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Elementi Di Geometria (triangoli, rette parallele, quadrilateri)
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Elementi Di Geometria (triangoli, rette parallele, quadrilateri)

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  • 1. Elementi di geometria (triangoli, rette parallele, quadrilateri) Triangoli, definizioni: • Un triangolo avente due lati congruenti è detto isoscele, se tutti e tre i lati sono congruenti si dice equilatero, se i tre lati sono disuguali si dice scaleno. • In un triangolo, si definisce altezza il segmento perpendicolare condotto dal vertice del lato opposto. • La mediana di un lato di un triangolo è il segmento che congiunge il punto medio di esso con il vertice opposto. • La bisettrice di un angolo è il segmento che divide quell’angolo in due parti congruenti: un estremo è contenuto nell’angolo, l’altro sul lato opposto. Criteri di congruenza: • Primo criterio: due triangoli che hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso, sono congruenti. • Secondo criterio: due triangoli che hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra loro compreso, sono congruenti. • Terzo criterio: due triangoli che hanno rispettivamente congruenti i tre lati, sono congruenti. Triangoli isosceli: • In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. • Un triangolo con due angoli congruenti è un triangolo isoscele avente per base il lato adiacente ad essi. • In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base. • In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è pure altezza e bisettrice dell’angolo al vertice. • In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice. Angoli esterni di un triangolo: • In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti. • In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti. Altre considerazioni sugli angoli di un triangolo: • In un triangolo qualsiasi la somma di due angoli interni è minore di un angolo piatto. • Un triangolo non può avere due angoli retti. • Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, anche gli angoli rimanenti sono congruenti. Disuguaglianze di elementi di un triangolo: • Se un triangolo ha due lati disuguali, ha pure disuguali gli angoli opposti e precisamente al lato maggiore sta opposto l’angolo maggiore. • In un triangolo qualunque ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Triangoli rettangoli: • Due triangoli rettangoli sono congruenti se, oltre all’angolo retto, hanno congruenti due elementi che non siano i due angoli acuti.
  • 2. Rette tagliate da una trasversale: • Angoli notevoli: gli angoli α e α', β e β ', γ e γ ', δ e δ' sono angoli corrispondenti, gli angoli α e γ ', δ e β ' si dicono angoli alterni esterni, γ e α', β e δ' sono alterni interni, α' e β, γ e δ' sono angoli coniugati interni, γ ' e δ, α e β ' si dicono coniugati esterni. • Criteri di parallelismo: Date due rette tagliate da un trasversale, basta che solo una tra le coppie di angoli alterni interni / alterni esterni / corrispondenti sia congruente oppure una sola tra le coppie di angoli coniugati interni sia supplementare, consegue la congruenza di tutte le altre coppie di angoli notevoli. Rette parallele: • Due rette di un piano perpendicolari a una stessa retta non hanno alcun punto in comune, sono quindi parallele tra di loro. • Postulato di Euclide: la parallela a una retta data, condotta per un punto esterna ad essa, è unica. • Due rette parallele a una terza sono parallele tra loro. • Due angoli aventi i lati paralleli e concordi o paralleli e discordi sono congruenti; due angoli aventi due lati paralleli e concordi e gli altri due paralleli e discordi, sono supplementari. • Segmenti paralleli compresi fra rette parallele sono congruenti fra loro. • Se due rette sono parallele, tutti i punti dell’una sono equidistanti dall’altra. Parallelogrammi: • In ogni parallelogrammo: i lati opposti sono congruenti, gli angoli opposti sono congruenti, gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari e le diagonali hanno lo stesso punto medio. (Valgono anche i teoremi inversi). • Un quadrilatero che ha una coppia di lati opposti sia paralleli sia congruenti, è un parallelogrammo. Rettangoli: • Un parallelogrammo che ha tutti e quattro gli angoli retti è definito rettangolo. • In un rettangolo le diagonali sono congruenti come un parallelogrammo avente le diagonali congruenti è un rettangolo.