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    178672 segment 001_4d3de4ed6e285 178672 segment 001_4d3de4ed6e285 Document Transcript

    • Projecto IMLNAPromover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra ESTUDO DAS FUNÇÕES NO PROGRAMA DE MATEMÁTICA A COM PROBLEMAS E TAREFAS DE EXPLORAÇÃO Tarefas para o 10.º e o 11.º Anos do Ensino Secundário Materiais de Apoio ao Professor Manuel Joaquim Saraiva Ana Madalena Teixeira Jael Miriam Andrade Setembro 2010
    • Projecto financiado pela FCT – Fundação Materiais divulgados com o apoio dapara a Ciência e Tecnologia, contrato N.º Associação de Professores de Ma- PTDC/CED/65448/2006 temática
    • ÍndiceIntrodução 2 O conceito de função, as diversas representações e as suas conexões 3 As aulas de Matemática com tarefas exploratórias e investigativas 4 Objectivos gerais de aprendizagem 5 10.º Ano: Funções e gráficos. Funções polinomiais. Função Módulo 6 11.º Ano: Funções racionais e com radicais 8 As tarefas apresentadas 10 Referências 11Tarefas 10.º Ano 12 Como comprar uma Playstation Portable? 13 Transformações de funções 27 De quem é a responsabilidade? 43 Funções polinomiais 53Tarefas – 11º Ano 70 Transformações de funções racionais 71 Explorando funções racionais 88 Operações com funções I 107 Operações com funções II 118 1
    • Introdução As tarefas matemáticas apresentadas na presente publicação poderão ser utilizadas pe-los professores dos 10.º e 11.º anos nas suas aulas, para o desenvolvimento do tema das Fun-ções. Para cada tarefa são apresentados os objectivos gerais de aprendizagem, os conhecimen-tos prévios dos alunos, possíveis estratégias de resolução, resoluções de alunos e algumasreflexões sobre elas. São dadas indicações i) sobre as diversas representações das funções, com realce paraa representação gráfica, e ii) sobre a importância das conexões entre elas – através das quaisos alunos poderão adquirir mais significativamente o conceito de função, as suas propriedadese as operações com funções, nomeadamente com as funções racionais. A experiência matemática dos alunos é enriquecida se a sua actividade matemáticacontemplar a resolução de situações do quotidiano, envolvendo o uso das Tecnologias de In-formação e Comunicação (TIC). Cabe sempre ao professor a responsabilidade de decidir sobre as tarefas a propor aosseus alunos. Para tal decisão terá em conta, decerto, a importância que o estudo das funçõestem – não só em termos estritamente matemáticos (por exemplo, para a aprendizagem de con-ceitos fundamentais como o de derivada e de limite), mas também na sua influência para aaprendizagem de conceitos de disciplinas como a Física, a Química, a Biologia e a Economia. Com os materiais apresentados nesta publicação pretendemos mostrar como certos ti-pos de tarefas, usadas regularmente nas aulas de Matemática, podem potenciar a experiênciamatemática dos alunos, promovendo a sua compreensão do conceito de função, o desenvol-vimento da sua capacidade em trabalhar com os vários tipos de representações, com a promo-ção da capacidade de identificar propriedades das funções, incluindo as racionais (domínio,contradomínio, variação, paridade, sinal e assímptotas), e da análise do efeito provocado pelamudança de parâmetros nas famílias de funções (polinomiais e racionais). Procuraremos con-trariar a ideia redutora de que uma função é uma expressão analítica, realçando a importânciados diversos tipos de representações de uma função, nomeadamente a conexão entre eles. É aconselhável que o professor proponha tarefas matemáticas que permitam aos alu-nos explorar, analisar e comparar os vários tipos de representações. 2
    • O conceito de função, as diversas representações e as suas conexões O conceito de função é um dos conceitos mais importantes da Matemática. É extraor-dinário na diversidade das suas interpretações e representações. Porém, os alunos enfrentammuitas dificuldades quando tentam compreendê-lo. Uma função pode ser apresentada aos alunos como sendo uma correspondência entredois conjuntos (o de partida e o de chegada), onde a cada elemento do conjunto de partida(objectos) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (imagens), sendo, destaforma, um conjunto de pares ordenados. A definição de função como uma relação entre duasvariáveis – uma variável é função da outra, y = f ( x) , onde y é função de x – deve tambémser apresentada aos alunos, pois facilitará a compreensão das diversas representações de umafunção. As funções normalmente são conceptualizadas como um tipo especial de relação(Chazan & Yerushalmy, 2003). De facto, toda a equação linear do tipo ax + by = c , com a ca, b ≠ 0 pode ser escrita através de uma equação equivalente, y = − x + , que é, também, b buma função afim numa variável. Para construir uma representação gráfica de uma equaçãolinear com duas variáveis poderá ser útil escrevê-la como uma função linear com uma variá-vel – aliás, o uso da calculadora gráfica a tal exige. As representações são a chave para a aprendizagem conceptual e determinam muitasvezes o que é aprendido. A capacidade de representar e identificar o mesmo conceito em dife-rentes representações permite aos alunos observar relações importantes e desenvolver umacompreensão profunda do conceito. No estudo das funções, é necessário promover a distinçãoentre o conceito de função e os seus diferentes tipos de representação (numérica/tabelar; algé-brica; gráfica; linguagem natural). O uso da representação gráfica tem um papel fundamentalna compreensão de tal distinção. As conexões entre as representações gráficas e as expressõesalgébricas trazem benefícios para a sua compreensão. Entende-se por gráfico de uma função f o conjunto de todos os pares ordenados( x, y ) , em que x pertence ao domínio da função e y é a imagem correspondente, tal que acada x só corresponde um e um só y , podendo este ser ou não o mesmo que um outro ante-rior (ou seja, o gráfico de uma função pertence ao produto cartesiano D f × CD f ); entende-sepor representação gráfica a representação geométrica, num referencial, do gráfico da função;assim, há muitas representações gráficas para um mesmo gráfico; normalmente, e por um 3
    • abuso de linguagem, usa-se indiferentemente o termo gráfico de uma função como sendo umarepresentação gráfica de uma função. Uma das dificuldades dos alunos na compreensão do conceito de função deve-se à du-alidade da sua natureza (Sajka, 2003). De facto, uma função pode ser entendida numa pers-pectiva estrutural – como um objecto –, ou numa perspectiva operacional – como um proces-so. Na primeira, uma função é um conjunto de pares ordenados, enquanto na segunda pers-pectiva uma função é um processo computacional, ou um método bem definido para passar deum sistema para outro. Estas duas perspectivas completam-se uma à outra, constituindo-senuma unidade coerente, tal como as duas faces da mesma moeda. Por exemplo,f ( x ) = 2 x + 3 diz-nos duas coisas ao mesmo tempo: i) apresenta o conceito de função no seutodo, qualquer que seja o argumento (apresentando, assim, o objecto), e ii) indica-nos a formacomo calcular o valor da função para um determinado argumento (evocando o processo). Des-ta forma, poderemos dizer que f ( x ) representa, simultaneamente, quer o nome da função f ,quer o seu valor. Ou seja, no contexto das funções, quando escrevemos y , por vezes estamosa referir-nos à ordenada de um certo ponto do sistema de coordenadas, e, outras vezes, esta-mos a referir-nos a um certo valor da função. A interpretação depende do contexto, o que po-de confundir o aluno. Torna-se, assim, claro que esta notação é ambígua e provoca algumas dificuldades jun-to dos alunos, evidenciando que os contextos nos quais são trabalhados os símbolos funcio-nais nas aulas de Matemática acabam por desempenhar um papel fundamental para as dificul-dades que os alunos apresentam (Sajka, 2003) – muitas das tarefas que os professores pro-põem aos seus alunos são de natureza fechada, e o conceito de função está muitas vezes liga-do ora ao conceito de fórmula, ora ao processo gráfico, para o qual precisam de uma fórmulapara o desenhar. Torna-se urgente que os professores, na sua prática profissional, tenham em conta aambiguidade da notação de uma função, bem como o papel crucial da experiência matemáticados alunos na sala de aula, onde o professor deve propor tarefas matemáticas de natureza maisaberta.As aulas de Matemática com tarefas exploratórias e investigativas Em última análise, aprender Matemática é compreender a sua natureza (Goldenberg,1999). Neste sentido, é muito importante promover a actividade matemática dos alunos, para 4
    • que eles tomem conhecimento dos factos e dos métodos de descoberta matemática que osmatemáticos usam. Assim, é fundamental que os alunos ocupem tempo com a resolução detarefas de exploração e de natureza investigativa, de modo que aprendam a ser investigadoresastutos e, para tal, é necessário que investiguem. Esta ideia está presente nas orientações cur-riculares de muitos países, nomeadamente em Portugal. A chave do desenvolvimento do desempenho matemático dos alunos num certo domí-nio como a Álgebra não é através da criação de um conjunto de procedimentos bem afinados(finely-tuned) cada vez mais elaborado, mas antes pela mudança da natureza do ensino(NCTM, 2000). Não podemos ignorar as concepções dos alunos e é necessário confrontá-loscom as suas contradições. Embora o foco da aprendizagem não deva ser exclusivamente atra-vés da resolução de tarefas exploratórias e investigativas (há outras, como os exercícios), estaspodem conduzir ao envolvimento dos alunos na criação e descoberta genuína de processosmatemáticos (Pereira, 2004; Ponte, Oliveira, Brunheira, Varandas, Ferreira, 1998; Ponte, Oli-veira & Brocardo, 2003; Teixeira, 2005). O papel do professor na promoção da actividade matemática dos alunos é crucial; osseus interesses serão estimulados pelas tarefas matemáticas seleccionadas pelo professor epelas situações e contextos que este promove na sala de aula, bem como pela capacidade emdesenvolver e em conduzir com sucesso a actividade dos alunos. Serão as resoluções das tare-fas matemáticas e das situações que darão a oportunidade aos alunos para desenvolverem oseu raciocínio matemático. O professor, para elaborar tarefas de exploração e investigativas,precisa mobilizar não só teorias e técnicas mas também as suas concepções, os seus sentimen-tos e o seu conhecimento prático (Saraiva, 2001).Objectivos gerais de aprendizagem De acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Secundário (Matemática A),a resolução, pelos alunos, das tarefas seleccionadas pelo professor deve contribuir para o de-senvolvimento do seu pensamento científico, promovendo a intuição, a conjecturação, a expe-rimentação, a prova, a avaliação, bem como o reforço das atitudes de autonomia e de coope-ração. A selecção das tarefas a propor aos alunos deve ter também em conta a importância doalmejar o desenvolvimento da comunicação matemática, do conhecimento da história da Ma-temática, da lógica e do raciocínio matemático, da resolução de problemas e de tarefas explo-ratórias e investigativas, e, ainda, do uso das Tecnologias de Informação e Comunicação. 5
    • Os conhecimentos sobre funções são fundamentais para a compreensão do mundo emque vivemos e, neste ciclo de estudos, eles irão ser ampliados com base no estudo analítico,numérico e gráfico, com níveis progressivos de rigor e formalização. Neste sentido, e de acor-do com documentos de apoio à aplicação do programa de Matemática A (Teixeira, P. et al,1997), é sugerido que o estudo das funções seja feito colocando a ênfase nas abordagens grá-ficas e intuitivas e que se relacionem de forma sistemática as abordagens gráficas e analíticas.Deverá, também, haver realce para o trabalho intuitivo com funções que relacionam variáveisda vida real, da Geometria, da Física, da Economia e de outras disciplinas. O estudo de funções é um tema central a abordar ao longo dos três anos deste ciclo deestudos. Assim, segundo o Programa de Matemática para o Ensino Secundário (MatemáticaA): no 10.º ano far-se-á uma abordagem a generalidades de funções e gráficos bem como oestudo detalhado de algumas funções polinomiais e da função módulo; no 11.º ano, no desen-volvimento do tema Introdução ao Cálculo Diferencial I, proceder-se-á ao estudo das funçõesracionais e com radicais, da taxa de variação média e da derivada; já no 12.º ano, na explora-ção do tema Introdução ao Cálculo Diferencial II, estudar-se-ão as funções exponenciais elogarítmicas, teoria de limites e cálculo diferencial. Em seguida, procura fazer-se uma análise dos principais objectivos gerais de aprendi-zagem e das sugestões didácticas, preconizados no Programa de Matemática para o EnsinoSecundário, para os 10.º e 11.º anos, com especial incidência nos conteúdos abordados nastarefas propostas nesta publicação.10.º Ano: Funções e gráficos. Funções polinomiais. Função Módulo De acordo com o programa para o 10.º ano, aquando do estudo detalhado de algumasfunções polinomiais e da função módulo, resolver-se-ão analítica, gráfica e numericamentealgumas equações e inequações. Neste tema a ênfase deve centrar-se na ligação entre as fór-mulas e as representações geométricas, aspecto que assume particular importância para todosos utilizadores de Matemática. Como é referido, a capacidade de relacionar diferentes modosde representar uma função é uma capacidade fundamental para o mundo de hoje, e do futuro,e, assim, este tema deverá fornecer uma formação para a vida toda, tão básica como a tabua-da. No desenvolvimento deste tema, far-se-á um estudo intuitivo de propriedades das fun-ções e dos seus gráficos, tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora grá-fica, para as seguintes classes de funções: i) funções quadráticas; ii) função módulo. 6
    • As propriedades sugeridas são: domínio, contradomínio, pontos notáveis (intersecçãocom os eixos coordenados), monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), sime-trias em relação ao eixo das ordenadas e à origem, limites nos ramos infinitos. Os alunosdeverão determinar pontos notáveis e extremos tanto de forma exacta como de forma aproxi-mada (com uma aproximação definida a priori) a partir do gráfico traçado na calculadora grá-fica ou computador. No estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos de-vem recorrer a: • análise dos efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos das famílias de funções dessas classes (considerando apenas a variação de um parâmetro de cada vez); • transformações simples de funções: dada a função, esboçar o gráfico das funções defi- nidas por y = f ( x ) + a , y = f ( x + a ) , y = a f ( x ) , y = f ( a x ) e y = f ( x ) , com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso à linguagem das trans- formações geométricas. Como é sugerido, no estudo das famílias de funções os alunos poderão realizar peque-nas investigações. Nestas, é recomendada a utilização da calculadora gráfica como meio in-centivador do espírito de pesquisa e como ferramenta que favorece o estudo e classificação docomportamento de diferentes classes de funções e a elaboração e análise de conjecturas. O estudo das transformações simples de funções deverá ser feito tanto usando papel elápis como calculadora gráfica ou computador; a função f tanto pode ser dada a partir de umgráfico como a partir de uma expressão analítica ou uma tabela. A resolução de problemas deverá ser explorada ao longo do desenvolvimento destetema, nomeadamente quando estes se referem a situações que envolvem funções polinomiais(com particular incidência nas dos graus 2, 3 e 4), e deverá fazer-se uma discussão da possibi-lidade da decomposição de um polinómio em factores. Este assunto será estudado para casossimples, por divisão dos polinómios e recorrendo à regra de Ruffini, fazendo-se a justificaçãodesta regra. Deverá, também, ser dada ênfase especial à Modelação Matemática (por exemplo,usando dados concretos recolhidos por calculadoras gráficas ou computadores acoplados asensores adequados) e à resolução de problemas usando métodos numéricos e gráficos, nome-adamente quando forem usadas inequações. A partir das situações propostas, os alunos deve-rão reconhecer que o mesmo tipo de função pode constituir um modelo para diferentes tiposde situações problemáticas. 7
    • A resolução numérica ou gráfica deverá ser sempre confrontada com conhecimentosteóricos e com a relação entre os diferentes tipos de representações de uma função. Os alunosdeverão ficar conscientes de que a determinação rigorosa de determinados elementos de umafunção, em muitos casos, só poderá ser alcançada pela via analítica (por exemplo, a determi-nação de um zero de uma função f resulta da resolução da equação f ( x ) = 0 , pois a sim-ples observação da abcissa do ponto de intersecção da representação gráfica da função com oeixo Ox nem sempre nos dá o seu valor mas, sim, a certeza da sua existência). Assim, a reso-lução analítica deverá ser usada sempre que a natureza do problema o aconselhar e deverá seracompanhada da verificação numérica ou gráfica. Ao usar a calculadora gráfica ou o computador, os alunos deverão observar que podemser apresentadas diferentes representações gráficas de um mesmo gráfico, variando as escalas;deverão sempre traçar um número apreciável de funções tanto manualmente em papel quadri-culado ou papel milimétrico como usando calculadora gráfica ou computador escolhendo omelhor rectângulo de visualização, ou seja, escolher a melhor representação gráfica para ográfico da função em estudo – é importante que os alunos associem a escolha do melhor rec-tângulo de visualização à construção de uma das muitas possíveis representações gráficas dográfico de uma função. Os alunos deverão ser incentivados a elaborar conjecturas, evitandoconclusões apressadas, sendo sistematicamente treinados na análise crítica de todas as suasconclusões. Os alunos deverão, ainda, estudar situações em que uma descrição qualitativasatisfatória do comportamento da função só é possível com uma representação gráfica múlti-pla (conjunto de representações gráficas em diferentes rectângulos de visualização).11.º Ano: Funções racionais e com radicais Com os conteúdos abordados ao longo do desenvolvimento do tema Cálculo diferen-cial I, pretende-se que os alunos ampliem os conhecimentos do 10.º ano relativos a funções, apartir do uso numérico e gráfico de novas funções – racionais e envolvendo radicais. Na abor-dagem às funções racionais, deve proceder-se ao estudo intuitivo das propriedades das fun-ções e dos seus gráficos, tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora grá- bfica, para a seguinte classe de funções: f ( x) = a + . Deste modo, pretende-se enfatizar cx + da análise dos efeitos das mudanças dos parâmetros nos gráficos das funções de uma mesmafamília. Como é salientado no programa da disciplina, os alunos devem retomar os conheci- 8
    • x2 + 2mentos de polinómios, e devem ser capazes de transformar expressões como em x +1 3 x+3 2( x − 1) + , ou em 1 + , e observar que, do ponto de vista computacional, nor- x +1 x +1 x +1malmente ganha-se em precisão, pois efectua-se um número mais reduzido de operações. Poroutro lado, esta simplificação permitirá que se estude o comportamento no infinito sem neces-sidade de recorrer ao gráfico. Contudo, os alunos deverão efectuar este tipo de transformaçõese, simultaneamente, confirmarem pelo gráfico da função antes de concluírem alguma coisasobre o limite no infinito de uma função racional. Defende-se, porém, que o uso da representação gráfica tem um papel fundamental nacompreensão do conceito de função e das suas propriedades. Neste sentido, as conexões entreas representações gráficas e as expressões algébricas trarão benefícios para a compreensão dasequivalências e das diferenças existentes. As indicações metodológicas apontadas são, aqui, semelhantes às dadas para o 10.ºano. Pretende-se que os alunos recordem propriedades das funções – de preferência num con-texto de modelação matemática. Sugere-se que sejam exploradas as seguintes propriedades:domínio, contradomínio, pontos notáveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e ab-solutos), simetrias em relação ao eixo das ordenadas e à origem, assímptotas, limites nos ra-mos infinitos. A resolução de problemas que envolvem funções é um tópico que atravessa todo o te-ma e deve abranger progressivamente as novas classes de funções. O trabalho a desenvolvercom os alunos deve, também, centrar-se na interligação das resoluções analítica, gráfica enumérica de uma mesma situação e devem, também, ser privilegiadas funções que relacionemvariáveis com significados concretos. Ao resolverem problemas com natureza exploratória e investigativa os alunos depa-rar-se-ão com representantes de novas famílias de funções, que aparecerão como boas oportu-nidades para discutir as noções de domínio de funções nos contextos das situações por elasmodeladas. As operações com funções são abordadas neste tema e estudar-se-á a soma, a diferen-ça, o produto, o quociente e a composição de funções no contexto do estudo das funções raci-onais, envolvendo polinómios do 2.º e do 3.º grau. Far-se-á também o estudo da função inver-sa, procedendo à análise de casos em que será possível inverter uma função e verificando arelação entre os gráficos de uma função e da sua inversa. Este deve ser o ponto de partida para 9
    • o estudo das funções com radicais quadráticos e cúbicos e para a abordagem das operaçõescom radicais quadráticos e cúbicos e com potências de expoente fraccionário. A utilização de exemplos concretos de outras disciplinas (como, por exemplo, da Eco-nomia, da Biologia, da Física e da Química) é impulsionadora de uma exploração em coorde-nação com aquelas disciplinas.As tarefas apresentadas As tarefas apresentadas estão concebidas para uma realização em sala de aula em doismomentos distintos: o primeiro no trabalho autónomo dos alunos (aos pares; ou em grupo; ouindividualmente) e o segundo numa discussão colectiva com toda a turma. Este segundo mo-mento é fundamental, o que leva a que o primeiro seja limitado no tempo. Na discussão colec-tiva cada aluno reflecte sobre o seu trabalho e confronta-o com resoluções e modos de pensarprovavelmente diferentes. Nela, os alunos desenvolvem a sua capacidade de argumentação ede comunicação matemática, permitindo-lhes aprofundar e consolidar os seus conhecimentos.Todos os alunos deverão ter a oportunidade de participar, devendo evitar-se repetições deideias e estratégias já apresentadas por grupos/alunos anteriormente. Claro que, desta forma,ficarão valorizadas quer a diversidade das estratégias, quer a forma como elas são comunica-das e apresentadas, a par da resposta correcta. Se as aulas decorrerem num clima de trabalho agradável e se este for um tipo de aulausual, os alunos rapidamente perceberão que têm oportunidade de expor as suas estratégias eresoluções, bem como as suas dificuldades. Perceberão, ainda, que o facto de eventualmentenão terem concluído a resolução da tarefa no primeiro momento da aula, isso não os impediráde participar no segundo momento. Sugere-se que os professores adaptem as tarefas aqui propostas às características dasua turma, deixando tempo, sempre que possível, para que a discussão colectiva (o segundomomento da aula) seja feita na mesma aula do trabalho autónomo, de modo que a sua resolu-ção esteja presente na memória dos alunos, facilitando uma discussão mais rica. 10
    • ReferênciasChazan, D. & Yerushalmy (2003). On Appreciation the Cognitive Complexity of School Al- gebra: Research on Algebra Learning and Directions of Curricular Change. In Jere- my Kilpatrick, W. Gary Martin e Deborah Schifter (Eds.), A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics, pp. 123-135. EUA: NCTM.Goldenberg, E. P. (1999). Quatro Funções da Investigação na Aula de Matemática. In P. Abrantes, J. P. Ponte, H. Fonseca & L. Brunheira (Eds), Investigações Matemáticas na aula e no currículo (pp. 35-50). Lisboa: APM e Projecto MPT.Ministério da Educação (2004). Programa de Matemática A. Lisboa.NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.Sajka, M. (2003). A secondary school student understands of the concept of function – a case study. Educational Studies in Mathematics, 53, 229-254, 2003.Saraiva, M. (2001). O conhecimento e o desenvolvimento profissional dos professores de Ma- temática (PhD thesis). Lisboa: DEFCUL.Pereira, M. (2004). As Investigações Matemáticas no Ensino-Aprendizagem das Sucessões – Uma experiência com alunos do 11º ano de escolaridade. Dissertação de Mestrado. Covilhã: UBI.Ponte, J. P., Oliveira, H., Brunheira, L., Varandas, J. M. & Ferreira, C. (1998). O trabalho de um professor numa aula de investigação matemática. Quadrante, Vol. 7(2), pp. 41- 70.Ponte, J. P., Oliveira, H. & Borcardo, J. (2003). Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica.Teixeira, A. (2005). Tarefas de investigação matemática no currículo do 7.º ano do 3.º ciclo do ensino básico. Dissertação de Mestrado. Covilhã: UBI.Teixeira, P. (coord.), Precatado, A., Albuquerque, C., Antunes, C. & Nápoles, S. (1997). Fun- ções: Matemática 10.º ano de escolaridade. Lisboa: ME – DES.Teixeira, P. (coord.), Precatado, A., Albuquerque, C., Antunes, C. & Nápoles, S. (1998). Fun- ções: Matemática 11.º ano de escolaridade. Lisboa: ME – DES. 11
    • TAREFAS – 10.º ANO 12
    • COMO COMPRAR UMA PLAYSTATION PORTABLE? A época de saldos começou no fim de Dezembro e os gémeos João e José queremcomprar, a meias, uma PlayStation Portable (PSP). O custo é de 250 euros, pois já vem comdois jogos incluídos, mas encontra-se actualmente em promoção, uma vez que vai surgir umnovo modelo no mercado. Como são fortes defensores do ambiente, os irmãos decidiram fa-zer esculturas com materiais reutilizáveis que tinham em casa (latas, sacos de plástico, tam-pas, …) e vender aos parentes e amigos para conseguirem comprar a playstation e ficaremcom algum dinheiro de reserva. A figura indica a evolução do dinheiro de reserva com que os irmãos iam ficando àmedida que o número de esculturas vendidas ia aumentando, sendo vendidas todas pelo mes-mo preço.1. Com o auxílio da representação gráfica, responda às questões que se seguem, justificando: 1.1. Qual o preço, na promoção, da PSP? 1.2. Qual o preço de cada escultura? 1.3. Determine o lucro obtido com as esculturas vendidas pelos irmãos. 1.4. Escreva um modelo matemático que defina a situação apresentada. 1.5. Se os irmãos tivessem vendido 145 esculturas, com quanto dinheiro ficariam após a compra da PSP?2. Como sabe, as representações gráficas das funções reais de variável real da família f ( x ) = mx + b são rectas. Estude as representações gráficas desta família de funções, in- dicando a influência que nelas têm os parâmetros m e b . 13
    • Conhecimentos prévios dos alunos Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de: Identificar e relacionar objecto e imagem; Observar e interpretar representações gráficas; Identificar expressões algébricas que definem uma função representada por uma recta; Determinar a expressão algébrica de uma recta dados dois pontos da mesma.Aprendizagens visadas Com o trabalho na tarefa Como comprar uma PlayStation Portable?, pretende-se queos alunos desenvolvam a capacidade de analisar e interpretar representações gráficas de fun-ções no contexto de um problema e a capacidade de identificar os efeitos das mudanças deparâmetros nas representações gráficas de famílias de funções afim. Em particular os alunos devem ser capazes de: Observar e interpretar representações gráficas; Fazer o estudo da função afim – função de domínio » tal que f ( x ) = mx + b , com m, b ∈ » – e dos casos particulares da função linear (caso em que b = 0 ) e da função constante (quando m = 0 ): - domínio e contradomínio; - zeros; - sinal e variação da função; Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito, utilizando a notação, simbologia e vocabulário próprios; Formular conjecturas.Orientações para o professor 1. Indicações gerais A tarefa foi planificada para noventa minutos (cinquenta minutos para exploração equarenta minutos para discussão e formalização dos conceitos abordados na tarefa). 14
    • Como comprar uma PlayStation Portable? Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados 90 min 50 min 40 min Na exploração da tarefa pretende-se que os alunos, numa primeira fase, analisem a re-presentação gráfica e procurem contextualizá-la e dar-lhe significado à medida que vão reflec-tindo e respondendo às questões formuladas e, numa segunda fase, explorem algumas famíliasde funções afins, com o auxílio da calculadora. Durante os quarenta minutos seguintes serão confrontadas e discutidas as ideias e res-postas às questões, assim como os processos utilizados pelos alunos. Durante este período, oprofessor poderá formalizar os conceitos estudados ao longo da aula. Nesta tarefa os alunos podem trabalhar aos pares ou em grupos de três elementos epretende-se que, juntamente com as respostas, elaborem um pequeno relatório que reflictacada pensamento e raciocínio seguido na resolução da tarefa. Esta tarefa permite ao aluno a identificação de algumas características desta função –por exemplo, objectos, imagens, domínio, contradomínio, zeros – a partir de uma situaçãoadaptada da vida real. A tarefa possibilita ainda o desenvolvimento de diferentes estratégiasna resolução das questões que envolvem representações de funções e relações entre as mes-mas, assim como a manifestação de algumas dificuldades que possam existir na interpretaçãoda representação gráfica e resolução das questões. 2. Algumas explorações Através do primeiro conjunto de questões, os alunos podem desenvolver a capacidadede analisar funções, observando e interpretando a representação gráfica que é indicada. Po-dem começar por observar que esta representação é um conjunto discreto de pontos, definidospor pares ordenados (segundo o número de esculturas vendidas). Observando o gráfico, os alunos devem concluir directamente que o valor da PSP é100 euros, já que, quando o número de esculturas é zero, a “dívida” dos irmãos é 100€. Como os gémeos tinham que vender 50 esculturas para ficarem sem a “dívida”, ou se-ja, os 100€, então cada escultura tinha que custar, aproximadamente, 2 euros (para obter estevalor, basta dividir 100 por 50). Além disso, como venderam 120 esculturas, os irmãos conse-guiram acumular 140 euros ( 120 × 2 − 100 = 140 ). 15
    • O modelo matemático que define a situação apresentada pode ser determinado da se-guinte forma: seja n o número de esculturas vendidas e l o lucro obtido pelos irmãos, emeuros. Tem-se dois pontos cujas coordenadas são conhecidas: ( 0; −100 ) e (120;140 ) . Então,um modelo que pode traduzir a situação é l = 2n − 100 , com n ∈ » 0 e 0 ≤ n ≤ 120 . Fazendo um prolongamento da função anterior, substituindo n por 145, obtém-se olucro com que os gémeos ficariam após a compra da PSP: l = 2 × 145 − 100 ⇔ l = 190 ,ou seja, lucraram 190 euros. Na segunda questão desta tarefa, os alunos devem escolher vários valores a atribuiraos parâmetros m e b de modo a identificar propriedades comuns nas diferentes famílias defunções afins, observando as alterações nas representações gráficas das novas funções relati-vamente à mudança do parâmetro. Os alunos devem fixar inicialmente um dos parâmetros e analisar o outro, atribuindo acada um deles diferentes valores e analisando as representações gráficas que resultam da vari-ação do parâmetro em causa. Por exemplo, usando o modelo determinado na questão anterior, tem-se a expressãoy = 2 x − 100 , em que b = −100 . Fixando este valor de b e fazendo variar o parâmetro m ,tem-se a expressão y = m x − 100 . Podem, então, obter-se as seguintes representações gráficaspara m > 0 , para m < 0 e para m = 0 , respectivamente: Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = mx − 100 , com m > 0 16
    • Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = mx − 100 , com m < 0 Representação gráfica do elemento da família de funções y = mx − 100 , com m = 0 Observando as representações gráficas, os alunos podem identificar algumas caracte-rísticas e propriedades das funções correspondentes, como as que se sintetizam no quadro dapágina seguinte. Desta forma, os alunos podem indicar que o domínio de qualquer função da formay = mx − 100 é todo o conjunto » ; o contradomínio é » no caso de m ≠ 0 ; já para m = 0 , ocontradomínio é, neste caso, {− 100} (pois o declive nulo indica que a recta representativa dográfico da função é paralela ao eixo das abcissas, pelo que todos os objectos têm como cor-respondência um único valor). Os alunos devem observar também que o ângulo que a recta faz com o eixo das abcis-sas aproxima-se cada vez mais de 90º à medida que aumentam os valores absolutos atribuídosao parâmetro m . O valor de m influencia a inclinação da recta, embora não afecte a ordenadana origem. Além disso, o sinal do valor atribuído a m determina se a função é crescente, de- 17
    • crescente ou constante, mas não afecta a monotonia; a injectividade de cada função apenas éafectada se m toma o valor zero. y = mx − 100 m>0 m=0 m<0 Domínio: » ; Domínio: » ; Domínio: » ; Contradomínio: » ; Contradomínio: Contradomínio: » ; {−100} ; A função é crescente; A função é decrescente; A função é constante; As imagens tomam valores As imagens tomam va- negativos no intervalo de lores positivos no inter- A função não tem zeros − ∞ a x0 e valores positi- (neste caso, b = −100 ); valo de − ∞ a x0 e valo- res negativos no interva- vos no intervalo de x0 a As imagens tomam lo de x0 a + ∞ , sendo + ∞ , sendo x0 o zero da sempre valores negati- x0 o zero da função; função; vos pois b é negativo; Embora m varie, as orde- Embora m varie, as A recta é paralela ao ordenadas na origem, nadas na origem, das rectas eixo das abcissas. que representam cada uma das rectas que represen- das funções da família, tam cada uma das fun- coincidem; ções da família, coinci- dem; A recta faz um ângulo agu- do com o semi-eixo positi- A recta faz um ângulo vo das abcissas; obtuso com o semi-eixo positivo das abcissas; Quanto maior é o valor absoluto de m , mais incli- Quanto maior é o valor nada é a recta (a amplitude absoluto de m , a ampli- do ângulo que a recta faz tude do ângulo que a com o semi-eixo positivo recta faz com o semi- das abcissas aproxima-se eixo positivo das abcis- cada vez mais de 90º). sas aproxima-se cada vez mais de 90º. 18
    • Numa segunda fase, os alunos devem fixar o parâmetro que estudaram antes (neste ca-so, m ) e estudar a influência do outro (neste caso, b ), atribuindo-lhe diferentes valores e ana-lisando as representações gráficas que resultam da sua variação. Fixando um valor para m (utilizando o exemplo anterior, m = 2 , correspondente aovalor que se tinha determinado a partir da representação gráfica) e fazendo variar o parâmetrob , tem-se a expressão y = 2 x + b . Podem então obter-se as seguintes representações gráficaspara b > 0 e para b < 0 , respectivamente, tomando como referência y = 2 x (em que b = 0 ): Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = 2 x + b , com b > 0 Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = 2 x + b , com b < 0 Observando as representações gráficas, os alunos podem identificar algumas caracte-rísticas e propriedades das funções correspondentes, como as que se sintetizam no quadrocomo o que a seguir se apresenta: 19
    • y = 2x + b b>0 b=0 b<0 Domínio: » ; Domínio: » ; Domínio: » ; Contradomínio: » ; Contradomínio: » ; Contradomínio: » ; As sucessivas variações de A função toma o valor As sucessivas variações de b dão origem a rectas para- zero quando x é zero; b dão origem a rectas pa- lelas; ralelas; Quanto maior é o valor de A função representa b , maior é o comprimento uma situação de propor- Quanto maior é o valor do vector ( 0, b ) , que deter- cionalidade directa. absoluto de b , maior é o comprimento do vector mina a translação vertical da representação gráfica de ( 0, b ) , que determina a y = 2 x + b relativamente à translação vertical da re- representação gráfica de presentação gráfica de y = 2x . y = 2 x + b relativamente à representação gráfica de y = 2x . Desta forma, os alunos podem indicar que o domínio de qualquer função da formay = 2 x + b é todo o conjunto » , bem como o contradomínio. Ou seja, o valor do parâmetrob não afecta o domínio ou o contradomínio das funções daquela família. Os alunos devem observar também que quanto maior é o valor absoluto de b , maior éo afastamento da representação gráfica relativamente à origem, pois existe uma translaçãovertical associado ao vector ( 0, b ) , tomando como referência a representação gráfica da fun-ção y = 2 x . Além disso, as representações gráficas das funções obtidas através das sucessivasvariações de b são paralelas, pois o valor deste parâmetro não influencia a inclinação da rec-ta. Podem, ainda, observar que o ponto de intersecção das rectas representativas de cada umadas funções com o eixo Oy varia de acordo com o valor atribuído ao parâmetro b , ou seja,que este influencia a ordenada na origem. Por outro lado, o sinal do valor atribuído a b nãoinfluencia a monotonia ou a injectividade da função. 20
    • Explorações de Alunos Nesta tarefa é pedido aos alunos que analisem e interpretem a representação gráfica,escrevam uma expressão algébrica que represente a situação e estudem a influência que osparâmetros das representações algébricas têm nas representações gráficas de uma família defunções do tipo f ( x ) = mx + b . Na resolução da primeira questão, os alunos devem observar e analisar a representaçãográfica e, posteriormente, avaliar quais os objectos, quais as imagens e a que eixos correspon-dem, e, também, relacionar objecto e imagem – o que os alunos fazem com alguma facilidade,particularmente quando se trata de uma situação de contexto próximo do real. Na questão 1.1, especificamente, os alunos podem identificar a imagem que corres-ponde ao objecto zero: Nas questões 1.2 e 1.3 os alunos devem relacionar objectos e imagens a partir de de-terminada representação da função. Por exemplo, perante a questão de como saber o preço daescultura, os alunos podem identificar o preço da escultura através da análise da representaçãográfica. 21
    • Após o estabelecimento dessa relação, os alunos podem utilizar o resultado na questãoseguinte, para saber o lucro que tiveram com a venda das esculturas. O professor deve estar atento às resoluções dos alunos, no sentido de verificar quais assuas dificuldades na observação da representação gráfica, e aos raciocínios que estabelecemnesta primeira fase da tarefa. De facto, estas questões servem de base para todo o trabalhoposterior, tanto com a representação gráfica fornecida no enunciado como com outros tipos derepresentação (como algébrica ou tabelar), pelo que uma boa interpretação inicial promoveráuma boa resolução em seguida. Após a análise da correspondência entre alguns objectos e as respectivas imagens, osalunos devem também relacionar algumas das representações da função. Como tal, na questão1.4, perante a representação gráfica e usando os objectos e respectivas imagens observados, osalunos devem escrever a expressão algébrica que traduz a situação apresentada pelo problema,recorrendo a conhecimentos anteriores com os quais já estão familiarizados. 22
    • Mesmo com o raciocínio correcto, a observação errada de objectos e imagens, focadanas questões anteriores, pode fazer com que os alunos descrevam uma representação algébricaque não traduz o problema. É pertinente ter-se em conta que a passagem da representação gráfica para a represen-tação algébrica nem sempre é fácil para os alunos. Como tal, na fase de discussão de resulta-dos o professor deve enfatizar a importância de terem em atenção os diversos passos na pro-cura de um modelo matemático que represente a situação. O professor deve então esclarecer os alunos sobre a importância da escolha correcta deobjectos e imagens na resolução do problema, bem como incentivá-los a verificar, com algunsvalores concretos, se o modelo matemático que definiram é o adequado à representação gráfi-ca apresentada no enunciado. Após definirem a expressão algébrica que traduz o modelo matemático da situaçãoapresentada pelo problema, os alunos devem utilizá-la para determinar uma imagem a partirde um objecto dado. 23