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  • 1. 1. Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” Extensión BarquisimetoAPLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LOS CIRCUITOS DEL ALGEBRA DE BOOLE YCOMPUERTAS LOGICAS Integrante: Néstor Betancourt CI.23.835.940. AlgebraAlgebra de Boole:El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso yverdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas yproduce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradasbooleanas y produce una sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se puedendeducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudoemplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores yvalores:- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstosvalores respectivamente como falso y verdadero.- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de unasola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre lasvariables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica ORentre A y B, también llamada la suma de A y B.- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos elsímbolo " " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A denota la operación lógica NOT de A.- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de laexpresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis,operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico ANDcomo el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia estánadyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo porla derecha.Utilizaremos además los siguientes postulados:
  • 2. P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A tal que A·A = 0 y A+A = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además esbuena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemosmencionar los siguientes: Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B) = A · B Teorema 8: (A · B) = A + B Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + AB = A + B Teorema 12: A · (A + B) = AB Teorema 13: AB + AB = A Teorema 14: (A + B) · (A + B) = A Teorema 15: A + A = 1 Teorema 16: A · A = 0Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático quelos descubrió.Características:Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva(que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)que representaremos por x.2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)Y 3- Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
  • 3. Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx = 0Propiedades Del Álgebra De Boole 1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y) = xy Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy) = x + yFunción BooleanaUna función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si ono. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero devotos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas lasvariables o sus negaciones.El número posible de casos es 2n.Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posiblescasos son:Votos ResultadoABCD1111 11110 11101 1
  • 4. 1100 01011 11010 01001 01000 00111 10110 00101 00100 00011 00010 00001 00000 0Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms)iguales a 1.En nuestro ejemplo la función booleana será:f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCDDiagramas De KarnaughLos diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes,siempre que el número de 1 sea potencia de 2.En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas deKarnaughAplicación e Importancia:Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputobásico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otrasaplicaciones más.Circuitos SecuencialesUn problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones desalida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada, cualquiercambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de
  • 5. propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para"recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda dememoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor hadesaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bitsencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits,ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre deregistro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimientoy contadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementosmencionados es posible construir un microprocesador completo.mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importanciaque se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información digital (por esohablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de lacodificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructurainterna de los ordenadores desde la primera generación.Compuertas Lógicas:Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en lapágina anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza unaoperación, y finalmente, te muestra el resultado.
  • 6. Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación querealiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, vamos con laprimera...Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1(nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de unasola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida. Compuerta NOT.Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entreambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso coincidan. Compuerta ANDAl igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entreambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta OInclusiva es como a y/o b Compuerta OREs OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener mas, claro...!) y lo que hará con ellasserá una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b. Compuerta OR-EX o XOR.