Barem Culegere evaluare nationala 2012
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Barem Culegere evaluare nationala 2012

on

  • 6,914 views

Baremul de rezolvare a celor 184 de modele de subiecte.

Baremul de rezolvare a celor 184 de modele de subiecte.

Statistics

Views

Total Views
6,914
Views on SlideShare
6,914
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
73
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Barem Culegere evaluare nationala 2012 Barem Culegere evaluare nationala 2012 Document Transcript

  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 1 Prof Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 02012=0, 20120=1,mai mic este numărul 0 5p ro2. Resturile ce se pot obţine la împărţirea cu 6 sunt 0, 1, 2, 3, 4,5.Suma lor este 5p 15 75 Amplificăm raportul cu 25 şi se obţine 100 , ceea ce înseamnă 75% o.3. 5p4. 900- 39045’=50015’ 5p5. V cub =l3=125, l=5, d=5 3 nf 5p6. ei Dacă notăm cu x numărul total de persoane ce participă la sondaj, atunci 5p 10 = 228 ⋅ x , x=2280; 25% din 2280 înseamnă 570 de persoane ce răspund at 100 cu „Nu” .m SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Patrulaterul ortodiagonal este patrulaterul ce are diagonalele perpendiculare 5pw2. 42-13=29 cărţi se găsesc pe raftul al doilea, 29+5=34 cărţi pe raftul al treilea, 2p 42+29+34=105 cărţi în total 3pw3. Notăm cu „a” numărul răspunsurilor corecte şi cu „b” numărul răspunsurilor 2p greşite.Din textul problemei rezultă relaţiile: a+b=30 şi 5a-3b=110.w Inmulţind prima relaţie cu 3 şi adunând-o cu a doua, se obţine a=25 3p răspunsuri corecte4. a) f(x) = 3x-3. Se aleg de exemplu punctele de intersecţie cu axele de 2p coordonate A(0, -3) şi B(1,0) 3p şi se reprezintă într-un sistem de axe, dreapta AB b) Pentru a determina punctul de coordonate egale, situat pe graficul funcţiei, 2p 3 3 3 rezolvăm ecuaţia f(x) =x; se obţine x = deci punctul va fi M( , ) 2 2 2 3p 1
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte5 x 2 + 11x + 30 x 2 + 6 x + 5 x + 11 2p = = x 2 + 12 x + 35 x 2 + 7 x + 5 x + 35 3p ( x + 6)( x + 5) x+6 = , (∀) x ∈  − {−7} ( x + 7)( x + 5) x+7 SUBIECTUL III (30 de puncte) ro V cutie = 48∙ 24 ∙ 1 = 1152cm31. a) l=240 mm=24 cm; h=0,1 dm =1 cm; 3p o. 2p b) O duzină are 12 cutii de chibrite; V cub =12∙V cutie =22∙ 3 ∙ 24∙ 3 ∙ 3 ∙ 23=29∙ 33= (23∙ 3 )3→ latura cubului va fi 2p egală cu23∙ 3 =24 cm nf P P P 3p P ei c) Aria totală a unei duzini este 6l2=6∙242=3456 cm2 2p Dacă pentru ambalarea unei duzini sunt necesari 3456 cm2 hărtie atunci 3p pentru 125 duzini vor fi necesari 125∙3456 cm2=432000cm2=43,20 m2 at2. a) 21+15+9+9+11+5=70 stâlpi 5p .m b) A ABEF =372 m2, A BCDE =432 m2,A totală =804 m2; 2p p ⋅ 804= 432 → p= 53, 73 100 3pw c) BE= 6 13 ≅ 6 ⋅ 3,5 =21m, 2p 3pw BE=28 ⋅10−4 ⋅t , t=15000sw 2
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 2 Prof. Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. -2 5p ro2. Fals;dacă ultima cifră a unui număr este 2, acesta nu poate fi pătrat perfect 5p3. (68, 88)=4 5p o.4. P=4l=36, l=9 5p nf5. l 3 2 27 2 9 2 5p V= = = 12 12 4 Din cele 100 pătrăţele ale figurii sunt colorate 52; p%100=52; p=526. ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Se desenează un cub cu muchia de 4 cm 5p .m2. Notăm cu „m” preţul unei mese şi cu „s” preţul unui scaun. 2p 3m+12s=576; m=4s; s=24 lei, m=96 lei 3pw3. 7a+5b+3c= 2p (a+b+3c)+(3a+2b)=108+132=240 3pw4. a) f(2)=1→a+b+2=1→a+b=-1 1pw 2p g(2)=1→3b-a=1. Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii şi se obţine a=-1 şi b=0→f(x)=-x+3 şi g(x)=1 2p b) Se obţine după reprezentarea într-un acelaşi sistem de axe, un trapez 2p 5 dreptunghic cu bazele 2 şi 3 , înălţimea 1→A = 2 3p 3 View slide
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte5 (a + 3) 2 − (a − 3) 2 2p = (2a + 3) 2 + (2a − 3) 2 (a + 3 − a + 3)(a + 3 + a − 3) 6 ⋅ 2a 6a = = 4a + 12a + 9 + 4a − 12a + 9 8a + 18 4a 2 + 9 2 2 2 3p SUBIECTUL III (30 de puncte) a) A t = 2∙ (𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 + 𝐿𝐿 ∙ ℎ + 𝑙𝑙 ∙ ℎ)=35100 cm2 ro1. 5p b) V=𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ℎ =450 dm3=450 l o. 5p c) preţ total= 6 ∙ 3,51 ∙ 25 = 526,5 𝑙𝑙 𝑙𝑙 𝑙𝑙 5p2. nf a) 72=(x+7)(x+1)→x=5→ AB=12 cm şi AD=6 cm b) A ABC = A ABCD =36, EC mediană în triunghiul ABC→A AEC=18 5p 1 ei 5p 2 c) DF este bisecroarea unghiului ADC; aplicănd teorema bisectoarei în at 5p AF AD AF 1 triunghiul ADC→ = → = , AC = 6 5 → AF = 2 5 CF DC FC 2 .mwww 4 View slide
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 3 Prof. Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. -24+4= -20 5p ro2. 123, 153, 183 5p3 {0,1,2,3,4} 5p o.4. m(B) = 0 − 240 ) : 2 = 0 (180 78 5p nf5. b=6, B=20, linia mijlocie va fi egală cu 13 5p6. 32 8 5p =P = 100 25 ei SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Se va desena un paralelipiped dreptunghic respectând dimensiunile date 5p .m2. 1 5 5p f(x) =ax+b, f(1) =2, f(-2) =1→a+b=2 şi -2a+b=1→ a = şi b = 3 3w3. x 2 7x 14 5p Dacă = , atunci x =2k,y=3k→ = y 3 7 x + y 17w4. a) 107: 3=35 rest 2, 107:4=16 rest 3, deci în sac pot fi 107 jucării 5p b) x=3c 1 +2, x=4c 2 +3, x+1=12k, 300<12k-1<350, x+1∈{312,324,336,348} 5pw x∈{311, 323, 335,347}5 9 x 2 + 12 x + 4 4 x − 5 (3 x + 2) 2 4x − 5 3x + 2 5p ⋅ = ⋅ = 16 x − 25 9 x + 6 (4 x − 5)(4 x + 5) 3(3 x + 2) 4 x + 5 2 SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) d2=L2+l2+h2→h=30 cm 5p 5
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) CS ⊥ ( ESU ), SD ⊥ EU ; EU , ES ⊂ ( ESU ) → 5p CD ⊥ EU (teorema celor trei perpendiculare); EU=50 cm, SD=24 cm, CD= 2 481 c) V apă =50∙ 40 ∙h apă , h apă =7,5 cm 5p ro2. a) ABCD trapez isoscel ortodiagonal→h=(b+B):2→CD=20 m 5p o. A ABCD =10000 m2=100 ari b) A BMC =4000 m2=40% A ABCD 5p c) P AMCD =220 +60 5 m nf 5p ei (220 +60 5 ) ⋅ 12,5 ≅ 4427 lei at .mwww 6
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 4 Prof. Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. x= -9 5p ro2. 5 zile 5p3. 160 lei 5p o.4. 4 cm 5p nf5. 600 5p6. 6 elevi 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Se va desena o prismă hexagonală regulată ce va fi notată 5p ABCDEFA’B’C’D’E’F’ .m2. Prin cardinalul unei mulţimi înţelegem numărul de elemente al acelei 1p mulţimi. 1 4 Numerele raţionale din mulţimea A sunt -12; 3; 2,94; 0; şi .w 2 2 3 Cardinalul mulţimii A ∩  este 6. 1w3. Dacă fiecare elev ar cunoaşte o singură limbă străină, atunci în clasă ar fi 35 2p de elevi.w 3p Diferenţa 35-25=10 reprezintă numărul elevilor ce cunosc ambele limbi4. a) A(1,4) ∈ G f ⇔ f(1) =4, B(-2,2) ∈ G f ⇔ f(-2) =2, 1p după înlocuire se obţin relaţiile a+b=-4, -2a+b=2 2p se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii→a=-2, b=-2 2p b) Se reprezintă într-un sistem de axe, de exemplu, punctele A(1,4) şi B(-2,2). 4p 7
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Dreapta AB reprezintă graficul funcţiei 1p5 x2 + 6x + 5 x2 + x + 5x + 5 ( x + 5)( x + 1) x + 1 5p = 2 = = x + 2 x − 15 x + 5 x − 3 x − 15 ( x + 5)( x − 3) x − 3 2 SUBIECTUL III (30 de ro puncte)1. a) CDAM este un trapez dreptunghic cu bazele AM=x, CD=9m şi înălţimea 2p AD=8m. o. ( B + b) ⋅ h Aria unui trapez se calculează cu formula A= 2 1 nf Înlocuind se obţine A DAMC = 4x+ 36 2 b⋅h 1p ei b) Aria triunghiului MBC poate fi calculată cu formula , 2 înălţimea din C a triunghiului coincide cu înălţimea trapezului, deci are at lungimea 8 m şi baza este MB=15-x 2p înlocuind se obţine A MBC = 4(15-x) 2p .m c) Fie MN ⊥ CD; CN=9-x=9-3=6m, MN=AD=8m 3p Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MNC se obţine CM= 10 2pw2. a) A l =2(Lh+lh)=1600 m2 5p b) Suprafaţa vopsită este egală cu 2A l =3200 m2w 2p 3200 ⋅ 0,025=80 kg 3pw c) 80 ⋅ 40=3200 lei ar costa vopseaua necesară 2p 20% din 3200=640 lei reducere 2p 3200-640=2560 lei a costat vopseaua 1p 8
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 5 Prof. Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 17 5p ro2. 24 5p3. 7 5p o. 114. 1420 5p5. 27 cm3 nf 5p6. -30 ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Se desenează tetraedrul CORP 5p .m2. Numărul fetelor este 2 ⋅ 9=18 fete 2p Numărul eelevilor este 9+18=27 elevi 3pw3. 7 5p n= 63 − 7 3 + 147 − 2 7 − = 3 7 −7 3 +7 3 −2 7 − 7 = 0 7w4. x 3 2p − 2 x =−6 − ⇒ 2 4w 3x 27 2p a) − = ⇒ − 2 4 1p x = 4,5 x y y 1p = ⇒x= 2 4 2 x+ y 1p b) = 12 ⇒ x + y = 24 2 2p y + y = 24 ⇒ y = 16, x = 8 2 1p 9
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte = z xy= 16 ⋅ 8 8 2 =5 (x+3)3- 25(x+3)= (x+3)(x+3-5)(x+3+5)= (x+3)(x-2)(x+8) 5p SUBIECTUL III (30 de puncte) ro1. a) A-B-C-D-E-F 22 km 5p d 2p b) d=v ⋅ t ⇒ t= v o. 1 1 distanţa AC=11 Km ⇒ t= h= ⋅ 60=10 minute 1p 6 6 nf 1p 1 1 distanţa CE=7 km ⇒ t= h= ⋅ 60=5 minute 12 12 ei distanţa AE va fi parcursă în 15 minute 1p at c) 12800:500=25,6 4p deci sunt necesare 26 de drumuri 1p .m2. a) A t =6l2=216 dm2=2,16 2p 216 dm2=2,16 m2 2pw deci sunt suficinţi 3 m2 1pw b) 2,16m2 ⋅ 3= 6,48 lei 5p c) V=216 cm3=0,216 dm3<1 dm3 Deci nu încape 1l de suc. 5pw 10
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 6 Prof. Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 8 5p ro2. 2 5p − 9 o.3. -2,-1,0,1,2,3 5p4. x2 x +1 nf 5p ei5. 36 2 5p at6. 3 feţe laterale şi două baze 5p SUBIECTUL II (30 de .m puncte)1. desen 5pw2. a+b=15, 1p a=4b, 1pw Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţi ⇒ a=12, b=3 3p3. 1− 3 = 3 −1 1pw 1+ 3 = 3 1+ 1p 1 − 3 + 1 + 3= 3 − 1 + 1 + 3= 2 3 2p 1p Rezultatul este număr iraţional4. a)preţul după prima scumpire este de 300+20%300= 360 lei; 2p preţul după a doua scumpire este de 360+ 10%360=396 lei 3p 11
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) 300+30%300=390 lei 5p5 256= (a-b)2=a2+b2-2ab; 2p 256=706-2ab 1p 2ab=450 1p ro ab=225 1p SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. a) ADCE=paralelogram; AD ⊥ DE, AD  CE ⇒ CE ⊥ DE ⇒  DCE 3p nf dreptunghic ⇒ DE= 5 3 tg (  DAB)= 3 ⇒ m(∢DAB)=600 2p ei b) EC=EB=5 cm, 2p m(∢CBE) =600,deci triunghiul BEC este echilateral at 3p 125 3 2p c) Aria trapezului ABCD este cm2 .m 4 125 3 2p Aria colii de hârtie este de 600 cm2> 4w 1p Deci poate fi decupat a) V=L ⋅ l ⋅ h:2=4950 cm3w2. 5p b) V 1 =22 ⋅ 15 ⋅ 20=6600 cm3 3pw V piatră =6600-4950=1650 cm3 2p c) A sticla =A t -A b = 2550 cm2 5p 12
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 7 Prof. Andone Elena SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 7,(3) 5p ro2. 12 5p3. 92,5g 5p o.4. 300 5p nf5. 9 3 5p6. 6,65 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Inecuaţia este echivalentă cu 6x+2-10<4x+1 ⇒ 6x-4x<1+10-2 ⇒ 2x<9 4p x este număr natural ⇒ x ∈ {0,1,2,3,4} 1 .m2. Fie a preţul unui kg de banane şi b preţul unui kg de portocale 1p 14a+8b=86 1pw 22a+24b=158 1pw Rezolvând sistemul format din cele două ecuaţii obţinem că 1 kg de banane 1p costa 5 lei, un kg de portocale 2 lei, 1p deci, 3kg banane şi 1 kg de portocale costă 17 leiw3. Raţionalizăm fiecare din termenii sumei cu expresiile conjugate 4p Se obţine 121 − 1 =10 1p4. a)2 x+1 ∈ { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6} ⇒ 2x ∈ {-2,-3,-4,-7,0,1,2,5} ⇒ x ∈ {-1,-2,0,1} 2p ⇒ A={0,1} 2p ecuaţia (2x+ 3 )(2-x 3 )=1 are soluţia x=1 1p 13
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte A ∩ B={1} b) -2 5p5 (x+1)2+(y+3)2=0 3p x= -1, y= - 3 2p ro SUBIECTUL III (30 de puncte) o.1. a) A DMN = A ABCD – A DCM - A ADN –A MNB = 2p =600-150-10(30-x)-5x= 150+5x 3p b)150+5x=200 ⇒ 5x=50 ⇒ x=10 nf aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADN şi obţinem 2p DN = 20 2 ei 3P c) Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul DMN este un 5p at triunghi dreptunghic în N2. a) V=L ⋅ l ⋅ h=240000 cm3 5p .m b) Dreptele D’B şi AD sunt necoplanare, AD  BC, D’B ∩ BC={B} ⇒ unghiul 2p dintre cele două drepte este unghiul D’BC. 2p √5w Triunghiul D’BC este dreptunghic în C; D’B=50 5 cos D’BC= 5 ⋅ 1pw c)A t =2(l ⋅ L+L ⋅ h+l ⋅ h)= 1p = 23600 cm2 4pw 14
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta8 Prof. Andrei Lenuţa SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 102 5p2. 0 5p ro3. 770 5p4. 25 5p o.5. 13 5p nf6. 30 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) ei1. Desenează tetraedrul regulat 4p Notează tetraedrul regulat MNPQ 1p at2. 10a-16b=a-b+9a-15b 2p =17+3(3a-5b) 2p =17+3·23=86 1p .m3. Notăm cu x numărul de probleme rezolvate în prima zi de Andrei ⇒ 2p x+x+5+x+10+x+15= 110 4x+30=110 ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 (probleme a rezolvat Andrei în prima zi) 2p In nicio zi numarul problemelor rezolvate nu este prim. 1pw4. a) f ( 0 ) = ⋅ 0 − 3 =−3 ⇒ A ( 0, −3) 3 1p 1p f (1) = 3 ⋅1 − 3 = 0 ⇒ B (1, 0 )w Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în 2p sistemul de axe xOy Trasarea graficului funcţiei f 1pw b) A ( x, y ) ∈ G f ⇔ f ( x ) = y 1p x = y ⇒ f ( x ) = y ⇒ 3x − 3 = x 2p 3 3 3 2x = 3 ⇒ x = ⇒ A ,  2p 2 2 25 1  1 2 x + 2 = x +  − 2 2 3p x  x 1 x 2 + 2 =7 2 − 2 =47 2p x 15
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte SUBIECTUL III (30 de puncte) 1. DM ⊥ AB, M ∈ ( AB )   2p a)  ⇒ AM =NB = m 10 CN ⊥ AB, N ∈ ( AB )   În ∆ADM m ( M ) = 900 şi m ( A ) = 450 ⇒ ∆ADM dreptunghic şi 1p isoscel ⇒ AM = MD = 10 m ro= = 900m 2 AABCD ( AB + CD ) ⋅ DM 2p 2 AB ⋅ CN o. 5p = b) A∆ABC = 500m 2 2 c) PABCD = AB + DC + 2 AD =180 + 20 2 3p 2. 2 PABCD = + 40 2 ≈ 416, 4m 360 T .P nf a) ∆ABC , m ( B ) = 0 ⇒ AC 2 =AB 2 + BC 2 = 2p 90 ei 10000 + 6400 =16400 2p = ⇒ AC = 20 41 cm 16400 T .P ∆ACA′ , m ( A ) = 0 ⇒ AA′ 2 =A′C 2 − AC 2 = 20000 − 16400 = 3600 ⇒ AA′ = at 90 60 cm 3p b)Fie DM ⊥ D′ B, M ∈ ( D′ B ) ⇒ d ( D, D′ B ) =DM 1p .m DD′⋅ BD DM = 2p D′ B 60 ⋅ 20 41 12 41 = = = 6 82 cm 100 2 2 2p w c) 40l = 40000cm3 1p Fie x înălţimea la care se ridică apa ⇒ V AABCD ⋅ x = 1pw 40000cm3 8000 ⋅ x ⇒ = 40000 : 8000 = x 2p x = 5cm 1pw 16
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta9 Prof. Andrei Lenuţa SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 42 5p2. (-∞;1] 5p o.3. 4 5p nf4. 192 5p5. 26 5p ei6. 6 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează prisma triunghiulară regulată 4p .m Notează prisma triunghiulară regulată 1p2. x 2p Fie x suma pe care o are Nicoleta ⇒ 3 x + + 27 = 287 3w 10 x 10 x ⇒ + 27 = 287 ⇒ = 260 2p 3 3 3 ⇒ x= 260 ⋅ = 78 1pw 103. 1 a− b 1p =w a+ b a −b 2 −1 3− 2 2012 − 2011 3p = E + + ... + 2 −1 3− 2 2012 − 2011 1p E =−1 + 20124. a) f ( 0 ) = ⋅ 0 − 2 = 2 ⇒ A ( 0, −2 ) 3 − 1p f (1) = 3 ⋅1 − 2 = 1 ⇒ B (1,1) 1p Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în 2p 17
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte sistemul de axe xOy Trasarea graficului funcţiei f 1p b) Aflăm punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy ⇒ A ( 0, −2 ) 1p Aflăm punctul de pe graficului funcţiei f care are ordonata egală cu 1 1p ⇒ B (1,1) ∆MAB este dreptunghic, deci distanţa de la M la graficul funcţiei f este ro înălţimea corespunzătoare ipotenuzei, MC ⊥ AB, C ∈ ( AB ) 1p ⇒ d (M ,Gf ) = MC Aplicăm teorema lui Pitagora în ∆MAB pentru a afla lungimea lui o. 1p AB ⇒ AB 2 = MA2 + MB 2 = 32 + 12 = 10 ⇒ AB = 10 MB ⋅ MA 3 ⋅1 3 10 MC = ⇒ MC = = nf AB 10 10 1p5 4 x2 − 4 x + 9 y 2 + 6 y + 5 = 4 x2 − 4 x + 1 + 9 y 2 + 6 y + 1 + 3 1p 4 x2 − 4 x + 1 = ( 2 x − 1) 2 ei 1p 9 y 2 + 6 y + 1 ( 3 y + 1) = 2 1p ( 2 x − 1) ≥ 0, ( 3 y + 1) ≥ 0 2 2 1p at 4 x − 4 x + 9 y + 6 y + 5 >0 2 2 1p SUBIECTUL III (30 de .m puncte)1. a) Notăm VABCD piramida, O centrul bazei ABCD, M mijlocul laturii BC 1pw În ∆VOM ( m ( O ) = 900 ) ⇒ VO 2 = VM 2 − OM 2 2p 1p OM apotema bazei ⇒ OM = 4mw 1p VO 2 = 2 − 42 = ⇒ VO = m 5 9 3w pb ⋅ a 1p b) At =+ Ab , Al = p , Ab = Al l2 2 2p 4 ⋅8⋅5 = = 80m 2 Al 2 Ab 64m 2 ⇒ A= 80m 2 + 64m 2 144m 2 = t = 1p 8 ⋅144m + 8 ⋅1m = m 2 11602 2 1p Ab ⋅ h 1p c) V = 3 64 ⋅ 3 = = 64m3 V 3p 3 18
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 64:3=21,(3), deci pot sta 21 de personae în cort. 1p2. a)Fie ABCD trapezul dreptunghic, AB=10m,CD=8m, m ( B ) = 600 , 1p 1p CM ⊥ AB ⇒ MB=2m ⇒ BC=4 m În ∆CMB, m ( M ) = 0 ⇒ CM 2 = 2 − MB 2 ⇒ CM 2 = 42 − 22 = 12 90 BC 2p ⇒ CM = 2 3 ( ) ro 1p PABCD = AB + BC + CD + AD = 10m + 4m + 8m + 2 3m = 2 11 + 3 m b) AABCD = ( AB + CD ) ⋅ CM 2p o. 2= (= 10 + 8 ) ⋅ 2 3 18 3m 2 ≈ 32m 2 3p nf 2 c)32·17,50=580 lei<590 lei, deci sunt suficienţi 5p ei at .m BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta10 Prof. Andrei Lenuţaw SUBIECTUL I (30 de puncte)w1. -3 5p2. 9 5pw3. 5 5p4. 44 5p5. 6 5p6. 169 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) 19
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte1. Desenează paralelipiped dreptunghic 4p Notează paralelipiped dreptunghic 1p2. Fie a,b,c suma primită de ocupantul locului I, al II-lea respectiv al III-lea 1p ⇒ a+b+c = 330 k k {a, b, c} i.p {1, 2,3} ⇒ a = 2b = 3c ⇒ a= k , b= , c= 1p 2 3 k k 6k + 3k + 2k 11k k + + = 330 ⇒ = 330 ⇒ = 330 ⇒ k= 180 ro 2p 2 3 6 6 1p ⇒ a = lei, b = 90 lei, c = 60 lei 1803. Notăm a = n 2 + 5n + 2 1p o. ⇒ = a ( a + 2 ) + = a 2 + 2a + 1 x 1 2p ( a + 1) = ( n 2 + 5n + 3) , deci x este pătrat perfect pentru orice n ∈  . 2 2 2p4. E (1) a) =   1 + 1  2 ⋅1 :  1+ 2 1− 2  1− 2 nf 1p 1 1  2 1 3 2 ei = :  + = :  − 1p  3 −1  −1  3 3  −1 2  1 =− ⋅  −  at 3  2 2p 1 = 1p 3 .m x−2+ x+2 2x 2p b) E ( x ) = : ( x + 2 )( x − 2 ) x − 2 2x 2x = : 1pw ( x + 2 )( x − 2 ) x − 2 2x x−2 1 = ⋅ = ( x + 2 )( x − 2 ) 2 x x + 2 2pw5 A (1, m ) ∈ G f ⇔ f (1) = m 2pw f (1) = 2 ⋅1 + 1 = 3 2p m=3 1p SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a)A=L·l 1p A=1500·100=150000 m 2 2p A=15 ha 2p b)9,375 tone grâu obținute de pe 3,75ha 5p 20
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) 9,375t=9375kg 5p2. AB a) MN linie mijlocie în ∆ABC ⇒ MN || AB, MN = = 3 cm, dar 2p 2 AB ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC ME ⊥ ( ABC )  Th.3⊥   ⇒ NE ⊥ AC ⇒ d ( N , AC ) = NE 1p MN ⊥ AC   ro Th. Pitagora În ∆EMN , m ( EMN ) = 0 90 ⇒ EN 2 = 2 + MN 2 = 16 + 9 = 25 EM 2p EN=5 cm o. AC ⊥ MN   5p b) AC ⊥ EN  ⇒ AC ⊥ ( EMN ) nf MN , EN ⊂ ( EMN )   ( EAC ) ∩ ( ABC ) = AC   ei 3p c) MN ⊥ AC , MN ⊂ ( ABC )  ⇒  ( ( EAC ) , ( ABC ) ) = , NE ) =  ( MN MNE  EN ⊥ AC , EN ⊂ ( EAC )  at cat.opusă ME 4 sin ( MNE ) = = = 2p ip. NE 5 .mwww 21
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof. Anghel Mihăiţă GiorgicăVARIANTA 11 SUBIECTUL I 30 de puncte1 18 5p ro2 5 5p3 10/3 5p o.4 3 5p nf5 14 5p6 a=6 si b=2 5p SUBIECTUL al II-lea ei 30 de puncte1 Reprezentarea corectă a desenului 5p at2 ( 3 + 2 +1)2=6+2 6 +2 3 +2 2 2p 3p 2[(1+ 2 )(1+ 3 )+2]= 6+2 6 +2 3 +2 2 .m3 l=0,25 3p A=0,0625m2 2pw4 a) f(2)=2 3p 2+m=10 , m=8 2p b) A(0,6) B(3,0) 3pw Reprezentarea corectă a graficului 2p5 15 lei 5p SUBIECTUL al III-lea 30 dew puncte1 a) BC=4 2 cm 5p b) A=(B+b)h/2 3p A=24 cm2 2p c) 450 5p2 a) AB=12m 3p h=3 3 m 2p b) A t =A l +2A b 3p A t =12(18+ 3 )m2 2p c) V=108 3 m3 3p 486 duble 2p 22
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVARIANTA 12 Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică SUBIECTUL I 30 de puncte ro1 2 5p2 b 5p o.3 x=11 si y=1 5p4 1 5p5 d= 119 cm nf 5p6 A=3 3 cm2 ei 5p SUBIECTUL al II-lea 30 de at puncte1 Realizarea corectă a desenului 5p2 x+y=30; 15x+20y=500 2p .m 20 duble 3p3 2+3*5+4*7=45 2p a=2, b=5, c=7 3p4 a) 4 a=6b 2pw a=3 si b=2 3p b)M a = (a+b)/2 2p M a =2,5 3pw5 E(x)=(4x2+4x)(4x2+4x+2) 2p E(x)=8x(x+1)(2x2+2x+1) 3p SUBIECTUL al III-lea 30 dew puncte1 a) 2a+b=0 ; - a+b= - 6 3p f(x)=2x- 4 2p b) A(0; - 4) B(2; 0) 3p Reprezentarea corecta a graficului 2p c) x=4 5 /5 u 5p2 a) V=A b h=80m3 3p 80: 40=2m3 2p b) V=A b h 3p V=32 3 m3 2p c) A=64m2 3p 1920 ţigle 2p 23
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVARIANTA 13 Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică SUBIECTUL I 30 de puncte ro1 6 5p2 8 5p o.3 15 5p4 л 5p nf5 22 5p6 2ha 5p ei SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte1 72m2 5p at2 t=12 5p .m3 M+C=4,10 (1) 3p M+D=4,30 (2) C+D=5,20 (3) Adunând cele trei relaţii obţinemw 2M+2C+2D=13,60 ⇒ M+C+D= 6,8 înlocuind în această relaţie relaţia (1) obţinem D= 2,70 lei Din relaţia (2) obţinem M= 1,60 lei 2pw Din relaţia (3) obţinem C= 2,50 lei4 a) f(6)=6m+5=8 3pw m=0,5 2p T .P 3p Fie B = prOx A ⇒  AOB, m ( B ) = 0 ⇒ AO 2 = 2 + AB 2 ⇒ 90 BO 2p AO 2 = 62 + 82 = 100 ⇒ AO = 10 u.m5 5. z − 1 ≤ 8 ⇒ −8 ≤ z − 1 ≤ 8 ⇒ −7 ≤ z ≤ 9 ⇒ z ∈ [ −7,9] 5p SUBIECTUL al III-lea 30 de pu nc te1 ( ) 3p T .P a) VOM , m ( O ) = 900 ⇒ VM 2 = 242 + 3 3 2 = 603 ⇒ a p = 3 67 dm 2p 24
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 3 ⋅18 ⋅ 3 67=Al = 81 67 dm 2 2 l2 3 3p b) Ab = 81 3dm 2 = 2p 4 At = Al + Ab = 81 67 dm 2 + 81 3dm 2 = 81 ( ) 67 + 3 dm 2 Ab ⋅ h 3p = c) V = 648 3dm3 2p 3 ro2 a) (AB+MC) CB=3AD*DM 3p DM=30cm 2p o. b) Perimetru AB+BC+CM+MA 3p P=180cm 2p c) PQ=(AB+MC)/2 2p PQ=45cm 3p nf ei at .mwww 25
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 14 Prof. Badea Daniela SUBIECTUL I (30 de puncte)1. -99 5p2. -4 5p ro3. 20 5p4. 36 5p o.5. 12 5p 500 nf6. 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) ei1. Desenează tetraedrul 4p Notează tetraedrul 1p at2. 2 S suma primită; mama îi dă S + 5 lei 1p 3 60  1  S tata îi dă ⋅  S − 5  + 3 = lei .m 1p 100  3  5 2 S 2S 2p ecuaţia este S + 5 + + 25 = S ⇔ = 30 3 5 15 S = 225 lei. 1pw3. 11x − 2 y = 40 3p  20 x − 19 y =42w x = 4 2p  y = 2w4. a) x ∈  − {0;1} 1p x ( x − 1) E ( x ) = ( x + 1) : ( x − 1) − 1 ⋅   2p 8 x + 1 − x + 1 x ( x − 1) E ( x) = ⋅ 1p x −1 8 Finalizare 1p 42012 − 1 3p ( ) ( ) ( ) b) E ( 4 ) +E 42 +E 43 +....+E 42012 =1+4+42 + ... + 42011 = 3 26
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 4 ⋅ E ( x − 1) 4 x −1 x −1 1p =⋅ = 3 3 4 3 4 −1 x −1 2012 1p = ⇔ = 42012 x 3 35. f :  → , f ( x ) = ax + b 1p G f ∩ Ox = { A ( 2, 0 )} ⇔ f ( 2 ) = 0 ⇔ 2a + b = 0 1p ro G f ∩ Oy = B ( 0, −6 )} ⇔ f ( 0 ) = 6 ⇔ b = 6 { 1p − − a=3 1p f ( x= 3 x − 6 ) 1p o. SUBIECTUL III (30 de puncte)1. At = 2 ( Ll + Lh + lh )= 796cm 2 nf a) d 2 = L2 + l 2 + h 2 ⇔ 676 = 64 + 36 + h 2 ⇔ h = 25 2p 2p = Llh 1200cm V = 3 ei 1p b) PQ ⊥ D`B, Q ∈ D`B ⇒ d ( P, D`B ) = PQ 1p at D`P 2 D`P 2 = ⇔ = D`P=10cm ⇒ 1p DP 3 D`D 5 ∆D`PQ  ∆D`BD ( caz I ) 1p .m D`P PQ D`Q 10 ⇒ = = = 1p D`B BD D`D 26 50 1p PQ= cm 13w ( AAPD ⋅ d M , ADD )w VAMPD =VMAPD = 1p 3 c) ( ) d M , ADD = MN , N mijlocul lui AD ⇒ MN = ( ) AB = 3cm 2pw 2 AD ⋅ PD 1p = AAPD = 40cm 2 2 1p VMAPD = 40cm32. a)AM=MT= 4 2m ; TN=NB= 2 2m 2p ( L= 2 4 2 + 2 2 =12 2m) 3p b) R ` = 6m; R=4m; r=2m 1p 27
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte π = S1 2 ( ) R `2 + r 2 − R 2 12π m 2  37,8m 2 = 2p S 2 = 2TN ⋅ 0,5 = 2 2m  2,82m 2 1p S =  37,8 − 2,82=34,98m 2 S1 − S 2 1p c) Lr = 2π R`=12π m  37,8m=3780cm 1p 3780:30=126 (arbuşti pe circumferinţa rondului) 1p ro La = π ( R+r ) =6π m  18,9m=1890cm 1p 1890:30=63(arbuşti) 1p Finalizare: 126+63-1= 188 arbuşti 1p o. BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE nfVarianta 15 Prof. Badea Daniela SUBIECTUL I (30 de puncte)1. x ei 5p2. 9 5p at3. 2 5p4. 7 5p .m 85. 36 5pw6. 36 5p SUBIECTUL II (30 de puncte)w1. Desen 4p Notaţii 1pw2. x+ y+ z +t 1p = 1904 4 3 3 3 = = = x y; y z; z t 1p 5 5 5 27 9 3 t + t + t +t= 1904 ⇔ t 875 = 2p 125 25 5 = 189; y 315; z x = = 525 1p3. a + 6b = 77 ⇔ a + 2b = 77 − 4b 1p ( a + 2b )11 ⇔ ( 77 − 4b )11 1p 28
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ( 77 − 4b )11  1p  ⇒ 4b 11 77 11   finalizare 2p4. a) G f  Gg =} ⇒ f ( 5 ) = g ( 5 ) = {M 6⇒ 6 1p 1p N (1;-2 ) ∈ Gg ⇔ g (1) = −2 5m + n = ro 6  2p m + n = 2 − g ( x) 2x − 4 = 1p o. b) G f  Oy = ⇒ f ( 0 ) = A ( 0;1) {A} 1⇒ 1p 1p Gg  Oy = B} ⇒ g ( 0 ) = 4 ⇒ B ( 0; − 4 ) { − nf AB ⋅ hM 2p AMAB = 2 25 AMAB = 1p 2 ei5 2p ( x − 2) + 9 ≥ 9= 3, ( ∀ ) x ∈  2 x 2 − 4 x + 13= at ( y + 3) + 25 ≥ 25 = 5, ( ∀ ) y ∈  2p 2 y 2 + 6 y + 34 = N ≥ 8, ( ∀ ) x, y ∈  ⇒ valoarea minimã este 8. 1p .m SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) cercurile au diametrul de 24 cm 1pw 120:24=5 1p 85=24 ּ◌3+13=24 ּ◌3+12+1 1p Total 35 coşuleţe (semidiscuri) 2pw b) ∆VAB isoscel cu m ( AVB ) = 450 1p ∆VNB dr.isoscel ⇒ VN=NB=6 2 1pw ∆ANB dr. ⇒ AB = 12 2- 2cm l= 1p 1, 41 < 2 < 1, 42 ⇒ 0,58 < 2 − 2 < 0,59 1p ⇒ 83,52 < l < 84,96 ⇒ 9 < l < 10 ⇔ 9 < l < 10 2 2 2 2 1p c) ∆MAB echilateral 1p din b ) p = 4MB = 4l ⇒ 36cm < p < 40cm 1p 1p 1260cm < 35 p < 1400cm 1p 1260cm 12, 6m > 12m = 1p Nu sunt suficienţi 12m de pamblică 29
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) DB l = 24 2cm = 2 1p ∆BCD echilateral ⇒ BC = 2cm 24 1p ( ) ( PABCD =2 ( AB+BC ) 2 24 + 24 2 =48 1+ 2 cm = ) 1p = AO+OC 12 2+12 6cm AC = 1p ( L=PABCD +BD+AC = 12 4 + 7 2 + 6 cm) 1p ro b) SABCD =SABD + S BCD 1p l2 = SABD = 288cm 2 1p 2 o. S BCD = 288 3cm 2 1p ( S= 288 1 + 3 cm 2 ABCD ) 2p nf c) SMNPQ =AC ⋅ BD 2p AC ⋅ BD ABCD ortodiagonal ⇒ SABCD = 1p 2 ei SABCD 1 2p = SMNPQ 2 at BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE .mVarianta 16 Prof. Badea Daniela SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 1 5pw 22. 6 5pw3. 20 5p4. 7 5pw5. 12 2 5p6. 2200 5p SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desen 4p Notaţii 1p 30
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. ( ) 3p 2 7− 3 − 7 + 2 21 10 − 2 21 − 7 + 2 21 =3 2p3. E ( x ) =8 x + 16 − 3p 1p E ( x ) = 0 ⇔ −8 x + 16 = 0 1p x=2 ro4. a) x = nr. vaze cu câte 3 fire; y = nr. vaze cu câte 5 fire 1p x + y = 40  2p 3 x + 5 y =154 o.  x = 23   y = 17 2p nf b) 154 = 2 ⋅ 7 ⋅11 1p mulţimea divizorilor lui 154 mai mici ca 17 este {1, 2, 7,11,14} 2p nr. minim de vaze : 154:14=11 2p ei5 f ( −2 ) =5 ⇒ A ( −2;5 ) ∈ G f , 1p Reprezentarea punctului A 1p at f ( 3) = 5 ⇒ B ( 3; −5 ) ∈ G f − 1p Reprezentarea punctului A 1p 1p .m Trasarea graficului SUBIECTUL III (30 de puncte) a) 2 = a 2 ⇔ a x 2 =w1. x 3p l = 2 ( x + a ) = 2x 1+ 2 ( ) 2pw b) P = ⋅ 2 ( x + a ) = x 1 + 2 8 16 ( ) 2p P = ⋅10 16 ( )( 2 −1 1+ 2 ) 1pw P = 160cm 1p ( ) a2 1p c) S ABCDEFGH = l − 4 ⋅ = 8 x 2 1 + 2 2 2 ( ) 1p S paralelogram= ( 2 x + a ) ⋅ a ⋅ sin 450= x 2 2 + 2 ( ) ( St = 8 x 2 1 + 2 + 8 x 2 2 + 2 = 8 x 2 3 + 2 2 ) ( ) 1p ( ) (3 + 2 2 ) = 2 St = 8 ⋅100 2 −1 800cm 2 2p 31
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) 2p MN ⊥ ( ABC )   T 3⊥ PN ⊥ BD  ⇒ MP ⊥ BD ⇒ d ( M , BD ) = MP  PN , BD ⊥ ( ABC )   ∆MNP, N = 1dr   T . P. 3p = 6  ⇒ MP 3 6cm = ro MN AC  NP = 3 2  = 4  o. b) ( D`AC )  ( ABC ) = AC   D`O ⊥ AC , D`O ⊂ ( D`AC )  ⇒ m (  ( D`AC ) , ( ABC ) ) = ) m ( D`OD nf 2p  DO ⊥ AC , D`O ⊂ ( ABC )  T . P. 1p ∆D`OD, D = dr ⇒ D`O = 6 1 6 ei DD` 12 6 = sin O = = 2p D`O 6 6 3 at DE ⊥ D`O  3p  c) AC ⊥ ( D`OD )    ⇒ DE ⊥ ( D`AC ) ⇒ d ( D, ( D`AC ) ) = DE  ⇒ AC ⊥ DE  .m DE ⊂ ( D`OD )    DO ⋅ DD`= = 4 3cm DE 2p D`Owww 32
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 17 Prof. Badea Ion SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 5 5p ro2. 75 5p3. 1 5p o.4. 8 5p nf5. 18 2 5p6. 893 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desen cercuri tangente exterioare 3p Desen tangentă comună 2p .m2. 10 muncitori.............. 7 zile  i. p. 2p ⇒ 14muncitori............... x zile  10 ⋅ 7 =x = 5 2pw 14 3 + 5 = zile 8 1pw3. 13 | abc ⇔ 13 |100a + 10b + c 1p ⇔ 13 | 91a + 13b + ( 9a − 3b + c ) 2p ⇔ 13 |13 ( 7 a + b ) + ( 9a − 3b + c )w 1p ⇔ 13 | 3a − 3b + c 1p4. a) G f  Gg ={M } ⇔ f ( x ) =g ( x ) 1p ⇔ 3x + 1 = 1 − 3x 1p ⇔ 2 3x = 0 ⇔ x = 0 2p ⇒ M ( 0,1) 1p 33
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) A ( ) 3, 4 ∈ G f 1p ( ) 1p B − 3, 4 ∈ Gg 1p ∆MAB isoscel (MN înălţime şi mediană) ∆MAN dr.  1p  MN 3 N=1dr  ⇒ tgA = = = 3  AN 3 MN=3,AN= 3  ro 1p ⇒ m ( A ) = ⇒ m ( AMB ) = 600 6005 (1 + ) ( 2 − 3 + 11 + 7 1 + 2 − 3 + 11 ) o. A= 1p 1 + 2 − 3 + 11 1p ⇔ A=+ 7 1 nf 22 < 7 < 32 ⇔ 2 < 7 < 3 / + 1 1p ⇔ 3 < 1+ 7 < 4 1p ⇔ A ∈ ( 3; 4 ) ei 1p SUBIECTUL III (30 de at puncte)1. a) fie SO ⊥ ( ABD ) .m ⇒ ∆SOA ≡ ∆SOB ≡ ∆SOC ≡ ∆SOD ( I.C.) 2p ⇒ OA = OB = OC = OD ⇔ O centrul bazei (pătrat) ⇒ SABCD regulatăw 1p ∆SBD dr.is ⇒ SO=5 2 2p Ab ⋅ h 102 ⋅ 5 2 500 2 = = =w V cm3 3 3 3 b) PPBD minim ⇔ PB şi PC au lungime minimă 1pw ⇔ PB ⊥ SC şi PD ⊥ SC 1p ∆SBC echilateral ⇒ BP mediană 1p ⇒ P mijlocul lui ( SC ) 1p 1p ⇔ SP=5 cm c) ∆PBD isoscel ⇒ PO ⊥ BD 1p ( PBD )  ( ACD ) = BD   PO ⊥ BD, PO ⊂ ( PBD )  ⇒ m (  ( PBD ) , ( ACD ) ) = ) m ( POC 2p  CO ⊥ BD, CO ⊂ ( ACD )  34
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ∆SOC dr.is. ⇒ m ( POC ) = 450 2p2. a) EG l 3 ≅ 20, 76cm; 103800:20,76=50 plăci încap pe lungime = 1p 600=36 ⋅16+24 ⇒ 16 ⋅ 2+1=33 rânduri de plăci încap pe lăţime 1p 33 ⋅ 50 = plăci (din care 16 sunt tăiate pe jumătate) ⇒ 1636 plăci întregi 1650 1p 100 4 1650 + =1666+ 1p 6 6 ro ⇒ 1667 nr. total de plăci 1p b) plăcile închise la culoare se află: la fiecare rând cu număr impar din cele 33 rânduri ⇒ 17 rânduri o. 2p pe rândurile menţionate plăcile cu număr împar ⇒ 25 plăci 2p 17 ⋅ 25 = plăci închise la culoare 425 1p nf c) A=62,28m 2 1p 62,28 ⋅1,2=74,736 ⇒ 75 saci ⇒ 75 ⋅14=1050 lei 1p 1p 63 ⋅ 30=1890 lei costă gresia 65 ei ⋅ (1050+1890 ) = 1911 lei costă manopera 1p 100 St =4851 lei 1p at .m BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 18 Prof. Badea Ion SUBIECTUL I (30 dew puncte)1. 5 5pw2. 0 5pw3. A 5p4. 38 5p5. 12π − 9 3 5p6. 35 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) 35
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte1. Desen 4p notaţii 1p2. x = nr. kg fursecuri de18 lei/kg 1p 18 x + 250 =( x + 10 ) ⋅ 20 2p ⇔x=25 2p3. N = 8 − 2 15 + 8 + 2 15 − 15 + 3 + 5 + 15 3p ro N 24 ∈  = 2p4. a) A ( 0; 2 ) ∈ G f ⇔ f ( 0 ) = 2 ⇔ a = 2 1p o. f ( −2 ) 6, f = 0, f = 3 = (1) ( 4) 1p Trasarea graficului 3p nf b) x ∈ [ −2;1] avem f ( x ) = 2 ⇔ −2 x + 2 = 2 1p ⇔ x = 0 ∈ [ −2;1] ⇒ S1 = {0} 1p x ∈ (1; 4] avem f ( x ) = 2 ⇔ x − 1 = 2 1p ei ⇔ x =3 ∈ (1; 4] ⇒ S 2 ={3} 1p ⇒ = S1  = S3 S2 {0;3} 1p at5 E ( x)= (x 4 ) ( ) + 2 x3 + x 2 + 4 x 2 − 4 x + 1 + ( m − 5 ) x 2 2p m ≥ 5 ⇔ m − 5 ≥ 0 ⇒ E ( x )  ( x + 1) + ( 2 x − 1) + ( m − 5 )  2 2 = x2 x2 .m     ≥0   ≥0 2p ≥0 ≥0 ≥0 ⇒ E ( x ) ≥ 0, ( ∀ ) x ∈  şi ( ∀ ) m ≥ 5 1p SUBIECTUL III (30 dew puncte)1. a) CD  AB, AB ⊂ α ⇒ CD  α 1pw CD  α , ( CDD`)  α =⇒ CD  C `D`⇒ ABC `D` trapez C `D` 1p DD`⊥ α  R T 3⊥  1w DA ⊥ AB  ⇒ D`A ⊥ AB 2p AB, D`A ⊂ α   ⇒ ABC `D` trapez dreptunghic 1p b) m (  ( ABC ) , α ) 300 m ( DAD`) = = 1p ΔDAD` dr.,DD`=CC` ⇒ AD=8cm, AD`=4 3 1p T . P. 1p ΔC`MB dr. ⇒ BC`=8cm PABC`D` =AB+BC`+C`D`+AD`=4 7 + 3 cm ( ) 2p 36
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) St = S ABCD + S ABC `D ` + S DCC `D ` + S ADD ` + S BCC ` 1p SABCD = ( AB+CD ) ⋅ AD =80cm 2 ; S = ( AB+C`D`) ⋅ AD` =40  3cm 2  2 ABC`D` 2  3p  DD`⋅ AD` CC `⋅BC ` 2  2 SDCC`D` =32cm ; SADD` = =8 3cm= = 16cm 2 ; SBCC` 2 2   ( = 16 8 + 3 3 cm 2 St ) 1p ro2. a) l = 484 = 22 ⇒ 4l = 2 ( 2 x + 8 ) = 88 ⇔ x = 18, x + 8 = 26 1p S = A1 + A2 + A2 = 468ha 1p o. A1 3 A2 4 A A A S = , = ⇔ 1= 2 = 3= =39 A2 4 A3 5 3 4 5 12 1p S S 5S = A1 = 117ha, A= = 156ha, A= = 195ha 2p nf 2 3 4 3 12 b) v r c v r c v + r + c A1 3p = = ⇔ = = = = =9 ei 4 1 6 4 3 6 13 13 9 3 9 2p v=36ha, r=27ha, c=54ha. at c) 195 ⋅= 975t 975000kg, 975000 ⋅1,5 1462500lei (costă grâul) 5 = = 1p 156 ⋅ 40=6240t=6240000kg, 6240000 ⋅ 2=12480000lei(costă fructele) 1p .m 1 12480000 ⋅ = 1560000lei(costă legumele) 8 1p Stotală = 15502500lei. 2pw BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREwVarianta 19 Prof. Badea Ion SUBIECTUL I (30 de puncte)w1. 3 5p2. 200 5p3. S= {−2;8} 5p4. 14 5p5. 0,3 5p 37
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte6. 60 5p SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desen 3p Notaţii 1p denumire 1p ro2. a = 15 + 8 =2 15 + 8 2 1p b = 2 15 − 8 =8 − 2 15 o. 1p mg = a ⋅b = (8 + 2 15 )(8 − 2 15 ) 2p nf mg = 2 1p3. 92 ⋅150t rămân după spălare 100 ei 1p 95  92  ⋅ ⋅150  t rămân după strivire 100  100  1p at 12  95  92  ⋅ ⋅ ⋅150   t zahăr= 1p 100  100  100  .m 12 95 92 ⋅ ⋅ ⋅150000 = 15732kg/zi 1p 100 100 100 15732 ⋅ 5=78660kg=78,66t 1pw4. (1 − 3x ) 3p 2 3x 2 + 5 x = a) E ( x ) ⋅ (1 − 3x )(1 + 3x ) 2 x ( 3x + 5) x ( 3x + 5) (1 − 3x )w E ( x) = ⋅ 1p (1 + 3x ) 2 x ( 3x + 5) 1pw finalizare 1 − 3x 1 1 − 3x 1 1p b) ≤− ⇔ + ≤0 2 (1 + 3 x ) 2 2 (1 + 3 x ) 2 1 − 3x + 1 + 3x 1 ⇔ ≤0⇔ ≤0 2 (1 + 3 x ) 1 + 3x 1p 1 1 + 3x < 0 ⇔ x < − 3 1p  1   5 ⇒ x ∈  −∞, −  −  2p  3   3 38
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte5 f ( a − 1)= ( ) 3 − 1 ( a − 1) − 2 3 1p = (1 − a ) + 3 ( a − 3) 1p f ( a − = 2b 3 ⇔ (1 − a ) + 3 ( a − 3) 2b 3, a şi b ∈  1) = 1p 1 − a =0 1p ⇔ a − 3 =b 2 a = 1 ro ⇔ 1p b = −1 SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. 3l ⋅ a p l2 3 l 3 nf a) A l = 2 Ab ⇔ = ⇔ ap = 2p 2 2 3 2 2 9l l x 2 = a 2 − ab ⇔ x 2 = p 2 = 2p 36 4 ei ⇔ l =x 2 1p l2 3 1p b) Ab = 324 3cm 2 = at 4 2p = 2= 628 3cm 2 Al Ab 324 3 ⋅18 2p .m=V = 1944 3cm3 3 c) OT ⊥ VM BC ⊥ VM   ⇒ BC ⊥ (VOM ) , OT ⊂ (VOM ) ⇒w 1p BC ⊥ OM  ⇒ BC ⊥ OT ⇒ OT ⊥ (VBC ) ⇔ pr(VBC )VO =w VT 2p ⇒ m ( VO, (VBC ) ) = m ( OVT )w VO x 3 ∆VOMdr. ⇒ cos V = = = 1p VM 2 x 3 2 3 m ( OVT ) = 30 0 1p2. ( a) Pb 2 2 x 2 + x + 2 x 2 + 2 x + 3 x 2 + 2 x + 3 x 2 + 5 x + 2 x = ) 3p ( = 2 10 x 2 + 12 x Pb ) 1p = 4x 5 2 + 6 Pb ( ) 1p 39
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) S1 = 4 x 2 + 9 x 2 + 16 x 2 + 25 x 2 − ( 2 x 2 + 4 x 2 ) = 48 x 2 3p S2 = 4 x 2 1p = 52 x 2 52cm 2 Sb = 1p QL WL 10 x 5x c) ∆QLW  ∆QIT ⇒ = ⇔ QK = ⇒ TJ = 1p QK IT 3 3 ro QL WL 10 x 5x ∆QLW  ∆QIT ⇒ = ⇔ QK = ⇒ TJ = 1p QK IT 3 3 5x 74 x TS = + 3 ⋅ 6 x + 5 x= 3 3 1p o. 2 740 x = A ; A b 48 x 2 ⋅= 192 x 2 ⇒ = 4 3 1p Ab 144 = = 77, ( 837 ) % ≅ 78% nf A 185 1p ⇒ p= 22% ei at .mwww 40
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 20 Prof Silvia Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 19 5p ro2. A ∩ B = −1, 2} { 5p3. 2 5p o.4. 500cm 5p nf5. 00 5p6. 150 C 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p .m Notează piramida 1p2. Pe al doilea raft sunt 3 ⋅ 27 = 81 2pw 2 2p Pe al treilea raft sunt ( 27 + 81) = 72 3 1pw Nr. total de cărţi 27 + 81 + 72 = 1803. n + ( n + 1) + ( n + 2 ) + ( n + 3) + ( n + 4 ) = 50 2pw 1p 5n = 40 ⇒ n = 8 1p numerele: 8,9,10,11,12 1p 10 ⋅11 ⋅12 = 13204. a)Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p Trasarea graficului funcţiei 1p 41
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) P ( m + 2, m − 1) ∈ G f ⇔ f ( m + 2 ) = m − 1 2p f ( m + 2) = ( m + 2) + 3 −5 1p −5 ( m + 2 ) + 3 = m − 1 1p m = −1 1p ro5 ( ) 1p 2 7+ 5 = 7 + 2 35 + 5 = 12 + 2 35 o. ( ) 1p 5 7 + 5 = 35 + 5 nf 1p 7 ( ) 5 − 2 7 = 35 − 14 1p a = + 2 35 − 35 − 5 − 35 + 14 12 ei 1p a 21 ∈  = at SUBIECTUL III (30 de puncte) .m1. a) lungimea diagonalei cubului d = 6 3dm 2p 2p SA SD SA′ SD′ 3 3dm = = = =w 1p SA + SD + SA′ + SD′ = 3dm 12w b) lungimea apotemei piramidei a p = 3 2dm 2p 1p Pb ⋅ a pw Al = 2 24 ⋅ 3 2 2p =Al = 36 2dm3 2 c) BC ′ ⊂ ( ABD′ ) 1p 3p B′C ⊥ BC ′ şi B′C ⊥ AB ⇒ B′C ⊥ ( ABD′ ) 42
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte  900 ( A′B′C ) ⊥ ( ABD′) ⇒ m ( A′B′C )( ABD′)  = 1p  2. = a) FM ( AB − EF ) : 2 3p 2p FM =12 − 6 ) : 2 =m ( 3 ro b) Aria suprafeţei haşurate este de două ori aria trapezului ABFE 1p ( AB + EF ) ⋅ BM 1p o. AABFE = 2 2p BM = 3 3m nf 1p AABFE = 27 3m 2 ei c) ABFC = 9 3m 2 1p 4p 1 at Raportul celor două arii este 4 .mwww 43
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 21 Prof Silvia Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 5p ro2. 4 5p 3 o.3. 11 5p 20 nf4. 5 2cm 5p5. BC ′ 5p ei6. −40 C 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează piramida 4p Notează piramida 1pw2. 2 2p sticle îmbuteliate a doua zi: 1250 − ⋅1250 =750 5 2pw 3 sticle îmbuteliate a treia zi: 750 + ⋅ 750 = 975 10 1pw total: 1250 + 750 + 975 = 29753. x+ y 5 1p = ⇔ 6 ( x + y ) =5 ( x − y ) x− y 6 x 3y 20% x =4 + 30% y ⇒ =4 + 2p 5 10 44
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte   88  x = −11 y  x = 5   ⇒ 2p 2= 40  y = −8 x − 3y     54. a) A ( 0, 2 ) ∈ G f ⇔ f ( 0 ) = 2 ⇒ −1 ≠ 2 2p ro 2p B ( −1, −4 ) ∈ G f ⇔ f ( −1) = −4 ⇒ −3 − 1 = −4 1p A ( 0, 2 ) ∉ G f şi B ( −1, −4 ) ∈ G f o. b) f ( m + 2 )= 3 ( m + 2 ) − 1= 3m + 5 2p f ( m − 3)= 3 ( m − 3) − 1= 3m − 10 nf 2p ei 7 3m + 5 + 3m − 10 = 9 ⇒ 6m = 14 ⇒ m = 3 1p at5 1 1 8 2p − = 3 x − 4 3 x + 4 ( 3x − 4 )( 3x + 4 ) .m 9 x 2 + 24 x + 16 ( 3 x + 4 ) 2 1p = 4 4 ( 3x + 4 ) 2 ( 3x + 4 ) 2w 8 ⋅ = 1p ( 3x − 4 )( 3x + 4 ) 4 3x − 4w 2 ( 3x + 4 ) 4 − 3x 3 ( x + 4 ) + = 1p 3x − 4 3x − 4 3x − 4w SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) MABB′A′ - piramidă regulată 1p MO ⊥ ( ABB′ ) unde {= AB′ ∩ A′B O} 1p 3p Înălţimea MO = 5 3cm b) O apotemă a piramidei este ( MD ) cu D mijlocul lui ( AB ) 1p 45
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte a p = 10cm 2p 1p Pb ⋅ a p Al = 2 20 ⋅10 1p =Al = 100cm 2 2 ro c) V prismei = Ab ⋅ h = 25 3 ⋅10 = 250 3cm3 2p o. 2p A ⋅ h 100 ⋅ 5 3 500 3 3 V piramidei = = b = cm 3 3 3 nf 500 3 250 3 3 1p Volumul de metal ce se pierde 250 3 − =cm 3 3 ei2. a) Ariile celor 4 porţiuni haşurate sunt egale fiecare cu 12m 2 4p Suprafaţa haşurată este de 48m 2 1p at b) AABCD = 112m 2 2p .m 3p Suprafaţa aleilor este 112m 2 − 48m 2 = 64m 2 c) Volumul de pietriş este produsul dintre suprafaţa aleilor şi înălţimea 3p pietrişuluiw 2p Volumul de pietriş este: 64 ⋅ 0, 05 = 3, 2m 2ww 46
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 22 Prof Silvia Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte)1. −5 5p ro2. 108 5p3. 1 5p o. 24. P = 38cm 5p5. 600 nf 5p6. 25% ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează trunchiul de piramidă 4p .m Notează trunchiul 1p2. −1 ≤ 2 x + 3 ≤ 7 ⇒ x ∈ [ −2.2] 3pw 2p A ∩  = 2} {0,1,w3. ( x − 1) − ( y + 2 ) = ( x + y )( x − y ) + 3 ⇒ − x − 2 y = 3 2p 2 2 1p 3 x − 2 ( y + 1) =5 ⇒ 3 x − 2 y =7w − x − 2 y 3= 1 =  x  ⇒ ⇒S= {(1, −2 )} 2p 3x − 2 y =  y = 7 −24. a) fie M G f ∩ Gg = 1p  x −1 y = 4 = x  ⇒ 2 x= 5 = 3 −y y 3p 47
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Punctul de intersecţie M ( 4,3) 1p b) ( f ( x ) + 2 ) ⋅ g ( x ) = ( x + 1)( 2 x − 5 ) = 2 x 2 − 3 x − 5 2p 1p 2 ( x − 1) + 6 x + 3 2 x 2 + 2 x + 5 = 2 1p ro 2 x − 3 x − 5 2 x + 2 x + 5 ⇒ −5 x 10 2 = 2 = 1p soluţia ecuaţiei: x = −2 o.5 Formula de calcul prescurtat: a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) 1p 2p nf ( 3x 2 + 2 ) − 25x= ( 3x 2 + 2 ) − 5x  ⋅ ( 3x 2 + 2 ) + 5x      2 2 2p E ( x )= ( 3x 2 − 5 x + 2 )( 3 x 2 + 5 x + 2 ) ei SUBIECTUL III (30 de puncte) at1. Ab ⋅ h 1p a) V piramidei = .m 3 2p Ab = 36 3cm 2 V p = 72 3cm3w 2p b) V prismei Ab ⋅ h = 5pw V prismei = 432 3cm3w Volumul de material ce se pierde 432 3 − 2 ⋅ 72 3 =288 3cm3 c) Piramidele cu vârful în V şi bazele ABB′A′ , BCC ′B′ , respectiv ACC ′A′ au 3p volumele egale 288 3 = VVABB′A′ = 96 3cm3 2p 32. a) Atrapez = ( B + b) ⋅ h 1p 2 48
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte CE ⊥ AB şi CE = 3 3cm 2p 2p Atrapez = 27 3cm 2 6⋅3 3 3p b)= AMCD = 9 3cm 2 2 ro 9 3 1 Raportul ariilor = 2p 27 3 3 o. c) Justificarea faptului că BMDC este romb 3p MC  AD justificat nf 1p BD ⊥ MC ⇒ BD ⊥ AD 1p ei at .mwww 49
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 23 Prof Silvia Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 6 5p ro2. A ∩ B = 4} {0, 5p3. y = 1, 45 5p o.4. A = 36π cm 2 5p5.6. SM şi MC 27,5% nf 5p 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează trunchiul de piramidă 4p .m Notează trunchiul de piramidă 1p2. Amplificarea fracţiilor 1pw 5 x − 5 + 2 x = 10 − 2 x − 3 1p 5 x + 2 x + 2 x = 10 − 3 + 5 1pw 9 x = 12 1p 4 1pw soluţia: x = 33. a+b+c = 180 2p ⇒b=45 a+c =3b cel mai mic număr prim de 2 cifre este 11 1p a = 11 ⇒ c = 3b − a ⇒ c = 135 − 11 = 124 sau 1p c = 11 ⇒ a = 3b − c ⇒ a = 135 − 11 = 124 1p 50
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte = 11, b 45, c 124 sau a 124, b 45, c 11 a = = = = =4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p Trasarea graficului 1p b) f ( −2 ) + f ( −1) + f (1) + f ( 2 ) + f ( n ) = − 1 − 5 − 7 − 2n − 3 = 2n − 15 1 − 3p ro 1p −2n − 15 = 15 1p o. n =15 ∈  −5 ( ) ( )( ) ( ) =( ) 3p 2 2 2 3+ 2 +2 3+ 2 ⋅ 5− 2 + 5− 2 3+ 2+ 5− 2 nf 1p ( ) 2 p= + 5 3 =2 15 8+ ei p∉ 1p at SUBIECTUL III (30 de puncte) .m1. a) Proiecţia lui A′B pe planul ( ADD′ ) este A′A 2p ( ) 1p Măsura unghiului dintre A′B şi planul ( ADD′ ) este m  AA′Bw tg ( AA′B = ) 9 3 = 12 4 2pw b) Dacă h este înălţimea apei atunci Vapă = 12 ⋅ 6 ⋅ h = 432 3p 2pw h = 6dm c) Notăm h′ înălţimea cu care creşte apa 12 ⋅ 6 ⋅ h′ = 63 = 216dm3 3p h′ = = 216 : 72 3dm 2p2. a) Toate cele 6 pătrate sunt congruente 2p Aria unui pătrat este 62 = 36m 2 2p Aria căutată 6 ⋅ 36 = 2 216m 1p 51
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Cele 6 triunghiuri haşurate sunt echilaterale 3p Perimetrul este 12 ⋅ 6 =72m 2p c) Hexagonul se poate descompune în 6 triunghiuri echilaterale congruente cu 4p cele haşurate 1p Cele două arii sunt egale ro o. nf ei at .mwww 52
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 24 Prof Ionel Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 89 5p ro2. 36 5p3. 3 5p o. 44. 10cm 5p5. 900 nf 5p6. 100 C ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează un paralelipiped dreptunghic 4p .m Notează paralelipipedul 1p2. a+b+c = 210 2p ⇒ 7c 210 ⇒ c 30 = =w a + b =c 6 1p cel mai mare număr prim de 2 cifre este 97 1pw a = 97 ⇒ b = 180 − 97 ⇒ b = 83 1p = 97, b 83, c 30 sau a 83, b 97, c 30 a = = = = =w3. x 2 − 4 − x 2 + 10 x − 25 ≤ 7 x + 13 2p 3 x ≤ 42 ⇒ x ≤ 14 2p x ∈ ( −∞,14] 1p4. 20 S S 1p a) în prima zi cheltuieşte: 20% S = = 100 5 1p 53
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 35S 7 S în a doua zi cheltuieşte: 35% S = = 100 20 2p 1 S în a treia zi cheltuieşte: S = 25% S = 1p 4 4 în cele 3 zile cheltuieşte: 20% S + 35% S + 25% S = 80% S ro  S 7S S  2p b) S −  + + = 100  5 20 4  o. 4S S− = 100 2p 5 nf 1p S = 5005 ( 4 x + 1)(1 − 4 x ) = 16 x 2 1− 1p ei 1p ( 4 x − 3) = 16 x 2 − 24 x + 9 2 at 1p ( 4 x + 3) = 16 x + 24 x + 9 2 2 2p .m −32 x 2 + 2 + 32 x 2 + 18 =20 SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. x 2p a) Notez cu x lungimea laturii unui triunghi echilateral şi BH = 2w x x+x+ =20 1p 2w 2p x = 8cm b) ∆HBC - dreptunghic în B şi BC 2 CH 2 − HB 2 = 2p BC 2 = 82 − 42 = 48 2p 1p BC = 4 3cm c) ∆AOD - echilateral 2p 54
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte AD 2p = AO = 4 3 2 (= 4 3) ⋅ 3 2 1p =AAOD 12 3cm 2 4 ro2. a) Pe lungime încap 10 pătrate 2p Pe lăţime încap 60 :10 = 6 pătrate 2p o. Lăţime = ⋅ 20 = cm = 2m 6 120 1, 1p b) Cele 4 arce formează un cerc cu raza de 10cm 2p nf Lungimea arcelor dintr-un pătrat este 2π ⋅10 =π cm Lungimea tuturor arcelor este 12π m 20 2p 1p ei c)Lungimea tuturor arcelor este cuprinsă între 37, 68 şi 37,8 3p at Nr. minim de bare de 2m este 19 2p .mwww 55
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 25 Prof Ionel Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2,1 5p ro2. 180 5p3. 3 5p o.4. L = 21m 5p nf5. 600 5p6. x =1 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida regulată 4p .m Notează piramida 1p2. Notăm cu x - nr. de zile pentru finalizarea lucrării; lucrarea se termină în 1p x − 3 zile 1pw 56 ( x − 3) reprezintă nr. de butuci altoiţi în loc de 50x punerea în ecuaţie: 56 ( x − 3) = 50 x + 120w 2p 6 x= 288 ⇒ x= 48 zile 1pw3. x2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) 1p 1p x 2 − 25 = ( x − 5 )( x + 5 ) 1p x + 10 x + 25 = ( x + 5 ) 2 2 1p x2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2 1p 56
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte (x 2 − 9 )( x 2 − 25 ) = ( x − 3)( x − 5) (x 2 + 10 x + 25 )( x + 6 x + 9 ) 2 ( x + 5)( x + 3)4. a) A ( −2,1) ∈ G f ⇔ f ( −2 ) = 1 2p 1p f ( −2 ) =2a + 5 − ro 1p −2a + 5 = 1 1p o. a=2 b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p nf Trasarea graficului 1p5 12 − 3 x − 12 ≤ −5 x + 6 1p ei −3 x + 5 x ≤ 6 1p at 2x ≤ 6 1p x≤3 1p .m x ∈ ( −∞,3] 1p SUBIECTUL III (30 dew puncte)1. a) Dacă a şi b sunt celelalte două dimensiuni, volumul de apă se scrie 2p a ⋅ b ⋅ 2 , a ⋅12 ⋅ 3 , b ⋅12 ⋅ 4w 1p 2= 36a 48b ab = 2pw a = 24cm , b = 18cm b) Vapă = 24 ⋅18 ⋅ 2 4p 1p Vapă = 864cm3 c) Vcutie = 24 ⋅18 ⋅12 = 5184cm3 3p 1p 5184cm3 = 5,184l 57
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 5,184 < 5, 2 1p2. a) ∆AMS este echilateral 3p AM = MS şi MS = MN atunci AM = MN 2p b) Analog BN = MN 2p ro 1 3p = MN = 4cm AB 3 o. 122 ⋅ 3 2p c) AABC = 36 3cm 2 = 4 AAMS 42 ⋅ 3 = = 4 3cm 2 4 nf 1p ei 1p AMNPQRS 36 3 − 3 ⋅ 4 = 24 3cm = 3 2 1p at 2 ⋅ 36 3 = 24 3 3 .mwww 58
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 26 Prof Ionel Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 4, 4 5p2. 4535 5p o.3. x= 4 ∈  5p nf4. [ MN ] = 3 2cm 5p5. [ AE ] = 6cm 5p ei6. x =1 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează prisma triunghiulară regulată 4p Notează prisma 1pw2. Notăm cu x - nr. merelor din al doilea sac 1p 3x 3x 3 1p +x+ ⋅ = 460w 4 4 2 x = 160 mere în al doilea sacw 1p 3 ⋅160 = mere în primul sac 120 1p 4 1p 3 ⋅120 = mere în al treilea sac 180 23. x - preţul mărfii 1p 12 1p ⋅x =25,8 100 59
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte = 25 ⋅ 8, 6 x 2p x = 215 1p4. a) M ( 0,3m ) ∈ G f ⇔ f ( 0 ) = 3m 1p 1p 1 ro m + 1 3m ⇒ m= = 2 1  1 f ( x) =  + 2  x + +1 2p o. 2  2 5 3 f (= x) x+ nf 2 2 1p 5 3 1p b) f (1) = + =4 2 2 ei −5 3 f ( −1) = + =−1 ⇒ f ( −1) =−1 =1 2p at 2 2 f (1) + f ( −1) 4 + 1 5 = ma = = .m 2 2 2 2p5 x +1 + 2x + 2 = x +1 + 2 x +1 1p 1pw 3 x +1 =3 1p x +1 = 1w 1p x=0 1pw x = −2 SUBIECTUL III (30 de puncte)1. = a) V h 3 ( AB + Ab + AB Ab ) 1p AB = 1600cm 2 1p 60
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Ab = 400cm 2 1p 24 2p =V (1600 + 400 + 40= 22400cm3 ⋅ 20 ) 3 b) Al = ( PB + Pb ) ⋅ at 1p ro 2 2p at2 = 102 + 242 = 676 ⇒ at = 26cm o.=Al (= 160 + 80 ) ⋅ 26 3120cm 2 2p 2 nf c) Notăm cu x latura pătratului ce reprezintă suprafaţa apei ( 400 + x 2 + 20 x ) 18 1p = Vapă 3 ei 2p 6 ( 400 + x 2 + 20 x ) = 13950 at ( x + 10 ) = 2 2025 1p .m 1p x = 35 ⇒ x 2 = 1225cm 22. = = a) Apătrat 152 225m 2 1pw 1p Acurte = 25 ⋅ 40 = 1000m 2 2pw p 225 = 100 1000 1p p = 22,5%w b) ∆ADR - dreptunghic isoscel, AD DR 25m = = 1p CR = 40 − 25 = 15m 1p ABCR - trapez dreptunghic 1p AABCR = ( 40 + 15) ⋅ 25 1p 2 1p 61
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte AABCR = 687,5m 2 c) {= MP ∩ CD , PE = 10m E} 2p 1p ER = 25 − 15 = 10m 2p ro PR = 10 2m o. nf ei at .mwww 62
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 27 Prof Ionel Brabeceanu SUBIECTUL I (30 de ro puncte)1. 1 5p o.2. −2 5p 3 a ⋅b = nf3. 6 5p4. A = 50cm 2 5p ei5. 900 5p at6. x = −3 5p .m SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desenează prisma patrulateră regulată 4pw Notează prisma 1pw2. x - nr. necunoscut 1p 12 ( x − 8 ) + 2 x = 44 2pw 1p 14 x = 140 1p x = 103. 128 p 1p = 800 100 400 =p = 16 2p 25 63
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 128 costume reprezintă 16% din cele 800 costume 2p4. a) A ( 2,3) ∈ G f ⇔ f ( 2 ) = 3 2p 2p 2m + 1 =3 1p m =1 ro b) f ( 0 ) = 1 ; f (1) = 2 ; f ( 2 ) = 3 ; ….. f ( 69 ) = 70 2p o. 3p 1+ 2 + 3= +  + 69 (1 + 69 ) ⋅ 69 = 2415 2 nf5 x −1 − 2 x − 2 + 5x − 5 = x −1 − 2 x −1 + 5 x −1 = 4 x −1 2p 1p 4 x −1 =4 ei 1p x −1 = 1 1p at x =0;x = 2 .m SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Dacă CE ⊥ AB ⇒ ∆BEC - dreptunghic şi isoscel 2pw AB = 2 + 3 + 2 = 7 m 1p AABCD = ( AB + CD ) ⋅ CE 1pw 2 1p AABCD = 10m 2w b) Vbeton AABCD ⋅ BB′ = 3p 2p Vbeton = ⋅100 = 10 1000m3 = densitatea × volum c) G 2p 1000m3 = 1000000dm3 2p G= 2,5 ⋅1000000 Kg = 2500t 1p 64
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) = V prismă + V piramidă Vcort 2p V prismă = 16 ⋅ 2 = 32m3 1p 16 ⋅1,5 V= = 8m3 piramidă 3 1p ro Vcort = 32 + 8 = 40m3 1p b) Scort Al prismă + Al piramidă = 1p o. 1p Al prismă = 16 ⋅ 2 = 32m 2 1p nf a p = 2,5m 1p 16 ⋅ 2,5 Al= = 20m 2 piramidă 2 ei 1p Scort = 32 + 20 = 52m 2 at c) S pânză = Scort 1p .m 2p S pânză= L ⋅1,3 1p L ⋅1,3 = 52 1pw L = 40mww 65
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 28 Prof. Breazu Nicolae SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 3 5p ro2. 30 5p3. 50 5p o.4. 6 3 5p nf5. 90 5p6. 220 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desen trapez 3p Trapezul este dreptunghic 2p .m2. Ridicare corectă la pătrat 2p Rezolvare până se obţine x ≤ 5 2p A = {0;1; 2;3; 4;5} 1pw3. 23 1 1p 2, ( 5 ) = şi 0, ( 3) = 9 3 w 23 a + 3b =  9  1p b − 3a = 1 w  3 Cunoaşterea unei metode de rezolvare a sistemului 1p 7 4 a= şi b = 2p 45 54. a) două puncte corect determinate pe graficul funcţiei f 2p două puncte corect determinate pe graficul funcţiei g 2p trasarea dreptelor prin punctele determinate 1p b) f ( x ) = g ( x ) 1p 2p x − 5 = 2x + 1 ⇒ x = − 2 2p 66
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte y = −3 şi M ( 2; −3)5 Calcule şi rezultatul împărţirii egal 3 2p Calcule şi rezultatul înmulţirii egal 4 2p Rezultat final 7 ∈  1p SUBIECTUL III (30 de puncte) ro1. a)notam cu x, muchia tetraedrului înlăturat 1p muchia rosie este egala cu 3-2x, de unde concluzia 4p o. b) muchia unui tetraedru înlăturat este o treime din muchia pietrei originale, adică de 1 cm; 2p l3 2 Formula pentru volumul tetraedrului regulat V = nf ; 2p 12 2 1p Volumul total cm3 4 ei 27 2 9 2 3p = c) Vinitial = ; 12 4 at 9 2 2 Vfinal = Vinitial − Vtetraedre = − = 2 2 cm3 2p 4 4 .m2. a) diagonala pătratului este de 4 2 dm 1p AC EH = 2 2 dm, ca linie mijlocie în triunghiul ADC = 2p 2 EH=2R 1pw R = 2 dm 1p = = b) A patrat AB2 16dm 2 2pw πR 2 2p = Asemidisc = π 2 =− 4Asemidisc = 16 − 4πw A nehaşurată A patrat 1p AB 1p = c) OE = 2 dm 2 1p OE − R 2dm − 2dm = 1p 2  1.41... OE − R  0, 6dm < 1dm , deci decuparea nu este posibilă 2p 67
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 29 Prof. Breazu Nicolae SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 1 5p 2 ro2. 160 5p o.3. 9800 5p4. 2 5p5. 60 nf 5p6. 0,4 ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desen unghi diedru 3p .m Precizarea unghiului plan al diedrului 2p Ecuaţia x − 3x + 2 =2. 2 0 2p {x1; x 2 } = {1; 2} 2pw x1 − x 2 = 1 1p3. a  b = 0,8w   2p  a + b = 4,5  2 w a+b= 1,8b 1p = 5, a 4 b = 2p4. x +1 x 2x − 1 2p a) − = x − 2 x − 1 ( x − 2 )( x − 1) 2x − 1 2x − 1 = 2p x − x − 2 ( x + 1)( x − 2 ) 2 Împărţirea şi rezultatul final 1p b) a − 1 ∈ D 2 = {±1; ±2} 3p 68
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte soluţii acceptate a ∈ {0;3} 2p5 2p 6 + 2 5 = 5 + 1, 6 − 2 5 = 5 −1 x= 5 1p (x ) 2011 2 +x− 5 − 1 52011 − 1 = 1p ro 52011 − 1 are ultimele două cifre 24 , de aici divizibilitatea cu 4 1p SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. a) Vparalelipiped = L ⋅ l ⋅ h = 20 ⋅ 8 ⋅ 8 = 1280 m3 2p nf 8 1 1 MN 2 3 2p lhexagon = = MN = Vacoperis = hex. = 4 m; Vprisma ⋅6 =; 12 3 m3 2 2 2 4 Vhală = Vparalelipiped + Vacoperis = + 12 3 m 1280 ei 1p 4 3 b) h stâlp = + a 6 = + h 8 = +2 3m 8 5p at 2 c) A pereti= ( 2L + 2l ) ⋅ h= 448m 2 2p .m 3 ⋅ 42 3 2p A acoperiş A hexagon + 3A fata= = lat. + 3 ⋅ 4 ⋅= 24 3 + 240 m 2 20 2 ( ) Cantitate vopsea 24 3 + 240 ⋅ 0, 2 ≈ 56,31litri 1pw2. a) Aplicarea teoremei Pitagora 3p = = AD AE 10 3 2pw b) A ADCE = 2A ADC = AD ⋅ DC = 10 3 ⋅10 = 100 3 2pw 50π Aria sector cerc de centru A este A1 = 1p 3 100π 1p Aria sector de cerc de centru C este A 2 = 3 A hasurata A ADCE − A1 − A 2 100 3 − 50π = = 1p 2 3−π 3p c) A hasurata = r 2 2 69
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte 1 2p r= 2 3−π BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE roVarianta 30 Prof. Breazu Nicolae SUBIECTUL I (30 de puncte) o.1. 30 5p nf2. 16 5p3. 3 5p ei4. 4,5 5p at5. 3+ 6 5p6. 2,3,1 5p .m SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desen trunghi isoscel 3pw Triunghiul are un unghi obtuz 2p2. 4x 2 − 12x + 10 = ( 2x − 3)2 + 1 2pw 3 2x − 3 = 0 ⇒ x = 1p 2w 3 1p 3 − 5y = 0 ⇒ y = 5 E min = 1 1p3. a b 1p = 3 7 Substituie b cu 2a+4 1p a=12 2p b=28 1p4. a) f ( a ) = 16 1p 2p calcule ce duc la a 2 = 16 70
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte a = ±4 2p b) f ( x )= x + 2 1p 20 ⋅ 21 1 + 2 + ... + 20 = = 210 2p 2 2p Calcule şi rezultat S=2505 1 3 1p ro 2− = 2 2 k k +1 3 3 2   :  = 2p 2 2 3 o. 1004 2 Produsul este egal cu   <1 2p 3 nf SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) diagonala cubului d = 3 3 m ei 1p 1p diagonala unei feţe d = 3 2 m at 6 3p cos α = 3 1p .m d 3 3 = b) lcablu = m 2 2 l total = cablu =3 m 4⋅l 6 4p c) împărţire a cubului în 27 cuburi congruente cu latura de 1m 2pw din principiul lui Dirichlet, există cel puţin 2 fluturi într-un cub mic 2p diagonala cubului mic este 3 < 1,8 , de unde concluzia 1pw2. a) FE = 2 2 ; 1p 1p HG = 2 ; 3p = = 13w FH EG b) EH = 17 1p HI HG HI 1 = , deci = 1p EI FE EI 2 EH 3 Folosind proporţii derivate, = 1p EI 2 2 17 17 EI = ; IH = 3 3 2p 71
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte c) A ABCD = 16 1p 1 A DEF = 2 ; A BGH = = = ; A AFH A ECG 3 3p 2 A piesa = A ABCD − A DEF − A BGH − 2A AFH = 7,5 1p ro BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE o. Varianta 31 Prof. Breazu Nicolae SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2. 40 10 nf 5p 5p ei 3. 1600 5p at 4. 3 5p .m 5. 4 3 5p 6. 200 5p w SUBIECTUL II (30 de puncte) Desen drepte paralele tăiate de o secantăw 1. 3p Unghiuri alterne-interne marcate corect 2pw=2. A {= {0;7;14; 21; 28;35; 42; 49;56} 0;5;10;15; 20; 25} ; B 2p A∪B = {0;5;7;10;14;15; 20; 21; 25; 28;35; 42; 49;56} are 14 elemente 2p A ∩ B =} are un element {0 1p 3. a + b =64 2p  = 3b + 8 a Substituim a în prima ecuaţie şi obţinem 4b = 56 1p 72
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte b=14; a=50 2p4. a) desfacere paranteze 3p reducere a termenilor asemenea şi obţinere a rezultatului 2p b) se foloseşte punctul a) 1p ro 1 Calcule şi obţinerea rezultatului F ( a ) = − ( a + 1) ( a 2 + a − 1) 2p 1 Rezolvarea ecuaţiei F ( a ) = − 2p şi rezultatul a=0 o. a −1 35 2+ 3 1p = 2+ 3 nf 2− 3 2+ 2 1p = 2 +1 2− 2 ei 5+ 2 6 = 2 + 3 1p Calcule şi rezultat 3∈  at 2p SUBIECTUL III (30 de puncte) .m1. Ab ⋅ h 1p a) Vpiramida = 3 2 = EO h =w 2p 2 2 1p VABCDE = cm3w 6 2 Vcorp = cm3 1p 3w = = = b) EF AC BD 2 cm 5p c) ABCD ≡ BDEF , pătrate cu latura de 1cm 3p = = A ABCD A BDEF 1cm 2 2p2. a) ∆ ABC isoscel cu h B = 12 3p AC ⋅ h B = = 60 A ABC 2p 2 73
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte 2A ABC 120 2p b) Dacă CC ⊥ AB , atunci CC = = AB 13 CC 60 1p = MN = 2 13 13 60 A MNPQ = L ⋅ l = ⋅ = 30 2p 2 13 CC − MN NC NP 2p ro c) din asemănări de triunghiuri = = CC AC AB 13y x notăm NP=x; MN=y şi atunci obţinem 1 − = 120 13 o. 1p 120 169  13   2 A MNPQ = xy =  −x −   1p 169  4   2   nf 13 Aria este maximă pentru x = , adică A max = 30 ei 2 1p at .mwww 74
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 32 Prof. Bulgăr Delia Valentina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 57 5p ro2. 5,5 5p3. 384 5p o.4. 30 5p nf5. 60 5p6. 10 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p Notează piramida 1p .m2. 2 a 2 2 13 2a + 3b 2a 3b 2 a 2p ⋅ +1 = ⋅ +1 = = + = ⋅ +1 3 b 3 3 9 3b 3b 3b 3 bw 6 1 0,(6)= = 1p 9 3w 2 a 2 2 13 ⋅ +1 = ⋅ +1 = 3 b 3 3 9 2pw3. Se notează cu x timpul parcurs pe jos în drum spre şcoală, cu y timpul parcurs cu maşina spre şcoală. Ţinând cont că elevului îi trebuie acelaşi timp la dus ca şi la întors (mergând cu acelaşi mijloc de transport), scrie: x + y = 45 2p   2 y = 20 1p y=10 x=35 1p 75
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 2x=70 (adică drumul dus-întors parcurs pe jos) 1p4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p Trasarea graficului 1p b) x=0 ⇒ f(0)=-2; A(0,-2) 2p ro y=0 ⇒ f(x)=0 ⇒ 2x-2=0 ⇒ x=1,B(1,0) 3p o.5 1 − 2a + a 2 = (1 − a ) 2 = − a 1 1p 1 + 2a + a 2 = (1 + a ) 2 = + a 1 nf 1p a>1 ⇒ 1 − a =a-1; 1 + a =1+a 1p 2 ei x= ⋅ (a − 1 + 1 + a ) =4 1p a at x= 4= 2 ∈  1p SUBIECTUL III (30 de .m puncte)1. a) L=50cm=5dm,l=40cm=4dm 1pw 35 l =35dm 3 1p Notând cu x înălţimea la care ajunge apa, avem: 35=5·4·x, 2pw x=1,75dm (17,5cm) 1pw b) Vac v = 5 ⋅ 4 ⋅ 3dm3 = 60dm3 = 60l 4p 1p V1 = 60l − 35l = 25l c) V acv= 60dm3 60000cm3 = 60l = 2p 2p V cub 2= 8cm3 = 3 1p Vor intra 60000:8=7500 cubuleţe 76
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) MP=8m 1p NQ=6m 1p MP ⋅ NQ 2p A rond = 2 8⋅6 = 24m 2 ro A rond = 1p 2 o. b) A dr = AB ⋅ BC = 16 ⋅ 6 = 96m 2 1p 1p nf A haş= Adr − 2 ⋅ Arond 1p 2·A rond = ⋅ 24 = m 2 2 48 ei 1p A haş = 96 − 48 = 48m 2 1p at A haş= 2 ⋅ Arond c) Cea mai mare distanţă dintre două puncte ale dreptunghiului este lungimea 2p .m diagonalei [AC] Folosind teorema lui Pitagora se obţine:AC= 162 + 62 =292 2pw Finalizare 292 < 324 = 18 1pww 77
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 33 Prof. Bulgăr Delia Valentina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 5p ro2. 8 5p3. 144 5p o.4. 6 5p nf5. 1 2 5p sau 2 26. joi ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează piramida 4p .m Notează piramida 1p2. 1+3x 11 2p Prelucrează relaţia <4 şi obţine x <w 3 3 11 A=(- ∞ , ) 1pw 3 1p B={1,2,3,4,6,12}w A ∩ B={1,2,3} 1p3. 1 1 1 2p x+ x+ x = 17,5 4 8 16 2p 5x=280 1p x=564. a)A(0,-3) ∈ G f ⇒ f(0)=-3 ⇒ b=-3 2p 78
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte B(2,1) ∈ G f ⇒ f(2)=1 ⇒ 2a+b=1 2p a=2 1p b) Fie M(x,y) ∈ G f cu x=y 2p 2x-3=x 1p ro x=3 1p 1p o. M(3,3)5 Raţionalizează numitorii obţinând: nf 2 − 1 3 − 2 47(6 2 − 5) 2p N= ( + − )⋅7 1 7 7 ⋅ 47 ei Aduce la acelaşi numitor obţinând: 7 2 −7 +3− 2 −6 2 +5 ⋅7 2p at N= 7 1p Finalizare N=1 ∈  .m SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a)P b =2 ⋅ (6 + 5) =22 ) (m) 2p 2p A l Pb ⋅ h =22·4=88 (m 2 ) =w 1p 88:2=44 (m liniari)w b)V=L·l·h 3p V=6·5·4=120 (m 3 ) 2p c) Notând cu x înălţimea la care ajunge nisipul, avem: 75=6·5·x, 2p 75 2p x= 30 1p x=2,5 (m) 79
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a)Raza cercului cu diametrul AB= 20m 1p Raza cercului cu diametrul BC= 10m 1p Lungimea a două semicercuri opuse este egală cu lungimea cercului. 2p Lungimea cercului = 2π R 1p Lungimea gardului= (60 π +120) m ro b)Aria dreptunghiului=800m 2 1p Aria a două dintre semidiscuri (cu raza 10m)=100 π m 2 1p o. 1p Aria celorlalte două semidiscuri (cu raza 20m)=400 π m 2 nf 1p Aria terenului =(800+500 π )m 2 1p 800+500 π <800+500·3,15=2375<2400 ei c)Notând cu N mijlocul lui [DC], avem PN ⊥ DC 1p şi PN ∩ AB =} , PM ⊥ AB şi PM=40m at {M 2p MB=20m 1p .m Aplică teorema lui Pitagora în  PMB , obţine PB= 20 5 m 1pwww 80
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 34 Prof. Bulgăr Delia Valentina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. -2 5p ro2. 2 5p3. 27 5p o.4. 12 5p nf5. 90 5p6. 2 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p Notează piramida 1p .m2. Notând cu x numărul de găini şi cu y numărul de iepuri 1p Numărul de capete=x+y 1pw Numărul de picioare=2x+4y 1pw  x+ y = 20 2p Rezolvă sistemul  şi află x=8, y=12 2 x + 4 y =64w3. 12 = 2 3 1p 1p 27 = 3 3 1p 48 = 4 3 1p 75 = 5 3 1p a=0 81
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte4. a) Calculează f(-5)=14, 1p f(4)=-4 1p Reprezintă A(-5,14) şi B(4,-4) 2p Trasează segmentul închis [AB] 1p ro b) 4-2x+2 2 =4 1p 2p -2x=-2 2 o. 2p x= 2 ∈ [−5, 4] nf5 E(n)= (n 2 + 2n − 3)(n 2 + 2n − 5) + 1 = [(n 2 + 2n) − 3][(n 2 + 2n) − 5] +1 1p 1p E(n)= (n 2 + 2n) 2 − 3(n 2 + 2n) − 5(n 2 + 2n) + 15 + 1 ei 1p E(n)= (n 2 + 2n) 2 − 8(n 2 + 2n) + 16 2p at E(n)= (n + 2n − 4) , pătrat perfect , ∀n ∈  2 2 SUBIECTUL III (30 de .m puncte)1. 3 2p a) înălţimea blocului = ⋅16 = m) 24( 2w 2p Pb =4 ⋅16 =64 (m) 1pw aria laterală a blocului = Pb ⋅ h =64 ⋅ 24=1536(m 2 ) b)diagonala bazei piramidei=16 2 (m) 1pw 1 1p înălţimea piramidei= ⋅16 =m) 4( 4 aplică teorema lui Pitagora: muchia laterală a piramidei= 42 + (8 2) 2 =12(m) 3p c)apotema piramidei= 144 − 64 =5 (m 2 ) 4 1p 82
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 16 ⋅ 4 5 2p Arie acoperiş= 4 ⋅ = 2) 128 5(m 2 Număr ţigle= 128 5= 2560 5 ⋅20 = 25602 ⋅ 5 5724 ţigle = 2p2. a) A disc = π R 2 2p ro 2p Adisc = 4050π 1p Adisc = 12757,5cm 2 o. b) Aneacoperită Apătrat − Adisc = 1p Apătrat = 18225cm 2 nf 3p 1p Aneacoperită = 5467,5cm 2 ei 2p c) Latura pătratului haşurat= (45 2) 2 + (45 2) 2 = at 90cm 2p Sunt necesare 9 plăci. .m 1p Preţul= 378 leiwww 83
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 35 Prof. Bulgăr Delia Valentina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 3 5p 2 ro2. 10 5p o.3. 1 5p 6 nf4. 4 5p 55. 60 ei 5p6. 14 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează prisma 4p Notează prisma 1pw2. 1 1p 3 −2 = 9 1pw 1 2−4 = 16w 1p 5 obţine a= 12 1 5 1 1p aduce , , la acelaşi numitor 3 12 2 1p finalizare3. Notând 2n= numărul poşetelor (n ∈  ), x = preţul poşetei 84
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 2n ⋅ x+2 ⋅ 25=340 3p n ⋅ x=145 1p Din condiţia x>100 ⇒ x=145 (lei) 1p ro4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p Trasarea graficului 1p o. b) Notând G f OY = { A} , G f OX = {B} , f(0)=-3, A(0,-3) 1p nf OA ⋅ OB 1p A = 2 3 ⋅ OB ei 4,5 = 1p 2 2p OB=3 ⇒ B(3, 0) ⇒ f (3) =0 ⇒ m =1 at5 (3 x − 7) 2 = x 2 − 6 7 x + 7 9 1p .m 1p ( 7 + 3 x)( 7 − 3 x) =− 9 x 2 7 1p (3 x + 7) 2 = x 2 + 6 7 x + 7 9w 2p S= 9 x − 6 7 x + 7 +2 ⋅ (7 − 9 x ) + 9 x + 6 7 x + 7 =28 2 2 2w SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) Cum din datele problemei cele 16 cuburi sunt aşezate pe un pătrat, avem pe 1p lungimea prismei 4 cuburi, pe lăţimea prismei 4 cuburi. 3p L=12cm, l=12cm, h=3cm 1p V= L ⋅ l ⋅ h = cm 432 3 b) Pentru a avea la bază un pătrat cu latura de 6cm sunt necesare 4 cuburi, iar 4p pentru a avea înălţimea cubului de 6cm sunt necesare 2 cuburi suprapuse. 1p Total cuburi=8 85
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) Drumul minim de la F la I este „drumul drept”, adică ipotenuza  FF1 I1 , 2p unde F1 I1 coincide cu FI din desfăşurarea laterală a cubului. FF1 =4 ⋅ 6=24 (cm) 1p F1 I1 =6cm 1p ro 1p Aplicând teorema lui Pitagora în  FF1 I1 , FI1 = 6 17 cm2. a) A disc = π R 2 2p o. 2p Adisc = 400π nf 1p Adisc = 1260m 2 b) Agazon A − Adisc = 1p ei 3p = 2500 3 ≈ 4375m 2 A at 1p Agazon = 3115m 2 .m c) Punctele situate la distanţă maximă sunt vârfurile triunghiului 2p 100 3 2p OA= R = m 3 1pw Finalizareww 86
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 36 Prof. Burlăciuc Maria SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 10101 5p ro2. 3 5p3. 14 5p o.4. 121 5p nf5. 90o 5p6. 7 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p Notează piramida 1p .m2. 12 ⋅ 3 =36 2p ( 30 − 12 ) ⋅ 0, 75 = ⋅ 0, 75 = 18 13,5 2pw 1p 10 + 36 − 13,5 = 32,5w3. = mg a ⋅b a > 0, b > 0 1p 2p (4 )( )w = mg 3 + 23 4 3 − 23 = 16 ⋅ 3 − 23 mg = 48 − 23 = 25 = 5 2p4. a) x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ) 1p 2p x 2 − 2 x − 3 x − 6 + 12 x2 − 5x + 6 = ( x − 2 )( x + 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) 87
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ( x − 2 )( x − 3) = x − 3 2p ( x − 2 )( x + 2 ) x + 2 x−3 1p b) ∈  ⇔ ( x + 2 ) ( x − 3) x ∈  −3; −2;0; 2;3} −{ x+2 ( x + 2 ) ( x − 3) ro ⇒ ( x + 2 ) ( x + 2 − x + 3) ⇒ ( x + 2 ) 5 2p ( x + 2) ( x + 2) o. A ={−7; −1} 2p5 A = ⋅ 32 n +1 ⋅ 22 n + 32 n + 2 ⋅ 22 n +3 2p nf 7 = 32 n +1 ⋅ 22 n ⋅ ( 7 + 3 ⋅ 23 ) A 2p ei 1p A = 32 n +1 ⋅ 22 n ⋅ 31 31 at SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) V cutie = a ⋅ b ⋅ c 2p .m V cutie = 2cm∙4cm∙6 cm = 48 cm3 3p b) V cub = l 3 1pw V cub =23 =8 (cm3) 2pw 48: 8 = 6 bucăţele zahăr cubic 2p c) După 4 zile Ioana consumă 2 bucăţele de zahăr cubic 1pw 6-2=4 bucăţele de zahăr cubic i-au rămas 2p p 2p ⋅ 6 = 4 ⇒ p = 66, ( 6 ) % 1002. a) P = 2 ⋅ L + 2 ⋅ l 1p EF = 2R = 2∙2 cm = 4 cm 1p DE = 3∙2R = 3∙2∙2 cm = 12 cm 1p 88
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte P DEFG = 2∙4 cm + 2∙12 cm = 8 cm + 24 cm = 32 cm 2p AB ⋅ DH AD ⋅ DB ⋅ sin ADB 2p = b) A ADB = {H } unde AB ∩ DG = 2 2 1p din  ADH cu m ( AHD ) 90o ⇒ AD = 2 2 = ro din  BDH cu m ( BHD ) = 90o ⇒ BD = 2 10 1p 1p 5 o. sin ADB = 5 c) Acarton ramas ADEFG − 3 ⋅ Adisc = 1p ADEFG = L ⋅ l = 4 ⋅12 = 48 (cm2) nf 1p ei 1p Adisc π= 4π cm2 = R2 2p Acarton ramas = 48 − 3 ⋅ 4π = 48 − 12π ≈ 10 cm 2 at .m BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 37 Prof. Burlăciuc Mariaw SUBIECTUL I (30 de puncte)w1. 5 5p2. 5 5pw 113. (0; 4) 5p4. 0,18 5p5. 10 5p6. 19 5p 29 89
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desenează trunchiul de piramida patrulatera regulată 4p Notează trunchiul de piramida patrulatera regulată 1p2. ( a, b ) = 11 ⇒ a = 11k , b = 11l , ( k , l ) = 1 2p ro 1p 2 ⋅11k + 5 ⋅11l 176 ⇒ 2k + 5l 16 = = o. 2p ( a, b ) ∈ {( 33, 22 )}3. 5∙(3a+4b+c) =5∙14 ⇒ 15a + 20b +5c = 70 2p 15a + 20b +5c – (2a-b+3c) = 70-9 nf 2p 13a + 21b + 2c = 61 ei 1p4. ( ) =2 7 ) (3 + 2p 2 2 a) 37 + 12 7 at ( ) 2 37 + 12 7 = 32 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 7 + 2 7 2p .m 1p 37 + 12 7 =12 7 + 28 9+ (3 − 2 7 ) 2pw 2 b) = 7 3− 2 1p 3 < 2 7 ⇒ 3− 2 7 < 0 ⇒ 3− 2 7 = 3− 2 7 = 7 −3 − ( )w 2 x = 2 7 + 2 7 −3 =7 3+ 4 1pw (x − 4 ) ( ) 1p =) ( −1 2012 2012 7 −1 = 7 − 4 7 −1 = 2012 4 15 f ( −1) = −2 ⇒ −a + b = −5 1p 1p f (1) = 4 ⇒ a + b = 3 −a + b = 5, − a =4  ⇔ 2p a + b =3 b = 1 − 90
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte f ( x= 3 x + 1 ) 1p SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Vcusca Vcuboid + V prisma = 1p ro 1p Vcuboid = a ⋅ b ⋅ c = 0,8 ⋅1 ⋅ 0,8 = 0, 64 m3 o. l2 3 = Ab = 0,16 3 m 2 4 1p 1p V prisma = Ab ⋅ h = 0,16 3 m3 Vcusca = m3 + 0,16 3 m3 = 4 + 3 m3 0, 64 0,16 nf ( ) 1p ei b)= AMNPQ + APQ Ausa  1p at 1p AMNPQ = MN ⋅ NP = 60 cm ⋅ 30 cm = 1800 cm 2 π R2 900π .m = APQ  = = 450π cm 2 1p 2 2 2p Ausa = 1800 cm 2 + 450π cm 2 ≈ 1800 cm 2 + 1413 cm 2 = 3213 cm 2w c) Ade vopsit Al cuboid Pb ⋅ h = = 1pw 2p Al cuboid = 3, 6 ⋅ 0,8 = 2,88 m 2 2p 2,88 ⋅ 0,3 = litri vopsea 0,864w2. GH  CF 1p a) ⇒ CFGH paralelogram ⇒ GH = = m si GF = CF 2 CH GF  CH BH = AB – HG – GA = 24 m – 2 m – 2 m = 20 m 1p Din  HCB cu m ( HCB ) = 90o ⇒ HC =16 m 2p Lungimea gardului este GF=HC=16 m 1p 91
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b ⋅ i DE ⋅ AA 1p = b) A ADE = 2 2 Fie CC’ şi DD’ înălţimi în trapez c1 ⋅ c2 HC ⋅ BC  HCB cu m ( HCB ) =90o ⇒ CC = = =9, 6 m 2p ip BH ro 1p  HCB cu m ( HCB ) = 90o ⇒ BC 2 = BH ⋅ BC ⇒ BC = 7, 2 m DC=24-7,2-7,2=9,6 m ⇒ DE=DC-EF-FC =9,6-2-2=5,6 m ⇒ o. 9, 6 ⋅ 5, 6 1p = = 26,88 m 2 A ADE 2 nf c1 ⋅ c2 BC ⋅ CH 12 ⋅16 2p = = c) Aterasa A BCH = = = 96 m 2 2 2 2 10 ei 96 + ⋅ 96 = 96 + 9, 6 = 105, 6 m 2 gresie 2p 100 1p 105,6∙40 = 4224 lei costă gresia at .m BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 38 Prof. Burlăciuc Mariaw SUBIECTUL I (30 de puncte)w1. 8 5p2. 3 5pw3. -4 5p4. 1 5p 45. 75 5p6. 6,3 5p 92
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desenează prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral 4p Notează prisma 1p2. a 2011 a b 2p ro = ⇔ = = k ⇒= 2011k , = 2012k a b b 2012 2011 2012 2a − b 2 ⋅ 2011k − 2012k 2010k = = = 2010 o. 3p b−a 2012k − 2011k k3. F echiunitară ⇔ 3n + 2 + 4 ⋅ 3n +1 + 2 ⋅ 3n + 149 =2012 1p 3n + 2 + 4 ⋅ 3n +1 + 2 ⋅ 3n = 3n ( 32 + 4 ⋅ 3 + 2 ) = 1863 nf 1p 1p 1863 ei 1p 3n ⋅ 23 = 1863 at 1p 3 = 81 ⇒ n = 4 n .m4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f 2p Trasarea graficului funcţiei f 1pww b) f ( n= 3n + 2 ) 1p 1p f ( n + 2 ) = 3 ( n + 2 ) + 2 = 3n + 6 + 2 = 3n + 8w 2p f ( n ) ⋅ f ( n + 2 ) + 9= ( 3n + 2 )( 3n + 8) + 9= 9n + 30n + 25 2 f ( n) ⋅ f ( n + 2) + 9 = ( 3n + 5) este patrat perfect, ∀n ∈ N 2 1p5  1 2 1p x+  = 25  x 93
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte 1 1 1 1p x 2 + 2 ⋅ x ⋅ + 2 = 25 ⇔ x 2 + 2 = 23 x x x  1  2 1   x +   x + 2  =23 5⋅ 1p  x  x  x x2 1 ro x + 2+ + 3= 3 115 x x x 1p 1 1 1p x3 + = 115 − 5 ⇔ x3 + 3 = 110 o. 3 x x SUBIECTUL III (30 de nf puncte) 1. a) = V ht (AB + Ab + AB ⋅ Ab ) 1p 3 ei 1p A= L2 20= 400 cm 2 B = 2 1p at A= l = 10= 100 cm 2 b 2 2 .m 30 2p V = ( 400 + 100 + 200 ) = ⋅ 700 = 10 7000 cm3 3 b) M F FN 5 ⋅ 24w {F } M E ⊥ OM , M E ∩ QN = , M FN M EM ⇒ = ⇒ FN = = 4 cm 1p M E ME 30 QN = QF + FN = 5 + 4 = 9 1pw = = = APRST ST 2 182 324 cm 2w 1p 24 = V (100 + 324 + 180 ) 4832 cm3 = 3 1p= 4832 cm3 4,832 dm3 4,832 litri V = = 1p BC ⊥ OM 1p BC ⊥ ( OMM ) c) Fie OL ⊥ MM ; BC ⊥ OO ⇒ BC ⊥ ( OMM ) ; ⇒ BC ⊥ OL OL ⊂ ( OMM ) OM , OO ⊂ ( OMM ) 94
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte OL ⊥ MM OL ⊥ BC ⇒ OL ⊥ ( BCC ) ⇒ d ( O; ( BCC ) ) = OL 2p BC , MM ⊂ ( BCC ) {M } BC ∩ MM = 1p OM ⋅ M E MM ⋅ OL = = ro AOMM 2 2 OM ⋅ M E 10 ⋅ 30 60 37 1p = cm ⇒ d ( O; ( BCC ) ) = cm 60 37 OL = = o. MM 5 37 37 372. DC 10 2p = = = = 5 cm; ADE şi BCE sunt dreptunghice isoscele nf a) DE EC 2 2 1p m ( AED ) = m ( BEC ) = 45 ⇒ m ( AEB ) = 180 − 45 − 45 = 90 o o o o o ei A AEB = 25 cm 2 2p at b) Agalben Adisc − A AEB = 1p ABE dreptunghic înscris în cerc ⇒ AB = 2R= 10 cm ⇒ R= 5 cm 1p .m 1p Adisc = π R 2 1p Adisc = 25πw 1p Agalben = 25π − 25 = 25 (π − 1) cm 2w Adisc 1p c) Aalbastru AABCD − = 2 1pw AABCD = L ⋅ l = AB ⋅ BC = 10 ⋅ 5 = 50 cm 2 25π 100 − 25π Aalbastru = − 50 = cm2 1p 2 2 100 − 25π π > 3,14 ⇒ −25π < −78,5 ⇒ 100 − 25π < 21,5 ⇒ < 10, 75 < 11 2 2p 95
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 39 Prof: Burlăciuc Maria SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 37 5p ro2. ( −3; 2] 5p3. 16 5p o.4. 81 3 5p nf5. 4 3 5p6. 29 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează trunchiul de piramidă triunghiulară regulată 4p .m Notează prisma 1p2. x = 10 ⋅ c1 + 9 ⇔ x − 9 = 10 ⋅ c1 3p x = 14 ⋅ c2 + 9 ⇔ x − 9 = 14 ⋅ c2 ⇒ x − 9 = [10,14, 20] ⋅ kw x = 20 ⋅ c3 + 9 ⇔ x − 9 = 20 ⋅ c3 2p x −= 140k ⇒ = 140k + 9 < 150 ⇒ = 149 merew 9 x x3. a b c 3p = = = k ⇒ a = 3k , b = 6k , c = 2kw 3 6 2 a 2 + b 2 + c 2 = 9k 2 + 36k 2 + 4k 2 = 49k 2 = ( 7k ) este pătratul unui număr 2 2p4. a) Adunând cele două ecuaţii obţinem 4023a + 4023b 12069 ⇔ a + b 3 = = 1p Scăzând cele două ecuaţii obţinem −a + b =1 1p a + b 3, = 1, = a 2p  ⇔ −a + b 1 = 2 = b 96
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte f : R → R, f ( x ) = x+2 1p b) G f ∩ Ox = { A ( −2;0 )} 2p G f ∩ Oy =( 0; 2 )} {B 2p 1p ro c1 ⋅ c2 AO ⋅ OB = A AOB = = 2 u2 2 2 o.5 ( n + 2 )( n + 5 )  ( n + 3)( n + 4 )  + 1    = (n 2 + 7 n + 10 )( n 2 + 7 n + 12 ) + 1 2p 2p Notam n + 7 n = a ⇒ 2 ( a + 10 )( a + 12 ) + 1 = a + 22a + 121 2 A= ( a + 11) 2 = (n 2 nf + 7 n + 11) = n 2 + 7 n + 11 este număr natural, ∀n ∈ N 2 1p ei SUBIECTUL III (30 de puncte) at1. Ab ⋅ h 1p a) V = 3 .m A= l = 100 cm2 b 2 1p VO ⊥ ( ABC ) ⇒ pr( ABC )V = O 1p ⇒ pr ABC VA =  (VA; ( ABC ) ) = ; AO ) =w OA ⇒  (VA VAO A ∈ ( ABC ) ⇒ pr( ABC ) A = ( ) Aw l 2 1p VOA dreptunghic isoscel ⇒ AO =VO = = 5 2 cm 2w 500 2 V= cm3 1p 3 b) VA AB VB ⇒VAB echilateral = = 1p Dacă M mijloc VB ⇒ AM şi CM sunt înălţimi în triunghiurile echilaterale VAB şi VBC 97
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte (VAB ) ∩ (VBC ) = VB AM ⊥ VB; AM ⊂ (VAB ) ⇒  ( (VAB ) ; (VBC ) ) =  ( AM ; CM ) AMC = 1p CM ⊥ VB; CM ⊂ (VBC ) AC ⋅ OM AM ⋅ MC ⋅ sin AMC = A MAC = 1p 2 2 ro AC ⋅ OM 10 2 ⋅ 5 2 2 = sin AMC = = AM ⋅ MC 5 3 ⋅ 5 3 3 2p o. nf ei 2p c) Drumul cel mai scurt este egal cu lungimea segmentului BD pe at desfăşurarea piramidei Fie BP înălţime în triunghiul VAB echilateral ⇒ BP = cm 5 3 1p .m Din  BPD cu m ( BPD ) = 90o ⇒ BD = 10 3 cm (lungimea drumului) 2p2. a) AABCD = L ⋅ l = AB ⋅ BC 1pw BT şi BM tangente la acelaşi cerc ⇒ BT=BM=12 cm ⇒ AB =⋅ BM = cm 2 24 1pw 1p 120o OB bisectorea TOM ⇒ m ( BOM ) = m ( BOT ) = 60o= 2w BT  BOT cu m ( BTO ) =90o ⇒ tg BOT = ⇒ OT = 4 3 ⇒ BC = 2 R =8 3 cm 1p OT 1p AABCD = 192 3 cm 2 b) Lcerc 2= 8 3π = πR 2p 1p u Asec tor circular π R 2 ⋅ = 360o 98
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ( ) 2 1200 2p π⋅ Asec tor circular = 4 3 ⋅ 16π = 360o c) Atrapez = ( B + b) ⋅ i 1p 2 1p OM ⊥ AB, OT ⊥ BE ⇒ m ( MBT ) = 360o − ( 900 + 90o + 120o ) = 60o ro EE ⊥ AB, FF ⊥ AB; EE = 8 3 2R = 1p o. EE 1p  BEE cu m ( E ) = 90 ⇒ tg B = o ⇒ BE = 8 ⇒ EF = E F = 24 − 8 − 8 = 8 BE nf AABEF = 128 3 ei 1p at .mwww 99
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 40 Prof: Burlacu Daniel SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 13 5p ro2. 2 5p3. 5 5p o.4. 12 5p nf5. 6 5p6. 25 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Realizare desen. 3p Notare 2p .m2. Notăm cu x prețul inițial al televizorului. 10 2p x− x= 990w 100 90 x = 99000w 2p x = 1100 lei (prețul inițial al televizorului) 1pw3. a+b+c =30 1p a = 2k a b c = = = k ⇒ b = 3k 2 3 5 2p c = 5k 1p 2k + 3k + 5k = 30 ⇒ k = 3 1p = 6; b 9; c 15 a = = 100
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte4. f (3) =−3 + 2 ⇒ f (3) =−1 3p a) ⇒ A(3; −1) ∈ G 2p b)Reprezentarea corectă a unui punct de pe grafic. 2p Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct de pe grafic. 2p ro Trasarea graficului funcției. 1p5 A = 4 + 4 3 + 3 + 3 − 3 − 3 3 + 3 = 13 4p o. A∈  1p nf SUBIECTUL III (30 de puncte)1. ∆AMQ : m( A) = o ⇒ MQ 2 = 2 + AQ 2 ⇒ MQ 2 = 25 ⇒ MQ = 3p a) 90 ei AM 5 Lgard 4= 20m = MQ 2p at d d 68 3p b) AMNPQ =1 2 ⇒ AMNPQ = = m 2 24 2 2 2p .m 2410 = 240 euro costă plantarea întregi zone cu flori S pavaj = AABCD − AMNPQ ⇒ S pavaj = 48 − 24 = 24m 2 5p c) AABCD = 48m 2w AMNPQ = 24m 2w2. a) V Ll h ⇒ V 106= 240m3 = = 4 5p b) Al = Pb h ⇒ Al = 324= 128m 2 3pw 128 : 4 = 32l de vopsea 2p c) c) V cub = 503 = 125000 cm3 3p V camera de depozitat = 240 m3=240 000 000 cm3 2p 240 000 000 : 125 000 = 1920 cutii cubice 101
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 41 Prof: Burlacu Daniel SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 5 3 5p ro2. 0, 1, 2, 3 5p3. 6 5p o.4. 4 5p nf5. 45o 5p6. Vineri 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Realizare desen. 3p .m Notare 2p2. Notăm cu x suma inițială 30 2pw x− x= 1400 100 70 x = 140000w 2p x = 2000 lei (suma inițială) 1pw3. Notăm cu n − numărul de copii din șscoală = [4;5;6] + 3 n 2p = 60 + 3 n 2p n = 63 (numărul minim de copii din școală) 1p4. M (a; a ) ∈ G f ⇒ f (a ) = a 2p a) 2a − 4 = a ⇒ a = 4 2p 102
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte M (4; 4) este punctul de pe grafic cu abscisa egală cu ordonata 1p ∩Ox ⇒ f ( x) = ⇒ A(2;0) 0 2p b) ∩Oy ⇒ f (0) = 4 ⇒ B (0; −4) − 2p c c2 24 = 1 = = 4u 2 A AOB 2 2 1p ro5 E ( x) 4 x 2 − 12 x + 9 − 3x 2 + 12 x − 12 − x 2 + 3 = 3p ⇒ Expresia nu depinde de x E ( x) = 0 2p o. SUBIECTUL III (30 de puncte)1. 10 x nf a) ∆MBC : m( B) = o ⇒ A MBC = = m 2 90 2 5x 5p ei AABCD = 100m 2 2p b) 30 at = A MBC  AABCD = 30 ⇒ 5x 2p 100 1p x=6 .m (10 + 4) 3p = c) AAMCD = 70m 2 10 2w 70m 2 29 = 2030 lei costă gresia pentru cameră 2pw2. ∆VOA : m(O) =90o ⇒ VO 2 =VA2 − AO 2 2p a) VO 2 = 144 − 72 ⇒ VO = 6 2m 3pw l2 3 4p = 4= 144 3m 2 Al  b) 4 1p Al ≅ 250m 2 25020 = 5000lei 2p 50 c) 5000 = 2500lei 2p 100 5000 + 2500 = 7500lei 1p 103
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 42 Prof: Burlacu Daniel SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 2 5p ro2. 3 5p3. 11 5p o.4. 28 5p nf5. 48 5p6. 7 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Realizare desen. 3p .m Notare 2p2. 5 3p 5000 = 250 100 2pw 2502 = 500lei ( va fi penalizat muncitorul)3. Notăm cu x − numărul apartamentelor cu 2 camerew y − numărul apartamentelor cu 3 camerew x + y = 56 2p  2 x + 3 y =144  x = 24  2p  y = 32 În bloc sunt 24 de apartamente cu două camere si 32 de apartamente cu trei camere. 1p 104
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte4. f (3) =−1 ⇒ A(3; −1) ∈ G f   2p ⇒ a) g (3) =−1 ⇒ A(3; −1) ∈ Gg  2p ⇒ A(3; −1) ∈ G f ∩ Gg 1p A(3; −1) ∈ G f ∩ Gg 1p G f ∩ Oy ⇒ f (0) = ⇒ B(0; 2) ro 2 2p b) Gg ∩ Oy ⇒ g (0) = 4 ⇒ C (0; −4) − BC = 6u 1p o. bh 63 = = = 9u 2 A ABC 1p 2 2 nf5 7 − 4 3 = (2 − 3) 2 = − 3 =− 3 2 2 2p A= 7 + 3 + 2 − 3 = 9= 3 2p A∈ ei 1p SUBIECTUL III (30 de at puncte)1. ∆AMF : m( M ) = o ⇒ AF 2 =AM 2 + MF 2 90 5p .m a) AF = 500mwww = 800600 480000m 2 48ha A = = 3p b) ABCD cost plantare, întreținere și recoltare. 481500 = 72000lei 2p c) 483,5t = 168t 2p 168800 = 134400lei 2p 105
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 134400 − 72000 = rămân agricultorului 62400lei 1p2. = 203040 24000cm3 24dm3 24l a) V = = = 3p 24l 2 48l ∠50l . Deci nu sunt suficiente două canistre. = 2p b) 300 : 50 = 6lei / litru 2p ro 6lei 24 = 144lei costă canistra de benzină 3p o. A 2( Ll + hl + Lh) = 2p c) = 2= 5200cm 2 A 2600 3p nf ei at .mwww 106
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 43 Prof. Ileana Cernovici SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 4 5p ro2. 21 5p3. 42 5p o.4. 25 5p nf5. 60 5p6. 7,40 5p ei (30 de SUBIECTUL II puncte) at1. Desenează piramida 4p Notează piramida .m 1p2. A= [ −2;5 ] 1p numerele întregi din mulţimea A sunt : {−2;0;1; 2;3; 4;5}w 1p B= ( −3;3) 1pw numerele întregi din mulţimea B sunt: {−2; −1;0;1; 2} 1pw cel mai mare număr întreg care aparţine lui A şi B este 2 1p3. Notăm cu a şi b cele 2 numere a+b 1p = 12 2 a+b =24 1p a 5 = b 7 107
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte a = 10 1p b = 14 1p 1p a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului ro4. 4p Trasarea graficului funcţiei 1p o. b) f ( x )= 3 − 2 x ⇒a= f ( 2) = 3− 2⋅ 2 şi 1p ( ) b = − 2 = 2⋅ − 2 = 2 2 f 3− 3+ ( ) nf 1p ei = mg a ⋅b 1p at mg = (3 − 2 2 )(3 + 2 2 ) = 9−8 = 1 2p .m5. x= 6 + 3 2 şi y = 18 = 3 2 6− 6− 1p ( )( ) ( ) 2 x ⋅ y = 6 + 3 2 6 − 3 2 = 62 − 3 2 = 36 − 18 = 18 2p ⇒ x⋅ y = 18w ( ) + (6 − 3 2 ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x2 + y 2 = 6 + 3 2 = 36 + 36 2 + 3 2 + 36 − 36 2 + 3 2 =w 2p 2 ⋅ 36 + 2 ⋅18 108 ⇒ x 2 + y 2= 108 = (30 de SUBIECTUL IIIw puncte)1. a) Atot = 2 ( ab + ac + bc ) = 2 ⋅ ( 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 8 ) = 2 ⋅ 56 = 112cm 2 5p b) Vcub = V paralelipiped = 2 ⋅ 4 ⋅ 8 = 64cm3 5p c ) V = l 3 ⇒ l 3 = 64 5p ⇒ l =cm 4 Asec tiunii l 2 ⋅= l 2 2 42 2 16 2cm 2 = l = = 108
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a )CD = 3m; AD = 2CD ⇒ AD = 6m 1p ADCE dreptunghi ⇒ CE 6m = = 1p În triunghiul CEB avem m ( E ) 90 ; m ( B ) 45 ⇒ = = 1p Triunghiul CEB este dreptunghic isoscel ⇒ CE = EB = 6m 1p ro A= ( CD + AB ) ⋅= AD 12 ⋅ 6 = 36m 2 1p ABCD 2 2 o. b) notăm cu x =cantitatea de gresie cumpărată 10 x− ⋅x =36 2p 100 nf 90 100 ⋅ 36 2p ⋅ x = 36 ⇒ x = = 40 100 90 Deci vom avea nevoie de 40m 2 de gresie 1p ei c)In triunghiul CEB dreptunghic isoscel aplic T.Pitagora 1p ⇒ BC = BE + BC = 6 + 6 = 36 + 36 = 72 2 2 2 2 2 1p at ⇒ BC = 72 = 6 2 1p PABCD = AB + BC + CD + DA = 9 + 6 2 + 3 + 6 = 18 + 6 2 .m ⇒ PABCD 18 + 6 2 6 3 + 2 = = = ( 3+ 2 ) 2p AABCD 36 36 6www 109
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 44 Prof. Ileana Cernovici SUBIECTUL I (30 de puncte)1. -1 5p ro2. (1 + 2 ) 5p 2 = a o.3. 5 5p4. 600 5p5.6. 19,85 33 nf 5p 5p ei (30 de SUBIECTUL II puncte) at1. Desenează piramida 4p .m Notează piramida 1p2. Notăm cele 2 unghiuri A şi Bw m ( A ) + m ( B ) = 90 1p m ( B ) 2p m ( A )w = + 200 4 2p m ( B ) = 560 şi m ( A ) = 340w3. ( x − 1) ( ) ( 3) 2p 2 2 2 = 3 +1 = + 2 3 +1 = 4 + 2 3 2 1 2 3 2+ 3 y= + =+ = 2p 3 3 3 3 3 110
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 1p 2+ 3 4+2 3 =6⋅ Stabilim egalitatea : 3 ( ⇔ 2 2+ 3 = 2 2+ 3 ) ( )4. a) notăm cu x numărul apartamentelor cu 3 camere şi cu y numărul apartamentelor cu 2 camere. ro 5p 3 x + 2 y =76  ⇒ x = şi y = 8 20 x + y = 28 o. b) din p% ⋅20 =8 ⇒ p =40 5p nf deci 40%5 2p E ( x) = x − 2 + ( 3 y + 1) 2 + 32 ei 2p Pentru ca E minim ⇒ x − 2 = şi 3 y + 1 = 0 0 at 1p 1 ⇒ x = şi y = − 2 3 .m (30 de SUBIECTUL III puncte)1. 2  ( −2 ) + ( −2 ) + 2 2p 2  −2 E ( −2 ) w a) = − : =  −2 + 1 1 + 2  ( −2 ) − ( −2 ) 4 2w  −2 2  4 − 2 + 2 1p  − : =  −1 3  16 − 4w  2  4 6 − 2 4 4 12 2− : = : = ⋅ =4 2p  3  12 3 12 3 4 ⇒ E ( −2 ) = 4 x 2 x 2 x ( x − 1) + 2 ( x + 1) x 2 + x + 2 3p b) − = + = = x +1 1 − x x +1 x −1 ( x + 1)( x − 1) x2 −1 x 2 + x + 2 x ( x − 1) 2 2 E ( x) = ⋅ 2 =x 2 2p x −1 2 x +x+2 111
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c ) E ( a + b + 2) = ( a + b + 2 ) = a 2 + b2 + 4 + 2ab + 4a + 4b 2p 2 E ( a + b + 2 ) + E ( a ) − 4b = 2a 2 + b 2 + 2ab + 4a + 4 = ( a 2 + b2 + 2ab ) + ( a 2 + 4a + 4 ) = ( a + b )2 + ( a + 2 )2 1p ( a + b ) + ( a + 2) = 0⇒ a+b = a+2 = 0 2 2 1p ro din ⇒ a =2; b = − 2 1p deci a = b =soluţie −2; 2 o.2. 9 9 3 −b ± b 2 − 4ac 2p a)l 3 = 9 ⇒ l = = =3 3 3 3 2a nf l2 3 = = Ab 1p 4 (3 3 ) ⋅ 2 3 27 3 2 = 2p cm ei 4 4 Ab ⋅ h 1p b ) Vdiamant at = = 3 27 3 ⋅4 2p .m 4 = 3 27 3 = 9 3cm3 2p 3w c ) Vcutie l = 5= 125cm3 = 3 3 1p p ⋅125 = 9 3 ⇒w 100 2p 9 3 ⋅ 4 36 3 =p = ≈ 12, 47 2p 5 5w 112
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 45 Prof. Ileana Cernovici (30 de SUBIECTUL I puncte) ro1. 11 5p2. 3 3 5p o. 43. 150 5p4. 300 nf 5p5. 12 ei 5p6. 38,5 5p at (30 de SUBIECTUL II puncte) .m1. Realizează desenul şi identifică figura 5pw2. ( 2 1− 2 ) + 2− 3 −2 2 + 3 = (1 + 2 )(1 − 2 ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) 1pw 2 (1 − 2 ) 2 − 3 + −2 2 + 3 = 2p −1 1 ( )w −2 1 − 2 + 2 − 3 − 2 2 + 3 = 1p −2 + 2 2 + 2 − 3 − 2 2 + 3 = 1p 0∈3. a+b+2 ( a+b ) +...+100 ( a+b= ) ( a + b )(1 + 2 + ... + 100= ) 2p 100 ⋅101 (a + b) ⋅ = 1p 2 ( a + b ) ⋅ 50 ⋅101 = 1p 500 ⋅101 = 50500 1p 113
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte4. c1 ⋅ c2 1p =A = 24cm 2 2=A (= x + 4 )( 5 x − 2 ) 24 1p 2 ( x + 4 )( 5 x − 2 ) = 48 5 x 2 + 18 x − 56 = 0 Solutia care convine este x = 2 1p ro ⇒ c 1 = 2 + 4 = 6; c2 = 5 ⋅ 2 − 2 = 8 ip 2 =c12 + c2 2 =62 + 82 = 36 + 64 = 100 1p o. ⇒ ip =10 perimetru = 10 + 6 + 8 = 24cm 1p nf Nu trebuie b) pentru triunghiul dreptunghic avem 5p c1 ⋅ c2 6 ⋅ 8 48 24 ei = h = = = ip 10 10 5 at5 f ( x ) = g ( x ) ⇒ 2 − 3x = 2 x − 3 ⇒ x = 1 2p f (1) = − 3 = 1 2 − 2p .m 1p ⇒ M (1; −1) (30 de SUBIECTUL III puncte)w1. a ) At= 2 ( ab + ac + bc ) 2 (16 ⋅10 + 16 ⋅ 30 + 10 ⋅ 30 ) 2 (160 + 480 + 300 ) = = = 5p 2 ⋅ 940 = m 2w 1880 b) D′D ⊥ ( ABC ) , DE ⊥ AC ( E ∈ ( AC ) ) ⇒ T 3 ⊥ că D′E ⊥ AC ⇒ 1pw distanţa de la D′ la AC este D′E 1p in triunghiul DAC aplicăm T.Pitagora ⇒ AC = 356 1p AD ⋅ DC 160 =DE = 1p AC 356 În triunghiul D′DE , m ( D ) = 90 114
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ⇒ D′E 2 = D′D 2 + DE 2 Aplicăm TP D′E = 10 10m 1p c) Sup.acoperişului S = 16 ⋅10 = 160m 2 1p intr-o zi un muncitor izolează 4 m 2 ⇒ 5 zile izolează 4 ⋅5 = m 2 20 2p ro sunt necesari 160: 20=8 muncitori 2p2. a ) P =2 ( L + l ) =2 ⋅ ( 20 + 12 ) =64m 2p o. ⇒ 64 : 4 = 16 2p deci se folosesc 16 stâlpi 1p nf b)Lungimea unui rând de sârmă este 64-4 = 60m 2p 60 m ⋅3 = ei 180m sârmă necesari pentru cele 3 rânduri 3p c) 180 ⋅1, 25 = 225lei 5p at .mwww 115
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 46 Prof Ileana Cernovici (30 de SUBIECTUL I puncte)1. b=5 2 5p ro2. 1987 5p3. 80 5p o.4. 12 5p nf5. 0 5p6. 2 5p ei (30 de SUBIECTUL II puncte) at1. Desenează corect 4p 1p .m Notează corect2. a + 6b = 2b + c ⇒ a + 6b − 2b = c ⇒ a + 4b = c 2p E =+ 4b + 5c − 719 =+ 5c − 719 = − 719 = a c 6c 2pw 6 ⋅120 − 719 = 720 − 719 = 1 1p3. Notăm cu x , lungimea drumului şi avemw 1 x + 10 În prima etapă: 5 1pw 1  4 Drum rămas x −  x + 10  = x − 10 5  5 1p 14  Etapa a doua:  x − 10  + 17 1p 25  1p 116
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 1 14  x + 10 +  x − 10  + 17 + 30 = x 5 25  1 2 x + x + 52 = x 5 5 3 x + 52 = x 5 ro 3 52= x − x 1p 5 2x 52 = ⇒ x = 130 o. 5 )  ( A′B, ( ABC ) ) = a=  ( A′B, prABC A′B ) nf4. 1p  ( A′B, AB ) = A′BA 1p tg ( A′BA ) = 3⇒ 1p ei m ( A′BA ) = 60  2p at b ) CE ⊥ AB 1p AA′ ⊥ ( ABC ) siCE ⊂ ( ABC ) ⇒ AA′ ⊥ CE 1p .m { A} CE ⊥ AB, CE ⊥ A′A, AA′ ∩ AB = 1p ⇒ CE ⊥ ( A′AB ) ⇒ 1p d ( C , ( A′AB ) ) CE 6 3 = = = 3 3cm 1pw 25 Suma are 333 termeni pe care ii grupăm cîte 3 1pw S= 7 (1 + 7 + 7 2 ) + 7 4 (1 + 7 + 7 2 ) + ... + 7331 (1 + 7 + 7 2 )= 1p 57 ( 7 + 7 4 + ... + 7331 ) 57w 1p (30 de SUBIECTUL III puncte)1. 3 x − 5 y =−22 3 x − 5 y =−22 x =6 2p a)  ⇒ ⇒ 2 x − y = 4 −10 x + 5 y =−20  y = 8 Atunci AB=6 cm şi AC=8 cm 1p 117
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ BC = 10cm 1p 1p AB ⋅ AC 6 ⋅ 8  ABC , m ( A ) = 90 avem Aria = = = 24cm 2 2 2 Perimetru = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24cm  ABC ⇒ AB 2 = BD ⋅ BC ⇒ 1p AB 2 36 2p b) Fie AD ⊥ BC , aplicăm T.catetei in BD = = = 3, 6cm ro BC 10 2p DC =BC − BD = − 3, 6 =6, 4CM 10 o. r⋅P 2 A 48 2p A= ⇒ r= = = 2 2 P 24 c) ⇒ r = 2 1p nf A= π= 4π cm cerc r 2 2 2p2. A ( −1; 2 ) ∈ G f ⇔ f ( −1) = 2 ⇔ −a + b = 2 1p ei B ( 2; −1) ∈ G f ⇔ f ( 2 ) =−1 ⇔ 2a + b =−1 1p a)  a = −1 1p ⇒ ⇒ at b = 1 f ( x) = x +1 − 2p .m b) MA= MB= 3 ⇒ ABM dreptunghic isoscel 2p ⇒ m ( ABM ) = 45 ⇒ 2p tg ( ABM ) = 1w 1p c ) AB = MA2 + MB 2 ⇒ AB 3 2 = 1pw 2p P = + AB + MB =+ 3 2 AM 6 c ⋅ c2 3 ⋅ 3 9 2p = 1= = Aw 2 2 2 118
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 47 Prof. Ciocănaru Viorica SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 96 5p ro2. 5 5p3. 10 lei 5p o.4. 25 cm2 5p nf5. 13 5p6. 48 cm 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează prisma. 3p Notează prisma. 1p .m Trasează diagonala AB’. 1p2. Scrie mulţimea divizorilor naturali ai lui 5, D 5 = {1, 5}. 1pw Rezolvă ecuaţiile x+1 = 1 şi y-1 = 5 şi găseşte x = 0, y = 6. 2p Rezolvă ecuaţiile x+1 = 5 şi y-1 = 1, găseşte x = 4, y = 2 şi scrie mulţimeaw 2p soluţiilor S = {(0, 6), (4, 2)}. Notează cu x preţul iniţial al laptopului; preţul după scumpire este x + 15% xw3. 1p 23 = x. 20 23 23 23 Preţul după ieftinire este x – 20%( x) = x. 2p 20 20 25 23 Scrie ecuaţia x = 2300 şi determină x = 2500 lei. 2p 254. a) Fie punctul M(a,b) intersecţia celor două grafice. Scrie f(a) = b, g(a) = b 2p deci f(a) = g(a). 2p Obţine f(a) = a – 2, g(a) = 2a + 1 şi a – 2 = 2a + 1, de unde a = - 3. 119
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Calculează b = - 5 şi finalizează M(-3, -5). 1p b) Folosirea lui M din rezolvarea punctului a) sau reprezentarea corectă a 2p unui punct care aparţine graficului funcţiei g. 2p Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei g. 1p ro Trasarea graficului funcţiei g.5 Amplifică fiecare fracţie cu expresia conjugată a numitorului adică 2p 3 + 2 respectiv 2 − 1 . o. Obţine a = ( 3 + 2 )2 + ( 2 − 1 )2 - 2 2 ( 3 − 1) = 5+ 2 6 + 3- 2 2 - 2 6 + 2p nf 2 2. 1p Determină a = 8 şi finalizează a ∈ N. ei SUBIECTUL III (30 de puncte) at1. a) Scrie L cerc = 2πR. 1p Calculează L cerc mare = 45π cm, L cerc mijlociu = 30π cm, L cerc mic = 15π cm. 2p .m Calculează L panglică necesară pentru cele 3 cercuri: mare, mijlociu, mic 1p L panglică = L cerc mare + L cerc mijlociu + L cerc mic = 90π cmw Calculează lungimea panglicii pentru fragmentul din Figura 1 1p L = 360π cm.w b) Precizează că suprafaţa vopsită corespunde A l a paralelipipedului 1p dreptunghic (panglica metalică) cu secţiunea având P = 2(2 + 0,3) = 4,6 cmw A l panglică mare = 4, 6 ⋅ 45π = 207π cm2, A l panglică mijlocie = 4, 6 ⋅ 30π = 138π cm2, 2p A l panglică mica = 4, 6 ⋅ 15π = 69π cm2. Calculează A culoare 1 = 4(A l panglică mare + A l panglică mica ) = 1104 π cm2 2p Calculează A culoare 2 = 4 A l panglică mijlocie = 552 π cm2. c) Scrie V paralelipiped = A bazei ⋅ h. 1p 120
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte A bazei = 2⋅ 0,3 = 0,6 cm2 1p Observă că panglica are lungimea totală egală cu L panglică de la punctul a) 3p deci h = L panglică Calculează V paralelipiped = 0,6 ⋅ 90π = 54 π cm3. a) Calculează diagonalele pătratelor ro2. 2p d pătrat mare = 30 2 cm, d pătrat mic = 15 2 cm. o. 2p Calculează lungimea L = 5 ⋅ 30 2 + 4 ⋅ 15 2 + 2(5+7) = 210 2 + 24 (cm). 1p Calculează lăţimea l = 3 ⋅ 30 2 + 2 ⋅ 15 2 + 2(5+7) = 120 2 + 24 (cm). b) Scrie A pătrat = l2 nf Calculează A pătrat mic = 152 = 225 (cm2), A pătrat mare = 302 = 900 (cm2). 1p ei 1p Calculează A bordură = 2 ⋅ 5 (210 2 + 24) + 2 ⋅ 5 (120 2 + 24 - 10) 1p at A bordură = 10 (330 2 + 38) cm2. 1p Calculează S V = 12 A pătrat mic + A bordură , S V = 12 ⋅ 225 + 10 (330 2 + 38) . .m 1p Calculează S M = 12 A pătrat mare , S M = 12 ⋅ 900 cm2. c) Scrie A dreptunghi = L ⋅ l 1pw Calculează, cu rezultatele de la a) A dreptunghi = (210 2 + 24) (120 2 + 24) 2pw A dreptunghi ≈ 61843,32 cm2 S motiv geometric = 12 (A pătrat mic + A pătrat mare ) = 12 (225 + 900) = 13500 (cm2). 1pw Calculează raportul procentual S motiv geometric / A dreptunghi = 13500/ 61843,32 1p de unde rezultă 21,82% 121
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 48 Prof. Ciocănaru Viorica SUBIECTUL I (30 de ro puncte)1. 24 5p o.2. 3 5p3. 9 cm 5p4. 15 lei nf 5p5. ei 5p 8 3 cm6. 248 cm2 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează cubul şi îl notează. 3p Trasează diagonala AC’ şi precizează “o diagonală a cubului”. 1pw Trasează diagonala AD’ şi precizează “diagonala unei feţe a cubului”. 1pw2. Notează cu x costul unei cutii cu bomboane şi cu y costul unei prăjituri 1p Scrie sistemul 2x + 5y = 35,9 şi îl rezolvă obţinând x = 9,2 şi y = 3,5 3pw 3x + 2y = 34,6 Finalizează precizând costul unei cutii cu bomboane 9,2 lei şi costul unei 1p prăjituri 3,5 lei.3. Scrie mulţimea divizorilor întregi ai lui 3, D 3 = { ± 1, ± 3}. 1p Rezolvă ecuaţiile a+1 = 1 şi b-1 = 3 şi găseşte a = 0, b = 4, 2p a+1 = -1 şi b-1 = -3 şi găseşte a = -2, b = -2. 122
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Rezolvă ecuaţiile a+1 = 3 şi b-1 = 1 şi găseşte a = 2, b = 2, 2p a+1 = -3 şi b-1 = -1 şi găseşte a = -4, b = 0 şi scrie mulţimea soluţiilor S = {(0, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 0)}.4. a) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f. 2p Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f. ro 2p Trasarea graficului funcţiei f. 1p o. b) Determinarea coordonatelor lui A în urma rezolvării ecuaţiei f(x) = 0, 2p 3 3 adică -2x +3 = 0, x = , A( , 0). 2 2 nf Determinarea coordonatelor lui B în urma calculării lui f(0) = 3, B(0, 3) 1p 3 ei Observarea catetelor triunghiului dreptunghic AOB, OA = , OA = 3, 2 2p cc 9 aplicarea formulei A ∆dr = 1 2 şi găsirea rezultatului A ∆AOB = 2 4 at5 Scrie formula mediei geometrice m g = ab , a,b > 0 2p .m 2p Observă a = 1 + 2 + 1 − 2 = 2 2 > 0 şi b = 2 > 0. 1p Calculează m g = 2w SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) Scrie V cil = πR2h şi R = 1,5 cm. 2p Calculează volumul unei alveole V a = π 1,52 ⋅ 2 = 4,5 π (cm3).w 2p Calculează volumul tuturor alveolelor V = 15 ⋅ V a = 67,5 π (cm3). 1p b) Calculează lungimea suportului 0,3 ⋅ 2 + 0,2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = 16,4 (cm). 1p Calculează lăţimea suportului 0,3 ⋅ 2 + 0,2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 10 (cm). 1p Observă suprafaţa suportului S = A dreptunghi - 15 ⋅ A disc . 1p Înlocuieşte şi calculează S = 16,4 ⋅ 10 - 15 ⋅ 1,5 π = 164 – 33,75 π (cm ). 2 2 2p 123
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) Observă că pătratul trebuie să fie înscris în cerc pentru ca A pătrat să fie maximă şi face desenul corespunzător. 2p 1p Scrie l 4 = R 2 . ro 2p Calculează suprafaţa maximă pe care o pot ocupa bomboanele S max = 15 ⋅ A pătrat S max = 15 ⋅ 2 R = 30 ⋅ 1,5 = 67,5 (cm ). 2 2 2 o.2. l 2p a) Scrie A pătrat = l2, A disc = π ( ) 2 . 2 A petală1 = A disc + 1 4 nf l 2 1 4 l ( A pătrat - A disc ) ⇒ A petală1 = π ( ) 2 + ( l2 - π ( ) 2 ). 2 2p ei 1p l 3π + 1 Calculează A petală1 = ( ) 2 . 2 4 at 1 l2 3 3p b) Scrie A petală2 = A disc + ( A ∆echilat - A disc ), A ∆echilat = , A disc = πR2 3 4 .m l 3 l 3 2 raza cercului înscris în triunghiul echilateral R = , A disc = π ( ) . 6 6w l 3 2 1 l2 3 l 3 2 A petală2 = π ( ) + ( -π ( ) ). 1p 6 3 4 6w 1p l 2π + 3 3 Calculează A petală2 = ( ) 2 . 2 9w l 3π + 1 l 2π + 3 3 1p c) Din punctele a) şi b) ⇒ A petală1 = ( ) 2 , A petală2 = ( ) 2 . 2 4 2 9 3π + 1 2 2π + 3 3 2 3p Scrie A F1 = 4 A petală1 = l , A F2 = 6 A petală2 = l. 4 6 AF 1 3(3π + 1) ⇒ = ≈ 1,76. AF 2 2(2π + 3 3 ) 1p 124
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 49 Prof. Ciocănaru Viorica ro SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 1 5p o. 102. 39 lei 5p3. 320 cm2 nf 5p4. -11 ei 5p5. 32 cm 5p at6. 5 3 cm 5p .m SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desenează piramida. 2pw Notează piramida. 1p Desenează triunghiul format din înălţimea piramidei, apotema bazei şiw apotema piramidei şi îl notează. 2p2. Scrie formula (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 . 2pw Face înlocuirile şi calculele (2 2 − 3 ) 3 = (2 2 ) 3 − 3(2 2 ) 2 3 + 3(2 2) ( 3 ) 2 − ( 3 ) 3 = 16 2 - 24 3 +18 2 -3 3 . 2p Finalizează (2 2 − 3 ) 3 = 34 2 - 27 3 . 1p3. Scrie ecuaţia dată sub forma echivalentă x -2 = 2(x + 3). 1p Desface paranteza, separă şi reduce termenii asemenea şi găseşte x = - 8. 3p Scrie S = {-8} şi precizeză că -8 nu poate reprezenta lungimea unui segment 125
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte pentru că este negativ. 1p4. a) Notează f(x) = ax+ b, a, b ∈ R. 1p Din A, B∈ G f scrie relaţiile f(2) = 4 şi f(-1) = -3 şi apoi 2a + b = 4, 2p respectiv – a + b = -3. ro 7 2 Rezolvă sistemul 2a + b = 4 obţine soluţia S = {( ,− )} şi finalizează 2p 3 3 – a + b = -3 o. 7 2 f(x) = x− . 3 3 nf b) Reprezintă grafic funcţia f folosind oricare două puncte ale sale. Duce perpendicularele din A pe Ox şi din B pe Oy, le prelungeşte până se 3p 2p ei intersectează în C şi scrie coordonatele sale C(2, -3)5 Scrie ecuaţia x + 2 2 − 3 = ± 2 . 1p at 2p Obţine x + 2 2 = 3 ± 2 şi apoi x + 2 2 = ± ( 3 ± 2 ) . .m Obţine x 1 = 3 − 2 , x2 = - 3 − 3 2 , x3 = 3 − 3 2 , x 4 = - 3 − 2 şi apoi 2p S = {- 3 − 3 2 , 3 −3 2 , - 3 − 2, 3 − 2 }.w SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) Scrie L sector cerc = πRu/ 1800 1pw A suprafeţelor plane = 3 ⋅ 20 ⋅ 800 = 48000 (cm2), pentru o coloană. 2p A suprafeţelor circulare = 3 ⋅ 10 π ⋅ 800 = 24000 π (cm2), pentru o coloană. 1p Suprafaţa pictată este 2 ⋅ (48000 + 24000 π) = 48000(2 + π) (cm2). 1p b) Din punctul a) rezultă k = A suprafeţei circulare / A suprafeţei plane 2p Calculează k şi obţine k = π/ 2. 2p Raportul procentual este 157,14%. 1p 126
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) Scrie A ∆echilat = l2 3 / 4 şi A sector cerc = πR2u/ 3600 2p Calculează A secţiunii = A ∆echilat mare - 3 A ∆echilat mic + 3 A sector cerc 2p A secţiunii = 602 3 / 4 - 3 ⋅ 202 3 / 4 + 3 ⋅ 102π/ 2 = 150 (4 3 - π) (cm2). 1p V coloane = 2 ⋅ A secţiunii ⋅ h, V coloane = 240000 (4 3 - π) (cm3). ro2. a) Observă faptul că cele 4 sectoare de cerc scoase din pătratul albastru 2p formează un cerc L cerc = 2πR iar segmentul rămas din latura pătratului are lungimea 60 - 2 ⋅ 12= 36 o. Calculează L cerc = 24π cm , Lsegmente = 4 ⋅ 36 = 24 (cm). 2p nf Calculează lungimea conturului exterior (albastru) 24π + 144 = 24(π + 6). 1p b) Observă faptul că motivele geometrice roşii au aceeaşi formă cu motivul 3p albastru de la punctul a) deci L cerc = 8π cm, L segmente = 4 ⋅ 12 = 48 cm ei L formă = 8π + 48 = 8(π + 6) (cm). 1p at Observă faptul că motivul nu are lungimea laturii modificată, deci P = 4 ⋅ 20 = 80 Calculează lungimea conturului motivului geometric (roşu) 4 ⋅ 8(π + 6) + 80 .m 1p = 16(2π + 17) (cm) c) Scrie A pătrat = l2, foloseşte punctul a) pentru A cerc = πR2. 1pw Calculează aria figurii A 1 = 202- π42 = 42(52- π). 1p Calculează aria figurii A 2 = 202- 4 ⋅ 42 = 42(52- 4) = 21 ⋅ 42. 1pw Calculează aria motivului geometric (roşu) A motiv roşu = 4 ⋅ A 1 + A 2 2p A motiv roşu = 4 ⋅ 42(52- π) + 21 ⋅ 42 = 42( 121- 4 ⋅ π) (cm2).w 127
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 50 Prof. Ciocǎnaru Viorica SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 28 5p2. 80% 5p o.3. 8 2 5p nf4. 6,2 5p5. 26 5p ei6. 0 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) Deseneazǎ tetraedrul .m1. 4p Noteazǎ tetraedrul 1p2. Aduce pe a la forma: 2 2 - 2 2pw 1p Calculeazǎ a2 = 12 – 8 2w 1p -1 1 Scrie a = 2( 2 − 1)w 2 +1 1p Raţionalizeazǎ şi obţine a-1 = 23. Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile: 1,8 lei 2p Calculeazǎ cât costǎ plicurile: 15,6 lei 2p Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile cu plicuri: 17,4 lei 1p4. a) Alege corect perechile de puncte pentru f. 2p 128
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui f şi o noteazǎ. 1p Alege corect perechile de puncte pentru g. 1p Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui g şi o noteazǎ. 1p b) Scrie ecuaţiei f(x) = g(x). 1p ro Rezolvǎ ecuaţia şi gǎseşte x = 1. 2p Aflǎ f(1) sau g(1) = 3. 1p o. Scrie coordonatele punctului de intersecţie (1, 3). 1p Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = 3 nf5 1p Gǎseşte soluţiile 10 şi - 6 1p ei Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = - 3 1p Gǎseşte soluţiile 4 şi 0 1p at Scrie mulţimea de soluţii S = {- 6, 0, 4, 10} 1p .m SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Scrie formula volumului 1pw Calculeazǎ volumul bazinului 3600 m3 2p Calculeazǎ volumul apei 2400 m3 2pw b) Scrie formula volumelor trunchiului de piramidǎ şi cubului 2pw Calculeazǎ volumele trunchiului de piramidǎ şi cubului V t = 84 m3, V cub = 2p 216 m3 Aflǎ înǎlţimea apei în care s-au introdus corpurile: 9 m 1p 84 2p c) Scrie şi calculeazǎ 0,035 2400 216 Scrie şi calculeazǎ 0,06 2p 3600 129
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Exprimǎ rezultatele conform cerinţelor: 3,5%, respectiv 6% 1p2. a) Scrie formula pentru lungimea cercului 1p Calculeazǎ lungimea celor 4 cercuri: 8 π R 1p Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 4R 2 1p ro Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative: 2p 240 R (2 π + 2 ) o. b) Calculeazǎ lungimea celor 4 arce de cerc: 6 π R 2p nf Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 8R 1p Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative: 2p ei 120 R (3 π + 4) c) Calculeazǎ lungimea materialului din figura A: 360 (3 π + 4) 2p at Calculeazǎ lungimea materialului din figura B: 720 (2 π + 2 ) 1p .m 360(3π + 4) 3π + 4 2p Raportul = 720(2π + 2) 2(2π + 2)w BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREwVarianta 51 Prof. Ciocǎnaru Viorica SUBIECTUL I (30 dew puncte)1. 1 5p 42. 6 2 5p3. -2 5p4. 2 10 5p 130
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte5. 1200 5p6. 36 2 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) ro1. Deseneazǎ piramida 3p Noteazǎ piramida 1p o. Traseazǎ diagonalele bazei 1p2. Observǎ numitorul comun şi amplificǎrile 1p Obţine inecuaţia 4x-2 < 9x+6 8 nf 1p 2p Aduce la forma x > - ei 5 1p 8 Finalizeazǎ x ∈ (- , + ∞ ). at 53. Aflǎ costul obiectului dupǎ prima ieftinire 18- 15% ∙ 18 = 15, 3 3p .m Aflǎ costul obiectului dupǎ a doua ieftinire 15,3- 10% ∙ 15,3 = 13,77 2p4. a) Alege corect perechile de puncte 3pw Trasarea semidreptelor corespunzǎtoare 2pw b) Ridicǎ binomul la pǎtrat 1p Aduce ecuaţia la forma: 4x2 + 10x -1 = 0 2pw − 5 ± 29 2p Calculeazǎ soluţiile x 1,2 = 45 Ridicǎ la pǎtrat numǎrǎtorul 1p Restrânge diferenţa de pǎtrate de la numitor 1p 5+2 6 1p Obţine numǎrul 2 2p 131
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Încadreazǎ numǎrul între 4 şi 5. SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Scrie formula ariei laterale 2p ro Calculeazǎ aria bazei 1p Efectueazǎ calculele şi gǎseşte rezultatul 4600 cm2. 2p o. b) Calculeazǎ lungimea diagonalei d a paralelipipedului 3p 302 + 202+ 402 = 2900; d = 10 29 cm. nf Explicǎ: bagheta se sprijinǎ cu un capǎt într-un colţ al bazei cutiei şi cu celǎlalt capǎt pe muchia lateralǎ opusǎ colţului considerat. 2p ei c) Screie formula volumului paralelipipedului 1p at Calculeazǎ volumul: 30 ∙ 20 ∙ 40 = 24000 (cm3) 1p Calculeazǎ volumul unui cub 53 = 125 (cm3) 1p .m Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 5 cm: 192 1p Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 2 dm: 2 1pw2. a) r este jumǎtate din latura pǎtratului; r = 6 cm 1p R este jumǎtate din diagonala pǎtratului; R = 6 2 cm 2pw r 6 1 1p = =w R 6 2 2 2 1p Raţionalizeazǎ . 2 b) Scrie formula pentru aria pǎtratului: l 4 2. 1p Calculeazǎ aria pǎtratului144 cm2. 1p Scrie formula pentru aria cercului: π r2. 1p 132
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Calculeazǎ aria cercului 36 π cm2. 1p Aria delimitatǎ de pǎtrat şi cercul de razǎ r 36(4 - π ) cm2. 1p c) Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului: 4l 4 1p Calculeazǎ perimetrul pǎtratului 48 cm. 1p ro Scrie formula pentru lungimea cercului: 2 π R. 1p Calculeazǎ lungimea cercului 12 2 π cm. 1p o. 1p 2 2 Calculeazǎ raportul . π nf ei BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 52 Prof. Ciocǎnaru Viorica at SUBIECTUL I (30 de puncte) .m1. -2 5p2. 29,62 5pw3. 1200 5p4. 5pw 48 35. 108 5pw6. 6 5 5p SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Deseneazǎ prisma 3p Noteazǎ prisma 2p 133
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. Scrie mulţimea A ca interval (3- 2,3+ 2) 2p Scrie mulţimea B ca interval [-3, 2] 2p  1p A B = (3- 2 , 2]3. Stabileşte necunoscutele: numǎrul de covrigi x; numǎrul de pâini y 1p ro Scrie sistemul de ecuaţii 6x + 7y = 11,4 1p 7x + 6y = 10,7 o. Rezolvǎ sistemul. 2p Interpreteazǎ rezultatele: x = 0,5 lei, y = 1,2 lei nf 1p4. a) Scrie ecuaţia a ∙ 2 + b = -6 1p ei Scrie ecuaţia a ∙ (-5) + b = -9 1p 3 Rezolvǎ sistemul format cu cele douǎ ecuaţii şi gǎsirea lui a = şi at 7 2p − 48 b= . .m 7 1p 3 48 Scrie lui f(x) = x - 7 7w 3 48 3p b)  cu Ox ⇒ f(x) = 0, 7 x- 7 = 0 ↔ x = 16 ⇒ M (16, 0)w 48 48  cu Oy ⇒ f(0) = - 7 ⇒ P(0, - 7 ) 2pw5 Calculeazǎ x = 5 - 2 6 2p 2p Calculeazǎ y = 5 + 2 6 1p Calculeazǎ xy = (5 - 2 6 )(5 + 2 6 ) = 1 ⇒ xy = 1 SUBIECTUL III (30 de puncte) 134
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte1. a) Determinǎ razele cercurilor circumscrise bazelor R = 5 2 , r = 4 2 . 2p Scrie formula care dǎ legǎtura între R, r, h, m. 1p 2p Înlocuieşte, efectueazǎ calculele, obţine rezultatul m2 = (5 2 - 4 2 )2 + 62 de unde m = 38 . ro b) Observǎ o pereche de triunghiuri asemenea. 1p x 4 2p Scrie proporţia = cu x înǎlţimea piramidei mici. o. x+6 5 Aflǎ x şi înǎlţimea piramidei din care provine rezervorul; înǎlţimea nf 2p piramidei este 30 m. c) Volumul trunchiului de piramidǎ: formulǎ şi calcul, V t = 488 m3. 3p ei 1 Scrie volumul bazinului piramidal, V p = A b ∙ h p , înlocuieşte, calculeazǎ 3 at 2p 3 ⋅ 488 hp= , h p = 8 m. 183 .m2. a) Observǎ cele 12 unghiuri la centru congruente şi m ( ∠ AOM) = 300 2p Observǎ cele 6 unghiuri la centru de tipul ∠ AOB şi m ( ∠ AOB) = 600 2pw m ( ∠ MOR) = 1200 1pw b) Aria triunghiului AOM = OA ∙ OM sin ( ∠ AOM)/ 2 1p 1 1 2p A ∆AOM = 6 3 ∙ 6 ∙ =9 3w 2 2 Aria figurii cerute 12 ∙ 9 3 = 108 3 (cm2). 2p c) Figura AMBNCPDQERFS are laturile congruente cu lungimea de 6 cm. 1p Calculeazǎ perimetrul figurii este 72 cm. 1p Scrie formula lungimii cercului de razǎ 6 3 şi calculeazǎ 12 π 3 2p 1p 135
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 72 2 3 Calculeazǎ raportul , ajunge la rezultatul 12π 3 π ro BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE o.Varianta 53 Prof. Ciocǎnaru Viorica SUBIECTUL I (30 de nf puncte)1. 0 5p ei2. 8,25 5p at3. 5,5 5p4. 24 5p .m5. 48 5p6. 64 5pw SUBIECTUL II (30 de puncte)w1. Deseneazǎ conul 4p Noteazǎ conulw 1p2. Stabileşte necunoscutele: x metri de material pentru bluzǎ, y mertri de 1p material pentru rochie Scrie sistemul de ecuaţii 3x + 5y = 17 1p 4x + 3y = 13,5 2p Rezolvǎ sistemul. 1p Interpreteazǎ rezultatele: x = 1,5 m, y = 2,5 m 136
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte3. 4 2p Transformǎ numǎrul 0,2(6) în fracţia ordinarǎ 15 4 Transformǎ numǎrul 1,(3) în fracţia ordinarǎ 1p 3 1p Rezolvǎ ecuaţia ro 6 Scrie mulţimea de soluţii S = { } 5 1p o.4. a) Ridicǎ fiecare binom la pǎtrat 1p 2x 2 − 4 2p Calculeazǎ E (x) = nf x2 +1 2p Rezolvǎ ecuaţia x2 – 2 = 0 ⇒ x 1,2 = ± 2 ei b) Calculeazǎ E (1) = -1 2p at 1 2p Calculeazǎ E ( 3 ) = 2 .m E( 3) 3 Calculeazǎ = 1p 3 65 a2 + b2 a b 2p Observǎ cǎw = + ab b a b 1 3+ 5 Calculeazǎ 1pw = = a 3− 5 4 a b 15 − 3 5w Efectueazǎ + = 2p b a 4 SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Scrie formula ariei totale a prismei pǎtratice drepte A t prismǎ = P b h p + 2A b 1p Calculeazǎ aria totalǎ a prismei A t prismǎ = 800 cm2 1p Scrie formula ariei totale a cilindrului A t cil = 2 π R (G + R) 1p 137
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Calculeazǎ aria totalǎ a cilindrului A t cil = 981,25 cm2 2p b) Scrie formula volumului prismei pǎtratice drepte V prismǎ = A b h p 1p Calculeazǎ volumul prismei V prismǎ = 1500 cm3 1p Scrie formula volumului cilindrului drept V cil = π R2 h cil 1p ro Calculeazǎ volumul cilindrului V cil = 1177,5 cm3 2p c) Scrie numǎrul de globuri: 12 1p o. Scrie formula şi determinǎ volumul unui glob V g = 57,87648 cm3 2p nf Scrie raportul V prismǎ / V cil = 1500/ 1177,5 = 200/ 157 2p2. a) Observǎ cǎ baza fiecǎrui triunghi isoscel este de 2 dm şi înǎlţimea este de 3 1p ei Calculeazǎ aria unui triunghi isoscel: 3 dm2 1p Calculeazǎ aria triunghiului echilateral 3 dm2 2p at 1p Calculeazǎ aria triunghiurilor isoscele şi echilaterale 4(3 + 3 ) dm2 .m b) Scrie formula perimetrului pǎtratului şi o aplicǎ: P p = 24 dm 1p Calculeazǎ lungimea laturilor congruente din triunghiurile isoscele: 10 2pw 1p Calculeazǎ perimetrul triunghiurilor isoscele: P t = 8( 10 +1) dm 1p 10 + 1w Scrie raportul P p / P t = 3 c) Scrie formula ariei pǎtratului şi o aplicǎ: A p = 36 dm2w 2p Scrie aria triunghiurilor isoscele: A t = 12 dm2 1p 1 2p Scrie raportul A t / A p = ; 33,33% 3 138
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ro o. nf ei at .mwww 139
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 54 Prof. Cocalea Rodica SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 11 5p ro2. 0,5 5p3. 13,75 5p o.4. 12 5p nf5. 15 5p6. 630 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează prisma 4p Notează prisma 1p .m2. a b 2p = = k 3 5 1pw a = 3k şi b = 5k 2a + 3b 21k = = −3w 2p a − 2b −7 k3. Fie x şi y numărul de kilometri parcurşi în prima, respectiv a doua zi. 1pw x+ y 1p numărul de kilometri parcurşi în a treia zi. 2 1p x+ y x+ y+ =291 2 2p x+ y = 97 numărul de kilometri parcurşi în a treia zi. 2 140
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p Trasarea graficului funcţiei 1p b) f (3) =−3 + 3 =0 3p P=0 2p ro5 (a + b)(a − b) = , dar a − b =, atunci a + b = 12 2 6 2p 2(a + b) 2 − 3a + 7 + 3(b − 2) = 2(a + b) 2 − 3(a − b) + 1 = 67 3p o. SUBIECTUL III (30 de puncte)1. nf a) 2,4 m=24 dm; 3,6 m=36 dm; 30 cm=3 dm; 20 cm=2 dm A b = L l = 864 dm2; Aria unei plăci de gresie = 6 dm2 1p ei 2p 864: 6 = 144 plăci de gresie 2p at b) Dacă VO este înălţimea piramidei VABCD, în triunghiul dreptunghic VAO, 2p cu AO = 10 2 şi cu teorema lui Pitagora obţinem VO = 10 2 .m AABCD = 400dm 2 1p AABCD ⋅ VO 4000 2 2p = VVABCD = dm3w 3 3 c)Volumul apei dislocate =Volumul piramidei VABCD 1pw 4000 2 2p V = Ab ⋅ x = 864 ⋅ x = dm3 , unde x este diferenţa de înălţime 3w= 3, 24 2dm 32, 4 2cm x = 2p2. a) VA = 12cm 2p Al = 144 3cm 2 2p 1p b)proiecţia lui DM pe planul(ABC) este DE, unde E este mijlocul lui [OC]; 2p unghiul este MDE 141
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte= 6= 3 2cm VO 2cm; ME 3p 6 sin(MDE ) = 6 = 288 2dm3 288 2l c) V = 2p ro 2p 288 2 < 288 ⋅1, 42 408,96 < 410 , deci nu încap 410 litri = 1p o. nf BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 55 Prof. Cocalea Rodica ei SUBIECTUL I (30 de puncte) at1. 31 5p2. 3 5p .m3. 30 5p4. 49 5pw5. 10 5pw6. 14 5p SUBIECTUL II (30 dew puncte)1. desenează tetraedrului 4p notează tetraedrului 1p2. cu x, y şi z numere întregi, deci y 2 2p 2( x + z ) = 3( y + 4 z ) cu x, y şi z numere întregi, deci ( x + z ) 3 2p 1p y ( x + z ) 6 142
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte3. x+ y+z =81 1p x y z x + y + z 81 3p = = = = = 9 2 3 4 2+3+ 4 9 1p z = 36 ro4. a) f (0) = 4 ; f (−1) =6 2p f (0) − 3 ⋅ f (−1) = 20 − 3p o. b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p Trasarea graficului funcţiei nf 1p5  1 2 2p a −  = 144  a ei 2 2 1 1 1 2p a 2 − 2a ⋅ +   = , de unde a 2 − 2 +   = 144 144 at a a a 1 a2 + = 146 1p .m a2 SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) = 6= 216dm 2 At l2 3pw 2p 120= 25920dm 2 259, 2m 2 ⋅ 216 = b) Volumul cutiei l3 = 603 = 216000 cm3 2pw Volumul cutiuţei 153 = 3375 cm3 2p 216000 : 3375 = 64 cutiuţe 1p c) Mulţimea divizorilor lui 60 este{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 2p Trei numere consecutive pentru volum maxim sunt 4, 5 şi 6. 2p V=120 cm3 1p 216000:120 = 1800 cutiuţe 143
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) AABCD = 144cm 2 2p 2p AMBC = 6 xcm 2 AMBC = AABCD : 4 1p AAMCD = 144 − 6 x = 6(24 − x)cm 2 ro b) AMBC = AABCD : 4 2p x = 6 dm 3p o. c) Drumul minim este DE, unde DE perpendiculara din D pe MC. 2p nf MC = 6 3cm 1p Din aria triunghiului MDC scris în două moduri, cu baza DC, respectiv MC, 2p rezultă DE = 8 3cm ei at .m BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 56 Prof. Cocalea Rodica SUBIECTUL I (30 dew puncte)1. 30 5pw2. 3 5pw3. 13 5p4. 16π 5p5. 48 5p6. 11 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) 144
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte1. Desenează prisma 4p Notează prisma 1p2. 4a − 3b = 6 1p (11 − 8a + 6b) 2012 = [11 − 2(4a − 3b)]2012 2p ro 2p Finalizare (−1) 2012 = 13. Fie x numărul de nepoţi 1p o. 5x + 3 = 6 x − 4 2p nf x=7 2p4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p ei Trasarea graficului funcţiei 1p f (a) = −a 2p at 1 b) f (= a) a −3 3p 2 .m 1 a − 3 = a, deci : a = − 2 25 x 2 + x − 12 = ( x − 3)( x + 4) 2pw x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 2p x 2 + x − 12 x + 4 = x2 − 6 x + 9 x − 3 1pw SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. = = a) DO R 2 5m 2p Formula ariei cercului şi calculul ei, A= 20π m2 3p Aria semicercului 10π m2 = = b) În triunghiul dreptunghic AOD avem DO R 2 5m . 2p Dacă AO = x, atunci AD = 2x şi cu teorema lui Pitagora obţinem x = 2 şi 2p 145
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte AD = 4 m 1p c) Suprafaţa plantată cu lalele A ABCD = 16 m2 3p Suprafaţa plantată cu panseluţe 10π - 16 este aproximativ 31,4 - 16 = 15,4m2 2p ro Finalizare: 15,4 m2 < 16 m2 , deci suprafaţa plantată cu panseluţe este mai mică decât cea plantată cu lalele o.2. a) m(ABC ) = 600 1p nf fie CE perpendicular pe AB; CE = 5 3m 2p 2p AABCD = 175 3m 2 ei= 100 3m 2 ; AACD 75 3m 2b) AABC = 2p at 3p p%=75% .m c) AD=BC=10m 2p PABCD = 90m 2pw 90 : 2,5 = 36 stâlpi 1pww 146
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta: 57 Prof: Constantin Corina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 10 5p ro2. 5 5p 9 o.3. 66 5p4. 13 5p nf5. 26 5p6. 48 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p .m Notează piramida 1p2. 2 x − 1 ∈ D3 = {±1, ±3} 3pw 2p Finalizare x ∈ {−1,0,1, 2}w3. 1507 = x ⋅ c1 + 7 2p  Scrierea datelor cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest: 364 = x ⋅ c2 + 4 458 = x ⋅ c + 8 w 3 unde x > 8 2p Aflarea (1500, 360, 450) = 30 1p Finalizare x ∈ {10,15,30}4. a) f ( −1) =1, f (1) = f ( 3) = − 5, 11 3p 2p Mulţimea valorilor este {−1,5,11} 147
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) 3x + 2 ≤ 1 1p 1p −1 ≤ 3x + 2 ≤ 1 2p 1 −1 ≤ x ≤ − 3 1p Finalizare x = −1 ro5 ( x − 1) 1p 2 = x2 − 2 x + 1 o. 1p ( x + 3)( x − 3) = x2 − 9 1p ( x + 2) 2 = x2 + 4 x + 4 ( x − 3) 2 = x2 − 6x + 9 nf 1p ei Finalizare x 2 − 6 x − 12 = x 2 − 6 x − 12 1p at SUBIECTUL III (30 de puncte) .m1. BC  AD 5p a) ⇒ BC  ( AMN ) AD ⊂ ( AMN ) MA ⊥ ( ABC )w b) AS ⊥ BD ⇒ MS ⊥ BD ⇒ MS = , BD ) d (M 2p AS , BD ⊂ ( ABC )w 1p BD = 10 m ( T .P. )w AS = 4,8 m ( T . I . ) 1p 1p 4 61 MS = m (T .P. ) 5 c) MN ∩ ( ABC ) ={P}, P ∈ AD 1p 1p  DP = 8 m [ ND ] linie mijlocie ∆MAP ⇒   AP = 16 m 148
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte MP = 4 17 m ( T .P. ) 1p 1p PC = 10 m ( T .P. ) 1p MP + PC = 4 17 + 10 m  26, 48 m  26 m ro2. a) OA= r= 2 m 5p = = b) OB R 5 m 2p o. Lăţimea este R − r =m 3 3p 21π m 2 c) Adisc mare − Adisc mic =  65,94 m 2 nf 2p 2p Se folosesc 65,94 : 20 = 3, 29 kg gazon ei 1p Gazonul costă 3, 29 ⋅ 25 = 25lei 82, at .mwww 149
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta: 58 Prof: Constantin Corina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 42 5p ro2. 0 şi 1 5p3. 4 5p o.4. 73,5 5p nf5. 512 5p6. 14 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p Notează piramida 1p .m2. a − 1 =1 5p  ⇒a=2 a + 3 =5w3. Notăm cu x preţul fără TVA al televizorului 1p 124 2pw x= 992 ⇒ x= 800 lei 100 2p 992 – 800 = 192 lei reprezintă TVA-ulw4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f 2p Trasarea graficului funcţiei 1p b) Fie A şi B punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axele de 1p coordonate 2p OA = OB = 5 ⇒ ∆OAB dreptunghic şi isoscel 150
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Deci măsura unghiului este de 450 2p ( )5 2 2p 19 + 8 3 = 4 + 3 = + 3 =+ 3 4 4 2p 2 3 −1 2 3 −1 = ro Deci numărul 4 + 3 − 2 3 + 1 + 3 = este natural 5 1p SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. a) Se arată prin T.P. că apotema piramidei este de 4 m 5p b) Ab = 36 m 2 nf 1p 2p Pb ⋅ a p ei =Al = 48 m 2 2 at At = Al + Ab = 84 m 2 2p c) Pe desfăşurarea feţelor laterale VBC şi VCD se duce BD 1p .m AVBC = 12 m 2 1p 5⋅ h 1p AVBC =w 2 2p Deci h = 4,8 m, iar BD = 9,6 mw2. a) Adisc mic = π m 2 1pw 2p 4π R = ⇒ Adisc mare =m 2 2m 2p Suprafaţa este Adisc mare + 2 ⋅ Adisc mic =π m 2 6 b) Suprafaţa grădinii este 84 m2 1p Suprafaţa aleilor este 12 m2 1p Suprafaţa gazonului este 72 − 6π m2 1p Cum 3,14 < π < 3,15 ⇒ 18,84 < 6π < 18,90 1p 151
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Deci suprafaţa gazonului este mai mică decât 53,16 m2, adică mai mică decât 1p 54 m2 c) AO = 58 m ( T .P. ) 2p 2p BO = 13 m ( T .P. ) 1p ro AO + BO  7,6 + 3,6 = m 11, 2 o. nf ei at .mwww 152
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta: 59 Prof: Constantin Corina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 7 5p ro2. 2 5p3. 8 5p o.4. 16 5p nf5. 5 5p6. 100 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează cubul 4p Notează cubul 1p .m2. −7 ≤ 5 x + 3 ≤ 7 2p 4 −2 ≤ x ≤ 2p 5w  4 B =  −2,  1p  5w3. = 3c1 + 2 D 2p  Conform teoremei împărţirii cu rest, avem = 5c2 + 2 D = 4c + 2w D 3 1p D – 2 se divide cu 3, 5 şi 4 1p [3,5, 4] = 60 Deci D − 2 ∈ {120,180} ⇒ D ∈ {122,182} 1p4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f 2p 153
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Trasarea graficului funcţiei 1p G f ∩ Gg ={ A}, g ( x ) = f ( x ) ⇒ x =1 ⇒ A (1,1) 3p b) Gg ∩ Oy = , B ( 0,1) {B} G f ∩ Oy {C }, C ( 0, −1) = ro Deci= 2, AB 1 BC = 1p AB ⋅ BC = Deci AABC = 1 1p 2 o.5 Notăm = x 2 + x y 1p nf Fracţia devine = y2 − 4 (=y − 2 )( y + 2 ) y+2 2p y ( y + 1) − 6 ( y + 3)( y − 2 ) y+3 ei x2 + x + 2 2p Deci obţinem fracţia 2 x + x+3 at SUBIECTUL III (30 de puncte) .m1. a) 27 cm3 5p b) L = 60 cm 2pw l = 30 cm 2p h = 9 cm 1pw ( ABC ) ∩ ( ABC ) = AB 3p c) BC ⊥ AB ⇒  ( ( ABC ) , ( ABC ) ) = C BCw BC ⊥ AB  CC 3 tg C = BC = 2p BC 102. a) Apătrat = 25 cm 2 2p 3p Suprafaţa pavată este 25000000 cm 2 = 2500 m 2 b) Piatra costă 112500 lei 2p 154
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Manopera este 11250 lei 2p Deci pavarea străzii costă 123750 lei 1p V piatră = 125 cm3 3pc)= 125000000 cm3 125 m3 V pietre = ro Toată piatra cântăreşte 250 tone 1p 250 : 15 = 16 rest 10, deci camionul face 17 transporturi 1p o. nf ei at .mwww 155
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta: 60 Prof: Constantin Corina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 100 5p ro2. 236, 238 5p3. 14 5p o.4. 32 5p nf5. 243 3 5p6. -12 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează tetraedrul 4p Notează tetraedrul 1p .m2. Se pun 27 ⋅ 15 = mere în pungi 405 3p Rămân 10 mere în ladă 2pw3. Notăm cu x preţul unui kg de mere şi cu y preţul unui kg de portocale 1pw 5 x + 4 y = 20,50 2p Avem sistemul de ecuaţii:  6 x + 8 y = 31 2pw Rezolvând sistemul, obţinem x = 2,50 şi y = 24. a) Din f ( x ) = 0 2p 2p Obţinem x = −2 1p Deci A ( −2,0 ) b) Din f ( x ) = g ( x ) 2p 156
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Obţinem x = 1 2p Deci B (1,3) 1p5 2 x + 34 = 2 ( x + 17 ) 1p 5 4 x + 17 ro − = x − 3 x + 1 ( x − 3)( x + 1) 2p 2 ( x + 17 ) ( x − 3)( x + 1) 2p ⋅ = 2x + 2 o. x−3 x + 17 SUBIECTUL III (30 de nf puncte)1. l2 3 2p a) V prismă = Ab ⋅ h = ⋅h = 3⋅h ei 4 V paralelipiped = Ab ⋅ h = l 2 ⋅ h = 4h 1p at Vcort = 4h + 3 ⋅ h = 12 + 3 3 1p .m 1p Deci h = 3 m b) AABC = 3 ; AABB A = 4 ; ABCEF = 6 2pw 2p At = + 2 AABB A + 5 ABCEF = 2 3 m 2 2 AABC 38 + 1pw At  42 m 2 c) Fie DT  AE . Obţinem ATDE paralelogramw = = Avem DT CD 13 m (T .P.) 1p 1p Se demonstrează că ∆TCB dr. în C ⇒ TC = m (T .P.) 2 3 TC ⋅ DP = Fie DP ⊥ TC . Avem DP = 10 m (T .P.) . Deci ADTC = 30 m 2 2 1p DT ⋅ DC ⋅ sin D 2 30 2p ADTC = . Deci sin D = 2 13 157
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) AC = 30 m (T .P.) 5p b) Se determină lungimea înălţimii ∆ACB de 24 m (T . Î .) , deci AD = 24 m 1p Se determină proiecţia segmentului AC de 18 m (T .C.) , deci DC = 18 m 1p 1p PABCD = 132 m ro 2p Deci se folosesc 132 ⋅ 5 = m de sârmă 660 ACB ≡ D ( drepte ) 2p o. c) ⇒ ∆CDA  ∆ACB CAB ≡ ACD ( alt. in. ) nf CD 3 1p = Deci k = AC 5 Şi atunci ACDA = k= 2 9 ei 2p AACB 25 at .mwww 158
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 61 Prof Conţu Valentin SUBIECTUL I (30 de puncte)1. x = -1,5 5p ro2. 40 ore 5p3. 1440 lei 5p o.4. 400 5p nf5. 900 5p6. 95 camere 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. A’ C’ 5p B’ .m A Cw B  2x + 3  2x + 3w2. 5p A x ∈ R / = ≤ 5 ⇒ −5 ≤ ≤ 5 ⇒ −10 ≤ 2 x + 3 ≤ 10 ⇒  2  2 3p 13 7  13 7  ⇒ −13 ≤ 2 x ≤ 7 ⇒ − ≤ x ≤ ⇒ A =  − ; w 2 2  2 2  13 7  Finalizare A  Z = − ;   Z − = {− 6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1 } 2p  2 23. 1 1 3 5p Obţine ecuaţia x + x + 120 = sau altă ecuaţie echivalentă , de exemplu x 3 6 4 1 1  1 x −  x + x + 120  = x 3p 3 6  4 159
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Finalizează x = 480 km 2p4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului 5p Gf  Oy ⇒ ............. A(0;6) 4p Gf  Ox ⇒ .............B (3;0) Trasează graficul 1p ro b) justifică înălţimea în triunghiul dreptunghic AOB 2p 5p o. 6 5 calculează distanţa de la O la AB = 5 nf5 Aplică formulele şi aduce la forma pătratului unui binom 3p 5p Determină n = 62 2p ei SUBIECTUL III (30 de puncte) at1. a) V piesei = 27 dm3 3p 5p Masa piesei 189 Kg 2p .m b) V lingou : V piesă = 35 piese rest 15 dm3 5p c) Masa fontei neturnate 105 Kg 5pw2. a) Grupează tribunele două câte două sau calculează fiecare tribună separat 5pw şi obţine A totala tribune = π ⋅ R 2 + π ⋅ r 2 = 320π m2 sau dacă aproximăm π ≅ 3,14 obţinem 1004,8 m2w b) A teren = 512 m2 5p Calculează şi concluzionează că aria tribunelor de 1004,8 m2 este mai mică decât dublul ariei terenului (A teren = 512 m2) c) Justifică distanţa maximă ( dintre mijloacele semicercurilor opuse ) şi 5p calculează 48 m (în ambele cazuri) 160
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 62 Prof Conţu Valentin SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 9 5p2. 8 numere 5p o.3. 10 5p nf4. 10 3 5p5. 3 5p ei6. 27 copii 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. 5pww2. 6a + 4b + 2c = 68 Scriem relaţia „pe jumătate” şi obţinem 5pw 3a + 2b + c = 34 a + 2b + 3c = 38 3a + 2b + c = 34 4a + 4b +4c = 72 ∕ 4 ⇒ a + b +c = 183. În data de 30 decembrie pînă la ora 24:00:00 mai sunt 15h şi 25 min 5p Data de 31 decembrie este o zi întreagă În data de 1 ianuarie sunt 20h şi 20 min 161
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 15h şi 25 min + 20h şi 20 min = 1 zi 11 h şi 45 min + 50 min întârziere = 1 zi 12 h şi 35 min Timpul total (cu ziua de 31 dec)= 2 zile 12 h şi 35 min4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului 5p Gf  Oy ⇒ A(0;8) ro 4p Gf  Ox ⇒ B(6;0 ) Trasează graficul 1p o. b) justifică înălţimea în triunghiul trapezului = 4 2p 5p nf Determină punctul de intersecţie a graficelor C (3;4) sau utilizează linia mijlocie în trapez 2p ei Calculează aria a = (6 + 3) ⋅ 4 = 18 cm 2 a = ( 6 + 3) ⋅ 4 u 2 1p 2 2 at5 5p Scoate de sub radicali 14 − 6 5 = (3 − 5 ) 2 = 3 − 5 = 3 − 5 2p .m 9 − 4 5 = (2 − 5 ) 2 = 2 − 5 = 5 − 2 2p Determină n = 3 − 5 + 5 − 2 ⇒ n=1 ∈N 1pw SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) Egalăm numeric formulele L3 = 6 ∙ L2 ⇒ 3p 5pw L=6m 2p b) Masa cubului = volumul ∙ densitatea = 63∙0,9 [ m3∙ t/m3] = 194,4 t 5p c) 194,4 t apă= 194,4 m3 5p V apă = L paralelipipsed ∙ l paralelipiped ∙ h apă ⇒ 194,4 = 12∙ 8,1 ∙ h apă ⇒ h apă = 2m2. Aria totală celor două alei = 2 ∙ A dreptunghi – A pătrat ( suprapunerea din 5p centru) ⇒ A totală alei = 2∙100∙4 –42 = 784 m2 162
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 100 5p b) Diagonala pătratului = 100 m ⇒ Latura pătratului = ⇒ l patrat = 50 2 2 Aria ocupată de alei din pătrat este 2 ∙ 50 2 ∙4 – 42 = 400 2 – 16 După înlocuirea lui 2 cu 1,4 ⇒ A alei = 544 m2 ( ) ro 2 A flori = A pătrat – A alei = 50 2 –544= 5000 -544 = 4456 m2 Nr de trandafiri = 4456 ∙4 = 17824 o. Preţul trandafirilor 17284 ∙ 12 = 213 888 lei c) Necesar de apă la o stropire π ⋅ R 2 ⋅ 2 litri = 3,15∙2500∙2 = 15750 litri = 5p nf 15,75 m3 de apă Numărul zilelor cu irigare este 5 zile în aprilie, 31 zile în mai, 30 zile în ei iunie , 31 zile în iulie şi 31 în august – 20 zile cu precipitaţii = 108 zile Cantitatea de apă necesară pentru 108 zile este 15,75 m3 de apă ∙108 = 1701 m3 apă at V bazin = 20 ∙ 6 ∙ 3,15 = 378 m3 .m 1701 : 378 = 4,5 Bazinul se va umple de 5 ori ( nu se umple pe jumătate)www 163
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 63 Prof. Conţu Valentin SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 3 5p + 5 o.2. 2 5p3. [− 1; 3 ] 5p4. 26 nf 5p5. 48 ei 5p6. 22 000 lei 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. 5pwww2. „ Un produs este egal cu 0 dacă cel puţin un factor este 0 ” ⇒ 5p x−3 = 0 ⇒ x = 3 sau x + 5 = 0 ⇒ x = −5 3p sau 3x − 6 = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ x = 2 A = { − 5, 2 , 3 } 2p 164
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte3. a − 2 + b − 5 + c + 16 5p ma = = 10 3 a − 2 + b − 5 + c + 16 = 30 a + b + c = 21 a + b + c 21 ma = = =7 3 3 ro4. A(0,−6) ⇒ Gf  Oy = (0,−6) ⇒ f (0) = −6 ⇒ 0 ⋅ a + b = −6 ⇒ b = −6 5p 3 a) B(8,0) ⇒ Gf  Ox = (8,0) ⇒ f (8) = 0 ⇒ 8a − 6 = 0 ⇒ 8a = 6 ⇒ a = 4 o. 3 f ( x) = x−6 4 nf b) justifică în triunghiul dreptunghic AOB că OM este mediana din unghiul 5p drept şi proprietatea medianei de a împărţi aria triunghiului în două arii egale 3p ei c1 ⋅ c 2 6 ⋅ 8 calculează aria Δ AOB = = = 24 2 2 at calculează aria Δ OMA = A ΔAOB : 2 = 24 : 2 = 125 (2 x + 1)2 + 4 x + 7 ∈ Z 5p .m „ 2x + 1 şi x ∈ Z ” ⇔ 2 x + 1 [(2 x + 1) 2 + 4x + 7 ] Dar 2 x + 1 (2 x + 1) 2 ⇒ trebuie ca 2 x + 1 4x + 7w Însă 4 x + 7 = 4 x + 2 + 5 = 2(2 x + 1) + 5 şi condiţia devine 2 x + 1 5 3pw 2 x + 1 ∈ { − 5, − 1, 1, 5 } −1w 2 x ∈ { − 6, − 2, 0, 4 } − 2p x ∈ { − 3, − 1, 0, 2 } SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Numărul maxim de îngheţate este = 5caserole ∙6 straturi∙ 20 îngheţate = 5p 600 de îngheţate 165
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Aria bazei = 5∙ Aria bazei unei caserole = 5 ∙ 60 ∙ 60= 18000 cm2 5p c) Volumul frigorifer = Aria bazei∙ 6 ∙ înălţimea caserolei= 3p 5p 18000 ∙ 6∙ 20 = 2160000 cm3 = 2160 dm3= 2160 litri 2p2. a) L porţiuni de drum = 2∙L segment + Lungimea unui cerc de rază medie 5p ro L porţiunii de drum = 2 ∙ 20 + 2∙ π ∙(8+4) = 40 + 2∙ 3,14∙ 12 = 115,36 m b) Aria porţiunii de drum= 2∙Aria dreptunghi + A cerc mare – A cerc mic ⇒ 5p o. Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + π ∙162 – π ∙ 82 = 3p Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + 3,14∙256 –3,14∙ 64= nf Aria porţiunii de drum = 320 +803,84 – 200,96 = 922,88 m2 c) Lungimea bordurii = 4 ∙ Lungime segment + L cerc mare + L cerc mic 2p 2p ei 5p Lungimea bordurii= 4 ∙ 20 +2∙ π ∙16 + 2∙ π ∙ 8 ⇒ 1p at Lungimea bordurii= 80 +2∙3,14∙16 + 2∙ 3,14∙ 8 ⇒ Lungimea bordurii= 80 +100,48 + 50,24 =230,72 metri de bordură 2p .mwww 166
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 64 Prof Conţu Valentin SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 1 5p2. a=3 5p o.3. 14 lei 5p nf4. 32 cm 5p5. 6 cm 5p ei6. 29 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. V 5p .mw D Cw A Bw2. Calculaţi 6a + 8b– 2 c , ştiind că 9a2 +24ab + 16b2 = 36 ⇒ (3a+4b)2 = 6 2 ⇒ 3a + 4 b = 6 pt că a, b, c∈ℝ + 2p Din 3a + 4 b = 6 ⇒ 4c = 6 ⇒ 2c = 3 1p Suma 6a + 8b– 2 c = 2 ∙ 6 – 3 = 9 2p3. Din staţia de plecare A urcă în tramvai x călători 5p In staţia terminală K vor fi în tramvai x +3 –1+3 – 2 + 3 – 3 +3 – 4 + 3 – 5 + 3 – 6 + 3– 7 + 3– 8 + 3 – 9 =2 călători 167
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte x + 3 ∙ 9 – (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 2 x +27–45 = 2 x = 20 In staţia de plecare (A) au urcat 20 de călători în tramvai4. a) f : ℝ→ ℝ , cu f(x) = ax+1 şi A( 2 ; 2) aparţine graficului funcţiei f 2p ro 1 ⇒ f(2)= 2a+1=2 ⇒ 2a= 1 ⇒ a = 2 g : ℝ→ ℝ , cu g(x) = –x+ b şi B(6 ; 1) aparţine graficului funcţiei g 2p o. ⇒ g(6)= –6+b= 1 ⇒ b=7 1 7 1p a·b = ·7 = 2 2 nf Y Gg ei Gf at B(4;3) A(0;1) .m E(- C(7;0) X 2 0) O(0;0)w Determinăm coordonatele punctului B , unde Gf  Gg = {B}w x x În B avem f(x) = g(x) ⇒ + 1 = − x + 7 ⇒ + x = 7 − 1 ⇒ 1,5 x = 6 ⇒ x = 4 2 2w 4 f (4) = + 1 = 2 + 1 = 3 ⇒ B(4;3) 2p 2 x x Gf  OX ⇒ y = 0 ⇒ f ( x) = 0 ⇒ + 1 = 0 ⇒ = −1 ⇒ x = −2 ⇒ E (−2;0) 2 2 0 Gf  OY ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = + 1 = 1 ⇒ A(0;1) 1p 2 Gg  OX ⇒ y = 0 ⇒ g ( x ) = 0 ⇒ − x + 7 = 0 ⇒ − x = −7 ⇒ x = 7 ⇒ C (7;0) Gg  OY ⇒ x = 0 ⇒ g (0) = 0 + 7 = 7 ⇒ F (0;7) 1p 168
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b1 ⋅ h1 b2 ⋅ h2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 1 25 A OABC = A ΔEBC – A ΔEOA = − = − = = 12,5 2 2 2 2 2 2p5 a 2 + 4a + 4b 2 + 4b + 5 = 0 ⇒ a 2 + 4a + 4 + 4b 2 + 4b + 1 = 0 ⇒ 1p 1p ⇒ (a + 2 ) + (2b + 1) = 0 Dar orice număr real ridicat la putere pară este 2 2 ro pozitiv sau nul ⇒ fiecare termen al sumei este egal cu 0 ⇒ a + 2 = 0 ⇒a = – 2 1p o. 1p 2b+1= 0 ⇒b = – 0,5 1p nf Produsul a∙b = – 2 ∙ (– 0,5) = 1 SUBIECTUL III (30 de ei puncte)1. 5p at .m a)w AB= 0,8m = 8 dm VO = 0,6m = 6 dmw OM = AB:2 = 4 cm ΔMOV aplicăm teorema lui Pitagora şi obţinem VM = 2 13 dmw Ab ⋅ h 64 ⋅ 6 5p b) V = = = 64 ⋅ 2 = 128 dm 3 3 3 Masa = volumul ∙ densitatea = 128 ∙1,3 kg = 166,4 kg ciocolată c) V baton = L∙l∙h = 20∙10∙2 cm3= 400 cm3 = 0,4 dm3 5p Numărul de batoane se obţine împărţind volmul piramidei la volumul unui baton 128 : 0,4 = 320 de batoane de ciocolată 169
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 320∙8 = 2560 lei2. a) Aria unei celule = A cerc 5p A cerc = πR 2 = π ⋅ 10 2 = 100π Suprafaţa activă = 4 ∙ A cerc = 400π ro 400 ∙3,14 < S activă < 400 ∙ 3,15 1256 cm2 < S activă < 1260 cm2 o. nf b) A panou = L ∙ l = 1,2 ∙1,6 = 1,92 m2 = 19200 cm2 5p Lungimea şi lătimea panoului sunt multipli ai laturii bateriei solare ei A baterie solară = 40 ∙40 = 1600 cm2 Numărul de celule = A panou : A baterie = 19200 : 1600 = 12 celule at A activă a panoului = 12 ∙S activă celulă 12∙1256 cm2 < A activă panou < 12∙1260 cm2 .m 15072 cm2 < A activă panou < 15120 cm2 c) Arăt că ABCD este un pătrat cuw latura 20 cm. A Bw L conductori = P pătrat + L diagonale L conductori = 4∙20 + 2∙ 20 2 2pw D C 4 ⋅ 20 + 40 2 < 140 − 80 40 2 < 60 : 20 2 2 <3 8< 9 3p Adevărat 170
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 65 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 5p ro2. 24 5p3. 36 cm2 5p o.4. 600 5p nf5. 4 cm 5p6. 36 puncte 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desen 4p Notație 1p .m2. Fie n numărul căutat, n=9 c 1 + 5, n=12 c 2 +5 2p n-5=9 c 1, n-5=12 c 2 1pw n-5=[9;12](cel mi mic multiplu comun al lui 9 și 12), n-5 =36, 1p dar cum trebuie să fie format din trei cifre, n-5=108, n=113w 1p3. −3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 1pw −3 + 1 ≤ 2 x ≤ 3 + 1 1p −2 ≤ 2 x ≤ 4 1p −1 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z 1p x ∈ {−1, 0,1, 2} 1p4. a) fie x prețul inițial 171
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 5 4 5 2p x+ x+ (x + x) = 546 100 100 100 3p Rezolvarea ecuației și aflarea lui x=500 lei b)546-500=46(diferența dintre prețul final și cel inițial) 1p ro p 2p 500 = 46 100 46 2p = = 9, 2% p ,p o. 55 x 2 ( x + 2) − ( x + 2) = 2p nf 1p ( x + 2)( x 2 − 1) = 2p ( x + 2)( x + 1)( x − 1) ei SUBIECTUL III (30 de at puncte)1. a) cea mai mare distanță este diagonala pătratului .m AC = 100 2m 3p 2p 100 2 > 140w b) aria grădinii de zarzavat este aria semidiscului cu raza r=50 m π r2 3pw = Aria = 1250π m2 2 2p 3925 < 1250π < 3938w c) lungimea gardului=3AB+lungimea arcului BC 1p lungimeagardului 300 + 50π = 2p =300=157+457m 2p 172
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. 3 2p a) Vcub = 384 4 2p Vcub = 512 litri 1p Vcub = 512 dm3=51200 cm3 ro b) Vcub = l 3 1p 2p l 3 = 512 o. 2p l = 8 dm c) aria unei fețe=82=64 dm2 nf 2p aria celor cinci fețe=320 dm2 2p prețul materialului= 480 lei ei 1p at BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE .mVarianta 66 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de puncte)w1. 1 5p2. 7 5pww3. 60 5p4. 6 5p5. 2 3 5p6. 700 kg 5p SUBIECTUL II (30 de puncte) 173
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte1. Desen 4p Notație 1p2.  15 2p 2  2) 3 −1)  3 −1  = −  2 3 +1   ro 15  6− 2− 6+ 2   = 0 = 0∈Z 15  2  3p   o.3. Notăm cu x lungimea drumului nf 1 1 2p x+5 =x 3 2 x = 30 km ei 3p4. a) determinarea a două puncte de pe grafic 3p at trasarea graficului 2p .m b) A(a;3a ) ∈ G f 1p 2a − 5 =a 3 2p a = −5 1pw A(−5; −15) 1pw5 18 < 4 x + 8 < 27 1p 10 < 4 x < 19 1pw 10 19 1p <x< 4 4 x ∈ {3; 4} 2p SUBIECTUL III (30 de 174
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte puncte)1. a)aria peretelui= 52 − 21 = 2p =8 m2 3p b)aria unei placi=100 cm2 2p ro 8 m2=80000 c m2 2p Nr.plăci=800 1p o. c) prețul fară reducere=1000 lei 2p prețul după aplicarea reducerii=950 lei nf 3p2. a) V = Ab h 1p ei l2 3 = Ab = 3 4 2p at V = 3 3 m3 2p b) aria unei fețe=6 m2 .m 1p costul fără reducere=900 lei 2p costul după reducere=810 lei 2pw 3p c)lungimea= 13w 13 ≈ 3, 6 2pw 175
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 67 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 3 5p ro2. 20 5p3. 160 5p o.4. 6 3 5p nf5. 13 5p6. 9 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desen 4p Notație .m 1p2. Fie x cantitatea maximă dintr-o lădiță 59 = xn1 + 3, 67 = xn2 + 4 2pw = xn1 , 63 xn2 56 = 2pw x=cel mai mare divizor comun al nr. 56 și 63 1p x=7w3. fete=21 3p nr. elevi=21=7=28 2p4. a)2a+b=7 2p -1a+b=-8 a=5, b=-3 2p f(x)=5x-3 1p 176
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 3 3p b) intersecția cu axa O x este punctul M ( ;0) 5 2p intersecția cu axa O y este punctul N (0; −3) ro5 x +1) x −1) 2p 1 1 2 − = x −1 x +1 x −1 2 o. x +1− x +1 2 = 2 2p ( x + 1)( x − 1) x − 1 nf 2 2 = 2 x −1 x −1 2 1p ei SUBIECTUL III (30 de puncte) at1. a)raza unui rond=2 m 1p aria = π r 2 2p .m aria = 4π m2 2p b) aria parcului=48 m2 2pw aria cu iarba= 48 − 8π = m2 22,88 3p c) preț lalele=720 lei 2pw preț panseluțe=450 lei 2pw preț total=2340 lei 1p2. a) latura pătratului de la suprafața apei=0,6 m 1p aria =0,36 m2=36 dm2 2p volumul apei=240 litri 2p b)volumul pamânt= 1,92 m2 3p înălțimea stratului de pământ=0,0768 m= 7,68 cm 2p 177
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) apotema= 16,36 2p 3p aria laterală=2,4 16,36 =9,70 m2 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE roVarianta68 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de o. puncte)1. 100 5p2. 50 nf 5p3. 3 ei 5p 4 at4. 24 5p5. 3 5p .m6. 340 5p SUBIECTUL II (30 dew puncte)1. Desen 3pw Notaţie 2pw2. x = lungimea drumului 2 2p x− x = 15 3 1 x = 15 2p 3 1p x = 45 km3. 3 x 2 x − 2 18 2p − = 6 6 6 178
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte x+2= 18 2p x = 16 1p4. a) A(3,3) ∈ G f ⇔ f (3) = 3 2p 3x − 6 =3 2p ro x=3 1p b)determinarea a două puncte care aparţin graficului o. 3p trasarea dreptei care reprezintă graficul 2p nf5 x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) 4p = x − 8 x + 16 ( x − 5)( x − 3) 2 1p ei finalizare SUBIECTUL III (30 de at puncte)1. a) calculul înălţimii din A, AD=24cm 1p .m b ⋅î 2p A= , A = 360cm 2 2 1p Calculul înălţimii din Bw AE 2p b) Fie BE înălţimea din B. În triunghiul dreptunghic ABE, cos(BAE ) =w AB calculul lui AE folosind teorema lui Pitagora 2p finalizarew 1p c) calculul razei cercului 3p Lcerc = 2π R şi finalizare 2p2. a) apotema bazei OM= 3 3 cm 2p VO=3cm 3p 179
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Ab ⋅ h 1p b) V = 3 Ab = 81 3 cm2 2p V = 81 3 cm3 2p ro c) At Al + Ab = 1p 2p calculul ariei totale = 162 + 81 3 cm2 At o. 2p finalizare nf BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE eiVarianta 69 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de at puncte)1. 18 5p .m2. 2,3,6,9; 5p3. 21000 5pw4. (x-2)(x+2) 5pw5. 3 2 5p6. -4 5pw SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desen 3p Notaţie 2p2. Numărul întrebărilor la care nu ştie răspunsul = 14 2p 3p 180
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 14 1 probabilitatea să primească o întrebare pe care nu o ştie = = 42 33. 6 x 3p = 10 8 x = 4,8ore ro 2p4. 80 1p b= a o. 100 75 1p a) a,b,c,d = cele patru numere c= b 100 nf 75 80 60 c= ⋅ a= a 100 100 100 3p 1p b) d = 36 a ei 100 a+b+c+d = 690 1p at 80 60 36 a+ a+ a+ a= 690 1p 100 100 100 2p = 250, b 200, c 150, d 90 a = = = .m5 E ( x= 4 x 2 + 4 x + 1 − ( x 2 − 2 x + 1) + x 2 − 4 − 3 x 2 + 15 ) 2p E ( x) = 4 x 2 + 4 x + 1 − x 2 + 2 x − 1 + x 2 − 4 − 3x 2 + 15 2pw E(x) = x2 +6x +11. 1pw SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) raza cercului este R=2m 1p Lcerc = 2π R 2p Lcerc = 4π m 2 2p 181
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte AABCD AB ⋅ AD = 2p AABCD = 600m 2 Acerc = π R 2 b) Acerc = 4π m 2 2p Agazon (600 − 4π )m 2 = 1p ro c)suprafaţa piscinei= 4π m 2 ,dacă π = 3,14 o. aria = 12,56m 2 1p Aria unei plăci=900cm2 nf 2p 900 ⋅ 20 = cm 2 18000 18000 ⋅ 7 126000cm 2 12, 6m 2 = = ei 2p2. a)apotema piramidei=8 cm 3p at Al = 192m 2 2p .m b)aria laterală a prismei Al Pb ⋅ h = 2p 3p Al = 144m 2w c)aria unei plăci=2400cm2=0,24m2 2p aria podelei=144m2w 2p nr plăci=600 1pw BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 70 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de puncte)1. -240 5p2. 5 5p 182
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte3. 2a 5p4. 2 5p5. 18 5p6. 240 5p ro SUBIECTUL II (30 de puncte) o.1. Desen 3p Notaţie 2p2. A= {−1, 0,1, 2,3, 4,5, 6} nf 2p B = {0,1, 2,3, 4} ei 2p A ∪ B = −1, 0,1, 2,3, 4,5, 6} { at 1p A ∩ B = 2,3, 4} {0,1, A − B = −1,5, 6} { .m3. Numărul bomboanelor lui Viorel=6 3p împreună au 15 bomboane 2pw4. A(a, a ) ∈ G f ⇔ f (a ) = a 2p a) 2a − 5 =a 2pw a=5 1p 5  2pw G f ∩ Ox =, 0   b) 2  2p G f ∩ Oy = ( 0, −5 ) 25 2 Aria = u 1p 4 183
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte5 8 2p a =3 2 + −5 2 2 2 2p a = 3 2 + 2 2 −5 2 a= 0 ∈ N 1p SUBIECTUL III (30 de ro puncte)1. a)AE=5-x, AG=3-x 1p o. Perimetru=2(5-x)+2(3-x 2p Perimetru=16-4x 2p b)(5-x)(3-x)=8 nf 2p x2 − 8x + 7 =0 ei 1p x =1 2p at c) suprafaţa podelei = 15m2 2p cantitatea de vopsea folosită = 20 l .m 2p preţul total = 240lei 1p2. a) V = 80 m3 5pw b)V apă = 60 m3 2pw h apă = 3 m 3p c) într-o secundă se elimină 40 l apă 1pw timpul necesar pentru eliminarea apei = 1500 s 2p 1500secunde = 25 minute 2p 184
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta71 Prof. Dima Paraschiva SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 14 5p ro2. 2 5p3. 5 5p o. 34. 600 cm2 5p5. 72 cm2 nf 5p6. 7 elevi ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează cubul 3p .m Notează cubul 2p2. 3x+6 2 x 2 x + 3 1p − =w 6 6 6 3x + 6 − 2 x = 2 x + 3 1pw x + 6 = 2x + 3 1p x=3w 2p3. A(a,5) ∈ G f ⇔ f (a ) = 5 2p f ( a ) 2a − 1 = 1p 1p 2a − 1 =5 1p a=34. a)verificare 242:4 = 60 rest 2 2p 185
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 242:5 = 48 rest 2 2p 242:6 = 40 rest 2 1p b)teorema împărţirii cu rest D = Î × C + R 1p x=nr. Timbre ro = 4c1 + 2 ,= 5c2 + 2 ,= 6c3 + 2 x x x 1p 1p x − 2 =c1 , x − 2 = 2 , x − 2 =c3 4 5c 6 o. 1p x − 2 =m.m.m.c(4,5, 6) c. 1p nf x = 625 2 x − 4 + ( 3x + 2 y − 8) = 1p 2 0 ei 2p 2 x − 4 = 2 x − 4 =, x = 2 0, 0 at 2p ( 3x + 2 y − 8) =3 x + 2 y − 8 = , y = 1 2 0, 0 .m SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) AMNPB = x 2 5pw AABCD AD ⋅ AB = 1p AABCD = 6400m 2w 1p 1 1p b) ) x 2= ⋅ 6400 4 1pw x 2 = 1600 1p x = 40m c) AAMNPCD AABCD − AMNPB = 2p 2p = = AAMNPCD 4800m 2 48ha 1p Cantitatea recoltată=2400 tone2. Ab ⋅ h 1p a) V = 3 186
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 2p Ab = 36dm 2 V = 48dm3 2p b) volumul unei tablete=30cm3=0,03dm3 3p 2p numărul de tablete=1600 ro c) nr. de cutii mici=16 3p o. nr. minim cutii mari=2 2p nf ei at .mwww 187
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 72 Prof. Dobre Andrei Octavian SUBIECTUL I (30 de ro puncte)1. x = -3 5p o.2. 10 lei 5p3. 2700 lei 5p4. 54 m2 nf 5p ei5. 1000 l 5p6. 25% 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desen cub 2 Desen desfasurare cub 3w2. A={2} 2pw B=[0;4] 2p A ∩ B={2} 1pw3. Profesori = 0,(3) ⋅ 9000=3000 2p Părinţi = 25% ⋅ 9000 = 2250 2p Elevi = 9000 – 5250 = 3750 1p4. a) f(a) = 16 2p (a-5)(a+3) = 0 1p a 1 =5, a 2 =-3 2p 188
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte 1 2p b) A(0,1) ; B( − ,0) 3 10 AB= 1p 3 AO AB OB 2 10 Fie CD ⊥ AB ,  AOB ~ ADC ⇒ = = ⇒ DC = ro AD AC DC 5 2p5 2 3 − 3 +1 − 2 3 + 3 + 3 −1 3 2p = ∈ o. x+2 x+2 x + 2 ∈ D3 ={−3; −1;1;3} ⇒ x ∈ {−5; −3; −1;1} 2p nf A = {1} ei 1p SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) 1200000:3000 = 400 luni 1p at 400 luni = 33ani si 4 luni 2p .m Construcţia a fost finalizată în luna iunie 2p b) Notăm piramida VABCD şi alegem un punct P ∈ (VO) astfel încât VP = AP=BP=CP=DP=aw VO ⊥ ( ABC ),V ∉ ( ABC ), B ∈ ( ABC ) ⇒ pr( ABC )VB = , ( ABC )) =) = OB ⇒ m(VB m(VB, OB 1pw m(VBO) = 600w 2p 138 În VOB, m(O) = 900 ⇒ tg 600 = ⇒ OB = 46 3m OB 189
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte În  POB aplicam Teorema lui Pitagora 2p ⇒ a 2 = (138 − a ) 2 + (46 3) 2 a = 92m ro c) 5p d l 2 ⇒ = 46 6m = l o. Abaza l = 12696m 2 = 2 Abaza hpir = V piramidei = 594016m3 3 nf Vcalcar= V piramida − Vspatii= 500000m3= 500dam3 ei2. a) Unghiul dintre dreapta şi plan este CAB 1p CB 1p tg 300 = at AB 3 CB = .m 1p 3 30 2p CB = 10 3mw b) MN = 10 m (se află prin asemanarea triunghiurilor sau cu ajutorul 5p funcţiilor trigonometrice)w 3+2,5+2,5+2,5=10,5 (10,5-3):2,5=3 (B 3 B 4 = etajul 3)w c) A dr =200m2 2p A bloc =336m2 2p A alee =136m2 1p 190
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 73 Prof. Dobre Andrei Octavian SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. -8 5p2. 9 zile 5p o.3. 1200 lei 5p nf4. 36 cm2 5p5. 960 3 cm2 5p ei6. 6000 vizitatori 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desen trunchi 3p Notare MATEINFO 2p2. 10 – x + x +15-x +14 = 30 3pw x =9 2pw3. Datorii = 240 + 15 + 10 +35 = 300 € 1 Fiecare student poate plăti 60 € 2w Toţi pot plăti 180 € 1 Mai au nevoie de 300 – 180 = 120 € 14. a) f (0) = -6 ; f(3) = 0 2p a=2, b= - 6 2p f(x) = 2x-6 1p 191
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte C1 ⋅ C2 2p b) Aria = 2 Aria = 9 u.m.25 3 x 2 + 10 3 x + 25 + 12 x 2 − 4 3x + 1 − 15 x 2 + 9 3 3 x + 26 = 3p 2p ro 3 3 x = −9 1p x= − 3 o. SUBIECTUL III (30 de puncte) nf1. a) V apă = 10 ⋅ 5 ⋅ hapă 3p 2p hapă = 2dm (cel mai scurt drum) ei b) V cub = 64dm3 2p at V acvariu = 200 dm3 2p V apă + V cub =164 dm3<V acvariu => apa nu va ieşi din acvariu 1p .m c) 5p 0,3l...........1 sw 90l............x s x= 300s = 5minutew2. a) l = 2R = 14 cm 5p b) A dreptunghi =224 𝛑𝛑 cm2 ; A cerc1 +A cerc2 =98 𝛑𝛑 cm2w A rest = 224 𝛑𝛑 - 98 𝛑𝛑 = 126 𝛑𝛑 cm2 2p A patrat = 9 cm2 1p Număr bijuterii = 14 𝛑𝛑 cm2 ≈ 43 piese 1p 1p c) 1cm2………200€ 2p 9 cm2 …….. x 192
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte x = 1800 € (valoarea unei bijuterii) Patru bijuterii costa 7200 € 2p 1p BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE roVarianta 74 Prof. Dobre Andrei Octavian SUBIECTUL I (30 de o. puncte)1. -2 5p2. 11 nf 5p3. 9,604 ei 5p4. π 5p at5. 64 000 l 5p .m6. 1000 5p SUBIECTUL II (30 de puncte)w1. Desen 3p Denimre trunchi 2w2. x + 1/ 2 x − 4 2p x + 1/ 2 x + 2w 1p ⇒ x + 1/ −6 ⇒ ( x + 1) ∈ {−6; −3; −2; −1;1; 2;3;6} x ∈ {−7; −4; −3; −2;0;1; 2;5} 1p A = {0;1; 2;5} 1p 193
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte3. a1 + a2 + ... + a10 =40 2p a1 + a2 + ... + a8 =4 2p a9 + a10 = 36 a9 + a10 1p =ma = 18 24. a) 1p ro f ( x) = g ( x) 1p −3 x =−9 o. 1p x=3 f (3) = 0 1p nf A(3, 0) 1p A(0;6), B(3;0) 2p b) ei A (3;0), B (0; −3) 2p 1p at Baza ⋅ înălţime 9 ⋅ 3 27 = A = = 2 2 2 .mwww5 5p 9−4 5 = ( 5 − 2) 2 = | 5 − 2 |= 5 −2 a= 5 − 4 + (6 + 4 2)(6 − 4 2) = 1 + 36 − 32 = ∈  5 194
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) V paralelip = 15 ⋅10 ⋅ 20 =3000 cm3 2p Valoare lingou = 600 000 € 3p b) V cub =125 cm3 3p ro Număr lingouri = 3000:125= 24 2p o. c) Piramida patrulateră regulată de volum maxim are baza egală cu baza 1p cubului si inalţimea egală cu muchia cubului. nf 5 5 ap = cm 1p 2 1p A b = 25 cm2 ei 1p Pb ⋅ ap = = 25 5cm 2 Al 2 at = 25(1 + 5)cm 2 At 1p .m2. Acerc π= 3, 24π m 2 = R2 2p a) Asemicerc = 1, 62π m 2 3pw ( B + b) ⋅ h 2p = =Atrapez b) 2 (6 + 3, 6) ⋅ 5,8 3p = 27,84m 2w 2 c)PQ = 5,8 – (1,2 + R) = 3pw 5,8 – (1,2+1,8) =2,8m 2p 195
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta75 Prof Dorneanu Bogdan SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 1054 + 1054 : 2 = 1054 + 527 = 1581 5p ro2. −2 ≤ x − 1 < 3 ⇒ −1 ≤ x < 4 ⇒ A = [ −1; 4 ) 5p3. x = preţ caiet; y = preţ creion 5p o. x + 3y = 12 ⇒ 3 x + 9 y = ( x + 3 y ) = ⋅12 = 3 3 36 nf4. 6 cm 5p5. A C  AC ⇒ m ( ( A C , BD ) ) = AC , BD ) ) = m ( ( m ( AOD ) = 90o 5p ei6. −2 + 0 + 3 + (−2) + 4 + 5 + (−1) 7 5p = tm = = 1 at 7 7 SUBIECTUL II (30 de .m puncte)1. Desen piramidă 3p Apotemă 1pw Înălţime 1pw2. x = preţ castraveţi, y = preţ morcov 1p 2x + 3y = 12 1pw 4x + 2y = 16 : 2 ⇒ 2 x + y =8 ⇒ 2 x =8 − y 1p 1p 2x + 3y = 12 ⇒ 8 − y + 3 y = 12 ⇒ 2 y = 4 y=2 1p x=33. (x, y, z) d.p. (4, 6, 7) şi x + y + z = 170 1p 196
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte x y z x + y + z 170 1p = = = = = 10 4 6 7 4 + 6 + 7 17 1p x = 10 ⇒ x = 40 4 1p y = 10 ⇒ y = 60 ro 6 z 1p = 10 ⇒ z = 70 o. 74.  2 3 x  5  2 x + 2 3x − 3 x  ( x − 1) E ( x) =  − + 2 : 2 =  2 − 2 + 2 ⋅ nf  x −1 x +1 x −1  x − 2x +1  x −1 x −1 x −1  5 a) 3p 2 x + 2 − 3 x + 3 + x ( x − 1) ( x −= 1) 2 2 5 x −1 = ⋅ = ⋅ x2 −1 5 ( x + 1)( x − 1) 5 x +1 2p ei x −1 x +1− 2 2 2p b) E ( x) ∈  ⇔ ∈ ⇔ ∈  ⇔ 1− ∈ x +1 x +1 x +1 at 2  1− ∈  2 2p x +1 ⇒ ∈  ⇒ x + 1 ∈ D2 ⇒ x + 1 ∈ {−2; − 1; 1; 2} .m  x +1 1∈   x ∈ {−3; − 2; 0; 1} 1pw x 2 − 4 x + 3 + y 2 + 10 y + 21 ≤ 0 5 2p   2   x − 4x + 3 = 0 x − 4x + 3 ≥ 0 ⇒  2w 2   y + 10 y + 21 =  0 y 2 + 10 y + 21 ≥ 0  w x 2 − 4 x + 3 =0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 =0 ⇒ ( x − 2 ) − 1 =0 ⇒ ( x − 2 ) = ⇒ 2 2 1 1p x = 3 x − 2 =±1 ⇒  x = 1 y 2 + 10 y + 22 = ⇒ y 2 + 10 y + 21 = ⇒ ( y + 5 ) − 4 = ⇒ ( y + 5 ) = ⇒ 2 2 0 0 0 4  y = −3 1p y+5= 2⇒  ±  y = −7 197
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte S = 3; − 3) ; ( 3; − 7 ) ; (1; − 3) ; (1; − 7 )} {( 1p SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) ∆ADC dreptunghic isoscel 2p ⇒ m ( DAC ) = m ( DCA ) = 45o  ro   ⇒ m ( CAB ) = 45o m ( A ) = 90 0   m ( CAB ) = 45o  o.   ⇒ m ( CBA ) = 450 ⇒ 1p ∆ACB  isoscel   AB nf ∆ACB dreptunghic ⇒ AC = BC = = 5 2m 2 AC ∆ADC dreptunghic isoscel ⇒ AD = DC = = 5m ei 2 1p = ( AB + DC ) ⋅ AD = (= 37,5m2 5 + 10 ) ⋅ 5 at AABCD 2 2 1p AD ⋅ DC 5p .m A 2 = 25 1 = b) ∆ADC = A∆ABC AC ⋅ BC 50 2 2w c)Suprafaţă parchet cumpărat: x – 10% din x = 50 y – 10% din y = 25w 10 10 3p x− x =⇒ 50 y− y =⇒ 25 100 100w 9 9 = 50 ⇒ x = 25 ⇒ y 10 10 500 250 x= y= 9 9 1 m 2 ..............................27 lei 1 m 2 ..............................54 lei 1p 500 2 250 2 m ............................x lei m ............................x lei 9 9 500 3 250 =x ⋅ 27 = 1500 lei x= ⋅ 54 = 1500 lei 9 9 198
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Suma totală = x + y = 3000 lei 1p2. {Q} a) Fie NP ∩ B C = 5p ∆NB C echilateral  B C 3  ⇒ NQ = = 2 3 = 3, 4 NP ⊥ B C  2 ro BB’ = NP – NQ = 8,4 – 3,4 = 5 m Suprafaţa văruită = 2 ⋅ A= 2 ( Ll + Lh + lh ) 148 m 2 . = o. l Cantitate var = 148 kg. nf b) Suprafaţă ţiglă = 2 ⋅ AMNA B = 2 A B ⋅ A M = 2 ⋅ 6 ⋅ 4 = 48m 2 5p preţ ţiglă = 48 ⋅ 56lei = 2688 lei ei c) pr( ABC ) D P = P, ( ABC ) ) = DP ⇒ m ( D m ( D PD ) 1p at TP D D ⊥ ( ABC ) ⇒ D D ⊥ DP ⇒ D P 2 = DP 2 + D D 2 = DC 2 + PC 2 + D D 2 ⇒ 2p D P 2 = 62 + 22 + 52 = 65 ⇒ D P = 65 .m DD 5 65 sin ( D PD ) = = = DP 65 13 2pwww 199
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta76 Prof Dorneanu Bogdan SUBIECTUL I (30 de puncte)1. ( −2 + 3 − 4 + 5) : ( 2 − 3 + 4 − 5) =2 : ( −2 ) =−1 5p ro2. x 2 − 4 = ⇔ x 2 = ⇔ x = 2 0 4 ± 5p ⇒ x =2 x∈ o.3. 100kg grâu...................................90kg făină 5p nf 50 kg grâu.......................................x kg făină 90 ⋅ 50 =x = 45 kg 4500 dag = 100 ei4. m ( A ) 600 ⇒ ∆ABD echilateral ⇒ AB 6cm ⇒ PABCD 24cm = = = 5p at5. d= 32 + 42 + 52 = 50 = 5 2 5p .m6. 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 5 + 10 ⋅ 3 162 5p = map = = 6, 48 1+1+ 3 + 3 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 25 SUBIECTUL II (30 dew puncte)1. Desen piramidă 5pw2. 4x + 9z = 4 x − 6 y + 6 y + 9 z = 2pw 1p 2(2 y − 3 y ) + 3(2 y + 3 z ) = 1p 2 ⋅12 + 3 ⋅ (−2) = 1p 183. x + y + z + t = 150 1p 200
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte  x = 2k x y z  = = = ⇒  y =k k 3 2 3 4  z = 4k 1p  z t  z = 2q z ⋅ 0,5 = ⋅ 0, (3) ⇔ t = = ⇒ q 2 3 t = 3q ro 1p 2q = 4k ⇒ q = 2k ⇒ t = 6k 1p 2k + 3k + 4k + 6k = 150 ⇒ 15k = 150 ⇒ k = 10 o. 1p x = 20; y = 30; z = 40; t = 60 nf  A ( 2, 1) ∈ G f   f ( 2) = 1 4.  2m − n 1 = 1 = m 5p a)  ⇔ ⇔ ⇔  B ( 0, − 1) ∈ G f   f ( 0 ) = 1 −n = 1  − − n =1 ei b) f ( x )= x − 1 at Fie G f ∩ Ox = , C ( x, 0 ) {C} 2p C ∈ G f ⇔ f ( x ) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ C (1, 0 ) .m G f ∩ Oy = {B} , B ( 0, − 1) 2p BO ⋅ CO 1 1pw Triunghiul căutat este ∆BOC , dreptunghic în O ⇒ A∆BOC = = u.a. 2 25 2pw 2  1 1 ( y − 2 )( y + 2 ) ( y 2 + 4 ) 1 E ( x, y )= x − x + + y 4 − 16= 2 x−  + + 2  2 4w 2  1 1 Deoarece  x −  + şi ( y − 2 )( y + 2 ) ( y 2 + 4 ) sunt nenegativi, valoarea  2 4 2p minimă a expresiei se obţine pentru ( y − 2 )( y + 2 ) ( y 2 + 4 ) = 0 şi pentru 2  1  x −  = 0.  2 1 1p Astfel Emin = 2 201
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) F la egală distanţă de A, B, respectiv C, atunci F se găseşte la intersecţia mediatoarelor. Fie AF ∩ BC = {M } ⇒ AM ⊥ BC ⇒ d ( A, BC ) = AM 2p ro ∆ABC isoscel   ⇒ BM = MC = 6m AM ⊥ BC  o. TP AM ⊥ BC ⇒ AB 2 = AM 2 + BM 2 ⇒ AM 2 = 100 − 36 = 64 ⇒ AM = 8 3p nf b) Focul trebuie aşezat in centrul cercului circumscris triunghiului ABC. 2p Notăm FA = FB = FC = x ⇒ FM = x . 8− 1p ei Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul FMB obţinem: FB 2 = FM 2 + MB 2 ⇔ x 2 = ( 8 − x ) + 62 ⇔ 2 at 100 x 2 = 64 − 16 x + x 2 + 36 ⇔ 16 x = 100 ⇔ x = m 2p 16 .m 100 128 − 100 28 7 1p c)distanţa foc – râu = FM = 8 – x = 8 - = = = = 1, 75 m. 16 16 16 4w 5000 număr parcurgeri foc – râu = = 20 1p 250 1p distanţa parcursă = 20 ⋅1, 75 = 35mw d v= ⇒ t = d : v = 35 ⋅ 4 = 140 sw t 2p2. a) Fie CE ⊥ AB ⇒ CE = AD = 11m 5p Aplicăm T.P. în ∆CEB ⇒ CB 2 = CE 2 + EB 2 ⇒ EB 2 =169 − 121 =48 ⇒ EB =4 3 DC = AE = AB – EB = 4 3 202
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte PABCD = AB + BC + CD + AD = 12 3 + 24 = 12 ( 3+2 ) b)  LB ⊥ BA ⇒ LA = LB 2 + BA2= 217  4p  LB ⊥ ( ABC ) ⇒  LB ⊥ BC ⇒ LC= LB + BC = 2 2 194  ro  LB ⊥ BD ⇒ LD=  LB 2 + BD 2= LB 2 + AD 2 + AB 2= 338 1p Lungimea cablurilor = 217 + 194 + 338 o. ( AB + CD ) ⋅ AD ⋅ 5 5p 2 12 3 ⋅11 ⋅5 Ab ⋅ h nf 2 2 = c) V = = = 110 3m3 3 3 ei 3 at .mwww 203
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta77 Prof Dorneanu Bogdan SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 1 3 6 1 3 4 1 1 1 1 5p ro + : = + ⋅ = + =1 2 4 4 2 1 4 62 2 22. (12, 20) = 4 5p o.3. 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 = ( 2 x + 3 y ) 5p 2 nf4. Fie rombul ABCD, BE înălţimea căutată. 5p AC ⋅ BD AC ⋅ BD AABCD = = BE ⋅ CD ⇒ BE = ei 2 2CD TP CO ⊥ DO ⇒ CD 2 = CO 2 + OD 2 ⇒ CD = 5 at 8⋅6 = BE = 4,8cm 2⋅5 .m5. pr( A B C ) AC = ( AC , ( A C B ) ) ≡  ( AC , A C ) ≡ AC A A C ⇒ 5pw AA a1 3 AA ⊥ ( A C B ) ⇒ AA ⊥ A C ⇒ sin ( AC A ) = = = AC a 3 3w6. Se observă că funcţia f ( x= 3 x + 1 . ) 5p ( 4) Deci x f= 13 =w SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desen 5p2. 1  1 2 1 1 1 2p x + = 4 ⇒  x +  = 16 ⇒ x 2 + 2 x ⋅ + 2 = 16 ⇒ x 2 + 2 = 14 x  x x x x 204
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 1  1  2 1 1 2p x + 2 = 14 ⇒  x 2 + 2  = 196 ⇒ x 4 + 2 x 2 ⋅ 2 + 4 = 196 ⇒ 2 x  x  x x 1 x4 + = 194 1p x4 Fie numărul căutat x. ro3. ( x + 5 ) 2 − 4  : 5 = 1 1p   1p o. ( x + 5) − 4 = 2 5 1p ( x + 5) = 2 9 1p x+5 = nf 3 1p x = −24. a) B = [ a; 5 ) conţine exact trei numere întregi ei 5 ∉ [ a; 5 )    ⇒ a = 2 ⇒ B = [ 2; 5 ) at a ∈ [ a; 5 )   3p 2p A ∩ B = −2, 4] ∩ [ 2, 5 ) = 2, 4] ( [ .m b) A ∩ B are un singur element. a ∈ [ a, 5 ) ; 4 ∈ ( −2, 4] 1pw φ Dacă a > 4 ⇒ A ∩ B =, deci nu are nici un element întreg. 3pw Dacă a < 4 ⇒ A ∩ B =, 4] , deci are cel puţin două elemente. [a 1pw Concluzie: a = 4.5 Trebuie observat că dacă numerele sunt consecutive, resturile obţinute prin 1p împărţirea celor 2012 numere la 2012 sunt numere diferite şi conform teoremei împărţirii cu rest aceste sunt 0, 1, 2, ……, 2011. x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 2011) = ⋅ ( 0 + 1 + 2 + ... + 2011) 3 1p 2012 x + (1 + 2 + 3 + ... + 2011) = 3 ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + 2011) 2012 x = 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + 2011) 1p 205
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 2012 ⋅ 2011 1p 2012 x= 2 ⋅ 2 x = 2011 1p SUBIECTUL III (30 de puncte) ro1. L =2 AB + 2l  = AMD 1p a) 2 AB + 2π ⋅ O1 A = 2p 2 ⋅10 + 2π ⋅ 3 = 20 + 6π o. 2p Apatinuar = AB ⋅ AD + π O1 A2 = 2p nf b) 10 ⋅ 6 + π ⋅ 3 = 2 2p ( 60 + 9π ) m 2 1p ei m ( NO1 A ) = 900 ⇒ NO1 ⊥ AD ⇒ NO1  AB   1p c)  ⇒ M , O2 , O1 , N coliniare m ( MO2 B ) = 90 ⇒ MO2 ⊥ BC ⇒ MO2  AB  0  at ∆NO1 D dreptunghic isoscel ⇒ ND DO1 = 3 2 = 2 1p .m ∆MO2 B dreptunghic isoscel ⇒ MB BO2 = 3 2 = 2 1p NO2 =NO1 + O1O2 = + 10 = = 1 3 13 MOw TP ∆NO2 B dreptunghic ⇒ NB 2 = NO2 + O2 B 2 = 132 + 32 = 169 + 9= 178 2 1pw ⇒ NB= 178 = MD 1p Lungime traseu = ND + DM + MB + BN = 6 2 + 2 178w2. a) ABCDA B C D prismă patrulater regulată ⇒ A B C D 2p pătrat ⇒ A C = 12 2 ⇒ A O = 6 2 TP VO ⊥ A O ⇒ VA 2 = VO 2 + OA 2 ⇒ VO 2 = 100 − 72 = 28 ⇒ VO = 2 7 3p 4 AB ⋅ a p 1p b) suprafaţă= Al piramida pânză = 3 206
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte a p= h 2 + ab 2  2   ⇒ a p = 28 + 36 = 64 ⇒ a p = 8 2 l 12 ab = = 6  = 3p 2 2  4 4 ⋅ 12 ⋅ 8 Al piramida = = 128m 2 1p 3 ro c) V piscina =2 ⋅ h = 2 ⋅ 2,5 = ⋅ 2,5 = m 2 = l 12 144 360 360000dm 2 =360000l 4p o. 1p Concluzie: În piscină încap 360000l de apă. nf ei at .mwww 207
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 78 Prof…GAGA LOGHIN SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 0 5p ro2. 3 5p3. 45 5p o.4. 430 5p nf5. 150 5p6. 16 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează piramida 4p Efectuează notațiile 1p .m2. Transformă numerele în fracții ireductibile 1p a b 2p Scrie relația de invers proporționalitate și aducere la forma simplă =w 6 5 1p Scrie media aritmetică a + b =44w 1p Finalizează calculelew3. Se notează cu x numărul de elevi și cu y numărul de calculatoare. Se scriu 3p  y= x − 4  relațiile corespunzătoare  2 ( y − 3) =  x 2p Rezolvare sistem și rezultat.4. a) f(0) = 0; f(-2) = 4. 1p Rezolvare sistem și scriere funcție 2p Trasare grafic funcție, folosind intersecția cu axele 2p 208
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Trasare dreapta y=4. 1p Formula arie 2p Calcul arie și rezultat 2p5 1 1 1 1 1p E ( x) = x + x 2 + + 2 = x + + x2 + 2 x x x x ro 2 1  1 1 1 x + = 5 ⇒  x +  = 25 ⇒ x 2 + 2 + 2 = 25 ⇒ x 2 + 2 = 23 3p x  x x x o. 1 1 E ( x) = x + + x 2 + 2 =5 + 23 = 28 x x 1 nf SUBIECTUL III (30 de puncte) ei1. a) 50cm = 0,5m; 1p ( 0,5) 4p at 3 = = V L3 m= 0,125m3 3 b) Demonstrează că ∆MBD′ este isoscel, cu [ MB ] ≡ [ MD′] 2p .m Observă că MN este mediana corespunzătoare laturii BD′ într-un triunghi isoscel, deci MN este și înălțime ⇒ MN ⊥ BD′ 2pw Calculează MN 1p c) Calculează suprafața vopsită S = 2 =⋅ 502 =⋅ 2500 =w 5L 5 5 12500 cm 2 2p Calculează câte grupe de câte 5cm2 are suprafața: 12500 : 125 = 100 1pw Calculează cantitatea de substanță nutritivă folosită: 1p 100= 5000 ml 5 litri ⋅ 50 = 1p Calculează suma necesară2. L2 3 100 3 5p a) A = = = 25 3 m 2 = 25 ⋅1, 7 = 42,5 m 2 4 4 209
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Calculează suma lungimilor aleilor : L2 3 L ⋅ TN L ⋅ TP L ⋅ TM L = + + = (TN + TP + TM ) 2p 4 2 2 2 2 L 3 ⇒ TN + TP + TM= = 50 3= 85 m 2 1p ro Suprafața aleilor: 85 ⋅ 0,3 = m 2 25,5 1p Suprafața rămasă : 42,5 – 25,5 = 17 m2 1p o. c) 17m2 = 170000 cm2 3p 170000 : 400 = 425 fire de roșii 1p 425 x 0,75 = 318,75 lei nf 1p ei at .mwww 210
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 79 Prof…GAGA LOGHIN SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 1 5p2. 42 5p o. 113. 19 5p4.5. 24 5 nf 5p 5p ei6. 6 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează triunghiul oarecare 1p Se trasează bisectoarele unghiurilor triunghiului (sau se enunță faptul că centrul 2p cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor)w 2p Se trasează cercul înscrisw2. 2 x − 1 ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2 x − 1 ≤ 5| + 1 ⇒ −4 ≤ 2 x ≤ 6|:2 ⇒ 2p −2 ≤ x ≤ 3 ⇒ A =[ −2,3]w 1− 2x > 1 ⇔ 1 − 2 x > 3 ⇔ {1 − 2 x < −3} ∪ {1 − 2 x > 3} 3 2p ⇔ {4 < 2 x} ∪ {−2 > 2 x} ⇔ { x > 2} ∪ { x < −1} ⇒ B =( −∞, − 1) ∪ ( 2, + ∞ ) 1p A ∩ B =[ −2, − 1) ∪ ( 2,3]3. Mai întâi aflăm numărul de apartamente cu 2 și 3 camere. Fie x numărul de apartamente cu 3 camere și y numărul de apartamente cu 2 camere. Avem: 211
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte = 15 = 5 x + y x  ⇒ 3 x + 2 y 35 = 10 = y 2pFie a costul unui apartament cu 3 camere și b costul unui apartament cu 2 camere.= 2= 60000 euro 5b a aAvem:  ⇒ 10b + 5a 540000 b 24000 euro = = ro 3p 4. 5 1p a) f (1) = o. 2 2p 5 5 1 2+a = ⇒ a = −2= nf 2 2 2 2p 1 f ( x ) 2 x + și reprezentare grafica = 2 ei 3 3  3  1 2p b) . x +1 ≤ 4x +1 ⇒  − 4  x ≤ 0 ⇔ −x ≤ 0 ⇒ x ≥ 0 x +1 ≤ 2  2x +  at 2 2  2  2 3 x +1 ≤ 4x +1 ⇒ −x ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 2p .m 2 1p x ∈ [ 0, + ∞ ) x 2 + 3 x + 2 = x 2 + x + 2 x + 2 = x ( x + 1) + 2 ( x + 1) = ( x + 1)( x + 2 )w 5 1p x+2 x−2 1 1 x + 2 − x −1 1 E ( x) = − = − = =w ( x + 1)( x + 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) x + 1 x + 2 ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 1)( x + 2 ) 2p ( ) ( x + 1)( x + 2 ) = x + 1)( x + 2 ) ⋅ ( x + 1)( x + 2 ) = ∈  E ( x) = x 2 + 3 x + 2 ⋅ 1 ( 1 2pw 1 SUBIECTUL III (30 de puncte) 1. a) At = Al + Ab ⇒ Ab = 48 3 − 36 3 = 12 3 dm 2 1p AB 2 3 Ab = =12 3 ⇒ AB 2 =48 ⇒ AB =4 3 dm 4 212
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro Modele de subiecte Ab ⋅ hp Pb ⋅ a p 12 3 ⋅ a p V= ; hp = a 2 − ab2 ; Alat = p ⇒ 36 3 = ⇒ a p = VM = 6 dm 3 2 2 Notez cu M mijlocul laturii AB AB 3 ab = OM = = 2 dm ⇒ hp = VO = 36 − 4 = 4 2 dm Deci 3p 6 ro 12 3 ⋅ 4 2= = 15 6 dm3 V 3 36 litri = 36 dm3 = 1296 dm3 < 15 3 = o. 1350 dm3 . Deci încap 36 litri apă 1p = 36= 61, 2dm 2 6120 cm 2 b) Alat 3 dm 2 = nf 2p ei 6120 : 30 = 204 grupe de câte 30 cm2. 1p 1p 30 x 100 = 3000 gr = 3Kg at 1p 3 x 25 = 75 lei .m MO 1 MO OO 1 2p c) Deoarece = = ⇒ OO  CV ⇒ = MV 3 MC cf . reciprocei Teoremei lui Thales CV 3 Dar CV = BV = VM 2 + BM 2 = VM 2 + BM 2 = 36 + 12 = 4 3 dm 2p w CV 4 3 1p ⇒ OO = = ≈ 2, 27 dm = 22, 7cm 3 3w 2. a) Notăm OM = x , raza cercului mic. Cele două cercuri egale au razele de 15m 1pw ∆APO este dreptunghic în P, cu AO = AP = = x x + 15; 15; OP 30 − 1p 2p Aplicăm Teorema Pitagora în ∆APO : ( x + 15 ) = 152 + ( 30 − x ) 2 2 ⇒ x 2 + 30 x + 225 = 225 + 900 − 60 x + x 2 ⇒ 90 x = 900 ⇒ x = 10m 1p = π= 100π m 2 A x2 π ( b) Anefolosita = ⋅ 302 − 2π ⋅152 + 100π = π m 2 350 ) 5p 213
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte c) Anefolosita= 350π= 350 ⋅ 3 1050 m 2 = 1p 2p 1050 : 12 = 87,5 = 88 pomi 2p 88 x 16,5= 1452 lei ro o. nf ei at .mwww 214
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 80 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 20 5p ro2. 5 5p3. 50 5p o.4. 4 5p nf5. 13 5p6. 9 5p ei SUBIECTUL II Desenează piramida at1. 5p Notează piramida .m2. 20122 − 2 ⋅ 2012= (2012 − 1) 2 +1 5p 20122 − 2 ⋅ 2012 + 1 = (2012 − 1) 2 = 20112 =2011 Finalizare :2011 ∈ Nw3. Se notează cu x , numărul de CD-uri cu preţul de 30 leri si cu y numărul de 5p x + y = 10 CD-uri cu preţul de 40 lei ⇒  30 ⋅ x + 40 ⋅ y =325w 15 5 ⇒ x = = ;y 2 2 Finalizare: x ∉ N , y ∉ N ⇒ nu poate cumpara exact 10 CD-uri cu exact 325w lei4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 5p Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f Trasarea graficului functiei b) G f  Oy = B(0, 4) ⇒ OA = 4 5p G f  Ox = A(4, 0) ⇒ OB = 4 Folosind Teorema lui Pitagora in ∆AOB ⇒ AB = 4 2 215
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte OC ⊥ AB. ⇒ d (o, G f ) = OC OA ⋅ OB 4 ⋅ 4 = OC = = 2 2 AB 4 25 x2 + 3 y 2 − 4x + 2 3 y + 5 = x2 − 4 x + 4 + 3 y 2 + 2 3 y + 1 5p =( x − 2) 2 + ( 3 y + 1) 2 ro ( x − 2) 2 ≥ 0, ∀x ∈ R;( 3 y + 1) 2 ≥ 0, ∀y ∈ R Finalizare x 2 + 3 y 2 − 4 x + 2 3 y + 5 ≥ 0, ∀x, y ∈ R o. SUBIECTUL III1. a) Alab = L ⋅ l ⇒ Alab = 60m 2 5p nf Aplaca = Aplaca = cm 2 = m 2 l2 ⇒ 1600 0,16 Numărul de plăci necesare este : 60 : 0,16 = 375 10%din375 37,5 ≈ 38 = ei Numărul total de plăci achiziţionate : 375 + 38 = 413 plăci Plab = 2( L + l ) ⇒ 5p at b) Plab= 2(10 + 6)= 32m 2 c) Suprafaţa totală de gresie este 0,16m 2 ⋅ 413 = m 2 66, 08 5p .m Costul gresiei este 130 ⋅ 66, 08 =40lei 8590, Costul plintei este 5 ⋅ 32 =160lei Costul total este de 8590, 40 + 160 = 40lei 8750,w2. a) Notăm prisma ABCA’B’C 5p V = Ab ⋅ h ⇒ V = 864 3cm 2 ≈ 1, 494dm3 ≈ 1, 494l Finalizare : Nu este sufficient 1l de apa pentru a umple vaza de floriw b) Avaza Al + Ab = 5p Al = Pb ⋅ h ⇒ Al = 864cm 2w Ab = 36 3cm 2 Avază = + 36 3 ≈ 927cm 2 ≈ 0, 0927 m 2 864 Finalizare : se pot confectiona 3 : 0, 0927 ≈ 32,36 ≈ 32vaze c) At = Al + 2 Ab ⇒ At = (864 + 72 3)cm 2 ≈ 988,56cm 2 5p Finalizare : suprafaţa de hârtie necesară este ≈ 1977,12cm 2 216
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 81 Prof. . Ghidu Mihaela Alexandra SUBIECTUL I (30 de ro puncte)1. 8 5p o.2. 4 5p3. 8 5p4. 24 nf 5p5. 125 ei 5p6. 32 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează piramida 3p Notează piramida 2pw2. a 3 3b 2p = ⇒a= b 7 7w b 7 9b = ⇒c= 2p c 9 7w 1p a 1 Finalizare : = c 33. 8 2p ∈ Z ⇒ 3 x + 1 ∈ D8 ={−8, −4, −2, −1,1, 2, 4,8} 3x + 1 2p ⇒ x ∈ {−3, −1, 0,1} Finalizare : A ={−3, −1, 0,1} 1p 217
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f 2p Trasarea graficului funcţiei 1p b) S = 1 + (−3 ⋅1) + 1 + (−3 ⋅ 2) + 1 + ... + (−3 ⋅ 2012) + 1 2p ro S = −2013 ⋅ 3017 3p5 2 1 3 2 2012 2011 2p c) A = − + − + ... + − o. 2 2 6 6 2011 ⋅ 2012 2011 ⋅ 2012 1 A= 1 − 2p nf 2012 1 0≤ ≤ 1 ⇒ A ∈ (0,1) 2012 ei 1p SUBIECTUL III (30 de at puncte)1. a) P= 2( L + l ) ⇒ P= 10m 2p .m A = L ⋅ l ⇒ A = 6m 2 3p b) 10%dinA = 0, 6m 2 1pw 1p Cantitatea cumpărată : 6 + 0, 6 = 2 6, 6m 1pw Aplaca = L ⋅ l ⇒ Aplacă = 3000cm 2 = 0,3m 2 1p Număr de plăci : 6,6:0,3 = 22 plăciw 1p 22 :8 ≈ 2,7 ⇒ 3 pachete c) Costul unui pachet : 30 ⋅ 0,3 ⋅ 8 =72lei 3p Costul total : 3 ⋅ 72 = 216lei 2p2. a) hmachetă hprisma + htr = 2p 3p htr = 16 + 12 = 28cm 218
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Fie ABCDA B C D trunchiul de piramidă regulată 1p ⇒ Ltr = 40 + 2 ⋅ 2 = 44cm 2p = 22cm, ab 2cm aB = 2p h 7 Tangenta unghiului cautat este = aB − ab 5 ro c) Acarton= Al prismă + Altr + Abtr + ( ABtr _ Abprismă ) 2p 1p o. atr = 4 34 (44 + 4) ⋅ 4 34 Acarton= 160 ⋅ 6 + + 42 + (442 − 42 ) ≈ 5055, 68cm 2 nf 2 2p ei at .mwww 219
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 82 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. 12 5p2. 0 5p o.3. 125 5p nf4. 40 5p5. 5 5p ei6. 30 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează prisma 4p .m Notează prisma 1p2. 1x ∈ {11,13,17,19} 1pw 1x 3 = ⇒ a =3 ⋅1x a 9w 2p ⇒ a ∈ {33,39,51,57} 1pw 1p Finalizare : A = {33,39,51,57}3. Valoare TVA : 24%din820 = 196,8lei 1p Preţul maşinii de spălat cu TVA : 820+ 196,8=1016,8lei 1p Valoare avans : 25%din1016,8 = 254, 2lei 1p Suma de plătit in rate : 1016,8 − 254, 2 = 762, 6lei 1p 220
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Valoarea unei rate : 762, 6 : 6 = 127,1lei 1p4. a) ) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f 2p Trasarea graficului funcţiei 1p ro 2 2p b) f ( 2 − 1) =− +2 2 o. 2 f ( 2 − 3) =− +4 2p 2 1p nf a= -2 ∈ Z5 Ridicând la pătrat relaţia se obţine : 2(c + b) = c + a + c − a + 2 (c + a )(c − a ) 2p ei 1p ⇒ 2b 2 c 2 − a 2 = 1p at b= c 2 − a 2 2 1p Conform reciprocei teoremei lui Pitagora , triunghiul e dreptunghic .m 1p Finalizare : Unghiul drept este B SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) Al = Pb ⋅ h ⇒ Al = 120m 2 1pw 1p Afereastră = 2,1m 2 1pw Auşa = 1,8m 2p Av ăruibilă= 120 − 2 ⋅ 2,1 − 1,8 114m 2 = b) 80 ⋅ 114 = 9120 g = 9,12kg 5p c) 2 ⋅ 9,12 kg = 18,24 kg 2p 4 ⋅ 18,24 = 72,96 lei 3p 221
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) 140 : 30 ≈ 4 postere 2p 140 : 21 ≈ 6 postere 2p Numar maxim de postere : 6 ⋅ 4 = postere 24 1p = = b) Apanou 1, 42 1,96m 2 2p ro 1p Aposter = 30 ⋅ 21 = 630cm 2 = 0, 063m 2 1p o. At postere =⋅ 0, 063 = m 24 1,512 2 1p Ahartie =1,96 − 1,512 = 448m 2 0, c) 140-4 ⋅ 30 = 20 cm 140-6 ⋅ 21 = 14 cm nf 2p ei 2p ⇒ d max = 20cm ⇒ rmax = 10cm 1p at .mwww 222
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 83 Prof. Grecu Maria SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 16 5p ro2. 5 5p3. 15 5p o.4. 144 5p nf5. 56 5p6. 0,03 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează cubul 4p 1p Notează cubul .m 99 ⇒2. 10 1p Notează cu x preţul la primul magazin : x + x =x = 90 100 99 ⇒w 10 1p Notează cu y preţul la al doilea magazin magazin : y − y =y = 110 100w Diferenţa dintre preţuri : 110 − 90 = 20 1p 20 p =w Transformare în raport procentual : 1p 90 100 Finalizare: p = 22, (2)% 1p3. Calculează : a = 3b 2p 2 ⋅ 3b + b 7b 2p Înlocuieşte în raport: = 3 ⋅ 3b − b 8b 2a + b 7 Finalizare: = 1p 3a − b 8 223
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte4. 1 2p a)Calculează: E ( x + 1) = 2 x + 1 şi E ( x + ) = 2x 2 2x −1 + 2x +1 Aplică inegalitatea mediilor: (2 x − 1)(2 x + 1) ≤ 2p 2 Finalizare 1p ro 1 2p b)Calculează: E ( x − 1) = 2 x − 3 şi E ( x − ) = 2 x − 2 2 o. Înlocuieşte: (2 x − 1)(2 x − 3) + 1 = (2 x − 2) 4 1p Calculează: 4 x 2 − 8 x + 4= 4( x − 1) 2 1p nf Finalizare: 4 x 2 − 8 x + = 4( x 2 − 2 x + 1) 4 1p ei5 A = ( −6,3) 1p −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ B =−1,5] [ 2p at [ A ∩ B =−1,3) 1p .m A − B =( −6, −1) 1p SUBIECTUL III (30 dew puncte)1. a)Aria dreptunghiului : Adr= L ⋅ l 1pw Aria unei dale: AABCD = AB ⋅ BC = 30 ⋅ 20 = 600cm 2 = 0, 06m 2 2pw Află numărul de dale: 15 : 0, 06 = 250 2p c1 ⋅ c2 1p b)Aria triunghiului dreptunghic : A = 2 AD ⋅ AE 20 ⋅15 1p = AADE = = 150cm 2 2 2 1p Congruenţa triunghiurilor ADE , BCE , BPF , AQF 1p 224
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte AAEBF ADCPQ − 4 ⋅ AADE 1200 − 4 ⋅150 = = 1p AAEBF = 1200 − 600 = 2 600cm c) Calculează numărul necesar de cutii: 250 : 20 = 12rest10 2p Numărul necesar de cutii va fi 13. ro 1p Calculează preţul: 13 ⋅ 50, 4 =2lei 655, 2p o.2. a) d 2 = L2 + l 2 + h 2 1p BH 2 = AB 2 + BC 2 + BF 2 1p nf 1p BH 2 = 1502 + 602 + 402 2p BH = 10 277cm ei b) Adr= L ⋅ l 1p at 1p Acoala = 30 ⋅ 20 = 600cm 2 1p .m AABFE = 6000cm 2 , ABCGF = 2400cm 2 , AABCD = 9000cm 2 1p Atotala = 2 ⋅ AABFE + 2 ⋅ ABCGF + AABCD = 25800cm 2w 25800 : 600 = 43 coli 1p c)Calculează câte coifuri încap pe lungime: 150 : 20 = 7 rest10w 1p 1p Calculează câte coifuri încap pe lăţime: 60 : 20 = 3w 1p Câte coifuri încap în cutie: 3 ⋅ 7 =21 225
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 84 Prof. Grecu Maria SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2 5 5p ro2. 8, 775 5p3. 1 5p o. 1504. 26cm 5p5. 90 3cm 2 nf 5p ei6. 416.984 telespectatori 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desenează cubul 2p .m Notează cubul 1p Construieste centrul bazei 1pw Notează centrul bazei 1pw2. 2010 ⋅ 2011 1p 1 + 2 + 3 + .......... + 2010 = 2 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + .......... + 2010) + 2011 2010 ⋅ 2011 + 2011 = 2pw 2010 ⋅ 2011 + 2011 = 2011(1 + 2010) = 2011 ⋅ 2011 1p 2011 ⋅ 2011 = 2011 2 1p3. 100% − 60% = 40% 1p 60 20 40 1p Notează cu x numărul de pagini al cărţii : x − x− ⋅ x= 48 100 100 100 1p 100 x − 60 x − 8 x = 4800 1p 226
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte x = 150 1p 150 − 48 = 1024. a) A(3m + 2, m 2 ) ∈ G f ⇒ f (2m + 3) =2 m 1p 1p 2(3m + 2) + 3 = 2 m ro 1p m 2 − 6m − 7 =0 1p o. (m − 7)(m + 1) = 0 1p m=7 b) x = f ( x) 3 nf 1p ei 2x + 3 x= 1p 3 at 1p x=3 1p f (3) = 9 .m 1p P(3,9) ∈ G f5 x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 12 y + 36 = 4 1pw 1p ( x − 4) 2 + ( y + 6) 2 = 4w 1p x − 4 ≤ 2 şi y + 6 ≤ 2 x ∈ [ 2, 6]w 1p y ∈ [ −8, −4] 1p SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) Adr= L ⋅ l 1p 1p Ateren = AB ⋅ BC = 15m 2 227
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte Adisc = π R 2 1p 1p Abazin = 3,14m 2 1p A= Ateren − Adisc = 11,86m 2 gazon ro b)Află raza fundului bazinului: R = 1 1p Vbazin = 3,14 ⋅1, 20 = 3, 768m3 1p o. 2p 3, 768m3 = 3768l 1p 3768 :1,5 = 2512 secunde c) 2512 :120 = 20rest112 nf 3p ei Finalizare: apa îşi schimbă culoarea de 20 de ori 2p2. a) Adr= L ⋅ l 1p at 2p Aacoperiş = ⋅ BP ⋅ BE = m 2 2 45 .m 2p Află preţul ţiglei: 45 ⋅ 4 = lei 180 b) Al 2h( L + l ) = 1pw 1p Calculează suprafaţa pereţilor: = 2 BC ( AB + CN ) 91m 2 Al = 20 4w Notează cu x suprafaţa acoperită de soluţia dintr-un flacon: = 300 x 1p x = 60m 2 1pw Calculează câte flacoane sunt necesare: 91: 60 1rest 31 ⇒ sunt necesare 2 = 1p c) Pdr 2( L + l ) = 1p Calculează lungimea aleii: L = 8 + 2 ⋅ 0,5 = 9m 1p 1p Calculează lungimea aleii: l = 5 + 2 ⋅ 0,5 = 6m 1p Calculează perimetrul pe care se pun felinare: P = 30m 228
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte Află numărul felinarelor: 30 : 3 = 10 1p BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE roVarianta 85 Prof. Grecu Maria SUBIECTUL I (30 de o. puncte)1. 19x 5p2. −15 nf 5p3. 34 ei 5p4. 2 6 5p at5. 3 5p 3 .m6. 8 5p SUBIECTUL II (30 dew puncte)1. Desenează şi notează piramida 3pw Desenează şi notează apotema 2pw2. Notează cu x, y şi z cantităţile de hrană pe care le primesc lunar un pui de 1p leu, un leu, respectiv un tigru. x y z x + 2 y + 2z 200 = = = = 24 100 80 24 + 2 ⋅100 + 2 ⋅ 80 384 1p x = 12,5kg 1p= 52, 08(3) ≈ 52kg y 1p 1p = 41, (6) ≈ 42kg z 229
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte3. Determină corect două puncte ale graficului 2p Reprezintă corect cele două puncte 2p Trasează dreapta 1p4.  2 4 2   x  1p a) E ( x ) = −  +  : 1 −   x − 1 ( x − 1)( x + 1) x + 1   x + 2  ro  2x + 2 4 2x − 2   x + 2 x  E ( x) =  − + : −  1p  ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)   x + 2 x + 2  o.  4x − 4   2  E ( x) =  :  1p  ( x − 1)( x + 1)   x + 2  E ( x) = 4 : 2 x +1 x + 2 nf 1p ei 2( x + 2) 1p E ( x) = x +1 at 2x + 4 1p b) E ( x ) = x +1 .m 2 E ( x) = 2+ ∈ 1p x +1 1p x + 1 ∈ {−2, −1,1, 2} ⇒ x ∈ {−3, −2, 0,1}w 1p x ∈ { {−2, −1,1}} ∩ {−3, −2, 0,1}w x ∈ {−3, 0} 1pw5. x 2 − 4 3 x + 12 = ( x − 2 3) 2 1p 1p y 2 − 12 3 y + 108 = y − 6 3) 2 ( 1p x−2 3 + y−6 3 ≤ 0 x = 2 3 si y = 6 3 1p 1p 230
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte = mg x ⋅ y ⇒ mg = 6 SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) V Ab ⋅ h = 1p ro 1p AB = l 2 1p Calculează Ab = 400cm 2 o. 2p V = 400 ⋅10 = 4000m3 nf b) Desenează desfăşurarea prismei si indică traseul cel mai scurt AE. ei 2p at .m 1p = 4= 80 AE AB 1pw AE ′2 = AE 2 + EE ′2 =6500 1p AE ′ = 10 65w c)Fie AR ║ PQ, R ∈ DD′ ⇒ AR = ( AP, PQ)] =, PQ ⇒ m[ m(PAR ) 1pw = = RD PB 2,5 1p 5 65 = = AR AP 2 1p = = RP BD 20 2 Fie PS ⊥ AR , S ∈ AR ⇒ PS = 20 66 1p 65 231
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte PS 8 66 1p = sin A = AP 652. a) A = L ⋅l 1p dreptunghi 1p AABCD = 16 ⋅10 = 160m 2 ro d1 ⋅ d 2 Aromb = 2 1p d1 = 12 o. d2 = 6 1p 12 ⋅ 6 nf Aromb = 36m 2 parchet colorat = 2 160 − 36 = 2 parchet alb 124m 1p ei 36 p 2p b) = at 160 100 36 ⋅100 p= 1p 160 .m 1p p = 22,5 1p Finalizarew Aromb = d1 ⋅ d 2 1p c) = 80 2w Notăm cu x = distanţa cerută , x < 5w d= 16 − 2 x 1 1p d= 10 − 2 x 2 1p (16 − 2 x)(10 − 2 x) = 160 1p 4 x − 52 x = 0 ⇒ x ∈ {0,13} 2 1p Soluţie: x = 0 232
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 86 Prof. Grecu Maria SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 4 5p 3 ro2. 12 5p o.3. 5 5p4. 120 5p nf 175. 108 5p ei6. Vlad 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează şi notează paralelipipedul 3p Duce diagonala 2p 3x−1 (33 + 2 ⋅ 32 − 1) =w2. 396 2p 1p 3x−1 ⋅ 44 = 396w 1p 3x−1 = 9 1p x=3w3. 8 x − 4 y + 4 = 3x + 3 y 2p x2 − 4 x + 4 + y 2 = x2 + 2 x + 1 + y 2 − 9 1p 5x − 7 y =−4 1p −6 x = −12 1p x=2 y=2 233
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte4. a) Calculează câte 2 puncte pentru fiecare funcţie 2p Reprezintă câte 2 puncte pentru fiecare funcţie 2p Desenează dreptele 1p b) Determină coordonatele punctelor A(2,0) , B(0,-2),D(-2,0) 1p ro Determină coordonatele punctului C 1p 2 8 f ( x) = ) ⇒ G f  Gg = , − )} g(x {( o. 3 3 AOBCA A ACD − A BOD = 1p nf 8 4⋅ AD⋅ | yC | 3 16 A ACD = = = 2 2 3 1p ei | OD | ⋅ | OB | = A BOD = 2 2 at 1p 16 10 AOBCA = −2= 1p 3 3 .m5 1 1 1 2p x2 + 2 = ( x + ) 2 − 2 x ⋅ = 14 x x xw 1 1 1 1 x3 + 3 = ( x + )3 − 3 x ⋅ ( x + ) = 52 2p x x x xw 1 1 1 1 1 ( x2 + 2 )( x3 + 3 ) = x5 + 5 + x + = 728 ⇒ x5 + 5 = 724 x x x x x 1pw SUBIECTUL III (30 de puncte)1. a) A = L ⋅l 1p dreptunghi A = 240 ⋅120 = 28800cm 2 2p A = 2,88m 2 2p 234
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Fie Q şi R proiecţiile lui P pe [AD], respectiv [DC] şi S punctul în care 1p tacul intersectează [DC]. PQDR − dreptunghi ⇒ DQ = PR =40cm 1p AQ = AD − DQ = 80cm 1p  PAQ e dreptunghic isoscel ⇒ m(PAQ= 45° ) ro 1p Din triunghiul DAS se calculează m(DAS= 45° ) 1p o. c) Calculează distanţa parcursă în timpul unei rotaţii complete: Lcerc = 2π R 1p Lcerc = 18,84cm 1p nf Calculează distanţa parcursă pâna la orificiu: PA = 80 2 1p 1p PA = 112,8cm ei 1p 112,8 :18,84 5,98 ≈ 6 rostogoliri = at2. a) Al = PB ⋅ h 1p prismă .m = 72 ⋅ 3 = 216cm 2 Al prismă 1p hpiramidă = 5 − 3 = 2 ⇒ Ap = 85 1pw PB ⋅ Ap 72 85 Al piramidă = = = 36 85cm 2w 2 2 1p = Aprelată = Al prismă + Al piramidă 36(6 + 85)cm 2 1pw b) Calculează volumul prismei V prismă AB ⋅ h = 1p V prismă = 972m3 Calculează volumul piramidei 235
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte AB ⋅ hpiramidă 1p V piramidă = 3 324 ⋅ 2 V piramidă = 216m3 = 3 Calculează volumul de aer din cort 1p ro Vcort = 972 + 216 = 1188m3 Cât volum de aer este necesar pentru personal si cât volum de aer rămâne 1p o. 15 ⋅ 4 = m3 60 1188 − 60 = m3 1128 1128 : 4 = 282 nf Numărul maxim de bilete care pot fi vândute 1p ei c) Notăm cu “d” distanţa cerută 1p at Aplasă d 1p =( )2 Abază hpiramidă .m 225 d 2 1p = 324 4 1p 225 ⋅ 4 d2 =w 324 15 ⋅ 2 1p = = 1, (6)mw d 18w 236
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta87 Prof GRIGORAȘ CAMELIA SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 4,6 5p ro2. -1 5p3. 800 kilograme 5p o.4. 2400 cm 2 5p nf5. 600 cm 2 5p6. +20 C 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenul piramidei patrulatere regulate realizat corect. 3p .m Notațiile corecte. 2p2. Scrie relația sub forma: x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 10 y + 25 =0 1pw Restrânge pătratele și scrie relația sub forma: 1p ( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = ( x − 3) 2 ≥ 0, ( y − 5) 2 ≥ 0 0,w 1p ( x − 3) 2= 0 şi ( y − 5) 2= 0 de unde x − 3 == 0 și y − 5 == 0, deci, x=3 și 0 0 y= 5w Calculează perimetrul P = 2(3 cm +5 cm) = 16 cm și aria A = 3 cm∙5cm = 2p 15 cm 23. 10 1p Notează corect : x - lungimea traseului de parcurs, x - distanța parcursă 100 10 în prima zi, 4∙ x - distanța parcursă a doua zi 100 237
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 10 10 2p Scrie relația corectă: x + 4⋅ x = km 60 100 100 1p Rezolvă ecuația și scrie soluția algebrică x = 120 1p Scrie concluzia finală: traseul are lungimea 120 kilometri ro4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f; 2p trasează corect G f 1p o. 2p Reprezintă corect graficul funcției Gg ; nf b) Identifică suprafața determinată de graficele funcțiilor f și g ca fiind 3p trapezul dreptunghic cu baza mare de lungime 4 u.m., baza mică 2 u.m. și înălțimea 2 u.m. ei ( B + b) ⋅ î 1p Scrie formula de calcul a ariei trapezului A= 2 1p at Calculează A = 6 u.m 2 .m5 Scrie a+b = 25, a 2 + b 2 = 425 1p Scrie (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab 2p 1p Înlocuiește 625 = 425 +2abw 1p Calculează a ⋅ b = 100w SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. a) Scrie formula pentru At = 6 ⋅ l 2 2p Calculează At = 6 ⋅ 62 = 216 dm 2 1p 216 dm 2 = 2,16 m 2 , 2,16 m 2 < 3m 2 1p Concluzia finală: hârtia cumpărată ajunge 238
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 5 2p b) Calculează cât reprezintă 5% din hârtia folosită ⋅ 2,16m 2 =2 0,108m 100 2p Calculează necesarul de hârtie 2,16 m 2 + 0,108 m 2 = 2,268 m 2 1p Calculează costul hârtiei folosite 2,268 m 2 ⋅ 3,5lei = 7,938 lei ro c) Calculează diagonala cutiei d = l dm = 6 dm 2p Aproximează 3 ≈ 1,73 , 6 dm ≈ 1,73 6 dm = 10,38dm =1,038 m 2p o. 1p Concluzia finală: umbrela de lungime 1,2 m >1,038 m, deci nu încape în acea cutie2. A∆ABC = AB ⋅ BC ; nf a) Scrie formula de calcul a ariei terasei sub formă de triunghi dreptunghic 2p 2 ei AB ⋅ BC 6 ⋅ 24 3p Calculează aria A∆ABC = = = 72m 2 at 2 2 .m b) Notează CN = x 1p Scrie 1p 2 A∆CMN  x  = w A∆ABC  4  1p A∆CMN x2 A x2 ⇒ = ⇒ ∆CMN = ⇒ A∆ABC − A∆CMN 242 − x 2 AABNM 576 − x 2w 1p ⇒ x = 576 − x ⇒ x= 12 2mw 2 2 1p Concluzionează că MN se află la 24 − 12 2m metri faţă de AB. c) Suprafața mochetată va fi cea a trapezului AMNB 1p Pentru NB = 24 − 12 2m , suprafața va fi jumătate din suprafața întreagii 2p terase, adică 36 m 2 2p Calculează că mocheta va costa 36 m ⋅18, 2lei = 655,20 lei. 2 239
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta88 Prof. GRIGORAȘ CAMELIA ro SUBIECTUL I (30 de puncte) o.1. 1 5p2. 3 5p3. 2 nf 5p4. 25 cm 2 ei 5p5. x(x+4) 5p at6. 11 elevi 5p .m SUBIECTUL II (30 de puncte)1. Desenează corect cubul 2pw Notează cubul după cerință 1p Desenează o diagonală a cubului 2pw2. Calculează suma cu care s-a redus prețul de sărbători: 10% din 120 = 2p 10w ⋅120 =12lei 100 Stabilește prețul după reducere 120 lei – 12 lei = 108 lei 1p 10 1p Calculează suma cu care s-a majorat prețul ⋅108lei = 10,8lei 100 2p Stabilește prețul după majorare 108 lei + 10,8 lei =118,8 lei 240
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte3. L 1 1p Scrie relațiile între dimensiunile dreptunghiului = , L+ l = 16 cm l 3 2p Află dimensiunile dreptunghiului L = 3 l, 3 l + l = 16 l = 4 cm și L = 12 cm 1p Scrie formula de calcul a ariei dreptunghiului A = L l 1p ro Calculează aria dreptunghiului A = L l = 4cm ⋅ 12cm = 48 cm 24. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f 4p o. Trasează dreapta deteminată de cele două puncte 1p nf b) Observă că punctul de pe grafic egal depărtat de axele Ox și Oy este 2p punctul care are coordonatele egale x = y = α 2p M( α , α ) ∈ G f ⇒ f (α ) = α ⇒ 2 ⋅ α − 5 = α ⇒ α = 5 ei Concluzia finală: punctul M(5;5) ∈ G f și se află la egala distanță de Ox și Oy 1p at5 Descompune numărătorul: .m x4 − 5x2 + 4 = x4 − x2 − 4 x2 + 4 = 2p x 2 ( x 2 − 1) − 4( x 2 − 1) = ( x 2 − 1)( x 2 − 4) = ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) Descompune numitorul: 2pw x3 − x 2 − 4 x + 4 = x 2 ( x − 1) − 4( x − 1) = ( x − 1)( x − 2)( x + 2)w Simplifică raportul (ținând cont de condițiile date ) obținând x+1 1p (30 dew puncte)1. a) Calculează apotema piramidei care va fi egală cu 20 2 cm 2p 2 Calculează aria laterală a piramidei A l = 4· A VBC = 4 · 40 ·20 · = 2 2p 1600 2 cm2, Calculează necesarul de glazură = 1600 2 · 10 g = 16000g 2 = 16 2 kg de glazură 1p 241
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte b) Scrie formula de calcul a volumului paralelipipedului dreptunghic 2p Calculează volumul cutiei de împachetat tortul V cutiei = 40 · 40 ·20 = 32000 3p cm3 c) Scrie volumul de calcul al piramide regulate 2p ro 3200 2p Calculează volumul tortului V tort = cm3, 3 1p Concluzionează că tortul va ocupa 33,(3) % din volumul cutiei o.2. a) Scrie perimetrul trapezului dreptunghic 1p 25 3 2p Calculează laturile trapezului astfel : AB = 25 m, BC = 25 m, DC = nf 2 25 m, AD = m 2 2p ei 25 Calculează perimetrul grădinii 50 + (1 + 3)m (lungimea gardului); 2 at b) Calculează aria suprafeței cultivate cu ceapă 2p 625 3 78,125 3 = = 78,125 3m 2 ; 78,125 3m 2 = .m AADC ha 8 104 Calculează cantitatea de ceapă recoltată cantitatea de ceapă recoltată 3p 78,125 3w = ⋅ 5000kg 7,8125 ⋅ 5 3 ≈ 67,578kg = 104 c) Consideră punctul E [BC] situat la distanța notată x față de C 1pw Exprimă aria trapezului AECD în funcție de x astfel: 1 25 25 3 AAECD = (x + ) ⋅w 1p 2 2 2 1p 1 25 3 Exprimă aria triunghiului ∆AED astfel: A∆AED = ⋅ (25 − x) ⋅ 2 2 2p 25 Egalează cele două arii și obține x = m (distanță față de punctul C) 4 242
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 89 Prof: GRIGORAȘ CAMELIA SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 4 5p ro2. 1 5p3. 4 elemente 5p o.4. 8 dm 2 5p nf5. 3 cm 5p6. 8 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează corect prisma 3p .m Notează corect prisma 2p2. Calculează numărul fetelor 12 + 8 = 20 fete 1p Calculează numărul elevilor din clasă 12 băieți + 20 fete = 32 eleviw 2p numărulcazurilorfavorabile 1p Scrie probabilitatea realizării evenimentuluiw numărulcazurilorposibile 1p numărulcazurilorfavorabile 12 3 Calculează = =w numărulcazurilorposibile 32 83. Scrie expresia E(x) = x 2 − 4 x + 5 = x 2 − 4 x + 4 + 1 = 1p Restrânge pătratul x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 1p 1p Observă că ( x − 2) 2 ≥ 0 1p Valoarea minimă a expresiei scrisă sub forma E(x) =( x − 2) 2 + 1 se obține pentru ( x − 2) 2 = 0 1p 243
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte Găsește x = 24. a) Notează lungimile laturilor triunghiului cu a, b, c 1p Află lungimile laturilor: a b c 1p ro Scrie relația de directă proporționalitate = = = k 3 4 5 1p Scrie a = 3k, b = 4k, c = 5k o. 1p Scrie perimetrul a + b+ c = 3k + 4k +5k = 24 m 1p Află k = 2 și a = 6 m, b = 8m, c = 10m nf b) Scrie o formulă de calcul a ariei triunghiului ( fie observă că triunghiul este dreptunghic aplicând Reciproca Teoremei lui Pitagora, fie aplicând formula 3p lui Heron A∆ = ei p ( p − a )( p − b)( p − c) , unde p este semiperimetrul ) 2p Calculează A∆ = 24m 2 at5 Scrie relația impusă dintre coordonatele punctului y = 3x 2p .m Află coordonatele punctului 3x = 2x+5 de unde, x = 5u.m. și y = 15u.m. 2p Concluzionează în final că : punctul P(5;15) ∈ G f și are ordonata egală cu 1p triplul absciseiw SUBIECTUL III (30 de puncte)w1. 3 2p a) Calculează înălțimea clădirii hclădire =⋅ 24m = m 18 4w 3p Calculează suprafața laterală a clădirii Alcladire = 4 ⋅24m ⋅18m = m 2 1728 b) Calculează diagonala acoperișului și lungimea muchiei acoperișului și 5p obține 313m c) Calculează aria laterală a acoperisului care va fi egală cu 3p Alacoperis = 24m ⋅13m = m 2 4⋅ 624 2p Află numărul de țigle necesare 624m 2 ⋅ 20 ţigle = 12480 ţigle 244
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte2. a) Notează AD DE AE EF FC FB BC a = = = = = = = 1p Scrie că ∆ADE echilateral, a 3 a 3 Exprimă PM = PE + EF + FM = +a+ = a ( 3 + 1)dam 2 2 2p Egalează a ( 3 + 1) 8( 3 + 1)dam ⇒ = 8dam = a Calculează 2p ADEFC 32 + 16 3dam 2 , = ro Calculează aria porţiunii haşurate 32 + 16 3dam 2 . o. b) Calculează aria porţiunii nehaşurate =AAED = + 3)dam 2 ; 2⋅ 32(2 2p 3p Calculează raportul nf Anehasurat 3 − 3 = ; Adreptunghi 4 ei c) Calculează în m 2 suprafața cultivată 3p 32(2 + 3)dam 2 = 3200(2 + 3)m 2 ; 2p producţia = 3200(2 + 3) ⋅ 5, 25 = 525 ⋅ 32(2 + 3)kg ≈ 62664kg de tomate at .mwww 245
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta90 ăă Prof.Isofache Cătălina Anca SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. (-2)(+2)-(-12):(+3)=0 5p2. 9870 5p o.3. 4 1 5p P= = . 12 34. P=20 2 cm. nf 5p5. A=9 3 cm 2 . ei 5p6. 9 lei. 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. ă Reprezentarea corectă a prismei triunghiulare regulate. 5p2. x 2 +4x+10=(x+2) 2 +6 ≥ 0 +6 5pw ţ ă Pentru x=-2,obţinem valoarea minimă=6.w3. n=vârsta bunicii â 5p n=4x+3;n=6y+3;n=10z+3 x;y;z ∈ N * .w n-3=4x; n-3=6y; n-3=10z. [4;6;10]=60. ă ţ Rezultă n-3 ∈ M 60 .Deci n-3=60.Obţinem n=63.4. a) A(0 ; 2 ) si B( 2 ;0) 5p ă Reprezentarea grafică este dreapta AB. 246
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte ă b)In triunghiul dreptunghic AOB,OA=OB= 2 ;AB=2,rezultă 5p QA ⋅ OB d(0;AB)= =1 AB5 n 2 +6n + 9 = (n + 3) 2 ; n 2 − 9 = (n − 3)(n + 3) ; n 2 − 4n + 3 = (n − 1)(n − 3) 5p (n + 3) 2 (n − 1)(n − 3) ⋅ ⇒ E(n)=n+3 ∈ Z , ∀n ∈ Z /{-3 ;1 ;3}. ro E(n)= (n − 3)(n + 3) n −1 SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. a)A 1 = 110 ⋅ 90 = 9900 m 2 ;A 2 = 100 ⋅ 80 = 8000 m 2 .Deci Azgura = A1 − A2 5p nf Azgura =1900 m 2 . b) A flori = 4 ⋅ 5 2 = 100m 2 ; Asport = 2 ⋅ 30 ⋅ 20 = 1200m 2 ; A fan tan a = π ⋅ 5 2 = 25π m 2 5p ei Agazon = A2 − ( A flori + Asport + A fan tan a ) .Deci Agazon = (6700 − 25π )m 2 . at c) Agazon = 6700 − 78,5 = 6621,5 m 2 5p .m ţ 6621,5:0,5=13243 ladiţe de gazon 13243 ⋅ 12 =158916 leiw2. Ab ⋅ h 5p a)V l = ă ă reprezintă volumul lichidului ce se acumulează în pâlnie,când â â 3 ţ ă ă pompele A’ si O funcţionează simultan.Rezultă Vl = 6dm 3 .w ă â 1,5dm 3 / min -0,5dm 3 / min =1dm 3 / min este debitul de lichid ce rămâne în ţ ă pâlnie,când pompele A’si O funcţionează simultan. â âw ţ ă 6dm 3 :1dm 3 / min =6 minute funcţionează simultan pompele A’ si O. 6 ⋅ 0,5 = 3dm 3 esenţă de vanilie se imbuteliază când pompele A’ si O ţ ă â ţ ă funcţionează simultan. ţ ă 6dm 3 : 0,5dm 3 /min=12minute este timpul în care funcţionează numai pompa O 6min+12min+2min=20minute ă In 20 min se îmbuteliază 6dm 3 +3dm 3 =9dm 3 lichid. 247
  • Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.roModele de subiecte 60min:20min=3 9dm 3 x3=27dm 3 =27litri=27000 ml de esenţă de vanilie se ambalează într-oră. ţ ă ă 27000:250=108 sticluţe de esenţă de vanilie. ţ ţ ţ ă b) 5 ⋅ 108 = 540 sticluţe/oră 5p ro 540 ⋅ 6 = 3240 sticluţe de esenţă de vanilie/zi ţ ţ 3240:30=108 cutii /zi o. ţ ă ţ c) x=preţul de fabrică al unei sticluţe de vanilie 5p nf 124 x = 1,86 .Rezulta x=1,50lei. 100 ţ TVA=1,86-1,50=0,36lei/sticluţa ei 3240 ⋅ 0,36 = 1166,40 lei TVA/zi. at .mwww 248
  • BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 91 Prof Lica Roxana SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 2,5 − 3 = 0,5 − 5p ro2. 1 5p 102 o.3. 1 5p 2 nf4. 2012 5p 2011 ei5. 3 2 5p6. 4π dm 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. 5p2. OA ⋅ OB 3 ⋅12 5pw G f ∩ Ox = 0) ; G f ∩ Oy = B(0, −12) ; A= A(3, ∆OAB = = 18 2 2w3. Fiecare dintre membrii familiei „imbatraneste” cu 15 ani, prin urmare suma 5p varstelor este 53+15+15+15=98ani. ( 7 + 7 + 8 + 9 ) : 4 ⋅ 3 + x ≥ 7,5 ;w4. 2p a) 8,5 > 34> 31: 4 ⋅ 3 + x ≥ 30 ; 4 34> 7, 75 ⋅ 3 + x ≥ 30 ; 34> 23, 25 + x ≥ 30 ; 34-23,25> x ≥ 30 − 23, 25 ; 3p 11, 75 > x ≥ 6.75 . Notele sunt 10, 9, 8 si 7. ( 7 + 7 + 8 + 9 + y ) : 5 ⋅ 3 + 9 ≥ 8,5 ; b) O nota: ( 31 + y ) : 5 ⋅ 3 + 9 ≥ 34 ; 3p 4 ( 31 + y ) : 5 ⋅ 3 ≥ 25 ; ( 31 + y ) : 5 ≥ 8,3 ; 31 + y ≥ 41,5 ; y ≥ 10, 25 2p Raspuns: doua note 249
  • 5 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 2 x + 3x + 6 x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) 2p = = = x2 + 4 x + 4 ( x + 2) ( x + 2) 2 2 . = ( x + 2 )( x + 3) = x + 3 = 1 + 1 2p ( x + 2) x+2 x+2 2 x ∈  − {−2} x + 2 1 ⇒ x + 2 ∈ {1, −1} ⇒ x ∈ {−1, −3} ro , 1p SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. a)Perimetrul este 2 ⋅ 3 x + 2 ⋅ 2 x = x 10 5p b)Aria totala este 62 + 3 ⋅ 6 =54m2 nf 3p Lungimea foliei este 54:3=18m. 2p ei c)In triunghiul AEM cu masura unghiului E de 90°, din teorema lui Pitagora 2p obtinem AM= 3 10 . Asadar, DM+AM=6 10 . Costul total este 186lei. at 3p2. l2 3 400 3 5p .m = a) V = h 10cm3 1000 = 1700cm3 1, 7l = 3cm3 = 4 4 A A ⊥ ( ABC ) 2p b) AM ⊥ BC ⇒ A M ⊥ BC ⇒ d ( A , BC ) = , unde M estew AM AM , BC ⊂ ( ABC ) 2p mijlocul lui [BC]. In ∆A AM , m( A= 90° , ˆ) A M 2 = A A2 + AM 2 =w 100+300=400, deci A’M=20cm 1pw c)Masura unghiului plan al diedrului este egala cu masura unghiului A’MA. 2p A A 10 3 3p tg  A = MA = = AM 10 3 3 250
  • BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 92 Prof Lica Roxana SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 9-8:2=9-4=5 5p ro2. 720 5p3. 11 5p o.4. 3 2 5p 2 R=3cm, deci latura patratului este cm. Aria patratului este 18cm .5. nf Atotala = 2 Ll + 2 Lh + 2lh = 2 ⋅ 8 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 + 2 ⋅ 7 ⋅ 6 = 112 + 96 + 84 = 292cm 5p ei6. 0 + 1 + 2 + ... + 9 = (1 + 9 ) ⋅ 9 = 45 5p 2 at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desen. 5p2. G f ∩ Ox = 0) ; G f ∩ Oy B(0,12). OA 3, OB 12 A(3, = = = 5pw In triunghiul OAB, dreptunghic in O, se calculeaza lungimea lui AB- AB = 153 ipotenuza, . Distanta de la O la AB este inaltimea din O aw 36 triunghiului OAB si are lungimea 153 .w3. V V 5p Primul robinet are debitul d1 = , al doilea d 2 = . Debitul comun este 4 6 V V 5 12 d1 + d 2 =+ = V . Prin urmare sunt necesare ore, adica 2 ore si 24 4 6 12 5 minute pentru a umple bazinul folosind ambele robinete.4. 2 x ( x + 1) 5p 2 a) E ( x) = ⋅ = 2 ( x + 1) = 2 x + 2 . x +1 x 251
  • b) −2 ≤ 2 x + 2 ≤ 2 ⇒ −4 ≤ 2 x ≤ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ {−2} 5p5 a1 + a2 + ... + a10 2p = 15 ⇒ a1 + a2 + ... + a10 = 150 10 a1 + a2 + a3 = 87 a4 + a5 + ... + a10 = 150 − 87= 63 2p ro a4 + a5 + ... + a10 63 = = 9 7 7 1p o. SUBIECTUL III (30 de puncte)1. 500000:25 adica 20000. nf a)Aria livezii este 0,5km2, adica 500000m2. Numarul de copaci este 5p ei b) 1002•502-1000•500=3004m2 este suprafata luciului de apa. 3p Volumul de apa este 3004•0,5=1502m3. 2p at c) Intretinerea livezii costa 500000lei. 2p .m Apa din canal valoreaza 1502•3 adica 4506lei. 2p Costul total 500000+2•4506=509012 lei. 1pw2. a) V = 0, 2 ⋅ 0, 7 = m3. 1⋅ 0,14 5p b) diagonala televizorului este diagonala unei suprafete laterale.w d= 1002 + 702= 14900= 10 149  122cm. 3pw 2p d = 122 : 2,54  48". c) Volumul paletului este 2•3•1,4=8,4m3 2p Nr de televizoare este 8,4:0,14=60. 3p 252
  • BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 93 Prof Lica Roxana SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 0,5 + 1 =1,5 5p ro2. 1 5p 987 o.3. 1 5p 2 nf4. 2011 5p − 2012 ei5. 100cm2 5p6. 2500пcm2 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. 5p2. OA ⋅ OB 2 ⋅ 8 5pw B(0,8) ; A∆= G f ∩ Ox = A(−2, 0) ; G f ∩ Oy = OAB = = 8 2 23. Diferenta de varsta intre copii este de 7 ani. Prin urmare baiatul are 14 ani iar 5pw fata 7 ani.4.  c+z = 100 2pw a)  2 z + 8c =260 z=90, c=10 3p b) 10 buchete formate dintr-un crin si 8 zambile 5p5 x 2 − 10 x + 26 1 2p = 2 ∈ 1+ x − 10 x + 25 ( x − 5) 2 daca 253
  • ( x − 5) 1 ⇒ 2p x − 5 ∈ {−1,1} ⇒ x ∈ {4, 6} 1p SUBIECTUL III (30 de puncte) ro1. a) π 202 − π 162 = m2 144π 5p b) 2π 16m = 32π m 5p o. nf c) 40π ⋅1 = 6 m2 suprafata gardului 125, 2p In total, 251,2litri. 3p ei2. a) 5p 1000cm3 at b)1000:16=62,5cm 5p .m c) volumul tetraedrului este aprox. prin lipsa 155cm3 2pw In total 1000:155=6,45 3p Raspuns:6.ww 254
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 94 Prof. Corneliu Mănescu-Avram SUBIECTUL I (30 de puncte) ro1. ⋅,:,− 5p o.2. 17 5p3. 13,75 5p4.5. 34 6 nf 5p 5p ei6. 5 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenul corect 4p Notarea corectă 1pw2. 1 ∈ A ⇒ 2∈ B 2p 4∈ A ⇒ 5∈ B 2pw 3 ∈ A ⇒ 4 − 3 =1 ∈ A; 3 ∈ B ⇒ 5 − 3 = 2 ∈ B. 1pw3. x = distanţa parcursă, y = lugimea drumului în pantă 1p x x −y −y 2 y y ecuaţia + + +2 = 5 2p 4 3 6 4 x = 20 km. 2p4. 3x − 1 1p a) f ( x ) = 2 4p 255
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte trasarea graficului x −1 2p b) f ( x ) = x + ∈  ⇔ x = 2k + 1, k ∈  2 Ak ( 2k + 1,3k + 1) , k ∈ , sunt toate punctele de coordonate întregi de pe 3p graficul funcţiei ro5 55 + 5 + 1= (5 2 + 5 + 1)( 53 − 52 + 1)= 2p o. 1p = 31 ⋅101 2p numerele 31 şi 101 sunt prime, deoarece nu se divid cu 2, 3, 5, 7 < 101. nf SUBIECTUL III (30 de puncte) ei1. a) orice linie mijlocie a ΔABC 5p at b) triunghiul trebuie să fie dreptunghic 2p şoseaua este paralelă cu una dintre catete 2p .m staţia se construieşte la mijlocul ipotenuzei 1p c) 17 2= 82 + 152 ⇒ ∆ABC dreptunghic în B 2pw d = 17:2 = 8,5 km 3p2. a) 120 5pw b) 8 5pw c) 8 cuburi mari 2p 2 ⋅ 8 + 8 ⋅ 5 = cuburi mici 56 2p 8+56=64 cuburi 1p 256
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 95 Prof. Corneliu Mănescu-Avram ro SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 0 5p o.2. 107 5p nf3. 4,2 5p4. 4 5p ei5. 1 5p at6. - 1,3 5p SUBIECTUL II (30 de .m puncte)1. Desenul corect 5pw2. 6 5p3. (3 + 3 ) a 2 5pw 2 a) f ( 0 ) = 2 f ( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 0 ⇒ 0 ∈ Ew4. 5p b) x ∈ E − {0} ⇒ − x ∈ E − {0} 2p 3p Card E = 2 Card { x ∈ E x > 0} + 15 5p 257
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte 6 7 2 1 5 9 8 3 4 SUBIECTUL III (30 de puncte) ro1. a) 210 : 3 = 70 mm 5p b) 0,343 dm3 = 0,343 l 5p o. c) 7 ⋅ 7 cm – 49 cm 1p nf 29,7 cm - 14 cm = 15,7 cm 1p 2 ⋅ 15,7 cm = 31,4 cm 1p 49 cm + 31,4 cm = 80,4 cm ei 2p2. a) 7 ⋅ 6 = 42 5p at b) 11 ⋅ 7 ⋅ 6 = 462 2p .m 77 + 55 = 132 1p 462 – 132 = 330 2pw c) 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 24 ⋅ 1800 : 104 = 2,44kg 3p 2,44 ⋅ 462 = 1131,6 kg 2pww 258
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 96 Prof. Corneliu Mănescu-Avram SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 10 5p ro 2. 14 5p 3. 1 5p o. 4. 1+ 5 5p 2 5. 2,4 nf 5p 6. 2 ei 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte) 1. Desenul corect 5p .m 2. = 13k + 10 ∈ B ⇒ 5n + 2 5 (13k + 10 ) + 2 13 ( 5k + 4 ) se divide cu 13 n = = 5p ⇒ n∈ Aw 3. 18 şi 6 5pw 4. 2 2p 1 1 1  xy + yz + xz  a) a = = = ,b ,c , A= x + y + z + 2 2 2  = x y z  x+ y+z w x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz 3p = x+ y+z 1 − ab 1p b) c = a+b (1 + a )(1 + b ) ( a + b ) + (1 − ab )  2  2 2 2 (1 + a )(1 + b )(1 + c )= 2 2 2 = a+b 2p 259
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte = (1 + a )(1 + b ) 2 2 a+b 2p5 x4 + x2 − x + 1 5p ro x2 + 1 SUBIECTUL III (30 de o. puncte)1. a) tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente 2p nf x, y, z, t lungimile segmentelor cuprinse între vârfuri şi punctele de tangenţă AB = x + y, BC = y + z , CD = z + t , AD = x + t a= b= c= d= 2p ei a+c = b+d = x+ y+ z +t 1p at b) Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice formate de 5p laturi cu diagonalele .m c) ( a − c ) =( b − d ) 2p 2 2 1p a − c = (b − d ) ±w 1p a b, c d ⇒ BD este mediatoarea lui [AC] = = 1pw a= d , b= c ⇒ AC este mediatoarea lui [BD]2. l 2h 2pw a) = V = 3 3p = 2574467 m3 b) = V ρ M = 2p = 6693614 t 3p c) 2308142 5p 260
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 97 Prof. Corneliu Mănescu-Avram SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 10301 5p ro2. 11 5p3. 1,2% 5p o.4. a b c d 5p a  ⊥  ⊥ nf b ⊥  ⊥  c  ⊥  ⊥ ei d ⊥  ⊥  at5. 4 5p .m6. 2 5p SUBIECTUL II (30 de puncte)w1. Desenul corect 5p2. 11 ⋅182 < n < 11 ⋅183 2pw 2003 ≤ n ≤ 2012 3pw3. sunt 10 băieţi 1p sunt 10 fete 1p numărul elevilor creşte cu 5% 3p4. a) m=1, f 1 (a) = 2a ⇒ orice punct de pe grafic e de forma M(a, 2a) 2p m≠1, f m ( a ) − 2a =m − 1)( a + 1) = ⇒ a =1 ( 0 − 2p 1p mulţimea căutată este o dreaptă, graficul funcţiei f 1 261
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte b) f m ( −1) =2 − 2p P ( −1, −2 ) 3p5 N 2525 + 26 = = ( M 3 + 1) + M3+ 2 M3 = 3p 25 ro N N = 3⋅ 3 2p o. SUBIECTUL III (30 de puncte) nf1. a) 15 ⋅ 20 − (15 − x )( 20 − x ) = 75 2p 35 − 5 37 x= ei 2 2p x ≈ 2, 29 m 1p at b) (15 + x )( 20 + x ) − 15 ⋅ 20 = 75 2p .m −35 + 5 61 x= 2 2p x ≈ 2, 02 mw 1p c) 17,29 ⋅ 22,29 −300 = 85,39 2pw 85,39 : 75 = 1,1385 2p 1pw 13,85 %2. a) 33124 = 182 1p 182 : 2 = 91 1p 1002 + 912 ≈ 135, 2 1p 135,2 ⋅182 ⋅ 2 = 49212,8 m2 2p 262
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte 33124 ⋅100 5p b) V = 3 V ≈ 1104133 m3 c) 2500000 : 1104133 ≈ 2,26 5p ro o. nf ei at .mwww 263
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta98 Prof Maniţiu Blandina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 19 5p 2 ro2. 1 5p 2 o.3. 4 5p nf4. 24 5p5. 45 0 5p ei6. 7,00 5p at SUBIECTUL II (30 de puncte) .m1. Desenează piramida 4p Notează piramida 1p 3 x  4  8sau 3 x  4  8w2. 2p 3 x  4  8  3 x  4  8  3 x  12  x  4   1pw 4 1p 3 x  4   8  3 x  4  8  3 x  4  x     3w A={4} 1p3. Notăm x preţul iniţial 1p 15 2p x x  21  2 100 3x x  23  20 x  3 x  460  23 x  460 2p 20 1p x  460 : 23  x  20lei preţul iniţial 264
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte4. a) f (0)  3  0  6  6 1p f (1)  31  6  3  6  3 1p f (2)  3  2  6  6  6  0 1p f (0)  f (1)  f (2)  6  3  0  9 ro 2p b) A(1, m)  G f  f (1)  m 2p o. 3(1)  6  m 2p 1p 3 6  m  9  m  m  95 nf ( 2 1) 2  ( 2) 2  2  2 1  12  2  2 2  1  3  2 2 2p ei 2p ( 2  1) 2  ( 2) 2  2  2 1  12  2  2 2  1  3  2 2 1p ( 2 1)  ( 2  1)  3  2 2  3  2 2  6 2 2 at SUBIECTUL III (30 de .m puncte)1. a) Desenează şi notează paralelipipedul. 1pw At  2( L  l  L  h  l  h) . 1p At  2(3 1,5  3  0, 75  1,5  0, 75)  2(4,5  2, 25  1,125)  2  7,875 2pw 1p At  15, 75m 2 .w b) Aria unei plăci de faianţă  15 5 15 5  1125cm 2 . 1p 1p 1,5  0, 75m 2  1,125m 2  11250cm 2 Ariile feţelor laterale sunt: 3  0, 75m 2  2, 25m 2  22500cm 2 1p 11250:1125=10bucăţi şi22500:1125=20bucăţi 1p Avem nevoie de 10  2  20  2  20  40  60 bucăţi faianţă. 1p c) Volumul bazinului V  L  l  h 1p 265
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte V  3 1,5  0, 75  4,5  0, 75  3,375m3 1p 1p 3,375m 3 =3375dm 3 şi 1dm 3 =1litru 2p 1 3375:675=5  din volumul bazinului se umple cu apă 5 ro 1 75 1 3 1 3 Înălţimea apei în bazin va fi: 0, 75        0,15m 1p 5 100 5 4 5 20 o.2. 1 1 2p a) AM   AB  12  3m  MB  12  3  9m 4 4 nf A AMND  AM  MN  3 3  9m 2 aria suprafeţei cultivată cu salată. 2p A MBCN  MB  BC  9  3  27 m 2 aria suprafeţei cultivată cu ridichi. 1p ei b) A ABCD  AB  AD  12  3  36m 2 1p at p 27 100 3p Notăm p procentul cerut   36  27  p   75 100 36 .m 75%din suprafaţa grădinii este cultivată cu salată. 1p c) 9 12  108 fire salată 1p 27 15  405 fire ridichi  405 : 5  81 legături ridichi 1pw 108  1,5=162 lei se obţin din vînzarea salatei 1pw 81 2  162 lei se obţin din vînzarea ridichilor 1p 162+162=324 lei se obţin din vînzare în total. 1pw 266
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 99 Prof Maniţiu Blandina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 35 5p ro2. 1 5p3. a  19 5p o.4. 5 2 cm. 5p nf5. 90 5p6. 20 5p ei SUBIECTUL II (30 de puncte) at1. Desenează cubul 4p .m Notează cubul 1p2. Notăm numărul cu x 1p Sfertul numărului 400 este 100w 1p 3 x  100  130 15. 1pw 3 x  130 15 100  3 x  15  x  5. 2p3. Notăm al doilea număr cu b 1pw Media geometrică este 15b 1p 1p 15b  75 2p 15b  75  b  75 :15  b  54. a) x 2  5 x  6  x 2  2 x  3 x  6 2p x( x  2)  3( x  2) 2p 267
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte (x 2)( x  3) 1p x 2  5 x  6 ( x  2)( x  3) 3p b)  x2  4 ( x  2)( x  2) x 3 Simplificăm prin ( x  2) şi obţinem fracţia . 2p x2 ro5 3  2 2 0  3  2 2  3  2 2 1p o. 2p 1  2 0  1  2  2 1 . 1p 3  2 2  2 1 2  3  2 2  2( 2 1) nf ei 1p 3 2 2  2 2  2  3 2  1  at SUBIECTUL III (30 de puncte) .m1. a) Desenează paralelipipedul. 1p d  a 2  b2  c2 1pw 1p d  4 2  82  2 2 1pw d  16  64  4  84  2 21. 1p. d  2 21cm.w b) Volumul paralelipipedului V  abc 1p V=4 8  2  64cm3  jumătate din paralelipiped are volumul 32cm 3 2p Un cub cu muchia 2 cm are volumul 2 2  2  8cm3 1p 32:8=4 cubuleţe 1p c) Aria laterală=2(a  c+b  c) unde a si b sunt dimensiunile bazei iar c este 2p înălţimea. 268
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.ro Modele de subiecte A l  2(4  2  8  2)  2  24  48 cm 2 . 3p2.   4p 2 a)A DISC   R 2    3 5  45 ro A DISC  45 m 2 1p b) Triunghiul OBC este dreptunghic 1p o. Notăm cu l latura pătratului şi aplicăm Teorema lui Pitagora în 1p triunghiulOBC OB 2  BC 2  OC 2  l2 4 nf  l 2  45 1p ei 2p 5l 2  180  l 2  36  l  6m c)A ABCD  l 2  36m 2 1p at 45 2 1p A DISC  45  ASEMIDISC  m. .m 2 36 72 8 Raportul cerut este egal cu   . 1p 45 45 5 2w Notăm cu p procentul care trebuie aflatw p 45 36  200 160 1p   36  p    50,95 100 2 45 w 50,95%din aria semidiscului este aria pătratului 1p 269
  • Evaluare Naţională 2010-2011 www.mateinfo.roModele de subiecte BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTAREVarianta 100 Prof Maniţiu Blandina SUBIECTUL I (30 de puncte)1. 4 5p ro2. 0,1, 2,3, 4,5, 6 5p3. 9 5p o. 164. 10 5p5. 64 nf 5p ei6. 13 5p SUBIECTUL II (30 de at puncte)1. Desenează piramida 4p .m Notează piramida 1p2. 86  2  258 banane 1pw 86 : 2  43 portocale consumate şi 43 portocale rămase 1p 1pw 2  258  172 banane consumate 3 258 172  86 banane rămasew 1p 43+86=129 fructe rămase în coş 1p3. Notăm numărul copiilor cu x 1p 400  x  2000  500  x  500