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Conceptos de distribuciones
 

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    Conceptos de distribuciones Conceptos de distribuciones Document Transcript

    • UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN PROCESOS INDUSTRIALESConceptos:Distribución BinomialDistribución de BernoulliDistribución GammaDistribución PoissonDistribución NormalDistribución T de Student Monserrat Pantoja Castellanos 2 “A”
    • DISTRIBUCIÓN BINOMIALLa distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo laposibilidad de éxito o fracaso.- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de laobtención de éxito oFracaso en las demás ocasiones.- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en cadaocasión.EjemploTiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. ¿Cuales la probabilidad de obtener tres cincos?.Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cual es nuestro ´éxito?Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =16Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p(F) =56Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos dicen quesacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de cuantasmaneras pueden darse estas posibilidades?.
    • Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacarcinco, es decir: EEEFFFFPero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamoscalculando la E es éxito y la F es fracaso DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLIEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (odistribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizoJakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1para la probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad de fracaso q = 1 −p. Por lo tanto, si X es una variable aleatoria con esta distribución.Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si ciertosuceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso).Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (laprobabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado delresto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (alas que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambasposibilidades han de ser constantes en todos los experimento. DISTRIBUCIÓN GAMMAEs una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variablesaleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentanuna mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. Ensu expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) alfa y (β)beta de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también lafunción Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.Los parámetros de la distribución
    • El primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por estemotivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando setoman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de ladistribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de (α) el centrode la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de unacampana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el quedetermina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando ladensidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β)la distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho dela cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo delplano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad deprobabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores máspequeños de (β) conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un picode densidad de probabilidad más elevado. Una forma de interpretar (β) es“tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”. Relacionándose con elparámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio deocurrencia: λ=1/β. La expresión también será necesaria más adelante parapoder llevar a cabo el desarrollo matemático.La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se estáinteresado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poissonde media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener nocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetrosa=n×lambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de laduración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”.Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento yfenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo quetranscurre hasta la llegada del segundo paciente”), la teoría de la cola,electricidad, procesos industriales.
    • DISRIBUCION DE POISSONEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson esuna distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de unafrecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinadonúmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.La función de masa de la distribución de Poisson esDondek es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da laprobabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se esperaque ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el sucesoestudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados enla probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria condistribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superiorson polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen unainterpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de ladistribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimomomento iguala al número de particiones de tamaño n.La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no enteroes igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representanla función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
    • La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valoresperado λ esLas variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles.La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson deparámetro λ0 a otra de parámetro λ es¿Para qué sirve conocer que algo es Poisson?Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de unfenómeno aleatorio, podemos contestar preguntas como: • Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un intervalo de 5 minutos de duración • Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de 1km de tubería de gas • Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón, haya más de media tonelada • Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren más de 3 brotes de una enfermedad¿Por qué algunas cosas supimos de antemano que iban a ser Poisson y que otrasno?Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en la línea o en el tiempo, enla superficie, o en el espacio, tienen algunas características quematemáticamente la delatan, como son: • Que se está contando el número de eventos que suceden en un área (o intervalo de tiempo, o volumen) determinada. • Que la probabilidad de que suceda un evento sobre un área muy pequeña, es también muy pequeña.
    • • Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no pueden suceder más de uno solo de los eventos que se están contando. • Que si se duplica el tamaño de la superficie (intervalo de tiempo, etc.), entonces se duplica la probabilidad de registrar ahí un evento.Notas y conclusiones • Los ejemplos vistos de procesos de Poisson, son homogéneos en el sentido de que la probabilidad de que suceda un evento no varía según la posición sobre el espacio. Existen también procesos de Poisson que son heterogéneos. • Se concluye que los fenómenos aleatorios no son tan impredecibles como se pudiera pensar. Que en efecto, muestran un concepto llamado regularidad estadística, que es la que hace que éstos se puedan estudiar matemáticamente. • Que un observador de un fenómeno aleatorio, no puede esperar más que cuantificar la posibilidad de que el mismo suceda. DISTRIBUCIÓN NORMALSe le llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana,a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con másfrecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y essimétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce comocampana de Gauss y e es el gráfico de una función gaussiana.Ejemplo de algunagrafica seria:
    • DISTRUBUCION T- STUDENTEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribuciónde probabilidad que surge del problema de estimar la media de unapoblación normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias dedos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población yésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset.Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a susempleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previade secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajoel seudónimo de Student.