φ X β (t ) − β (t )²σ X ² − λ[θ ( β (t )) − 1] 2 2 . β (t ) = −(−κ ) β (t ) = κβ (t ) D’autre par il faut connaître l’expression de la fonction θ qui est la fonction caractéristique d’une gaussienne usuelle : 176
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique θ (c) = e µ c + 0.5σ ² J J c² La résolution des équations différentielles donne alors : β (t , T , u ) = ue −κτ T  1  α (t , T , u ) = ∫  −r − φ X ue −κ (T − s ) + u ²σ ² X e−2κ (T − s ) + λ[θ ( β ( s)) − 1] ds t   2 T φX u 1 = − rτ − κ (1 − e ) + 4κ u ²σ ² X (1 − e −κ (T −t ) −2κ (T −t ) ) + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds t T = α1 (t , T ) + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds = α1 (t , T ) + C (t , T ) t Finalement on obtient l’expression recherchée pour le prix des Futures/Forwards T φ X u −κ T −κ t 1 − rτ + κ (e −e 4κ ) ∫ − u ²σ ² X ( e−2 κ T − e −2 κ t ) + λ [θ ( β ( s )) −1] ds + ue− κτ X T F (t , T , ST ) = erτ e f (T )ψ (u , ST , t , T ) = erτ e f (T ) e t T φ X u − κ T −κ t 1 f (T ) κ e( −e 4κ ) ∫ − u ²σ ² X ( e−2κ T − e−2 κ t ) + λ [θ ( β ( s )) −1]ds + X T ue − κτ =e e t Soit en terme de Log : T φ X u −κ T −κ t 1 Log ( F (t , T , ST )) = f (T ) + κ ( e − e ) − 4κ u ²σ ² X (e − e ) + ∫ λ[θ ( β (s)) − 1]ds + X T ue−κτ −2κ T −2κ t t ici u=1, donc : T φX 1 Log ( F (t , T , ST )) = f (T ) + κ (1 − eκ (T −t ) ) e −κ T + 4κ σ ² X (1 − e−2κ (T −t ) )e−2κ t + ∫ λ[θ ( β ( s)) − 1]ds + X T ue−κτ t Et en utilisant les expressions de β et θ : Log ( F (t , T , ST )) T φX 1 (1 − e ) e + 4κ σ ² X (1 − e )e + ∫ λ[eµ e κ κτ −κ T −2κτ −2κ t − (T −s ) + 0.5σ ² J e−2κ ( T −s ) = f (T ) + J − 1]ds + X T e −κτ κ t 177
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique B. O.U. + sauts : cas de deux types de sauts En univers risque neutre, la dynamique du modèle est donnée par : Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −(φ X + κ X t )dt + σ X dWX * + J u (η *u )dN (λu *) + J d (η *d )dN (λd *) Ici les amplitudes des sauts à la hausse et à la baisse Ju et Jd, suivent une distribution exponentielle de moyenne ηu et ηd respectivement. Pour simplifier les écritures, on écrit plutôt : Log ( St ) = f (t ) + X t dX t = −(φ X + κ X t )dt + σ X dWX + J u (ηu )dN (λu ) + J d (ηd )dN (λd ) Ici l’expression des termes α et β va prendre en compte l’influence de ces deux types de sauts : . m 1 α (t ) = ρ0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) − ∑ l i 0 (t )[θ i ( β (t ), t ) − 1] 2 i =1 m . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) − ∑ l i1 (t )[θ i ( β (t ), t ) − 1] 2 i =1 Dans notre cas on a : m=2 R = r + 0. X soit ρ0 = r , ρ1 = 0 µ ( X ) = K 0 + K1 X = −φ X − κ X 2 (σ ( X )σ ( X )t )i , j = ( H 0 )i , j + ( H1 )i , j X = σ X 178
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On obtient donc : . 21 α (t ) = r − (−φ X ) β − β ²σ X − λu [θ u (u, β − 1] − λd [θ d (u, β − 1] 2 1 2 = r + φ X β − β ²σ X − λu [θ u (u , β − 1] − λd [θ d (u , β − 1] 2 . β (t ) = −(−κ ) β = κβ Avec les conditions terminales : β (T ) = u , α (T ) = 0 On trouve alors : β (u , t ) = ue−κ (T −t ) T −t T  u ² −2κ s 2  ∫  − r − φ X ue + e σ X  ds + ∫ λu [θ (u, β (u, s ) − 1] + λd [θ (u, β (u, s ) − 1]ds −κ s u d α (u, t , T ) =   0  2  t On sait facilement calculer le premier terme intégral intervenant dans l’expression de α, il reste à calculer le deuxième terme. Pour une distribution exponentielle de fréquence α = 1/ η , on a : α 1 θ (c) = ∫ exp(cz )dν ( z ) = ∫ exp(cz )α exp(−α z )dz = = α −c 1 − ηc 179
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique T On peut donc calculer les terme du type ∫ λ.[θ . (u, β (u , s ) − 1]ds , on a successivement : t T T 1 ∫ λ[θ (u, β (u, s) − 1]ds = ∫ λ[ t t 1 − ηβ (u , s ) − 1]ds T 1 = ∫ λ[ − 1]ds t 1 − ηue −κ (T − s ) T T 1 − 1 + ηue −κ (T − s ) ηue −κ (T − s ) λ T = λ∫ ds = λ ∫ ds = −  Log 1 − ηue −κ (T − s )  ( ) t 1 − ηue −κ (T − s ) t 1 − ηue−κ (T − s ) κ t λ =− κ  Log (1 − ηue −κ (T −T ) ) − Log (1 − ηue−κ (T −t ) )  λ = −  Log (1 − ηu ) − Log (1 − ηue −κ (T −t ) )  κ  λ  1 − ηue −κ (T −t )  = Log   κ  1 − ηu  On en déduit en conséquence l’expression de la fonction α : T −t T  u ² −2κ s 2  ∫  − r − φ X ue + e σ X  ds + ∫ λu [θ (u , β (u , s ) − 1] + λd [θ (u , β (u , s ) − 1]ds −κ s u d α (u, t , T ) =   0  2  t φ X u −κτ u² λ  1 − ηu ue−κτ  λd  1 − ηd ue −κτ  = − r (T − t ) + κ ( e − 1) + 4κ (1 − e−2κτ ) + u Log  κ  + Log    1 − ηu u  κ  1 − ηd u  On en déduit alors l’expression de ψ dans ce modèle :  φ X u −κτ  ψ (u, X ,τ ) = exp  −r (T − t ) +  κ ( e − 1) + 4κ² (1 − e−2κτ ) + C (τ , u ) + Xue−κτ  u  Avec λu  1 − ηu ue−κτ  λd  1 − ηd ue −κτ  C (τ , u ) = Log   + Log   κ  1 − ηu u  κ  1 − ηd u  On obtient ainsi l’expression des prix Forward/Future : F (t , T , ST ) = erτ e f (T )ψ (1, X t ,τ ) 180
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 10 : AJD à deux ffactteurrs Annexe 10 : AJD à deux ac eu s A. Ajout de sauts dans le « Log – modèle » à deux facteurs de Lucia-Schwartz Le modèle à étudier est défini par : Log ( St ) = f (t ) + X (t ) + ε (t ) avec dX (t ) = −κ X (t )dt + σ X dZ X (t ) + J ( µ J ,σ J )dN(λ ) d ε (t ) = µε dt + σ ε dZε (t ) Soit en encore en univers risque neutre en simplifiant les notations : dX (t ) = −(κ X (t ) + φ X )dt + σ X dZ X (t ) + J ( µ J ,σ J )dN(λ ) d ε (t ) = ( µε − φε )dt + σ ε dZε (t )  dX (t )   −φ X   −κ 0  X (t )    σX 0   J ( µ J ,σ J )dN(λ )    =  +     dt +   dZ +     d ε (t )   µε − φ   0 0  ε (t )   σ ε ρ σ ε 1 − ρ ²  0  où dZ représente un Mouvement Brownien Standard 2D, ici le processus de saut bi- dimensionnel est un cas particulier où la deuxième composante est nulle, l’amplitude des sauts suit une distribution gaussienne . Dans ce modèle, la transformation ψ s’écrit : ψ (u, ( X , ε ), t , T ) = exp(α (u, t , T ) + β1 (u, t , T ) X + β 2 (u, t , T )ε ) 181
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Les fonction α et β = (β1 , β2), s’obtiennent toujours à l’aide du système : . 1 α (t ) = ρ0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) − l0 [θ ( β (t )) − 1] 2 . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) − l1[θ ( β (t )) − 1] 2 Dans le modèle en question :  −φ X   −κ 0 K0 =   , K1 =    µε − φ   0 0  σX 0  σ X σε ρ   σX ² σ Xσ ε ρ  et H 0 =  σ ρ σ 1− ρ ²   0  x σε =  1− ρ ²  σ Xσ ε ρ σε ²   ε ε     Les équations différentielles deviennent alors : . 1 α (t ) = r − [ −φ X β1 + ( µε − φε ) β 2 ] − [σ X ² β1 ² + σ ε ² β 2 ² + 2σ X σ ε ρβ1β 2 ] − λ[θ ( β (t )) − 1] 2 .  −κβ1  β (t ) = −   0  Compte tenu de la condition β(T)=u, la résolution de la deuxième équation différentielle est immédiate : .  −κβ1   κβ1   u1 exp(−κ (T − t ))  β (t ) = −  =  ⇒ β ((u1 , u2 ), t ) =   0  0   u2  182
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique L’expression de θ se calcule aisément : θ ((c1 , c2 )) = ∫ e<( c ,c ),( z , z ) > dυ ( z1 , z2 ) = ∫ ec z dυ ( z1 ) = ∫ ec z f gauss ( z1 )dz1 1 2 1 2 1 1 1 1 ²  σ ²  = exp  µ J c + J c ²   2  Il reste donc à calculer α, on obtient successivement avec la condition α(T)=0: α (t ) − α (T ) = α (t ) T  1  = − ∫  r − [ −φ X β1 ( s ) + ( µε − φε ) β 2 ( s ) ] − [σ X ² β1 ( s )² + σ ε ² β 2 ( s )² + 2σ X σ ε ρβ1 ( s ) β 2 ( s ) ] − λ[θ ( β ( s )) − 1] ds t   2 T  1  = − rτ + ∫  −φ X u1 e −κ (T − s ) + ( µε − φε )u2 + σ X ²u1 e −2κ (T − s ) + σ ε ²u2 ² + 2σ X σ ε ρ u1 e−κ (T − s ) u2  + λ[θ ( β ( s )) − 1] ds   t   2 1 φ u 1 σ σ ρu u = − rτ + σ ε ²u2 ²τ − X 1 (1 − e −κτ ) + ( µε − φε )u2τ + σ X ²u1 ²(1 − e−2κτ ) + X ε 1 2 (1 − e−κτ ) 2 κ 4κ κ T + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds t 1 φ u 1 σ σ ρu u = − rτ + σ ε ²u2 ²τ − X 1 (1 − e −κτ ) + ( µε − φε )u2τ + σ X ²u1 ²(1 − e−2κτ ) + X ε 1 2 (1 − e−κτ ) + B(u, t , T ) 2 κ 4κ κ avec T  σ ²  B(u, t , T ) = ∫ λ[exp  µ J u1 e −κ (T − s ) + J u1 ² e −2κ (T − s )  − 1]ds t  2  B. Modèle de Gibson & Schwartz + sauts Le deuxième modèle s’écrit en univers risque neutre sous la forme suivante : Log ( St ) = f (t ) + X t avec dX = −(κ X X − C + φ X )dt + σ S dZ 1 + J ( µ J ,σ J )dN(λ ) dC = [κ c (α − C ) − φc ]dt + σ C dZ 2 L’amplitude des sauts J suit une distribution gaussienne 183
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Comme précédemment, il convient d’écrire la dynamique des variables d’état sous une forme matricielle :  dX (t )   −φ X   −κ X 1   X (t )    σX 0   J ( µ J ,σ J )dN(λ )    =  +    dt +   dZ +  σ ρ σ 1 − ρ ²    dC (t )   κ Cα − φC   0 −κ C   C (t )    C C  0  Les fonction α et β = (β1 , β2), s’obtiennent toujours à l’aide du système : . 1 α (t ) = ρ0 − K 0T β (t ) − β (t )T H 0 β (t ) − l0 [θ ( β (t )) − 1] 2 . 1 β (t ) = ρ1 − K1T β (t ) − β (t )T H1 β (t ) − l1[θ ( β (t )) − 1] 2 On a de plus :  σX 0  σ X σCρ   σX² σ Xσ C ρ  H0 =   x =  σ ρ σ 1 − ρ ²   0  C C   σC 1 − ρ ²  σ X σ C ρ  σC ²   Le système différentiel devient alors : . 1 α (t ) = r − [ −φ X β1 + (κ Cα − φC ) β 2 ] − [σ X ² β1 ² + σ ε ² β 2 ² + 2σ X σ ε ρβ1β 2 ] − λ[θ ( β (t )) − 1] 2 .  −κ X β1  β (t ) = −    β1 − κ C β 2  En utilisant condition β(T)=u, l’expression de β1 est aisément calculable : β1 (t ) = u1 e−κ X (T −t ) En utilisant la méthode de la variation de la constante, on en déduit l’expression de β2 :  Au1  Au1 β 2 (t ) =  e − κ X ( T − t ) +κ C t + B  e −κ C t = e −κ X (T −t ) + Be−κ C t  κC +κ X  κC + κ X où A et B sont des constantes à déterminer. 184
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Il reste donc à calculer α, on obtient successivement avec la condition α(T)=0: α (t ) − α (T ) = α (t ) T  1  = − ∫  r − [ −φ X β1 + (κ Cα − φC ) β 2 ] − [σ X ² β1 ² + σ C ² β 2 ² + 2σ X σ C ρβ1 β 2 ] − λ[θ ( β ( s)) − 1] ds t   2 T T  σ ²β ²   σ ²β ²  = −rτ + ∫  −φ X β1 + X 1  ds + ∫ (κ Cα − φC ) β 2 + C 2  ds t  2  t  2  T T + ∫ σ X σ C ρβ1 β 2 ds + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds t t On utilise les expression de β1 et β2 calculées précédemment : T  σ X ²u1 e −2κ X (T − s )  T  σ ε ² β2 ²  α (t ) = −rτ + ∫  −φ X u1 e−κ X (T − s ) +  ds + ∫  (κ Cα − φC ) β 2 + ds t  2  t  2   T T + ∫ σ X σ ε ρ u1 e−κ X (T − s ) β 2 ds + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds t t φ X u1 σ ²u (1 − e −2κ τ ) X  Au1 Be−κ T  C = −rτ − (1 − e−κ τ ) + X 1 X + (κ Cα − φC )  (1 − e −κ τ ) − (1 − eκ τ )  X C κX 4κ X  κ X (κ C + κ X )  κC   σε ²  A²u1 ² B ²e −2κ C T 2 ABu1e−κ C T  +  (1 − e −2κ X τ ) − (1 − e 2κ Cτ ) + (1 − e(κ C −κ X )τ )   2κ (κ + κ ) ² 2  X C 2κ C (κ X ² − κ C ² )  X   Au1 Bu e −κ C T  +σ X σ ε ρ  (1 − e−2κ X τ ) + 1 (1 − e(κ C −κ X )τ )   2κ (κ + κ ) κ X −κC   X C X  T + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds t Dans notre cas u2=0, ce qui donne en utilisant l’expression de β2 la relation suivante entre A et B : Au1 = − Be−κ CT κC +κ X Au1 Posons d’autre part =C κC +κ X 185
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On obtient alors successivement avec u1=1: φX σ ²(1 − e−2κ τ ) CX C  α (t ) = −rτ − (1 − e−κ τ ) + X X + (κ Cα − φC )  (1 − e−κ τ ) + (1 − eκ τ )  X C κX 4κ X κ X κC  σC ²  C² C² 2C ²  +  (1 − e−2κ τ ) − X (1 − e2κ τ ) − C (1 − e(κ C −κ X )τ )  2κ 2  X 2κ C (κ X − κ C )    C C  +σ X σ C ρ  (1 − e−2κ X τ ) − (1 − e(κ C −κ X )τ )   2κ X κ X −κC  T + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds t C (κ Cα − φC ) − φ X C (κ Cα − φC ) = −rτ + (1 − e −κ X τ ) + (1 − eκ Cτ ) κX κC (σ X + σ C C )² + 2σ X σ ε C ( ρ − 1) σ ²C ² + (1 − e −2κ X τ )− C (1 − e2κ τ ) C 4κ X 4κ C T σ ε ²C ² + σ X σ C ρ C + (1 − e(κ C −κ X )τ ) + ∫ λ[θ ( β ( s )) − 1]ds ( κC −κ X ) t On peut alors calculer l’expression des prix Future/Forward :  f (T ) + A1 (1 − e −κ τ ) + A2 (1 − eκ τ ) + A3 (1 − e −2κ τ ) + A4 (1 − e 2κ τ ) + A5 (1 − e (κ X C X C C − κ X )τ ) F (t , T , ST ) = exp    + B (t , T ) + X e −κ τ    X t Avec : C (κ Cα − φC ) − φ X C (κ Cα − φC ) A1 = A2 = κX κC (σ + σ C C )² + 2σ X σ C C ( ρ − 1) σ ²C ² A3 = X A4 = − C 4κ X 4κ C σ ²C ² + σ X σ C ρ C A5 = C (κ C − κ X ) T  σ ²  B (t , T ) = ∫ λ[exp  µ J e −κ (T − s ) + J e−2κ (T − s )  − 1]ds t  2  186
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 11 : AJD ett CIIR Annexe 11 : AJD e C R Le but de cette annexe est de résoudre le système suivant . α (t ) = r − Kmβ (t ) . 1 β (t ) = K λβ (t ) − Σ ² β (t )² 2 A. Cas de la deuxième équation On commence par factoriser le membre de droite : . 1 Σ²  2K λ  β (t ) = K λβ (t ) − Σ ² β (t )² = − β (t )  β (t ) −  2 2  Σ²  Posons maintenant le changement de variable suivant :    β (t )  2 K λ eu ( t ) u (t ) = log   ⇔ β (t ) = − (CV)  β (t ) − 2K λ  Σ ² (1 − eu (t ) )  Σ²  Remarque : La condition aux bornes β (T ) = 1 , est donc équivalente à    1   Σ² − 2 K λ  u (T ) = log  2K λ  =-log   =log ( Σ ² ) − log ( Σ² − 2 K λ )  1−   Σ²   Σ²  En dérivant la relation (CV) : 2K λ β (t ) '  Σ²   2 K λ  u (t ) ' = − =  −  * − = Kλ Σ²  2 K λ   2   Σ²   β (t )  β (t ) −   Σ²  187
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique on a donc u (t ) = u (T ) + K λ (T − t ) soit encore u (t ) = log ( Σ² ) − log ( Σ² − 2 K λ ) + K λ (T − t ) En effectuant le changement de variable pour revenir à l’équation d’origine, on obtient alors : log ( Σ ² ) − log ( Σ ² − 2 K λ ) + K λ (T − t ) 2K λ e 2 K λ e K λ (T − t ) β (t ) = − =− ( Σ² 1 − e log ( Σ ² ) − log ( Σ ² − 2 K λ ) + K λ (T − t ) ) Σ ² − 2 K λ − Σ ² e K λ (T − t ) B. Résolution de la première équation Nous rappelons sont expression : . α (t ) = r − Km β (t ) En l’intégrant et en utilisant la condition aux bornes, on obtient successivement : t t t α (t ) = α (T ) + ∫ ( r − Kmβ ( s ) ) ds = ∫ ( r − Kmβ ( s ) ) ds = r ( t − T ) − Km ∫ β ( s )ds T T T La difficulté revient donc à évaluer l’intégrale dans le dernier terme de droite 2 K λ e K λ (T − s ) 2 K λ e K λ (T − s ) t t T ∫ T β ( s)ds = − ∫ T Σ ² − 2 K λ − Σ ² e K λ (T − s ) ds = ∫ t Σ ² − 2 K λ − Σ ² e K λ (T − s ) ds T  2 log Σ ² − 2 K λ − Σ ² e K λ (T − s ) ( ) 2 log ( −2 K λ ) ( 2 log Σ ² − 2 K λ − Σ ² e K λ (T −t ) ) =  = −   Σ²  t Σ² Σ² On obtient finalement pour α l’expression suivante : 2 Km  2K λ  α (t ) = r ( t − T ) − log  K λ (T −t )  Σ²  2 K λ + Σ² e − Σ²  188
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 12 : Auttourr du modèlle de Kellllerrhalls Annexe 12 : Au ou du modè e de Ke e ha s A. Changement de probabilité Le modèle dans l’univers réel utilisé par Kellerhals[] est formulé par le système différentiel suivant : dSt = µ St dt + St ν t dWSPt , dν t = κ (θ −ν t ) dt + σ ν t dWνPt , Où les deux processus de Wiener intervenant ci-dessus sont supposés corrélés : dWSPt dWνPt = ρ dt , , Dans un premier temps, nous intégrons cette corrélation dans la formulation du % modèle réel en introduisant un processus indépendant WνPt de WνPt . Nous écrivons , , donc : dSt = µ St dt + St ν t dWSPt , ( % dν t = κ (θ − ν t ) dt + σ ν t ρ dWSPt + 1 − ρ ² dWνPt , , ) A propos du passage au processus « risque neutre », dans son approche, Kellerhals néglige un point qui est la prise en compte de cette corrélation. En effet, l’auteur considère le changement de probabilité défini par : dWSQt = dWSPt + λ * ν t dt , , dWνQt = dWνPt + λν ν t dt , , 189
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Où λν et λ sont supposés constant. Cependant, λν dépend nécessairement de la corrélation ρ car si ce paramètre est nul, le changement de probabilité n’a aucun effet sur le deuxième facteur. Nous considérons maintenant le changement de probabilité défini par dWSQt = dWSPt + λ * ν t dt  , , dWSPt = dWSQt − λ * ν t dt  , ,  ⇔ % Q % P dWν ,t = dWν ,t + β dt % P % Q dWν ,t = dWν ,t − β dt   où β est arbitraire. Pour le premier facteur (le prix S), l’équation obtenue est inchangée par rapport à celle proposée par l’auteur : dSt = ( µ − λ *ν t ) St dt + St ν t dWSQt , La différence intervient sur le deuxième facteur, on obtient successivement : ( % dν t = κ (θ −ν t ) dt + σ ν t ρ dWSPt + 1 − ρ ² dWνPt , , ) ( ( , ) % = κ (θ − ν t ) dt + σ ν t ρ dWSQt − λ ν t dt + 1 − ρ ² dWνQt − β dt , ( ))  ( = κ (θ − ν t ) − λσρν t + βσ 1 − ρ ² ν t ) dt + σ  ( , % ν t ρ dWSQt + 1 − ρ ² dWνQt , )   ( = κ (θ − ν t ) − λσρν t + βσ (1 − ρ ² )ν t ) dt + σρ ν t dWSQt + σ , % (1 − ρ ² )ν t dWνQt , Si l’on pose dWνQt = ρ dWSQt + % (1 − ρ ² )dWνQt , , , On trouve alors  ( dν t = κ (θ − ν t ) − λ *σρν t + βσ  (1 − ρ ² )ν t ) dt + σ ν t dWνQt   , 190
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique avec la relation de corrélation dWνQt dWSQt = ρ dt , , Remarques : - avec ce qui précède, le changement de probabilité univers réel / « risque neutre » est donné par : dWSQt = dWSPt + λ * ν t dt  , ,  Q P ( * dWν ,t = dWν ,t + ρλ ν t + β 1 − ρ ² dt  ) - avec les choix particuliers : λν ( St ,ν t , t ) = λ *σρν t + βσ (1 − ρ ² )ν t ρ =0 on retombe sur une équation « risque neutre » pour le deuxième facteur identique à celle proposée par l’auteur, a ceci près que si l'on ajuste les facteurs il faut tenir compte de la dépendance avec la corrélation de λv dν t = κ (θ − ν t ) − λν ( St ,ν t , t )  dt + σ ν t dWνQt   , 191
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Concernant l’évaluation des prix forward, compte tenu de ce qui précède, la dynamique du processus risque neutre est exprimée par le système différentiel stochastique suivant : dSt = ( µ − λ *ν t ) St dt + St ν t dWSQt  ,     (   ) dν t = κ (θ − ν t ) − λ σρν t + βσ (1 − ρ ² )ν t  dt + σ ν t dWν ,t * Q Dans le même ordre d’idée que Kellerhals[], nous considérons le choix particulier βσ (1 − ρ ² )ν t = λν (1 − ρ ² )ν t Avec λν supposé constant. Le système devient donc : dSt = ( µ − λ *ν t ) St dt + St ν t dWSQt  ,     (   ) dν t = κ (θ − ν t ) − λ σρν t + λν (1 − ρ ² )ν t  dt + σ ν t dWν ,t * Q En posant X=log(S), et λ = 0.5 + λ * on peut se ramener à une formulation équivalente du type AJD :  X t   µ   0 −λ   X   νt 0  d =   +    t   dt +   dW Q  ( ν t   κθ   0 − κ + ( λ − 0.5 ) σρ + λν 1 − ρ ²  )  ν t       σρ ν t σ 1− ρ² νt   Posons ϒ = ( λ − 0.5 ) σρ + λν 1 − ρ ² Avec ce dernier changement de variable, on retombe sur la « formulation AJD » qui va nous servir à obtenir les prix forward.  X t   µ   0 −λ   X t    νt 0  d   =   +      dt +    dW Q ν t   κθ   0 − (κ + ϒ )  ν t      σρ ν t σ 1− ρ ² νt   192
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique B. Expression des prix Forward Nous voulons trouver une expression analytique des prix Forward à partir de la définition que nous avions évoquée précédemment : F (t , T ) = E RN [ ST | St ] = E RN [e X T | St ] où les processus X et v sont définis par les équations suivantes : dX t = ( µ − λ vt ) dt + vt dWSQt , (1)** dvt = (κ (θ − vt ) − λv ( St , vt , t ) ) dt + σ vt dWvQt = (κ (θ − vt ) − λv vt ) dt + σ vt dWvQt , , (2)* En intégrant la première équation on obtient : T T X T = X t + µ (T − t ) − λ ∫ vs ds + ∫ vs dWSQs , t t On introduit maintenant la corrélation entre les deux processus : T T ( X T = X t + µ (T − t ) − λ ∫ vs ds + ∫ vs ρ dWvQs + 1 − ρ ² dWX , s , Q ) t t où WvQs et WX , s sont indépendant. , Q 193
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique En intégrant maintenant l’équation (2)*, on en déduit : T T vT − vt = κθ ( T − t ) + (κ + λv ) ∫ vs ds + σ ∫ vs dWvQs , (2)* t t d’où : 1  T T ∫t vs dWvQs = ,  σ vT − vt − κθ ( T − t ) − (κ + λv ) ∫ vs ds  t  Il en découle alors : T T ∫ ∫ Q X t + µ (T − t ) − λ vs ds + ρ vs dWvQs + vs 1− ρ ²dWX ,s , F (t , T ) = E RN [e X T | St ] = E RN [e t t | St ] ρ  T T T ∫ ∫ ∫ X t + µ (T −t ) − λ vs ds +  vT − vt −κθ ( T −t ) − (κ + λv ) vs ds  + vs 1− ρ ² dWX ,s Q σ    t = E RN [e t t | St ] ρ  T T T  κθρ  ∫ ∫ ∫ − λ vs ds +  vT −(κ + λv ) vs ds  + vs 1− ρ ² dWX ,s ρ Q X t + µ − ( T −t ) − vt  σ   σ σ    t =e E RN [e t t | St ] En considérant le processus Z défini par : t t 1 ∫ (1− ρ )vs dWX ,s − 2 ∫ (1− ρ )vs ds 2 Q 2 Zt = e 0 0 On peut uniformiser la dernière expression obtenue : T  ρ (κ + λv ) 1   κθρ  X t + µ −  σ   ρ ( T −t ) − vt σ − λ +   σ 2  t ∫ − (1− ρ ² )  vs ds + vT ZT F (t , T ) = e E RN [e | St ] Zt Il suffit alors d’effectuer un deuxième changement de mesure pour obtenir la formule recherchée. 194
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique C. Résolution du système (S1) Nous rappelons que le système considéré est le suivant : α (t ) = e + f β (t ) . (1)  2  .  β1 (t ) = 0 (2)  .  β 2 (t ) = c + b β 2 (t ) + a β 2 ²(t ) (3)  avec c = −(λ + 0.5) b = −(κ + λv + σρ ) a = −0.5σ ² e = −µ f = −κθ a. résolution de (3) On commence par factoriser le polynôme de degré 2  −b + ∆  −b − ∆  y ' = c + by + ay ² y ' = a  y −   y −   = a ( y − y1 )( y − y2 )  2a  2a  avec ∆ = b ² − 4ac L’équation (3) est donc équivalente à y' =a ( y − y1 )( y − y2 ) On pose maintenant le changement de variable :  y − y1  y1 − exp(v) y2 v = log  ⇔ y=  y − y2  1 − exp(v) 195
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique par dérivation on a aussi :  y − y1   ' v' =  y − y2  = y '( y1 − y2 ) y − y1 ( y − y1 )( y − y2 ) y − y2 Avec ce changement de variable, l’équation (3) est donc équivalente à : v ' = a ( y1 − y2 ) On peut facilement intégrer cette nouvelle équation : v(t ) = a ( y1 − y2 )t + K On effectue le changement de variable inverse : y1 − exp(v) y2 y1 − exp(a ( y1 − y2 )t + K ) y2 y= = 1 − exp(v) 1 − exp(a ( y1 − y2 )t + K ) De plus on peut remarque que : −b + ∆ −b − ∆ ∆ y1 − y2 = − = 2a 2a a 196
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique et que : ( ∆ 1 + et ∆ +K )− b 2a (1 − e t ∆ +K ) 2a t ∆ +K  −t ∆ +K t ∆ +K  t ∆ +K  ∆e 2 e 2 + e 2    b ∆ ch   −  2  − b = − ∆ coth  t ∆ + K  − b = =−     2a t ∆ +K  − t ∆ + K t ∆ + K  2a  t ∆ + K  2a 2a  2  2a e 2 e  2 −e 2   2ash      2  Finalement la solution de (1) est donnée par : t ∆ +K  ∆ coth   − (κ + λv + σρ )  2  y (t ) = σ² avec ∆ = (κ + λv + σρ )² − σ ²(2λ + 1) On utilise maintenant la condition au borne y (T ) = 0 pour déterminer la constante K, on obtient successivement les équivalences suivantes: T ∆ + K  ∆ coth   − (κ + λv + σρ )  2  T ∆ + K  y (T ) = = 0 ⇔ ∆ coth    − (κ + λv + σρ ) = 0  σ²  2  T ∆ + K   T ∆ + K  κ + λv + σρ ⇔ ∆ coth    = (κ + λv + σρ ) ⇔ coth    =   2   2  ∆ T ∆+K  κ + λv + σρ   κ + λv + σρ  ⇔ = Arc coth   ⇔ K = 2 Arc coth   −T ∆ 2  ∆   ∆  197
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique La constante K est donc donnée par  κ + λv + σρ  K = 2 Arc coth   −T ∆  ∆  On remplace cette expression dans celle obtenue pour y(t) :   κ + λv + σρ   ∆ coth  −0.5(T − t ) ∆ + Arc coth    − (κ + λv + σρ )   ∆  y (t ) = σ²    κ + λv + σρ    (  )  coth −0.5(T − t ) ∆ *coth  Arc coth   ∆  +1   ∆  − (κ + λv + σρ )    κ + λv + σρ     (  )  coth −0.5(T − t ) ∆ + coth  Arc coth   ∆     =   σ²   κ + λv + σρ   (  coth −0.5(T − t ) ∆ *   ) ∆  +1    − (κ + λ + σρ ) ∆  κ + λv + σρ   v    ( coth −0.5(T − t ) ∆ +   ) ∆     = σ²   ( )  coth −0.5(T − t ) ∆ * (κ + λv + σρ ) + ∆    − (κ + λv + σρ )   κ + λv + σρ    (  coth −0.5(T − t ) ∆ +   ) ∆     = σ² ∆ − (κ + λv + σρ )² = ( ( σ ² ∆ coth −0.5(T − t ) ∆ + κ + λv + σρ ) ) Finalement, la solution de (3) est ∆ − (κ + λv + σρ )² β 2 (t ) = y (t ) = σ² ( ( ) ∆ coth −0.5(T − t ) ∆ + κ + λv + σρ ) 198
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique b. résolution de (1) Compte tenu de la condition aux bornes, la résolution de cette équation ce ramène à l’intégration suivante : T T α (t ) = α (T ) − ∫ [ e + f β 2 (u ) ] du = − ∫ [ e + f β 2 (u )] du t t On va donc utiliser l’expression précédemment calculée pour β 2 (u ) , successivement on trouve : T α (t ) = − ∫ [ e + f β 2 (u )] du t T   ∆ − (κ + λv + σρ )² = − ∫ e + f  du   t   σ² ( ( ) ∆ coth −0.5(T − u ) ∆ + κ + λv + σρ   ) T   A = − ∫ e +  du t   B ( coth ( D(T − u ) ) + C )   D ( T −t ) A = e(t − T ) − ∫0 DB ( coth ( x ) + C ) du D (T − t ) A 1 = e(t − T ) − DB ∫ ( coth ( x ) + C ) du 0  (1 − C ) (1 − e −2 D (T −t ) ) − 2  log   + D(T − t ) (1 − C )  (1 − C ) (1 − e0 ) − 2  = e(t − T ) − A   DB (1 − C ) ² = e(t − T ) − ( A log 2 − (1 − C ) (1 − e −2 D ( T − t ) ) ) + D(T − t ) (1 − C ) − log(2) DB (1 − C ) ² 199
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique    1 − κ + λv + σρ  ∆ (T − t )   ∆ − (κ + λv + σρ )²  log  2 − 1 −   ∆  1− e      ( ) = e(t − T ) − * −0.5σ ² (1 − κ + λv + σρ ) ²   1 − κ + λv + σρ    −0.5 ∆ (T − t ) 1 −   − log(2)     ∆      1 − κ + λv + σρ  ∆ (T − t )   = e(t − T ) − ∆ − (κ + λv + σρ )²  log  2 − 1 − *   ∆  1− e    ( ) −0.5σ ² (1 − κ + λv + σρ ) ²   (  −0.5(T − t ) ∆ − 1 + κ − λv − σρ − log(2)    ) posons : B = 1 − κ + λv + σρ alors ∆ − ( B + 2κ − 1)²    ∆ −B   α (t ) = e(t − T ) − −0.5σ ² B ² *  log  2 −     (  1− e ∆  ∆ (T − t ) )  − 0.5(T − t ) (  ) ∆ − B − log(2)         200
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 13 : GRS ett Liikelliihood Annexe 13 : GRS e L ke hood Expression de la fonction de Likelihood du modèle GRS Notons φt −1 l’information disponible à l’instant t, la fonction de Likelihood s’exprime comme le produit des distribution conditionnelles : N F = ∏ f (∆rt | φt −1 ) t =1 Notons d’autre part que ∆r est soumis à un changement de régime, donc : 2 f (∆rt | φt −1 ) = ∑ f (∆rt , St = i | φt −1 ) i =1 2 = ∑ f (∆rt | St = i, φt −1 ) P( St = i | φt −1 ) i =1 2 = ∑ f (∆rt | St = i, φt −1 ) pi ,t i =1 = f (∆rt | St = 1, φt −1 ) p1,t + f (∆rt | St = 2, φt −1 ) p2,t = f (∆rt | St = 1, φt −1 ) p1,t + f (∆rt | St = 2, φt −1 )(1 − p1,t ) Par conséquent, la distribution de ∆r conditionnée par l’information disponible à chaque instant peut s’exprimer en terme de changement de régime :  f (∆rt , St = 1| φt −1 )  avec proba p1,t ∆rt | φt −1 ~   f (∆rt , St = 2 | φt −1 )  avec proba p2,t En supposant l’hypothèse de normalité, on a alors : 1  −(∆rt − mi ,t )²    f (∆rt , St = i | φt −1 ) = exp   2π hi ,t   2hi ,t   201
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Nous devons donc trouver l’ expression des probabilités conditionnelles. Compte tenu de la structure de chaîne de Markov, le régime à l’instant t est seulement conditionné par le régime à l’instant t-1, nous pouvons donc écrire : 2 P( St = 1| {rt −1 , rt − 2 ,...}) = ∑ P( St = 1| St −1 = i,{rt −1 , rt − 2 ,...})P( St −1 = i | {rt −1 , rt − 2 ,...}) i =1 et dans chaque cas : P( St = 1| St −1 = i,{rt −1 , rt − 2 ,...}) = P( St = 1| St −1 = i ) D’autre part, on a : P( St = 1| St −1 = 1) = p P( St = 1| St −1 = 2) = 1 − p P( St = 2 | St −1 = 1) = 1 − q P( St = 1| St −1 = 2) = q On en déduit donc que : P( St = 1| φt −1 ) = P( St = 1| {rt −1 , rt − 2 ,...}) = p.P( St = 1| {rt −1 , rt − 2 ,...}) + (1 − q )(1 − P( St = 1| {rt −1 , rt − 2 ,...}) En utilisant la règle de Bayes : P( St −1 = 1|{rt −1 , rt − 2 ,...}) = P( St −1 = 1| ∆rt −1 ,{rt − 2 ,...}) f (∆rt −1 | St −1 = 1,{rt − 2 ,...}) P( St −1 = 1| {rt − 2 ,...}) = 2 ∑ f (∆r i =1 t −1 | St −1 = i,{rt − 2 ,...}) P( St −1 = i | {rt − 2 ,...}) où f (∆rt −1 | St −1 = i,{rt − 2 ,...}) = f (∆rt −1 | St −1 = i ) 202
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique On en déduit donc que la probabilité conditionnelle p1,t satisfait une simple relation de récurrence donnée par :  g 2,t −1 (1 − p1,t −1 )   g1,t −1 p1,t −1  p1,t = (1 − q ).   + p.    g1,t −1. p1,t −1 + g 2,t −1 (1 − p1,t −1 )     g1,t −1. p1,t −1 + g 2,t −1 (1 − p1,t −1 )    où on a posé : g1,t = f (∆rt | St = 1) g 2,t = f (∆rt | St = 2) La fonction de Likelihood s’écrit donc : N F = ∏ f (∆rt | φt −1 ) t =1 N = ∏ f (∆rt | St = 1, φt −1 ) p1,t + f (∆rt | St = 2, φt −1 )(1 − p1,t ) t =1 N = ∏ f (∆rt | St = 1) p1,t + f (∆rt | St = 2)(1 − p1,t ) t =1 N 1  −(∆rt − m1,t )²    1  −(∆rt − m2,t )²    = ∏ p1,t . exp   + (1 − p1,t ). exp   t =1 2π h1,t   2h1,t   2π h2,t   2h2,t   203
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Annexe 14 : Régressiion et test Annexe 14 : Régress on et test Regression du type AR + trend + variables binaires Dependent variable: Y = ElectricitySpot Characteristics: ElectricitySpot First observation = 1(=1.1) Last observation = 448(=64.7) Number of usable observations: 448 Minimum value: 4.9300000E+000 Maximum value: 7.3500000E+001 Sample mean: 2.2141607E+001 X variables: X(1) = LAG1[ElectricitySpot] X(2) = t (1.1 = 1) X(3) = Seasonal dummy 1 X(4) = Seasonal dummy 2 X(5) = Seasonal dummy 3 X(6) = Seasonal dummy 4 X(7) = Seasonal dummy 5 X(8) = Seasonal dummy 6 X(9) = 1 Model: Y = b(1)X(1) +.....+ b(9)X(9) + U, where U is the error term, satisfying E[U|X(1),...,X(9)] = 0. OLS estimation results Parameters Estimate t-value H.C. t-value(*) [p-value] [H.C. p-value] b(1) 0.49553 11.996 6.459 [0.00000] [0.00000] b(2) 0.00714 3.232 2.992 [0.00123] [0.00277] b(3) 12.41965 11.911 11.730 [0.00000] [0.00000] b(4) 9.35710 8.907 8.383 [0.00000] [0.00000] b(5) 8.39047 7.814 8.971 [0.00000] [0.00000] b(6) 7.39113 6.876 7.099 [0.00000] [0.00000] b(7) 6.27650 5.902 7.344 [0.00000] [0.00000] b(8) 1.63663 1.563 2.422 [0.11816] [0.01544] b(9) 3.10637 2.938 2.258 [0.00330] [0.02392] (*) Based on White's heteroskedasticity consistent variance matrix. [The two-sided p-values are based on the normal approximation] 204
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Effective sample size (n) = 447 Variance of the residuals = 33.497755 Standard error of the residuals = 5.787725 Residual sum of squares (RSS)= 14672.016664 Total sum of squares (TSS) = 29326.524639 R-square = 0.499701 Adjusted R-square = 0.490564 Overall F test: F(8,438) = 54.68 p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 1.68 1.96 Conclusions: reject reject Test for first-order autocorrelation: Durbin-Watson test = 2.266614 WARNING: Since the model contains a lagged dependent variable, the Durbin-Watson test is NOT valid! REMARK: A better way of testing for serial correlation is to specify ARMA errors and then test the nullhypothesis that the ARMA parameters are zero. Jarque-Bera/Salmon-Kiefer test = 7749.737425 Null hypothesis: The errors are normally distributed Null distribution: Chi-square(2)) p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 4.61 5.99 Conclusions: reject reject Breusch-Pagan test = 176.183931 Null hypothesis: The errors are homoskedastic Null distribution: Chi-square(8) p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 13.36 15.51 Conclusions: reject reject 205
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique If the model is correctly specified, in the sense that the conditional expectation of the model error U relative to the X variables and all lagged dependent (Y) variables and lagged X variables equals zero, then the OLS parameter estimators b(1),..,b(9), minus their true values, times the square root of the sample size n, are (asymptotically) jointly normally distributed with zero mean vector and variance matrix: 7.62727689E-01 -1.12941243E-02 3.30702797E+00 -4.39341177E+00 -6.01530831E+00 - 6.08147871E+00 -5.35179045E+00 -4.13979609E+00 -1.11009312E+01 -1.12941243E-02 2.17933765E-03 -4.39387160E-02 7.51161381E-02 9.71203442E-02 9.60880661E-02 8.32710750E-02 6.33123151E-02 -2.93375078E-01 3.30702797E+00 -4.39387160E-02 4.85986587E+02 2.14937118E+02 2.07899883E+02 2.07607951E+02 2.10766697E+02 2.16016621E+02 -2.83236583E+02 -4.39341177E+00 7.51161381E-02 2.14937118E+02 4.93278696E+02 2.68650091E+02 2.69021181E+02 2.64808020E+02 2.57816712E+02 -1.72306822E+02 -6.01530831E+00 9.71203442E-02 2.07899883E+02 2.68650091E+02 5.15394132E+02 2.81947059E+02 2.76184270E+02 2.66617738E+02 -1.48243578E+02 -6.08147871E+00 9.60880661E-02 2.07607951E+02 2.69021181E+02 2.81947059E+02 5.16429503E+02 2.76644540E+02 2.66974874E+02 -1.46822764E+02 -5.35179045E+00 8.32710750E-02 2.10766697E+02 2.64808020E+02 2.76184270E+02 2.76644540E+02 5.05481434E+02 2.63012391E+02 -1.56985079E+02 -4.13979609E+00 6.33123151E-02 2.16016621E+02 2.57816712E+02 2.66617738E+02 2.66974874E+02 2.63012391E+02 4.90393017E+02 -1.74166998E+02 -1.11009312E+01 -2.93375078E-01 -2.83236583E+02 -1.72306822E+02 -1.48243578E+02 - 1.46822764E+02 -1.56985079E+02 -1.74166998E+02 4.99665356E+02 provided that the conditional variance of the model error U is constant (U is homoskedastic), or 2.63138927E+00 -2.38421075E-02 9.07071290E+00 -1.07298662E+01 -1.86101894E+01 - 1.85261983E+01 -1.77468142E+01 -1.41460157E+01 -4.14089493E+01 -2.38421075E-02 2.54224488E-03 3.97508643E-01 3.69250784E-01 2.06845478E-01 3.93009114E-01 2.49013966E-01 1.51407299E-01 -1.73490376E-01 9.07071290E+00 3.97508643E-01 5.01087116E+02 3.47917784E+01 4.51933835E+00 5.09795213E+00 5.41252495E+00 1.66779731E+01 -3.16423277E+02 -1.07298662E+01 3.69250784E-01 3.47917784E+01 5.56924052E+02 1.38475077E+02 1.38265376E+02 1.36991508E+02 1.22658507E+02 4.15222346E+01 -1.86101894E+01 2.06845478E-01 4.51933835E+00 1.38475077E+02 3.91019657E+02 1.94905106E+02 1.90179515E+02 1.64871817E+02 2.19025610E+02 -1.85261983E+01 3.93009114E-01 5.09795213E+00 1.38265376E+02 1.94905106E+02 4.84562083E+02 1.89817931E+02 1.64571247E+02 1.75157021E+02 -1.77468142E+01 2.49013966E-01 5.41252495E+00 1.36991508E+02 1.90179515E+02 1.89817931E+02 3.26469606E+02 1.60302787E+02 1.94279631E+02 -1.41460157E+01 1.51407299E-01 1.66779731E+01 1.22658507E+02 1.64871817E+02 1.64571247E+02 1.60302787E+02 2.04116663E+02 1.52488957E+02 -4.14089493E+01 -1.73490376E-01 -3.16423277E+02 4.15222346E+01 2.19025610E+02 1.75157021E+02 1.94279631E+02 1.52488957E+02 8.45646019E+02 if the conditional variance of the model error U is not constant (U is heteroskedastic). Test LM - ARCH(p) sur l’erreur de régression p=1 Test statistic = 0.00 Null distribution: Chi-square with 1 degrees of freedom p-value = 0.97969 Significance levels: 10% 5% Critical values: 2.71 3.84 Conclusions: accept accept 206
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique p=2 Test statistic = 9.61 Null distribution: Chi-square with 2 degrees of freedom p-value = 0.00818 Significance levels: 10% 5% Critical values: 4.61 5.99 Conclusions: reject reject p=3 Test statistic = 9.84 Null distribution: Chi-square with 3 degrees of freedom p-value = 0.02000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 6.25 7.81 Conclusions: reject reject p=4 Test statistic = 16.53 Null distribution: Chi-square with 4 degrees of freedom p-value = 0.00239 Significance levels: 10% 5% Critical values: 7.78 9.49 Conclusions: reject reject p=5 Test statistic = 16.64 Null distribution: Chi-square with 5 degrees of freedom p-value = 0.00523 Significance levels: 10% 5% Critical values: 9.24 11.07 Conclusions: reject reject p=6 Test statistic = 16.63 Null distribution: Chi-square with 6 degrees of freedom p-value = 0.01076 Significance levels: 10% 5% Critical values: 10.64 12.59 Conclusions: reject reject p=7 Test statistic = 16.98 Null distribution: Chi-square with 7 degrees of freedom p-value = 0.01755 Significance levels: 10% 5% Critical values: 12.02 14.07 Conclusions: reject reject p=8 Test statistic = 18.54 Null distribution: Chi-square with 8 degrees of freedom p-value = 0.01754 Significance levels: 10% 5% Critical values: 13.36 15.51 Conclusions: reject reject p=9 Test statistic = 18.49 Null distribution: Chi-square with 9 degrees of freedom 207
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique p-value = 0.02990 Significance levels: 10% 5% Critical values: 14.68 16.92 Conclusions: reject reject p = 10 Test statistic = 18.57 Null distribution: Chi-square with 10 degrees of freedom p-value = 0.04613 Significance levels: 10% 5% Critical values: 15.99 18.31 Conclusions: reject reject p = 11 Test statistic = 18.74 Null distribution: Chi-square with 11 degrees of freedom p-value = 0.06588 Significance levels: 10% 5% Critical values: 17.27 19.67 Conclusions: reject accept p = 12 Test statistic = 18.70 Null distribution: Chi-square with 12 degrees of freedom p-value = 0.09601 Significance levels: 10% 5% Critical values: 18.55 21.03 Conclusions: reject accept p = 13 Test statistic = 18.79 Null distribution: Chi-square with 13 degrees of freedom p-value = 0.12979 Significance levels: 10% 5% Critical values: 19.81 22.36 Conclusions: accept accept p = 14 Test statistic = 19.75 Null distribution: Chi-square with 14 degrees of freedom p-value = 0.13837 Significance levels: 10% 5% Critical values: 21.06 23.68 Conclusions: accept accept p = 15 Test statistic = 20.08 Null distribution: Chi-square with 15 degrees of freedom p-value = 0.16897 Significance levels: 10% 5% Critical values: 22.31 25. Conclusions: accept accept p = 16 Test statistic = 20.20 Null distribution: Chi-square with 16 degrees of freedom p-value = 0.21147 Significance levels: 10% 5% Critical values: 23.54 26.3 Conclusions: accept accept 208
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique p = 17 Test statistic = 20.33 Null distribution: Chi-square with 17 degrees of freedom p-value = 0.25747 Significance levels: 10% 5% Critical values: 24.77 27.59 Conclusions: accept accept p = 18 Test statistic = 20.60 Null distribution: Chi-square with 18 degrees of freedom p-value = 0.29991 Significance levels: 10% 5% Critical values: 25.99 28.87 Conclusions: accept accept p = 19 Test statistic = 22.85 Null distribution: Chi-square with 19 degrees of freedom p-value = 0.24417 Significance levels: 10% 5% Critical values: 27.2 30.14 Conclusions: accept accept p = 20 Test statistic = 22.81 Null distribution: Chi-square with 20 degrees of freedom p-value = 0.29807 Significance levels: 10% 5% Critical values: 28.41 31.41 Conclusions: accept accept 209
  • Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique Réferences Réferences [0] Aase, K. Optimum portfolio diversification in a general continuous-time model. Stochastic Processes and their Applications 18, 81-98, 1984. [1] Barlow, M. A diffusion model for electricity pricing, Mathematical Finance, 2002 [2] Barndorff-Nielsen, O.E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size Proceedings of the Royal Society London A (353): 401-419. 1977 [3] O.E. Barndorff-Nielsen, Processes of Normal Inverse Gaussian Type, Finance and Stochastics, 2 (1998), 41–68. [4] Barndorff-Nielsen, O. and Blaesild, P. Hyperbolic distributions and rami_cations: Contributions to theory and application C. T. et al. (ed.),Statistical Distributions in Scienti_c Work , Vol. 4, D. Reidel Publishing Company, pp. 19_44., 1981 [5] Barndorff-Nielsen, O.E., Jensen, J.L. and Sorensen, M. Parametric modelling of turbulence Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 332, 439-455, 1998 [6] Barndorff-Nielsen ,O.E., Mikosch, T., Resnick, S. Levy Processes Theory and Applications Springer-verlag New York , April 2001 . [7] Bates, D. S. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options University of Pennsylvania and National Bureau of Economic Research [8] Benhamou, E. Option pricing with levy processes using levy exponent Goldman Sachs International (UK) [9] Bertoin, J. Lévy processes Cambridge University Press, 1996 210
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