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Ejercicios detallados del obj 8 mat i (175 176-177
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Ejercicios detallados del obj 8 mat i (175 176-177

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Ejercicios detallados del obj 8 mat i (175 176-177) Universidad Nacianal Abierta

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  • 1. Capitulo IMatemática IObjetivo 8. Efectuar problemas que involucren límites de funciones.Ejercicio 1Calcula el siguiente límite:22 5lim3xxx x→∞−−SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite paraconocer la forma indeterminada que enfrentamos:( ) ( ) ( ) ( )22 5 2 5 2 5 5lim lim3 3 1 3 1 1x xx xx x x x→∞ →∞− − ×∞ − ∞ − ∞ ∞= = = = =− − ∞× ×∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞NOTA 1: En este caso factorice el denominador para que apreciarasclaramente que la expresión 23x x− da como resultado ∞ cuando la variablecrece indefinidamente, es decir, cuando se sustituye x por ∞ .NOTA 2: Recuerda que000 00 Forma indeterminadakk ksi ksi ksi k > → ∞ = ∞∞ = < → ∞ = = → ∞ =Ojo conESTO.Este límite es una forma indeterminada del tipo:∞∞, por lo tanto pararesolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 2x .Así:Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado22 5lim3xxx x→∞−−Límite original2222 5lim3xxxx xx→∞−−Se divide tanto el numerador como eldenominador entre el término demayor grado, en este caso 2x2 222 22 5lim3xxx xx xx x→∞−−Se aplico la propiedad para lasfracciones de igual denominador, asaber:a b a bc c c+= +
  • 2. 2limxx→∞2x2253xx−2xx− 2xSe procede a simplificar la variable x22 5lim13xx xx→∞−−Resultado final de simplificar22 513−∞ ∞−∞A esta altura se sustituye el ∞ en lavariable x . FIJATE que no se escribelimx→∞después de sustituir.0 03 0−−Todo número dividido entre ∞ es iguala cero. Además 2∞ = ∞03Simple suma algebraica0Cero entre cualquier número es cero,excepto el cero, es decir:{ }( )00 0kk= ∈ −ℝRespuesta: 22 5lim 03xxx x→∞−=−Ejercicio 2Dada una función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por231( )xf xx−= cuya gráfica es:Que podemos decir acerca de su lim ( )xf x→∞Solución
  • 3. Justificación: Gráficamente se observa que a medida que x creceindefinidamente, la función se acerca a cero. Para comprobar este hecho,procedemos a calcular el límite de la función dada, cuyo procedimiento esidéntico al ejercicio anterior. Primero sustituyamos el valor al cual tiende ellímite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos:2 23 31 1 1limxxx→∞− ∞ − ∞ − ∞= = =∞ ∞ ∞Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado231limxxx→∞−Límite original23331limxxxxx→∞− Se divide tanto el numerador como eldenominador entre el término demayor grado, en este caso 3x23 3331limxxx xxx→∞−Se aplico la propiedad para lasfracciones de igual denominador, asaber:a b a bc c c+= +2limxx→∞3x331xx−3xSe procede a simplificar la variable x31 1lim1xx x→∞−Resultado final de simplificar31 11−∞ ∞A esta altura se sustituye el ∞ en lavariable x . FIJATE que no se escribelimx→∞después de sustituir.0 01− Todo número dividido entre ∞ es iguala cero. Además 3∞ = ∞01Simple suma algebraica0Cero entre cualquier número es cero,excepto el cero, es decir:
  • 4. { }( )00 0kk= ∈ −ℝDe manera que corroboramos lo ya apreciado en la gráfica.Respuesta: Podemos decir que la función tiende a anularse a medidaque la variable x crece indefinidamente.Ejercicio 3Sea la función3 223 4 12( )6x x xf xx x− − +=− −entonces al calcular los límites:( ) ( )xfxfx -2x3limylim→→resultan:. 1 4 . 1 4 . 1 4 . 1 4a y b y c y d y− − − −Sugerencia: Determine el dominio de la función, y trate de factorizar elnumerador y el denominador para simplificar esta expresión.SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite paraconocer la forma indeterminada que enfrentamos:Caso 1 ( )3limxf x→( ) ( )3 23 22 23 33 3 3 4 3 123 4 12 27 27 12 12 0 0lim ( ) lim6 3 3 6 9 3 6 6 6 0x xx x xf xx x→ →− − +− − + − − += = = = =− − − − − − −Caso 2 ( )2limxf x→−( ) ( ) ( )( ) ( )3 23 2222 22 3 2 4 2 123 4 12 8 12 8 12 0 0lim ( ) lim6 4 2 6 6 6 02 2 6x xx x xf xx x→− →−− − − − − +− − + − − + += = = = =− − + − −− − − −NOTA: Debes tener especial cuidado al hacer estos cálculos, si tienesproblemas repasa la clase 2 teórica sobre la regla de los signos.Por lo tanto en ambos casos, estamos en presencia de la formaindeterminada00y como la función dada consta de 2 polinomios, se debeFACTORIZAR.Para factorizar tanto en el numerador como en el denominador de lafunción dada, procederemos de la siguiente manera:
  • 5. Numerador de ( )f xTenemos el polinomio 3 23 4 12x x x− − + , como es de grado 3, aplicamosRuffini, claro, lee bien lo que a continuación te diré: PARA NO TANTEAR CON LOSDIVISORES DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE, COMENZAREMOS POR ELVALOR AL CUAL TIENDE EL LÍMITE, YA QUE EN DICHO VALOR SE ANULAEL POLINOMIO, ES DECIR, COMENZAREMOS A PROBAR POR 3 Y LUEGOPOR 2− , REPITO PORQUE SABEMOS PREVIAMENTE QUE EL POLINOMIO SEANULA EN ESTOS VALORES, POR LO TANTO SON RAÍCES DEL MISMO.Así tenemos que las raíces del polinomio 3 23 4 12x x x− − + son1 2 3, y 23 2x x x−= = = .Para factorizar cambiamos el signo de las raíces y escribimos:( )( )( )3 23 4 12 23 2x x x x x x−− − = + −+Denominador de ( )f xEn este caso tenemos el polinomio 26x x− − , como es de grado 2,podríamos aplicar la resolvente242b b acxa− ± −= , pero, y lee bien lo que acontinuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN LOS VALORES 3 Y 2− , ESTEPOLINOMIO SE ANULO, POR LO TANTO ESTAS SON LAS RAÍCES, así:1 2 23,x x = −= , factorizando tenemos:( )( )26 23x x x x− − = +−
  • 6. Como ya factorizamos ambos miembros de ( )f x , procedemos arecalcular los límites planteados:Caso 1 ( )3limxf x→( )( )( )( )( )( )3 223 3 333 2 23 4 12lim lim lim6 3 2x x xxx x xx x xx x x x→ → →−− + −− − += =− − − +( )2x + ( )( )23xx−− ( )2x +( )3lim 2 3 2 1xx→= − = − =Caso 2 ( )2limxf x→−( )( )( )( )( )( )3 222 2 233 2 23 4 12lim lim lim6 3 2x x xxx x xx x xx x x x→− →− →−−− + −− − += =− − − +( )2x + ( )( )23xx−− ( )2x +( )2lim 2 2 2 4xx→−= − = − − = −Respuesta: Como3lim ( ) 1xf x→= y2lim ( ) 4xf x→−= − la opción correcta es la c.Ejercicio 4Calcule el valor del límite de la siguiente función:32 35lim4 6xx xx x→∞−+SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite paraconocer la forma indeterminada que enfrentamos:( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2232 3 2 3 2 31 51 5 15lim lim4 6 4 6 4 6x xx xx xx x x x→∞ →∞∞× − ∞− ∞× − ∞ ∞× −∞− ∞= = = = = −+ + ∞ + ∞ ∞ ∞∞ + ∞NOTA 1: En este caso factorice el numerador para que apreciaras claramenteque la expresión 35x x− da como resultado −∞ cuando la variable creceindefinidamente, es decir, cuando se sustituye x por ∞ .Este límite es una forma indeterminada del tipo:∞∞(el signo menosadelante no importa ya que es una constante, es decir, el menos es realmente1− ), por lo tanto para resolverlo, debemos dividir entre el término de mayorgrado, en este caso; 3x . Así:Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado32 35lim4 6xx xx x→∞−+Límite original332 335lim4 6xx xxx xx→∞−+Se divide tanto el numerador como eldenominador entre el término demayor grado, en este caso 3x
  • 7. 33 32 33 35lim4 6xx xx xx xx x→∞−+Se aplico la propiedad para lasfracciones de igual denominador, asaber:a b a bc c c+= +limxx→∞3x35 x− 3x24 x3x36 x+ 3xSe procede a simplificar la variable x215lim46xxx→∞−+Resultado final de simplificar21546−∞+∞A esta altura se sustituye el ∞ en lavariable x . FIJATE que no se escribelimx→∞después de sustituir.0 50 6−+Todo número dividido entre ∞ es iguala cero. Además 2∞ = ∞5 56 6−= − Simple suma algebraicaRespuesta:32 35 5lim4 6 6xx xx x→∞−= −+Ejercicio 5Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos partes.Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una Fsi son falsos:Justifica tus respuestasa. Al calcular los límites laterales de una función en un punto, y estos existenpero son diferentes, podemos afirmar que existe el límite de la función______.b. El límite de una función en un punto, si existe, este es único ______.c. Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que lafunción esté definida en ese punto _______.
  • 8. SoluciónJustificación:a) Esta opción es falsa, ya que existe la siguiente condición deexistencia de límites de funciones:El límite de una función existe si y solo si los límites laterales sonigualesb) Es totalmente verdadero, y nos apoyamos en el teorema que dice: Siel límite de una función existe es único.c) Esto es falso, porque al calcular límites, nos interesa conocer elcomportamiento de la función tan cerca de un punto como queramospero no exactamente en el punto, por ende al acercarnos por laizquierda y por la derecha podemos perfectamente tener límiteslaterales iguales y por lo tanto existir el límite, más no es necesarioque la función este definida en el punto.Respuesta:a. Fb. Vc. FEjercicio 6Calcule:2217 6lim3 2xx xx x→−+ ++ +Sugerencia: Factorizar el numerador y el denominador del cociente227 63 2x xx x+ ++ +SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite paraconocer la forma indeterminada que enfrentamos:( ) ( )( ) ( )222211 7 1 67 6 1 7 6 7 7 0lim3 2 1 3 2 3 3 01 3 1 2xx xx x→−− + − ++ + − + −= = = =+ + − + −− + − +NOTA: Debes tener especial cuidado al hacer estos cálculos, si tienesproblemas repasa la clase 2 teórica sobre la regla de los signos.
  • 9. Por lo tanto, estamos en presencia de la forma indeterminada00y comola función dada consta de 2 polinomios, se debe FACTORIZAR tal como sesugiere.Para factorizar tanto en el numerador como en el denominador de lafunción dada, procederemos de la siguiente manera:Numerador de ( )f xEn este caso tenemos el polinomio 27 6x x+ + , como es de grado 2,podríamos aplicar la resolvente242b b acxa− ± −= , pero, y lee bien lo que acontinuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN EL VALOR 1− , ESTEPOLINOMIO SE ANULA, POR LO TANTO ESTA ES UNA RAÍZ, así: 1 1x = − , ypara hallar la segunda raíz, se aplica Ruffini:Así, la otra raíz es: 2 6x = − , por lo tanto la factorización del numerador es:( )( )27 6 1 6x x x x+ + = + +Denominador de ( )f xEn este caso tenemos el polinomio 23 2x x+ + , como es de grado 2,podríamos aplicar la resolvente242b b acxa− ± −= , pero, y lee bien lo que acontinuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN EL VALOR 1− , ESTEPOLINOMIO SE ANULA, POR LO TANTO ESTA ES UNA RAÍZ, así: 1 1x = − , ypara hallar la segunda raíz, se aplica Ruffini:
  • 10. Así, la otra raíz es: 2 2x = − , por lo tanto la factorización del denominador es:( )( )23 2 1 2x x x x+ + = + +Como ya factorizamos ambos miembros de ( )f x , procedemos arecalcular el límite planteado:( )( )( )( )( )221 1 111 67 6lim lim lim3 2 1 2x x xxx xx xx x x x→− →− →−++ ++ += =+ + + +( )( )61xx++ ( )( )( )( )( )16 1 6 5lim 52 1 2 12 xxxx →−+ − += = = =+ − ++Respuesta:2217 6lim 53 2xx xx x→−+ +=+ +Ejercicio 7Calcule el siguiente límite:203 2limxx xx→−SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocerla forma indeterminada que enfrentamos:( ) ( )( )2203 0 2 03 2 0 0 0lim0 0 0xx xx→−− −= = =Como tenemos esta forma indeterminada, y dos polinomios en elnumerador y denominador, procedemos a factorizar:Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado203 2limxx xx→−Límite original( )03 2limxx xx→− Se extrajo factor común en elnumerador0limxx→( )3 2xx− Se simplifica los términos semejantes,en este caso x
  • 11. ( )0lim 3 2xx→− Resultado final de simplificar( )3 0 2−A esta altura se sustituye el 0 en lavariable x . FIJATE que no se escribe0limx→después de sustituir.0 2 2− = −Se calculó el producto por cero y lasencilla suma algebraicaRespuesta:203 2lim 2xx xx→−= −Ejercicio 8Dada la función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por323 6 si 1( )2 9 si 1x x xf xx x x + + ≤ −= + + > −.¿Existe1lim ( )xf x→−?SoluciónJustificación: En este caso estamos en presencia de una función atrozos y nos preguntan si el límite existe, en este tipo d situaciones esrecomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son iguales ellímite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no existe.Es bueno que manejes la siguiente terminología:
  • 12. Entonces en este caso, se tiene:Límite cuando equis tiende a menos uno por la izquierda( ) ( ) ( )331 1lim ( ) lim 3 6 1 3 1 6 1 3 6 6 4 2x xf x x x− −→− →−= + + = − + − + = − − + = − =Límite cuando equis tiende a menos uno por la derecha( ) ( ) ( )221 1lim ( ) lim 2 9 1 2 1 9 1 2 9 10 2 8x xf x x x+ +→− →−= + + = − + − + = − + = − =Como los límites laterales son diferentes, el1lim ( )xf x→−no existe.Respuesta: El1lim ( )xf x→−no xiste.Ejercicio 9Calcule el valor de4 25 33 2 1lim3nn nn n→∞− +−SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite paraconocer la forma indeterminada que enfrentamos:( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )2 22 24 25 3 3 2 3 23 2 13 2 1 2 13 2 1 1 1lim lim3 33 3n nn nn nn n n n→∞ →∞∞ ∞ − +− + ∞ ∞ − +− + ∞×∞ + ∞ + ∞= = = = = =− ∞ ∞ − ∞×∞ ∞ ∞− ∞ ∞ −Este límite es una forma indeterminada del tipo:∞∞, por lo tanto para resolverlo,debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 5n . Así:Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado4 25 33 2 1lim3nn nn n→∞− +−Límite original4 255 353 2 1lim3nn nnn nn→∞− +−Se divide tanto el numerador como eldenominador entre el término demayor grado, en este caso 5n4 25 5 55 35 53 2 1lim3nn nn n nn nn n→∞− +−Se aplico la propiedad para lasfracciones de igual denominador, asaber:a b a bc c c+= +
  • 13. 43limnn→∞5n22 n− 5n551nn+5n33n− 5nSe procede a simplificar la variable n3 523 2 1lim31nn n nn→∞− +−Resultado final de simplificar3 523 2 131− +∞ ∞ ∞−∞A esta altura se sustituye el ∞ en lavariable n . FIJATE que no se escribelimn→∞después de sustituir.0 0 01 0− +−Todo número dividido entre ∞ es iguala cero. Además:235∞ = ∞∞ = ∞∞ = ∞01Simple suma algebraica0Cero entre cualquier número es cero,excepto el cero, es decir:{ }( )00 0kk= ∈ −ℝRespuesta:4 25 33 2 1lim 03nn nn n→∞− +=−Ejercicio 10Calcula el siguiente límite:4 244 3 2 3lim7 9xx x xx x→∞− + −− +.SoluciónJustificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocerla forma indeterminada que enfrentamos:( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )2 22 24 24 3 34 3 2 34 3 2 34 3 2 3lim lim7 9 7 1 9 7 1 94 3 3 3 37 1 9 1 9 9 9x xx x xx x xx x x x→∞ →∞∞ ∞ − + ∞ −− + −− + −= = =− + − + ∞ ∞ − +∞ ×∞ − + ∞ − ∞ ∞ − + ∞ − ∞ ∞ + ∞ ∞ + ∞ ∞= = = =∞ ×∞ − + ∞ ∞ − + ∞ ∞ + ∞ + ∞
  • 14. Este límite es una forma indeterminada del tipo:∞∞, por lo tanto pararesolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 4x .Así:Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado4 244 3 2 3lim7 9xx x xx x→∞− + −− +Límite original4 24444 3 2 3lim7 9xx x xxx xx→∞− + −− +Se divide tanto el numerador como eldenominador entre el término demayor grado, en este caso 4x4 24 4 4 444 4 44 3 2 3lim7 9xx x xx x x xx xx x x→∞− + −− +Se aplico la propiedad para lasfracciones de igual denominador, asaber:a b a bc c c+= +44limxx→∞4x23 x− 4x2 x+ 4x4437xx−4xx− 4x49x+Se procede a simplificar la variable x2 3 43 43 2 34lim1 97xx x xx x→∞− + −− +Resultado final de simplificar2 3 43 43 2 341 97− + −∞ ∞ ∞− +∞ ∞A esta altura se sustituye el ∞ en lavariable x . FIJATE que no se escribelimx→∞después de sustituir.2 3 43 43 2 341 97− + −∞ ∞ ∞− +∞ ∞Todo número dividido entre ∞ es iguala cero. Además 2∞ = ∞ , 3∞ = ∞ y4∞ = ∞4 0 0 0 47 0 0 7− + −=− +Simple suma algebraicaRespuesta:4 244 3 2 3 4lim7 9 7xx x xx x→∞− + −=− +
  • 15. A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tueres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelosaber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que enmi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante elestudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelenteeditor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, oescanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuestaa la brevedad posible.Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberásjustificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importanteque tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempredando justificación y luego la respuesta.EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicio 1Calcula el siguiente límite:22452lim2+−→ xxxxEjercicio 2Dados p y q números reales tal que 0q ≠ , si:1lim nnap→∞= y lim nnb q→∞=entonces se cumple que: ( )lim n nna b→∞+ =a.1pqp+b. 1pqq+c.p qp+d.p qq+Ejercicio 3Dada la función :f +→ℝ ℝ definida por ( ) 1f x x= + . Calcula:( ) ( )02 2limhf h fh→+ −
  • 16. Ejercicio 4Calcule el valor del límite77 31 4lim12nnn n→∞−+.Ejercicio 5Dada la función { }: 1f − →ℝ ℝ la función definida por:21( )1xf xx−=−donde denota el valor absoluto, determina si existe límite en 1x = .Ejercicio 6Calcule233lim9xxx−→−−.Ejercicio 7Calcular el límite 242lim16xxx→−−.Ejercicio 8Sea :f +→ℝ ℝ definida por ( ) 1f x x= + . Calcula:1( ) (1)lim1xf x fx→−−Ejercicio 9Hallar el valor de la constante “k” para que el límite de la función exista en0 1x = dada por:1 si 1( )3 si 1kx xf xx x− ≤= >Ejercicio 10Dada la función234( )4xf xx x−=−:a. Calcula el límite de ( )f x , por la izquierda de 2x = .b. Calcula el límite de ( )f x , por la derecha de 2x = .c. ¿Existe el límite de f (x) cuando 2x = ? Explica.

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