2. Un punto fijo de una función g , es un número p tal que g(p)= p . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x) = x-g(x) En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en P , entonces la función definida por f(x) = x-g(x) posee un cero en P . El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X 0 y X i +1 genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x) = 0 . A la función g se le conoce como función iteradora . Se puede demostrar que dicha sucesión [X n ]converge siempre y cuando | g´(x)| < 1. METODO DEL PUNTO FIJO
3.
4. EJEMPLO además observe que para toda [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.
5.
6. APLICACIÓN EN EXCEL Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.
7. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier ) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
8. EJEMPLO consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos( x ) = x 3 . Podríamos tratar de encontrar el cero de f ( x ) = cos( x ) - x 3 . Sabemos que f '( x ) = -sin( x ) - 3 x 2 . Ya que cos( x ) ≤ 1 para todo x y x 3 > 1 para x >1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x 0 = 0,5
9. EJEMPLO Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x 6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x 3 ) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.
10. MÉTODO DE SECANTE Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación: 2.10.1 Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson: 2.10.2 2.10.3
![Un punto fijo de una función g , es un número p tal que g(p)= p . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x) = x-g(x) En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en P , entonces la función definida por f(x) = x-g(x) posee un cero en P . El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X 0 y X i +1 genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x) = 0 . A la función g se le conoce como función iteradora . Se puede demostrar que dicha sucesión [X n ]converge siempre y cuando | g´(x)| < 1. METODO DEL PUNTO FIJO](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)