2. • Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de
la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número
real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado
por un número entero (1,2,3,4,5…) o decimal (1.25, 1.78…). En
cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo.
3. HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
la historia de los números complejos se remota desde tiempos atrás. La primera
referencia de raíces cuadradas de números negativos se dio por parte de los
griegos matemáticos como Eron de Alejandría en el siglo I, como resultado de una
imposible sección de una pirámide. Seguidamente Mahaviria de india decía que un
negativo no tenia raíz cuadrada ya que no era cuadrada. En tercer lugar viene
Cardano de Italia en 1545 con esta deducción las soluciones de las ecuaciones
cubicas implican raíces cuadradas de números negativos. Luego viene Descartes de
Francia en 1637 introdujo los términos real e imaginario. Posteriormente en 1748
Euler de Suiza uso i para raíz de menos uno; y finalmente Gauss de Alemania en
1832 introdujo el termino De Numero Complejo. Por otro lado, personajes como
Danés Wessel dio mayor auge aportando la interpretación geométrica de los
números complejos, y el matemático Alemán Euler divulgo en gran medida la
utilización de estos números.
Los números complejos surgieron por la necesidad de y para dar soluciones a las
raíces cuadradas negativas.
4. LA UNIDAD IMAGINARIA
Existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los
números reales, por ejemplo 𝑥2
┼9 = 0 no tiene solución en R ya que
no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9. Para
solucionar problemas en los que aparezcan raíces cuadradas de
números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales
R, construyendo un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un
subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven
las propiedades de las operaciones y todos los números tengan raíz
cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.
Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da -1:
𝑖2
= -1; i= √−1
La ecuación 𝑥2
┼9= 0 tiene que cumplir 𝑥2
=-9
Entonces X= √-9= √9*√1=±3𝑖
5. OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS
La suma y diferencia:
Los números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes
imaginarias entre sí, respectivamente.
• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
• EJEMPLO : (5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
La multiplicacion y la divicion:
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
EJEMPLO:
• (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
6. REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN NUMERO COMPLEJO
Sea z = a + b·i un número complejo en forma biónica. Su expresión en forma
cartesiana es z = (a, b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un
sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le
hacemos corresponder un punto del plano P(a, b); y recíprocamente, dado
ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una
biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los números
complejos C.
El punto del plano P(a, b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el
nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abscisas
recibe el nombre de argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es: |OP| = (a2 + b2)1/2 = |z
que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas.
Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:
sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x
Luego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)
7. • FORMA POLAR:
Para representar un número complejo z n forma
polar se deben considerar el módulo y el
argumento de éste A |z| se le llama módulo y es la
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la
componente real y la componente imaginaria. Se
suele escribir |z| o r y se puede pensar como la
distancia desde el origen hasta el número complejo
z si lo tenemos representado en el plano complejo.
Así pues, se tiene:
|z|= |a+b|= √𝑎2
+ 𝑏2
• a α se le llama el argumento del número
complejo z y es el ángulo que forma el número
complejo z en el eje real (en sentido positivo)
si lo tenemos representado en el plano
complejo. Así pues, se tiene:
β= arctan (
𝑏
𝑎
)
• FORMA TRIGONOMETRICA
Al representar un número complejo como un vector
en la forma ya descrita, éste viene definido de
manera única por dos valores:
MODULO: El módulo de un número complejo es
el módulo del vector determinado por el origen de
coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
z= a+bi
r= |2|= √𝑎2
+𝑏2
ARGUMENTO: Este es el Angulo del numero
complejo.
a= |2|*cos a
b= |2|*sen a
Dividiendo estas dos igualdades
𝑏
𝑎
=
2 ∗sen 𝜷
|2|∗cosβ
= tg 𝜷
FORMA TRIGONOMÉTRICA Y FORMA POLAR.
ESTA EXPRESIÓN, Z = R·(COS X + I·SEN X), RECIBE EL NOMBRE DE FORMA TRIGONOMÉTRICA DE Z, DONDE R ES
EL MÓDULO DE Z Y X SU ARGUMENTO.
DEFINIMOS LA FORMA POLAR DEL NÚMERO COMPLEJO Z = R·(COS X + I·SEN X) COMO RX.
9. • Los números complejos se representan en
unos ejes cartesianos.
• El eje X se llama eje real.
• El eje Y se llama eje imaginario.
• El número complejo a + bi se representa:
• 1 Por el punto (a, b), que se llama su afijo.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN EL PLANO
CARTESIANO
• Los afijos de los números reales se
sitúan sobre el eje real, X.
• Los afijos de los números imaginarios
se sitúan sobre el eje imaginario, Y.
11. La cultura se adquiere leyendo libros; pero el conocimiento del mundo, que es
mucho más necesario, sólo se alcanza leyendo a los hombres y estudiando las
diversas ediciones que de ellos existen.” Lord Chesterfield.
