Prob dieta final

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Problema de la dieta en programacion lineal

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Prob dieta final

  1. 1. PROBLEMA DE LA DIETA
  2. 2. HISTORIA La programación lineal fue inicialmente desarrollada por JanosVon Neumann quien proporciono los fundamentos de la PL en su trabajo Teoría de Juegos en 1928. Sin embargo, los cimientos de la programación lineal se remontan aNewton, Leibnitz, Bernulli y Lagrangeque desarrollaron una serie de trabajos para obtener mínimos y máximos en condiciones de ciertas funciones.Asimismo el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier esbozó métodos de la actual programación lineal. Y en los últimos años del siglo XVIII, Gaspar Monge asentó los precedentes del Método Gráficogracias a su desarrollo de la Geometría Descriptiva.
  3. 3. Luego en 1939, el matemático ruso L. Kantorovich, en colaboración con el matemático holandés T. Koopmans,desarrolló la teoría matemática llamada "Programación Lineal", por la que les fue concedido el premio Nobel. A finales de los años 30 y principios de los 40, George Joseph Stigler planteó un problema particular conocido como régimen alimenticiooptimal o más comúnmente conocidocomo problema de la dieta, que surgió a raíz de la preocupación del ejército americano por asegurar unosrequerimientos nutricionales al menor coste para sus tropas. Fue resuelto mediante un método heurístico cuya solución difería tan sólo unoscéntimos de la solución aportada años más tarde por el Método Simplex.
  4. 4. Este problema representa una de las primeras aplicaciones de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas especificaciones nutritivasmínimas. En la actualidad también se aplica con éxito en el ámbito agrícola con la misma idea de encontrar lacombinación óptima de alimentos que, logrando un aporte nutritivo mínimo, suponga el menor coste posible. La utilidad de la PL se basa en obtener el máximo de los recursos dados una serie de restricciones.
  5. 5. "EL PROBLEMA DE LA DIETA" DE STIGLER La formulación general de este problema es:Para que una dieta sea equilibrada deben ingerirse nelementos nutritivos básicos en cantidades mínimas b1, b2,..., bs. Estos elementos se encuentran en m alimentos. Conocemos cuál es la cantidad de cada elemento en cada unidad de cada uno de los alimentos y el coste de la unidad de cada alimento. Se debe minimizar el coste de la dieta pero cubriendo las necesidades nutritivas mínimas. Objetivo: Encontrar la combinación de alimentos de costomínimo que permita satisfacer nueve requerimientos nutricionales básicos de una persona de peso promedio. Motivación: Reducir costos en el abastecimiento de tropas.
  6. 6. Motivación: Restricciones:Reducir costos en el abastecimiento 2x1 + x2 = 3 (Requerimiento de tropas. mínimo de proteína ) Modelación matemática x1 + 2x2 = 3 ( Requerimiento Función objetivo: mínimo de carbohidratos ) min. x1 + x2 ( Buscar el mínimo x1 = 0 ( cantidad mínima de papas costo al combinar cantidades x de en la dieta ) alimento por su costo unitario) x2 = 0 (Cantidad mínima de fréjoles en la dieta )
  7. 7. En su intento por resolverlo, Stigler obtiene una de las primeras formulaciones de programación lineal: con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una solución por métodos heurísticos: $39.93 en 1939. Cabe destacar que los métodos heurísticos son las soluciones basadas en la experiencia, como la programación heurística. Estos métodos son utilizados dentro de la Investigación de Operaciones y para resolver problemas de programación lineal entera. Por otra parte luego de algunos años después Laderman en 1947 usó el simplex para encontrar la solución óptima siendo el primer cálculo a gran escala quepreciso de 120 días-hombre empleando 10 calculadores de escritorio manuales con $39.69 sólo 24 ctvs. Más barato que Stigler. Claro el avance de la computación hace de estas experiencias simplemente anecdóticas. Pero la idea básica es la misma. Ahora veamos un ejemplo donde la programación lineal cobra importancia.
  8. 8. Ejemplo: A B C D Nos proponemos M 100 - 100 200 alimentar el ganado de una granja con una dieta que N - 100 200 100 sea la más económica posible. Dicha dieta debe La dieta diaria de un animal contener cuatro tipos de debe estar compuesta por al nutrientes que llamamos A, menos 0.4Kg del B, C, y D. Estos componente A, 0.6Kg del componentes se componente B, 2Kg del encuentran en dos tipos de componente C, y 1.7Kg del piensos M y N. La componente D. El cantidad, en gramos, de compuesto M cuesta 0.2€/Kg cada componente por kilo y el compuesto N 0.08€/Kg. de estos piensos viene ¿Qué cantidades de piensos dada en la tabla siguiente: M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el
  9. 9. Se determinan las variables de decisión Se expresan todas las y se representan algebraicamente. En condiciones implícitamente este caso: establecidas por la naturaleza X1: cantidad de pienso M en Kg de las variables: que no puedan X2: cantidad de pienso N en Kg ser negativas, que sean enteras, Se determinan las restricciones y se y que solo puedan tomar expresan como ecuaciones o determinados valores. En este inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se caso, la única restricción es que deducen de la composición requerida las cantidades de pienso que para la dieta diaria (en Kg): forman la dieta no pueden ser En el componente A: 0.1·X1 + negativas: 0·X2 ≥ 0.4 X1 ≥ 0 En el componente B: 0·X1 + X2 ≥ 0 0.1·X2 ≥ 0.6 En el componente C: 0.1·X1 + Se determina la función 0.2·X2 ≥ 2 objetivo: En el componente D: 0.2·X1 + Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7 0.08·X2
  10. 10. Cantidad de pienso M en Kg (X1): 4.0Cantidad de pienso N en Kg (X2): 9.0 La función se minimiza en 1.52

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