Objetivo 1 de Matemática III COD 733 para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Hola!!! Se que estas bien anímicamente y si este material llego a tus
manos es porque ya estas preparado internamente para comenzar a estudiar a
distancia las asignaturas de matemática. Como sabes, se han escrito muchos
libros de Matemática, tanto comerciales como los libros diseñados en las
universidades a distancia, y ellos tienen, como todo en la vida, sus fortalezas y
debilidades, así, en este material se pretende fortalecer esa debilidad que a mi
juicio tienen algunos escritos de Matemática.
En lo primero que debemos caer en la cuenta es QUE LA MATEMÁTICA
NO ES LA ASIGNATURA MÁS DIFICIL DEL MUNDO, es importante que dejes
de pensar en esta idea, de esta manera, quizás el primer pago para lograr
aprender Matemática es la vigilancia de tus pensamientos, es en superar ese
primer obstáculo, ese obstáculo que muchos no ven, pero que esta allí y existe,
me refiero a ti mismo, basta con que observes la trayectoria de algunos
eventos de tu vida y te darás cuenta que ciertamente cuando has sentido esa
energía positiva, esa fé, ese pleno convencimiento de algo, pues sucede. Fíjate
que nadie discute si la UNA queda en Venezuela o si Simón Bolívar es el
libertador de América, simplemente la aceptamos como verdades absolutas sin
la menor duda, pues de esa misma manera deberás convencerte que tu si
puedes pasar Matemática, que puedes aprenderla, que puedes obtener las
habilidades para resolver distintos ejercicios y problemas, que si otros lo han
logrado, tu también puedes, porque tu también tienes esa chispa, ese poder
que todos los seres humanos tenemos y que heredamos de nuestro único
padre-madre.
Espero que esta breve introducción te motive y más aun, te convenza
que si puedes lograrlo, que jamás la vida nos pone reto que no podemos
superar, jamás se te pedirá que resuelvas el problema del calentamiento global
a ti solo, porque sencillamente no puedes, sin embargo seguro que los
problemas actuales de tu vida puedes resolverlas, busca siempre dentro de ti,
intenta tener paz y calma para estudiar, de obtener el hábito de estudio
mañanero que es el ideal, sin embargo, tu eliges, tu decides como, donde y
cuando estudiar, y recuerdas siempre tienes 2 opciones: ser una víctima de la
Matemática o aprender de ella, tiene mucho que enseñarte, desde la música, el
cine, el celular y toda la tecnología reposa sobre la sólida base de la
Matemática, e inclusive la naturaleza es Matemática por ser perfecta.

2. Quiero hacer hincapié en lo siguiente: NO SOLO TE MOTIVES AL LEER
ESTO EN ESTE INSTANTE DE TU VIDA, PROCURA SOSTENER ESA
MOTIVACIÓN EN EL TIEMPO, CUANDO DEJES DE LEER ESTO, CUANDO
CRUCES ESA PUERTA POR DONDE SALDRAS, TRATA, TRATA Y SIGUE
TRATANDO DE MANTENERTE MOTIVADO, claro esta es natural que como
seres humanos tengamos altas y bajas emocionales y mentales, pero es
precisamente en las bajas donde tu te demostraras que eres grande, que si
puedes superar ese “bajón” y seguir adelante, ya que el problema no es caer,
sino no permanecer caído, y entender que gracias a esas caídas, gracias a
esos errores, aprendemos y crecemos como persona, como pareja, como hijo,
como hija, como madre, como padre, como amigo, como amiga, como
estudiante…
En la página https://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/
encontraras ayuda de múltiples maneras en la Matemática, e inclusive en la
vida, porque estoy convencido que hay que buscar un equilibrio, una armonía
de vida para lograr un aprendizaje significativo.
Este libro es abierto y se escribirá en forma continua, porque pretende
dar respuesta y solución a los ejercicios y problemas que se te presenten, en
formar un grupo de personas que nos ayudemos mutuamente, que pasemos
los favores de conocimiento, en fin, lograr que tu amigo, amiga logres tus
anheladas metas de no solo graduarte, sino de aprehender realmente
Matemática y puedas multiplicar esta información a tu familia, amistades y todo
aquel que lo necesite.
Al estudiar afirma: TODO LO QUE ESTUDIO HOY LO ASIMILO CON
FACILIDAD Y LO RECUERDO EN EL MOMENTO NECESARIO…
Espero este material te ayude, y me ayudes a mejorarlo con tus
comentarios que me puedes hacer llegar a través de los correos:
jorgegranadillomat@gmail.com y jorgegranadillo_mat@yahoo.com
Gracias por leer este material y sobre todo gracias por creer en ti, en mi
y en la ayuda que estoy seguro encontraras, si no observas el tema que te
interesa desarrollar en este libro, dímelo y a la brevedad lo pondremos para tu
beneficio, encontraras títulos abiertos de lo que pretendemos desarrollar para ti
y donde corresponda puedes decirme lo que necesitas para avanzar a la
medida de tus necesidades, por ejemplo, si lo que deseas desarrollar es de

3. Matemática III, escribe a los correos y allí colocaremos el desarrollo que
necesitas, este es un trabajo arduo pero con la inteligencia de Dios a través de
nosotros nos permitirá lograr el objetivo, el objetivo de que APREHENDAS
MATEMÁTICA, de nuevo GRACIAS!!! Estoy muy agradecido…
Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 1. Calcular integrales definidas e indefinidas aplicando los
diferentes métodos de integración y fórmulas de aproximación.
Ejercicio 1
Calcular la siguiente integral 1
∫   xLn  1 + 
dx
.
 x
 Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una función
polinómica x por una función logarítmica: 1
   + 
 
Ln 1
x
, por lo tanto debemos
utilizar el método de integración por partes.
Este método se deduce de la formula de derivación del producto:
( ) ( ) ( ) ' ' ' u.v = u .v + u. v
Si despejamos ( )' u. v de esta ecuación se obtiene:
( ) ( ) ( ) ' ' ' u. v = u.v - u .v
Tomando integrales a ambos miembros de la igualdad, se tiene:
( ) ( ) ( )' ' ' ∫ u. v = ∫ u.v - ∫ u .v
Pero: ( )' ∫ u.v = u.v por estar aplicada la derivada a todo el producto,
sustituyendo este último hallazgo, se tiene la fórmula final:
( ) ( ) ' ' ∫ u. v = u.v - ∫ v. u
Podemos tomar: ( ) ( )' ' v = dv y u = du , obteniendo:
∫u.dv = u.v - ∫ v.du
Esta última fórmula es la llamada, fórmula de integración por partes y
nos permite calcular integrales que contienen el producto de funciones. Pero
¿Cuándo exactamente utilizar esta fórmula? ¿Cómo se utiliza?. Antes de

4. comenzar a responder estas preguntas observa los siguientes tipos de
funciones:
Funciones TIPO Arco
Estas funciones son las inversas de funciones trigonométricas e
hiperbólicas, en la práctica son más comunes las inversas trigonométricas,
estas son:
Arcsen(x)® Inversa de la función sen(x)
Arc cos (x)® Inversa de la función cos (x)
Arctg (x)® Inversa de la función tg (x)
Arc cot g (x)® Inversa de la función cot g (x)
Arc sec(x)® Inversa de la función sec(x)
Arc cos ec (x)® Inversa de la función cos ec (x)
Funciones TIPO Logaritmo
Estas funciones se representan de dos maneras, a saber:
Logaritmo natural o neperiano, cuya base es e » 2,71, denotada por:
Ln(x) ó ln(x) .
Logaritmo decimal, cuya base es 10, denotada por: Log (x) ó log (x) .
Funciones TIPO Potencias
Estas funciones son las polinómicas, es decir, con exponentes
constantes, es decir, numéricas, por ejemplo:
3x2 -5x +8
2x + 7
x
x2
Entre otras.
Funciones TIPO Exponenciales
Estas funciones se caracterizan por que tienen exponentes variables, es
decir, letras, por ejemplo:
ex
3x
Entre otras.

5. Funciones TIPO Trigonométricas e Hiperbólicas
Son las funciones trigonométricas conocidas, es decir:
Hemos visto 5 tipos básicos de funciones, y nos permiten dar respuesta a la
pregunta ¿Cuándo exactamente utilizar esta fórmula?
La fórmula de integración por partes ∫u.dv = u.v - ∫ v.du se aplica cuando
la integral posee alguna de las 3 características:
1) Cuando tenemos una función TIPO A únicamente para integrar, por
ejemplo:
∫ Arcsen(x)dx
∫ Arc cos (x)dx
∫ Arctg (x)dx
∫ Arc cot g (x)dx
∫ Arc sec(x)dx
∫ Arc cos ec (x)dx
2) Cuando tenemos una función TIPO L únicamente para integrar, por
ejemplo:
∫ln(x)dx
∫ log(x)dx
3) El producto de 2 funciones pertenecientes a cualquiera de los 5 tipos
nombrados, por ejemplo:
∫ x2.Arcsen(x)dx

6. ∫ x.ln (x)dx
∫ x.cos (x)dx
∫ x3.exdx
∫(ln x).( Arc cos (x))dx
∫(ex ).(cos (x))dx
También se aplica integración por partes en algunos casos especiales,
como:
∫sec3 xdx
En fin, con estas 3 características básicas cubrimos una muy buena parte
de cuando aplicar la fórmula de integración por partes.
Pasemos a responder la siguiente pregunta: ¿Cómo se utiliza?.
Para emplear esta fórmula, lo primero que hay que hacer es definir quien
es u y quien es dv en la integral que te dan. SIEMPRE LA FUNCIÓN u
SE DERIVARÁ, ES DECIR, SE OBTENDRÁ du Y SIEMPRE LA FUNCIÓN
dv SE INTEGRARÁ, ES DECIR, SE OBTENDRÁ v , para luego sustituirlas
en la fórmula: ∫u.dv = u.v - ∫ v.du . Observa que la fórmula nos llevará a una
nueva integral, y precisamente ES CLAVE QUE ESTA NUEVA INTEGRAL
QUE SE GENERE SEA MÁS SENCILLA QUE LA INTEGRAL PROBLEMA
QUE TE DAN. A continuación te daré algunos tip’s en los casos más usuales,
en cuanto a quien sería u y quien sería dv en la siguiente tabla:

7. Integral problema:
I = ∫u.dv
Normalmente
se llama u
Se obtiene du
Normalmente
se llama dv
Se obtiene v
La fórmula: I = u.v - ∫ v.du
quedaría:
Observación
I = ∫ Arcsen(x)dx u = Ar cs en(x)
2
1
1
du dx
x
=
-
dv =1dx v = ∫1dx = x
2
1
1
I xarcsenx x. dx
x
= -
-
∫
Cuando se tiene
únicamente una
función TIPO A,
característica 1,
SIEMPRE SE
LLAMA dv =1dx
I = ∫ln(x)dx u = ln(x) 1
= dv =1dx v = ∫1dx = x .
du dx
x
1
I x ln x x dx
x
= - ∫
Cuando se tiene
únicamente una
función TIPO L,
característica 2,
SIEMPRE SE
LLAMA dv =1dx
∫(ln x).( Arc cos (x))dx
u = Ar c cos(x)
2
1
1
du dx
x
= -
-
dv = Ln(x)dx v = ∫ Ln(x)dx
En este caso se
debe integrar por
partes a v
I = ∫ x2.Arcsen(x)dx u = Ar cs en(x)
2
1
1
du dx
x
=
-
dv = x2dx
3
2
x
3
v = ∫ x dx =
3
2
3
x
x
3 3 1
1
arcsenx .
I d
x
x
= -
-
∫

8. Integral problema:
I = ∫u.dv
Normalmente
se llama u
Se obtiene du
Normalmente
se llama dv
Se obtiene v
La fórmula: I = u.v - ∫ v.du
quedaría:
Observación
I = ∫ x.ln (x)dx u = ln(x) 1
= dv = xdx
du dx
x
2
2
x
v = ∫ xdx =
2 2
2 2
1
x x
ln .
I x dx
x
= - ∫
I = ∫ x3.exdx u = x3 du = 3x2dx dv = exdx v = ∫ exdx = ex I = exx3 - ∫ ex .3x2dx
u = xn ® se
repite el proceso n
veces, en este caso
se aplica de nuevo
integración por pares
I = ∫ x.cos (x)dx u = x du = dx dv = cos xdx
∫ cos
Aplica la observación
I = xsenx - ∫ senx.dx =
=
v xdx
v senx
inmediata anterior
I = ∫(ex ).(cos (x))dx u = ex du = exdx dv = cos xdx
∫ cos
I = exsenx - ∫ senx.exdx
=
=
v xdx
v senx
1) Es indiferente si se
llama u = ex ó
u = cos x .
2) Se debe aplicar
integración por partes
de nuevo y como se
repite la misma
integral se resolverá al
final como una
ecuación.

9. Integral problema:
I = ∫u.dv
Normalmente
se llama u
Se obtiene du
Normalmente
se llama dv
Se obtiene v
La fórmula: I = u.v - ∫ v.du
quedaría:
Observación
= se
c
3
=
=
s
ec
sec2
I
I
xdx
x xdx
∫
∫
u = sec x du = sec xtgxdx dv = sec2 xdx
∫ I = sec xtgx - ∫tgx.sec xtgxdx
=
=
sec2
v xdx
v tgx
Se debe aplicar
integración por partes
de nuevo y como se
repite la misma
integral se resolverá al
final como una
ecuación.
NOTA: Estos son los casos que se te presentaran en un 90% de los ejercicios de exámenes o tareas, sin
embargo, es pertinente mencionarte, que de enfrentar un caso distinto de los presentados, recuerda que solo
tienes dos caminos, el primero llamar u a una parte y dv a la otra, si la fórmula de integración por partes te
genera una integral más compleja, simplemente invierte la selección de u y dv y seguro tendrás una integral
que se puede resolver.

10. Después de haber explicado en detalle el método de integración por
partes, pasaré a resolver el ejercicio 1, es decir:
1
   + 
  ∫
xLn 1 dx
x
Recordando el caso explicado en la tabla: ∫ x.ln (x)dx , se evidencio que
en estos casos se debe llamar:
1
1
=    1
+ 
1
u Ln
I xLn d
x x
   

 
dv x
x
x
d

  = + ®
=


∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
1 1 1
 
 
 +  - -   = =   =   + =  +        +     
x du x du x
  
 ® ®  x   ®
  
x
  
2
'
2 2
1
1
u Ln du x
1 1
2
1 1
=  
dv xdx
x
x
x
dv xd v
 
=

∫ = ∫
+ ( )
x 1
x
2
2
1
1
2
2
du dx
x x
x
x v
v
-
=


 
   ®
 

=
=


+

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
2 = - ∫ =  + 1  2   ∫
- 1
  +
u du Ln . dx
( )
1
1
. .
2 x
2
x
I
x
v v
x x
-
2
= - =  +  - -     
∫ x
1 1
1
2     . . 1
I u v v du Ln x
2 x
2
.
x ( 1)
dx
x + ∫
2 1 1 1
  =  +  +   + ∫
I Ln x dx
( )
1 .
x
2 x 2 x
1
1 1 1
+ + ∫ ∫ se procederá de la
Para resolver la integral: .
( )
x
=
x dx dx
2 x 1 2 x
1
siguiente manera.
Observa que l función a integrar es
1
x
x +
, son polinomios de igual grado,
por ende se dividen:

11. Por lo tanto:
1 1 1
∫ = ∫    1
-  , separando en suma algebraica
+  +  x
dx dx
2 x 1 2 x
1
la integral, tenemos:
       -  =  -    = - +  +    +  
1 ∫ 1 1 1 dx ∫ ( ) ∫
1 1 1 dx dx ( x ln ( x
1
))
2 x 1 2 x
1 2
Por lo tanto la integral original tiene como resultado:
( ( )) 2 1 1
=    1 +  + - ln + 1
+
x
I Ln x x C
2 x
2
 
C es la sumatoria de todas las constantes de integración.
Comprobación de la solución
Este paso no es necesario, pero es muy útil para garantizar que nuestro
resultado es el correcto.
Al derivar el resultado: x
2 1 1
( ( ))   =  +  + - + +
( ) 1 ln 1
f x Ln x x C
2 x
2
 
debemos
obtener la función que integramos: 1
   + 
 
xLn 1
x
.
De ahora en adelante a la función:
( ( )) 2 1 1
x
  =  +  + - + +
( ) 1 ln 1
f x Ln x x C
2 x
2
 
la llamare PRIMITIVA de la función
1
   + 
 
xLn 1
x
.
Es decir el resultado de la integral es la función primitiva, que al derivarla
(derivar la primitiva) debe generar la función que se integro.
Derivemos:
( ( )) 2 1 1
x
  =  +  + - + +
( ) 1 ln 1
f x Ln x x C
2 x
2
 
(( ) ( ( )) ) ( )
2 ' 2 '
       =   +  +    +  + - + +
1 ' x x
1 1
( ) 1 1 ' ln 1
' ' f x Ln Ln x x C
2 x 2 x
2
      
Recuerda que la derivada de una constante es cero: ( )' C = 0 .
    +           ( + )
 = +    +  +  -    +         +      
'
2 '
'
1
1
2 1 1 1
x x x x
( ) 1 1
f x Ln
2 1 2 2 1
1
x x
x
   

12.  - 
 
2 2
x f '
x
x 1
 2
  +  +        - +       
( )
=   +
 +  
     
2 1
x
x
x 1 1 1
2
1 1
2 1
Ln
x x
 -    + =   +  +  +  +   
 
   + 
x x x
f x xLn
( )
2
'
2
1 1 1
( ) 1
2 x x 1 x
2
-1
x 1
2
' ( )
x
     
  +  +  +    +     +   
f x = 2 2
x
x
-
( )
1 1
1
x
xLn
1 2 1
x x x
' 1 1 1
( ) 1
x x
      = -   +  +  +    +     + 
f x xLn
2 x 1 x 2 x
1
' 1
( )
x
= -    +  2  1

f x
x
1 1
+      1
+  +     +  
x
2 1
xLn
x x
' 1
f (x) xLn 1
  =  + 
x
 
De esta manera corroboramos que el resultado es el correcto.
Respuesta: 1 x
2 1 1
( ( )) ∫
     1 +  =  1 +  + - ln + 1
+
    xLn dx Ln x x C
2 2
x x
Ejercicio 2
Calcula
2
x dx
+ x
∫ .
( )
2 3 3
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia del método de
sustitución trigonométrica, que se aplica cuando en la estructura de la integral
se dan alguno de los siguientes 3 casos:

13. Cuando en
la
estructura
de la
integral
esta:
El cambio
trigonométrico
es:
Se utiliza al final del ejercicio para devolver el cambio
trigonométrico:
a
a a
= 
 =
x atg
1 x2 + a2 sec2
dx a d
2 x2 - a2
a
a a a
sec
= 
 =
x a
sec
dx a tg d
3 a2 - x2
a
a a
x asen
dx a d
cos
= 
 =
En nuestro ejercicio tenemos:
2
x dx
+ x
∫ , observa la estructura
( )
2 3 3
( )2 3 3+ x se puede escribir: ( ( ))3
3+ x2 observándose claramente que
tenemos:
3+ x2
Es decir, el caso 1 x2 + a2 , comparando se tiene:
x2 + a2 , x2 + 3 ®a2 = 3a = 3
Calculado a , aplicamos el cambio correspondiente:
 = 
3
3
a
a a
x tg
sec2
= 
dx d

14. Sustituyendo en nuestra integral:
( ( ))
( )
2
( ( ) ) ( ( )) ( ( ))
a a a a a a a a a
2 2 2 2 2 2
3 3 sec 3 3 sec 3 3 sec
x dx tg d tg d tg d
∫ = ∫ = ∫ =
∫
3 3 3 3
+   + +  + 
a a a
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 1
x tg tg tg
 
tg 2 a 2 a da tg 2 a 2 a da tg 2 a 2
a da
sec sec sec
3 sec 3 s 3 sec
∫ = ∫ = ∫
( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )
3 3 3 3 3
a a a
2 2
3 3
3 3 3
3
ec
3 3
( )3
3
tg2a sec2a
∫ = ∫ = ∫ = ∫
sec 3
da
sen
a a a a a a a a
tg d d sen
3 3 cos cos
3 sec 3 1 cos
( )
2
2 2 2
2 2
cos
d
a a a
a
cosa 2
cos 2
sen a 2 1 cos2 1 cos2
d d d d d
a a a a a a a a
∫ = ∫ sen
= ∫ - = ∫ -∫
a cos a cos a cos a cos
a
Aplicando integrales inmediatas de tabla se tiene:
∫seca da -∫ cosa da = ln seca + tga - sena +C
Para devolver el cambio hacemos uso del triángulo:
Por lo tanto el resultado de nuestra integral es:
= + + - +
2 2
x dx x x x
( )
3
ln
3 3 3 3
+ 2 3 2
+
C
x x
∫
Puedes deja la integral hasta este punto, pero si simplificamos, se
obtiene:
= + + - +
2 2
x dx x x x
( )
3
ln
3 3 3
+ 2 3 2
+
C
x x
∫
( ) 2
x dx x
( )
= ln 2
+ 3 + - ln 3
- +
x x C
+ 2 3 2
+
3 x x
3
∫
( ) 2
x dx x
( )
= 2
+ + - + -
ln x 3 x C
ln 3
+ 2 3 2
+
3 x x
3
∫

15. 2
x dx x
( )
= ln 2
+ 3
+ - +
x x K
+ 2 3 2
+
3 x x
3
∫
Donde K = C - ln ( 3) es la nueva constante.
Comprobación de la solución
= + + - +
La PRIMITIVA obtenida es: 2
2
( ) ln 3
3
x
f x x x K
x
+
,
verifiquemos que su derivada es:
2
( )
'
2 3
( )
3
x
f x
x
=
+
Comencemos la derivada:
( ) ( ) ( )
' '
2 ' 2 2
+ + + - +
3 3 3
x x x x x x
( ) ( )
' '
= - +
f x K
2 2 2
( )
+ + +
( ) ( )
3 3
x x x
( )2 '
2
'
  x
+  + - 
x x
2 ' 2
'
x + + x   x
+  = - 
+ + +
2 2
3
3
3 2 3
( )
3 3
f x
x x x
( ) ( )2 ' 2 ' 2
 +  + + -     +  +  + + -   = + -   = + -  + 
3 3 3 2 2 1 2 3 1 3 ( ) 2 3 2 3 2 3
x x x x x x x 2
x 2
x 2 2 2
f '
x x x x
+ + + + + +
2 2 2 2
3 3 3 3
x x x x x x
'
2
f (x) = 2
x 2
2
2
 2
  
  + + -    +  = + -  + 
+ + + +
+ 1 + 3
-
+ 3
-
+ 3
+
x x
x
x x
2
x 2
2 2 2
x x x x
1 3
3 3 3
x x x
2 2 2
3 3 3
x x x x
+ + 3 + 3
- + -
x x x x x
x
= + - + = + + - +
3 3 3 3 ( )
x x x x x f x
( )
( )2
2 2
2 2
2
3
2 2 2 2
'
+ + + + + + +
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
x x x x x x x
2
x x
3
' ( )
f x
= + + ( x2 + 3 + x) ( )
- + - = -
2 2 2
3 1
x x x
+ + + +
2 2 2 2
3 3 3 3
x x x x
+ 3- x2
( )( )1
x2 + 3 x2 + 3 2

16. ( ) ( ) ( )
3
( 2 +
3
)
2
( 2 )
1
2
( )
'
x
x
2 1 1 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2
3
1 3 1 3 3
( )
+
3 3 3 3 3
f x
x x x x x
-
+
= - = - =
+ + + + +
( )
3 1
( )
( )
( )
2 + - 2 2 - 2 + 1 - 2
= = =
+ '
3 3 3 3 3
x x x
3 3 2 2 2
( )
+ +
3 3
f x
x x
- 3
2
x
=
( ) ( )
2 3 2 3 3 3
+ +
x x
2
( )
'
2 3
( )
3
x
f x
x
=
+
De esta manera corroboramos que el resultado es el correcto.
Respuesta:
2
x dx x
( )
= ln 2
+ 3
+ - +
x x K
+ 2 3 2
+
3 x x
3
∫
Ejercicio 3
Calcula
2
x ∫ .
1
2
ln x
dx
Solución
Justificación: En este caso debemos calcular la primitiva y luego la
evaluaremos en el intervalo dado.
Como la función a integrar es: ln x
x
debemos aplicar la definición de
valor absoluto:
-
= 
+ ³
( ) si ( ) 0
( )
f x f x
( ) si ( ) 0
f x
f x f x
En nuestro caso:
ln ln
x x
- 
=
si 0
ln
x x x
x ln x ln
x
+ ³ 
si 0
x x
Ahora bien, observemos cuando
ln
0
x
x
en el intervalo de integración:
1
2
2
£ x £ .

17. Analicemos la fracción:
ln x
x
. El denominador x es positivo en el
intervalo
1
2
2
£ x £ ya que equis es positiva, ahora hagamos la gráfica de la
función ln x , para observar el comportamiento de su signo en el intervalo
1
2
2
£ x £ :
Observamos claramente de la gráfica que la función ln x es negativa en
el intervalo:
1
1
2
£ x y positiva en el intervalo 1£ x 2 .
Por lo tanto
ln
0
x
x
en
1
1
2
£ x y
ln
0
x
x
³ en 1£ x 2 , de aquí que:
ln ln
 
  =  ®
 

- -
ln
ln
ln x
1
£
si 0 si 1 0
ln ln
si
0 si
2
1 2 0
x x x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x x
+ ³ + £

³


Por lo tanto nuestra integral original queda:
2
∫ = -∫ + ∫ d
1
2
1 2
ln ln x ln
d
1 1
2
x
d
x
x
x
x
x x
x

18. Ahora calculemos la primitiva de
ln x
∫ dx
, esto lo logramos con un
x sencillo cambio de variable:
2
x = 
® ® = = 
∫ nueva var
∫ ∫
= ln
ln l
iable:
2
n
dx dx dx du
x
u
u
x x
u
du x
x
Devolviendo el cambio: u = ln x , obtenemos finalmente:
ln ln2
x x
dx
x
2
∫ =
Ahora podemos calcular:
2
∫ = -∫ + ∫ d
1
2
1 2
ln ln x ln
d
1 1
2
x
d
x
x
x
x
x x
x
Así:
2
2
1
1
2
 
 
2 2 2 2 2 2 2
∫ = - + = - + + - = - +   + -
1
2
1 1 ln ln ln ln ln ln 1 2 ln 2 ln 1 2 ln 2 0 0
x x x 2
dx
x
2 2 1 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
- - + ∫ = + = + = + = =
1
2
ln ln1 ln 2 ln 2 0 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2
2 2 2 2 2 2 2
x
dx
x
ln2 2
2
= ln2 2
En estas operaciones se aplicaron las siguientes propiedades de
logaritmo:
1
ln ln ln en: ln
2
a
a b
b
= -
ln1 = 0
Y recuerda que: ( )ln2 2 = ln 2 2
Respuesta:
2
2
1
2
ln
ln 2
x
dx
x
∫ =
Ejercicio 4
Calcula:
e-x2 x5dx ∫
Solución
Justificación: Para resolver esta integral, la escribiremos de esta forma:

19. ∫ e-x2 x5dx = ∫ e-x2 x4+1dx = ∫ e-x2 x4x1dx = ∫ e-x2 (x2 )2 xdx
Obsérvese como logramos obtener una estructura tal que si efectuamos
el cambio de variable: w = x2 tenemos su diferencial o derivada se encuentra
en la integral propuesta, es decir: du = 2xdx , destacaré esta situación en
nuestra integral:
( ) e-x2 x2 2 xdx ∫
Fíjate en algo muy importante, el 2 que multiplica a xdx no afecta
nuestro procedimiento, por ser 2 una constante.
Practicando el cambio de variable mencionado, se tiene:
2
=
w x
x l w dw
 ® ® 
2 ( 2 ) 2
( ) 2
e- -
∫ xdx dw
nueva variab e:
∫
x w
2 2
2
dw xdx x
d
e
x

= =
Ahora debemos resolver la integral:
( )2 2 1
u w dw
∫ e- w = ∫ e- w dw
2 2
Observamos que la integral obtenida se resuelve a través del método de
integración por parte, explicado en detalle en el ejercicio 1.
Voy a mostrar la parte de la tabla ya explicada que nos interesa:
Integral
problema:
I = ∫u.dv
Normalmente
se llama u
Se
obtiene
du
Normalmente
se llama dv
Se obtiene
v
Observación
I = ∫ x3.exdx
u = x3
du = 3x2dx
dv = exdx
v = ∫ exdx = ex
u = xn ® se
repite el proceso n
veces, en este caso
se aplica de nuevo
integración por pares
Ahora puedes ver que ciertamente nuestra integral tiene la estructura
para aplicar el método de integración por partes:
2 1
2
e-ww dw ∫

20. Tal como menciono en la observación, debemos integrar 2 veces por
parte, ya que el exponente de la función polinómica es 2: w2 , apliquemos la
primera vez de integración por parte:
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
= =
2 du 2
wdw
w w w
u w
dv e dw dw v e - - -
 ∫ dv ∫ e
®
  ®
 = =  
= -
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
2 2 1 1 1
. . .
2 2
2
2
e-ww dw = u v - v du =  w e-w - e-w wdw ∫  ∫  - ∫ - 
2 2 1 1
∫ e-ww dw = -w  -w e+ 2 ∫ e-w .
wdw  (1)
2 2
Aplicando la segunda vez de integración por parte a la integral:
2 e-w.wdw ∫
Se tiene:
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
= du
=
dw
   ®
w
- = - -
  = ∫ ∫ ® = -
w dv e wdw w
dv e w
v e
u
d
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
2∫ e-w.wdw = 2 u.v - ∫ v.du = 2 -we-w - ∫ -e-w.dw
2∫ e-w.wdw = 2 -we-w + ∫ e-w.dw = 2 -we-w - e-w  = -2e-w (w+1) (2)
Sustituyendo (2) en (1), se tiene:
- -
w w
2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 1
w w w e e
e w dw w e e w w w w w
∫ - =  - - - 2 - + 1   = -   + 2 + 1   = -   + 2 + 2
 
2 2 2 2
Ahora devolvemos el cambio de variable: w = x2 efectuado, para obtener
el resultado final:
-
x e
e x dx x x C
( ) ( )
2
x
∫
- 2 5 = -  2 2 + 2 2 + 2
 +   2
2
x
-
x e
e x dx x x C
2 5 4 2 2 2
- = -  + +  + ∫  
2

21. Comprobación de la solución
La PRIMITIVA obtenida es:
2
-
e x
= -  + +  + , verifiquemos
( ) 4 2 2 2
f x x x C
2
que su derivada es:
f ' (x) = e-x2 x5
Comencemos la derivada:
( )
2 ' 2
 e - x   e - x

=  -    + +  +  -  
 + +  +    
' 4 2 4 2 ' ' ( ) 2 2 2 2
f x x x x x C
2 2
( ) 2 2 2 '
 e - x - x   e - x

= -    + +   +  -     +        
' ( ) 4 2 2 2 4 3 4
f x x x x x
2 2
( ) 2 2
 e - x - x   e - x
 = -   + +  -    +    
    
' 4 2 3 2
( ) 2 2 4 4
f x x x x x
2 2
= ( )
 2
  - 
    + +   -     +          
'
2
( )
e x
f x
-
2
x 2
e x
4 2 2 2 4 3 4
x x x x
2
 -
x
2
  
e x x
x 2 x 2
3
4 4
' ( ) - 4 2 2 2 4 3 4 -
5 2 3 2
=  + +  -    +  =  + + - -       
f x xe x x x x e x x x
2 2 2
( ) f ' (x) = e- x2 x5 + 2x3 + 2x - 2x3 - 2x = e-x2 (x5 + 2x3 + 2x - 2x3 - 2x )
f ' (x) = e-x2 x5
De esta manera corroboramos que el resultado es el correcto.
Respuesta:
2
x
-
x e
e x dx x x C
2 5 4 2 2 2
- = -  + +  + ∫  
2
Ejercicio 5
Calcula la integral:
3 2
 -  =  
∫ .
1
3 x
1
2
I arctgxdx
x x
 
Solución
Justificación: En este caso, debemos conseguir la primitiva de:
 3 x
2 - 1

 
 2

arctgxdx
x x
∫

22. Es evidente observar que se debe aplicar el método de integración por
partes, ya que la integral posee el producto de una función racional y una
función inversa trigonométrica, en este caso arco tangente de equis.
Apliquemos el método de integración por partes así.
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

rctgx x
2 2 2 2 2
= - = - = - = - = - =
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
2
x dv dx x x x x dv dx dx dx dx
1
( ) ( ) 1
( )
2
2
1 3
2 2
2 2
1
2 2
x x
dx
u a du
x x x x x +
x
= = +
 
   ®
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 -  = - = - = -  
 
2 2 3 3 1 3
3 x 1 3 x dx dx
3 1 3 1
2 2 2 2 2 2 2 2
dx x dx x dx x dx x dx
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
x x x x
- - -
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 3 3 1
+ 1 - + 1
-
- = - =
+ - + - 2
3 x 2 1 x 2 3 x 2 1 x
2 3
2 1 1 2 3 2 3 2 1 1
2 2 2 2
2
3
3
1
(- ) 1 3 1
x 2 - 2 2
- - = +
x 2 x2 x 2
3 1
- = +
v x2 x 2
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
 -  3 1 3 1
∫   = - ∫ = 2 2
-
∫
    + Resolviendo la integral:
2
2
2
2 3 1
. .
1
.
2
dx
u v v du arctgx x
x
arc tg x d
x x x x
x x
x
 -   - 
 +   + 
 
   3 1   3 +
1
  3 1  3 + =  + 1  =  2 2 + 1  2 2
=  + 1
  2 2  2
+   +   +     +          
dx dx x x dx x dx
. . . .
1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
x x x
x x x x
x x x
-
∫ ∫ ∫ ∫
4
2 2 2
1 2 1 2
2 2
     +  =  +  = +   +   +      
 
 
  +  
1 1 1
. .
x dx x dx x
∫ ∫ 1 2
1 1
x x
x x
2
.
1
dx
x x
1 1
- +
1 1 x 2 x
2
2 2
- = = = =
x dx x
1 1
1
- +
2 2
∫ ∫
Por lo tanto:
 2 -   3 - 1   3 - 1
   =  +  -  +        +
x dx
∫ ∫
arctgxdx arctgx x x x x
2 2 2 2
2
3 1
.
2 1
x x x
 3 2
- 1   = + 1

  3   -
   
2
x
2
arctgxdx arctgx x x
x x x
∫
Ahora podemos evaluar la integral con los límites de integración:

23.  
3
 +  - =
 
3
1
2
1
arctgx x x
x
  = arctg ( ) ( )
1 ( )   1
   3 3  3 +  ( )
 - 2 3 -  arctg
( 1 )  ( 1 )
3 +  - 2 ( 1
)   3       
  ( 1
)
  Sabiendo que:
( )
( )
 
3
= 3
1
4
arctg
arctg
p
p
= 
( ) ( )
 3

p  3 3 + 1    =   - - p
 1
   +  - 
( ) 2 4
3 1 2 ( 1
)
3 3 4 1
     
 
( ) ( ) ( ) 4 2
  p  3 + 1    p  p 3 + 1  = -  2
p
   2 4 3 - 2 - 2 =   - 2 4
3 - - 2
3  4 3    4   3   4
3    4

     
p  3 + 1   - - p -  = p 4    4     - - p 4 -  = 4
p - p 4
- +          
Entonces:
2 3 2 2 3 2 2 3 2
3 4 3 2 3 4 3 2 3 4
3 2
Respuesta:
3 2
 -  = p - -p  
4
+  
4
1
3 1 4
2 3 2
x
arctgxdx
2 x x
3 3 2
∫
Ejercicio 6
Calcula: ∫ sen4xdx .
Solución
Justificación: Cuando se nos presenta una integral de la forma:
∫ senmx cosn xdx
Donde m y n son números enteros pares positivos, se hace uso de las
siguientes identidades trigonométricas:
2 1 cos 2
2
ax
sen ax
= - 1 cos 2
y cos
2 2
ax
ax
= +
En nuestro caso se tiene:
( )4 2 2 ∫ sen xdx = ∫ sen x dx

24. Sustituyendo la identidad 2 1 cos 2
2
ax
sen ax
= - con a =1, se tiene:
( ) 2 2
 -   - +  = =   =  
4 2 2 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2
x x x
∫ ∫ ∫ ∫
sen xdx sen x dx dx dx
2 4
   
4 ( 2 ) 2 1 1 2 1
∫ sen xdx = ∫ 1 - 2cos 2 x + cos 2 x dx = ∫ dx - ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 2
xdx
4 4 4 4
4 2 1
cos 2
4
1 2 2
4 4 2
sen x
∫ sen xdx = x - + ∫ xdx
Para resolver la ultima integral roja, se debe recurrir a la identidad:
ax
= + con a = 2 , así:
2 1 cos 2
cos
2
ax
∫ = ∫ + = ∫ + ∫ = +
Por lo tanto, el resultado final es:
2 1 1 1 cos 4 1 1 cos 4 1 1 4
cos 2
x dx x sen x
xdx dx dx x
4 4 2 4 2 4 2 8 8 4
4 1 2 2
4 4 2
1 1 4
8 8 4
sen x sen x
∫ sen xdx = x - + x + +C
Simplificando:
4 1 1 1 1
∫ sen xdx = x - sen 2 x + x + sen 4
x +C
4 4 8 32
4 3 1 1
∫ sen xdx = x - sen 2 x + sen 4
x +C
8 4 32
Comprobación de la solución
La PRIMITIVA obtenida es:
3 1 1
f ( x ) = x - sen 2 x + sen 4
x +C ,
8 4 32
verifiquemos que su derivada es:
f ' (x) = sen4x
Comencemos la derivada:
' ( 2 2 ) 3 2 4 3 1 1
f ( x ) = - cos 2 x + cos 4 x = - cos 2 x + cos 2 x - sen 2
x
8 4 32 8 2 8
' ( 2 2 ) ( 2 2 ) 3 1 1
f ( x ) = - cos x - sen x + cos 2 x - sen 2
x
8 2 8
2 2 2 2
' 3 cos cos 2 2
( )
x sen x x sen x
f x = - + + -
8 2 2 8 8

25. 2 2 ( 2 2 )2 ( )2
' 3 cos cos 2 cos
( )
x sen x x sen x senx x
8 2 2 8 8
f x
-
= - + + -
2 2 4 2 2 4 2 2
' 3 cos cos 2 cos 4 cos
( )
x sen x x sen x x sen x sen x x
8 2 2 8 8
f x
= - + + - + -
2 2 4 2 2 4 2 2
' 3 cos cos 2 cos 4 cos
( )
x sen x x sen x x sen x sen x x
8 2 2 8
f x
= - + + - + -
2 2 4 2 2 4
' 3 cos cos 6 cos
( )
x sen x x sen x x sen x
8 2 2 8
f x
= - + + - +
2 2 4 2 2 4
' 3 4cos 4 cos 6 cos
( )
x sen x x sen x x sen x
8
f x
= - + + - +
2 2 4 2 2 4
' 2 1 4cos 4 cos 6 cos
( )
x sen x x sen x x sen x
8
f x
= + - + + - +
2 2 2 2 4 2 2 4
' 2 cos 4cos 4 cos 6 cos
( )
sen x x x sen x x sen x x sen x
8
f x
= + + - + + - +
2 2 4 2 2 4
' 2 3cos 5 cos 6 cos
( )
x sen x x sen x x sen x
8
f x
= - + + - +
2 2 4 2 2 4
' 1 1 3cos 5 cos 6 cos
( )
x sen x x sen x x sen x
8
f x
= + - + + - +
2 2 2 2 4 2 2 4
' 2 2cos 3cos 5 cos 6 cos
( )
sen x x x sen x x sen x x sen x
8
f x
= + - + + - +
2 2 4 2 2 4 2 2 2 2
' cos 7 cos 6 cos 2 cos 2 cos
( )
x sen x x sen x x sen x sen x x sen x x
8
f x
= - + + - + + -
2 2 2 2 4 4 2 2
' cos 7 8 cos cos 2 cos
( )
x sen x sen x x x sen x sen x x
8
f x
= - + - + + +
( )2 2 2 2 2 2 2
' cos 7 8 cos cos
( )
x sen x sen x x sen x x
8
f x
- + - + +
=
2 2 2 2 2 2 2 2
' cos 7 8 cos 1 1 cos 7 8 cos
( )
x sen x sen x x x sen x sen x x
8 8
f x
= - + - + = - + -
2 2 2 2
' 7 8 cos
( )
sen x sen x sen x x
8
f x
= + -
8 sen 2 ' = x - 8 sen 2 x cos 2
x
8
( 2 2 cos2 )
f ( x )
= 8
sen x - sen x x = sen2x - sen2x cos2 x
8
f ' (x) = sen2x - sen2x cos2 x = sen2x (1- cos2 x) = sen2x.sen2x = sen4x
f ' (x) = sen4x

26. De esta manera corroboramos que el resultado es el correcto.
Respuesta: 4 3 1 1
∫ sen xdx = x - sen 2 x + sen 4
x +C
8 4 32
Ejercicio 7
La integral
4
∫ x 2
- 4x + 3 dx representa el área de una región del plano,
0
grafícala y calcula dicha área.
Solución
Justificación: En este caso primero graficaremos la función x2 - 4x + 3
en el intervalo de integración 0 £ x £ 4 .
Como la función a graficar e integrar es: x2 - 4x + 3 debemos aplicar la
definición de valor absoluto:
-
= 
+ ³
( ) si ( ) 0
( )
f x f x
( ) si ( ) 0
f x
f x f x
En nuestro caso:
( )
( )
- 2 - + 2
 - + - + = 
2
4 3 si 4 3 0
x x x x
2 
+ - + 2
- + ³ 4 3
4 3 si 4 3 0
x x
x x x x
Primero vamos a estudiar cuando x2 - 4x + 3 0 , para ello debemos
factorizar el polinomio x2 - 4x + 3, por lo tanto sus calculando sus raíces:
( ) ( )
( )
- + = ® = - ± 2 - ± 2
- = = ± - =
± 2 4 4 4 4. 1 . 3 4 16 12 4 4
4 3 0
b b ac
2 2. 1 2 2
x x x
a
 
= 4 + 2 = 6
 = 1
= ± = ±    = - = = 2
3
4 4 4 2 2 2
2 2 4 2 2
1
2 2
x
x
x
Por lo tanto el polinomio factorizado queda:
(x -1)(x - 3)
Planteando de nuevo la inecuación, se tiene:
(x -1)(x - 3) 0
Para resolver esta inecuación, estudiare los signos de este producto a
través del siguiente cuadro (LA EXPLICACIÓN DETALLADA DE LA

27. CONSTRUCCIÓN DE ESTE CUADRO SE ENCUENTRA EN EL OBJETIVO 3
DE MATEMÁTICA 1):
En la parte superior se ubican ordenadamente las raíces x1 =1 y 2 x = 3 ,
como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte izquierda
con menos infinito y en la parte derecha con más infinito.
En la parte izquierda del recuadro se colocan las expresiones
factorizadas (x -1) y (x - 3) . SigI Significa, signo de la inecuación.
Ahora bien, primero se resuelve la primera fila del recuadro a través de:
(x -1) 0® x 1
Esto indica que para toda equis mayor que uno la expresión (x -1) es
positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se
encuentra el 1 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es
decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Procedemos de igual forma para:
(x - 3) 0® x 3
Esto indica que para toda equis mayor que tres la expresión (x -3) es
positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se
encuentra el 3 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es
decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Finalmente, se multiplican verticalmente, columna por columna, los
signos para obtener la última fila, donde se encuentra la notación SigI .
De esta manera se obtiene el siguiente cuadro:

28. Del recuadro concluimos que x2 - 4x + 3 0 en el intervalo (1,3) y
x2 - 4x + 3 ³ 0 en el intervalo (-¥,1]È[3,¥) . Recordando que el intervalo de
integración es: 0 £ x £ 4 , se tiene finalmente:
x2 - 4x + 3 0®(1,3)
y
x2 - 4x + 3 ³ 0®[0,1]È[3, 4]
Por lo tanto:
( )
 - x + x - x
Î - + = 
[ ] [ ]
2
2
2
- 
+ Î È 4 3 si 1,3
4 3
4 3 si 0,1 3,4
x x
x x x
Como ya sabemos que función dibujar en cada intervalo, procedemos a
graficarlas.
En el intervalo (1,3) debemos graficar la función: y = -x2 + 4x - 3 .
Sabemos que es una parábola, podemos ubicar su vértice (recuerda que el
vértice de una parábola es un máximo o un mínimo) fácilmente derivando e
igualando a cero:
' 4
y = - x + = ® x = x = =
2 4 0 2 4 2
2
Como la parábola abre hacia abajo por ser el coeficiente de -x2
negativo, se concluye que x = 2 es la abscisa de un punto máximo. Para hallar
la ordenada se sustituye este valor ( x = 2 ) en la ecuación original, así:
( ) ( ) 2 2 4 2 3 4 8 3 8 7 1
2
y
x
= - + - = - + - = - =
=
Por lo tanto el vértice de la parábola tiene las coordenadas: V (2,1) y
abre hacia abajo, además se sabe que corta al eje equis en los puntos 1 x =1 y
2 x = 3 que son las raíces calculadas anteriormente, entonces la gráfica de esta
parte de la función a integrar es:

29. En el intervalo [0,1]È[3,4] debemos graficar la función: y = x2 - 4x + 3 .
Sabemos que es una parábola, podemos ubicar su vértice (recuerda que el
vértice de una parábola es un máximo o un mínimo) fácilmente derivando e
igualando a cero:
' 4
y = x - = ® x = x = =
2 4 0 2 4 2
2
Como la parábola abre hacia arriba por ser el coeficiente de x2 positivo,
se concluye que x = 2 es la abscisa de un punto mínimo. Para hallar la
ordenada se sustituye este valor ( x = 2 ) en la ecuación original, así:
( ) ( ) 2 2 4 2 3 4 8 3 7 8 1
2
y
x
= - + = - + = - = -
=
Por lo tanto el vértice de la parábola tiene las coordenadas: V (2,-1) y
abre hacia arriba, además se sabe que corta al eje equis en los puntos 1 x =1 y
2 x = 3 que son las raíces calculadas anteriormente, además debemos calcular
el valor de las ordenadas en los extremos, es decir:
( ) ( ) ( ) 2 0 4 0 3 3 0,3
0
y
x
= - + = ®
=
( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 3 16 16 3 3 4,3
4
y
x
= - + = - + = ®
=

30. entonces la gráfica de esta parte de la función a integrar es:
Observa que la grafica es la línea continua azul, porque es la que
pertenece al intervalo [0,1]È[3,4], la línea de la parábola segmentada se dibujo
solo por referencia.
De las 2 gráficas anteriores, tenemos que la gráfica de la función
integrando f (x) = x2 - 4x + 3 es:

31. Y el área encerrada es:
Figura 1
Ahora procederemos a conseguir el área encerrada (amarilla) bajo la
curva.
En la siguiente figura se observan destacados en verde los rectángulos
típicos de ancho dx y altura correspondiente a cada función señalada, las
azules y rojas, así:

32. Entonces nuestra integral se puede escribir:
( ) ( ) ( ) 1 3 4
A = ∫ x 2 - 4x + 3 dx + ∫ -x 2 + 4x - 3 dx + ∫ x 2
- 4x + 3 dx
0 1 3
 x 3 x 2 1   x 3 2 3   = - + + - + x - + x 3 x
2 4

 4 3  4 3   - 4 + 3

     
A x x x
3 2 0 3 2 1 3 2 3
 x 3 1   3 3   = - 2 + + - x + 2 - + x
3
4

 2 3  2 3   - 2 2 + 3

     
A x x x x x x
3 0 3 1 3 3
 1 3  0
3

A
=  - 2 ( 1 ) 2 + 3 ( 1 ) -2
 - 2 ( 0 ) + 3 ( 0
)
 +
 3  3

 3 3  3

- + ( ) 2 - 1
2 3 3 ( 3 ) - - + 2 ( 1 ) 2
- 3 ( 1
)
 +
 3  3

 4 3 3
- 2 ( 4 ) 2  + 3 ( 4 )  -3
 - 2 ( 3 ) 2
+ 3 ( 
3
)

 3  3

( ) ( ) ( ) 1 27 1 64 27
2 3 2 9 9 2 3 2 16 12 2 9 9
3 3 3 3 3
A
        =  - +  + - + - - - + -  +  - + -  - +         
1 1 64
1 9 18 9 1 32 12 ( 9 18 9
) 3 3 3
A
       =  +  + - + - -- -  +  - + - - +        
1 3 1 3 64
20
3 3 3
A
 +    - -    =   + -  +  -        
4 4 64 60 4 4 4 12
4
3 3 3 3 3 3 3
A
    -   -  =   + -  +   = + + = =       
Respuesta: La gráfica es la mostrada en la figura 1, y el área es:
4
A = ∫ x 2
- 4x + 3 dx = 4
0
Ejercicio 8
Prueba que:
1 1 3
+ + ∫ .
2 ( )
= - - ln
+
x
dx C
2 3 2 4 2 3
x x x x
Donde C es la constante de integración.
Solución

33. Justificación: En este caso estamos en presencia de la integral de una
fracción racional cuyo grado del polinomio numerador es MENOR que el grado
del polinomio denominador y se resuelven a través del método de fracciones
simples. Hay 4 casos en este tipo de integrales, a saber:
1. Binomios de primer grado que no se repiten, por ejemplo:
dx
x + x - ∫
( 1)( 2)
1
= A +
B
1 2 1 1
Y se procede así: ( x + )( x - ) ( x + ) ( x
+
)
Luego se determinan los coeficientes A y B y finalmente se integra:
dx dx
∫ +
∫
+ + A B
( x 1) ( x
1)
2. Binomios de primer grado que se repiten, por ejemplo:
( 3 4
- 2 +
1
)
( - ) ( +
)
x x dx
x 3 x
2
1 5
∫
Y se procede así:
( 3 x 4
- 2 x +
1
)
= A + B + C + D +
E
( x - 1 ) 3 ( x + 5 ) 2 ( x - 1 ) 3 ( x - 1 ) 2 ( x - 1 ) ( x + 5 ) 2
( x
+
5
)
Luego se determinan los coeficientes A, B,C,D y E y finalmente se
integra:
dx dx dx dx dx
∫ + ∫ + ∫ + ∫ +
∫
A B C D E
( x - 1 )3 ( x - 1 )2 ( x - 1 ) ( x + 5 )2 ( x
+
5
) 3. Trinomios de segundo grado que no se repiten, por ejemplo:
2
x dx
x + x + x - ∫
( 2 3 1 )( 2
)
2
= + +
x Ax B C
Y se procede así: ( )( )
+ + - + + -
2 3 1 2 2 3 1 2
x x x x x x
Luego se determinan los coeficientes A, B y C y finalmente se integra:
xdx dx dx
∫ + ∫ +
∫
+ + + + - A B C
2 3 1 2 3 1 2
x x x x x

34. 4. Trinomios de segundo grado que se repiten, por ejemplo:
dx
( 2 5)2
x + x + x
∫
Y se procede así:
= + + + +
1
5 5 5
Ax B Cx D E
( 2 + + )2 ( 2 + + )2 ( 2 + +
)
x x x x x x x x
Luego se determinan los coeficientes A, B,C,D y E y finalmente se
integra:
xdx dx xdx dx dx
∫ + ∫ + ∫ + ∫ +
∫
A B C D E
( 2 + + 2 2 5)( 2 + + 5)( 2 + + 5) ( 2 + +
5)
x x x x x x x x x
El cálculo de los coeficientes los veremos en el ejercicio que se nos
presenta:
1
2 3
2 ( )
dx
x + x ∫
Estamos en presencia del caso 2, entonces:
1
= A + B +
C
2 3 2 3
2 ( ) 2
+ +
x x x x x
Para conseguir los coeficientes, hay dos formas, explicare ambas y tu
seleccionas la que más te agrade, sin embargo, advierto que hay casos donde
solo se puede aplicar uno de ellos:
a) Método 1 para conseguir los coeficientes A, B y C
Primero se suman las 3 fracciones tomando como denominador el
mismo de la integral original, es decir:
+ + + +
1 2 3 2 3
2 3 2 3
( )
( ) ( )
A x Bx x Cx
( )
2
=
+ +
2 2
x x x x
Luego:
+ + + + + + + + = =
1 2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
A Ax Bx Bx Cx A A B x B C x
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
( )
+ + +
2 2 2
x x x x x x

35. 1
2 ( )
x 2 + 3x
( ) ( )
+ + + +
3 3 2 2
B C x A B x A
( )
2
2
2 3
x x
=
+
1= (3B +C) x2 + (3A+ 2B) x + 2A
0x2 + 0x +1= (3B +C) x2 + (3A+ 2B) x + 2A
3 B C
0
+ =
3 2
1
0
A
2
B
A
=
=
+ 
Resolviendo este sistema:
b) Método 2 para conseguir los coeficientes A, B y C
1
= A + B +
C
2 3 2 3
2 ( ) 2
+ +
x x x x x
1
2 ( )
x 2 + 3x
( ) ( )
+ + + +
2 3 2 3
A x Bx x Cx
( )
2
2
2 3
x x
=
+
1= A(2 + 3x) + Bx (2 + 3x) +Cx2
En este momento se sustituye equis por las raíces de los términos de la
integral, dichas raíces en este caso son:

 2 = 0 ® = 
0
+ = ® = - 2
2 3 0
3
x x
x x
Para x = 0 :
1 = A(2 + 3x) + Bx (2 + 3x) +Cx2
( ( )) ( )( ( )) ( )2 1= A 2 + 3 0 + B 0 2 + 3 0 +C 0

36. ( ) 1
1 2
2
= A A =
Para
x
= - :
2
3
1= A(2 + 3x) + Bx (2 + 3x) +Cx2
2 2 2 2 2
  -    -    -    -  =  +    +    +    +  
1 2 3 2 3
A B C
3 3 3 3
           
2 2 2
 -   -  = - +   - +  
( ) ( )
1 2 2 2 2
A B C
3 3
   
4 9
1
=   C   C
=
9 4
 
Como ya no tenemos raíces distintas, debido a que x = 0 era una raíz
doble se procede de la siguiente manera:
Se sustituyen
1
2
A = y
9
4
C = en:
1 = A(2 + 3x) + Bx (2 + 3x) +Cx2
Así:
( ) ( ) 2 1 9
= + x + Bx + x + x
1 2 3 2 3
2 4
Desarrollando:
2 3 x
9
2 2 = + + Bx + Bx + x
1 2 3
2 2 4
3 9 2
    = +  +  +  + 
1 1 2 3
B x B x
2 4
   
Igualando coeficientes:
2 9 2 3
    + + =  +  +  +  +
0 1 3 2 1
ox x B x B x
4 2
   
9 9 3
B + = B = - = -
3 0
4 3.4 4
ó también podías igualar:
3 3 3
+ 2 B = 0 ® 2
B = - B = -
2 2 4

37. Ahora sustituimos estos valores encontrados:
1 1 1 3 1 9 1
= - +
. . .
2 ( ) 2
+ +
x 2 3x 2 x 4 x 4 2 3x
Finalmente integramos:
1 3 9
dx dx dx dx
∫ = ∫ - ∫ +
∫
+ + 2 ( ) 2
2 3 2 4 4 2 3
x x x x x
Todas son integrales sencillas, la primera:
- + -
2 1 1
1 dx = 1 - = 1 x = 1 x
= - 1 1 = -
1
2 2 2 2 1 2 1 2 2
∫ ∫
x 2
dx
2
- + - x x x
La segunda:
3 3
ln
dx
- ∫ = -
4 4
x
x
Y la tercera:
9
4 2 3
dx
+ x ∫
Se práctica un cambio de variable:
= + 
2 3

= 3
= 3
u x
du
du dx dx
Entonces:
du
9 dx 9 3 9 1 du
3 . ln
4 2 3 4 4 3 4
u
+ ∫ ∫ ∫
= = =
x u u
Devolviendo el cambio de variable efectuado se tiene:
9 3
ln 2 3
dx
4 2 3 4
x
x
= +
+ ∫
Sustituyendo las 3 integrales se tiene el resultado final:
1 3 9
dx dx dx dx
∫ = ∫ - ∫ +
∫
+ + 2 ( ) 2
2 3 2 4 4 2 3
x x x x x
dx
+ ∫
2 ( )
1 3 3
= - - + +
ln ln 2 3
x x
2 3 2 4 4
x x x
Sacando factor común
3
4
- , se tiene:

38. dx
= - -  - +  + ∫
2 ( )
1 3
ln ln 2 3
2 3 2 4
x x
x x x
Recordando la propiedad de logaritmo que nos indica:
ln ln ln
a
a b
b
- =
Se tiene:
 
dx x
= - -  - +  = - -   +  + 
2 ( )
1 3 1 3
ln x ln 2 3 x
ln
2 3 2 4 2 4 2 3
x x x x x
∫
Pero:
a a
b b
= , luego:
dx x
+ + ∫
2 ( )
1 3
= - - ln
+
2 3 2 4 2 3
C
x x x x
Respuesta: Se demostró que:
1 1 3
+ + ∫
2 ( )
= - - ln
+
x
dx C
2 3 2 4 2 3
x x x x
Ejercicio 9
Calcule:
2
x
e
∫ .
x
4 1
dx
e +
Solución
Justificación: Podemos escribir la integral así:
e
4 1
x
x
x
e x
e
d
+
∫
Porque: e2x = ex+x = ex .ex
En este caso podemos practicar el cambio de variable:
u = e + ®e = u -
x x
du e dx
1 1
x
=

Entonces:
= -
e u
e u
∫ ∫
4 4
1
x 1
x
x
e dx du
+
Ahora nos queda la sencilla integral:

39. ∫ - = ∫ - ∫ = ∫ - ∫ = ∫ - - ∫ -
1 1
1
du du du du du u 4 du u 4
du
u u u
u 1 u 1 u 1
4 4 4 1 1
u u
4 4
3 1 7 3
+ - +
3 1 1 1 4 4 4 4
4 4 4 7 4 3
- = - - = - = - = -
u u u u u
4
1 4 4
du u du u du u u
u
3 + - 1 1 +
7 3 1
7 3 4 4 4 4
∫ ∫ ∫
Devolviendo el cambio de variable:
( ) ( ) 2
7 3
4 4
4
4 4
1 1
1 7 3
x
x x
e
x
dx e e C
e
= + - + +
+
∫
Comprobación de la solución
4 4 4 4
La PRIMITIVA obtenida es: ( ) ( ) 7 3
f ( x ) = ex + 1 - ex + 1
+C ,
7 3
verifiquemos que su derivada es:
2
'
4
( )
1
x
e
x
f x
e
=
+
Comencemos la derivada:
7 ' 3 '
   
' 4 4 4 4
( ) 1 1
( ) ( )
=  +  -  + 
f x ex ex
7 3
   
 -   - 
( ) ( ) ( ) ( ) 7 3
' 1 ' 1 ' 4 4 4 7 4 3
( ) 1 1 1 1
=  + +  -  + + 
f x ex ex ex ex
7 4 3 4
   
' 4
f (x) =
7
 7
 ( ex + 1 )3

4
4 ex
 -
 4  3
 3
( - 1

 ex + 1 ) 4 ex

 4 
 
  = + - + =  + - 
( ) ( ) ( )
( )
3 1 3
' 4 4 4
1
4
1
( ) 1 1 1
1
x x x x x x
x
f x e e e e e e
e
-
 +   
 +   
 + -   + -  + =   =   =
( )
( )
( )
( )
3 1
4 4
'
   
      =  
 +   +     
x x x
1 1 1 1 1
e e e
x x x
f x e e e
1 1
4 4
( )
 e x + 1   x
    e
+ 1

( )- 1
e
x
e
x
( 1 x ) ( 1
x
) 1 4 1 4
e e
2
+
x x x x x
e e e e
= = =
( ) ( ) ( )
'
+ + +
x x x
4 4 4
( )
1 1 1
f x
e e e
2
'
4
( )
1
x
e
x
f x
e
=
+
De esta manera corroboramos que el resultado es el correcto.

40. Respuesta: ( ) ( ) 2
7 3
4 4
4
4 4
1 1
1 7 3
x
x x
e
x
dx e e C
e
= + - + +
+
∫
Ejercicio 10
Calcule:
dx
x + x
∫ .
3 2 5
Solución
Justificación: Cuando en la integral esta la estructura de un trinomio
cuadrado: ax2 + bx + c , en el denominador, con o sin raíz cuadrada ó en el
numerador con raíz cuadrada, se procede SIEMPRE a completar cuadrados.
En nuestro caso, debemos completar cuadrados en: 3x2 + 5x .
Para completar cuadrado SIEMPRE el coeficiente de x2 debe ser 1, por
ello, extraeremos factor común el 3, quedando:
2 3 2 5 2 5
3 5 3 3
    + =  +  =  + 
x x x x x x
3 3 3
   
Ahora se procede a completar cuadrados en:
2 2
   
      2   2   2  2    2
+ =  +  -  =  +  -  =  +  -   =  +  -
2
5 5 5 5 5 25
2
5 5
3
2 2 6 6 6 6
3
3
5
3 6
6
x x x x x x
             
   
Explicare en detalle la manera en que complete cuadrados:
Sustituyendo esta completación de cuadrados en:
2
 5 5   2 +   =    +  - 25

    
3 3
x x x
3 6 36
Sustituyendo en nuestra integral, se tiene:

41. 1
dx dx dx dx
x x
∫ = ∫ = ∫ =
∫
3 5 5 25 5 25 3 5 25
+           +  -   +  -   +  - 
2 2 2 2
3 3
x x x
6 36 6 36 6 36
        
SIEMPRE se practica el siguiente cambio de variable, después de
completar cuadrados:
5
6
 = + 
 =
u x
du dx
Así:
1 ∫ dx 1
∫
du
3 5 25 3 25
  2
  +  - 2

-   
=
x u
6 36 36
Hemos llegado a una integral que se resuelve por sustitución
trigonométrica, específicamente en el caso 2, explicado en detalle en el
ejercicio 2 de esta guía:
2 x2 - a2
a
a a a
sec
= 
 =
x a
sec
dx a tg d
Comparando la estructura del radical, se tiene:
2 2 2 2 25 25 25 25 5
x - a ® u - ®a = a = = =
36 36 36 36 6
Por lo tanto el cambio trigonométrico es:
5
sec
6
5
sec
6
 
u
= a
a a a
= 
du tg d
Sustituyendo en nuestra integral:
5 5
a a a a a a
1 du 1 sec tg d 1 sec tg d
∫ = ∫ 6 =
∫
6
3 u
2 - 25 3  5  2
25 3  25 sec a 2
   - sec a
 - 25 36  6 
36  36 36

42. a a a a a a
1 5 sec 1 5 sec 1 5
. . .
3 6 25 3 6 25 3 6
a tga da
tga
∫ tg d = ∫ tg d
=
sec
( sec 2 a 1
) ( 2 a
)
36 36
tg
-
5
6
∫
a tga d
tg
1 sec
3
a
∫ = ∫ a da
a
1
sec
3
Esta última integral es inmediata, a saber:
1 1
∫ sec a da = ln sec
a + tga
3 3
Con la siguiente figura, podremos devolver el cambio trigonométrico:
Entonces:
2
1 1 6 36 25
du u u
ln
u
2
3 25 3 5 5
36
= + -
-
∫
Y finalmente, al devolver el cambio:
5
6
u = x + , se tiene:
2
dx
2
5 5 6 x 36 x
25
1 6 6
ln
3 5 3 5 5
C
x x
   +  -  +   
=   +   +
+
∫
Simplificando:
2
dx x
2
5 25
36 x x
25
1 6 5 3 36
ln
3 5 3 5 5
C
x x
   + +  - +   = + +
+
∫

43. 2
dx
2
5 25
6 x 5 36. x 36. x
36. 25
1 ln 3 36
3 5 3 5
C
x x
+ + + + -
= +
+
∫
2
dx x x x
2
1 6 5 36 60 25 25
ln
3 5 3 5
C
x x
= + + + + - +
+
∫
( 2 )
dx
2
1
ln 6 5 12 3 5 ln 5
3 5 3
x x x C
x x
= + + + - +
+
∫
( 2 )
dx
2
1
ln 6 5 12 3 5
3 5 3
x x x K
x x
= + + + +
+
∫
Donde K = -ln 5 +C
( 2 )
dx
2
1
ln 6 5 4.3 3 5
3 5 3
x x x K
x x
= + + + +
+
∫
( 2 )
dx
2
1
ln 6 5 2 3 3 5
3 5 3
x x x K
x x
= + + + +
+
∫
Comprobación de la solución
La PRIMITIVA obtenida es: ( 2 ) 1
f ( x ) = ln 6 x + 5 + 2 3 3 x + 5
x + K ,
3
verifiquemos que su derivada es:
'
1
2
( )
3 5
f x
x x
=
+
Comencemos la derivada:
( )
( )
( ) ( ) ( ( ))
' '
 + + 2 +  ' + ' + 2
  + = =
1 6 5 2 3 3 5 1 6 5 2 3 3 5
x x x x x x
( )
'
+ + 2 + + + 2
+
( )
3 6 5 2 3 3 5 3 6 5 2 3 3 5
f x
x x x x x x
( )
( )
( )
 '
 3 x 2 + 5
x
 +  +   x + x
 =  =
 
 
 +   
+ + +
6 2 3 6 2
2
'
1 2 3 5 1
+ + 2
+
( )
3 6 5 2 3 3 5 3
f x
x x x
6 5
3
2
x +
( 3 x 2
5
x
)
( 2
)
6 5 2 3 3 5
x x x
( ) ( )
  6 3 x + 5 x + 3 6 x
+ 5
 
 ( + )
   + + + = =
1 3 x 5 x 1 6 3 x 5 x 3 6 x
5
( )
( ) ( )
( ( )) ( )
2
2 2
'
+ + 2 + + + 2 + 2
+
( )
3 6 5 2 3 3 5 3 6 5 2 3 3 5 3 5
f x
x x x x x x x x

44. ( 2
+ ) + ( +
)
6 3 x 5 x 3 6 x
5
( ( ) ( )) ( )
'
2 2
( )
3 6 5 2 3 3 3 5 3 5
f x
x x x x x
=
+ + + +
( 2
) ( )
( ( ) ( ) ( )) ( )
'
+ + +
6 3 x 5 x 3 6 x
5
2 2
( )
3 6 5 2 3 3 5 3 5
f x
x x x x x
=
+ + + +
( 2
) ( )
( ( ) ( )) ( )
'
+ + +
6 3 x 5 x 3 6 x
5
2 2
( )
3 6 5 6 3 5 3 5
f x
x x x x x
=
+ + + +
( 2 ) ( )
'
6 3 5 3 6 5
( )
x x x
f x
+ + +
=
( 3 (6x + 5) + 6 (3x2 + 5x)) (3x2 + 5x)
'
1
2
( )
3 5
f x
x x
=
+
De esta manera corroboramos que el resultado es el correcto.
dx
Respuesta: ( 2 )
2
1
ln 6 5 2 3 3 5
3 5 3
x x x K
x x
= + + + +
+
∫
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.

45. EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
( a x -
b
x )2
Calcula ∫ dx
.
x x
a b
Ejercicio 2
Descomponiendo en fracciones simples, calcula la integral:
2
= x + x
-
I dx
( ) 2
( )
1
+ -
5 1
x x
∫
Ejercicio 3
2
x
5 ln 5
x + x + ∫ .
Calcula ( 2 ) ( 2 )
dx
Ejercicio 4
Calcula
( ) 2 3
x
∫ .
( )
2
1 4
arcsen x dx
- x
Ejercicio 5
Resuelve la siguiente Integral:
∫ dx
.
1 + cos
x Ejercicio 6
Calcula el valor de p partiendo de la igualdad
1
2
0 4 1
dx
x
p =
+ ∫ aplicando la
fórmula de Simpson, con n = 6 . La fórmula de Simpson es:
( ) 0 1 2 3 2 1 4 2 4 ... 2 4
3
b
n n n
a
h
y dx y y y y y y y - - ∫ = + + + + + + + donde
= -
b a
h
n
Ejercicio 7
dx
sen x + x ∫ .
Calcula 2 2 3cos2
Ejercicio 8
1
∫ .
Calcula ( )
2 2
1
1
1
dx
- + x

46. Ejercicio 9
Halle una función real f tal que su función derivada ( f ' ) venga dada
por f ' (x) = x 1- x2 y además pase por el punto
7
0,
3
 
 
 
Ejercicio 10
Calcule la siguiente integral
∫ x 2
- x
-
21
dx
.
2 x 3 - x 2
+ 8 x
- 4