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  • 1. 14‐08‐2013 1 METODOS PARA CALCULAR  DEFORMACIONES •MÉTODO DE LOS TRABAJOS•MÉTODO DE LOS TRABAJOS      VIRTUALES •SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO •METODO DE LA VIGA CONJUGADA •METODO DE LOS TRES MOMENTOS•METODO DE LOS TRES MOMENTOS •METODO DE CROSS MÉTODO DE LOS TRABAJOS  VIRTUALES  (O CARGA UNITARIA) a) PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS  VIRTUALES b) FUNDAMENTOS DEL METODO c) MÉTODO
  • 2. 14‐08‐2013 2 a) PRINCIPIO DE LOS  DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES • Si un sistema de fuerzas “Q” que actúan sobre un  cuerpo rígido está en equilibrio y permanece encuerpo rígido está en equilibrio y permanece en  tal estado cuando el cuerpo sufre un  desplazamiento virtual pequeño cualquiera, el  trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas  “Q” es igual a cero. Virtual:  indica que la acción que produce el desplazamiento es ajena e  independiente del sistema de fuerzas “Q”.  El trabajo realizado por  estas fuerzas cuando “caminan” durante ese desplazamiento virtual  se llamará “trabajo virtual”. DEMOSTRACIÓN DEL PRINCIPIO HIPÓTESIS: Cuerpo rígido en equilibrio estático  b j i t d f “Q”bajo un sistema de fuerzas “Q”. Rígido: Indeformable; no existe movimiento relativo entre las partículas. Equilibrio estático: q
  • 3. 14‐08‐2013 3 TRASLACIÓN DEL CUERPO SIN GIRO (Una cantidad pequeña por una causa ajena al  sistema de fuerzas “Q”) Condición de equilibrio:Condición de equilibrio: GIRO DEL CUERPO SIN TRASLACIÓN (Una cantidad pequeña por una causa ajena al  sistema de fuerzas “Q”)
  • 4. 14‐08‐2013 4 CONCLUSIÓN Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido se  puede descomponer en una traslación de un  d d d l á i d épunto dado del cuerpo más un giro de éste  alrededor de dicho punto. Como tanto en el caso de la traslación como en el  caso de la rotación, el trabajo realizado por el  sistema de fuerzas “Q” en equilibrio es nulosistema  de fuerzas  Q  en equilibrio es nulo b) FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE  LOS TRABAJOS VIRTUALES • Un cuerpo en equilibrio en estático bajo cargas externas “Q”  y reacciones.y reacciones. • Cada partícula está sometida a esfuerzos internos en caras  internas y esfuerzas externas en caras externas. • En caras internas de 2 partículas contiguas, los esfuerzos  internos serán iguales y de dirección opuesta.
  • 5. 14‐08‐2013 5 SI EL CUERPO SUFRE UNA PEQUEÑA “VARIACIÓN DE FORMA” PRODUCTO DE ALGUNA  CAUSA “AJENA” AL SISTEMA DE FUERZAS “Q” TAL “DEFORMACIÓN VIRTUAL” PRODUCIRÁ UN RECORRIDO DEL SISTEMA DE FUERZAS “Q”. POR CAUSA DE LA VARIACIÓN DE FORMA, CADA PARTÍCULA (RAYADA) PUEDE  DEFORMARSE,TRASLADARSE Y GIRAR COMO PARTÍCULA RÍGIDA. POR TANTO LAS CARAS DE ESA PARTÍCULA SE PUEDEN  DESPLAZAR, POR LO QUE SE  MOVERÁN LAS TENSIONES “Q” APLICADAS EN TALES CARAS, REALIZANDO UN TRABAJO  VIRTUAL. =Trabajo virtual realizado por las tensiones Q en las caras de una partícula diferencial. EN TODO EL CUERPO : Trabajo virtual total realizado por  Trabajo virtual de  las tensiones internas “Q” y las  fuerzas externas en todas las caras  de las partículas = Wint +Wext j deformación 0 I Nota: Las fuerzas que actuan en las caras interiores de 2 partículas contiguas tienen igual  magnitud y sentido contrario, por lo que los trabajos se anulan. LEY DE TRABAJO VIRTUAL: SI UN CUERPO DEFORMABLE  ESTÁ EN EQUILIBRIO BAJO UN  SISTEMA DE FUERZAS “Q” Y PERMANECE EN TAL ESTADO CUANDO SE LE SOMETE A  UNA DEFORMACIÓN VIRTUAL. EL TRABAJO EXTERIOR REALIZADO POR LAS FUERZAS  EXTERIORES “Q” QUE ACTUAN SOBRE EL CUERPO ES IGUAL AL TRABAJO VIRTUAL  INTERIOR DE DEFORMACIÓN REALIZADO POR LAS TENSIONES INTERNAS “Q”
  • 6. 14‐08‐2013 6 CÁLCULO DE Wext • Wext: Trabajo efectuado por las cargas externas que actúan  sobre la estructura durante el desplazamiento. CÁLCULO DE Wint • Wint: Trabajo virtual realizado por los por los esfuerzos internos que  actúan sobre la estructura durante el desplazamiento.
  • 7. 14‐08‐2013 7 MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL Se consideran 2 sistemas de cargas que actúan sobre la estructura: • SISTEMA 1: Estructura sometida a cargas reales, cambios de Tº o a otras causas que sean el  origen del desplazamiento que se ha de calcular. • SISTEMA 2: Estructura sometida a una carga unitaria actuando en el punto donde se requiere  conocer el desplazamiento, con dirección y sentidos de éste. Requerimientos de la carga unidad: ‐Tiene valor 1 ‐Correspondiente al desplazamiento deseado, i.e. actúa en el punto donde se  requiere determinar el desplazamiento. Tiene la dirección y sentido positivo  del desplazamiento. TIPO DE DESPLAZAMIENTO A CALCULAR CARGA UNIDAD A APLICAR Traslación Fuerza concentrada Rotación Par Traslación relativa de 2 puntos a lo largo  de una recta 2 Fuerzas colineales de sentidos  contrarios actuando en los puntos Rotación relativa entre 2 rectas 2 pares iguales y de sentido contrario Deformaciones virtuales:  Se toman como deformaciones virtuales a las deformaciones  reales de la estructura causadas por el  SISTEMA 1. Se le imponen estas “deformaciones virtuales” al SISTEMA 2 (carga unidad) Trabajo externo:  Durante la deformación virtual, el único trabajo virtual externo es el que realiza la carga  nidadunidad. Trabajo interno: Es el efectuado por los esfuerzos internos desarrollados en el sistema 2, (Nu,Mu,Vu, Tu,)  donde el subíndice “u” se refiere a “unidad”), cuando los elementos de la estructura sedonde el subíndice  u  se refiere a  unidad ), cuando los elementos de la estructura se  deforman virtualmente.  Las deformaciones virtuales se eligen de tal modo que sean iguale a las reales cuando la  estructura soporta las cargas reales. 
  • 8. 14‐08‐2013 8 Ecuación válida para todos los materiales, independientemente del hecho de que  cumplan con la ley de Hooke o no.p y Si el material cumple con la Ley de Hooke, entonces: La ecuación anterior sirve para encontrar el desplazamiento  en un punto de una  estructura cuando el material es linealmente elástico (Hooke) y es válido el principio de  superposición. CASOS PARTICULARES Armadura Efectos de Temperatura: Entonces                               calculados anteriormente no sirven ya que corresponden a las  deformaciones producidas por las cargas: axial, momento, corte y torsión respectivamente. Variación constante de Tº a lo largo del elemento: Variación lineal de Tº entre una cara hasta la otra, pero constante sobre la longitud del  elemento. En general: deformación causada por variación de TºEn general: deformación causada por variación de Tº.

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