Este documento presenta la solución de tres ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. En el primer ejercicio, se calcula la derivada de una función compuesta aplicando la regla de la cadena. En el segundo ejercicio, se calcula la derivada de una función que es el producto de dos funciones aplicando la fórmula de derivada de un producto. Finalmente, en el tercer ejercicio se verifica si una función cumple las hipótesis del teorema de Rolle para un intervalo dado.

1. Capitulo II
Matemática II
Objetivo 4. Efectuar problemas aplicando la definición o propiedades de
la derivada de una función.
Ejercicio 1
Calcular la derivada de la función:
 2

x e
=  - 
3 ( ) cos
f x sen x
ln
x
 
.
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una función
compuesta, por ende se aplica la derivada en cadena, se sabe que es
compuesta porque el argumento de la función seno es la función
 x 2
e

3  - cos
x

 ln
x

.
En este caso aplicamos la propiedad o fórmula de derivación siguiente:
( ) ( ) ( ) ' '
sen u  = u icos u
Si comparamos la función dada con esta fórmula, observamos:
s x
( )
2
3 cos
x e
ln
x
sen
u
en
 
 -

 
Que u es
2
= - cos
3 , por lo tanto, al sustituir en la fórmula de
x e
u x
ln
x
derivación dada, se tiene:
( ) ( ) ( ) ' '
 s
en
u  =
u i
cos
u
   ' x 2 e  x 2 e  '
 x 2
e

 sen
- cos 3  x  = 3  -
cos
x 3  i
cos
 -
cos
x

 
 ln x   ln x  
ln
x

NOTA: Observa que al derivar, el argumento de la función coseno es todo el
argumento original del seno, es decir
2
3 cos
x e
ln
x
x
- .
Continuando con la derivada, ahora derivamos lo que quedo entre
paréntesis en azul, que tiene la tilde de derivada:

2. ' '
  x 2 e   x 2
e

 2
- = -
x e

 sen
cos 3 x  cos
3   x

i
cos  - cos
3
x

  ln x 
ln x
l
n
x
     
  '
'
x 2 e   x 2
 - = e ( )
  2

'
x e
    - 
  
sen cos 3 x   - cos 3 x
 cos co
s
3
x
 ln x     ln x
    l
n
x

i (I)
Se aplicó en la línea anterior la derivada de una resta, que es la resta de la
derivada.
Ahora procedemos a derivar cada función, lo hare por separado para
luego sustituir al final y obtener la respuesta total definitiva, comenzare
derivando primero:
'
 x 2
e

 
 ln
x

Acá estamos en presencia de la derivada de un cociente, es decir:
( ) ( ) ' ' '
  -   =
 
u u i v v i
u
v v
2
En nuestro caso:
2
x e
ln
x
 = 
u
v
= 
, sustituyendo en la fórmula de la derivada de
un cociente, se tiene:
( ) ( ) ( 2 ) 2
  - -     = =
' x 2 e x x x 2
e x x x e x e e x
'
' '
i i
i i
2 2
 2

 
 
1
ln ln ln
ln ln ln
x x x
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
'
a) ( ) ( )'
x 2 e = e x 2
el número e es una constante y esta
MULTIPLICANDO, por lo tanto sale de la derivada.
  =  
 
b) ( )' 1
ln x
x
Se aplicó la derivada de la función logaritmo.
Continuando:
( ) 2 ( )
-   -  
  =
e x i x i x e e x i
x
2
2
' 1 1
ln 2 ln
ln
x x
x
2 x
 
 
 
e
i e ( 2 x ) ln x - x e x e ( 2ln x
-
1
)
= = i
2 2 2
ln ln ln
x x x
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

3. a) ( ) ( ) '
x2 = 2x Se aplicó la derivada usando
( ) ' = '
x n nx n - 1 ® ( x 2 )
= 2 x 2 - 1 = 2 x 1 = 2 x .
b) Se simplificó: 1
x
2 x
 
 
 
i e = x e
c) Se aplicó el factor común en:
e (2x)iln x - x e = e (2x)iln x -1ix e = x e (2ln x -1)
Por lo tanto se tiene:
( ) '
 x 2
e  =
x e x
-
   
2ln 1
2
ln ln
x x
(II)
Ahora procedemos a derivar la segunda parte:
( '
cos 3 x
)En este caso estamos en presencia de una derivada en cadena, porque
la función coseno esta elevada a un exponente constante, en este caso 3, por
lo tanto hacemos uso de la fórmula:
( ) ( ) ' ' n n 1 u nu u = - i
Te recomiendo escribir ( ) ( )3 3 cos x = cos x ya que visualizas mejor quien
es u y n , entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 1 2 1 3 3 ' 2
= - ® = - = - = - i i i
Por lo tanto:
cos 3 cos cos 3 cos 3cos n n u nu u x x x x senx xsenx
( )'
3 2 cos x = -3cos xsenx (III)
Ahora sustituimos (II) y (III) en (I) que es la derivada que originalmente
estamos resolviendo:
( ) ( )
'
 - 
 - - 
 
  x 2 e  x e 2ln
x
1
 x 2
e

 sen  - cos 3 x  = 3
cos
2 xsenx
3
i
cos - cos
x
  ln
x  ln 2
 
 x
  l
n
x

Finalmente, se tiene:
( ) '
 - 
 + 
 
  x 2 e  x e 2ln
x
1
 x 2
e

 sen  - cos 3 x  = 3
cos
2 xsenx
3
i
cos - cos
x
  ln
x  ln 2
 
 x
  l
n
x

(Se multiplicaron los signos negativos)

4. Respuesta:
( ) '
  x 2 e   - = - = x e 2ln x 1
  x 2
e

    +   - 
      
' 3 2 3
f x sen x xsenx x
( ) cos 3cos cos cos
2
i
ln ln ln
x x x
Ejercicio 2
Calcular la derivada de la función: ( 2 ) ( ) 3 cos 1 x f x = x - .
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia del producto de 2
funciones, por lo tanto se aplica la fórmula de la derivada de un producto, es
decir:
( ) ( ) ( ) ' ' '
uiv = u iv + v iu
En nuestro caso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))' ' ' ' ' 2 2 2 3 cos 1 3 cos 1 cos 1 3 x x x uiv = u iv + v iu ® i x - = i x - + x - i
Por lo tanto:
( ) '
( 2 ) ( ( 2
))
'
' ( ) 3 cos 1 cos 1 3 x x f x = i x - + x - i (I)
Ahora resolvemos cada una de las derivadas presentes:
PRIMERO:
( )'
3x
En este caso se aplica la fórmula: ( ) ( ) ln x x a = a i a , aplicando esto en
nuestro caso:
( )'
3 3 ln 3 x = x (II)
SEGUNDO:
( 2 ) cos x -1
Estamos en presencia de una función compuesta porque el argumento
de la función coseno es ( 2 ) x -1 , por lo tanto hay que aplicar la regla de la
cadena, es decir,
( ) ( ) ( ) ' '
cos u  = - u isen u
Aplicando ésta fórmula en nuestro caso:
( ) ' ( ) ' ( ) ( 2 ) ( '
2 ) ( 2 )
cos u  = - u isen u ®cos x -1 = - x -1 isen x -1

5. Ahora resolvemos la derivada: ( 2 ) ( 2 ) ( )
' ' '
x -1 = x - 1 = 2x - 0 = 2x
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
a) ( )'
x 2 = 2x Se aplicó la derivada usando
( ) ' x n = '
nx n - 1 ® ( x 2 )
= 2 x 2 - 1 = 2 x 1 = 2 x .
b) ( )'
1 = 0 Se aplicó la derivada de una constante, que siempre es cero.
Por lo tanto la derivada de ( 2 ) cos x -1 es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 cos u  = - u isen u ®cos x -1 = - 2x isen x -1 (III)
Sustituyendo (II) y (III) en (I), se tiene el resultado de la derivada original:
' ( 2 ) ( ( ) ( 2 )) ( ) 3 ln 3 cos 1 2 1 3 x x f x = i x - + - x isen x - i
Ahora se multiplican los signos en el centro (color rojo) (más por menos)
y se extrae factor común la función destacada en rojo:
' ( 2 ) ( ( ) ( 2 )) ( ) 3 ln 3 cos 1 2 1 3 x x f x = i x - + - x isen x - i
Así se obtiene:
Respuesta: ' ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 3 ln 3 cos 1 2 1 x f x =  x - - x sen x -  i i
Ejercicio 3
Dada 3 f (x) = 4x - 9x verificar si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el
- 
 
intervalo 3 3
,
2 2
Solución
Justificación: En este caso debemos conocer el teorema de Rolle, por lo
tanto enunciemos dicho teorema:
TEOREMA DE ROLLE: SI:
f (x) es una función continua definida en el intervalo cerrado
[a,b]
f (x) es una función derivable en el intervalo abierto (a,b)
f (a) = f (b)
ENTONCES: existe al menos un número c perteneciente al intervalo (a,b) tal
que ' f (c) = 0.

6. Ahora bien dado este teorema, debemos saber cuál o cuáles son las
hipótesis y cual la tesis. TODO TEOREMA tiene hipótesis y tesis; la hipótesis o
hipótesis es o son, la o las condiciones para poder llegar a la tesis o
conclusión. Normalmente después de la palabra SI se encuentran las hipótesis
y después de la palabra ENTONCES se encuentra la tesis.
En nuestro caso, las hipótesis son:
f (x) es una función continua definida en el intervalo cerrado
[a,b]
f (x) es una función derivable en el intervalo abierto (a,b)
f (a) = f (b)
Y la tesis es:
Existe al menos un número c perteneciente al intervalo (a,b) tal que
' f (c) = 0.
En el ejercicio solo se nos pide verificar si la función dada 3 f (x) = 4x - 9x
cumple con las hipótesis del teorema de Rolle. Por lo tanto:
HIPOTESIS 1: f (x) es una función continua definida en el intervalo
cerrado [a,b].
Como la función dada es un polinomio 3 4x -9x , se cumple la primera
hipótesis, ya que toda función polinómica es continua.
HIPOTESIS 2: f (x) es una función derivable en el intervalo abierto
(a,b).
Calculemos la derivada de la función dada: 3 f (x) = 4x - 9x
( ) ( ) ( ) ' ' ' 3 2 2 f (x) = 4x - 9x = 4i 3x - 9 =12x - 9
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
a) Se extrajo la constante de las derivadas siguientes porque están
MULTIPLICANDO, así: ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' 3 3 4x = 4 x y 9x = 9 x
b) ( )'
x 3 = 3x Se aplicó la derivada usando
( x n ) ' = nx n - 1 ® ( ) '
x 3 = 3 x 3 - 1 = 3 x 2 = 3 x 2 .

7. c) Siempre la derivada de x es uno, es decir: ( )'
x =1, por eso:
( ) ( ) ' '
9x = 9 x = 9i1 = 9
Ahora bien, saber si una función es derivable en el intervalo abierto
(a,b), es observar si la función derivada existe o está definida en dicho
intervalo, en nuestro caso la derivada es ' 2 f (x) =12x - 9 un polinomio, y se
sabe que un polinomio existe para todos los números reales, por ende para
todo intervalo dado, en fin, en nuestro caso la función si es derivable, por lo
tanto se cumple la segunda hipótesis.
HIPOTESIS 3: f (a) = f (b) .
En nuestro caso, el intervalo dado es
- 3
 
2
3
2
,
, comparando con el dado
en el teorema, es decir [a,b], podemos deducir que:
3
2
3
2
a
= 
b

=
-


Ahora verificamos si ciertamente f (a) = f (b) para la función dada
3 f (x) = 4x - 9x , así pues, evaluemos la función en los puntos a y b :
( ) ( )
3 3 3 3 2 27
( )
3 3
3
4 4 1
8 8 2
2
4
( ) 4 9 4 4
27 27
( ) : entonces:
2
27
7 27 27 27
2 2 2 2 2 8
27
( ) 0
2
2 8 2
f f
f simplificando
f
a
a
a
 -   -   -   -     -     -
 =   = -       = +     =   +   =   +                  
 
 -    =   +  ®
   
 -    =   +   =
   
=
Por otro lado:
( ) ( )
( )
3 3
3
4
( ) 4 9 4 4
4 27 27
4 1
b
( ) : ent
8 8 2
onces:
2
27 27
b
( )
3 3 3 3 27 27 27 27 27
2 2 2 2 2 8
0
2
2 2
2
8
f f
f simplificando
f b
           -     -
 = = - = + = + = +                                      
 -  = +      ®
=
   
=  -      +   =
   
Por lo tanto se cumple la hipótesis 3, ya que f (a) = f (b) = 0

8. Respuesta: Si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle a la función
dada f (x) = 4x3 - 9x .
Ejercicio 4
Verificar que forma indeterminada existe en el siguiente límite:
p
lim
x cot 2cos
2
x
p gx x
®
 
 - 
 
y aplicar L’Hopital para calcular dicho límite.
Solución
Justificación: Primero sustituimos en el límite dado para saber que forma
indeterminada se genera:
 
   
 -  =  - 
       
lim 2
2
cot 2cos
cot 2cos
2 2
x
x
gx x
g
p
p
p p
® p p
     
     
Sabiendo que:
  
 = 1 = 1
   =     ¥ cot 0
2

 
 2
     
=   
cos 0
2
g
tg
p
p
p
Por lo tanto:
 p   p

 p    2 -  = 2
- p  =  ¥- p
 = ¥-¥
  p p
        0 2 i
0   0
  cot g
  2cos
     2   2
 
  Por lo tanto la forma indeterminada es: ¥-¥.
Por otro lado, L’Hopital se aplica únicamente a las formas
indeterminadas 0
y
0
¥
¥
, por lo tanto aun no podemos aplicar L’Hopital, ya que
tenemos la forma indeterminada ¥-¥, ¿Qué hacer?, Respuesta: desarrollar la
expresión dada en este caso, es decir:

9. lim lim Se aplico:
x t x
® ®
2 2
( )
2
2
2cos 2cos
lim
2cos
lim
1 s
1
cot
co 1
2
e aplico
cos
dobe C
1
1
x
x
gx
gx t
x
tg
x x
x x
x
x
x
x tg
gx
tg
x
x
p p
p
p
p p
p
p
®
®
 
     
 -  =  -  =  
     
 
 
 
 
 -  =
 
=
 
 
 i
  - 
 
Ahora restaremos las fracciones:
 x i tgx - p  =  x i
tgx i 2cos x - 1
i p  =  2 x i
tgx cos
x
- p
       =
     
lim lim lim
p 1 2cos x p 2cos x 1 p 2cos
x
® ® i
®
x x x
2 2 2
Recordando que:
senx
= , tendremos:
cos
tgx
x
senx senx
 - p  - p
      =   =
     
2 cos 2
x x
c cos
2 cos
os
tg
x x
lim lim lim
2cos 2cos
x x x
2 2 2
x
x x x
p x p x p
® ® ®
 
i
i
i
cos x
2
2cos
2
lim
x 2cos
x
x senx
p x
p
p
®
   - 
  =
 
 
 
 i
- 
 
 
Si sustituimos en esta última expresión, tenemos:
2
          2     -     = 1
 2 - i
 =   2   2  ®  2
   
®                =        
lim
i
2cos
2cos cos 0
2 2
   
 2
  -      =  -  =  -  =          
 
 
x
sen sen
x senx
p x
p p p p
p
® p p
p
2
1
p p p p
1 0
p
i
i
2 i
0 0 0 0
Lo que nos permite aplicar L’Hopital, recordemos en que consiste la
fórmula de L’Hopital:
 f ( x )   = f ( x
)

   
   
lim lim
x x ( ) x x 0 0
( )
'
'
® g x ® g x
Es decir, debemos derivar la función del numerador y luego la función
del denominador para aplicar L’Hopital, así:

10. ( )
( )
'
 -  -   =
 
p p
'
2 2
x i senx x i
senx
lim lim
x 2cos x 2cos
x x p p
® ®
2 2
Derivando el numerador:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
- = - = + -
- = +
p p
p
' ' ' ' '
2 x i senx 2 x i
senx 2 x senx 2 x senx
0
'
2 2 2 cos
x i
senx senx x x
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
a) Se aplicó la resta de la derivada, que se transforma en la resta de las
derivadas, es decir, ( -p ) ' 2xisenx = ( ) ' 2xisenx - ( p
) '
b) Se aplicó la derivada de un producto, es decir, ( ) ( ) ( ) ' ' '
uiv = u iv + v iu ,
en nuestro caso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' '
uiv = u iv + v iu ® 2xisenx = 2x isenx + senx i2x = 2senx + 2x cos x
c) Se aplico la derivada de una constantes: ( )'
p = 0
Derivando el denominador:
( )'
2cos x = -2senx
Ahora sustituimos en nuestro límite, así:
( )
( )
- '
=
+ p
2 2 2 cos
x senx senx x x
lim lim
x 2cos x 2
p '
x p
senx ® ®
2 2
-
i
Evaluando, tenemos:
2
     2   +     2   cos      = 1
+ =       =     ®
- -             =   
2 2 cos 2 2 2 2
lim
2
2 cos 0
2 2
x
 
    + + = = = = -
- - - -
2 1 2
sen sen
senx x x
senx
sen
p
p p p p
® p p
i +
p
2
0
p
2 0 2 0 2
1
i
i
2 i
1 2 2 2
Por lo que:
Respuesta:
p
lim 1
x cot 2cos
2
x
p gx x
®
 
 -  = -
 
Ejercicio 5

11.    + 
 
Aplicar L’Hopital para calcular 2
lim 1
x
x®¥ x
.
Solución
Justificación: Primero evaluamos el límite para saber a que forma
indeterminada nos enfrentamos:
x
( ) 2 2
lim 1 1 1 0 1
x x
¥
¥ ¥
®¥
     +  =  +  = + =    ¥ 
Recuerda que todo número dividido entre infinito es cero.
Recordemos también que el método de resolución de L’Hopital se aplica
únicamente a las formas indeterminadas: 0
y
0
¥
¥
, por lo tanto aun no podemos
aplicar L’Hopital, ya que tenemos la forma indeterminada 1¥ , ¿Qué hacer?,
Respuesta: Como tenemos una función elevada a otra función, es decir, existe
   + 
 
el exponente equis en la función dada 2
lim 1
x
x
®¥ x
se aplicara logaritmo, así:
PASO 1
x x
=  + 2  ® =  + 2
    
y y
lim 1 ln
ln lim 1
x x
   
®¥ x ®¥ x
(Se aplicó logaritmo en ambos miembros)
PASO 2
x x
 + 2  =  + 2
    
   
ln lim 1 limln 1
x®¥ x x®¥ x
(Se aplicó la propiedad que nos indica que el logaritmo
=
del límite es el límite del logaritmo, es decir, ln lim limln
A A
®¥ ®¥
x x
PASO 3
ln
x
  + 2  =  + 2
     
    
i (Se aplicó la propiedad de logaritmo que nos
lim 1 lim x
ln 1
x x
®¥ ®¥
x x
indica que el exponente pasa o baja a multiplicar, es decir, ln ( ) ln
b
a = bi a )
PASO 4
     ln
+        + =        =
    
i ln
(Se aplicó una transformación matemática
2
1
2
lim 1
1
lim
x x
x
x
x
®¥ x ®¥
 
conveniente para generar la forma indeterminada 0
0
, esta trasformación se

12. B
B
basa en 1
´ = = = i , es decir, al aplicar doble C tenemos la
A B A B
1 1
A A
multiplicación original)
PASO 5
Evaluemos el límite así obtenido, para verificar la forma indeterminada:
( ) ( )
2 2
ln 1 ln 1
ln 1 0 ln 1 0
x
lim
x 1 1 0 0 0
x
®¥
          +     +    +      =   ¥   = = =  
     
   ¥ 
Por lo tanto podemos aplicar L’Hopital, es decir derivar en el numerador
y denominador, así:
'
  + 2     2
  ln  1    ln  1
+    x   =   x

   
'
     
lim lim
x ®¥ 1 x ®¥
1
x x
Derivada del numerador:
  '   '
 +  +   +  -  -       + =   =   =            +  + = +  +   
2 2 2 2 1 1 0
( )
'
'
2 2
2
ln 1
2 2 2 2
1
x x x x
x x x x
   
x x x x
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
a) Se aplicó la derivada de la función logaritmo, ésta es una derivada en
cadena, porque el argumento de la función logaritmo es otra función,
en este caso se aplicó: ( )
'
'     '
  = ®   =       
 
2
1
2
l
2
ln 1
1
n
u x
u
u x
x
+
+ 
+

b) Se aplicó la derivada de una constante sobre una variable, es decir,
' '
  -   -   = ¹ ®  =
   
2 2
, 0
a a
a
2 2
x x x x
c) Se aplicó la derivada de una constante, ya que está sumando y no
' '
 + 2  = ' +  2
    
   
MULTIPLICANDO, observa: 1 ( 1
)
x x
, por lo tanto ( )'
1 = 0
Continuando con la derivada del numerador:

13. x 2
x x
x x 2
x
x
2
2 2
2 ( 2)
-
= - = - + +
i i
i
2 x
2
= -
i + i +
(x 2) x (x 2)
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
a) Se aplicó la doble C y se simplificaron las equis.
Derivada del denominador:
'
1 1
x x
2
  -   =  
Se aplicó la derivada de una constante sobre una variable, es decir,
' '
  -   -   = ¹ ®  =
   
1 1
, 0
a a
a
2 2
x x x x
Ahora sustituimos en nuestro límite, así:
'
2
   + 2 - 2
      = + = -  
- x x x x
'
i i
®¥ ®¥ ®¥
2
ln 1
( 2) 2
lim lim lim
x 1 x 1 x
 
x x
- x
2
lim
x
=
i x + ®¥ x
+
( 2) x ( 2)
Observa que se aplicó la doble C y se simplifico, además recuerda en
cuanto a los signos que -
-
= +
El último límite obtenido, al evaluarlo es de la forma:
2
x
lim
x ( 2)
®¥ x
= ¥
+ ¥
Por lo tanto podemos volver a aplicar L’Hopital, ya que ésta forma
indeterminada lo permite, así:
( )'
2 2 2
= = = =
lim lim lim lim2 2
x ( 2) x ( 2) '
x 1 x
x x
+ +
®¥ x ®¥ x ®¥ ®¥
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
a) Se aplicó la derivada del numerador y denominador, ambas sencillas,
observa: ( ) ( ) ' '
2x = 2 x = 2i1 = 2 y ( ) ( ) ( ) ' ' '
x + 2 = x + 2 =1+ 0 =1
b) Se aplicó la propiedad de límite. Que nos indica, que el límite de una
constante es la constante, es decir: lim
x
k k
®¥
= , por eso; lim2 2
x®¥
= .
   +  =
 
Respuesta: 2
x
lim 1 2
x®¥ x

14. Ejercicio 6
Calcular la derivada de la función 1 ( 2 ln
) ( )
+ =
x x
f x e
x
Solución
Justificación: Antes de calcular esta derivada es pertinente simplificarla,
sin embargo, si la derivas tal como está llegaras al mismo resultado, observa:
PASO 1
( ) ( ) ( ) 2 2 1 x ln x 1 x ln x e e e
x x
+ = i (Se aplicó la propiedad: x y x y a a a + = i , es decir, si
tenemos la misma base en un producto, esto equivale a colocar la misma base
y sumar los exponentes)
PASO 2
( 2 ) ( ) ( 2 )
1 x ln x 1 x
ie = i e
e e
x x
( ln x) 1 (x2 )
= ix (Se aplicó una de las propiedades de
e
x
logaritmo, que nos indica: (ln x) e = e ( ln x)
= x )
PASO 3
1 (x2 ) x (x2 ) x x (x2 ) (x2 ) x
i x
= = = =
x x x
x
e e e xe
x x
x
( 2 ) ( 2 ) x x
xe = xe (Se racionalizó la
expresión, es decir, cuando se tiene una raíz en el denominador, ésta se puede
eliminar multiplicando y dividiendo por la misma raíz, es decir:
x x x x x x
x x x x x
= = = x
x
= x , no olvides que: xi x = x , y luego se
simplificaron las equis)
Ahora con la función simplificada: ( x
2
) ( )
f x = xe , la derivaremos.
Observa que tenemos el producto de 2 funciones, es decir: ( ) ( ) 2 x
 
 
 
i ,
x e
por lo tanto, aplicaremos la derivada de un producto, es decir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 )
' '
= + ®  
     
 = +     
  
' ' ' x ' x x
u i v u i v v i u x i e x i e e i
x
Derivare cada función, para que cada paso te quede claro:
a) ( )' 1
= , ésta es una derivada directa de tabla.
2
x
x

15.  ( '
b) x 2 )  = ( x 2 ) ( ) '
( 2 x 2 ) ( x
2 ) 
e  e x e ( 2 x ) =
2
xe


i = i , ésta es una derivada en
cadena, acá se aplicó la fórmula: ( ( ) ) ( ) ( ) ' ' u u e = e i u , en este caso
2 u = x , y se derivo ( ) ( 2 )
' '
1 2 1 1 2 2 2 n n x nx x x x x = - ® = - = = .
Sustituyendo éstos resultados en la derivada, se tiene:
( ) ( ) ' 2 ( ) ( '
2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
 x  = ' x +  x  = 1
x +  x
           
x e x e e x e xe x
2
2
x
 
 
 



 
 
i i i i i
Respuesta: ( ) ( ) 2 2
1
2
x x
e xe x

' ( ) 2
x
f x
= +    
i i



  
Ejercicio 7
Calcular la derivada de la función definida a través de la expresión
( 2 +
5
)
3
( )
x senx
f x
x tgx
=
Solución
Justificación: Antes de derivar, podemos simplificar la función dada,
sustituyendo la función tangente de equis, por:
senx
= , así:
cos
tgx
x
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
+
x senx
+ + + +
2 2 2 2
x senx x senx x senx x x senx
= = = = 3
3 3 3
x tgx 3
senx x senx x senx
5
5 5 5 cos 5
1
cos cos
x
x x
cos x
x senx
( 2 )
5 cos
3
( )
x x
f x
x
+
=
Ahora derivamos, aplicando la fórmula de la derivada de un cociente, es
decir,
( ) ( ) ' ' '
 u  - =
u i v v
i
u    
2
v v
En nuestro caso, que tenemos la función ( 2 )
5 cos
3
( )
x x
f x
x
+
= , tenemos:
( 2 )
= + 
u x 5 cos x
3
v x

=
, entonces:

16. ( ) ( ) ( ) ' (( ) ) ' ( ) '
( )
  -   -   = ®  =     
+ + i i
2 3 3 2
v v x 5 cos x 5 cos x x x x 5 cos x
( )
' ' '
2
u u u x
2 2
3 3
v v x x
+

i i
Desarrollaré las 2 derivadas que nos faltan por separado. Primero:
(( '
x 2 + 5 ) cos x
)Acá estamos en presencia de la derivada de un producto, es decir:
( ) ' u
v = ( u ) ' + ( ' ' ' ' i i v v ) u ® 2  i  ( x + 5 ) ( i cos x ) 
= ( x 2 +
5 ) ( ) ( i cos x + cos
x
) ( 2
)
i
x
+
5
 ( x 2 
+
5 ) ( '
i cos x )  
= ( 2
x ) ( cos
x ) ( ) ( 2
i + - sen
x
i
x
+
5
)
 2  ( x + 5 ) ( ) 
'
cos x  = ( 2 x ) ( co s
x ) - ( senx
) ( x
2
+
5
)
i i i
La segunda derivada, es:
( ) '
x 3 = 3x
2
Estas dos derivadas son de la misma forma o naturaleza en cuanto a
procedimiento, y ya en los 6 ejercicios anteriores explique con suficiente detalle
como derivarlas, de aquí en adelante si se nos presenta una derivada de
distinta naturaleza, la derivare en detalle amigo y amiga estudiante.
Sustituyendo en la derivada original estos 2 resultados, se tiene:

17. ( ) ' (( ) ) ' ( ) '
( )
 x 2 + 5 cos x  x 2
+ 5 cos x -
x
+
5 co
s
x
  =  
 
( )
= 2
  ( 2 x ) ( cos x ) - ( senx ) ( x 2 + 5 )   - ( 3 ) ( x 2
+
5 )
cos
x
=
( 2
)
i i
( 2 x ) ( cos x ) ( senx ) ( x 5 ) ( ) ( x
5
)
( 2 ) ( cos ) ( ) ( 5 ) ( 5
( ) )
( ( )
( ) ) ( )
(( ) ( )) ( )
3 3
3 3
3 2
3
2 3 2
2
6
3 3 2 2 2
2
6
 4
+    - + =
  - +   - + =
2
3 2
2 cos
3 cos
3 cos 3 cos
x
x x se
x x
x x
x x
x
x x x
x x
nx x x
x
x
x
x x x x
senx x x
´
 - +  - +   =
 - +  - + 
 =
-
i i
i i
i i i i
i i i i i i
i i
3
3
4 2
senx x x x
i i
6
4 5 4 2
nx x x
6
sen
- - - =
- - - = - - - =
4 5 3 4 2
6
4 4
5 3 2 5 3 2
2
x senx x
6 6
3
5 3 15
2 cos 5 3 15
5 15 cos
5 1
cos cos
cos cos
2 cos 3 cos
cos 5 cos 5 co 15 c
5
s os
x x
x
x x x x x
x
x senx x senx x x
x
x senx x senx x x sen
x x
senx
x x se
x x x
x
s
x x
x x x
x
x x x x
-
-
( 4 ) 2
- ( 3 4 )
enx cos x 15cos x x
6
x
x -
=
- - x -
x senx 5xsenx x cos 15cos x
6
x
3 4 ( 2 ) ( 4 )
x senx 5xsenx x cos x 15cos x xsenx x 5 cos x x 15
4 4
x x
=
- - - - - + =
( 2 - 5 ) - cos ( 4 +
15
)
Respuesta: '
4
( )
xsenx x x x
f x
x
=
Nota: El resultado de la derivada la puedes dejar a partir de cualquiera
de las expresiones que aparecen desde la tercera línea en adelante en el
último desarrollo anterior, donde simplifique a la mínima expresión hasta
xsenx ( x 2 - 5 ) - cos x ( x 4 +
15
)
obtener 4
x
, por ello no explique en detalle cada paso,
aunque pienso que los entiendas, y de no ser así comunícate conmigo a través
de mi correo jorgegranadillomat@gmail.com o por mi celular 0412-4514815 o
en forma presencial en mi oficina en la UNA en el horario que aparece en mi
página: http://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/
Ejercicio 8
Calcular la derivada de la función ( ) 2 3 4 5 ( ) cos
- =
x x
f x sen e

18. Solución
Justificación: Acá estamos en presencia de una derivada donde se
requiere aplicar la regla de la cadena, ya que es una función compuesta, pero
antes, utilicemos los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) para
destacar bien cada parte de la función dada:
( 2 ) ( 2 )
3
 = -   - 3 4 x 5 x = 4 x 5
x
           
f ( x ) sen cos e sen cos
e
Para desarrollar este ejercicio siempre ten presente que se debe
desarrollar desde la función más externa hasta la más interna, es decir, lo
primero que se evidencia, como función más externa es la potencia cubica, es
decir el número 3 destacado en rojo, luego la función seno (anda mirando de
izquierda a derecha) luego la función coseno, luego la función exponencial
( 2 ) 4x 5x
e
- , y por último el polinomio que es el exponente de esta función
exponencial, es decir, 2 4x - 5x . Por lo anteriormente explicado, utilizaremos
primero la fórmula:
( ) n = ( ) n - 1 '
u n u ( ) i
u
En nuestro caso
       ( )
 =                    =     ®    
( 2
)
2
-
' 4 5
-
4 5
u sen cos
e
3
x x
sen e
n
-
=
                = ®      =                          
( ) ( ) ( ) ( 2 - ) ( 2 - ) ( 2
-
)
3
3 3
1
-
1
'
' 4 5 4 5 4 5
cos
3 o
cos cos c s
x x
n n x x x x x x
u n u i u sen e sen e i
sen e
3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
'
'
'
- - -
4 5
2
x x 4 x 5 x 4 x 5
x
sen cos e 3 sen cos e sen cos
e

                      =      i
                    
Observa que ahora solo derivaremos ( 2 )
'
   4 x - 5
x
 
 sen  cos
 e
      
, es decir, la
primera expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será
derivar ( 2 )
'
   4 x - 5
x
 
 sen  cos
 e
      
que es la función interna que sigue, y así ir
derivando una a una y al final sustituiré todos los resultados, como se observa
claramente que la función más externa es el seno en ( 2 )
'
   4 x - 5
x
 
 sen  cos
 e
      
,
utilizare la siguiente fórmula:

19. ( ( )) ' sen u = ( u ) '
cos ( u
) En nuestro caso:
( ) ( )
   x 2 - x    = =   4 x 2
-
5
x
        u  cos
 e
 
®     
 
   
( ( )) ( ) ( )  ( ) 
( ) '
( )
  = ® =
  4 x 2 - 5 x     4 x 2 - 5 x     4
x 2
-
x
 
         
'
4 5
'
' ' 5
u u u e
 
cos cos cos
cos
cos cos
sen e
sen sen e e
  
 
           
 
Observa que ahora solo derivaremos ( ) 2
'
  4 x - 5
x
 
 cos
 e
 
   
, es decir, la
segunda expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será
derivar ( ) 2
'
  4 x - 5
x
 
 cos
 e
 
   
que es la función interna que sigue, se observa
claramente que la función más externa es el coseno en ( ) 2
'
  4 x - 5
x
 
 cos
 e
 
   
,
utilizare la siguiente fórmula:
( ( )) ' = - ( ) '
cos u u sen ( u
) En nuestro caso:
( ) { ( )
  x 2 - x   =  x 2
-
x
    
  = ®
   
 
( ( )) ( ) ( ) ( ) '
( ) ( )
    = - ® = -
 2 -   2 -   2
-

     
 
'
4 5 4 5
'
4 5 4 5 4 5
' '
cos
   
      
cos cos
x x x x x x
e u e
u u sen u e e sen e

Observa que ahora solo derivaremos ( ) 2 '
 4x - 5x

 e

 
, es decir, la segunda
expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será derivar
( 2 ) '
 4x - 5x

 e

 
que es la función interna que sigue, se observa claramente que la
función más externa es la exponencial en ( ) 2 '
 4x - 5x

 e

 
, utilizare la siguiente
fórmula:
( ) ( ) ( ) ' ' u u e = u e
En nuestro caso:
 ( 2
)   
= { u ( x x
)
®  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= ® 2 -  =  2
-
    
-
4 5 2
' 4 5 ' 4 5 2
'
'
'
4 5
4 5
x x
u u x x x x
u
e
e e e x x e
  
=
-

-

20. Finalmente derivamos la última función, la más interna que es el
polinomio: ( 2 ) 4x - 5x , así:
( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' 2 2 2 1 4x 5x 4x 5x 2 4x 5 x 8x 5 - = - = - - = - i
Para concluir el ejercicio sustituimos cada resultado y simplificamos,
comenzare a sustituir de atrás hacia delante, es decir, la última derivada fue el
polinomio, pues la sustituiré primero y asi sucesivamente, de todos modos ire
escribiendo cada expresión a sustituir para que t quede bien claro:
'
En: (4 2 5 ) ( )' (4 2 5 )
2  
x - x  = -  x - x
  e  4 x 5
x 
e
  
Sustituiré: ( )'
2 4x - 5x = 8x - 5 , obteniendo:
( 2 ) ( ) ( 2 ) '
 4 x - 5 x   e  =  4 x - 5
x
 8 x - 5
 e

   
'
'
En: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )   4 x - 5 x    4 x - 5
x    4 x - 5
x

  cos
 e   = -  e  sen   e


    
    
Sustituiré: ( 2 ) ( ) ( 2 ) '
 4 x - 5 x   e  =  4 x - 5
x
 8 x - 5
 e

   
, obteniendo:
( ) '
2 ( ) ( 2 ) ( 2 )
  4 x - 5 x    cos  e   = - 8 x -  4 x - 5 x    4 x - 5
x
  5
 e  sen   e
 
         
' '
En: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
   4 x - 5 x      4 x - 5 x      4 x - 5
x
 

 sen  cos  e   =  cos  e   cos   cos
 e
 

             
 
'
Sustituiré: ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 )
  4 x - 5 x    cos  e   = - 8 x -  4 x - 5 x    4 x - 5
x
  5
 e  sen   e
 
         
, obteniendo:
'
( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
   4 x - 5 x   = - -  4 x - 5 x    4 x - 5 x      4 x - 5
x
    sen  cos  e   8 x 5  e  sen   e   cos   cos
 e
                   
FINALMENTE,
  3
  -    =   -      -                                  
'
2
En: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
'
4 5 5 4
x x 4 x x x 5
x
sen cos e 3 sen cos e i
sen cos
e
'
Sustituiré: ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
   4 x - 5 x   = - -  4 x - 5 x    4 x - 5 x      4 x - 5
x
    sen  cos  e   8 x 5  e  sen   e   cos   cos
 e
                   
Obteniendo la derivada final:
'
  ( )  3    ( )  2
 4 x 2 - 5 x  =  4 x 2 - 5 x   ( )  ( 4 x 2 - 5 x )    ( 4 x 2 - 5 x )      ( 4 x 2 - 5
x
)
    sen  cos  e    3  sen  cos  e   i
- 8 x - 5  e  sen   e   cos   cos
 e
                          

21. Respuesta: La derivada de la función ( 2 ) 3 4 5 ( ) cos
= x - x
, es:
f x sen e
'
  ( )  3    ( )  2
 4 x 2 - 5 x  =  4 x 2 - 5 x   ( )  ( 4 x 2 - 5 x )    ( 4 x 2 - 5 x )      ( 4 x 2 - 5
x
)
    sen  cos  e    3  sen  cos  e   i
- 8 x - 5  e  sen   e   cos   cos
 e
                          
Ejercicio 9
Calcular la derivada de la función 2x y = x .
Solución
Justificación: En este caso debemos escribir la función dada así:
1
y = 2x x = x2x (Se aplicó la propiedad de los radicales:
a
b xa = xb )
Ahora, como tenemos una función elevada a otra función aplicaremos
logaritmo en ambos miembros, así:
 
1 1
= ® =  
y x2x ln y ln x2x
 
( )
1
2 ln
1
2
= ® = (Se aplicó la propiedad de logaritmo de una
y x x y ln x
x
potencia, es decir, ln ( ) ln y x = y x )
Ahora se procede a derivar en ambos miembros de la igualdad, este tipo
de derivada se denomina derivada implícita, porque hay que derivar la variable
dependiente y , entonces:
' ' '
= ® =   ® y
    =   +
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
' '
ln ln ln ln
y x y x ln x ln
x
   
2 2 2 2
x x y x x
En este caso se realizaron las siguientes operaciones:
y
'
'
a) ( ln
y
) = Se aplicó la derivada de la función logaritmo.
y
' '
      =   +
   
1 1 1 '
b) ( ) ( )
ln x ln x ln
x
x x x
2 2 2
, se aplicó la derivada de un
producto, explicada en ejercicios anteriores.
Continuando, tenemos:

22.    -     -  - =   + =   +   =   + =
       
Al final logramos sumar fácilmente las fracciones porque tienen el mismo
y 1 1 1 1 1 ln x 1 1 ln
x
( )
' '
'
ln ln ln
x x x
2 2 2 2
y 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2
x
denominador.
Finalmente, se despeja ' y obteniendo:
'
-  -  = ® =  
y x x
1 ln 1 ln
y '
y
2 2 2
2
 
y x x
Ahora sustituimos y , que es la función original: 2x y = x , este último
paso siempre se da en este tipo de integrales implícitas, así:
'
-  -   -  = ® =   =  
1 ln 1 ln 1 ln
2 2 2
x x x
'
2 2
2
2
x y
y x
y
   
y x x x
 -  =  
Respuesta: ' 2
x x
1 ln
2
2
y x
 
x
Ejercicio 10
Al usar la regla de la cadena para calcular ' ( ) g p y ' ( )
g p , donde
2
g (x) = cos(senx) , resulta:
a. ' ( ) g p = 0 , ' ( ) 1
g p = b. g ' ( p ) = 0 , g ' ( p ) =
0
2
2
c. ' ( ) g p = -1, ' ( ) 0
g p = d. g ' ( p ) =1, g ' ( p ) = -
1
2
2
Solución
Justificación: Estamos en presencia de la regla de la cadena, en este
caso utilizaremos la fórmula:
( ) ( ) ( ) ' '
cos u  = - u sen u
En nuestro caso:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
= = - = - x senx
= -
' ' '
g ( x ) cos( senx ) senx sen senx c
os i
sen
g '
( x ) cos
x i
sen senx
Ahora evaluaremos la derivada:
' ( ) ( ) ( ) g p = - cosp isen senp = -(-1)isen(0) =1i0 = 0

23. ' ( ) ( ) ( ) cos (0) (1) 0
g p = - p isen senp = - isen =
2 2 2
Por lo tanto:
Respuesta: Opción correcta la “b”
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Use la definición de derivada para calcular la derivada de la función
f (x) = x + cos x y evalúe esta derivada en
x
= p .
3
Ejercicio 2
Calcule la derivada de la función
1
1
x
y
x
= +
-
y dé el resultado simplificado a su
mínima expresión.
Ejercicio 3
Hallar la derivada de la función
=  1
+    -  
( ) ln
1
senx
f x
senx
.
Ejercicio 4

24. Calcular la derivada de la función ( 3 2 )( )( ) f (x) = x + 3x -8x senx ln x .
Ejercicio 5
Sea f (x) = x (valor absoluto de x). Verificar usando la definición de derivada
que f no es derivable en x = 0 .
Ejercicio 6
Supongamos que en la ecuación xy + tgy = x +1, define a y como función
implícita de la variable x.
A continuación hacemos algunas afirmaciones relacionadas con la función
derivada ' y Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que
la afirmación sea verdadera o falsa respectivamente.
a. si y( 1 ) = p, entonces y¢( 1 ) = 1 - p _____
b. si y( 1 ) = 0, entonces y ¢( 1 ) =
1
2
_____
c. si y( 1 ) =
p
2
, entonces y¢( 1 ) = 1 -
p
2
_____
Ejercicio 7
Un vehículo de juguete se mueve a lo largo de una pista de manera que su
posición en relación al punto de partida está dada por la función d (distancia
en metros) que depende del tiempo t ( medido en segundos), la cual la
representamos en la siguiente figura.
d
4
3
2
1
0
3 6 8 9
t
1
A continuación enunciamos varias proposiciones en relación a la función d.
Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que la
proposición sea verdadera o falsa respectivamente.
a. La velocidad media del vehículo entre 0 segundo y 1 segundo es 1 m/s
______

25. b. La velocidad media del vehículo entre 1 segundo y 3 segundos es 1 m/s
_____
e. La velocidad instantánea del vehículo al cabo de 5 segundos es 2
m/s_______
Ejercicio 8
Determina las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de coordenadas
(-1 , 3) y son tangentes a la gráfica de la parábola de ecuación
g(x) = 2x2 - 2x +1
Ejercicio 9
Calcula la derivada de la función inversa de la función g:(0 , p/2) ® (0 , 2),
definida por g(x) = 2 sen x.
Ejercicio 10
Calcular las derivadas laterales, en x = 1, de la función f:IR® IR, definida por:

= 
 - £
2 si 1
( )
x x
2 1 si 1
f x
x x