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Aplicaciones de la integral definida. javier david
 

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Áreas y Volúmenes..

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    Aplicaciones de la integral definida. javier david Aplicaciones de la integral definida. javier david Document Transcript

    • Integral definidaLa integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama delas matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en laingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculode áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, RenéDescartes, Newton, Gottfried e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y losaportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, quepropone que la derivación y la integración son procesos inversos. Definición:Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integraldefinida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el ejeOX y la gráfica de f(x) y se notaSi f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se definela integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por lasrectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.
    • La integral definida. Propiedades:Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Entonces setiene: i. ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y c [a, b] entoncesiii. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] entoncesMétodos de Integración Aproximada:  Método del trapecioPara calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental delCálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque seconocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidadconsiderable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodosno son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de laintegración numérica. La integración numérica permite evaluar la integraldefinida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactituddeseada. En este apartado vamos a estudiar el método de integraciónnumérica: la Regla del Trapecio. Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrarla fórmula de interpolación lineal.
    • ba f(a)  f(b)  E b I   f(x)dx  a 2 Respuesta, (error). Regla del trapecioEs un método para integrar numéricamente se denomina así porque el áreadescrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas detrapecios. El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente apartir de la siguiente figura.Eligiendo un espaciadoSe divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciadosTenemos que, las ordenadas de dichos puntos sonEn cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que unelos puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura.La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valorse puede calcular fácilmente.
    • El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapeciosde anchura ho bien, agrupando términosCuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos,menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sinembargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que elordenador maneja números de precisión limitada. Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método del Trapecio.  Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas de x= 2 y x = 8Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x.Luego graficamos
    • Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8Luego aplicamos el método del trapecio:8 (10  x)dx  Tn2 n=5x0  2x1  3.2x 2  4 .4x 3  5 .6x 4  6 .8x5  8x ba  2 n 682 6 3   5  5 5 2 53/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+ (10-8) = 8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2 3/5= 30 u 2
    • Método de Simpson:“Deducción a partir de la ecuación de la parábola”Sabemos que la ecuación de una parábola tiene la siguiente formaEsta parábola delimitada por los limites, uno inferior –h y otro superior h,cuya mitad será 0, tal como se muestra en la siguiente figuraProcedemos a integrar dicha parábola entre los limites –h y h
    • Reemplazamos los limites tenemosSuprimimos los paréntesis obtenemosSimplificamos términosAplicamos algunos artificios matemáticos para acomodar la ecuación, eneste caso sacamos factor común a los dos miembrosQue es nuestra ecuación que denominaremos ecuación Ec.1
    • Ahora bien consideremos la figura anterior, en la que los límites que cortande nuestra curva f(x) coinciden a los puntos de nuestra parábola cortadapor Xi, entonces podemos decir:Entonces para nuestra curva f(x) se puede decir que los valores de f (-h), f(0), f (h) son los siguientes:
    • Que es lo mismo a decirEntonces acomodando convenientemente los términos tenemosMiramos la ecuación Ec.1, la podemos expresar de la siguiente manera, eneste caso descomponemos unos de sus factores:Ahora vemos que podemos reemplazar Ec.2 y Ec.3 en Ec.4. Observemos lostérminos igualesLo reemplazamos y obtenemos lo que buscamosBien con esta ecuación obtendremos el área aproximada de una figura, paracomprobar lo anterior haremos un ejemplo simple de un cálculo de área dela siguiente figura
    • En donde:X0=0X1=2El valor de su área utilizando el cálculo algebraico es el siguiente:Reemplazando los límitesAhora utilizamos el método de SimpsonEjemplo:En donde el valor para de h para nuestros límites es igual a
    • -h=0h=1f(x)=x 2Reemplazamos:  Sólidos de Revolución Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a, b]se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina“área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama“superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie derevolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamentese debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el ejesiempre se puede ubicar en esa posición.
    •  Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curvade f(x) en el intervalo [a, b] en que f(x) es continua es:El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando elárea del círculo se obtiene la expresión previa.Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza elmétodo de los discos y se le denomina método de las arandelas, en este casosi f(x) ≥g(x) en [a, b] limitan la superficie, se tiene:
    • Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor deleje se puede verificarque el volumen de una esfera esTomando la parte superior de la circunferencia yhaciendo rotar la región el eje alrededor del eje se obtieneEjemplo 2: La región limitada por la curva el origen, la recta eleje rotaalrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen sonperpendiculares al eje “y”.Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es paracon lo cual
    •  Volumen de un sólido de revolución (método de los cascarones cilíndricos):El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor deleje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x),tiene un volumen:En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx yaltura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular desuperficie 2πxf(x) y espesor dx.
    • Ejemplo1:  Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región limitada porAl hacer girar la figura sobre el eje “y”, podemos "cortar" discos de altura y el radio sería , entonces:Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lomismo que obtener el volumen a un cilindro.Entonces:Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen totalpara n-discos:Para optimizar hacemos que sea más grande, haciéndola tender al infinito:Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.Resolviendo nos queda
    • Mediante el método de los cascarones cilíndricos:Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar lacircunferencia decentro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro)
    • El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la cE l volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia laque genera el volumen de la parte interior.Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas (producidas porrectángulos paralelos a la rectaEl radio “r” es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada esdecir r=y+1.La altura h=2x,y el espesor con lo cual ( )( ) conduce a laintegral. Integral que se calcula haciendo y al reemplazarCon lo cual (unidadescúbicas).Bibliografía:  http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integral_defi nida_ejff/primera.htm  http://www.compujuy.com.ar/postx.php?id=70